中学数学向量教学思考

中学数学向量教学思考（精选10篇）

中学数学向量教学思考 第1篇

向量是新编高中教材新增的内容, 无论是对于教师还是学生都是新的.作为教师不仅要学习新内容, 而且要从思想方法上研究新内容的内涵实质, 修整原有的认知.随着人类新型知识体系的构建和形成, 新的教育理念正在向传统的教育模式发起挑战, 使其必须进行重大革命, 以适应高度发展起来的新型知识体系.加强数学教师的在职培训应是当前最应务实的做法.新的教学理念对数学课程的目标定位、数学教育的价值取向、学生学习方式的转变、教师角色的转换、数学教学评价的导向等提出了新的要求, 其核心思想是促进学生与教师的共同发展.中国留美学者马力平在《初等数学的理解与教学》一文中指出, 教师对于自身所教学的数学知识的理解程度对其教学工作有着十分重要的影响.

2. 向量语言的教学

向量语言贯穿于向量教学的始末, 教学中要重视平面向量概念的建立和向量运算的学习阶段, 向量语言的数学环境极为丰富, 教师要按照循序渐进的原则, 在教学的每一阶段, 让学生经历向量语言的模仿→口头语言→书面语言→规范的口头表达, 在这个过程中, 尤其重要的是教师要给学生充分的“表现”机会, 在交流中通过直接或间接的方式规范数学语言, 从而在利用向量解决问题的时候能合理地使用向量的三种语言形式, 形成用数学的能力.

3. 联系实际问题, 强化向量学习

前苏联心理学家克鲁捷茨基认为, 数学能力就是用数学材料去形成概括的、简缩的、灵活的和可逆的联想和联想系统的能力.

弗赖登塔尔曾说:“数学源于现实, 也必须寓于现实, 并且用于现实”.强调数学与现实的联系是当前国际数学教育改革的共同趋势

3.1 从现实中形成向量概念及其运算

美国数学教材The University of Chicago School Mathematics Project, Geometry中, 向量一章的引言部分有这样一段描述:“从达拉斯国际机场到洛杉矶国际机场的空中距离与从洛杉矶机场到达拉斯机场的空中距离自然是相等的.但是从飞行时刻表上你会发现, 从洛杉矶机场到达拉斯机场的飞行时间小于相反方向的飞行时间.比如1998年, 从洛杉矶到达拉斯的平均飞行时间是2小时59分, 而从达拉斯到洛杉矶的平均飞行时间则是3小时10分.产生这种区别的原因是美国上空的风向几乎总是由西向东, 差不多与洛杉矶到达拉斯的方向一致.所以风力加速了飞机向东的飞行, 也减慢了飞机向西的飞行.本章所要学习的向量知识将帮助我们解释这种现象”.现实生活中的力、位移和速度等为学生理解向量概念提供了丰富的具体模型, 教学中无疑应该充分利用这些模型.

3.2 将向量知识应用于解决实际问题

向量知识可以用来解释一些客观现象, 从而帮助我们认识自然、认识社会, 比如斜风雨的形成、顺水行舟必然快于逆水行舟、两个人用手抬一桶水并不能比一个人用手提省一半的力等现象, 都可以利用向量知识作出合理的解释.

例1一个人乘气球飞向天空, 一开始他上升400米, 然后向西北飞行1000米, 再下降200米后又向东北飞行500米, 接着调转方向向东南飞行1000米, 最后下降200米, 问:气球最后位于何处?

分析这个问题虽不复杂, 但用几何方法考虑也易使人晕头.如果以起点为原点建立空间直角坐标系, 然后依次写出各飞行向量再求和, 则思路较为简单清晰.

故气球最终位于东北方向离起点500米的地面上.

4. 向量概念及其运算、运算律的教学

对概念学习要解决的另一个重要问题是迁移.在教学中, 不能从集合论的角度进行解释, 但可以利用生活实例帮助学生理解, 鼓励学生多动手操作, 在实践中领悟知识的产生.

再如超市购物单如下表所示:

用“有序”数组表示价格向量: (3.00, 2, 50) ;商品数量向量: (4, 20) ;购物单总金额=价格向量×商品数量向量, 即62= (3, 2.5) · (4, 20) =3×4+2.5×20.

通过这样的问题可以让学生更好地理解方向和大小是向量的本质属性.

5. 教学中向量内容教学要求的把握

5.1 对平面向量基本定理的深化

平面向量基本定理应该是平面向量教学的核心内容, 它的理论意义远远大于它在解题中的作用, 主要是为了引出向量的坐标形式, 在今后学习空间向量时还要推广为空间向量基本定理, 这是引出空间向量用三维坐标表示的基础.

5.2 把握教学要求要适度

适当淡化平面向量运算在平面几何中的应用, 并非想削弱平面向量的几何意义, 而是从教学的实际出发, 考虑到学生对向量概念及其运算的学习刚刚起步, 短期内难以达到深刻的理解和熟练的程度, 因此提出向量运算应以课本要求为准, 以熟悉基本概念和基本运算为主.

例2已知四边形ABCD, 试用向量运算的方法证明:AC⊥BD的充要条件是AB2+CD2=AD2+BC2.D

证明如图1所示, 设AB=a, BC=b, CD=c, DA=d.则a+b+c+d=c2+d2.

由.即证.

5.3 适当强化平面向量用坐标表示的应用

引入了平面向量的坐标表示之后, 使“形”与“数”产生了联系, 可以将几何问题转化成数量关系的问题来研究, 将平行、垂直关系的研究转化为坐标运算来研究, 体现出坐标法的巨大优势, 这是研究方法的创新.因为平面向量的基础性和工具性, 与解析几何有着密不可分的联系, 我们在这一章的教学中才有必要强化.

例3已知△ABC三顶点的坐标分别为A (1, -1) , B (2, 2) , (-2, 4) .

(I) 求cos∠ABC的值;

(II) 若CD为AB边上的高, 求垂足D的坐标.

解 (I) 如图2所示:

(II) 设D (x, y) , 依题意有:

本例利用向量的概念及其运算法则解决垂直、共线与夹角计算问题, 体现了解析几何的代数思想, 即设未知数、列方程或方程组, 解方程或方程组.

6. 结语

向量进入高中数学, 是新课程改革的必然, 对高中数学教师尤其是脱离高等数学时间较长的教师来说, 则是一个挑战.数学教师除了适应课改的要求, 及时更新教学理念外, 还应需要接受系统培训, 才能更好地完成向量的教学任务.

参考文献

[1]胡明健.向量, 应进入高中新课程.课程.教材.教法, 1996.7, 17-19.

[2]马力平.初等数学的理解与教学.上海:上海教育出版社2001年版, 310-311.

[3]陈振宣.向量教学探索.数学教学, 2003 (2) .

[4]克鲁捷茨基著.赵裕春等译.小学生数学能力心理学[M].北京:教育科学出版社, 1984.

[5]斯托利亚尔著.丁尔升等译.数学教育学.北京:人民教育出版社, 1984 (7) .

[6]The University of Chicago School Mathematics Project.Geometry.

中学数学向量教学思考 第2篇

(i)知识目标：

(1)掌握平面向量数量积的概念、几何意义、性质、运算律及坐标表示.

(2)平面向量数量积的应用.

(ii)能力目标：

(1) 培养学生应用平面向量积解决相关问题的能力.

(2) 正确运用向量运算律进行推理、运算.

教学重点： 1. 掌握平面向量的数量积及其几何意义.

2. 用数量积求夹角、距离及平面向量数量积的坐标运算.

