二次曲线范文

二次曲线范文（精选8篇）

二次曲线 第1篇

1.1 关于二次曲线的中心

1.1.1 定义

在解析几何中:二次曲线的中心是指平面上一点, 如果这个点平分经过它的二次曲线的任意弦。

1.1.2 结论

结论一:若二次曲线 (A, B, C不同时为零) 为无心曲线, 则由和所确定的两直线为矛盾方程。

结论二:若二次曲线F (x, y) AxÁBxy CyÁDx Ey F0 (A, B, C不同时为零) 为线心曲线, 则由xF0和yF0所确定的两直线重合。

结论三: (二次曲线呃中心命题)

二次曲线 (A, B, C不同时为零) 具有中心的充要条件是:由和所确定的两直线相交, 其交点坐标M (a, b) 即为曲线的中心坐标。

1.2 关于二次曲线的渐近线

渐近线是研究二次曲线性质的重要曲线。本文从二次曲线的欧氏定义和射影定义出发, 用射影观点给出了两个一致的定义, 并给出几种求解渐近线的方法。

1.2.1 欧氏定义

定义过二次曲线中心且以渐近方向为方向的直线称为二次曲线的渐近线。

注椭圆有两条共轭虚渐近线, 双曲线有两条实渐近线, 抛物线不存在渐近线, 本文所指二次曲线渐近线一般是针对双曲线而言。

1.2.2 射影定义

定义过二次曲线上的无穷远点的切线, 如果不是无穷远直线, 则称为二次曲线的渐近线。

定理二次曲线渐近线的欧氏定义和射影定义是一致的。

注二次曲线的渐近线无论在欧氏平面还是射影平面上都是一条过二次曲线中心的直线, 由于在欧氏平面上没有无穷远元素, 所以渐近线和曲线不交。

1.2.3 坐标变换法

二次曲线F (x, y) 0表示双曲线, 可利用坐标变换将二次曲线变为的形式, 则渐近线为, 利用逆变换代入即得的渐近线。

除以上方法外还有不变量法、切线法、分解因式法、试探法、直径法和极限法等。

1.3 关于二次曲线的切线

1.3.1 定义

次曲线的切线解析几何上的切线的定义:如果直线与二次曲线1.3.1相交于相互重合的两个点, 那么这直线就为切线

1.3.2 结论

结论一过椭圆上任意一点的切线平分它的焦点三角形顶角的外角;椭圆上焦点三角形顶角的外角平分线是椭圆的切线。

结论二过双曲线上任意一点的切线平分它的焦点三角形的顶角。双曲线上焦点三角形顶角的平分线是双曲线的切线。

2 二次曲线的应用

例、已知点M (2, 0) , N (2, 0) , 动点P满足条件记动点P的轨迹为W。

(1) 求W的方程。

(2) 若A, B是W上的不同两点, O是坐标原点, 求的最小值。

解: (1) 由知动点P的轨迹是以M, N为焦点的双曲线的右支, 则实半轴长半焦距为c=2, 故虚半轴

(2) 设A, B的坐标分别为xÁ, yÁ, xÂ, yÂ

当AB与x轴不垂直时, 设直线AB的方程为, 与W的方程联立, 消去y得。。

综上, 当AB x轴时, O A O B取得最小值为2。

3 结论

第一小题主要考查的是双曲线概念的应用。要注意区别于概念的差别, 在PM PN的外边无绝对值符号, 所以表示的是双曲线的一支。第二小题主要考查的是向量的的基本公式的应用。

摘要：二次曲线是几何学中重要的组成部分。在中学教育中, 二次曲线是学习的重点、难点。本文主要对二次曲线的一部分性质进行了简单的论述, 对二次曲线的中心、渐近线以及切线进行了初步的探讨。二次曲线在中学数学的教育中有着重要的意义。在中学的各类考试中也是难点的所在, 尤其在高考中。每年的高考卷中, 有一题的简答题, 并且均出现在最后一两题的位置。本文的最后部分就二次曲线在高考中的例题给出了简单的解析、说明。

关键词：二次曲线,切点,中点,渐近线,定点弦

参考文献

[1]吕林根, 徐子道等.解析几何[M].北京:高等教育出版社, 1987.

