正态分布知识范文（精选7篇）
正态分布知识 第1篇
正态分布这一知识块是统计中的重点和难点.为了使同学们学好这一内容, 现把知识要点作一归纳和解析.
一、正态分布的概念
在频率分布直方图中, 当样本容量越大, 组数越多, 组距越小时, 那么直方图就会无限接近于一条光滑曲线——总体密度曲线.在正常的情况下, 该曲线是密度函数
的图象.其中参数μ, σ (σ>0) 分别是总体的平均数 (μ=Eξ) 与标准差
二、正态曲线的性质
由正态曲线的形状, 可以得到它的恒正性, 对称性, 最高点, 单调性, 胖瘦性.详情可见课本33页.
三、正态分布的计算
1.标准正态总体的计算
由于标准正态总体N (0, 1) 的重要性, 所以专门制作了“标准正态分布表” (见课本附表2) .对于标准正态总体N (0, 1) , 通过查表, 可以求出
(1) 当 x0≥0时, 小于 x0 的概率为Φ (x0) =P (x<x0) ;
(2) 当 x0<0时, 由正态分布的对称性, 知Φ (x0) +Φ (-x0) =1, 因此有Φ (x0) =1-Φ (-x0) ;
(3) 在区间 (x1, x2) 内的取值概率是p=Φ (x2) -Φ (x1) .
2.一般正态总体的计算
对于一般正态总体N (μ, σ2) , 可作变换
所以关于 x 的正态总体N (μ, σ2) 可化成关于 u 的标准正态总体N (0, 1) .
这样, 一般正态总体取值小于 x 的概率F (x) , 可化成标准正态总体来计算, 其换算关系式是
四、检验假设
一般情况下, 正态总体的分布具有很强的集中性, 由课本34页例1可以看到, 正态总体在区间 (μ-2σ, μ+2σ) 以外取值的概率约为4.6%, 而在区间 (μ-3σ, μ+3σ) 以外取值的概率仅约为0.3%.这种小概率事件 (指概率小于5%的事件) 在一次试验中几乎不可能发生.这就是在生产过程中进行质量监控的依据.
因此, 在一次检测中, 如果出现产品尺寸α超出这个范围的情况, 即|α-μ|≥3σ, 那么就认为总体服从正态分布N (μ, σ2) 的假设是不成立的, 即出现了异常, 应停止生产, 查找原因.
五、例题解析
例1 (2007年全国卷Ⅱ) 在某项测量中, 测量结果ξ服从正态分布N (1, σ2) (σ>0) .若ξ在 (0, 1) 内取值的概率为0.4, 则ξ在 (0, 2) 内取值的概率为__.
得
解2:由N (1, σ2) 知, 其总体密度的曲线关于直线 x=1对称.那么由P (0<ξ<1) =0.4, 可知P (1<ξ<2) =0.4, 因此
P (0<ξ<2)
=P (0<ξ<1) +P (1≤ξ<2)
=0.4+0.4=0.8.
点评:解法1是将非标准正态转化为标准正态来计算, 其中用到的性质Φ (-x) =1-Φ (x) 是解题的关键.而解法2充分利用了正态分布的对称性, 解法巧妙而简捷.这里应注意, 概率的大小与所在区间的开闭无关.
例2 设ξ～N (1, 22) ,
(1) 求P (ξ>2) , P (ξ<-2) ;
(2) 设P (ξ<a) =2P (ξ<a) , 求常数 a 的值;
(3) 比较P (0<ξ<2) 与P (2<ξ<7) 的大小.
解:本题求解的关键是化为标准正态分布, 然后查表计算.
而0.333=1-0.667=1-Φ (0.43) =Φ (-0.43) , 故有
所以P (0<ξ<2) >P (2<ξ<7) .
可见, 尽管后式的分布范围 (区间) 较广, 但因在该区间上概率密度较小, 所以其概率值仍不大.这种情况从正态曲线的特征不难看出.
例3 某年级期中考试有120名学生参加, 考试后的数学成绩ξ服从正态分布N (70, 102) .
(1) 学生甲的得分为80分, 求他的数学成绩的排名;
(2) 求及格 (60分及其以上) 的学生人数, 并求排名第20位的数学成绩.
解:设排在学生甲前面的学生数学成绩为ξ分, 则
又0.16×120=19.2, 故学生甲的数学成绩排名约为第20名.
(2) 设60分及以上学生的数学成绩为η, 则
可见及格学生人数占全体学生120人的84.13%, 因此及格学生人数为
120×84.13%≈101.
前20名学生在全体学生120人中所占比率大约为
P (ξ≥x) =0.167,
即
有
查表得
所以第20名学生的数学成绩约为80分.
