生活中的多边形

生活中的多边形（精选4篇）

生活中的多边形 第1篇

1算法描述

1.1利用快速排斥试验算法判断线段与多边形的关系

假设多边形的顶点为{Pi}的n次方,i = 0 ,其中Pi=(Pix,Piy),P0= Pn,裁剪线段为L ,它的两个端点分别为A和B。用Ax,Ay,Bx,By分别表示A和B点的x,y坐标。用快速排斥试验的方法判断L是否完全不可见,即判断A和B是否落在多边形P0,P1,…,Pn包围盒的同一侧,记为公式(1)

若Ax和Bx<Xmin,或Ay和By<Ymin,或Ax和Bx>Xmax,或Ay和By> Ymax,则L为完全不可见线段且与多边形没有交点。 若用快速排斥试验不能确定L是否可见,则X max = max{Pix}(0 ≤ i ≤ n); 继续进行运算。若判断出被裁剪线段是否完全不可见,则求出被裁剪线段与多边形窗口边界的真实交点。对求出的所有真实交点和被裁剪线段的端点同时排序,根据排序的结果将被裁剪线段分成若干条子线段,然后选择线段的一个端点判断该端点是否在多边形内。若在多边形之内,表明奇数点到偶数点间的线段在多边形内且显示,偶数点到奇数点间的线段不显示。若该端点在多边形之外,表明奇数点到偶数点间的线段不在多边形内且不显示。

1.2跨立试验算法研究

设以线段P1P2为对角线的矩形为R,设以线段Q1Q2为对角线的矩形为T. 若两线段相交,则两线段必然相互跨立对方。若P1P2跨立Q1Q2,则矢量(P1 - Q1) 和(P2 - Q1) 位于矢量(Q2 - Q1) 的两侧,得出:

(P1 - Q1) × (Q2 - Q1) × (P2 - Q1) × (Q2 - Q1) < 0 ,将其改写成:

当(P1 - Q1) ×(Q2 - Q1) = 0时,说明(P1 -Q1)和(Q2 - Q1 )共线,由快速排斥试验分析得知P1一定在线段Q1Q2上,同理(Q2 - Q1) × (P2 - Q1) = 0 ,说明P2一定在线段Q1Q2上,判断P1P2跨立Q1Q2的依据是

(P1 - Q1) × (Q2 - Q1) × (Q2 - Q1) × (P2 - Q1) ≥ 0

判段Q1Q2跨立P1P2的依据是

(Q1 - P1) × (P2 - P1) × (P2 - P1) × (Q2 - P1) ≥ 0 ,具体情况如图1所示:

1.2.1特殊情况处理的一致性方法

对相交的线段求交时裁剪线段通过多边形的顶点,若两个相临边在被裁剪线段的同侧,即不为交点,若在裁剪线段的异侧则记为交点。若相交的线段求交时裁剪线段与多边形的边重合则做顶点的凹凸性判断,即在两线段重合部分的两端点中,若端点是多边形凸顶点,则将该顶点记为交点,若是多边形凹顶点,则该顶点不记为交点。若被裁剪线段的端点在多边形窗口的边上而不在顶点上,将端点记为交点,若该端点在多边形顶点上,则将该端点及其上的所有交点按横坐标从小到大排序来讨论左端点在多边形顶点是否记为交点的情况。

1.3任意多边形裁剪圆的算法研究

求出多边形与圆的交点,记录公共点包括交点与切点的位置与数量,根据多边形与圆的公共点数量对圆进行分类,对“有无公共点圆”进行裁剪。设线段端点P1(x1,y1) P2(x2,y2) 得到线段所在直线的方程ax + by + c = 0 ,圆心P0(x0,y0) )和半径r得到圆的方程(x-x0)´2+(y-y0)´2=r2,由点到圆的距离公式算出圆心到线段的距离d。假设圆与线段有两个公共点,将线段P1P2写成参数方程形式。x与y是公共点坐标信息,t为参数用来判断直线与圆公共点是否不在线段范围内。按公式(2) 判定出多边形与圆的关系。

综上分析,若d>r则多边形与圆没有公共点,将两个公共点对象的t置为不合法。若d<=r则通过圆方程与线段参数方程求解公共点坐标与参数,将t合法的公共点对象记录为多边形与圆的公共点。对于d=r的情况视为有两个相同的公共点输出。

2软件测试与应用分析

任意line和circle,与多边形裁剪边界相交时正确裁剪显示:a)是裁剪前图级的line和circle需要裁剪显示时正确的显示图形显示;b)是裁剪后裁剪前图级的line和circle需要裁剪显示时正确的显示图形显示。

3结论

本文解决了海量矢量图形如何在非自交多边形边界中的裁剪显示问题,通过采用快速排斥试验,跨立试验等算法实时高效地计算海量矢量图形与任意多边形区域的交点,正确显示位于多边形边界内部的图形部分,在实现基本功能的基础上, 最终实现当有百万级的line和circle需要裁剪显示时,统计的完成裁剪显示的时间不超过10s,存储器占用不超过100MB,提升了时间和空间效率。

参考文献

[1]刘勇奎,刘桂英.一般多边形窗口的线裁剪[J].计算机辅助设计与图形学学报,1993,5(4):269-274.