[2]柏向明等.高等几何[M].北京:高等教育出版社1985.

二次曲线上蝴蝶定理演绎蝶身再离枝 第2篇

关键词：蝴蝶定理；二次曲线；蝶身离枝；内接蝶形

李显权先生的《蝶心离枝亦精彩》把蝴蝶定理从蝶心在枝条上推广到蝶心离枝的情形，郝志刚先生的《蝶身离枝更精彩——蝴蝶定理的一般形式》又把蝴蝶定理从蝶身在枝条上推广到蝶身离枝的情形，得到定理1.

定理1 如图1所示，CDGH为⊙O内接蝶形，各边延长线分别交圆的割线AB于点E，F，P，Q，则=.

笔者研读后，在二次曲线上得到了一个相同的结论，现以定理形式陈述如下：

定理2 如图2所示，CDGH为任意二次曲线的内接蝶形，各边延长线分别交二次曲线的割线AB于点E，F，P，Q，（其中E，P，A，B，Q，F顺序不唯一），则=.

证明：若E，P，A，B，Q，F的顺序如图2所示，设E，P，A，B，Q，F的横坐标分别为xE，xP，xA，xB，xQ，xF.

设CD与GH的交点为M，则以AB所在直线为x轴，过点M且垂直于AB的直线为y轴建立直角坐标系.设A（a，0），B（b，0），并设过A，B两点的任意二次曲线方程为Ux2+Vxy+Wy2+Rx+Sy+T=0. 当y=0时，x1=a，x2=b，所以Ux2+Rx+T=U（x－a）（x－b）=Ux2－U（a+b）x+abU=0.

设CD的直线方程为y=k1x+m，GH的直线方程为y=k2x+m.

则过C，G，D，H四点的二次曲线系方程为

K（x，y）=Ux2+Vxy+Wy2－U（a+b）x+Sy+abU+λ（y－k1x－m）（y－k2x－m）=0（λ∈R）（*）

曲线系（*）包括了除（y－k1x－m）（y－k2x－m）=0之外的任意一条过C，G，D，H的二次曲线方程，也包括由直线CH与DG，或CG与DH组成的退化二次曲线，故曲线系（*）在x轴上有截距xP，xQ.

因此，xP，xQ是方程K（x，0）=0的根. 所以Ux2－U（a+b）x+abU+λ（k1x+m）（k2x+m）=0，

即（U+λk1k2）x2+［λm（k1+k2）－U（a+b）］x+abU+λm2=0.

可得xP+xQ=，xPxQ=.（**）

=?圳=?圳=?圳=?圳a+b++xPxQ+-ab（xP+xQ）=.

由（**）式知

a+b++xPxQ+-ab（xP+xQ）===. 从而有=.

二次曲线 第3篇

如图1所示,设直线AB方程为:lAB(x,y)=0,CD方程为lCD(x,y)=0,AC方程为lAC(x,y)=0,BD方程为lBD(x,y)=0,直线AB,CD与某个圆锥曲线F(x,y)=0相交于A,B,C,D四点.则直线AB,CD与圆锥曲线F(x,y)=0构成的二次曲线系方程可设为lAB(x,y)·lCD(x,y)+λF(x,y)=0.另一方面,过A,B,C,D四点的二次曲线方程可以设成lAB(x,y)·lCD(x,y)+λlAC(x,y)·lBD(x,y)=0.于是求解此类问题有两种解题思路:

思路1:设出直线AB,CD与圆锥曲线F(x,y)=0构成的二次曲线系方程lAB(x,y)·lCD(x,y)+λF(x,y)=0,再与直线AC,BD构成的方程lAC(x,y)·lBD(x,y)=0比较系数.

思路2:设出过A,B,C,D四点的二次曲线方程lAB(x,y)·lCD(x,y)+λlAC(x,y)·lBD(x,y)=0,再与F(x,y)=0比较系数.

