非线性化教学设计

2024-07-22

非线性化教学设计（精选5篇）

非线性化教学设计第1篇

1 非线性建筑的“参数化设计”概述

作为抽象逻辑“参数”起源于数学,定义为函数“量”的一种特定属性,它不是常数,一般可描述系统中各个部分的内在秩序,参数一旦发生改变,就有可能大幅度地影响整个系统的运行方式。将建筑视为一个非线性的动态系统,在这个复杂的系统之中就会存在很多参数,它们相互关联并且最终可决定整个系统的性能。当建筑师通过分析建立起参数化的关联模式后,就可以通过系统的自身运算来解决所面临的疑难问题。简单来说,参数化设计是参数系统通过利用其相关运算技术,高效且全方位编排或组织系统的一种设计策略。广义的参数化设计是一种基于数字技术的设计方法,它伴随计算机图形技术的进步而逐步在设计行业中发展起来。在工业设计领域被应用得极其广泛,而在建筑设计之中才初现端倪,主要原因在于后者牵涉更多的相关学科专业,甚至囊括经济、政治等内在制约因素,使其相关软件在设计开发时需要解决更为复杂的技术难题。

1.1 非线性建筑

非线性主要针对线性概念而言,是数学概念上的测量术语,比如说曲线或者抛物线等,凡是输出与输入之间不成比例关系者,均被称之为非线性关系。非线性建筑则指形态不规则、动势而模糊的建筑,该类建筑依据非线性复杂学理论为依据,对建筑内外部功能需求综合分析后,由计算机的非线性方法生成设计模型,最终在非线性建筑设计下构成的灵动而奔放的建筑[1]。

1.2 参数及参数化设计

参数又称参变量,于数学概念中是为解释因变量与自变量关系而存在的变量形式,重在描述变量之间的关系,或者变量之间存在的运作形式,能够控制变量之间的变化。而参数化设计则是将建筑设计的因素看作参数,依据建筑设计中的影响因素,找出事物之间的运作关系(即参数),利用计算机编程将各方面的参数组织建模,最终形成一个参数模型。建筑设计中通过构建参数模型的技术手段,则被称为参数化设计,该种设计方法不仅在建筑设计领域被广泛采用,且在城市规划、工业设计、景观设计等应用也相对广泛。

2 非线性建筑参数化设计的产生及发展

2.1 非线性建筑参数设计的由来

参数化设计中计算机技术起到至关重要的作用,而随着数字技术与信息技术的不断发展,参数化设计日渐走进建筑设计殿堂。自上世纪60年代后,计算机软件开始涉及绘画创造,这为行业设计开辟了新的途径,而最初应用参数化设计的行业为工业设计,由于工业设计相对简单,没有建筑设计中的诸多复杂问题。上世纪末,伴随数字技术的不断创新,非线性建筑的参数化设计日渐兴起,为新时期建筑复杂化设计,以及灵活动态设计提供设计手段。

2.2 非线性建筑参数化设计的发展

相较于国外而言,我国建筑设计领域对参数化设计的应用相对缺乏,不能将该项设计手段充分运用,普及面有待提高。经过大量的文献研究,笔者发现国外对建筑设计的关注,更多是将重点放在建造技术与设计手段创新方面,而中国则将设计重点致力于空间意向,以及设计理念的创新。由此可见,当前我国的建筑设计师面临一定的尴尬局面,既要快速适应时代进步,为先进的设计手段找到匹配的建造方式,同时也要面对复杂的建筑设计环境保持从容,避免出现程式化设计,降低建筑设计的整体质量。

3 参数化设计与建造研究分析

3.1 参数化设计的内容与操作

确定建筑设计的核心逻辑,对于非线性建筑参数化设计具有重要意义,是参数化设计的首要任务。较传统的建筑设计不同,在进行参数化设计过程中,建筑设计师需要将建筑视为一个复杂的系统,并针对建筑设计的相关限制因素进行分析选择,最终确定设计的核心逻辑,即设计的基本思路。

待设计师对基本的设计思路掌握后,需要对参数化关系进行确定,也就是参数建模过程需要遵循的运算法则。运算法则的生成需要遵循客观性与科学性,不能通过个人的主观臆想进行选择,为此应通过数字化设计软件,对建筑设计过程中的限制条件加以分析,比如说建筑功能、造价、结构等,最终确定参数化关系。与此同时,由于建筑设计师的审美观念不同,在参数化关系确定过程中,同样也需要发挥主观能动性,从而实现对参数化关系的精确量化。

确定参数以及参数化关系后,在接下来的设计过程中,由于几何形态与参数之间存在固定的逻辑关系,为此对设计各阶段进行修改,均不会影响概念设计结果,为此在细部设计中不会否定整个设计方案。而基于非线性建筑是存在多方面矛盾综合体,为此参数选择应从多个角度,生成多项逻辑,比如说功能逻辑、结构逻辑、形态逻辑、材料逻辑等。

3.2 数字建造

数字建造是借助数字化技术进行建筑建设的方式,具体而言则是将建筑的诸多因素转化为计算机逻辑语言,借助计算机软件形成建筑模型,并在数控技术的辅助下完成建筑形态的部件拆分,最终为建筑建设提供依据。伴随数字技术的不断革新,数字建造技术日益广泛,比如说二维切割、三维加减、数字拼装、塑形建造等技术在非线性建筑参数化设计中十分常见。

