等差数列求和范文

等差数列求和范文（精选12篇）

等差数列求和 第1篇

一、公式求和法

当一个数列为等差或等比数列时, 我们可以用公式法解决.

例1求数列1, 4, 7, 10, …, 3n+1的各项之和.

分析由通项公式3n-2知, 此数列是一等差数列, 可用等差数列求和公式求解, 但要注意是前n+1项之和.

解由题意, an=3n-2 (n∈N*) ,

∴数列{an}是等差数列, 从而

变式训练1 求数列的前n项和.

二、拆项求和法

当一个数列是等差数列与等比数列的和差形式时, 我们可以用拆项法解决

例2 求的前n项和.

分析观察通项可以发现, 它是等差数列与等比数列的和的形式, 所以我们用拆项法.

变式训练2求数列1, 11, 111, 1111, ……的前n项和.

三、错位相减法

当一个数列是等差数列与等比数列的积的形式时, 我们可以用错位相减法解决.

分析 由通项公式可知, 它是等差数列与等比数列的积的形式, 所以我们考虑用等比数列求和的方法求解.

变式训练3 已知数列{an}, an= (2n-1) an-1 (a≠0) , 求Sn.

答案 a=1时, Sn=n2.

四、裂项相消法

当一个数列的通项可以分裂成两个式子的差时, 我们常用裂项相消法.

例4 求数列的前n项和.

分析 注意到通项可以化简, 并且其可以裂项, 所以我们考虑用裂项相消法.

五、并项求和法

当一个数列的相邻两项可以合并成一个更加简单的式子时, 我们用并项求和法.

例5 求值:1002-992+982-972+…+22-12.

分析 注意到该数列相邻两项可以用平方差公式化简, 所以我们先把相邻两项化简再求和.

变式训练5 求和:-1+3-5+7-9+…+19-21.

答案 -11.

六、倒序相加法

当一个数列中与首尾两项“等距离”的项具有对称关系时, 我们常用倒序相加法.

例6 等差数列{an}的前4项和为a, 末4项和为b, 项数为n, 求Sn.

分析 注意到前4项与末4项是对称的四对, 我们可考虑倒序相加法.

解 由题意a=a1+a2+a3+a4,

b=an+an-1+an-2+an-3,

将两式相加得a+b=4 (a1+an) ,

变式训练6 Sn=Cn0+2Cn1+3Cn2+…+ (n+1) Cnn.

等差数列求和教案 第2篇

教学目标

1.掌握等差数列前

项和的公式，并能运用公式解决简单的问题.项和的定义，了解逆项相加的原理，理解等差数列前

项和公式（1）了解等差数列前

推导的过程，记忆公式的两种形式；

（2）用方程思想认识等差数列前 公式与前

项和的公式，利用公式求 ；等差数列通项项和的公式两套公式涉及五个字母，已知其中三个量求另两个值；

（3）会利用等差数列通项公式与前 项和的公式研究 的最值.2.通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题，解决问题的一般思路和方法.3.通过公式推导的过程教学，对学生进行思维灵活性与广阔性的训练，发展学生的思维水平.4.通过公式的推导过程，展现数学中的对称美；通过有关内容在实际生活中的应用，使学生再一次感受数学源于生活，又服务于生活的实用性，引导学生要善于观察生活，从生活中发现问题，并数学地解决问题.教学建议（1）知识结构

本节内容是等差数列前 前

项和公式的推导和应用，首先通过具体的例子给出了求等差数列项和的思路，而后导出了一般的公式，并加以应用；再与等差数列通项公式组成方程组，共同运用，解决有关问题．（2）重点、难点分析

教学重点是等差数列前

项和公式的推导和应用，难点是公式推导的思路．

推导过程的展示体现了人类解决问题的一般思路，即从特殊问题的解决中提炼一般方法，再试图运用这一方法解决一般情况，所以推导公式的过程中所蕴含的思想方法比公式本身更为重要．等差数列前 变用公式、前 项和公式有两种形式，应根据条件选择适当的形式进行计算；另外反用公式、项和公式与通项公式的综合运用体现了方程（组）思想．

高斯算法表现了大数学家的智慧和巧思，对一般学生来说有很大难度，但大多数学生都听说过这个故事，所以难点在于一般等差数列求和的思路上．（3）教法建议

①本节内容分为两课时，一节为公式推导及简单应用，一节侧重于通项公式与前 式综合运用.②前 项和公式的推导，建议由具体问题引入，使学生体会问题源于生活.项和公

③强调从特殊到一般，再从一般到特殊的思考方法与研究方法.④补充等差数列前

项和的最大值、最小值问题.项和公式.⑤用梯形面积公式记忆等差数列前

等差数列的前教学目标

1.通过教学使学生理解等差数列的前 项和公式教学设计示例

项和公式的推导过程，并能用公式解决简单的问题.2.通过公式推导的教学使学生进一步体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思想方法，通过公式的运用体会方程的思想.教学重点，难点 教学重点是等差数列的前 教学用具

