非线性预测控制

2024-07-24

非线性预测控制（精选12篇）

非线性预测控制第1篇

预测控制 (MPC) 是上世纪70年代后期直接从工业过程控制中发展起来的一类新型计算机控制算法。它的产生, 一方面来自复杂工业实践向高层优化控制所提出的挑战;另一方面则受到了计算机技术在自动化领域应用的推动。长期以来, 控制理论与控制实践之间长期存在着一条鸿沟, 这主要表现在:由于实际工业过程存在复杂性、非线性以及强耦合性, 难以建立精确的数学模型;由于工业对象的结构、参数、环境的不确定性, 建立在所谓精确模型基础上的先进控制策略难以实现有效控制;现代控制理论提供的复杂算法难以满足工业过程控制的实时性、经济性的要求。

预测控制就是在这种背景下由工程界发展起来的一种新型的计算机控制方法。1984年, Clarke及其合作者在保持最小方差自校正控制的在线辨识、输出预测、最小方差控制的基础上, 吸取了DMC和MAC中的滚动优化的策略, 提出了广义预测控制算法 (GPC) 。GPC采用的是传统的参数模型, 参数的数目较少;对于过程参数慢时变的系统, 易于在线估计参数;引入了不相等的预测水平和控制水平, 系统设计灵活方便, 具有预测模型、滚动优化和反馈校正3个基本特征, 呈现优良的控制性能和鲁棒性, 被认为是具有代表性的预测控制算法之一, 受到学术界和工程界的广泛注意和重视, 并被广泛应用于过程工业中[1,2,3,4]。

本研究在现有的GPC和神经网络理论研究的基础上, 提出了一种非线性智能GPC算法。

1 非线性智能GPC算法

取一个离散时间非线性动态系统, 可用如下的模型来描述:

y (k+1) =f (y (k) , …, y (k-n+1) , u (k) , …, u (k-m+1) ) (1)

式中, y (k) 和u (k) 分别是过程在时刻k的输出和输入变量, 而n和m分别是它们的阶次。广义预测控制器的设计是基于目标函数:

$\begin{array}{l} J_{c} = \frac{1}{2} \sum_{j = 1}^{Ρ} [\hat{y} (k + j) - y_{r} (k + j)]^{2} + \frac{1}{2} \sum_{j = 1}^{Μ} μ (j) Δ u^{2} \\ (k + j - 1) (2) \end{array}$

式中 P—预测步长;Nu—控制步长; $\hat{y} (k + j) — y (k)$ 的第j步预测;Δu (k+j-1) —控制量;μ (j) —控制加权因子;yr (k+j) —设定值的柔化序列。

本研究的目标是求{Δu (k+j-1) , j=1, 2, …, Nu}, 使得Jc最小。但是, 由式 (1) 可知, 它是非线性方程, 本研究将利用多元函数的一阶泰勒展开公式将非线性模型线性化, 在线求解{Δu (k+j-1) }。为了简单起见, 采用单值非线性广义预测控制, 即利用单输出BP网络[8]所辨识的非线性模型来分析。

设单输出BP神经网络的输入层有N=n+m个神经元, 隐层有L个神经元。wij表示隐层第i个神经元对输入层第j个神经元的连接权值, wi表示隐含层第i个神经元到输出层的连接权值。定义neti为隐含层第i个节点的输入, oi为隐含层第i个节点的输出, net为输出层的输入, θi为隐含层第i个节点的阀值, θ为输出层神经元的阀值, 隐含层和输出层的激励函数输出分别为fs和fo。定义:X=[y (k) , …, y (k-n+1) , u (k) , …, u (k-m+1) ]T为神经网络输入, X0为初始值, 现取第P步预测为神经网络 $\hat{y} (k + Ρ)$ 输出, j=P>1, 其性能指标函数为:

$J_{Ρ} = \frac{1}{2} [\hat{y} (k + Ρ) - y_{r} (k + Ρ)]^{2} + \frac{1}{2} μ Δ u^{2} (k) (3)$

利用Taylor展开非线性模型:

$\begin{array}{l} \hat{y} (k + Ρ) \approx y (k) + (X - X_{0}) \frac{\partial y (k + Ρ)}{\partial X} |_{X = X_{0}} \\ = y (k) + (X - X_{0}) [f^{'}_{s} (n e t + θ) \sum_{i = 1}^{L} w_{i} f^{'}_{s} (n e t_{i} + θ_{i}) w_{i 1}, \dots, f^{'}_{s} (n e t + θ) \sum_{i = 1}^{L} w_{i} f^{'}_{s} (n e t_{i} + \\ θ_{i}) w_{i Ν}]^{Τ} |_{X = X_{0}} \end{array}$

设 $a_{j} = f^{'}_{o} \sum_{i = 1}^{L} w_{i} f^{'}_{s} (n e t_{i} + θ_{i}) w_{i j}$ ; $β = \sum_{j = 1}^{Ν} x_{j}^{} a_{j}$ ;常数C=y (k) -β;设x $_{j}^{}$ 表示神经网络工作点中的第j个输入, $a_{n + 1} = \frac{\partial y (k + Ρ)}{\partial u (k)}$ , 则:

$\hat{y} (k + Ρ) = C + \sum_{j = 1}^{Ν} x_{j}^{} a_{j} (4)$

设 $\tilde{Η}_{Ρ} = a_{n + 1} + a_{n + 2} z^{- 1} + \dots + a_{Ν} z^{- Ν + n + 1}$ ;FP=a1+a2z-1+…+anz-n+1;

所以BP网络辨识得到的模型输出为:

$\hat{y} (k + Ρ) = F_{Ρ} (z^{- 1}) y (k) + \tilde{Η}_{Ρ} (z^{- 1}) u (k) + C (5)$

将式 (5) 的模型输出代入最优指标函数公式 (3) , 并求导直接得到u (k) 的表达式:

$u (k) = \frac{1}{\tilde{Η}_{Ρ} + \frac{μ}{a_{n + 1}}} [y_{r} (k + Ρ) - F_{Ρ} (z^{- 1}) y (k) - C] (6)$

但式 (6) 的结果不是本研究所需的最优控制增量, 要得到最优控制增量, 进行如下求解, 利用式 (4) 求GPC的第一步预测输出:

$\hat{y} (k + 1) = C + \sum_{j = 1}^{Ν} x_{j} a_{j} (7)$

把上式化为模型增量形式, 此时要移除常数C:

A (z-1) Δy (k) =B (z-1) Δu (k-1) (8)

其中, A (z-1) =1-a1z-1-…-anz-n; B (z-1) =an+1-an+2z-1-…-aNz-m+1;

线性模型系数: $a_{i} = \frac{\partial \hat{y} (k)}{\partial y (k - i)} ‚ i = 1, \dots, n$ ; $a_{n + j} = \frac{\partial \hat{y} (k)}{\partial u (k - 1 - j)} ‚ j = 1, \dots, m$ 。

针对线性模型设计GPC控制律[5], 目标函数为:

$J = E {\begin{cases} \frac{1}{2} \sum_{i = 1}^{Ρ} [\hat{y} (k + i) - y_{r} (k + i)]^{2} + \\ \frac{1}{2} \sum_{i = 1}^{Μ} μ (i) Δ u^{2} (k + i - 1) \end{cases}} (9)$

利用diophantie方程得到k时刻的输出序列 ${\hat{y} (k + j)}$ , 其中:

$\hat{y} (k + j) = G_{j} Δ u (k + j - 1) + F_{j} y (k) (10)$

令f (k+j) =[Gj-gj-1z- (j-1) -…-g0]Δu (k+j-1) +Fjy (k) , F (k) =[f (k+1) , f (k+2) , …, f (k+N) ]T;

$\begin{array}{l} Δ U (k) = [Δ u (k), Δ u (k + 1), \dots, Δ u (k + Μ - 1)]^{Τ} ‚ \\ \tilde{G} = [\begin{matrix} g_{0} \\ g_{1} & g_{, 0} \\ Μ & Ο \\ g_{Μ - 1} & g_{Μ - 2} & \dots & g_{0} \\ Μ & Ο \\ g_{Ρ - 1} & g_{Ρ - 2} & \dots & g \end{matrix}_{Ρ - Μ}]_{Ρ \times Μ} ‚ \end{array}$

将目标函数写成向量形式, 并对其求导, 注意, 这时候 ${\hat{y} (k + j)}$ 要考虑常数项C, 故:

$J = E {\begin{cases} \frac{1}{2} (\tilde{G} U (k) + F (k) + C - Y_{r})^{Τ} (\tilde{G} U (k) + \\ F (k) + C - Y_{r}) + \frac{1}{2} μ Δ U (k)^{Τ} Δ U (k) \end{cases}} (11)$

求得最优控制增量为:

$Δ u (k) = [1, 0, \dots, 0] (\tilde{G}^{Τ} \tilde{G} + μ Ι)^{- 1} \tilde{G}^{Τ} (Y_{r} - F (k) - C) (12)$

2 算法的改进

上述求解是在近似线性系统的基础上求解而得。所以, 要在下面的内容中加入前馈增益补偿线性化所带来的模型失配。

所以, 考虑到模型误差NC , 加入前馈增益补偿, 使得预测控制律式 (12) 变为:

Δu (k) =gT (Yr-F (k) -C) +D·NC (15)

其中, $g^{Τ} = [1, 0, \dots, 0] (\tilde{G}^{Τ} \tilde{G} + μ Ι)^{- 1} \tilde{G}^{Τ}$ ;Yr=[c, c2, …, cP]y (k) +[1-c, …, 1-cP]yr (k) ;Hj (z-1) =gj+gj+1z-1+…+gj+m-1z- (m-1) ;

整理控制律得:

$\tilde{Η} (z^{- 1}) Δ u (k) = \tilde{F} (z^{- 1}) y (k) + R y_{r} (k) - \tilde{C} + D \cdot Ν C (16)$

将式 (16) 代入到式 (8) 中得:

$\begin{array}{l} [A (z^{- 1}) \tilde{Η} (z^{- 1}) - B (z^{- 1}) \tilde{F} (z^{- 1})] y (k) = \\ [B (z^{- 1}) R + \frac{D B (z^{- 1}) + \tilde{Η} (z^{- 1})}{y_{r} (k)} Ν C + \\ \frac{\tilde{Η} (z^{- 1}) - B (z^{- 1})}{y_{r} (k)} \tilde{C}] y_{r} (k) \end{array}$

取前馈增益系数:

$D = \frac{[A (1) \tilde{Η} (1) - B (1) \tilde{F} (1) - B (1) R] y_{r} (k) - [\tilde{Η} (1) - B (1)] \tilde{C} - \tilde{Η} (1) Ν C}{B (1) Ν C} (17)$

基于神经网络非线性广义预测控制的结构图如图1所示。

下面给出非线性广义预测前馈补偿控制律的步骤:

(1) 确定神经网络结构参数和广义预测控制的控制参数;

(2) 初始化神经网络;

(3) 开始训练神经网络, 得到模型输出和神经网络权值和阀值, 利用式 (5) 得到线性化模型;

(4) 根据得到的线性模型, 采用广义预测控制算法, 求得矩阵 $\tilde{G}$ ;

(5) 求矩阵 $(\tilde{G}^{Τ} \tilde{G} + μ Ι)^{- 1} \tilde{G}^{Τ}$ ;

(6) 根据式 (17) 计算前馈补偿系数D;

(7) 根据式 (15) 计算Δu (k) ;

(8) 在每一个采样间隔重复上述步骤 (3) ～ (7) 。

3 仿真研究

取GPC的非线性对象为:

$\begin{array}{l} y (k + 1) = \frac{1.5 y (k) y (k - 1)}{1 + y^{2} (k) + y^{2} (k - 1)} + \\ 1.2 \sqrt{u (k)} + 0.5 y (k - 1) \cdot u (k - 1) \end{array}$

先仿真未加模型失配的非线性GPC控制[6,7], 结果如图2、图3所示。再仿真加入补偿算法的非线性广义预测控制系统, 仿真结果如图4、图5所示。GPC的控制参数取值相同, 参数选择如下:P=10;M=2;Q=diag (1, …, 1) μ=0.001。

参考轨迹采用一阶指数形式:

yr (k+j) =cjy (k) + (1-cj) yd (k+j)

其中, c=0.2, yd为输出设定值。

4 结束语

从仿真结果可以得出这样的结论:对非线性对象采用本研究所提出的非线性智能广义预测控制算法, 不仅能够得到稳定的控制曲线和满意的动态性能, 而且可以改善跟踪效果, 从而验证了此算法对非线性对象控制的有效性。

参考文献

[1]RICHALETJ, RAULT A.Model predictive control:appli-cation to industrial process[J].Automatica, 1978, 14 (5) :413-428.