[2]汪灏泓,吴锐迅,蔡志杰.一种几何变换的高效的线裁剪新算法[J].软件学报,1998,9(10):728-733.

[3]刘勇奎,颜叶,石教英.一个有效的多边形窗口的线裁剪算法[J].计算机学报,1999,22(11):209-214.

生活中的多边形 第2篇

关键词： 小学数学 探究能力 多边形面积 课堂教学

学生是学科知识要点和学习方法策略的不懈追求者和主动探究者。课堂作为学生学习实践和技能锤炼的“主阵地”，必须切实做好学生学科技能培养的舞台搭建、过程设置和方法讲授等工作。五、六年级学生群体经过一定时期的培养和锤炼，逐步掌握和形成探究解答数学问题的方法和经验，对一些数学问题的解决已经有自己独特的见解和观点。但数学能力培养是一项长期、系统的工程，随着学习知识的增加、学习要求的提高，对数学学习能力提出与时俱进、更高的目标要求。现就多边形面积教学中小学生数学探究能力培养进行浅显试论。

一、展现多边形面积应用意义，让学生感受数学探究的价值。

数学学科是一门与现实生产、生活紧密相连的基础科学，学习掌握数学知识及解题技巧，目的是认知和解决现实问题。探究实践作为学生学习数学的必经路径，很多五、六年级学生面对数学探究问题，特别是几何图形问题，缺乏兴趣，畏首畏尾，不知所措。出现此种情况的原因主要是学生主体缺少能动数学探究的“潜能”。多边形面积章节看似是几何图形的数学计算问题，实际上与人们的生活、生产密切联系，应用广泛。教师在实际教学进程中可以将现实生活中有关多边形面积的事例展示出来，展现出它的现实应用意义，让小学生深切感受多边形面积章节的生活应用“魅力”，从而增强自主探究解答多边形面积的主动性和能动性。如“梯形的面积”教学中，教师采用情景教学法，将现实生活中有关梯形的面积问题，向小学生指出“在生产、生活中，我们遇到的事物是不是全是规则的三角形、正方形、长方形等图形？如农村农民伯伯种的土地，许多就是不规则的多边形田地，人们在计算它的面积时比较困难，此时人们将不规则的多边形田地的边长全部测量出来，然后画出平面示意图，通过计算多边形面积的方式求出不规则图形的面积”。同时配以与之相对应的教学挂图，让小学生受到直观感受，深切感受多边形面积表现出来的生活应用意义，从而思想上产生认同感，情感产生能动性。

二、组织多边形面积探究教学，让学生获取数学探究的技能。

学生是课堂教学的“主人”，应全程参与课堂教学活动的每一环节，有效完成教师布置的每一问题。探究能力提升需要学生亲自参与和亲自实践。教师“口对口”的直接告知形式，难以推动和促进学生主体数学探究技能的成长和进步。笔者认为多边形面积教学活动应该是学生动手探究、思维探析的有效“舞台”，应该是学生包括探究能力培养锤炼的重要“路径”。教师要切实为小学生解决多边形面积问题提供充足、丰富的探究时机，组织和引导小学生深入细致地进行解决多边形面积的动手探究等活动，让小学生获取更多、更深的数学实践、动手操作活动，更深刻地理解和感悟解决多边形面积问题，锻炼和培养其数学探究技能，实现数学学习能力的有效提升。

“如图所示，已知大正方形的边长是12厘米，小正方形的边长是8厘米，求阴影部分的面积”。在问题教学中，教师引导学生探析，学生探究该数学问题题意认识到，要求的阴影部分的面积是一个三角形。通过观察活动，可以发现这个三角形的底边长度就是小正方形的边长长度，它的高就是大正方形的边长长度。由此可以得到这个阴影部分的面积为48平方厘米。教师对他们的解析思路及过程进行点评，强调指出，正确找出图形阴影部分的形状。在此基础上，教师对上述多边形面积问题进行适当变化，设置出“已知图中大正方形边长是12cm，小正方形边长是8cm，求图中阴影部分的面积”问题案例，组织小学生动手操作探究，学生分析题意认识到这是关于组合图形的面积方面的计算，根据揭示的图像内容，可以知道阴影部分的面积等于小正方形的面积的一半，加上大正方形的面积，减去上下两个空白处的三角形的面积，代入数据即可求解。学生根据解题思路进行解题活动，教师最后点评，明确指出解答此题的关键是：将阴影部分的面积转化成规则图形的面积和或差，问题即可得解。