例2如图3,已知椭圆方程为直线l:x=m(m为常数,m>a).M为直线l上的一个动点,A1,A2为椭圆与x轴的两个交点.MA1,MA2与椭圆的另一个交点分别为P,Q.求证:直线PQ经过定点,并求出定点坐标.

解析:设A1(-a,0),A2(a,0),M(m,t).

直线MA1方程为(m+a)y-t(x+a)=0,直线MA2方程为(m-a)y-t(x-a)=0,直线A1A2方程为y=0,直线PQ方程为x=my+q.

思路1:

两相交直线MA1,MA2与椭圆构成的二次曲线系方程为

思路2:

过A1,A2,P,Q四点的二次曲线方程可以设成

2例3如图4,椭圆中,右焦点为F.分别过O,F的两条弦AB,CD相交于点E,且OE=EF.证明AC,BD斜率之和为定值.

解析:由OE=EF得直线AB,CD的倾斜角互补,斜率互为相反数.

设直线AB的方程为y=kx,直线CD的方程为y=-k(x-c),直线AC方程为A1x+B1y+C1=0,直线BD方程为A2x+B2y+C2=0.

思路1:两相交直线AB,CD与椭圆组成的二次曲线系方程为

直线AC,BD的方程为(A1x+B1y+C1)(A2x+B2y+C2)=0,展开得

比较系数有A1B2+B1A2=0.

因此直线AC,BD的斜率之和为定值0.

思路2:过A,B,C,D四点的二次曲线方程可以设成

因此直线AC,BD的斜率之和为定值.

例4如图5,已知椭圆方程为.左右顶点分别为A,B.过点N(a2,0)的直线l与椭圆交于C,D两点.直线AD,BC相交于点K.证明点K在一条定直线上.

解析:设A(-a,0),B(a,0),K(s,t).

直线AD方程为(s+a)y-t(x+a)=0,直线BC方程为(s-a)y-t(x-a)=0,直线AB方程为y=0,直线CD方程为x=my+a2.

思路1:两相交直线AD,BC与椭圆构成的二次曲线系方程为

故K(1,t).所以点K在定直线x=1上.

思路2:过A,B,C,D四点的二次曲线方程可以设成

故K(1,t).所以点K在定直线x=1上.

摘要：对于已知两相交直线与某个圆锥曲线相交于四个点,外加一些辅助条件,证明定值或定点问题的题型,采用二次曲线系方程的思路可以简化运算,化繁为简,方向明确,容易掌握.

关键词：相交直线,二次曲线系,定值,定点

参考文献

善用几何性质解决二次曲线问题 第4篇

例1 (2009年辽宁卷) 如图1, 已知F是双曲线的左焦点, 定点A (1, 4) , P是双曲线右支上的动点, 则|PF|+|PA|的最小值为.

解析设双曲线的右焦点为E, 则

点评以曲线上的动点为公共端点的两线段长度之和 (差) 的最值, 常用的几何性质有:两点之间线段最短;三角形两边之差小于第三边;直角三角形的斜边大于直角边等.而圆锥曲线的定义也是最常用的几何性质之一.

结论5已知F是抛物线y2=2px (p>0) 的焦点, P是C上一点, 点A (m, n) 为一定点且满足n2<2pm, 则|PF|+|PA|的最小值为点A到准线的距离.

例2 (2008年全国理) 如图3, 双曲线C的中心为原点O, 焦点在x轴上, 两条渐近线分别为l1, l2, 经过右焦点F垂直于l1的直线分别交l1, l2于A, B两点.已知成等差数列, 且同向.

(1) 求双曲线的离心率.

(2) 设AB被双曲线所截得的线段的长为4, 求双曲线的方程.

(2) 略.

点评利用角平分线的几何性质, 得出关于两个未知量的又一个关系式恰是本题的关键所在!两种解法的共同点都是设出两个未知量, 再结合平面图形的几何性质, 简捷优美, 体现数形的完美结合.

