数学模拟试题范文

2024-09-04

数学模拟试题范文（精选12篇）

数学模拟试题第1篇

1. 3- 1的相反数是()

A. 3 B. - 3 C. -1 /A. 3 /B. - 3 C. -1 3D.1 3A. 3 B. - 3 C. -1 /3D.1 3

2. 将一个直角三角板和一把直尺如图放置,如果 ∠α = 43°,则∠β 的度数是()

A. 47°B. 40°C. 30°D. 60°

3. 某游泳池分为深水区和浅水区,每次消毒后要重新将水注满泳池,假定进水管的水速是均匀的,那么泳池内水的高度随时间变化的图象是( )

4. 如图所示的工件的主视图是( )

7. 如图,在平行四边形ABCD中,E为AB的中点,F为AD上一点,EF交AC于G,AF = 2cm,DF = 4cm,AG = 3cm,则AC的长为( )

A. 9cm B. 14cm C. 15cm D. 18cm

8. 某学校餐厅计划购买10张餐桌和一批餐椅x把,总费用为y元. 现从甲、乙两商场了解到同一型号的餐桌和餐椅报价分别如下: 甲商场满足关系式y = 50x + 1500; 乙商场餐桌每张200元,餐椅每把50元,且所有餐桌、餐椅均按报价的九折销售. 若从甲、乙两商场中选择一家全部购买10张餐桌和x把餐椅,通过计算发现两商场的费用相差100元,则在求x的值时可列出的方程为()

A. 50x + 1500 - ( 45x + 1800) = 100

B. 45x + 1800 - ( 50x + 1500) = 100

C. 50x + 1500 - ( 45x + 1800) = ± 100

D. 50x + 1500 + ( 45x + 1800) = 100

9. 在不透明的口袋中,有四个形状、大小、质地完全相同的小球,四个小球上分别标有数字1 /9. 在不透明的口/袋中,有四个形状、大小、质地完全相同的小球,四个小球上分别标有数字1 2,2,4,-1 3,现从口袋中任取/一个小球,并将该小球上的数字作为平面直角坐标系中点P的横坐标,且点P在反比例函数y =1 x图象上,则点P落在正比例函数y = x图象上方的概率是 ( )9. 在不透明的口袋中,有四个形状、大小、质地完全相同的小球,四个小球上分别标有数字1 /2,2,4,-1 3,现从口袋中任取一个小球,并将该小球上的数字作为平面直角坐标系中点P的横坐标,且点P在反比例函数y =1 x图象上,则点P落在正比例函数y = x图象上方的概率是 ( )

A.1 /A .1 2/B.1 3/C.1 /4D.1 6A.1 /2B.1 3C.1 4D.1 6

10. 如图,直线与x轴、y轴分别相交于A,B两点,圆心P的坐标为( 1,0) ,圆P与y轴相切于点O. 若将圆P沿x轴向左移动,当圆P与该直线相交时,横坐标为整数的点P的个数是( )

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

二、填空题( 本大题共 8 小题,每小题 3 分,共 24 分)

11. 因式分解: a2- 2 =____ .

12. 关于 x 的一元二次方程 kx2﹣ x + 1 = 0 有两个不相等的实数根,则 k 的取值范围是_______.

13. 如图,小明在大楼30米高( 即PH = 30米) 的窗口P处进行观测,测得山坡上A处的俯角为15°,山脚B处的俯角为60°,巳知该山坡的坡度i( 即tan∠ABC) 为1 ∶31/2,点P,H,B,C,A在同一个平面上,点H、B、C在同一条直线上,且PH丄HC. 则A、B两点间的距离( 结果取准确值) 为_____米.

14. 图1是一个边长为1的等边三角形和一个菱形的组合图形, 菱形边长为等边三角形边长的一半,以此为基本单位,可以拼成一个形状相同但尺寸更大的图形( 如图2) ,依此规律继续拼下去( 如图3) , …,则第n个图形的周长是.

15. 在直角△ABC 中,∠C = 90°,其中两边长分别为 6 和 3,BC 为最短边,⊙O 是△ABC 的外接圆,连接 OC,则 cos∠OCB 的值为________为. ( 结果取准确值)

16. 如图所示,在7 × 6的正方形网格中,选取14个格点,以其中三个格点为顶点一画出ABC,请你以选取的格点为顶点再画出一个三角形,且满足条件: 所画的三角形与ABC的面积相等,但不全等.

17. 如图,圆柱底面半径为2cm,高为9πcm,点A、B分别是圆柱两底面圆周上的点,且A、B在同一母线上,用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B,求棉线最短为________cm.

18. 如图,已知动点A在函数y =4 /18. 如图,已知动点A在函数y =4 x( x > 0) 的图象上,AB⊥x轴于18. 如图,已知动点A在函数y =4 /x( x > 0) 的图象上,AB⊥x轴于点B,AC⊥y轴于点C,延长CA至点D,使AD = AB,延长BA至点E,使AE = AC,直线DE分别交x轴于点P,Q. 当时QE∶ DP = 4 ∶ 9,图中阴影部分的面积等于_______.

三、解答题( 本大题共 7 题,共 66 分)

19. ( 本题满分7分) 计算: 4cos45°- 槡8 + ( π+槡30 )0+ ( - 1)2.

20. ( 本题满分8分) 国家教委规定“中小学生每天在校体育活动时间不低于小时”. 为此,某地区今年初中毕业生学业考试体育学科分值提高到分,成绩记入考试总分. 某中学为了了解学生体育活动情况, 随机调查了名毕业班学生,调查内容是: “每天锻炼是否超过小时及未超过小时的原因”,所得的数据制成了的扇形统计图和频数分布直方图. 根据图示,解答下列问题:

( 1) 若在被调查的学生中随机选出一名学生测试其体育成绩,选出的恰好是“每天锻炼超过小时”的学生的概率是多少?

( 2) “没时间”的人数是多少? 并补全频数分布直方图;

( 3) 2014年这个地区初中毕业生约为万人,按此调查,可以估计2014年这个地区初中毕业生中每天锻炼未超过小时的学生约有多少万人?

( 4) 请根据以上结论谈谈你的看法.

21. ( 本题满分8分 ) 如图所示,四边形ABCD是正方形,点E是边BC的中点且∠AEF = 90°,EF交正方形外角平分线CF于点F,取边AB的中点G,连接EG.

( 1) 求证: EG = CF;

( 2) 将△ECF绕点E逆时针旋转90°,请在图中直接画出旋转后的图形,并指出旋转后CF与EG的位置关系. ( 不必说明理由)

2 2 . ( 本题满分9分 ) 如图 ,△ ABC内接于 ⊙ O ,AB为 ⊙ O直径 , AC = CD,连接AD交BC于点M,延长MC到N,使CN = CM.

( 1) 判断直线AN是否为⊙O的切线,并说明理由;

( 2) 若AC = 10,tan∠CAD =3/( 2) 若AC = 10,tan∠CAD =3 4,求AD的长.( 2) 若AC = 10,tan∠CAD =3/ 4,求AD的长.

23. ( 本题满分10分) 已知: y关于x的函数y= x2- ( k + 1) x + k的图象与x轴有且只有一个交点,关于x的一元二次方程kx2- ( m - 3) x - m2= 0.

( 1) 证明: 方程总有两个不相等的实数根;

( 2) 设这个方程的两个实数根为x1,x2,且| x1| = | x2| - 2,求m的值及方程的根.

24. ( 本题满分12分) 在“母亲节”期间,某校部分团员参加社会公益活动,准备购进一批许愿瓶进行销售,并将所得利润捐给慈善机构. 根据市场调查,这种许愿瓶一段时间内的销售量y( 个) 与销售单价x( 元/个) 之间的对应关系如图所示:

⑴试判断y与x之间的函数关系,并求出函数关系式;

⑵若许愿瓶的进价为6元 /个,按照上述市场调查的销售规律,求销售利润w( 元) 与销售单价x( 元/个) 之间的函数关系式;

⑶在⑵的条件下,若许愿瓶的进货成本不超过900元,要想获得最大的利润,试确定这种许愿瓶的销售单价,并求出此时的最大利润.

25. ( 本题满分12分) 如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCD是梯形,BC∥AD,∠BAD + ∠CDA = 90°,且tan∠BAD = 2,AD在x轴上,点A的坐标( - 1,0) ,点B在y轴的正半轴上,BC = OB.

( 1) 求过点A、B、C的抛物线的解析式;

( 2) 动点E从点B( 不包括点B) 出发,沿BC运动到点C停止,在运动过程中,过点E作EF⊥ AD于点F,将四边形ABEF沿直线EF折叠,得到四边形A1B1EF,点A、B的对应点分别是点A1、B1,设四边形A1B1EF与梯形ABCD重合部分的面积为S,F点的坐标是( ,0) .

1 当点 A1落在( 1) 中的抛物线上时,求 S 的值; 2 在点 E 运动过程中,求 S 与的函数关系式.

2在点E运动过程中,求S与的函数关系式.

参考答案

一、选择题

1. C 2. A 3. B 4. B 5. C 6. B 7. C 8. C 9. C 10. B二、填空题

三、解答题

∴ 2014年这个地区初中毕业生每天锻炼未超过1小时约有2. 475万人.

( 4) 说明: 内容健康,能符合题意即可.

21. 解: ( 1) 证明: ∵ 正方形ABCD,点G,E为边AB、BC中点,

∴ AG = EC,即 △BEG为等腰直角三角形.

∴ ∠AGE = 180°﹣ 45° = 135°.

( 2) 画图如图所示:

旋转后CF与EG平行.

初中数学模拟试题第2篇

选择题

1.已知y2+my+16是完全平方式，则m的值是( )

A.8 B.4 C.±8 D.±4

2.下列多项式能用完全平方公式分解因式的是( )

A.x2-6x-9 B.a2-16a+32 C.x2-2xy+4y2 D.4a2-4a+1

3.下列各式属于正确分解因式的是( )

A.1+4x2=(1+2x)2 B.6a-9-a2=-(a-3)2

C.1+4m-4m2=(1-2m)2 D.x2+xy+y2=(x+y)2

4.把x4-2x2y2+y4分解因式，结果是( )

A.(x-y)4 B.(x2-y2)4 C.[(x+y)(x-y)]2 D.(x+y)2(x-y)2

答案：

1.C 2.D 3.B 4.D

以上对因式分解同步练习(选择题)的知识练习学习，相信同学们已经能很好的完成了吧，希望同学们很好的考试哦。

整式的乘除与因式分解单元测试卷(填空题)

下面是对整式的乘除与因式分解单元测试卷中填空题的练习，希望同学们很好的完成。

填空题(每小题4分，共28分)

7.(4分)(1)当x _________ 时，(x﹣4)0=1;(2)(2/3)×(1.5)÷(﹣1)= _________

8.(4分)分解因式：a2﹣1+b2﹣2ab= _________ .

9.(4分)(2004万州区)如图，要给这个长、宽、高分别为x、y、z的箱子打包，其打包方式如图所示，则打包带的长至少要 _________ .(单位：mm)(用含x、y、z的代数式表示)

10.(4分)(2004郑州)如果(2a+2b+1)(2a+2b﹣1)=63，那么a+b的值为 _________ .

11.(4分)(2002长沙)如图为杨辉三角表，它可以帮助我们按规律写出(a+b)n(其中n为正整数)展开式的系数，请仔细观察表中规律，填出(a+b)4的展开式中所缺的系数.

(a+b)1=a+b;

(a+b)2=a2+2ab+b2;

(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3;

(a+b)4=a4+ _________ a3b+ _________ a2b2+ _________ ab3+b4.

12.(4分)(2004荆门)某些植物发芽有这样一种规律：当年所发新芽第二年不发芽，老芽在以后每年都发芽.发芽规律见下表(设第一年前的新芽数为a)

第n年12345…

老芽率aa2a3a5a…

新芽率0aa2a3a…

总芽率a2a3a5a8a…

照这样下去，第8年老芽数与总芽数的比值为 _________ (精确到0.001).

13.(4分)若a的值使得x2+4x+a=(x+2)2﹣1成立，则a的值为 _________ .

答案：

考点：零指数幂;有理数的乘方。1923992

专题：计算题。

分析：(1)根据零指数的意义可知x﹣4≠0，即x≠4;

(2)根据乘方运算法则和有理数运算顺序计算即可.

解答：解：(1)根据零指数的意义可知x﹣4≠0，

即x≠4;

(2)(2/3)2002×(1.5)2003÷(﹣1)2004=(2/3×3/2)2002×1.5÷1=1.5.

点评：主要考查的知识点有：零指数幂，负指数幂和平方的运算，负指数为正指数的倒数，任何非0数的0次幂等于1.

考点：因式分解-分组分解法。1923992

分析：当被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分解.本题中a2+b2﹣2ab正好符合完全平方公式，应考虑为一组.

解答：解：a2﹣1+b2﹣2ab

=(a2+b2﹣2ab)﹣1

=(a﹣b)2﹣1

=(a﹣b+1)(a﹣b﹣1).

故答案为：(a﹣b+1)(a﹣b﹣1).

点评：此题考查了用分组分解法进行因式分解.难点是采用两两分组还是三一分组，要考虑分组后还能进行下一步分解.

考点：列代数式。1923992

分析：主要考查读图，利用图中的信息得出包带的长分成3个部分：包带等于长的有2段，用2x表示，包带等于宽有4段，表示为4y，包带等于高的有6段，表示为6z，所以总长时这三部分的和.

解答：解：包带等于长的有2x，包带等于宽的有4y，包带等于高的有6z，所以总长为2x+4y+6z.

点评：解决问题的关键是读懂题意，找到所求的`量的等量关系.

10.

考点：平方差公式。1923992

分析：将2a+2b看做整体，用平方差公式解答，求出2a+2b的值，进一步求出(a+b)的值.

解答：解：∵(2a+2b+1)(2a+2b﹣1)=63，

∴(2a+2b)2﹣12=63，

∴(2a+2b)2=64，

2a+2b=±8，

两边同时除以2得，a+b=±4.

点评：本题考查了平方差公式，整体思想的利用是解题的关键，需要同学们细心解答，把(2a+2b)看作一个整体.

考点：完全平方公式。1923992

专题：规律型。

分析：观察本题的规律，下一行的数据是上一行相邻两个数的和，根据规律填入即可.

解答：解：(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4.

点评：在考查完全平方公式的前提下，更深层次地对杨辉三角进行了了解.

考点：规律型：数字的变化类。1923992

专题：图表型。

分析：根据表格中的数据发现：老芽数总是前面两个数的和，新芽数是对应的前一年的老芽数，总芽数等于对应的新芽数和老芽数的和.根据这一规律计算出第8年的老芽数是21a，新芽数是13a，总芽数是34a，则比值为

21/34≈0.618.

解答：解：由表可知：老芽数总是前面两个数的和，新芽数是对应的前一年的老芽数，总芽数等于对应的新芽数和老芽数的和，

所以第8年的老芽数是21a，新芽数是13a，总芽数是34a，

则比值为21/34≈0.618.

点评：根据表格中的数据发现新芽数和老芽数的规律，然后进行求解.本题的关键规律为：老芽数总是前面两个数的和，新芽数是对应的前一年的老芽数，总芽数等于对应的新芽数和老芽数的和.

13.

考点：整式的混合运算。1923992

分析：运用完全平方公式计算等式右边，再根据常数项相等列出等式，求解即可.

解答：解：∵(x+2)2﹣1=x2+4x+4﹣1，

∴a=4﹣1，

解得a=3.

故本题答案为：3.

点评：本题考查了完全平方公式，熟记公式，根据常数项相等列式是解题的关键.

2016年高考数学模拟试题第3篇

1.已知集合A={0，1，2}，则集合B={x-y|x∈A，y∈A}中元素的个数是（）.

A.1B.3C.5D.9

2.已知i是虚数单位，若（2-i）·z=i3，则z=（）.

A.15-25iB.-25+15i

C.-25-15iD.15+25i

3.命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为（）.

A.对任意x∈R，都有x2<0

B.不存在x∈R，都有x2<0

C.存在x0∈R，使得x20≥0

D.存在x0∈R，使得x20<0

4.某班有男生36人，女生18人，用分层抽样的方法从该班全体学生中抽取一个容量为9的样本，则抽取的女生人数为（）.

A.6B.4C.3D.2

5.下列函数中是奇函数且周期是π的是

（）.

A.y=2cos（2x+π2）

B.y=2cos（x+π2）

C.y=2sin（2x+π2）

D.y=2sin（2x+π2）

6.如图1所示，在下列四个几何体中，其三视图中有且仅有两个相同的是（）.

A.②③④B.①②③图2

C.①③④ D.①②④

7.从1，3，5，7，9这5个奇数中选取3个数字，从2，4，6，8这4个偶数中选取2个数字，再将这5个数字组成没有重复数字的五位数，且奇数数字与偶数数字相间排列，这样的五位数的个数是（）.

A.180B.360

C.480D.720

8.某算法的程序框图如图2所示，则输出S的值是（）.

A.6B.24

C.120D.840

9.已知点P在抛物线x2=4y上，且点P到x轴的距离与点P到此抛物线的焦点的距离之比为1∶3，则点P到x轴的距离是（）.

A.14B.12

C.1D.2

10.设偶函数f（x）（x∈R）满足f（x）=f（2-x），且当x∈[0，1]时，f（x）=x3.又函数g（x）=|xcos（πx）|，则函数h（x）=g（x）-f（x）在区间

[-12，32]上的零点个数为（）.

A.5B.6C.7D.8

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.

