三角函数常见解题技巧

三角函数常见解题技巧（精选8篇）

三角函数常见解题技巧 第1篇

例1 不查表求cos20°·cos40°·cos60°·cos80°的值.

分析 该题是求四个余弦之积, 一般的解题思路是利用积化和差的方法, 但计算比较复杂.如果我们利用倍角公式:sin2α=2sinα·cosα的变形:undefined, 则计算过程将得到简化.

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例2 已知undefined, 求sinα的值.

分析 解该题的一般思路是将已知条件展开后得undefined, 再和sin2α+cos2α=1联立, 然后求出sinα.但如果我们利用α= (α+60°) -60°这一技巧, 则解题过程将得到简化.

解 sinα=sin[ (α+60°) -60°]

=sin (α+60°) cos60°-cos (α+60°) sin60°,

∵60°<α<90°,

∴120°<α+60°<150°.

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例3 已知tan (α+β) =2, tan (α-β) =3, 求tan2α, tan2β的值.

分析 解该题的一般思路是将已知条件用正切的两角和、两角差公式加以展开, 从中解出tanα, tanβ, 再利用倍角公式求出tan2α, tan2β, 这种计算方法比较麻烦.但如果我们利用2α= (α+β) + (α-β) , 2β= (α+β) - (α-β) 这一技巧, 则解题过程将得到简化.

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例4 在非Rt△ABC中, 求证:tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC.

分析 本题是三角证明题, 利用一般的证明方法来证甚繁.但如果利用公式undefined的变形:tanα+tanβ=tan (α+β) (1-tanα·tanβ) , 则问题很容易得到解决.

证明 ∵A+B+C=π, 故A+B=π-C.

tanA+tanB+tanC=

tan (A+B) (1-tanA·tanB) +tanC=

tan (π-C) (1-tanA·tanB) +tanC=

-tanC+tanA·tanB·tanC+tanC=

tanA·tanB·tanC.

例5 求证:undefined

分析 证明该题的方法很多, 比如我们可证明:左边-右边=0;也可以将左、右两边化为undefined;还可以用比例的性质证得内项之积等于外项之积.但如果在证明的过程中利用1=sec2α-tan2α, 则该题的证明很快就可以得到解决.

undefined

例6 化简:undefined

分析 求解本题的一般思路为先将2α化为α, 再将余弦化为正弦, 这样做不但计算麻烦, 而且常常容易出错.但如果我们在解题过程中将cos6α+sin6α化成 (cos2α) 3+ (sin2α) 3这一形式, 然后再利用立方和的公式进行计算, 则问题很容易得到解决.

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摘要：在初等数学中, “三角函数”占有重要的一席之地.学好“三角函数”不仅可以培养学生的逻辑思维能力, 而且是学好高等数学的基础.本文根据“三角函数”的特点结合教学实践, 给出了三角函数解题技巧数例, 供大家讨论.

关键词：初等数学,三角函数,解题技巧

参考文献

高一数学函数值域解题技巧 第2篇

通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。例1求函数y=3+√(2－3x)的值域。

点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2－3x)的值域。解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0，故3+√(2－3x)≥3。∴函数的知域为.点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。

本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。

练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝）二．反函数法

当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。

点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。

解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。

练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。（答案：函数的值域为｛y∣y<－1或y>1｝）三．配方法

当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域

例3：求函数y=√(－x2+x+2)的值域。

点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。

解：由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。此时－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4] ∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2] 点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一种重要的思想方法。

练习：求函数y=2x－5＋√15－4x的值域.(答案:值域为{y∣y≤3})四．判别式法

若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。

例4求函数y=(2x2－2x+3)/(x2－x+1)的值域。

点拨：将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式，从而确定出原函数的值域。

解：将上式化为（y－2）x2－(y－2)x+(y-3)=0（＊）

当y≠2时,由Δ=(y－2)2－4（y－2）x+(y－3)≥0，解得：2＜x≤10/3 当y=2时,方程(＊)无解。∴函数的值域为2＜y≤10/3。

点评：把函数关系化为二次方程F(x,y)=0，由于方程有实数解，故其判别式为非负数，可求得函数的值域。常适应于形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函数。

