数形结合提高解题能力（精选10篇）
数形结合提高解题能力 第1篇
担任中学数学教学几十年期间, 笔者一直在探讨数学教学改革问题, 做了不少尝试, 总的印象是教学方法变革滞后于课程内容改革, 学生的数学学习仍然是一种“复制型”的被动学习, 在强调素质教育的今天, 这样的数学教学将不利于学生素质教育的提高。
对数学教师来说, 突出素质教育的数学教学关键是加强数学思想方法的教学, 因为数学思想方法作为数学知识的精髓, 它既是数学中深层次的基础知识, 又是解决问题和思维策略。数学思想方法掌握的深、浅度, 直接关系到能否顺利或比较简捷地解决问题;关系到是否深刻地对数学知识本质认识, 数学规律的理性认识;关系到是否能把某些数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观点加以应用。而这些数学知识的掌握是以解题思维能力作为起点的。因此, 在中学数学教学中, 如何引导学生选择恰当的方法来提高解题速度和效率, 笔者认为应注重培养学生解题能力, 掌握多种方法。尤其“数形结合法”的教学更是学生应该熟练掌握的重要思维方法。
2 数形结合法在教材中的地位
数形结合的思想方法, 实质上是指研究解决问题时, 将抽象的数学语言与直观图形结合起来, 即以“形”辅“数”, 解题直观、迅速、正确, 以“数”助“形”, 解题时能简化解题步骤, 降低难度。正如我国著名数学家华罗庚所说:“数缺形时少直观, 形缺数时难入微”。这说明数形结合法在数学教学中有其重要地位。同时, 随着新课标教学内容的全面实施, 按新课标的教学大纲要求与知识点传授的层次性来看, 数形结合法教学主要经历三个阶段:第一是数———形对应。它是数形结合基础, 主要是通过平时教学的逐步渗透, 让学生通过学习、训练、体会、逐步领悟和掌握。例如, 在初中阶段, 数轴建立了实数与数轴上的点间一一对应;平面直角坐标系建立了平面上点与有序实数对间的一一对应关系, 为数形结合创造条件。第二是数———形转化, 它体现了数与形关系在解决问题过程中, 如何作为一种方法而得到运用。
3 数形结合的思想方法在提高学生解题能力中的作用
数形结合思想方法是中学数学基础知识的精髓之一, 是把许多知识转化为能力的“桥”。在中学数学教学中, 许多抽象问题学生往往觉得难以理解, 如果教师能灵活地引导学生进行数形结合, 转化为直观、易感知的问题, 学生就易理解, 就能把问题解决, 从而获得成功的体验, 增强学生学习数学的信心。尤其是对于较难问题, 学生若能独立解决或在老师的启发和引导下把问题解决, 心情更是愉悦, 这样, 就容易激发学生学习数学的热情、兴趣和积极性。同时, 学生一旦掌握了数形结合法, 并不断进行尝试、运用, 许多问题就能迎刃而解。
在近几年教学实践中, 笔者通过有意识地进行数形结合法教学, 取得了一定的成效, 学生数学素质有所提高, 解题能力进一步提高, 主要表现为数学问题解决直观化。问题是数学的心脏, 问题解决是数学教学的重要组成部分。图形证明的理念与能力为数学问题解决提供了独特的视角。
4 利用数形结合法解题的实例分析
4.1 平面几何中的一些算法
分析:待证式实际上为, 故应构造共直角边c的两个R t△, 又应将a-b包括进去, 当然是直角梯形较合适。
证明:如上图构造直角梯形ABCD, 使AB=a, CD=b, AD=c, 作CH⊥AB于H, 连DH, 则
评注:这里是通过构造出合适的图形, 将复杂的函数不等式问题转化为极简单的平面几何问题, 令人拍案叫绝。
例2:若双曲线与x2+y 2=1圆没有公共点, 求实数k取值范围。
如果我们考虑运用数形结合的思想方法, 由所给曲线方程画出双曲线和圆的图形, 则A1 (-1, 0) , A2 (1, 0) , B1 (-3k, 0) , B2 (3k, 0) , 观察上图图形易知, 要使双曲线与圆无公共点, 需且只需3k>1, 或3k<-1, 故k>1/3或k<-1/3。
4.2 函数与它的图象以及有关的几何变化
如下图所示, 设A (0, 1) , B (3, 2) , P (x, 0) ,
那么函数表示x轴上的动点P到A的距离与P到B点的距离的差, 这时, 点P, A, B为顶点组成了△PAB, 根据三角形两边之差小于第三边, 当且仅当P位于直线AB和x轴的交点C位置时, f (x) 最大, 这时,
评注:由于f (x) 的解析式中含有两个根号, 根号内都是x的二次式, 用中学的方法很难求出它的最大值, 即使利用高等数学中求导数的方法, 虽然可以求得f (x) 的最大值, 但计算过程也十分繁杂, 但运用了“数形结合”的方法, 问题就很简单了。
4.3 在三角函数、复数的几何意义中的运用
例4:从定点A向定圆O作任意直线AP交圆于点P, 求线段AP的中点轨迹。
解:建立如图所示的复平面, 设点A, P, Q分别表示复数:
所对的点, 其中可表示任意角度,
根据复数减法的几何意义,
点Q轨迹是以AO中点M为圆心, 为半径的圆。
评注:本题是根据复数在复平面的几何意义, 通过数形结合的思想, 构造出恰当的复平面几何图形, 使轨迹问题简化。
5 结语
综上, 数形结合的思想, 就是将问题的数量关系和空间图形结合起来, 使“数”与“形”各展其长, 使逻辑思维与形象思维完美地统一起来的一种数学方法。其解题思想新颖, 方法直观, 优美, 准确。正确运用数形结合这一方法来思考问题对学生的数学素质和解题能力的提高都是大有好处的。
摘要：掌握数学思想方法中的“数形结合法”是提高学生数学素质的根本途径之一, 也是当前中学数学教学中值得共同探讨的热点问题。在理论联系实践的应用中, 数形结合法的教学地位也日益突出。从数形结合法在教材中的地位、在培养学生良好数学素养以及提高学生解题能力的作用等方面进行论述, 并结合若干例子进行深入分析、拓展。
关键词：数形结合,数学思维,解题能力
参考文献
[1]数学课程标准研制组.普通高中数学课程标准 (实验) 解读[M].南京:江苏教育出版社, 2004.
