空间向量法范文

2024-06-02

空间向量法范文（精选12篇）

空间向量法第1篇

一、法向量的定义

所谓平面的法向量, 就是指所在的直线与平面垂直的向量。显然一个平面的法向量有无数多个, 它们是共线向量。

二、法向量的求解

求一个平面的法向量的坐标, 首先要建立空间直角坐标系, 然后用待定系数法求解, 其步骤如下:

4.解方程组, 取其中的一个解, 即得法向量的坐标。

三、法向量的应用

(一) 利用法向量求二面角

解:以D为原点, DA所在直线为X轴, DC所在直线为Y轴, DS所在直线为Z轴, 建系如图, 则D (0, 0, 0) , A (1, 0, 0) , B (1, 1, 0) , C (0, 1, 0) , S (0, 0, 1) 。

评析:1.因为所求的二面角的交线在图中较难作出, 所以用传统的方法求二面角比较困难, 向量法在这里就体现出它的特有的优势;

2. 用法向量求解二面角时, 将传统求二面角的三步曲“找———证———求”直接简化成了一步曲“计算”。这在一定程度上降低了学生的空间想象能力, 达到不用作图就可以直接计算的目的, 更加注重对学生计算能力的培养, 体现了新课改的精神;

3. 向量法在解决二面角问题时, 可能会遇到二面角的具体大小问题。所以, 在计算之前先依题意直观判断一下所求的二面角的大小, 然后根据计算取“相等角”或“补角”。

(二) 利用法向量求点到平面的距离

例2.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中, E、F分别是B1C1和D1C1的中点, 求点A1到平面BDFE的距离。

评析:求点到面的距离难点是确定垂足, 过去解决此问题主要方法一是“先找后求”, 二是“等体积法”。前者要先找到 (作出并证明) 距离, 然后构造三角形, 应用勾股定理、余弦定理求解, 这种解法需要对图形进行平移、投影等转化技能, 而且不同的问题需要不同的技巧;后者需要用到体积公式。实践证明, 没有向量法, 学生求解这类问题比较困难, 有了法向量这一工具很多较难的空间距离问题就有了统一的方法求解。

(三) 利用法向量证明线面平行

证明线面平行只需证直线与平面的法向量垂直即可。

例3.如图, 在四棱锥P-ABCD中, PA⊥平面ABCD, 四边形ABCD为正方形, PA=AB=4, G为PD中点, E点在AB上, 平面PEC平面PDC, 求证:AG||面PEC。

证明:以A为原点, AB所在直线为X轴, AD所在直线为Y轴, AP所在直线为Z轴, 建系如图, 设AE长为a, 则E (a, 0, 0) , P (0, 0, 4) , C (4, 4, 0) , G (0, 2, 2) , D (0, 4, 0) , A (0, 0, 0) ,

评析:证明线面平行通常找线线平行或线面平行, 但当线或面不易找时, 此类问题就不易证明了。就像此题E点位置不确定如何寻找线或面呢?在这里法向量为我们解决了这个难题, 不去找而去算, 这正是向量法的优点。同时通过使用向量法, 可使学生较牢固地掌握向量代数工具, 从而丰富学生的思维结构和运用数学的能力。

空间向量求空间角.教案第2篇

教学知能目标：1．理解空间向量求解空间角的一般方法；

2．能用空间向量解决空间角问题。

教学情感目标：培养学生探究新知的精神，培养学生数形结合的能力，化归的能力。教学重点：理解空间向量求解空间角的一般方法，并能利用空间向量解决空间角问题。教学难点：线面角，面面角的化归。

一、复习引入：．在三棱锥PABC中，PAAB,ABAC,ACPA，则面ABC的法向量是什么？面PBC PAPBPC2，的法向量又怎么求？．空间向量的数量积运算公式是什么？

二、新课探究：

四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是的边长为1的正方形，侧棱垂直底面，AB1,AA14,E,F,G分

A1D1C1PACBZ别是CC1,AC,BB1的中点。

问题1：求异面直线B1F,D1E所成角的余弦值.探究：如何用空间向量求异面直线所成的角？

AB1EGDFBCY设l1与l2是两异面直线，a,b分别为l1、l2的方向向量，它们所成角为，l1、l2所成的角为，则θ与相等或

Xab互补，则coscos

αab

问题2：求直线AC与平面AGF所成角的余弦值； 1

探究：如何用空间向量求直线与平面所成的角？

如图，设l为平面的斜线，lA，a,为l的方

Ban向向量，n为平面的法向量，它们所成角为θ，l与

平面所成的角为，则sincosanan

问题3：求二面角AAG1F的平面角的余弦值。

探究：如何用空间向量求二面角？

平面与相交于直线l，平面的法向量为n1，平面的法向量为n2，n1,n2 = ，则二面角l为或.设二面角的大小为，则coscosn1nn

21n2

φαACαn1An2φβlOB

三、巩固提高：

已知四棱锥SABCD的底面ABCD是边长为（1）当时SA2a时，求异面直线a的正方形，（2）当SA2a时AB和SC所成角的余弦值；求直线BD和平面SCD所成角的余弦值；（3）

ZSSA的值为多少时，二面角BSCD的大AB小为120? 当

四、小结：

ADYBXCab1．求异面直线所成的角时，一定要注意(0,90]，从而有coscos

ab2．求直线与平面所成的角时，一定要注意它和a,n之间的关系，从而有ansincos

an3．求二面角时一定要注意它和m,n之间的关系，从而有

mncoscos，同时还要观察图形确定二面角的范围。

空间角探究性问题的向量法求解策略第3篇

一、探究两条异面直线所成的角

【例1】如图1，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在平面互相垂直，AB=2，AF=1，试在线段AC上确定一点P，使得PF与BC所成的角是60°，并加以证明.