实物投影仪，多媒体软件，电脑.教学方法

讲授法.项和公式的推导和应用，难点是获得推导公式的思路.教学过程 一.新课引入

提出问题：一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放100支.这个V形架上共放着多少支铅笔？

问题就是（板书）“ ”

这是小学时就知道的一个故事，高斯的算法非常高明，回忆他是怎样算的.（由一名学生回答，再由学生讨论其高明之处）高斯算法的高明之处在于他发现这100个数可以分为50组，第一个数与最后一个数一组，第二个数与倒数第二个数一组，第三个数与倒数第三个数一组，„，每组数的和均相等，都等于101，50个101就等于5050了.高斯算法将加法问题转化为乘法运算，迅速准确得到了结果.我们希望求一般的等差数列的和，高斯算法对我们有何启发？ 二.讲解新课（板书）等差数列前 1.公式推导（板书）项和公式

问题（幻灯片）：设等差数列 的首项为，公差为，由学生讨论，研究高斯算法对一般等差数列求和的指导意义.思路一：运用基本量思想，将各项用 和 表示，得，有以下等式，问题是一共有多少个，似乎与 的奇偶有关.这个思路似乎进行不下去了.思路二： 上面的等式其实就是，为回避个数问题，做一个改写，两

式左右分别相加，得，于是有：.这就是倒序相加法.思路三：受思路二的启发，重新调整思路一，可得，于是

.于是得到了两个公式（投影片）： 和.2.公式记忆

用梯形面积公式记忆等差数列前 等差数列前 项和的两个公式.项和公式，这里对图形进行了割、补两种处理，对应着

3.公式的应用

公式中含有四个量，运用方程的思想，知三求一.例1.求和：（1）；

（2）（结果用 表示）

解题的关键是数清项数，小结数项数的方法.例2.等差数列 中前多少项的和是9900？

本题实质是反用公式，解一个关于 三.小结

1.推导等差数列前 的一元二次函数，注意得到的项数 必须是正整数.项和公式的思路；

数列求和举例 第3篇

数列求和的常用方法有：公式法、分组求和、裂项相消法、倒序求和、错位相减法等，这些方法具有一定的通性，是必须掌握的，下面笔者举例谈几点数列求和的方法：

例1：求和，1+2?2+3?22+……+n?2n-1

解析：本题是典型的运用错位相减法的题型，大多数学生看到此结构，均会用错位相减进行求和，还有其它方法吗？从形式上看，n?2n-1=（xn）1(x=2)，由此得到另一种解法。

解：设：f(x)=x+x2+……+xn=

则：f1(x)=1+2x+2x2+3x2+……+nxn-1

∴1+2?2+3?22+……+n?2n-1

=

=[1-(n+1)2n](-1)+(2-2n+1)=-1+(n+1)2n+2-2n+1=2n(n-1)+1

点评：本例运用导数，进行数列求和，其方法具有一定的迁移性，对学生数学思维的提高有一定的帮助。

例2：求和，Sn=1-3+5-7+……+（-1）n-1(2n-1)

解析：本题解法多种多样，由（－1）n-1不难想到，对n进行奇、偶性的讨论，在教学发现大多数的学生，分别计算n为奇数及偶数的情形，n为偶数，计算不易出错，但n为奇数时，求和时次数是易错点。若能利用n为偶数时，n-1为奇数，计算量会降低许多。

解：n为偶数时：

Sn=1-3+5-7+……+（2n-3）-(2n-1)

=(1-3)+(5-7)+……+[（2n-3）-(2n-1)]

=(-2)+(-2)+……+（-2）=(-2)×=-n

个

n为奇数时，Sn=Sn-1+an=-(n-1)+(-1)n-1(2n-1)=n(n≥3)

n=1时，上式成立，∴Sn=

例3：在一个圆直径的两端写上自然数1，将此直径分得的两个半圆都对分，在每一个分点上，写上该点相邻两数之和，然后把分得的四个1/4圆周各自对分，在所得分点上写上该点相邻两数之和，如此继续下去，问这样做第几步后，圆周所胡分点上数字之和Sn是多少？

解析：本题在实际教学中，学生做对的人数极少，大多数学生关注于分点的数字，想将其通项写出，但又不得其法，若能注意到求Sn，即其通项这一基本方法思想，运用求通项公式中，寻找递推式的方法可得下面的解法。

