球面模型范文

2024-05-14

球面模型范文（精选7篇）

球面模型第1篇

虚拟实验作为继理论研究和实验研究之后的第三种科学研究方法, 对社会发展和科技进步起到了越来越重要的作用, 代表着科学研究方法的重要发展方向。虚拟实验技术的成熟发展使得虚拟实验从理论研究走向了实际应用。球面反射数字模型就是基于虚拟实验技术设计的一种虚拟实验模型, 它通过自动绘图、交互控制、动态跟踪等技术来实现模型的设计开发。

1球面反射数字模型的模块化结构设计

影响球面反射描述的主要因素有光源的位置、入射光线的方向、入射点的位置、球面的弯曲程度等, 精确描述球面反射规律必须对这些因素进行参数控制, 在参数发生变化时, 模拟系统能自动判断并跟踪变化。参数的设定通过计算机交互技术实现[1,2,3], 即通过模型控制界面的交互按键控制参数的设置, 交互参数包括凸球面和凹球面的选择、光源位置的设定、入射点位置的设定、球面半径的设定等。模型的绘图基于计算机屏幕的模拟视窗, 须建立基于模拟视窗的坐标系, 以便对光源的位置、入射光线的方向、入射点的位置等进行精确描述。模型的光路绘图利用计算机自动绘图技术实现, 满足对球面反射规律即时、定量、精确的设计要求。总之, 通过后台程序的支持和人机交互, 实现球面反射的精确模拟。

基于以上设计思路, 球面反射数字模型采取模块化结构程序设计。主要模块有:“球面类型选择”模块, 用于选定球面类型 (凸球面或凹球面) ;“初始化绘图”模块, 用于模型在初始状态时的绘图; “交互控制”模块, 交互控制包括“光源控制”、“入射点控制”和“球半径控制”三个子模块, 交互模块可实现对系统参数的设定和模拟控制;“动态绘图”模块, 动态绘图模块主要用来实现人机交互后, 系统参数改变时的快速跟踪绘图;“退出系统”模块, 此模块可以随时结束程序的运行。球面反射数字模型的模块化结构如图1所示。

2球面反射数学模型的建立

数学模型的建立是实现对象模拟的基础工程。要定量精确描述球面反射的规律, 必须建立球面反射模拟系统的数学模型。由于模拟是在计算机屏幕上进行, 因此, 应建立基于计算机屏幕的数学模型。如图2所示, 以屏幕左上角为原点, 水平向右方向为X轴, 垂直向下为Y轴方向建立基于屏幕的坐标系。A (XA, YA) 为光源位置, B (XB, YB) 为球心所在的位置, C (XC, YC) 为光线入射到球面的入射点, D (XD, YD) 为入射光源关于直线BC (法线) 的对称点, 则连线CD为反射光线方向。过球心且与入射光线AC、反射光线CD在同一平面内的截面圆的方程为 (xC-xB) 2+ (yC-yB) 2=r2。由于光线在球面上的任何点的反射都满足反射定律, 所以kCB×kAD=-1, kPC=kCB, XP= (XA+ XD) /2, YP= (YA+ YD) /2, 其中kCB为直线CB的斜率, kAD为直线AD的斜率。将A (XA, YA) 和C (XC, YC) 两点的坐标作为控制变量, 利用几何关系建立各变量之间联系, 在此数学模型的基础上进行程序设计和代码的编写。

3核心模块编程

球面反射数字模型的核心模块有“初始化绘图”模块、“动态绘图”模块和“交互控制”模块。“初始化绘图”模块主要是实现球面反射的初始状态的绘图。该模块代码[4]为:

m:=x2-r

SetFrame (1, RGB (0, 255, 255) )

Line (1, m, y2-10, m, y2+10)

repeat while m<x2-3*r/4

n:=y2+SQRT (r*r- (x2-m) * (x2-m) )

Line (1, m, n, m, n)

v:=y0-SQRT (r*r- (x2-m) * (x2-m) )

Line (1, m, v, m, v)

m:=m+0.1

end repeat

“动态绘图”模块主要解决人机交互时的动态跟踪绘图。该模块编程应特别注意自变量的选择, 要防止绘图函数的定义域出现不连续的情况, 一旦绘图函数出现自变量不连续, 就会出现绘图混乱。动态绘图模块的程序代码为:

Movable:=0

SetFrame (1, RGB (0, 255, 255) )

SetLine (0)

SetFrame (1, RGB (0, 255, 255) )

Line (1, 80, y0, 630, y0)

SetFrame (1, RGB (255, 0, 0) )

Circle (2, x2-3, y2-3, x2+3, y2+3)

Circle (2, x1-3, y1-3, x1+3, y1+3)

Circle (2, x1-5, y1-5, x1+5, y1+5)

SetFrame (1, RGB (255, 0, 0) )

x:=x2-SQRT (r*r- (y0-y) * (y0-y) )

Line (1, x1, y1, x, y)

SetLine (2)

Line (1, x1, y1, x1+ (x-x1) /2, y1+ (y-y1) /2)

SetLine (0)

x3:= (2* (x-x2) * (y-y2) * (y1-y) +x1* (x-x2) * (x-x2) - (x1-2*x) * (y-y2) * (y-y2) ) / ( (x-x2) * (x-x2) + (y-y2) * (y-y2) )

y3:=2*y-y1+ (y-y2) * (x3+x1-2*x) / (x-x2)

Line (1, x, y, x3, y3)

SetLine (2)

Line (1, x, y, x- (x-x3) /3, y- (y-y3) /3)

SetLine (0)

SetFrame (1, RGB (255, 255, 255) )

if x1<x2-r then

Line (1, (x1+x3+2*x) /4, (y1+y3+2*y) /4, (7*x+x2) /8, (7*y+y2) /8)

else

Line (1, x, y, (7*x+x2) /8, (7*y+y2) /8)

end if

“交互控制”模块包括“光源控制”、“入射点控制”、“球半径控制”, 它主要是实现人机交互。这些模块的代码基本相似, 只有控制的参数不一样。每个模块都设置了在参数改变时原图的清除, 并即时返回到“动态绘图”模块, 根据新设定的参数自动绘制球面反射图像。

通过对以上核心模块程序的编程设计, 在此基础上再对其他辅助模块进行开发, 然后进行系统集成、调试, 即可完成球面反射数字模型的程序设计。

4球面反射数字模型运行环境及效果

球面反射数字模型是基于计算机系统的纯虚拟模型, 将系统程序发布成可执行程序文件qmfs.exe后, 可运行于Windows9.x以上版本的任何视窗操作系统环境。在计算机系统运行qmfs.exe后即可进入模拟系统, 通过模拟窗口的交互按键可以实现系统参数的交互操作。通过“光源右移”、“光源左移”、“光源上移”、“光源下移”四个交互按钮可控制光源在窗口内任意移动。当光源位于球面左侧的时候, 模型模拟凸球面反射, 如图3所示。当光源位于球面右侧的时候, 模型模拟凹球面反射。通过“入射点上移”、“入射点下移”两个交互按钮可控制入射点在球面上任意移动。通过“球半径增加”、“球半径减小”两个交互按钮可控制球面的弯曲程度。通过交互控制, 模型能在球面反射的各种参数改变时获得相对应的模拟效果。

5结束语

虚拟实验技术利用数字化模型代替实物原型, 可以对设计的产品进行性能的试验分析, 有利于产品的优质设计和开发。球面反射数字模型通过虚拟的方法模拟球面反射, 解决了传统仪器设备难以对球面反射进行直观研究的问题。由于可以通过交互控制来模拟各种状态下的球面反射, 所以能为球面反射的应用设计提供精确的效果模拟。该数字模型也可用于远程网络虚拟实验。

参考文献

[1]李大友.多媒体技术及应用[M].北京:清华大学出版社, 2003.