例4 在正常情况下, 某机床加工生产出的零件长度ξ服从正态分布N (1.2, 0.032) .机床开动后不久, 质检员抽检了5个零件, 测得长度分别为1.16, 1.23, 1.30, 1.13, 1.21.试问生产情况是否正常?
解:设零件长度为ξ, 根据2σ、3σ原理, ξ∈ (μ-2σ, μ+2σ) 的概率为95.4%, ξ∈ (μ-3σ, μ+3σ) 的概率为99.7%.本题的μ=1.2, σ=0.03, 那么ξ∈ (1.14, 1.26) 的概率为95.4%, ξ∈ (1.11, 1.29) 的概率为99.7%, 也即ξ (1.14, 1.26) 的概率为4.6%, ξ (1.11, 1.29) 的概率为0.3%.
而1.30 (1.11, 1.29) , 1.13 (1.14, 1.26) , 抽检的5个零件中, 就有1个在 (μ-3σ, μ+3σ) 外, 另一个在 (μ-2σ, μ+2σ) 外.概率如此小 (0.3%, 4.6%) 的事件, 在5次测试中竟然各发生1次, 这在正常情况下是不可能发生的.
因此可以断定, 生产情况极不正常, 应立即停机查找原因.
高中地理气候分布知识点 第2篇
1. 判断依据：
第一步，根据最冷月、最热月判断南北半球
若最冷月为1月、最热月7月，则该地处在北半球;
若最冷月为7月、最热月1月，则该地处在南半球
第二步，确定最冷月的温度值范围，即>15℃
第三步，判断降水的季节分配类型，夏雨型(1500—2000mm)
2. 位置：
纬度位置：南北纬10度至南北回归线之间的大陆东岸
海陆位置：“两个半岛”：主要分布在亚洲的印度半岛和中南半岛。我国云南滇南谷地(西双版纳)以及海南岛，台湾岛南端，菲律宾吕宋岛。
3. 气候特点(特征)：终年高温，一年有明显的雨(5月—9月)季，旱季(10月—次年4月)，雨季多雨。
4. 气候形成原因：受海陆热力性质差异和气压带、风带的季节移动影响(其中夏季风是由南半球的东南信风向北移动，越过赤道后受地转偏向力影响向右偏而形成西南风。
5. 该气候条件下所形成的陆地自然带：热带季雨林带
该气候条件下所分布的植被类型：热带季雨林
该气候条件下所分布的典型动物：象，孔雀
该气候条件下所形成的典型土壤：砖红壤性红壤
6. 该气候区内分布的城市：印度首都新德里、最大的港口城市和棉纺城孟买，最大城市和麻纺城加尔各答，新兴工业中心班加罗尔，孟加拉国的首都达卡、斯里兰卡的首都科伦坡、泰国首都曼谷，缅甸首都仰光、越南的首都河内、最大港口和工业中心胡志明市、老挝的首都万象、柬埔寨首都金边，我国海南省的海口、著名的旅游城三亚，台湾最大港口高雄。历史名城台南，菲律宾首都马尼拉。
正态分布知识 第3篇
【关键词】中学语文 语言知识 语文教学 存在问题
【中图分类号】G633.3【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）06-0178-01
1.语文教学与语言知识的关系概述
当代语文教育是狭义的汉语言文化学习，其教学形式受到了西方教育理念的深刻影响，同时在教育内容方面，主要以新文化运动以后形成的现代汉语为基础。遵循教育的一般规律，在中学阶段的语文教学中主要涉及的是汉语、汉字的深度驾驭和应用，包括文学素养、语文技能、写作能力、诵读能力等。
笔者认为，语文教学的本质工作，是将语言知识通过多形式传达给学生，并满足融会贯通、学以致用，从这一点说，主要的教学任务有以下三个方面：
第一，培养学生阅读能力。在阅读中掌握大量的语言知识，而语言知识的丰富反过来又促进阅读能力的提高，这是一个相辅相成的过程，也是语文学习的一般规律。作为中学阶段的语文教师，要设法提高学生的阅读量，逐渐涉及难度较大的语言类型，如文言文、诗词歌赋。
第二，培养学生理解能力。“学而不思则罔，思而不学则殆”，提高学生的理解能力，不仅仅在于明确语文内容中的含义，同时也要学会分辨好在什么地方，坏在什么地方，一篇课文究竟有什么地方是值得学习的。
第三，培养学生写作能力。写作是语文教育中的一项基本能力，也是最重要的能力，它是基于母语环境下的语言能力综合体现。换句话说，语文教学中的全部知识点，完全可以通过写作来概括。