解：设第n步之后，圆周所有分点上数字之和为Sn，则第n-1步之后，圆周所有分点之数字之和为Sn-1 (n≥2)显然n=1时S1=2，

又Sn=Sn-1+2Sn-1=3Sn-1

∴{Sn}是以2为首项，3为公比的等比数列

∴Sn=2?3n-1

例4：推导等比数列求和公式

已知数列{an}为等比数列，分比为q，其前几项和为Sn，求Sn

解析：教材中运用的是错位相减法，求和，在这里本文给出另一种常用方法，裂项求和。

解：∵{an}是等比数列，首项为a1，公比为q

∴an=a1qn-1=（qn-1-qn）（q≠1）

∴Sn=a1+a2+……+an

=[(1-q)+(q-q2)+……+( qn-1-qn)]

=

当q=1时，Sn=na1

数列求和十法 第4篇

一、周期法

数列是一种特殊的函数, 所以数列中也必然存在着周期问题.有些数列题, 表面上看与周期无关, 但实际上隐含着周期性, 一旦揭示了其周期性, 问题便迎刃而解.

例1数列{an}中, a1=1, a2=2, 若对一切n∈N*有anan+1an+2=an+an+1+an+2, 且an+1an+2≠1, 则该数列前2008项的和S2008的值是_______.

解:由a1=1, a2=2, 得a3=3, 所以S3=6.

两式相减得an+1an+2 (an+3-an) =an+3-an, 又an+1an+2≠1, 所以an+3=an, 故周期T=3.

所以S2008=S2007+a2008=669S3+a1=4015.

二、并项法

有些题目可根据题目特点合理并项, 从而简化运算.

例2已知数列{an}的前n项和Sn=1-5+9-13+…+ (-1) n-1· (4n-3) .求S16的值.

解:把和式依次两项一组, 分为8组, 并项求和.

三、裂项相消法

把数列的通项分裂成几项的和或差, 求和时一些正负项相互抵消, 于是前n项的和变成首尾若干项之和, 这一求和方法称为裂项相消法.

四、拆项分组法

把数列的每一项分拆成几项, 然后重新组合, 使其化归为特殊数列 (可直接用等差数列、等比数列求和公式, 正整数平方和公式或无穷递缩等比数列求和公式) , 再进行求和, 这一求和方法称为拆项分组法.

例4求数列1×n, 2 (n-1) , 3 (n-2) , …, (n-1) 2, n×1的和.

解:由ak=k (n-k+1) =nk-k2+k (k=1, 2, …, n) .

例5数列{an}的相邻两项an, an+1是方程的两根, 又a1=2, 求无穷数列c1, c2, …, cn, …所有项的和.

故数列{a2n-1}是首项为2, 公比为的等比数列;数列{a2n}是首项为, 公比为的等比数列.

五、错位相减法

高中数学教材中推导等比数列前n项和公式的思想方法, 为我们提供了一种数列求和的重要方法, 即错位相减法.这种方法求解“等差数列{an}与等比数列{bn}对应项之积构成的数列{anbn}的求和问题”, 很奏效, 因为SnqSn (Sn为数列{anbn}的前n项和, q为数列{bn}的公比) 必是一个易于求和的形式.

得

六、倒序相加法

如果一个数列, 与首末等距离的两项之和等于首末两项之和, 则可把“正着写的和式”与“倒着写的和式”相加, 得到一个常数列的和, 这种求和方法称为倒序相加法.

七、导数法

抓住数列通项的结构特征, 启迪直觉, 类比“记忆模式”, 精心联想, 构造恒等式, 借助导数, 获得新的恒等式, 出奇制胜.

例8已知n∈N*, 求和Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn

解:由 (1+x) n=1+Cn1x+Cn2x2+…+Cnnxn, 两边求导得

令x=1, 得Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn=n·2n-1.

评注:此题也可用倒序相加法.

八、数学归纳法

有些题目可通过求出{an}的前几项之和, 猜想出Sn, 然后用数学归纳法给予严格的证明.

例9设数列{bn}的前n项之和为Sn, 满足3 (Sn+nbn) =1+2bn (n∈N*) , 求Sn.

解:因为S1=b1, 由3 (Sn+nbn) =1+2bn, 得3 (S1+S1) =1+2S1, 所以.

而b2=S2-S1, 所以3[S2+2 (S2-S1) ]=1+2 (S2-S1) , 得.

下面用数学归纳法加以证明.

(1) 当n=1时, 结论显然成立.

(2) 假设n=k时, 结论成立, 即.

由题设有3[Sk+1+ (k+1) bk+1]=1+2bk+1, 得.

又因为Sk+1=Sk+bk+1, 所以, 解得.

这就是说n=k+1时, 结论亦成立.

根据 (1) 、 (2) , 对于n∈N*, 总成立.

九、通项法

通项法是指求出数列的通项公式, 借助数列通项公式研究其规律, 进而解决问题的方法, 是一种重要的数列求和方法.

所以, 原式, 故选 (C) .

例11已知等差数列{an}的公差d≠0, 在{an}中取出部分项ak1, ak2, ak3, …, akn恰好为等比数列, 其中k1=1, k2=5, k3=17.求数列{kn}的前n项和Sn.