教学难点：平面向量数量积的综合应用.

?教学过程：

一、知识梳理

1.平面向量数量积(内积)的定义：已知两个非零向量 与 ，它们的夹角是θ，则数量| || |cos(叫 与 的数量积，记作 ( ，即 ( = | || |cos(， 并规定 与任何向量的数量积为0

2.平面向量的数量积的几何意义：数量积 ( 等于 的长度与 在 方向上投影| |cos(的乘积.

3.两个向量的数量积的性质 设 、为两个非零向量， 是与 同向的单位向量

1( ( = ( =| |cos(; 2( ( ( ( = 0

3(当 与 同向时， ( = | || |;当 与 反向时， ( = (| || | ，特别地 ( = | |2

4(cos( = ; 5(| ( | ≤ | || |

4.平面向量数量积的运算律

① 交换律： ( = ( ② 数乘结合律：( )( = ( ( ) = (( )

③ 分配律：( + )( = ( + (

5.平面向量数量积的坐标表示

①已知两个向量 ， ，则 .

②设 ，则 .

③平面内两点间的距离公式 如果表示向量 的有向线段的起点和终点的坐标分别为

、，那么 .

④向量垂直的判定 两个非零向量 ， ，则 .

⑤两向量夹角的余弦 cos( = ( ).

二、典型例题

1.平面向量数量积的运算

例题1 已知下列命题：

① ; ② ; ③ ; ④

其中正确命题序号是 ②、④ .

点评： 掌握平面向量数量积的含义，平面数量积的运算律不同于实数的运算律.

例题2 已知 ; (2) ;(3) 的夹角为 ，分别求 .

解(1)当 时， = 或 = .

(2)当 时， = .

(3)当 的夹角为 时， = .

变式训练：已知 ，求

解： =

点评： 熟练应用平面向量数量积的定义式求值，注意两个向量夹角的确定及分类完整.

2.夹角问题

例题3 若 ，且 ，则向量 与向量 的夹角为 ( )

A. B. C. D.

解：依题意 故选C

变式训练1：① 已知 ，求向量 与向量 的夹角.

② 已知 ， 夹角为 ，则 .

解： ① ，故夹角为 .

②依题意得 .

变式训练2：已知 是两个非零向量，同时满足 ，求 的夹角.

法一 解：将 两边平方得 ，

则 ， 故 的夹角.为 .

法二： 数形结合

点评：注意两个向量夹角共起点，灵活应用两个向量夹角的两种求法.

3.向量模的问题

例题4 已知向量 满足 ，且 的夹角为 ，求 .

解： ，且 的夹角为;

变式训练 ：

①(湖北)已知向量 ，若 不超过5，则 的取值范围 ( )

A. B. C. D.

②(福建) 已知 的夹角为 ， ， ，则 等于( )

A 5 B. 4 C. 3 D. 1

解： ① ， 故选C

② ， ，解得 ，故选B

点评：涉及向量模的问题一般利用 ，注意两边平方是常用的方法.

4.平面向量数量积的综合应用

例题5 已知向量 .

若 ; (2)求 的最大值 .

解：(1)若 ，则 ， .

(2) = =

， 的最大值为 .

例题6已知向量 ，且 满足 ，

求证 ; (2)将 与 的数量积表示为关于 的函数 ;

(3)求函数 的最小值及取得最小值时向量 与向量 的夹角 .

解：(1)，

故

(2) ，

中学数学向量教学思考 第3篇

一、向量的认识

向量具有显著的应用价值，在数学、物理及现代科技中都有着广泛的应用。

1.物理学背景

向量表示具有大小和方向的基本量，常用箭头表示，在物理学中称为矢量。矢量在重力场、电场等处有着直接应用，位移、力、速度、加速度等物理概念都具有矢量的性质。矢量的运用贯穿于物理学科发展的始终，渗透在众多物理学分支学科中。这些矢量模型都是数学向量的经典原型，为学生们今后的数学向量学习提供了丰富的物理依据。

2.几何学背景

向量具有大小和方向，而几何学的主要研究内容就是物体的形状和位置，大小可以表示几何形状，方向可以表示几何位置，这两者之间密切相关。在几何学中，直线、平面及其位置关系都可以利用向量的方向性来表示;线段长度、平面面积和几何体积则可以利用向量的大小及其运算法则表示。因此，在高中数学向量的教学中，教师必须引导学生将向量知识向几何意义方向过渡，帮助学生掌握向量与几何学的关系。

3.代数学背景

代数学的主要研究内容包括运算及其基本规律，传统的代数运算包括加减乘除等，而这些运算在向量中同样存在。向量运算除了加减乘除外，还包括向量积（点乘）、数量积（叉乘）等。这些代数运算法则及其规律赋予了向量知识新鲜血液，催生了一系列特定的向量结构。

二、向量的教育价值

1.联系其他学科，实现背景教学

向量知识不仅仅为数学学科所使用，在物理学中同样有着重要的教育价值。在向量知识的实际教学过程中，必须注重对应的学科联系性教学，帮助学生全面掌握向量知识。

例如，在必修四的向量加法运算教学中，我们可以利用位移合成的原理来导入加法运算法则。我们假设一个物体从点A运动到点B，再从B点运动到C点，则整个过程中AB与BC两端位移的位移和是从A点到C点的位移。以此为背景，我们可以导入向量加法的三角形原则和平行四边形原则。在向量数乘的教学上，我们可以利用位移的数乘来作为导入背景，通过位移数乘的直观性教学，帮助学生认识向量数乘运算法则。在向量的数量积教学中，我们利用外力做功的物理学背景进行教学。对此，我为学生们设置了如下的背景，一物体受力为F，若在θ角方向上的位移为S，试问外力做功为多少？由角度可知，在位移方向上的外力为F1，则在沿位移方向上的外力做功为F1S，则此时外力对物体做功为FScosθ。通过物理背景的融入，我们将数量积的决定因素展示给了学生们。

2.综合各类知识，实现方法教学

从我们对向量知识的认识可知，向量的教学可以有效地将几何与代数知识相联系，实现各类知识之间的联系性教学，帮助学生掌握其中的数学方法。向量作为联系代数与几何的媒介，很多向量问题可以利用代数与几何的知识来综合解决，有利于培养学生的数形结合思想。

【例题】（2012年兴化市）如下图A、B、C是直线l上的三点，P是直线外一点，若AB=BC=a，∠APB=90°，∠BPC=45°，则           _____（用a表示）。

【分析】本题属于向量积求解问题，结合几何图形与代数法则，我们可以从以下方法中寻求突破。首先，我们可以利用代数知识进行求解，以PA、PB作为坐标轴，建立坐标系。于是，我们设A（m，0）、B（0，n），则C点坐标为（-m，2n），根据AB=BC=a，可以进一步求出A、B两点的坐标。最后，利用向量积的代数运算法则，我们可以得到                      。此外，我们可以利用几何的方法进行求解，点C在直线AP上的投影为D，则△DPC为等腰直角三角形。利用上图所示三角形中线与中位线的知识，我们可得出PC=    PD=

PA、2PB=CD=PB=PA。最后，利用勾股定理，我们可以求出PA与PC。利用几何关系，可得到                        。

3.发展计算能力，深化向量价值

与初中数学相比，高中数学对学生计算能力的要求进一步提高，需要学生对数学知识有着深入的掌握。从单纯的数字向字母、多项式和矩阵方向发展，数学计算也是朝着复杂化与多样化方向发展。在数字与字母的组合下，数运算、多项式运算为A×A=A的形式，数与多项式的运算为A×B=B的形式。向量运算除了以上的类型，还包括较为特殊的数量积运算，即是A×A=B的形式。在向量运算背景下，我们得以实现对长度、面积和体积等度量单位的计算问题，向学生们展现了不一样的计算类型。

总之，向量在物理、数学和现代科学技术中都有着广泛的应用，对学生综合能力培养有着重要的作用。在新课改背景下，我们必须精确定位学生需求，进一步深化学生对向量知识的认识与理解。

中学数学教材中向量教学初探 第4篇

九年义务教育初中三年制《义务教育课程标准实验教科书数学七年级(上册)》(以下简称七年级数学(上册))第9页§1.2数轴的介绍，引入一维空间坐标，开始了一维空间结构代数化，进入了数形结合的新阶段.