二次曲线中的化简技巧 第5篇

试题1已知动圆G过点F (3/2, 0) , 且与直线l:x=-3/2相切, 动圆圆心G的轨迹为曲线E, 曲线E上的两个动点A (x1, y1) 和B (x2, y2) . (1) 求曲线E的方程; (2) 已知 (O为坐标原点) , 探究直线AB是否恒过定点, 若过定点, 求出定点坐标;若不过, 请说明理由.

解 (1) 过程略, 曲线E的方程为y2=6x.

(2) 当直线AB不垂直x轴时, 设直线AB方程为y=kx+b (k≠0) .

∴b2+6kb+9k2=0, b=-3k, 满足Δ>0.∴直线AB方程为y=kx-3k, 即y=k (x-3) , 因此直线AB恒过定点 (3, 0) .当直线AB垂直x轴时, 可推得直线AB方程为x=3, 也过点 (3, 0) .综上, 直线AB恒过定点 (3, 0) .

另外, 在设定直线方程时, 如果我们不去讨论其斜率是否存在, 可有另外一种形式的直线方程.即设直线AB方程为x=my+n.

根据抛物线标准方程的形式进行y和x的替换, 我们遵循次数低的原则.

试题2过点 (1, 0) 的直线l与中心在原点、焦点在x轴上且离心率为的椭圆C相交于A、B两点, 直线过线段AB的中点, 同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线l对称, 试求直线l与椭圆C的方程.

若k=0, 则l的方程为y=0, 焦点F (c, 0) , 关于直线l的对称点就是F点本身, 不能在椭圆C上, 所以k=0舍去, 从而k=-1, 直线l的方程为y=- (x-1) , 即y=-x+1, 以下同解法一.

解法三假设直线l的方程为x=my+1.将l的方程代入C的方程, 得 (m2+2) y2+2my+1-2b2=0, 则

又因为直线l:y=12x过AB的中点解得m=-1, 从而直线l的方程为y=-x+1.

从以上的解法中可以看出, 直线方程的假设会减少斜率存在性的讨论, 也会减少运算量.

摘要：二次曲线方程的化简是二次曲线理论的重要内容, 是解析几何知识内容教学的一个难点.二次曲线是中学平面解析几何的重点内容之一, 是高考的一个热点, 也是教师的教和学生的学的一大难点.本文就以一题多解的形式去探索化简技巧, 力争寻求一般性解题规律, 为高中学生学习和教师教学提供参考.

二次曲线 第6篇

关键词：二次开发,二次曲线,程序

1引言

Auto CAD是一款非常便捷的绘图软件, 绘图功能非常强大, 广泛应用在机械、电子、建筑等行业, Auto CAD可以绘制圆弧、直线、圆、椭圆等图形, 并且具备十分强大的图形编辑功能。但在一些特殊的场合, 如需要绘制抛物线、双曲线及三角函数等曲线时, Auto CAD显得比较吃力, 因为此软件中并没有直接绘制这些图形的命令, 那么比较直接的办法, 就是先计算出一些关键点的坐标, 然后使用直线段将这些点连接起来, 就可以形成一些曲线的轮廓, 但用此种方法绘制的图形, 形状精度不高, 费时费力。本文通过Auto CAD自带的方便用户进行二次开发的编程工具-Auto LISP, 通过几个典型的曲线的生成过程, 论述了Auto LISP编程语言的写法, 并对其作了总结。

2 Auto LISP语言简介

Auto LISP语言是嵌套于Auto CAD内部, 将LISP语言和Auto CAD有机结合的产物, 使用Auto LISP可以直接调用几乎全部Auto CAD命令, Auto LISP语言既具备一般高级语言的结构和功能, 又具备一般高级语言所没有的强大的图形处理功能。利用Auto LISP语言中灵活的赋值语句, 计算语句, 条件循环语句, 以及简单图形生成命令, 可以非常方便地对Auto CAD进行进行二次开发, 下面以几种典型的曲线为例, 分析如何通过Auto LISP语言编程得到几种常见平面二次曲线的图形。

