直线与圆的位置关系

直线与圆的位置关系（精选12篇）

直线与圆的位置关系 第1篇

直线与圆有三种位置关系:相交, 相切, 相离.设圆的半径为r, 圆心到直线的距离为d, 则直线与圆的位置关系如下表:

位置关系 相交 相切 相离

几何特性 dr

代数特性 两组不同实数解 一组实数解 无实数解

重点难点透视

判断直线与圆的位置关系有几何法和代数法.几何法就是利用直线到圆心的距离d和r比较;代数法是有直线方程和圆的方程组成方程组, 通过判别式法来确定直线和圆的位置关系, 从运算的合理性和简便性考虑前一种方法较好.

典型例题精析

例1.如果直线将圆平分, 且不通过第四象限, 那么的斜率的取值范围是 ()

解:由直线将圆平分知直线过已知圆圆心, 已知圆圆心为 (1, 2) , 半径为姨且圆过原点, 易知0≤k≤2, 故选A

点评:本题考查直线与圆的位置关系, 圆的一般方程, 以及直线的斜率的变化范围, 用数形结合思想看满足题意的直线容易解答, 否则则成为一难解之题.

例2.直线截圆x2+y2=4所得劣弧所对的圆心角为 ()

解:设直线与圆交于A, B, 则圆心 (0, 0) 到弦AB距离即弦心距, 又R=2, ∴θ=π/3, 故选C

点评:本题考查直线与圆截得弦长问题, 注意弦长用平面几何法 (勾股定理) 去求, 用弦长求得圆心角的思想.

例3.已知直线y=ax+b (a≠0) 与圆x2+y2=1.

⑴a, b满足什么条件, 直线与圆有两个公共点?

⑵设这两个公共点为M、N, 且OM, ON与X轴所成的角为α, β,

求证:cos (α+β) = (a2-1) / (a2+1)

解:⑴当且仅当圆心到已知直线的距离d满足d2=b2/ (a2+1) <1即a2-b2+1>0时, 直线与圆有两个公共点.

⑵取MN的中点D, 连接OD, 则OD⊥MN, ∠XOD=α+ (β-α)

例4.已知A (0, 1) , B (2, m) , 若过A与B且与x轴相切的圆有且只有一个, 求m的值以及圆的方程.

解:设所求圆的方程为 (x-a) 2+ (y-b) 2=b2, 将A、B两的坐标分别代入, 得2b=a2+1和2mb=a2-4a+4+m2, 消去b, 得 (1-m) a2-4a+4+m2-m=0

⑴当m=1时, 方程为-4a+4=0, 解得a=1, 此时b= (a2+1) /2=1则圆的方程为 (x-1) 2+ (y-1) 2=1

⑵当m≠1时, 由△=0, 得m (m2-2m+5) =0

此时有a2-4a+4=0, 解得a=2, 此时b=5/2则圆的方程为 (x-2) 2+ (y-5/2) 2= (5/2) 2

例5.设圆满足:⑴截y轴所得弦长为2;⑵被x轴分成两段圆弧, 其弧长的比为3:1, 在满足⑴, ⑵的所有圆中, 求圆心到直线x-2y=0的距离最小的圆的方程.

解法一:设圆心为P (a, b) , 半径为r, 则点P到x轴、y轴的距离分别为︳a︳, ︳b︳.由题设知, 圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为900, 知圆P截x轴所得的弦长为, 故r2=2b2

又圆P截y轴所得的弦长为2, 所以有r2=a2+1, 从而得2b2-a2=1

又点P (a, b) 到直线x-2y=0的距离d满足d2= (a-2b) 2/5所以5d2 (a-2b) 2=a2+4b2-4ab≥a2+4b2-2 (a2+b2) =2b2-a2=1

当且仅当a=b时上式等号成立, 此时5d2=1, 从而d取得最小值.

由此有a=b, 2b2-a2=1解得a=1, b=1或a=-1, b=-1由于r2=2b2, 知

故所求圆的方程为 (x-1) 2+ (y-1) 2=2或 (x+1) 2+ (y+1) 2=2解法二:同解法一得进而可得

将a2=2b2-1代入 (1) , 整理可得2b2±4姨5 bd+5d2+1=0 (2) 把它看作b的二次方程, 由于方程有实数解, 判别式△=8 (5d2-1) ≥0,

即5d2≥1, 所以5d2有最小值1, 从而, 代入 (2) 得2b2±4b+2=0, 解得b=±1, 将b=±1代入r2=2b2, 得r2=2, 又由于a, b同号, 于是所求圆的方程为 (x-1) 2+ (y-1) 2=2或 (x+1) 2+ (y+1) 2=2

解题规律总结

直线与圆的位置关系判定 第2篇

如果b2-4ac=0，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切。

如果b2-4ac<0，则圆与直线有0交点，即圆与直线相离。

2.如果B=0即直线为Ax+C=0，即x=-C/A，它平行于y轴（或垂直于x轴），将x2+y2+Dx+Ey+F=0化为（x-a）2+（y-b）2=r2。

令y=b，求出此时的两个x值x1、x2，并且规定x1

当x=-C/Ax2时，直线与圆相离；

直线与圆的位置关系 第3篇

（一）地位和作用：本节课是新人教版数学九年级上册第二十四章第2节第4课时的内容，是在学习了切线的定义、判定与性质的基础上继续探究切线长定理.它再次体现了圆的轴对称性，为证明线段、角、弧相等以及垂直关系提供了理论依据，在本章中占有重要的位置.

（二） 教学目标分析

知识技能：

1.了解切线长，三角形的内切圆、三角形的内心的概念；

2.掌握切线长定理，初步学会运用切线长定理进行计算.

数学思考：

经历借助图形思考问题的过程，初步建立几何直观.

问题解决：

初步学会在具体的情境中从数学角度发现问题和提出问题，并综合运用知识解决简单的实际问题.

情感态度：

1.营造轻松和谐的课堂气氛，鼓励学生勇于发表自己的观点；

2.激发学生的求知欲，培养独立思考和合作交流的能力，让他们体验成功的喜悦.

（三）教学重难点分析

重点：理解切线长定理.

难点：应用切线长定理解决问题.

学情分析

数学课不仅要传授数学知识，更重要的是培养学生的数学思想、数学意识；九年级的学生已经具备了一定程度的观察能力和抽象思维能力，也能比较迅速地进入教学中构造的情境中来，能通过合作学习来达到更好的学习效果.但语言概括能力还不强，归纳的不够细致准确.在新的课改理念的指导下如何调动学生的学习热情，让自主学习、合作探究成为课堂教学的主流，教师要鼓励他们大胆尝试，敢于发表自己的看法，从中获得成功的体验.

教学方法与策略

新课程标准强调：数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上.教

师要改变教学方式，多研究学生，上课时多倾听学生，多关注学生的即时反映，激发学生的学习积极性，而不是专心干教学内容的讲解，考虑到本节教材的特点和学生现有的水平，我采用“参与探究式”教学方法，通过“创设情境——提出问题——获取新知——巩固新知——解决问题——归纳总结”的过程，使学生从具体的情境中，得出切线长的概念，通过猜想、证明得出切线长定理，以加深学生的印象.教学中还采取师生、生生合作的学习方式，给学生提供充分活动的机会，引导学生主动地获取知识，感受成功的体验.

教学过程

一、问题引入

问题：经过平面上一个已知点P，作已知圆的切线会有怎样的情形？

学生活动：思考并动手实践.

设计意图：以问题的形式复习点与圆的位置关系以及切线的判定，引导学生操作实践，画出过圆外一点的两条切线，为切线长定理的引入做铺垫.

二、探究新知

1.形成概念

圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长.

2.切线与切线长的的区别

（1）切线是一条与圆相切的直线，没有长度.

（2）切线长是指线段的长，它的两个端点是切线上某一点和切点.

3.探究切线长定理

问题：如图PA，PB是圆的两条切线，切点为A，B，猜想图中PA，PB有什么关系？你能证明吗？

学生活动：猜想归纳切线长定理，并且推理论证这一猜想.

预设：学生很容易猜想PA=PB，也能证明PA=PB，所以只需引导学生归纳出切线长定理.

切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两切线的夹角.

几何语言：

∵ PA、PB分别切⊙O于点A、B

∴ PA = PB，∠OPA=∠OPB.

设计意图：让学生充分体验新知的形成过程，从猜想、论证到归纳，都由学生完成.

三、当堂达标

1.判断：

（1）过任意一点总可以作圆的两条切线.（）

（2）从圆外一点引圆的两条切线，它们的长相等.（ ）

2.填空：如图PA、PB切⊙O于A、B两点， ，连接PO，则∠APO= ____.

3.已知PA、PB切⊙O于A、B两点，延长PO交⊙O于点C，连结CA、CB.求证：CA=CB.

设计意图：巩固本节课的重点知识，体会切线长定理在证明角、线段相等方面的作用.

四、探究应用

1.思考：一块三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的用料，并且使截下来的圆与三角形的三边都相切？

【学生活动】在教师的引导下找出圆心和半径，师生共同完成作图.

三角形内切圆：与三角形各边都相切的圆.

内心：三角形三条角平分线的交点.

内切圆的半径：内心到任意一边的距离.

设计意图：本题主要是对切线长定理的拓展应用，让学生体验知识间的内在联系.

2.类比记忆

三角形外接圆：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆.

外心：三角形三条边的垂直平分线的交点.

外接圆的半径：外心到任意一个顶点的距离.

设计意图：教师引导学生进行知识牵引对比，体会数学中的类比思想.

3.大显身手

问题：△ABC 的内切圆⊙O ，与三边BC，CA，AB 分别相切于点D，E，F，且AB=9，BC=14，CA=13.求AF，BD，CE 的长.

设计意图：本环节的设计主要考察学生综合运用知识解决问题的能力，给足学生思考的时间和空间，学生在相互交流的过程中，语言表达能力和合作探究意识都能得到提升.

五、课堂小结

（1）本节课你学会了哪些知识？

（2）圆的切线和切线长相同吗？

（3）三角形的内切圆的圆心和半径是什么？

六、作业布置

1. 教材P101习题 24.2 第 6 题.

2.（实践作业）有一天，同学们去王老师家做客，王老师正在洗锅，就问：谁能测出这个锅盖的半径，就可以得到一根雪糕，同学们都跃跃欲试，但老师家里只有一个曲尺，到底谁能得到这根雪糕呢？

设计意图：选择贴近生活的实例，激发学生求知欲，使学生体验数学源于生活，又服务于生活.

“直线与圆的位置关系”教学设计 第4篇

人教A版《普通高中课程标准实验教科书·数学2 (必修)》第四章第二节“4.2.1直线与圆的位置关系”.

课型

新知教学课.

课时

一课时.

教学目标

1.知识与技能

(1)理解直线与圆的位置关系的种类;

(2)掌握用圆心到直线的距离来判断直线与圆的位置关系;

(3)会用直线与圆方程组成的方程组的解的个数来判断直线与圆的位置关系.