练习：求函数y=1/(2x2－3x+1)的值域。（答案：值域为y≤－8或y>0）。五．最值法

对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的极值,并与边界值f(a).f(b)作比较,求出函数的最值,可得到函数y的值域。

例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且满足x+y=1,求函数z=xy+3x的值域。

点拨：根据已知条件求出自变量x的取值范围，将目标函数消元、配方，可求出函数的值域。

解：∵3x2+x+1＞0，上述分式不等式与不等式2x2-x-3≤0同解，解之得－1≤x≤3/2，又x+y=1，将y=1-x代入z=xy+3x中，得z=-x2+4x(-1≤x≤3/2)，∴z=-(x-2)2+4且x∈[-1,3/2],函数z在区间[-1,3/2]上连续，故只需比较边界的大小。

当x=-1时，z=－5；当x=3/2时，z=15/4。∴函数z的值域为｛z∣－5≤z≤15/4｝。

点评：本题是将函数的值域问题转化为函数的最值。对开区间，若存在最值，也可通过求出最值而获得函数的值域。

练习：若√x为实数，则函数y=x2+3x-5的值域为（）

A．（－∞，＋∞）B．[－7，＋∞] C．[0，＋∞）D．[－5，＋∞）（答案：D）。六．图象法

通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域。例6求函数y=∣x+1∣+√(x-2)2 的值域。

点拨：根据绝对值的意义，去掉符号后转化为分段函数，作出其图象。解：原函数化为 －2x+1(x≤1)y= 3(-12)它的图象如图所示。

显然函数值y≥3,所以，函数值域[3，＋∞]。

点评：分段函数应注意函数的端点。利用函数的图象

求函数的值域，体现数形结合的思想。是解决问题的重要方法。

求函数值域的方法较多，还适应通过不等式法、函数的单调性、换元法等方法求函数的值域。七．单调法

利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域。例1求函数y=4x－√1-3x(x≤1/3)的值域。

点拨：由已知的函数是复合函数，即g(x)= －√1-3x,y=f(x)+g(x)，其定义域为x≤1/3，在此区间内分别讨论函数的增减性，从而确定函数的值域。

解：设f(x)=4x,g(x)= －√1-3x ,(x≤1/3),易知它们在定义域内为增函数，从而y=f(x)+g(x)= 4x－√1-3x

在定义域为x≤1/3上也为增函数，而且y≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此，所求的函数值域为｛y|y≤4/3｝。

点评：利用单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区间，结合函数的增减性，求出其函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值域。练习：求函数y=3+√4-x 的值域。(答案：｛y|y≥3｝)八．换元法

以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形式，进而求出值域。

例2求函数y=x-3+√2x+1 的值域。

点拨：通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数，利用二次函数的最值，确定原函数的值域。

解：设t=√2x+1（t≥0）,则 x=1/2(t2-1)。

于是 y=1/2(t2-1)-3+t=1/2(t+1)2-4≥1/2-4=-7/2.所以，原函数的值域为｛y|y≥－7/2｝。

点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而确定出原函数的值域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。

