几何中的思维方法（精选11篇）
几何中的思维方法 第1篇
关键词：思维,教学,活跃
思维是客观事物在人脑中概括的、间接的反映, 是人们认识事物的理性阶段。思维能力就是合乎逻辑地对客观事物的概念作出判断、进行推理的能力。培养学生这种能力是使他们获取新知识、进行创造性学习和发展智力的重要途径。我在“几何初步知识”教学中, 是这样培养学生这种能力的。
一、寓教于乐, 培养思维习惯
根据心理学观点, 越是兴趣浓厚的问题, 就越能引起学生的求知欲望, 促使学生积极思维。因此我注意尽可能地在不失原意的前提下, 把数学问题转化为有趣的问题, 激发学生的学习兴趣, 启发他们积极去思维。例如, 教学“圆的周长”时, 我先让学生课前准备好三个圆形纸片 (直径在1～10cm) 。课上, 让学生任意说出三个圆形纸片的直径, 我脱口说出它们的周长, 这样一来, 学生觉得既神秘又有趣。这时我说:“同学们, 你们想不想知道这里的奥妙啊?”学生齐声说:“想!”我说:“其实问题很简单, 只要你们用手量一量每个圆纸片的周长, 并算一算它是直径的多少倍, 你们都能发现其中的秘密。”这些话唤起了学生们急于探索知识的兴趣, 他们迫不及待地拿起绳子和尺子认真地量着、算着, 并展开了热烈的讨论, 结果, 大部分学生很快就掌握了圆周率的概念。
二、纵横联想, 培养思维的深刻性
“联想”是―种积极的思维活动, 它是指看到眼前的事物而联想起相关的另一事物。由于几何形体由简到繁, 纵横联系密切, 所以, 教学这部分知识时, 有针对性地进行联想训练, 对发展学生的创造性思维有着重要的作用。例如, “在圆柱的体积”一节复习课里, 我先让学生回答求圆柱体、半圆柱体体积的计算方法, 然后出示了一个图让学生讨论如何求它的体积, 结果同学们很快就说出了:“用底面积×高。”我问:“为什么这样计算呢?”有的同学说:“因为这个物体和圆柱体、半圆柱体特征一样, 都是两个底面面积相等而且形状相同, 所以求体积的方法应该相同。”这种纵向联想, 使学生由旧知识想到了新知识, 由现象想到了本质, 对培养学生思维的深刻性是大有好处的。
三、变换角度, 培养发散思维
发散性思维是一种寻求异样、沿着不同的方向去思考同一问题的思维方法。在课堂教学中, 经过发散, 然后集中, 可使―个问题、一个结论从各种角度, 用多种方法得到解决。这样做, 对知识的理解更确切, 印象更深, 对发展智力十分有益。教学中, 我首先引导学生扎扎实实地掌握基础知识, 鼓励学生大胆地提出问题, 并敢于坚持自己的看法。我经常鼓励大家:“此路不通, 另闯别路, 此路巳通, 寻求近路。”例如:有一次, 让同学们求一个零件的体积, 同学们按照图形经过讨论较快地列出下式求解: (1) 两个体积相等的圆锥体加一个圆柱体:这时, 我启发道:“同学们可以想一想, 这个圆柱体的体积与一个圆锥体的体积有什么关系?”通过点拨, 学生找到了两种解法:解法 (2) :把圆柱看成三个圆锥, 这样, 本图形共有5个体积相等的圆锥体, 列式为:解法 (3) :两个圆锥体的体积相当于一个圆柱体的体积的号, 列式为:通过观察比较上述三种解法, 解题思路虽然各不相同, 但它们之间有着密切的联系, 解法 (1) 是通常的解法, 而解法 (2) 和 (3) 体现了学生比较丰富的想象力, 从这里可以看出:培养学生的发散思维, 对于促进学生智力的发展大有裨益。
四、抓住时机点拨, 培养思维的敏捷性
思维的敏捷性, 是指思维的反应速度, 这也是思维训练中十分重要的问题。正确的列式, 简捷的思路, 是思维训练的目的之一。要培养学生思维的敏捷性, 有三个重要因素:第一, 牢固的基础知识和扎实的基本功训练是基础:第二, 集中学生的注意力是保证;第三, 教师恰到好处的点拨, 是通向捷径的向导。在几何知识的教学中, 我充分注意了不失时机地点拨, 做到既不牵着学生鼻子走, 也不说高深莫测让学生无法琢磨的话。例如:求圆柱体体积部分, 有这样一道题:一个圆柱体零件, 有四个―样大的圆孔, 求它的体积。大部分学生用:大圆柱体体积-4个小圆柱体体积, 这时我点拨说:“这个图形的底面是个什么样的图形?”有的同学很快就想起来了: (圆柱底面积-4个小圆柱体底面积) ×高这时, 我又说:“这四个小孔的底面有什么特点呢?还有没有更简便的方法呢?”有的同学想起了π (R2-4r2) ×h的最简单方法。再如:在求扇形面积的教学中, 有一道题, 大部分学生解这道题时用大扇形面积减去小扇形面积, 这时, 我点拨说:“这道题除了大小两个扇形, 还近似于什么图形?”这时, 有的同学说:“像圆环, 但是有一个缺口。”我说:“对!同学们就沿着这条路, 寻找另一种解法。”结果, 有的同学想出了的简单算法。
几年来, 同学们在这样的训练中, 思维的灵活性素质有了很大的提高。
参考文献
几何中的思维方法 第2篇
（习题课）
（1）、三维目标
1．知识与能力：向量运算在几何计算中的应用．培养学生的空间想象能力和运算能力。
2．过程与方法：掌握利用向量运算解几何题的方法，并能解简单的立体几何问题． 3．情感目标
通过师生、生生的合作学习，增强学生团队协作能力的培养，增强主动与他人合作交流的意识.（2）教学重点：向量运算在解决空间角中的应用．（3）教学难点：向量运算在解决空间角中的应用．21 新课导入设计
一、复习引入
1、两条异面直线所成的角的定义及范围？
2、直线与平面所成角的定义及范围？
3、二面角定义及范围？
（和学生一起回忆定义，并且通过直线的方向向量及平面的法向量复习线线角，线面角及面面角的公式）
二、习题展示：教师给出正方体这个载体，由学生在正方体中构造空间角，展示自编题目，并由学生解答完成。
1、展示线线角习题：