[2]ROUHANI R, MEHRA R K.Model algorithmic control, basic Thteoretical properties[J].Automatica, 1982, 18 (4) :401-414.

[3]CLARKE D W, MOHTADI C, TUFFS P S.Generalized pre-dictive control Part I[J].Automatica, 1987, 23 (2) :137-162.

[4]CLARKE D W, MOHTADI C, TUFFS, P S.Generalizedpredictive control Part II[J].Automatica, 1987, 23 (2) :137-162.

[5]诸静.智能预测控制及其应用.杭州:浙江大学出版社, 2000.

[6]赵文峰.控制系统设计与仿真[M].西安:西安电子科技大学出版社, 2002.

[7]许昕, 李涛, 伯晓晨, 等.Matlab工具箱应用指南-控制工程篇[M].北京:电子工业出版社, 2000.

人口预测模型的非线性动力学研究第2篇

人口问题不仅是20世纪我国所面临的最重大的问题之一，而且在新世纪中将继续存在。无论是对我国目前经济发展状况的认识，还是对未来经济发展的预测，人口问题的研究都具有十分重要的意义。

众所周知，人口的增长并不是按比例线性增长的，也就是说人口问题是非线性动力学问题。在非线性系统中，可能会出现分岔现象，分岔理论为我们研究人口问题提供了一种新的方法。分岔和混沌是非线性系统特有的现象，而实际上我们所处的社会经济系统中的绝大部分都是非线性，因此可以运用分岔和混沌理论来研究。本文将分岔和混沌理论用以研究人口问题，提出了人口的跨临界分岔。

一、模型的建立

设在时刻t(以年为单位)时的人口数量为p(t)，则人口的增长率为，再假设出生率b(p,t)和死亡率d(p,t)不随时间变化，则由马尔萨斯人口理论可得：

附图

其中：d[,1]=b(p,t)-d(p,t)>0，一般而言出生率大于死亡率。

显然马尔萨斯模型存在着重大的缺陷，它没有考虑到物种之间的竞争、自然界的平衡和人文环境因素，即生活资料及空间的局限、人与人的竞争、生产力水平、文化水平以及传统观念等因素。

生活资料及空间的局限和人与人的竞争会导致冲突，对人口的增长起到制约的作用。统计规律显示，从人口p(t)中随机抽取一个人，他与其他人冲突的概率与人口总数成正比，即：冲突次数=k[,1]p(t)，那么个人冲突的总次数为。而制约作用也是随着总次数的增长而增长的，同总次数成正比，以δ[,1](p,t)表示制约作用，则

附图

可以认为影响作用与生产力发展水平α[,2]成反比，与文化发展水平α[,3]成反比，与中国传统观念α[,4]成正比，与人口数量p(t)成正比，用δ[,2](p,t)表示这种影响，则：

附图

假设在未来的若干年内，各地区的人口比例保持不变，则对于某个地区来说，机械迁徙的人口数量与该地区经济发达程度α[,5]成正比，与迁出区的人口数量成正比，由于可以近似地认为各地区的人口比例不变，所以可以认为与该地区的人口数量成正比，则：

附图

二、模型分析

附图

运用稳定性分析方法，可以很容易地判断其稳定性。

附图

图中，实线表示稳定，虚线表示不稳定。由分岔图可以看出该模型发生跨临界分岔。由分岔图可以看出，在α的某个领域内，当α>0时，人口数量是稳定增长的;而当α<0时，从α系数的物理含义上看，说明死亡率大于其他影响因素系数之和，但是此时由于先前α>0，人口数量已经有所增加，所以能保持人口数量的稳定，同时我们也可以看出只有短期内保持α<0，人口数量才会稳定。

将再分岔出周期8解、16解等等，大约在3.56994时，进入混沌区，如图2所示。

三、模型的求解

设初始时刻t[,0]的人口为p[,0]，将(5)式分离变量后两边取定积分，进行求解可得：

附图

只要求出α和β，就可以运用(9)式作人口预测。理论上，只要将两年的年份与人口数量，即：t[,1]、P(t[,1])、t[,2]、P(t[,2])代入(9)式，则可得一个二元方程组，通过求解此二元方程组，便可以得到α和β值，但是此二元方程组为超越方程组，求解十分困难。

生态学家通过大量的统计，认为不鼓励也不限制生育时的α值为0.029，将α代入(9)式则可求得：，可以看出β会随着所代入的t的不同而变化，不再是一个常数，而是一个变量;另一方面，我国实行计划生育，限制了出生率，并且模型(5)中考虑了生活资料和空间的局限性、人与人的竞争、生产力水平、文化水平以及中国传统观念等因素的影响，因此α的值不再是0.029。

基于上述原因，本文采用数值解法，即：确定适当的.α和β，使得：

附图

其中：p[,i]是第i年的人口数量。则

附图

根据(11)式求解十分复杂，可以用Matlab或c语言编写一段程序，在一定范围内搜索α与β值，使得(10)式成立。

四、实证分析

本文就河北省1952年～人口数量进行实证分析和检验。众所周知，在建国后近50年中，我国经历了3年自然灾害，80年代开始实行了计划生育政策，这些都会改变动力系统的特征，因此不能将这49年的数据看成是同一动力系统的，而应该将它们分成不同的动力系统：1952年～1959年、1966年～1979年、1980年～1989年、1990年～20。3年自然灾害造成了人口数量的骤减，不仅改变了动力系统的特征，而且还造成了1960年～1965年数据的不稳定，应予以剔除;80年代后实行计划生育，但是1989年的**引起了大量人口的机械迁移，因此90年代视为另一个动力系统。

表1数据计算和检验(单位：万人)

附图

由表1可以看出，使用本文所提出的方法，能够较为精确地预测出人口的数量。四个阶段的α均大于0.029，这表明生活资料和空间的局限性、人与人的竞争、生产力水平、文化水平、中国传统观念、人口机械迁移以及实行计划生育等因素的综合影响，使人口趋于增多。相对人口增长率，即，总体上越来越小，80年代的攀升主要是由于人口迁移的影响，从整体上看人口自然增长率(一般小于人口增长率)也是逐年降低的。

【责任编辑】顾岚

【参考文献】

1方亚玲.《对人口模型的研究》.《山西煤炭管理干部学院学报》，年第2期.

2罗警山.《人口模型中的分岔研究》.《系统工程与电子技术》，1990年第10期.

非线性预测控制第3篇

关键词生活废水；非线性；预测

中图分类号 F224.0 文献标识码 A

Prediction of Domestic Waste Water Missions in Jiangsu

Province Based on the Nonlinear Prediction Model

LI Lei1,2，LIU Xue1，LIU Jie1

(1. School of Business, Jiangnan University,Wuxi，Jiangsu 214122，China;

2.Research Center for Jiangsu environment and Development,Nanjing，Jiangsu 210037,China)

Abstract This paper established a three-dimensional non-linear prediction model on domestic waste water discharge according to the per capita GDP, per capita domestic water consumption and the data of domestic wastewater discharge from 1999 to 2009 in Jiangsu Province.And the analysis proves the model has a high fitting precision. Based on the prediction data, the amount of domestic wastewater discharge of Jiangsu Province will reach 6.685 billion tons in 2020, more than two times the discharge in 2009, which imposes enormous pressure on urban environment. At last, some policy recommendations were offered as references to the relevant departments.

Key words domestic waste water; nonlinear; prediction

1 引言

水资源是人类社会可持续发展的基础，根据水利部的统计数据，按目前的正常需要和不超采地下水，正常年份我国缺水总量将近400×108 m3，有400余座城市供水不足，其中110座城市严重缺水.同时，从我国未来发展趋势看，由于城镇人口和城镇人均用水量的不断增加，未来城镇地区水资源供需矛盾将越来越突出，而且我国的生活废水排放量也在不断增长［1］.日益严重的生活废水排放已经成为我国水污染加剧的主要原因之一，并在某种程度上造成了比工业更为严重的影响［2］.影响生活废水排放量的因素较多.往往很难从理论上找到预测的机理模型.近年来，国内外学者曾采用了一些预测方法，对生活废水排放量行了一些预测研究.如王亮等人应用的粒子群算法的预测模型［3］、阎伍玖等人应用的等维灰数递补动态模型［4］、Ahmed Gamal El-Din等人应用的神经元网络模型［5］，以及Yoshiaki Tsuzuki等人应用的软干预预测模型［6］.这些研究成果为解决生活废水排放量的预测问题，提供了一些方法和手段，具有一定的参考价值.本文采用了多元统计分析方法，为了表明变量之间的交互作用,采用非线性的方式，并将经济增长和居民用水量作为影响生活废水排放量的主要因素，根据1999 -2009年中国统计年鉴数据，构建了非线性预测模型，为预测未来生活废水排放量提供了经验模型.

2 样本的选取

江苏位于长江、淮河下游，是长江三角洲地区的重要组成部分，是中国人口密度最高的省份之一，境内平原辽阔.土地肥沃，物产丰富，江河湖泊密布，五大淡水湖中的太湖、洪泽湖在此横卧，历史上素有“鱼米之乡”的美誉.在过去的11年中江苏省的经济高速发展，人年均GDP增长3 095元，几何增速13.9%，高于同期全国的平均水平12.27%.2010年地区生产总值(GDP)更是达到40 903亿元，人均地区生产总值达到7 700美元,同期生活废水排放量也从13.5亿吨上升为26.76亿吨，十年间翻了一番，每年新增生活废水排放量1.2亿多吨，年均几何增长率高达6.4%，高于同期全国的生活废水排放的增速5.17%.正是因为江苏省经济发达，河流广布加之人口密度大，生活废水排放量增长快，所以其在研究生活废水排放问题上十分具有代表性.

3 模型的建立与分析

3.1 变量的选取与数据处理

由于影响生活废水排放的因素较多，从预测生活废水排放量角度分析问题，不可能也不必要选取包罗万象的指标，必须进行优化选择.所以选择影响生活废水排放量因素的指标必须遵循以下原则：

1)代表性原则.选取的指标必须具有代表性，从众多指标中选择出的指标应当是能很好反应生活废水排放量的优质指标.

2)实用性原则.选取的指标必须是符合我国现阶段国情，各个指标也应当是在各类统计数据中较易找到，且对日后生产和生活能产生积极地影响.

3)动态性原则.随着社会和科学技术不断发展和进步，所选取的指标数值也应当是动态发展的.

鉴于以上原则，采用1999~2009年的人均生活用水量和人均GDP两个指标.其中：人均GDP反映一定时期内人们生活水平的能力与状态；人均日生活用水量以反映生活用水情况，具体如表1(资料来源于《我国统计年鉴》相关各期资料).

3.2 模型的建立

结合生活废水排放量、人均生活用水量和人均GDP构建了多元非线性的指数模型：

y=f(x1,x2)=c0exp(c1x1+c2x2). (1)

代入来自中国统计年鉴和江苏统计年鉴中1999~2009年的数据，并通过Eviews的非线性回归分析后，得到模型：

y=44.75exp－0.004 734x1+0.093 91x2.（2）

(3.155) (－3.840) (4.340)

R2=0.966 1 DW=1.535.

异方差检验：由表2知F-统计量的P值为0.015小于10%，所以可以判定回归方程具有异方差性.用加权最小二乘法来消除异方差性，权值取残差绝对值的倒数，得新的回归方程为：

y=39.65exp(－0.004 271x1+0.101 357x2) （3）

(5.403) (－6.152) (8.882)

R2=0.997 6 DW=1.771.

可以看出消除异方差后，回归方程的拟合程度有所提高.

自相关检验：消除异方差后的回归方程DW值为1.771，可以通过杜宾—瓦森检验的临界值，所以判定回归方程不具有自相关性.

拟合分析：消除异方差性后模型的决定系数为0.997 6.同时从图1可以明显看出实际值和预测值基本为同一条直线，残值绝对值的波动量很小，说明回归方程拟合精度很高.