分析：设AP=x(0≤x≤2)，利用PF与BC所成的角是60°来构建以x为元的方程，再解x就确定了点P的位置.

图1

解：∵正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，∴AF⊥AC，AF⊥平面ABCD.

又AB=2,AF=1,AC=2,设AP=x(0≤x≤2)

，以A为坐标原点，直线AB、AD、AF分别为x、y、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(2,0,0),C(2,2,0),F(0,0,1),P(2x2,2x2 ,0)，

∴BC=(0,2,0),PF=(-22 x,-22 x,1)

.要使PF与BC所成角是60°，只需使|BC?PF||BC|?|PF| =cos60°

，所以x2?x2+1=12，∴x=1,所以当点P是线段AC的中点时，PF与BC所成的角为60°.

二、探究直线与平面所成的角

图2

【例2】如图2，在三棱锥A-BCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD=3,BD=CD=1,另一个侧面是正三角形，在线段AC上是否存在一点E，使ED与面BCD成角30°，若存在，确定E的位置；若不存在，请说明理由.

分析：在AC上任取一点E,使CE=x(0≤x≤2），利用ED与面BCD所成的角为30°来构建方程，再求x.

解：以D为坐标原点，以直线DB、DC分别为x轴、y轴的正方向，以过D

与平面BCD垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系，

则D(0,0,0)，E(22x,1,22x),DE=(22x,1，22x),

又平面BCD的一个法向量为a=(0,0,1)，要使ED与面BCD成角30°，

只需使DE与n成60°，只需使|DE?n||DE|?|n|=cos60°，即22x

x2+1=12,∴x=1，

当CE=1时,ED与面BCD成30°角.

三、探究二面角

【例3】如图3,在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD=AA1=1,AB=2,点E在棱AB上移动，当AE等于何值时，二面角D1-EC-D的大小为π4 .

分析：设AE=x(0≤x≤2)，利用二面角D1-EC-D的平面角的大小为π4 来构建以x为元的方程，再求解x，就确定AE的值了.

图3

解：∵ABCD-A1B1C1D1是长方体，AD=A1A=1，AB=2,以D为坐标原点，分别以直线DA、DC、DD1为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则

AE=x(0≤x≤2)，则D(0,0,0),C(0,2,0),D1(0,0,1),E(1,x,0),

∴CE=(1,x-2,0),CD1=(0,-2,1).

设平面D1EC的一个法向量为n=(a,b,c)，

由n?CE=0，n?CD1=0，

得a+b(x-2)=0，2b-c=0.

令b=1，则c=2，a=2-x，∴n=(2-x,1,2).又平面的一个法向量为DD1=(0,0,1)，要使二面角D1-EC-D的大小为π4 ，只需使

|DE?n||DE|?|n| =cosπ4 ,∴21×(x-2)2+5 =22

，

∴x=2-3,x=2+3（舍去）

，所以当AE＝2-3时，二面角D1-EC-D大小为π4 .

对于立体几何的探索性问题一般都是条件开放性的探究问题，采用的方法一般是执果索因的方法，假设求解的结果存在，寻找使这个结论成立的充分条件，运用方程的思想或向量的方法转化为代数的问题来解决.对于立体几何的探索性问题最适合用空间向量的方法，只需通过坐标运算进行判断，在解题过程中把“是否存在的问题”转化为“点的坐标”是否有解、“是否有规定范围内”有解的问题，使问题得到简单、有效地解决.

用向量法求空间的角和距离第4篇

一、夹角问题

(1) 求A1D与AM所成角的大小。

(2) 求直线AD与平面ANM所成角的大小。

(3) 求平面ANM与平面ABCD所成角的大小。

解:如图, 建立空间直角坐标系, 则A (0, 0, 0) , D (0, 8, 0) , A1 (0, 0, 4) ,

二、距离问题

1、点面间的距离:

2、异面直线间的距离:

如图, 设AB为异面直线a, b的公垂线,

例2:如图直三棱柱ABC-A1B1C1中, 底面是等腰三角形, ∠ACB﹦90°, 侧棱AA1=2, D, E分别是CC1与A1B的中点, 点E在平面ABD上的射影是⊿ABD的重心G。

(1) 求A1B与平面ABD所成角的大小;

(2) 求异面直线A1B与AD的距离d1;

(3) 求点A1到平面AED的距离d2。

评析:利用向量解决有关夹角和距离问题, 实现了几何问题代数化, 体现了数形结合思想, 淡化了传统立体几何中从“形”到“形”的逻辑推理方法, 解题思路清晰, 解题方法简捷;同时, 空间向量为求夹角和距离提供了通法, 有很强的规律性, 实用性和优越性。

摘要：向量引入中学, 沟通了几何与代数之间的联系, 拓宽了中学数学问题解决的思维空间, 空间向量在研究空间角、空间距离等问题具有独到之处, 它可以使几何问题中的逻辑推理转化为向量的代数运算, 使问题的解决显得更简洁和清晰。

高中空间向量试题第5篇

高二数学单元试题

（考试时间：120分钟满分：150分）

一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1．已知向量a＝（1，1，0），b＝（－1，0，2），且ka＋b与2 a－b互相垂直，则k的值是（）

137A．1B．C．D．55

52．已知32,2,则5与3数量积等于

A．－15 B．－5 C．－3（）D．－

13．已知A、B、C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，下列条件中能确定点M与点A、B、C一定共面的是