结合以上内容，不难看出在语文教学中要将语言知识全方位的融合，突出其整体性和连贯性作用，这样才能为学生描述一个完整的语文知识架构，将母语知识实用化。
2.中学语文教学中语言知识的分布研究
语文在中学教学中具有很重要的地位，一方面原因在于它是基于母语功能分离出的知识体系（或教学体系），作为中国人必须掌握一定的汉语基础，包括听说读写的基本能力。另一方面原因，也是主要原因，由于语文属于升学考核的内容，学生需要通过考试获得自己进入高等学府的资格。
事实上，结合我国现代教育特征来说，进入中学以后语文教学的“功利性”就逐渐凸显，教师会围绕着考试方向来突出教学内容，将语文知识打散，形成点状的教授形式；相应的，语言知识的系统性教学就被人为的忽略了，在需要的时候（如文言文的基本知识），一股脑的灌输给学生，只让死记硬背，而无法更好的理解课文的内涵。
根据我国新课标改革的要求，中学语文课堂教学中要以提高学生的主动学习能力为目的，逐渐弱化了语文教师的“权威性”，为了提高学生对语文的学习兴趣，语言知识就是一个很好的切入点；但首先要解决的一个问题是，让学生了解语文教学内容中，语言知识“在哪儿”，如何理解和对待语言知识；学生只有了解语言知识在语文教学内容中的分布，才能够进一步有目的的展开学习和掌握。
2.1 字词分布
字词是语言的因子，也是语文教学的基础内容，在日常中评价一个人的语文修养，完全可以从字词的掌握能力上分辨。结合现代语文研究理念，字与词被视为书面符号，这在一定程度上影响了语言知识的传播。换句话说，语文的教学功能被认为是“书面性”的语言知识掌握，与现实生活中存在“二元性”特点。
很显然，将书面语言和生活语言分离开是不科学的，因此在语文教学中必须实现两方面的连接性，教师通过字词的构成、内涵、渊源进行分析，可以让学生了解更多的语文表达技巧。一个典型的例子是成语的运用，如果不了解典故的由来和时代赋予的含义，应用错误的可能性很高。相应的，同样的字、词在不同的环境中，或基于不同的应用目的，都会造成不同的表达含义。
2.2 句式分布
句式是语文教学中最容易忽略的一点，但却是语言知识应用中最基本的环节，在中学阶段已经开始对句式进行初步的讲解，如对主语、谓语、宾语、定语、状语、补语等。但这种知识点不是机械的记忆，而不是一成不变的，要让学生灵活地掌握，并理解其中的奥秘和特色。
2.3 作品分布
参考语文教学中，主要的作品为文学作品，包括现代散文、记叙文、诗词、文言文等内容，当字词或语句进入作品体系中，其所蕴含的意义就更加丰富。笔者结合考试内容中的理解内容来说，学生必须认真阅读和理解文章中的情感、含义，才能对给出的理解选项进行正确判断。
3.中学语文教学中语言知识的教学策略
从建国以来我国的语文教学工作经历了数次改革，学校教育体制也不断完善，由此形成了较为固定的教学方法、教学目的以及教学内容。相对来说，关于语言知识方面的关注却一直不高，在制定相关教学策略方面，也存在较大的分歧。笔者结合自身的实践，浅谈一下进行语言知识教学的策略。
第一，突出实用性。很显然，语文的基础是汉语言，而语言就是一种用来交流和传达的工具，过分的突出学院式的教学方式，只能够满足学生对考分的需要，而不会提供给学生有效的语文知识掌握；要突出实用性，就必须做好深入挖掘和讲评体验两方面的工作，深入挖掘是指无论对字词、句子或文章，要实现与汉语言体系的关联，让学生了解起源、发展和应用方法。而讲评体验则是对学生的学习成果进行意见指导，不要过分的强调对错，要进行有效的点拨、启发。
第二，教学引导性。在课堂教学中展开引导，既是“新课标”的要求，同时也是现阶段改良语文教学的有效途径。引导学生的注意力转移，从单纯地死记硬背转向灵活运用，增加学生的知识面。
参考文献：
[1]陆俭明，李镗.关于中学语文教学中语言知识的分布与教学问题[J].语言文字应用，2002，（1）：27-33.DOI：10.3969/j.issn.1003-5397.2002.01.007.
[2]王嘉栋.关于高中语文教学中语言知识的分布与教学问题[J].语数外学习（语文教育），2013，（6）：5-5.