因为 (a1+4d) 2=a1 (a1+16d) a1=2d, 所以ak2=6d, 所以q=3.

所以akn=a1+ (kn-1) d= (kn+1) d, akn+1= (kn+1+1) d.

所以kn+1=2×3n-1, 所以kn=2×3n-1-1, 所以Sn=3n-n-1.

十、综合法

将自己置身于解题的更高境界:灵活运用数学思想方法, 高屋建瓴, 把握知识的本质和内在规律, 迅速找到突破口, 机智转化, 绕过难点, 顺利获解.

等差数列求和教学设计 第5篇

拓展练习：1、已知函数y=3x2-2x,数列{《数列求和》教学设计及反思 }的.前n项和 为sn ，点(n, sn)均在函数y=f(x)的图象上。

(1)、求数列{an}的通项公式;

(2)、设是数列{bn=《数列求和》教学设计及反思 }的前n和《数列求和》教学设计及反思，求使得Tn〈《数列求和》教学设计及反思对所有都成立的最小正整数m。

五、方法总结：

公式求和：对于等差数列和等比数列的前n项和可直接用求和公式.

拆项重组：利用转化的思想,将数列拆分、重组转化为等差或等比数列求和.

裂项相消：对于通项型如《数列求和》教学设计及反思(其中数列《数列求和》教学设计及反思为等差数列) 的数列,在求和时将每项分裂成两项之差的形式,一般除首末两项或附近几项外,其余各项先后抵消,可较易求出前n项和。

错位相减：若一个数列具备有如下特征:它的各项恰好是由某个等差数列与某个等比数列之对应项相乘所构成的,其求和则用错位相减法 (此法即为等比数列求和公式的推导方法)。

六、作业布置：

课本P49：第8题

七、教学反思

1.我从两个方面设计变式题。其一，横向变化，其二是纵向变化。横向变化是：从公式→例题各个侧面来看求和，让学生开拓了视野，展开丰富的联想：分组求和可分两组，是否还有分三组来解的题?裂项相消法求和有分母裂项求和，是否还有分母有理化进行求和等。纵向变化：条件削弱，问题复杂，难度提升。从具体到抽象，从特殊到一般螺旋式的上升。横向变化，可看出思维变异的多样性。这种思维变异的多样性在今后的学习过程中将要面临的。如何理解这种数学的合理性呢?学生的学习的本质是继承、借鉴、发展、创新，而问题变式教学恰是在有实例的支持下，继承了思维变异的常用技巧，借鉴此技巧、寻求更多的变异，如分组成三个或更多个的式子求和，使学的思维得到充分的发展，从而取得创新的目的，这就是教学中所要取得的效果。从纵向变化，可看出思维变异的深入性。问题的层层深入，使问题的一般规律掀起盖头，让学生体验了思维向纵深发展的规律。

2.反思求和公式方法的总结，我也发现了种种遗憾.如学生的解法均缺乏根据，但教师赞赏学生这种善于通过类比联想而发现的创造性解法，为了保护学生的积极性和创造性，没有进行否定，而是让学生课下思考，是否妥当?需要研究.又如裂项相消法等，都是由教师提出来的，若是能由学生主动提出就更好了.为此急需加强对学生提出问题的能力的训练和培养，

3.利用课堂教学的机会，有意识地将数学研究的某些思想方法渗透到教学过程中，课堂教学不能单纯传授知识，应在传授知识的同时注重能力的培养、在上述思想的指导下，这堂课的教学过程中，每个例题都让学生体会到通项化归的思想方法。

再论一类数列求和问题 第6篇

[关键词] 数列；求和；列项；（-1）n

数列是高中数学的重要内容，是高考的热点，也是进一步学习数学的基础，因此高考对这部分知识的考查的题型多样. 在必修部分内容中解答题的难度也是较高的. 纵观近几年的高考，关于数列的考查主要有以三个方面的内容：一是数列本身的知识，主要是等差数列、等比数列概念、通项公式、性质、前n项和公式；二是数列与其他知识的交汇，如与函数、方程、不等式、三角函数、解析几何等知识的结合；三是数列的应用问题，主要是增长率、分期付款等.数列的通项以及求和问题是重点，也是这几年考试的热点，无论是期中、期末还是会考、高考，都是高中数学的必考内容之一. 2015年3月青岛市一模考试数学理科卷19题与2014年山东高考数学理科卷第19题如出一辙，把大家又一次聚焦到了数列裂项求和符号调节器（-1）n的作用上，对此本文尝试做一些分析.

首先，我们从2015年3月青岛市一模考试数学理科卷19题目和解法入手.

已知数列{an}是等差数列，Sn为{an}的前n项和，且a10=19，S10=100；数列{bn}对任意n∈N*，总有b1·b2·b3·…·bn-1·bn=an+2成立.