2.过程与方法

(1)通过新课的导入过程,激发学生的学习兴趣,感悟类比思想,培养抽象思维能力;

(2)通过直线与圆的位置关系的分类及其判定方法的学习,培养数形结合的思想方法,提高用方程思想解决平面几何问题的能力;

(3)通过变式训练,求直线被圆所截得的弦长,培养发散思维,体味数学的运动变化,构造知识的网络.

3.情感、态度与价值观

通过观察图形,理解并掌握直线与圆的位置关系,培养数形结合的思想.通过直线与圆位置关系的变化,渗透运动观点.

目标分析

1.教材分析

本节课内容是继学生学习了直线方程、直线与直线的位置关系、圆的方程等知识后,用解析法研究直线与圆的位置关系.平面几何对直线与圆之间的位置关系进行了定性的研究,即依照公共点的个数来判定它们的位置关系.但在实际问题中,我们经常会遇到直线与圆的位置关系的定量刻画问题,例如,当直线与圆有公共点时,其公共点准确位置的确定问题.学习了坐标法后,可以通过建立平面直角坐标系,使得直线与圆可以用方程表示,从而将直线与圆的位置关系的研究转化为直线的方程与圆的方程之间的数量关系的研究.当直线与圆有公共点时,公共点位置的确定就转化为求解直线的方程与圆的方程的公共解.依据圆心到直线的距离与半径长的关系判断直线与圆的位置关系,是运用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离,然后比较这个距离与圆的半径的大小,并作出位置关系的判断,仍然是用坐标法解决问题(几何意义相对直观些).研究直线与圆的位置关系,一是从几何角度直观判断,二是通过直线与圆的方程从“数”的角度进行研究.这体现了数形结合的思想.

2.学情分析

学生在初中平面几何中已经接触过直线与圆的位置关系,前面已经学习了直线方程、圆的方程、两直线的位置关系以及点到直线的距离等知识,具备了利用方程及图形研究直线与圆的位置关系的基本能力,但学生的数形结合思想,分析问题和解决问题的能力有待于提高.

教学重点的确定:初中学生已经学习了用公共点的个数来定性地分析直线与圆的位置关系,用解析法来研究几何问题对他们来说很陌生,但这一方法对培养学生数形结合思想、提高其解决问题和分析问题的能力极其重要,因而本节课的重点为用解析法判断直线与圆的位置关系.通过直线与圆的位置关系的代数化处理,使学生进一步认识到坐标系是联系“数”与“形”的桥梁,从而更深刻地体会坐标法思想.

教学难点的确定:判断直线与圆的位置关系的方法有图示法、解析法、列方程组法3种,其中直线与圆方程联立解方程组对学生的计算能力要求较高,而这正是学生需经长期培养方能提高的,这是学生的学习障碍,也是教学难点.

3.预设目标实施可能会遇到的障碍、困难和可利用条件分析

利用直线的方程与圆的方程进行直线与圆的位置关系的研究时,会遇上求方程组的解、求圆心到直线的距离等大量的代数计算问题,由于有些问题的数据较复杂,学生可能会感到困难.教学时不能因为这个问题而使教学偏离重点,必要时可使用信息技术工具辅助解决问题.

教学过程

(一)预习认标

通过预习,能用自己的语言简要说出预习的主要内容;弄懂了哪些新知识,独立解决了什么问题,有何发现;确立本节课学习中想要解决的主要问题是什么.

(投影.)(达成学习目标.)

(1)理解直线与圆的位置关系的种类;

(2)掌握用圆心到直线的距离来判断直线与圆的位置关系;

(3)会用联立直线与圆的方程求解的个数来判断直线与圆的位置关系.

(二)导入新课

(1)前面我们已经学习了圆的方程,请你们说说它有几种形式?

(教师在黑板上画出一个圆和一个点,让学生说说点与圆的位置关系.)

[说明]引导学生回忆圆的有关知识,运用类比的方法为引出直线与圆的位置关系做好铺垫.

(2)(投影,展示海上日出图片)你们通过观察想到了什么?

(教师在黑板上补充了三条平行直线,他们与圆分别相交、相切、相离.)

【说明】通过图示,结合实际,来引出本节课内容,并说明数学知识和我们的生活联系十分密切,激发学生学习数学的兴趣.

(三)新知学习

1. 直线与圆的位置关系的分类及其判定方法

(1)分类.

(投影,展示直线与圆的位置关系的几何图形,完成下列表格.)

(2)判定方法.

圆x2+y2=1与直线y=x的位置关系是什么?

[说明]学生会发现可以用画图的方法、圆心到直线的距离d和半径r比较及判断方程组解的个数3种方法来确定直线与圆的位置关系.

(3)例题分析.

例1已知:直线l:3x+y-6=0与圆C:x2+y2-2y-4=0,判断直线l与圆C的位置关系.

方法1画图来判断.

方法2可以依据圆心到直线的距离与半径大小的关系,判断直线与圆的位置关系.圆x2+y2-2y-4=0化为x2+(y-1)2=5,其圆心C的坐标为(0,1),半径长为,点C (0,1)到直线l:3x+y-6=0的距离,所以,直线l与圆C相交,有两个公共点.

方法3判断直线l与圆C的位置关系,就是看由它们组成的方程组有无实数解.

[说明]通过学生分析、讨论,进一步熟悉了直线与圆的位置关系的判定方法,同时有助于培养他们的数形结合思想,提高其分析问题和解决问题的能力.

2. 变式训练

(1)变化条件.

①如何求方程组的解?

②直线方程若换为呢?

【说明】设置递推的问题,让学生动手实践.

(2)变化结论.

由圆x2+y2=1与直线y=x,观察图形我们能得到什么结论?

[说明]引导学生求解交点坐标.

(3)巩固与转化.

判断下列直线与圆的位置关系:

①4x+3y-35=0与x2+y2=49;

②3x+4y+2=0与x2+y2-2x=0;

③y=x+6与x2+y2-2y-4=0.

[说明】通过转化练习使学生熟练掌握直线与圆的位置关系的判定方法,逐步理解用代数方法来研究几何问题这一重要的数学思想.

3. 拓展训练(如何求直线被圆所截得的弦长)

(1)例1变式.

①试解出例1中直线l与圆C交点A、B的坐标,并求弦AB的长度;

②结合图形你能够解决哪些几何问题?(借助于对图形的挖掘和探讨,通过学生设问、解答,反思所学知识.)

(2)例题分析.

例2已知过点M (-3,-3)的直线l被圆C:x2+y2+4y-21=0截的弦长为,求直线l的方程.

分析:利用圆心C(0,-2)到直线l:y+3=k (x+3)的距离为,求得k,即确定了直线l的方程.

【说明】先让学生熟悉以半弦长、弦心距及半径构成的直角三角形,并逐步掌握以此来解直线与圆有关的几何问题,引导他们利用数形结合这一重要思想解题,并使他们注意此例与例1的联系.

4. 目标检测

①判断直线4x-3y-5=0与圆x2+y2=25的位置关系;

②求圆x2+y2=25被直线4x-3y-20=0截得的弦长;

③已知直线y=x+b与圆C:x2+y2=25,当b为何值时,直线与圆相交、相离、相切?

[说明]通过画图作答、变式训练、发散思维,使学生掌握直线与圆的位置关系的相关知识,培养其数形结合思想,体味数学的运动变化,构建知识网络.

5. 反思总结

(1)通过本节课的学习,你们学到哪些知识、方法和数学思想?

(2)判断直线与圆的位置关系有几种方法?它们的特点是什么?

(3)如何求出直线与圆的相交弦的长?

6. 布置作业

《直线与圆的位置关系》说课稿 第5篇

在思考直线和圆的位置关系时，我们可类似地把直线和圆的方程联立解方程组

方程组有一个解 《直线与圆的位置关系》说课稿 直线与圆相切

方程组没有解 《直线与圆的位置关系》说课稿 直线与圆相离

方程组有两个解 《直线与圆的位置关系》说课稿 直线与圆相交

二、例题讲解：

1、 让学生先自学例1并回答下列问题：

(1) 第二小题中，消去x的步骤怎样?如何判断方程组有没有解?

(2) 你认为这两种方法哪一种较简单，为什么?

答：(1)消去x的结果是 《直线与圆的位置关系》说课稿 ，一样可以判断和求解;

(2)方法一较简单，因为方法二在求交点坐标时仍要解方程组。

2、例2设直线 《直线与圆的位置关系》说课稿 与圆 《直线与圆的位置关系》说课稿 相切，求实数 《直线与圆的位置关系》说课稿 的`值。

2、例3过点 《直线与圆的位置关系》说课稿 作 《直线与圆的位置关系》说课稿

圆的切线L,求切线L的方程.

4、 练习：课本第83页练习1、2

问题1涉及初中知识，可使得学生比较容易上手。

问题2体现了将几何问题代数化的思想。

问题3以前一章知识做类比，有利于培养学生类比归纳的能力。

通过前面对知识的分析，例题1对学生来说应该比较容易，又通过两个问题检查学生的理解程度。

例2建立直线与圆的深度理解

例3该例题有利于培养学生全面考虑问题的良好思维习惯。

通过两个课本练习，巩固直线与圆的位置关系的判断方法。

课堂小结

判断直线与圆的位置关系主要有以下两种方法：

1：方程组有一个解 《直线与圆的位置关系》说课稿 直线与圆相切

方程组没有解 《直线与圆的位置关系》说课稿 直线与圆相离

直线与圆位置关系的应用 第6篇

【关键词】高中数学;直线与圆;位置;关系

直线与圆位置关系这章节要求学生掌握直线和圆的位置关系的性质和判定，因为它是本单元的基础，如：“切线的判断和性质定理”是在它的基础上研究的，也是高中解析几何中研究“直线和圆的位置关系”的基础。在对性质和判定的研究中，既要有归纳概括能力，又要有转换思想和能力，所以是本节的难点。另外对“相切”要分清直线与圆有唯一公共点是指有一个并且只有一个公共点，与有一个公共点含义不同，这一点到直线和曲线相切时很重要，学生较难理解。

一、直线与圆位置关系的判断

直线与圆的位置关系的判断依据比较简单，直线与圆有两个公共点时，那么直线和圆相交;直线和圆有唯一公共点时，那么直线和圆相切;直线和圆没有公共点时， 那么直线和圆相离。