（设计意图：使学生清楚如何将求两条异面直线所成角转化成求两个向量所成角，并且会用cos=|cos＜a,b＞|＝|ab|解决问题，但要注意异面直线所成角的范围与
ab两个向量所成角范围的不同）
2、展示线面角习题；（设计意图：使学生能将求线面角转化为求线线角，即求斜线与平面的法向量所成的角，进而转化为求两个向量所成角，这里关注学生在讲解过程中是否能讲清楚线面角的正弦即是线线角的余弦，即sincosAB,nABnABn）
小学数学教学中的几何思维训练 第3篇
关键词：数学教学；数学思维；几何思维训练；几何思维能力
中图分类号：G622 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2016）02-352-01
数学是锻炼思维的“体操”，数学教学是数学思维活动的教学。在小学数学课堂教学中，数学教学的几何思维训练，是根据学生的思维特点，结合教学内容在教学过程中实现的。教师要尊重学生在学习活动中的主体地位，注重创设民主和谐的教学气氛，这是开发学生思维活动的前提条件。同时，教师应注意点燃学生的思维火花，让学生积极参与思维活动，在获取和运用数学知识的过程中达到深化思维，发展思维的目的。通过教师的引导、点拨和示范，使学生逐步学会进行比较、概括、综合、判断和推理等。在小学数学教学中，要有效地组织好学生的几何思维活动，笔者认为应从以下几个方面着手：
一、熟悉知识基础，把握思维起点，激发求知欲望
任何数学新知识的教学，都是在学生原有的认知基础上进行的。因此，教师要从与新知识相关联的旧知识中，捕捉学生认知的固着点，把握新知识的连接点，提出富于思考性、启发性的问题，以激发学生探究新知识的兴趣。例如：教学“平行四边形和梯形”时，教师应以学生已掌握的“长方形和正方形”知识为新旧知识的连接点，启发学生思考，能否找出共同点和不同点，通过已掌握的旧知识来解决新问题。同时也可利用几者之间的关系加以梳理。并在教师引导下的归类展示，可以用表格、图示等等形式。当然，不同知识，不同学生的思维起点不尽相同，但不管起点如何，作为数学教学中的几何思维训练必须从思维的“发生点”上起步，以旧知识面为依托，并通过“迁移”、“转化”，使学生的思维流程清晰化、条理化、逻辑化。
二、合理创设情境，引导思维方法，学会科学思维
教学中创设问题情境教学时，教师要注意引导学生思维的方向，提出的问题要富于启发性、层次性。既要有利于激活学生的思维，又不能超越学生的认知水平，同时还应注意用词的准确，要注意让学生学会顺向、逆向和发散思维。例如：对圆柱体面积的计算教学，教师先让学生掌握常规思维的简单应用，然后再让他们掌握多向思维的面积计算。在几何问题教学中，从用一种方法解答到多种方法解答，都体现出几何思维训练的渐进性。学生就是在教师的引导下，逐步学会科学地思维，并逐步培养自己的思维能力的。如指导学生解答一道复杂的几何题。教师可以先引导学生运用“分析法”或“综合法”对题中的数量关系、已知条件进行分析，并加以逻辑推理，以确定解题思路。
三、讲解明确透彻，教给几何思维方法，培养思维能力
思维是指人们对感知材料进行加工。如何加工，则涉及正确、科学的思维方法。在数学教学中，教师要逐步教给学生观察、比较、分析、综合、抽象、概括等几何思维方法。例如，四年级上册对于线段记数类型题型，线段上有几个端点，要求学生数出有多少条线段，这类题看起来简单，但学生如果没有找到方法，没有一定的几何思维就很容易出错。我在教学时先让学生细心观察，找出规律，然后在总结方法得到几何公式：（首项+末项）×项数÷2或者项数+（项数—1）+（项数—2）…+1，教师通过逻辑性强的讲解，渗透数学的思维方法，或通过教具演示和学具操作，让学生学会观察、分析。教师还可以明确要求，让学生用某一方法去思考问题等。
四、重视练习设计，深化学生几何思维，学会主动学习
精心设计课堂练习，不仅能帮助学生掌握所学知识，形成解题的技能、技巧，而且是训练学生思维，发展智力，培养能力的关键环节。因此，教师设计课堂练习就具有针对性、层次性和创造性，并根据教学内容、教学要求和学生认知实际，采用“相同起点，不同终点，分层达标”的方法，对各类学生进行针对性的训练。在分层练习中，教师应挖掘教材练习中蕴含的智力因素，强化学生的求异思维，使他们在课堂上始终保持主动学习的精神状态，从而达到有效的几何思维训练的目的。
例如教学长方体体积计算的一堂几何思维训练课中，教师首先出示了一道这样的例子：长方体冰箱，底面积12平方厘米，水深35厘米，把箱中的水倒入另一个底面积为2400平方厘米的长方体水池，求此时水深多少厘米？教师在教学中帮助学生分析和掌握本题重要因素，水的体积不变，只是由于容器底面的大小变化造成了水面高度的变化。学生抓住本题的重要因素，解题就非常容易了。
五、强化题后反思，训练几何思维严密，提高数学精准性
现在教材的编写有一个显著的特点，就是越来越注重解题后的反思。而思维品质的一个重要特征是思维逻辑严谨、过程有条理、思维结果正确，即思维具有严密性。在教学中有计划、有目的地剖析“典型错题”，引导学生发现错误，找出错因，可以培养学生严格审视事物的习惯，做到思维过程严谨，结论准确无误，从而提高学生的几何思维的严密性，提高学生解题的准确性。
总之，我们教师要更新教育观念，在小学数学教学的意识上要重视学生的几何思维训练；在教学方法上要有利于学生创新思维能力的形成和发展，适应新的课程改革。做到有目的、有计划地对学生实施几何思维训练，才能提高数学教学质量，发展学生几何思维能力，为今后的学习打下坚实的基础，从而全面提高学生素质。
参考文献：
[1] 陈涛清.小学数学几何直观教学的优化策略[J].教学与管理，2015（05）.