[2]中华人民共和国教育部.全日制义务教育数学课程标准 (实验稿) [M].北京:北京师范大学出版社, 2001.
巧用数形结合 提高解题速度 第2篇
数形结合就是对数学题目中的条件和结论，既分析其代数含义又分析其几何意义，以寻求代数与几何的结合，并找出解题思路。即由数思形，以形想数，下面笔者就中学数学教学中常用的数形结合方法作初步探讨。
一、数轴法
实数可以用数轴上的点来表示，并且二者建立了一一对应关系，所以正确理解运用数轴的有关概念，对于解决与不等式有关的问题起到十分重要的作用。
例1 解绝对值不等式|x2-2x|＜3。
分析：此不等式可变形为-3＜x2-2x＜3，
即x2-2x+3＞0，（1）x2-2x-3＜0，（2）
由（1）得 x∈R,由（2）得 -1＜x＜3，
由图可知，不等式的解集为{x|-1＜x＜3|。
二、文氏图法
借助于文氏图对于实数的交、并、补运算进行观察和研究，也是一种方便的实用工具。
例2 已知I为全集，非空集合M、N的关系是M?奂N，那么下列集合中为空集的是（）
、单位圆法
在三角中，利用单位圆中的正弦线、余弦线、正切线，可简化三角运算中的有关问题。
（A）sinθ＜cosθ＜cotθ
（B）cosθ＜sinθ＜cotθ
（C）sinθ＜cotθ＜cosθ
（D）cosθ＜cotθ＜sinθ
而sinθ＜cosθ＜cotθ，所以应选（A）。
四、坐标法
在适当的直角坐标系中，然后将几何问题转化为代数问题，经过计算和推理，获得有关的代数结论。最后再通过坐标将代数结论转化几何结论，从而使问题得到解决。
例4 已知某圆的方程是x2+y2=2，当b为何值时，直线y=x+b与圆有两个交点，有一个交点，没有交点？
分析：传统的解决方法是通过联立方程组把问题转化为求解一元二次方程，再借助于判别式Δ＞0，Δ=0，Δ＜0的情况寻找答案。
条件画出图形（如上图1）。从图形中不难想到圆心（0，0）到直线y=x+b的距离等于圆的半径时，直线与圆恰有1个交点。
根据公式得b=±2，即当b=±2时，直线与圆有一个交点；当-2＜b＜2时，直线与圆有两个交点；当b＞2或b＜-2时，直线与圆没有交点。
五、构造图象法
根据题目中“数”的结构特征，构造出与之相应的几何图形，并利用图形特征、规律来研究解决问题，避免了复杂的分析和计算。
例5 方程sinx=lgx的实根个数有（）
（Ａ）1（B）2（C）3（D）大于3
分析：构造函数，作出图象，通过数形结合去解原方程解的个数，即为函数y=sinx和y=lgx的图象的交点的个数。由于y=lgx是单调递增函数，当x＞10时，lgx＞1，其图象与正弦曲线无交点，当1＜x＜10时，其图象与正弦曲线有3 个交点，所以应选（C）。
六、复平面法
复数减法的几何意义与复平面内两点间的距离公式很重要，由此出发可以应用复数解决解析几何中某曲线方程和代数中的最值问题。
内部，显然，|z|的最大值|z1|=3，最小值是|z2|=1。
重视数形结合教学提高学生解题能力 第3篇
一、数形结合,巧用教、学具
在数学教学中有效地使用教、学具,让学生多种感官参与学习活动,能吸引学生的注意力,调动学生的积极性,发展形象思维,把数学知识直观化、形象化,使学生印象深刻,利于掌握和理解数学知识.例如探究“圆柱体积的计算公式”的教学,教师让学生回忆、交流圆是如何转化为长方形的操作过程,教师展示圆转化为长方形的操作过程,学生思考:圆柱如何转化为长方体的?学生交流想法,教师利用教具,展示圆柱体通过“分”、“切”、“拼”转化为长方体,引导学生看看、指指、认认圆柱各部分与长方体的长、宽、高的对应关系,探究发现圆柱体积计算公式,不仅知其然,而且知其所以然,很好地培养了学生观察、分析、推理、概括的能力,充分发展学生的思维.又如教学“42-3”,学生操作小棒,探究计算方法.学生在摆小棒时,经历“2-3”不够减,拆开一捆小棒当作10根,理解“借一当十”的算理.由此可见,数形结合,巧用教、学具,能激发学生的学习兴趣,提高学生的理解能力,发展学生思维.
二、数形结合,善用线段图
线段图画法简洁,适用性广,具有直观简明、一目了然的特点,利用它能很容易发现解题的思路、方法和答案.在小学数学教学中,利用线段图解决“行程应用题”和“倍数关系应用题”效果甚佳,值得向学生推行,能培养学生自觉画线段图理解题意并解决问题.例如解决行程应用题中的“相遇”、“等相距”等相关问题以及倍数关系中的“和倍”、“差倍”等问题,学生依据条件和问题,画出符合题意的线段图,帮助理解题意,理清解题思路,发现解题方法,正确解决问题.学生经常使用线段图解题,体验线段图的“化难为易”之神奇,并会喜欢上画图法,养成自觉画线段图解题的学习习惯.