拓展思考一：通项公式具有什么特点时适合裂和？

观察该数列通项公式cn=（-1）n·，不难发现，分母2n-1与2n+1的和恰好为分母4n，适合裂和.

又如：2013年高考数学江西卷理科第17题的第二问正是这样一个混合型的裂解，在第一问中已经求出an=2n，第二问中令bn=，数列{bn}的前n项和为Tn. 要求证明：对于任意的n∈N*，都有Tn<.

在平日教学过程中，只要我们善于发现，不断总结，总会有“创新的火花”在闪烁，这些难能可贵的见解也是对课堂教学的补充与完善，可以不断拓宽教师的教学思路，提高教学水平，促进教师的专业化成长.

数列求和问题的探究 第7篇

一牢固掌握数学基础知识

此外, 还要注重培养学生敏锐的观察力, 让学生能够洞察问题的本质, 能够建立起相应的数学模型, 将简单个例普遍化。

二利用数列基本公式进行求和

在牢固掌握数列知识的基础上, 遇到数列求和问题时, 可首先分析是否可以套用公式进行解答, 是数列求和问题中较为容易的一类。在利用数列基本公式进行数列求和时, 要注意公式的准确性, 如果公式不正确, 答案自然也南辕北辙。因此, 学生一定要认真记忆公式。例如, 下面的问题就可以采用公式进行求和。

思路分析:通过分组, 直接用公式求和。

在解答这个问题时, 要注意对公比q=1或q≠1讨论, 从而运用等比数列前n项和公式对问题正确解答。

利用公式法求和是数列求和问题中较为简单的一种, 一般来说, 这类题型可以直接套用公式, 或只需要简单的分类合并, 再套用公式进行解答。在教学过程中, 教师应要求学生牢固掌握这类解题方法, 在考试中, 这类问题是很容易得分的题型。

三采用错位相减法求和

错位相减法是一种常用的数列求和方法, 应用于等比数列与等差数列相乘的形式。如An=Bn Cn, 其中Bn为等差数列, Cn为等比数列;分别列出Sn, 再把所有式子同时乘以等比数列的公比, 即k Sn;然后错一位, 两式相减即可。当有待定系数时, 要进行分类讨论。乘以公比, 错位相减, 数准项数, 计算细心, 确保结论正确。错位相减法求和是数列求和的重要方法, 是高考的常考重点。

错位相减法比公式法的难度有较大提高, 是学生得分较低的一类题型, 在解题过程中, 要注意对问题分析并寻找规律, 避免漏项或书写错误, 从而得到问题的正确答案。教师在讲解这个方法时, 可以结合学生常犯的错误, 并按照一定的流程进行讲解, 让更多的学生掌握这种求和方法。

四借助裂项相消法求和

利用解析式变形, 将一个数列分成若干个可以直接求和的数列, 进行拆项重组, 或将通项分裂成几项的差, 通过相加过程中的相互抵消, 最后剩下有限项的和。在学习过程中, 应当教育学生掌握“裂项相消求和法”的几个特征: (1) 通项的分母是因式相乘的形式; (2) 每项裂成两个式子的差; (3) 相邻两项裂开后, 前一项的后式与后一项的前式互为相反数; (4) 裂项的关键是紧抓相邻两项的相同项。裂项相消法求和是一种非常常见的题型, 也是高考中的热点考题。相对于其他题型来说, 这种题目的难度大, 有一定的思维能力, 对于培养学生的思维能力有很大帮助。

在解答此类问题时, 应当多写一些项, 然后进行观察, 才可能看出抵消的规律, 从而使用该方法解决求和问题。

五借助倒序相加法求和

在数列求和中, 如果和式到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联, 那么可考虑选用倒序相加法。

例题:设数列{an}是公差为d, 且首项为a0=d的等差数列, 求和:Sn+1=a0Cn0+a1Cn1++anCnn

利用倒序相加法解决数列求和问题, 大都是利用等差数列、等比数列以及函数的重要性质, 从而顺利地解答问题。在使用倒序相加法时要注意不断变形, 然后用知识具备的特有性质作为条件把和求出。

六结束语

综上所述, 作为高中数学重点内容的数列求和问题, 其解答方法有很多种, 如公式法、错位相减法、裂项相消法以及倒序相加法, 此外, 还可以利用其他求和法, 如归纳猜想法、奇偶法等。在面对较为复杂的数列求和问题时, 应当认真分析, 将复杂的问题转化为我们熟悉的等比、等差数列, 然后根据题型采取不同的解答方法。解题过程中, 应当掌握每个方法的本质, 而不能生搬硬套, 否则问题答案南辕北辙。要想达到良好的学习效果, 教师与学生需要互相配合, 才能不断提高教学效率和教学质量。

[责任编辑:林劲]

参考文献

[1]王莹玉.浅谈高中数学教学中学生思维能力的培养[J].科教新报 (教育科研) , 2011 (9)

[2]於青.高中数学教学中学生解题能力的培养探析[J].语数外学习 (数学教育) , 2013 (2)

[3]赵翠娥.探讨高中数学教学如何培养学生的解题能力[J].成功 (教育) , 2012 (24)

[4]张海芳.新课改下高中数学“高效课堂”的构建[J].中国科教创新导刊, 2011 (21)

数列求和的方法与技巧 第8篇

数列求和的指导思想:看通项, 定方法.先求出数列的通项公式, 然后根据数列通项的具体形式决定用哪种方法.