几何中的思维方法 第4篇
一些代数问题, 用代数方法很麻烦, 甚至一时不知从何处下手, 若问题条件的数量关系有明显的几何意义或以某种方式将问题转化为几何图形实现, 借助几何图形的性质的研究, 从而获得问题的解决的方法称为构造图形法。代数问题几何化的关键在于引导学生观察、分析、类比、联想, 找出代数知识与几何知识的衔接点, 如两点间距离公式、平面图形的面积公式、三角形三边之间的关系, 余弦定理、对称性等等, 进而构造几何模型, 其作用在于能使复杂的代数问题简单化, 能为学生创设一种意境, 激发学生的学习情趣。
一、最值问题几何化
二、不等式证明几何化
例2.设x, y, zϵ (0, 1) 。求证:x (1-y) +y (1-z) +z (1-x) <1
分析:此题属于代数不等式的证明, 直接由条件向结论迁移, 难以实现解题目标。但是如果把六个正数x, 1-y, y, 1-z, z, 1-x依次划分为两数之积之和的形式, 就给我们以线段之积之和的形象。因而, 可构造一个边长为1的正三角形ABC, 并分别在边BC, CA, AB上截取 (如图) BC=x, CE=z, AF=y。于是问题可转化为研究特殊三角形的性质。即
整理即得命题成立。
三、代数问题坐标化
四、公式推导中的几何化例5.推导公式分析, 类似公式的推导, 我们常用数学归纳法及其他代数方法, 但往往较麻烦, 如果根据等式右端各项的特点, 与正方形面积联系在一起, 不难构造出一个立体图形。
证明:设自下而上分别把n2, (n-1) 2, …32, 22, 12个单位正方体摆成n层, 如图, 构成立方体垛, 这垛的外接棱锥
五、排列组合问题几何化
例6.从6对老搭档运动员中选派5名出国参赛, 要求被选的运动员中任意两名都不是老搭档, 求至少有多少种不同的选派方法。
解:构造一六棱柱 (如图) , 用6种不同颜色给六棱柱的12个顶点染色, 使得同一侧棱的两端点同色, 用来表示一对老搭档运动员, 于是这6对着色棱就代表6对运动员, 根据题意只需求出12个着色点中任取5个不同色的点的不同取法即可, 这可分两步完成。
第一步:从这6种颜色中任取5种的取法, 共有C
第二步:如图中的6种染色中同色的各有2个, 故第一步中的每一种取法均有 (C
即选派5名运动员共有192种不同的选法。
在数学解题活动中, 有时用“若A则B, 若B则C, 因而若A则C”之类的推理不能奏效, 这时更多地需要观察、联想、感觉、创造。数与形是数学研究的两个重要侧面, 它们之间相互渗透, 相互转化, 形中有数, 数中有形, 数形结合, 代数问题几何化使问题思路清晰, 简洁明了, 一点即通。著名数学家、教育家波利亚说:“非常规的数学问题的求解也是真正的创造性工作”, 此言简要点出数学中创造性思维的含义及培养创造性思维某个方面的要求, 作为教师应要求学生在学习过程中灵活机动, 善于从新的角度, 多方位多层次地思考学习中的问题, 以培养学生的创新思维能力。
摘要：用几何图形解决代数问题是根据题设的条件和结论的内在联系, 利用数形结合的原则, 构造一个中介性的几何图形, 将代数问题与几何图形有机地结合在一起将代数问题几何化, 再利用几何图形的有关性质来解决, 使问题简单、直观。长期对中学生进行这方面的训练, 有助于学生的发散思维、创新能力的能力的培养, 有利于学生的数学素质的提高。
几何中的思维方法 第5篇
——证明平行与垂直
编者：刘智娟审核：陈彩余 班级_________
学号_________
姓名_________第一部分 预习案
一、学习目标
1.理解直线的方向向量与平面的法向量；能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直和平行关系
2.了解向量方法在研究立体几何问题中的应用
二、知识回顾
1．直线的方向向量与平面的法向量
(1)直线l上的向量e(e≠0)以及与e共线的向量叫做直线l的方向向量．
(2)如果表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于平面α，那么称向量n垂直于平面α，记作n⊥α.此时，我们把向量n叫做平面α的法向量．
2．用向量证明空间中的平行关系
(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2(或l1与l2重合)⇔ v1∥v
2(2)设直线l的方向向量为v，与平面α共面的两个不共线向量v1和v2，则l∥α或l⊂α⇔存在两个实数x，y，使＝xv1＋yv2
(3)设直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则l∥α或l⊂α⇔⊥.(4)设平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥β⇔u1 ∥u2.3．用向量证明空间中的垂直关系
v2＝0.(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔v1·
(2)设直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则l⊥α⇔∥
u2＝0.(3)设平面α和β的法向量分别为u1和u2，则α⊥β⇔u1⊥u2⇔u1·
三、基础训练
1．两条不重合直线l1和l2的方向向量分别为v1＝(1,0，－1)，v2＝(－2，0,2)，则l1与l2的位置关系是__________
→→→→→2．已知AB＝(1,5，－2)，BC＝(3,1，z)，若AB⊥BC，BP＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x，y，z分别为______________．
b＝(2,0,4)，c＝(－4，3．已知＝(－2，－3,1)，－6,2)，则下列结论正确的序号是________． ①∥c，b∥c;②∥b，⊥c； ③∥，⊥;④以上都不对．
→→4．已知AB＝(2,2,1)，AC＝(4,5,3)，则平面ABC的单位法向量为____________．
5．若平面α、β的法向量分别为v1＝(2，－3,5)，v2＝(－3,1，－4)，则α、β的位置关系为____________．
第二部分探究案
探究一 利用空间向量证明平行问题
问题
1、如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E、F、G分别是线段PA、PD、CD的中点．