[2]北京洪恩教育科技有限公司.Authorware多媒体开发[M].石家庄:方圆电子音像出版社, 2007.

[3]电脑报.Authorware 7.0[M].广东:汕头大学出版社, 2006.

深孔内球面车削加工第2篇

工件如图1所示，材料为1Cr18Ni9Ti，焊接结构件。工件材料强度虽然不高，但塑性和韧性大，切削加工性差，加工硬化趋势强烈，切削负荷大，导热性差，加工时热量易集中在切削刃上，产生积屑瘤，使刀具磨损加剧。加工的主要难点是工件精度要求高，薄壁，刚性差，容易引起装夹变形。工件孔深且为盲孔，孔底部为球面，刀杆细长，车削时易产生振动。加工质量不易保证。

工艺分析

工件原来是在数控车床上加工，精加工时要求一次完成内孔及内球面的车削，在加工过程中不允许换刀。根据数控机床的加工特点，刀杆直径只能做到f60mm。由于刀杆细长，刚性不足，强度低，在加工中刀杆产生振动较大，产生让刀现象，并使孔壁的粗糙度值增大，不但生产效率低，而且加工质量难以保证。

如果将刀杆直径增大，则在加工内孔时，刀杆与孔壁间隙太小，引起排屑不畅，造成堵塞，冷却润滑液进入困难，刀具磨损加剧，从而影响加工精度。为了满足生产的需要，使工件加工质量保持稳定，提高生产效率，解决数控车床加工深孔的不足，设计了一种车削深孔内球面的.专用刀具，可在普通车床上进行深孔内球面的加工。

图1工件

刀具设计

设计专用刀具应在能使切屑顺利排出的前提下，尽量提高刀杆的强度和刚度，避免加工过程中刀杆的振动，确保加工精度，并实现刀具的旋转，达到车削内球面的功能。

按照工件的深度和内孔直径，根据曲柄连杆机构的原理，设计的车削深孔内球面专用刀具如图2所示。刀杆直径110mm，长度约mm。

1.车刀2.旋转体3.连杆4.刀座5.刀杆6.拉杆轴

7.封板8.定位轴、轴套、螺母、垫圈9.销轴

图2

车削深孔内球面的专用刀具主要由刀杆、刀座、封板、拉杆轴、连杆、旋转体等组成。刀杆、刀座、封板焊接成刚性体，拉杆轴可以在刀座与封板的内孔中自由滑动。拉杆轴与连杆，连杆与旋转体通过销轴连接，旋转体与刀座通过定位轴、轴套进行连接。各连接件之间均采用滑动配合。

为避免在车削内球面过程中，连杆机构出现死点，在组装专用刀具时应将旋转体向前偏斜一个角度。

加工方法

工件焊接后进行消除内应力处理。经粗车内孔、外圆后，在工件两端法兰上建立找正基准。为解决工件刚性差的问题，避免装夹变形，工件通过定位工装和中心架进行固定。

用卡盘将定位工装卡住，按工件法兰外圆配车定位止口后，利用止口定位将工件用螺栓固定在定位工装内，并用两个中心架支承工件。

将专用刀具装在刀杆安装座内，利用刀杆安装座的开口槽将专用刀具固定。并将刀杆安装座固定在车床的刀架上。连接座固定在尾座轴的端面上，拉杆轴通过定位销与连接座铰接。

车削内球面时，转动车床尾座的操作手柄，利用尾座套筒的轴向运动，通过固定在尾座套筒上的连接座使拉杆轴沿轴向移动，拉杆轴推动连杆，连杆带动旋转体上的车刀绕定位轴转动，从而完成车削深孔内球面。加工示意见图3。

1.机床主轴箱2.三爪卡盘3.定位工装4.固定螺栓5.工件6.专用刀具

7.中心架8.刀杆安装座9.机床刀架10.链接座11.尾座套筒12.机床尾座

图3加工示意图

车削时，在工件孔口进行对刀，可以控制内孔及内球面的尺寸。深度尺寸是通过测量内深并用车床大拖板的刻度值来进行控制。

冷却润滑液采用硫化切削液。冷却液的输送管通过刀杆并固定在刀座上，使冷却润滑液直接从刀座喷向车刀，并将切屑从工件内孔冲出。

为避免切屑成带状缠绕在车刀上，拉伤孔壁，根据精车时的切削用量在车刀上磨出合适的断屑槽，控制断屑效果。

精车时刀片材料选用YW1，主轴速度20r/min，进给量0.15mm/r，吃刀深度0.25mm。要保持车刀锋利，增强刀头的强度，改善散热条件，减小摩擦和由此而引起的加工硬化趋势，车刀还应具有合理的切削角度。

加工时随时观察切屑的形状和颜色，注意排屑的情况，以及加工时刀具在深孔中发出的声响，用手触摸刀杆观察其振动情况。如出现反常现象，应立即进行检查，并采取措施予以解决。

结论

在普通车床上通过专用刀具，实现了深孔内球面的车削。不仅生产效率高，加工成本降低，而且加工质量可以得到保证。

球面模型第3篇

1 基于球面调和的层次化表征参数

球面调和分析已经在信号分析领域应用很广。通过球面调和分析可以将三维立体模型由时域转换到频域, 然后在频域内基于频谱信息完成模型的相似性评价。球面调和分析过程主要由两步组成:三维模型的球面参数化和球面Fourier变换。

三维模型的球面参数化如上所述, 整个三维模型可以看作是一个离散的三维空间信号FM, 其离散的各点信号即是三维模型中网格M的顶点集PM与网格集∆ijk。对于网格M上的任意一点p, 通过线性插值可得到其三维的空间信号值FM (p) , 其定义为:

即若点p正好与网格M的顶点重合, 则直接取用该点的离散值, 若点p位于网格中, 则通过线性插值而获得其离散信号值, 而对于网格的开口部分, 其离散信号值取为零。当三维网格模型变换为三维空间信号后, 即可应用三维信号处理的方法来完成对三维模型的处理。这里第一步要做的工作是信号的球面参数化。球面参数化的完成是通过为三维网格M构造出一个拓扑同构的球面网格而完成的, 即通过拓扑同构映射, 原来定义在网格M表面上的几何信号就被转换为网格S表面上的信号:

2 三维模型的Fourier变换

由球面调和分析可知, 定义在球面上的任意连续函数f (θ, φ) 均可以用球面调和函数展开, 即:

上面f (θ, φ) 式中:

Ylm (θ, ϕ) 是球面调和函数, 其计算表达式如下:

是度为l、序为m的联合勒让德多项式。

在上述 (3) 式中, l的取值可以从零到无限大, 事实上这是不可能也是不必要的。在实际应用中如果存在着某个正数N>0, 使得对所有的l>N, 都有Alm≈0, 则可认为f (θ, φ) 的带宽为N。据Nyquist采样定律可知, 对带宽为N的二维信号, 只需要2N×2N个采样数据就可以完全恢复原信号, 因此式 (3) 中的积分运算可简化为2N×2N的采样数据加权和:

其中:

3 Fourier变换到小波变换

实现对三维模型数据库的浏览和检索。三维模型检索的关键在于对模型特征的提取, 而在提取特征的时候必须满足下面的基本要求。

(1) 平移不变性:即在平移变换的前后, 三维模型的特征要保证不变。

(2) 旋转不变性:即在旋转变换的前后, 三维模型的特征要保证不变。

(3) 缩放不变性:即在缩放变换的前后, 三维模型的特征要保证不变。

(4) 对噪声具有鲁棒性 (噪声包括模型裂缝插入三角面片移去三角面片等) :即在有噪声的情况下三维模型的特征要保证相似, 对重采样和简化具有鲁棒性在重采样和简化变换前后三维模型的特征要保证相似。

目前对三维模型进行参数化是一个很复杂的问题, 同时由于三维表面有任意的拓扑, 使得一些广泛应用于二维图像的方法 (如傅立叶变换等) 无法直接推广在三维领域, 因此获取三维模型有清晰几何或形状意义的特征比较困难。从统计学的观点出发, 寻找有区分能力的统计特征于是成了研究人员首选。目前这方面的研究中主要使用了如下统计特征:模型顶点间的几何关系 (距离、角度、法线方向关系等) , 模型顶点的曲率分布, 模型顶点的各阶统计矩以及各类变换特征系数等。首先将三维模型分解为一系列同心球面图像, 然后将这些球面图像的特征组合起来构成三维模型的特征。在提取球面图像特征时, 采用了球面小波降阶算法, 得到了一个旋转无关特征描述符, 实验证明这种特征比在性能上比以往算法有了较大的提高。作为当前时-频分析利器的小波变换近年来得到了长足的发展, 虽然它是从傅立叶变换起来的, 但有了本质性的进步。小波变换提供了一种自适应的时域和频域同时局部化的分析方法, 能自动调节时-频窗以适应实际分析的需要。特别是它在局部时-频分析中具有很强的灵活性, 能聚焦到信号时段和频段的任意细节, 被誉为时-频分析的“显微镜”。利用这一特性, 可以克服傅立叶变换只关注整体特征, 对信号细节表现能力不强的缺点。小波变换不仅可以表现对象的整体特性, 更能表现细节特征, 从而达到精确表达的目的。小波变换的关键在于多分辨率分析, 即把一个复杂的函数分解为一个简单的低分辨率部分加上一些被称为小波系数的细节。对于实践中遇到的大部分函数来说, 这些小波系数一般都很小, 这意味着可以只用一部分最大的小波系数来很好地逼近原函数。这种方法主要应用于三维模型压缩, 因为只需保存基模型和小波系数就可以完全重建原始三维模型。不过它却很难应用于三维模型检索, 其原因在于虽然基模型奠定了整个模型的大概形状, 但是它本身却无一个统一的形状定义和描述规则, 因此即使所有小波系数相同, 也会出现“基模型相差毫厘, 重建模型谬以千里”的结果。本文提出将小波分析作用于三维模型的系列同心球面图像, 与平面图像类似, 球面图像像素定义也比较规范统一, 故可以很好地克服上述缺点。为此必须构建合适于作用于球面的小波函数, 将球面图像进行特征分解。

展望将二维通用傅立叶描述子GFD推广至三维空间, 有人提出了一种具有z轴旋转不变性的三维形状描述子SFT。SFT特征简明, 对模型噪声具有鲁棒性, 同时在某一指定方向 (通常为z轴) 具有旋转不变的性质, 在一定程度上降低了对标准化的依赖。起码, 由于具有对指定轴的旋转不变性, SFT用于一般三维模型检索时只需要进行第一主轴的标准化即可, 这减少了标准化计算过程, 也降低了标准化误差对检索结果的影响。

摘要：三维CAD模型的重用里, 通过球面调和分析可以将三维立体模型由时域转换到频域, 然后在频域内基于频谱信息完成模型的相似性评价, 而球面调和函数的建立, Fourier变换到小波矩变换是模型几何特征刻画精致化的基础。

关键词：CAD,重用检索,球面调和函数,Fourier变换,小波变换

参考文献

[1]盛玲, 姜晓彤.基于球面调和函数的环境映射技术[J].信息与电子工程, 2010 (4) .

[2]张欣, 莫蓉, 石源, 等.一种三维模型形状检索描述符[J].计算机辅助设计与图形学学报, 2010 (5) .

[3]李忠月.三维模型检索中的预处理技术[J].计算机工程与设计, 2006, 27 (10) .

[4]庄越挺, 潘云鹤, 吴飞.网上多媒体信息分析与检索[M].北京:清华大学出版社, 2002.

[5]程起敏, 杨崇俊, 邵振峰.基于多进制小波变换的渐进式纹理图像检索[J].武汉大学学报 (信息科学版) , 2005, 30 (6) .

球面模型第4篇

对于结合面的各种结合条件, 可以通过大量的基础实验来获得不同情况下 (如不同的载荷大小和性质, 结合面材料, 结合面的加工方法及表面完整性, 润滑油性质等) 结合面的基础特性参数。关于如何运用基础特性参数解析计算实际机械结合部特性参数, 即如何把结合面的基本假设, 数学模型的理论运用于计算结合部特性参数的研究方面, 国内外不少学者都在研究。文献[1]的作者提出假设, 组成结合部的构件在结合部处的刚度比结合面的刚度高的情况下, 忽略构件本身在结合部处变形的影响。这就使结合部复杂的变形计算问题转化成仅计算结合部的接触表面层的变形问题, 从而使结合部的变形可由构件间的相对线位移和相对角位移来表示。这是在处理结合部变形这一复杂的非线性问题上的一个突破。文献[2]的作者, 根据以上结合部的物理假设, 建立了平面移动导轨结合部变形的通用数学模型, 并编制了计算平面移动导轨结合部变形的通用计算软件。并以JISGNC数控车床横溜板为对象进行了实验验证, 证明了上述结合部物理假设为基础所建立的数学模型是适合的, 计算程序是正确的。文献[3]的作者, 以满足机械系统解析对结合部的上述要求为出发点, 建立了圆柱结合部变形的通用数学模型, 编制了计算圆柱结合部变形通用计算程序, 并通过实验验证了其理论和程序是正确的。