3生成抛物线轮廓

以抛物线为例, 讲述抛物线程序的编写过程。

绘制方程为y=0.5x2的抛物线。为将问题一般化, 可以将抛物线的方程写为一般式:y=ax2+bx+c。分析, 该抛物线的顶点坐标为x=-b/ (2a) , 曲线沿着直线x=-b/ (2a) 对称分布, 可以设x坐标为自变量并逐步增加, 然后求得对应y坐标的值, 将各点连接起来即为抛物线, 按此思路打开Auto CAD软件, 在工具菜单中点击Auto LISP命令, 进入Visual LISP编辑器窗口下, 根据Auto LISP语言的编写原则, 在此窗口中输入下列代码 (旁边文字为主要注释, 不需输入到窗口界面中) :

程序主体

输入这些代码后, 点击菜单栏中的工具菜单, 选中“加载编辑器中的文字”弹出对话框, 加载此程序。进入到Auto CAD画图命令行, 输入抛物线函数名“pwx”按回车, 即可得到抛物线的图形, 鉴于上述程序没有设置坐标原点, 故程序以CAD系统中的默认坐标系为坐标原点 (以下同) 。

如果想得到不同参数和不同精度的抛物线, 只需在上述程序中, 修改a、b、c和步长h的数值, 以及将起始点和终点重新设定就可以得到了, 非常方便。

4生成双曲线轮廓

绘制方程为:x2-y2=1的双曲线。为了将问题一般化, 可以按双曲线的一般方程来编写程序, 其一般方程为:ax2-by2=c2, 根据方程可以知道, 该曲线的顶点位于 (c/a, 0) 处, 曲线沿x轴对称分布, 所以为了能正确画出图形, 应设置y轴的坐标为自变量, 求得x的坐标值, 然后将各点连接起来。

根据Auto LISP语言的编写原则, 在Visual LISP编辑器窗口下输入如下代码:

程序主体:

在Visua LISP窗口中输入这些代码后, 点击菜单栏中的工具菜单选中“加载编辑器中的文字”弹出对话框, 加载此程序。进入到Auto CAD画图命令行, 输入程序中命名的双曲线名称“sqx”并按回车键, 即可得到双曲线的图形, 见图2。如果要得到不同参数的双曲线, 只需在上述程序中, 修改a、b、c的数值, 以及修改起始点和终点的设定就可以得到了。

其他的平面曲线如三角函数等亦可以按照上面绘制抛物线和双曲线的方法编程得到, 比如方程为y=asinx+b的正弦曲线可以这样来思考:先设定起始点x的坐标, 马上可得到对应点的y坐标, 然后再设定x的变化步长, 求出下一点的x和y坐标, 然后使用直线将两点连接, 设定循环条件, 使各个相邻点的直线段逐渐生成, 即可绘制出整个曲线的图形, 图3即是按此方式绘制出的正弦函数图形。

5结语

本文通过使用Auto CAD的二次开发工具Auto LISP, 利用其开发编程语言编写出了能绘制普通绘图命令无法绘制的抛物线、双曲线以及正弦等常见曲线的程序代码, 并且在Auto CAD系统中执行这些程序代码, 得到了这些图形, 通过在程序中修改曲线方程的参数值就可以画出不同参数的曲线, 为某些特殊的需要绘制二次曲线和三角函数曲线的应用场合提供了一种解决问题的思路。

参考文献

[1]舒飞.中文版Autocad 2004二次开发标准教程[M].上海:上海科学普及出版社, 2004:97-99.

利用二次曲线极线的性质解题 第7篇

思路分析此题可用常规方法解, 即设出A, B, C, D四点坐标, 利用A, P, C, 共线, B, P, D共线得到坐标间关系从而得到M点.

解设A, B, C, D的坐标分别为, 则直线AB的斜率, ∴y1+y2=4, , 因为A, P, C三点共线, 所以, ∵y1≠y3,

化简, 得y1y3- 2 (y1+ y3) + 8 = 0①

以4 - y2替换y1, 得y2y3- 2 (y2+ y3) = 0②

同理由B, P, D三点共线, 得y1y4- 2 (y1+ y4) = 0.

