非齐次的范文

非齐次的范文（精选7篇）

非齐次的 第1篇

递推关系是计数的一个强有力工具, 建立正确的递推关系并且进行求解可以解决很多实际问题, 所以递推关系求通项是我们经常遇到的问题。对于常系数线性齐次递推关系利用特征方程的方法已经得到完美的解决, 而对于常系数线性非齐次、变系数线性非齐次等的情况没有一般的通用的求解方法。本文主要就几类低阶的常系数线性非齐次递推关系, 利用公式法、阶差法和叠加法等思想给出其通项的求法。

设k阶常系数线性非齐次递推关系式为:

其中a1, a2, …, ak是k个常数且ak≠0, f (n) 是以非负整数n为自变量的实函数。

引理1[1]设uÁ=bÁ (n0, 1, 2, …) 是递推关系 (1) 的一个解, un=Bn是递推关系的通解, 则uÁBÁbÁ是递推关系的通解。

由引理1可以看出, 递推关系 (1) 求解的关键就是求出一个特解, 而当f (n) 为多项式和指数函数时, 关于特解又有如下引理:

引理2设f (n) 是n的m次多项式, 如果1是递推关系 (2) 的i重特征根, 则递推关系 (1) 有特解uÂnÁg (n) , 其中g (n) 是n的一个m次多项式。

引理3设f (n) c•aÁ, 其中c和a均为非零常数, 如果a是递推关系 (2) 的i重特征根, 则递推关系 (1) 有特解uÂA nÁaÂ, 其中A是待定常数。

由上述引理可以看出, 分析f (n) 的情况求出特解再加上所对应齐次递推关系的通解可以比较完美的求出非齐次的通解, 但是当递推关系的阶数比较低, 是可以使用其他一些比较简单的方法, 快速有效的求出通解的。本文主要就几类低阶非齐次线性递推关系采用公式法、阶差法和叠加法等思想简单快速的给出其通项的求法。

2 一阶常系数线性非齐次递推关系[2,3]

2.1 形如un+1=aun+b的数列递推关系 (其中a, b均为常数, 且b≠0)

事实上, 数列可以分为:

(1) 当a=0时, un+1=b, {un}为常数列;

(2) 当a=1时, un+1=un+b, {un}为等差数列, 通项un=u1+ (n-1) b;

(3) 当a≠0时, 这是一般的一阶递推关系.

定理1已知数列首项u1, 且un+1=aun+b, 其中a, b均为常数, a≠1, b≠0则

证明1 (引理法) :当a≠1时, 由引理1首先求出un+1=aun的通解 (C为任意常数) , 由引理2知特解为un=A (其中A为待定常数) , 代入递推关系un+1=aun+b, 得, 则un+1=aun+b的通项为。代入初始值u1, 得, -即;

证明2 (阶差法) :由un+1=aun+b, 则un=aun-1+b, 两式相减, 得un+1-un=a (un-un-1) 即{un+1-un}是以u2-u1为首项, 等比为a的等比数列, 则un+1-un= (un-un-1) an-1=[ (a-1) u1+b]an-1

代入un+1=aun+b, 得。

例1在数列{un}中, u1=2, 且满足un+1=3un+2, 求数列的通项公式。

解:若用引理法, 可知特解为un=A (其中A为待定常数) , 由A=3A+2, 得A=-1, 则通项为un=C3n-1 (其中C为待定常数) , 代入初始值u1=2, 得C=1, 则un=3n-1。

若用阶差法可得un+1-un=3 (un-un-1) , 即{un+1-un}是以u2-u1=6为首项, 等比为3的等比数列, 则un+1-un=6·3n-1=2·3n。代入un+1=3un+2, 得2un+2=2·3n, 即un=3n-1。

2.2 形如un+1=aun+b·n+c的数列递推关系 (其中a, b, c均为常数, 且b, c≠0)