求证：PB∥平面EFG.探究二利用空间向量证明垂直问题
问题
2、如图所示，正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．
求证：AB1⊥平面A1BD.探究三 利用空间向量解决探索性问题
问题
3、如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点．
(1)求证：B1E⊥AD1；
(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由．
问题
4、如图所示，四棱锥S—ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P为侧棱SD上的点．(1)求证：AC⊥SD.(2)若SD⊥平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SE∶EC的值；若不存在，试说明理由．
我的收获
浅谈初中数学中的几何教学方法 第6篇
【关键词】初中数学 几何 教学方法
对于初中学生来说，数学几何是其在初中数学学习阶段中碰到的新的学习内容，初中学生无法在短时间内建立起对几何数学的正确认识，找到适合自己的学习方法。他们需要初中数学教师来帮助自己进行几何数学的学习，提高他们的几何数学学习能力。在这种情况下，展开对初中数学几何教学方式的分析和探讨，对于初中学生来说都具有重要的现实意义。
一、初中学生几何学习不好的成因
1、学生生活缺乏几何经验
虽然日常的初中数学考试都是一些偏于计算的题目，让数学知识显得枯燥而无味，但是数学本身是一门和生活发生着紧密联系的学科门类。许多有关数学的知识在生活中的很多方面都可以进行实际的运用。生活是最好的老师，初中学生一方面可以通过生活实践来检验几何知识的正确与否，另一方面也可以通过在生活中积累的几何经验，来帮助自己提高对几何数学的学习。当时当下的大多数的初中学生生活实践缺乏，他们的生活重点就是学习，其他的一些事物都由父母一手包办。所以初中学生能够从生活方面获得的几何数学的经验是微乎其微。
2、对几何的关注程度不够
初中几何数学是一个需要学生发挥图形想象力，具备敏锐观察力的学科。学生需要在对不同图形的观察中，识别不同图形的特点，构建出图形中各个元素如点线面等的关系。初中几何数学考察的是学生对图形空间的想象能力，需要学生具备较高的思维灵活度。但是当前大部分的初中学生，对几何数学的重视成不够，也疏于去构建自己对图形空间的感知能力。随着社会生活的快节奏运转，初中学生较难静下心来去对某一图形进行细致的观察和研究，同时因为高新科技的发展，各种计算软件和绘图软件的出现，初中学生手动画图的机会也越来越少，这也在一定程度上制约了初中学生几何数学学习能力的发展。
二、提高初中数学几何教学的方法
1、激发学生学习兴趣
因为初中学生在生活中能够进行几何数学实践的机会教学，所以初中数学几何教学的教师就需要以课堂教学为重点，来引导学生进入几何数学的学习，激发学生对几何数学的学习兴趣，以兴趣为导向，来开发学生的几何思维能力，帮助学生更好的进行几何数学的学习。首先，利用几何图形的图形美吸引学习的课程注意力。在初中数学几何教学课堂中，数学教师可以准备许多形状各异、颜色各异的小纸板，颜色各异的气球、还有可以画出不同颜色线条的彩铅等来帮助学生建立对各个几何图形的认识。其次，要鼓励和帮助学生积极的进行对几何图形的探索，在课程中安排学生进行几何图形的绘制任务，让学生通过实际的动手画图，来加深对几何图形的理解，同时提高自己学好几何数学的信心。
2、使用新型教学设备
传统的数学课堂就是依靠数学教师的一根粉笔和一张嘴，来完成对数学几何教学内容的疏导。这样的教学方式不利于调动学生的学习积极性，弱化了学生在几何数学课程学习中的主人翁地位。同时过于书面化的教学表达方式，也会限制住数学教师对几何教学内容的扩展思路，让初中学生对于几何数学的想象空间变得局限，这都不利于初中几何数学的进一步发展。当前互联网信息技术不断的普及发展，初中几何数学的教学方式，也可以依靠新的技术设备，实现新的发展和转变。首先，数学教师可以通过多媒体设备，进行教学课件的播放和展示，让几何图形能够更加直观的被学生所了解。其次，数学教师还可以利用 “微课”延伸自己的教学内容。通过把几何数学课程的重难点制作成一个图文音像兼具的“微课”，让学生课堂内外的几何学习实现有效互通，帮助学生提高对几何数学的学习能力。
3、注重课后作业设计
几何数学虽然是一门对学生的理解能力有较高要求的课程，但是对于初中学生来说，学习几何知识是一方面，另一方面还需要提高几何数学的考试成绩。所以初中数学老师在对学生进行几何课程教学的过程中，除了要提高学生的学习兴趣和学习能力以外，还需要加强学习对几何题目的解析能力。所以在每一个课程内容结束的最后，可以给学生布置相应的课程作业，来加深学生对课程内容的理解，提高学习对几何数学的运算能力。初中数学教师在进行几何数学课后作业的设计时，要注重几何数学运算题目的质量，要以课程的重难点为主要的考核内容，同时还要把握住课后作业的数量，数量不宜过多，一般控制在十道以内。
结语
初中学生受年龄的限制，他们的学习能力和思维方法还处在一个不断发展变化的过程中。因此在初中学生的几何数学学习上，还需要相关的教学工作者，付出更多的心血和努力。初中数学教师要积极的尝试新的教学方法，提高学生的学习兴趣和学习能力，同时还要善于使用新的教学设备，来帮助学生加深对几何数学的理解。为初中学生未来的数学学习生涯打下良好的基础。
【参考文献】
[1]秦秀華.初中几何教学中存在的问题及解决对策[J].成才之路.2015（06）
[2]杨丽萍.多媒体在几何教学中的应用[J].吉林教育.2015（28）
谈高中立体几何教学中的思维训练 第7篇
一、抓直观教学, 培养思维的广阔性
例如:在讲异面直线概念时, 用正方体ABCD-A′B′C′D′的实物教具, 设置了下列四个问题: (1) 直线AA′与CD是什么位置关系?与直线AA′有这种关系的直线还有哪些? (2) 直线A′D有这种关系的直线还有哪些? (3) 直线AC与A′D是什么位置关系?与直线AC有这种关系的直线还有哪些? (4) 直线AC与BD′是什么位置关系?与BD′有这种关系的直线还能作出哪些?
发动学生自备正方体纸盒, 动手画这些直线, 通过以上实物观察思考, 再给出异面直线的定义, 然后提问A′D与B′C, A′D与B′D之间是共面或不共面问题.通过以上各个方位、各个不同角度的观察、分析、思考, 学生对在空间如何判定两条直线是异面直线就比较准确了.