三、数形结合,走近学生生活
小学数学教学要求:数学教学必须从学生熟悉的生活情境和感兴趣的事物出发,为他们提供观察和操作的机会.我们在教学中应选择学生熟悉的生活情境,引导学生学习数学,理解数学,运用数学,遵循“从生活中来,到生活中去”的教学理念,让学生充分体验到数学就在身边,感受到学习数学的乐趣,体会到数学的应用价值.例如“公顷的认识”的教学,“公顷”不是常用的面积单位,对于学生来说很陌生.教师可先引导学生计算边长为100米的正方形的面积(10000平方米),再告诉学生10000平方米=1公顷.然后让学生想象1公顷究竟有多大.教师指导学生通过计算,得出1公顷相当于多少个篮球场大或多少个教室大,再算一算我们的校园是多少公顷.利用学生熟悉的篮球场、教室、校园等,体会1公顷的实际大小,正确建立1公顷的表象.教师利用学生已有的知识经验和熟悉的生活经验,沟通新旧知识的联系,沟通数学知识和现实生活的联系,有助于学生深入理解数学知识,提高应用能力.
四、数形结合,开展数学活动
小学数学活动课是以培养学生数学思维能力为目标,以活动为形式,有利于提高学生的动手能力,培养学生的创新能力,是应试教育向素质教育转变的重要举措.例如小学六年级数学教学“表面积的变化”,教师让学生准备橡皮泥上数学活动课.第一阶段,教师让学生先把橡皮泥搓成球状,再把橡皮泥压成扁扁的饼状.比一比,想一想,议一议,体积变化情况和表面积变化情况.学生们直觉感知,同一团橡皮泥,分别做成球状和饼状,形状改变了,体积不变,表面积改变了第二阶段,学生先把橡皮泥制作成一个大的长方体,再把大的长方体切成两个形状相同的小长方体,比较两个小长方体的表面积之和与一个大长方体的表面积的大小.学生独立操作,同小组学生相互交流,学生找一找、指一指表面积变大在什么地方(增加了两个切面).第三阶段,讨论大长方体平均切成两个大小形状完全相同的小长方体有几种不同的切法,哪种切法表面积增加的最小,哪种切法表面积增加的最大(同小组学生指指、说说、议议.)学生通过搓、压、切、指、说、议等丰富的学习活动,多种感官参与活动,记忆深刻,理解透彻,训练了动手能力,发展了思维能力.
五、数形结合,模拟生活情景
新课程强调从学生已有的生活经验出发,让学生在生动、具体、现实的情境中去学习数学,创设一种模拟的生活情景,让学生在“做数学”中去学习数学.在教学“165-97”的简便计算时,教师要学生用纸片写上面额替代人民币.教师创设生活情景:你带来165元钱,买了一个足球,用去97元,还剩多少元?学生说算式,一生模拟付钱购物,另一生模拟售货员,亲自体验“付出100元,收回3元”的实践过程,体会“165-97=165-100+3”的算理.教师让学生巩固类似的练习,一边操作,一边写简算的过程,用具体的操作实践过程理解抽象的简算过程.学生学得兴趣盎然,体验了数学知识源于生活、用于生活,加深了对算理的理解,实践了“听了会忘记,看了会记住,做了会理解”这一观念.
数形结合教学,丰富了学生的活动,让学生手、脑、口并用,让学生享受获取知识的快乐.学生亲身体验,充满生机活力;学生亲身体验,享受成功快乐,产生强烈的求知欲望;学生亲身体验,感受数学的魅力,提高了学习兴趣;学生亲身体验,在体验中思考,在思考中创造,从形象思维过渡到抽象思维,从感性认识跨越到理性认识,收到了良好的学习效果,提高了解题能力.
摘要：数形结合既是一种重要的思想方法,也是一种重要的学习方式.数形结合教学,可以使复杂的问题简单化,抽象的问题具体化,达到化难为易、化繁为简的学习效果.
数形结合在解题中的应用 第4篇
关键词：数形结合；函数图象；向量；复数；圆
著名数学家华罗庚常把数学引入诗，阐述哲理。他曾经这样写道：数形本是相倚依，怎能分作两边飞。数缺形时少直觉，形少数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万岁休。几何代数统一体，永远联系莫分离。此诗把数学的具体形象——数形结合的思维方式作为载体，用节奏鲜明、生动有趣的语言，把学习数学的方法进行了辨证的阐述，体现了数形结合思想方法的重要性。以下我通过分析解决问题来体现数形结合思想的重要性。
一、以形助数
利用函数图象探讨方程的根及其分布。
在平面直角坐标系中作出两个函数的图象，如图1，可直观地看出两曲线有3个交点。
二、以数辅形
利用坐标向量解决三角问题。
这题是2005年湖北的一道高考题。这题若用正弦定理或余弦定理较为复杂。利用坐标向量，使得运算更为简单。但要确保两个函数图象都易作。在中学数学中，学生的常规思路是将利用平方法将无理不等式转化为有理不等式求解，以解脱根式的纠缠与困扰。但与此同时，需严格注意不等式两边的等号，往往运算烦琐冗长。若我们细心观察，抓住题目特征，因题定法，选择合理的途径，则可避开讨论，优化解题过程，提高解题效率。
三、化数为形，以形论数
有时在解题中，就数论数，往往会受阻，这时我們可应用逆向思维，先把“数”对应的“形”画出，再结合“形”去思考“数”，就会加大透明度，找到简捷准确的解题方法。
例3.已知复数Z的模为2，求Z-i的最大值。
如果用数形结合的方法来思考这道题，由Z=2知，Z表示以原点为圆心，以2为半径的圆。Z-i表示圆上到点（0，1）的距离。由图2可知其最大值，显然是过点的最远端（0，2）到该点的距离3。
由上面的解题过程可知，数形结合是学好数学的一把钥匙。它利用直观的图形来解题，巧妙地简化了大量繁琐的计算和逻辑推理过程，解题简洁明了。
在中学数学教学中，我们应经常引导学生根据图形的直观性研究数与式之间的关系。通过运用数形结合的思想来培养学生的解决问题的能力。
参考文献：
[1]黄翔.数学方法论选论[M].重庆大学出版社，1995-04.
[2]周建凯.数形结合思想在解题中的应用[J].中学数学研究，2009（04）.
