概率和数理统计

概率和数理统计（精选12篇）

概率和数理统计 第1篇

关键词：概率论,数理统计,学习对策

一、概率论与数理统计学习内容

概率论和数理统计课程按照2009年颁布的专业数学规范和基础课程教学要求, 其具体包容包括:概率和随机事件、随机变量及分布、多维随机变量及分布、随机变量体现的数字特点等。同时又将上述内容划分为各种了解、理解和掌握内容, 相应的提出在教学课堂中, 应当不断改革教学内容和课程体系、教学手段与方法。通过分析这些教学的具体内容与要求, 教育部颁布的专业数学规范和基础课程教学要求仅仅是对一些教学内容进行了指导, 基于怎样改革, 怎样因材施教, 对学生数学应用能力怎样培养, 并没有一个具体标准。可是, 经过分析当前社会需要的人才类型, 以及科学发展对学生知识与能力的具体要求, 指导学生在数学学习中构建概率论和树立统计思想, 同时还能够积极运用, 这便是共同的目标。

二、概率论和数理统计学习对策统计分析的必要性

我们都知道, 概率和数理统计的理论方法具有极为广泛的应用, 几乎涉及了全部科技领域以及各个国民经济部分, 所以, 在各个工科院校概率论和数理统计已经成为一门重要课程, 但是在这一课程中出现了很多问题, 具体包括:

着重突出了教学, 而忽略了学习对策, 学生在课堂上主要是处在被灌输知识的位置。尤其是数理统计, 大量的数据计算, 繁琐的推导, 学生毫无兴趣的在听讲。他们普遍认为这样的课程简直是在浪费时间, 倒不如自己看书。2教师在教学过程中思考的是怎样讲完课程, 讲解概念一个也不漏, 选择的全部是理想化的例题, 忽略了培养学生学习能力。我国改革经济体制以后, 不但提高了人才的能力素质要求, 还产生了教学内容与学生学习效率差之间的突出矛盾, 因此, 要想获得良好的有些效果, 统计分析概率论和数理统计学习对策具有一定的必要性。

三、概率论和数理统计学习对策的统计分析

(一) 调研内容

本文概率论和数理统计学习对策统计分析的调查问卷包含3方面, 1方面题目对重复强化对策进行了描述, 2方面对规则套用对策进行了描述, 3方面则对自然练习对策进行了描述。数据分析包含了4个变量, 其中概率论和数理统计学习成绩是被解释变量, 问卷题目中的3种学习对策构成了解释变量, 具体设计为:被解释变量:重复强化对策、规则套用对策和自然练习对策;题目数:8、6和9;描述:概率论和数理统计所涉及的定义、性质等理论知识;概率论和数理统计中利用公式实行计算;通过概率论和数理统计对现实问题有效解决。

(二) 统计分析

3种学习对策出现的差异。通过显著性检验3种学习对策的应用情况可知:重复强化对策:平均值2.47, 标准值0.65;规则套用对策:平均值2.78, 标准值0.87;自然练习对策:平均值2.12, 标准值0.64。通过分析可知, 3种学习对策的应用获得了不同的平均值, 其中应用频率比较高的是重复强化对策, 表明学生一般对复习学习内容较为重视, 也能够自觉的模仿计算方法。学习对策应用最高频率的是规则套用, 具体原因是在课堂教学中教师主要是传授计算规则, 强调计算方法, 通常给学生布置计算题目的作业, 因此学生非常多的使用这一对策。频率最低的是自然练习对策, 原因是课堂上教师很少与学生进行交流讨论, 学生也忽视了培养学习能力, 在课外很少利用学到的知识对实际问题进行解决。

为了对使用3种学习对策的情况明确分析, 采用方差分析法实行显著性检验。具体结果:平均数之差每对的绝对值a:重复强化对策和规则套用对策4.02, 重复强化对策和自然练习对策6.636 p<0.01, 容量10;规则套用对策和自然练习对策10.645, p<0.01, 容量12。通过分析结果可知每一对平均值的差异非常明显, 应用3种学习对策情况出现的差异都很明显。

(三) 应用学习对策上高分数与低分数学生出现的差异

高分数是概率论和数理统计成绩超过80分共10人, 低分数是概率论和数理统计成绩低于50分共8人, 通过t―检验高分数与低分数各种学习对策的平均数值, 见表1。

从表1中能够看出, 3种学习对策的p<0.01, 表明高分数与低分数应用情况的差异非常显著。3种学习对策的使用高分数要好于低分数, 这一结果与很多研究结果相同, 进一步表示学习优秀者和落后者, 前者对学习对策的应用更好。

(四) 概率论和数据统计成绩与学习对策关系密切

相关性分析概率论与数理统计学习成绩和学习对策, 结果:重复强化对策:R0.472, Sig0.0001;规则套用对策:R0.382, Sig0.0004;自然练习对策:R0.554, Sig0.0002。通过分析可知, 3种学习对策和相关的成绩系数数值为正, 表明他们之间是正比例关系, 也就是适用学习的对策越高则成绩越优秀。通过显著性检验有关系数可知, 3种学习对策和成绩之间的相关系数为<0.01, 因此得出, 概率论和数理统计成绩紧密联系着3种学习对策, 应用它们对成绩发挥了促进作用。

(五) 对概率论和数理统计成绩学习对策发挥了预测功能

上述结果已经表明3种学习对策紧密联系着成绩, 在这个前提下实行回归分析, 能够有效证实3种学习对策是否对成绩发挥了预测功能。通过显著性检验回归系数可知P数值全部为<0.01, 出现了线性关系。

上述分析可知, 对成绩来说学习对策具有显著的预示功能, 3种对策中预示功能最不显著的是规则套用对策, 比较明显的是重复强化对策, 而最显著的则是自然练习对策。

结束语

概率和统计知识点总结 第2篇

一、平均数（3分）

1、平均数的概念

（1）平均数：一般地，如果有n个数那么，叫做这n个数的平均数，读作“x拔”。（2）加权平均数：如果n个数中，出现次，出现次，„，出现次（这里），那么，根据平均数的定义，这n个数的平均数可以表示为，这样求得的平均数叫做加权平均数，其中叫做权。

2、平均数的计算方法（1）定义法

当所给数据比较分散时，一般选用定义公式：（2）加权平均数法：

当所给数据重复出现时，一般选用加权平均数公式：，其中。（3）新数据法：

当所给数据都在某一常数a的上下波动时，一般选用简化公式：。其中，常数a通常取接近这组数据平均数的较“整”的数，，„。是新数据的平均数（通常把叫做原数据，叫做新数据）。

考点

二、统计学中的几个基本概念（4分）

1、总体

所有考察对象的全体叫做总体。

2、个体

总体中每一个考察对象叫做个体。

3、样本

从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本。

4、样本容量

样本中个体的数目叫做样本容量。

5、样本平均数

样本中所有个体的平均数叫做样本平均数。

6、总体平均数

总体中所有个体的平均数叫做总体平均数，在统计中，通常用样本平均数估计总体平均数。

考点

三、众数、中位数（3~5分）

1、众数

在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。

2、中位数

将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。考点

四、方差（3分）

1、方差的概念

在一组数据中，各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差。通常用“”表示，即

2、方差的计算（1）基本公式：

（2）简化计算公式（Ⅰ）：

也可写成

此公式的记忆方法是：方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方。（3）简化计算公式（Ⅱ）：

当一组数据中的数据较大时，可以依照简化平均数的计算方法，将每个数据同时减去一个与它们的平均数接近的常数a，得到一组新数据，„，那么，此公式的记忆方法是：方差等于新数据平方的平均数减去新数据平均数的平方。（4）新数据法：

原数据的方差与新数据，„，的方差相等，也就是说，根据方差的基本公式，求得的方差就等于原数据的方差。

3、标准差

方差的算数平方根叫做这组数据的标准差，用“s”表示，即

考点

五、频率分布（6分）

1、频率分布的意义 在许多问题中，只知道平均数和方差还不够，还需要知道样本中数据在各个小范围所占的比例的大小，这就需要研究如何对一组数据进行整理，以便得到它的频率分布。

2、研究频率分布的一般步骤及有关概念（1）研究样本的频率分布的一般步骤是： ①计算极差（最大值与最小值的差）②决定组距与组数 ③决定分点 ④列频率分布表 ⑤画频率分布直方图

（2）频率分布的有关概念 ①极差：最大值与最小值的差

②频数：落在各个小组内的数据的个数

③频率：每一小组的频数与数据总数（样本容量n）的比值叫做这一小组的频率。考点

六、确定事件和随机事件（3分）

1、确定事件

必然发生的事件：在一定的条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件。不可能发生的事件：有的事件在每次试验中都不会发生，这样的事件叫做不可能的事件。

2、随机事件：

在一定条件下，可能发生也可能不放声的事件，称为随机事件。考点

七、随机事件发生的可能性（3分）一般地，随机事件发生的可能性是有大小的，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同。

对随机事件发生的可能性的大小，我们利用反复试验所获取一定的经验数据可以预测它们发生机会的大小。要评判一些游戏规则对参与游戏者是否公平，就是看它们发生的可能性是否一样。所谓判断事件可能性是否相同，就是要看各事件发生的可能性的大小是否一样，用数据来说明问题。

考点

八、概率的意义与表示方法（5~6分）

1、概率的意义

一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率。

2、事件和概率的表示方法

一般地，事件用英文大写字母A，B，C，„，表示事件A的概率p，可记为P（A）=P 考点

九、确定事件和随机事件的概率之间的关系（3分）

1、确定事件概率

（1）当A是必然发生的事件时，P（A）=1（2）当A是不可能发生的事件时，P（A）=0

2、确定事件和随机事件的概率之间的关系 事件发生的可能性越来越小

0

1概率的值

不可能发生必然发生

事件发生的可能性越来越大 考点

十、古典概型（3分）

1、古典概型的定义

某个试验若具有：①在一次试验中，可能出现的结构有有限多个；②在一次试验中，各种结果发生的可能性相等。我们把具有这两个特点的试验称为古典概型。

2、古典概型的概率的求法

一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m中结果，那么事件A发生的概率为P（A）= 考点

十一、列表法求概率（10分）

1、列表法

用列出表格的方法来分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法。

2、列表法的应用场合

当一次试验要设计两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法。

考点

十二、树状图法求概率（10分）

1、树状图法

就是通过列树状图列出某事件的所有可能的结果，求出其概率的方法叫做树状图法。

2、运用树状图法求概率的条件

当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率。考点

十三、利用频率估计概率（8分）

1、利用频率估计概率

在同样条件下，做大量的重复试验，利用一个随机事件发生的频率逐渐稳定到某个常数，可以估计这个事件发生的概率。

2、在统计学中，常用较为简单的试验方法代替实际操作中复杂的试验来完成概率估计，这样的试验称为模拟实验。

3、随机数

在随机事件中，需要用大量重复试验产生一串随机的数据来开展统计工作。把这些随机产生的数据称为随机数。

10年陕西中考原题 2004 20.（本题满分8分）某研究性学习小组，为了了解本校初一学生一天中做家庭作业所用的大致时间（时间以整数记.单位：分钟），对本校的初一学生做了抽样调查，并把调查得到的所有数据（时间）进行整理，分成五个时间段，绘制成统计图（如图所示），请结合统计图中提供的信息，回答下列问题：

（1）这个研究性学习小组所抽取样本的容量是多少？（2）在被调查的学生中，一天做家庭作业所用的大致时间超过120分钟（不包括120分钟）的人数占被调查学生总人数的百分之几？

（3）这次调查得到的所有数据的中位数落在了五个时间段中的哪一段内？

22.（本题满分10分）

足球比赛的记分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，输一场得0分.一支足球队在某个赛季中共需比赛14场,现已比赛了8场,输了1场,得17分.请问:(1)前8场比赛中,这支球队共胜了多少场?(2)这支球队打满14场比赛,最高能得多少分?(3)通过对比赛情况的分析,这支球队打满14场比赛,得分不低于29分,就可以达到预期的目标.请你分析一下,在后面的6场比赛中,这支球队至少要胜几场,才能达到预期目标?