练习：求函数y=√x-1 –x的值域。（答案：｛y|y≤－3/4｝ 九．构造法

根据函数的结构特征，赋予几何图形，数形结合。例3求函数y=√x2+4x+5+√x2-4x+8 的值域。

点拨：将原函数变形，构造平面图形，由几何知识，确定出函数的值域。解：原函数变形为f(x)=√(x+2)2+1+√(2-x)2+22 作一个长为

4、宽为3的矩形ABCD，再切割成12个单位 正方形。设HK=x,则ek=2-x,KF=2+x,AK=√(2-x)2+22 , KC=√(x+2)2+1。

由三角形三边关系知，AK+KC≥AC=5。当A、K、C三点共 线时取等号。

∴原函数的知域为｛y|y≥5｝。

点评：对于形如函数y=√x2+a ±√(c-x)2+b(a,b,c均为正数)，均可通过构造几何图形，由几何的性质，直观明了、方便简捷。这是数形结合思想的体现。

练习：求函数y=√x2+9 +√(5-x)2+4的值域。（答案：｛y|y≥5√2｝）十．比例法

对于一类含条件的函数的值域的求法，可将条件转化为比例式，代入目标函数，进而求出原函数的值域。

例4已知x,y∈R，且3x-4y-5=0,求函数z=x2+y2的值域。

点拨：将条件方程3x-4y-5=0转化为比例式，设置参数，代入原函数。解：由3x-4y-5=0变形得，(x3)/4=(y-1)/3=k(k为参数)∴x=3+4k,y=1+3k, ∴z=x2+y2=(3+4k)2+(14+3k)2=(5k+3)2+1。当k=－3/5时，x=3/5,y=－4/5时，zmin=1。函数的值域为｛z|z≥1｝.点评：本题是多元函数关系，一般含有约束条件，将条件转化为比例式，通过设参数，可将原函数转化为单函数的形式，这种解题方法体现诸多思想方法，具有一定的创新意识。

练习：已知x,y∈R，且满足4x-y=0,求函数f(x,y)=2x2-y的值域。（答案：｛f(x,y)|f(x,y)≥1｝）

十一．利用多项式的除法

例5求函数y=(3x+2)/(x+1)的值域。

点拨：将原分式函数，利用长除法转化为一个整式与一个分式之和。解：y=(3x+2)/(x+1)=3－1/(x+1)。∵1/(x+1)≠0，故y≠3。

∴函数y的值域为y≠3的一切实数。

点评：对于形如y=(ax+b)/(cx+d)的形式的函数均可利用这种方法。练习：求函数y=(x2-1)/(x-1)(x≠1)的值域。（答案：y≠2）十二．不等式法

例6求函数Y=3x/(3x+1)的值域。

点拨：先求出原函数的反函数，根据自变量的取值范围，构造不等式。解：易求得原函数的反函数为y=log3[x/(1-x)], 由对数函数的定义知 x/(1-x)＞0 1-x≠0

解得，0＜x<1。

∴函数的值域（0，1）。

点评：考查函数自变量的取值范围构造不等式（组）或构造重要不等式，求出函数定义域，进而求值域。不等式法是重要的解题工具，它的应用非常广泛。是数学解题的方法之一。

试分析高中三角函数问题与解题技巧 第3篇

关键词：高中数学；三角函数；解题技巧；存在问题

三角函数是高中数学教学的重要知识点，特别是对于理科学生来讲，物理、化学等科目中都会运用到三角函数。三角函数除了能解决数学等科目难题外，还能提高学生利用三角函数思维解决问题的能力。所以，在高中数学中进行三角函数的学习至关重要，注重三角函数公式的运用、三角函数单调性等，尽量在三角函数问题解题中少犯错误，获得良好的学习效果。

一、高中三角函数解题中常遇到的问题

1、对三角函数名称选择不当（多数出现在求角度的问题中）。利用已知角来进行三角函数的求解，是以一种逆向思维，而学生常常会对角的范围以及象限进行错误的判断，导致三角函数解题进入误区。

2、对三角函数平移概念的误读。平移的运用是三角函数的重点，在解题过程中学生通常难以把握平移的原则，将平移图形以及公式分开来看，对平移问题产生错误的解读，所以，梳理平移的概念必不可少，正确运用平移技巧进行三角函数的解题，确保解题的顺利。