3.3 参数化设计与建造之间的关系

数字技术全面发展的新形势下,参数化设计与建造之间的整体化关系日渐显著,主要表现在非线性建筑设计与施工相互融合,设计师与工程师之间需要密切配合,设计过程中要掌握施工的关键问题,而施工过程中也许充分理解设计意图。非线性建筑数字模型的搭建过程中,需要将设计与工程信息全面囊括,实现设计、建造以及管理的一体化。

4 结束语

总而言之,,参数化设计是计算机技术不断智能化发展的必然结果,它的出现标志着建筑设计有了跨越式的发展,是一次非常重要的革命。参数化设计能够很好的适应当前复杂多变的社会设计环境,能够更好的体现我们所处的这个时代的主要需求和相关技术特征,对社会资源能够进行合理优化,极大提升社会生产效率。总之建筑设计必然会走向参数化,相信在未来几年的时间里,会有更多的关于参数化设计的作品和软件出现,建筑师所处的设计环境也会变成参数化的设计时代。

参考文献

[1]王文栋.参数化设计的研究与探索[D].中央美术学院,2012.

非线性化教学设计第2篇

（西南交通大学力学与工程学院，四川成都610031）

等效线化方法分析亚音速壁板非线性极限环颤振

唐怀平，杨翊仁

（西南交通大学力学与工程学院，四川成都610031）

研究了受集中质量与非线性运动约束联合作用下的二维亚音速壁板的极限环颤振问题。采用Galerkin方法将非线性壁板运动方程离散为常微分方程组。分析了集中质量大小及其位置对壁板系统失稳特性的影响；采用等效线化方法研究了系统的分叉特性及极限环颤振稳定性。结果表明：系统会产生颤振失稳，质量块的大小及其位置对颤振临界速度有着重要的影响；系统会经历超临界的 Hopf分叉而处于稳定的极限环运动；等效线化方法可在一定范围内较为精确地对极限环稳定性及其幅值进行判定。

壁板；亚音速流；等效线化；Hope分叉；极限环颤振

引言

近些年，随着高速铁路运行速度的不断提升，列车的气动弹性问题也越来越突显，并已经成为高速列车中亟待解决的关键基础问题之一［1-2］。由于高速列车采用流线型的设计，因此列车车体中存在着大量的蒙皮等壁板结构。这些壁板结构在列车高速运行时会产生明显的振动，如武广客运专线试验中，当列车运行速度达到350 km/h时，列车车身蒙皮和车窗的振动非常显著，并会产生很大的辐射噪声。因此有必要对这类特殊壁板的气动弹性问题进行相关研究。

就现有高速列车的运行速度而言，其基本上属于低亚音速范围（马赫数约为0.3）。针对亚音速气流中壁板的气动稳定性问题，文献［2］曾指出两端简支的壁板会在马赫数为0.125时发生颤振失稳，并得到了风洞吹风试验的证实。而文［3-6］却指出，两端固定支撑的壁板在亚音速气流中并不会发生颤振失稳，而仅会出现发散失稳；而一端固支一端自由的壁板却会出现颤振失稳。除了壁板的气动失稳问题，亚音速壁板结构在失稳后的复杂非线性运动特性也是学者们关注的焦点。现有的研究较为广泛地考虑壁板大变形而产生的几何非线性对系统失稳特性的影响。文［7-9］均针对该非线性作用下的壁板的稳定性及极限环响应进行了研究。事实上，由于生产、安装过程中的误差，壁板结构常常还会受到其他结构非线性因素的作用。这些非线性因素会约束壁板结构的位移并导致壁板呈现出复杂动力学特性。Li等［10-11］考虑支撑松动产生的接触非线性因素，研究了亚音速壁板的极限环颤振及混沌响应。相比于几何非线性而言，针对壁板在位移约束下的研究还比较欠缺。另外，上述研究主要是以理论模型分析为主，均未涉及到实际的风洞模型。事实上，对于实际风洞实验中的壁板而言，不可避免地需要对壁板结构施加某些必要的集中质量，以满足模型设计要求及数据测试要求，例如在壁板关键位置安装有一定质量的传感器及某些必要的实验挂件等。这些额外的重量对壁板的动力学行为，尤其是对非线性极限环运动有何影响，也是需要关注的一个重要问题。

因此，本文综合考虑非线性约束及集中质量两个因素的影响，对壁板的稳定性及极限环响应进行分析。文中采用Galerkin方法对非线性亚音速黏弹性壁板的运动方程进行离散；采用等效线化方法研究壁板的非线性运动特性。着重考察集中质量对系统稳定性及极限环运动的影响，并采用数值方法进行积分验证。

1 壁板颤振模型

考虑一端固支一端受位移约束的悬臂二维黏弹性壁板，如图1所示。壁板长度为l，厚度为h，且h≪l，壁板单位长度的质量为ρs。壁板上表面作用有沿x方向的亚音速不可压缩气流，来流速度为U∞，空气密度为ρ∞。壁板在lm处作用有一质量为m的集中质量块；壁板在端部受到的非线性运动约束fnon可以表示为