在解析球面结合部时, 也应用了文献[5]提出的结合部物理假设。并通过借鉴圆柱面结合部的研究成果, 进一步发展研究, 提出了球面结合部的解析方法, 编制了相应的解析程序, 并通过了理论对比论证了其理论及相应的解析程序也是正确的。

1 球面结合部理论解析

1.1 球面结合部数学模型

图1所示的球面结合部的总体坐标系xyz-O, xyz-o为球面上任一点的局部坐标系。

1.2 球面结合部位移条件及载荷结合条件的确定

1) 设球面上任意一点A处坐标 (R, φ, θ) , 其中x3表示在XYZ-O中z向坐标, 圆球的半径为R, 其中X3=R·cosφ, r=R·sinφ。球面结合部坐标系∑J—xyz-O, 球面结合面坐标系∑S—xyz-o。

从结合部坐标系∑J到结合面坐标系∑S的变换可以依次通过以下变换得到:

一次平移变换:

两次旋转变换:

先绕z轴旋转, 再绕X轴旋转。

则球面结合面坐标系∑S相对于球面结合部坐标系∑J的齐次变换矩阵为:

其中:

式中:SRJ是球面结合面坐标系与球面结合部坐标系的旋转变换矩阵;

JPS是球面结合部坐标系与球面结合面坐标系的平移变换矩阵。

2) 设球面结合部变形位移列阵为:

式中:xJ1, xJ2, xJ3———分别为球面结合部x, y, z方向的线位移;

xJ4, xJ5, xJ6———分别为球面结合部x, y, z方向的角位移。

式中:[SJJ]———球面结合面S与球面结合部J的坐标变换雅克比矩阵;

{XJS}———球面结合面的位移列阵。

则可由式 (4) 、式 (5) 可以求出球面结合面位移。

3) 由第一章和式 (5) 可以求出球面结合面上任一点处的接触变形:

4) 球面结合部反力及反力矩:

式中:FRK—作用在球面结合部上的反作用力及反力矩 (K=1, 2…6) ;

JJS—球面结合部∑J与球面结合面∑S的力雅克比坐标变换矩阵;

FRS—球面结合面上的反作用力。

当结合部受力位移后, 作用于球面上的反载荷可由求出:

1.3 球面结合部刚度矩阵的确定

当结合部受外力作用发生变形位移{XJ}后, 结合部所受的力{FJ}={F1, F2, F3, F4, F5, F6}T

可表示如下:

其中:式 (9) 的λn, λτ, λ3与式 (6) 相同。

根据刚度的定义, 可以用Fi (i=1, 2, …6) 分别对XJj (j=1, 2, …6) 求偏导数而求出刚度矩阵中的每个元素kij。即:

若以λn, λτ, λ3为中间变量, 则kij可表示如下:

现以k21为例推导出如下:

由第一章可知:

所以:

根据上面的方法可以求出圆锥面结合部刚度矩阵[KJ]中的每个元素kij。因篇幅所限, 这里省略其他刚度值的推导过程。总之, 根据式 (10) 可以推导出球面结合部的刚度矩阵。

2 球面结合部解析程序及理论验证

对前面提出的关于球面结合部的数学模型中, 含有六个待求的未知量XJi (i=1, 2…6) , 但是由于这六个未知量都是隐含的, 无法从方程组中分离出来。对于隐含的非线性方程组的求解问题, 目前一直没有一种通用的计算方法来加以解决, 在借鉴了文献[5]中的计算程序所用的计算方法的基础上, 采用了求解变量轮换弦截法, 对球面结合部的数学模型, 编制FORTRAN语言程序来求解。所谓坐标轮换弦截法的基本思想就是在给出欲求量赋初值后, 通过弦截法来改进欲求量的值, 对求解的数学模型中的每个方程轮换地进行验算, 一直到每个方程都满足给定的精度后, 输出欲求量。

2.1 球面结合部解析程序编制说明

a) 程序的基本功能

1) 确定球面结合部的位移结合条件;

2) 确定球面结合部的载荷结合条件;

3) 确定球面结合部的静刚度及动刚度;

4) 确定球面结合部的阻尼特性。

b) 程序结构流程图 (图2)

c) 程序各模块功能

1) 主程序模块:主要用来输入控制参数、基础特性参数、结构参数、载荷参数等。

2) 位移解析模块DISPLACE:用于确定结合部位移结合条件。

3) 反力计算模块REACTF:用于计算结合部反力及确定结合部载荷结合条件。

4) 面压计算模块PRESSURE:用于确定各结合面的载荷结合条件。

5) 刚度计算模块STIFF:用于确定各结合面的刚度及结合部总刚度。

6) 阻尼计算模块DAMP:用于确定结合面的阻尼特性。

2.2 球面结合部实例验证

a) 实例验证 (图3)

设作用于球面及圆柱面结合部的作用力均为:Fx=1400N, 其余方向的作用力及力矩全为零。通过编制的程序分别比较这两种情况的计算结果:

1) 设球面的半径R=0.82m, 其中取φa=89°, φb=91°, 则通过编制的球面结合部程序计算输出结果为:

2) 设圆柱面的半径为R', 则球台面等效为圆柱面的半径近似为:

Zb=R·cosφb=-0.014311m。通过圆柱结合部程序计算输出结果为:

b) 实例验证结论

由此可以看出, 当球面半径为R时, 其中φ=89°-91°, 可以把球台面近似为半径R'=R·sinφ的圆柱面求解, 通过对圆柱面结合部计算的对比就可以论证本文中球面结合部理论解析及解析程序是正确的。

3 总结

通过建立球面结合部数学模型, 然后推导出球面结合部位移及载荷结合条件, 并给出了球面结合部刚度矩阵的求法, 为以后机械系统性能分析提供通用性参数打下基础。最后介绍了编制基于FORTRAN语言的球面结合部解析程序说明, 并通过实例对比验证了球面结合部解析方法及解析程序是正确的。

参考文献

[1]黄玉美, 张广鹏, 高峰.虚拟样机整机结构特性边界元仿真[M].北京:机械工业出版社, 2004:152-173.

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[3]王晓春, 孔祥安.接触力学及其计算方法[J].西南交通大学报, 1996, 31 (3) :230-233.

[4]温卫东, 高德平.接触问题数值分析方法的研究现状与发展[J].南京航空航天大学学报, 1994, 26 (5) :664-667.

[5]Parson B, Wilson E A.A method for determning the surface contact stresses resulting from interference fits[J].ASME J Engng for Industry, 1970;208-218.