2005

5．我省某市2005年4月1日至7日每天的降水概率如下表： 日期（日）1 2 3 4 5 6 7

降水概率 30％ 10％ 10％ 40％ 30％ 10％ 40％

则这七天降水概率的众数和中位数分别为

（）

A.30％，30％

B.30％，10％

C.10％，30％

D.10％，40％ 19．（本题满分7分）

某校对某班45名学生初中三年中戴近视眼镜人数进行了跟踪调查，统计数据如图①所示。（1）如果用整个圆代表该班人数，请在图②圆中画出该班七年级初戴近视眼镜人数和未戴近视眼镜人数的扇形统计图，并标出百分比；

（2）如果用整个圆代表该班人数，请在图③圆中画出该班九年级末戴近视眼镜人数和未戴近视眼镜人数的扇形统计图，并标出百分比；

（3）今年，我省某区约有8000名九年级学生。如果这些学生中戴近视眼镜人数的百分率与这个班九年级末戴近视眼镜人数的百分率基本相同，请估计这8000名学生中戴近视眼镜的人数大约是多少？

22．（本题满分8分）

有两个可以自由转动的均匀转盘A、B，分别被分成4等份、3等份，并在每份内均标有数字，如图所示。王扬和刘菲同学用这两个转盘做游戏，游戏规则如下： ①分别转动转盘A与B；

②两个转盘停止后，将两个指针所指份内的数字相加（如果指针恰好停在等分线上，那么重转一次，直到指针指向某一份为止）。

③如果和为0，王扬获胜；否则刘非获胜。

（1）用列表法（或树状图）求王扬获胜的概率；（2）你认为这个游戏对双方公平吗？请说明理由。

2006 5．如图是某市5月1日至5月7日每天 最高、最低气温的折线统计图，在折7天 中，日温差最大的一天市

（）

A．5月1日

B．5月2日

C．5月3日

D．5月5日

19．（本题满分7分）

2003～2005年陕西省财政收入情况如图所示，根据图中的信息，解答下列问题：（1）陕西省这三年财政收入共为多少亿元？

（2）陕西省2004～2005年财政收入的年增长率约为多少？（精确到1％）

（3）如果陕西省2005～2006年财政收入的年增长率与（2）中求得的年增长率基本相同。请估计陕西省2006年财政收入约为多少亿元？（精确到1亿元）

22．（本题满分8分）

有两个可以自由转动的均匀转盘A、B，都被分成了3等份，并在每份内均标有数字，如图所示，规则如下： ①分别转动转盘A、B ②两个转盘停止后，将两个指针所指份内的数字相乘（若指针停在等分线上，那么重转一次，直到指针指向某一份为止）。

（1）用列表法（或树状图）分别求出数字之积为3的倍数和为5的倍数的概率；（2）小亮和小芸想用这两个转盘做游戏，他们规定：数字之积为3的倍数时，小亮得2分；数字之积为5的倍数时，小芸得3分。这个游戏对双方公平吗？请说明理由；认为不公平的，试修改得分规定，使游戏双方公平。

2007 4．将我省某日11个市、区的最高气温统计如下： 最高气温 10 14 21 22 23 24 25 26

市、区个数 1 1 3 1 1 2 1 1

该天这11个市、区最高气温的平均数和众数分别是

（）

A． B． C． D． 20．（本题满分8分）

2006年，全国30个省区市在我省有投资项目，投资金额如下表： 省区市 广东 福建 北京 浙江 其它

金额（亿元）124 67 66 47 119

根据表格中的信息解答下列问题：

（1）求2006年外省区市在陕投资总额；（2）补全图①中的条形统计图；

（3）2006年，外省区投资中有81亿元 用于西安高新技术产业开发区，54亿元 用于西安经济技术开发区，剩余资金用 于我省其它地区．请在图②中画出外省 区市在我省投资金额使用情况的扇形统 计图（扇形统计图中的圆心角精确到，百分比精确到1%）．

22．（本题满分8分）在下列直角坐标系中，（1）请写出在内（不包括边界）横、纵坐标均为整数的点，且和为零的点的坐标；

（2）在内（不包括边界）任取一个横、纵坐标均为 整数的点，求该点的横、纵坐标之和为零的概率．

2008

5、在“爱的奉献”抗震救灾大型募捐活动中，文艺工作者积极向灾区捐款。其中8位工作者的捐款分别是5万，10万，10万，10万，20万，20万，50万，100万。这组数据的众数和中位数分别是

（）

A．20万、15万

B．10万、20万

C．10万、15万

D．20万、10万

19、（本题满分7分）

下面图①、图②是某校调查部分学生是否知道母亲生日情况的扇形和条形统计图： 根据上图信息，解答下列问题：

（1）求本次被调查学生的人数，并补全条形统计图；（2）若全校共有2700名学生，你估计这所学校有多 少名学生知道母亲的生日？

（3）通过对以上数据的分析，你有何感想？（用一句话回答）

21、（本题满分8分）

如图，桌面上放置了红、黄、蓝三个不同颜色的杯子，杯子口朝上，我们做蒙眼睛翻杯子（杯口朝上的翻为杯口朝下，杯口朝下的翻为杯口朝上）的游戏。（1）随机翻一个杯子，求翻到黄色杯子的概率；

（2）随机翻一个杯子，接着从这三个杯子中再随机翻一个，请利用树状图求出此时恰好有一个杯口朝上的概率。

2009 4．王老师为了了解本班学生课业负担情况，在班中随机调查了10名学生，他们每人上周平均每天完成家庭作业所用的时间分别是（单位：小时）：1.5，2，2，2，2.5，2.5，2.5，2.5，3，3.5．则这10个数据的平均数和众数分别是

（）

A．2.4，2.5

B．2.4，2

C．2.5，2.5

D．2.5，2 19．（本题满分7分）某校为了组织一项球类对抗赛，在本校随机调查了若干名学生，对他们每人最喜欢的一项球类运动进行了统计，并绘制成如图①、②所示的条形和扇形统计图．

根据统计图中的信息，解答下列问题：

（1）求本次被调查的学生人数，并补全条形统计图；

（2）若全校有1 500名学生，请你估计该校最喜欢篮球运动的学生人数；

（3）根据调查结果，请你为学校即将组织的一项球类对抗赛提出一条合理化建议．

22．（本题满分8分）

甲、乙两同学用一副扑克牌中牌面数字分别是3、4、5、6的4张牌做抽数学游戏．游戏规则是：将这4张牌的正面全部朝下，洗匀，从中随机抽取一张，抽得的数作为十位上的数字，然后，将所抽的牌放回，正面全部朝下、洗匀，再从中随机抽取一张，抽得的数作为个位上的数字，这样就得到一个两位数．若这个两位数小于45，则甲获胜，否则乙获胜．你认为这个游戏公平吗？请运用概率知识说明理由．

2010 6.中国2010年上海世博会充分体/现“城市，让生活更美好”的主题。据统计5月1日至5月7日入园数（单位：万人）分别为20.3, 21.5 13.2，14.6，10.9，11.3，13.9。这组数据中的中位数和平均数分别为

（）

A 14.6 ,15.1

B 14.65 ,15.0 C 13.9 , 15.1

D13.9 , 15.0 19某县为了了解“五一”期间该县常住居民出游情况，有关部门随即调查了1600名常住居民，并根据调查结果绘制了如下统计图

根据以上信息，解答下列各题：

（1）补全条形信息统计图。在扇形统计图中，直接填入出游的主要目的是采集发展信息人数的百分数；

（2）若该县常住居民24万人，请估计出游人数；

22．某班毕业联欢会设计的即兴表演节目的摸球游戏，游戏采用一个不透明的/盒子，里面装有五个分别标有数字1、2、3、4、5的乒乓球，这些球出书字外，其他完全相同，游戏规则是参加联欢会的50名同学，每人将盒子乒乓球摇匀后闭上眼睛从中随即一次摸出两个球（每位同学必须且只能摸一次）。若两球上的数字之和是偶数就给大家即兴表演一个节目；否则，下个同学接着做摸球游戏依次进行。

（1）用列表法或画树状图法求参加联欢会同学表演即兴节目的概率（2）估计本次联欢会上有多少个同学表演即兴节目？

2011 6．某校男子男球队10名队员的身高（厘米）如下：179,182,170,174,188,172,180,195,185,182，则这组数据的中位数和众数分别是

（）

A、181,181

B、182,181

C、180,182

D、181,182 19．（本题满分7分）

某校有三个年级，各年级的人数分别为七年级600人，八年级540人，九年级565人，学校为了解学生生活习惯是否符合低碳观念，在全校进行了一次问卷调查，若学生生活习惯符合低碳观念，则称其为“低碳族”；否则称其为“非低碳族”，经过统计，将全校的低碳族人数按照年级绘制成如下两幅统计图：

（1）根据图①、图②，计算八年级“低碳族”人数，并补全下面两个统计图；

（2）小丽依据图①、图②提供的信息通过计算认为，与其他两个年级相比，九年级的“低碳族”人数在本年级全体学生中所占的比例较大，你认为小丽的判断正确吗？说明理由。

22、（本题满分8分）

七年级五班在课外活动时进行乒乓球练习，体育委员根据场地情况，将同学分成3人一组，每组用一个球台，甲乙丙三位同学用“手心，手背”游戏（游戏时，手心向上简称“手心”，手背向上简称“手背”）来决定那两个人首先打球，游戏规则是：每人每次随机伸出一只手，出手心或者手背，若出现“两同一异”（即两手心、一手背或者两手背一手心）的情况，则出手心或手背的两个人先打球，另一人裁判，否则继续进行，直到出现“两同一异”为止。（1）、请你列出甲、乙、丙三位同学运用“手心、手背”游戏，出手一次出现的所有等可能的情况（用A表示手心，B表示手背）；（2）、求甲、乙、丙三位同学运用“手心、手背”游戏，出手一次出现“两同一异”的概率。

2012 4．某中学举行歌咏比赛，以班为单位参赛，评委组的各位评委给九年级三班的演唱打分情况（满分100分）如下表，从中去掉一个最高分和一个最低分，则余下的分数的平均分是

（）分数（分）89 92 95 96 97

评委（位）1 2 2 1 1

A．92分

B．93分

C．94分

D．95分 19．（本题满分7分）

某校为了满足学生借阅图书的需求，计划购买一批新书．为此，该校图书管理员对一周内本校学生从图书馆借出各类图书的数量进行了统计，结果如下图． 请你根据统计图中的信息，解答下列问题：（1）补全条形统计图和扇形统计图；（2）该校学生最喜欢借阅哪类图书？

（3）该校计划购买新书共600本，若按扇形统计图中的百分比来相应地确定漫画、科普、文学、其它这四类图书的购买量，求应购买这四类图书各多少本？

一周内该校学生从图书馆借出各类图书数量情况统计图

22．（本题满分8分）小峰和小轩用两枚质地均匀的骰子做游戏，规则如下：每人随机掷两枚骰子一次（若掷出的两枚骰子摞在一起，则重掷），点数和大的获胜；点数和相同为平局． 依据上述规则，解答下列问题：

（1）随机掷两枚骰子一次，用列表法求点数和为2的概率；

（2）小峰先随机掷两枚骰子一次，点数和是7，求小轩随机掷两枚骰子一次，胜小峰的概率．

（骰子：六个面分别刻有1、2、3、4、5、6个小圆点的立方块．点数和：两枚骰子朝上的点数之和．）

2013 5.我省某市五月份第二周连续七天的空气质量指数分别为：111，96，4/7，68，70，77，105.则这七天空气质量指数的平均数是

（）

A.71.8

B.77

C.82

D.95.7 19.（本题满分7分）

我省教育厅下发了《在全省/中小学幼儿园广泛深入开展节约教育的通知》通知中要求各学校全面持续开展“光盘行动”.某市教育局督导检查组为了调查学生对“节约教育”内容的了解程度（程度分为：“A—了解很多”，B—“了解较多”，“C—了解较少”，“D—不了解”），对本市一所中学的学生进行了抽样调查.我们将这次调查的结果绘制了以下两幅统计图.根据以上信息，解答下列问题：（1）本次抽样调查了多少名学生？（2）补全两幅统计图；（3）若该中学共有1800名学生，请你估计这所中学的所有学生中，对“节约教育”内容“了解较多”的有多少名？