一、公式法

等差数列求和公式:

等比数列求和公式:

补充公式:12+22+…+n2=1/6n (n+1) (2n+1)

13+23+…+n3=1/4n2 (n+1) 2

典型例题:例1.数列{an}满足an=n2+3n-1 (n∈N*) , 求数列{an}的前n项和Sn.

分析:数列{an}的通项由“n2”和“3n-1”两部分组成, “n2”可以用12+22+…+n2=1/6n (n+1) (2n+1) 这个公式求和 , “3n-1”可以用等差数列求和公式求和 , 因此本题用公式法求和较简单.

二、错位相减法

形如{an·bn}, 其中一个是等差数列, 另一个是等比数列, 此类题型用错位相减法求和.

典型例题:例2.数列{an}满足an= (2n-1) ·3n (n∈N*) , 求数列{an}的前n项和Sn.

三、裂项相消法

形如:此类题型用裂项相消法求和.

典型例题:例3.数列{an}是各项都不相等的正项等比数列且an≠1 (n∈N*) , 求证:

四、倒序相加法

数列{an}的第一项与倒数第一项的和是个定值, 第二项与倒数第二项的和是个定值, 以此类推, 此类题型用倒序相加法求和.

典型例题:例4.函数f (x) 对任意x∈R都有f (x) +f (1-x) =1/2, 且Sn=f (0) +f (1/n) +f (2/n) +…+f (1) , 求Sn.

五、分组求和法

若一个数列的通项由几个不同的数列组合而成, 并且可以把这个数列分解成几个能求和的式子, 此类型用分组求和.

典型例题:例5.数列{an}满足an=2n+2n+1 (n∈N*) , 求数列{an}的前n项和Sn.

分析:数列{an}可以分解成两部分“2n”和“2n+1”, “2n”是等比数列, “2n+1”是等差数列, 所以可以分别用等比数列和等差数列求和公式求和.

六、并项求和法

一个数列本身并没有太明显的规律, 但是把数列的某些项重新组合后有规律 (如:相邻项组合, 奇数项与偶数项分别组合等) , 并且组合后可以求和, 此类型题用并项求和.

典型例题:例6.求和:Sn=1-3+5-7+9-11+…+ (-1) n-1 (2n-1) .

由以上六个例题, 不难发现求数列前n项和的一般步骤: (1) 求出数列的通项公式; (2) 观察数列通项公式的形式 , 决定用哪种方法; (3) 化简、整理, 求出数列{an}的前n项和.

以上给出的六种求和方法是比较常规的, 但这些方法不是万能的.通过研究不难发现:这些方法的前提是能求出数列的通项, 然后根据数列通项的特征进一步求和.但是有些题很难求出通项, 以上这些方法不再适用.这就要求考生要多掌握一些“非常规”的技巧与方法.比如以下方法.

七、逐差求和法

某些数列的构成规律不十分明显, 很难求出它的通项公式, 我们可以逐次求出它的各阶差数列, 如果某一阶差数列正好是等差数列或者为等比数列, 那么就可以利用这些数列的有限和得出原数列的一个通项公式, 然后求出其前n项和Sn.

典型例题:例7.求数列5, 6, 9, 16, 31, 62…的前n项和Sn.

分析:这个数列构成规律不十分明显, 通项不容易求出, 我们不妨看看相邻两项的差, 然后再找规律, 可以求出它的一阶差数列:1, 3, 7, 15, 31…, 又可以求出它的二阶差数列:2, 4, 8, 16, 32…, 发现它的二阶差数列是一个等比数列 , 因此可以用逐差求和法先求出an再求出Sn.

八、组合数求和法

若原数列各项可写成组合数的形式, 然后再利用公式求出数列前项和Sn.

典型例题:例8.求数列1, 1+2, 1+2+3, …, 1+2+3+…+n的前n项和Sn.

分析:这个数列的每一项可以变形为以下形式:

因此原数列各项的和可写成组合数的和的形式, 就可以转化为利用公式求出数列前n项和Sn.