七年级数学(上册)第17页§1.4有理数的加减，在课本中有理数加法的探究栏内提出如下问题:

一间0℃冷藏室连续两次改变温度:

1. 第一次上升5℃，接着再上升3℃;

2. 第一次下降5℃，接着再下降3℃;

3. 第一次下降5℃，接着再上升3℃;

4. 第一次下降3℃，接着再上升5℃.

问:两次变化使温度共上升了多少摄氏度?

把温度上升记为正，温度下降记为负，在数轴上表示连续两次温度变化结果，写出算式完成下表:

上表题1、题2已经向智商较高的同学出示了两个一维向量相加的实际数学模型，接着表中3题、4题要求学生举二仿二.

以上“探究”引导学生进入了“一维向量加法运算”.

新教材的优点是通过学生主动探索研讨完成全部结果，体现了“以学生为主体”教育改革的目标.

教师在教学中应注意如下几点:

1.在表中1,2题中应强调叙述“连续两次”，所以用加法求结果，这与小学加法的实际意义是统一的，所以学生的可信度很高.并且学生在解表中3,4两题时，会自觉用加法列出两个算式，否则会导致个别同学在3,4两题中列出减式的结果.

2.在小结中要着重指出“两个向量相加的操作步骤”:

(1)强调向量的起点和终点;

(2)在向量加法过程中，加数的起点与被加数终点重合(或对齐);

(3)由被加数起点到加数终点是求得的和并用双箭头标出.如图1所示.

这为以后有理数减法用数轴表示孕育了先机.如果不给予强调，学生在今后的向量运算中会出现如下错误:高中《数学第一册(下)》第101页练习题1，如图2(a)所示，已知向量a,b，用向量加法的三角形法作出a+b.

根据作者在学术交流过程中发现，有相当一部分同学在课本上信笔一挥，作出如图2(b)所示的向量加法图形.经过与学生们和授课教师的交流和探讨，总结出产生错误的原因:一是学生在初中接触向量加法时，部分教师在教学过程中没有重点强调(或没有让学生认识到)向量加法的操作步骤;二是在高中数学第一册(下)第99页§5.2，向量的加法图中，如图3所示，利用图解的初衷是让学生们在解题过程中有一个直观认识，但在图3中向量a+b中向量b的起点与向量a的终点重合不明显，从而导致学生们对概念的认识不清.

课堂教学中最重要的两点:

1.从旧知识孕育新知，突出新知必备的事物本质，学生比较容易接受.

2.学生在接受了事物本质的情况下去学习新知，解决新的问题，思维是在和谐的旋律中展开，这样学得扎实，学得愉快，学得轻松.否则学生在学习新知过程中形态上虽然不敢“顶牛”，但存在“疑惑”和“可信度低”的隐患，当他们在学习新知时由于受到旧知的局限必然出现“负迁移”，这是符合教育学规律和学生心理活动规律的正常现象.

二、初中几何中有关向量知识

《数学七年级(上册)》第131页§4.4角的表示与度量.在教学过程中，首先用时针与分针所构成的图形、四面体中任意两条相交棱所构成的图形给出角的形象，然后给出静态角的定义:从一点O出发的两条射线OA,OB所组成的图形叫做角，如图4所示.

解将△ABM以点A为旋转中心，按顺时针方向旋转90°，由于∠BAE=90°，∠MAC=90°且AE=AB,AM=AC，所以AB与AE重合(点B与点E重合)，AM与AC重合(点M与点C重合)，所以BM与CE重合，即CE=MB.因为当△ABM旋转90°时，其每条边都旋转了90°，所以CE⊥MB.

灵活地运用“另一种方法”，使学生的思维始终处于“从另一个角度思考问题”的动态之中，即让学生学会随机应变.在教学中，类似这样的例题很多，要有意识地收集这样的题目，并时时注意有意识地训练，使学生养成多角度考虑问题的习惯，从而达到思维起点灵活的目的.

三、总结

主动学习是打开知识宝库的钥匙.让学生学会主动学习，是教学工作的最终目的，是一项战略任务，也是教育成功的条件，没有个体主动积极参与，就没有真正意义上的教学存在.所以，要在教学过程中恰当地留有“预设空间”，并且预设空间的布局应注意时机性、时间性，把精心设计的问题情境巧妙地分布于教学过程中，给学生真正自主学习的机会，鼓励学生敢于表达自己心中的想法.只有这样课堂才会活跃，学生的问题会接踵而至.学生是学习的主人，在课堂中，我们应该注重为学生搭建展示的舞台，精心预设，才能构建起和谐的中学数学课堂.

好奇心是学生重要的心理特征，它往往是学生对数学产生兴趣的导火线.因此，教师善于抓住学生好奇心的心理特征，紧密联系学生的现实世界，想方设法创设趣味横溢的问题情境，把学生的好奇心变为求知欲望和学习兴趣.

总之，在教学实践中适当设置一些环节，引导学生通过自主以及合作研究的途径予以完成，是激发学习兴趣、挖掘学习潜能、活跃思维、提高数学能力的重要措施;通过巧妙“预设空间”，促进教学收到最佳效果.

摘要：本文基于初中课本中的向量知识,结合自身的学习及教学经验,在基于学生们在学习向量知识课程中出现问题的基础上,深入分析了课本中有哪些不足之处,教师在讲解中可能产生哪些失误,学生在应用中产生哪些错误.详细阐述了在中学数学教学中怎样分阶段孕育学生正确的向量概念和向量加、减运算法则,使初中学生在进入高中学习向量课程中,有一定的感性知识和接受向量时必需的外延,通过对外延的共性的抽象概括,最终使学生确切地掌握向量概念内涵.