式中w为壁板的横向振动位移，K1和K3为非线性运动约束的控制参数。

图1 亚音速悬臂壁板的几何模型Fig.1 Schematic diagram of a cantilevered plate in subsonic flow

利用Hamilton原理可得壁板的横向振动方程［10-11］

式中D=为板的弯曲刚度，E为板的弹性模量，gs为黏性阻尼系数，ν为泊松比，ΔP为作用在壁板上表面的气动压力载荷。

而壁板的边界条件为

由文［3-4，10］可知作用在壁板单侧的气动力

引入如下无量纲参数

可得壁板的无量纲运动方程

在下面的计算中，选取如下的基本参数：E= 70 GPa，ρs=2 750 kg/m3，ρ∞=1.25 kg/m3，l= 1.0 m，h=2.0 mm，υ=0.3，gs=0.000 5。

文献［12］的研究表明采用系统前两阶模态可以得到较为满意的定性和定量的分析结果。本文的目的在于定性分析和展示系统所蕴含的典型的非线性特性，因此选取悬臂梁的前两阶模态对方程（6）进行离散［12］，即

采用Galerkin方法对式（6）进行离散化，可得

引入如下变换

式（8）变为

在选定的基本参数情况下，式（8）的各系数为：

式（10）的各系数为

2 颤振边界分析

首先，考察集中质量及运动约束刚度对系统颤振稳定性的影响。为计算系统的临界颤振速度，将式（10）写作状态空间形式

采用数值方法计算式（11）在零平衡点的雅克比矩阵的特征值，并依据特征值得特性对系统的颤振临界速度进行判定。

图2给出了当附加质量块位于端部，即em=1时，不同端部支撑刚度k1对应的临界颤振速度λf与集中质量¯m的变化关系。由图2可知，随着集中质量的增加，颤振临界速度呈现下降趋势，系统的颤振临界速度随着刚度的增加而增加。有趣的是，当集中质量较小时，刚度对颤振临界速度影响较为明显；而当集中质量增加至0.5左右时，不同刚度对应的系统颤振临界速度将趋于相同的值。

图3给出了当无量纲集中质量=0.1，不同刚度k1时，系统颤振临界临界速度与集中质量的位置ξm之间的变化关系。图3中的点划线对应的是无集中质量时系统的颤振临界速度。由图3可知：不同刚度时系统的颤振临界速度随位置的变化呈现相

图2 不同集中质量时系统颤振边界Fig.2 Flutter boundary for different

图3 不同集中质量位置时系统颤振边界Fig.3 Flutter boundary for different

似性；系统的颤振临界速度随位置的变化呈现非线性关系。特别值得指出的是：不同刚度对应的颤振边界与点划线的交点有着相同的横坐标，即

当＜＜时，集中质量会提高系统的临界颤振速度并增加系统的稳定性；而当＜或ξm＞ξmB时，集中质量却起到了相反的作用；而在ξm=ξmA及ξm=ξmB两点处，集中质量对系统的颤振稳定性没有影响。

图4给出了=0.1，k1=5.0，λ=49.29时，不同集中质量位置对应的系统线性的响应相图。从图可知：即使在相同的动压下，由于不同集中质量的放置位置，系统也会呈现出截然不同的稳定特性。

图4 不同集中质量位置时线性系统的运动响应相图Fig.4 Phase plots for differentξm

3 极限环颤振分析及讨论

在上一节中，已经分析了系统的颤振失稳。下面就针对系统在颤振失稳后可能呈现的非线性极限环运动进行分析。采用等效线化方法来分析极限环颤振（LCO），已有许多重要的成果发表。文献［11，13-14］均基于等效线化方法对机翼系统中的极限环颤振运动进行了研究。这种方法为定性及定量分析壁板系统的极限环颤振提供了指导。因此本文也采用等效线化方法对极限环运动进行分析。在下面的计算中进一步给定如下参数：k1=5，k3=2，¯m= 0.1。

针对本文中的立方非线性而言，依据等效线化方法，式（11）中的非线性可以表示为

式中Keq=，A为系统（11）的极限环运动分支p1的幅值。

将式（13）代入至方程（11）后，非线性系统（11）将变成线性系统，其状态方程可以写作

下面考察ξm=0.7和ξm=1.0两个特殊位置的颤振边界曲线，结果分别如图5（a）和（b）所示。从图5可知，随着等效刚度的增加两组颤振临界速度都呈现单调增加趋势。

图5 系统颤振速度随等效刚度的变化关系Fig.5 Curves of critical flutter dynamics pressure vs.equivalent linearized stiffness

下面以ξm=1.0为例说明如何依据等效刚度-幅值-颤振临界动压三者的耦合图（如图6所示）对系统极限环的稳定性进行判定。首先，假设动压λt对应的极限环幅值为As，依据耦合图可知，当其有一个正的增量ΔAs时，等效刚度及颤振临界速度都将会增大，系统将呈现稳定的收敛到幅值为As的运动。而当幅值有负的增量——ΔAs时，由于等效刚度及颤振临界速度都将降低，系统也将呈现收敛于幅值为As的运动。因此，无论对于正的或者负的幅值增量，系统都将最终稳定于幅值为As的稳定极限环运动。因此，系统在λ=λf处产生超临界的Hopf分叉。同理，针对ξm=0.7这一工况，也会得到相同的结论。