基本求解过程类似2.1:当a=1时, 由引理2可知特解为n的一个2次多项式, 使用待定系数法即可求出特解;当a≠1时, 可利用引理法或阶差法进行求解。

例2在数列{un}中, u1=1, 且满足un+1=3un+2n+1, 求数列的通项公式。

解:若用引理法, 可知特解为un=An+B (其中A, B为待定常数) , 代入递推关系un+1=3un+2n+1, 得A=-1, B=-1则通项为un=C3n-n-1 (其中C为待定常数) 。代入初始值u1=1, 由1=3C-1-1, 得C=1, 则un=3n-n-1。

若用阶差法可得un+1-un=3 (un-un-1) +2, 利用定理1结论可得un+1-un=6·3n-1,

代入un+1=3un+2n+1, 得2un+2n+1=6·3n-1-1, 即un=3n-n-1。

2.3 形如un+1=aun+b·rn的数列递推关系 (其中a, b均为非零常数) [4]

首先可使递推关系的两端同时除以rn+1, 则有, 把看成一个新的数列通项, 则为2.1所示的递推关系, 可使用定理1求解;其次可以使用引理3, 分析r=a和r≠a两种情况, 求出特解再利用首项求出通项中的常数, 则问题可解。

例3在数列{un}中, u1=1, 且满足un+1=3un+3n, 求数列的通项公式。

解:若两端同时除以3n+1得, 则为等差数列, , 故。

若用引理法, 可知特解为un=An·3n (其中A为待定常数) , 代入递推关系un+1=3un+3n, 得, 则通项为 (其中C为待定常数) , 代入初始值n1=1, 得C=0, 则。

例4在数列{un}中, u1=1, 且满足un+1=3un+2n, 求数列的通项公式。

解:若两端同时除以2n+1得, 令, 则, 为2.1所示的递推关系, 使用2.1的解法可得, 则un=3m-2n。

若用引理法, 可知特解为un=A·2n (其中A为待定常数) , 代入递推关系un+1=3un+2n, 得A=-1, 则通项为un=C3n-2n (其中C为待定常数) , 代入初始值u1=1, 得C=1, 则un=3n-2n。

3 二阶常系数线性非齐次递推关系

定理2已知齐次递推关系un+2=aun+1+bun, 其中a, b均为非零常数, 且a2+4b≥0, 则

其中C1, C2为任意常数, 结论可由齐次递推关系的求解过程可证, 求出特征方程x2-ax-b=0的特征根分别为, 由定理可知通解形式如上。22

3.1 形如un+2=aun+1+C的数列递推关系 (其中a, b为常数, 且a2+4b≥0)

首先可得递推关系un+1=aun+bun-1+c, 则两式相减, 得un+2-un+1=a (un+1-un) +b (un-un-1) , 则{un+1-un}转化为定理2中所示的齐次的递推关系, 问题可解;其次可使用引理2先求出特解, 再使用引理1求通解。

例5解递推关系

解:首先利用阶差法可得递推关系式

其中首项a2-a1=1, a3-a2=5, 然后由公式 (4) 可得数列{an-an-1}的通项公式为an-an-1=-2n-1+3n-1 (n≥2) ，得到此关系后，可得an-1-an-2=-2n-2+3n-2, ……, a2-a1=-2+3

使用叠加法可得

通过计算可得, 则问题解决。

3.2形如un+2=aun+1+bun+c˙n+d的数列递推关系 (其中a, b为常数, 且a2+4b≥0)

首先可得递推关系un+1=aun+bn-1+c· (n-1) +d, 则两式相减, 得un+2-un+1=a (un+1-un) +b (un-un-1) , 则{un+1-un}为3.1形式的递推关系, 接着得到递推关系un+2-2un+1+un=a (un+1-2un+un-1) +b (un-2un-a+un-2) , 则{un=1-2un+un+1}转化为定理2中所示的齐次的递推关系, 问题可解;其次可使用引理2先求出特解, 再使用引理1求通解。