正态分布知识 第4篇
1 知识覆盖问题
通过对考试科目的学习,学生学习掌握的知识储存在头脑中。由于学生个体之间的学习差异,导致每个学生大脑中储存和掌握的情况具有不确定性。考试的目的在于,通过试卷测试对学生学习情况做出相对确定的评价。科目知识是相对固定的,我们总是将科目知识当作图谱,按图索骥地构造出试卷去测试学生大脑中相关区域中知识的学习掌握情况,即是否掌握,掌握水平如何等。但在目标试卷生成以前,题库中的考题相对与目标试卷而言表现为存在或不存在两种可能形态。基于此,本文引入量子态对考题进行描述、编码和处理。
1.1 试卷分布构成
试卷覆盖是指由计算机考试系统生成一组考题集合(试卷)对测试区域各个知识点的涵盖。试卷的目的是系统地测试和评价试卷覆盖知识区域内学生的学习情况,并对这些数据进行处理,获得详尽而准确的信息,传送到需要这些信息的教师和教学管理部门。
考题是由考点以问题的形式构成的。其中考点与考试科目的相关知识点对应。因此考题的分布是考试系统获取学生学习信息的关键因素之一,其覆盖范围以及分布优化也随之成为研究领域中的重点。
1.2 试卷覆盖问题
试卷由数量有限的考题组成,每道考题包含若干有针对性的知识点所设置的考点。这些考点形成了考题的测试范围。如何组织试卷完成对目标区域的检测,就是考试系统覆盖性的问题。考题分布优化的任务就是在保持试卷结构完整的前提下,动态调整考题组成,以获得尽可能大的覆盖率,也就是使试卷能获得更广泛的信息。在保持考点充分覆盖的前提下,引入以下定义。
假设考察科目所涵盖的知识范围用集合S表示,组成每套试卷的考题用集合Q={qi,i=1,2,...,n}表示,每道考题测试的知识范围为ci,试卷的测试目标知识区域为则理想的探测效果为为试卷有效覆盖知识区域的度量(考点数),d2=‖A‖为目标科目知识区域的度量(知识点数),则称ρ=d1/d2为试卷覆盖度。
覆盖性问题不仅反映了试卷所能测试的范围,而且通过合理的覆盖控制还可以使试卷中的考题组合得到优化,提高试卷的命题质量。
1.3 约束条件
我们采用以下公理化方式对知识覆盖问题进行描述(目标):在考题集合Q={q1,q2,...,qn}中求一个子集T作为试卷,使得满足以下约束条件。
(1)各考题满足试卷总体约束条件;
(2)试卷覆盖度ρ最大;
(3)考题数目‖T‖为最少。
3 量子遗传算法的考题分布优化
试卷的考题分布优化是一个多目标优化问题,需要在考题数与知识覆盖率之间达到平衡。即在保持试卷中考题数目与题型符合命题要求的情况下,尽可能增加试卷的知识覆盖度,使考题获取最广泛的测试信息。
3.1 量子遗传算法
量子遗传算法是量子计算与遗传算法相结合的产物。它以量子计算的一些概念和理论为基础,用量子比特编码来表示染色体,用量子门作用和量子门更新来完成进化搜索[2]。
我们根据考题在科目知识中的分布和权重(主要是指命题价值)按字典序编号,形成知识地图的坐标。由于题库中的考题在目标试卷生成以前具有不确定性,即在目标试卷中既可能存在,也可能不存在。这符合量子力学中的测不准原则。我们对这些编号进行量子编码,并用量子遗传算法在命题规则的约束下进行知识分布优化。
3.1.1 量子编码
1)量子态引入
我们用Dirac算符|↑>和|→>分别表示考题在目标试卷中表现为存在或不存在的两种可能形态。若用“1”表示存在,用“0”表示不存在。考题以叠加态的形式存在。即将一个量子比特可能处于|0>和|1>之间的中间态。可表示为:
其中α和β分别是|0>和|1>的概率幅,且满足下列归一化条件:
式(3)中,|α|2表示量子比特的观测值在|0>状态的概率投影,|β|2表示量子比特的观测值在|1>状态的概率投影。
定义2.1满足式(2)和式(3)的一对实数α、β称为一个量子比特的概率幅,记为[α,β]T。
定义2.2角度ζ(ζ∈[-π/2,π/2])定义为一个量子比特的相位,即ζ=arctan(β/α)。
2)染色体量子编码
我们从题型、章节、考题三个方面对试卷的染色体及种群进行量子编码。
其中,m为染色体的基因个体表示知识分布数量(章节数);k为每个基因的量子比特数表示每道题的属性数量。n个这样的个体构成的种群Q(t)={q1t,q2t,...,qnt}表示试卷,其中n为题型数量。
3.1.2 量子旋转门
量子旋转门是实现演化操作的执行机构。[3,4,5]图1为量子旋转门示意图。
其操作规律如下:
其中量子旋转门为为更新前染色体中的第i个量子比特,(αi',βi')T为更新后染色体中的第i个量子比特,θi为量子门的旋转角,取值为