其他如三垂线定理、二面角概念、直线与平面平行、垂直关系以及平面与平面平行、垂直的概念、定理, 也可通过直观教具的演示.有时可以利用教室门窗、课桌、书本、铅笔、硬纸板等实物, 拼凑成简单的各种立体模型, 让学生面对实物, 从各个方位、各个角度来观察、思考.全面地观察问题, 寻求问题的正确答案, 这样可以有效地纠正思维上的片面性和狭隘性, 有利于培养学生思维的广阔性.
二、加强画图训练, 培养思维的深刻性
教学实践证明, 学生只有学会了画图, 才能识图.要把一个空间物体准确地画在平面内, 就要求学生掌握各种最基本图形的位置画法, 凡是学习不肯钻研, 满足于一知半解, 观察事物只停留在表面现象, 缺乏思维深刻品质的学生, 是不可能很好地完成这一学习任务的.一个好的直观图, 要求线面位置正确, 图形美观清晰, 为了加强学生这一训练, 可分三步走:
1.在第一章第一单元教学中, 要让学生明白, 被遮挡的线条在画图时要用虚线或不画, 这样图形才有立体感.
2.第二单元以后, 抓点、线、面各种基本图形的画法, 如水平放置的平面图形、二线异面、三线异面、两个平面相交或平行、三个平面相交或平行等各种位置关系图, 这一阶段作图, 可让学生以模型演示为依据, 看物作图, 进一步熟悉立体图形与直观图形间的关系, 从而培养学生思维的深刻性.
3.在学生掌握了画图的基本技能后, 要让学生抛开实物教具, 根据题设的条件去分析、想象, 进而推理画图练习.例如要求学生作符合α∩β=c, a∈α, 且a//c, b∩a=A, b∩β=B的图形, 引导学生分析题中几个平面、几条直线、线与线、线与面、面与面之间的位置关系, 掌握先画大件, 后画小件的原则, 分步完成整个图形, 这种由简到繁的逐步训练, 既提高了画图能力, 又使学生深刻思维品质得到训练.
三、变换图形的位置, 培养思维的灵活性
学生在识图和分析问题时, 往往缺乏动的观点, 这是由于灌输式和注入式教学所致的, 学生思维的呆板和功能僵化的结果.引导学生变换图形的位置, 往往可找到解题的捷径, 这对学生克服思维的定式, 培养思维灵活性, 是有一定帮助的.
例如:两条直线同垂直于第三条直线, 这两条直线是否平行?
这只要转动或移动其中一条直线 (可用三根铅笔作演示) 就容易得出正确结论.又如在求三棱锥体积部分, 有些题目往往把侧面看成底面来求体积, 这比直接求就容易多了.
四、归纳整理, 培养思维的概括性
教学过程中, 要善于引导学生使用逻辑思维或形象思维整理知识, 揭示认识规律, 注意培养学生思维的概括能力.
例如:在讲棱柱一节教材时, 有关棱柱、直棱柱、平行六面体、长方体、正方体等概念, 若没有加以比较分析, 学生很难掌握它们之间的异同点, 可抓住直平行六面体、长方体、正四棱柱、正方体等四个概念进行分析、概括, 它们都是平行六面体, 不同的是:直平行六面体a⊥b, a⊥c, 长方体a⊥b⊥c, 正四棱柱a⊥b⊥c且b=c, 正方体a⊥b⊥c且a=b=c, 它们的从属关系是:直平行六面体→长方体→正四棱柱→正方体.
五、通过对比、联想, 培养思维的创造性
创造性思维是一种不依常规, 寻求变异, 既要分析, 又要综合, 既要发散, 又要集中, 从各个方面、不同角度去思考问题的.在立体几何中, 通过对比、联想可启发学生的思维向纵深发展, 培养了思维的创造性.
例如:讲球的体积公式时, 我们取一个底面半径和高都等于R的圆柱, 从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面, 下底面心为顶点的圆锥时, 可引导学生观察发现V圆柱>V半球>V圆锥, 即undefined, 进一步猜想undefined, 再引导学生用实验方法 (用沙子量) 得出undefined, 然后按课本再证明, 这样, 引导学生观察猜想, 实验后再作证明, 由表及里, 不断探索, 有利于培养学生创造性的思维能力.
总之, 要培养学生的思维品质, 发展空间想象能力, 不是一朝一夕能办到的, 要持之以恒, 从各个方面去努力, 总会有收获的.
摘要：高中立体几何教学中空间思维的建立历来是教学的难点, 本文结合教学实际就培养学生空间思维的广阔性、深刻性、灵活性、概括性和创造性等方面进行一些有益的探索.