（）A． B．2

11111D．OM 2333

34．已知向量a＝（0，2，1），b＝（－1，1，－2），则a与b的夹角为（）C．OM

A．0°B．45°C．90°D．180°

5．已知△ABC的三个顶点为A（3，3，2），B（4，－3，7），C（0，5，1），则BC边上的中线长为

A．2（）B．3C．4D．

56．在下列命题中：①若a、b共线，则a、b所在的直线平行；②若a、b所在的直线是异面直线，则a、b一定不共面；③若a、b、c三向量两两共面，则a、b、c三向量一定也共面；④已知三向量a、b、c，则空间任意一个向量p总可以唯一表示为p＝xa＋yb＋zc．其中正确命题的个数为（）

A． 0B．1C． 2D．

317．已知空间四边形ABCD，M、G分别是BC、CD的中点，连结AM、AG、MG，则AB+(BDBC)等于（2）



A．AGB． CGC． BCD．2BC8．直三棱柱ABC—A1B1C1中，若CAa，CBb，CC1c，则A1B（）

高二数学共 6 页第 1 页



9．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量D1A、D1C、A1C

1A．有相同起点的向量C．共面向量

A． abcB．abcC． abcD． abc

是（）

B．等长向量D．不共面向量

10．已知点A（4，1，3），B（2，－5，1），C为线段AB上一点，且()



3|AC||AB|,则点的坐标是

715310757

3A．(,,)B．(,3,2)C．(,1,)D．(,,)

22283322

211．设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足ABAC0,ABAD0,ACAD0，则△BCD是（）

A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．不确定 12．（文科）在棱长为1的正方体ABCD—

A1B1C1D1中，M和N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值是（）A．

223B．CD

55510

（理科）已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，则点B到平面EFG的距离为（）A．

32B．C．D．

151011

二．填空题（本大题4小题，每小题4分，共16分）

13．已知向量a=(+1,0,2)，b=(6,2-1,2),若a∥b,则与的值分别．

14．已知a,b,c是空间两两垂直且长度相等的基底，m=a+b,n=b-c,则m，n的夹角为．

bc)a，15．已知向量a和c不共线，向量b≠0，且(ab)c(d＝a＋c，则d,b．

16．（如图）一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A

为端点的三条棱长都等于1，且它们彼此的夹角都是

60，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长。

上杭二中2006—2007学年第二学期

高二数学单元测试答题卷

13．________、_________

15．_________________．90°16．_____________________．6

11．14．____________________．60°

52三．解答题（本大题6小题，共74分）

17．（本小题满分12分）如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是DC的中点，取如图所示的空间直角坐标系．（1）写出A、B1、E、D1的坐标；（2）求AB1与D1E所成的角的余弦值．

解：(1)A(2, 2, 0)，B1(2, 0, 2)，E(0, 1, 0)，D1(0, 2, 2)

→→→→

(2)∵ AB1 ＝(0,-2, 2)，ED1 ＝(0, 1, 2)∴ AB|1 |＝ 22，ED|

1→→

|5，AB1 ED· 1 ＝ 0－2＋4＝2, →→

→→ABED·210

∴ cos AB1，ED1 ＝＝＝∴→→10．

5AB|1 |·ED| 1 | AB1与ED1所成的角的余弦值10 ． 10

18．（本小题满分12分）

在正方体ABC，如图Ｅ、Ｆ分别是BB1，ＣＤ的中点，DA1B1C1D1中（1）求证：D1F平面ADE；（2）

解：建立如图所示的直角坐标系，（1）不妨设正方体的棱长为1，则D（0，0，0），A（1，0，0），D1（0，0，1），E（1，1，），F（0，0），则D1＝（0，－1），DA＝（1，0，0），21

＝（0，1，），则D1＝0，x

D1＝0，D1，D1.D1F平面ADE.12，－

（２）B1（1，1，1），C（0，1，0），故CB1＝（1，0，1），＝（－1，－

12），CB1＝－1＋0－

＝－

，11

3

2，则



322



3.150

19．（本小题满分12分）

BCD中如图，在四棱锥PA，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PDDC，E是PC的中点，作EFPB交PB于点F.DB；（1）证明 PA∥平面E

（2）证明PB平面EFD．解：

解：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点.设DC(1)证明：连结AC，AC交BD于G.连结EG.a.,0,0),依题意得A(a(0,0P,),(0a，E)

底面ABCD是正方形，G是此正方形的中心，aa

故点G的坐标为(，0)且PA(a,0,a),EG(a,0,a).2222



PA2EG.这表明PA∥EG.而EG

平面EDB且PA平面EDB，PA∥平面EDB。

aa

0,(2)证明：依题意得B(a,a,0),PB(a,a,a)。又DE（22PBDE, 由已知EFPB，且EF

a2a2

故00

DEE,所以PB平面EFD.20．（本小题满分12分）如图，四边形ABCD是直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD．（1）求SC与平面ASD所成的角余弦；（2）求平面SAB

和平面SCD所成角的余弦．解

：

（1

（2

21．（本小题满分12分）如图，在底面是菱形的四棱锥P—

ABCＤ中，∠ABC=600，PA=AC=a，PB=PD=2a,点E在PD上，且PE:ED=2:1.（1）证明PA⊥平面ABCD；（2）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角的大小

（1）证明因为底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，所以AB=AD=AC=a，在△PAB中，2222由PA+AB=2a=PB知PA⊥AB.同理，PA⊥AD，所以PA⊥平面ABCD.（2）解作EG//PA交AD于G，由PA⊥平面ABCD.知EG⊥平面ABCD.作GH⊥AC于H，连结EH，则EH⊥AC，∠EHG即为二面角的平面角.又PE : ED=2 :

121，所以EGa,AGa,GHAGsin60a.333

从而tan

EG,30.GH3

22．（本小题满分14分）



P是平面ABCD外的点，四边形ABCD是平行四边形，AB2,1,4,AD4,2,0,

AP1,2,1.（1）求证：PA平面ABCD.