图6 极限环稳定性判定耦合图Fig.6 A coupled scheme for the stability of LCOs

图7（a）及（b）分别给出了当动压λ=40（小于颤振速度λf=41.5）时及λ=43时，系统的运动相图。由图7（a）及（b）可知，系统分别处于收敛运动和稳定极限环运动，这也与理论预测的一致。图8给出了ξm=0.7时系统稳定极限环幅值随动压的变化曲线图，图8中圆圈表示数值模拟的结果，而实线代表等效线化的分析结果。由图8可知：当动压较小时（Ⅰ区域），等效线化的分析结果与数值模拟结果吻合较好；但当动压较大（Ⅱ区域）时，两者的相差较大。这主要是由于在Ⅱ区域内系统已经处于非周期运动，如混沌等复杂运动（如图9所示）。而等效线化分析方法却只能对周期运动进行分析。对于混沌等运动的研究可参见文献［10］，而本文暂不涉及。

图7 不同动压时系统的运动相图Fig.7 Phase plots for differentλ

图9 λ=55时系统运动相图Fig.9 Phase plots forλ=55

图10（a）及（b）分别给出了ξm=0.7及ξm=1.0时，系统处于稳定的极限环运动时壁板的振动形态图。从图10可知看出，虽然在两种不同位置时壁板均呈现极限环运动，但其运动的形态已经有了很大的不同。相比于图10（b）而言，图10（a）中在ξ=0.7附近显示出了明显的节点［10-11］。

4 结束语

本文利用等效线化方法分析了受集中质量和位移约束作用的亚音速黏弹性壁板的极限环颤振运动。结果表明：系统的颤振临界速度随着集中质量位置及位移约束刚度的增大而分别呈现减小和增大的趋势（如图2，3所示）；不同的集中质量位置会导致不同性质的运动响应（如图4所示）；集中质量的位置对系统的极限环振动的节点及其位置有着显著的影响（如图10所示）；系统经历超临界的Hopf分叉而处于稳定的极限环运动（如图7（b）所示）；等效线化方法可在一定范围内（如在图8中的Ⅰ区域）对极限环运动稳定性（如图6所示）及极限环的运动幅值进行比较精确地分析。但需要特别指出的是，当壁板处于幅值相对较大的极限环运动时，壁板将不可避免地受到其自身大变形几何非线性的约束并影响到其非线性运动特性，这也是后续理论及实验工作研究的重点。

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图8 系统极限环幅值随动压的变化关系
Fig.8 The curve of the amplitudes of LCOs vs.dynamic pressure

Analysis of nonlinear limit cycle flutter of a subsonic plate based on equivalent linearized method

TANG Huai-pin，YANG Yi-ren
（School of Mechanics and Engineering，Southwest Jiaotong University，Chengdu 610031，China）

The limit cycle flutter of a subsonic plate with a concentrated mass and subjected to nonlinear motion constraints is addressed in this paper.The Galerkin method is used to transfer the partial differential equation of motion of the plate to a set of ordinary differential equations.The theoretical analysis of the bifurcations and the stabilities of the limit cycles are conducted with the help of the equivalent linearized method.Results show that the system undergoes flutter instability；the mass and its location has significant effect on the flutter critical dynamic pressure；the system undergoes stable limit cycle oscillations （LCO）due to the supercritical Hopf bifurcation；the results obtain by equivalent linearized method are in good agreement with the numerical ones.

plate；subsonic flow；equivalent linearized method；Hope bifurcation；limit cycle flutter

U270.1+1

1004-4523（2015）05-0748-06

10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2015.05.009

唐怀平（1967—），男，博士研究生，副教授。电话：（028）87600797；E-mail：thp-vib@163.com

2014-11-28；

：2015-04-28

非线性化教学设计第3篇

线性代数是理工科各专业一门重要的基础课, 它和高等数学等数学类课程为学生学习后继的相关专业课程提供必要的基本概念与基础理论, 以及处理实际问题的基本方法。同时, 线性代数也是全国硕士研究生入学考试必考的数学课程之一, 并且考试比例在逐年增加。

“线性代数”课程以线性方程组为研究主干, 以行列式、矩阵、向量为主要研究工具。它的课程特点是:公式多, 式子大, 符号繁, 但规律性强, 课程内容比较抽象, 在学习初期, 可能会有不少学生觉得困难, 不好入门。因此, 教学中应注意培养学生具备一定的抽象思维能力, 不断总结归纳公式特点, 逐步形成逻辑推理能力。