平面向量在高中数学教学中的作用 第5篇

平面向量是高中数学引入的一个新概念.利用平面向量的定义、定理、性质及有关公式,可以简化解题过程,便于学生的理解和掌握.向量运算主要作用可以提高学生针对数学运算的理解层次，本身这个运算学生总最初接触运算都是数与数之间的运算，而加入向量运算之后，向量运算涉及到数学元素更高，比如说实数、字母、甚至向量，甚至还可以把几何图形加入运算当中，这本身对数学层次更大的一个提高。而且向量运算对数学的思想也体现的比较多，就是在解析几何当中，或者是在平面几何当中，向量应用确实很方便，一个运算既有代数意义又有几何意义，但是到了立体几何的话，我觉得向量运算仅仅就变成算术了，算术对立体几何本意还是没有有一点想像，就是它到底人学生重点掌握什么，掌握运算还是掌握思维和想像。

一、向量在代数中的应用

根据复数的几何意义，在复平面上可以用向量来表示复数。这样复数的加减法，就可以看成是向量的加减，复数的乘除法可以用向量的旋转和数乘向量得到，学了向量，复数事实上已没有太多的实质性内容。因而变选学内容也就不难理解了。另外向量所建立的数形对应也可用来证明代数中的一些恒等式、不等式问题，只要建立一定的数模型，可以较灵活地给出证题方法。

二、向量在三角中的应用

当我们利用单位圆来研究三角函数的几何意义时，表示三角函数就是平面向量。利用向量的有关知识可以导出部分诱导公式。由于用向量解决问题时常常是从三角形入手的，这使它在三角里解决有关三角形的问题发挥了重要作用，一个最有力的证据就是教材中所提供的余弦定理的证明：只要在根据向量三角形得出的关系式的两边平方就可利用向量的运算性质得出要证的结论，它比用综合法提供的证明要简便得多。

三、向量在平面解析几何中的应用

由于向量作为一种有向线段，本身就是有向直线上的一段，且向量的坐标可以用起点、终点的坐标来表示，使向量与平面解析几何特别是其中有关直线的部分保持着一种天然的联系。平面直角坐标系内两点间的距离公式，也就是平面内相应的向量的长度公式；分一条线段成定比的分点坐标，可根据相应的两个向量的坐标直接求得；用直线的方向向量（a , b）表示直线方向比直线的斜率更具有一般性，且斜率实际是方向量在 a = 0时的特殊情形。另外向量的平移也可用来化简二次曲线，即通过移动图形的变换来达到化简二次曲线的目的，实际上与解析几何中移轴变换达到同样的效果。

四、向量在几何中的应用

在解决几何中的有关度量、角度、平行、垂直等到问题时用向量解决也很方便。特别是平面向量可以推广到空间用来解决 立体几何问题。例如在空间直线和平面这部分内容光焕发中，解决平行、相交、包含以及计算夹角、距离等问题用传统的方法往往较为繁琐，但只要引入向量，利用向量的线性运算及向量的数量积和向量积以后，一切都归结为数字式符号运算。这些运算都有法则可循，比传统的方法要容易得多

高中数学向量教学的探索 第6篇

一、高中数学中向量教学存在的问题

数学学科具有逻辑性的特点, 需要调动和发挥学生的独立思考能力、 分析整理能力、探究创新能力最终解决数学难题, 这对学生综合素质能力的培养有着重要的意义, 这也是数学课程核心目标之一。 学生思维能力的形成并不是一蹴而就的, 是要经过不断训练逐渐形成的。 而运用向量法来解决数学问题, 就不需要学生进行作图、逻辑分析、综合分析等就可以有效解决问题。 由此可知, 虽然向量法可以简化高中几何难题的解决思路, 但这对培养学生的综合能力有着不利影响。 所以, 教师在解决数学问题教学时, 不仅要指导学生掌握向量法解题, 还要综合其他多种数学思维方法展开教学, 让多种思维、多种思想有机地交融在一起, 互相补充, 相辅相成。

二、高中数学中向量教学的实践

1.强化向量运算法则的理解与掌握

向量法可以凭借其独特、 简单运算规律和向量图形化的特点, 有效化简知识难点, 使原本抽象的数学难点具体化, 更便于学生提高解题速度和正确率。 但是向量法与数学其他运算方法还是有区别的, 最重要的区别是向量法采用了特殊的表示方式。 所以, 教师在运用向量解题教学时, 应运用对比的策略, 使学生在运用向量法解题过程中, 理解向量运算的几何意义, 加深对向量运算法则的认识, 明确向量的运算对象。 按以往的经验, 学生普遍采用机械记忆的方法来学习向量的运算法则和规律, 教师也容易忽略对向量运算规律形成过程的教学, 这样使得学生在学习向量时, 往往只学到皮毛, 无法深入到本质中。 所以, 数学教师在讲解这部分知识时, 需要注重让学生对向量运算法则反复验证的体验, 使学生充分认识向量将抽象的数学知识转换为具体化知识的过程, 理解向量运算的本质和意义, 提高学生运用向量知识解决难题的能力。

2.强化向量法的实践运用

向量法是一种高效的数学解题思维方法。在日常生活中, 也有很多实际应用涉及到向量的知识, 并且持续有效地促进了社会的进步。 所以, 在教学时, 数学教师应渗透实践运用的意识, 引导学生将课堂所学向量知识延伸至实际生活中, 指导学生解决实际问题, 提高学生理论联系实际的水平。 如, 在教平面向量的数量积这部分内容时, 可以结合一些具体的生活实例来展开。 某工厂刚刚买入一批货物, x千克A货物, y千克B货物, A货物价格为m元/千克, B货物的价格为n元/千克。假如数量向量用字母a表示, 价格向量用b字母表示, 就可以提到:a= ( x, y) , b= ( m, n) , 那么, 工厂购入货物的总费用就是数量向量a与价格向量b的数量乘积, 即mx+ny。 原本复杂的计算问题, 就这样迎刃而解了。 所以, 在生活中运用向量法可以极大提高问题解决的效率, 简化解决思路和方法。 教师应有意识地培养学生运用向量解决实际问题的意识和能力, 使学生体验到学以致用的满足感, 增强学好数学的动力。

3.强化向量教学思想方法的渗透

在高中数学知识架构中, 向量与其他的数学思想有着千丝万缕的联系。 比如数形结合思想、对比归纳思想等。 在进行向量教学时, 教师应鼓励、 培养学生积极探索和总结数学思想方法的意识, 让学生在不断练习、验证过程中体验数学思想方法, 逐渐形成符合自己特点的解题思维, 有效提高学生的向量解题能力。 教师在讲授向量的概念知识时, 应帮助学生准确把握和理清数学各部分内容间的内在联系, 并能有效整合, 将各部分知识内容互相渗透、融合, 最终构建起完整的、有效的知识体系, 真正提高学生对向量知识掌握和运用能力。

浅谈高中数学向量法教学 第7篇

所谓向量法, 即从问题的条件入手, 找到与向量知识相关点, 转化为向量背景下的形式, 借助向量的运算法则求解, 然后回到原问题中达到解决问题的目的.

一、中学中向量法解题的几种常见数学思想方法

1.向量的充要条件

当我们在研究问题时, 会遇到一些个别情形, 如平行、垂直等, 而直接研究它们较困难, 那么我们可以利用已知的充要条件解决问题.如课本中研究点线关系时, 可以利用共线、垂直的充要条件.

2.数形结合

向量运算貌似代数, 但它其实是几何, 故而它是数形结合的典范.它把几何问题转化为代数问题, 即实现形——数——形, 或是把数赋予几何意义, 即实现数——形——数, 从而解决问题.将向量问题归结为几何图形问题, 可以借助几何图形的性质简化问题;将向量问题赋予坐标表示, 可以减弱问题解决的难度.

3.建立坐标系

向量问题实数化策略, 如当一个题目中所出现的平面图形较为规则 (如正方形、矩形、圆等) 时, 只须建立适当的坐标系, 就能将平面图形中的点、线转化为坐标系中的坐标, 从而达到将向量问题转化为实数问题, 使解题人实现知识的正迁移.一般地, 对于任意背景下的向量, 我们都可以根据问题的特征建立适当的坐标系, 实现向量的实数化.

4.映射思想

当处理某问题有困难时, 可以联想适当的映射, 把某问题及其关系结构, 映射成与它有一一对应关系且容易处理的问题再把所得结果通过逆影射返回到原来的问题中去, 得到原问题的解决方案.例如建立适当坐标系, 把向量利用坐标表示, 利用数的运算推理解决问题.