其中k是一个与算法收敛速度有关的系数,k的取值必须合理选取,如果k的取值过大,算法搜索的网格就很大,容易出现早熟现象,算法易于收敛于局部极值点,反之,如果k的取值过小,则搜索速度太慢甚至会处于停滞状态。因此,本文将k视为一个变量,将k定义为一个与进化代数有关的变量,如其中t为进化代数,max t是根据待求解的具体问题而设定的一个常数,因此k可以根据进化代数合理地调整网格大小。
函数f(αi,βi)的作用是使算法朝着最优解得方向搜索。本文采用表1的搜索策略。其原理是使当前解逐渐逼近搜索到的最佳解,从而确定量子旋转门的旋转方向。其中符号e表示α和β的乘积,即e=α*β,e的正负值代表此量子比特的相位ζ在平面坐标中所处的象限。如果e的值为正,则表示ζ处于第一、三象限,否则处于第二或第四象限。
在表1中,α1和β1是搜索到的最佳节的概率幅,α2和β2是当前解的概率幅,当e1,e2同时大于0时,意味着当前解和搜索到的最佳解均处于第一或第三象限。当|ζ1|>|ζ2|时,表明当前解应朝着逆时针方向旋转,其值为+1,反之为-1。同理可推出其他三种情况。
这样,量子门的更新过程可以描述为qjt+1=G(t)*qjt其中,上标t为进化代数,G(t)为第t代量子门,为第t代某个个体的概率幅,qjt+1为第t+1代相应个体的概率幅。
3.1.3 量子遗传算法流程(见图2)
(1)初始化种群,种群Q={q1,q2,...,qn},其中qj为种群中的第j个个体。令种群中全部的染色体基因(αi,βi)(i=1,2,...,m)都被初始化为这意味着一个染色体所表达的是其所有可能状态的等概率叠加。同时初始化进化代数t=0。
(2)量子坍塌法测量:对处于叠加态的量子位进行观测时,叠加态将因此受到干扰,并发生变化,称为坍塌。扰动使为叠加态坍缩为基本态。确定种群大小n和量子位的数目m,包含n个个体的种群通过量子坍塌,得到P(t),其中为第t代种群的第j个解(即第j个个体的测量值),表现形式为长度m为的二进制串,其中每一位为0或1。(量子坍塌即对Q进行测量,测量的步骤是生成一个[0,1]之间的随机数,若其大于概率幅的平方,则测量结果值取1,否则取0。
(3)群体的适应度评价,保存最优解作为下一步演化的目标值。
(4)算法进入循环。首先判断是否满足算法终止条件,如果满足,则程序运行结束;否则对种群中个体实施一次测量,获得一组解及其相应的适应度。
(5)根据当前的演化目标,运用量子旋转门进行调整更新,获得子代种群。调整过程为根据式(6)计算量子旋转门的旋转角,并应用式(5)作用于种群中的所有个体的概率幅,即更新Q。
(6)群体灾变:当接连数代的最优个体为局部极值,这时就实行群体灾变操作,即对进化过程中的种群施加一个较大扰动,使其脱离局部最优点,开始新的搜索。具体操作为:只保留最优值,重新生成其余个体。
(7)迭代与终止进化代数t'=t+1,算法转至式(2)继续执行,直到算法结束。
4 仿真试验
为了验证算法的有效性,我们对传统遗传算法(CGA)与量子遗传算法(QGA)所获得的考题知识覆盖度进行仿真对比。我们将考题对考查科目所含知识的覆盖问题简化为:用12个半径为200的圆所代表的考题去覆盖一块1200×1000的二维平面内用矩形代表的知识区域;种群个体数P=45,量子位数目m=30,运行600代。算法运行结果对照如下。
从图3所示考题知识分布优化中覆盖度的变化特性可以看出在不同阶段的变化中,量子遗传算法优化性能高于传统遗传算法而且稳定性也更强。
5 结论
在试卷中存在考题不合理分布造成的测试阴影和盲区。通过量子遗传算法优化考题分布,使其在保证命题要求的情况下,用最少的考题取得最大的覆盖率,可以有效地消除探测区域内的阴影和盲点。仿真结果也表明,算法能够较好地完成试卷考题的分布优化,从而有效提高试卷的测试能力,对于实际的试卷命制提供了可靠的解决方案和调整依据。本文提出了创新性的考题分布的优化方法,即确立了试卷的覆盖模型,并以此为目标函数,运用量子遗传算法对考题分布进行优化。
参考文献
[1]张维,何蓉.基于参数估计的遗传算法组卷研究[J].云南民族大学学报,2009,18(3):276-278.
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[3]黄友锐.智能优化算法及其应用[M].北京:国防工业出版社,2008:38-40.
[4]唐欢容,蒋浩,郑金华.量子多目标进化算法研究[J].计算机工程与应用,2007,43(13):48.