行列式理论, 作为是线性代数中最为重要的内容之一, 对后面的的教学内容以及工程技术中都有着广泛的应用。所以, 如何在有限的教学课时内使学生更加有效掌握行列式的一般计算方法, 是所有高校一线教师在教学中应该重点考虑的问题之一。以目前内地高校普遍使用的《工程数学·线性代数》 (第五版) 为例, 第一章的内容就是要求学生掌握行列式的计算。行列式的计算方法分为两种:一是§1.5节, 利用行列式的性质, 将任意的行列式化为上 (下) 三角行列式来计算;二是§1.6节, 利用行列式按行 (列) 展开法则来计算。其中, 将任意的行列式化为上 (下) 三角行列式, 是个教学中的难点和重点, 掌握这一方法, 将为学生后面学习矩阵的的初等变换打下必要的基础。因此, 在教学中应反复给学生推导化简行列式的一般性方法技巧和规律, 形成良好的数学思维和习惯。

1 循序渐进, 进行n阶行列式的化简

教材中在§1.5节中介绍了行列式的6个性质, 归纳出, 利用运算ri+krj把行列式化为上三角行列式, 从而算得行列式的值。同时给出一道相应的例题 (教材12页例7) , 如下:

对于入学不足一个月的大一新生而言, 直接讲解4阶行列式的化简, 实非易事, 但是教师仍可以循序渐进, 由简到难, 用逐渐递推的方式, 让学生更容易理解和接受, 教学效果更好。

1.1 化简二阶行列式

首先考虑原行列式中左上角的二阶行列式, 如何化为上三角行列式?这是个相对简单的问题:

第一步, 引导学生, 选择a11=1或较小, 两列对换

第二步, 化a11下方为0, 即a21=0

这里, 可能有学生跳过第一步, 直接化a21为0.不妨做个比较, 若

发现, 行列式中的元素出现分数, 计算麻烦!因此, 化简时第一步工作必不可少。

至此, 二阶行列式化简为上三角行列式完毕!

1.2 化简三阶行列式

然后, 让学生考虑原行列式中左上角的三阶行列式, 如何化为上三角行列式?问题进一步深入:

第一步, 选择a11=1或较小, 一二列对换

第二步, 化a11下方为0, 即a21, a31=0 (一般a31≠0)

第三步, 选择a22较小, 二三行对换

对换的理由同第一步, 使得化简中的分数尽可能的少。

第四步, 化a22下方为0, 即a32=0

至此, 三阶行列式化简为上三角行列式完毕!

1.3 化简四阶行列式

根据前面二阶、三阶行列式的计算递推, 可以让学生试着写出教材中的例7, 四阶行列式 (1) 的化简步骤:

第一步, 选择a11=1或较小, 一二列对换

第二步, 化a11下方为0, 即a21, a31, a41=0

第三步, 选择a22较小, 二三行对换

第四步, 化a22下方为0, 即a32, a42=0

第五步, 化a33下方为0, 即a43=0

至此, 四阶行列式彻底化为上三角行列式, 容易计算对角线上元素的乘积为40。

1.4 归纳行列式化简的规律特点

所谓上三角行列式, 即对角线下方的元素全部为0.因此, 在化简过程中, 可以从a11到ann逐步化简, 并注意计算中元素较小、取整, 以方便计算。现将上述步骤整理如下:

第一步, 选择a11=1或较小

第二步, 化a11下方为0, 即ai1=0 (i=2, 3, …, n)

第三步, 选择a22较小

第四步, 化a22下方为0, 即ai2=0 (i=3, 4, …, n) …… (重复前面过程至化简结束)

这样递推一般步骤的另一个好处, 就是可以将手工的计算步骤和计算机编程结合, 容易上机推广。

2 结束语

“线性代数”所有的计算本质上都可以归结为初等变换, 而初等变换过程的核心就是行列式的化简问题, 因此, 熟练掌握行列式化简这一基本方法这对学好线性代数课程的意义重大。本文仅仅是个人在线性代数教学实践中的一些尝试, 希望能和更多的同行相互学习交流, 以提高本学科的教学质量。

摘要：线性代数是理工科各专业一门重要的基础课, 它为学生学习后继的相关专业课程提供必要的基本概念与基础理论。行列式理论, 作为是线性代数中最为重要的内容之一, 对后面的的教学内容以及工程技术中都有着广泛的应用。本文重点探讨行列式化简的一般步骤方法, 希望能够为有关的教育工作者提供一定的借鉴和学习。

关键词：线性代数,行列式化简,教学探讨

参考文献

[1]同济大学数学系.线性代数.5版[M].北京:高等教育出版社, 2011.

[2]朱忠华.上好“线性代数”课的有效措施[J].纺织教育, 2011 (12)

正则化最小二乘线性判别分析算法第4篇

LDA可用于数据的降维上，在一个广义的条件下[7]，LDA与最小二乘具有等价性。转换矩阵上的元素若都是非零的，会使模型不具有稀疏性，而具有稀疏性的模型具有更好的解释性和更广的广泛性[8]。众所周知的有L1范数即lasso(the Least Absolute Shrinkage and Selection Operator)[9]，可为模型自动选择变量，从而产生稀疏模型;还有一些其他具有不同惩罚项的正则化最小二乘方法，如L2正则化和P正则化。弹性网络综合了L1和L2的优点。最小二乘LDA引入了弹性网络惩罚项，用于解决具有高维奇异值样本数据。通过使用基于benchmark的文本数据来对比使用不同惩罚项的算法的预处理的有效性。实验结果显示，提出的正则化的LS-LDA方法具有很好的有效性。