11.二项式（2x3-12x2）5的展开式的常数项是.

12.在平面直角坐标系中，若点A（1，1），B（2，4），C（-1，3），则|AB-AC|= .

13.设函数f（x）=21-x，1-log2x，x≤1，x>1，则f（x）≤2时x的取值范围是 .

14.已知双曲线x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的渐近线与圆x2+y2-4x+2=0有公共点，则该双曲线离心率的取值范围是 .

15.设满足条件x2+y2≤1的点（x，y）构成的平面区域的面积为S1，满足条件[x]2+[y]2≤

1的点（x，y）构成的平面区域的面积为S2（其中[x]、[y]分别表示不大于x、y的最大整数，例如[-0.3]=-1，[1.2]=1 ），给出下列结论：

①点（S1，S2）在直线y=x左上方的区域内；

②点（S1，S2）在直线x+y=7左下方的区域内；

③S1

④S1>S2.

其中所有正确结论的序号是 .

三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16.（本小题满分12分）已知函数f（x）=sin（2x+π6）+cos（2x-π3）.

（Ⅰ）求f（x）的最大值及取得最大值时x的值；

（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（C）=1，c=23，sinA=2sinB，求△ABC的面积.

17.（本小题满分12分）在数列{an}中，前n项和为Sn，且Sn=n（n+1）2.

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）设bn=an2n，数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn的取值范围.

18.（本小题满分12分）某中学举行了一次“环保知识竞赛”.为了了解本次竞赛学生成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n）进行统计.按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图（图3），并做出样本分数的茎叶图（图4）（图中仅列出了得分在[50，60），[90，100]的数据）.

（Ⅰ）求样本容量n和频率分布直方图中x、y的值；

（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取3名同学到市政广场参加环保知识宣传的志愿者活动，设ξ表示所抽取的3名同学得分在[80，90）的学生个数，求ξ的分布列及其数学期望.

19.（本小题满分12分）如图5所示，直三棱柱ABC-A1B1C1

中，AB=BB1=12BC，∠ABC=90°，N、F分别为A1C1、B1C1的中点.

（Ⅰ）求证：CF⊥平面NFB；

（Ⅱ）求二面角B-NC-A的余弦值.

20.（本小题满分13分）已知点F1（-1，0），F2（1，0），动点G满足|GF1|+|GF2|=22.

nlc202309080915

（Ⅰ）求动点G的轨迹Ω的方程；

（Ⅱ）已知过点F2且与x轴不垂直的直线l交（Ⅰ）中的轨迹Ω于P、Q两点.在线段OF2上是否存在点M（m，0），使得以MP、MQ为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求实数m的取值范围；若不存在，请说明理由.

21.（本小题满分14分）已知函数f（x）=kex-x2（其中k∈R，e是自然对数的底数） .

（Ⅰ）若k<0，试判断函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；

（Ⅱ）若k=2，当x∈（0，+∞）时，试比较f（x）与2的大小；

（Ⅲ）若函数f（x）有两个极值点x1，x2（x1

参考答案

一、C A D C AA D C B B

二、11.-512.1013.[0，+∞）14.（1，2]15.①③

三、

16. 解（Ⅰ）由已知，得f（x）=sin（2x+π6）+cos（2x-π3）=32sin2x+12cos2x+12cos2x+32sin2x=3sin2x+cos2x=2sin（2x+π6）.当2x+π6=2kπ+π2，即x=kπ+π6（k∈Z）时，函数f（x）取得最大值2.

（Ⅱ）由f（C）=2sin（2C+π6）=1得sin（2C+π6）=12，因为π6<2C+π6<2π+π6，所以2C+π6=5π6，解得C=π3.因为sinA=2sinB，根据正弦定理，得a=2b，由余弦定理，有c2=a2+b2-2abcosC，（23）2=4b2+b2-2×2b2cosπ3，解得b=2，a=4，故△ABC的面积S△ABC=12absinC=12×4×2×sinπ3=23.

17. 解（Ⅰ）当n=1时，a1=S1=1；当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n（n+1）2-（n-1）n2=n，经验证，a1=1满足上式，故数列{an}的通项公式an=n.

（Ⅱ）由题意，易得Tn=12+222+323+…+n2n，则12Tn=122+223+324+…+n2n+1，两式相减，得Tn-12Tn=

12+122+123+…+12n-n2n+1=1-12n-n2n+1，所以Tn=2-n+22n.由于Tn+1-Tn=n+12n+1>0，则Tn单调递增，故Tn≥T1=12，又Tn=2-n+22n<2，故Tn的取值范围是[12，2）.

18. 解（Ⅰ）由题意可知，样本容量n=

80.016×10=50，y=250×10=0.004，x=0.1-0.004-0.010-0.016-0.040=0.030.

（Ⅱ）由题意可知，分数在[80，90）有5人，分数在[90，100]有2人，共7人.抽取的3名同学中得分在[80，90）的学生个数ξ的可能取值为1，2，3，则P（ξ=1）=C15C22C37=535=17，P（ξ=2）=C25C12C37=2035=47，P（ξ=3）=C35C37=1035=27，所以ξ的分布列如下：

ξ123

p174727

故ξ的数学期望为

Eξ=1×17+2×47+3×27=157.

19. 解解法一

（Ⅰ）直三棱柱ABC-A1B1C1中，B1B⊥AB，BC⊥AB，B1B∩BC=B，所以AB⊥平面BB1C1C.又N、F分别为A1C1、B1C1的中点，所以AB∥A1B1∥NF，NF⊥平面BB1C1C.又因FC平面BB1C1C，所以NF⊥FC.取BC中点G，有BG=GF=GC，所以BF⊥FC，又NF∩FB=F，所以CF⊥平面NFB.

（Ⅱ）由题意，平面ABC⊥平面ACC1A1，平面ABC∩平面ACC1A1=AC.过点B做BH⊥AC于H，则BH⊥平面ACC1A1，所以BH⊥NC.过H做HE⊥NC于E，连结BE，所以NC⊥平面BEH，NC⊥BE，则∠BEH是二面角B-NC-A的平面角.

在Rt△ABC中，BH×AC=AB×BC.不妨设AB=a，则BH=AB×BCAC=255a.

因为BF=CF，所以在△BNC中，NC=BN=32a，BE×CN=BC×NG.又因为在Rt△BNG中，NG=52a，所以BE=BC×NGCN=253a，故在Rt△BEH中，sin∠BEH=BHBE=35，则cos∠BEH=45，二面角B-NC-A的平面角的余弦值为45.

解法二

（Ⅰ）以B1为坐标原点，B1B，B1C1，B1A1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系.

不妨设AB=a，则B1（0，0，0），B（a，0，0），F（0，a，0），A1（0，0，a），C1（0，2a，0），N（0，a，a2），C（a，2a，0），则BF=（-a，a，0），FN=（0，0，a2），CF=（-a，-a，0），CF·BF=a2-a2=0，

CF·FN=0×

（-a）+0×（-a）+0×a2=0，所以CF⊥BF，CF⊥FN，又BF∩FN=F，所以CF⊥平面NFB.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得CC1=（-a，0，0），A1C1=（0，2a，-a），BC=（0，2a，0），BN=（-a，a，a2），

设平面ACC1A1的一个法向量为n1=（x1，y1，z1），则有n1·CC1=0与n1·A1C1=0，

即-ax1=0与2ay1-az1=0，取y1=1，z1=2，

则n1=（0，1，2）.设平面BNC的一个法向量为n2=（x2，y2，z2），则有n2·BC=0与n2·BN=0，即2ay2=0与-ax2+ay2+a2z2=0，取x2=1，z2=2，则

nlc202309080915

n2=（1，0，2）.设二面

角B-NC-A的平面角大小为θ，则由n1·n2=|n1||n2|cosθ得二面角B-NC-A的平面角的余弦值为45.

20. 解（Ⅰ）由|GF1|+|GF2|=22，且

|F1F2|<22知，动点G的轨迹是以F1（-1，0），F2（1，0）为焦点的椭圆，设椭圆的标准方程为

x2a2+y2b2=1（a>b>0），c=a2-b2，由题知，c=1，a=2，则b2=a2-c2=2-1=1，故动点G的轨迹Ω的方程是x22+y2=1.

（Ⅱ）假设在线段OF2上存在M（m，0）（0

设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2=4k21+2k2，x1x2=2k2-21+2k2，MP=（x1-m，y1），MQ=（x2-m，y2），PQ=（x2-x1，y2-y1），其中x2-x1≠0.由于以MP、MQ为邻边的平行四边形是菱形，所以（MP+MQ）⊥PQ，则有（MP+MQ）·PQ=0，从而有（x2+x1-2m，y2+y1）·（x2-x1，y2-y1）=0，所以（x2+x1-2m）（x2-x1）+（y2+y1）（y2-y1）=0，又因y=k（x-1），则有y2-y1=k（x2-x1），y2+y1=k（x1+x2-2），故上述式子可以变形为（x1+x2-2m）+k2（x1+x2-2）=0，将x1+x2=4k21+2k2代入上式，可以得到（4k21+2k2-2m）+k2（4k21+2k2-2）=0，即2k2-（2+4k2）m=0，所以m=k21+2k2（k≠0），可知0

（0，12）.

21. 解（Ⅰ）由f ′（x）=kex-2x可知，当k<0时，由于x∈（0，+∞），f ′（x）=kex-2x<0，故函数f（x）在区间（0，+∞）上是单调递减函数.

（Ⅱ）当k=2时，f（x）=2ex-x2，则f ′（x）=2ex-2x，令h（x）=2ex-2x，h′（x）=2ex-2，由于x∈（0，+∞），故h′（x）=2ex-2>0，于是h（x）=2ex-2x在区间（0，+∞）上为增函数，所以h（x）=2ex-2x>h（0）=2>0，即f ′（x）=2ex-2x>0在区间（0，+∞）上恒成立，从而f（x）=2ex-x2在区间（0，+∞）上为增函数，故f（x）=2ex-x2>f（0）=2.

（Ⅲ）函数f（x）有两个极值点x1，x2，则x1，x2是f ′（x）=kex-2x=0 的两个根，即方程k=2xex有两个根，设φ（x）=2xex，则φ′（x）=2-2xex，当x<0时，φ′（x）>0，函数φ（x）单调递增且φ（x）<0；当00，函数φ（x）单调递增且φ（x）>0；当x>1时，φ′（x）<0，函数φ（x）单调递减且φ（x）>0.要使方程k=2xex有两个根，只需0

（收稿日期：2015-12-12）

2008年高考数学模拟试题(一) 第4篇

本大题共12小题, 每小题5分, 共60分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.

1.设集合A={1, 2, 3}, B={1, 3, 5}, x∈A, 且 x∉B, 则 x= ( )

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 5

2.已知复数 z1=m+2i, z2=3-4i, 若 $\frac{z_{1}}{z_{2}}$ 为实数, 则实数 m 等于 ( )

$(A) \frac{8}{3} (B) - \frac{3}{2} (C) - \frac{8}{3} (D) \frac{3}{2}$

3.已知0<a<1, loga (1-x) <logax, 则 ( )

$\begin{array}{l} (A) 0 ＜ x ＜ 1 (B) x ＜ \frac{1}{2} \\ (C) 0 ＜ x ＜ \frac{1}{2} (D) \frac{1}{2} ＜ x ＜ 1 \end{array}$

4.m、n 是互不垂直的直线, 平面α、β分别过 m、n, 则下列关系不可能的是 ( )

(A) m//β (B) α//β

5.曲线 $y = \frac{1}{3} x^{3} - 2 x$ 在 x=1处的切线的倾斜角是 ( )

$(A) \frac{π}{6} (B) \frac{3 π}{4} (C) \frac{π}{4} (D) \frac{π}{3}$

6.已知正四棱锥S—ABCD的侧面与底面所成的二面角的大小为 $\arccos \frac{2}{3}$ , 则这个正四棱锥的侧面面积与底面面积之比为

(A) 3∶2 (B) 2∶3

7.“lgx>lgy”是“10x>10y”的 ( )

(A) 充分不必要条件

(B) 必要不充分条件

(D) 不充分不必要条件

8.若函数 y=f (x+1) , x∈R的图象与函数 y=lg (x+1) 的图象关于直线 x-y=0对称, 则 f (x) 等于 ( )

(A) 10x (B) 10x-1

9.下列四个函数中, 最小正周期为π, 且其图象关于直线 $x = \frac{π}{6}$ 对称的函数是 ( )

$\begin{array}{l} (A) y = \sin (2 x - \frac{π}{6}) \\ (B) y = \sin (x - \frac{π}{6}) \\ (C) y = \sin (2 x + \frac{π}{6}) \\ (D) y = \sin (x + \frac{π}{6}) \end{array}$

10.若数列{an}中, $a_{n} = \frac{10^{n}}{n ！}$ , 则下列答案正确的是 ( )

(A) 数列{an}为递增数列

(B) 数列{an}为递减数列

(D) 从某项起递增

11.在△AOB (O为坐标原点) 中, $\vec{Ο A} = (\cos α ‚ \sin α) ‚ \vec{Ο B} = (2 \cos β ‚ 2 \sin β)$ , 若 $\vec{Ο A} \cdot \vec{Ο B} = - 1$ , 则△ABC的面积为 ( )

$(A) \sqrt{3} (B) \frac{\sqrt{3}}{2} (C) 2 \sqrt{3} (D) 1$

12.如图1, A1, A2是椭圆 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ 的长轴上的两个顶点, P是椭圆上异于A1、A2的一点, A1P、A2P分别交左准线于M、N, 则以线段MN为直径的圆恒过定点 ( )

$\begin{array}{l} (A) (- 3 ‚ 0) (B) (- 5 ‚ 0) \\ (C) (0 ‚ 0) (D) (\frac{25}{3} ‚ 0) \end{array}$

二、填空题:本大题共4小题, 每小题4分, 共16分.把答案填在题中的横线上.

13.以正五棱柱10个顶点为顶点的四面体共有__个 (用数字作答) .

14.设 an 为 (2-x) n 展开式中 x2 的系数 (n≥2) , 则 $\lim_{n \to \infty} (\frac{2^{2}}{a_{2}} + \frac{2^{3}}{a_{3}} + \dots + \frac{2^{n}}{a_{n}}) =$ __.

15.已知离散型随机变量ξ的一个分布列为

且 $E ξ = \frac{11}{6}$ , 则 a+3b=__.

16.圆 x2+y2-2ay=0的圆心与抛物线 $y = \frac{1}{4} a x^{2}$ 的焦点重合, 则 a=__.

三、解答题:

本大题共6小题, 共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. (本小题满分12分)

在斜三角形ABC中, 内角A、B、C满足 $\frac{\sin^{2} B - \sin^{2} A - \sin^{2} C}{s i n C} = \frac{\cos (A + C)}{c o s A}$ , 求角A的大小.

18. (本小题满分12分)

如图2, 在棱长为 a 的正方体ABCD—A1B1C1D1中, M为DD1的中点, 设 l 为平面MAC的垂线.

(1) 求 l 与B1C所成角的大小;

(2) 求B1到平面MAC的距离.

19. (本小题满分12分)

在某电视台举办的青年歌手大奖赛上有一个环节, 就是每个选手必须参加文化素质考核, 考查方式是完成一道连线题, 考试内容涉及天文、地理、历史、政治等知识, 有位选手恰好抽到了一道地理知识方面的题:有A, B, C, D四个城市, 它们都有一个著名的旅游点, 依次记为 a, b, c, d, 把A, B, C, D和 a, b, c, d 分别写成左、右两列, 用4条线把左右全部连接起来, 构成“一一对应”.由于该选手对地理知识不熟悉, 只好随机用4条线把左右全部连接起来, 若已知连接正确一对得3分, 连错的得0分.

(1) 写出该选手得分的分布列;

(2) 求该选手所得分的数学期望.

20. (本小题满分12分)

已知数列{an}中, a1=1, 其前 n 项和为Sn, 且 n, an, Sn 成等差数列 (n∈N*) .

(1) 求数列{an}的通项公式;

(2) 当Sn>57时, 求 n 的取值范围.

21. (本小题满分12分)

已知函数 $f (x) = \ln x - \frac{1}{2} a x^{2} - 2 x .$

(1) 若函数 f (x) 存在单调递减区间, 求实数 a 的取值范围;

(2) 令 g (x) =xexf ′ (x) (其中 f ′ (x) 为 f (x) 的导函数) , 当 a<0时, 求 g (x) 取得最小值时的 x 的值.

22. (本小题满分14分)

已知椭圆C的中心为坐标原点, F1、F2分别为它的左、右焦点, 直线 x=4为它的一条准线, 又已知椭圆C上存在点M使以下两个等式同时成立: $| \vec{Μ F_{1}} | = | \vec{Μ F_{2}} | ‚ 2 \vec{Μ F_{1}} \cdot \vec{Μ F_{2}} = | \vec{Μ F_{1}} | | \vec{Μ F_{2}} | .$

(1) 求椭圆C的方程;

(2) 若PQ为过椭圆右焦点F2的弦, 且 $\vec{Ρ F_{2}} = λ \vec{F_{2} Q} ‚$ 求△PF1Q内切圆面积最大时的λ值.

参考答案

一、BBCDB AADCC BA

二、13.180;14.8;15.4;16.±1

15.根据离散型随机变量分布列性质和期望公式得:

${\begin{cases} b + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} = 1 ‚ \\ b + 1 + \frac{a}{6} = \frac{11}{6} ‚ \end{cases}$

解得

所以 a+3b=4.