22.（本题满分8分）

概率和数理统计 第3篇

【关键词】双语教学 概率论和数理统计 教学方法

一、学生的选择和教学手段

双语教学课程的设置必须符合实际和时代的要求，对于工科学生而言， 适当地选择实施双语教学的课程和时间非常重要，尤其要从学生能力方面考虑。任何教学活动的开展都不能将学生的接受情况置之度外， 双语教学更是如此。英语水平， 特别是听说水平是我们选择开展双语教学时间的主要依据。我们的学生在中学几乎没有接受双语教学的经历， 更需要有一个适应过程。因此，双语教学课程设置及时间应照顾到学生对所学专业知识和英语水平的平均接受能力。

《概率论与数理统计》作为一门理论性很强的基础性学科，对学生来讲是一门比较难懂的课程，而工科学生的抽象理解能力较弱，因此若在双语教学中仍然以纯理论为主则很难引起学生的学习兴趣。通过研究比较国内外教材的讲解方式，国内的概率统计学教材同高等数学教材一样，强调数学的严谨性， 重视理论证明，强调计算数学期望值、方差，强调利用微积分等数学工具计算出问题的分析解。国外的教材和国内相比较，虽然理论计算证明要求较弱，但是在解释每个定理和知识点的时候介绍的非常全面，包括发散出去的应用举例等。因此，在进行双语教学时，应以偏应用为主，让学生多知道某些结果用于哪些方面，另一方面，基础的推导和解释也不应放松要求。

二、双语教学案例分析

下面用1个具体的案例来展示怎样在具体的双语教学实践中提高学生兴趣。

1.引入：现实生活中的确能用概率来对事件做出分析，但是是否能用概率来预测所谓中奖的概率，这样有多少可信程度？

2.示例 Statistical Swindles 统计欺诈问题。

State lotteries have become very popular in America. People spend millions of dollars each week to purchase tickets with very small chances of winning medium to enormous prizes. There are now several books and videos available that claim to help lottery players improve their performance. People actually pay money for these items. Some of the advice is just common sense， but some of it is misleading and plays on subtle misconceptions about probability.

For concreteness， suppose that we have a game in which there are 40 balls numbered 1 to 40 and six are drawn without replacement to determine the winning combination. A ticket purchase requires the customer to choose six different numbers from 1 to 40 and pay a fee.

One piece of advice often found in published lottery aids is not to choose the six numbers on your ticket too far apart.Many people tend to pick their six numbers uniformly spread outf rom 1to 40， But the winning combination often has two consecutive numbers or at least two numbers very close together. Some of these “advisors” recommend that， since it is more likely that there will be numbers close together， players should bunch some of their six numbers close together.

（问题大概含义：在美国，彩票十分流行，于是有一些书和视频经常给彩民们支招。有些建议还算靠谱，但有些纯粹属于利用概率的错觉来欺诈。举个简单的例子，从1-40中不重复取6个数字组合起来的一组投注形式。由于每次中奖的结果都有2个数字靠得很近，所以这些建议称数字买的时候要靠得近，这样会大大增加中奖概率，真的如此吗？）

让学生看懂这个数学问题，并思考和哪部分教的内容有关，对某些特殊单词，如lottery， consecutive可以给出具体提示。学生看懂问题后，会发现正好和所教授的古典概率部分内容有关，但不不是枯燥的计算，而要自己来分析和比较。

3. 分析：接下来，可以讲一些用到的数学知识和分析方法，让学生有个准备的过程。然后，可以启发学生自己动手计算一下概率并做出分析，并让学生发表自己看法，这时候，大多数同学都会发现，所谓的专家和高手建议不过是偷换了2个概念。学生最后经过分析会知道所谓增加中奖概率，仅仅是使因为1-40个数字中选6个数会有连续数字的概率是=0.577，但是这并不能保证选择了连续数字后，单组投注中奖的概率会增加。

4.小结：让学生看一下英文教材中对这个问题解答的分析和叙述，这样学生就能完全理解

并且也起到了双语思维模式的效果。

三、结束语

对于数学基础好而英语基础差，甚至两者基础都很差的学生，我们不应急于求成，而要循序渐进。鉴于数学的特殊性，在循序地进行中文授课时，可以书写英语板书，一方面能够让学生清楚数学的含义，另一方面提升学生英语知识水平，这对于上述情况的学生学习的趣味性，以及主动性的加强和提高起着关键的作用，还不至于使学生知难而退。至于数学基础差而英语基础好的学生，要根据学生的特点，利用英文原版教材，中文推导和板书，这样一来，学生不仅拓展了知识层次，加强了学生学习英语的能力，而且调动了他们学习数学的积极性。

【参考文献】

[1]Probability and Statistics （4th Edition）， Morris H. DeGroot ，Mark J. Schervish.

[2]姜宏德. 浸润式双语教学模式的建构与实践[J]. 教育发展研究，2004（ 6）.

概率和数理统计 第4篇

1 概率论与数理统计和反例教学法

在概率论与数理统计的教学中会碰到许多用逆向思维求解的内容, 例如, 显著性假设检验的原理是小概率事件实际不可能原理, 在一次实验中小概率事件是不会发生的, 但是在一次显著性假设检验过程中小概率事件居然发生了, 说明原命题是假的。统计中大量的反例教学是教学中的难点, 也是学生理解概率统计问题的难点。我们知道, 要断定一个命题正确, 必须经过严密的推理论证, 而要否定一个命题, 只要能举出一个与结论矛盾的例子就可以了, 这种与命题相矛盾的例子称为反例。反例教学法是从原问题的相反方向着手的一种思维教学法, 对于某些特定的问题, 从结论倒过来思考, 会使得问题清晰简单。它是数学思维的一个重要方面, 是创造性思维的一个组成部分, 也是进行思维训练的载体。在概率论与数理统计教学中始终贯穿反例教学法, 是培养学生逆向思维的过程也是培养学生思维敏捷性的过程。

本文以大学数学公共课概率论与数理统计课程教学中的事件与概率一章为例, 归纳总结反例教学法在此章节的应用与研究。

2 三个典型性结论及其反例

在教学过程中, 随机事件及其概率这一章节中的可以归纳出很多个理论公式和结论, 本文中只是举三个典型性结论, 然后举出反例加以推理验证, 刺激学生的好奇心和兴趣, 从而使得学生更加透彻的理解数理统计概念, 更加好学, 更加具有专研精神, 更有助于学生数学思维的培养。

符号:

A, B, C:随机事件

Ω:必然事件;样本空b间;

覫:不可能事件

定理1用事件的运算关系表示事件的方法不一定唯一

例如, 用A, B, C的运算关系表示事件D={A, B, C中不多于一个事件发生}, 根据事件的和、差、积及其逆事件的概念, 可以写出下面四种不同的表示法:

定理2样本点不一定是事件

按照概率的公理化体系可知, 样本点是样本空间Ω的元素, 而事件是事件域中F中的元素, 它是样本点的某些子集.在古典概型中, 样本空间Ω只含有穷个点, 所以Ω也是有穷的.此时常常把Ω的一切子集都视为事件.但却不能由此认为样本点一定是事件.实际上, 并不把Ω的一切子集都当作事件来研究。

例如, 现从标有数字1~10的十个球, 任取一球, 样本空间

令

A={所取球的号码为偶数}={2, 4, 6, 8, 10}

={所取球的号码为偶数}={1, 3, 5, 7, 9}

我们只考虑事件Ø, A, , Ω时, 容易验证F={Ø, A, , Ω}为一事件域, 于是Ω中的样本点B={所取球的号码为4}就不是事件域F中的元素, 即B={4}不是F中的事件。

定理3对“等可能性”的理解不同, 得到的概率不一定相同

在概率论发展的早期, 大部分的人都相信, 只要找到适当的等可能性描述, 就可以给概率问题唯一的解答, 但事实上确并非如此, 这是个经典的著名反例, 贝特朗 (Bertrand) 奇论 (贝特朗在1887年出版的《概率论教程》一书中构造了这个例子) :

在半径为1的园内随意画一条弦, 问它的长度超过其内接正三角形的边长的概率等于多少?

从不同的方向的理解, 贝特朗对这个问题给出了三种不同的解法。

解法一:

如图1, 我们在圆中任意画一条弦AB, 又以A为定点作圆的内接正ΔACD, 要AB比AC (容易计算出) 长, 由已知, 必须端点B落在弧CD上, 点B落在圆周上任何一点是等可能的, 于是, AB超过的概率为

解法二:如图2, 在圆中任意画出一条弦AB, 再作与AB垂直的直径CF, 并以C为顶点作圆的内接正ΔCDE, 由图可见, 要AB>DF, 必须AB和直径CF的交点M落在GH内, 这里G是CF与DE的交点, H是G关于圆心O的对称点, 由平面几何可以求出OG=OH=1/2, M点落在CF上各点是等可能的, 故AB超过的概率为:

解法三:如图3, 在圆中任意画出一条弦AB, 再作圆内接正ΔCDE, 使得DE//AB。接着作出ΔCDE的内切圆, 计算出内切圆的半径为21, 设AB的中点为Q, 很明显Q点必须落在这个内切圆 (阴影部分) 内, AB的长才不会超过姨3, Q落在大圆内任何一点都是等可能的, 故所求的概率为:

三种解法推理看起来都无懈可击, 不同的理解得到了三种完全不同的答案, 从而使得问题得到了奇论的美称, 也就是数学上的贝特朗悖论。同一个问题得到不同的结论的原因是什么呢?原因在于每种解法对于“等可能性”作出了不同的理解和假设:解法一假定了弦的端点落在圆周上各点是等可能的;解法二假定了弦的中点落在直径上各点是等可能的;解法三假定了弦的中点落在圆内各点上是等可能的。对于各自不同的假设, 上面三种解法和结果都是正确的, 这个例子提醒学生, 在解答概率问题时, 一定要弄清楚等可能性的条件, 以免发生混淆。

3 结束语

在概率论与数理统计的教学过程中的引人各种反例教学, 会使得上课更加生动有趣, 不同于常规的思维推理一定会引起学生的好奇心和好胜心, 从而激发学生对概率统计的极大兴趣, 然后可以引导学生专研问题, 思考结论。在教学中插入恰当的反例, 即是简明有力的否定方法, 又是加深学生对概念和定理的理解的重要手段, 它有助于发现问题, 活跃思维、避免常犯易犯的错误。从而达到教学上的最高水平, 取得令人满意的教学效果。

摘要：在概率论与数理统计教学中, 以随机事件与概率一章为教学案例, 举出3个典型性反例案例, 在教学中加以应用, 培养学生的逆向思维和敏捷性思维。

关键词：逆向思维,反例教学法,随机事件,概率

参考文献

[1]盛骤, 谢式千, 潘承毅.概率论与数理统计[M].4版.高等教育出版社, 2008:1-14.

[2]沈恒范.概率论与数理统计[M].5版.高等教育出版社, 2011:1-7.