高中地理知识点总结：洋流分布 第5篇
1、按成因：
风海流：形成动力为大气运动，规模很大。例如：西风漂流、信风带内的洋流。
密度流：由密度差异引起，多出现在封闭海域与外洋之间。例如：地中海与大西洋之间、红海与印度洋之间。
补偿流：分为水平流和垂直流，多在大洋两岸。例如：赤道逆流、秘鲁寒流。
2、按性质：
暖流：从水温高的海区流向水温低的海区，多由低纬流向高纬或为下降流。典型的有：日本暖流、墨西哥湾暖流。
寒流：从水温低的海区流向水温高的海区，多由高纬流向低纬或为上升流。典型的有：千岛寒流、拉布拉多寒流。
3、按地理位置
赤道流：分布于赤道附近海区。例如：南北赤道暖流、赤道逆流。
大洋流：分布于大洋中心，这种洋流类型较多。
极地流：分布于极地海域。例如：南极绕极流。
沿岸流：分布于沿海海域，受陆地影响大。例如：我国的沿岸流。
影响洋流分布的因素
盛行风是海洋水体运动的主要动力，海水在盛行风的吹拂下，形成规模很大的洋流，因此洋流的流向和分布与地面风带模式及其分布有着密切关系。
除了盛行风以外，还有海陆分布、地转偏向力等因素，它们共同作用，形成了实际的大洋洋流分布，如下图：
洋流的分布规律：
规律一：
在热带和副热带海区（中低纬度），形成了以副热带海区（30°）为中心的大洋环流，北半球呈顺时针方向流动，南半球呈逆时针方向流动。
规律二：
在中高纬度海区，形成了以60°为中心的大洋环流，北半球呈逆时针方向流动。
规律三：
在南极大陆的周围，陆地小，海面广阔。南纬40°附近海域终年受西风影响，形成西风漂流（寒流）。
规律四：
北印度洋海区，受季风影响，冬季洋流呈逆时针方向流动；夏季洋流呈顺时针方向流动。
重要的洋流：
①太平洋：北太平洋暖流、日本暖流（黑潮）、千岛寒流（亲潮）、加利福尼亚寒流、秘鲁寒流、东澳大利亚暖流。
②大西洋：北大西洋暖流、墨西哥湾暖流、拉布拉多寒流、本格拉寒流、加那利寒流、巴西暖流。
③印度洋：西澳大利亚寒流、北印度洋季风洋流。
④环球：西风漂流（寒流）。
正态分布曲线教学感悟 第6篇
正态分布在统计中是很常用的分布，它能刻画很多随机现象，由中心极限定理知一个随机变量如果是众多的、互不相干、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布，服从正态分布的随机变量是一种连续型随机变量，离散型随机变量最多取可列个不同值，它等于某一特定实数的概率可能大于0，人们感兴趣的是它取某些特定值的概率，即感兴趣的是其分布列；连续型随机变量可能取某个区间上的任何值，它等于任何一个实数的概率都是0，通常感兴趣的是它落在某个区问的概率，离散型随机变量的概率分布规律用分布列描述，而连续型随机变量的概率分布规律用分布密度函数曲线描述，高中数学2—3介绍几种常用分布：两点分布、二项分布、超几何分布、正态分布，当”充分大时，二项分布可用正态分布来近似，即二项分布的正态逼近，因此，在教学是有必要跟学生介绍离散型和连续型分布的区别与联系，
正态分布密度函数的推导是十分困难的，教科书采用直接给出正态分布密度函数表达式的方法，这使学生在很长一段时间里不理解正态分布的实际含义，而本节的教学重点应放在引导学生认识正态分布密度曲线的特点及其所表示的意义上，教学中可采用直观方法：高尔顿板实验的方法（可利用计算机模拟）引入正态分布密度曲线，可以帮助学生理解正态分布曲线的来源，当然，教师要引导学生，在实验中，小球到底落到哪个球槽内，是很多次与小木块随机碰撞结果的叠加，并引导学生观察小球落到球槽的分布情况，使学生注意投放一个小球实验是一个随机实验，重复投放”个小球，相当于做了”次独立重复实验，随着实验次数的增加，频率分布直方图的形状会越来越像一条钟形曲线，
2.正态分布密度曲线及函数的定义、性质
给出正态曲线图像后，虽然看上去很美，但教材上是不会说明这个密度函数是通过什么原理推导出来的，所以学生会搞不明白数学家当年是怎么找到这个概率分布，这个概率分布有何重要作用，因此，教学中，教师可以介绍正态分布曲线从发现到被人们重视进而广泛应用几百年的精彩历史！教材中列举了许多服从正态分布的随机变量的例子，比如某一地区同龄人群身高的分布，打靶所中环数等，教师可以引导学生分析为什么它们都近似服从正态分布，以加强学生对随机变量产生背景的印象，要的数学常量兀，e都出现在这公式中，数理统计领域中这个公式最能让人感觉到“神”的存在，因为这个分布戴着神秘面纱，在自然界中无处不在，让你在纷繁芜杂的数据背后看到隐隐的秩序！教师可以结合研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、某区间上的最值等方面来分析密度函数的性质，
数形结合在正态曲线的教学中尤为重要，正态曲线的特点包括图像与坐标轴之间的关系、单峰性、对称性、峰值的位置与大小、图像与坐标横轴围成的面积，这里前四个特点都可以根据函数曲线的形状及正态密度函数表达式得到，最后一个需要利用概率的性质，教材并没有给出具体证明，教师可结合几何画板直观展示两个参数u，σ对正态分布密度曲线位置、形状的影响，服从正态分布Ⅳ（u，σ2）的随机变量服从3σ原则，
3.全国卷中的正态分布
在长时间的福建高考数学卷中，几乎没见正态分布题目的身影，2016年起，我省高考将恢复使用全国卷，纵观近些年全国卷，正态分布亮相多次，有单独知识点考查，也有与其它知识融会贯通，这不得不引起我们的思考、重视，教学中，要注重解题方法与技巧，