3.3 方差分析

分别求出消除异方差后回归模型的总和平方和（SST）、残差平方和（SSE）、回归平方和（SSR）以及均方回归（MSR）和均方残差（MSE）.

SSE=∑ni=1e2i=∑ni=1(yi－i)2,（4）

SSR=∑ni=1(i－)2,（5）

SST=∑ni=1(yi－)2,

=1n∑ni=1yi ,（6）

MSR=SSRk－1, （7）

MSE=SSEn－k－1.（8）

式中：ei为残差；yi为样本的观测值；i为样本的估计值；为样本的平均值；n为样本的数量；k为回归方程中自变量的个数

利用式（4）~式（8）得消除异方差后回归方程的方差分析见表3.可以看出残差平方和仅为0.525 4，,说明模型观测值和拟合值之间的偏差很小，再次印证了此回归模型就有良好的性能，可以用来对生活污水排放量进行预测分析.

3.4 模型结果的分析

通过图2可以清晰的看出三维非线性模型各个变量之间及其与因变量之间的关系.一般情况下生活废水量的排放随着人均GDP的上升而增多，却随着人均日生活用水量的增多而下降.在人均生活用水量较低的情况下，人均GDP略微升高就使得生活废水排放量显著增多，而在人均生活用水量较高的情况下，人均GDP对生活废水排放量的影响力显著下降.

图2 模型三维效果图

4 生活废水排放量预测

利用已建立的模型进行江苏省生活废水排放量的预测.为此分别根据中国统计年鉴和江苏省统计年鉴1999~2009年人均日生活用水量和人均GDP的数据建立：人均日生活用水量预测方程，如式（9）；人均GDP的预测方程，如式（10）.

y=109 95.01-5.377 754x+ar(1),（9）

ar(1)=0.614 347

R2=0.903 2, DW=1.646

y=-1 403.958+0.700 592x+ar(1), （10）

ar(1)=0.854 587,

R2=0.9968, DW=2.040

由式（9）和式（10）分别预测出2010年至2020年江苏省人均日生活用水量和人均GDP的值，之后代回式（3）得出生活废水排放量的预测值，如表4所示.

随着经济和社会的高速发展，江苏省人均日生活用水在过去11年间呈下降趋势.到2009年人均日生活用水量仅为192.7升，不足全国448升的一半.究其原因主要是随着经济社会的发展，人们的综合素质普遍提高，节水意识明显加强，生活用水的重复利用率明显提高；水费阶梯收费制度的实行，用经济杠杆的效应调节了人均用水量；输水管道的更新，检测技术的不断更新与应用，这些措施大量地减少了输水过程中不必要的渗漏情况.在未来十年间，随着水资源紧缺程度不断加深，人均用水量很可能如上文预测的数据所示继续呈现下降趋势.同时生活废水排放量将继续保持迅猛增长势头.根据预测数据可知到2020年，生活废水的排放量应该为2009年（26.76亿吨）的2倍以上，但2009年除无锡生活废水处理率达90.1%以外，其余地区均不足90%，镇江仅为77.7%，可见在未来10年江苏省在生活废水处理上面临很大压力.

5 政策建议

江苏承担着国家赋予的“两个率先”的责任，经济建设仍是当前要务，不太可能以牺牲经济社会的综合发展来解决污染问题.因此从系统角度来分析城市生活废水治理措施，本研究提出以下治理建议：

1)征收城市生活废水排放费.按照“谁污染谁治理谁付费”原则，对生活废水的排放征收排污费.我国工业废水排放长期以来都是征收排污费的，从而有效地遏制了工业废水排放量增长势头，并且提供了资金来治理排放的工业废水.城市生活废水的治理也应当借鉴此种模式.考虑到城市生活废水排放不像工业废水排放那样容易检测，可以改为通过生活用水量多少来间接收取排污费，以此来完成对消费者决策的直接和间接影响.

2)提高水价，更好地实行阶梯式水价.按照市场资源配置状况和真实供求关系，逐步提高水价，并使其达到合理的市场价格.一方面可以提高供水企业积极性，增大对整个市场自来水供应量，同时也可以减轻了政府财政压力；另一方面，水价提高和阶梯式水价的实施，必然能促使消费者更加注重自来水高效利用，减少其不必要浪费.按照奥地利学派的观点只有市场才是对资源进行优化配置的最好手段，在城市生活用水及其废水排放问题上应该充分借鉴此观点.

3)增加投资，促进科技进步.2010年我国已成为世界第二大经济体，国家综合实力大幅提高.在此情况下，应当加大对节水技术和污染治理技术上的研发投入，使得我国能更早的全面使用上更加清洁、高效的水资源利用和处理技术，达到水资源利用的可持续发展.

4)加大宣传和教育力度，培养节水护水意识.事物内因是影响事物发展最重要的因素，所以要解决城市生活废水排放不断增加的问题，必须充分认识到人主观能动性的重要性.因而政府需大力宣传教育，充分发挥非政府组织的引导鼓励作用，提高全民节约用水、保护水资源、合理利用水资源的意识，使全民参与到水环境保护工作中来.参考文献

［1］钱正英,张光斗.中国可耻学发展水资源战略研究综合报告及各专题报告［M］.北京:中国水利水电出版社，2001.

［2］霍雨,王腊春,焦士兴等人.南方部分中小城市水污染驱动力及防治措施优先级序［J］.中国环境科学, 2009,29(10):1052-1058.

［3］王亮,汪震,岳琳. 基于粒子群优化算法的城市日用水量预测模型［J］.中国给水排水,2007，23(7):89-93.

［4］阎伍玖，桂拉旦，桂清波等人.等维灰数递补动态模型在废水排放量预测中的应用研究［J］. 环境科学与管理，2008,33(1):16-17.

［5］ Ahmed Gamal El-DIN,W DANIEL SMITH. A neural net work model to predict the wastewater inflow incorporating rainfall events［J］. Water Research, 2002,36(5):1115–1126.

污水处理过程的非线性预测控制研究第4篇

污水处理过程具有非线性的特点[1],国际水质协会(IWA)提出的污水处理Benchmark基准可以进行很好地模拟,该基准采用二指数沉淀速率模型作为二沉池模型,活性污泥1号模型(ASM1) 作为生化反应池模型。目前污水处理控制领域的研究有:Ferrer J等深入研究曝气过程中溶解氧浓度的模糊控制,并开发了溶解氧模糊逻辑控制系统[2]; Syu M J和Chen B C研究污水处理过程的加药自适应控制,并采用BP神经网络模型进行模型辨识[3];Jose R和Gerard G采用T-S模型对污水处理过程的参数进行辨识并且建立系统的非线性模型[4];刘超彬等采用模糊神经网络控制方法对污水处理过程中溶解氧浓度进行控制[5]。

笔者对基于活性污泥模型的污水处理过程及其控制策略进行研究。多模型控制基于聚类分析所划定的子空间,即对整个系统空间进行划分,因此聚类质量将会影响后期的建模以及控制精度。文献[6,7]通过K-means聚类算法对入水氨氮浓度进行聚类分簇并设计相应局部控制器,该算法简单易行、收敛速度快。但它存在如下缺点:随机选取簇平均值算法会影响最终的聚类质量,因为可能会使某些簇样本数据集合为空,从而无法进行簇的更新;聚类结果取决于簇类中心个数K值的选取并且将K值的确定留给了用户,如果用户不能对系统特性充分了解,将不能得到合理的K值。笔者在课题组前期研究工作的基础上,针对传统K-means聚类算法存在的不足,提出一种改进的K-means聚类算法,可以有效解决上述问题,并以改进的聚类算法为基础设计氨氮及硝氮浓度多模型预测控制器。

1 动态矩阵控制算法

1.1

预测模型选取厌氧池硝氮浓度和氨氮浓度为被控量,好氧池内循环流量和氧传递系数为控制量。采用系统阶跃响应序列作为对象模型得到:

y1(t)=S1(q-1)Δu1(t-k)+S2(q-1)Δu2(t-k)+

ε1(t)/Δ (1)

y2(t)=S′1(q-1)Δu1(t-k)+S′2(q-1)Δu2(t-k)+

ε2(t)/Δ (2)

其中,ε1(t)、ε2(t)是均值为零的白噪声;系统的延时为k;系统模型的长度为N;Δ=1-q-1是差分算子;S1(q-1)等是系统的单位阶跃响应模型。限于篇幅此处仅给出部分结论,文献[7]有比较详细的数学推导。输出预测分解的矩阵形式:

$\hat{Y}_{1} = Y_{1}^{t} + S_{1} \cdot Δ U_{1} + \tilde{S}_{1} \cdot Δ U_{2}$ (3)

$\hat{Y}_{2} = Y_{2}^{t} + S^{'}_{1} \cdot Δ U_{1} + {\tilde{S}}^{'}_{2} \cdot Δ U_{2}$ (4)

1.2 柔化设定值轨迹

系统在k时刻的设定值为SPk,如果直接设定期望输出为SPk,则此时得到k时刻的控制量可能很大,从而使闭环输出产生比较大的超调量,对系统产生较大的影响。因此在预测控制方法中,经常使用设定值柔化技术,使系统的输出沿一条预先设定的曲线并逐渐达到系统设定值。将未来k+j时刻系统的柔化设定值记为wi (k+j),实际使用中通常把未来的设定值轨迹规划成一阶指数曲线的形式,因此得到:

wi (k+1) = yi (k)

wi(k+j)=αiwi(k+j-1)+(1-αi)SPki,j=1,…,N

其中αi(i=1,2)为柔滑因子。

1.3 目标函数和优化控制

实际控制器设计时要求采样点上的实际输出值在均值意义上等于期望输出值,并且两者方差达到极小,即E{Y-W}=0,并且E{Y-W}2达到极小,同时要求控制量的波动尽可能小。综合上述因素,选取二次型目标函数为:

$\begin{array}{l} \min J_{i} = \min E {\sum_{j = 1}^{Ν} [(y_{i} (t + j) - w_{i} (t + j))^{Τ} \cdot (y_{i} (t + j) - \\ w_{i} (t + j)) + Δ u_{i} (t + j - k)^{Τ} λ_{i j} Δ u_{i} (t + j - k)]} \\ = \min_{Δ U_{i}} [(\hat{Y}_{i} - W_{i})^{Τ} (\hat{Y}_{i} - W_{i}) + Δ U_{i}^{Τ} λ_{i} Δ U_{i}] (5) \end{array}$

Wi为柔化设定值轨迹,使系统的输出能平滑地达到设定值SPki;λ是控制量变化量的权重。

1.4 动态矩阵解耦控制

由极小化目标函数J1,得到:ΔU1=(S1TS1+λ1I)-1S1T(W1-Y $_{1}^{t}$ -S2ΔU2)。

同理可得:ΔU2=(S1′TS1′+λ2I)-1S1′T(W2-Y $_{2}^{t}$ -S2′ΔU1) 。

化简两式并求解方程组,并且控制率是采用滚动优化控制的思想,每个采样时刻只有ΔU1和ΔU2的第一行需要计算,因此得到:

2 多模型控制

2.1 控制结构

多模型控制是对复杂非线性系统在不同工况条件下建立相应的局部线性模型,即使用多个工作点的局部模型替代非线性模型[7]。多模型控制使用特定的调度机制来协调每个局部控制器,并且在实际应用时调度机制可以将当前控制器设为最接近实际情况的局部控制器,也可以将多个局部控制器进行加权结合,进而得到最终的系统控制量。多模型控制系统原理如图1所示。

2.2 改进的K-means聚类算法

Shehroz S等深入研究了K-means聚类算法中的初始值问题[8]。传统K-means聚类算法存在着许多缺点和不足,为此笔者提出一种改进的K-means聚类算法,其步骤如下:

a. 确定分类数目K,建立样本数据集合D,将等分正态分布曲线百分点作为初始值,初始化聚类中心Ci,从而得到每个样本数据的序列模态Si;

b. 执行步骤a,获取D的序列模态集S,将具有相同S的样本数据放到一个簇中,接着计算当前的簇个数m;

c. 如果m的值大于K,则表示目前的分类结果可以再次聚类,算法进入步骤d,否则最终的输出结果为当前聚类结果,进入步骤f;

d. 分别计算每一簇数据的聚类中心值,然后得到簇与簇之间的空间距离;比较当前要进行数据融合的两簇类空间距离与阈值的大小,若大于阈值则进入步骤e,否则保留当前的分类情况并设置K等于m,进入步骤f;

e. 对空间距离最小的两个类进行再次聚类,利用式 $d i s (t_{j}, c_{i}) = \sum_{j = 1}^{Ν} (t_{j} - c_{i})^{2}$ 和 $c_{i} = \sum_{g = 1}^{n} t_{i g} / n$ 计算出最相似的两个类并进行合并,M为m-1并返回步骤c;

f. 将聚类的初始值设为上述步骤得到的聚类中心值,用K-means聚类算法对所有数据样本进行分类,并得到最终的分类结果。

3 仿真结果

图2是雨天入水氨氮浓度随时间的变化曲线,可以看出,活性污泥模型在雨天时入水氨氮浓度剧烈波动。选择在下雨天气下对厌氧池末端氨氮浓度以及硝氮浓度进行控制,可以充分检验多模型预测控制器的控制性能。