几何中的思维方法 第8篇
关键词：范希尔几何思维水平,学生几何思维水平,评估教材
几何能培养空逻辑思维能力、间想象能力, 它在思维的培养中起着重要作用。几何的学习包括几何概念、几何判断、几何推理的学习, 由于几何的特点较多, 使得几何学习起来非常困难, 如:几何推理有几何推理往往借助于直观、几何推理具有明显的层次性、几何推理方式的多样性三方面特点。教学影响学生的几何思维水平, 如何有效提高学生的几何能力是教师一直努力解决的问题。范希尔夫妇在教学中发现教材中呈现的问题或作业需要的语言通常超出了学生的思维水平, 他们于1957年提出了几何思维五水平, 之后相继提出了与之的五个教学阶段, 称为范希尔理论。
一、范希尔几何思维水平
范希尔几何思维水平由低到高分为视觉、分析、非形式化演绎、形式化演绎、严密性5个水平, 后来弗斯、克莱门慈等人研究发现还有比视觉层次更低的层次存在, 克莱门慈将其称为前认知水平。范希尔夫妇总结归纳出几何思维水平的特点具有次序性、进阶性、语言性、内隐性及外显性、语言性、不适配性, 在运用时要考虑这些特性对学生几何思维的影响。20世纪80年代, 范希尔将几何思维五水平合并为直观水平、描述水平、理论水平。
二、范希尔几何思维水平在教育教学中的应用
(一) 评估学生的几何思维水平
评定学生的几何思维水平可根据范希尔几何思维水平编制测试题, 按照学生对问题回答的情况评判他的几何思维水平等级, 还可考察到学生的思维过程, 从而调整教学计划。美国Usiskin于1982年编制的《Van Hiele几何思维测试题》, 每个思维层次包括5个试题, 如果学生答对该水平试题数的3/5或4/5, 则学生达到该几何思维水平, 如果达到某一水平但未达到前一水平, 这这一水平不予认可。他编制的测试题、评定是否达到某一思维水平的方法被研究者广泛参考。Usiskin通过调查得出, 3%的初中生可以达到非形式化演绎之上;范希尔几何思维水平与几何测验的分数相关性显著;一些学生的解答在两水平之间, 难以认定为某一水平;学完初中几何课程以后, 40%的学生未达到非形式化演绎水平;范希尔几何思维层次存在性别差异现象。
为掌握学生的几何思维水平及过程, 考察我国学生有没有类似于Usiskin的研究结论, 我国学者进行了范希尔几何思维水平的应用研究。他们编制试题测量学生的几何思维水平现状, 并分析解答过程来改进几何教学, 还比较了不同的地区、民族、性别间学生的几何思维水平差异, 这些研究促进了我国几何思维的发展。
葛询自编了每水平包含三个小问题的Kasner正方形的测试题, 测试中小学各年级学生的几何思维层次, 验证了范希尔思维水平运用于某些具体数学问题的可行性, 但此研究的试题面太窄, 仅测出了学生对Kasner正方形的几何思维层次, 测试结果能否反应学生的几何思维层次需要进一步研究。教学前了解学生的能力现状是十分必要的, 王娟为了解七年级学生学习《相交线与平行线》前, 学生的平行线的认知结构及推理认知情况, 便于进行平行线的单元教学设计。她分析了教材内容的几何思维水平, 小学阶段学生了解了平行线的定义和简单性质, 认知水平集中在视觉、分析层次;初中在小学的基础上探索平行线的性质和判别, 认知水平将提高到非形式演绎。她自编测试题考察学生平行线概念的认知、平行线的推理水平, 对学生的回答情况进行了归类, 统计了学生的推理水平并提出教学策略。王远帆根据Usiskin的《Van Hiele几何思维水平测试题》编制了《圆》的几何思维水平测试题并分析两套题目的相关性。他运用《圆》的测试题测试学生的范希尔几何思维水平, 得出中考成绩、一模考试和Van Hiele水平之间显著相关的结论, 说明Van Hiele几何思维水平愈高学业成绩越好。袁林研究了3-6岁幼儿平面几何图形辨认能力和组合能力, 发现幼儿的平面几何图形辨认能力主要处在视觉水平, 一些幼儿处在前视觉水平和融合水平, 思维从视觉到分析;几何图形组合能力处在零散组合阶段和图像阶段, 部分幼儿处在前组合阶段和形状组合阶段, 思维从具体到抽象;两种能力存在明显的年龄差异、民族差异, 但城乡差异和性别差异不明显, 两种能力存在一定的正相关。
金美月、冯雪娇比较了汉、蒙古、朝鲜族初中生几何认知水平, 发现汉蒙和汉朝学生的直观水平都存在显著的民族差异, 朝蒙学生直观水平不存在显著的民族差异;蒙汉和蒙朝学生的描述水平、理论水平民族差异都显著, 汉朝学生间这两水平民族差异不显著。三个民族男女生都只达到直观水平, 随着认知水平的升高, 女生优于男生, 并分别比较分析了三个民族的男女生在每一几何认知水平的表现;三个民族学生的几何认知水平均影响数学成就。戴天羽根据范希尔三水平编制了高中生立体几何认知水平测试题, 比较在辽宁地区生活环境相同的蒙、汉族学生的差异。在没有系统学习立体几何前, 两民族学生的几何认知水平只达直观水平;学习立体知识后, 汉族学生的描述水平比蒙古族学生好, 蒙古族学生的理论水平比汉族学生好;能力不同的学生的几何认知水平有差异现象, 处于同一生活环境的两民族学生的立体几何认知水平的差异不明显。
这些研究验证了运用具体几何问题考察学生的几何思维水平的可行性, 也说明了部分学生的几何思维水平处于过渡期, 学生的数学学习成绩与几何思维水平正相关, 同一生活环境的不同民族学生的几何思维水平差异不明显, 几何思维水平存在性别差异的现象。
(二) 评估教材内容的几何思维水平
范希尔几何思维水平用于评估教材几何内容的几何思维水平, 可以帮助教师了解教材中几何内容的几何思维水平整体分布情况, 从整体把握几何内容的系统安排。教材编制者及教师可根据几何思维水平的分布情况对教学内容进行调整、改进。在几何内容的教学中, 教师尤其要处理好学生的几何思维水平层次间的过渡。
庞雪兰等从“长方体的认识”看小学数学几何教材的编排, 发现以长方体为代表的立体几何知识少且分散, 相关知识间的系统性不强, 没有充分体现长方体在发展学生的空间观念等几何思维能力的作用。王远帆分析了《圆》的教材和配套练习的思维水平, 课本的内容都以分析、非形式化演绎为主, 而配套的练习也是集中在这两个水平, 偶尔出现形式化演绎水平。任芬芳]比较2011、2001版初中数学课程标准和人教版中“图形与几何”内容的认知水平, 两版本课程标准及教材相比, 知识点水平基本一致;2011版比2001版课程标准的形式化演绎的内容略有所增加;两版本版课程标准及人教版教材中每个水平的知识点分布基本一致;人教版教材中非形式化演绎和形式化演绎的知识点大部分集中在八年级。崔冉分析了上教版和人教版的知识的几何思维水平分布情况, 两教材几何设计均符合范希尔几何思维水平, 两版本教材内容的设置基本相同, 但上教版更具范希尔几何思维水平系统性。