例如：设圆C的方程x2+y2-2x-2y-2=0，直线l的方程（m+1）x-my-1=0，对任意实数m，圆C与直线l的位置关系是       。

分析：求出直线恒过的定点，确定点与圆心的距离与半径的关系，推出结论。

解：由直线l的方程（m+1）x-my-1=0，可得m（x-y）+x-1=0，直线恒过（1，1）点，

圆C的方程x2+y2-2x-2y-2=0，的圆心（1，1），所以圆C与直线l的位置关系是：相交。

故答案为：相交。

点评：本题主要考查直线与圆的位置关系，还考查了转化思想，将直线与圆的位置，转化为点与圆的位置来解决。

二、圆上的点到直线距离

求圆上的点到直线距离，学生在遇到没见过的题目时，往往不知道从何下手，点到直线的距离即点到直线的垂线段的长，何时达到最大或最小值，要引导学生观察、分析、猜测、验证、下结论。

例如：圆x2+y2=1上的点到直线3x+4y-25=0的距离的最小值是    。

分析：先看圆心到直线的距离，结果大于半径，可知直线与圆相离，进而可知圆上的点到直线的最小距离为圆心到直线的距离减去圆的半径。解：圆心（0，0）到直线的距离为：=1，∴圆上的点到直线的最小距离为：5-1=4。

故答案为：4。

考点：直线与圆的位置关系

点评：本题主要考查了直线与圆的位置关系。考查了学生数形结合的思想，转化和化归的思想。

又如：圆x2+y2-2x-2y+1=0上的点到直线x-y=2的距离的最大值是（   ）

A.2 B.1+ C.2 D.1+2

分析：此题考查解析几何初步中的圆和直线的相关知识、点到直线距离公式、数形结合能力和等价转化能力;圆x2+y2-2x-2y+1=0上的点到直线x-y=2的距离的最大值是：圆心到直线的距离加上半径，此圆的标准方程是（x-1）2+（y-1）2=1，圆心是（1，1），半径是1，所以dmax=+1=+1，所以选B。

点评：本题主要考查直线与圆的位置关系，当考查圆上的点到直线的距离问题，基本思路是：先求出圆心到直线的距离，最大值时，再加上半径，最小值时，再减去半径。

三、截距相等问题

截距相等问题，首先考虑截距都为0的情况，截距不为0时要考虑符号必须相同，截距不同于距离，距离是非负的，而截距可以是负的。

例如：与圆（x-3）2+（y-3）2=8相切，且在x、y轴上截距相等的直线有（   ）

A.4条 B.3条 C.2条 D.1条

分析：与圆（x-3）2+（y-3）2=8相切，且在两坐标轴上截距相等的直线，必有过原点的2条直线，还有斜率为-1的两条直线。

解：由圆的方程（x-3）2+（y-3）2=8，可得圆心坐标为C（3，3），半径是r=2，由|OC|==3>r，故原点在圆外。当所求直线的方程的截距为0时，直线过原点，显然有两条直线满足题意。当截距不为0时，设所求直线的方程为：x+y=a（a≠0）。

则圆心到直线的距离d==e=2，由此求得a=2，或a=10，由于满足题意a的值有2个，所以满足题意的直线有2条。

综上可得，与圆（x-3）2+（y-3）2=8 相切，且在两坐标轴上截距相等的直线中，过原点的切线有两条，斜率为-1的切线也有两条;共4条。

故选A。

点评：考查学生理解直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径，灵活运用点到直线的距离公式解决实际问题。

四、直线与圆相交

例如：若直线l与圆（x+1）2+（y-2）2=100相交于A，B两点，弦AB的中点为（-2，3），则直线l的方程为   。

分析：由圆的方程找出圆心C的坐标，连接圆心与弦AB的中点，根据垂径定理的逆定理得到此直线与直线l垂直，根据两直线垂直时斜率的乘积为-1，由圆心与弦AB中点的连线的斜率，求出直线l的斜率，再由直线l过AB的中点，即可得到直线l的方程。

解：由圆（x+1）2+（y-2）2=100，得到圆心C的坐标为（-1，2），由题意得：圆心C与弦AB中点的连线与直线l垂直，

∵弦AB的中点为（-2，3），圆心C的坐标为（-1，2），

∴圆心与弦AB中点的连线的斜率为=-1，

∴直线l的斜率为1，又直线l过（-2，3），

则直线l的方程为y-3=x+2，即x-y+5=0。

故答案为：x-y+5=0。

点评：本题是基础题，考查直线方程的求法，正确处理直线与圆的位置关系时解题的关键，考查计算能力。

本节课是在学习了点和圆的位置关系的基础上进行的，是为后面的圆与圆的位置关系作铺垫的一节课。本节的主题是直线和圆，在解析几何中，直线与圆的关系是一个非常重要的知识点，可以对学生的思维有一个很好的锻炼。

【参考文献】

[1]刘耀忠.例谈求直线方程的常用方法[J].新高考（高一语数外）;2011年Z1期

[2]周栋梁.“显而易见”下的缺失——《直线与圆的位置关系》听课后的感想[J].中学数学2013年02期

直线与圆的位置关系 第7篇

本文以“直线与圆的位置关系”为例, 阐析通过“引趣激疑, 善于析疑, 学会质疑, 不断存疑” 实施 “问题—引探”教学的基本过程, 以求教于同仁。

一、引趣激疑, 导入新课

教学是一种科学, 也是一门艺术。生动的教学语言, 巧妙的教学设计, 有序的教学结构, 精湛的教学图式, 无不闪烁着教学的智慧。而成功的课堂教学情境的创设, 正是教学艺术的集中体现。教学实践告诉我们, 并不是任何问题都能激起学生有意义学习的心向, 教学情境的创设是为教学服务的, 应和所授课有密切联系。因此, 新课一开始, 就必须优化问题呈现方式, 创设最佳问题情景, 以唤起学生特有的知识情感和兴趣, 让学生带着疑问进入课堂。

案例片断1

师:大家都看见过日出。当太阳从地平线上升起的时候, 是一种什么情景?

生:太阳从地平线上冉冉升起, 最后高高地挂在天空。

师:你把日出的情景描绘得非常富有诗意。请同学们把自己的想象画在纸上。

(学生动笔在纸上画, 教师巡视。教师用实物投影打出学生的两幅画:一幅是学生画出的美术图形;另一幅是学生画出的数学图形。)

师:大家说一说这两位同学谁画得好呢?

生:我看还是第一幅画得好, 太阳放出耀眼的光芒, 从地平线上升起。先是露出小半个脸, 然后是露出一整张脸, 挂在天空, 这正是我想象中的情景。

生:我也这样认为。

师:我认为第二幅图画得也不错, 因为这位同学用数学的观点看生活, 这位同学画出的是几何图形, 把地平线看成一条直线, 把太阳看成一个圆, 简洁直观。现在我们就来研究直线和圆有几种位置关系?

(教师利用多媒体演示太阳从地平线上升起的情景。)

生:我认为直线和圆有两种位置关系:一种是相交;另一种是相离。

生:我认为还有一种是太阳刚刚要离开地平线时的情况。

师:好!综合上述同学的看法, 直线和圆有三种位置关系:相交、相切、相离。那么如何从数学的角度判定他们的位置关系呢?

教师把日出这一自然现象引入数学教学, 学生在欣赏美术图形的美时, 教师引导学生欣赏一条直线和一个圆的数学美和它的价值, 教师引导学生把变化着的自然现象再抽象成数学问题, 引出了直线和圆的三种位置关系。教师不失时机地提出问题:“如何从数学的角度判定他们的位置关系呢?”通过教师的情境激发, 让学生在感兴趣的同时发现问题, 进而产生探讨的愿望, 它经过两个阶段:激起兴趣和引起探索。兴趣是创造性思维的先导, 学起于思, 思源于疑。心理学研究表明, 疑易引起人的定向探究和反射, 有了这种反射, 思维便应运而生。“问题意识”呈激活状态, 思维被激活的学生进入了新授课的过程。

二、尝试探究, 形成概念

“问题—引探”教学强调学生的自主性, 但并不忽视教师的指导, 教师如何引导学生开展问题探究, 因人、因教学内容而定。按照建构主义学习理论, 学习是学生在原有认知经验基础上主动建构新知识的过程, 这一建构过程实际上就是知识结构的重组与优化, 它需要学生将原有知识与新知识 (包括思考、观点、方法) 进行有效组合与沟通 (知识、方法的过程、水平、能力的提高均依赖于这一过程) , 同时学生的学习是一种在教师指导下的特殊学习, 不可能也没有必要让学生对所有的数学对象均自发领悟。

案例片断2 (续前)

师:好, 现在请同学们说说讨论的结果。

生一组:我们考虑的是由直线和圆的交点个数来判定:当直线和圆有两个交点时, 就叫直线和圆相交;当直线和圆只有一个交点时, 就叫直线和圆相切;当直线和圆没有交点时, 就叫直线和圆相离。

师:说得挺好, 也就是根据直线和圆的公共点个数来定义直线和圆的位置关系。

师:还有没有别的方法也可以判定他们的位置关系呢? (学生或者轻声说没有或者摇头) 前面学过了点和圆的位置关系是怎么判定的呢?

生:点到圆心的距离等于半径时, 点在圆上;点到圆心的距离大于半径时, 点在圆外;点到圆心的距离小于半径时, 点在圆内。

师:我们利用点到圆心的距离大小来判定点和圆的位置关系, 那么是否可以从中受到启发, 得到判定直线和圆的位置关系的方法呢? (学生展开了讨论, 约2 min)

生二组:我们画出了圆心到直线的距离, 发现这个距离小于半径时, 直线和圆相交;当这个距离等于半径时, 直线和圆相切;当这个距离大于半径时, 直线和圆相离。

师:说得真好, 这个小组的同学想到了画圆心到直线的距离, 通过这个距离和半径的大小比较, 判定了直线和圆的位置关系。

教学过程中, 教师借助于“点和圆的位置关系是怎么判定的?”这个问题, 引导学生类比得到直线和圆的位置关系, 很好地起到了教师的引和点的作用。学生通过“做”旧问题而感受、发现新问题, 经过合作交流, 学生自我建构起新知识, 达到优化认知结构的目的。

三、自主解决, 形成方法

教育心理学认为:每个学生都有探索和创造的潜能, 关键是如何激发他们的兴趣、动机和求知欲。巴甫洛夫说过:在学习活动中, 若只有一种分析器连续使用, 大脑皮层就容易产生内抑制, 使学生逐渐失去注意;而运用多种分析器则可以提高大脑皮层的兴奋性, 促进暂时联系的形成, 使注意较长时间的保持。因此, 课堂教学必须让学生听、说、做、想有效结合, 主动运用知识去解决问题, 让学生自己去体会“解题思路的探求”、“解题能力的提高”、“解题策略的形成”、“解题模式的提炼”。

案例片断3 (续前)

学生独立自主完成以下练习:

练习1:已知圆的半径等于5 cm, 圆心到直线n的距离是:

(1) 4 cm; (2) 5 cm; (3) 6 cm。

直线n和圆分别有几个公共点?分别说出直线n与圆的位置关系。

练习2:已知圆的半径等于10 cm, 直线和圆只有一个公共点, 求圆心到直线的距离。

5 min后看起来学生已基本完成任务, 教师巡视后, 让学生回答, 当站起来的学生出现错误时, 其他学生能够自觉纠错。从课堂反馈看问题落实较好。

教师:刚才的练习同学们有什么心得?