1 回归分析

通常情况下，用OLS(Ordinary Least Squares)来解决线性回归问题，在OLS计算中，先将观察值X与目标值y中心化，每个变量x的系数都包含在加权向量w中，而w可通过计算下列函数的最小值求得：

其中w=[w1,w2……wk]是加权矩阵，得到w的解为：

如果测试一组不可见的观察值时，若允许出现稍小偏差而不影响结果，那么就可以得到比OLS具有更低错误的估计值。实现这种效果的最常用的方法是在加权向量w上加一些限制条件，方法有L1范数、L2范数和弹性网络等。

在最小二乘的公式上加上w的L1范数的惩罚项即对回归系数加以约束条件，称为lasso,wlasso的解可通过求lasso惩罚公式的最小值得到，即：

用L2范数替代L1范数惩罚项可得岭回归公式(Ridge regression)[10]，wridge的解可通过求岭回归惩罚公式的最小值得到，即：

Lasso是一项非常好的处理回归问题和变量选择的方法，但lasso也有一些局限性。若维数d大于样本数n,lasso会选择n个变量中最大的一个，而这并不能满足我们的要求。岭参数k的确定依赖于未知参数,但若只凭样本推断,就会使大量的经验和信息作用无从发挥。为了克服这些缺点，弹性网络被提出来了[11]。弹性网络吸纳了岭回归和lasso回归的惩罚项并进行了组合。对于任意一个非负参数λ和θ，弹性网络的wEN估计值可由下式给出，即：

当λ=0时，该式就是lasso问题了。在弹性网络的设置中，给一个固定值λ，通过计算一个简单的最小二乘式子，最小角回归可以给出一个与任意θ相符合的解。

2 改进的LS-LDA及其详述

2.1 线性判别分析（Linear Discriminant Analysis)

LDA的目的是使同类内尽可能地相似,不同类间尽可能地相异,从而达到对数据进行降维的效果。设有一组d维的样本数据{(xi,yi)}ni=1,其中xi∈,yi∈{1,2……,k}是第i中样本的类别属性,n是样本个数,d是样本维数,k是类别。数据矩阵X=[x1,x2,……,xn]被划分为k类,即X=[X1,X2,……,Xk],其中xi∈d×ni,ni是第i类中样本Xi的个数,且k i=1Σni=n。对于有k类的分类问题,要寻找(k-1)个投影向量wi=[i=1,…k-1],作为投影矩阵W的行向量。因此,任何一个降维后的观察值xL都可以用投影向量与原始观察值xh线性组合组成,即xl=wTxh。在线性判别分析中,三个散布矩阵即类内散布矩阵、类间散布矩阵和全局散布矩阵,定义如下:

其中第i类的中心值为μi=是全局的中心值,即,从定义可知St=Sw+Sb。

2.2 ULDA(Uncorrelated Linear Discriminant Analysis)与多元线性回归的关系

经典的LDA不适合应用于文本分析，是因为文本数据的全局散布矩阵是奇异的。ULDA是LDA的推广，用于解决小样本问题。通过求解下列函数的最优解来得出ULDA的转换矩阵WULDA，即：

由广义特征值分解可知，最优解WULDA是由St+Sb前几个非零特征值对应的特征向量组成的，其中全局散布矩阵St是奇异的。在最小二乘线性判别分析中[11]，可知，其中μi是第i类的中心值，μ是全局中心值，e是n×n单位矩阵，则Sb和St可用下式表示，即：

用奇异值分解(SVD)方法将Ht矩阵分解，得Ht=UΣVT,U、V都是正交矩阵，Σ=是对角矩阵，且St的秩等于t，那么：

把U矩阵分成两子块运算即U=[U1U2]，U1∈n×t,U2∈n×(n-t)，所以U2是处于St的空的空间中，即U2TStU2=0。由于St=Sb+Sw，且Sw是半正定矩阵，因此U2TSbU2=0，所以可得下列等式，即：

定义

多元模型的输出目标值y□可由下式得出：

其中w是加权向量，用于估计w值的常用方法是最小二乘算法，通过求解下列函数目标的最小值可得出w估计值，即：

由上所述的ULDA中可知，最优转换矩阵WULDA是由St+Sb的前几个非零特征值对应的特征向量组成，可得WULDA和WLS的关系如下所述。从等式(12)、(13)和(14)，可知St+Sb可以被分解成如下等式：

因此，ULDA的最优转换矩阵可写成：

由于对角矩阵Σb的前q个列是非零向量，所以Pq矩阵是由P矩阵的前q列组成的。另一方面

其中Q是正交矩阵，从等式(20)中可知WULDA和WLS的区别只在于对角矩阵Σb0.p5。

若矩阵Σbq是一个以q为长度的识别矩阵，在一个广义条件S1下，WLS和WULDA在本质上是等价的，这个广义条件S1即为[7]：

这个条件在包括具有高维和小样本数据的多种领域上都有广泛的应用。

2.3 正则化LS-LDA

基于上述的ULDA与LS之间的等价关系，可推出将正则化方法应用到ULDA的分析中。正则化通常用来控制模型的复杂性和改善模型性能。使用L2正则化的线性回归叫做岭回归[10]，使用等式(17)中的类指示矩阵，就可以获得L2规则化的最小二乘LDA算法(简称S-LDA2)，其公式为：