（2）对于向量a(x1,y1,z1),b(x,2y,2z)2，定义一种运算：



(ab)cx1y2z3x2y3z1x3y1z2x1y3z2x2y1z3x3y2z1，试计算



(ABAD)AP

(ABAD)AP的绝对值;说明其与几何体P-的绝对值的几何意义（几何体P-

ABCD的体积关系，并由此猜想向量这种运算

ABCD叫四棱锥，锥体体积公式：V=底面积高）.解：

（1）APAB(2,1,4)(1,2,1)2(2)40 APAB 即APAB

APAD( 1,2,1)(4,2,0)440



APAD即PAADAD面ABCD

（2）ABADAP48,又cosABAD





1ABADsinABADAP16 V3BADAP猜测：A在几何上可表示以AB,AD,AP为棱的平等六面体的体积（或以AB,AD,AP为棱的四棱柱

立体几何·空间向量第6篇

1. [a，b]是夹角为[30°]的异面直线，满足条件“[a?α，b?β，]且[α⊥β]”的平面[α，β]（）

A. 不存在 B. 有且只有一对

C. 有且只有两对 D. 有无数对

2. 已知向量[a=（8，x2，x）]，[b=（x，1，2）]，其中[x>0]. 若[a∥b]，则[x]的值为（）

A. 8 B. 4 C. 2 D. 0

3. 已知[a=（2，-1，3），][b=（-1，4，-2），][c=（7，5，λ），]若[a，b，c]三个向量共面，则实数[λ]等于（）

A. [627] B. [637] C. [647] D. [657]

4. 如图，已知空间四边形[ABCD]的每条边和对角线长都等于[a]，点[E，F，G]分别为[AB，AD，DC]的中点，则[a2]等于（）

A. [2BA]·[AC] B. [2AD]·[BD]

C. [2FG]·[CA] D. [2EF]·[CB]

5. 已知空间四边形[OABC]，其对角线为[OB，AC，M，N]分别是边[OA，CB]的中点，点[G]在线段[MN]上，且使[MG=2GN]，则用向量 [OA]， [OB]， [OC]表示向量 [OG]正确的是（）

A. [OG]=[OA]+[23OB]+[23OC]

B. [OG]=[12OA]+[23OB]+[23OC]

C. [OG]=[16OA]+[13OB]+[13OC]

D. [OG]=[16OA]+[13OB]+[23OC]

6. 有以下命题：①如果向量[a，b]与任何向量不能构成空间的一个基底，那么[a，b]的关系是不共线；②[O，A，B，C]为空间四点，且向量 [OA]， [OB]， [OC]不构成空间的一个基底，那么点[O，A，B，C]一定共面；③已知[{a，b，c}]是空间的一个基底，则[{a+b，a-b，c}]也是空间的一个基底. 其中正确的命题是（）

A. ①② B. ①③

C. ②③ D. ①②③

7. 二面角[α-l-β]为[60°]，[A，B]是棱[l]上的两点，[AC，BD]分别在半平面[α，β]内，[AC⊥l]，[BD⊥l]，且[AB=AC=a]，[BD=2a]，则[CD]的长为（）

A. [2a] B. [5a] C. [a] D. [3a]

8. 空间中一条线段[AB]的三视图中，俯视图是长度为1的线段，侧视图是长度为2的线段，线段[AB]的长度的取值范围是（）

A. [0，2] B. [2，5]

C. [2，3] D. [2，10]

9. 若[O]为坐标原点，[OA=（1，1，-2）]，[OB=][（3，2，8）]，[OC=（0，1，0）]，则线段[AB]的中点[P]到点[C]的距离为（）

A. [1652] B. [214] C. [53] D. [532]

10. 已知平面[α]的一个法向量[n=（-2，-2，1）]，点[A（-1，3，0）]在[α]内，则[P（-2，1，4）]到[α]的距离为（）

A. [10] B. [3] C. [83] D. [103]

二、填空题（每小题4分，共16分）

11. 若向量[a=（1，λ，2）]，[b=（-2，1，1）]，[a，b]夹角的余弦值为[16]，则[λ=] .

12. 已知空间四边形[OABC]，点[M，N]分别是[OA，BC]的中点，且 [OA=a]， [OB=b]， [OC=c]，用[a，b，c]表示向量[MN]= .

13. 在长方体[ABCD-A1B1C1D1]中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点[A1]到截面[AB1D1]的距离为 .

14. 给出命题：①若[a]与[b]共线，则[a]与[b]所在的直线平行；②若[a]与[b]共线，则存在唯一的实数[λ]，使[b=λa]；③若[A，B，C]三点不共线，[O]是平面[ABC]外一点， [OM]=[13OA]+[13OB]+[13OC]，则点[M]一定在平面[ABC]上，且在[△ABC]的内部. 其中真命题是 .

三、解答题（共4小题，44分）

15. （10分）设[a=（a1，a2，a3）]，[b=（b1，b2，b3）]，且[a≠b]，记[|a-b|=m]，求[a-b]与[x]轴正方向的夹角的余弦值.