例题：已知曲线方程式为，它首先沿着x轴靠右平移个基本单位，接着沿着y轴靠下平移1个基本单位，平移后的方程式改变为（ ）

解题思路：原曲线方程式可变形为，将曲线向右平移、接着向下平移后可以得出方程式为，根据四个答案格式要求来看，可以将该方程式变形为。故该题正确答案为C。

分析：这道题所涉及到的三角函数考点就是平移问题，在熟练掌握三角函数公式和概念的基础上，还需要对平移概念进行梳理，就可以将已知的量进行转换，得到问题的答案。

二、高中三角函数的解题技巧

1、化弦切割。所谓化弦切割指的是将已知问题中三角函数的正切、余切，以及三角函数中的正割、余割转化为三角函数正弦、余弦，将复杂的三角函数问题简单化，进行三角函数的解答。

例题：将sin50°（1+tan10°）进行化简。

解题技巧：该题属于典型的三角函数化弦切割问题，可以通过相应的三角函数公式进行解题。题目中包含着两种三角函数，即正弦、正切，通过运用切化弦进行正弦、余弦的转换，接着使用倍角公式和两角和公式，对原式进行化简。

故原式可以化简为

2、对角进行转化。由于三角函数对角的要求比较特殊，所以将已知条件中的角转化为单角，同时将其中的一个角看成基础量，可以便于学生通过角的转化进行三角函数的解答。

例题：sin20°cos70°+sin10°sin50°的值为多少。

解题技巧：将上述题目中的特殊角利用三角函数公式转化为便于计算的数值，通过这些特殊角值的相互消除、化简，找出sin20°cos70°+sin10°sin50°的值。

正解：

3、化弦成切。化弦成切的技巧与化弦切割技巧类似，都是通过分析已知条件进行函数的转化来便于自己计算，化弦成切可以将三角函数各个公式之间的形式转换，也能提高运用三角函数解题的速度。

例题：已知sinα=，α∈（，π），tan（π-β）=，求出tan（α-2β）的值。

解题技巧：通过将正弦余弦化成切进行该题运算，由已知条件可以知道，sinα的值不会为0，所以，可以通过分子分母同时与cosα相除的方法进行换算，由此可以得出答案。

正解：

由已知条件sinα=，α∈（，π）可知cosα=-，tanα=-

又由tan（π-β）=→tanβ=-

所以tanβ==-

4、参数的引用。参数的引用在三角函数解题中比较常见，通过引用参数来替换相应的函数式子，在这个参数范围内找到最大值和最小值，方便三角函数解题。

例题：已知0

解题技巧：根据已知条件可以知道，正弦和余弦的最大值和最小值都有一个范围，将这两个弦的和进行参数的代换，可以得出正弦和余弦的平方和等于1，这是一个特殊基数，故原函数用参数t进行替换，为后面的求值提供一个特殊条件。

正解：

根据已知条件可以得出y=（1+）（1+）=（1+sinx+cosx）（）

将参数t引入，令sinx+cosx=t（1

可以得出y=1+

又由1

y≥3+2，该函数的的最小值为3+2。

三、结语

在进行高中三角函数解题中，需要尽量避免对知识点的错误应用，运用合理正确的解题技巧进行辅助，综合把握三角函数的定义和常用公式，角象限的的变化以及值域的变化，根据三角函数的性质进行解题，提高学习效率。

参考文献

[1] 白符陵.高中数学三角函数的教学策略研究[D].海南师范大学，2014.

[2] 南芳.高中数学函数内容教学策略的研究[D].辽宁师范大学，2014.

[3] 郝连军.例析高中数学三角函数解题中存在的问题[J].新课程（中旬），2013，10：211.

例说三角函数几种常用的解题技巧 第4篇

一、切割化弦

是将题中出现的正切、余切函数, 正割、余割函数均化为正弦、余弦函数.

例1 化简undefined

分析 题目中含有正弦、正切, 采用“切化弦”, 变为仅含有正弦、余弦的三角式, 然后采用引入辅助角的方法, 利用两角和公式、倍角公式等变化手段将问题化简到底.

undefined

∴原式undefined

例2 化简 (1+tan2θ) cos2θ.