16.因为圆心和焦点坐标分别为 (0, a) 、 $(0 ‚ \frac{1}{a})$ , 所以 $a = \frac{1}{a}$ , 即 a=±1.

三、17.因为A+B+C=π,

所以 cos (A+C) =-cosB.

$\begin{array}{l} 所以 \frac{\sin^{2} B - \sin^{2} A - \sin^{2} C}{s i n C} = \frac{\cos (A + C)}{c o s A} \\ \Rightarrow \frac{\sin^{2} B + \sin^{2} C - \sin^{2} B}{2 s i n A s i n C} = \frac{c o s B}{2 s i n A c o s A} . \end{array}$

由正弦定理和正弦的二倍角公式, 则上式可化为

$\frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2 a c} = \frac{c o s B}{\sin 2 A}$ ,

又由余弦定理得

$\cos B = \frac{c o s B}{\sin 2 A} .$

由题设知 $B \neq \frac{π}{2} \Rightarrow \cos B \neq 0$ ,

所以 sin2A=1.

因为A∈ (0, π) ⇒2A∈ (0, 2π) ,

所以 $2 A = \frac{π}{2}$ , 即 $A = \frac{π}{4} .$

18.解法1: (1) 取对角面D1DBB1, 可知

B1N2+MN2=B1M2,

所以 MN⊥B1N.

又由AB1=CB1, N是AC中点, 故B1N⊥AC, 于是B1N⊥平面MAC, 因此B1N与B1C所成的角即为直线 l 与B1C所成的角.

$B_{1} Ν = \frac{\sqrt{6} a}{2} ‚ B_{1} C = \sqrt{2} a ‚ C Ν = \frac{\sqrt{2} a}{2}$ ,

所以在Rt△B1NC中,

$\cos Ν B_{1} C = \frac{B_{1} Ν}{B_{1} C} = \frac{\frac{\sqrt{6}}{2} a}{\sqrt{2} a} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ,

于是 $∠ Ν B_{1} C = \frac{π}{6}$ ,

即 l 与B1C所成角的大小为 $\frac{π}{6} .$

(2) B1到平面MAC的距离即为线段B1N的长, $B_{1} Ν = \frac{\sqrt{6} a}{2}$ , 所以B1到平面MAC的距离为 $\frac{\sqrt{6} a}{2} .$

解法2: (1) 分别以DA、DC、DD1为 x、y、z 轴, 建立空间直角坐标系.

则 $Μ (0 ‚ 0 ‚ \frac{a}{2}) ‚ A (a ‚ 0 ‚ 0) ‚ C (0 ‚ a ‚ 0) ‚ B_{1} (a ‚ a ‚ a) .$

设直线 l 的方向向量为 l= (x, y, z) , 于是

$\vec{Μ A} = (a ‚ 0 ‚ - \frac{a}{2}) ‚ \vec{Μ C} = (0 ‚ a ‚ - \frac{a}{2})$ ,

由有

得

取 z=2, 得 l= (1, 1, 2) .

而

所以l与B1C所成角为

, 设B1到平面MAC的距离为 d, 则

$d = | \frac{l \cdot \vec{B_{1} Μ}}{| l |} | = \frac{\sqrt{6}}{2} a .$

19. (1) 设答对题的个数为X, 得分的随机变量为ξ, 则有X=0, 1, 2, 4, 所以得分为ξ=0, 3, 6, 12.

一个都没有连对的概率:

$Ρ (ξ = 0) = \frac{9}{A_{4}^{4}} = \frac{9}{24} = \frac{3}{8}$ ,

有一个连对的概率:

$Ρ (ξ = 3) = \frac{C_{4}^{1} \times 2}{A_{4}^{4}} = \frac{8}{24} = \frac{1}{3}$ ,

有两个连对的概率:

$Ρ (ξ = 6) = \frac{C_{4}^{2} \times 1}{A_{4}^{4}} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4}$ ,

有四个连对的概率:

$Ρ (ξ = 12) = \frac{1}{A_{4}^{4}} = \frac{1}{24} .$

则ξ的分布列为:

(2) 该选手所得分的数学期望

$\begin{array}{l} E ξ = 0 \times \frac{3}{8} + 3 \times \frac{1}{3} + 6 \times \frac{1}{4} + 12 \times \frac{1}{24} \\ = 3 . \end{array}$

答:该选手所得分的数学期望为3分.

20. (1) 因为 n, an, Sn 成等差数列,

所以 2an=n+Sn,

即 Sn=2an-n,

所以 Sn-1=2an-1- (n-1) (n≥2) .

由 an=Sn-Sn-1 (n≥2) 得,

an=2an-1+1 (n≥2) ,

所以 an+1=2 (an-1+1) (n≥2) .

又因为 a1=1⇒a1+1=2≠0,

知 an-1+1≠0 (n≥2) ,

所以 $\frac{a_{n} + 1}{a_{n - 1} + 1} = 2 (n \geq 2) .$

可知数列{an+1}是首项为2, 公比为2的等比数列, 所以

an+1=2·2n-1.

即数列{an}的通项公式为

an=2n-1.

(2) 由 (1) 知 Sn=2n+1-n-2.

所以 Sn+1-Sn

=[2n+2- (n+1) -2]- (2n+1-n-2)

=2n+1-1>0,

即 Sn+1>Sn.

所以数列{Sn}为递增数列.

因为Sn>57,

所以2n+1-n-2>57,

即 2n+1-n>59.

又当 n=5时, 26-5=59,

所以 n>5.

所以当Sn>57时, n 的取值范围是 n≥6.

21. (1) 求得f′ (x)

由题设知, 不等式1-2x-ax2<0有正数解, 即 ax2+2x-1>0有正数解.

①当 a≥0时, 适合题意.

②当 a<0时, 应满足

${\begin{cases} a ＜ 0 ‚ \\ Δ = 4 + 4 a ＞ 0 ‚ \\ x_{1} + x_{2} = - \frac{2}{a} ＞ 0 ‚ \\ x_{1} x_{2} = - \frac{1}{a} ＞ 0 \end{cases}$

(其中 x1, x2 是方程 ax2+2x-1=0的两根) ,

解得 -1<a<0.

综上所述, a 的取值范围是

a∈ (-1, +∞) .

(2) 由题设及 (1) 知,

g (x) =ex (1-2x-ax2) (x>0) .

所以 g′ (x) =-ex[ax2+2 (1+a) x+1]

(x>0) .

令 g′ (x) =0, 得

ax2+2 (1+a) x+1=0. (*)

因为Δ=4 (a2+a+1) >0,

所以方程 (*) 有两个不等实根.

设实根为 x1, x2, 而 a<0,

$\begin{array}{l} 所以 x_{1} = \frac{a + 1 + \sqrt{a^{2} + a + 1}}{- a} \\ ＞ \frac{a + 1 + \sqrt{a^{2} + 2 a + 1}}{- a} \\ = \frac{a + 1 + | a + 1 |}{- a} \\ \geq 0 ‚ \end{array}$

即 x1>0.

又 $x_{1} x_{2} = \frac{1}{a} ＜ 0$ ,

所以 x2<0.

又因为 x>0,

所以当 x∈ (0, x1) 时, g′ (x) <0;

当 x∈ (x1, +∞) 时, g′ (x) >0.

所以 g (x) 在 (0, x1) 上单调递减, 在 (x1, +∞) 上单调递增.

所以 $x = - \frac{a + 1 + \sqrt{a^{2} + a + 1}}{a}$ 时, g (x) 取得最小值.

22. (1) 由题设知, 所求椭圆方程可设为

$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a ＞ b ＞ 0)$ ,

则 $a^{2} = b^{2} + c^{2} ‚ \frac{a^{2}}{c} = 4 .$

因为 $2 \vec{Μ F_{1}} \cdot \vec{Μ F_{2}} = | \vec{Μ F_{1}} | | \vec{Μ F_{2}} |$ ,

则 $\cos ∠ F_{1} Μ F_{2} = \frac{1}{2} \Rightarrow ∠ F_{1} Μ F_{2} = \frac{π}{3} .$

又 $| \vec{Μ F_{1}} | = | \vec{Μ F_{2}} |$ ,

所以△F1MF2是等边三角形.

又根据椭圆的定义知 a=2c.

由以上三个关于 a, b, c 的方程解得

$a = 2 ‚ b = \sqrt{3} ‚ c = 1 .$

所以椭圆C的方程是 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1 .$

(2) 设PQ:my=x-1,

即 x=my+1,

代入 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ , 整理得

(3m2+4) y2+6my-9=0.

知Δ=36m2+36 (3m2+4)

=144m2+144>0.

$\begin{array}{l} 则 | Ρ Q | = \sqrt{1 + m^{2}} \cdot \frac{\sqrt{Δ}}{3 m^{2} + 4} \\ = \frac{12 (m^{2} + 1)}{3 m^{2} + 4} . \end{array}$

又F1 (-1, 0) 到PQ:x-my-1=0的距离 $d = \frac{2}{\sqrt{m^{2} + 1}}$ ,

则△PF1Q的面积

$S = \frac{1}{2} | Ρ Q | \cdot d = \frac{12 \sqrt{m^{2} + 1}}{3 m^{2} + 4} .$

由椭圆定义知△PF1Q的周长为8.设内切圆半径为 r, 则

$S = \frac{r}{2} \times 8 = 4 r .$

可知当S最大时, 内切圆面积也最大.

而 $S = \frac{12}{3 \sqrt{m^{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{m^{2} + 1}}} .$

记 $u = \sqrt{m^{2} + 1} (u \geq 1)$ , 则

$3 \sqrt{m^{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{m^{2} + 1}} = 3 u + \frac{1}{u}$ 在[1, +∞) 上是增函数.

所以当 u=1, 即 m=0时, $3 \sqrt{m^{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{m^{2} + 1}}$ 取最小值4, 从而Smax=3.

而 m=0时, F2为PQ中点, 则λ=1.

初中数学联赛模拟试题第5篇

（考试时间2小时，满分120分）

一、选择题（每小题5分，共30分）

1.已知t>0,则的最大值是（）

2.的整数部分是a，小数部分是b，则的值为（）

(A)

(B)

(C)

(D)

3.在凸四边形ABCD中，AB=CD，AC为对角线，∠DAC>∠BCA，且∠DAC与∠BCA互补，∠BAC>∠ACD，且么∠BAC与∠ACD互余，则∠B等于（）

(A)

300

(B)

600

(C)

450

(D)

500

4.半径为1的圆的外切直角三角形的面积的最小值为（）

5.某个货场有1997辆车排队等待装货，要求第一辆车必须装9箱货物，每相邻的4辆车装货总数为34箱，为满足上述要求，至少应该有货物的箱数是（）

(A)

966

(B)

975

(D)

17009

6.已知⊙O1与⊙O2的半径分别为3和5，O1

O2=10，则两圆的两条内公切线与一条外公切线所围成的三角形面积为（）

二、填空题（每小题5分，共30分）

7.100人共有1

000元人民币，其中任意10个人共有的钱不超过190元．那么，钱最多的人最多能有____元．

8.如图，AB为半圆D的直径，AC、AD都是弦，∠CAD=∠DAB.则AC+

AB与2AD的大小关系是____．

9.非等腰△ABC中，D、E分别是边AB、AC上的点（不含端点）．在△ABC的平面上存在点F，使△DEF与△ABC相似，则满足条件的点F有____个．

10.如图，两圆同心，半径为与矩形ABCD的边AB、CD为两圆的弦．当矩形面积取最大值时，它的周长等于____．

11.的最小值是

．

12.已知a为正整数，存在一个以a为首项系数的一元二次整系数的多项式，它有两个小于l的不同的正根．那么，a的最小值是

．

三、解答题（每小题20分，共60分)

13.如图,在大小为4×4正方形方格中，△ABC的顶点A、B、C在单位正方形的顶点上．能否在图中画出△A1B1C1，使△A1B1C1∽△ABC（相似比不为1）且A1、B1、C1都在单位正方形的顶点上；若能，满足以上条件的相似三角形能找出几种，并说明其理由，14.如图，开口向下的抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），抛物线上另有一点C在第一象限，且使△OCA∽△OBC.(1)求OC的长及的值；

(2)设直线BC与y轴交于P，当C是BP的中点时，求直线BP和抛物线的解析式。

2015年中考数学模拟试题（2）第6篇

1.（-3）x2的结果是（）.

A.-6

B.-1

C.-5

D.6

2.根据商务部石油行业经济运行的数据，2014年全国消费汽油超过0.93亿吨，0.93亿用科学记数法表示为（）.

A.0.93xl08

B.9.3xl08

C.93xl06

D.9.3xl07

3.某区举办中学生猜谜大赛，10名参加市级大赛的学生得分情况如表1.那么，这10名学生所得分数的平均数和众数分别是（）.

A.85和82.5

B.85.5和85

C.85和85

D.85.5和80

4.如图1是一个正方体截去一角后得到的几何体，它的主视图是（）.

5.如图2，已知⊙O是△ABD的外接圆，AB是⊙O的直径，CD是⊙o的弦，若∠ABD=58°，则∠BCD的度数为（）.

A.40°

B.32°

C.58°

D.42°

6.如图3.点D在△4BC的AB边上，且∠ACD=∠A.以点D为圆心，任意长为半径画弧，分别与DB、DC交于M、N两点；再分别以M、N为圆心，大于1/2MN的长为半径画弧，两弧在∠BDC的内部交于点P，射线DP交BC于点E.则下列结论：①DA =DC；②∠A=∠CDE；③ED∥AC；④ED=EC中，一定正确的是（）. A.①④

B.①③④ C.①②③

D.①②③④

7.如图4，函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A （m，3），则不等式2x≥ax+4的解集为（）.

8.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图5所示，则下列说法：①a>0；②2a+b=O；③a+b+c>0；④当-10；⑤b2-4ac>0，其中正确的个数为（）.

A.I

B.2

C.3

D.4

二、填空题（每小题3分，共21分）

9.化简：2（a+1）+2（l-a）的结果是____.

10.按如图6所示的程序计算，若开始输入的n值为，则最后输出的结果是_____________.

11.如图7，AB∥CD，MF分别交AB、CD于点G、F，∠GFC=60°.∠MEG=20°，则∠M是____度.

12.如图8，把一个圆形转盘按1：2：3：4的比例分成，A、B、C、D四个扇形区域，自由转动转盘，停止后指针落在B区域（指针落在分界线时重转）的概率为____.

13.已知一个圆锥的侧面积是底面积的1.5倍，则该圆锥的侧面展开所得扇形的圆心角为____度.

14.如图9，平行四边形OA BC的顶点o在坐标原点，顶点4 .C在反比例函数（x<0）的图象上，点A的横坐标为-6，点C的横坐标为-3.且平行四边形OA BC的面积为18，则k的值为____.

15.如图10，在ΔABC中，∠A CB=90°，AC=4cm，BC=3cm.如果点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s.连接PQ，设运动时间为t（s）（0

三、解答题（本大题8个小题，共75分）

16.（8分）先化简：然后从-2

17.（9分）某校为了开阔学生的视野，积极组织学生参加课外读书活动.“放飞梦想”读书小组协助老师随机抽取本校的部分学生，调查他们最喜爱的图书类别（图书分为文学类、艺体类、科普类、其他等四类），并将调查结果绘制成如图11的两幅不完整的统计图，请你结合图中的信息解答下列问题：

（1）求被调查的学生人数.

（2）补全条形统计图.

（3）已知该校有1 200名学生，估计全校最喜爱文学类图书的学生有多少人.

18.（9分）如图12，点E在四边形ABCD的对角线AC上.∠ABE=∠DBC=∠DAC=90°.且AB=BE.

（1）写出图中所有与∠ABD相等的角.

（2）求证：△BAD≌△BEC.

19.（9分）如图13.△ABC是学生小强家附近的一块三角形绿化区的示意图，为增强体质，他每天早晨都沿着绿化区周边小路AB、BC、CA跑步（小路的宽度不计）.观测得点B在A的南偏东30°方向上.点C在A的南偏西75。的方向上，点C在B的北偏西750的方向上，AC间距离为200米.小强沿三角形绿化区的周边小路跑两圈共跑了多少米？（结果保留整数，参考数据：

20.（9分）如图14，AB是⊙O的直径.E为半圆上一点，在弧BE上取点D，使∠EAD=∠EBA，连接AD交BE于点F，过点曰作⊙0的切线BC，与AD的延长线交于C.

若点E到弦AD的距离为1，求⊙O的半径.

21.（10分）秋冬交界时节，我国雾霾天气频发.由于市场需求，某医药公司准备加工生产一批防雾霾口罩，经公司考查，甲、乙两厂的生产线符合加工要求.已知：若甲、乙两厂单独加工生产这批防雾霾口罩，乙厂所用时间是甲厂的1.5倍；若甲、乙两厂合作加工生产这批防雾霾口罩，12天可以完成.

（1）甲、乙两厂单独完成此项工作各需多少天？

（2）若公司每天需付给甲厂的加工费用为0.5万元，乙厂为0.3万元，要使这次的加工总费用不超过9.6万元，最多安排甲厂工作多少天？

22.（10分）在矩形ABCD中，AB=7，点H在边DC上，HG⊥AH交AB于点G1点E为AB边上的一个动点，连接HE，把△AHE沿直线HE翻折得到△FHE.（两个备用图如图15）

（1）探索与发现：

当∠BA H=30°，且HF⊥DC时，求∠AHE的度数，并探索GH和GE是否相等.

（2）迁移与应用：

当∠BAH=45°，且HF⊥DC时，直接写出∠AHE的度数和AE的长.