16. （10分）如图所示，已知空间四边形[ABCD]的各边和对角线的长都等于[a]，点[M，N]分别是[AB，][CD]的中点.

（1）求证：[MN⊥AB]，[MN⊥CD]；

（2）求[MN]的长.

17. （12分）直三棱柱[ABC-A′B′C′]中，[AC=][BC=AA′]，[∠ACB=90°]，[D，E]分别为[AB，BB′]的中点.

（1）求证：[CE⊥A′D]；

（2）求异面直线[CE]与[AC′]所成角的余弦值.

18. （12分）如图1，四棱锥[P-ABCD]中，[PD⊥]底面[ABCD]，面[ABCD]是直角梯形，[M]为侧棱[PD]上一点. 该四棱锥的俯视图和侧（左）视图如图2所示.

（1）证明：[BC⊥]平面[PBD]；

（2）证明：[AM]∥平面[PBC]；

（3）线段[CD]上是否存在点[N]，使[AM]与[BN]所成角的余弦值为[34]？若存在，找到所有符合要求的点[N]，并求[CN]的长；若不存在，说明理由.

[图1][图2][俯视图][侧（左）视图] [2][3][1] [4]

空间角的向量解法第7篇

一、异面直线所成角

求异面直线l1与l2所成角〈l1, l2〉, 可分别在l1和l2上各取向量a和b, 那么〈a, b〉与〈l1, l2〉相等或互补.注意到〈l1, l2〉是锐角或直角, 因此有.

例1如图1, 三棱锥P—ABC中, PA⊥面ABC, AC⊥BC, PA=AC=CB, 求PC与AB所成角的大小.

解法1: (基向量法) 由题设条件易得CB、CA、AP两两垂直.设是空间向量的一组互相垂直的单位基底, 则

同理, .

得PC与AB所成角为60°.

解法2: (坐标向量法) 如图2, 建立空间直角坐标系C—xyz.不妨设PA=AC=CB=1, 则A (0, 1, 0) , B (1, 0, 0) , P (0, 1, 1) , 得

得PC与AB所成角是60°.

说明:解题时是用基向量法还是用坐标向量法, 要因题选用.一般地, 大多用坐标法, 只有当几何体不直 (如斜棱柱, 斜棱锥等) , 建立坐标系困难时, 只好用基向量法.

二、直线与平面所成角

如图3, 求直线l与平面α所成角θ, 可转化成直线l上的向量a与平面α的法向量n所夹角φ与θ的关系问题.可见φ+θ=90°或φ-θ=90°, 因此所求角θ=90°-φ, 或θ=φ-90°.注意到直线与平面所成角的范围是, 则有.

例2已知条件同例1, 求AB与平面PBC所成角θ的大小.

解:建立坐标系同图2.可知.设平面PBC的法向量是n= (x, y, z) , 由, 有.

取y=1, 可得n= (0, 1, -1) .

所以AB与平面PBC所成角为30°.

点评:例2用传统方法很难作出 (找到) AB在平面PBC内的射影;而用向量法只要建系、计算, 即可方便获解.因此, 用向量法可回避难点, 轻松解题.

三、平面与平面所成二面角

求二面角α—l—β的大小θ时, 可分别作出平面α、平面β的法向量m、n, 那么m与n的夹角〈m, n〉与θ互补 (如图4, m与n同时指向二面角的内部, 或同时指向二面角的外部) , 或者〈m, n〉与θ相等 (如图5, m与n中的一个指向二面角的内部, 另一个指向二面角的外部) .

若已知二面角大小θ是锐角, 可用;而当θ是钝角时, 可用.

例3正三棱柱ABC—A1B1C1的各棱长相等, M是棱BB1的中点, 求平面AMC1与平面ABC所成二面角θ (锐角) 的大小.

解:如图6, 取BC的中点O为原点, OA、OB为x轴、y轴, 与OA、OB垂直的直线为z轴, 建立空间直角坐标系.设棱长为2, 则, 可得

设平面AMC1的法向量是n= (x, y, z) , 由, 有

取y=1, 可得.

可取m= (0, 0, 1) 为平面ABC的一个法向量, 由

点评:本例所求的二面角的两个面没有交线 (无棱二面角) , 用传统方法不能作出平面角来直接求解, 而要用补形, 或平移, 或射影等技巧方法求解.而用向量法来解答, 只要建系, 设坐标, 计算即可, 回避了各种高难技巧, 大大降低了思维量.可见向量法是通法, 是有力的数学工具.

练习题

巧用向量求空间距离第8篇

一、点面距离的向量公式

基本结论平面α的法向量为n, 点P是平面α外一点, 点M为平面α内任意一点, 则点P到平面α的距离d就是在向量n方向正射影的绝对值, 即

例1 (2007湖北文5) 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中, E, F分别为棱AA1, BB1的中点, G棱A1B1上的一点, 且A1G=λ (0≤λ≤1) .则点G到平面D1EF的距离为 ( )

分析如图, 以D为原点, 建立空间直角坐标系D-xyz.

令n= (x, y, z) 为平面EFD1的法向量.

又, 所以点G到平面D1EF的距离为

故选D.

评析因A1B1∥EF, 所以A1B1上任意一点G到平面D1EF的距离都相等, 但是要求出这个距离, 得作辅助线、推理、证明、计算等, 只要一步受阻, 可能都求不出正确答案.但是利用向量法, 原图中较易建立坐标系, 求出平面D1EF的一个法向量代入公式计算便可.由此可看出向量法的优越性.