5.基本定理

比较基向量对应系数得出实数方程组, 即e1, e2是平面内一个基底, 若任意一个向量具有两种表达式:

a=x1e1+y1e2=x2e1+y2e2, 则x1=x2, y1=y2.

二、向量法和立体几何

空间向量的引入, 给传统的立体几何内容注入了新的活力, 向量是既有大小又有方向的量, 既具有图形的直观性, 又有代数推理的严密性, 是数形结合的一个很好的桥梁.而空间向量是处理空间问题的重要方法, 通过将空间元素间的位置关系转化为数量关系, 化繁难为简易, 化复杂为简单, 为学生处理某些立体几何问题提供了新的视角.借助空间向量这一工具, 增加了可操作性, 从而减轻了学生负担, 使他们对立体几何更容易产生兴趣.我们教师知道, 以往学习立体几何采用“形到形”的推理方法, 即要求学生根据题设条件, 将空间图形转化为平面图形, 再由线面、线线等关系确定结果, 从而达到培养学生空间想象能力的目的.但对大多数学生来说, 特别是像我们这类农村的高中学生来讲, 掌握这种“形到形”的推理方法比较困难, 特别是求线面角.二面角和距离时连垂线都难以找到, 大家想想其难度可想而知.现在《大纲》对向量明确指出: (1) 几何发展的根本出路是代数化, 引入向量研究几何是几何代数化的需要; (2) 向量运算体系与算术、代数运算体系基本相似, 学生们就可以运用他们熟悉的代数方法进行推理, 来掌握空间图形的性质; (3) 通过使用向量方法学习立体几何, 可使学生较牢固地掌握向量代数工具, 从而丰富学生的思维结构和运算数学的能力.下面以向量处理空间几何所成的角为例进行说明.

1.空间异面直线所成的角

直线AB与直线CD所成的角用向量可以表示为

$\left|\cos \langle \overrightarrow{AB}‚\overrightarrow{CD}\rangle \right|=\frac{|\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CD}|}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{CD}|}.$

这里需要注意的是异面直线所成的角是指所成的锐角或直角, 其余弦值为正值, 求出向量间的夹角后要取其绝对值所得的才是最终结果.用综合法一般是要经过平移, 然后在三角形中解决问题.

2.直线与平面所成的角

如右图所示, 直线AB与平面α所成的角是由平面的法向量与AB所成的角刻画的.如果直线AB与平面α所成的角为θ, 那么

$\sin \theta =\cos \langle \overrightarrow{AB}‚\mathit{n}\rangle =\left|\frac{\overrightarrow{AB}\cdot \mathit{n}}{|\overrightarrow{AB}||\mathit{n}|}\right|.$

我们看到θ与向量间的夹角是互余的.然而很多同学在做题中没有意识到这个问题, 使得最后得到的恰好是所求线面角的余角.用综合法一般我们会找直线的垂线, 利用垂线、斜线和射影所组成直角三角形来解决问题.

3.平面与平面所成的二面角

设α, β是二面角α-l-β的两个面, m, n分别是α, β的法向量, 如图所示, 两个法向量的方向都指向二面角的内部 (或同指向外部) , 则这个二面角的大小就是π-〈m, n〉;如果两个法向量一个指向二面角的内部而另一个指向二面角的外部, 那么这个二面角的大小就是〈m, n〉.用综合法的时候一般会将二面角的一个平面角作出来, 再利用解三角形来求出二面角的一个平面角的大小从而得到面面夹角.

解决空间角的三大步骤是找角、构造三角形、求角.对学生来说, 难点在于找角, 往往大多数学生都很难正确找到角, 尤其是二面角问题一直是学生的薄弱环节.由于用向量法引入了法向量后, 为解决二面角问题提供了新视角, 从而较好地解决了学习立体几何求角问题.

例如:在直三棱柱ABC-A1B1C1中, $AC=AB=4‚BB{}_1=4\sqrt{2}‚B{\rm M}=\sqrt{2}‚\angle BAC=90°$, 点N在CA1上, 且$C{\rm N}=\frac{1}{3}{\rm N}A{}_1$, 求二面角C-A1M-B的大小.

对于此问题, 如果学生用综合法做, 找二面角比较困难, 需要作许多辅助线, 即使这样做也未必找到符合条件的二面角.由于此题是直三棱柱, 有明显的三维立体空间, 便于建立空间直角坐标系, 所以对学生来说运用向量法解决此问题有明显的解题思路.利用向量法通过建系、设点、设法向量, 求出两个法向量的夹角 (或其补角) , 从而使问题很容易得到解决.

中学数学向量教学思考 第8篇

1. 设计意图

从纵向分析, 平面向量知识包含字母、坐标两套运算体系, 结合其几何背景是处理平行、垂直、距离、夹角问题的有效工具, 从横向分析, 平面向量知识与函数、三角、解析几何、不等式等数学知识有着广泛的联系, 因此在平面向量知识的复习中兼顾纵向与横向、代数与几何、概念与思维是课时设计的核心.

本课时的教学中, 通过逐层递进的三个基础练习复习解决向量问题的三个维度———基底、坐标、几何, 关注向量的纵向结构, 而例题分析则在向量的纵向结构的基础上, 将向量知识与函数、三角、解析几何、不等式等数学知识结合, 同时关注向量的横向联系, 力求既帮助学生建构平面向量的知识体系, 又促进学生提升数学思维品质.

2. 教学设计

2.1 数学环节

本课时的教学, 分知识梳理、方法提炼、拓展深化、概括总结四个环节完成.

知识梳理环节简要梳理平面向量知识, 提出解决向量问题的“基底、坐标、几何”三个纬度.

方法提炼主要借助于三个基础练习, 提炼出从“基底、坐标、几何”三个纬度解决向量问题的具体方法.

拓展深化通过对典型例题的分析, 将平面向量知识与方法与相关数学知识相联系, 既拓展了复习的面, 又深化了复习的度.

概括总结通过对基础练习与例题的分析概括出解决平面向量问题的思维与方法——基底为本、坐标为器、几何为核.

2.2 教学过程

2.2.1 知识梳理

平面向量运算建立在两套运算体系之上, 一套是基于基底的字母运算体系, 一套是坐标运算体系.进行字母运算时基底的选取是关键, 一般我们选取已知模长与夹角的不共线向量作为基底, 坐标运算的关键是建立合适的坐标系.我们处理的许多平面向量问题是有其几何背景的, 几何背景是命题的依据, 关注平面向量背后的几何背景, 分析其几何模型有助于更好地理解与解决平面向量问题.

2.2.2 方法提炼

本课时通过三个逐层递进的基础练习, 提炼基于三个维度 (基底、坐标、几何) 的解决向量问题的基本思维与方法.基础练习及其相关解法见表1.

小结:

平面向量问题的三个维度, 几何维度对思维要求最高, 更易切入向量问题的核心, 准确快速地解决问题问题, 坐标维度对思维的要求相对低一些, 但对计算的要求就比较高, 需要学生有良好的运算能力, 是学生解决向量问题的有力的工具, 而基底维度是解决向量问题的根本, 坐标其实也是一种特殊的基底, 向量体系可以说是建立在基底的基础之上的, 通过三个基础练习让学生熟悉解决向量问题的三个维度、熟悉向量问题中常见的投影、共线等几何模型, 并引导学生选取合适的维度, 构建适合自身的向量方法.

2.2.3 拓展深化

如果说方法提炼环节更多的是关注对向量知识本身的挖掘, 则这一环节更关注的是对向量知识的横向拓展, 通过对例题的剖析, 将向量知识与其他数学知识有机融合.