数形结合简便解题 第5篇
一、借助数轴解代数问题
数轴是我们进行数形结合的极好工具, 它能够直观地解释相反数和绝对值的几何意义, 在化简代数式、比较实数的大小以及解方程 (组) 和不等式 (组) 中有广泛的应用.
例1 若不等式无解, 那么x的取值范围是 () .
A.m﹤2 B.m≥2 C.m﹤1 D.1≤m﹤2
分析 采用验证法进行选择, 利用数轴表示出不等式组的解集, 将各选题中的值逐一进行验证.
(1) 当m﹤1时, 不等式组解集如图 (1) , 原不等式组有解.
(2) 当1≤m﹤2时, 不等式组解集如图 (2) , 原不等式组有解.
(3) 当m≥2时, 不等式组解集如图 (3) , 原不等式组无解.
故选B.
二、借助图形、图表解代数问题
图形、图表具有形象、直观、清晰、简明易懂的特点, 利用这个“形”可使“数”计算简便.
例2 一段跑道长100米, 甲、乙分别从A, B两端点同时相向出发, 各以每秒6米和每秒4.5米的速度在跑道上来回往返练习跑步.问:在10分钟内 (包括第10分钟) , (1) 甲和乙在途中迎面相遇多少次? (2) 甲在途中追上乙多少次? (3) 甲和乙在A, B两端点共相遇多少次?
为方便起见, 令秒, 则易知甲在跑道上跑一个来回所用的时间是3T, 乙在跑道上跑一个来回所用的时间是4T.于是, 甲、乙同时出发后经过12T的时间, 甲在跑道上跑了4个来回, 乙在跑道上跑了3个来回.画出甲和乙的运动图像如下:
其中用实线画出的锯齿形曲线是甲的运动图像, 用虚线画出的锯齿形曲线是乙的运动图像 (图像上点的横坐标表示时间, 纵坐标表示到A点的距离) .
由图可以清楚地看出, 在出发后的12 T时间内, 甲、乙在途中迎面相遇6次, 甲追上乙并在A点相遇1次, 甲在途中追上乙0次.在12T以后的时间里, 甲、乙的运动情况完全重复0～12T时间内的情况, 因此, 在10分钟内, 即在54T时间内,
(1) 甲和乙在途中迎面相遇27次 (注:每6T时间内迎面相遇3次) ;
(2) 甲在途中追上乙0次;
(3) 甲和乙在A点相遇5次 (在6T, 18T, 30T, 42T, 54T时在A点相遇) .
三、借助函数图像解实际问题
例3 某工厂可以生产甲、乙两套产品, 已知生产全套甲产品须耗煤1吨, 耗电200千瓦;生产全套乙种产品须耗煤1吨, 耗电100千瓦.甲产品每套产值为3千元, 乙产品每套2.6千元, 工厂每月可用煤60吨, 可用电1万千瓦问:甲、乙两套产品各安排生产多少套才能使工厂的月产值最大?
分析 我们首先要把这个实际问题转化为数学问题, 把题设的数量及其相互关系用数学式子表示出来, 并对这个问题作出数学上的解释, 然后, 我们再运用数学知识, 借助于函数图像解决问题, 最后又返回到实际中去, 即可得到实际问题的解答.
解 设计划安排生产甲、乙产品分别为x, y套, 根据已知条件显然用煤和用电都不能超过规定的指标, 所以有
我们的问题为:在满足上列条件的x, y中, 求使月产值s=3x+2.6y最大的x, y及相应的s值.至此, 生产实际问题已转化为数学问题.下面是解这个数学问题的方法.
在平面直角坐标系中分别作出直线:
x+y=60和2x+y=100.
根据不等式组的几何意义, 整个问题的实质就是在以上两条线的下方, 在第一象限及包括其边界区域上找出使s取最大值的点所表示的解, 并求出s的最大值.
于是可得到以下两个区域:
我们要在区域 (1) 和 (2) 上选点, 使s=3x+2.6y取得最大值.
∵s=3x+2.6y可变形为, 代入x+y≤60得2.6x+s-3x≤60×2.6.
∴s≤0.4x+60×2.6,
∴s最大=0.4×40+60×2.6=172 (千元) .
答:生产甲产品40套, 生产乙产品20套时, 工厂的月产值最大为172千元.
四、借助函数解几何问题
例4 如图, AB是⊙O的直径, 点C, D在圆上, 且CD∥AB, 若AB=10, 求梯形ABCD周长的最大值.
分析 对几何极值问题, 建立变量之间的函数关系是一种有效的解决途径.
解 设AD=x, 梯形ABCD的周长为y, 连BD, 作DE⊥AB.则由AB为直径易知△ABC～△DEB, 从而AD2=AE×AB, 即.
注意到, 易知x=5时梯形ABCD的周长取得最大值25.
数形结合巧解题 第6篇
一、培养“数形结合”思维能力的重要意义
数形结合是中学数学解题中常用的、重要的一种思想方法.数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化, 能够变抽象思维为形象思维, 有助于把握数学问题的本质.数形结合的思想包括“以形助数”和“以数辅形”两个方面它可使复杂问题简单化, 抽象问题具体化, 从而达到优化解题过程的目的, 由于使用了数形结合方法, 很多问题便迎刃而解.
纵观多年来的中、高考考题, 巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题, 可收到事半功倍的效果.不仅直观易发现解题途径, 而且能避免复杂的计算与推理, 大大简化解题过程, 这在解选择题、填空题中优势更明显.因此, 在数学教学中, 应培养运用“数形结合”的思想引导学生思考, 运用“数形结合”的技巧训练学生解题 , 有利于学生分析题中数量之间的关系, 丰富表象, 引发联想, 启迪思维, 拓宽思路, 迅速找到解决问题的方法, 从而提高分析问题和解决问题的能力注重数形结合思想的教学, 不仅能够提高学生学习数学的兴趣, 而且能够提高学生数形转化能力和迁移思维能力, 具有重大的意义.
二、“数形结合”思想方法的解题应用
(一) 借助数轴, 直观深刻.