球面模型第5篇

关键词：Power MILL,数控加工,加工策略,多轴加工,五轴编程

0 引言

随着现代制造业的迅速发展, 数控加工技术的越发普及, 中小型数控机床以及一些高端机床购买成本逐年降低, 使得数控机床的使用越来越普及, 再加上小批量、个性化、高精度以及造型复杂的产品越来越多, 产品更新周期越来越短, 数控加工技术作为许多零件的必要加工手段, 该技术的掌握与普及显得越发重要。

数控编程是数控加工技术的重要研究内容, 而表现又在于CAM软件的编程研究。Power MILL由英国Delcam Plc公司出品, 是世界上著名的功能强大, 加工策略丰富的数控加工编程软件系统, 简单易学, 其智能化过切保护、刀具过载保护、丰富的高速加工细节处理、刀杆与刀柄碰撞检查、优化的计算方法等优点, 极大地保证了加工的安全性[1,2]。

本文通过对球面图案模型的加工工艺流程的探讨, 研究了球面图案模型基于先进CAM技术的多轴编程加工工艺, 通过对该模型具体编程加工方法的论述给出了多轴编程加工工艺规范化的思路, 为编程人员提供了很好的参考。

1 球面图案模型案例应用

1.1 零件加工特性分析

如图1所示的球面图案模型在工业产品中较为常见, 例如商标或公司标志的球面图标, 图案可以直接做在模具上, 用来生产具有立体感的商标或公司标志的产品。本文的球面图案, 数控车床是无法加工出的, 故采用加工中心来加工。对于该球面图案, 先采用三轴方式粗加工, 然后用五轴进行半精加工以及精加工, 最后是五轴局部精加工。

1.2 编程公共参数预设置

1.2.1 载入模型

利用PS-Exchange模块输入球面图案模型CAD文件, 利用CAD软件的建模优势来提高编程效率和质量。

1.2.2 参数设定

(1) 坐标系及毛坯大小设定

该模型是规则的几何体, 采用“四边分中, 底为零”原则, 将坐标系建立在毛坯的底面中心, Z轴方向朝上。坐标原点的确定要利于测量和快速准确对刀。

在Power MILL中, 毛坯大小的设定是十分重要的。如果毛坯设定过大将增大程序的计算量, 增加了编程的时间以及加工的时间;如果设定过小, 程序将以毛坯的大小为包络体进行计算, 这样很可能有的型面加工不到位或者在开始实际加工时出现干涉, 所以毛坯大小的设定一般根据实际毛坯大小设定, 扩展值稍大于加工刀具的半径, 同时还要考虑它的余量[3]。

为保证加工余量与装夹, 毛坯采用已加工好的200 mm×200 mm×103 mm方形45钢料。装夹方案采用永磁吸盘装夹。

(2) 加工参数预设置

对于全局的进给和转速、快进高度、开始点与结束点以及切入切出和连接等内容的设定和刀具的设定, 要根据机床性能参数 (如最高转速) 、装夹方式、所加工的材料以及刀具等来综合预设置。为了利于编程时对刀具的选用和检查, 刀具的设置最好将刀具名称与刀具尺寸联系起来, 便于加工人员配置刀具与装夹。

1.3 加工工艺方案

该球面图案的加工, 首先要考虑典型的三轴粗加工, 因为三轴开粗刚性好, 可以用大直径刀具、大进给量切削, 而且三轴编程简单, 特别是加工过程中刀具与零件或刀具碰撞的检验要比五轴加工要容易得多, 刀路的后处理也简单, 程序不易出差。

对于球面图案中齿轮外轮廓线和下半年部分的“书”形图案底部及侧面, 则需要使用五轴加工来半精加工、精加工及局部精加工。故本文采用粗加工、半精加工、精加工、局部精加工的工艺流程。其加工工艺流程见表1。

1.3.1 粗加工策略

粗加工的主要目标是追求单位时间内的材料去除率, 使后续半精加工或精加工余量均匀, 并保证粗加工刀路的平稳、高效[3]。本文采用模型区域清除策略, 其具有高效的环绕切削走刀及进刀设置以及层间补刀功能, 是粗加工的常用方式。其切入切出和连接采用斜向下刀, 采取顺铣的加工方式, 从工件中心向外偏置加工, 刀轨尖角处要圆角光顺处理, 保证刀具负荷稳定, 减少切削力的突变。图3为粗加工的刀具路径。

1.3.2 半精加工策略

半精加工采用螺旋精加工策略, 进行五轴加工编程, “刀轴”设置为“朝向点”, 该点不能用球面图案的球心来定义, 以此避免因刀轴与要加工的表面垂直所造成的静点切削现象。“快进高度”安全区域设置为“球”, 球面图案的球心为安全区域中心, 使工件轮廓形状平整, 表面加工余量均匀, 为下面的精加工作准备[4,5]。刀具路径图如图4所示。

1.3.3 精加工策略

精加工的目标是加工出满足零件设计要求的最佳表面质量和轮廓精度。本文精加工策略选择曲面精加工和平行精加工策略, 除了该球面图案模型中的“五角星”采用平行精加工策略外, 其余曲面都采用了曲面精加工策略。曲面精加工“刀轴”及“快进高度”的设置与半精加工步骤一致, 平行精加工“刀轴”设置为“前倾/侧倾”, 前倾参数设置为15°。精加工策略在刀具路径的尖角处采用圆弧光顺处理, 优化平行加工, 可显著提高加工效率, 降低刀具磨损, 减少对机床的冲击。图5为精加工刀具路径图。

1.3.4 局部精加工

本文中的曲面以及侧面铣削完毕后, 在曲面与侧面的交接处及圆角处仍有残余材料未被加工, 需要局部精加工工序。由于该图案的侧面并不是直升面, 而是斜面, 三轴加工是做不到的, 故选取SWARF精加工策略来作局部加工处理, 先用直径4 mm的端铣刀铣削掉大量的残余材料, 使余量均匀化后, 再采用小直径2 mm的端铣刀进行最后残余清除, 由于侧面倾斜角度不一致, 故“刀轴”的设置为“自动”, 根据实际情况由程序自动调整。局部精加工刀轨见图6。

1.3.5 仿真加工与后处理

编程最后, 要进行刀具加持碰撞检查及仿真模拟, 通过计算机的检查与模拟刀具运动, 以避免在实际加工过程中发生撞刀、过切以及影响加工效率等不合理的走刀。仿真模拟结果见图7。

在确认碰撞检查及仿真模拟没有问题后, 就要对刀具路径进行后处理, 生成机床可以识别的NC程序。本文的刀具路径分成三轴加工及五轴加工两部分, 单独对其作后处理。本文加工所使用的机床为DMG ULTRASONIC 10立式双摆台五轴加工中心。加载刀具路径到NC程序及后处理设置选项见图8。

2 结束语

本文通过对基于Power MILL的球面图案模型五轴数控编程加工的应用, 显示多轴数控编程加工技术在复杂曲面造型加工方面有着明显的优势, 通过一次装夹能完成零件大部分部位的加工, 减少装夹次数, 提高了加工质量和效率。本文介绍的加工与编程方法, 对球面、圆柱面等零件的加工有着一定的参考作用。

参考文献

[1]张守军, 成丽霞.基于Del CAM软件中Power MILL加工技术的应用[J].模具制造技术, 2008 (2) :70-72.