分析 该题是典型的“切割化弦”题, 连续两次运用公式即可得到答案.

解法1 原式=sec2θcos2θ (化切为割)

undefined. (化割为弦)

解法2 原式undefined (化切为弦)

=cos2θ+sin2θ=1.

二、化弦为切

应用万能公式或将题目进行适当变形把题中所给的正弦、余弦函数化为正切、余切函数, 这样就可以把问题转化为以tan为变量的“一元有理函数”, 实现三角问题向代数问题转化.

例3 已知tanα=2, 求undefined的值.

分析 由已知条件可知cosα不可能为0, 所以分子分母可同时除以cosα, 把弦转化成切, 进而把tanα的值代入式中, 即可求得答案.

解 原式undefined

例4 已知undefined, 求3cos2θ+4sin2θ的值.

分析 将已知条件中正弦、余弦三角函数化为正切函数, 从而解出tanθ, 然后运用三角函数万能公式将所求的三角函数式用tan表示, 即可解题.

undefined

∴原式undefined

三、角的转化

将题中的倍角、半角和 (差) 角化为单角, 或者确定某一种角作为基本量, 将其它形式的角转化为这种形式的角, 这有利于解题.

例5 求sin20°cos70°+sin10°sin50°的值.

分析 根据三角函数结构及角度特点, 可利用积化和差公式, 这样会出现特殊角的函数值, 还可以出现正负相消的项, 从而达到求值目的.

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四、升幂降幂

公式2cos2α-1=1-2sin2α=cos2α, sin2α+cos2α=1等逆顺运用可使三角函数式进行升降次, 从而达到化简、证明、求值的目的.

例6 化简undefined

分析 化简就是使表达式经过某种变形, 使结果尽可能简单, 项数尽可能少, 次数尽可能低, 分母中尽可能不含三角函数符号, 能求值一定求值.

解法1 (升幂, 公式sin2α+cos2α=1的逆用)

undefined

解法2 (降幂, 公式sin2α+cos2α=1的顺用)

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五、“1”的演变

解答三角函数问题, 对“1”进行巧妙的演变, 会使问题得以简化.“1”的演变公式常用的有sin2α+cos2α=1, 1+tan2α=sec2α, 1+cot2α=csc2α, tanαcotα=1, sinαcscα=1, tan45°=cot45°=1, cos2α=2cos2α-1=1-2sin2α等.

例7 已知α是第一象限角, 化简undefined

分析 对于根式的化简, 主要是去掉根号, 因此要考虑根式下1+2sinαcosα.

是否能够配成完全平方式, 自然而然我们就想到了公式sin2α+cos2α=1.

undefined

undefined

例8 求值undefined

分析 题目是以分式的形式出现, 它与两角和的正切公式有形式上的区别, 若能想到将1用一个角的正切值表示, 则就会联想到tan45°=1, 想到这一点, 此题求值就迎刃而解了.

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三角函数中的解题技巧较多, 上面仅仅列举了几例说明了一些常用的方法.此外解三角函数题时, 有时还需用辅助角、复数化、几何代换等方法, 同时还要注意三角函数的定义域、值域的变化情况.总之以上是三角函数解题中最常用的一些方法技巧, 供大家参考.

摘要：“三角函数”是中专数学的重要组成部分, 同时它又是学习高等数学的基础知识.而掌握三角函数的解题技巧能增强学习三角函数知识的信心, 本文通过举例说明三角函数的一些解题技巧.