学生A:由d与r的大小关系, 可以判断直线和圆的位置关系。

学生B:已知直线和圆的位置关系, 可以得出d与r的大小关系解决问题。

在上述案例中, 教师让学生自主解决, 发现错误, 寻找错误, 学生在兴奋、愉快的情境中学到了知识, 更重要的是学生主动参与了课堂教学的问题探索过程, 学生做 (做题目) , 学生说 (说结论) , 学生听 (听同伴的、听教师的) , 实现了“做中学”和“学中做”相结合。教学中, 学生在问题的解决中领悟到:从数量关系的角度判定直线和圆的位置关系。判定直线和圆的位置关系必须要比较d与r的大小关系, 从而形成解决问题的方法, 这一步具有形成新认知结构的功能。

四、变式探究, 析疑质疑

在以建构系统知识为取向的现有课堂教学中, 实施有效变式教学的关键, 在于确定合适的潜在距离和合理的变异空间。事实表明, 大量单一、重复性的机械性练习, 达到的不是“生巧”而是“生厌”, 它不仅对学生知识与技能的掌握无所裨益, 而且还会使学生逐步丧失学习的兴趣, 这正是“题海战术”最大的弊端。为使学生主动参与教学活动, “变式”创设应该以“问题”为主线, 以情景的迁移为手段, 以提供宽松、广阔的思维空间为方法, 以问题的产生、讨论和解决为目的。

案例片断4 (续前)

问题变式: (1) 以点C为圆心, 分别以2 cm和4 cm的长为半径作两个圆, 这两个圆与AB分别有怎样的位置关系?

(2) 当半径为2 cm时, 圆心C沿C→A移动, 点C移动到什么位置时, 直线AB与⊙C正好相切? (两位学生上台板演, 教师巡视 、分析、点评)

师:刚才老师在练习3的基础上变出两个问题, 现在给同学们3 min时间, 你还能提出什么问题, 挑战同学和老师。

一片唧唧喳喳的声音后, 教师让学生提出设置好的问题, 归纳起来, 大致有以下三类问题:

第一类:

问题 (1) :以点C为圆心, 2.5 cm长为半径作圆, 这个圆与直线AB有怎样的位置关系?

问题 (2) :以点C为圆心, 5 cm的长为半径作圆, 这个圆与直线AB有怎样的位置关系?

第二类

问题 (3) :当半径为2 cm时, 圆心C沿C→B移动, 点C移动到什么位置时, 直线AB与⊙C正好相切?

第三类:

问题 (4) :当半径为多长时, AB与⊙C相切、相离、相交?

案例中问题和变式问题的设置不仅紧扣教学重点, 具有一定的思维含量, 而且能激发学生的好奇心和求知欲。通过教师的设疑, 诱导学生进行独立思考, 帮助学生不断地体会“数形结合”的思想方法, 从而使学生对问题情境和题目条件进行整体把握;使学生有机会对数学问题进行多角度、多方面的变式探究。教师的设疑起到了抛砖引玉的作用, 学生产生多元化和开放性问题的过程中, 知识被纳入学生的数学认知结构, 能力不断地得到内化, 同时也能不断产生新的有价值的问题情景。

五、探索与创新, 问题纵向延伸

随着问题背景的变化, 必须摆脱变式和背景的干扰, 消除消极的思维定式带来的影响, 让学生独立解决问题。教师借助学生提出的问题, 进行层次推进, 不仅充分尊重学生的学习体验, 而且能帮助学生融会贯通, 构建起良好的知识结构, 学生学一道题, 会一类题, 做一道题, 会一串题, 从而理解知识的来龙去脉, 形成一个知识网络。更重要的是增强了学生的创新意识和应变能力, 优化了学生的思维品质, 培养了学生发现问题、提出问题、解决问题的能力。

案例片断5 (续前)

第一类、第二类问题好像在教师的预料之中, 学生相互之间的挑战也没遇到什么困难。当第三类问题出现时, 教师迟疑了片刻, 学生的提问已经“跑出”了教师的预设。片刻过后, 教师把“球”又传给了学生。

师:刚才同学给我们提出了一个很好的问题, 当半径为多长时, AB与⊙C相切、相离、相交?你怎么解决呢?

学生甲:半径等于undefinedcm时相切, 那么半径小于undefinedcm时相离, 半径大于undefinedcm时相交。

学生们认为说得有道理。有一位学生提出了质疑, 认为半径大于undefinedcm时不一定相交, 例如当半径为7 cm的时候就没有交点了, 不能称AB与⊙C相交, 学生议论纷纷……

教师提醒学生动手画一画 (数形结合) , 再想一想题目的说法是否有问题。

师:现在我们能否修改一下问题, 让表述更准确?

看来教师不仅非常重视这个学生质疑的问题, 同时还使问题得到延伸。

学生乙:当半径为多长时, 直线AB与⊙C相切、相离、相交?

学生丙:当半径为多长时, 线段AB与⊙C有一个交点、两个交点、没有交点

面对学生“跑题” (没有预设) 的问题, 如果急于“推销”自己的想法, 把学生的思维纳入自己预先设计的轨道上, 这样做的结果是学生的学习没有主见, 没有个性, 学习被动, 依赖性强, 不利于学生探究能力、创新能力的培养。面对学生“不完全成形的问题”, 没有简单地说“不行”, 而是充分发挥了教师的“导演”与“引领”作用, 让学生补充条件, 使之成为一个“可以求解的完整的问题”, 不仅使问题变得开放, 把课堂面向全体学生的同时, 关注个别差异, 让每个学生承担问题探究义务, 也享受“问题”探究带来的快乐。

六、拓展与应用, 实际问题数学化

初中数学教学, 要提倡问题回归实际生活, 并有效地建立起数学的模型。通过学生缜密地思考, 有效地分析, 运用数学的知识、技能、方法、思想提出解决问题的方案, 从而使学生真正掌握了数学知识并内化成认知结构, 具有稳固性、迁移性的功能。同时一题多解的成功, 必能引发学生的直接兴趣;而对解题过程及结果的回味往往能产生对解题的间接兴趣。

案例片断6 (续前)

……

问题:在码头A的北偏东60°方向有一个海岛, 离该岛中心P的12海里范围内是一个暗礁区。货船从码头A由西向东方向航行, 行使10海里到达点B, 这时岛中心P在北偏东45°方向 (如图1) 。若货船不改变航向, 问货船会不会进入暗礁区?

教师:货船会不会进入暗礁区这个问题可以转化成怎样的数学模型?

(在教师的引导下, 让学生将问题转化成判定货船航线和暗礁圆区的位置关系。)

案例中, 有的学生运用了勾股定理建立方程求出x, 即圆心到直线的距离PH;有的学生运用三角函数的定义建立方程求出x;有的学生运用部分量之和等于总量建立方程求出x。学生的解法越多, 用到的知识就越广, 所需的能力就越强, 也就越能有效地沟通各部分知识的内在联系, 加深对知识的理解, 从而进一步扩展学生的认知水平, 培养学生思维的深刻性。这种直接兴趣和间接兴趣的萌芽、生成, 以及直接兴趣向间接兴趣的不断转化, 必然产生一种不断求进的心向, 继而形成顽强的志趣, 这是一种不可缺少的心理素质。

在“问题—引探”模式下的数学教学, 与其说让他们学会知识, 不如说是让他们掌握开放的知识结构;与其说是让他们学会解决各种数学问题, 不如说是让他们在解决问题中学会提出问题;与其说是以对或错去评价他们的表现, 不如说在对或错中挖掘他们所具有的潜力和天赋;与其说是理解概念和原理, 不如说是理解概念和原理及其所链接的各种思想、方法、关系。总之, 让学生在学习的过程中, 能真正地感悟数学, “不但用自己的眼睛去看数学, 更用自己的心灵去看数学, 用心灵支配自己的眼睛, 看得更远一些, 体会得更深一些”, 这才是我们所追求的真正目标。

摘要：引趣激疑、善于析疑、学会质疑、不断存疑是初中数学实施“问题—引探”教学的重要环节, 以“直线与圆的位置关系”为例, 阐析初中数学教学中以“引趣激疑、善于析疑、学会质疑、不断存疑”为核心, 实施“问题——引探”教学的基本过程。实践证明, 这种教学方法有助于增强学生的问题意识和质疑问难能力, 实现教师与学生的双赢。

关键词：数学,教学方法,问题—引探,中学

参考文献

直线与圆的位置关系 第8篇

1. 学生观察、分析、回顾两圆的五种位置关系, 类比直线与圆的位置关系;经历用代数方法刻画两圆位置关系的过程.

2. 能根据给定圆的方程, 判断圆与圆的位置关系并加以引申, 提炼方法.

3. 通过演示两圆的位置关系, 培养学生用运动变化的观点来发现和分析问题的能力, 通过具体的探索活动, 让学生体验成功的喜悦, 激发不同层次的学生学习数学的兴趣和信心.

二、教学重点和难点

重点:两圆位置关系的判断.

难点:通过两圆方程联立方程组的解来研究两圆位置关系.

三、教学过程

1. 导入新课:

古希腊大哲学家芝诺的学生问他:“老师, 难道你也有不懂的地方吗?”芝诺风趣地打了一个比方:“如果用小圆代表你学到的知识, 用大圆代表我学到的知识, 那么大圆的面积是多一点, 但两圆之外的空白, 都是我们的无知面, 圆越大, 其圆周接触的无知面就越多.”请你谈谈这其中的道理.

设计意图:从哲学家的大圆和小圆故事导入, 激发学生的学习兴趣和学习积极性, 引起学生的注意.同时渗透一个简单的道理:知识好比无垠的海洋, 等待同学们去探宝.富有启发及教育意义.

师生活动:

教师:请同学们在黑板上画两个圆, 并谈谈你的感悟.

生1:知识越丰富的人越会感到不懂的东西越多.

生2:愈学愈发现自己无知.

教师点评:学然后知不足, 教然后知困, 从而引出课题.

2. 提问:

平面内的两个圆, 如果它们做相对运动, 你会得出什么结论?

设计意图:从学生原有的认知结构出发, 根据图形运动变化, 让学生重新认识、探索圆与圆的位置关系, 总结出圆与圆的五种位置关系, 培养学生的动手实践能力.

师生活动:

教师让学生拿出课前准备好的圆形纸片, 并动手操作将两个圆形纸片在桌子上做平移运动, 观察、分析, 最后得出结论.

学生:两圆位置关系有外离、外切、相交、内切、内含. (同时动手画出图形)

教师:请同学们进一步从两圆的公共点的个数考虑两圆的位置关系.

学生:无公共点则相离, 有一个公共点则相切, 有两个公共点则相交.