三、注重多边形面积学习反思，让学生领悟有效解决的方略。

善于反思、善于总结，是良好、优秀学习习惯和学习品质的生动表现。笔者发现许多小学生在探求学科学习进程中，缺乏对自身探究过程“过滤”的主动性，导致探究活动效能不明显。因此，教师在组织开展多边形面积教学时，要将反思教学活动渗透和引入其中，要求小学生在认真探究、深刻实践的基础上，及时对自身或他人的动手探究进程进行“回头看”，客观、深刻、公正地分析和指点，更深层地思考和辨析，以此领悟和掌握有效解决问题的方法和策略，养成探究的良好习惯。

如“一个梯形下底是12厘米，高是4厘米，面积是36平方厘米，求这个梯形的上底”问题教学时，教师在小学生认知问题题意、探寻解题思路及解答问题过程等实践环节基础上，组织他们开展探究过程的反思评点活动，要求小学生组建合作反思活动，积极表达自己的解题见解及观点，同时小组之间深入讨论。在此进程中小学生对此问题的认识更为深刻，切实认识到该问题实际是梯形面积公式的反应用，解题时需要正确应用梯形面积公式。让他们对该问题的本质有深刻认识和掌握，同时对其解答具体方法有深入的认知和理解。

总之，数学探究能力培养应落实到每一环节、每一过程。以上是笔者结合多边形面积章节教学，对数学探究能力培养所做的简单论述，如有不妥还望指证，以期共同提升小学生数学探究能力素养。

参考文献：

[1]崔海涛.浅谈小学生数学探究能力的培养[J].新课程：小学，2012（3）.

生活中的多边形 第3篇

一、提炼基本模型

问题一:能否作一条直线将△ABC分成面积相等的两部分?

已知:△ABC.

结论:可作一条直线平分△ABC的面积.

方法:作△ABC一条中线所在的直线.

基本模型:平分△ABC面积的直线是三角形中线所在的直线.

二、应用基本模型

1.基本模型在梯形中的应用

问题二:如图1, 如何作一条直线将梯形ABCD分成面积相等的两部分?

(1) 将梯形转化为三角形

方法一:如图2 所示, 取DC中点M, 连接AM并延长交BC的延长线于点N, 则S△ADM= S△CMN, 因此S梯形 ABCD= S△ABN, 根据三角形面积的平分方法, 即可平分此梯形.

方法二:如图3 所示, 取AB、CD的中点M、N及AD上任取一点E, 连接EM、EN并延长交CB延长线、BC延长线于点G、H, 则S△AEM= S△BGM, S△DEN= S△CHN, 因此S梯形ABCD= S△EGH, 也根据三角形面积的平分方法, 即可平分此梯形.

(2) 将梯形转化为平行四边形

方法一:如图4 所示, 可将梯形转化为矩形, 分别过AB、DC的中点M, N作BC的垂线, 交BC于点F、G, 交DA和AD的延长线于点E, H, 则S△AEM= S△BFM, S△DHN= S△CGN, 因此S梯形 ABCD=S矩形EFGH, 根据平行四边形面积的平分方法, 即可平分此梯形.

方法二:如图5 所示, 可直接将梯形转化为平行四边形, 方法更简单.过DC的中点M, 作AB的平行线交BC于点F, 交AD的延长线于点E, 则S△DEM= S△CFM, 因此S梯形 ABCD= S荀ABFE, 根据平行四边形面积的平分方法, 也可平分此梯形.

(3) 平分梯形面积的通法

平分梯形面积的方法很多, 无论哪种方法所作的直线都满足下列两个条件:

①经过梯形中位线中点;②与梯形的两底相交.

理由如下, 如图6所示,

3. 基本模型在任意五边形中的应用

问题三: 如图7, 如何作一条直线将五边形ABCDE分成面积相等的两部分.

解法将任意五边形转化为三角形, 如图8 所示, 连接AC, AD, 过点B, E分别作AC, AD的平行线, 交直线CD于点G, H, 连接AG和AH分别交BC、DE于点M, N, 即形成了两对蝴蝶型, 则有S△ABM= S△CGM, S△AEN= S△DHN, 将五边形ABCDE的面积转化为面积相等的三角形AGH, 因此S五 边 形 ABCDE=S△AGH, 根据三角形面积的平分方法, 即可平分此五边形.

三、反思基本图形教学

1. 本文蕴含的基本图形

在多边形面积平分问题中, 可以归纳出以上四种基本图形:三角形、平行四边形、梯形、蝴蝶形, 具体分割方法如上图所述. 平分梯形可以直接转化为三角形或平行四边形来解决, 平分任意四边形或任意五边形可以利用蝴蝶形间接转化为三角形来解决, 不论是哪种多边形面积平分问题都可以转化为三角形面积平分问题. 所以教师在教学中要有意识的引导学生挖掘基本图形, 在解题中灵活运用基本图形, 这样便可以快捷的找到解题思路, 缩短思维距离, 提高解题速度.