23.（11分）如图16，一次函数的图象分别交y轴、x轴于A、B两点，抛物线y=-x2+bx+c过A、B两点.

（1）求这条抛物线的解析式.

（2）作垂直于x轴的直线x=t，在第一象限内交直线AB于点M，交这条抛物线于点，N.当t取何值时，MN有最大值？最大值是多少？

2014年高考数学模拟试题(四) 第7篇

1.设A, B是两个集合, 定义A-B={x|x∈A, 且xB}, 若集合M={x|x2+2x-3≤0}, N = {x|x=sinα, 0≤α≤π/2}, 则M -N= () .

(A) [-3, 1]

(B) [-3, 0)

(D) [-3, 0]

2.已知 (a+4i) i=b+i, 其中a, b∈R, i是虚数单位, 则a+b= () .

(A) 5

(B) -5

(D) -3

3.已知命题p:ex>1, 命题q:lnx>0, 则命题p是命题q的 () .

(A) 充分不必要条件

(B) 必要不充分条件

(D) 既不充分又不必要条件

4.执行如图1所示的程序框图, 该程序输出的结果是 ()

(A) 27 (B) 81

5. (理 ) 已知随机变量ξ服从正态分布N (2, σ2) , P (ξ≤3) =0.8413, 则P (1≤ξ≤2) = () .

(A) 0.8413 (B) 0.1587

(文) 一组数据从小到大的顺序排列为1, 2, 2, x, 5, 10, 其中x≠5, 已知该数据的中位数是众数的2/3倍, 则该数据的标准差为 () .

(A) 3 (B) 4

6.如图2, 在正方体ABCD—A1B1C1D1中, 点P是上底面A1B1C1D1内的一动点, 则三棱锥P—ABC的主视图与左视图的面积的比值为 () .

(A) 1/2

(B) 2

(D) 以上结论都不对

7.已知圆锥曲线x2+my2=1的一个焦点坐标为则该圆锥曲线的离心率为 () .

8.若不等式组, 所表示的平面区域被直线y=kx+4/3分为面积相等的两部分, 则x的值是 () .

(A) 5/3 (B) 7/3

9.已知正项等比数列{an}满足, 若存在两项am, an使得, 则1/m+4/n的最小值为 () .

(A) 3/2 (B) 5/3

10. (理) 已知点A (1, 0) , B (1, 1) , C (0, 1) , 现向矩形OABC中投入一粒米粒, 则该米粒落在由曲线y=x2和直线x=0, x=1, y=1/4所围成的图形 (阴影部分) 中的概率为 () .

(A) 1/8 (B) 1/4

(文) 若在[0, 3]内随机取两个数, 则这两个数的差大于或等于2的概率为 () .

(A) 1/18 (B) 1/9

11.已知a, b, c分别是△ABC中∠A, ∠B, ∠C的对边, 且, b和c是关于x的方程的两个根 (b>c) , 则△ABC的形状为 () .

(A) 等腰三角形 (B) 锐角三角形

12. (理) 已知以T=4为周期的函数, 其中m>0, 若3f (x) =x恰有5个实数解, 则m的取值范围为 () .

(文) 定义域为R的偶函数满足:x∈R, f (x+2) =f (x) -f (1) , 且当x∈ [2, 3]时, 若函数在 (0, +∞) 上至少有三个零点, 则实数a的取值范围是 () .

二、填空题:本大题共4小题, 每小题5分, 共20分.将答案写在题中的横线上.

13. (理) 已知函数令f′ (2) =n, 则二项式的展开式中常数项是第项.

(文) 规定符号“*”表示一种两个正实数之间的运算, 即, 则函数f (x) =1*x的值域是 .

14.设l, m, n表示不同的直线, α, β, γ 表示不同的平面, 给出下列四个命题:

1若m∥l, 且m⊥α, 则l⊥α;

2若m∥l, 且m∥α, 则l∥α;

3若α∩β=l, β∩γ=m, γ∩α=n,

则l∥m∥n;

4若α∩β=m, β∩γ=l, γ∩α=n且n∥β,

则l∥m.

其中正确命题的序号为____ (填出所有正确命题的序号) .

15.已知数列{an}是等差数列, 且a1=1, a3+a7=18, 若数列{cn}满足, 其前n项和为Tn, 则Tn=_____ .

16.已知椭圆 (y≥0) 和抛物线, 斜率为的直线与椭圆相切, 且与抛物线交于A, B两点, 则|AB|=_____ .

三、解答题:本大题共6小题, 共70分.解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.

17. (本小题满分12分)

已知向量a= (sinx, 3/4) , b= (cosx, -1) .

(Ⅰ) 当a∥b时, 求cos2x-sin2x的值;

(Ⅱ) 设函数f (x) =2 (a+b) ·b, 已知在△ABC中, 内角A, B, C的对边分为a, b, c, 若, b=2, 求f (x) +4cos (2A+π/6) (x∈[0, π/3]) 的取值范围.

18.某校高二年级共有学生1000名, 其中走读生750名, 住宿生250名.现从该年级采用分层抽样的方法抽取n名学生进行问卷调查, 根据问卷取得了这n名学生每天晚上有效学习时间 (单位:分钟) 的数据, 按照以下区间分为8组:[0, 30) , [30, 60) , [60, 90) , [90, 120) , [120, 150) , [150, 180) , [180, 210) , [210, 240) , 得到的频率分布直方图如图4所示, 已知抽取的学生中每天晚上有效学习时间少于60分钟的有5人.

(Ⅰ) 求n的值并求有效学习时间在 [90, 120) 内的频率;

(Ⅱ) 求出下列2×2列联表中a, b的值, 如果把“学生晚上有效学习时间达到两小时”作为是否充分利用时间的标准, 问:是否有95% 的把握认为学生利用时间是否充分与走读、住宿有关?

(Ⅲ) (理) 若在第1组、第2组、第7组、第8组中共抽出3人调查影响有效利用时间的原因, 记抽到“有效学习时间少于60分钟”的学生人数为X, 求X的分布列及期望.

(文) 若在第2组和第8组中共抽出2人调查影响有效利用时间的原因, 求至少抽到有1名学生的“有效学习时间少于60分钟”的概率.

参考公式:

参考列表:

19. (本小题满分12分)

如图5, 在直角梯形ABED中, AB∥DE, AB⊥BE, AB⊥CD, 且BC=CD, AB=2, F, H, G分别为AC, AD, DE的中点, 现将△ACD沿CD折起, 使平面ACD⊥平面CBED如图6.

(Ⅰ) 求证:平面FHG∥平面ABE;

(Ⅱ) 记BC=x, V (x) 表示三棱锥B-ACE的体积, 求V (x) 的最大值;

(Ⅲ) (理) 在 (Ⅱ) 的条件下, 当V (x) 取得最大值时, 求二面角D-AB-C的余弦值.

20. (本小题满分12分)

如图7, 已知点A (0, 1) , 点P在圆C:x2+ (y+1) 2=8上, 点M在AP上, 点N在CP上, 且满足AM=MP, NM⊥AP, 设点N的轨迹为曲线E.

(Ⅰ) 求曲线E的方程;

(Ⅱ) 过原点且斜率为k (k>0) 的直线交曲线E于G, F两点, 其中G在第一象限, 它在y轴上的射影为点Q, 直线FQ交曲线E于另一点H , 证明:GH⊥GF.

21. (本小题满分12分)

已知函数的图象在x=1处取得极值4.

(Ⅰ) 求函数f (x) 的单调区间.

(Ⅱ) 对于函数y=f (x) , 若存在两个不相等的正数s, t (s<t) , 当s≤x≤t时, 函数y=f (x) 的值域是[s, t], 则把区间[s, t]叫做函数y=f (x) 的“正保值区间”.函数y=f (x) 是否存在“正保值区间”?若存在, 求出所有的“正保值区间”;若不存在, 请说明理由.

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目, 如果多做, 则按所做的第一个题目计分.

22. (本小题满分10分) 选修4-1:几何证明选讲.如图8所示, 已知PA与⊙O相切, A为切点, PBC为割线, 弦CD∥AP, AD, BC相交于E点, F为CE上一点, 且DE2=EF·EC.

(Ⅰ) 求证:∠P=∠EDF;

(Ⅱ) 求证:CE·EB=EF·EP.

23. (本小题满分10分) 选修4-4:坐标系和参数方程

在直角坐标系中, 以原点为极点, x轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 已知曲线C:ρsin2θ=2acosθ (a>0) , 过点P (-2, -4) 的直线l的参数方程为 (t为参数) , 直线l与曲线C分别交于点M , N.

(Ⅰ) 写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程;

(Ⅱ) 若|PM|, |MN|, |PN|成等比数列, 求a的值.

24. (本小题满分10分) 选修4-5:不等式选讲

设函数f (x) =|x+1|+|x-5|, x∈R.

(Ⅰ) 求不等式f (x) ≤x+10的解集;

(Ⅱ) 如果关于x的不等式f (x) ≥a- (x-2) 2在R上恒成立, 求实数a的取值范围.

参考答案

1.B.∵M={x|-3≤x≤1}, N={x|0≤x≤1}, A-B={x|x∈A, 且xB},

∴M-N={x|-3≤x<0}.∴选B.

2.D. (a+4i) i=-4+ai=b+i,

∴b=-4, a=1,

∴a+b=-3.∴选D.

3.B.∵ex>1, ∴x>0, 又lnx>0, 得x>1.

∴命题p是命题q的必要不充分条件.

∴选B.

4.B.∵a=1时, S=1, a=2时, S=3, a=3时, S=9, 由此可知, 当a=5时, S=3×3×3×3=81, 该程序输出的S是81.∴选B.

5. (理) D.∵ 随机变量ξ服从正态分布 N (2, σ2) ,

∴其图象关于ξ=2对称,

∴P (ξ≤1) =P (ξ≥3) .

又P (ξ≤3) =0.8413, ∴P (ξ≤1) =P (ξ≥3) =1-P (ξ≤3) =1-0.8413=0.1587.

∴P (1≤ξ≤2) = (1/2) P (1≤ξ≤3)

= (1/2) (0.8413-0.1587) =0.3413.∴选D.

(文) A.由题意知, 该组数据的众数为2.

∴s=3.∴选A.

6.C.如题图所示, 设正方体的棱长为a, 则三棱锥P-ABC的主视图与左视图都是边长为a, 且该边上的高也是a的三角形, 它们的面积相等都等于 (1/2) a2, 它们的面积比为1.∴选C.

8.B.画出不等式组表示的平面区域, 其为△ABC 的内部及边界, 其中A (0, 4/3) , B (1, 1) , C (0, 4) ,

直线y=kx+4/3经过定点A, 要使直线y=kx+4/3平分区域的面积, 只需使直线过CB的中点M即可.所以CB的中点M (1/2, 5/2) 在直线上, ∴5/2=k/2+4/3, ∴k=7/3.∴选B.

当且仅当n/m=4m/n, 即n=2m时, 等号成立.

∴1/m+4/n≥3/2.∴选A.

又矩形的面积为1,

所以由几何概型的计算公式知,

所求的概率为1/4.

∴选B.

(文) 设这两个数分别为x, y∈[0, 3],

令x-y≥2或y-x≥2, 它们所在的区域为如图所示的阴影部分, 它们的面积和为1, 而正方形的面积为9.

∴两数的差为大于2或等于2的概率为1/9.∴选B.

∴△ABC是以B为直角的直角三角形.

∴选C.

12.A. (理) 当x∈[-1, 1]时, 原函数式化为方程 (y≥0) , 表示一个半椭圆, 当x∈[1, 3]时, 是两线段y=x-1 (1<x≤2) 和y=3-x (2<x≤3]组成的折线, 再根据周期性作出大致图象如下图.

由图象可知, 当直线y=x/3与第二个半椭圆 (y≥0) 相交, 而与第三个半椭圆 (y≥0) 无交点时, 方程3f (x) =x恰有5个实数解.

(文) 由题意知, f (-1+2) =f (-1) -f (1) =f (1) -f (1) =0, 得f (x+2) =f (x) , 因此f (x) 是周期为2的偶函数.在 [2, 3]上, f (x) =-2 (x-3) 2, 根据对称性和周期性画出f (x) 的图象如图所示, 函数y =f (x) -loga (x+1) 的零点就是函数y=f (x) 的图象与函数y=loga (x+1) 的图象的交点的横坐标, 由题意知, 它们在 (0, +∞) 上至少有三个交点, 且0<a<1, 结合图象知, loga (2+1) >-2, 于是a-2>3, 故

13. (理 ) 5.由题意知, f′ (x) = -3x2+3f′ (2) ,

∴f′ (2) =-12+3f′ (2) ,

∴f′ (2) =6, 即n=6.

令6-3r/2=0, 得r=4.

∴r+1=5, 常数项为第5项.

∴f (x) 的值域为 (1, +∞) .

14.14.1正确, 因为由线线平行和线面垂直的判定知, 两平行线中有一条垂直一个平面, 那么另一条也垂直这个平面;2错, 因为直线l也可以在平面α内;3错, 当三个平面两两相交, 有三条交线, 它们可以相交一点, 也可以互相平行, 故3错;4正确, 可以用线面平行的判定定理和性质定理加以证明. (证明此略)

∴只有14两个命题正确.

(Ⅱ) 抽取的100人中, 走读生有750×1/10=75人, 住宿生有25人, ∴a=25, b=10.

∴有95%的把握认为学生利用时间是否充分与走读、住宿有关.

(Ⅲ) (理) 由 (Ⅰ) 知, 第1组1人, 第2组4人, 第7组10人, 第8组5人, 共20人.

∴X的分布列为:

所以不同的抽法共有36种, 其中至少有1人来自第2组的抽法有26种,

所以其概率为26/36=13/18.

所以至少抽到有1名学生的“有效学习时间少于60分钟”的概率为13/18.

19.解: (Ⅰ) 由已知得四边形CBED为正方形,

∵F, H, G分别为AC, AD, DE的中点

∴FH∥CD, HG∥AE.

∵CD∥BE, ∴FH∥BE.

∵BE 平面ABE, FH平面ABE,

∴FH∥平面ABE.

同理可得HG∥平面ABE.

又∵FH∩HG=H,

∴平面FHG∥平面ABE.

(Ⅱ) ∵平面ACD⊥平面CBED且AC⊥CD,

∴AC⊥平面CBED.

∵BC=x, ∴AC=2-x (0<x<2) ,

∴V (x) 在 (0, 4/3) 上单调递增, 在 (4/3, 2) 上单调递增,

∴V (x) ≤V (4/3) =16/81,

∴V (x) 的最大值为16/81.

Ⅲ (理) 以点C为坐标原点, CB, CD, CA所在直线为x, y, z轴建立空间直角坐标系.

由 (Ⅱ) 知, 当V (x) 取得最大值时, x=4/3,

即BC=4/3, 这时AC=2/3.

∴B (4/3, 0, 0) , D (0, 4/3, 0) , A (0, 0, 2/3) .

∴平面ACB的一个法向量

设平面ABD的法向量为m= (a, b, c) .

令c=1得 m= (1/2, 1/2, 1) .

设二面角D-AB-C为θ,

∴当V (x) 取得最大值时, 二面角D-AB-C的余弦值为

20.解: (Ⅰ) 由题意可知, NM为AP的垂直平分线,

∴|NA|=|NP|.

∴动点N的轨迹是以点C (0, -1) , A (0, 1) 为焦点的椭圆, 且长轴长, 焦距2c=2.

∴曲线E的方程为

(Ⅱ) 证明:设G (x1, kx1) , H (x2, y2) , 则F (-x1, -kx1) , Q (0, kx1) ,

直线FQ的方程为y=2kx+kx1,

将其代入椭圆E的方程并整理可得

依题意可得此方程的两根为-x1, x2,

于是由根与系数的关系可得

∵点H在直线FQ上,

∴GH⊥GF.

21.解: (Ⅰ) f′ (x) =3x2+2ax+b.

由f′ (x) >0解得x<1或x>3.

由f′ (x) <0解得1<x<3.

所以函数f (x) 的单调递增区间是 (-∞, 1) 和 (3, +∞) , 单调递减区间是 (1, 3) .

(Ⅱ) 设函数f (x) 的“正保值区间”是 [s, t], 因为f (3) =0<s, 故极值点x=3不在区间[s, t]上.

(1) 若极值点x=1在区间[s, t]上, 此时0<s≤1≤t<3, 在此区间上函数f (x) 的最大值是f (1) =4, 不可能等于t, 故在区间[s, t]上没有极值点.

(2) 若函数在[s, t]上单调递增, 即0<s<t<1或3<s<t,

(3) 若函数在[s, t]上单调递减, 即1<s<t<3, 则两式相减并除以 (s-t) , 得

两式相除可得

即s (3-s) =t (3-t) .

综上可得, 不存在满足条件的s, t, 即函数y=f (x) 不存在“正保值区间”.

22.证明: (Ⅰ) ∵DE2=EF·EC,

∴DE∶CE=EF∶ED.

∵∠DEF是公共角,

∴△DEF∽△CED, ∴∠EDF=∠C.

∵CD∥AP, ∴∠C=∠P.

∴∠P=∠EDF.

(Ⅱ) ∵∠P=∠EDF, ∠DEF=∠PEA,

△DEF∽△PEA,

∴DE∶PE=EF∶EA,

即EF·EP=DE·EA.

∵弦AD, BD相交于点E,

∴DE·EA=CE·EB

∴CE·EB=EF·EP.

∴消去t, 得y+4=x+2,

∴x-y-2=0.