求和式数列极限的方法 第9篇

极限的概念是高等数学中一个最基本、最重要的概念, 极限的理论是研究连续、导数、积分、级数等的重要工具, 有着广泛的应用。因此正确理解和运用极限的概念, 掌握求极限的方法, 对学好高等数学是十分重要的。然而求极限的方法有很多且非常灵活, 本文主要讨论求和式数列极限的方法和技巧, 并且举例来说明每种方法的使用。从而注意引导学生学习其基本解法, 培养学生灵活多样的思维方式, 提高其分析问题、解决问题的能力。

2 求和式数列极限的方法.

2.1 部分和公式

这种方法是利用部分和公式, 先求出数列的通项, 再求出数列的极限。

解因为

所以

所以

由上面两个等式相减得

所以

2.2 施笃兹定理

解由施笃兹定理

2.3 两边夹法

2.4 定积分的定义

如果f (x) 在[a, b]上可积, 则.所以这种方法是将和式极限转化为定积分定义中的积分和, 再利用定积分来求其值.

2.5 和函数法

先求函数项级数的和函数, 利用和函数求出和式数列极限的值.

所以

解把函数f (x) = (x-1) 2在 (0, 1) 上展开成余弦级数, 将函数f (x) = (x-1) 2作周期为2的偶延拓, 则

所以

参考文献

[1]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京:高等教育出版社, 1981.

[2]钱吉林.数学分析题解精粹[M].武汉:崇文书局, 2003:19~50.

[3]郝涌, 等.考研精解[M].武汉:华中理工大学出版社, 1999:10.

等差数列求和 第10篇

例如求和: ( 1) Sn= 12+ 22+ … + n2; ( 2) Sn= 13+23+… + n3.

思考: ①对于 ( 2) 中的“前n个自然数的立方和”的证明, 还可有其他方法, 如: 仿照 ( 1) 的证法, 利用恒等式 ( k +1) 4- k4= 4k3+ 6k2+ 4k + 1, 或将奇数数列1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, …按如下规则分组: ( 1) , ( 3, 5) , ( 7, 9, 11) , …, 显然第k组的所有元素和为k3. 于是前n个自然数的立方和就是上面分组中前n个组的所有奇数的和.

②利用上述结果, 可以得到

例如: 求数列的通项公式.

例如: 求数列的通项公式.

例如: 求数列的前n项的和.

例如: 化循环小数为分数.

我们知道, 循环小数为有理数, 有理数都可以表示为分数的形式. 我们使用无穷递缩等比数列的求和公式, 说明这一事实.

数列求和型不等式解法揭秘 第11篇

通常情况下，放缩法常常被用于解决数列求和型不等式问题．其求解途径一般有两条：一是先求和再放缩，二是先放缩再求和． 对于第一种途径，需要该数列的前n项和能直接求出，或者通过变形后求出． 求和过程中，一般需用到等差、等比求和公式或者使用分组、裂项、倒序相加等方法． 然而更多的情况，数列是不能直接求和的，因此我们必须选择第二条途径，即先对数列进行放缩处理，再做求和运算．

证明不等式：++…+<21－．

方案一 构造数列

证明 令bn=21－，cn=．

因为bn－bn-1=21－－21－=－=

=

≥

=

=cn，所以bn－bn-1>cn，所以bn-1－bn-2>cn-1，…，b2－b1>c2． 又b1= 21－=2－>=c1，求和得bn>c1+c2+…+cn，即++…+<21－．

思考 上法证明了一个充分条件，即需证明不等式an

方案二 数学归纳法

分析 这是一个典型的数列求和型不等式． 由于不等号两边都含有n，即此为一个与自然数n相关的命题，故可以采取数学归纳法．

证明 ①当n=1时，左边=，右边=21－，左边<右边，显然成立．

②假设n=k时不等式成立，即++…+<21－，则当n=k+1时，左边=++…++<21－+=21－+－+=21－+［2－（2k+3）］，易知2－（2k+3）<0，故上式<21－，即不等式成立．

综合①②知原不等式成立．

思考 对于初学者来说，用数学归纳法证明与自然数相关的命题无疑是最好的选择． 但是对于部分命题，数学归纳法并不是简便的解法，甚至有些命题根本不能应用数学归纳法． 比如我们若将上式稍作变形为++…+<2，则数学归纳法的递推过程就无法实现． 此时我们该怎么办？

方案三 加强数学归纳

++…+<2．

分析 此时不等式的右边是常数，和n无关． 此时数学归纳法已不起作用，必须用其他的方法． 对此，我们先证明++…+<21－，证明见方案一、二． 表面上看，我们把命题加强了，似乎更难以证明． 但通过构建这个加强命题，使得我们可以继续运用数学归纳法，证明了该加强命题，自然也就完成对原命题的证明．

思考 我们在构造加强命题的时候也可以选择其他形式，总体思路就是在不等式只含常数项的一边添加一个与n相关的无穷小量，使得不等号的两边成为都随着n变化的表达式，从而满足数学归纳法的适用条件．对于上面的不等式，同样可以构造成++…+<21－等．