“相似形”是初中几何的代表性内容, 几位研究者选择了此内容分析它呈现的几何思维水平情况, 并比较了不同版本内容安排优势与不足。王娟玲选取初中《相似形》比较华教版和苏教版教材呈现知识活动的几何思维水平, 苏教版更注重逻辑推理, 它呈现的数学活动集中在较高的几何思维水平, 而华师版更注重用观察、实验、动手操作等方式启发诱导学生学习几何知识, 数学活动呈现的思维水平分配不均。陈迪春比较了人教版和北师大版“相似形”, 他将两版本教材中每个学习活动作为一个条目归入每一水平统计分析。两教材都很注重从直观引入新概念, 这有利于培养学生的几何直观与直觉, 且符合思维的发展过程, 但两教材对具体问题的处理差距较为明显。北师大教材动手能力要求更高, 而人教版逻辑思维能力更严;人教版的问题比较零散, 不具有情境性;两个教材的课程改革整体上符合心理学的研究成果, 与国际几何课程改革与发展方向相同, 但大大降低了对几何思维水平的要求, 原因是促进学生由低向高的几何思维水平发展的策略效用不够。唐恒钧、张维忠比较我国新教材《数学·中二年级 (八年级) (下) 》与美国《发现几何》的“相似形”一章内容, 两国都注重从直观几何入手, 但美国的内容更广、更深, 系统的问题情境使得学生的几何学习总处于由问题组成的情境脉络之中。我国教材注重运用正、反例的辨析来在巩固中求发展, 也有努力通过问题来提高学生思维水平, 但缺乏相应的情境。
李勇比较了人教版与北师大版初中“空间与图形”各个阶段的范希尔思维水平, 发现人教版对逻辑推理能力的要求高于北师大版且花课时更多, 人教版以知识点为单位来设计几何思维水平的发展, 内容比较连贯, 很自然地引出形式化演绎推理。而北师大版对前面几个思维水平的设计与人教版类似, 但从非形式化演绎到形式化演绎的过渡上, 北师大版从整体上设计几何思维水平的发展更多。两个版本教材对前几节的内容安排基本一致, 但在之后的内容中, 人教版通过严格的形式证明作为分析与非形式化演绎的过渡, 而北师大版教材引入了非形式的演绎推理作为视觉与分析水平的过渡, 过渡的方式不一样。
(三) 评价与反思
测量学生几何思维水平方面, 研究者都是运用自编试题对学生进行测试且相关研究范围不广。使用者可能会存在理论理解不透、测试题迁移不当等现象, 影响测量结果的有效性。评估教材方面, 研究者评价了教材内容的几何思维水平, 比较了不同版本教材几何思维处理的优势, 给予教材编制者、一线教师吸收其它版本教材的编排优势之处, 具有很强的参考价值, 但研究不够系统。应大力在中小学教师中推广教师对范希尔理论、solo分类理论等评价方法的学习与运用, 更深入细致地剖析各水平的划分标准, 使一线教师使用其评估学生、教材起来都得心应手, 使得教师教学中结合几何思维水平特性, 提高教学效率。
参考文献
[1]周超.几何推理的若干特点[J].中学数学杂志, 2008, (4) :18-20.
[2]鲍建生, 周超.数学学习的心理基础与过程[M].上海教育出版社, 2009, 10:4-20.
[3]王娟.七年级学生平行线概念的认知结构研究数学教育研究[J].数学教学研究, 2009, 28 (7) :57-60.
[4][12]王远帆.基于范希尔理论的初中几何有效教学研究[D].广州大学, 2012, 5:14-63.
[5]袁林.幼儿平面几何辨认能力和组合能力的研究——以湘西土家族威力[D].东北师范大学, 2012, 5:41.
[6]金美月, 冯雪娇.汉、蒙古、朝鲜族初中生几何认知水平的比较研究[J].民族教育研究, 2011, 22 (6) :27-28.
[7]戴天羽.高中生立体几何认知水平的比较研究[D].辽宁师范大学, 2012, 3:22
[8]崔冉.以范希尔理论问框架的中学数学几何教材的研究[D].上海师范大学, 2011, 4:32-38.
几何中的思维方法 第9篇
一、证明几何量之间的关系
在几何命题中, 有些问题的已知条件和结论之间视乎无法联系, 仅从现有条件出发, 正面很难确定是这些几何量之间的明确关系, 这时, 我们可以尝试一下反证法的妙用, 也正是反证法的魅力所在.
【例1】 已知:四边形ABCD中, E、F分别是AD、BC的中点,
求证:AB//CD.
证明:假设AB不平行于CD.
如图1, 连结AC, 取AC的中点G, 连结EG、FG.
∵E、F、G分别是AD、BC、AC的中点,
∵AB不平行于CD,
∴GE和GF不共线, GE、GF、EF组成一个三角形.
∴GE+GF>EF. ①
但
∴①与②矛盾.
∴AB//CD.
【例2】 直线PO与平面α相交于O, 过点O在平面α内引直线OA、OB、OC, ∠POA=∠POB=∠POC.
求证:PO⊥α.
证明:假设PO不垂直平面α.
作PH⊥α并与平面α相交于H, 此时H、O不重合, 连结OH.
由P作PE⊥OA于E, PF⊥OB于F,
根据三垂线定理可知, HE⊥OA, HF⊥OB.
∴∠POA=∠POB, PO是公共边,
∴Rt△POE≌Rt△POF.
∴OE=OF.
又OH=OH,
∴Rt△OFH≌Rt△OEH.
∴∠FOH=∠EOH.
因此, OH是∠AOB的平分线.
同理可证, OH是∠AOC的平分线.
但是, OB和OC是两条不重合的直线, OH不可能同时是∠AOB和∠AOC的平分线, 故矛盾.
∴PO⊥α.
二、证明“唯一性”问题
如果问题的结论单一, 直接证明往往相当困难, 这时可以尝试反证法.
【例3】 过平面α上的点A的直线a⊥α, 求证:a是唯一的.
证明:假设a不是唯一的, 则过A至少还有一条直线b, 且b⊥α.
∵a、b是相交直线,
∴a、b可以确定一个平面β.
设α和β相交于过点A的直线c.
∵a⊥α, b⊥α,
∴a⊥c, b⊥c.
这样在平面β内, 过点A就有两条直线垂直于c, 这与定理产生矛盾.
所以, a是唯一的.
【例4】 试证明:在平面上所有通过点
证明:先证存在性.
因为直线y=0, 显然通过点
再证唯一性.
假设除了直线y=0外还存在一条直线y=kx+b (k≠0或b≠0) 通过点
因为直线y=kx+b通过点
①-②, 得y1-y2=k (x1-x2) .③
因为A、B是两个不同的点, 且k≠0, 所以x1≠x2, y1≠y2,
由③, 得
由①, 得
所以, 平面上通过点
综上所述, 满足上述条件的直线有一条且只有一条.