方法二: (坐标) 设向量a= (1, 0) , b= (0, 1) , c= (x, y) ,

(基本不等式)

(柯西不等式)

方法三: (坐标) 设向量a= (1, 0) , b= (0, 1) , c= (x, y) .

(解析几何)

方法五: (几何)

选取例题的目的, 是为了在考虑平面向量知识深度的同时, 兼顾数学知识间的横向联系, 将平面知识与不等式、解析几何、三角等知识有机融合.二轮复习不应该仅仅是知识体系的加深, 更应该关注知识间的联系, 向量是高中数学中一个工具性的知识模块, 与三角、函数、解析几何、立体几何有着千丝万缕的联系, 以平面向量知识为载体, 沟通各高中数学知识间的关联, 有助于引导学生形成更加完善的知识体系.

2.2.4 概括总结

完成了三个基础练习与例题的分析, 学生对于向量知识无论从深度还是广度都有了新的理解, 这时候再以“基底为本、坐标为器、几何为核”十二个字来概括平面向量知识, 就水到渠成, 这十二个字体现了向量知识中基底的基础性、坐标的工具性、几何的关键性, 引发学生对向量知识的更深层次的思考, 尤其是如何更好地挖掘平面向量知识的几何背景, 值得学生探索与研究!

3. 反思与评价

本课时教学实践结束后, 听课教师给予了较好的评价, 认为课时中对向量知识三个维度——基底、坐标、几何的概括有利于学生更好地理解平面向量知识, 同时本课时给予了学生一顿思想的盛宴, 对开发学生的数学思维很有价值.

经历了平面向量知识二轮复习的教学设计与实践, 体会到向量知识有其深刻的内涵与实际背景, 二轮复习主要是应对高考, 具有较强的功利性, 不免忽视了其文化内涵, 虽是备战高考关键时期不得已而为之, 然终不免有所遗憾.

中学数学向量教学思考 第9篇

一、法向量在高中数学立体几何教学中的应用现状

( 一) 无视法向量

高中的数学教学中虽然已经引入了空间向量的知识和概念, 也对教学的难度降低起到了一定的作用. 但在平面的法向量应用中却出现了比较尴尬的局面, 文本内容的缺失导致很多教师会将这部分知识一带而过, 学生对此也难以提高重视性, 使得法向量的真实效果难以发挥. 在对法向量的概念进行介绍的时候, 课本中描述的十分简单, 既没有介绍其求法, 同时也没有对应用进行详细的论述, 导致学生概念性理解难以提升. 法向量在高中立体几何问题的解决上有着十分重要的作用, 并且有着较为广泛的实践价值, 需要教师们对此加以重视, 提高法向量的应用性.

( 二) 对法向量比较轻视

法向量的教学在课本描述中显得不够重视, 在实际的教学中教学中教师对此也不够重视, 常常忽视法向量教学, 使得学生对法向量缺少根本性的认识. 学生在知识的学习过程中本身就是一个认知的过程, 教师在这个过程中应发挥出自身的引导性和启发性. 如果教师对此不够重视, 那么也无法提升教学效果. 对此教师需要有意识的引导学生对此进行人事, 提高法向量的应用性, 减少学生在立体几何学习中的困难.

二、法向量在高中数学立体几何教学中的应用

( 一) 在平行于垂直关系证明中的应用

高中数学教学中垂直于平行关系的证明是基础教学内容, 传统的解题方式中需要经过较多的步骤, 显得十分麻烦. 而利用平面向量来进行立体几何问题的解决则显得更加方便, 同时也更加的简洁化, 通过法向量可以不用作图而直接的计算出来. 在空间的关系当中包含了直线平行、交叉和垂直的关系. 当中直线与直线的平行以及垂直都可以通过法向量来进行问题解决. 在教学中教师不能只在教学的定义上多纠结, 而是应引导学生对问题中的核心点进行分析和理解“为什么法向量可以确定平面的位置”“法向量与平面之间到底有着什么样的关系”等等. 在具体的操作中, 教师应重视起以下的学习环节设置: 首先是思考方向向量确定直线的位置, 这是学习向量位置表述中的重点, 同时也是为法向量学习提供类比思想的重点. 其次, 教师要用语言来引导学生进行向量的解释, 得到基本的结论, 也就是一点和一个法向量能确定一个平面等概念. 此外, 设计用方向向量和面面之间位置关系等知识, 来完成线面平行、垂直、直线平行等判断. 并在此基础上尝试使用向量法来证明线面或面面平行的判定定理.

( 二) 在求距离问题中的应用

在求距离问题中使用法向量来紧凑型问题处理, 能有效的简化问题的思路, 同时由于解题方法固定, 因此, 更加容易解题.具体的方法如下:①A点到平面α的距离:当中B∈α, n是平面α的法向量.②直线a与平面α之间的距离是当中A∈α, B∈α, n是平面α法向量.③两平行面α, β之间的距离当中A∈α, B∈α, n是平面α法向量.④异面直线a, b的距离是:当中n⊥a, n⊥b, A∈a, B∈b.

三、引起法向量教学重视性

在高中数学教学中应科学的利用书本上的资源, 将教材进行充分的开发和利用, 这对学生的数学能力提升和整体数学素质提升将起到重要的作用. 在教学的过程中教师可以利用典型案例的方法来进行法向量应用教学, 让学生能在实践中得到对法向量的真实理解, 以便于日后能自主应用. 同时, 教师可以利用法向量应用中长出现的问题和难点进行教学分析, 进一步的推进法向量教学应用. 在高中数学立体几何教学中, 法向量教学应重视起概念性教学和实践教学, 加强学生对法向量的理解性, 强化学生的法向量应用性, 促使法向量在解题过程中得到真正的应用.

结语: 法向量在高中数学立体几何教学中有着一定的优越性和灵活性, 当前已经逐渐被教师们所认可并应用. 但在几何教学中教师应科学应用法向量, 不能过分的强调机械化运算而对几何本身有所忽视, 而是应该利用多种不同的向量方法来引导学生进行解题, 提高学生对立体几何的理解能力, 促进学生整体能力上升.

摘要：在高中的立体几何教学中, 引入法向量, 能有效的提升教学效果, 并对学生答题思路的拓展和方法应用有着重要的意义.法向量的引入在当前已经成为了几何教学中的重要解题工具, 能将原本复杂的知识变得更加容易理解.本文主要对法向量在高中数学立体几何教学中的应用进行了分析和讨论, 希望为高中的数学教学提供有益建议.

关键词：法向量,高中数学,几何教学,应用

参考文献

[1]张凤丽.平面法向量在立体几何中的应用[J].新课程 (中学) , 2014, (04) :42—45.

[2]陈庆新.平面法向量在解题中的应用举例[J].第二课堂 (高中版) , 2011, (01) :60—63.

中学数学向量教学思考 第10篇

根据新教改的要求, 给学生提供充分的空间以展示自己的才能, 让学生亲身感受学习过程中问题的提出、探究及解决途径, 以达到掌握科学的研究学习的方法过程, 在整个过程中全面培养学生的自主探究意识、合作创新意识, 让学生感受学习的乐趣、成功的喜悦, 进而提升学生的自主学习能力、问题处理能力以及合作学习能力, 使学生形成正确的学习观和价值观.在此基础上“自主探究—小组合作”的教学模式则被界定为:学生先根据教师提供的学案进行自觉、主动、独立的探究学习, 在此基础上标注出自己不懂的问题, 再与组内成员合作探讨、互帮互助寻求解决途径, 最终在老师的点拨下得出正确结论并理解所学知识且达到熟练掌握运用的程度.