例6解递推关系

解:首先得递推关系式an-an-1=5 (an-1-an-2) -6 (an-2-an-3) +1 (n≥4)

再次相减可得an-2an-1+2n-2=5 (an-1-2an-2+an-3) -6 (an-2+an-3+an-4) (n≥5) ,

其中首项a3-2a2+a1=6, a4-2a3+a2=23。

由公式 (4) , 则通项

得到此关系后, 可得

使用叠加法可得

通过计算可得,

再次使用叠加法可得

通过计算可得, 则问题解决。

3.3形如un+2=aun+1+bun+c˙rn的数列递推关系 (其中a.b为常数, 且a2+4b≥0)

首先可使递推关系的两端同时除以RN+2, 则有, 把看成一个新的数列通项, 则为3.1所示的递推关系, 则问题可解;其次可使用引理3分析是否为所对应齐次递推关系的特征根, 区分不同的情况求出特解再利用首项求出通项中的常数, 则问题可解。

例7解递推关系

解:首先可使递推关系的两端同时除以3n, 得递推关系

把看成一个新的数列通项bn, 则有, 其中首项b0=5, , 满足形式3.1。

接着得到递推关系式

其中首项, , 然后由公式 (4) 可得数列{bn-bn-1}的通项公式为, 得到此关系后, 可得

使用叠加法可得

通过计算可得, 即an=bn˙3n=2˙4n+3n+1+6n˙3n (n≥0) , 问题解决。

4 总结

本文给出了几类低阶非齐次线性递推关系的解法, 其中在一阶递推关系的题目中, 分别使用了引理法、阶差法和叠加法两种方式来求, 从结果可以看出, 两种方法是比较快速有效的, 而且阶差法在使用的过程中没有待定常数的设定, 过程相对还要简单一些;在二阶递推关系的题目中, 重点使用了阶差法和叠加法, 而且有的题目要能得到结果, 不止使用一次, 但是求解过程整体而言比较简单有次序。通过上述低阶非齐次线性递推关系的例题的求解过程, 可以看出在使用公式法的基础上, 适当的使用阶差法和叠加法可以快速有效的求出递推关系的通解。在以后类似的习题中, 同学们可以借鉴使用。

参考文献

[1]曹汝成.组合数学[M].华南理工大学出版社.

[2]王萍, 张萍.递推关系与数列通项[J].数学之友, 2011, 8, 56-57, 59.

[3]闫淑芳, 王韶丽.几类非齐次线性递推关系通项的求法探讨[J].邢台学院学报, 2011, 2 (26) :159-160.

数列组的齐次线性相关性 第2篇

数列组的齐次线性相关性

提出了数列组的齐次线性相关与齐次线性无关的.概念,定义了数列组之间的齐次等价,并讨论数列组的齐次线性相关、数列组之间齐次等价的条件,得到一些有关的结论.

作 者：杨建华 YANG Jian-hua 作者单位：武汉工程大学理学院,湖北,武汉,430074;武汉工程大学智能机器人湖北省重点实验室,湖北,武汉,430074刊 名：武汉工程大学学报 ISTIC英文刊名：JOURNAL OF WUHAN INSTITUTE OF TECHNOLOGY年，卷(期)：31(9)分类号：O151 O173关键词：数列组 齐次线性相关 齐次线性无关 齐次等价

非齐次的 第3篇

的求解是必不可少的, 其中b>0是常数。本文就问题 (1) 给出参数变易法, 齐次化方法和拉普拉斯变换法三种方法下的具体求解步骤。

1预备知识

本节给出线性微分方程叠加原理的叙述, 齐次化原理的叙述以及拉普拉斯变换的叙述和两条有用性质。

引理1 (叠加原理) [1]设ui满足线性问题

引理2 (齐次化原理) [1]如果w (t;τ) 是齐次方程的初值问题

的解。

我们称由此确定的函数L (p) 为f (t) 的拉普拉斯变换, 记成L (p) =L[f (t) ]。

拉普拉斯变换有两条非常重要的性质, 其一就是微分性质[2], 即若f (t) 存在n阶导数 (n叟1) 且f (t) , f' (t) , f" (t) , …, f (n-1) (t) 都满足拉普拉斯变换存在的条件, 则f (n) (t) 也存在拉普拉斯变换且L[f (n) (t) ]=pn L (p) -pn-1f (0) -pn-2f' (0) -…-f (n-1) (0) 。