概率论和统计中常用的收敛极限小结 第5篇

概率论中的极限定理和数理统计学中各种统计量的极限性质，都是按随机变量序列的各种不同的收敛性来研究的。

设{Xn,n≥1}是概率空间(Ω,F,P)（见概率）上的随机变量序列，从随机变量作为可测函数看，常用的收敛概念有以下几种：

以概率1收敛

若,则称｛Xn,n≥1｝以概率1收敛于X。强大数律（见大数律）就是阐明事件发生的频率和样本观测值的算术平均分别以概率 1收敛于该事件的概率和总体的均值。以概率 1收敛也常称为几乎必然（简记为α.s）收敛,它相当于测度论中的几乎处处（简记为α.e.）收敛。

依概率收敛

若对任一正数ε,都有，则称{Xn,n≥1}依概率收敛于X。它表明随机变量Xn与X发生较大偏差(≥ε)的概率随n无限增大而趋于零。概率论中的伯努利大数律就是最早阐明随机试验中某事件 A发生的频率依概率收敛于其概率P(A)的。依概率收敛相当于测度论中的依测度收敛。

r阶平均收敛

对r≥1,若Xn-X的r阶绝对矩(见矩)的极限,则称{Xn,n≥1}r阶平均收敛于X。特别，当r=1时，称为平均收敛；当r=2时,称为均方收敛，它在宽平稳过程（见平稳过程）理论中是一个常用的概念。

弱收敛

设Xn的均值都是有限的，若对任一有界随机变量Y都有则称{Xn,n≥1}弱收敛于X，由平均收敛可以推出弱收敛。

从随机变量的分布函数（见概率分布）看，常用的有如下收敛概念。

分布弱收敛

设Fn、F分别表示随机变量Xn、X的分布函数,若对F的每一个连续点x都有，则称Xn的分布Fn弱收敛于X的分布F,也称Xn依分布收敛于X。,分布弱收敛还有各种等价条件，例如,对任一有界连续函数ƒ(x)，img src=“image/254-6.gif” align=“absmiddle”>。分布弱收敛是概率论和数理统计中经常用到的一种收敛性。中心极限定理就是讨论随机变量序列的标准化部分和依分布收敛于正态随机变量的定理。大样本统计中也要讨论各种统计量依分布收敛的问题。

分布淡收敛

设{Fn(x)，n≥1}为分布函数列，而F(x)为一非降右连续函数（不一定是分布函数），若对F(x)的每一个连续点x 都有，则称Fn淡收敛于F。

上述各种收敛之间有如下蕴含关系（A=>B表示由A可推出B）,若r′≥r≥1,则有:。此外，依概率收敛于常数与依分布收敛于常数是等价的。当是独立随机变量序列{Yj,j≥1}的部分和时，Xn依分布收敛、依概率收敛和以概率1收敛三者是等价的。

浅谈《概率论与数理统计》教学 第6篇

关键词:概率统计 概念 引入 背景 趣味性

中图分类号:G424 文献标识码:A 文章编号:1674-098X(2011)03(c)-0181-01

引言:概率论与数理统计是高等院校理工类、经管类的重要课程之一也是数学的一个有特色且又十分活跃的分支。一方面,它有别开生面的研究课题,有自己独特的概念和方法,内容丰富,结果深刻;另一方面,它与其他学科又有紧密的联系,是近代数學的重要组成部分。概率论与数理统计的理论与方法已广泛应用于工业、农业、军事和科学技术中,如预测和滤波应用于空间技术和自动控制,时间序列分析应用于石油勘测和经济管理,马尔科夫过程与点过程统计分析应用于地震预测等,同时他又向基础学科、工科学科渗透,与其他学科相结合发展成为边缘学科。因此,概率论与数理统计的教学显得非常重要。但是学生在学习掌握这门知识的过程中普遍感到概念难懂,思维难于开展,问题难于入手,方法难于掌握。基于这一现象,在教学中,更新教学方法,注重教学思维,充分体现以人为本的教学理念成为提高教学质量的必然选择。

1 教学中应注重概念的引入和背景的讲解

概率论是研究随机现象的一门学科,随机现象就是不确定的现象这与学生以前所学的确定的值是不一样的。比如许多学生往往不理解什么是随机变量,为什么要引入随机变量,会感觉这些内容很抽象不好理解。那么我们在讲授的过程中就要注重对随机变量概念的引入及背景知识简单明了的介绍。随机变量我们可以举例为某一时段进入商场的人数,某一天的温度或者是保险公司某段时间的索赔额这些都是随机变量。这就像我们把小学学习得小明有2本书,小红有3本书,共有多少书转化2+3的计算一样。在我们引入的这些例子中就是一个个的随机试验,不同的随机试验我们可以用不同的随机变量X来表示。人数,温度,索赔额就是数字或函数就是学生熟悉的。原先不同随机试验的随机事件的概率都可转化为随机变量落在某一实数集合B的概率,不同的随机试验可由不同的随机变量来刻画。此外若对一切实数集合B,知道P(X∈B),那么随机试验的任一随机事件的概率也就完全确定了,所以我们只须求出随机变量X的分布P(X∈B),就对随机试验进行了全面的刻画。

2 教学中要注意概念的内涵和相互间的联系

许多学生由于对概念的内涵缺乏理解,对概念之间的内涵和相互联系理解得似是而非。因而在解题时常会出现许多共同的一些常规错误。在教学中,教师应当组织一些有典型意义的错误题解,从而学生在对比分析中正确理解概率统计中的概念,掌握正确的解题方法。比如有许多学生认为,随机变量互不相容就肯定独立,独立肯定也是互相容的:不同的随机变量,它们的分布函数一定不同;同分布的随机变量一定相等;两个一维正态变量合在一起就一定是一个一维正态随机变量;若ε与η不相互独立,则与就一定不相互独立等等,学生此时就是对概念缺乏正确而全面的理解。教师应该结合恰当的例子加以说明,比如独立与互不相容的概念内涵比较时,教师就可以举例两个人患感冒的人相距较远与较近时他们之间的关系就比较容易使学生纠正这些错误观念。

3 教学案例要“活”,注重学科实际

在教学中会有许多的概念,因为概率论与数理统计是与实际生活联系紧密的一门课,讲到相关内容时要注意挑选具有趣味性的例题,概率统计来源于实际生活,它本身是一门极具趣味性的科学,有着大量贴近生活,兴趣盎然的实例,但目前大部分教科书都未注意选择这样的例子如果教师照着教科书的例子讲,必然不能引起学生的兴趣;因此,教师必须注意积累,精心挑选要讲的例题,我们挑选的例题基本上都是实际问题,如生活中抓阄问题的合理性,顾客等候服务时间问题,需设多少个服务员能获得最大收益问题,可靠性问题等等.针对我们工科学校的学员,有机械,优选等贴近学生的实际问题。通过这些实例的阅读和讲解,将理论教学与实际案例有机结合起来,缩短了数学理论与实际应用的距离,使学生提高对概率论的兴趣。并且活的案例不仅将理论与实际结合起来,还使学生在课堂上九能接触到大量的时间问题,这对提高学生综合分析和解决实际问题的能力大有帮助。通过活的案例教学,可以促进学生全面看问题,从数量的角度分析事物的变化规律,使概率论与数理统计的思想和方法在现实生活中得到更好的应用,发挥其应有的作用。

法国数学家拉普拉斯曾说:“生活中最重要的问题,其中绝大多数在实质上只是概率的问题。”英国的逻辑学家和经济学家杰文斯也曾对概率论大加赞美:“概率论是生活真正的领路人,如果没有对概率的某种估计,那么我们就寸步难行,无所作为。”那么作为教师的我们更应该把把概率论竭尽所能地传授给学生,使学生充分了解概率论的同时并且能够灵活运用于生活中,这才是我们教学的目的。

参考文献

[1] 盛骤,谢式千,潘承毅.概率论与数理统计,浙江大学.

[2] 陈晓龙,施庆生,邓晓卫.概率论与数理统计[M].南京:东南大学出版社,2003.

[4] 李裕奇.概率论与数理统计[M].北京:国防工业出版社,2001.

[5] 吴群英.概率统计课程中采用兴趣与启发式教学,广西高教研究,2001,3.

概率和数理统计 第7篇

1.在教学中融入数学建模的思想和方法

数学建模是一门运用数学工具和计算机技术, 通过建立数学模型解决现实中各种实际问题的新学科, 是数学和应用的桥梁, 是解决实际问题的一种思想方法。 实际问题不好解决, 就将它转化成数学问题, 利用已有的数学方法或发明新的数学方法来解决。 概率统计是一门实际应用广泛的课程, 在现实生活和生产实践中, 有很多问题可转化为概率模型来解决, 比如: 在机械化生产车间中传送系统的效率; 报童的收益问题;商店的随机存贮策略;航空公司的预订票策略, 等等。 可以说, 概率模型来源于实践又最快地应用于实践。 数学建模可以培养学生的创造能力, 联想能力, 洞察力, 数学语言的表达能力等。 将数学建模的思想和方法融入概率统计课堂教学中, 一方面能激励学生学习概率统计这门课程的兴趣, 另一方面能提高学生应用理论解决实际问题的能力, 能更好地联系实际, 解决实际问题, 是实现学生把学习知识、培养能力和提高素质融为一体的一种有效手段。 因此, 要想使学生较好地掌握概率论与数理统计的基本概念和基本方法, 增强解决实际问题的能力, 在教学中融入数学建模的思想和方法是非常必要的, 在教学实践中我们从下面两方面进行了探索。

1.1教学内容上渗透数学建模思想

在概率统计这门课程中数学模型的影子随处可见, 为了加深学生对相关知识和方法的理解, 可在教学内容上渗透数学建模思想, 对一些课程内容模型化。 如不返回的随机抽球模型 (即超几何模型) , 盒子模型是古典概型的两个最典型模型。在实际生产生活中, 产品的检验、疾病的抽查、农作物的选种及彩票问题等均可化为随机抽球模型来解决。 而分房问题、生日问题等均可化为盒子模型加以解决。 又如n重Bernoulli概率模型也是概率论的重要模型之一, 利用这个模型可以处理很多实际问题, 如有返回的随机抽球问题、机器工作的台数等。该模型是0-1分布的叠加, 可将其看做是试验成功的次数模型, 利用这个模型求二项分布的数学期望特别容易, 从而避免使用数学期望的定义求解级数的复杂性。 在教学中我们尽量将生活中的概率问题模型化, 逐步渗透数学建模思想。 教学内容中也可插入一些反映社会经济生活的背景与热点问题, 使课堂教学跟上时代步伐。 如合理配置问题、有奖促销问题、保险赔偿金确定问题、开水房应增设水龙头的数量问题、汽车超载问题等。 这样的内容旨在培养学生利用数学工具分析解决实际问题的意识和能力, 也就是培养学生的建模能力。

1.2教学方法中渗透数学建模方法

用建模方法解决实际问题, 首先是用数学语言表述问题即构造模型, 其次才是用数学工具求解构成的模型。 “案例教学法” 是概率统计课程融入数学建模方法的有效教学方法之一。 在教学中可以直接给出案例, 然后从求解具体问题中找出相应的理论和方法。 比如在随机变量及其概率分布中, 可以给出“合理配置问题”案例;在随机变量的数字特征中, 可以给出“报童的收益问题”或 “航空公司的预订票策略” 案例; 在大数定律和中心极限定理中, 可以给出“保险公司的收益问题”或“开水房应增设水龙头的数量”案例;在参数估计中, 可以给出“湖中鱼的数量估计”案例, 等等。 当然由于受到课时限制, 不可能对每个案例都进行完整讲解, 可采用精讲与导学相结合的方法。 选取其中一两个案例精讲, 把案例中的模型假设、模型建立、 模型求解、 结果分析整个问题解决过程详细讲解清楚, 让学生了解数学建模的全过程。 其他案例可引导学生利用课余时间分组讨论解决。 通过把数学建模方法渗透到课堂教学中, 使学生碰到实际问题能从数学建模的角度思考, 从而提高学生的建模意识及建模能力。