∴曲线C的直角坐标方程为y2=2ax (a>0) , 直线l的普通方程为x-y-2=0.

∵设方程的两根t1, t2分别为直线l与曲线的交点M , N的参数值,

∴当a=1时, |PM|, |MN|, |PN|成等比数列.

24.解: (Ⅰ) ∵f (x) =|x+1|+|x-5| (x∈R) ,

∴当x<-1时, -2x+4≤x+10,

∴x≥-2,

∴-2≤x<-1;

当-1≤x≤5时, 6≤x+10, ∴x≥-4,

∴-1≤x≤5;

当x>5时, 2x-4≤x+10, ∴x≤14,

∴5<x≤14.

综上可得不等式f (x) ≤x+10的解集为[-2, 14].

(Ⅱ) 设g (x) =a- (x-2) 2, ∴g (x) 在x=2时, 有最大值a, f (x) 在x∈R上有最小值6, 要使f (x) ≥g (x) 恒成立, 只需6≥a即可.

∴实数a的取值范围为 (-∞, 6].

2014年高考数学模拟试题(六) 第8篇

1.已知A= {x︱x2=1}, B= {x︱ (x+1) (x2-4x-5) =0}, 则A∩B= () .

(A) {1} (B) {1, -1, 5}

2.已知复数 (i为虚数单位) , 则复数z在复平面上所对应的点位于 () .

(A) 第一象限 (B) 第二象限

3. (理) 已知正项数列 {an}的各项均不相等, 且2an=an-1+an+1 (n∈N*, n≥2) , 则下列不等式一定成立的是 () .

(文) 已知等差数列 {an}的前n项和为Sn (公差不为零) , 若a4是a3与a7的等比中项, S8=32, 则S10等于 () .

(A) 18 (B) 24

4.若平面向量a= (1, m) 和b= (2m+3, -m) 共线, 其中m∈R, 则︱a-b︱= () .

5.执行图1所示的程序框图, 那么输出的数是 () .

(A) 2500 (B) 5000

6.班主任将甲、乙两人最近的7次数学测试的分数进行统计, 甲、乙两人的得分情况如茎叶图所示, 则下列说法正确的是 () .

(A) 甲的众数大于乙的众数, 乙比甲成绩稳定

(B) 甲的众数大于乙的众数, 甲比乙成绩稳定

(D) 甲的众数小于乙的众数, 乙比甲成绩稳定

7.已知函数, p>0) , 则下列命题, 错误的是 () .

(A) f (0) =1

(B) f (1) =0

(D) f (x) 在 (0, 1) 上单调递增

8.函数y=x/sinx, x∈ (-π, 0) ∪ (0, π) 的大致图象是 () .

9. (理) 教育部直属师范大学免费师范毕业生一般回生源所在省份中小学校任教.今年春节后, 我校迎来了华东师范大学数学系5名实习教师, 若将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习, 每班至少1名, 最多2名, 则不同的分配方案有 () .

(A) 180种 (B) 120种

(文) 图2为函数f (x) =2sin ("x+φ) (">0, -π<φ<π) 的部分图象, 其中A, B两点之间的距离为5, 那么f (-1) = () .

(A) -2 (B) -1

10.设平面区域D是由双曲线的两条渐近线和直线6x-y-8=0所围成三角形的边界及内部.当 (x, y) ∈D时, 的最小值为 () .

(A) 1 (B) 0

11.正方形ABCD的边长为2, 点E, F分别在边AB, BC上, 且AE=1, BF=1/2, 将此正方形沿DE, DF折起, 使点A, C重合于点P, 则下列命题不正确的是 () .

(A) DE⊥EF

(B) ∠PEF=90°

12. (理) 设反比例函数f (x) =1/x与二次函数g (x) =ax2+bx的图象有且仅有两个不同的公共点A (x1, y1) , B (x2, y2) , 且x1<x2, 则= () .

(A) 2或1/2 (B) -2或-1/2

(文) 若曲线在点处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为2, 则a= () .

(A) 16 (B) 4

二、填空题:本大题共4小题, 每小题5分, 共20分.把答案填在题中横线上.

13. (理) 已知焦点 (设为F1, F2) 在x轴上的双曲线上有一点P (x, 3/2) , 直线是双曲线的一条渐近线, 当时, 该双曲线的标准方程为____ .

(文) 已知抛物线y2=8x的准线l与双曲线C:相切, 则双曲线C的离心率e=_____ .

14.当函数f (x) =sin (x+π/6) sin (x-π/6) +cosx-3取最大值时, x的值等于_____ .

15.已知数列{an}中, a1=1, 前n项的和, 则S2014=_____ .

16.设有一个点A (x, y) , 经过变换后, 变成另一个点B (X, Y ) , 而且满足, 则我们称此坐标变换为线性变换, 把叫做线性变换的矩阵.

设A (1, 0) , B (0, 1) 为坐标平面上两点, C为直线AB外一点.经平面上的线性变换M作用后, A被映射至, B被映射至, 而C被映射至C′.

给出下列三个结论:

1变换M的矩阵为

2变换M将△ABC的重心映射至△A′B′C′的重心;

3若△ABC的面积为3, 则点C′与直线A′B′的距离为6.

其中所有正确的结论代号是_____.

三、解答题:本大题共6小题, 共70分.解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.

17. (本小题满分12分) 已知△ABC中, 三个内角A, B, C的对边分别为a, b, c, 若c=2, 且

(Ⅰ) 判断△ABC的形状, 说明理由;

(Ⅱ) 如图3, 圆O过A, B, C三点, 点P位于劣弧上, 设∠PAB=θ, △PAC的面积为S, 求S关于θ的函数关系式, 并求出S的最大值.

18. (本小题满分12分) 已知矩形ABCD中, AB=2, , E, F分别是AD, BC的中点, 对角线BD与EF交于O点, 沿EF将矩形ABFE折起, 使平面ABFE与平面EFCD所成角为60°, 如图4.

(Ⅰ) 求证:BO⊥DO;

(Ⅱ) 求OA与平面BOD所成角的正弦值.

19. (本小题满分12分) 某商场为吸引顾客消费新推出一项优惠活动.活动规则如下:消费额每满100元可转动如图5所示的转盘一次, 并获得相应金额的返券, 假定指针等可能地停在任一位置.若指针停在A区域返券50元, 停在B区域返券30元, 停在C区域不返券.例如, 消费220元, 可转动转盘2次, 所获得的返券金额是两次金额之和.

(Ⅰ) 若某位顾客消费135元, 求返券金额不低于30元的概率;

(Ⅱ) (理) 若某位顾客恰好消费270元, 并按规则参与了活动, 他获得返券的金额记为ξ (元) , 求随机变量ξ的分布列和数学期望.

(文) 若某位顾客恰好消费270元, 求返券金额不高于50元的概率.

20. (本小题满分12分) 已知椭圆 (λ>0) 的右焦点为F, 点M (m, 0) , N (0, n) 分别是x轴, y轴上的动点, 且点P满足关系式

(Ⅰ) 求点P的轨迹C的方程;

(Ⅱ) 设过点F任作一直线与点P的轨迹C交于A, B两点, 直线OA, OB与直线x=-λ分别交于点S, T (O为坐标原点) , 试判断是否为定值?说明理由.

21. (本小题满分12分 ) (理 ) 已知函数 (a∈R*) .

(Ⅰ) 当a=2时, 试比较f (x) 与1的大小;

(Ⅱ) 若a=2+k+1/k (k∈N*) , 函数g (x) =f (x) -m仅有一个零点, 求实数m的取值范围;

(Ⅲ) 求证: (n∈N*) .

(文) 已知函数f (x) =ax+xlnx的图象在点x=e (e为自然对数的底数) 处的切线的斜率为3.

(Ⅰ) 求实数a的值;

(Ⅱ) 求f (x) 的单调区间;

(Ⅲ) 若不等式f (x) >kx-k对任意x∈ (1, +∞) 恒成立, 求k取最大值时的整数值.

请考生在第22, 23, 24三题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题记分.

22. (选修4-1, 几何证明选讲) 如图6, △ABC中, AB>AC, AE是其外接圆的切线, D为AB上的点, 且AD=AC=AE.

求证: (Ⅰ ) ∠ACB=2∠AED;

(Ⅱ) 直线DE过△ABC的内心.

23. (选修4-4, 坐标系与参数方程) 在极坐标系中, 设P是直线l:ρ (cosθ+sinθ) =4上一点, Q是圆C:ρ2=4ρcosθ-3上一点, 求|PQ|的最小值及取得最小值时点Q的极坐标.

24. (选修4-5, 不等式选讲) 设六个正数a, b, c, x, y, z, 满足a+b+c=x+y+z, 求证:

参考答案

1.C.因为A={1, -1}, B={-1, 5},

所以A∩B={-1}.故选C.

2.D.因为, 所以复数z对应的点在复平面的第四象限.故选D.

3.C. (理) ∵2an=an-1+an+1对任意 n∈N*, n≥2都成立,

∴a2+a4=2a3, 而数列{an}为各项均不相等的正项等差数列, 所以.故选C.

5.C.由题意知,

6.D.甲的众数是72, 乙的众数是88, 排除A, B, 显然∴乙比甲成绩稳定.故选D.

8.C.显然函数是偶函数, 排除A.计算几组对应值为发现函数在 (0, π) 上y随x的增大而增大, 排除D.描点后可排除B.选C.

9.C. (理) 根据题目要求, 需要将5名教师分成三组, 一组1人, 另两组都是2人, 有种方法, 再将3组分到3个班, 共有种不同的分配方案.∴选C.

11.D.折叠前, 由已知可得 AD∶EB=2∶1=AE∶BF,

∴Rt△ADE∽Rt△BEF,

∴∠AED = ∠BFE, 从而∠AED +∠BEF=90°,

∴∠DEF=90°, DE⊥EF.

折叠后, 线段PE (AE) =1, PF (CF) =3/2, 的长度不变, 折叠成三棱锥P-DEF后, 在△PEF中, 有

∴△PEF是直角三角形, PE⊥PF,

∠PEF=90°.

12.B. (理) 反比例函数f (x) =1/x与二次函数g (x) =ax2+bx的图象有且仅有两个不同的公共点方程1/x=ax2+bx有两个不同的实数根有两个不同的实数根

对于第二种情况, 同理可得y1=-2y2.

故选B.

令y=0, 得x=-a.

16.12 3.由线性变换定义及A, A′, B, B′的坐标可构建方程组求出再将相关公式代入可验证23亦正确.

17.解: (Ⅰ) 由已知及正弦定理,

由A+B=π/2可知, C=π/2,

∴△ABC是直角三角形.

18.解: (Ⅰ) 在矩形ABCD中,

∵E, F是矩形的边AD和BC的中点,

∴AE⊥EF, BC⊥EF.

由于这种垂直关系折叠前后不变, 因此∠AED是平面ABFE与平面EFCD的平面角, 依题意, 有∠AED=60°.

由AE=DE, 可知△EAD是正三角形, 所以

连结BD, 在△BOD中, 有

OB2+OD2=6=BD2,

所以△BOD是直角三角形, 进而BO⊥DO.

(Ⅱ) 设G, H分别是BD, CD的中点,

则GH⊥CD, OH⊥CD,

∴CD⊥平面OGH, OG⊥CD.

∵OB=OD,

∴OG⊥BD, OG⊥平面ABCD, 于是有平面OBD⊥平面ABCD.

过A作AK⊥BD, 由面面垂直的性质定理, 可得AK⊥平面OBD, 连结OK, 得OK是OA在平面OBD内的投影, 所以∠AOK为所求的角, 即OA与平面OBD所成的角.

∴在Rt△OAK中,

19.解:设指针落在A, B, C区域分别记为事件A, B, C,

则 P (A) =1/6, P (B) =1/3, P (C) =1/2.

(Ⅰ) 若返券金额不低于30元, 则指针落在A或B区域.

∴P=P (A) +P (B) =1/6+1/3=1/2, 即消费135元的顾客, 返券金额不低于30元的概率是1/2.

(Ⅱ) (理) 由题意知, 该顾客可转动转盘2次, 随机变量ξ的可能值为0, 30, 50, 60, 80, 100.

所以, 随机变量ξ的分布列为:

(文) 由题意知, 该顾客可转动转盘2次, 返券金额不高于50元的可能情况是0元, 30元, 50元, 即 (第1次返券金额, 第2次返券金额) = (0, 0) , (0, 30) , (0, 50) , (30, 0) , (50, 0) , 共5种, 于是返券金额不高于50元的概率为

将其代入 (*) 式, 得y2=4λx (λ>0) ,

此即为点P的轨迹C的方程.

又当x→+0时, f (x) →-∞;

当x→+∞时, f (x) →+∞, 所以当g (x) 仅有一个零点时, m的取值范围是m>k+1-lnk或m<（k+1）/k+lnk.

(文) 解: (Ⅰ) ∵f (x) =ax+xlnx,

∴f′ (x) =a+lnx+1.

又∵函数f (x) =ax+xlnx的图象在点x=e处的切线斜率为3,

∴f′ (e) =3,

于是a+lne+1=3, 得a=1.

(Ⅱ) ∵f (x) =x+xlnx,

∴f′ (x) =2+lnx.

由f′ (x) =0, 得x=e-2, 即当x∈ (0, e-2) 时, f′ (x) <0;当x∈ (e-2, +∞) 时, f′ (x) >0.

所以f (x) 在 (0, e-2) 上单调递减, 在 (e-2, +∞) 上单调递增.

(Ⅲ) 由 (Ⅰ) 知, f (x) =x+xlnx,

所以f (x) >kx-k对任意x∈ (1, +∞) 恒成立,

令h (x) =x-2-lnx (x>1) ,

所以函数h (x) 在 (1, +∞) 上单调递增.

所以函数在 (1, x0) 上单调递减, 在 (x0, +∞) 上单调递增.

即k<[g (x) ]min=x0∈ (3, 4) , 故最大整数k=3.

22.证明:设∠ACB的内角平分线与DE交于点I, 连结AI, IC, CE.

(Ⅰ) 由于AE是△ABC外接圆的切线, 故∠CAE=∠CBA, 而AD=AE, 所以∠ACB=180°- ∠DAC - ∠CBA =180°- ∠DAC-∠CAE=180°- ∠DAE= ∠ADE+ ∠AED=2∠AED.

(Ⅱ) 因为∠ACI=（1/2）∠ACB=∠AED,

所以A, E, C, I四点共圆,

于是∠IAC=∠IEC=∠AEC-∠AED

故AI为∠BAC的平分线, I为△ABC的内心.所以, 直线DE过△ABC的内心.

23.解:直线l为:x+y=4, 圆为x2+y2=4x-3即 (x-2) 2+y2=1,

于是圆心 (2, 0) 到直线l的距离

∴︱PQ︱的最小值是

说明:本题也可通过构造柯西不等式的形式与结构, 加以证明, 如下面的证法.

2012年高考数学模拟试题(六) 第9篇

一、选择题:本大题共8小题, 每小题5分, 共40分. (文科共10小题, 每小题5分, 共50分) 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.

1. (理) 已知集合A={x∈Z|x2≤1}, B={x|x≥1}, C⊆A, 则不可能为 () .

(A) Ø (B) {0}

(文) 已知集合U={-1, 0, 1}, B={1}, C⊆U, 则不可能为 () .

(A) Ø (B) {0}

2. (理) 已知a= (1, m) , b= (2, n) , c= (3, t) , 且a∥b, b⊥c, 则|a|2+|c|2的最小值为 () .

(A) 4 (B) 10 (C) 16 (D) 20

(文) 已知a= (1, m) , b= (2, n) , c= (3, t) , 且a∥b, b⊥c, 则mt的值为 () .

(A) 6 (B) 3 (C) -3 (D) -6

3. (理) 在复平面内, 复数 (其中a∈R, i为虚数单位) 对应的点不可能位于 () .

(A) 第一象限 (B) 第二象限

(文) 函数的定义域为 () .

(A) (1, +∞) (B) [0, +∞)

4.一个水管弯头及其三视图如下图所示, 则该水管弯头的侧面积等于 () .

(A) 4π (B) 8π (C) 12π (D) 16π

5.在△ABC中, AB=2BC=2, ∠A=30°, 则△ABC的面积等于 () .

6. (理) 已知函数f (x) =ax+xa (a>0) , 则下列说法正确的是 () .

(A) ∀a∈R*, f (x) -1为偶函数, 且在R上单调递增

(B) Ǝa∈R*, f (x) -1为奇函数, 且在R上单调递增

(D) Ǝa∈R*, f (x) -1为偶函数, 且在R上单调递减

(文) 已知圆C均被直线y=x与x+y=2平分, 且与直线y=x+1相切, 则圆C的方程为 () .

7.在数列{an}中, a1=a, a2=b, 且an+2=an+1-an (n∈N*) , 设数列{an}的前n项和为Sn, 则S2012= () .

(A) 0 (B) a

8. (理) 从2009年开始, 广东省对高考方案作出了调整, 增加“交叉考试”式的学业水平考试, 普通类的等级评定标准与高考录取要求如下:

某理科普通类的考生参加2012年的学业水平考试, 若他的政治、历史、地理分数能达到C级及以上要求的概率分别为0.9, 0.8, 0.6, 且各科成绩互不影响, 则该考生能达到第二批本科及以上要求的概率为 () .

(A) 0.384 (B) 0.432

(文) 函数f (x) =2x·x2的图象大致为 () .

9. (文) 已知椭圆的右焦点与抛物线y2=2px (p>0) 的焦点相同, 且a, b, p成等比数列, 则该椭圆的离心率等于 () .