[2]张林浩, 等.Power MILL在汽车模具层切加工中的应用[J].模具制造, 2012 (3) :8-12.

[3]孙平, 张瑞乾, 杨庆东, 等.Power MILL在高速铣削加工中的应用[J].CAD/CAM与制造业信息化, 2009 (5) :99-101.

[4]朱克忆.Power MILL多轴数控加工编程[M].北京:机械工业出版社, 2013.

球面瓦外球面加工方法的改进第6篇

关键词：球面瓦,外球面加工,靠模法,铣削法

引言

回转窑、球磨机等是水泥厂的主机设备, 而支承装置是这些设备的重要零部件, 支承装置要承受设备回转部分和物料在运动过程中或静止状态时上百上千吨的载荷, 且工作环境恶劣。因此, 要求支承装置运转必须可靠、平稳, 以保证设备的安全运行。

支承装置所用的轴承为滑动轴承, 它由轴承座、球面瓦、瓦衬等组成。回转窑支承点多, 运转时窑体产生轴向窜动, 因此要求滑动轴承具有良好的承载和自动调心的能力。而球面瓦是滑动轴承的关键零件, 其加工精度直接影响到回转窑的运转。球面瓦的加工精度主要取决于机加工方法及工艺水平。

本文重点论述了对回转窑球面瓦外球面加工工艺方法的改进, 改进后提高了球面瓦的加工效率, 并使球面瓦的加工精度符合设计和使用要求。

1 球面瓦外球面加工方法简述

1.1 球面瓦结构

回转窑的支承装置是由托轮、托轮轴、轴承及底座等组成的, 轴承为滑动轴承, 由轴承座、球面瓦、瓦衬、轴承盖等组成。

图1所示为球面瓦结构, 其外表面为球面, 是一个半球面体的零件, 球面直径尺寸较大, 与带有内球面的轴承座配合, 形成可承载及自动调心的轴承组。

1.2 球面瓦外球面的加工方法

加工球面零件多采用车削的方法, 几种典型的球面车削工艺方法如下。

(1) 双手控制法。

零件数量较少时或单件球面零件, 可以采用双手控制法进行车削。就是用双手同时摇动中、小拖板, 通过中、小拖板的合成运动, 车出所要求的球面, 此法只适用于加工较小尺寸的球面。

(2) 机械靠模法。

靠模法车削是依靠车刀根据靠模的形状平行移动车出所需表面形状的一种方法。适合于小批量、大尺寸零件的车削加工, 但是这种方法的车削精度较低, 车削外球面时所产生的球形误差较大。

(3) 成形车刀法。

采用成形刀车削外球面时, 以切入式方法加工工件, 要求成形刀刃口与被加工表面母线形状一致。车刀刃口的缺陷直接影响加工表面的精度, 需要有专用的刀具刃磨设备, 成本高, 难以车削尺寸较大的零件。

(4) 旋风车削法。

要保证加工精度必须保证刀具的运行轨迹与球面的任何瞬时都重合, 这使得切削装置机构复杂, 刀具在切削过程中的磨损会产生加工误差, 不适合加工大尺寸的外球面零件。

(5) 用数控机床加工。

采用数控车床加工球面虽然能达到图样设计的尺寸要求, 但数控机床价格昂贵致使成本增加。

2 改进前球面瓦的外球面加工

由于球面瓦尺寸较大及加工设备条件限制等原因, 我公司对外球面的加工一直是采用1.25 m以上的立式车床, 采用机械靠模车削法 (简称靠模法) 加工。

2.1 靠模车削加工方法及特点

根据球面瓦的结构特点, 在加工时将两块球面瓦组合成一体装夹, 形成一个整体, 其主要目的一是球面瓦容易装夹及找正;二是加工面连续切削, 提高了刀具的使用寿命;三是便于球径测量。其加工方法如图2所示。

球面是一种成形运动简单的旋转曲面, 它是由工件的旋转运动与刀具成形运动合成加工而成。靠模车削法是车刀依靠模板的模型弧面平行移动进给, 刀尖的运动轨迹与模型弧线相同, 从而车出与模型弧线尺寸相同的球面。

靠模法主要有以下特点:

(1) 被加工球面的形状 (指母线形状) 由靠模板确定, 其位置尺寸则由刀具与靠模的相对位置确定, 因此每进刀加工出的表面, 其母线是半径相同的弧, 但中心O的位置不同 (如图3所示) , 只有当加工到预定尺寸时才成为正确的球面。

(2) 由于进给时刀架作平动, 故实际进给量、切削角度等切削参数将随时变化 (如图4所示) 。

2.2 靠模法存在的问题

在实际工作中, 用靠模法加工球面瓦的外球面, 其零件合格率只有30%左右, 生产效率低。加工表面光洁度差, 球面的形位误差大, 椭圆度为0.5～1.0 mm, 位置度公差为0.5～1 mm。造成这些问题的原因有以下几个方面:

2.2.1 靠模法加工球面的特点, 决定了加工表面质量差、精度低

(1) 切削时刀具实际进给量的变化, 致使加工表面留下的残留面积不一致, 造成整个加工表面的粗糙度不一致, 影响了表面质量。切削角度的随时改变, 引起切削力变化, 诱发刀刃自激振动, 致使表面粗糙度数值增大, 光洁度下降, 影响表面质量。

(2) 切削时进给量、切削角度等切削参数的随时变化, 必然引起切削力的变化。由于该加工装置刚性不足, 刀杆的弹性变形量随切削力的改变而变化, 引起刀尖的运动轨迹发生改变, 加工表面的形状 (母线形状) 产生偏差, 造成球面形状误差, 降低了球面精度。

2.2.2 工艺系统对加工表面精度的影响

(1) 由于靠模板模型弧面的加工误差, 产生球面的形状误差。

(2) 工件及靠模板在机床上装夹, 它们之间的相对位置误差, 造成球面瓦的位置误差。

(3) 刀杆系统装夹时, 若找正不准确, 刀尖运动轨迹形成的平面不与工作台回转轴线重合, 造成球面的椭圆度, 这是引起球面形状误差的重要原因之一。

2.2.3 其他原因

(1) 滚轮与靠模之间的摩擦引起的磨损, 造成滚轮中心的运动轨迹变化直接影响到球面的形状精度。

(2) 由于工艺系统刚性差, 因而切削进给量、切削深度的取值很小, 延长了切削时间, 造成生产效率低。

2.3 球面瓦的质量对其使用的影响

(1) 如果球面瓦的外球面形状误差大, 与轴承座的内球面不能很好地配合, 将产生“夹帮”或“漏缝”, 如图5所示。内外球面不能均匀地接触, 无法实现自由调心, 球面瓦所承受的巨大载荷不能均匀地分布在轴承座上, 容易造成球面瓦的破坏。