使用基于改进的K-means聚类算法的动态多模型预测控制器对系统进行控制。首先根据入水氨氮浓度数据得到8个聚类中心C = { 9.61, 20.80, 26.78, 29.46, 32.92, 35.25, 39.47,48.17},分别设计相应的子控制器,根据当前入水氨氮浓度选择子控制器计算当前控制量,从而实现闭环控制。采用该控制器得到的系统控制量输出如图3所示。

由图3可以看到,厌氧池出水硝氮浓度比设定值仅高出3g·N/m3,氨氮浓度比设定值高出1g·N/m3。说明基于改进的K-means聚类算法的多模型预测控制器对厌氧池氨氮浓度和硝氮浓度控制取得了很好的效果。

4 结束语

活性污泥法污水生物处理过程是一个强烈的非线性系统,尤其是在雨天入水流量和氨氮浓度剧烈变化的情况下,系统模型带来较强的扰动。笔者针对传统K-means聚类算法存在的问题进行研究并做出适当的改进,设计多模型动态矩阵控制器。最后将该方法用于缺氧池末端硝氮浓度和氨氮浓度控制,取得了良好的效果。

参考文献

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[2]Ferrer J,Rodrigo M A,Seco A,et al.Energy Savingin the Aeration Process by Fuzzy Logic Control[J].Water Science and Technology,1998,38(3):209～217.

[3]Syu M J,Chen B C.Back-propagation Neural NetworkAdaptive Control of a Continuous Wastewater Treat-ment Process[J].Industrial Engineering ChemistryResearch,1998,37(12):3625～3630.

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[5]刘超彬,乔俊飞,张芳芳.污水处理过程中溶解氧的模糊神经网络控制[J].山东大学学报,2005,35(3):83～87.

[6]薛美盛,杨彦波,刘飞.动态污水处理过程的多模型动态矩阵控制[J].环境工程学报,2013,7(3):957～962.

[7]杨彦波.活性污泥法污水处理过程先进控制研究[D].合肥:中国科学技术大学,2011.

非线性预测控制第5篇

基于非线性混沌的专利申请量年增长率组合预测

专利是世界上最大的技术信息源,在国际经济一体化的`步伐日益加快的今天,专利的竞争已成为国际间科技竞争和经济竞争的一个战略制高点;拥有专利权的数量和质量,运用专利制度的能力和水平,已成为衡量企业乃至一个国家和地区的市场竞争能力、综合实力的重要标志.

作者：周瑞芳禹建丽作者单位：中原工学院数理系刊名：统计与决策 PKU CSSCI英文刊名：STATISTICS AND DECISION 年，卷(期)：2007 “”(5) 分类号：C8 关键词：

非线性预测控制第6篇

关键词多元线性模型；最优线性无偏预测；岭型预测

中图分类号 O 212.1 文献标识码 A

Discrimination of Superiority of Two Predictions in the Multivariate Linear Model

HUANG Jiewu

(School of Science, Guizhou University for Nationalities,Guiyang,Guizhou 550025, China)

Abstract The optimality of the prediction based on the ridge estimation and the optimal linear unbiased predication in the multivariate linear model was investigated. A sufficient and necessary condition of the superiority of the ridge prediction to the optimal linear unbiased prediction was given under the condition of the criteria of matrix trace function.

Keywords the multivariate linear model, the optimal linear unbiased prediction, the ridge prediction

1 引言

设n×q的观察值矩阵Y满足一般的多元线性模型：

Y=XB+ε，E(Vec(ε))=0，Cov(Vec(ε))=ΔΣ.(1)

其中，B是p×q的未知回归系数矩阵，ε是n×q的随机误差矩阵，X为n×p已知设计阵，且rank(X)=p，Δ和Σ分别为已知的q阶和n阶正定矩阵.

式中Vec(ε)为把ε的列按先后次序排列得到的列向量，ΔΣ表示Δ与Σ的Kronecker乘积，E(•)和Cov(•)分别表示随机向量的期望与协方差阵，rank(•)表示矩阵的秩.

模型(1)的预测问题就是利用已知观察值矩阵Y预测未观察值矩阵

Y0=X0B+ε0.

其中E(Vec(ε0))=0，Cov(Vec(ε0))=ΔΣ0，E(Vec(ε)Vec′(ε0))=0，X0为m×p的已知矩阵，Σ0为已知的m阶正定矩阵，ε0是m×q的随机误差阵.

针对有偏估计的预测问题，文献［1］在线性模型(y=Xβ+ε,ε~N(0,σ2Σ))中针对三类特殊的估计量(1=β,2=(X′Σ－1X)－1X′Σ－1y,3=ββ′X′Σ－1yσ2+β′(X′Σ－1X)β)，对未知观察向量y0的最优预测量与经典预测量关于风险函数R()=E(－y0)′A•(－y0)的最优性判别进行了讨论，这里矩阵A≥0.而文献［2］就y0的最优预测量与经典预测量关于离差矩阵M()=E(－y0)(－y0)′的最优性判别进行了讨论.

本文在一般多元线性模型中对基于岭估计的预测量与最优线性无偏预测量的最优性判别进行了讨论，得到了基于岭估计的预测量在矩阵迹意义下优于最优线性无偏预测量的充要条件.

2 岭型预测与最优线性无偏预测

的最优性判别

记L=(X′Σ－1X)－1X′Σ－1Y，L=X0L，易知L=X0L为Y0的最优线性无偏预测，即有E(L)=B，且Cov(Vec(L))=Δ(X′Σ－1X)－1.

定义1 记k=(X′Σ－1X+kI)－1X′Σ－1Y，k=X0k，则称k=X0k为Y0的岭型预测.这里k＞0是可选择的参数，称为岭参数或偏参数［3］.

易知E(k)=(X′Σ－1X+kI)－1X′Σ－1XB，E(k－Y0)≠0，即k为Y0的有偏预测，且 Cov(Vec(k))=Δ(X′Σ－1X+kI)－1X′Σ－1X(X′Σ－1X+kI)－1.

定义2 设1、2为Y0的两个预测量，RT(,Y0)trE(－Y0)′(－Y0)，若它们满足：

RT(1,Y0)－RT(2,Y0)≥0，

则称预测量2关于RT(•)优于预测量1，或简称为RT(•)准则［4］.

引理1 设M≥0，N≥0，则M≥Nμ(N)μ(M)，λ1(NM－)≤1.其中λ1(NM－)与M－的选择无关［5］.

引理2 设Σ是n阶正定阵，Q是n×m的矩阵，则

Q′Σ－1Q≤IQQ′≤Σ.

证若Q′Σ－1Q≤I则λ1(Q′Σ－1Q)≤1λ1(Σ－1QQ′)≤1λ1(Σ－1QQ′Σ－1Σ)≤1，又μ(Σ－1QQ′Σ－1)μ(Σ－1)，所以有：

Σ－1QQ′Σ－1≤Σ－1QQ′≤Σ.

若QQ′≤Σ，则Σ－1QQ′Σ－1≤Σ－1λ1(Σ－1QQ′Σ－1Σ)≤1λ1(Σ－1QQ′）≤1λ1(Q′Σ－1•Q)≤1，又μ(Q′Σ－1Q)μ(I)，所以有

Q′Σ－1Q≤I.

引理证毕.

经济数学第 28卷第1期黄介武:多元线性模型中两类预测的最优性判别

定理1 Y0的岭型预测k关于RT(•)准则优于它的最优线性无偏预测L，即RT(L,Y0)－RT(k,Y0)≥0的一个充要条件是：

BB′≤tr(Δ)(2kI+(X′Σ－1X)－1).

证因RT(L,Y0)=trE(X0L－Y0)′(X0L－Y0)，由E(X0L－Y0)=0，

Cov(Vec(X0L－Y0))=ΔX0(X′Σ－1X)－1X′0

+ΔΣ0，

通过计算可知：

RT(L,Y0)=tr(X0(X′Σ－1X)［－1X′0)tr(Δ)+

tr(Σ0)tr(Δ) .

由E(X0k)=X0(X′Σ－1X+kI)－1X′Σ－1XB，

Cov(Vec(X0k－Y0))=

ΔX0(X′Σ－1X+

kI)－1X′Σ－1X(X′Σ－1X+kI)－1X′0+ΔΣ0，

E(X0k－Y0)=－kX0(X′Σ－1X+kI)－1B计算可得

RT(k,Y0)=tr(k2X0(X′Σ－1X+kI)－1•

BB′(X′Σ－1X+kI)－1X′0)+tr(X0(X′Σ－1X+

kI)－1X′Σ－1X(X′Σ－1X+kI)－1X′0)tr(Δ)+

tr(Σ0)tr(Δ) ,

RT(k,Y0)≤RT(L,Y0)

tr(k2X0(X′Σ－1X+kI)－1BB′(X′Σ－1X+kI)－1X′0)

≤［tr(X0(X′Σ－1X)－1X′0)－tr(X0(X′Σ－1X+

kI)－1X′Σ－1X(X′Σ－1X+

kI)－1X′0)］tr(Δ).(2)

因为

X′Σ－1X+kI＞X′Σ－1X，

所以

(X′Σ－1X+kI)－1(X′Σ－1X+kI)(X′Σ－1X+kI)－1

＞(X′Σ－1X+kI)－1X′Σ－1X(X′Σ－1X+kI)－1.

而

(X′Σ－1X+kI)－1＜(X′Σ－1X)－1.

所以

(X′Σ－1X+kI)－1X′Σ－1X(X′Σ－1X+kI)－1＜

(X′Σ－1X)－1X0(X′Σ－1X+kI)－1•

X′Σ－1X(X′Σ－1X+kI)－1X′0≤

X0(X′Σ－1X)－1X′0.

当k2(X′Σ－1X+kI)－1BB′(X′Σ－1X+kI)－1≤

(X′Σ－1X)tr(Δ)－(X′Σ－1X+kI)－1X′Σ－1

X(X′Σ－1X+kI)－1tr(Δ).

必有

k2X0(X′Σ－1X+kI)－1BB′(X′Σ－1X+kI)－1X′0≤

X0(X′Σ－1X)X′0tr(Δ)－X0(X′Σ－1X+kI)－1•

X′Σ－1X(X′Σ－1X+kI)－1X′0tr(Δ).

即式(2)一定成立.而

k2(X′Σ－1X+kI)－1B′(X′Σ－1X+kI)－1≤

(X′Σ－1X)－1tr(Δ)－(X′Σ－1X+kI)－1•

X′Σ－1X(X′Σ－1X+kI)－1tr(Δ)BB′≤

tr(Δ)(2kI+(X′Σ－1X)－1)B′X′Σ－1XB≤tr(Δ)I

λ1(B′X′Σ－1XB)≤tr(Δ).

定理证毕.

推论1 若λ1(B′X′Σ－1XB)≤tr(Δ)，则对一切k＞0，在矩阵迹意义下，k优于L.

定义3 设1、2为0的两个预测量，M(,Y0)E(－Y0)(－Y0)′若它们满足

M(1,Y0)－M(2,Y0)≥0,

则称预测量2关于MDE－优于预测量1，或简称为MDE－准则.

定理2 RT(1,Y0)－RT(2,Y0)≥0等价于M(1,Y0)－M(2,Y0)≥0.

证因为RT(,Y0)=trE(－Y0)′A(－Y0),M(,Y0)=E(－Y0)(－Y0)′,

从而

RT(1,Y0)－RT(2－Y0)=trE(1－

Y0)′A(1－Y0)－trE(2－Y0)′A(2－Y0)

=EtrA(1－Y0)(1－Y0)′－EtrA(2－Y0)•

(2－Y0)′=trA［M(1,Y0)－M(2,Y0)］

RT(1,Y0)－RT(2,Y0)≥0.