2.开展实验教学, 培养学生的实践能力

数学实验是数学知识和应用能力共同提高的最佳结合点, 是启迪创新意识和创新思维的一条重要途径。 数学实验为数学理论联系实际开创了道路, 其意义不仅在于使学生掌握必要的数学知识, 更重要的在于学生的独立参与, 从而调动学生学习数学的积极性, 提高学生的数学应用意识, 从而培养学生的动手能力、独立思考问题的能力和应用数学的能力。 在概率论与数理统计特别是数理统计的教学中, 如果缺乏实验教学的支撑, 学生对于课程的学习只能停留在对基础理论知识的掌握上, 而对实际统计数据不会处理, 缺乏运用统计软件对实际问题具体分析解决的能力。 传统课堂的“知识灌输型”教学方式, 不利于学生学习主动性的充分发挥, 教学观念必须向“行为指导型”转变, 开展实验教学是实现这种转变的有效途径。 随着计算机科学的发展, 数理统计与计算机数据处理的结合也越来越紧密。 统计实践活动要与大量数据打交道, 涉及十分繁杂的计算, 统计软件在人们日常的统计工作中扮演着不可缺少的关键性角色, 学会一两种统计分析软件的实际操作是十分必要的。 因此, 在教学过程中增加实践性环节, 开设数学实验课程成为现代教学的发展趋势。

目前, 强功能统计软件主要有:SAS, SPSS, Matlab等, 弱功能的统计软件主要有Excel。 Excel是基于Windows操作系统的表格处理软件, 是办公软件Microsoft office的组件之一。 它不但有强大的电子表格处理功能, 而且具有各种数据处理和统计分析功能。 它提供了丰富的工作表函数, 利用这些函数和自己构造的公式可以高效地完成概率统计中的计算问题。 更重要的是Excel是一种最普及的应用软件, 学生使用非常方便。 因此, 在教学中我们主要讲解的是基于Excel的数学实验。 同时我们还开设了实验课程, 主要是统计软件SPSS的使用。SPSS是一个集成化的软件包, 把数据处理和统计分析融为一体, 包括数据管理、统计分析、图表分析、报表输出等。 虽然其功能相对于SAS及Matlab较弱, 但因其界面友好、操作简便、易学易懂, 在许多领域得到了广泛应用, 也比较适合一般本科院校学生的实践, 只要掌握一定的Windows操作技能, 粗通统计分析原理, 就可使用SPSS进行相关的统计分析工作。 在实验课程的教学中, 我们主要开设的实验有:随机变量的统计描述;点估计、区间估计、假设检验等常用的统计方法。 在实验中我们从问题出发, 强调以学生自己动手、动脑为主, 在教师的指导下用学到的数学知识和计算机技术, 利用统计软件SPSS分析解决问题。 许多学生普遍反映通过这样的实验课, 加深了对概念的理解, 开阔了视野, 拓展了思维方法, 对公式和结论加大了消化程度。 学生通过亲自动手和体验的过程, 提高了探索问题的兴趣, 从而达到学以致用, 也使学生的实践能力和解决实际问题的能力进一步提高。

3.使用Moodle网络教学平台辅助教学

概率论与数理统计的课程教学中, 由于内容多, 学时少, 利用网络教学平台辅助教学显得十分必要。 我们使用Moodle课程管理系统建立了网络课程, 为学生搭建课外自主学习和实践的平台, 提供了多样的学习活动和资源。 教师可以按照自己的计划, 将资源上传到网络教学平台上, 而学生可以上传课程学习的有关问题或自己认为有价值的资料。 在平台上师生或学生彼此间共同思考、探讨, 合作解决问题。 这样教师能够对学生的问题及时地给予指导和提出建议, 而学生会处于主人翁的地位, 有很大的灵活性进行自主学习。 在与他人互动, 或与教师互动过程中, 学生很自然就能建立概念, 正确理解和整合各种教学信息。 在交谈时, 共同创造出一个可论述的世界和一个共同建构, 在其中可以产生沟通, 最终实现“集体智慧”和“集体认知”, 对学生的学习结果有积极的促进作用。 利用网络化教学手段改善教学模式, 以问题驱动促进研究性的自主学习, 从而最大限度地为教师和学生提供更广阔、更自由的教与学的探讨与研究的空间, 对培养具有创新和实践能力的高素质人才十分有益。

4.实行全方位的评价方式

考核是教学过程中的一个重要环节, 是检验学生学习情况, 评估教学质量的手段。 传统教学考核方式是以“期末试卷笔试成绩与平时成绩” 加权平均的方法评定学生知识掌握程度。 平时成绩的考核主要看作业, 而学生学习的积极性和对做作业的态度差异性很大, 学生的作业不能真实地反映学生学习的好坏, 不能合理地给出平时成绩。 这种考核方式也忽略了学生主观能动性, 无法针对学生的实际操作能力与创新能力做出综合的评价。 为了更合理、全面地考查学生的综合能力, 在对学生的考核环节中, 采取灵活的方式, 以笔试为主, 同时提倡和鼓励学生利用课程所学, 有针对性地做一些小课题, 写小论文, 让学生做一些创新性的工作, 全方位地评价学生的学习成绩。 其中期末笔试主要针对课程理论教学内容, 考查学生理论知识掌握的程度与水平。 而上机操作或小论文主要针对学生整学期完成的具有针对性的统计活动, 考查学生的动手操作能力和运用理论知识分析解决实际问题的能力。 通过组合式的考核方式, 将笔试和上机等多样考核方式有机结合起来, 充分发挥各自优点, 最终得到客观公正的评定结果。

结语

以上是我们根据人才培养目标的新要求和概率论与数理统计的课程特点在教学上所做的尝试, 也收到了一定的效果。 通过教学改革, 学生应用概率统计的原理和方法分析和解决实际问题的能力得到了培养和提高, 同时在一定程度上加强数理统计部分, 也更能适应学生今后就业和深造的需求。 在保证知识的完整性和系统性的前提下, 加强实验教学, 结合成熟教学课件和专业软件, 提高学生的数学应用意识, 使学生利用所学解决日常生活中的问题, 从而培养学生的创新精神和创新实践能力, 为社会培养适应经济发展的各层次专业人才。

摘要：根据人才培养目标的新要求和概率论与数理统计的课程特点, 并结合本校学生的实际, 从教学内容、教学方法、教学手段及考核方式等方面进行教学改革, 其意义不仅在于使学生掌握必要的数学知识, 更重要的在于培养学生的动手能力、独立思考问题的能力和用数学的能力, 从而培养学生的创新思维和创新实践能力。

关键词：概率论,数理统计,数学建模,数学实验

参考文献

[1]茆诗松, 程依明, 濮晓龙.概率论与数理统计教程[M].北京:高等教育出版社, 2004.

[2]姜启源, 谢金星, 叶俊.数学模型[M].4版.北京:高等教育出版社, 2011.

[3]刘承平.数学建模方法[M].北京:高等教育出版社, 2002.

[4]侯嫚丹.数学建模思想融入概率论与数理统计的研究[J].高师理科学刊, 2013, 33 (3) :76-79.

[5]金华.统计学实验教程[M].广州:华南理工大学出版社, 2012.

[6]张文彤, 邝春伟.SPSS统计分析基础教程[M].2版.北京:高等教育出版社, 2011.

概率和数理统计 第8篇

下面让我们一起对本章的核心概念作一些解读.

一、统计的简单应用

统计的基本特征之一是通过部分的数据来推出全体数据的性质,所以利用抽样思想方法,通过样本观测总体是统计应用的核心内容.

1. 用样本估计总体

(1)样本的代表性

抽样调查是根据随机的原则从总体中抽取部分实际数据进行调查,根据样本数据推算总体相应的数量指标的一种统计分析方法. 抽样调查时要用合适的抽样方法获取可靠、有效的统计数据,这样才能使估计、推断更加准确,所以抽样时要注意样本的代表性. 在抽取样本时,选择的个体要有典型性、普遍性,大体上能够代表整体,并且样本容量适当. 有代表性的样本能最大程度地估计出总体的相应特性.

例1为了了解全校学生的视力情况,小明、小华、小李三个同学分别设计了三个方案.

1小明:检查全班每个同学的视力,以此推算出全校学生的视力情况.

2小华:在校医室找到去年全校的体检表,由此了解全校学生视力情况.

3小李:抽取全校学号为 5 的倍数的同学,检查视力,从而估计全校学生视力情况.以上的调查方案最合适的是 ______.

(填写序号)

【分析】小明以自己班同学的视力推算全校学生的视力,具有片面性;小华的调查是全面调查,并且已经失去了时效性;小李抽取的个体具有普遍性,并且容量恰当,因而抽取的样本具有代表性. 故填3.

(2)简单随机抽样

简单随机抽样是最基本的抽样方法.一般地,从一个含N个个体的总体中抽取容量为n的样本(n<N)时,用逐个抽取的方法从中抽取个体,且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等,这种抽样方法叫做简单随机抽样.

简单随机抽样的特点是:每个样本单位被抽中的概率相等,样本的每个单位完全独立,彼此间无一定的关联性和排斥性.

除了简单随机抽样,抽样调查的其他方法还有系统抽样、分层抽样等,而简单随机抽样是其他抽样方法的基础.

例2为了解全校学生的视力情况,采用了下列调查方法,其中为简单随机抽样的是().

A. 从九年级每个班级中任意抽取10人作调查

B. 查阅全校所有学生的体检表

C. 对每个班 学号为1,11,21,31,41的学生作调查

D. 从每个班中任意抽取5人作调查

【分析】A. 忽略了七年级、八年级的存在;B. 是全面调查;C. 是分层抽样;D. 每个人都有被抽到的可能性,是简单随机抽样,故选D.

(3)用样本估计总体

从实际问题的需求出发,在科学、合理地获取样本后,其落点是用样本估计总体的思想去解决实际问题,从而明晰样本和总体之间的关系,理解抽样思想.

用样本估计总体有两个特征:一方面,样本的抽取具有随机性,样本所提供的信息在一定程度上反映了总体的有关特征,但与总体可能有一定偏差;另一方面,如果抽样的方法比较合理,样本的信息可以比较好地反映总体的信息,从而为人们合理地决策提供依据.

例3九(1)班同学为了解某小区家庭月均用水情况,随机调查了该小区部分家庭,并将调查数据整理如下表:

若该小区有800户家庭,据此估计该小区月均用水量不超过10 m3的家庭约有______ 户.

【分析】先看样本的特性:月均用水量不超过10 m3的家庭的百分比为12+58/100=70%,利用样本估计总体的思想,估计该小区月均用水量不超过10 m3的家庭约有70%×800=560(户).

2. 科学、全面分析数据

从生活中收集、描述、分析数据后,我们要学会利用数据对生活中的事件进行决策.“货比三家”其实就是要求我们科学、全面分析数据,或者说,正确的统计推断,要通过全面分析数据,才能从中提炼出准确、有价值的信息.

例4小张根据某媒体上报道的一张条形统计图(如图),在随笔中写道:“……今年在我市的中学生艺术节上,参加合唱比赛的人数比去年激增……”小张说的对不对?为什么?请你用一句话对小张的说法作一个评价:_____________________

【分析】小张由这张不规范的条形统计图得出了错误的信息,实际上,我们需要从整体的角度来把握图形,不能只看图像的高低,要比较两年参加比赛人数的多少,还要看纵坐标的差距大不大. 因此小张说得不对,一句话评价是:光看图像得出了错误的信息,事实上,两年参加比赛人数的差距不是很大.

例5现代树苗培育示范园要对A、B、C、D四个品种共800株松树幼苗进行成活实验,从中选出成活率高的品种进行推广,通过实验得知,B种松树幼苗成活率为90%,将实验数据绘制成两幅统计图,如图1与图2所示(部分信息未给出).

(1)实验所用的C种松树幼苗的数量为 ______;

(2)试求出B种松树的成活数,并把图2的统计图补充完整;

(3)你认为应选哪一种品种进行推广?并请说明理由.

【分析】(1)800×(1-25%-35%-20%)=160(株);

(2)B种松树幼苗数量为800×20%=160株,B种松树的成活数160×90% =144(株),补全统计图如图3所示;

(3)A种松树幼苗的成活率为(238/800)×35%×100% =85% ,B种松树幼苗的成活率为90%,C种松树幼苗的成活率为,D种松树幼 苗的成活率 为,所以应选择D种松树品种进行推广.