2 “自主探究—小组合作”教学模式的教学过程

3 “自主探究—小组合作”教学模式在课堂教学中的实践

3.1 情境创设-激发兴趣

在这一环节中, 教师需要根据已有资料 (教材、学案、多媒体动画等) 创设出数学情境, 让学生在感受数学趣味的同时提出数学疑惑, 进而教师根据教学要求, 引导学生将数学疑惑升华为有待解决的数学问题.这样学生有了疑惑有了问题才会有思考的动力、研究的兴趣、才会有所创新、有所发展.而在传统的课堂学习中, 老师是教学的核心, 学生只需要会听、会记、会背、会用就好, 这严重地阻碍了学生积极性、创造性的发展, 使得学生过于被动, 没有自己的意愿, 基本依附于老师讲授.本节课笔者以“南辕北辙”这个故事引入.

师:战国后期, 魏王想出兵攻伐赵国.谋臣季梁前来劝阻伐赵.季梁为了打动魏王, 来了个现身说法.季梁说:“今天我在路上, 遇见一个人坐车朝北而行, 告诉臣他想要去楚国.臣问道:楚国在南方, 为什么要朝北走?那人的回答是:我的马好, 跑得快.”请问这个路人能到达他的目的地吗?

生:不能, 因为他的方向错了, 不管他的马多快, 车夫技术再好, 钱再多也到达不了目的地.

师:嗯, 很不错, 这个故事给了我们什么启发呢?

生:我们不管做什么事, 方向很重要.首先要找准方向, 才能充分发挥有利条件, 达到目标;如果方向错了, 再好的条件也只会起到反作用.

师:分析的很有道理, 所以方向很重要, 那么这节课我们将学习以大小、方向为本质属性的新概念———平面向量, 其实我们物理学当中学过很多与方向、大小相关的量, 比如说位移、加速度等, 这些量在科学研究中起到很大作用, 没有它们科学将寸步难行, 为了更好地运用它们解决问题.于是, 物理学家向数学家们提出:这类既有大小又有方向的量究竟具有什么特性?希望在数学上能得到清晰的回答.所以高中数学中的向量就是在物理学研究需要的背景下提出的.

设计意图在这一环节, 设置成语故事问题情境, 让学生感受数学趣味, 在数学教学中渗透德育教育, 讲解向量产生的背景, 让学生再次感受物理、数学、科学研究紧密地联系在一起.

3.2 自主探究—小组合作

在这一教学环节中, 学生需要在既定教学目标的指导下, 自学已有的学习资料 (教材、学案、参考资料等) , 进行自主探究, 解决基础知识的学习以及浅层次的问题, 再将自己搞不明白的问题归类出来, 跟小组成员一起探寻问题的症结, 以期达到教学要求.老师要及时的给予存在思维偏差的学生正确的指导, 查明不能达标学生所存在的问题并及时答疑解惑, 排除学生在学习上仍然存在的误区, 引导学生快速地、正确地学习.

问题探讨1 向量的概念、表示方法、模.

以下为分享小组的教学实录:

小组代表:物理学中我们把既有大小又有方向的量叫做矢量, 比如力、加速度、速度、位移等.通过预习我们知道, 数学中我们把既有大小又有方向的量叫做向量.

小组代表:我们学习过的数量和向量的区别在哪里呢?

生:向量是既有大小又有方向的量, 而数量只有大小没有方向, 它们的本质区别在于方向.

小组代表:既然向量既有大小又有方向, 两个向量能比较大小吗?

生:好像能比较大小, 比如物理中的力有大小.

此时, 另外一个小组的学生马上反驳:不能比较, 因为向量有方向, 方向不能比较的, 物理学中的力的大小才能比较, 方向不能比较.

小组代表:向量是不能比较大小的, 只有向量的大小才能比较大小.

小组代表:下列哪些量是向量, 哪些是数量?

质量、位移、力、长度、面积、体积、身高、年龄、加速度、速度、密度、温度、时间.

小组代表:我们回顾一下物理中怎样表示力, 并举例.

生:用有方向的线段表示.

于是小组代表通过类比引出了向量的几何表示法, 用有向线段来表示.

小组代表分享向量的表示方法, 以及向量的模的表示, 强调向量的书写和印刷体的区别.

小组代表分享后, 小组其他成员对知识补充, 教师对学生活动进行评价.

设计意图精心设计问题, 通过导学案引导学生进行自主探究, 小组合作探讨交流解决问题, 然后小组派代表上台分享小组合作成果.学生代表上台讲解知识的过程中, 教师巡堂检查各小组的学习情况, 个别辅导, 教师对学生活动进行评价, 表扬学生讲解好的地方.学生知识讲解不到位的地方, 教师加以强调, 通过学生自主探究、小组合作、分享交流、教师评价的方式, 让学生亲身经历获取知识的过程, 体验学习数学的成功感, 增强学生学习数学的兴趣和信心.

问题探讨2 特殊的向量.

以下为分享小组的教学实录:

小组代表:数量有0和1两个特殊的量, 0可以把数分为正负数, 定义相反数, 1是单位, 作用很大.那么向量中有哪些特殊的呢?

生:根据向量的模是用数量来表示的, 向量也有零向量和单位向量两个特殊向量.

小组代表边讲解边板书:我们把长度为0的向量叫做零向量, 方向是任意的.把长度为1的向量叫做单位向量.

小组代表没有分享单位向量的方向, 其他组成员及时举例补充, 单位向量的方向是根据所给向量的方向而确定的.因此单位向量的方向不是任意的.

教师对学生活动进行评价, 并强调零向量的特殊性, 方向是任意的, 提醒学生今后学习时要注意零向量的特殊性, 解答问题时, 一定要看清题目当中是 “向量”还是 “非零向量”.

问题探讨3 向量的特殊关系.

操作:请在正六边形ABCDEF (O为中心) 中画出一些向量, 并用符号表示出来, 小组之间比较一下, 你们画的向量之间有什么关系?

分享小组代表都让学生先画向量, 然后建议每个小组根据所画的向量找到3种不同的关系, 写成一组一组的, 便于观察、比较和抽象, 然后留足够的时间让学生相互讨论、比一比、发挥“小组合作学习”的优势, 并以“小组汇报”的方式展示各小组的研究成果, 要求后一组不能重复前一组已有的关系.这样, 小组代表把定义的“权利”交给学生.最后小组代表对“相等”、“相反”、“共线”、“平行”等关系下定义、总结, 教师解释强调一下“共线”与“平行”在自由向量里是一样的, 这样再探讨向量的特殊关系中让学生参与概念的定义过程, 使概念成为学生观察、归纳、概括之后的自然产物.

设计意图学生自学已有的学习资料 (教材、导学案、参考资料等) , 进行自主探究, 解决基础知识的学习以及浅层次的问题, 再将自己搞不明白的问题归类出来, 然后学生小组合作, 一起探寻问题的症结, 通过讨论, 合作交流理解平行向量、相等向量、相反向量的定义, 掌握平行向量和共线向量的关系, 然后上台进行知识讲解, 其他小组补充, 教师对学生的活动进行评价.

3.3 巩固练习

实战训练1判断下列结论是否正确.

(1) 两个单位向量一定是平行向量.

( )

(2) 若线段AB与线段CD平行, 则 ()

(3) 若a∥c且b∥c, 则一定有a∥c.