M(1,Y0)－M(2,Y0)≥0.

定理证毕.此结论说明以上两种判别准则等价.

定理3 Y0的岭型预测k关于MDE－准则优于它的最优线性无偏预测L，即M(L,Y0)－M(k,Y0)≥0的一个充分条件是：

BB′≤tr(Δ)(2kI+(X′Σ－1X)－1).参考文献

［1］ Bibbyj Toutenburgh. Prediction and Improved estimation in linear models ［M］ New York: Wiley, 1977.

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非线性预测控制第7篇

船舶动力定位系统(dynamic positioning system , DPS)是一种通过计算机检测外界风、浪、流等扰动因素,结合自身推力装置,使船舶保持在海面上要求的位置或固定航迹的系统[1]。与传统的锚泊系统相比较,动力定位系统具有不受水深影响,成本低、方便操作等优点。

近年来,随着控制理论和技术的不断发展,对于船舶定位这样一个复杂的非线性系统,以往将其线性化处理已显得粗糙,更多非线性控制方法正不断出现。一些智能化的控制方法和理论也开始应用到动力定位控制方面,比如模糊控制,鲁棒控制,自适应控制,神经网络控制等等。

本文采用非线性船舶系统模型,运用估计滤波方法和先进广义预测控制(GPC)理论,设计了船舶动力定位非线性广义预测控制器。经过系统仿真验证,控制器具有较强的鲁棒性和适应性,控制效果较好。

1 非线性数学模型

船舶在风、浪、流,共同作用下有六个自由度运动(如图1)。由于纵摇,横摇和升沉对船舶水平面内的定位影响较小,因此本文主要研究船舶艏摇,纵荡和横荡三个自由度的运动。

为描述船舶的水平运动,建立坐标系如图2。其中ζEη为固定坐标系,x0y为随船坐标系,随船坐标系以船舶重心0作为原点。两坐标系的相互转换关系为: $\dot{η} = J (φ) v$ 。

船舶运动一般由一阶波浪造成的高频运动和风、流等导致的低频运动组成,其实际运动为两者的叠加。文中采用以下简化低频运行模型形式[2]:

$Μ \dot{v} + D v = + J^{Τ} (φ) b + τ + E_{v} ω_{v} (1)$

上式中τthr为推进器推力,τenv为环境作用力,M为惯量矩阵,且M=MT >0;D表示线性水动力阻尼系数;Ev是ωv的幅值,ωv是零均值白噪声。高频运动部分采用如下模型:

${\begin{cases} \dot{ξ}_{h} = A_{h} ξ_{h} + E_{h} ω_{h} \\ η_{h} = C_{h} ξ_{h} \end{cases} (2)$

式(2)中ωh=[ωx,ωy,ωφ]T;ηh为3维向量,即艏摇角度、横荡位置、纵荡运动。

假设环境扰动在三个自由度上的作用力是缓慢的,环境力模型采用以下估计形式:

$\dot{b} = - Τ^{- 1} b + E_{b} ω_{b} (3)$

b为环境扰动力,T为三维对角阵。由上述式(1)、式(2)、式(3),得到非线性系统模型:

${\begin{cases} \dot{ξ} = A_{w} ξ + E_{w} ω_{w} \\ η_{w} = C_{w} ξ \\ \dot{η} = J (φ) v \\ \dot{b} = - Τ^{- 1} b + E_{b} ω_{b} \\ Μ \dot{v} + D v = + J^{Τ} (φ) b + τ + E_{v} ω_{v} \\ y = η + η_{w} + ω_{y} \end{cases} (4)$

2 非线性预测控制器

本节将基于改进的GPC算法对上节非线性系统设计预测控制器。GPC是一种新型的远程控制方法,集多种算法于一身,具有良好的预测性能[3],得到很多的重视和认可。GPC的基本结构有三部分(如图3),分别为预测模型、滚动优化和反馈校正。

预测控制的功能就是要求根据k时刻被控对象的输出和k+j时刻的输入,预测出系统k+j时刻的输出。这样无论是线性或是非线性系统模型,只要具备预测功能就可以作为系统的预测模型。

GPC采用滚动优化是局部优化目标,并且反复在线进行,这样对非线性干扰的影响能够及时弥补,保持最优。同样反馈校正也是在线时时进行,能及时校正预测值,控制鲁棒性能高[4]。模型和反馈校正结合使用,抗干扰能力强,建模简化等,使得预测控制较好地适合复杂工业过程的控制。

本文中使用CARIMA模型作为GPC预测模型。即“Controlled Auto-Regressive Integrated Moving-Average:受控自回归积分滑动平均模型[5]”。这个模型可写成式:

A(z-1)y(k)=B(z-1)x(k-1)+C(z-1)ξ(k)/Δ (5)

式(5)中Δ=1-z-1,A(z-1)、B(z-1)、C(z-1)分别为n、m和n阶的z-1的多项式,y(k)、x(k)和ξ(k)分别表示被控对象输出、不可测中间变量和零均值白噪声序列。u(k)和x(k)有如下非线性关系:

x(k)=r0+r1u(k)+r2u2(k)…+rpup(k) (6)

式(6)中u(k)是被控对象的输入,这里p为正奇数。

考虑到系鲁棒性因素,滚动优化将u(k)加入到下列目标函数式,将该定义为式(7):

$\begin{array}{l} J = \sum_{j = 1}^{n} [y (k + j) - w (k + j)]^{2} + \\ \sum_{j = 1}^{m} λ (j) [Δ u (k + j - 1)]^{2} (7) \end{array}$

式(7)中n是最大预测长度,通常取大于B(z-1)的阶数;m为控制长度(m≤n);λ(j)表示加权系数。

设定参考轨线方程为式:

$w (k) = α^{j} y (k) + (1 - α^{j}) y_{r} (8)$

式(8)中(j=1,2,…,n),yr为设定值、y(k)和w(k)是输出和参考轨线;柔化系数0<α<1。

为导出最优预测值y(k+j),须先求出丢番方程(Diophantine)。

$\begin{array}{l} 1 = E_{j} (z^{- 1}) A (z^{- 1}) Δ + z^{- j} F_{j} (z^{- 1}) \\ E_{j} (z^{- 1}) B (z^{- 1}) = G_{j} (z^{- 1}) + z^{- j} Η_{j} (z^{- 1}) \end{array} (9)$

解出Ej,Fj,Gj,Hj可得最优控制律:

$Δ U = (G^{Τ} G + λ Ι)^{- 1} G^{Τ} (W - f) (10)$

最优预测值: $\hat{Y} = G Δ U + f (11)$

式(10)中W=[w(k+1),…,w(k+n)]T,为得到ΔU必须求出矩阵G和预测向量f。由于Diophantine方程在线求解存在大量中间运算,耗费工作时间,所以在此采用隐式广义预测方法,通过预测方程直接辨识得到G和f以避免求解Diophantine方程。改进算法中,为减少计算量,令j>m,m=1～3。

设系统模型:

y(k)-0.4967y(k-1)=0.5u(k)+ξ(k)/Δ (12)

取时域长度p=12,n=12,m=3,柔化系数α=0.7, λ=0.8, λ1=1, 对上述控制算法进行仿真验证,所得仿真曲线如图4,5所示。

从仿真结果看,改进的控制算法能较快达到预测控制的要求,鲁棒性较好。误差情况在可接受范围以内。

下面将结合船舶模型进行仿真。将式(4)船舶非线性数学模型写成状态空间形式:

$\begin{array}{l} \dot{x} = f (x) + B u + E ω \\ y = Η x + v \end{array} (13)$

式(13)中,x=[ξT,ηT,bT,vT]T,u=τ为控制向量,ω=[ωTw,ωTb,ωTy]T为系统白噪声向量,E=[Ew,03×3,Eb,M-1Ev]T,v为测量白噪声,H=[Cw,I3×3,03×3,03×3]。其中,

$\begin{array}{l} f (x) = [\begin{matrix} A_{w} ξ \\ J (φ) v \\ - Τ^{- 1} b \\ - Μ^{- 1} D v + Μ^{- 1} J^{Τ} (φ) b \end{matrix}] (14) \\ B = [0_{6 \times 3} 0_{3 \times 3} 0_{3 \times 3} Μ^{- 1}]^{Τ} (15) \end{array}$

3 仿真结果

现以某水面船舶为研究对象,假设船舶的初始位置为( 0 m,0 m,0° ),定位点为 (10 m,5 m,10°)。在静水条件下的仿真结果如图5,6和7所示。

4 结论

从仿真结果看,所设计的控制器具有较好的控制性能,响应速度较快。近些年,我国船舶工业和海洋事业处在高速发展时期,船舶动力定位仍是一大研究热点。尤其是先进控制理论和智能控制理论更多地应用到动力定位控制研究之中,对非线性方面的研究也在不断深入,智能型和融合型动力定位技术将逐渐增多,并日益成熟。

参考文献

[1]周利,王磊,陈恒.动力定位控制系统研究.船海工程,2008;37(2):86—90

[2] Mingyu Fu,Fuguang Ding,Meng Li,etal.A Nonlinear Estimate Fil-ter Designed for Ship Dynamic Positioning.2010 8th IEEE Interna-tional Conference on Control and Automation:Xiamen,China,2010.

[3]齐亮,俞孟蕻.船舶动力定位系统的广义预测控制方法研究.中国造船,2010;51(3):154—161

[4]李和贵.船舶动力定位系统的智能控制与鲁棒控制.上海交通大学,2003.1.

非线性预测控制第8篇

我国电网实施“一特四大”战略。在发展大煤电、大水电、大核电、大可再生能源基地建设,加快建设特高压电网,实现更大范围内资源优化配置的同时,电力系统的暂态稳定性和电压稳定性日益突出。发电机励磁系统和快速汽门系统除了用于维持机端电压恒定,保证发电机组间的有功和无功功率合理分配外,还是提高电力系统稳定性的重要手段。对于易受各种扰动的电力系统而言,能否设计出一种合适的发电机励磁与快速汽门控制器对提高电力系统稳定性非常重要。

为提高电力系统的稳定性,人们对基于经典控制理论的PID励磁调节器、电力系统稳定器(Powe System Stabilizer,PSS)和基于现代控制理论的励磁系统与快速汽门最优控制[1]、非线性控制[2,3,4,5,6]等进行了大量的实验研究,但这些结论一般都是在不考虑电力系统中其他控制系统的情况下得到的。单目标控制系统在单目标优化控制意义下能起到较好的效果,但从多目标优化协调的角度,往往由于提高了局部控制效果而导致系统中其他部分或者整体系统性能的恶化。在电网实际运行中,当系统发生故障后往往需要多个控制器协调动作,才能达到最好的控制效果。

预测控制是一种计算机算法,它采用多步预测的方式增加了反映过程未来变化趋势的信息量,因而能克服各种不确定性因素和复杂变化的影响。文献[7]提出了基于人工神经网络预测模型的智能预估控制;文献[8]采用模型预测控制理论推导了多变量偏差值的非线性预测励磁控制规律。文献[9-10]提出了应用灰色预测控制算法的发电机励磁控制和调速控制。但上述控制策略往往不存在解析解,在线计算量较大。

本文在非线性模型预测控制理论的基础上,应用输出函数预测模型对发电机的功角、电压进行建模,综合功角和电压两种性能指标后,在线滚动优化求出以预测值为状态变量的发电机励磁和快速汽门控制系统的最优反馈增益,从而得出具有预测信息的励磁和快速汽门协调控制量。最后,运用此控制策略对单机无穷大系统进行了仿真。仿真结果表明,采用非线性预测控制理论的励磁和快速汽门协调控制显著地提高了电力系统暂态稳定性和电压稳定性。

1 非线性模型预测控制

近年来,预测控制取得了长足的进展。预测控制采用预测模型,扩大了反映过程未来变化趋势的信息量;在线滚动优化,较好地克服各种不确定性和复杂变化的影响[11]。当非线性连续模型预测理论用于对系统发展变化的控制时,实现的是对未来态势的超前控制。随着采样的不断进行,非线性连续预测模型不断更新,其控制量适应对象的不断变化,对非线性系统具有较强的适应性,其突出优点是控制器存在解析形式,在线计算量小。