实数与数轴上的点是一一对应的, 从数形结合的观点出发, 借助用数轴的思想使抽象的数及其运算方法, 让人们易于理解和接受.这样充分运用数形结合思想, 能使繁、难的问题变得简单、明了.
例如用数轴上的点表示实数就是数形结合思想的基石这样把数 (实数) 与形 (数轴上的点) , 建立起了一种转化对应关系, 用点表示数, 形象直观用数描述形, 科学准确, 二者相辅相成.
例1.已知a>0, b<0, |a|>|b|, 试比较a, -a, b, -b的大小.
【解析】本题中a, b的具体数值没有确定 , 但能依据数轴形象地表示它们在数轴上的大致位置.如图1, a>0, 表示数a的点在原点右侧, b<0表示数b的点在原点左侧, 由绝对值的几何意义知, |a|>|b|表示数a的点离原点的距离比表示数b的点离原点的距离大, 从而确定数a数b在数轴上的大致位置.又由表示互为相反数的点分居在原点两侧, 且离原点的距离相等的性质找到数轴上表示-a, -b的点.观察图1, 根据数轴上的点表示的数, 右边总比左边的大, 知-a<b<-b<a.
例2.设集合A={x—x∈Z, 且-10≤x≤-1}, B={x—x∈Z, 且x|≤5}, 则A∪B中的元素个数是 ( )
A.11 B.10 C.15 D.16
【解析】这是求并集中的元素个数 , A、B中的元素在数轴上易于表示, 从数形结合的思想方法来解简单明了, 如图2所示, A∪B中含有整数点16个, 因此答案为D.
(二 ) 借助图像 , 直观易懂.
一般地, 不等式的解集, 函数的性质等进行讨论时, 可以借助函数图像直观解决, 简单明了.
例3.一次函数y1=a1x+b1的图像交x轴于点 (1, 0) , 一次函数y2=a2x+b2的图像交x轴于点 (7, 0) , 且两图像交于点P (5, 3) , 根据图形3, 指出当x为何值时, y1>y2?
【解析】这道题体现了图像的直观性 , 函数图像就是直观的数学语言, 用数形结合的思维方法, 可以看到y2的值, 当x>5时, y2的值递减;当x>5时, y1的值递增.所以当x>5时y1>y2.
例4.设对于任意实数x∈[-2, 2], 函数f (x) =lg (3a-ax-x2) 总有意义, 求实数a的取值范围.
【解析】 函数f (x) 有意义 , 则3a-ax-x2>0, 即x2+ax-3a<0在x∈[-2, 2]上总成立.
设g (x) =x2+ax-3a, 即当x∈[-2, 2]时 , g (x) <0总成立.
∴依抛物线y=g (x) 的特征, 将其定位,
因此, 借助函数图像的直观性可使很难或很繁的问题变得容易和简单.
(三 ) 借助单位圆 , 直观又简捷.
例5.如图, 极坐标方程ρ=2sin (θ+π/4) 的图形是 ( )
【解析】题目是由“数”的解析关系找“形”的位置 , 数形结合, 由特殊的“数”否一般的“形”, 当θ=0时, ) 在极轴上, 否“形”B、D, 当θ=π/4时, ρ=2, 点 (2, π/4) 在极轴上半部, 否A, 所以应选C.
此题用转化的思想方法化极轴坐标方程为直角坐标方程, 也可以确定图形圆的位置, 但较麻烦.
例6.求函数y= (sinx-1) / (cosx-2) 的最值.
【解析】y可看成两点P (cosx, sinx) 与A (2, 1) 连线的斜率 , 其中A是定点, 动点P在圆x2+y2=1上 , 过点A作⊙О的切线AB、AC, 如图5, 则ymin=kAB, ymax=kAC, 易求得kAB=0, kAC=4/3.
∴ymin=0, ymax=43.
(四 ) 借助复平面 , 几何意义明显.
【分析】利用复数模、四则运算的几何意义 , 将复数问题用几何图形帮助求解.
如图6所示.由图可知, ∠AOD=∠BOC,
由余弦定理得:
此题运用“数形结合”思想, 把共轭复数的性质与复平面上的向量表示代数运算的几何意义等都表达得淋漓尽致, 体现了数形结合的生动活泼, 从而使复杂问题简单化.
例8.如果复数z满足|z+i|+|z-i|=2, |z+i+1|的最小值是 ( )
【解析】设复数-i, i, - (1+i) 在复平面上对应的点分别为z1, z2, z3, 因为|z+i|+|z-i|=2, |z1z2|=2, 所以点z的集合为线段z1z2, 则问题转化为:动点z在线段z1z2上移动, 求|zz3|的最小值 , 因为z3z1⊥z1z2, 所以当z与z1重合时, |zz3|取最小值 , |z1z3|=1, 其几何意义见图7, 故选A.
假如此题运用代数法, 转化为普通函数求最值, 则运算相当麻烦.
(五 ) 借助几何构建 , 以形助数.
例9.已知a、b均为正数, 且a+b=2, 求的最小值.
【解析】如图8, 作线段AB=2, 在AB上截取AE=a, EB=b, 过A作AC⊥AB, 且AC=2, 过B作BD⊥AB, 且BD=1. 由勾股定理得:, 原题即求CE+ED的最小值.如图8, 延长CA至G, 使AG=AC, 连接GE, 由三角形两边之和大于第三边, 则G、E、D三点共线时, GE+ED=DG最短.作出图形, 延长DB至F, 使BF∥AG且BF=AG, 连接GF.则在Rt△DGF中, DF=1+2=3, GF=AB=2
小结:此题由式子特点联想勾股定理, 构造图形解决问题.
例10.设, a, b∈R且a≠b, 求证:|f (a) -f (b) |<|a-b|
【解析】本题直接证明较繁.如能由的结构形式, 联想到两点间的距离公式, 数形结合, 以形助数, 则抓住了知识间的内在联系, 解法新颖, 巧妙简洁.