(2) 如果球面瓦表面光洁度低, 与内球面配合时, 两表面间的摩擦力增大, 对滑动轴承的自动调心极为不利, 会加剧衬瓦的磨损, 并容易造成烧瓦事故。

(3) 如果外球面形状误差大, 在装配时将加大刮研修配的工作量, 增加劳动强度。若刮研量过大, 可能造成装配后的各组滑动轴承之间的中心高度不一致, 将直接影响设备的安装质量, 使设备留下事故的隐患。

(4) 如果球面的椭圆度误差大, 很难刮研修配成形, 造成零件报废, 增加生产成本。

(5) 若球面误差大, 靠刮研修配而成, 最终的球面尺寸与设计尺寸不符, 给更换配件造成困难。

综上所述, 采用机械靠模法加工外球面存在很多不足, 球面质量难以保证, 生产效率低。因此, 应采用一种精度高、效率高的加工外球面的方法来取代机械靠模法。

3 改进的外球面加工方法——铣削法

我们知道, 球面的包络线由圆组成, 根据这一特性, 可以对球面瓦外球面的加工方法进行改进, 采用铣削法加工外球面。

3.1 铣削法加工原理及特点

球面铣削法是根据平面与球面相截的截面形状是圆, 圆围绕一轴线旋转形成包络面为球面这个原理, 所得到的一种加工方法。刀刃与工件同时绕相交的两轴线回转, 刀尖的运动轨迹是圆, 与球面的某一个截形圆重合, 截形圆把旋转的工件包络成一个球面。两轴线的交点就是球心。切削加工中工件的回转是进给运动, 刀具的旋转是主运动。

铣削法加工球面具有以下特点:

(1) 每次进刀加工出的表面是半径不相等的球面, 球面的球心位置始终不变。

(2) 进给时刀架绕定轴等速回转, 实际进给量、切削角度等切削参数均保持不变。

3.2 铣削法加工外球面的工艺装置

根据铣削法的加工机理, 设计制作了加工外球面的工艺装置, 如图6所示。外球面加工是将工艺装置装夹在精度较高的龙门铣床上进行。

组成加工装置的零件, 一部分选用的是通用标准件如回转工作台, 另一些是设计制作的刀盘、胎具等。刀盘装夹在龙铣床侧铣头的主轴上, 刀盘的直径比球面宽度大5～10 mm。供球面瓦旋转的回转工作台装夹在铣床的工作平台上, 回转台上固定装夹有一胎具, 以便于球面瓦的定位装夹。刀具回转轴线与工件回转轴线相交, 是通过移动铣床工作平台找正来实现。回转台是机床通用夹具, 因此其精度很高, 它的旋转可采用手动, 也可采用机械传动。机械传动是由附加设置在铣床工作平台上的传动装置来完成。传动装置由电机、三角带、减速器、联轴器等组成, 通过联轴器与回转台的输入轴相联。

3.3 球面瓦加工工艺步骤

3.3.1 球面瓦的端面、外圆、内孔加工

球面瓦的端面、外圆、内孔在车床上加工。

3.3.2 工件装夹、机床调整、刀具装夹。

(1) 将回转工作台及传动装置等在铣床工作平台上装夹找正。

(2) 校正铣床侧铣头, 使主轴线与回转工作台平行, 然后将其主轴线调整到球面的中心高度。

(3) 将装夹球面瓦的胎具与回转工作台定位紧固, 然后将一对球面瓦装夹, 用胎具连接紧固。

(4) 移动铣床工作平台, 调整两回转轴线使其相交, 调整后记录铣床工作平台的标尺刻度, 以备以后调整用。

(5) 装夹刀盘, 刀盘上的两把刀要对称一致。

(6) 粗加工。若加工表面出现网状刀纹, 则可继续加工。否则要微调铣床工作平台, 直至出现网状刀纹。

3.3.3 切削加工参数的选定

(1) 回转工作台的转速:

灰铸铁的进给量一般选择为:0.2～0.4 mm。

(2) 切削深度:

取0.5～5 mm。

(3) 铣削速度:

取60～110 m/min。

3.4 铣削法加工外球面的优点

与靠模法比较, 采用铣削法加工球面有以下优点:

(1) 由铣削法加工球面的特点所决定, 球面的加工质量好, 粗糙度Ra一般为1.6～6.4 μm, 符合设计图纸的要求。

(2) 铣削法加工装置的刚性增加, 切削效率提高两倍多。

(3) 工艺系统结构简单, 选用标准件多, 加工制作的工装夹具相对减少, 因而降低了工艺系统的积累误差, 使球面形位的精度提高。位置度为球Φ 0.1 mm以内。

(4) 加工装置的装夹找正相对比较方便, 可采用试切法找正两回转轴线使其相交。提高了球面精度, 椭圆度一般在0.05 mm以内。

综上所述, 采用铣削法加工的球面质量明显优于靠模法, 加工质量符合设计要求, 生产效率提高。

3.5 加工中应注意的问题

(1) 装夹回转工作台时, 应尽量靠近侧铣头, 避免铣头主轴伸出过长而降低工艺系统的刚性。

(2) 刀盘上刀杆长度不要太长, 以免降低刀盘刚性, 产生振刀现象。

(3) 两把刀的刀头几何形状、尺寸要磨削一致, 使刀盘受力均匀。

(4) 球面装夹时, 要保持两块球面瓦的加工基准一致, 以减小误差。

(5) 加工中要注意回转台的转向, 使工件承受垂直向下的切削力, 避免由于回转台卡盘与底盘间的轴承间隙, 引起卡盘和工件的跳动。

3.6 误差分析及消除方法

3.6.1 误差分析

球面瓦产生形位误差的因素较多, 主要有以下几种:对刀误差δ刀, 铣头主轴径向跳动误差δ主, 工件安装及系统误差δ装, 回转台主轴径向跳动误差δ台, 这些因素引起的球面瓦形位误差为δ:

δ=δ刀+δ主+δ台+δ装 (1)

上述误差有时是相互重叠的, 有时则不一定重叠, 因此应尽量减小各种误差。

3.6.2 误差消除方法

在球面瓦的形位误差δ中, δ主和δ台是由所选用的机床及回转台的精度决定的, 选用精度高的机床及回转台用于加工, 这两个误差很小, 对球面误差的影响不大。对于δ装, 主要取决于工艺装置本身的加工精度及安装夹紧工件时的调整, 因此提高工装胎具的制作精度, 装夹时仔细校正, 可以大大降低δ装。对于δ刀, 在粗加工时可略大些, 但在精加工时必须仔细找正, 可使用百分表等进行找正, 使铣刀旋转中心重合, 这样就可以加工出符合图纸要求的球面瓦。

3.7 铣削法加工存在的不足

(1) 球面瓦的孔及外球面的加工需在两种机床上完成, 加大了工艺的复杂程度, 增加了转运吊装等环节。

(2) 加工装置复杂, 准备工作时间长。

(3) 要求操作工人的技术水平高。

铣削法的经济效益分析

虽然铣削法存在不足, 但它的经济效益是明显的。主要表现在以下几个方面:

(1) 球面瓦机加工的成品合格率由30%提高到接近100%。我公司每年加工各类球面瓦60块左右, 而每报废1块球面瓦的损失近1 800元, 改进后每年可减少损失近10万元。

(2) 加工效率提高两倍多。节约工时, 减少人工费, 加工每块球面瓦节电50 kW·h, 每年节电近1 000 kW·h。

(3) 减少了球面瓦人工刮研时间, 每块球面瓦节约工时近15 h, 每年节约人工费近8 000元。

(4) 由于球面瓦加工精度提高, 延长了使用寿命, 减少了水泥厂配件的储备, 具有良好的社会效益。

4 结语

根据几年来的经验积累, 我公司对球面瓦外球面加工工艺持续进行改进, 以满足不同产品的制造需求。现根据铣削法加工外球面的原理, 设计制作了专用的外球面加工设备, 用于各类球面瓦的加工。实践证明, 采用铣削法加工球面瓦外球面是成功的, 不仅提高了产品质量和劳动生产率, 而且具有良好的经济效益和社会效益, 值得推广应用。

参考文献

[1]《回转窑》编写组.回转窑 (设计、使用与维修) [M].北京:冶金工业出版社, 1977.

[2]机械工程手册编辑委员会.机械工程手册[M].第2版.北京:机械工业出版社, 1997.

[3]赵如福.金属机械加工工艺设计手册[M].上海:上海科学技术出版社, 2009.

[4]成大先.机械设计手册[M].第3版.北京:化学工业出版社, 2002.

[5]乐兑谦.金属切削刀具[M].第2版.北京:机械工业出版社, 2005.

圆是球面上的直线及球面平行定理第7篇

线只有长度没有宽度。

在球面上大圆及小圆皆为直线。

如果两条直线有公共点, 那么这两条直线叫相交直线。

在直线上某一点一旁的部分叫射线, 这一点叫射线的原点或端点。

直线上两点之间的部分叫线段。这两点叫线段的端点。两条线段的长度一样叫相等, 长度不一样叫不相等。

线段是某一直线的一部分, 线段沿这一直线延长的部分叫延长线。

球面上的两点的距离为通过这两点的大圆的劣弧的长度。在球面上通过两点的直线有无数条, 但必有一条是最短的, 我们就用这条最短的来定义两点之间的距离。

球面上经过一点作两条圆弧, 它们所构成的图形叫做球面角。这两条圆弧可以是大圆弧, 也可以是小圆弧。这两条圆弧叫做角的边。这一点叫角的顶点。球面角的大小, 等于这两条圆弧各自的平面之间的夹角。也就是说球面角用两面角的大小来度量。

当一条直线和另一条直线交成的邻角彼此相等时, 这些角的每一个叫做直角, 而且一条直线垂直于另一条直线。

当包含角的两条边是一直线时, 这个角叫做平角。

当包含角的两条边重合时, 这个角叫做周角。

大于直角的角叫钝角。

小于直角的角叫锐角。

如果两个角的和为90度, 那么这两个角互为余角。

如果两个角的和为180度, 那么这两个角互为补角。

如果一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线, 则这两个角叫对顶角。

将一个角一分为二的那条线叫做角平分线。

直线形是由直线围成的, 三边形是由三条直线围成的, 四边形是由四条直线围成的, 多边形是由四边以上的直线围成的。

在三边形中, 三条边相等的, 叫做等边三角形, 只有两条边相等的, 叫等腰三角形, 各条边不相等的, 叫做不等边三角形。

平行线是不相交, 且距离保持不变的直线。

2 球面上的公理

由任意一点到任意另一点可以画无数条直线。

不相交的直线未必平行。

在球面上, 过已知直线外一已知点 (非极点) , 只能作一条直线平行于已知直线。

3 球面上的定理

3.1 对顶角相等

在球面上对顶角相等。因为, 球面角是由两面角度量的, 而两面角也是相交的两个平面所形成的角。而相交的两个平面所形成的角的对顶角是相等, 所以在球面上, 对应角也是相等的。

3.2 三点决定一条直线

在球面上, 三点确定一条直线。

因为三点决定一个圆, 而圆是球面上的直线, 所以在球面上三点决定一条直线。这与平面上不同。所以在球面上三点决定一个方向, 而不是两点决定一个方向。

3.3 垂线

过直线外一点或直线上一点, 可以作无数条直线与原来的直线垂直。

3.4 平行线的性质

如图1所示, 直线a与直线b、c相交, 这样就形成了8个角。其中角3、4、5、6为内角, 角1、2、7、8为外角, 角1与5, 2与6, 3与7, 4与8叫做同位角, 角3与5, 4与6叫做内错角, 角1与7, 2与8叫做外错角, 角3与6, 4与5叫做同旁内角, 角1与8, 2与7叫做同旁外角。

在球面上, 两条平行的直线若被第三条直线所截, 则同位角相等、内错角也相等。因为球面角是用两面角来度量的, 若两直线平行, 则两直线所在的平面也一定是平行的, 第三条直线与这两条直线相截, 也就是第三条直线所在的平面与平行的平面相交, 而两平行的平面被第三个平面所截, 同位角当然是相等的, 内错角当然也是相等的了。

在球面上, 两条平行的直线若被第三条直线所截, 则同旁内角的和等于180度。因为球面角是用两面角来度量的, 若两直线平行, 则两直线所在的平面也一定是平行的, 第三条直线与这两条直线相截, 也就是第三条直线所在的平面与平行的平面相交, 而两平行的平面被第三个平面所截, 同旁内角当然是互补的了。

3.5 平行的判定

在球面上, 若两直线不相交, 且一直线上的三点分别到另一直线的距离皆相等, 则两直线平行。因为三点决定一条直线, 所以, 若两条直线不相交, 且一条直线上的三点分别到另一条直线的距离皆相等, 则这条直线任意一点到另一条直线的距离也都是相等的, 所以它们平行。

球面上两条不相交的直线被第三条直线所截, 若同为角相等, 截线相等, 则两直线平行。

已知:如图2所示, 直线b、c不相交, 直线b、c被直线a所截, a与b的交点为d、g, a与c的交点为e、h, 球面角∠adb与∠aec相等, 截线de与gh相等。求证a与b平行。

证:由于b与c不相交, 所以dg和eh也不相交, 由于de和gh相等, 所以, e到dg的距离等于h到dg的距离;由于dg和eh不相交, e到dg与h到dg的距离相等, 所以, dg与eh平行;由于dg与eh平行, 且球面角∠adb与∠aec相等, 所以b与c平行。证毕。

球面上两条不相交的直线被第三条直线所截, 若内错角相等, 截线相等, 则两直线平行。

3.6 三角形内角和

三角形的内角和大于等于180度。由于三角形的边可以是大圆弧, 也可以是小圆弧, 所以, 球面三角形的内角和大于等于180度。

如图3所示, 当∠A B C=90度, ∠B C A=30度, ∠C A B=60度时, 球面三角形A B C的内角和就等于180度。

3.7 三角形的外角

三角形的外角大于等于两个不相邻的两个内角的和。