初中数学二次函数解题技巧 第5篇

数形结合的方法，就是将数字与图形二者进行相互变换，不仅可以把问题变得更加简单，而且可以把抽象的问题变得更加具体，这种方法在数学的学习过程中经常用到. 通过对二次函数的定义以及性质进行学习，我们了解到它的图像是一个抛物线，并且它的图像还具有非常多的特殊性

例如，它具有对称性、单调性等等，我们在对二次函数求解的过程中，可以充分地利用它的图像所具有的这些性质，它不仅可以把复杂的二次函数变得更加的简单，而且可以把二次函数变得更加直观. 抛物线具有的对称性是一个非常重要的解题思路. 二次函数图像的对称轴一般与y轴平行或者重合;它的另一大特性是连续性，并且与其对应的方程最多只能够有两个实根，因此就会产生一个区间，这可以为我们的解题带来很多方便. 在解题的过程中还可以利用二次函数的单调性，这也是经常用到的方法.

代数推理

众所周知，二次函数的函数式是y = ax2 + bx + c，观察其函数式非常的简单，而与其对应的抛物线图像却比较容易发生变形，例如，在其中会有一般式、顶点式以及零点式等等，因此，在解决二次函数问题的过程中，其函数式会得到非常广泛的应用. 在二次函数的函数式y = ax2 + bx + c中，具有三个变量a，b，c，在确定这三个变量时一定要给出三个相互独立的条件，有一些时候将所给出的条件全部应用完成之后还不能够得出三个变量的值，这时我们就要使用逆向思维，看给出的条件中是否含有隐含条件，我们不能够被其中的假象迷惑;

英语感叹句常见题型的解题技巧 第6篇

一、 陈述句变为感叹句（句型转换）

这类题目可以用口诀“一断二加三换位”来解。所谓“一断”就是第一步将该陈述句在谓语动词后面断开，如下面的例句1就是在动词is后面断开。“二加”即第二步在断开处加感叹词what或how（若断开后的后半部分中心词是名词，则用what；若断开后的后半部分中心词是形容词或副词，则用how）；例句1断开后中心词是名词girl，故在断开处加上感叹词what。“三换位”即第三步把前两步所得到的两部分交换位置。例句1中的第一部分She is和第二部分what a beautiful girl交换位置，这样整理后得到感叹句：What a beautiful girl she is!

①一断②二加what

例1

注意：若原陈述句中有very, too, quite, rather等程度副词，变为感叹句后要去掉。另外，感叹句的主语和动词可以同时省略。如例1所得感叹句也可写成Whatabeautifulgirl!

二、 选择感叹词（选择）

即选择what或how。确定用what还是how，必须先弄清被修饰的词是什么。完整的感叹句中，被修饰的词位于主语之前。如：

例2________fine day it is!

A. What aB. What

C. How aD. How

主语是it，所以被修饰的词就是it之前的可数单数名词day,故选A。

注意：若感叹句中的主语和动词均被省略，则该句的最后一个词就是被修饰的词。

三、 感叹句互换（同义句转换）

这类题目的实质是将以what引导的感叹句与how引导的感叹句互换，互换的条件是句中的谓语动词是系动词be。要正确解答这类题就必须熟练掌握感叹句句式。感叹句的基本句式为：

A. What+a/an+ adj.+ n.(单数) + 主语 + 动词 +！

B. What+adj. + n.(复数/不可数) + 主语 + 动词 +！

C. How+adj./adv. + 主语 + 动词 +！

例3Whatanicewatchitis!(同义句转换)

nice the watch is!

该例原句是以what引导的感叹句，可参照句式C，并结合上文，改为由how引导的感叹句，即Hownicethewatchis!

四、 感叹句找错（改错）

这类题目有两种情况：

（一）误用感叹词 解这类题可参照题型二的解法先确定感叹词。如：

例4How goodnewsitis!

经观察发现，该句的主语是it，故被修饰的词是不可数名词news，所以感叹词应使用what，故A是错误的（应将How改为What）。

（二）句子结构有错解这类题可参照题型三的解法，依据感叹句的基本句式对错误的句子进行整理，如：

例5 Whatgoodweather is!

AB C D

该句由感叹词what引导，并且weather 是不可数名词，对照感叹句的基本句式B，该句没有主语，故应在is前面加上it。修改后的感叹句是What good weather it is!