教师:除以上关系外, 还有其他关系吗?可不可能有三个公共点?

学生: (得出结论) 在同一平面内任意两圆只存在以下五种位置关系.

教师设计图表并让学生填空 (如下表所示) .

3. 设置问题1:

已知C1:x2+y2+2x+8y-8=0, C2:x2+y2-4x-4y-2=0, 试判断圆C1与C2的关系.

设计意图:类比直线和圆的位置关系, 使学生掌握判断两圆位置关系的方法, 培养学生的联想能力和知识的运用能力.

师生活动:

教师提出问题:“此题中如何判断C1和C2两圆位置关系?”并引导不同层次学生探索.

学生尝试用不同方法解决问题.

生1:将C1、C2化成标准方程, 分别计算连心线的长并将其与半径的和、差比较, 可知R-r<d<R+r, 所以两圆相交.

教师:同学们利用几何法解题, 方法简单, 思路清晰.现请同学们再联想一下直线和圆位置关系的代数判断方法, 看看还有什么方法?

生2:要判断两圆的位置关系, 只要看它们有几个公共点, 只需联立方程组判断有几组实数解即可.

两式相减, 得x+2y-1=0 (3) , 代入 (1) 得, x2-2x-3=0.

由判别式大于零可知方程有两个不同的实根, 因此两圆有两个不同的公共点, 即两圆相交.

教师:有没有必要把交点的坐标求出来?

学生:本题只要判断两圆交点即可, 并不需要求出公共点的坐标, 因此不必解方程组求出具体实数根.

教师:研究圆C1与C2的位置关系能否说转化为研究直线x+2y-1=0与圆C1 (或C2) 的关系?

学生:能.事实上, 解 (1) (3) 构成的方程组就是解 (1) (2) 构成的方程组.

4. 设置问题2:

求经过两圆C1:x2+y2+2x+8y-8=0, C2:x2+y2-4x-4y-2=0交点的直线方程.

设计意图:把上述问题引申, 从一道习题的解答过程中, 发现中间结果与最终结果形式一致, 寻找原因, 探讨它们的本质关系, 培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力, 从而激发他们的求知欲.

师生活动:

教师:在问题1的基础上提出问题2, 请同学们求解一下.

学生:联立方程

两式相减, 得x+2y-1=0 (3)

代入 (1) 得, x2-2x-3=0,

所以x1=-1, x2=3.

代入 (3) 得:和

即两交点坐标为:A (-1, 1) , B (3, -1) , 过两交点的直线方程为x+2y-1=0 (4) .

教师:观察分析以上解题过程, 你发现了什么?你能说明为什么吗?

学生:发现所得结果 (4) 与中间结果 (3) 是一样的.

教师启发:两曲线是圆, 两圆相交于两点, 两点就确定了一条直线.

学生:两交点坐标满足方程 (1) 、 (2) , 必满足由方程组 (1) 、 (2) 得的方程 (3) , 而它是二元一次方程, 所以它即为所求直线的方程.

教师:你们分析得很有道理.一般的, 如果两个曲线方程是f1 (x, y) =0和f2 (x, y) =0, 它们的交点是P (x0, y0) , 那么方程f1 (x, y) +λf2 (x, y) =0所表示的曲线是否也经过P (x0, y0) ? (λ是任意常数)

学生:因为两个曲线方程是f1 (x, y) =0和f2 (x, y) =0, 它们的交点是P (x0, y0) , 则方程f1 (x0, y0) =0, f2 (x0, y0) =0, 所以f1 (x0, y0) +λf2 (x0, y0) =0.因此f1 (x, y) +λf1 (x, y) =0表示曲线经过P (x0, y0) (λ是任意常数) .

教师:我们把方程f1 (x, y) +λf2 (x, y) =0称为曲线系方程.当λ=-1时就是过两圆交点的公共弦所在的直线方程, 也就是将两圆方程联立消去二次项所得方程.

5. 设置问题3:

求经过两圆C1:x2+y2+2x+8y-8=0, C2:x2+y2-4x-4y-2=0的交点、圆心在直线2x+2y+1=0上的圆的方程.

设计意图:进一步引申问题1, 通过变式教学, 训练学生的发散思维.注意知识的前后联系, 探索解决问题的各种方法.

师生活动:

教师:这是我们前面做过的题目, 请同学们先思考, 然后小组讨论、交流自己的想法. (这样做使得学生的学习积极性更高, 学习氛围更加浓厚, 从而诱发对数学的学习兴趣.)

学生1: (小组1解答)

得两交点坐标为:A (-1, 1) , B (3, -1) .

设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0, ∵A, B在圆上, 且圆心在直线2x+2y+1=0上, 列方程组, 解的

∴所求圆的方程是x2+y2-x+2y-5=0.

学生2: (小组2解答) 由A (-1, 1) , B (3, -1) 得, 线段AB的垂直平分线方程为2x-y-2=0,

∵圆心在直线2x+2y+1=0上, ∴由

∴圆心C的坐标是 (, -1) , ∵圆的半径r=,

∴圆的方程是 (x-) 2+ (y+1) 2=.

学生3: (小组3解答) 设经过两圆x2+y2+2x+8y-8=0和x2+y2-4x-4y-2=0的交点的曲线系方程为:x2+y2+2x+8y-8+λ (x2+y2-4x-4y-2) =0, 整理得:

∴圆的方程为x2+y2-x+2y-5=0.

教师:比较这三种方法, 哪种更简单?

学生:曲线系方法简捷方便.

6. 尝试小结:

(1) 三类关系:两圆位置关系的五种情况也可归纳为三类:相离 (外离和内含) 、相交和相切 (外切内切) .

(2) 两种方法:判断圆与圆的位置关系常用几何法、代数法.

(3) 一个方程:经过两个曲线方程f1 (x, y) =0, f2 (x, y) =0交点的曲线系方程为f1 (x, y) +λf2 (x, y) =0.

(4) 一种思想:数形结合的数学思想方法.

设计意图:用简明扼要的上述四句话, 概括出本节课的主要内容, 并将其纳入到学生的认知结构中去.

师生活动:学生归纳概括, 教师点评.

四、教学反思

本节课研究圆与圆的位置关系, 重点是研究两圆位置关系的判断方法, 并应用这些方法解决有关实际问题.教材是在初中平面几何对圆与圆的位置关系的初步分析的基础上得到圆与圆的位置关系的几何方法, 着重强调了几何方法, 对代数方法没做要求, 但用代数方法来解决几何问题是解析几何的精髓, 是平面几何问题的深化, 它将是以后处理圆锥曲线的常用方法.因此, 增加了用代数方法来分析位置关系的内容, 这样有利于培养学生的数形结合、几何问题代数化等思想方法的运用能力及辩证思维能力, 其基本思维方法和解决问题的技巧对今后整个圆锥曲线的学习有着非常重要的意义.

五、教学评析

数学是思想的体操, 数学教学是思维的教学.学生的思维活动依赖于教师的循循善诱和精心的点拨与启发, 而数学学科的特点又决定了数学内容的掌握和运用都需经过艰苦、细致的思考和探索.问题具有启发性和探索性是本教学设计的具体体现.比如, 研究圆C1:x2+y2+2x+8y-8=0与圆C2::x2+y2-4x-4y-2=0的关系时, 问:有没有必要把交点的坐标求出来?更进一步问:能否说明, 要研究圆C1与圆C2的关系只要研究直线x+2y-1=0与C1 (或C2) 的关系就可以了呢?问题具有针对性、挑战性, 不仅体现了化归的思想, 而且颇具思考价值.

本课例运用变式教学, 确保学生参与教学活动的持续热情.变式教学是对数学中的定理和命题进行不同角度、不同层次、不同情形、不同背景的变式, 以暴露问题的本质特征, 揭示不同知识点内在联系的一种教学设计方法.通过变式教学, 采用一题多用、多题重组, 常给人以新鲜感, 能唤起学生的好奇心和求知欲, 从而让学生产生主动参与的动力, 保持其参与教学过程的兴趣.本设计提出问题1后接着提出与之有联系的问题2和问题3.通过学生的观察分析, 发现了过两圆交点的公共弦所在直线方程;通过学生不同思维方法的探究, 归纳出曲线系方程解决与圆交点有关问题的优越性.

直线与圆的位置关系 第9篇

圆是日常生活中常见的图形之一, 也是平面几何中最基本的图形之一, 它不仅在初中几何学习中有着重要地位, 而且是进一步学习数学以及其他科学的重要的基础。本文在本课题组成员郑泽娜的《圆课程难度的定量分析比较》[1]的基础上对“圆与圆的位置关系”进行课程难度定量分析, 通过比较《大纲》和《标准》中该模块的课程难度变化, 进一步探究该模块的课程难度变化及其对教师教学实践的指导作用。

二、课程难度量化比较

(一) 课程广度比较

通过对比《大纲》和《标准》中的“探究并理解圆与圆的位置关系”的内容, 相比《大纲》, 《标准》减少了五个知识点:1两圆的连心线的性质;2两圆的公切线的性质;3两圆的外公切线的作法;4两圆的内公切线的作法;5切线在作图中的应用。总体上, 《大纲》中 “圆与圆的位置关系”的知识点个数为6个, 即课程广度G1=6;《标准》 的知识点个数为1个, 即课程广度G2=1。

(二) 课程深度比较

总体上, 对比《大纲》, 《标准》中“圆与圆的位置关系”这一知识点的课程深度基本保持一致, 而其他的五个知识点均被直接删除。即《大纲》中相应课程内容的总体课程深度=16;《标准》中相应课程内容的总体课程深度=3。

(三) 课程实施时间

“圆与圆的位置关系”在《大纲》下的教科书中安排7个课时, 于是课程实施时间T1=7;在《标准》下的教科书中安排5个课时, 于是课程实施时间T2=5。

(四) 课程难度变化

根据以上课程广度、课程深度和课程实施时间三个方面的数据, 代入课程难度模型 (1) , 即可得到《大纲》和《标准》的课程难度分别为, (其中, α=0.6) 。很显然, 在这个难度模型下, 《标准》中“圆与圆的位置关系”的课程难度比《大纲》中的低了1.27, 即总体课程难度降低了1.27。

三、教学启发

分析以上数据可知, “圆与圆的位置关系”的课程难度大大降低了, 由于《大纲》和《标准》中该模块的课程广度和课程深度都发生了较大的变化, 影响课程难度变化的主要原因是课程广度的变化进而引发的课程深度变化。以下将具体分析课程广度、课程深度、课程实施时间和总体课程难度变化四个方面对教学实践的启发和指导。

(一) 课程广度变化对教学实践的指导

基于上述分析可知, 相对《大纲》, 《标准》中该模块的课程广度大大减小了。课程内容增强了对课程目标服务的选择性, 为数学教学内容指出了方向, 根据时代发展要求, 考虑学生可持续发展的数学需求, 删除了一些不常用的知识点, 诸如两圆的连心线、公切线性质等知识点, 使得教育面向全体学生, 减轻部分学生过重的学习负担, 并与现实生活以及当代科技相需求相结合, 最大程度体会数学从生活中来, 最终服务于生活。