2主要内容

本节给出参数变易法, 齐次化方法和拉普拉斯变换法三种方法求解问题 (1) 的具体步骤。

2.1参数变易法

问题 (1) 所对应的齐次方程v" (t) +b2v (t) =0的通解是v (t) =Ccosbt+Dsinbt, 其中C, D为任意常数。应用参数变易法, 令

计算可得

将 (5) 式带入 (2) 中, 整理可得

将v (0) =d0, v' (0) =d1带入上式, 可得C=d0, D=d1/b, 于是问题 (1) 的解为

2.2齐次化方法

首先应用叠加原理, 问题 (1) 的解v (t) 可以分解成问题

的解和问题

的解n (t) 的叠加, 即v (t) =m (t) +n (t) 。

故问题 (6) 的解为

与参数变易法求得的解是一致的。

2.3拉普拉斯变换法

由v (t) =m (t) +n (t) 可得

针对问题 (1) , 我们给出参数变易法, 齐次化方法和拉普拉斯变换法三种方法下的具体求解步骤, 尤其是齐次化方法和拉普拉斯变换法, 在可查阅文献中较少看到, 本文对这两种方法的介绍增加了常微分方程定解问题的求解方法。

参考文献

[1]王明新.数学物理方程 (第二版) [M].北京:清华大学出版社, 2009.

非齐次的 第4篇

对n阶常系数非齐次线性微分方程

其中p1, p2, …, pn为常数.

A ( r) 称为方程 ( 1) 的特征函数.

记, 方程 ( 1) 可写成

用逆微分 算子表示A ( D) y = f ( x) 的通解为

定理1设r1, r2, …, rn为A ( r) = 0的n个根, 可以是复根, 则n阶常系数一般非齐次线性微分方程A ( D) y = f ( x) 的通解为

证明一阶线性微分方程 ( D - rk) y = f ( x) 用逆微分算子表示与积分表示的特解为

因为r1, r2, …, rn为A ( r) = 0的n个根, 则的通解为

推论若r1= r2= … = rn= λ, 则n阶常系数非齐次线性微分方程A ( D) y = f ( x) 的通解为

定理2设r1, r2, …, rn为A ( r) = 0的n个为互异的根, 可以是复根, 则n阶常系数 一般非齐 次线性微 分方程A ( D) = f ( x) 的通解为

证明一阶线性微分方程 ( D - rk) y = f ( x) 用逆微分算子表示与定积分表示的特解为

若r1, r1, …, rn互异, 则, 方程A ( D) y = f ( x) 的一个特 解为

由此得 ( 5) 式.

例求微分方程x, x∈ (-π/2, π/2) 的通解.

解i, 取a = 0, 则特解

摘要：本文简化了文[1]中结论的证明方法, 得到了求n阶常系数一般非齐次线性微分方程的通解简便公式.

非齐次的 第5篇

关键词：三阶偏微分方程,常系数,非齐次,余函数

近年来, 有关偏微分方程解一直是热点研究问题。在实际工程应用中, 对一般意义上的偏微分方程解的研究可以让原本复杂的工程计算变得简单。因此, 本文讨论了常系数非齐次三阶偏微分方程的一般解, 进而研究了N阶常系数非齐次偏微分方程, 从而得到了具体解的形式。

1 常系数非齐次三阶偏微分方程的一般解

三阶偏微分方程的一般式为:

方程式 (1) 可简记为:

方程 (1) 的解由两部分构成, 通解zn和余函数zp, 可记为式 (3) :

当方程 (2) 的右端φ (x, t) =0时, 通过解其对应的齐次方程可得到通解:

不妨假定齐次方程的通解形式为zn=cehx+k, 其中, c, h, k为待定常数, 代入方程 (4) 中可得:

其中, 对应的特征方程为:

因此, 齐次方程的通解zn必定具备该形式cehx+k.