10. (文) 已知a, b, c为互不相等的三个正实数, 函数f (x) 可能满足如下性质:

(1) f (x-a) 为奇函数,

(2) f (x+a) 为奇函数,

(3) f (x-b) 为偶函数,

(4) f (x+b) 为偶函数,

(5) f (x+c) =f (x-c) .

类比函数y=sinx的对称中心、对称轴与周期的关系, 某同学得到了如下结论:

(i) 若满足 (1) (2) , 则f (x) 的一个周期为4a.

(ii) 若满足 (1) (3) , 则f (x) 的一个周期为4|ab|.

(iii) 若满足 (3) (4) , 则f (x) 的一个周期为3|ab|.

(iv) 若满足 (2) (5) , 则f (x) 的一个周期为4|a+c|.

其中正确的结论的个数为 () .

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

第Ⅱ卷 (非选择题)

二、填空题:本大题共6小题, 每小题5分, 共30分. (文科共4小题, 每小题5分, 共20分) 将答案直接填在题中的横线上.

(一) 必做题

9. (理) 如图, 在正方形ABCD中, 点P是△BCD内部或边界上任一点, 设, 则λ+u的取值范围是.

10. (理) 记max{a, b}=设函数f (x) =max{|x-m|, |x+1|}, 若存在实数x, 使得f (x) ≤1成立, 则实数m的取值范围是______.

11. (理) 已知随机变量X服从正态分布N (3, 4) , 且P (0≤X≤6) =8P (X<0) , 则P (X>6) =______.

(文) 某地有居民100000户, 其中普通家庭99000户, 高收入家庭1000户.从普通家庭中以简单随机抽样方式抽取990户, 从高收入家庭中以简单随机抽样方式抽取100户进行调查, 发现共有120户家庭拥有3套或3套以上住房, 其中普通家庭50户, 高收入家庭70户.依据这些数据并结合所掌握的统计知识, 你认为该地拥有3套或3套以上住房的家庭所占比例的合理估计是______.

12.运行如下图所示的程序框图, 当n0=6时, 输出的i, n的值分别为_______.

13. (理) 已知椭圆的右焦点与抛物线y2=2px (p>0) 的焦点相同, 且a, b, p成等比数列, 则该椭圆的离心率等于______.

(文) 如图, 在正方形ABCD中, 点P是△BCD内部或边界上任一点, 设, 则λ+u的取值范围是_____.

(二) 选做题

14. (坐标系与参数方程) 在极坐标系中, 已知曲线Ω:ρ=1 (θ∈R) 与极轴交于点A, 直线与曲线Ω交于B、C两点, 则△ABC的面积等于______.

15. (几何证明选讲做) 如图, 已知AB是⊙O1的直径, AO1是⊙O2的直径, 过O1B的中点E作⊙O2的切线EP, 切点为P, 与⊙O1交于点C、D, 若⊙O2的半径为1, 则CE=_____.

三、解答题:本大题共6小题, 共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16.已知

(Ⅰ) 求cosA的值;

(Ⅱ) 求函数的值域.

17.已知数列{an}是首项与公比均为的等比数列, 数列{bn}的前n项和, n∈N*.

(Ⅰ) 求数列{an}与数列{bn}的通项公式;

(Ⅱ) (理) 求证:;

(文) 设数列{an+bn}的前n项和为Sn, 求证:;

(Ⅲ) 求数列{an·bn}的前n项和Tn.

18. (理) 某校为了解学生的视力情况, 随机抽查了一部分学生视力, 将调查结果分组, 分组区间为 (3.9, 4.2], (4.2, 4.5], …, (5.1, 5.4].经过数据处理, 得到如下频率分布表:

(Ⅰ) 求频率分布表中未知量n, x, y, z的值;

(Ⅱ) 从样本中视力在 (3.9, 4.2], (4.5, 4.8]和 (5.1, 5.4]的所有同学中随机抽取3人, 设视力差的绝对值低于0.3的恰有ξ人.求ξ的数学期望Eξ.

(文) 小明同学对某校高三各班的男、女生的人数作了调查, 对所收集的数据经分析、整理后得到如下结果:

(1) 在文科各班中, 女生的人数约为男生的2倍, 且男生的人数不少于10人;

(2) 在理科各班中, 男生的人数约为女生的4倍, 且女生的人数不少于6人;

(3) 全校高三各班人数较为平均.

根据以上的结果, 能否有99%的把握认为该校高三学生选读文、理科与性别有关?请写出你的推导过程与结论.

参考公式和数据:

19.如图, 在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中, 四边形ABCD与四边形CC1D1D均是边长为1的正方形, ∠ADD1=120°, 点P, Q分别为BD, CD1上的动点, 且.

(Ⅰ) 证明:PQ//平面ADD1A1;

(Ⅱ) (理) 当λ=1时, 求二面角P-QD-D1的余弦值.

(文) 求平行六面体ABCD-A1B1C1D1的体积.

20. (理) 已知直线l经过双曲线C:x2-y2=1的左焦点F1.

(Ⅰ) 若直线l与双曲线C有两个不同的交点, 求直线l的斜率的取值范围;

(Ⅱ) 设直线l与双曲线C的左支交于A, B两点, F2为双曲线C的右焦点, 求△ABF2的面积的最小值.

(文) 已知直线l经过抛物线C:y2=2px (p>0) 的焦点F.

(Ⅰ) 若直线l与抛物线C有两个不同的交点, 求直线l的斜率的取值范围;

(Ⅱ) 设直线l与抛物线C交于A, B两点, E是抛物线C的准线与x轴的交点.求△ABE的面积的最小值.

21. (理) 已知函数且f′ (1) =0.

(Ⅰ) 试用含有a的式子表示b, 并求f (x) 的单调区间;

(Ⅱ) 对于函数图象上的不同两点A (x1, y1) , B (x2, y2) , 如果在函数图象上存在点M (x0, y0) (其中x0∈ (x1, x2) ) , 使得点M处的切线l//AB, 则称AB存在“伴随切线”.特别地, 当时, 又称AB存在“中值伴随切线”.试问:在函数f (x) 的图象上是否存在两点A、B, 使得它存在“中值伴随切线”?若存在, 求出A、B的坐标, 否则, 说明理由.

(文) 设函数f (x) =lnx+x2-2ax+a2, a∈R.

(Ⅰ) 若a=0, 求函数f (x) 在[1, e]上的最小值;

(Ⅱ) 若函数f (x) 在上存在单调递增区间, 试求实数a的取值范围;

(Ⅲ) 求函数f (x) 的极值点.

参考答案

1.D.A={-1, 0, 1}, 而由CA知, C可以是Ø, {-1}, {0}, {1}, {-1, 0}, {-1, 1}, {0, 1}, {-1, 0, 1}, , 则可能为Ø, {-1}, {0}, {-1, 0}.

2. (理) C.由a∥b, b⊥c, 得a⊥c, 则1×3+mt=0, 即mt=-3,

故|a|2+|c|2=1+m2+9+t2=10+m2+t2≥10+2|mt|=16.

(文) C.由a∥b, b⊥c, 得a⊥c, 则

1×3+mt=0, 即mt=-3.

3. (理) C.,

由, A可能;

由, B可能;

由无解, C不可能;

由, D可能.

(文) C.由得

解之, 得x≥0且x≠1.

4.C.由题意知, 可将该水管弯头恰好转接为一个底面直径为2, 高为6的圆柱, 其侧面积等于该圆柱的侧面积, 故S=2πr·h=2π×1×6=12π.

5.B.由题意知, AB=2, BC=1, 由正弦定理得, 故sinC=1,

即C=90°, 于是, 则

6. (理) B.取a=2, 则f (x) =2x+x2不是奇函数, 也不是偶函数, ∴A, C错;取a=1, f (x) -1=x为奇函数, 且在R上单调递增, 故选B;若f (x) -1为偶函数, 则f (-x) -1=f (x) -1, 得f (-x) =f (x) , 即a-x+ (-x) a=ax+xa, 必有a-x=ax, (-x) a=xa, 由a-x=ax, 得ax=1, 于是a=1, 这时 (-x) 1≠x1, 矛盾, 故D错.

(文) A.由解得圆心为C (1, 1) , 则半径r为圆心C到直线y=x+1的距离, ∴, 即圆C的方程为.

7.D.由题意可得a1=a, a2=b, a3=b-a,

a8=a- (a-b) =b, …, 于是{an}以6为周期的周期数列, 而S6=0, 2012=6×335+2, 故S2012=a1+a2+335S6=a+b.

8. (理) D.记“该考生的政治、历史、地理分数能达到C及以上要求”分别为事件A, B, C, 则P (A) =0.9, P (B) =0.8, P (C) =0.6, 则考生的成绩达到3个C级及以上的概率为P (A·B·C) =P (A) ·P (B) ·P (C) =0.9×0.8×0.6=0.432,

考生的成绩达到2个C级及以上1个C以下的概率为=0.9×0.8×0.4+0.9×0.2×0.6+0.1×0.8×0.6=0.228+0.108+0.048=0.384,

于是所求的概率为0.432+0.384=0.816.

(文) B.由, 排除D, 由f (1) =21·12=2, 排除A, 由f (2) =22·22=16, 排除C, 故选B.

9. (理) [1, 2].设正方形ABCD的边长为1, 以AB、AD分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系, 且设P (x, y) , 则, 即x=λ, y=u, λ+u=x+y.

又x, y满足令λ+u=b=x+y, 则y=-x+b, 当直线y=-x+b与BD重合时, bmin=1, 当直线y=-x+b经过点C (1, 1) 时, bmax=2,

(文) C.由题意知, , b2=ap, 则b2=2ac, 又c2=a2-b2, 得c2=a2-2ac, 即e2=1-2e, 解之, 得, 而1>e>0, ∴.

10. (理) [-3, 1].由题意可得

于是2≥|x-m|+|x+1|=|m-x|+|x+1|≥| (m-x) + (x+1) |=|m+1|,

∴-2≤m+1≤2, 即-3≤m≤1.

(文) C.由y=sinx的图象知, 两相邻对称中心的距离为, 两相邻对称轴的距离为, 相邻对称中心与对称轴的距离为.

若满足 (1) (2) , 有, 即T=4a;

若满足 (1) (3) , 有, 即T=4|a-b|;

若满足 (3) (4) , 有, 即T=2|a-b|;

若满足 (2) (5) , 有, 即T=4|a+c|.故只有 (iii) 错误.

11. (理) 0.1.该正态分布曲线关于X=3对称, 则P (X<0) =P (X>6) ,

又P (0≤X≤6) =8P (X<0) , 且P (X<0) +P (0≤X≤6) +P (X>6) =1,

于是P (X>6) +8P (X>6) +P (X>6) =1,

即P (X>6) =0.1.

(文) 5.7%.该地拥有3套或3套以上住房的家庭可以估计有:

户, 所以所占比例的合理估计是5700÷100000=5.7%.

12.8, 1.当n0=6时, 输出的i, n的值为:

∴输出的i, n的值分别为8, 1.

13. (理) .由题意得, b2=ap, 则b2=2ac, 又c2=a2-b2, 得c2=a2-2ac, 即e2=1-2e, 解之, 得, 而e>0, ∴.

(文) [1, 2].设正方形ABCD的边长为1, 以AB、AD分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系, 且设P (x, y) , 则=λ (1, 0) +u (0, 1) = (λ, u) , 即x=λ, y=u, λ+u=x+y.

又x, y满足令λ+u=b=x+y,

则y=-x+b,

当直线y=-x+b与BD重合时, bmin=1, 当直线y=-x+b经过点C (1, 1) 时, bmax=2,

∴λ+u∈[1, 2].

14..在直角坐标系中, 曲线Ω与直线l的方程分别为x2+y2=1, y=x, 点A (1, 0) , BC为圆x2+y2=1的直径, 点A到BC的距离,

则.

15..连结PO2, 由EP切⊙O2于点P, 得O2P⊥CD, E为O1B的中点, ⊙O2的半径为1, 且AO1是⊙O2的直径, ∴, 即O1为O2E的中点, 作O1F⊥CD于点F, 则O1F∥O2P, 于是EF=PF, FC=FD, 得DP=CE, 在Rt△O2PE中, 由O2P=1, O2E=2O1E=2, 得, 设CE=x, 由AE·EB=CE·DE, 得, 解之, 得.

又CE=x>0, 于是.

16.解: (Ⅰ) ∵, 且,

(Ⅱ) 由 (Ⅰ) 得.

故当时, f (x) 取最大值;

当sinx=-1时, f (x) 取最小值-3.

∴函数f (x) 的值域为.

17.解: (Ⅰ) 由{an}是首项与公比均为的等比数列, 得.

在数列{bn}中, , 当n=1时, b1=B1=1, 当n≥2时, , 即bn=n,

(Ⅱ) (理) 证明:由 (Ⅰ) 得, 而

等价于3n>n2+n.

(i) 当n=1时, 31>12+1=2成立;

(ii) 假设n=k, k∈N*时3k>k2+k成立, 那么n=k+1时, 3k+1=3·3k>3 (k2+k) ,

而3 (k2+k) > (k+1) 2+ (k+1) ⇔3k2+3k>k2+3k+2⇔2k2>2, 该式显然成立,

故3k+1> (k+1) 2+ (k+1) .

综上, 有3n>n2+n对任意n∈N*成立, 即an·得证.

(文) 证明:

(Ⅲ) 由 (Ⅰ) 得 (1)

18. (理) 解: (Ⅰ) 由表可知, 样本容量为n.

由, 得n=50, .

(Ⅱ) (理) 由 (Ⅰ) 知, 视力在 (3.9, 4.2]内的有3人, 视力在 (4.5, 4.8]的有25人, 从视力在 (5.1, 5.4]的有2人, 中随机抽取3人, 要使视力差的绝对值低于0.3, 则必在同一组, 于是ξ的可能取值为0, 2, 3.

∴ξ的分布列为:

(文) 在文科各班中, 设男生有a人, 则女生有2a人, 且a≥10, 在理科各班中, 设女生有b人, 则男生有4b人, 且b≥6, 得如下2×2列联表:

由全校高三各班人数较为平均, 得

a+2a=b+4b, 故3a=5b, 即.

假设该校高三学生选读文、理科与性别无关,

又a≥10, 于是K2≥13.3>6.64,

答:我们有99%的把握认为该校高三学生选读文、理科与性别有关.

19.解: (Ⅰ) 证明:过点Q作QF∥D1D与DC交于点F, 连结PF, 则.

∴, 则PF∥BC, 而BC∥/AD,

故PF∥AD,

由QF∥D1D, QF⊂平面ADD1A1, D1D⊂平面ADD1A1, 得QF∥平面ADD1A1.

同理得PF∥平面ADD1A1, 而QF∩PF=F,

∴平面PQE//平面ADD1A1, 又PQ⊂平面PQE,

∴PQ//平面ADD1A1;

(Ⅱ) (理) 如图, 以点D为原点, 以DA, DC分别为x轴, y轴建立空间直角坐标系, 则D (0, 0, 0) ,

设平面BDQ的一个法向量为n= (x, y, z) ,

取, 得x=1, y=-1,

设平面D1DQ的一个法向量为n′= (x, y, z) ,

取, 得x=3, y=0, ∴,

由图知二面角P-QD-D1为钝角,

故其余弦值为.

(文) ∵四边形ABCD与四边形CC1D1D均是边长为1的正方形, 且∠ADD1=120°,

∴DC⊥平面ADD1A1,

而菱形ADD1A1的面积

∴平行六面体ABCD-A1B1C1D1体积

20. (理) 解: (Ⅰ) ∵直线l经过双曲线C:x2-y2=1的左焦点.

(1) 当直线l⊥x轴时, 直线l与双曲线C有两个不同的交点.

(2) 当直线l与x轴不垂直时, 设直线l的斜率为k, 则直线l的方程为,

(i) 若1-k2=0, 即k=±1, 则方程 (*) 只有一个实根, 这时直线l与双曲线C仅有一个交点, 不符合题意;

(ii) 若1-k2≠0, 即k≠±1, 有

这时直线l与双曲线C仅有两个不同的交点, 符合题意.

∴直线l的斜率的取值范围是{k|k≠±1}.

(Ⅱ) (1) 当直线l⊥x轴时, 在x2-y2=1中, 令, 得y=±1,

这时△ABF2的面积

(2) 当直线l与x轴不垂直时, 由直线l与双曲线C的左支交于A, B两点,

设A (x1, y1) 、B (x2, y2) , 且y1<y2,

由方程 (*) 解得.

由题意知x1, 2<0, 于是1-k2<0, 故k<-1或k>1,

这时△ABF2的面积

下面证明:.

上面不等式等价于k4+k2>k4-2k2+1⇔3k2>1,

由k<-1或k>1知, 此不等式成立,

综上所述, 当直线l⊥x轴时, △ABF2的面积的最小值为.

(文) 解: (Ⅰ) 证明:∵直线l经过抛物线C:y2=2px (p>0) 的焦点.

(1) 当直线l⊥x轴时, 直线l与抛物线C有两个不同的交点.

(2) 当直线l与x轴不垂直时, 设直线l的斜率为k, 则直线l的方程为,

(i) 若k=0, 则方程 (*) 只有一个实根, 这时直线l与抛物线C仅有一个交点, 不符合题意;

(ii) 若k≠0, 有Δ= (-2p) 2-4k· (-kp2) =4p2+4k2 p2>0,

这时直线l与抛物线C有两个不同的交点, 符合题意.