所以, 教师在具体实践教学中, 应当紧紧围绕《标准》的教学要求, 根据新的教学要求进行相应的教学, 不要顺着老思路继续讲解那些已经被删除的知识点及其延伸出来的题目, 更不要讲怪题、难题, 而应围绕 “探究并理解圆与圆的位置关系”这一要求进行课堂教学。现以《大纲》中“圆与圆的位置关系”的一道经典例题为例。

“证明:相交两圆的连心线, 垂直平分两圆的公共弦 (连心线:连接两圆的线段) ”。此例题不只是简单呈现圆心距与两圆半径大小, 而是要求学生在掌握判断两圆位置关系的基础上, 学会如何利用圆与圆的位置关系来证明两圆位置连心线, 公共弦的位置关系, 对学生来说具有一定难度, 也与《标准》中的教学要求不一致, 不应再继续讲解。

(二) 课程深度变化对教学实践的指导

基于以上对“圆与圆的位置关系”课程深度变化分析可知, 《标准》对《大纲》中该模块的知识点进行了部分删除, 保留下来的“探究并理解圆与圆的位置关系”的难度也跟《大纲》基本一致, 进而使得知识点涉及面较少, 要求学生掌握的知识点减少, 降低了总体的课程深度。

因而, 教师在进行教学的过程中应当针对所保留下来的知识点, 围绕知识点进行课堂教学, 让学生多动手多动脑, 加深学生对知识点的理解与掌握, 并培养学生的数形结合能力、发散思维能力和推理能力。 现以《标准》中“圆与圆的位置关系”的一道经典例题为例。

“已知两圆半径之比是5:3, 如果两圆内切时, 圆心距等于6, 问当两圆的圆心距分别是24、5、20、0时, 相应两圆的位置关系如何”。该例题只要求学生掌握判断两圆位置关系, 只要知道圆心距d与两圆的半径大小, 便可判断两圆的关系, 解题思路简单清晰, 考察学生对两圆位置的数量认识与形象思维的联想能力。 所以教师在教学过程中应当积极引导学生动手动脑, 培养学生的空间想象能力, 动手能力, 分析、概括等理性思维的能力。

(三) 课程实施时间变化对教学实践的指导

基于上述分析可知, 相比于《大纲》, 《标准》中该模块的课程实施时间减少了两个课时, 但由于课程广度与课程深度的大大减小, 使得教师在课堂教学中仍有足够的时间去讲解分析。部分知识点的删除, 这启发着教师在课程教学中切勿将时间浪费在已被删除的知识点及其延伸出来的题目, 而应紧紧围绕《标准》 的教学要求, 将时间用在讲解“探究并理解圆与圆的位置关系”这一内容上。

另一方面, 课程实施时间的减少也启示着教师在教学中应分析学生、分析教学内容、分析课程标准和分析教学目标, 并且改变教学观念、教学方法, 以此提高课堂的教学效率。且在时间允许的情况下, 完成《标准》中的许多探索将对学生更好的掌握知识有着很大的帮助, 从而培养学生的发散思维能力和推理能力。

(四) 课程难度变化对教学实践的指导

基于上述课程难度的比较分析可知, 相比于《大纲》, 《标准》中“圆与圆的位置关系”的总体课程难度系数大大降低了, 即该模块的课程难度大大降低了。 课程广度、课程深度、课程实施时间三个方面的变化, 归根结底就是课程难度的变化。根据上述分析可知, 相对《大纲》, 《标准》中该模块课程中知识点的删除, 使得课程广度大大减小, 进而使得知识点涉及面较少, 要求学生掌握的知识点减少, 降低了总体的课程深度, 而课程实施时间的变化不大, 最终使得总体课程难度降低了。

《标准》中“圆与圆的位置关系”的课程难度降低, 在新课程的潮流下, 广大的教师在实践教学中都应有所调整, 尤其是一些年龄较大的教师, 不要继续顺着老思路, 讲解那些已经被删除的知识点及其延伸出来的题目, 更不要讲脱离教学要求的怪题、难题。而应紧紧围绕新的教学要求作出相应的教学改变, 并以此进行相应的教学, 落实于基础概念、基础知识点, 掌握判断两圆的位置关系以及对两圆位置的数量认识与形象思维的联想能力。教师在课堂教学中注意让学生多动手多动脑, 加深学生对知识点的理解与掌握, 并培养学生的数形结合能力、发散思维能力和推理能力。 教师应当激发学生的学习兴趣并调高学生的学习主动性, 提高他们的数学思维能力, 使学生最大程度体会数学从生活中来, 最终服务于生活。

参考文献

“直线和圆的位置关系”教学设计 第10篇

人教版义务教育课程标准实验教科书九年级上册第二十四章24.2.2直线和圆的位置关系 (第一课时)

二、教学目标

1.知识与技能目标

使学生理解直线和圆相交、相切、相离的概念, 掌握直线和圆的位置关系的性质和判定。

2.过程与方法目标

经历观察、操作、了解直线和圆位置关系的过程, 理解分类、数形结合, 培养观察、分析和概括的能力。

3.情感与能力目标

通过直线和圆的相对运动, 揭示直线和圆的位置关系, 培养学生运动变化的辩证唯物主义观点, 增强学生应用数学的意识。

三、重点与难点

重点是掌握直线和圆的三种位置关系的性质与判定。

难点是如何引导学生发现隐含在图形中的两个数量d和r并加以比较。

四、教学方法

运用自主交流、引导发现、练习提高等方法。

五、教学设计

1.结合实际, 情境导入

前面我们学习了点和圆的位置关系, 请同学们回想一下, 点和圆有哪几种位置关系?

(板书:点和圆的位置关系)

生答: (板书) 点在圆外、点在圆上、点在圆内。

如果圆的半径为r, 点到圆心的距离为d, 这三种位置关系如何用数量来表示呢?

(板书d>r d=r d<r) 强调它们是等价的。

在日常生活中, 除了点和圆的位置关系外, 我们还经常遇到直线和圆的位置关系。请欣赏下列图片: (课件展示插图)

在太阳升起的过程中, 太阳和地平线的位置关系;火车行驶过程中, 车轮与铁轨之间的位置关系。 (边演示边解说)

导入课题:24.2.2直线和圆的位置关系 (一) (板书)

(引导学生通过观察抽象出数学图形并进行描述, 揭示直线与圆存在着不同的位置关系, 自然地导入新课。设计的目的在于创设情境, 激发兴趣, 使学生从生活走进数学, 自然地数学来源于实践的观点。)

2.直观感知, 探索新知

(1) 看一看

定位于上面第一幅图片。问题:在太阳升起的过程中, 太阳和地平线会有几种位置关系呢? (三种) 如果把太阳看作一个圆, 地平线看作一条直线, 可以看出直线和圆会有三种位置关系。 (强调并板书:三种)

(2) 做一做

请同学们在一张纸上作一个圆, 取一把直尺, 把直尺的边缘看成一条直线, 将直尺平放在纸面上, 然后移动直尺, 你发现直线和圆可能有几个公共点? (在同学们自主探讨的同时教师在黑板上画好三个圆备用) 通过刚才的操作, 你发现直线和圆可能有几个公共点? (三种情况:两个、一个或没有) 请一位同学上台画一画, 这三种位置关系我们分别给它一个名称: (对应图形板书:相交 相切 相离) 。我们试着给它们下定义好吗?先请学生试着说出定义后师生再共同总结:当直线和圆有两个公共点时, 我们就说这条直线和圆相交, 这条直线叫做圆的割线;当直线和圆只有一个公共点时, 我们就说这条直线和圆相切, 这条直线叫做圆的切线, 这个唯一的公共点叫做切点;当直线和圆没有公共点时, 我们就说这条直线和圆相离。

(3) 议一议

我们已经知道了直线与圆的三种位置关系, 你能举出生活中直线和圆相交、相切、相离的实例吗?请与同伴交流一下。 (如把筷子放进杯子里, 筷子所在的直线与杯口所在的圆是直线与圆相交;车轮滚动时, 把地面看作一条直线, 两者的关系为直线与圆相切;还可以利用教室中国旗、灯、天花板等采集信息。) 做个生活的有心人, 你会发现数学来源于生活, 学好数学, 我们能更好地指导生活。

(设计的目的在于充分调动学生的积极性, 增强学生积极参与数学活动的意识, 培养学生的实践能力和归纳概括的思维能力, 同时也渗透了分类的数学思想。)

3.自主探究, 形成规律

想一想:类比点和圆的位置关系中d (点到圆心的距离) 与r (圆的半径) 的关系, 在直线与圆的位置关系中, 三种位置关系能否用数量关系来描述?利用自己已画好的图形探索直线与圆的位置关系中d (圆心到直线的距离) 与r (圆的半径) 的数量关系。请一名同学上台画图, 然后请该同学说说做法。 (对应板书:相离 d>r 相切d=r 相交d<r )

重点提示:当直线与圆相交时, 为什么是d<r呢? (可以用直角三角形中斜边大于任一直角边或者点D到圆心的距离来解释。) 然后利用几何画板中的具体数值验证三种数量关系。 (见课件演示)

通过观察和验证知道了由直线和圆的位置关系能推出d与r的数量关系, 反过来由两者的数量关系可以确定直线与圆的位置关系。下面我们来利用这个关系来解决几个具体问题。

(学生通过自主合作交流、探索发现、思维碰撞能获得对数学最深切的感受, 体验到创造的快乐。)

4.及时反馈, 学以致用

题组一:

圆的直径是13cm, 如果直线与圆心的距离分别是: (1) 4.5cm (2) 6.5cm (3) 8cm, 那么直线和圆分别是什么位置关系?有几个公共点?

已知直线l与半径为r的⊙o相交, 且点O到直线l的距离为5, 求r的取值范围。 ( r>5 )

题组二:

已知⊙o的半径R为cm, 点O到直线l的距离为d, 如果直线l与⊙o有公共点, 那么 ( B)

引申:若没有公共点呢?

已知⊙o的半径为6cm, 点P在直线l上, 且OP=6cm, 判断l与⊙o的位置关系。

题组三:

已知Rt⊿ABC中, ∠C=900, AC=3cm, BC=4cm, 点C为圆心作圆, 当半径的长为多少时, AB与⊙C相切?

以点C为圆心, 分别以2cm和2.5cm作圆, 这两个圆与AB有怎样的位置关系?

点C为圆心, R为半径的圆与斜边AB只有一个公共点, 求R的值。 (用几何画板演示)

(当r<4cm或r>4cm时相离;当r=2.4cm或3<r≤4cm时相切;当3≤r<4时相交)

引申:如果有两个公共点呢?没有公共点呢?