例（2012年高考新课标全国卷·理15）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件l或者元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布Ⅳ（1000，502），且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的为——，
考点正态分布曲线的特点及其曲线所表示的意义
专题计算题；基础题
数学思想方法数形结合
分析先根据正态分布的意义，知三个电子元件 的使用寿命超过1000小时的概率为1/2，所求事件“该
部件的使用寿命超过1000小时”当且仅当“超过1000小时时，元件l、元件2至少有一个正常”和“超过1000小时时，元件3正常”同时发生，由于其为独立事件，故分布求其概率再相乘即可，
反思本题主要考察了正态分布的意义，正态密度曲线的对称性，独立事件同时发生的概率运算，对立事件的概率运算等基础知识，
例（2014年高考新课标I全国卷·理18）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图，
（I）求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差；
考点正态分布曲线的特点及其曲线所表示的意义；离散型随机变量的期望与方差，
专题计算题；概率与统计，
数学思想方法数形结合，
分析由z服从正态分布Ⅳ（200，150），利用3σ原则求出P，
反思本题主要考察离散型随机变量的期望和方差，以及正态分布的特点及概率求解，考察计算能力，
4.结语
正态分布知识 第7篇
关键词 凯利优化模型；对数正态分布；最优投资比例；财富增长速率
中图分类号 F830.59 文献标识码 A
The Investment Strategy of Kelly Criterion Based
on the Stock Price Following Lognormal Distribution
LU Shijie， YANG Chaojun
（Antai College of Economics and Management， Shanghai Jiaotong University， Shanghai 200052，China）
Abstract Based on the idea of centralized investment strategy， we combined the stock price following lognormal distribution with Kelly Criterion， so that it can be used in stock investment more effectively. In order to achieve the fastest wealth growth rate， we deduced the mathematical relationship between the optimal investment proportion and the expectation return and standard deviation of a stock.
Key words Kelly Criterion； lognormal distribution； optimal investment proportion； wealth growth rate
1 引 言
集中投资策略作为股票投资中的主流策略之一源于一种极为简单的思想：在大概率事件上下大赌注.即在市场非完全有效的前提下，寻找少数最具投资价值的股票，将注意力集中在这些股票上，密切关注和研究，然后对它们进行大量集中投资，这样不仅能获得超额收益，反而会降低风险.目前，集中投资策略已经得到了理论的论证.
Kelly（1956）提出了凯利优化模型[1]，为集中投资策略提供了理论支持.对于服从二项分布的赌博游戏，即只有成功和失败两种结果的游戏，如果成功则赢得双倍赌注，概率为q，若失败则输掉全部赌注，那么理性的玩家每次下注比例应为b=2q-1，从而使自身财富获得最快增长.
Breiman（1961）对凯利优化模型进行了扩展[2]，对于任意给定的固定财富目标，凯利策略使实现这一目标所需的游戏次数渐进最少；对于每次获胜概率不相同的赌博游戏，凯利策略同样适用.Thorp则在实践中证明了凯利优化模型，把凯利优化模型分别运用到了21点游戏（1966）[3]，其他赌博游戏（1969）[4]和现代组合理论（1972）[5].
Rotando和Thorp（1992）证明了基于连续分布运用凯利优化模型得出的财富增长速率存在唯一最大值，根据凯利优化模型投资者应该把资产的117%长期投资于标普500指数，即投资者应该以无风险利率借贷17%的资金来投资[6].
Ziemba （2005） 提出对投资大师们具有右偏属性的资产组合进行评估应该用基于夏普比率的一般正态分布进行修正，并深入讨论了凯恩斯、巴菲特、索罗斯等投资大师们对凯利优化策略的运用[7].Fuller （2006） [8]和Lee （2006） [9] 则分别讨论了Morningstar和Motley Fool对凯利优化模型的运用.