1.1 预测模型

连续模型预测控制对象一般为仿射非线性系统,可用输出函数作为预测模型[12],也可用状态空间方程作为预测模型[13]。其原理是将系统输出函数或状态方程进行Taylor级数展开后截尾处理,所得到的截尾模型作为预测模型。

控制系统状态变量X的第i个元素ix(i=1,2,,n)对时间求导数,将第一次在导数中出现控制量u或其分量的导数的阶数ir记作ix的预测阶。

给定预测步长h,将x i(t+h)进行Taylor级数展开

取前ri+1项,则X(t+h)可以近似表示为

其中,

Lfk(f i)是fi相对于f的k阶李导数;

式(2)本质上是通过取控制作用U(τ)≈U(t),τ∈[t,t+h],并对X(t+h)的泰勒级数展开进行适当的截尾来获得X(t+h)的预测模型。

1.2 滚动优化

预测控制需要已知系统状态量或输出量的期望轨迹,通过对状态量或输出量未来态势的超前控制,保证系统响应(或状态变量)逼近Yd,即

如果状态期望轨迹用Xd(t)表示,所取控制性能指标可表示为

其中:E(t+h)=X(t+h)-Xd(t+h)为t+h时刻预测状态误差;Q∈Rn×n为加权矩阵。

滚动优化的目的是为了找到当前控制u(t)以改善t+h时刻跟踪精度,惩罚t+h时刻的跟踪误差mu(it)n J(u(t))。令求得控制量为

2 基于非线性预测控制的励磁与快速汽门协调控制

2.1 发电机励磁与快速汽门系统协调控制模型

发电机组动态过程可由相互独立的励磁系统和快速汽门系统控制,各控制器的性能指标和状态变量的选取相互关联,是耦合的多变量控制系统,如图1所示。为保证整个系统控制目标的最优,两个控制器间必须进行协调控制[9]。

非线性预测控制中所选定的输出量或状态量及其预测阶的微分都会在预测模型中得到体现,从而使其动态性能在二次型性能指标中受到约束,进而调解整个闭环系统的综合性能指标。当系统发生故障时,为提高系统的暂态稳定性能同时较好地维持机端电压为给定值,选取功角δ和机端电压tV为输出量建立预测模型,根据在线滚动优化求出多目标系统预测输出量的最优反馈增益,从而得出具有预测信息的励磁与快速汽门的控制量gV和Eqe。

以快速汽门和励磁系统为受控对象,将发电机高压缸和高压调节汽门油动机用一个惯性环节近似后实用发电机状态方程为

其中

式中:δ为发电机转子运行角度;ω为发电机转速;ph为高压缸输出机械功率;pe为发电机有功功率;Vg为高压缸汽门开度控制量。D、Tj、THG、CH为发电机的相关常数,分别为阻尼系数、转动惯量和励磁绕组时间常数、高压缸和高压调节汽门油动机时间常数。

2.2 基于输出量δ、Vt为预测模型的励磁与快速汽门协调控制

基于输出量δ、Vt为预测模型的励磁与快速汽门协调控制规律如下:

(1)选定发电机功角δ为输出量,Vg和Eqe为控制量。输出方程y1=δ预测阶为3阶。设预测步长为h,预测模型可表示为

其中:y1(1)、y1(2)、y1(3)分别为输出方程δ的一、二、三阶Taylor级数导数。

(2)选定机端电压Vt为输出量,Eqe为控制量。输出方程y2=Vt的预测阶为1阶。假定预测步长为h,预测模型可表示如下

其中,y2(1)为输出方程Vt的一阶Taylor级数导数。

(3)为提高电力系统暂态稳定和电压稳定性,将发电机功角δ和机端电压Vt组成多目标系统方程,记为

其中

(4)发电机的运行方式是经预先整定计算后的运行曲线,输出量δ和Vt在一定的运行区间内为常量,其参考轨迹可表示为Yd(t+h)=[δ*,Vt*]T,即有Yd(t+h)=Yd(t)。如式(8)所示,在线滚动优化预测模型与期望轨迹的性能指标,获得多目标系统下励磁和快速汽门的协调控制规律。

该控制规律通过对多目标系统方程综合求解,实现励磁和快速汽门控制量的相互关联、协调控制。同时该算法通过建立预测模型,较好地解决了发电机状态方程非线性、时变的问题,具有较好的适应性。基于非线性预测控制算法的发电机励磁与快速汽门协调控制算法具有解析解,可较好地满足实时性的要求。

3 仿真试验

为验证采用非线性预测控制算法设计的发电机励磁与快速汽门协调控制规律的有效性,对应用该控制规律的单机无穷大系统进行数字仿真,同时将它与PID励磁和快速汽门控制规律的仿真结果进行比较。

单机无穷大电力系统的参数为

初始运行工况为发电机有功功率P0=0.37 pu,发电机无功功率Q0=0.2 pu,功角δ0=45°,机端电压Vt0=1.1 pu,下标0表示初始值。

采用本文提出的控制规律在线路首端发生三相接地短路最严重情况下进行仿真。在0.5 s时系统的一条线路首端发生三相接地短路,0.65 s后故障切除,系统以单回路运行,1.25 s后重合成功,系统恢复正常,反映系统稳定特性的功角、电磁功率、机端电压和转速曲线如图2所示。其中,实线为非线性预测控制算法的发电机励磁与快速汽门协调控制的仿真曲线,点划线为PID励磁和快速汽门控制的仿真曲线。

发电机励磁与快速汽门在故障时控制量的输出曲线如图3所示。由于控制规律通过对多目标系统方程进行综合求解,实现了励磁和快速汽门控制量的相互关联,协调了对发电机高压缸汽门开度与励磁电压的控制量的输出,避免了由于强励时间增长对系统电压造成的影响。

仿真结果表明,非线性预测控制算法的发电机励磁与快速汽门协调控制很好地增强了故障后系统的功角稳定性和电压稳定性,使两种动态品质指标无论是过渡过程时间还是震荡次数及震荡幅度都有很大改善,而在采用PID控制时,系统稳定性已遭到了破坏。

4 结论

本文研究了基于非线性预测控制算法的发电机励磁与快速汽门协调控制,并应用该控制规律对单机无穷大系统进行了数字仿真,得到了以下主要结论。

(1)将发电机功角δ和机端电压tV组成多目标系统方程,建立输出量δ、tV的预测模型,提出采用非线性预测控制算法的发电机励磁与快速汽门协调控制规律。

(2)对本文提出的控制规律进行数字仿真。仿真结果表明,此算法显著提高了系统的暂态稳定性和电压稳定性,同时增强了系统在故障后的动态品质。

非线性预测控制第9篇

鲁棒模型预测控制是一种在模型预测控制的框架内处理模型不确定性的控制方法, 由于它融合了鲁棒控制和预测控制的优点, 因此逐渐成为预测控制领域的研究热点。考虑到现有的大部分鲁棒控制理论可以放在线性矩阵不等式 ( linear matrix inequalities, LMIs) 技术的框架下讨论, 且LMIs优化问题可以在多项式时间内求解, 文献[2]提出了基于LMIs和不变集理论的鲁棒模型预测控制 ( robust model predictive control, RMPC) 方法, 将系统每一采样时刻的二次性能指标函数优化问题转化为LMIs凸优化问题进行求解, 从而获得系统的状态反馈控制律。在此基础上, 文献[3]提出了针对线性定常系统的混合H2/ H"指标鲁棒预测控制器设计方法, 以权衡系统性能和鲁棒性的关系; 文献[4]将文献[3]的方法扩展到有界扰动多胞型不确定系统, 并通过附加约束保证了预测控制器的递归可行性; 文献[5]提出了离线多步控制集的概念, 进一步扩大了文献[4]算法的初始可行域, 降低了在线计算量。但是, 针对在一些特定的应用中Lyapunov变量与系统变量耦合带来的非凸问题, 以及使用二次型Lyapunov函数带来的保守性问题, 上述文章并未提供具体的解决方案。

因此, 受文献[6]的启发, 将扩展线性矩阵不等式 ( extended linear matrix inequalities, ELMIs) 技术[7,8]应用于鲁棒模型预测控制中, 通过引入松弛变量, 实现了Lyapunov矩阵变量与系统矩阵的解耦, 提供了额外的设计自由度, 也降低了Lyapunov变量的保守性。随后, 将提出的设计方法用于某型飞机的综合飞行/推进系统控制器的设计, 并与现有的RMPC控制器进行了对比仿真, 证明使用ELMIs技术设计的RMPC控制器可使闭环系统具有更为理想的鲁棒性能。最后, 对所提方法的不足之处和下一步的研究方向进行了简要讨论。

1 问题描述

设被控对象P为线性时变的多胞型不确定系统, 其预测模型的离散状态空间方程为

式中, A∈Rnx×nx为系统状态矩阵, B∈Rnx×m为输入矩阵, C∈Rn×nx为输出矩阵; x∈Rnx为系统的状态变量。

系统输入u∈Rm所受限制为

系统输出y∈Rn所受限制为

式 ( 4) 中, 分别为根据k时刻的量测值预测的k + i时刻的控制和输出值。

另外, 式 ( 2) 中的不确定性集合 Ω 满足

式 ( 5) 中, Co代表多项式的凸包, 即当[A ( k) , B ( k) ]∈Ω 时, 存在一系列非负的 μi (k) ( i = 1, 2, …, L) , , 使得

当L = 1 时, 系统式 ( 1) 和式 ( 2) 表示一个不含有对象-模型失配的标称线性时不变系统。

本文考虑的鲁棒二次性能指标如下

式 ( 7) 中

式 ( 8) 中, x (k+i| k) 为根据k时刻的量测值预测的k+ i时刻的系统状态, R、S为具有适当维数的对称正定权重矩阵。

在下文中, 通过推导式 ( 8) 描述的二次性能指标函数J" (k) 的上界, 优化问题 ( 7 ) 将被转化为寻找状态反馈增益矩阵F, 使得性能指标函数J∞ (k) 的上界最小的问题, 并通过ELMIs求解。

引理1[8]令Z为任意的正定对称矩阵, 则对于给定的对称矩阵 Ψ, 存在如下两个等价的不等式条件:

1) Ψ+Γ+ΓT<0。

2) 线性矩阵不等式

对于变量W可解。

2 基于扩展LMIs的鲁棒模型预测控制

在采样时刻k , 考虑线性无记忆状态反馈控制律u (k+i| k) = Fkx (k+i | k) , 其中, Fk为k时刻的反馈增益矩阵。同时, 设计二次型Lyapunov函数V (k) = xT (k) Pkx (k) , 其中Pk> 0 表示采样时刻k计算的Lyapunov矩阵, 且V (0) = 0。则有

文献[2]指出, 若对于所有满足式 ( 1) 和式 ( 2) 的x (k+i| k) 、u (k+i| k) , 以及任意的[Ai, Bi]∈Ω ( i≥0) , 有如下不等式成立:

式 ( 10) 中, R、S的定义与式 ( 8) 相同, 则V[x ( k) ]=V[x ( k k) ]为无限时域优化问题

的一个上界。此时, 优化问题 ( 7) 转化为

利用命题1, 可以在ELMIs的框架下求解优化问题 ( 11) , 得到Lyapunov矩阵Pk和相应的状态反馈增益矩阵Fk。

命题1 在k时刻, 对于式 ( 1) ~ 式 ( 6) 描述的线性时变系统P和不确定性集合 Ω, 若存在对称正定矩阵非奇异矩阵Uk、矩阵Vk和标量 γ >0 使得如下不等式组可解:

式中, , Pk为待求的Lyapunov函数矩阵, , R、S为性能指标 ( 8) 中的权重矩阵, yj为系统的第j个输出, Cj为C矩阵的第j行元素。则在满足式 ( 3) 和式 ( 4) 描述的输入、输出约束条件下, 存在模型预测状态反馈控制律u (k+i| k) =Fkx (k+i | k) , Fk= VkUk-1使预测闭环系统鲁棒稳定, 且使优化问题 ( 11) 中xT (k) Pkx (k) 的上界的最小值为 γ。