设M (m, n) , 再由A, D, M及B, C, M三点共线分别得到

y1y4-n (y1+y4) +4m=0③

y2y3-n (y2+y3) +4m=0④

将①, ②式分别代入③, ④式得

(2-n) (y1+y4) +4m=0,

(2 - n) (y2+ y3) + 4m = 0.

易得m = 0, n = 2, 即AD与BC交于点M (0, 2) .

这个题目是大庆实验中学高二期末考试题目, 对学生来讲, 圆锥曲线的知识难度大, 解题时运算复杂.此题也可以先设出特殊直线AB, 斜率为1, 解出点M, 再反过来证明所有斜率为1 的直线AB都能使得命题成立. 但这两种解法难度都很大, 运算也繁琐.

此题实际上利用的是圆锥曲线的极线和极点的知识背景.只是并未点破.题目中的点M是P点对应抛物线的极线上的一点而已.极线与极点的概念来自于射影几何, 但近年来, 以极线作为背景的题目日趋增多.2010 年的全国数学联赛中的几题也是可以利用极线解决的, 其推理过程远比直接利用梅涅劳斯定理和圆幂定理简单.首先, 我们先介绍极线的概念.

一、极点与极线的概念说明

(一) 二次曲线中极线的定义

设P为不在二次曲线C上的点, 过点P引两条割线, 依次交圆锥曲线于E, F, G, H, 连接EH, FG相交于点N, 连接EG, FH相交于点M, 则MN为点P关于曲线C的极线, 点P为极线MN关于曲线C的极点.关于极线的几点说明:

1. 若点P在曲线上, P关于曲线的极线即为点P处的切线.也就是每个点都有极线.

2. 按照P不在曲线上的定义, 若定义中的EH, FG平行, 或者EG, FH平行, 则可理解为两条平行线相交于无穷远点.此时极线也是和两平行线平行的.

3. 若过曲线外一点P可做曲线的两条切线, 则极线同时也是点P的切点弦所在直线.

4. 若MN为点P的极线, 则MP也为N的极线, NP也为M的极线, 三角形MNP叫做自极三角形.

(二) 二次曲线的极线公式

若二次曲线的方程为Ax2+ 2Bxy + Cy2+ Dx + Ey + F = 0, P (x0, y0) 为平面内任一点, 则P关于曲线的极线方程为

(三) 极点与极线的对偶性

二次曲线中极线共点于P, 则这些极线相应的极点共线于点P相应的极线, 反之亦然.

二、应用极点与极线的方程及性质解题

例1 解:首先, 由二次曲线极线的方程可知, 抛物线y2=4x点P (2, 2) 对应的极线的方程为y = x + 2, 因为极线斜率与AB斜率相等, 所以AB与CD平行, 相当于无穷远点N, 点M在直线y = x + 2 上.

由极线得定义可知, M的极线为PN, 即y = x, 反用极线的方程求极点, 设M (x0, y0) , y0= x0+ 2, 且y0y - 2 (x + x0) = 0就是直线y = x0, 对比系数可知y0= 2, x0= 0, 即命题成立, M为 (0, 2) .

例2 (2010 年全国高中数学联赛加试第一题逆命题) 如图, 锐角三角形ABC外心为O, K是边BC上一点 (不是中点) , D是线段AK延长线上一点, BD与AC交于N, CD与AB交于M, 求证:若A, C, B, D四点共圆, 则OK⊥MN.

二次曲线 第8篇

随着数控加工技术的广泛应用,机械加工中经常出现由复杂曲线所构成的非圆曲线零件,如柱塞泵、灯罩、模具等。由于产品性能要求的不断提高,对非圆曲线零件的精度要求越来越高。但数控机床的数控系统一般只有直线插补和圆弧插补功能,没有非圆曲线插补指令。因此需要通过宏变量编程、点坐标的计算及图形要求,根据曲线轮廓的解析几何方程y=f(x)将其中的一个参数变量在它的定义域内从一个极限值以一定的插补步进距离(如0.01mm,0.1mm,1°)逐步向另一个极限值变化从而求出任意一个点的坐标值,然后用直线插补G01进行直线拟合加工,完成曲线轮廓的加工。作为一名职业学校机械加工专业教师,如果能深层的掌握、理解及熟练的应用宏程序,则可以方便快捷地进行宏程序编程,提高教学质量,提高产品加工效率和加工精度。