方案四：自裂项

分析 细心的读者可能已经发现，例1的证明其实不必使用数学归纳法． 在此不等式中，不等号左边是数列和的形式，通项为．考虑到形如的分式是可以裂项求和的，对于本题有<2－，而－显然易于累加，故可以尝试用自裂项法求解例1．

证明 略．

思考 此方法的目标是对通项进行放缩，使其成为另一数列连续项之差． 而放缩的度是最难以把握的．下面笔者通过一例说明如何把握放缩的度．

求证：++…+<．

证明 观察通项，令1，即<．

又∈，，故≥q≥2，所以，当q=2时，

<2-，所以

++…+<2－+－+…+－=2－<．

思考 在上述方法中，我们通过待定系数法求得q的取值范围，而q的最终取值由题目对放缩的要求决定．在本例中，若我们对每一项都进行放缩，即≤，解得q≤2，故可取q=2；若保持第一项不动，从第二项开始放缩，则有+≤，解得q≤，则q∈2，，其中任取一值均可． 这样的方法有的放矢，避免盲目放缩．

方案五 自等比

分析 考虑例2中不等号的右边是一常数，可以联想到等比数列求和的极限．因此可将不等式左边放缩至等比数列，其关键是放缩的度．

证明 观察通项an=，则连续两项之比q==∈，． 故an+1

关于数列求和问题的一些思考 第12篇

一、关于数列求和问题的认识

与数列有关的题目是我们在中学阶段重点学习的内容, 一般使用公式法、通项分析法、错位相减法、裂项相消法、递推法和阶差法等方法进行数列的求和, 在这些方法中公式法是最基本的方法。我们在学习数列的时候首先学习的就是等差数列和等比数列, 公式法的本质就是一定要记清楚、记准确公式, 能够准确地通过分析数列的特征给出其通项公式, 然后求出数列前项和。

通项分析法是相对灵活多变的方法, 首先分析数列各项的特征, 观察有没有什么共同的特点, 例如各项是否可以分解, 局部是否可以先求和等等, 分组求和然后再整体求和。遇到这种题目, 我们要灵活面对, 方法不唯一, 具体情况还得具体分析, 上面我们只是介绍了通项分析法运用的一部分, 也是我们常见的一类题目, 必须要牢牢掌握。

错位相减法是我们常用的方法, 值得注意的是在解题过程当中一定要自仔细认真, 因为在解题过程当中数列的项数是繁多的, 稍微不注意就容易写错。

裂项相消法就是把一项分解成两项甚至是多项, 然后采用消除的办法求得前项和。用这种方法解决数列问题的类型有很多, 其中包括等差型、无理型、指数型、对数型、三角函数型等等, 其中三角函数型是不常见的, 但是我们在遇到的时候要会解, 以上介绍的几种类型一定要牢牢的掌握, 在解题过程当中我们经常会遇到, 每一种类型都有自己鲜明的特点, 同学们要在理解的基础上加以记忆, 灵活多变的去解决遇到的不同问题。

递推法大体上在解决自然数平方和、立方和的题目时常常会用到。采用递推法解决数列题目, 起初我们要知道数列的通项公式, 求通项的办法就是要先找到数列各项间的规律, 继后化难为易, 在中学课本上等差数列和等比数列其通项的求法就可以通过递推公式的形式来求出。上文我们已经介绍了等差数列其通项通过递推公式的办法证明了出来。我已经介绍了三种用递推法去解决问题的类型, 这三种类型是我们在解决数列问题时经常会遇到的问题, 希望读者可以理解并牢牢的掌握。

阶差法是求通项公式常用的方法, 我们知道数列是由一项一项构成的, 其排列有一定的次序, 这里的一定次序是关键, 换句话说这里的一定次序就是数列的通项, 而阶差法就是在通项公式不是很容易看出来的情况下采用的办法。上文中我所介绍的那道例题就是一道很典型的例题, 充分理解这道例题, 分析阶差法的微妙之处是解决这种类型的关键。

归纳、猜想、证明这种类型的题目一般情况下我们是可以通过分析数列各项的共同特征归纳出其前项和, 然后猜想通项和公式, 最重要的一点就是证明, 证明方法一般采用假设法, 假设法就是假设当时等式成立, 我们来推当时等式也成立。采用这种方法的题目都有自己和鲜明的特点, 读者通过分析上文所介绍的例题可以很快的理解什么时候采用这种方法。关键的一点就是假设法的运用, 读者一定要牢牢地掌握。多做一些与此相关的例题, 千锤百炼。

与组合数有关的数列的求和法和特殊的三角数列求和法是不常见的一类题目解法, 在此我们要了解这两种方法, 在遇到这种题目的时候要会用、会解。

二、一些思考