证明对任意非奇异方阵, 由式 ( 1) 可得

综合式 ( 16) 和式 ( 10) 有

令xT= [xT (k + i + 1 | k) xT (k + i | k) ] , 由式 ( 17) 整理可得

由于Xk为任意非奇异方阵, 在式 ( 18) 的左右两边分别乘以T1, k= [Xk-1Xk-1] 和T1T, k, 并令, 可得

由Schur补定理可知, 式 ( 19) 与式 ( 20) 等价,

显然, 当Mk≥0, 即式 ( 13) 成立时, 式 ( 20) 对于任意的x都成立。

另一方面, 令 Ψ=xT (k) Pkx (k) -γ, Z = γI, Γ= ΓT= 0, W = xT (k) XkTx (k) 。由引理1 可知, xT (k) Pkx (k) ≤γ 与式 ( 21) 等价

类似地, 在式 ( 21) 的左右两侧分别乘以T2, k=[Xk-1I] 和TT2, k, 并令

可知式 ( 21) 等价于式 ( 12) 。

由式 ( 16) 和式 ( 17) 可知, 当式 ( 18) 成立时, 式 ( 10) 成立。由于R、S为正定矩阵, 故有

由式 ( 22) 可知, 若系统在k时刻的状态满足xT (k) Pkx (k) ≤γ 且u (k+i | k) = Fkx (k+i | k) , 则有xT (k+1 k) Pkx (k+1 k) ≤γ, 依此类推:

式 ( 23) 表明, Θ = {z zTPkz≤γ} 是线性时变系统式 ( 1) 和式 ( 2) 在k时刻的预测状态的一个椭圆不变集。

基于该椭圆集的不变性, 可由式 ( 3) 、式 ( 4) 的限制条件推导出式 ( 14) 、式 ( 15) , 由于推导过程与文献[2]相似, 此处不再赘叙。

命题1 给出了基于ELMIs的鲁棒模型预测控制器的一种设计方法。从命题1 可以看出, ELMIs的使用消除了Lyapunov变量和系统矩阵变量之间的耦合, 将状态反馈控制律的设计问题转化为一个多项式时间内可解的凸优化问题。此外, 松弛矩阵[6]变量U可以为任意非奇异矩阵, 这也提供了额外的设计自由度, 并减小了控制器设计的保守性。

注意, 若命题1 中的线性矩阵不等式组在k时刻可解, 则在任意t ( t > k) 时刻该不等式组也是可解的。这是因为命题1 的式 ( 12) 和式 ( 13) 保证了式 ( 23) 成立, 又由于[A (k) , B (k) ] ∈Ω,

成立。由命题1 的证明过程可知, 式 ( 24) 成立等价于式 ( 25) 成立

依此类推, 可知若命题1 在k时刻可解, 则其在任意t ( t > k) 时刻亦可解。

基于这一可解性[2]和前述的椭圆集不变性, 可以进一步推出命题2。

命题2 在k时刻通过命题1 得到的模型预测状态反馈控制律可以保证实际闭环系统的鲁棒稳定性。

证明首先, 根据命题1 的可解性不难得到

这是因为Pk+1是k+1 时刻的最优解, 而Pk只是在k+1 时刻可解, 不一定是最优解。

接着, 根据椭圆集的不变性和式 ( 22) 可得

进一步, 因为[A (k) , B (k) ] ∈Ω, x ( k+1 k+1) =[A (k) +B (k) Fk] x (k k) , 所以x (k+1) = x (k+1 k+1) 也满足式 ( 27) 右侧的不等式条件, 即

综合式 ( 26) 和式 ( 28) 可得

式 ( 29) 表明, Lyapunov函数V (k) = xT (k) Pkx (k) 对实际闭环控制系统而言是严格递减的。其中, Pk>0为命题1 在k时刻优化得到的Lyapunov矩阵。因此, 实际闭环系统鲁棒渐进稳定。

3 综合飞行/ 推进控制系统控制律设计

前文提出的基于ELMIs的RMPC方法用于某型飞机的综合飞行/推进系统[9]的控制器设计, 通过将全局优化问题转化为每一采样时刻的局域优化问题, 能及时有效地校正因模型失配[10]、时变和环境干扰等引起的不确定性。

已知采用直接综合方法得到的某型飞机的飞行/推进系统模型具有式 ( 1) 的形式。对于全状态反馈, 可令式 ( 1) 中C= I。若仅考虑飞机纵向模态, 可令系统状态变量x = [V, α, θ, q, H, nl, nh]T, 输入变量u= [δe, mf, Ae]T。表1 给出了对这些变量的定义。表2 给出了输入变量的约束条件。

考虑到该飞机的实际控制结构, 这里使用分散反馈[11]替代本文中的全状态反馈, 将V 、nl、nh反馈给mf指令通道; α 、θ 、q 、H反馈给 δe指令通道。在这种情况下, 若使用常规的LMIs求解反馈增益, Lyapunov矩阵P必须满足一定的结构要求, 而对于ELMIs, 则可将对P矩阵的约束转化为对U矩阵的约束, 从而减小设计的保守性。

对该机纵向飞行剖面选取了起飞、巡航、进近、着陆四个典型任务阶段的四组数据进行数值仿真。图1 给出了该机在巡航阶段的仿真曲线。系统的初始状态为

设置采样周期T = 0. 05, 在t = 0 s时刻, 给定 θ =3° 的初始扰动, 同时令升降舵遭受50% 的效能损失。从图1 中可以看出, 在满足输入变量限制条件的条件下, 飞机的迎角 α 、俯仰角速率q 、低压转子转速nl和高压转子转速nh均可在2 s之内回到平衡状态, 系统稳定。同时, 对比ELMIs和LMIs的动态响应曲线可以看出, 在几乎不影响飞机姿态通道动态响应特性 ( 调节时间相同, 超调量之差小于0. 02°) 的情况下, 使用ELMIs设计控制器得到的发动机高、低压转子转速动态响应特性得到了明显的改善。

表3 分别给出了在4 个不同飞行阶段, 使用ELMIs和LMIs设计RMPC控制器所获取的 γ 性能指标的最大值和最小值。通过 γ 值的对比可以看出, 使用ELMIs设计RMPC控制器能获得更小的 γ值, 即更为理想的鲁棒性能。

4 结束语

提出了一种基于扩展LMIs技术的鲁棒模型预测控制方法, 并将该方法应用于某型飞机综合飞行/推进控制系统的纵向控制律设计。理论推导和对比仿真一致表明: 使用ELMIs设计RMPC控制器可获得更为理想的鲁棒性能, 改善系统的闭环动态特性。

然而, ELMIs的引入也增加了模型预测控制算法的在线计算量。是否能利用不变集的某些性质, 或者通过其他途径来减小ELMIs带来的这一负面影响, 是后续研究工作中需要解决的一个主要问题。

参考文献

[1] Morari M, Lee J H.Model predictive control:past, present and future.Computers and Chemical Engineering, 1999;23 (1) :667—682

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[10] 李国勇.智能控制及其MATLAB实现.北京:电子工业出版社, 2005

灰色系统非线性回归电力负荷预测第10篇

电力负荷预测对电力系统调度、用电、计划及规划等工作有着重要的影响。提高负荷预测的水平,有利于合理安排电网运行方式和机组检修计划。因此设计好的模型提高负荷的预测水平具有重要的实际意义,是电力科学研究的重要课题之一。灰色预测具有要求样本数据少、原理简单、运算方便、可检验等特点,因而灰色模型尤其是GM(1,1)模型在电力负荷预测中得到了广泛关注[1,2,3]。但GM(1,1)模型主要适用于负荷增长较平稳的情况,在预测增长较快的电力负荷时,预测精度较低,使得GM(1,1)模型的应用受到了一定的限制。一些专家学者对此进行了研究[4,5,6],并提出了一些新方案,改善了GM(1,1)模型的预测结果。

文献[7]证明GM(1,1)模型引入背景值x(1)(k)是导致模型在预测非平稳变化序列时精度不高的原因。本文主要工作如下:1) 针对GM(1,1)预测原理进行了模型的修正,提出了一个改进的预测公式,将改进公式和原始公式进行耦合,用于负荷预测;2) 确定参数a和u的值,将所得结果作为初始值,利用非线性回归对其进行进一步的优化求解。仿真实验表明,这种改进的非线性回归灰色预测优化模型(Nonlinear Regression Optimization Grey Model,简记为:NROGM),有效提高了预测精度,所得结果优于GM(1,1)模型及文献[6]中PSOGM模型的结果,拓展了灰色预测模型的使用范围,为工程应用提供了重要参考。

1非线性回归

非线性回归模型一般形式为:yi=g(xi,θ)+e,e～N(0,δ)。其中xi为系统输入向量,yi为系统输出向量,θ=(θ1,θ2,…,θk)T为待定参数向量,e是均值为0、方差为δ2的白噪声,模型结构g的形式已知。现已知观测数据对(xi,yi),i=1,2,…,n,非线性参数估计问题就是要求根据已知的数据对估计出向量的值,即求解满足偏差平方和 $f (θ) = \sum_{i = 1}^{n} (y_{i} - g (x_{i}, θ))^{2}$ 为最小的最优θ值,非线性回归模型参数优化的实质就是非线性函数优化问题。

在现实问题中,变量之间通常不是简单的线性关系,而是非线性的,这就使得对实际问题的分析变得较为困难。对于非线性回归问题,常用线性回归方法解决它的预测问题,但并非所有的非线性模型都可以线性化,即使可以转化为线性模型,也可能造成模型随机误差项性质的改变。在这种情况下,直接采用非线性最小二乘法估计将比较有利。但非线性最小二乘参数估计采用的是迭代法求解,必须先给出参数的初始值,并且求解结果比较依赖于参数初始值。

2GM(1,1)预测原理

GM(1,1)模型是电力负荷预测常用的一种灰色模型。原理如下:设有n个原始负荷样本数据x(0)=(x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n)),作一阶累加生成序列x(1)=(x(1)(1),x(1)(2),…,x(1)(n)),序列x(0)和x(1)中对应数据之间的关系为 $x^{(1)} (k) = \sum_{i = 1}^{k} x^{(0)} (i) (k = 1, 2, \dots, n)$ 。构造一阶线性灰色微分方程后,可得该方程的灰微分方程

$\frac{d x^{(1)}}{d t} + a x^{(1)} = u (1)$

其对应的差分方程组为

${\begin{cases} x^{(0)} (2) + \frac{1}{2} a [x^{(1)} (2) + x^{(1)} (1)] = u \\ x^{(0)} (3) + \frac{1}{2} a [x^{(1)} (3) + x^{(1)} (2)] = u \\ ⋮ \\ x^{(0)} (n) + \frac{1}{2} a [x^{(1)} (n) + x^{(1)} (n - 1)] = u \end{cases} (2)$

利用最小二乘法求得参数

$(\begin{array}{l} a \\ u \end{array}) = (B^{Τ} B)^{- 1} B^{Τ} Y (3)$

式(3)中:

$B = (\begin{matrix} - \frac{1}{2} [x^{(1)} (1) + x^{(1)} (2)] & 1 \\ - \frac{1}{2} [x^{(1)} (2) + x^{(1)} (3)] & 1 \\ ⋮ & ⋮ \\ - \frac{1}{2} [x^{(1)} (n - 1) + x^{(1)} (n)] & 1 \end{matrix})$

$Y = (\begin{array}{l} x_{}^{(0)} (2) \\ x_{}^{(0)} (3) \\ ⋮ \\ x_{}^{(0)} (n) \end{array})$

。

由式(3)求得a和u后,得原始数据预测公式

$\hat{x}^{(0)} (k + 1) = (1 - e^{a}) [x^{(0)} (1) - \frac{u}{a}] e^{- a k}$ ;

k=1,2,… (4)

3灰色系统非线性回归预测模型

利用GM(1,1)模型进行电力负荷预测具有要求负荷数据少、不需考虑负荷分布规律和变化趋势、运算方便的优点。但模型在预测增长较快的负荷时,预测精度会变差,其主要原因是引入了背景值 $x^{(1)} (k) = \frac{1}{2} [x^{(1)} (k) + x^{(1)} (k + 1)]$ 。

为避免背景值取值不当造成误差,参数优化陷入局部最优解,灰色系统非线性回归电力负荷预测模型做如下改进:1) 对预测公式进行修正得公式(5):