∴直线l的斜率的取值范围是{k|k≠0}.

(Ⅱ) (1) 当直线l⊥x轴时, 在y2=2px中, 令, 得y=±p,

这时△ABE的面积.

(2) 当直线l与x轴不垂直时, 由直线l与抛物线C交于A, B两点,

设A (x1, y1) 、B (x2, y2) , 且y1<y2, 由方程 (*) 解得,

△ABE的面积S△ABE=S△EFA+S△EFB

下面证明:, 它等价于k2+1>k2⇔1>0, 这时S△ABE>p2.

综上所述, 当直线l⊥x轴时, △ABE的面积的最小值为p2.

21. (理) 解: (Ⅰ) f (x) 的定义域为 (0, +∞) ,

(1) 当f′ (x) >0时, , 由x>0, 得 (ax+1) (x-1) <0, 又a>0, ∴0<x<1,

即f (x) 在 (0, 1) 上单调递增.

(2) 当f′ (x) <0时, ,

由x>0, 得 (ax+1) (x-1) >0,

即f (x) 在 (1, +∞) 上单调递减.

∴f (x) 的递增区间为 (0, 1) , 递减区间为 (1, +∞) .

(Ⅱ) 在函数f (x) 的图象上不存在两点A, B, 使得它存在“中值伴随切线”.

假设存在两点A (x1, y1) , B (x2, y2) , 不妨设0<x1<x2, 则

另一方面, 函数图象在处的切线的斜率,

令, 则t>1, 上式化为, 即,

令, 则

由t>1, 得g′ (t) >0, 故g (t) 在 (1, +∞) 上单调递增,

∴g (t) >g (1) =2, 即在 (1, +∞) 上不存在t, 使得,

综上所述, 在函数f (x) 上不存在两点A、B, 使得它存在“中值伴随切线”.

(文) 解: (Ⅰ) 当a=0时, f (x) =lnx+x2的定义域为 (0, +∞) , ,

∴f (x) 在[1, e]上是增函数, 当x=1时, f (x) 取得最小值f (1) =1.

∴f (x) 在[1, e]上的最小值为1.

(Ⅱ) , 设g (x) =2x2-2ax+1.

依题意知, 在区间上存在子区间使得不等式g (x) >0成立.

注意到抛物线g (x) =2x2-2ax+1开口向上, 所以只要g (2) >0, 或即可.

由g (2) >0, 即8-4a+1>0, 得;

由, 即, 得.

∴, 即实数a的取值范围是.

(Ⅲ) ∵,

令h (x) =2x2-2ax+1.

(1) 显然, 当a≤0时, 在 (0, +∞) 上h (x) >0恒成立, 这时f′ (x) >0, 此时, 函数f (x) 没有极值点.

(2) 当a>0时, (1) 当Δ≤0, 即时, 在 (0, +∞) 上h (x) ≥0恒成立, 这时f′ (x) ≥0, 此时, 函数f (x) 没有极值点.

(2) 当Δ>0, 即时,

易知, 当时,

h (x) <0, 这时f′ (x) <0;

当或时,

h (x) >0, 这时f′ (x) >0;

∴当时, 是函数f (x) 的极大值点;是函数f (x) 的极小值点.

综上, 当时, 函数f (x) 没有极值点;当时, 是函数f (x) 的极大值点, 是函数f (x) 的极小值点.

2013年高考数学模拟试题(二) 第10篇

一、选择题:本大题共12小题, 每小题5分, 共60分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合M={y|y=2x, x>0}, N={x|y=lg (2x-x2) }, 则M∩N= () .

(A) (1, 2)

(B) (1, +∞)

(D) [1, +∞)

(A) (-∞, 0)

(B) (0, +∞)

(D) (0, 1)

4. (理) 若 (x-1) 8=a0+a1 (1+x) +a2 (1+x) 2+…+a8 (1+x) 8, 则a6= () .

(A) 112

(B) 28

(D) -112

(A) |y|≤|xz|

(B) y2≥|xz|

(D) 2|y|≤|x|+|z|

5.设随机变量ξ服从正态分布N (-1, 82) , P (ξ>0) =0.1, 则P (-1<ξ<0) = () .

(A) 0.1

(B) 0.2

(D) 0.8

6.在一次演讲比赛中, 8位评委对一名选手打分的茎叶图如图1所示, 若去掉一个最高分和一个最低分, 得到一组数据xi (1≤i≤6) , 在如图2所示的程序框图中, 珚x是这6个数据中的平均数, 则输出的S2的值为 () .

(A) 7

(B) 8

(D) 15

7.已知{an}是公差为2的等差数列, 且a1, a3, a4成等比数列, 则数列{an}的前9项和等于 () .

(A) 0

(B) 8

(D) 162

8.一个底面是直角梯形的四棱锥的三视图如图3所示, 则此四棱锥的四个侧面的面积和为 () .

(A) (-∞, -1]∪[2, +∞)

(B) [-1, 2]

(D) [-2, 1]

12.设函数f (x) 在区间 (-∞, +∞) 内可导, 其导函数为f′ (x) , 给出下列四组条件:

(1) p:f (x) 是奇函数, q:f′ (x) 是偶函数;

(2) p:f (x) 是以T为周期的函数, q:f′ (x) 是以T为周期的函数;

(3) p:f (x) 在区间 (-∞, +∞) 上为增函数, q:f′ (x) >0在 (-∞, +∞) 上恒成立;

(4) p:f (x) 在x0处取得极值, q:f′ (x0) =0.

其中满足p是q充分而不必要条件的是 () .

(A) (1) (2) (3)

(B) (1) (2) (4)

(D) (2) (3) (4)

二、填空题:本大题共4小题, 每小题5分, 共20分.将答案填在题中横线上.

13.已知平面向量a, b满足条件a+b= (1, 0) , a-b= (-1, 2) , 则a·b=___________.

15.设数列{an}的前n项和为Sn, 已知数列{Sn}是首项和公比都为3的等比数列, 则数列{an}的通项公式an=______________.

16.设定义域为 (0, +∞) 的单调函数f (x) , 对任意的x∈ (0, +∞) , 都有f[f (x) -log2x]=6.若x0是方程f (x) -f′ (x) =4的一个解, 且x0∈ (a, a+1) (a∈N*) , 则a=___________.

三、解答题:本大题共6小题, 共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. (本小题满分12分) 在△ABC中, a, b, c分别为内角A, B, C的对边, 且满足acos B+bcos (B+C) =0.

(Ⅰ) 试判断△ABC的形状;

(Ⅱ) 若2 (b2+c2-a2) =bc, 求sin B+cos C的值.

18. (本小题满分12分) (理) 甲、乙两人参加某种选拔测试.在备选的10道题中, 甲答对其中每道题的概率都是, 乙能答对其中的5道题.规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试, 答对一题加10分, 答错一题 (不答视为答错) 减5分, 至少得15分才能入选.

(Ⅰ) 求乙得分的分布列和数学期望;

(Ⅱ) 求甲、乙两人中至少有一个入选的概率.

(文) 某学校共有教职工900人, 分成三个批次进行远程研修培训, 在三个批次中男、女教职工人数如下表所示.已知在全体教职工中随机抽取1名, 抽到第二批次中女教职工的概率是0.16.

(Ⅰ) 求x的值;

(Ⅱ) 现用分层抽样的方法在全体教职工中抽取54名作研修培训效果的调查, 问应在第三批次中抽取教职工多少名?

(Ⅲ) 已知y≥96, z≥96, 求第三批次中女教职工比男教职工多的概率.

19. (本小题满分12分) (理) 如图4, 正方形ABCD与直角梯形ADEF所在平面互相垂直, ∠ADE=90°, AF∥DE, DE=DA=2AF=2.

(Ⅰ) 求证:AC∥平面BEF;

(Ⅱ) 求平面BEF与平面ABCD所成角的正切值.

(文) 如图5所示, 正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直, AD⊥CD, AB∥CD, CD=2AB=2AD.

(Ⅰ) 求证:BC⊥BE;

(Ⅱ) 在EC上找一点M, 使得BM//平面ADEF, 请确定M点的位置, 并给出证明.

(Ⅰ) 求椭圆C的方程;

(Ⅱ) 设斜率为k (k≠0) 的直线l交椭圆C于A, B两点, 且以AB为直径的圆恒过原点O, 求△OAB面积的最大值.

21. (本小题满分12分) 已知实数a是常数, f (x) = (x+a) 2-3ln (x+1) -5.当x>0时, f (x) 是增函数.

(Ⅰ) 求a的取值范围;

请考生在第22~24题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题计分, 作答时请写清题号.

22. (本小题满分10分) 选修4-1:几何证明选讲

如图6, 在△ABC中, CD是∠ACB的平分线, △ACD的外接圆交BC于点E, AB=2AC.

(Ⅰ) 求证:BE=2AD;

(Ⅱ) 当AC=1, EC=2时, 求AD的长.

23. (本小题满分10分) 选修4-4:坐标系与参数方程

(Ⅰ) 求点P轨迹的直角坐标方程;

(Ⅱ) 求点P到直线l距离的最大值.

24. (本小题满分10分) 选修4-5:不等式选讲

设函数f (x) =|3x-1|+ax+3.

(Ⅰ) 若a=1, 解不等式f (x) ≤5;

(Ⅱ) 若函数f (x) 有最小值, 求实数a的取值范围.

参考答案

1.A.∵M= (1, +∞) , N= (0, 2) ,

∴M∩N= (1, 2) .故选A.

10.A.因为f (x) 的值域是R, 且两段函数都是递增函数, 所以4+a≤2+a2.解之, 得a≤-1或a≥2.故选A.

12.B. (1) 符合, 若f (x) 为奇函数, 则其导函数f′ (x) 为偶函数.反之不一定成立, 如f (x) =x3+1即为反例. (2) 符合, 若f (x) 以T为周期, 即f (x) =f (x+T) , 则f′ (x) =f′ (x+T) , 即其导函数f′ (x) 以T为周期.反之却不一定成立, 如f′ (x) =1+cos x为周期函数, 但f (x) =x+sin x为非周期函数. (3) 不符合, 如f (x) =x3在 (-∞, +∞) 上为增函数, 此时f′ (x) =3x2≥0在 (-∞, +∞) 上恒成立. (4) 符合, 易知若f′ (x0) =0, 则x0不一定为函数的极值点, 如函数f (x) =x3即为反例.

综上只有 (1) (2) (4) 符合.故选B.

13.-1.∵a+b= (1, 0) , a-b= (-1, 2) , ∴a= (0, 1) , b= (1, -1) .∴a·b= (0, 1) · (1, -1) =-1.

17.解: (Ⅰ) ∵acos B+bcos (B+C) =0,

由正弦定理知,

sin Acos B+sin Bcos (π-A) =0,

即sin Acos B-sin Bcos A=0,

∴sin (A-B) =0, ∴A-B=kπ, k∈Z,

∵A, B是△ABC的两个内角,

∴A-B=0, 即A=B,

∴△ABC是等腰三角形.

(Ⅱ) 由2 (b2+c2-a2) =bc, 得

cos C=cos (π-2A) =-cos 2A

18. (理) 解: (Ⅰ) 设乙答题所得分数为X, 则X的可能取值为-15, 0, 15, 30.

乙得分的分布列如下:

(Ⅱ) 由“甲、乙至少答对2题才能入选”知, 记甲入选为事件A, 乙入选为事件B.

故甲、乙两人至少有一人入选的概率

(Ⅱ) 第三批次的人数为y+z=900- (196+204+144+156) =200.

由题意知, 设应在第三批次中抽取m名,

∴应在第三批次中抽取12名.

(Ⅲ) 设第三批次中女教职工比男教职工多的事件为A, 第三批次女教职工和男教职工数记为数对 (y, z) .

由 (Ⅱ) 知, y+z=200 (y, z∈N, y≥96, z≥96) , 则基本事件总数有: (96, 104) , (97, 103) , (98, 102) , (99, 101) , (100, 100) , (101, 99) , (102, 98) , (103, 97) , (104, 96) , 共9个,

而事件A包含的基本事件有: (101, 99) , (102, 98) , (103, 97) , (104, 96) , 共4个,

19. (理) 解: (Ⅰ) 证法1:设AC∩BD=O, 取BE的中点G, 连结FG, OG,

∵AF∥DE, DE=2AF,

∴AF∥OG且AF=OG,

∴四边形AFGO是平行四边形,

∴FG∥AO.

∴AO∥平面BEF, 即AC∥平面BEF.

证法2:如图, 建立空间直角坐标系,

设平面BEF的法向量为n= (x, y, z) ,

令x=1, 则y=1, z=2, n= (1, 1, 2) .

(Ⅱ) 设平面ABCD与平面BEF所成二面角的平面角为α, 由条件知α是锐角.

由 (Ⅰ) 知, 平面BEF的一个法向量为n= (1, 1, 2) .

又平面ABCD与z轴垂直,

所以是平面ABCD的一个法向量

n1= (0, 0, 1) ,

(文) 解: (Ⅰ) 证明:因为正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直, DE⊥AD,

所以DE⊥平面ABCD, ∴DE⊥BC.

因为AB=AD,

取CD中点N, 连结BN.

则由题意知, 四边形ABND为正方形,

∴△BDC为等腰直角三角形,

∴BD⊥BC,

∴BC⊥平面BDE, ∴BC⊥BE.

(Ⅱ) 取EC中点M, 则有BM∥平面ADEF.

证明如下:连结MN.

由 (Ⅰ) 知, BN∥AD, 所以BN∥平面ADEF.

又因为M, N分别为CE, CD的中点,

所以MN∥DE,

则MN∥平面ADEF,

则平面BMN∥平面ADEF,

所以BM∥平面ADEF.

设P (x0, y0) , △PF1F2的面积S=|y0|c.

又|y0|≤b,

所以△PF1F2的最大面积bc=1,

(Ⅱ) 设直线l的方程为y=kx+m (k≠0) , A (x1, y1) , B (x2, y2) .

消去y, 得

(1+2k2) x2+4mkx+2m2-2=0.

设t=2k2+1≥1,

21.解: (Ⅰ) ∵f (x) = (x+a) 2-3ln (x+1) -5,

∴f′ (x) =2 (x+a) -3x+1.

∵当x>0时, f (x) 是增函数,

由 (Ⅰ) 知, 当x>0时, f (x) 是增函数.

∴当x>0时, f (x) >f (0) ,

即当x>0时, x2+3x>3ln (x+1) .

∴Sn>ln (n+1) .

22.解: (Ⅰ) 证明:连结DE.

因为四边形ACED是圆的内接四边形,

所以∠BDE=∠BCA.

又∠DBE=∠CBA,

所以△BDE∽△BCA,

所以BE=2DE.

又CD是∠ACB的平分线,

所以AD=DE,

从而BE=2AD.

(Ⅱ) 由条件知, AB=2AC=2, 设AD=t.

根据割线定理得BD·BA=BE·BC,

即 (AB-AD) ·BA=2AD· (2AD+CE) ,

所以 (2-t) ×2=2t (2t+2) ,

即2t2+3t-2=0.

所以点P的轨迹方程为x2+ (y-2) 2=4.

所以ρsinθ-ρcosθ=10,

所以直线l的直角坐标方程为x-y+10=0.

方法1:由 (Ⅰ) 知, 点P的轨迹方程为x2+ (y-2) 2=4, 圆心为 (0, 2) , 半径为2.

24.解: (Ⅰ) 当a=1时, f (x) =|3x-1|+x+3.

数学模拟试题第11篇

1． 2010年一季度，全国城镇新增就业人数为2890000人，用科学记数法表示2890000正确的是（）

A． 2.89×107 ?摇B． 2.89×106?摇

C． 2.89×105?摇 D． 2.89×104

2．下列运算正确的是（）

A． a2+a3=a5?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇 B． a2·a3=a6

C．（a+b）（a－b）=a2－b2?摇?摇?摇?摇?摇Ｄ．（a+b）2=a2+b2

3．如图1，已知直线AB∥CD，∠DCF=110°且AF=EF，则∠A等于（）

A． 70° ?摇 ?摇 ?摇B． 40°?摇 ?摇 C． 50°?摇 ?摇?摇 D． 55°

20．（6分）如图10，平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的点，且BE=DF. 求证： AE∥CF.

21．（7分）如图11，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，CE∥AD交AB于E．

（1）求证：四边形AECD是菱形.

（2）若点E是AB的中点，试判断△ABC的形状，并说明理由．

22．（5分）某校对九年级学生进行“综合素质”评价，评价的结果为A（优）、B（良好）、C（合格）、D（不合格）四个等级，现从中抽测了若干名学生的“综合素质”等级作为样本进行数据处理，并作出如图12所示的统计图，已知图中从左到右的四个长方形的高的比为14：9：6：1，评价结果为D等级的有2人，请你回答以下问题：

（1）共抽测了多少人？

（2）样本中B等级的频率是多少？

（3）如果要绘制扇形统计图，A等级在扇形统计图中所占的圆心角是多少度？

（4）该校九年级的毕业生共300人，假如“综合素质”等级为A或B的学生才能报考示范性高中，请你计算该校大约有多少名学生可以报考示范性高中？

23．（6分）某展览馆展览厅东面有两个入口A，B，南面、西面、北面各有一个出口，示意图如图13所示．小华任选一个入口进入展览大厅，参观结束后任选一个出口离开．

（1）她从进入到离开共有多少种可能的结果（要求画出树状图）？

（2）她从入口A进入展厅并从北出口或西出口离开的概率是多少？

纸中，虚线是折痕，阴影是裁剪掉的部分，四个角均为大小相同的正方形，正方形的边长为折叠进去的宽度.