关于唯一性的问题, 在几何中有, 在代数、三角等内容中也有.这类题目用直接证法证明相当困难, 因此一般情况下都采用间接证法, 即反证法.
三、证明不可能问题
几何中有一类问题, 要证明某个图形不可能有某种性质或证明具有某种性质的图形不存在时, 它们的结论命题都是以否定形式出现的, 这时若用直接证法证明有一定的困难.而它的否定命题则是某个图形具有某种性质或具有某种性质的图形存在, 这类问题则非常适宜用反证法.
【例5】 求证:抛物线没有渐近线.
证明:设抛物线的方程是y2=2px (p≠0) .
假设抛物有渐近线, 渐近线的方程是y=ax+b, 易知a、b都不为0.因为渐近线与抛物线相切于无穷远点, 于是方程组
的两组解的倒数都是0.
将②代①, 得
a2x2+2 (ab-p) x+b2=0.③
设x1、x2是③的两个根, 由韦达定理, 可知
由④、⑤可推得p=0,
这与假设p≠0矛盾.
所以, 抛物线没有渐近线.
关于不可能问题是几何中最常见也是非常重要的一种类型.由于它的结论是以否定形式出现, 采用直接证法有困难, 所以这类问题一般都使用反证法加以证明.
四、证明“至少存在”或“不多于”问题
在几何中存在一类很特殊的问题, 就是证明具有某种性质的图形至少有一个或不多于几个.由于这类问题能找到直接论证的理论根据很少, 用直接证法有一定困难.如果采用反证法, 添加了否定结论这个新的假设, 就可以推出更多的结论, 使问题迎刃而解.
【例6】 已知:四边形ABCD中, 对角线AC=BD=1.
求证:四边形中至少有一条边不小于
证明:假设四边形的边都小于
根据余弦定理, 得
BD2=AD2+AB2-2AD·AB·cosA,
∴BD2≤AD2+AB2,
即
这与已知四边形BD=1矛盾.所以, 四边形中至少有一条边不小于
平面几何中的向量方法 第10篇
( 1) 建立平面几何与向量的联系, 用向量表示问题中涉及的几何元素, 将几何问题转化为向量问题;
( 2) 通过向量运算, 研究几何元素之间的关系, 如距离、夹角等问题;
( 3) 把向量运算结果翻译成几何关系
简述: 形到向量→向量的运算→向量和数到形
解决平面几何问题时可以从向量的两种运算: 基底运算和坐标运算入手, 把平面几何问题用代数计算解决, 降低几何构造中的难度. 下面是用“向量法”解决平面几何问题举例
例已知P为正方形ABCD的对角线AC上的任意一点, PE⊥AB于点E, PF⊥BC于点F, 连接DP, EF. 求证:DP⊥EF.
解法二如图建立平面直角坐标系,
则A ( 0, 0) , B ( 1, 0) , D ( 0, 1) ,
若设P ( a, a) ( 0 < a < 1) , 则E ( a, 0) , F ( 1, a) .
例已知等腰三角形ABC中, D, E分别是两腰AB, AC的中点, 若CD⊥BE, 问: ∠A是否为定值, 并证明你的结论.
解法二如图建立平面直角坐标系,
可设A (0, b) , B (-a, 0) , C (a, 0) ,
∵D, E为AB, AC的中点, 则
∴ ∠A是定值.
激活几何教学 启迪学生思维 第11篇
有人曾说：“在学校获得知识的真正目的是，当需要的时候，寻求怎样获得知识而不是知识本身。”课堂教学中，学生不只是接受知识，而是在获取必要的知识和经验的同时培养各种获取知识的方法和能力。提高课堂教学的质量和效率，让学生成为课堂的主人，这是当前数学课教学的一个重要课题。那么，如何让我们的几何课堂趣味横生，学生学的其乐融融呢？
首先，充分备课是上好课的前提。教师应该充分了解学生的认知水平、能力水平，以保证起点选得准确，跨度适当。一般地，教师要选择大部分学生“跳一跳够得到”的最近发展区进行发问，使大部分学生能达到较好的训练。先从学习的兴趣入手，联系生活中的实例，让学生运用观察、分析、归纳等方法探究图形的性质，让学生体验到数学就在自己身边，学习数学并不枯燥，从而培养和提高学生学习数学的兴趣。另外，教师要利用现代化教育技术对教学内容进行精心设计，通过形象、直观的感受，让学生经历观察、思考、探索交流、欣赏整个教学活动过程，以最大的热情投入几何课堂之中。
其次，抓住主要的数学解题思想，为数学思维提供动力。在几何教学中，教师要不断地向学生提出新的形式多样的数学问题，问题的难易、跨度要适中，有一定的坡度，一般遵循低起点、多层次、小步子。另外，这些问题要有明确的目的，使学生的思维趋向于某一确定的方向，突出当堂课的重点。通过教师的层层引导，学生的思维不断发散和转化，使得学生充分参与课堂讨论和对几何问题的解决，调动学生学习的积极性，那么课堂也就成为了思维活跃的海洋。
最后，引导学生自主学习，成为学习的主人。学生在学习过程中始终处于主体地位，教师主要担任活动的指导者。新课标指出，“要让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程”。这一理念不仅与创新意识和实践能力的培养紧密相连，而且使学生的探索经历和得出新发现的体验成为数学学习的重要途径。所以教师在教学过程中要加强对学生能力的培养。语言是思维的工具。教师要重视对学生说理的培养，关注说理的条理性和逻辑性，对学生的口头表达及书面表达进行仔细的评价和聆听，及时纠正，培养学生说理能力和思维能力的严密性。同时，引导学生对做过的习题进行归纳总结，不断反思，从中寻找规律，总结方法，形成有效的思维模式，以提高解题效率。
几何是一门逻辑性比较严谨的学科，因此学生也必须以一个严谨的治学态度去对待它，一定要养成独立思考和解题的习惯。学生思维能力的培养并不是完全没有规律可寻的，培养学生逻辑思维能力要有一个较长的过程，欲速则不达。不过我相信，只要老师勤于思考、善于引导，学生的思考之门就会以打开，思维能力必然能够提高。
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