∵a≠b不妨设a>b, 构建如图9的Rt△OAP,
其中OP=1, OA=a, OB=b
在Rt△OAP中, 有|PA-PB|<AB
∴|f (a) -f (b) |<|a-b|
从以上解题过程可以看出, 借助数轴、图像、单位圆、复平面和几何构建运用数形结合的思想方法解决数学问题可收到事半功倍的效果.数形结合的思想方法所表现出来的思路上的灵活, 过程上的简便, 方法上的多样化是一目了然的, 它可以巧妙地解决很多抽象的数学问题.
可见, 数形结合思想是很重要的思想, 在中学数学教学中具有举足轻重的作用, 同时也是分析问题、解决问题的有力工具.正确运用数形结合这一思想思考问题, 学生能够提高解题能力和创新能力.
摘要：数形结合是数学解题中常用的思想方法, 在数学教学中, 它主要表现在把抽象的数量关系转化为适当的几何图形, 从图形的直观特征发现数量之间存在的联系, 达到化难为易, 化繁为简, 化隐为显的目的, 使问题简捷地得以解决.本文从培养数学数形结合思想的重要性入手, 结合几个具体实例, 从借助数轴、借助图像、借助单位圆、借助复平面和借助几何构建这五个方面谈谈如何运用数形结合的思想方法解决数学问题.
关键词：数形结合,思维能力,解题应用,中学数学教学
参考文献
[1]王林全.中学数学思想方法概论.暨南大学出版社, 2009.8.
[2]刘兆明.中学数学方法论.湖北教育出版社, 1987.7.
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[4]付东峰.中考中的数学思想方法.龙门书局出版社, 2010.4.
[5]刘治平.高考中的数学思想方法.龙门书局出版社, 2010.4.
巧用“数形结合”,拓宽解题思路 第7篇
我们认为, 数形结合, 主要指的是数与形之间的一一对应关系. 数学研究的对象是数量关系和空间形式, 即“数”与“形”两个方面, 由于坐标系的建立, 使实数对与坐标平面上的点建立了一一对应的关系, 进而可以使函数解析式与函数图像、方程与曲线建立起一一对应的关系, 使数量关系的研究可以转化为图形性质的研究; 反之, 也可以使图像性质的研究转化为数量关系的研究, 即数与形相互渗透、相互转化. 同时, 数形渗透是中学数学中四种重要思想方法之一, 在教学中, 重视数形渗透, 使学生通过“以形助数, 以数解形”, 使复杂问题简单化、抽象问题具体化, 从形的直观和数的严谨两方面思考问题, 拓宽了解题思路, 有利于多层次、多角度地展开思维训练, 有利于学生的思维能力和解题能力的提高, 它是数学的规律性与灵活性的有机结合. 下面举例说明以形助数、以数解形使某些问题解法更简便.
例1已知5x +12y =60, 求的最小值.
分析按常规解法, 是把问题转为求一元函数的最小值, 思路清晰, 但解法较繁, 若注意到在直角坐标系中5x +12y =60表示一直线l,
例2若关于x的方程有两个不同的实数根, 求实数m的取值范围.
例3对满足 ( x -3) 2+ ( y - 3) 2= 6的所有实数对 ( x, y) , 求y/x的最大值.
分析解此题若用纯代数计算, 并非易事, 不妨先画出图像, 寻思路, 在数形的映衬下, 立即可知k =y/x表示过该点斜率为k的直线系方程, 于是问题转化为 ( x -3) 2+ ( y -3) 2= 6上求一点, 使它和原点确定的直线斜率k取得最大值, 从图中可以看出: y = kx与图上方相切于M点时, k取得最大值, 此时故y/x的最大值为
在高考中, 充分利用选择题和填空题的题型特点, 它们只需写出结果而不必做精确计算, 因此形数结合能够对某些选择题与填空题迅速地获取答案, 它们在解决选择、填空题时发挥着奇特功效.
例4 (2013年高考福建卷·文) 设函数f ( x) 的定义域为R, x0 ( x0≠0) 是f ( x) 的极大值点, 以下结论一定正确的是 () .
A., f ( x) ≤f (x ) 0
B. - x0是f (-x) 的极小值点
C. - x0是 -f ( x) 的极小值点
D. - x0是 -f (-x) 的极小值点
本题以极值概念和函数图像为载体, 主要考查数形结合思想. 借助函数f ( x) , f ( -x) , -f ( x) , -f ( -x) 的图像特征, 易知A, B, C错误, 选D.
本题由图像的直观性得到解题灵感, 见数想图, “以形助数”得到答案. 将抽象的数学语言同直观的图形相结合, 实现抽象概念与具体形象之间的联系和转化, 使数与形的信息相互渗透, 既可以开拓我们的解题思路, 也可以使许多数学问题简单化.
例5 y =f ( x) 是奇函数, x >0时, f ( x) =x (1 -x) , 则当x < 0时, f ( x) 的解析式为______.
A. - x ( 1 - x) B. x ( 1 + x)
C. - x ( 1 + x) D. x ( x - 1)
此题仅用代数方法, 一时难以下手, 若用数形结合方法, 则可迅速解答. 根据已知条件, 则z的解析式改写为:
则z就可看成圆x2+ y2= 25上的点P ( x, y) 到圆上两定点A ( -3, -4) , B ( 3, -4) 的距离之和, 这个和最大时, 显然P ( x, y) 应在优弧中点C ( 0, 5) , 故知
对最值的研究, 需根据具体条件具体分析. 这种研究过程往往没有现成的定理可以使用, 它必须由数转化成形, 再由图像的直观性得出结论. 在解答书写的过程中, 一般不必画出函数图像, 但结论的得出又必须依赖于函数图像, 这是在解答题中考查数形结合的一种形式.
例7若函数在区间 (1, 4) 内为减函数, 在区间 ( 6, + ∞) 上为增函数, 试求实数a的取值范围.
这是一个利用导数研究函数单调性的问题, 也是近几年的一个热点. 解题的关键是首先把函数的增、减性转化为导数的正、负来研究.
求f ( x) 的导数, 得f' ( x) =x2- ax + a - 1.