在特征方程 (6) 中, 如果能解出常数k的值, 那么, (4) 式中的D′必为r阶的 (r≥2) , 通解的表达式如下所示:

同理, 在方程 (6) 中, 如果能解出常数h的值, 那么 (4) 式中的D′必为r阶的 (r≥2) , 通解的表达式如下所示:

根据方程 (2) , 考虑其余函数的形式为:

根据式 (6) 可得:

其变形式为:

根据盛金定理可知, 记Δ=B2-4AC.由此可以得到以下结论。

情形1:当式 (12) 中A=B=0时, 可解得:

情形2:当Δ>0时, 则有:

情形3:当Δ=0时, 此时的形式较为简单:

情形4:当Δ<0时, 解得:

将上述结果代入式 (7) 和 (10) 中, 可以得到一般三阶方程解的一般形式。同理可得:

根据盛金定理可知, 记Δ1=B12-4A1C1.由此可以得到以下结论。

情形1′:在式 (17) 中, 当A1=B1=0时, 解得:

情形2′:当Δ1>0时, 解得k的值为:

情形3′:当Δ1=0时, 此时可以解出:

情形4′:当Δ1<0时, 此时可以得到:

根据不同的情形, 将结果代入式 (8) 和 (10) 中, 可以得到一般方程解的形式。

2 常系数非齐次N阶偏微分方程的一般解

对常系数非齐次N阶偏微分方程而言, 要得出其一般意义上的解并不容易。但是, 当φ (x, t) 取一些特殊函数时, 可以得到其解的具体形式。常系数非齐次N阶偏微分方程的一般形式如下:

根据φ (x, t) 的不同取值, 讨论以下5种特殊情形。

情形1′′:当φ (x, t) =cn1时, 如果z具有zn1=An1xn形式的解, 代入式 (22) 中求解。通过n!a0An1=cn1, 可得解得系数

情形2′′:当时, 如果z具有形式的解, 代入式 (22) 中, 由 (n+1) !a0An2x=cn2x得

情形3′:当时, 如果z具有形式的解, 代入式 (22) 中, 由 (n+1) !anAn3t=cn3t可得

由于常系数非齐次N阶偏微分方程解具有复杂性, 所以, 本文仅讨论了5种解得的具体形式。当遇到具体工程问题时, 可根据具体情形求解。

3 结束语

本文仅研究了一般形式的常系数非齐次三阶偏微分方程的解的一般式, 在相应的常系数非齐N阶偏微分方程中, 得到了部分函数对应的特殊解的情况。在具体的工程应用中, 对更多不同情况的求解一定可以得到更多对现实问题有帮助的结果。

参考文献

[1]Devi J Vasundhara.Generalized monotone method for periodic boundary value problems of Caputo fractional differential equations[J].Commun.Appl.Anal, 2008, 12 (4) :399-406.

非齐次的 第6篇

一、主要结果

本文在吉林大学隐式代数曲面研究小组的工作基础上, 仿照G1拼接曲面理论, 考虑当两个截面不相等时2次, 3次、4次, 5次G2连续齐次混合曲面的构造问题, 我们把G0、G1拼接曲面的两个实用技巧, 控制曲面技巧和标准展开式技巧推广到某种形式G2光滑拼接曲面。由于寻求G2混合曲面的全部解是相当困难的, 因此, 我们利用上述技巧寻求特解。我们有理由认为寻求G2混合曲面存在的结构整齐、形式简单、容易判别的条件是一件有意义的事情。本文运用代数几何工具, 得到了结构整齐、形式简单、容易判别的定解条件及相应的构造公式, 这也是本文的主要成果。