（1）设课本的长为a cm，宽为b cm，厚为c cm，如果按如图所示的包书方式，将封面和封底各折进去3 cm，用含a，b，c的代数式，分别表示满足要求的矩形包书纸的长与宽.

（2）现有一本长为19 cm，宽为16 cm，厚为6 cm的字典，你能用一张长为43 cm，宽为26 cm的矩形纸包好这本字典，并使折叠进去的宽度x不小于3 cm吗？请说明理由.

26．（6分）设边长为2a的正方形的中心A在直线l上，它的一组对边垂直于直线l，半径为r的⊙O的圆心O在直线l上运动，点A，O之间的距离为d．

（1）如图16，当r＜a时，根据d与a，r之间关系，请你将⊙O与正方形的公共点个数填入下表：

（2）如图17，当r＝a时，根据d与a，r之间的关系，请你写出⊙O与正方形的公共点个数. 当r＝a时，⊙O与正方形的公共点个数可能有_______个.

（3）如图18，当⊙O与正方形有5个公共点时，r=_______（请用a的代数式表示r，不必说理）.

27．（10分）如图19，⊙A与y轴交于C，D两点，圆心A的坐标为（1，0），⊙A的半径为，过点C作⊙A的切线交x轴于点B（－4，0）.

（1）求切线BC的解析式.

（2）若点P是第一象限内⊙A上一点，过点P作⊙A的切线与直线BC相交于点G，且∠CGP＝120°，求点G的坐标.

（3）向左移动⊙A（圆心A始终保持在x轴上），与直线BC交于E，F，在移动过程中是否存在点A，使得△AEF是直角三角形？若存在，求出点A 的坐标；若不存在，请说明理由．

28．（12分）已知直角坐标系中菱形ABCD的位置如图20所示，C，D两点的坐标分别为（4，0），（0，3）. 现有两动点P，Q分别从A，C同时出发，点P沿线段AD向终点D运动，点Q沿折线CBA向终点A运动，设运动时间为t s.

（1）填空：菱形ABCD的边长是______，面积是______，高BE的长是_______.

（2）探究下列问题：

①若点P的速度为每秒1个单位，点Q的速度为每秒2个单位.当点Q在线段BA上时，求△APQ的面积S关于t的函数关系式，以及S的最大值.

2016年高考数学模拟试题(一) 第12篇

1. (理) 已知集合M={-1, 0, 1, 2}, N={y|y=x2, x∈M}, 则集合M∩N的非空子集的个数是 () .

(A) 0 (B) 1

(文) 已知集合M={-1, 0, 1, 2}, N={y|y=x2, x∈M}, 则M∩N= () .

3. (理) 下列函数中, 在其定义域内为偶函数且有最小值的是 () .

(A) c<a<b (B) c<b<a (C) a<b<c (D) b<a<c

4. (理) 已知方程 (m-1) x2+ (3-m) y2= (m-1) (3-m) 表示焦距为8的双曲线, 则实数m的值为 () .

(A) -30 (B) 10

(文) 已知双曲线C的方程为x2-y2=1, 直线l的方程为, 则双曲线C的焦点到直线l的最近距离为 () .

5. (理) 在一次国际大赛中, 有A, B, C, D, E, F六位选手进行第1名至第6名的不同名次的角逐, 比赛结束, 记者与A, B两位选手进行了以下对话:

A:我很遗憾, 没能获得第1名;

记者:Are you satisfied with the result?

B:Yes, I’m glad I didn’t rank the last.

根据对话内容, 这六位选手的不同名次排列种数是 () .

(A) 504 (B) 524

7.如图2, 它是一个算法的程序框图, 最后输出的k值为 () .

(A) 3 (B) 5

9. (理) 设[m]表示不超过实数m的最大整数, 则在直角坐标平面xOy上, 满足[x]2+[y]2=2的点P (x, y) 所成的图形的面积为 () .

(A) 1 (B) 2

(文) 长方体一顶点出发的三个侧面的面对角线的长分别为, 2, 则该长方体外接球的表面积是 () .

(A) 5π (B) 6π

(A) 30° (B) 45°

11.某几何体的三视图如图3所示, 图中网格小正方形的边长为1, 则该几何体的体积为 () .

(A) 32 (B) 48

(文) 设f (x) 为周期为4的奇函数, 且f (x) 的导函数是f′ (x) =2 (x-1) , x∈[0, 2], 则f (15) 的值是 () .

(A) -2 (B) 0

二、填空题:本大题共4小题, 每小题5分, 共20分.把答案写在题中的横线上.

13. (理) 正数a, b满足 (ax+b) 9=a0+a1x+a2x2+…+a9x9, 且二项展开式的系数和为1, 则ab的最大值是________.

(文) 在△ABC中, 已知1+cos2A+sin Bsin C=cos2B+cos2C, 则角A的大小为.

(文) 已知函数f (x) =x2-2x, g (x) =ax+2 (a>0) , 若对任意x1∈[-1, 2], 总存在x0∈[-1, 2], 使得g (x1) =f (x0) , 则实数a的取值范围是_______.

16.若甲、乙、丙三人的考试成绩各不相同, 且满足:

(1) 如果乙的成绩不是最高, 那么甲的成绩最低;

(2) 如果丙的成绩不是最低, 那么甲的成绩最高.

如此判断, 三人中成绩最低的应该是_______.

三、解答题:本大题共8小题, 共70分.解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.

17. (本小题满分12分) (理) 设Sn是等比数列{an}的前n项和, S3, S9, S6成等差数列.

(Ⅰ) 设此等比数列的公比为q, 求q3的值.

(Ⅱ) 问:数列中是否存在不同的三项am, an, ap成等差数列?若存在, 求出m, n, p满足的条件;若不存在, 请说明理由.

(Ⅰ) 求数列{an}的通项an与前n项和Sn;

18. (本小题满分12分) (理) 某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动.为了了解本次竞赛学生成绩情况, 从中抽取了部分学生的分数 (得分取正整数, 满分为100分) 作为样本 (样本容量为n) 进行统计.按照[50, 60) , [60, 70) , [70, 80) , [80, 90) , [90, 100]的分组作出频率分布直方图 (图4) , 并作出样本分数的茎叶图 (图5中仅列出了得分在[50, 60) , [90, 100]的数据) .

(Ⅰ) 求样本容量n和频率分布直方图中x, y的值;

(Ⅱ) 在选取的样本中, 从竞赛成绩是80分以上 (含80分) 的同学中随机抽取3名同学到市政广场参加环保知识宣传的志愿者活动, 设ξ表示所抽取的3名同学中得分在[80, 90) 的学生个数, 求ξ的分布列及其数学期望.

(文) 为预防H1N1病毒爆发, 某生物技术公司研制出一种新流感疫苗, 为测试该疫苗的有效性 (若疫苗有效的概率小于90%, 则认为测试没有通过) , 公司选定2 000个流感样本分成三组, 测试结果如下表:

已知在全体样本中随机抽取1个, 抽到B组的概率是0.375.

(Ⅰ) 求x的值.

(Ⅱ) 现用分层抽样的方法在全部测试结果中抽取360个, 问应在C组中抽取多少个?

(Ⅲ) 已知y≥465, z≥25, 求该疫苗不能通过测试的概率.

19. (本小题满分12分) (理) 如图6, 在四棱锥S-ABCD中, 侧棱SA⊥底面ABCD, AD∥BC, ∠ABC=90°, SA=AB=BC=2, AD=1, M是棱SB的中点.

(Ⅰ) 求证:AM∥平面SCD;

(Ⅰ) 求证:平面PAB⊥平面PBC;

(Ⅱ) E为BC上的一点, 若直线AE与平面PBC所成的角为30°, 求BE的长.

(Ⅰ) 求椭圆的离心率.

(Ⅱ) 若半焦距为3, 过点A的直线l交椭圆于两点M, N, 问在x轴上是否存在定点C使为常数?若存在, 求出C点的坐标及该常数的值;若不存在, 请说明理由.

(Ⅰ) 求a的最大值;

(Ⅱ) 在a取最大值的条件下, 证明:当x1+x2=6且0<x1<3时, 有f (x1) <f (x2) .

(文) 已知f (x) =ln x-x+1 (x>0) .

(Ⅰ) 判断函数y=f (x) 的单调性, 给出你的结论;

(Ⅱ) 设x>0, 讨论函数y=f (x) 与曲线g (x) =mx-1 (m>0) 公共点的个数.

请考生在第22, 23, 24题中任选一题作答.如果多做, 则按所做的第一题计分.

22. (本小题满分10分) 选修4-1:几何证明选讲

如图8, AB为圆O的直径, BC是圆O的切线, 连结AC交圆O于D, P为AD的中点, 过P作不同于AD的弦交圆O于M, N, 若BC=6, CD=4.

(Ⅰ) 求MP·NP;

(Ⅱ) 求证:∠C=∠AMD.

23. (本小题满分10分) 选修4-4:坐标系与参数方程

已知直线l经过点P (1, 2) , 倾斜角α=π/3.

(Ⅰ) 写出直线l的参数方程;

(Ⅱ) 设l与圆x2+y2=2相交于两点A, B, 求点P到A, B两点的距离之积.

24. (本小题满分10分) 选修4-5:不等式选讲

(Ⅰ) 若f (x) ≥t恒成立, 求t的最大值;

(Ⅱ) 在 (Ⅰ) 的条件下, 求不等式|x+t|+|x-2|≥5的解集.

1. (理) C.因为N={0, 1, 4}, 所以M∩N={0, 1}的非空子集的个数是3.

(文) A.因为N={0, 1, 4}, 所以M∩N={0, 1}.

3. (理) B.对函数f (x) =2|x|+x2, 有f (-x) =f (x) , 且f (x) ≥f (0) =1.

5. (理) A.本题相当于求A, B, C, D, E, F六位选手站成一排, A不在排头, B不在排尾的方法数.

法1 (间接法) :A在排头, 有A55种站法;B在排尾, 有A55种站法;A在排头, B在排尾, 有A44种站法, 故这六位选手的不同名次排列有种可能.

法2 (直接法) :A在排尾, 有C15A44种可能;A既不在排头也不在排尾, 有C14C14A44, 故这六位选手的不同名次排列有C15A44+C14C14A44=504种可能.

(文) C.当目标函数z=x+y经过点A (a, a) 时取得最大值4, 所以2a=4, 即a=2.

7.B.当k=1, S=0时, 执行第一次循环, S=2, k=2;当S=2, k=2时, 执行第二次循环, S=6, k=3;当S=6, k=3时, 执行第三次循环, S=14, k=4;当S=14, k=4时, 执行第四次循环, S=30, k=5, 此时S<20不成立, 输出k=5.

所以点P (x, y) 所成的图形是4个边长为1的正方形, 其面积为4.

(文) B.设长方体一顶点出发的三条棱长分别为a, b, c, 则

a2+b2=3, b2+c2=5, c2+a2=4.

所以a2+b2+c2=6.

于是, 球的直径2R满足4R2= (2R) 2=a2+b2+c2=6.

故外接球的表面积为S=4πR2=6π.

11.A.几何体的直观图如图2, 其体积为

(文) C.由f′ (x) =2 (x-1) , x∈[0, 2], 知f (x) =x2-2x+c, 注意到f (-x) =-f (x) , 即f (-0) =-f (0) , 得f (0) =0.所以c=0.于是f (x) =x2-2x, x∈[0, 2].从而f (15) =f (16-1) =f (-1) =-f (1) =- (12-2×1) =1.

(文) -2.因为函数的图象关于原点中心对称, 所以有f (0) =0, 即有m的关系式ln (-m-1) =0.所以-m-1=1, 即m=-2.

即sin Bcos A+cos Bsin A=2sin Ccos A⇒sin (B+A) =sin C=2sin Ccos A.

(文) (2π) /3.由已知1+cos2A+sin Bsin C=cos2B+cos2C, 得

sin2B+sin2C+sin Bsin C=sin2A,

即b2+c2-a2=-bc.

15. (理) [-1, 0]∪[2, 3].因为g (x) =|x-1|-1, 所以不等式f (x) ≤3g (x)

等价于x2-2x≤3|x-1|-3,

等价于 (x-1) 2≤3|x-1|-2,

等价于|x-1|2-3|x-1|+2≤0,

等价于1≤|x-1|≤2,

所以-1≤x≤0或2≤x≤3.

(文) (0, 1/2].设函数f (x) 在[-1, 2]上的值域为A, 函数g (x) 在[-1, 2]上的值域为B, 则由题设知, 应使B⊆A.

16.丙.如果乙的成绩不是最高的, 由 (1) 知, 甲的成绩最低, 于是乙的成绩居中, 丙的成绩最高, 但是这与 (2) 矛盾, 所以乙的成绩最高.同理可知, 丙的成绩最低.

17. (理) (Ⅰ) 因为S3, S9, S6成等差数列,

(Ⅱ) 存在不同的三项a1, a7, a4成等差数列.

一般地, 当n=m+6, 且p=m+3时, 有am, an, ap成等差数列.

假设数列{bn}中存在三项bp, bq, br (p, q, r互不相等) 成等比数列,

所以p=r.

这与p≠r矛盾.

所以数列{bn}中任意不同的三项都不可能成等比数列.

(Ⅱ) 由题意可知, 分数在[80, 90) 的有5人,

分数在[90, 100]的有2人, 共7人.

抽取的3名同学中得分在[80, 90) 的学生个数ξ的可能取值为1, 2, 3,

所以ξ的分布列为

(文) (Ⅰ) 因为在全体样本中随机抽取1个, 抽到B组的概率是0.375,

所以x=660.

(Ⅱ) C组样本个数为y+z=2 000- (673+77+660+90) =500.

现用分层抽样的方法在全部测试结果中抽取360个, 则应在C组中抽取个数为

(Ⅲ) 设事件“疫苗不能通过测试”为事件M.

由 (Ⅱ) 知y+z=500, 且y, z∈N.

所以C组的测试结果中疫苗有效与无效的可能的情况有:

(465, 35) , (466, 34) , (467, 33) , …, (475, 25) , 共11个.

由于疫苗有效的概率小于90%时认为测试没有通过, 所以疫苗不能通过测试时, 必须有

所以事件M包含的基本事件有 (465, 35) , (466, 34) , 共2个.

所以P (M) =2/ (11) .

故该疫苗不能通过测试的概率为2/ (11) .

19. (理) (Ⅰ) 以点A为原点建立如图3所示的空间直角坐标系, 则

A (0, 0, 0) , B (0, 2, 0) , C (2, 2, 0) , D (1, 0, 0) , S (0, 0, 2) , M (0, 1, 1) .

令z=1, 则x=2, y=-1, 于是n= (2, -1, 1) .

所以AM∥平面SCD.

因为平面SAB的法向量为m= (1, 0, 0) ,

(文) (Ⅰ) 在△PAB中, 由PA=PB=2, ∠APB=60°, 得AB=2.

在△PBC中, PB=2, PC=4, ∠BPC=60°, 由余弦定理, 得.

在△PAC中, PA=2, PC=4, cos∠APC=1/4, 由余弦定理, 得AC=4.

因为AB2+BC2=AC2,

所以AB⊥BC.

因为PB2+BC2=PC2,

所以PB⊥BC.

因为AB∩PB=B,

所以BC⊥平面PAB.

因为BC⊂平面PBC,

所以平面PAB⊥平面PBC.

(Ⅱ) 如图4, 取PB的中点F, 连结AF, EF, 则AF⊥PB.

因为平面PAB⊥平面PBC, 平面PAB∩平面PBC=PB, AF⊂平面PAB,

所以AF⊥平面PBC.

因此∠AEF是直线AE与平面PBC所成的角, 即∠AEF=30°.

设M (x1, y1) , N (x2, y2) , 则

又0<t<3,

所以v (t) 在 (0, 3) 上单调递增, v (t) >v (0) =0, 即u′ (t) >0.

所以u (t) 在 (0, 3) 上单调递增, u (t) >u (0) =0.

由f′ (x) =0, 得x=1.

当x∈ (0, 1) 时, f′ (x) >0;当x∈ (1, +∞) 时, f′ (x) <0.

所以函数y=f (x) 在 (0, 1) 上是增函数, 在 (1, +∞) 上是减函数.

函数h (x) 的大致图象如图5.

当0<m<e-1时, 函数f (x) =ln x-x+1与曲线g (x) =mx-1 (m>0) 有2个公共点;

当m=e-1时, 函数f (x) =ln x-x+1与曲线g (x) =mx-1 (m>0) 有1个公共点;

当m>e-1时, 函数f (x) =ln x-x+1与曲线g (x) =mx-1 (m>0) 有0个公共点.

22. (Ⅰ) 因为BC为圆O的切线, AC为割线,

所以BC2=CD·AC, 解得AC=9.所以AD=5.

又因为P为AD的中点, 所以AP=PD=5/2.

因为MN和AD为圆O内的相交弦,

(Ⅱ) 连结BD, 因为AB为直径, BC为圆O的切线, 所以∠ABC=90°.

所以∠C+∠CAB=90°.

又AB为直径, 得∠ADB=90°,

所以∠CAB+∠DBA=90°.

所以∠C=∠DBA.

又因为∠DBA和∠AMD为弧AD所对的圆周角,

所以∠DBA=∠AMD.

所以∠C=∠AMD.

所以t1t2=3.

故点P到A, B两点的距离之积为3.

所以函数f (x) 的最小值为1.

所以t≤1, 即t的最大值为1.

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