2. 将基本图形功能最大化

教无定法, 不同的问题有不同的教学方法, 相同的问题不同的老师教法也不一定相同, 当然教学效果也有区别.如何使问题教学功能最大化, 从多年的教学实践中总结出对问题的处理可分为三个层次;

第一层次:教法单一, 就题论题. 学生能听懂但不一定会做, 这是最低层次. 常听一些老师抱怨: 反复多次讲过的问题, 还是有很多的学生仍然不会做, 就认为是学生不努力、脑子笨. 我认为这样说对学生是不公平的, 因为就提论题的教学方式本身就有很大的弊端, 教给学生的知识是孤立的、零散的, 学生难以沟通知识间的联系, 一旦问题变化就束手无策, 即使老师讲过的问题也容易忘记.

第二层次: 教法多样, 变式拓展. 对问题能进行一题多解, 一题多变, 引导学生对问题多角度、多层次、多方面思考, 这是第二层次, 这样的教学方式能培养学生的发散思维, 能灵活的运用所学知识思考问题解决问题.

感悟四边形中的数学思想 第4篇

一､方程思想

例1 如图1所示,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8.若将矩形折叠,使点C与点A重合,则折痕为EF.试求折痕EF的长.

解析:如图2,连接AC,AC与EF交于点O.连接AF､CE.因为沿EF折叠后点C与点A重合,所以△AEF和△CEF关于EF对称,所以OA=OC,EF⊥AC.因为四边形ABCD是矩形,所以AE∥FC,所以∠1=∠2.又OA=OC,∠AOE=∠COF,所以△AOE≌△COF.所以OE=OF.所以四边形AFCE是平行四边形.又因为EF⊥AC,所以AFCE是菱形,所以AF=FC.在Rt△ABC中,AB=6,BC=8,所以AC=10.所以OA=OC=5.设BF=x,则CF=8-x,故AF=8-x.在Rt△ABF中,有x2+62=(8-x)2,所以x=.所以CF=.在Rt△FOC中,有OF===,所以EF=.

点评:特殊四边形折叠问题中,求线段的长度,往往是根据折叠性质(相应的边､角相等),通过勾股定理建立方程解决.

二､分类讨论思想

例2 在四边形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,AC与BD相交于点O,∠BOC=120°,AD=7,BD=10,求四边形ABCD的面积.

解析:满足条件的四边形既可能是等腰梯形,也可能是平行四边形,所以应分类加以讨论.

(1)当四边形ABCD为等腰梯形时,如图3.过D点作DE∥AC交BC的延长线于点E,作DF⊥BC于点F.由∠BOC=120°,知∠OBC=∠OCB=∠DEF=30°,故DF=DE=AC=BD=5.在Rt△BDF中,根据勾股定理得BF==5,故梯形ABCD的面积=(AD+BC)·DF=(CE+BC)·DF=BE·DF=·2BF·DF=25.

(2)当四边形ABCD为平行四边形时,如图4.过B点作BE⊥AC于点E,由∠BOC=120°,得∠OBE=30°,故OE=OB=.根据勾股定理得BE=.在Rt△BEC中,由勾股定理得CE==,OC=CE-OE=3.故△BOC的面积=OC·BE=.而ABCD的面积为△BOC的面积的4倍,故等于15.

综上所述,四边形ABCD的面积为25或15.

点评:对于题中没有给出具体图形的题目,要对可能存在的各种情况加以讨论,要注意不遗漏､不重复.

三､转化思想

例3 如图5,在ABCD中,对角线AC和BD相交于点O .△OBC的周长为59,BD=38,AC=24,则AD= .若△OBC与△OAB的周长差为15,则AB= ,ABCD的周长为 .

解析:要求AD的长,根据已知条件可转化为求BC的长.要求AB的长,关键是将△OBC与△OAB的周长差转化为平行四边形两邻边BC与AB的差 .

在ABCD中,OA=OC=AC,OB=OD=BD,所以有:△OBC的周长=OB+OC+BC=BD+AC+BC=19+12+BC=59.所以AD=BC=28 .

△OBC的周长-△OAB的周长=(OB+OC+BC)-(OA+OB+AB)=BC-AB=15,而BC=28,所以AB=13.

所以ABCD的周长=2(AB+BC)=2×(13+28)=82.

点评:在解题中,对于比较复杂或陌生的问题,常常通过转化将其变为比较简单或熟悉的问题来解决.

注:本文中所涉及到的图表､注解､公式等内容请以PDF格式阅读原文