二、异面直线距离的向量公式

基本结论已知异面直线l1, l2, AB为l1, l2的公垂线段, M, P分别为l1, l2上的任意一点, n为线段上的向量, 则异面直线l1, l2的距离

例2 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中, 求异面直线A1C1与B1C的距离.

解如图所示, 以D为原点建立直角坐标系D-xyz, 则

设n= (x, y, z) 是A1C1与B1C的公垂线的方向向量, 则

令x=1, 得n= (1, 1, -1) .

评析两异面直线A1C1与B1C的距离即它们的公垂线段长, 找到公垂线不容易, 但利用向量却不用这样麻烦, 在原图中很容易建立坐标系, 求出与向量都垂直的向量n代公式计算便可.

三、线面距离的向量公式

基本结论直线l∥平面α, 平面α的法向量为n, 点M∈a, P∈l, 直线l与平面α间的距离d就是在向量n方向射影的绝对值, 即

例3 (2008安徽文19) 如图, 在四棱锥O-ABCD中, 底面ABCD是边长为1的菱形, OA⊥底面ABCD, OA=2, M为OA的中点.

(1) 求异面直线AB与MD所成角的大小; (略)

(2) 求点B到平面OCD的距离.

解作AP⊥CD于点P, 如图, 在原图上分别以AB, AP, AO所在直线为x, y, z轴建立坐标系, 则B (1, 0, 0) ,

∴设平面OCD的法向量为n= (x, y, z) ,

设点B到平面OCD的距离为d,

则d为在向量上的投影的绝对值.

∴点B到平面OCD的距离为

评析因AB∥平面OCD, 所以点A和点B到平面OCD的距离相等, 而点B到平面OCD的距离不易作出, 故而须转换为求点A到平面OCD的距离, 同时还要经过作辅助线、推理、证明、计算等, 很多学生都可能想不到, 但是运用向量法却可以避开这些繁琐的推理, 只需在原图中建立适当的坐标系, 求出平面OCD的一个法向量, 代公式计算便可.显然用向量法思路清晰、明了.

四、面面距离的向量公式

基本结论平面α∥β, 平面α的法向量为n, 点M∈α, P∈β, 平面α与平面β的距离d就是在向量n方向射影的绝对值, 即

例4在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中, 求面A1BD和平面CB1D1的距离.

解如图所示, 以D为坐标原点, 建立直角坐标系D-xyz.

由图易证面A1BD∥面CB1D1, 故两平面A1BD和平面CB1D1的距离, 实质就是其中一个平面A1BD内任一点到平面CB1D1的距离.设n= (x, y, z) 是平面CB1D1的一个法向量.

解得x+z=0且-y+z=0.

令x=1得n= (1, -1, -1) .

∴面A1BD和平面CB1D1的距离为

评析两平行平面的距离就是夹在两平行平面间公垂线段的长, 而这个公垂线学生不易作出.但是问题放在正方体中易建系, 也易求出其中一个面的法向量, 从而容易求出其距离.

向量空间模型的信息检索技术第9篇

关键词：空间向量模型,查询,信息检索,文档相关性

0 引言

向量空间模型是一种以查询Q和文档集合{D, D, …, D}为处理对象的算法, 通过这种算法计算出这个查询的相似度SC (Q, D) 以及每篇文档D (1≤i≤n) 。在文档和查询拥有的共同的此项更多的时候, 那么文档和查询就更加相关。但是, 通常一个概念是能够用很多不同的词项来表达的, 这是因为语言文字具有着自身的不确定性。另外, 语言的环境对term也有着比较大的影响, 语言环境不同, 尽管是相同的term也可能造成表达含义的不同, 有的时候词性不同, 那么它表达的含义也就不一样。而检索算法就能够通过一些措施来解决语言表达中不确定性的问题。

下面介绍几种常用的检索模型:

(1) 向量空间模型:向量空间模型是能够计算两个向量之间的相似度的, 那么如果将查询和文档都用词项空间中的向量来表示的话, 那么就可以通过这种方法计算出二者的相似度。

(2) 概率模型:每个词项在文档中出现的概率, 需要基于文档集中的前提下, 通过词项在相关文档中出现的可能性来计算的。要推断文档或者查询问的相关性, 需要通过贝叶斯网络。而在文档中能够做出文档相关性推断的那些依据正是基于文档的证据。文档查询的相似度也就成为了推理的可信度。

1 空间模型的理论概念

最为接近查询的内容的文档就是相关的文档, 在这个过程中, 需要运用文档内的词项来衡量。向量空间模型的基本理念如图1。

这个模型的主要工作有两个方面:一方面是通过向量的构建, 来表示词项, 这里的词项来自于文档;另一方面是通过向量的构建, 来表示查询的词项。任意文档向量和查询向量要是相似的话, 那么就只有一种的可能, 就是文档向量和查询向量的指向在大体上是一样的。

2 向量空间模型的算法

2.1 计算权重在一篇文档中, 影响词语的重要性的因素有两个。

一个是term frequency (tf) :也就是说term在这个文档中出现的次数, 这个数值越高说明这个词在整个文档中越重要。

另外一个是document frequency (df) :就是指的包含term的文档的总数, 这个数值越大就说明这个词语越不重要。

对于每一篇文档向量, 都有n个分量, 并且对于整个文档集中每个不同的词项, 都包含一个词条。向量中的每个分量为整个文档集中计算出来的每个词项的权重。在每篇文档中, 词项权重基于词项在整个文档集中出现的频率情况以及词项在某一个特定文档中出现的频率自动赋值。词项在一篇文档中出现的频率越高, 则权重越大;相反, 如果词项在所有文档中出现的频率越高, 则权重越小。