只要同学们认真学习、多多训练，碰到类似题目就会迎刃而解。

巩固练习

一、句型转换（将下列陈述句改为感叹句）

1.This is a very interesting book.

2.They are working hard.

3.The hole is too big.

4.Those are the most beautiful feathers.

5.He smiles very happily.

二、选择（选择感叹词）

( )1.________ nice book it is !

A. WhatB. HowC. What a D. How a

( )2.________ tall buildings they are!

A. WhatB. HowC. What a D. How

( )3.________ a clever boy!

A. WhatB. How C. What aD. How a

( )4. ________ great the music sounds!

A. WhatB. How C. What aD. How a

( )5. ________ white and clean paper!

A. WhatB. HowC. What aD. How a

三、改错（先选出错误的一项，然后在后面的横线上写出正确的答案）

（）1.What a fine weather it is！

（）2. How amazing story in the newspaper is!

（）3.How careful the driver is driving!

（）4.What a dangerous robber is！

三角函数常见解题技巧 第7篇

一、定理法则理解不透

例1已知:如图1, BC=BD, ∠ACB=∠ADB.求证:AC=AD.

【错误解法】连接AB.

在△ABC和△ABD中,

【错因分析】本题连接AB, 将四边形转化为三角形, 利用SAS证△ABC和△ABD全等, 但实际上却是用了不能判定三角形全等的SSA, 从而导致解题错误.

【正确解法】连接CD. (如图2)

∵BC=BD, ∴∠BCD=∠BDC,

∵∠ACB=∠ADB, ∴∠ACD=∠ADC,

∴AC=AD.

二、隐含条件挖掘不够

例2 (2015·广安) 一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2-7x+10=0的两根, 则该等腰三角形的周长是 () .

A.12 B.9 C.13 D.12或9

【错误解法】∵x2-7x+10=0,

∴ (x-5) (x-2) =0, ∴x1=5, x2=2.

当5为腰长时, 周长=5+5+2=12;

当2为腰长时, 周长=2+2+5=9.

∴等腰三角形的周长为12或9.故选择D.

【错因分析】先求出方程的两根为2、5, 分腰长为5或2两种情况求出等腰三角形的周长, 但是由于对能构成三角形的三条线段的要求没有挖掘从而产生错误.

【正确解法】∵x2-7x+10=0,

∴ (x-5) (x-2) =0, ∴x1=5, x2=2.

当5为腰长时, 5、5、2能构成三角形,

∴等腰三角形的周长=5+5+2=12;

当2为腰长时, 2、2、5不能构成三角形.

故选择A.

三、对应意识非常薄弱

例3已知:△ABC中, AB=8, AC=6, 点D在AC上, 且AD=2, 要在AB上找一点E, 使△ADE与原三角形相似, 则AE=_______.

【错误解法】作DE∥BC交AB于E, 如图3,

则△ADE∽△ACB,

即解得:

【错因分析】本题中要使△ADE与原三角形相似, 就认为一定是△ADE∽△ACB.其实点D可能与点C对应, 也可能与点B对应, 就是说可能是△ADE∽△ACB, 也可能是△ADE∽△ABC, 出错的原因就在于对应意识非常薄弱.

【正确解法】如果△ADE∽△ACB,

那么, 即, 解得.

如果△ADE∽△ABC, 如图4, 那么解得

排列组合几个常见问题的解题技巧 第8篇

一、特殊元素的“优先排列法”

例1:1名老师和4名获奖学生排成一排照相留念, 若教师不在两侧, 则不同的排法有多少种?

二、相邻问题用捆绑法

对于某些元素要求相邻的排列问题, 先将相邻接的元素“捆绑”起来 , 看作一“大”元素与其余元素排列 , 再对相邻元素内部进行排列.

例2:七个人排成一排, 且a, b, c三人必须相邻, 那么不同的排法有多少种?