定理1若代数曲面s (f) 与s (gi) 分别在s (gi, hi) 处Gk光滑拼接, 则

其中〈g i, hik+1 〉表示由g i, hik+1生成的理想。

此外, 据 (1-1) f可表示为

(ui, ai为多项式) , 其中 (i=, 1, 2..., n) , ui不恒为0时, 条件 (3.1) 也是充分的。

根据定理1, G2拼接两个二次曲面的问题等价于存在不为0的多项式ui (i=, 1 2) 及ia, 使之满足关系式

换言之, 我们为了寻求m次G2连续的混合代数曲面S (f) , 必须构造m次的f, 使其符合 (1-3) 式。

由于按传统待定系数法求解 (1-3) 式导出的相应的多项式的次数较高, 利用符号计算是困难的, 仿照前面的标准展开式技巧, 我们可以将g1, g2按h1, h2展开, 达到消元目的, 实现求解。下面, 我们首先来探讨它的定解条件。

在基本假设之下, 我们有如下结果:

此处k为一正整数。

经进一步分析, 得到

定理4若存在2次控制曲面S (g) , 则存在m次多项式f∈〈g1, h13 〉∩〈g2, h23 〉的充要条件是存在m-2多项式u1, u2, m-3次多项式b1, b2, c1, c2, 使得

定理4给出了在控制曲面存在的前提下, G2混合曲面存在的充分必要条件, 然而, 这一存在性的判别必须求解 (1-4) 的线性方程组, 这意味着不小的计算量。

我们知道, 高次曲面形状复杂, 几何性质不易把握, 应用到曲面造型中会受到很大限制, 所以给定光滑阶数以后, 寻求次数最低的混合曲面是一个很自然的问题, 也就是构造m次的f使其满足 (1-2) 式。我们感兴趣的是m=2, 3, 4, 5的情形。下面, 我们首先来讨论这几种情况下G2混合曲面的定解条件。

1.m=2

定理5存在G2拼接2次曲面S (f) 的充要条件是存在常数λ≠0, 使得g1=λg 2, 且此时有S (f) =S (g1) =S (g2) 。

这是一个相当特殊的结果。说明当拼接曲面和原始曲面退化成一片时, 我们才能找到2次的G2混合曲面

2.m=5

下面重点讨论m=3, m=4的情况

的解:即对于G2混合曲面的求解满足 (1-3) 式及 (1-5) 式, 我们把这样的解称为齐次解。此时, 我们完全可以把截平面平行与否统一成是否相等即可。

3.m=4

定理7若S (h1) ≠S (h2) , 则存在形如 (1-2) 、 (1-5) 的齐4次G2混合曲面的充分必要条件是存在实数λ, µ≠0, 使得

其中b12, b21, b2为参数。

当 (1-6) 式成立时, 在不计非零常数倍的情形

定义了满足 (3.3) 式的一组齐4次G2光滑拼接曲面。

证明: (必要性) 将 (1-5) 式代入 (1-2) 式, 可得 (u11 h12+u12h22) g1+a1 h13= (u21 h12+u22h22) g2+a2 h23不失一般性, 总假定S (h1) ≠S (h2) , 这样由h1, h2互素可知, 存在实数C, 使得

由 (3.8) 之第一式及uij≠0立即可得

(充分性) 代入验证, 立即可得。

4.m=3

定理8若s (h1) ≠s (h2) , 则存在形如 (1-2) 、 (1-5) 的齐3次G2混合曲面的充分必要条件是存在实数λ, µ≠0, 使得

其中为参数。

当 (1-10) 式成立时, 在不计非零常数倍的情形

联立 (1-13) 式之一、三式, 消去C可得

将 (3.13) 之二、四式中b1, b2代入 (1-14) 代入可得:

稍加整理, 得到

注意到此时系数均为实数, 且h1, h2互素, 故只能有

(1-16) 第一式与 (1-17) 第二式µ乘相加, 可得

稍加整理就是定理8的结论。

(充分性) 代入验证, 立即可得。

在上述齐次G2拼接曲面的求解中, 仿照G0、G1拼接曲面求解的标准展开式技巧来求解是极为有效的, 这样, 就把一个求解线性方程组的问题化为多项式除法的问题, 有效地降低了问题的计算量, 得到了结构整齐、形式简单、容易判别的定解条件及相应的构造公式。

二、算法实现

我们得到了当截面不平行时, m=3, m=4的具体算法。

命题9在截面S (h1) , S (h2) 不平行及基本假设下:

存在形如 (1-3) 、 (1-6) 式的齐3次G2光滑拼接曲面的充要条件是存在实数λ≠0, 使得

命题10在截面S (h1) , S (h2) 不平行及基本假设下:

存在形如 (1-3) 、 (1-5) 式的齐4次G2光滑拼接曲面的充要条件是存在实数λ≠0, 使得

三、应用举例

将 (1-18) 式分别代入 (1-17) 式, 得到

将g1, g2展成关于h1, h2的标准展开式

对照系数, 得到

根据题意, d1, d2不能同时为零, 所以不能满足同时为零

由命题9, 10, 上述实例无齐3, 4次G2解。

参考文献

[1]王仁宏, 梁学章.多元函数逼近.科学出版社.1988.

[2]周蕴时, 苏志勋, 奚涌江, 程少春.CAGD中的曲线和曲面.吉林出版社.1993.

[3]C.Hoffmann and J.Hopcroft, Quadratic Blending Surfaces, CAD, 1986, Vol.18 (6) , 301-305.

[4]J.Warren, Blending Algebraic Surfaces, ACM Translations On Graphics, Vol.8, No.4, 263-278, 1989.

[5]伍铁如.隐式代数曲面的光滑拼接.吉林大学硕士论文, 1995.

[6]王旭超.隐式代数曲面的光滑拼接及实现.吉林大学硕士论文, 1996.

[7]T.Beck and V.Weispfening, Groebner bases, GTM.No.41, Springer, 1993.

齐次平衡法在微分方程中的应用 第7篇

1 齐次平衡方法简介

已知非线性偏微分方程,

这里p是其变元多项式, 其中包含u (x, t) 的非线性项和它的最高阶导数项.函数φ=φ (x, t) 称为 (1.1) 的拟解, 当且仅当存在一个单变元函数f=f (φ) , 使得以下的表达式

齐次平衡方法主要包含4步

1.1 利用 (1.2) 平衡 (1.1) 中的非线性项及最高阶导数项, 确定出平衡阶数m, n。

1.2 确定是否存在表达式 (1.2) 中的单变元函数f=f (φ) 。

1.3确定是否存在拟解φ=φ (x, t) 和 (1.2) 中的线性组合系数;这一步通常是选择适当的系数来使得 (1.1) 的拟解存在。

1.4 如果前三步的解答是肯定的, 那么将结果代入 (1.2) 经过一些计算, 就得到 (1.1) 的准确解。

当平衡阶数为正整数的情形时, 求解过程比较简单, 我们不做实例, 下面我们主要研究平衡阶数为负数的情形和平衡阶数为分数的情形。

2 平衡阶数为负数的情形

到目前为止, 齐次平衡方法主要应用都还是限于平衡阶数m, n为非负整数情形.然而实际上出现的方程也有平衡阶数为负数和分数的情形。本文的主要工作就是把齐次平衡原理中的非负整数的平衡阶数, 扩展到负数和分数的平衡阶数的情形, 同样可求出一些非线性发展方程的精确解。