用户宏程序是FANUC数控系统及类似产品中的特殊编程功能。用户宏程序的实质与子程序相似,它也是把一组实现某种功能的指令,以子程序的形式预先存储在系统存储器中,通过宏程序调用执行这一功能,在主程序中只要编入相应的调用指令就能实现功能。把一组以子程序的形式存储并带有变量的程序称为用户宏程序,简称宏程序;调用宏程序的指令称为“用户宏程序指令”或宏程序调用指令(简称宏指令)。宏程序与普通程序相比较,普通程序的程序字为常量,一个程序只能描述一个几何形状,所以缺乏灵活性和适用性。而在用户宏程序的本体中,可以使用变量进行编程,还可以用宏指令对这些变量进行赋值、运算等处理。通过使用宏程序能执行一些有规律变化(如非圆二次曲线轮廓)的动作,从而形成我们需要的非圆二次曲线。应用WHILE语句编写非圆二次曲线宏程序的一般步骤:

(1)选定自变量。非圆曲线中的X和Z坐标均可以被定义成为自变量,一般情况下会选择变化范围大的一个作为自变量,并且要考虑函数表达式在宏程序中书写的简便,为方便起见,我们事先把与Z坐标相关的变量设为#1,#4,将X坐标相关的变量设为#2,#3。

(2)确定自变量起止点的坐标值。必须要明确该坐标值的坐标系是相对于非圆曲线自身中心的坐标系,其起点坐标为自变量的初始值,终点坐标为自变量的终止值。

(3)进行函数变换,确定因变量相对于自变量的宏表达式。

(4)确定公式曲线自身坐标系的中心原点相对于工件原点的代数偏移量(△X和△Z)。

(5)计算工件坐标系下的非圆曲线上各点的X坐标值(#3)时,判别宏变量#3的正负号。以编程轮廓中的公式曲线自身坐标原点为原点,绘制对应的曲线坐标系的X′和Z′坐标轴,以其Z′坐标为分界线,将轮廓分为正负两种轮廓,编程轮廓在X′正方向称为正轮廓,编程轮廓在X′负方向为负轮廓。如果编程中使用的公式曲线是正轮廓,则在计算工件坐标系下的X坐标值(#3)时,宏变量#2的前面应冠以正号;如公式曲线是负轮廓,则宏变量#2的前面应冠以负号,即#3=±#2+△X。

(6)设计非圆曲线宏程序的模板。设Z坐标为自变量#1,X坐标为因变量#2,自变量步长为△W,△X为曲线本身坐标系原点在工件坐标系下X方向偏移量,△Z为曲线本身坐标系原点在工件坐标系下Z方向偏移量,那么非圆曲线段的加工程序宏指令编程模板如下。

#1=Z1(是指定义自变量的起点Z坐标)

WHILE[#1 GE Z2]DO 1;(Z2是指定义自变量的终点Z坐标)

#2=f(#1);(建立自变量与因变量函数关系式)

#3=±#2+△X;(计算曲线上点在加工坐标系的X坐标)

#4=#1+△Z;(计算曲线上点在加工坐标系的Z坐标)

G01 X[#3]Z[#4];

END1

下面就以FANUC 0i-MATE数控系统数控车床为加工机床,以椭圆、正弦曲线的加工为例,对宏程序的应用进行分析。

1 椭圆曲线的加工

下述图形工件毛坯:￠52×78;

椭圆方程:Z2/252+X2/152=1

图形的粗精加工宏程序应用如下:

O0001;

M03 S800 T0101 F0.2;(35度菱形刀片

G00 X52 Z2;(刀具快速定位)

G73 U8 R6;

G73 U0.5 P1 Q2 U0.5;

N1 G00 X47.2;(粗车循环的首句)

GO1 Z0;

#1=5.1;(#1为椭圆曲线公式中自身坐标系中Z坐标,5.1为椭圆曲线上起点的Z值)