其中W=[w1,w2，……，wk]，λ>0是正则化参数。

在数值分析中，可知使用L1正则化来选择变量可得稀疏模型。在最小二乘里加入L1惩罚项产生的模型叫lasso。基于ULDA与LS之间的确立关系，可推出L1正则化的最小二乘LDA，简写为LS-LDA1，其目标函数为：

其中W=[w1,w2……wk]，θ是正则化参数。

由Zou和Hastie提出的弹性网络，它结合了L1正则化和L2正则化的优点，使得其能以高效率的速度解决回归问题。在最小二乘LDA中加入弹性网络惩罚项，可得弹性网络的最小二乘LDA，简写为LS-LDAEN，其目标函数为：

当1≤j≤k，最优解wj*为：

3 实验结果与分析

在这节中，将提取一组多类的数据作为实验仿真数据，通过此实验来说明我们所提出的算法的有效性。在这次实验中，将这五种方法即ULDA,LS-LDA,LS-LDA1,LS-LDA2和LS-LDAEN进行效果对比。所有的LDA方法可将高维数据投影到低维空间中，用KNN(K-Nearest-Neighbor)作为分类器进行类别分类，得到的实验结果与理论分析具有一致性。采用标准的文本数据TDT2作为实验数据。TDT2的数据集是在1998年上半年收集的，来自于六种资源，即两个通讯录(APW、NYT)，两个广播节目(VOA、PRI)和两台电视节目(CNN、ABC)。它是由被分为96个语义类别的11201个主题文本组成的。在这个数据集里，这些文件出现在两个或多个类别被删除，留下9394文件中最大的30类被列出来，如表1所示：

样本数据是从数据集2种类到10种类中取得的，这些样本都是高维的，而且都是维数大于样本数的。实验数据都是随机分配的，取2/3全部类样本作为训练样本，剩下的作为测试样本数据。每次对比用的数据都是在具有相同的维数下，用这五种方法进行结果对比，用KNN作为分类器进行分类。进行10次的实验对比，取平均正确率作为实验结果，如图1所示：

从图1中，可以看出，在用KNN分类之前，用正则化的方法即LS-LDA1,LS-LDA2和LS-LDAEN处理数据，所得到的分类效果比用LS-LDA和ULDA处理后的数据所得到的分类性能要好，而且还可以看出LS-LDAEN方法是这五种方法中最好的预处理方法。为了解释其原因，我们做了LS-LDA1与LS-LDAEN加权向量w的对比，如图2和图3所示：

图2和图3显示了LS-LDAEN的回归系数相比于LS-LDA1的回归系数要小，同时也可得出LS-LDA1回归系数不是很稳定，而LS-LDAEN有稳定的系数。此外，采用LS-LDAEN进行变量选择的系统具有稳定性和稀疏性，从而可将具有零系数的变量从系统中剔除。

为了能充分说明正则化算法具有优越性，且采用LS-LDAEN处理过的数据得到的分类效果较采用其他四种方法更好，可从这四种算法的平均运行时间而得出，如表2所示：

总之，通过此次实验可得出下列结果：

(1)条件S1适用于具有高维数据的样本;

(2)当条件S1成立，ULDA和LS-LDA具有等价性;

(3)即使条件S1不成立，ULDA和LS-LDA也可产生相类似的效果。

所以，在多元分类下，LS-LDA可推广到广义的最小二乘算法中去。从图1中，规则化的LS-LDA较LS-LDA和ULDA有较好的分类性能，而且LS-LDAEN在文本数集分类中较其他四种算法具有优越性。

4 结束语

在多元分类样本且满足S1条件下，ULDA与最小二乘具有等价性。基于这种等价关系，可推出正则化的LS-LDA算法。对文本数据进行实验仿真，验证了正则化LS-LDA算法的有效性，可将具有零系数的变量从系统中剔除，得到稀疏性的系统，使该系统具有更好的解释性。今后将对无记录的多元类别用正则化LS-LDA进行学习验证，并用正则化LS-LDA方法应用到网页中的文本特征提取中。

参考文献

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线性整数规划分支定界法并行化研究第5篇

在线性规划问题中,有些最优解可能是分数或小数,但对于某些具体问题,常常会遇到一些变量的解必须是整数。例如,变化量表示的是机器的台数,工作的人数或装货的车数等。为了满足整数解的需求,一般来说只要化整已经得到了的非整数解。但是事实上化整也不一定能得到可行解和最优解,因此需要有特定的方法来求解整数规划[1]。

上个世纪60年代Land Doig和Dakin等人提出了可以求解整数或者是混合整数线性规划问题的分支定界算法。

该算法的思想是把有约束条件的最优化问题所拥有的所有可行的解空间进行搜索。具体执行算法时,会不断地分割所有可行的解空间成为越来越小的子集,然后将每个分割出的子集里面的目标函数值计算一个下界或上界。在每次分支之后,对所有界限超过了已知的可行解的值的那些子集不再分支。这样就可以去掉许多的子集,因此缩小了搜索的范围。重复这一过程一直到找出可行解的值不大于任何子集界限的可行解的位置。所以这个算法一般可以求得最优解[1]。