2.1 阶数为负数的情形方法简介

平衡阶数为负数的情形当m, n中存在负数时 (不妨设其为负整数情形) , 我们可以假设当m+n>0时,

当m+n<0时, 我们可以先对原方程做变换u=v-1将原方程化为关于v的非线性方程.这时, 再利用齐次平衡方法解之。

典型例子表明, 此种方法是切实可行, 且带有一定普适性.例如, 在多孔介质的非线性热传导和气体过滤理论中提出了如下的非线性发展方程。

2.2 阶数为负数平衡法实例

其中p<0, u (x, t) 是温度或气体的密度。这里x, t, u都是经过压缩和拉伸变换的。

解为使方程 (2.2.1) 中的一阶偏导数项ut和非线性项2ut2, 2uuxx能部分地相平衡, 我们可设 (2.2.1) 的解具形 (1.2) , 将 (1.2) 代入 (2.2.1) , 得到m=-2, n=1, 所以先做变换u=v-1, 该变换将 (2.2.1) 化为

再经过平衡, 得到m=2, n=-1, 所以, 我们可以假设 (2.2.2) 的解具形

将 (2.2.3) 代入 (2.2.2) , 合并φ的各种偏导数同次齐次项, 并令φx5φt1的系数为零, 得

解之, 得

且

将 (2.2.3) 代入 (2.2.2) , 先令其中的常数项相等, 得到

c02-c03=0即c0=0或c0=1.

取c0=0时, 将 (2.2.3) 代入 (2.2.2) , 且利用 (2.2.6) -- (2.2.8) , 将关于f的较低阶导数的非线性项化为f相应的较高阶导数的线性项, 然后, 令f的各阶导数的系数为零, 得下列关于φ (x, t) 齐次方程组

φ (x, t) 所满足的方程组 (2.2.9) -- (2.2.10) 是有解的。

事实上, 令φ (x, t) =1+exp (kx+wt) 代入 (2.2.9) -- (2.2.10) , 得到关于k, w的非线性代数方程组为

于是, (2.2.2) 相应的准确孤立波解为

因此, 原方程的准确孤立波解为

该解在当x→∞时, 会产生奇性, 出现爆破现象。

当c0=1时, 将导致复数解, 这里略去。

3 平衡阶数为分数的情形

3.1 阶数为分数的情形简介

若平衡阶数m, n中有分数 (不妨设其为正分数情形) , 我们可以先做变换v=aul其中l为m的最简分式的分母与n的最简分式的分母的最小公倍数, a为任意常数。

也可直接假设

其中[x]表示取x的整数部分, c0为任意常数。

3.2 阶数为分数的情形实例

例2我们来研究下面一个方程

它的形式如下

其中p, q>0.

解为解此方程, 利用齐次平衡原理, 平衡之, 得到

所以, 我们可以假设

其中a为待定常数。

将 (3.1.1) 代入 (3.2.1) , 得

令φ (x, t) 具有如下形式

将 (3.2.4) 代入 (3.2.3) 的右边, 再分别令

的系数为零, 得

其中k为任意常数。

因此, 由 (3.1.1) 及 (3.2.2) 得原方程的准确解为

顺便指出, 对于上面的方程, 我们也可类似地处理, 它的形式为

得到的准确解为

其中k为任意常数.

结束语

本文运用齐次平衡方法求解偏微分方程, 得方程的精确解, 把齐次平衡法拓展到阶数是负数和分数情况, 并求出了方程的另一类解, 包括三角函数解和双曲函数解等, 这些解为某些现象的解释提供理论根据, 并有助于研究更为复杂物理现象

摘要：利用齐次平衡方法求解几个非线性发展方程, 并且对此方法进行了推广, 推广到平衡阶数为负数的情形和平衡阶数为分数的情形。

关键词：齐次平衡方法,非线性发展方程,精确解

参考文献

[1]王明亮.非线性发展方程与孤立子[M].兰州大学出版社, 1990.

[2]王明亮, 周宇斌.反应扩散方程的精确解[J].兰州大学学报, 1996, 32 (3) :26-30.