在上面的问题中,选择哪一种品种进行推广不能仅看各品种的成活株数,而应结合各种幼苗的数量,计算出相应的成活率,由此得到选择哪一种品种进行推广.

3. 统计分析做预测

统计强调经历数据的收集、整理、描述、分析,以及根据统计结果进行判断、预测和决策等活动,针对具体的实际问题,要注意从数据中尽可能多地获取信息,逐步培养对数据的直观感觉,形成科学的数据分析观念和较强的问题解决能力.

例6“五一”劳动节,某超市开展“有奖促销”活动,凡购物不少于30元的顾客均有一次转动转盘的机会,如图4,转盘被分为8个全等的小扇形,指针指向8就中一等奖,指向2或5就中二等奖,指向其余数字不中奖.经统计,当天发放一、二等奖奖品共300份,那么据此估计参与此次活动的顾客为______ 人次.

【分析】易知转盘被分为8个全等的小扇形,故带有数字8、2、5的扇形占总面积的3/8

∵当天发放一、二等奖的奖品共300份∴参与此活动的顾客为300÷(3/8)=800人.

二、概率的简单应用

1. 抽签不分先后

人们常常要采用抽签的方法来决定某种方案. 例如,乒乓球比赛以掷硬币来决定哪个运动员先发球;若干人进行的比赛,以抽签的方式决定比赛的先后次序等.那么,先抽后抽的中签机会是不是相等呢?我们可以从概率分析入手,得出“抽签不分先后”的基本特征.

例7小明与甲、乙两人一起玩“手心手背”的游戏. 他们约定:如果三人中仅有一人出“手心”或“手背”,则这个人获胜;如果三人都出“手心”或“手背”,则不分胜负.

(1)在第一个回合中,如果小明预先想好出“手心”,则他获胜的概率是多少?

(2)在第二个回合中,如果小明预先想好出“手背”,则他获胜的概率是多少?

(3)在第三个回合中,如果小明没有预先想好出什么,只是随机出“手心”或“手背”,则他获胜的概率是多少?

【分析】(1)画树状图得:

∵共有4种等可能的结果,在一个回合中,如果小明出“手心”,则他获胜有1种情况,∴他获胜的概率是1/4.

(2)画树状图同(1),

∵共有4种等可能的结果,在一个回合中,如果小明出“手背”,则他获胜有1种情况,∴他获胜的概率是1/4.

(3)画树状图得:

∵共有8种等可能的结果,在一个回合中,如果小明随机出“手心”或“手背”,则他获胜有2种情况,∴他获胜的概率是2/8=1/4.

由上面的问题可见,小明获胜的概率与是否预先想好“手心”或“手背”无关,这其实与“抽签不分先后”的本质是一样的.

2. 频率估计概率

随机现象表面看无规律可循,出现哪一个结果事先无法预料,但当我们大量重复实验时,实验的结果都会呈现出其频率的稳定性. 用频率估计概率是用样本估计总体的一个重要方面.

例8为了研究某自然保护区的生态环境,科学家在该地区做了如下实验,在该地区第一次捕捉了100只雀鸟,然后作上记号放回该地区,经过一段时间后,再从该地区捕捉了同样的雀鸟100只,发现其中带有标记的雀鸟有10只,根据实验数据可估计该地区这种雀鸟的数量有 ______.

【分析】设估计该地区这种雀鸟的数量有n只. 在抽取的样本中,带有标记的雀鸟所占的百分比为10,而在总体中,共有100100只雀鸟作了标记,于是10/100=100/n,得n=1 000.

3. 概率估计作决策

随机思想是概率思想的核心. 随机事件的发生虽然是不确定的,但发生的次数与其发生的概率是有联系的.

一般地,如果随机事件A发生的概率是P(A),那么在相同条件下重复n次试验,事件A发生的次数的平均值为n×P(A).

比如,交通部门可以运用统计方法估计出一辆汽车在一年内出交通事故的概率,而保险公司则通过对出险概率、赔付金额等因素的分析,来推算出收取多少保险费.

例9假设一个小城镇过去10年中,发生火灾情况如表所示.

试问:(1)估计平均每年在1 000家中被烧几家?

(2)如果保户投保30万元的火灾保险,最低限度要交多少保险费,保险公司才不亏本?

【分析】(1)被烧家数为1+0+1+2+0+2+1+2+0+2=11(家),总家数为365+371+385 + 395 + 412 + 418 + 430 + 435 + 440 + 445 =4 096(家).

答:(1)每年在1 000家中,大约被烧2.7家.

(2)设每户交x元保险费给保险公司,则n家保户共收取保险费nx元,保险公司平均赔偿300 000×0.002 7n元.

则nx≥300 000×0.002 7n,解得x≥810(元).

答:保户投保30万元的保险,至少需交810元的保险费.

例10某商场为了吸引顾客,设立了可以自由转动的转盘(如图5,转盘被均匀分为20份),并规定:顾客每购买200元的商品,就能获得一次转动转盘的机会. 如果转盘停止后,指针正好对准红色、黄色、绿色区域,那么顾客就可以分别获得200元、100元、50元的购物券,凭购物券可以在该商场继续购物. 如果顾客不愿意转转盘,那么可以直接获得购物券30元.

(1)求转动一次转盘获得购物券的概率;

(2)转转盘和直接获得购物券,你认为哪种方式对顾客更合算?

【分析】(1)∵转盘被均匀分为20份,转动一次转盘获得购物券的有10种情况,

概率和数理统计 第9篇

概率统计是用数学的方法处理和解释信息并作出判断和决策的科学, 它的研究对象往往是随机的, 问题的结果是不确定的, 但解决问题的方法却离不开确定性的数学, 它的内容虽然在本质上是模式的数学, 但却与日常生活、自然知识、社会生产实践直接联系。因此, 在利用概率统计知识解题时, 教师应尽可能地引导学生联系日常生活、自然知识、社会实践中的实际情况。如, 2004年重庆卷文史类概率题: (18) 设甲、乙、丙三人每次射击命中目标的概率分别为0.7、0.6和0.5。 (Ⅰ) 若三人各向目标射击一次, 求至少有一人命中目标的概率及恰有两人命中目标的概率; (Ⅱ) 若甲单独向目标射击三次, 求他恰好命中两次的概率。在该题中, 应让学生切实理解{至少一人命中目标}、{没有人命中目标}、{恰有两人命中目标}、{射击三次恰有两次命中目标}的实际意义, 这样学生才能理解相互独立事件同时发生、互斥事件有一个发生和n次独立重复事件恰好发生k次时所选择的概率模型的合理性。

二、从思维方式方面提高学生的数学随机意识

概率统计中包含了大量的逻辑推理, 如描述样本数据趋势的平均数、中位数、众数, 描述样本数据离散程度的方差、标准差等, 以及根据具体问题选择适当的统计量表示数据的不同特征的过程中, 都包含了许多的逻辑推理。在概率中特定事件的发生虽然不能预测, 但结果的规律却可以通过观察、归纳、类比、联想、猜想等进行预测, 估算概率时几乎处处运用合情推理。因此, 在概率统计教学过程中, 教师应有意识地培养学生合情推理的能力, 注重逻辑推理和合情推理的共同参与、综合应用, 使学生的思维结构更合理, 更完善。

如, 一个家庭中有若干小孩, 假定生男孩和生女孩的概率是等可能的, 令A={一个家庭中有男孩, 又有女孩}, B={一个家庭中至多有一个女孩}。 (Ⅰ) 假设家庭中有两个小孩, 问事件A与事件B是否独立? (Ⅱ) 假设家中有三个小孩, 问事件A与事件B是否独立?解答该题时, 应让学生首先充分理解事件A与事件B独立的充要条件是P (A·B) =P (A) ·P (B) 及一个家庭中孩子是有大小顺序的, 再让学生根据孩子的个数列出基本事件总体。

(Ⅰ) 基本事件总体为{ (男, 男) , (男, 女) , (女, 男) , (女, 女) }, 此时A={ (男, 女) , (女, 男) }, 故P (A) =, B={ (男, 男) , (男, 女) , (女, 男) }, 故P (B) =, A·B={ (男, 女) , (女, 男) }, 故P (A·B) =, P (A·B) ≠P (A) ·P (B) , 即事件A和事件B不独立。

(Ⅱ) 基本事件总体为{ (男, 男, 男) , (男, 男, 女) , (男, 女, 男) , (女, 男, 男) , (男, 女, 女) , (女, 男, 女) , (女, 女, 男) , (女, 女, 女) }, 此时A={ (男, 男, 女) , (男, 女, 男) , (女, 男, 男) , (男, 女, 女) , (女, 男, 女) , (女, 女, 男) }, 此时P (A) =, B={ (男, 男, 男) , (男, 男, 女) , (男, 女, 男) , (女, 男, 男) }, 故P (B) =, A·B={ (男, 男, 女) , (男, 女, 男) , (女, 男, 男) }, 故P (A·B) =, P (A·B) =P (A) ·P (B) , 即事件A与事件B独立。

三、从学习方式方面强化学生的数学随机意识

概率论与数理统计教学反思 第10篇

数学的素质尤为重要, 它在实施素质教育中具有基础的意义.就如体质是从事一切体力劳动的基础一样, 数学素质是从事一切脑力劳动的基础.在科学技术成为第一生产力推动社会发展的今天, 在人类发展要向可持续方式转变的今天, 我们把数学作为文化, 作为所有科研工作者和社会工作者的基本素质, 是何等的重要.数学思想是数学文化的核心, 因为数学文化是数学的形态表现, 它可以包括:数学形式、数学历史、数学思想.其中思想是本质的, 没有思想就没有文化.

当今世界, 无论是国际间的竞争还是社会各行业各领域的竞争等, 核心是创新人才的竞争, 而创新人才的产生又与教育密不可分.诺贝尔奖获得者杨振宁和朱棣文在谈到中国教育现状时, 都认为中国的教育重基础知识的学习, 而轻创造能力的培养.那作为大学数学教师的我们, 怎样才能以合理有效的教学培养学生的创造能力呢?以数学公共课“概率论与数理统计”的教学为例, 有下面一些反思.

非数学专业的学生在学习“概率论与数理统计”之前基本上都是有微积分和线性代数的数学基础, 但大多数学生对这些数学知识的印象都是枯燥、繁琐的计算、记不住的公式和不知所以然的推理论证, 甚至有些学生对数学有种排斥的心理, 认为数学根本就没有用.学数学意味着什么?当然除非你能用它, 否则毫无益处.而“概率论与数理统计”是一门研究随机现象及其规律性的科学, 有着广泛的实际应用, 而且其中用到求导数、求积分等工具, 正好可以通过这门课的学习, 使学生感受到数学的力量, 从而对数学产生兴趣.

J.勒雷说过:“学习科学不是靠读, 而是靠理解.科学不是静止呆板的字母, 书籍不能保证它永恒的青春.科学是一种有生命的思想, 为了对它产生兴趣, 进而掌握它, 人们必须在精明的人的指导下, 用自己的头脑去重新发现它.”

我们教师就应该成为这样精明的人, 当然我们的教学不能只是宣读写好的课本或PPT, 也不能只是登上讲台发表高见, 而要通过对话使学生发现真理.这就要求我们在教学过程中不断渗透数学思想, 注重培养学生的自学能力和扩展、发展知识的能力, 为学生今后持续创造性的学习打好基础.

数学思想可以归纳为三种基本思想:抽象、推理和模型.下面举个课本[4]第一章中的一个例子:设盒子中有3个白球, 2个红球, 现从盒中任抽2个球, 求取到一红一白的概率.