(通过练习, 能加深学生对所学知识的理解, 从中体会由“形”归纳“数”, 由“数”判断“形”, 加强数形转化能力的培养, 渗透数形结合的思想。)

5.归纳小结, 延续探究

谈一谈:通过这节课的学习, 你有哪些收获?

先让学生与同桌分享收获的喜悦, 后与大家共同分享。

(师总结) :类比, 点与圆的位置关系学习直线与圆的位置关系;分类, 直线与圆的三种位置关系;数形结合, 直线与圆的三种位置下图形与数量的关系。

6.布置作业

随堂练习2、3。

六、结语

直线、圆的位置关系李会虎 第11篇

1. 直线[l]：[Ax+By+C=0]与圆[(x-a)2+][(y-b)2=r2(r>0)]的位置关系

（1）几何方法：圆心[(a，b)]到直线[Ax+By+C][=0]的距离[d=|Aa+Bb+C|A2+B2]，[dr][⇔]直线与圆相离．

（2）代数方法：

由[Ax+By+C=0,(x-a)2+(y-b)2=r2]消元得到一元二次方程的判别式为△，则△>0[⇔]直线与圆相交；△＝0[⇔]相线与圆相切；△<0[⇔]直线与圆相离．

2. 圆的切线

（1）求过圆上的一点[(x0，y0)]的圆的切线方程

先求切点与圆心连线的斜率[k]，再由垂直关系知切线斜率为[-1k]，由点斜式方程可求得切线方程．如果[k＝0]或[k]不存在，则可直线得切线方程[x=x0]或[y=y0]．

（2）求过圆外一点[(x0，y0)]的圆的切线方程

①几何方法：设切线方程为[y-y0=k(x-x0)]，即[kx-y-kx0+y0=0]．由圆心到直线的距离等于半径，可求得[k]．

②代数方法：设切线方程为[y-y0=k(x-x0)]，即[y=kx-kx0+y0=0]，代入圆的方程，得到一个关于[x]的一元二次方程，由△＝0，可求得[k]．

经过圆外一点[P(x0，y0)]的圆的切线有两条，因此用点斜式或斜截式直线方程求切线时，若有两解，则所求两条切线方程可得；若仅有一解，则另一条必为[x=x0]．

（3）从圆外一点[P(x1，y1)]引到圆[x2+y2+Dx+Ey+F=0]的切线，则点[P]到切点的切线长[d=x21+y21+Dx1+Ey1+F]．

3. 直线被圆截得的弦长

（1）几何方法：运用弦心距[d]、半径[r]及弦的一半构成直角三角形，计算弦长[|AB|=2⋅r2-d2]．

（2）代数方法：运用韦达定理求弦长.

[|AB|=[(xA+xB)2-4xA⋅xB](1+k2).]

例1 已知圆[C]:[(x+1)2+(y-2)2=20]，直线[l]：[mx-y+1-m=0]．

（1）求证：不论[m]取什么实数，直线[l]与圆[C]恒交于两点；

（2）求直线[l]被圆[C]截得的弦长最小时，此时圆上到[l]的距离为[5]的点有几个？

解 （1）（方法一）

[(x+1)2+(y-2)2=20,mx-y+1-m=0.]

联立得

[(1+m2)x2+2(1-m-m2)x+m2+2m-18=0.]

△=[(8m-1)2+75>0]，恒成立，得证．

（方法二）依题得[(x-1)m+(1-y)=0]，直线[l]恒过定点（1，1），圆C的半径[r=25]. 由于定点[A]到圆心[C]的距离[|AC|=5<25]，即定点[A]在圆[C]内，所以过[A]点直线[l]与圆[C]恒有两个交点．

（2）由圆的几何性质知：当弦长[|MN|]最短时，

[l]⊥[CA, d=|CA|=5]，[r=25].

此时满足条件的点有3个．

点拨 求解直线与圆的位置关系问题，优先考虑几何法．

例2 设有半径为3km的圆形村落，[A、B]两人同时从村落中心出发，[B]向北直行，[A]先向东直行，出村后不久，改变前进方向，沿与村落围界相切的直线前进，后来恰与[B]相遇，设[A、B]两人的速度一定，其速度比为3∶1，问两人在何处相遇？

解 设[A、B]相遇在[M]处，速度为[3v、v,]

依题知[OMv=ON+NM3v,]

[3OM＝ON+NM.]

如图，[OM=3cosθ]，[ON=3sinθ]，[NP=3tanθ]，[PM=3tanθ]，

所以[3×3cosθ=3sinθ+3tanθ+3tanθ,]

化简得 [3sinθ=cosθ+1.]

又 [sin2θ+cos2θ=1,]

解得 [cosθ＝45，OM＝154.]

故[A、B]相遇距村落中心[154]km，且位于村落中心正北方向[M]处．

点拨 应用题解题步骤——审题、建模、解模、还原.

例3 如图，已知位于[y]轴左侧的圆[C]与[y]轴相切于点（0，1），且被[x]轴分成的两段弧长之比为2∶1，过点[H(0，t)]的直线[l]与圆[C]相交于[M、N]两点，且以[MN]为直径的圆恰好经过坐标原点[O]．

（1）求圆[C]的方程；

（2）当[t=1]时，求出直线[l]的方程；

（3）求直线[OM]的斜率[k]的取值范围．

解 （1）因为位于[y]轴左侧的圆[C]与[y]轴相切于点（0，1），所以圆心[C]在直线[y＝1]上．

设圆[C]与[x]轴的交点分别为[A、B]，由圆[C]被[x]轴分成的两段弧长之比为2∶1，得[∠ACB＝2π3]，

所以[CA＝CB＝2]， 圆心C（－2，1），

所以圆[C]的方程为[(x+2)2+(y-1)2=4.]

（2）当[t＝1]时，由题意知直线[l]的斜率存在．

设直线[l]的方程为[y=mx+1.]

解 [y=mx+1,(x+2)2+(y-1)2=4,]

得 [x=0,y=1] 或[x=-4m2+1,y=m2-4m+1m2+1,]

不妨令[M-4m2+1,m2-4m+1m2+1]，[N]（0，1）.

因为以[MN]为直径的圆恰好过[O]（0，0）.

所以[OM]·[ON]=[m2-4m+1m2+1]=0，

解得[m=2±3].

所以所求直线[l]的方程为[y=(2+3)x+1]或[y=(2-3)x+1].

（3）设直线[MO]的方程为[y=kx]. 由直线[OM]为圆[C]的割线或切线，则[C]到[OM]的距离不大于2，知[|-2k-1|1+k2≤2]，解得[k≤34.]

考虑直线NO，[y=-1kx]，同理[-1kx≤34.]

解得[k>0]或[k≤-43.]

由（2）知[k＝0]也满足题意，

所以[k]的取值范围是[-∞,-43⋃0,34].

点拨 直线与圆的问题要熟练应用数形结合的思想与方法．

例4 已知点[P(x,y)]在直线[x+2y=3]上移动，当[2x+4y]取最小值时，过点[P(x，y)]引圆[C]：[x-122+y+142=12]的切线，则此切线长等于( )

A．[12] B. [32] C. [62] D. [32]

解 由[x+2y=3]，又[2x+4y]≥[22x⋅4y]=[42]，取得最小值时[x=2y]，此时点[P32,34]，又圆心 [C12,-14]，[d=|PC|=2]，圆[C]的半径[r=22]，那么切线长为[d2-r2=62]，故选C.

点拨 利用重要不等式[a+b]≥[2ab]求最值，要注意等号成立的条件．

例5 直线[ax+by+c=0]与圆[x2+y2=9]相交于两点[M、N]，若[c2=a2+b2]，则[OM]·[ON]（[O]为坐标原点）等于（ ）

A. －7 B. －14 C. 7 D. 14

解 记[OM]·[ON]的夹角为[2θ]，依题意得，圆心（0，0）到直线[ax+by+c=0]的距离等于[ca2+b2=1]， [cosθ=13]， [cos2θ＝2cos2θ－1＝][-79]，[OM]·[ON]＝3·3·[cos2θ]＝－7，故选A.

点拨 结合图形，利用圆的几何性质及向量的数量积公式解决问题．

二、圆与圆的位置关系

1. 用几何方法判断两圆的位置关系

两圆[(x-a1)2+(y-b1)2=r21(r1>0)]与[(x-a2)2+][(y-b2)2=r22(r2>0)]的圆心距为[d]，

[d>r1+r2⇔]两圆外离；

[d=r1+r2⇔]两圆外切；

[|r1-r2|

[d=|r1-r2|⇔]两圆内切；

[0≤d<|r1-r2|⇔]两圆内含．

2. 用代数方法判断两圆的位置关系

方程组[x2+y2+D1x+E1y+F1=0,x2+y2+D2x+E2y+F2=0,]

有两组不同的实数解[⇔]两圆相交；

有两组相同的实数解[⇔]两圆相切；

无实数解[⇔]两圆外离或内含．

例6 已知点[P(1,-2)]，以[Q]为圆心的圆[Q]：[(x-4)2+(y-2)2=9]，以[PQ]为直径作圆与圆[Q]交于[A、B]两点，连接[PA、PB]，则[∠APB]的余弦值为 ．

解 依题意可知：[QA⊥PA，QB⊥PB]，故[PA]、[PB]是圆[Q]的两条切线，[cos∠APB=1-][2sin2∠APQ]=[1-2⋅352]=[725]，故[∠APB]的余弦值为[725].

点拨 利用圆的切线、半径构成的直角三角形及倍角公式解决问题．

例7 已知圆[O]的方程为[x2+y2=2]，圆[M]的方程为[(x-1)2+(y-3)2=1]．过圆[M]上任一点[P]作圆[O]的切线[PA]，若直线[PA]与圆[M]的另一个交点为[Q]，则当弦[PQ]的长度最大时，直线[PA]的斜率是 .

解 弦[PQ]的长度最大，则[PQ]为直径，此时[PA]即为直线[MA]，设直线[PA]的斜率为[k],直线[lPA:y-3=k(x-1)]，即[kx-y+3-k=0]，因为直线[PA]与圆[x2+y2=2]相切，所以圆心（0,0）到直线[PA]的距离为[2]，则[2=|3-k|k2+1]，解得[k＝1]或[k＝-7].

点拨 分析图形的几何特征，可以寻找取最值的条件.