解析:a, b, c三人必须相邻, 可先将他们看做一个整体与其他4个人共5个人进行全排列, 再考虑a, b, c三人本身的顺序, 所以所求不同的排法有

三、不相邻问题用“插空法”

对某几个元素不相邻的排列问题, 可将其他元素排列好, 然后将不相邻接元素在已排好的元素之间及两端的空隙之间插入.

例3:6个人排成一行, 甲、乙不相邻的不同排法共有____种.

四、定序问题

例4:4个男生和3个女生, 高矮不相等, 现在将他们排成一行, 要求从左到右女生从矮到高排列, 有多少种排法.

解析:先在7个位置中任取4个给男生, 有种排法, 余下的3个位置给女生, 只有一种排法, 故有种排法.

五、试验

题中附加条件增多, 直接解决困难时, 用试验逐步寻找规律.

例5:将数字1, 2, 3, 4填入标号为1, 2, 3, 4, 的方格中, 每方格填1个, 方格标号与所填数字均不相同的填法种数有 ( )

A.6 B.9 C.11 D.23

解析:第一方格内可填2或3或4, 如第一填2, 则第二方格可填1或3或4, 若第二方格内填1, 则后两方格只有一种方法;若第二方格填3或4, 后两方格也只有一种填法.一共有9种填法, 故选B。

六、顺序问题

例6:现有6套不同学科的练习题, 准备分给a, b, c三名学生.

1得3套, 得2套, 得1套, 有多少种不同的分类?

2一人得3套, 一人得2套, 一人得1套, 有多少种不同的分法?

七、隔板法

例7:将10个相同的小球放入6个不同的盒中, 每一个盒中至少放一个球, 有多少种不同的放法?

解析:先将10个小球排成一列, 在它们之间的9个空隙中选5个空隙放入5块隔板就将10个小球分成10组, 再放入对应的6个盒子, 保证每一个盒子中至少有一个小球.故其不同的放法有种.

八、多元问题

分类进行考虑, 注意分类要做到不重不漏.

例8:用数字0, 1, 2, 3, 4, 5组成没有重复数字的六位数, 其中个位数字小于十位数字的共有

A.210个 B.300个 C.464个 D.600个

解析:因为个位数字小于十位数字, 所以个位数字可能为0, 1, 2, 3, 4五种情形:

合并总计得120+72+54+36+18=300种.

九、分组问题

例9:现有6套不同的参考书:

1平均分给3名学生, 有多少种不同的分法?

2平均分成3份, 有多少种不同的分法?

十、染色问题

例10:从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色, 将一个正方体的六个面染色, 每面恰染一种颜色, 每两个具有公共棱的面染成不同的颜色.则不同的染色方案共有____种.

解析:如果我们对两个相同的正方体染色后, 可以通过适当的翻转, 使得两个正方体的上、下、左、右、前、后六个对应面的染色都相同, 那么, 我们就说这两个正方体的染色方案相同.本题情况较为复杂, 我们对用了多少种颜色进行分类讨论.

(1) 若只用三种颜色 , 从六种不同颜色中选用3种颜色有种选法.由于每两个具有公共棱的面染成不同的颜色, 则正方体的相对面均为同色, 由正方体的对称性知这样的染色方案只有一种.因此共有种不同的染色方案.

(4) 用六种不同颜色来涂色 . 则六个面的颜色均不相同 , 假想颜色已经涂好, 我们可以通过适当的翻转, 使上底面均为同一种颜色 (例如红色) , 再考虑下底面, 则一定有5种不同的颜色.对下底面是同一种颜色的 (例如蓝色) , 再用余下的四种颜色涂侧面, 有种涂法.因此共有5×3! =30种不同的染色方案.

综上, 一共有20+90+90+30=230种不同的染色方案.

十一、可以重复问题用住店法

例11:七名学生争五项冠军, 获得冠军的可能种数有 ( )

解析:七名学生看作七家“店”, 五项冠军看作5名“客”, 每个客有7种住法, 由分步计数原理可得57种.故选A.