下面则转化为二次函数x2- ax + a - 1在区间 ( 1, 4) 内为负, 在区间 ( 6, +∞) 上为正的充要条件, 而这个问题则完全是二次函数的问题, 解决时必须借助图形解决.
先求出方程x2- ax + a - 1 = 0的两个根, 解得x = 1或x = a - 1, 然后再借助图形进行研究.
当a -1≤1时, 函数f' ( x) =x2- ax + a - 1是开口向上的抛物线, 且与x轴的另一个交点横坐标为a -1, 在1的左侧, 则在区间 ( 1, 4) 内f' ( x) >0, 如图1所示, 那么f ( x) 在 ( 1, 4) 内为增函数, 不合题意.
摘要：数形结合方法是一种重要的数学方法, 它体现了教育改革倡导的新的思想方法.在教学中, 重视数形渗透, 使学生通过“以形助数, 以数解形”, 拓宽了解题思路.
例谈数形结合解题之巧 第8篇
一、求参数的取值范围
例1当x∈(1,2)时,不等式(x-1)2≤logax恒成立,求a的取值范围.
解:在同一坐标中作出函数y=(x-1)2和y=logax的图象,如图1,图2所示.
显然,图1不符合题意.
在图2中,必须a>1,由图2可知loga2≥(2-1)2,
所以a≤2.
所以1
二、解含参数的不等式
例2解不等式.
解:原不等式变形得,在同一坐标中作出函数和y=ax+1的图象,如图3所示.
由图3可知,
(1)当a≥1时,函数与y=ax+1只有一个交点,即x=0.所以当a≥1时,不等式的解集为{x|x≥0}.
(2)当0
三、求函数的值域
例3求函数y=|x+1|+|x-2|的值域.
解:将原函数分析式中的绝对值符号去掉,化成分段函数,可得
在同一坐标中做出f(x)的图象,如图4所示.
由图4可知,函数y=|x+1|+|x-2|的值域为[3,+∞).
四、求极值问题
例4设P是曲线y2=4(x-1)上的动点,求点P到点(0,2)的距离与点P到y轴的距离之和的最小值.
解:如图5,抛物线的顶点是(1,0),焦点F(2,0),准线x=0,A(0,2),则.
五、证明不等式
例5已知:x,y,z均大于0,求证:.
分析:由所证不等式的结构及其根号内的三项,不难联想到余弦定理及三角形之间的关系,构造四面体S-ABC,SA=x,SB=y,SC=z,∠ASB=∠BSC=∠C-SA=60°.
证明:如图6,
根据三角形三边关系得:AB+BC>AC,不等式得证.
六、解决交集问题
例6设集合M={(x,y)|x2+y2=1,x∈R,y∈R},N=|(x,y)|x2-y=0,x∈R,y∈R},则集合M∩N中元素的个数.
解:M表示单位圆上的点集,N表示抛物线上的点集,画出示意图,如图7所示,它们有两个交点,即元素的个数为2.
初中数学数形结合解题思想的应用 第9篇
一、有理数中的数形结合思想
有理数的学习是初中数学学习阶段一个比较基础的内容，如果单纯地讲解有理数的概念知识，学生很难对其形成清晰的理解，总体来说学习起来是比较抽象的，不能形成清晰形象的概念认知。为了让学生能够更好地理解这一数学教学内容，引入数形结合的思想，同时这也是有理数体现数形结合思想的典型代表，数轴的应用能够让学生对有理数形成更加具体的概念，每一个有理数在数轴上都有一个唯一的点与之对应，引入这种数形结合的学习方式之后，其他有关有理数的问题就可以更加顺利地开展了。与之相关的内容还有有理数大小的比较，主要就是通过有理数在数轴上的位置关系决定的，固定越是靠在数轴右侧的有理数越大，以0为分界点，分为正有理数和负有理数，还有就是有理数绝对值、相反数的学习，都可以通过数轴的形式轻松地学习，绝对值的比较可以通过两个有理数与0之间的距离大小来比较，距离越远的绝对值越大，相反数在数轴上就更加容易了，只需要以0所在的位置为对称轴，找到数轴上相应的点就可以了。数形结合思想的引入，让学生在学习有理数的过程中更加轻松简单，对于一些概念定义的介绍，借助数形结合的思想也更加容易完成，能够有效提高教学效率，激发学生的学习兴趣。
二、概率中的数形结合思想
概率也是初中数学中涉及的一个重要内容，主要就是对一件事情发生的概率进行分析，分析发生的次数占总次数的百分比，从而得出一定的概率数据，这也是初中数学考题中常涉及的一类题目，是考查学生逻辑思维能力以及判断能力的一个知识点，需要有严密的逻辑思维。做到不重不漏，这样才能够得到正确的答案。概率问题其实并不难，只要分析思路清晰，将所有的情况罗列出来再进行分析判断就能够轻松解决问题，一些学生觉得概率比较难学，主要就是觉得涉及的情况太过复杂，同时又容易出现思想漏洞，导致做题的时候容易出现错误。其实正确运用数形结合的思想就能够帮助学生解决这一问题，一般来说树状图是比较常见的一种形式，通过分支来表示各种情况，形状就像大树的分支一样，能够形象生动地呈现在学生面前，帮助学生轻松解决数学概率问题。
三、函数中的数形结合思想
函数是教学的重点同时也是难点，函数复杂多变的形式以及复杂的计算方法和性质概念都是让学生感到头疼的地方，一些学生甚至对函数学习产生畏惧心理，逐渐失去了学习的兴趣。其实函数并没有学生认为得那么复杂难懂，只是学生还没有掌握正确的解题方法而已，函数本身就是代数和几何的综合体。每种函数都有其特定的表达式和图像，在数学学习中常会让学生对函数性质进行分析，针对图形对函数表达的含义进行理解等，图形的设置就凸显了数形结合的思想，对于函数题目的研究和解决有很大的帮助，采用数形结合的思想能够起到事半功倍的效果。
比如，某公园要建造一个圆形喷水池，在水池的中央垂直于水面的地方安装一个柱子OP，O点恰巧在水面的中心处，OP=1.25米，由柱子顶端P点喷水，水流喷向各个方向并呈现抛物线的形状，为了美观漂亮，设计成水流在距离OP为1米的地方达到最大高度2.25米，那么水池的半径至少是多少米才不至于让水喷出来？这是一个比较实际的函数应用问题，其中涉及的是抛物线的相关知识，先分析题目中给出的变量和不变量，确定各个量之间的关系，其实就是求解抛物线变量的问题。
数形结合思想在解题中的应用 第10篇