( )

(4) 平行向量方向一定相同. ()

(5) 不相等向量一定不平行. ()

(6) 与零向量相等的向量是零向量.

( )

(7) 与任何向量都平行的向量是零向量.

( )

(8) 共线向量一定在一条直线上. ( )

(9) 若两向量平行, 则这两向量的方向相同或相反. ( )

(10) 相等向量一定是平行向量. ( )

实战训练2 如图2, 设O是正六边形ABCDEF的中心, 分别写出图中与向量相等的向量.

实战训练3 图3每个格子边长为1cm, 比例尺为1∶100, 请求出图3中向量的模.

实战训练4 某人从A点出发向西走了200m到达B点, 然后改变方向, 向北偏西30°走了350m到达C点, 最后又改变方向, 向东走了200m到达D点.

(1) 用向量表示这个人的位移;

(2) 求位移对应向量的模.

学生通过小组合作, 得出结论, 上黑板展示.

设计意图这一教学环节在整个教学过程中具有举足轻重的作用, 通过4个实战训练检验学生对于新知的掌握, 同时起到对本节课知识的巩固.

3.4 归纳总结

本节课概念多, 弄清每一个概念和它们的关系实属不易.因此, 在课堂教学的最后, 梳理本节课的内容非常重要.大部分课堂总结的“本节课我们学习了什么”的导语对“概念多”的章起始课显得模糊了点, 学生说起来抓不住要点.所以教师鼓励每个小组互相合作, 用框图的形式总结出本节课知识.

教师活动:教师投影展示画好的知识网络图.

设计意图学生对于新知的探寻、解惑、掌握后要学会归纳整理, 也就是学生不仅要学会探究知识还要学会归纳总结.在这一环节中, 笔者通过本节课的知识的学习自主画出本节课的知识网络图, 加深对本节课知识的理解和掌握, 并引导学生归纳思考问题的方法、探寻知识的方法等, 使学生能够养成良好的习惯, 激发学生对于数学学习的热情, 形成学生的数学情感.

3.5 反馈评价

学生自我评价:完成本节导学案的情况为 ( ) .

(A) 很好 (B) 较好

(C) 一般 (D) 较差

教师评价:……

设计意图设置学生和教师评价环节, 反馈评价对于学生具有激励和促进的重要作用.通过反馈评价, 教师能够及时地掌握学生的学习状况, 发现学生在学习中仍然存在的问题, 以便进一步正确指导;学生也可以及时地了解到自己的学习状况, 看到自己在学习上的进步和成长以及仍然存在的问题和不足, 及时地接受教师的正确指导、同学的关心和帮助等.

最后, 请学生阅读教材第78页向量及向量符号的由来, 学生再次感慨又和牛顿有关, 教师不失时机地补充是深厚的数学功力成就了牛顿的伟大.

4 “自主探究—小组合作”教学模式的课后反思

笔者以前教这一节内容时, 自认为向量这个概念很简单, 就自己大包大揽地把几个概念很快交代清楚, 留够时间给学生做练习.然而, 这种“独角戏”传授的直接结果是学生没有深刻领会向量的内涵, 没有弄清相关概念, 甚至不少学生很长一段时间在向量上方还是没有加上箭头表示.有了这个教训, 加之对概念教学重要性的认识进行了深刻的思考后, 借这次录制科组安排优质课任务的机会, 结合“自主探究—小组合作”教学模式, 进行了如上教学过程设计, 因此笔者有以下几点体会:

4.1 “自主探究—小组合作”活跃课堂气氛, 落实双基

平面向量概念的产生有着丰富的知识背景, 再由于数学概念的高度抽象性, 对任何一个貌似简单的概念, 学生往往都要费很大周折才能理解, 甚至于无法理解只能死记硬背.而现代教学理念认为, 学习最好的途径是让学生自己去发现.在向量概念的教学中, 笔者根据学情, 精心设计学案, 让学生自觉学习、合作交流, 通过让学生上台讲解学习成果, 在探究、交流讨论中相互指正, 相互完善, 从而理解知识、掌握知识, 这种互帮互助的形式, 不仅活跃了课堂气氛, 落实了双基, 更重要的是学生自主探索, 合作交流, 相互启发, 相互点拨, 使学生的思维得到碰撞, 心智得到开启, 在小组合作学习中学习了倾听, 学会了表达, 学会了与同伴交流, 这是任何说教都不能比拟的.

因此, 课堂教学需要提供让学生充分发挥才能的机制, 使学习群体在思想、情感与认识上得以充分直接的交流, 合作与分享, 真正体现出学习的本原要义.

4.2 “自主探究—小组合作”教学模式下, 要注重师生的课后反思

目前在大多数学校中“自主探究—小组合作”只流于形式, 并没有实际深入的展开实施.比如课堂上看似老师采取的是自主探究后进行小组合作讨论再得出所要掌握的知识内容, 而实际上学生只是装模作样的讨论, 最终还是老师直接给出结论并要求熟记并运用, 学生依然是知其然而不知其所以然, 这种现象既浪费时间又没有效率, 最终导致的结果是老师的教学任务不能及时有效地完成, 而学生的学习也达不到理想状态.从某种视角上讲, 这样的老师缺乏对自主探究—小组合作教学模式的调控和指导, 不能起到正确的引导作用, 进而造成的教学模式流于形式, 学生不能较好自己探究寻找问题、与同学合作解决问题.课堂讨论最应注意的是“繁华”之后的实效, 这个实效衡量的依据就是学生在课堂上的表现和随后教学环节的推进效果.但真正可取的评估还是在每节课后, 花一点时间对学生进行访谈, 让他们进行自我反思、自我评价, 想一想在讨论中“我思考了什么”“我学到了什么”.实践证明, 经常进行自我反思, 能有效增强学生自主学习的动力和能力.更重要的是学生的回答如果能够与教师的教学预设目标相符合, 且其回答的内容也有侧重点, 便证明了教师教学目标设定和课堂讨论活动实施上的双丰收.此外, 教师也要经常进行课后反思, 对讨论活动的反思内容可以包括以下几个方面:我有没有明确地提出讨论问题?学生是否能清楚地理解问题?学生在多大程度上参与了教学活动?在整个讨论过程中, 哪一阶段是最成功的, 其原因是什么?讨论中我的引导作用主要体现在哪些方面?学生都学到了我想要教给他们的东西了吗?我的教学目标达到了吗?

4.3 “自主探究—小组合作”教学模式下需要改进的方向

(1) “自主探究—小组合作”教学模式能够给予学生足够的时间、空间去发挥自我、实现自我.但是, 如何能够确保学生在这个过程中是在思考、探究知识而不是开小差.

(2) 老师如何能够很好的在教学过程中发现那些比较内向、不善于表达的学生在学习中所存在的问题, 对于学生在学习过程中提出的问题老师如何给予合理的、正确的解答过程.

(3) 各科老师要怎样协商并实施教学改革, 才能使得整个班级都能够形成一种自主学习与合作学习相结合的氛围, 如何让学生在这种学习氛围下发挥最大的学习优势, 从而使得教学模式的效益发挥到最大程度.

参考文献

[1]章建跃.普通高中课程标准实验教科书人教A版必修4[M].北京:人民教育出版社, 2007.

[2]高嫚.“自主探究—小组合作”教学模式在高中数学教学中的应用研究[D].延安:延安大学, 2014.

[3]章建跃, 陶维林.概念教学必须体现概念的形成过程[J].数学通报, 2010, (1) .

[4]张天寿, 骆妃景.探讨数学教学中数学表征的原则[J].中学数学研究, 2014, (6) .