$\hat{x}^{(0)} (k + 1) = (1 - e^{a}) [x^{(0)} (k) - \frac{u}{a}] e^{- a k} (5)$

在学习过程中采用式(4)、式(5)进行预测;2) 利用灰色系统对以上两个预测公式中的参数a和u进行计算,将所得结果作为线性回归的初始值进行优化,并利用公式(4)、式(5)对电力负荷进行预测,得两个预测结果;3) 利用黄金分割比例对两预测值进行耦合,将所得结果作为待预测年的电力负荷值。

4仿真实验

为正确评价预测模型的准确性,应用三组数据进行仿真实验,并将实验结果与GM(1,1)模型和文献[6] 中PSOGM模型所得的结果进行对比,原始数据如表1所示,表1中与前7个年份编号对应的数据作为考核模型的原始数据序列,而年份编号为8的数据就是k=8时对应的负荷值,该值将作为待预测年的准确值,用于对所得的预测结果的准确性进行评估。表1中的三组数据按近似的指数规律增长,增长率各不相同。

利用本文所提NROGM模型进行预测,结果如表2所示,表中还给出了GM(1,1)模型及PSOGM模型建模的结果。从表2中可以看出,随着负荷的不断提高,GM(1,1)模型的预测结果逐渐变差,PSOGM模型提高了预测模型的适应性,准确地预测了负荷的变化趋势。三种模型对负荷预测的相对误差比较如柱状图所示,从表2及柱状图1可以看出本文所提出的灰色系统非线性回归(NROGM)预测模型与GM(1,1)模型及PSOGM模型相比,其预测适应性更强、精度更高、误差更小。

5结论

针对GM(1,1)模型的应用局限性,文中建立了基于灰色系统的非线性回归 (NROGM) 预测模型,利用非线性回归对灰色系统所得的参数值进行优化、预测电力负荷值。实例分析表明,利用本文所提新模型、新算法预测的电力负荷结果精度较高,误差较小;另外,该模型本身不复杂,实现简单,操作方便,在科学与工程预测中具有一定的理论意义和应用价值。

参考文献

[1]周平,杨岚,周家启.电力系统负荷灰色预测的新方法.电力系统及其自动化学报,1998;10(3):45—50

[2]张友泉.一种基于灰色系统理论的中长期需电量预测模型.电网技术,1999;23(8):47—50

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[4]张大海,史开泉,江世芳.灰色预测负荷的参数修正法.电力系统及其自动化学报,2001;13(2):20—22

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[6]牛东晓,赵磊,张博,等.粒子群优化灰色模型在负荷预测中的应用.中国管理科学,2010;22(4):41—44

浅谈电力系统稳定性非线性控制方法第11篇

关键词：电力系统非线性控制反馈线性化方法

电力系统是一个复杂的非线性动态大系统，随着大机组、超高压电网的迅速发展，改善电力系统运行的安全稳定成为日趋重要和紧迫的研究课题。随着微型计算机和现代控制理论的不断进展，各种先进的控制方法在电力系统控制方面得到了广泛的应用，它们在提高电力系统性能的同时，也为解决电力系统安全、稳定和经济运行问题提供了各种各样的途径。

一、基于电力系统非线性模型的设计

通常对非线性系统进行控制主要有两大类处理方法：①先将非线性系统在某一邻域内进行反馈线性化，然后运用现代控制理论的思想进行控制的设计，如基于微分几何理论的反馈线性化法、直接反馈线性化方法等。②直接应用非线性控制理论的结果，如变结构方法、鲁棒控制和智能控制等。

1.1 基于微分几何理论的反馈线性化法

基于微分几何理论的反馈线性化法通过微分同胚映射实现坐标变换，根据变换后的系统设计非线性反馈，实现非线性系统的精确线性化。微分几何方法适合仿射非线性系统。这种方法具有坚实的理论基础，但其控制律的推导对于数学基础要求较高，同时非线性反馈的引入令控制器结构复杂，限制了它在工程中的运用。

1.2 直接反馈线性化方法（DFL）

DFL方法不需要进行复杂的坐标变换和大量数学推导，具有计算简单、物理概念清晰的优点，便于工程应用。运用DFL方法设计了新型变结构励磁和综合控制器，仿真表明该控制器提高了系统的暂态稳定性和故障后的电压调节性能。

1.3 Lyapunov直接法

Lyapunov 直接法由于直接考虑了系统的非线性特性，且物理概念清晰，在电力系统暂态稳定的分析及控制器的设计中得到了广泛的应用。基于Lyapunov直接法研究了非線性励磁控制，数字仿真和基于微机实现的控制装置验证了所提出的控制规律的有效性。

1.4 无源系统理论

无源系统是一类考虑系统与外界有能量交换的动态系统，系统无源可以保持系统的内部稳定。从无源系统的角度看，Lyapunov 函数的构造过程正是使系统无源化的过程，此时的Lyapunov 函数正是保证系统无源性的存储函数。Lyapunov 意义下的稳定是指无外部激励条件下系统广义能量的衰减特性，而无源性是指系统有外界输入时的能量衰减特性。

对于存在干扰的系统来说，为了使得系统内部稳定，可依靠无源理论来构造反馈控制器，使得相应的闭环系统无源而保持内部稳定。一般来说，无源性、稳定性与最优性密切相关，但是Lyapunov 函数的构造还没有规律可循，需要经一步研究。

1.5 自适应控制

自适应控制的研究对象是具有一定程度不确定性的系统。自适应控制器能够修正自己的特性以适应对象和扰动的动态变化。采用自适应控制技术能够有效地解决模型不精确和模型变化所带来的鲁棒性问题，但是由于它需要复杂的在线计算和递推估计，只是适合于一些渐变和实时性不高的过程。

1.6 智能控制

基于人工神经网络（ANN）、模糊控制（FC）和专家系统（ES ）的智能控制由于具有处理各种非线性的能力、并行计算的能力、自适应、自学习和自组织的能力以及容许模型不精确甚至不确定等多方面优点，使之可以综合解决多机电力系统控制所面临的诸多问题。应用ANN 实现了励磁、快关汽门和电阻掣动三种不同控制器的最优综合控制。用模糊控制与线性最优控制结合实现了非线性自适应变增益励磁控制，弥补了固定增益的线性最优励磁控制对大、小干扰或不同目标采用折中设计和无法考虑强非线性约束的不足。

二、结束语

非线性控制理论在电力系统中成功的应用明显地提高了电力系统暂态稳定性，对增强电压稳定性也有显著的作用。不过，由于非线性系统控制问题的复杂性，不能找到一种万能的非线性控制方法。每一种方法只适合解决一些特殊的非线性系统控制问题。另外，具体的电力系统控制问题有其自身的复杂性，如要同时满足互相矛盾的几个控制目标等，目前控制器大多基于单机无穷大系统模型设计，而在实际多机电力系统中，如何得到分散解耦控制并加以妥善协调，进而提高整个系统的稳定性是值得研究的问题。

参考文献：

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煤矿底板突水非线性预测评价研究第12篇

关键词：采矿,突水,非线性预测,BP神经网络

0 引言

我国煤矿水文地质条件复杂, 特别是岩溶水经常突入矿坑, 危害生产安全。华北煤田下组煤 (太原组煤) 开采, 普遍受到煤系地层基底奥灰承压含水层的威胁。在底板突水非线性预测方面, 我国相关领域的专家和学者对底板突水问题进行了大量的研究, 武强等[1,2,3]提出了主控指标体系建设方法、脆性指数法以及GIS与ANN耦合技术等新型实用方法;尹会永等[4]用多源信息复合的方法评价底板突水;中国生等[5]把突变理论应用与底板突水预测;郑世书等把地理信息系统技术应用到在煤矿水害治理中[6,7]。

1 影响煤层底板突水的主要因素

煤矿底板突水发生在由煤层、底板隔水层、岩溶含水层等共同组成的复杂的地质系统中, 突水水量与其各影响因素之间具有强烈的非线性关系。影响底板突水水量因素较多, 对于含水层主要有含水层水压、岩溶裂隙发育情况和富水性等;对于隔水底板主要有隔水层的厚度、阻水性、破坏底板完整性的地质构造发育程度和矿压显现情况等, 还有采煤方法、工作面斜长和推进速度等等。本次在分析众多影响因素下, 把含水层水压、含水层岩溶裂隙发育程度、地质构造和底板隔水层厚度作为影响煤层底板奥灰突水的主要因素。

2 预测模型建立

要建立底板奥灰突水神经网络预测模型, 首先要根据具体问题确定输入矢量和输出矢量, 并要选定所要设计的网络结构, 确定好突水预测模型的模型结构, 在对输入样本数据处理后, 把处理好的样本数据带到已经设计好的模型中进行训练, 通过训练确定神经网络底板奥灰突水预测模型的权值和阀值, 在检验样本检验认为达到要求后, 进行底板奥灰突水神经网络模型预测, 否则, 从新设计模型结构, 重复上面的工作, 直到可以预测。人工神经网络只能处理表示成数值的数值数据, 所以经常需要将输入信息数据中非数值的信息变化或编码, 一般将输入数据标度到限定范围[0, 1]。

本文根据根据煤层底板突水的主要因素分析, 采用煤层突水的4个主要因素:隔水层厚度、水压、构造的复杂程度和含水层岩溶发育程度作为本模型的输入信息, 即输入层节点为4个节点。4个数据中隔水层厚度和水压都为数值型数据, 不用把信息数字化, 而构造复杂程度和岩溶发育程度为非数值型信息, 需数字化, 以便在计算机中能训练。

构造复杂程度:复杂4 (附近存在大于50 m断层) , 较复杂3 (附近存在15～50 m断层) , 中等2 (附近存在5～15 m断层) , 一般1 (附近存在小于5 m的断层) , 无构造0;

岩溶裂隙发育程度:很发育1 (径流带) , 发育0.8 (岩溶裂隙发育) , 较发育0.6 (裂隙发育, 存在小溶蚀) , 中等发育0.4 (裂隙发育) , 微发育0.2 (裂隙微发育) , 不发育0。输出层中以突水水量作为输出, 由于水量是数值型数据不用转化。

3 模型训练与检验

收集的煤矿底板突水案例主要为底板奥灰突水案例, 从底板含水层的水压、底板隔水层厚度、断裂构造复杂程度、岩溶裂隙发育程度和突水水量四个方面收集模型训练样本24个, 模型检验样本6个[8,9]。训练前, 把训练样本、检验样本和预测样本中输入层数据用matlab中premnmx函数一起归一化处理, 然后用训练样本对模型进行训练, 训练3 482次达到设定训练目标, 训练终止。收集模型训练样本如表1所示, 权值和阀值如表2、3所示, 检测样本如表4所示。

从检验样本预测结果来看, 突水水量误差较大, 但是突水的危险性程度还是预测出来了。实际突水水量小的地点预测突水水量误差小, 但是相对于实际突水水量误差百分比大, 突水水量大的突水地点预测突水水量误差大, 相对于实际突水水量误差百分比小。因此, 本次建立的BP人工神经网络煤层底板奥灰突水预测模型对奥灰突水的危险性程度进行预测是可行的。

注:阀值 (2) 为170.741 8

4 模型预测评价

把归一化好的兴隆庄煤矿16上、17煤煤开采预测数据输入训练好的底板奥灰突水预测模型中, 预测结果如表5所示。

预测结果用于兴隆庄煤矿下组煤首采区的底板突水评价, 并在目前实际的首采区三条暗斜井、一个井底车场和两条采区上山的16上煤开采延深开拓工程中实际涌水量相符, 误差较小, 充分说明了预测模型的适用性和合理性。

5 结论

(1) 16上煤底板隔水层厚度比17煤大9 m左右, 其它输入因素完全相同, 预测结果显示17煤整体上比16上煤危险性大。

(2) 下组煤开采突水危险性很大, 16上煤14个预测地点有8个大于1 800 m3/h, 17煤14个预测地点也有8个大于1 800 m3/h, 突水系数法评价结果都大于0.06 MPa/m, 也说明突水危险性很大。

(3) 构造指数发育的地方 (即指数为4) , 预测突水水量很大, 10处有7处预测突水水量大于3 800 m3/h。可知, 地质构造发育程度对突水水量的影响较大。据《煤矿防治水规定》, 底板受构造破坏块段突水系数一般不大于0.06 MPa/m, 也反映了地质构造对突水的影响很大。

(4) 据样本检验结果来看, 预测突水水量很可能存在误差, 但是受底板高承压水威胁煤层开采突水危险性大的程度是较准确的。模型的适用性在实际的生产过程中得到了检验。

参考文献

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