Poundstone （2005） 的《财富公式》一书详细介绍了投资者在投资实践中面临的一些限制，如对多资产面临的多因素难以理解，短期风险，交易成本等，使得完全凯利优化策略难以实施[10].
本文在以上研究的基础上，基于集中投资策略的思想对凯利优化模型进行了优化，使其能更好地运用于股票投资实践中，把股票价格服从对数正态分布与凯利优化模型相结合，推导出投资者个股投资的资产配置比例与投资者对个股投资收益率的期望和标准差预测值之间的数学关系，从而实现最快财富增长速率的目标.本文主要创新点在于把股票价格服从对数正态分布的假设引入到了凯利优化模型，代替原有的二项分布假设（只有成功和失败两种结果），使得基于凯利优化模型的集中投资策略更加适用于股票投资.
2 标准凯利优化模型
凯利优化模型是一种服从二项分布的赌博游戏的最优下注策略.所谓服从二项分布的赌博游戏，即玩家未来只面临两种结果“成功”和“失败”；如果成功，玩家获得双倍赌注，概率为q>50%；如果失败玩家将输掉所下赌注.假设玩家每次下注比例为b，那么他第n次游戏后的财富期望值
标准凯利优化模型仅仅是对服从二项分布的赌博游戏的最优下注策略进行了分析和讨论.但是在股票投资实践中，投资者面临的未来股票价格可能性远不止两种结果，标准凯利优化模型难以直接运用于股票投资实践中.本文则基于股票价格服从对数正态分布的假设把凯利优化模型运用到了股票投资实践中.
3.1 研究假设
3.1.1 假设股票价格遵循几何布朗运动
根据BlackScholes期权定价公式假设，股票价格服从漂移系数和波动系数均为常数的几何布朗运动，即
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dS=μSdt+σSdz.
其中，S表示股票价格，μ表示股票在单位时间内以连续复利表示的期望收益率（又称预期收益率），σ表示证券收益率单位时间的标准差，简称证券价格的波动率，z遵循标准布朗运动.因此，这是一个漂移率为μS、方差为σ2S2的It过程，也被称为几何布朗运动.
从经济学意义上讲，股票价格服从几何布朗运动，可以表示为股价受两种因素共同作用：一种因素是股票期望收益率的漂移作用μSdt，另一种因素是股价受随机作用力的冲击作用σSdz（见图2）.
4.2 结论与启示
根据模型的计算结果可以得出结论，只有当期望收益率大，收益率方差小时该项投资才能对投资者的总资产增长起到显著的贡献作用；而如果期望收益率较小，收益率方差较大时，最优投资比例也相应小，那么该项投资对投资者的总资产增长的贡献作用微乎其微.
所以在股票投资实践中，投资者应该集中精力去寻找市场上少有的具有高预期收益率和高确定性的股票，然后根据凯利优化策略进行集中投资长期持有.这样投资者才能获得高的超额投资收益，实现快速的财富积累.
本文提出的基于股票价格服从对数正态分布的凯利优化模型，正是在投资者对股票进行了深入分析研究有了对股票未来收益率预期之后，可以直接作为其投资实践中资产配置比例的指引.
不过，尽管理论上按照凯利优化策略进行投资能给投资者带来最快财富增长，但是在投资实践中也存在一些因素限制了完全凯利优化策略的运用：
1）机会成本：当投资者拥有两个具有相同期望收益率和方差且相互独立的投资机会时，最优的方法是对两个投资机会投入相同的资金f*，为了避免破产的可能性，必须有2f*<1，所以f*<0.5.同理，如果存在n个相同的投资机会，每个机会投资比例应该满足f*<1/n，那么这一投资比例就很可能低于只有一个投资机会时运用凯利优化模型得到的最优投资比例.
2）风险容忍度.完全凯利优化策略对于许多投资者具有过高风险，如果用“部分凯利优化策略”，即f=cf*，对于他们会更加合适.
3）低于预期. “真实”场景可能甚至会差于保守估计的下限，此时如果投资者按照自己的预计情况来进行投资，他的投资比例就会高于实际最优投资比例，他不仅会面临更高的风险，投资收益也会更低，而采用“部分凯利优化策略”则可以给他带来一定的保护作用.
4）“黑天鹅”事件.人们倾向于忽视那些具有重大影响力的偶然事件产生的影响，这些事件将显著地降低最优投资比例.如果不考虑它们，投资者同样将面临投资比例过高的风险.一个有效的把“黑天鹅”事件考虑进模型的方法是用场景最优随机规划模型，即假设一个事件发生的概率并指定它的结果但并不假设这件事情具体是什么.Geyer和Ziemba（2008）在西门子奥地利抚恤基金中运用了这一方法[17].
5）长期投资.凯利优化模型是一个渐进最优的投资策略，只有进行足够长时间的投资，它的优势才能得以显现.
参考文献
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