通过这个简单的例子就可以渗透数学思想:首先通过抽象, 把外部世界与数学有关的东西抽象到数学内部, 即已知Ω为任取2个球, 求事件A:“取到一红一白”的概率;接下来通过推理, 得到数学的计算方法:P (A) =C35C13C12=53;并不是到这里就结束了, 我们可以进一步归纳出一个模型“超几何概型”[4], 通过模型, 创造出具有表现力的数学语言, 构建了数学与外部世界的桥梁.

为了培养学生的创造性, 在教学过程中还要培养学生的数学yawp (叫嚷或尖锐的叫声) , 就是发现一个数学思想或数学论证的美或解决一个问题时所表达的惊奇和愉快.这就要鼓励学生发现, 要恢复学生孩子般的好奇心和想象力, 教他们提出好问题.例如书本[4]第五章是讲大数定理与中心极限定理, 这章其实主要就是回答了四个问题:为何能以某事件发生的频率作为该事件的概率的估计?为何能以样本均值作为总体期望的估计?为何正态分布在概率论中占有极其重要的地位?大样本统计推断的理论基础是什么?在教学过程中, 这四个问题不应该是讲到这一章由老师提出, 而应该在前面相应各章节的学习时就引导学习自己提出这些问题, 学生带着这些问题来学这一章的效果肯定会更好.

当然并不是说有了这些教学的思想和方法就能上好课, 还需要教师不断提高自己的专业素养, 下工夫对教材进行分析和研究, 在教学过程中不断地总结和反思教学经验.以上内容是作者在教学中的一些反思, 与同仁交流.

摘要：本文从数学是什么、数学素质的重要性和数学文化的核心着手, 反思数学公共课“概率论与数理统计”的教学思想和方法.

关键词：数学文化,数学思想,创新性,鼓励发现

参考文献

[1]杨叔子.文理交融打造“数学文化”特色课程[J].数学教育学报, 2011, 20 (4) :7.

[2]龚克.全国高校数学文化课程建设研讨会开幕致词[J].数学教育学报, 2011, 20 (4) :1.

[3]史宁中.漫谈数学的基本思想[J].数学教育学报, 2011, 20 (4) :8.

概率与统计 第11篇

例1 已知一组抛物线[y=12ax2+bx+1]，其中[a]为2、4、6、8中任取的一个数，[b]为1、3、5、7中任取的一个数，从这些抛物线中任意抽取两条，它们在与直线[x=1]交点处的切线相互平行的概率是（ ）

A. [112] B. [760] C. [625] D. [516]

分析 求解此类问题的关键在于弄清直线平行的条件是什么?

解 这一组抛物线共[4×4=16]条，从中任意抽取两条，共有[C216=120]种不同的方法. 它们在与直线[x=1]交点处的切线的斜率[k=y|x=1=a+b]. 若[a+b=5]，有两种情形，从中取出两条，有[C22]种取法；若[a+b=7]，有三种情形，从中取出两条，有[C23]种取法；若[a+b=9]，有四种情形，从中取出两条，有[C24]种取法；若[a+b=11]，有三种情形，从中取出两条，有[C23]种取法；若[a+b=13]，有两种情形，从中取出两条，有[C22]种取法. 由分类计数原理知任取两条切线平行的情形共有[C22+C23+C24+C23+C22=14]种，故所求概率为[760]. 选B.

点拨 分类讨论是指在研究问题时，若对事物的整体研究有困难，可转而研究事物的各个局部，通过选择恰当的切入点，从不同的侧面把原问题变成几个小问题，各个击破，从而完成对整体的研究. 分类讨论时我们要思维慎密、严谨、不重复、不遗漏.

例2 设[AB=6]，在线段[AB]上任取两点（端点[A、B]除外），将线段[AB]分成了三条线段.

（Ⅰ）若分成的三条线段的长度均为正整数，求这三条线段可以构成三角形的概率；

（Ⅱ）若分成的三条线段的长度均为正实数，求这三条线段可以构成三角形的概率.

分析 显然第一问可用枚举法求解，第二问可用几何法求解.

解 （Ⅰ）若分成的三条线段的长度均为正整数，则三条线段的长度的所有可能为1、1、4，1、2、3，2、2、2共3种情况，其中只有三条线段为2、2、2时能构成三角形，则构成三角形的概率[P=13].

（Ⅱ）设其中两条线段长度分别为[x、y]，则第三条线段长度为[6-x-y]，则全部结果所构成的区域为[0

若三条线段[x、y]、[6-x-y]能构成三角形，则还要满足[x+y>6-x-y，x+6-x-y>y，y+6-x-y>x，]即为[3

点拨 利用枚举法时要注意求解问题不要遗漏，对几何概型的考查要注意分清几何概型是长度、面积还是体积.

例3 袋子[A]和[B]中装有若干个均匀的红球和白球，从[A]中摸出一个红球的概率是[13]，从[B]中摸出一个红球的概率为[p].

（Ⅰ）从[A]中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止. 求恰好摸索5次停止的概率；

（Ⅱ）若[A、B]两个袋子中的球数之比为1∶2，将[A、B]中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是[25]，求[p]的值.

分析 第一问是常规题，第二问是求解概率问题的逆向运用，解题的关键还是在于如何列概率表达式.

解 （Ⅰ）由题意知前4次中有两次摸到了红球，第5次摸到的也是红球，所以概率为[C24×(13)2×(23)2×13][=881.]

（Ⅱ）因为[A、B]两个袋子中的球数之比1∶2，所以设袋子[A]中有[m]个球，则袋子[B]中有[2m]个球.

由于从[A]中摸出一个红球的概率是[13]，从[B]中摸出一个红球的概率为[p]，故袋子[A]中有[13m]个红球，袋子[B]中有[2mp]个红球，[A、B]中的球装在一起后，共有红球[13m+2mp]个，

故[12m+2mp3m=25]，得[p=1330].

点拨 首先应仔细分析题意，当概率分布不是一些熟知的类型时，应全面地剖析各个随机变量所包含的各种事件，并准确判断各事件的相互关系，从而求出各随机变量相应的概率.

例4 对某电子元件的寿命进行追踪调查，情况如下：

（Ⅰ）列出频率分布表；

（Ⅱ）画出频率分布直方图；

（Ⅲ）估计电子元件寿命在100～400 h以内的概率；

（Ⅳ）估计电子元件寿命在400 h以上的概率.

分析 （Ⅰ）由题意知，本题已经对所给的数据进行分组，并且给出了每段的频数，根据频数和样本容量做出频率，填出频率分布表；（Ⅱ）结合前面所给的频率分布表，画出坐标系，选出合适的单位，画出频率分步直方图. （Ⅲ）（Ⅳ）理解频率分布表的含义可直接求解.

解 （Ⅰ）频率分布表如下：

（Ⅱ）频率分布直方图如下：

[频率/组距][寿命（h）][100 200 300 400 500 600]

（Ⅲ）由频率分布表可以看出，寿命在100～400h内的电子元件出现的频率为0.65，所以我们估计电子元件寿命在100～400h内的概率为0.65.

（Ⅳ）由频率分布表可知，寿命在400h以上的电子元件出现的频率为0.20+0.15=0.35，故我们估计电子元件寿命在400h以上的概率为0.35.

点拨 通过本题可掌握总体分布估计的各种方法和步骤. 画频率分布条形图、直方图时要注意纵、横坐标轴的意义.

例5 甲、乙两种鱼的身体吸收汞，当汞的含量超过体重的1.00ppm(即百万分之一)时，就会对人体产生危害. 质检部门对市场中出售的一批鱼进行检测，在分别抽取的10条鱼的样本中，测得汞含量与鱼体重的百分比如下：

甲种鱼1.31 1.55 1.42 1.35 1.27 1.44 1.28 1.37 1.36 1.14

乙种鱼1.01 1.35 0.95 1.16 1.24 1.08 1.17 1.03 0.60 1.11

（Ⅰ）用前两位数做茎，画出样本数据的茎叶图，并回答下面两个问题：

（ⅰ）写出甲、乙两种鱼关于汞分布的一个统计结论.

（ⅱ）经过调查，市场上出售汞超标的鱼的原因是这些鱼在出售前没有经过检验，可否得出每批这两种鱼的平均汞含量都超过1.00ppm？

（Ⅱ）如果在样本中选择甲、乙两种鱼各一条做一

道菜，（在烹饪过程中汞含量不会发生改变）

（ⅰ）如果20条鱼中的每条鱼的重量都相同，那么这道菜对人体产生危害的概率是多少？

（ⅱ）根据算出的结论，你对政府监管部门有什么建议？（提出一条建议即可）

分析 求解此题的关键在于如何正确理解茎叶图.

解 (Ⅰ)(ⅰ)

甲 乙

0.6 0

0.8

0.9 5

1.0 1 8 3

4 1.1 6 7 1

8 7 1.2 4

6 7 5 1 1.3 5

4 2 1.4

5 1.5

1. 甲种鱼的汞含量分布成对称性，基本都集中在1.3左右.

乙种鱼的汞含量分布大致成对称性，基本集中在1.0~1.1左右，

2. 甲种鱼的汞含量的中位数是1.355；乙种鱼的汞含量的中位数是1.095.

(ⅱ)不一定或者无法确定.

（Ⅱ）（ⅰ）易得[P=93100].

（ⅱ）建议政府加强市场管理，鱼要检验后再出售：产鱼的水域尽量减少污染.

点拨 开放性试题最重要的一个特征是答案多元不唯一,考生答题可不必拘泥于一个思路和单一的、固定的答案,所答内容也不必要求与答案完全一致. 解答开放性试题的策略是：（1）认真审题，审题过程一定要全面分析、考虑周到，明确试题的方向与范围，明确题目条件，从而优化解题思路；（2）积极思考，同学们要灵活应用所学的知识，多角度思考、多层次分析、多方位解答，充分体现创新意识；（3）回归书本. 开放性试题往往具有“高起点、低落点”的特点，即题型比较新颖，但解决问题所用的知识仍是书本知识，解答时应以问题为中心在教材中求解；（4）准确阐述，解答时除了必须对所学的知识做到透彻理解和掌握外，还应通过对题目的阅读、理解和分析，推理方法，理清思路，准确地阐述试题的答案.

例6 一个总体中有100个个体，随机编号为0，1，2，…，99，依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1，2，3，…，10. 现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为[m]，那么在第[k]小组中抽取的号码个位数字与[m+k]的个位数字相同. 若[m=6]，则在第7组中抽取的号码是 .

分析 求解此题的关键在于理解系统抽样方法的定义.

解 此问题总体中个体的个数较多，因此采用系统抽样，按题目中要求的规则抽取即可.

∵[m=6]，[k=7]，[m+k=13]，

∴在第7小组中抽取的号码是63.

点拨 本题主要考查了对抽样方法的识别. 当总体中个体个数较多而差异又不大时可采用系统抽样，采用系统抽样在每小组内抽取时应按规则进行.