仅当词项在文档中出现时, 文档向量中词项的权重才为非零值。对于一个包含许多小文档的大文档集, 文档向量可能会包含大量的零元素。

2.2 判断term之间的关系从而得到文档相关性

可以把文档看成一系列词, 每个词都有一个权重, 不同的词根据实际文档中的权重来影响文档相关性的打分计算。所有文档中总的词的权重看做一个向量。

所有搜索出的文档向量及查询向量放到一个N维空间中, 每个词是一维。两个向量之间的夹角越小, 相关性越大。所以计算夹角的余弦值作为相关性的打分, 夹角越小, 余弦值越大, 打分越高, 相关性越大, 如图2所示。

用向量巧解空间距离第10篇

1. 点到直线的距离

为直线AB的方向向量, i为直线l的单位方向向量, 则点B到直线L的距离。 (见图1)

例1:已知矩形ABCD的边长AB=6, AD=4, 在CD上截取CE=4, 以BE为棱, 将△BCE折起成△BC1E, 使△BC1E的高C1F⊥平面ABCD, 求C1到直线AB的距离。

解:以A为原点, 如图2建立坐标系。

则, 直线AB上的单位方向向量是i= (-1, 0, 0)

因此C1到直线AB的距离

2. 点到平面的距离

例2:正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a, 过AC作一梯形截面AMNC, 已知, 求顶点B到截面AMNC的距离。

解:以D为原点如图4建立坐标系。

则A (a, 0, 0) , B (a, a, 0) , C (0, a, 0) 此外, 设, 则M (a, λa, a)

设平面AMNC的法向量,

例3:在边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中, M, N, F, E分别是棱A1B1, A1D1, B1C1, C1D1的中点, 求平面AMN与平面EFBD的距离。 (见图5)

分析:两个平行平面的距离可以转化为一个平面内的任意点到另一个平面的距离, 此题平面AMN与平面EFBD的距离可以转化点B到平面AMN的距离.

解得λ=2, u=-2, 所以

3. 异面直线间的距离

l1与l2是异面的直线, A, B分别是l1与l2上任意的点, 则l1与l2的距离是同时垂直于l1与l2的向量) 。 (见图6)

例4:已知矩形ABCD的边长AB=6, AD=4, 在CD上截取CE=4, 以BE为棱, 将△BCE折起成△BC1E, 使△BC1E的高C1F⊥平面ABCD, 求直线BC1与直线AD的距离。

解:如图7以A为原点, 建立如图直角坐标系:

设是同时垂直于直线BC1与直线AD的向量。

综上所述, 在立体几何中, 用向量法来求空间距离的问题, 按照建立坐标系, 确定点的定标, 计算法向量与方向向量, 代入公式计算四个步骤即可。

参考文献

[1].聂文喜, 周家山.点到平面距离的求解策略.数学通讯.2004.6

空间向量在几何中的运用第11篇

空间向量的综合运用是附加部分的一个重要考点,主要集中于研究空间几何中的平行、垂直的证明,以及对于空间角的计算,主要涉及到法向量这一概念,其实质为平面法线(即线面垂直的直线)所表示的向量；特别是对于线面角的正弦值为直线的方向向量与法向量所成角余弦值的绝对值,二面角则是两个平面法向量所成角的问题,要注意所成角的范围(锐角还是钝角)的问题。

【例1】如图所示,已知直三棱柱ABCA1B1C1中,ΔABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,且AB=AA1,D,E,F分别是B1A,CC1,BC的中点.现设AA1=2a.

(1) 求证：DE∥平面ABC；

(2) 求证：B1F⊥平面AEF；

(3) 求二面角B1AEF的正切值．

错解 (1) 证明:∵D,E分别为B1A,CC1的中点,

∴DE∥AC,又DE面ABC,

∴DE∥平面ABC．

(2) 证明B(2a,0,0),C(0,2a,0),F(a,a,0),E(0,2a,a),B1(2a,0,2a)，

B1F•EF=0,B1F•AF=0,∴B1F⊥EF,B1F⊥AF,又EF∩AF=F，∴B1F⊥面AEF.

(3) 面AEF的法向量为B1F=(-a,a,-2a)，

设面AEB1的法向量为n=(x,y,1),

又AB1=(2a,0,2a),AE=(0,2a,a)，

∴n•AB1=0，

n•AE=0，∴n=(-1,-12,1)，

∴cos〈n,B1F〉=n•B1F|n|•|B1F|=-16，

∴sin〈n,B1F〉=1-cos2〈n,B1F〉=56，

∴tan〈n,B1F〉=-5,∴二面角B1AEF的正切值为-5.

错因分析该生在第(1)问审题中将条件理想化,DE根本不是中位线,在(2)问中缺少文字说明,应交待建系,求出向量的坐标,最后把向量转化成直线,在(3)问中没注意隐含条件,二面角B1AEF的平面角为锐角.审题时要审条件、审结论、审关系、审图形,解题过程中必要的文字说明不可少。

正确解法 (1) 证明：如图建立空间直角坐标系Axyz,

则A(0,0,0),A1(0,0,2a),B1(2a,0,2a),C1(0,2a,2a),

取AB的中点H,连接DH,CH，

∵E(0,2a,a),D(a,0,a),H(a,0,0),

∴CH=(a,-2a,0),ED=(a,-2a,0),

∴CH∥DE．

∵CH平面ABC,而DE平面ABC,

∴DE∥平面ABC．

(2) 证明：∵B(2a,0,0),C(0,2a,0),∴F(a,a,0),

∴B1F=(-a,a,-2a),EF=(a,-a,-a),AF=(a,a,0),

∴B1F•EF=0,B1F•AF=0,∴B1F⊥EF,B1F⊥AF,又EF∩AF=F，∴B1F⊥面AEF.