WHILE[#1GE-21.9]DO1;(宏程序循环语句,-21.9为椭圆曲线上终止点的Z值)

#2=SQRT[[140625-225*#2*#2]/625];(#2为椭圆曲线各点在公式中的X坐标)

#3=[18+2*#2];(#3为椭圆曲线各点在工件坐标系中的X值)

#4=[#1-5.1];(#4为椭圆曲线各点在工件坐标系中的Z值)

GO1 X[#3]Z[#4];(通过直线插补进行直线拟合形成椭圆)

#1=#1-0.1;(插补步进距离为0.1 mm)

END 1;

G00 X52;

N2 Z2;(粗车循环的最后一句)

M05;(M05和M00组合应用让机床粗车后主轴停止运转,经检测通过尺寸补偿再精加工)

M00;

N3 M03 S1200 F0.1;(操作面板在自动状态下通过N3检索进行精加工)

T0101;

G70 P1 Q2;

M30;

2 正弦曲线的加工

下述正弦曲线图形中工件毛坯:￠52×93;正弦曲线方程:X=3SIN(Z)。正弦曲线图形粗精加工宏程序应用如下:

O0002;

M03 S800 F0.2;

T0101;(35度菱形刀片)

G00 X48 Z2;(刀具快速定位)

G73 U8 R9;

G73 P1 Q2 U0.5;

N1 G00 X21;

(粗精车循环的首句)

#1=25;(#1为正玄曲线公式中自身坐标系中Z值,25为正弦曲线上起点的Z值)

WHILE[#1 GE-15]DO1;(宏程序循环语句,-15为正弦曲线上终止点的Z值)

#2=3×SIN[Z];(#2为正弦曲线各点在自身公式中的X坐标)

#3=[34+2*#2];(#3为正弦曲线各点在工件坐标系中的X坐标)

#4=#1-50;(#4为正弦曲线各点在工件坐标系中的Z坐标)

G01 X#3 Z#4;(通过直线插补进行直线拟合形成正弦曲线)

#1=#1-0.1;(插补步进距离为0.1 mm)

G01 Z-70;

X48;

N2 G00 Z2;(粗车循环的最后一句)

M05;

M00;(M05和M00组合应用让机床粗车后主轴停止运转,经检测通过尺寸补偿再精加工)

N3 M03 S1200 T0101 F0.1;(操作面板在自动状态下通过N3检索进行精加工)

G70 P1 Q2;

M30;

3 结论

通过以上应用宏程序对椭圆曲线、正弦曲线的加工我们总结如下:依据所提供的图纸建立非圆二次曲线轮廓的坐标中心点,计算出非圆二次曲线中曲线起点相对于曲线坐标中心点的Z坐标值,把该值赋予变量#1,通过函数公式计算出变量#2,再计算出工件坐标中心点与非圆二次曲线坐标中心点之间的Z值,把该值赋予变量#4,这样我们应用宏程序中用户程序的WHILE语句形式,把非圆二次曲线的编程的内容放在G73固定循环中完成非圆二次曲线的加工,并且应用这种方法可以加工出其它的非圆二次曲线。另外特别注意的是对于数控车使用FANUC系统加工曲线时,在该系统下宏程序的应用只能在G73固定循环的语句下应用,而不能在G71固定循环语句下应用。

摘要：用户宏程序是数控系统及类似产品中的特殊编程功能。依托宏程序编程加工一些有规律变化的非圆曲线轮廓的产品,可以提高产品的加工效率和加工精度,满足现代工业产品的加工要求。所谓非圆二次曲线指椭圆、抛物线、双曲线、正弦曲线等的二次函数轮廓线,应用宏程序通过曲线轮廓的函数方程、宏变量编程、点坐标的计算而最终方便快捷地完成产品的加工。

关键词：宏程序,非圆二次曲线,椭圆曲线,正弦曲线,直线拟合

参考文献

[1]沈建国.数控车床编程与操作实训[M].北京:国防工业出版社,2008.

[2]明兴祖.数控加工技术[M].北京:化学工业出版社,2003.