【专题训练八】

1. 从2011名学生中选出50名学生组成参观团，若采用下面的方法选取：现用简单随机抽样从2011人中剔除11人，剩下的2000人再按系统抽样的方法抽取50人，则在2011人中，每人入选的概率（ ）

A. 都相等，且为[140] B. 都相等，且为[502011]

C. 均不相等 D. 不全相等

2. 若变量[y]与[x]之间的相关系数[r＝－0.9362]，则变量[y]与[x]之间（ ）

A. 不具有线性相关关系

B. 具有线性相关关系

C. 它们的线性关系还要进一步确定

D. 不确定

3. 一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标以数1、2、3、4、5、6(俗称骰子)，将这个玩具向上拋掷一次，设事件[A]表示“向上的一面出现奇数点”(指向上一面的点数是奇数)，事件[B]表示“向上的一面出现的点数不超过3”，事件[C]表示“向上的一面出现的点数不小于4”，则（ ）

A. [A]与[B]是互斥而非对立事件

B. [A]与[B]是对立事件

C. [B]与[C]是互斥而非对立事件

D. [B]与[C]是对立事件

4. 一个电路上装有甲、乙两根熔丝，甲熔断的概率为0.85，乙熔断的概率为0.74，甲、乙两根熔丝熔断相互独立，则至少有一根熔断的概率为（ ）

A. 0.15×0.26＝0.039

B. 1－0.15×0.26＝0.961

C. 0.85×0.74＝0.629

D. 1－0.85×0.74＝0.371

5. 如图所示是一样本的频率分布直方图，则由图形中的数据，可以估计众数与中位数分别是（ ）

[数据] [频率/组距][0.1][0.04][5 10 15 20]

A. 12.5 12.5 B. 12.5 13

C. 13 12.5 D. 13 13

6. 最小二乘法的原理是（ ）

A. 使得[i=1n [yi－(a＋bxi)]]最小

B. 使得[i=1n [yi－(a＋bxi)2]]最小

C. 使得[i=1n [yi2－(a＋bxi)2]]最小

D. 使得[i=1n [yi－(a＋bxi)]2]最小

7. 某单位为了了解用电量[y](度)与气温[x](℃)之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：

[气温[x]（℃）&18&13&10&－1&用电量[y](度)&24&34&38&64&]

由表中数据得线性回归方程[y＝bx＋a]中[b≈－2]，预测当气温为－4℃时，用电量的度数约为（ ）

A. 58 B. 66 C. 68 D. 70

8. 从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的标准差为（ ）

A. [3] B. [2105] C. 3 D. [85]

9. 设[a∈]{1,2,3,4}，[b∈]{2,4,8,12}，则函数[f(x)＝][x3＋ax－b]在区间[1,2]上有零点的概率为（ ）

A. [12] B. [58] C. [1116] D. [34]

10. 签盒中有编号为1、2、3、4、5、6的6支签，从中任意取3支，设[X]为这3支签的号码之中最大的一个，则[X]的均值为（ ）

A. 5 B. 5.25 C. 5.8 D. 4.6

11. 某地区试行高考考试改革：在高三学年中举行5次统一测试，学生如果通过其中的2次测试即可获得足够学分升上大学继续学习，不用参加后面的测试，而每个学生最多也只能参加5次测试，假设某学生每次通过测试的概率都是[13]，每次测试通过与否相互独立. 规定：若前4次都没有通过测试，则第5次不能参加测试，则该学生考上大学的概率为 .

12. 某同学同时掷两颗骰子，得到点数分别为[a]、[b]，则双曲线[x2a2-y2b2=1]的离心率[e＞5]的概率是 .

13. 温家宝总理在十二五规划中提到十二五期间，要保民生. 为落实温总理指示，某社区办事处调查了居民的身体素质情况，从本社区内随机抽查了50名居民进行百米测试，成绩全部介于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：

[频率/组距][秒][13 14 15 16 17 18 19][0.36

0.34][0.18][0.06

0.04

0.02]

如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图. 设成绩小于17秒的居民人数占抽查人数的百分比为[x]，成绩大于等于15秒且小于17秒的居民人数为[y]，则从频率分布直方图中可以分析出[x]和[y]分别为 .

14. 位于坐标原点的一个质点[P]按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向

右，并且向上、向右移动的概率都是[12]. 质点[P]移动5次后位于点[(x,y),则x2+y2<25]的概率为 .

15. 设随机变[X]只能取5、6、7、…、16这12个值，且取每一个值的概率均相等，则[P(X＞8)]＝ . 若[P(X＜x)＝112]，则[x]的范围是 .

16. 甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品中有4个正品和3个次品.

（Ⅰ）从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率；

（Ⅱ）若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率.

17. 甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，在培训期间，他们参加的5项预赛成绩记录如下：

（Ⅰ）用茎叶图表示这两组数据；

（Ⅱ）从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个，求甲的成绩比乙高的概率；

（Ⅲ）现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？说明理由.

18. 甲乙两个学校高三年级分别为1100人、1000人，为了统计两个学校在地区二模考试的数学科目成绩，采用分层抽样抽取了105名学生的成绩，并作出了部分频率分布表如下：（规定考试成绩在[120，150]内为优秀）

甲校：

（Ⅰ）计算[x、y]的值，并分别估计两上学校数学成绩的优秀率；

（Ⅱ）由以上统计数据填写下面2×2列联表，并判断是否有97.5%的把握认为两个学校的数学成绩有差异.

19. 道路交通安全法中将饮酒后违法驾驶机动车的行为分成两个档次：“酒后驾车”和“醉酒驾车”，其检测标准是驾驶人员血液中的酒精含量[Q]（简称血酒含量，单位是毫克/100毫升），当20≤[Q]<80时，为酒后驾车；当[Q]≥80时，为醉酒驾车. 某市公安局交通管理部门在某路段的一次拦查行动中，依法检查了200辆机动车驾驶员的血酒含量，其中查处酒后驾车的有6人，查处醉酒驾车的有2人，依据上述材料回答下列问题：

（Ⅰ）分别写出违法驾车发生的频率和醉酒驾车占违法驾车总数的百分数；

（Ⅱ）饮酒后违法驾驶机动车极易发生交通事故，假设酒后驾车和醉酒驾车发生交通事故的概率分别是0.1和0.25，且每位驾驶员是否发生交通事故是相互独立的. 依此计算被查处的8名驾驶员中至少有一人发生交通事故的概率. （精确到0.01）并针对你的计算结果对驾驶员发出一句话的倡议.

20. 在一个盒子中，放有标号分别为1、2、3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为[x、y]，设[O]为坐标原点，点[P]的坐标为[（x-2，x-y）]，记[ξ=|OP|2].

（Ⅰ）求随机变量[ξ]的最大值，并求事件“[ξ]取得最大值”的概率；

（Ⅱ）求随机变量[ξ]的分布列和数学期望.

21. 一袋中有[m(m∈N*)]个红球，3个黑球和2个白球，现从中任取2个球.

（Ⅰ）当[m=4]时，求取出的2个球颜色相同的概率；

概率统计教学思考 第12篇

目前高等教育的一个普遍要求是:从以传授知识为主要目标的继承性教育转变到以培养能力为主要目标的创新教育;从以教师为中心的注入式教育转变到教师主导作用与学生主体作用相结合的探究式教育;从应试教育转变到素质教育;从传统的教学模式转变到运用现代教育技术的新型教学模式, 这就要求高校老师对于所教课程进行相应的教学研究和创新。概率统计作为一门重要的数学课程, 也不能例外。笔者几年来一直从事高校概率统计的教学工作, 结合自己的教学体会, 得到了下面的几个结论:

一、概率统计的教学中多媒体是不可缺少的辅助手段, 应该采用板书和多媒体结合使用的方法

一般来说, 数学的教学板书是最好的教学手段, 毕竟数学是一门理论性学科, 公式、定理的推导以板书的形式讲解给学生可能效果更好一些。但是概率统计这门课程有自己的特殊性, 应用多媒体辅助教学主要有两大好处:

1. 可以极大提高教学效率。

以第一章为例, 大量的例题都是实际的例子, 如果将例子都放到黑板上必然会浪费大量的时间, 而借助PowerPoint软件设计, 可以将老师从重复、单调的板书过程中解放出来, 利用节省下的时间对学生进行启发式教育, 展开灵活多样的讨论。而学生呢, 也不必要再将所有的内容都抄录下来, 如果需要, 可以课后自己在计算机上根据课件的内容整理笔记, 上课的过程中只需要跟着老师的思路接受知识。而且, 多媒体课件可以通过生动形象的演示, 将复杂的认识活动变得简单轻松, 可以最大限度地调动学生的主观能动性, 营造出更为宽松的课堂氛围, 调动学生的学习兴趣, 提高课堂教学质量[1,2]。

2. 应用多媒体技术可以培养学生的创新性。

在授课过程中, 通过计算机图形显示、动画模拟、文字说明等结合学习内容对某些实验进行模拟、演示随机现象的统计规律性, 形成一个全新的图文并茂、声像结合、数形结合的生动直观的教学环境, 学生置身其中, 可以在一种愉悦的环境中学习, 其大脑思维必然会很活跃。教师再适时的提出问题, 引导学生发现问题、解决问提, 必然会极大的培养学生的创新性。

二、教师增加数学修养很有必要

“师者, 所以传道、授业、解惑也”。目前, 数学发展的一大特点就是“由稳定到交叉、混沌”, 概率统计绝不是孤零零的一门单独课程, 如果真的要把这门课程讲好, 老师必须对其他各科都有一定的了解, 对于整个数学的发展也必须有总体上的把握, 这就要求我们老师必须踏踏实实的多学习, 提高自己的数学修养。“要给别人一瓢水, 自己得先有一桶水”, 当然这绝不是一日之功, 这就需要任课老师在课下阅读大量的书籍, 最好的就是读一下《数学史》。对于整个数学学科、特别是概率统计学科的发展有一个全面的认识, 这样在课上, 老师就可以对于所教授的知识信手拈来, 提高自己的教学效果。

三、教书科研应该结合起来

高校教师不再仅仅是教书匠, 还应该紧跟时代的发展, 及时了解概率统计这个方向最新的研究方向, 发展程度, 这可以和科研结合起来, 因为一般来说如果搞科研的话, 会更多的关注自己方向整个的发展, 这对于将最新的内容引入到概率教学中会很有帮助的。

南京理工大学的杨孝平教授曾经在“第五次全国大学数学课程建设与教学改革经验交流会”的报告中指出“大学数学教学应该做到与时俱进, 适应社会发展的需求, 加强直观性和应用性教学, 提高大学数学教育的质量, 为社会培养更多更好的优秀人才”。概率统计作为一门重要的数学学科, 可以说其方法应用到社会生活的各个方面, 社会在发展, 老师在科学研究的过程中必然会更深的体会到概率统计的重要性, 并且将自己的体会经验传授给学生, 必然会为培养优秀的人才起到重大作用。

四、教师在教学过程中要有针对性地进行教学改革

1. 教学内容的改革。

概率统计的主线是:分布、数字特征和统计特征。目前很多高校的授课学时都压缩很多, 比方说我们学校各个专业的学时基本上都从72学时压缩到了54学时, 那么任课老师可以根据概率统计这门课的主线, 将授课内容做相应的调整。例如讲到分布时, 对于一维随机变量的分布做重点阐述, 而对于二维则可以简单讲授。当然, 无论内容那个如何调整, 都应该根据人才培养模式的新要求和全国工科数学课程指导委员会对《概率论与数理统计》课程的指导意见, 以及考研的需要, 力求内容与上述要求尽量保持一致。

2. 教学方法的改革。

概率统计的传统教学方法侧重于讲解概念、定义和计算, 其后果是学生在系统的学习之后, 却不知道如何应用。而且, 概率统计的很多概念和定理抽象, 计算过程复杂繁琐, 对于非数学专业的学生来说造成了较大的困难, 扼杀了学生的学习兴趣。事实上, 对于大部分非数学专业学生, 并不需要详细掌握定理的证明过程和计算过程。老师在教学过程中只需要求学生掌握概率的基本概念、基本理论以及常用的数理统计方法即可, 可以加强《概率论与数理统计》的实验教学。比方说讲到统计时, 和SPSS统计软件相结合, 讲到常用随机变量时, 和Excel相结合, 这样可以提高学生数学实验能力, 激发学习兴趣, 培养主动探索精神。

3. 教学手段的改革。

结合现代教育技术手段, 提高教学效率。使用多媒体辅助教学, 结合黑板。关键问题是制作合适的《概率论与数理统计》电子教案, 关于多媒体教学的好处, 前面已有说明。这里需要强调的一点就是对于重要定理公式的推导和重要的计算过程, 最好采用板书的形式。

摘要：本文通过几年来高校概率统计教学经验, 提出了概率统计教学过程中应该注意的几个问题。

关键词：概率统计,教学改革,教学,创新

参考文献

[1]崔志会, 杨静.浅谈多媒体技术在《概率统计》课程中的应用[J].高校讲坛.2008 (18) :164, 181