（3) 设平面AEB1的一个法向量为m=(x,y,z),

∵AB1=(2a,0,2a),AE=(0,2a,a),∴m•AB1=2ax+2az=0,m•AE=2ay+az=0,

x=-z，

y=-12z，令z=a,则m=-a,-12a,a.

由(2)知平面AEF的一个法向量为B1F=(-a,a,-2a),设B1F与m所成的角为θ.

则cos θ=B1F•m|B1F| •|m|=a2-12a2-2a26a•32a

=-16=-66.

∵平面AEB1与平面AEF所成的二面角为锐二面角,∴二面角B1AEF的平面角的余弦值为66.∴二面角B1AEF的正切值为5. 

防错机制解题过程中对定理的使用一定要能够交待清楚条件,不能囫囵吞枣式交待,也不能自以为是的想当然的书写,要能够在平时中对书上的定理加强背诵和理解。在建立空间直角坐标系时,一要指明原点位置；二要指明坐标轴位置；三要符合右手法则。在原图中,如果缺少相互垂直的三条直线和原点位置,则应先作出具有公共交点的三条垂线，再描述坐标系的建立过程。

【例2】如图,在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中,底面ABCD为等腰梯形,AB∥CD,AB=4,BC=CD=AA1=2,E,E1,F分别是棱AD,AA1,AB的中点.

(1) 证明：直线EE1∥平面FCC1；

(2) 求二面角BFC1C的余弦值.

错解建立如图所示的坐标系（注：解答过程略）



错因分析在解本题时,由于没有指明坐标原点和坐标轴,所以建系过程不规范,故而丢分。

正确解法 (1) 因为AB=4, BC=CD=2, F是棱AB的中点,

所以BF=BC=CF,△BCF为正三角形, 因为ABCD为等腰梯形,所以∠BAD=∠ABC=60°,取AF的中点M,

连接DM,则DM⊥AB,所以DM⊥CD,

以DM为x轴,DC为y轴,DD1为z轴建立空间直角坐标系,

则D(0,0,0),A(3,-1,0),F(3,1,0),C(0,2,0),

C1(0,2,2),E32,-12,0,E1(3,-1,1),所以EE1=32,-12,1,CF=(3,-1,0),CC1=(0,0,2),FC1=(-3,1,2),设平面CC1F的法向量为n=(x,y,z),则n•CF=0，

n•CC1=0，所以3x-y=0,

z=0,取n=(1,3,0),则n•EE1=32×1-12×3+1×0=0,

所以n⊥EE1,所以直线EE1∥平面FCC1.

(2) FB=(0,2,0),设平面BFC1的法向量为n1=(x1,y1,z1),则n•FB=0，

n1•FC1=0，

所以y1=0,

-3x1+y1+2z1=0,取n1=(2,0,3),则n•n1=2×1+3×0+0×3=2,

|n|=1+(3)2=2,

|n1|=22+0+(3)2=7,

所以cos〈n，n1〉=n•n1|n||n1|=22×7=77,

由图可知二面角BFC1C为锐角,所以二面角BFC1C的余弦值为77.

防错机制在建立空间直角坐标系时,一要指明原点位置；二要指明坐标轴位置；三要符合右手法则。在原图中,如果缺少相互垂直的三条直线和原点位置,则应先作出具有公共交点的三条垂线,再描述坐标系的建立过程。



牛刀小试

1. 如图,在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中,底面ABCD是边长为1,且∠BAD=60°的菱形,侧棱长为2,P是侧棱CC1上的一点,CP=m.

(1) 试确定m,使直线AP与平面BDD1B1所成角为60°;

空间向量解题时数学思想的运用第12篇

一、方程思想求值

例1已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长为2,底面边长为1,M是BC的中点.在直线CC1上是否存在一点N,使得MN⊥AB1?若存在,请你求出它的位置;若不存在,请说明理由.

解:假设在直线CC1上存在一点N,使得MN⊥AB1.如图1,建立空间直角坐标系,有A(0,0,0),B(,0),M(,0),N(0,1,z),B1(,,2),

所以.

因为,

所以,

解得,即时,AB1⊥MN.

点评:所谓“存在型”是指结论不确定的问题,即在数学命题中,结论常以“是否存在”的形式出现,其结果可能存在,需要找出来;可能不存在,则需要说明理由.解答这一类问题时,往往是把问题转化为方程,看方程是否有解,从而落实我们探求的问题是否“存在”.比如该题就是把所探寻的问题“直线CC1上是否存在一点N,使得MN⊥AB1”转换为方程“”是否有解.

二、函数思想求最值

例2如图2,棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1,E是BC的中点,F是棱CD上的动点(非C、D两点),设二面角C1-EF-C的大小为θ.试确定F点的位置,使得cosθ最大,并求出最大值.

解:以A为坐标原点,建立如图所示的直角坐标系,则A1(0,0,1),C1(1,1,1),E(1,,0).设F(x,1,0)(0≤x≤1),

易知.

设n=(a,b,c)是平面C1EF的一个法向量,

则,令c=1,则n=(,-2,1).

又是平面AC的一个法向量,于是可得关于x的函数:

结合条件知可取

而0≤x≤1,由此可知当x=1时,.

即点F位于(1,1,0)时,cosθ取得最大.

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