一、数形结合思想的本质
数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化，常与以下内容有关：(1)实数与数轴上的点的对应关系；(2)函数与图象的对应关系；(3)曲线与方程的对应关系；(4)以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；(5)所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义．在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围．
二、数形结合思想的应用
学会一种思想，不仅要学会它的概念，最主要的还是要学会怎样使用它．那么如何在这些题目中运用数形结合的思想，就成为解决这类与图形、图像有关的问题的关键．而在数与形的交错中，我们应该找到它们之间的平衡点．以下就对数形结合思想在解题中的应用从以“形”助“数”和以“数”助“形”这两方面做一番探讨．
（一）从“数”构“形”，利用形的直观性开拓解题思路
一个问题总会有许多数据，单看这几个数字很难找出问题的关键所在．而很多数学问题，本身是代数方面的问题，但通过观察可发现它具有某种几何特征，而由这种几何特征可以发现数与形之间的新关系，使问题获解．
1．借助图象确定参数的取值范围
【例1】若关于x的方程x2+2kx+3k=0的两根都在-1和3之间，求k的取值范围．
分析：令f(x)=x2+2kx+3k，其图象与x轴交点的横坐标就是方程f(x)=0的解，由y=f(x）的图象可知，要使两根都在-1和3之间，只需f(-1)>0,f(3)>0,f(-b2a)<0同时成立，解得-1<k<0，故k∈（-1,0).
【例2】若关于x的方程x2-4|x|+5=m有四个不相等的实根，求实数m的取值范围．
分析：设y1=x2-4|x|+5,y2=m，画出两函数图象如图2所示，要使方程x2-4|x|+5=m有四个不相等实根，只需使1<m<5.
2．利用图像求解最值问题
【例3】如果实数x,y满足（x-2)2+y2=3，则的最大值为（ ）．
A. B．C． D．
分析：等式（x-2)2+y2=3有明显的几何意义，它表示坐标平面上的一个圆，圆心为（2,0），半径，如图3．而则表示圆上的点（x,y）与坐标原点（0,0）的连线的斜率．因此，该问题可转化为如下的几何问题：动点A在以（2,0）为圆心，以为半径的圆上移动，求直线OA的斜率的最大值，由图3可知，当∠A在第一象限，且与圆相切时，OA的斜率最大，经简单计算，得最大值为tan60°=
3．利用图像求解根的个数
【例4】已知0<a<1，则y方程a|x|=|logax|的实数根个数为（）．
A.1个
B.2个
C.3个
D.1个或2个或3个
分析：判断方程的根的个数就是判断图象y=a|x|与y=|logax|的交点个数，画出两个函数图象，易知两图象只有两个交点，故方程有2个实数根，选B.
【例5】适合|z-1|=1且argz=的复数z的个数为（）．
A.0个B.1个
C.2个D.4个
分析：|z-1|=1表示以（1,0）为圆心、1为半径的圆，显然点Z对应的复数满足条件argz=，另外，点O对应的复数O，因其辐角是多值，它也满足argz=，故满足条件的z有两个．
（二）从“形”中觅“数”，突出关键
很多数学问题，已知图形已经做出或者容易作出，我们在解决这类问题时，主要是寻找能恰当表达问题的数量关系式，从图形中挖掘出关键的量词，使要解决的几何问题化为数量关系来实现数形转化，即将几何问题代数化，以数助形，使问题获解．下面主要探讨用代数方法解决几何中的问题．
【例6】如图6，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD=，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O为AD中点．
（Ⅰ）求证：PO⊥平面ABCD;
（Ⅱ）求异面直线PD与CD所成角的大小．
证明：（Ⅰ）在△PAD中，PA=PD,O为AD中点，所以PO⊥AD,
又侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面AB-CD=AD,PO平面PAD，所以PO⊥平面ABCD.
（Ⅱ）连结BO，在直角梯形ABCD中，BC∥AD,AD=2AB=2BC，有OD∥BC且OD=BC，所以四边形OB-CD是平行四边形，所以OB∥DC.
由（Ⅰ）知，PO⊥OB，∠PBO为锐角，
所以∠PBO是异面直线PB与CD所成的角．
因为AD=2AB=2BC=2，在Rt△AOB中，AB=1,AO=1，所以OB=.
在Rt△POA中，因为AP=,AO=1，所以OP=1.
在Rt△PBO中，tan∠
所以异面直线PB与CD所成的角是
三、数形结合的优点
数形结合是数学研究中常用的方法之一，它在中学数学解题的整个过程中发挥着重要的作用．它具有以下主要的优点：
第一，在解决有关问题时，数形结合思想方法在思路上的灵活，过程上的简便，方法上的多样化一目了然．
第二，数形结合思想方法为我们提供了多条解决问题的通道，使灵活性、创造性的思维品质在其中得到了更大限度的发挥．
第三，数形结合丰富的表象，能引发联想，启迪思维，拓宽思路．
第四，数形结合思想能提高学生数形转化能力，提高学生迁移思维的能力．
四、小结
代数方法的特点是解答过程严密、规范、思路清晰，而几何方法具有直观、形象的优势．数学家华罗庚先生曾指出：“数缺形时少直觉，形少数时难入微．数形结合百般好，隔裂分家万事休．”应用数形结合的思想就能发扬这两种方法的优点，避免了呆板单调的解法．
参考文献
[1]李勇新等编著.中学数学教材教法[M].哈尔滨:东北师范大学出版社,2001.
[2]王林全主编.中学数学方法论[M].广州:暨南大学出版社,1999.
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