[【专题训练十】]

1．一条光线沿直线[2x-y+2=0]入射到直线[x+y-5=0]后反射，则反射光线所在的直线方程为（ ）

A. [2x+y-6=0] B. [x-2y+7=0]

C. [x-y+3=0] D. [x+2y-9=0]

2．已知圆[C:][(x-a)2+y2≤a2-1]的面积为[S]，平面区域[D：][2x+y≤4]与圆[C]的公共区域的面积大于[12S]，则实数[a]的取值范围是（ ）

A. [(-∞，2)] B. [(-∞，2]]

C. [(-∞，-1)⋃(1,2)] D. [(-∞，-1)⋃(1,2]]

3．在圆[x2+y2-2x-6y=0]内，过点[E]（0，1）的最长弦和最短弦分别为[AC和BD]，则四边形[ABCD]的面积为（ ）

A. 5[2]B. 10[2]

C. 15[2]D. 20[2]

4．设[P]为直线[3x+4y+3=0]上的动点，过点[P]作圆[C：x2+y2-2x-2y+1=0]的两条切线，切点分别为[A、B]，则四边形[PACB]的面积的最小值为（ ）

A. 1B. [32]

C. [23]D. [3]

5．若圆[C：(x-h)2+(y-1)2=1]在不等式[x+y+]1≥0所表示的平面区域内，则[h]的最小值为 .

6．已知圆[C]过点（1，0），且圆心在[x]轴的正半轴上，直线[l：y=x-1]被圆[C]截得的弦长为2[2]，则过圆心且与直线[l]垂直的直线的方程为 .

[【参考答案】]

1. B 2. C 3. B 4. D 5. [2]-2

直线与圆的位置关系 第12篇

由于职高学生的数学基础较弱, 理解能力不强, 灵活运用能力不够, 更棘手的是学生学习数学的积极性不高, 因此, 在降低要求的前提下, 为激发学生学习的热情, 尝试着运用了教育心理学中的“支架式教学模式”, 即:为发展学习者对问题的进一步理解的需要, 事先要把复杂的学习任务加以分解, 以便于把学习者的理解逐步引向深入而提供的一种概念框架。本文通过“搭脚手架”、“进入情境”、“独立探索”、“协作学习”、“效果评价”等几个环节来具体谈谈对本节课的设计。

一、“搭脚手架”

“搭脚手架”, 即:围绕主题, 按“最近发展区”的要求建立概念框架。为引起学生的好奇, 在上课伊始就激发起他们的学习热情, 引用了学生们非常熟悉的唐代诗人王维在《使至塞上》的名句“大漠孤烟直, 长河落日圆”, 并欣赏图片, 为学生进入情境作必要的铺垫。具体应用如下:

师:同学们, 大家还记得唐代诗人王维的《使至塞上》这首诗吗?里面有一句名句:大漠孤烟直…… (拉长声音, 等待学生回答)

生:长河落日圆。

师:很好!大家能不能简单地描绘一下“长河落日圆”的画面呢?

生:太阳在河面上缓缓落下。 (带比划)

师:欣赏一图片。

……

师:这幅画便是“长河落日圆”的写照, 给我们展现了黄河映衬着落日的残红之美。

二、进入情境

让学生在图片上抽象出常见的几何图形:圆、直线。从而将学生引入一定的问题情境, 引出“直线与圆”的三种位置关系。

师:在数学中, 我们可以把远处横卧的长河视为一条…… (放慢语速, 等待学生齐答)

生:直线。

师:临近河面逐渐下沉的一轮落日可以被看做是一个…… (放慢语速, 等待学生齐答)

生:圆。

师:那么, 当落日逐渐下落的时候, 这个“圆”与“直线”的交点的个数会出现几种不同的情形呢? (结合图像回答)

生:有3种。

师:分别是怎样的3种?能画出草图吗?

教师指导学生作图, 并找到较好的一张图作示范:

师:这三幅图中, 交点个数分别是多少呢?

生:图1无公共点, 图2有一个公共点, 图3有两个公共点。

师:由直线与圆的公共点的个数, 得出以下直线和圆的三种位置关系:

(1) 相离:直线与圆没有公共点, 这时我们称直线与圆相离。

(2) 相切:直线与圆有重合的一个公共点, 这时我们称直线与圆相切。

(3) 相交:直线与圆恰好有两个不同的公共点, 这时我们称直线与圆相交。

教师点题:直线与圆位置关系。并板书以上内容。

三、独立探索

利用刚学的“直线与圆”的三种位置关系的概念, 让学生用直线的方程和圆的方程, 独立探索直线与圆位置关系的判断方法。在探索过程中, 教师适时提示、启发, 帮助学生沿概念框架逐步攀升。

师:我们能从图像上直观地判断直线与圆的三种位置关系, 但是, 有时作图是不够精确的, 那么, 如何才能在不精确作图的情况下, 利用直线的方程和圆方程, 准确地判断出直线与圆的三种位置关系呢? (学生独立思考, 教师启发) 刚才我们得出的“相离、相切、相交”的位置关系, 是通过直线和圆的…… (放慢语速, 等待学生齐答)

生:交点个数得出。

师:对!但是, 怎样才能知道交点的个数呢?

生:老师, 是不是可以求出直线和圆的交点, 能求出几组值, 就有几个交点呢?

师:很好!有同学想到, 是否可以通过求直线与圆的交点, 但是, 怎么求呢?回忆一下:如果是两条直线请你求交点, 我们怎么做?

生:联立两直线方程, 解方程组求交点。

师:非常正确!那么, 现在求直线与圆的交点呢?

生:可以联立直线方程和圆方程求解。

师:非常好!那么, 直线的一般方程及圆的标准方程分别怎样?

生:直线的一般方程是Ax+By+C=0, 圆的标准方程是 (x-a) 2+ (x-b) 2=r 2。

师:联立两个方程, 请大家自己试着求交点。

学生独立做, 教师巡视指导, 很快学生就开始放弃了:老师, x, y太难求了。

师:大家消去方程组中的y后, 整理得到关于x的一个什么方程呢?

生:x的一元二次方程。

师:其实, 我们要知道的是交点的个数, 至于精确的交点坐标, 我们需要关心吗?

生:不用。所以, 我们只要判别x的一元二次方程的根的情况就好了。

师:很好!但是, 根的判别式△与直线和圆的交点个数存在着怎样的关系呢?

生:当△>0时, 方程有两个根, 说明直线与圆有两个交点, 是相交;当△=0时, 方程只有一个根, 说明直线与圆只有一个交点, 是相切;当△<0时, 方程无实数解, 说明直线与圆无交点, 是相离。

学生独立小结判断直线与圆的位置关系的第一种方法:代数法。

设圆方程 (x-a) 2+ (x-b) 2=r 2, 直线方程为Ax+By+C=0, 联立方程:

, 消去方程组中的y, 则可得一个关于x的方程:Mx2+Nx+P=0, 求方程的判别式△:

直线与圆相交;直线与圆相切;直线与圆相离

例1:用代数方法判断直线2x-y+3=0与圆 (x-5) 2+ (y+2) 2=36的位置关系。

可让学生自己做, 然后公布答案。但学生普遍反映计算太复杂。

四、协作学习

以四人为一个小组, 对“直线与圆位置关系”的判定方法的简洁性、有效性进行协商、讨论。在共享集体思维成果的基础上, 得出“直线与圆位置关系”的更简洁有效的判断方法, 使得对当前所学内容有比较全面、正确的理解, 即最终完成对所学知识的意义建构。

师:用代数方法计算比较复杂, 那么, 还有更简单、更有效的判断方法吗?以前后两桌为一组, 分组讨论, 结合图形来试着找找更简洁的判断方法。提示:可在上课初所画的“直线”、“圆”三种位置关系的图像中, 测量圆心到直线的距离d与半径r的大小来考虑。

学生讨论, 教师指导, 共同总结出“几何判断法”:

设圆方程 (x-a) 2+ (x-b) 2=r 2, 直线方程为Ax+By+C=0, 则圆心D (a, b) , 圆心到直线Ax+By+C=0的距离为:。因此, 当dr时, 直线l与圆相离。

例2:用几何的方法判断直线2x-y+3=0与圆 (x-5) 2+ (x+2) 2=36的位置关系。

此题与例1相同, 只是判断方法不同, 学生普遍反映, 与第一次比, 这次简单快速得多。同时, 教师指出:以后判别直线与圆的位置关系, 一律都用“几何法”, 而“代数法”只作了解。

五、效果评价

学习效果的评价包括学生个人的自我评价和学习小组对个人的学习评价, 评价内容包括:

(一) 自主学习能力评价

让学生独立完成以下两个练习, 对自己所学作出评价。

练习:判断下列各题中直线与圆的位置关系:

(1) 直线2x-y+3=0, 圆 (x-5) 2+ (y+2) 2=36;

(2) 直线x-3y+2=0, 圆x2+y2+4x-10y-11=0;

请两位学生“板演”, 其余同学独立完成, 然后, 教师点评。

(二) 寓教于乐, 巩固所学内容, 作出学习的效果评价

将班级同学分成两大组, 分别称为A、B组, 进行游戏, 规则如下:

一组同学编出判断直线与圆位置关系的题让另一组的同学判断, 若判断正确, 则答题组得10分;若判断错误, 则出题组得10分。在5分钟内, 看哪组得分最高。

(三) 深入应用, 对所学作出效果评价

利用所学, 进行深入应用, 从而作出对学习效果的评价。

例3:考虑圆x2+y2=16与直线2x-y+c=0的位置关系, 当c为何值时, 直线与圆相交, 相切, 相离?

分析:利用“几何法”, 建立关于c的不等式方程, 然后求c的值。

(四) 利用课堂小结对所学作出效果评价

课堂小结就是对整堂课所学的内容作一下回顾、总结, 其实, 也是对学生学习效果的一方面的评价。

师:同学们, 今天我们学习了哪些重要的内容?

生:判断圆与直线的位置关系的两种方法:几何法、代数法。

直线l:Ax+By+C=0, 圆 (x-a) 2+ (y-b) 2=r 2,

圆心到直线的距离:

方程组:

师:我们应着重掌握什么方法?

生:几何法。

六、支架式教学的课后反思

本节课是让学生理解判断直线与圆的位置关系的两种方法———代数法和几何法, 着重掌握几何法, 能用几何法解决简单问题。

笔者先创设“长河落日圆”的教学情境, 引出本节课所要研究的主题———直线与圆位置关系, 让学生体验探索直线与圆位置关系的过程, 并在教师不断的启发、引导下, 通过学生的思考及小组讨论的方式, 得到判断直线与圆位置关系的两种方法, 同时指出:选择一种简洁的几何法, 来解决以后的相关问题。最后, 通过做游戏和解例题的方式, 活跃了课堂气氛, 又不知不觉地检验了学生的学习效果。

整个过程中, 笔者利用了教育心理学中构建“支架式教学模式”, 通过搭建“阶梯”, 把复杂的学习任务加以分解, 让学生沿着阶梯逐步攀升, 最后摘到“果子”。在学习的过程中, 培养了学生的观察、归纳总结、小组合作及综合运用知识的能力。

参考文献

[1]张大均.教育心理学[M].北京:人民教育出版社, 2006.

[2]丘维声.数学教学参考书第二册 (基础版) [M].北京:高等教育出版社, 2007.

[3]易南轩.数学美拾趣 (第二版) [M].北京:科学出版社, 2004.