要将分支定界算法由串行计算转换为并行计算,难点在于要解决对二叉树的每个左右分支都实施并行计算所面临的计算数据组织、通信处理问题[2]。

接下来以下例来阐述分支定界法解线性整数规划的步骤。

具体解题步骤如图1:

由此可知,分支定界就是根据现有解不断将问题化为子问题,并更新上下界,直到求得我们需要的答案的过程。

2 在matlab中并行化的实现

2.1 Matlab并行计算的基本概念

Matlab依赖以下两个工具来实现并行计算架构:Matlab并行计算工具箱和分布式程序。用户使用Matlab提供的并行计算工具可以更加专注于并行计算算法的设计,很大程度上减少了用户用于解决网络通信等问题上投入的工作和精力[3]。

Matlab并行计算可以分为两类问题:第一类是distributed任务,各个作业之间完全独立,不需要进行数据通信,各个作业可以异步执行;第二类是parallel任务,任务的各个作业之间需要进行数据通信,必须同步执行[4]。

进行并行计算时,工作单元有job、task、client、worker。其中client相当于计算机的界面,负责完成几乎所有的用户交互操作;job负责管理worker和分配task,每一个job包含多个task,每个task都要通过job分配给worker执行,并将执行结果返回[5]。client、job、worker运行在同一台或者是多台网络上的计算机上。

程序执行时,task是Matlab处理待完成的并行计算的基本单元,每个任务都是由一个或者是多个task组成的。由用户编写并行程序来创建和划分job和task来完成待解决的并行计算任务。

开发Matlab并行程序首先要采用串行方法运行程序;然后选择合适的并行方法,采用Matlab并行结构或者创建通用的并行计算程序;之后再控制数据和任务分配;然后采用pmode调试并行功能;配置local,在本地多核计算机执行并行任务[6]。

2.2 Matlab中的并行计算支持

为了支持并行计算,Matlab为开发者提供了许多的并行结构,这些结构中包括了Parfor循环结构,SPMD并行结构,分布式阵列,分布式数值处理算法和消息传递函数等。本文采用的是Parfor循环结构来实现分支定界法解线性规划问题的并行化。

由for关键字表示的循环可以通过使用parfor关键字代替进行并行。Matlab执行代码过程中,如果循环体使用的是for关键字,则采用串行方式执行;如果循环体使用的是parfor关键字,则采用并行方式执行。

在使用parfor关键字代替for关键字并行执行循环时,会将循环分为很多部分,每个部分交给不同的worker执行。因此对于执行效率来说,假设使用的worker的数量为n,循环次数为m,则m如果能被n整除的话,则将循环均匀划分;如果不能被整除的话,则将循环非均匀划分,其中某些worker会执行较多的循环次数。

默认情况matlab启动时只有一个进程,因此默认情况下执行parfor关键字标志的循环时是串行执行的。因此在执行前必须先打开Matlab并行计算池。

Matlab并行计算池管理很多个worker,每个worker都可以执行分配的并行计算任务,其对应的物理单元即处理器或处理器核。

Parfor循环将for循环分解为子循环,分解后得到的子循环由不同的处理单元处理,用此来减少整个循环执行所需要的时间,提高计算效率。而在使用Parfor循环代替for循环之前一定要先使用matlabpool命令启动所需要的处理单元,然后将循环体中的for关键字修改为parfor关键字,通过Matlab的程序解释器将此循环交由matlabpool启动的多个处理单元完成[7]。

3 用matlab实现分支定界法解线性规划并行化

解决线性规划问题时,分支定界法是一项相当重要的方法。因此,研究该算法的并行化对于提高解决线性规划问题而言是特别有意义的。

在使用分支定界法时,最重要的就是分支和剪枝。并且耗时最长循环最多的地方也是这里,因此我们选择将这一部分并行处理。

下面给出用Matlab编写的分支定界法并行化的程序ILpt.m。

我们仍然用开头所用的例子来进行测试,比较使用了并行和未并行的情况下计算出结果分别所使用的时间。

因为使用了matlab所提供的计算线性规划的函数linprog,因此我们需要将求解最大值问题转换为求解最小值问题。只需要将函数加负号就能解决,而且这并不影响我们的测试[8]。

对于开头所用的例子:

解:调用ILpt.m函数

>>[x,f]=ILp(c,a,b,[],[],[0;0],[inf;inf])

>>c=[-40,-90];a=[9,7;7,20];b=[56;70];

用matlab提供的时间函数来记录程序运行的时间,分别记录开启并行时和未开启时分别的运行速度来进行比较。

测试使用的是一台四核计算机,理论来说的话上可以将计算速度提高四倍,然而实际效果却达不到这个效果。这是由于该算法对二叉树的每个左右分支实施并行计算及并行计算数据组织、通信与处理时对算法运行效率影响较高,因此达不到理想效果。但是从测试结果来看,并行化后的程序的确大大提升了运行效率。