命题的否定与否命题（精选6篇）
命题的否定与否命题 第1篇
从以前的“简易逻辑” (人教版) 或“逻辑初步” (北师大版) 到现在的“常用逻辑用语” (新课标) .从标题上来看就体现了“淡化形式, 注重实质”的观点.在高中数学新课程标准中, 关于常用逻辑用语的教学, 有这样的要求:注意引导学生在使用常用逻辑用语的过程中, 掌握常用逻辑用语的用法, 纠正出现的逻辑错误, 体会运用常用逻辑用语表述数学内容的准确性、简洁性.在这部分内容的教学中, 要通过具体实例来帮助学生按标准要求了解或理解常用逻辑用语, 并学会正确使用逻辑用语, 避免形式化的讨论.因为这部分内容不是为逻辑学和数学逻辑奠定基础, 而是学习正确的使用逻辑用语来清晰的表达数学内容.这部分内容中最困难的是命题的否定与否命题.谁是干扰命题的否定与否命题的教学的“罪魁祸首”?
1 都是┓p惹的“祸”
1.1 ┓p是什么
问题1p的否定是┐p吗?p与┐p一真一假吗?
学生们齐声回答“正确”.能否举出具体的例子来说明这一点?
生1-1:“x2≥0”的否定是“x2<0”.
生1-2:“x>5”的否定是“x≤5”.
生1-3:“x=5”的否定是“x≠5”.
生1-4:“f (x) ≥0”的否定是“f (x) <0”.
生1-5:“2∈N”的否定是“2∉N”.
……
同学们举出的例子都很好, 但是, p与┐p一真一假只有生1-1和生1-5是正确的, 其它3个无法判断真假.这是为什么呢?
先看┐p是什么, 在教材上两次出现了┐p:①命题的4种形式中, 命题“若p则q”的否命题为“若┐p则┐q”;②逻辑联结词中, 命题p的否定为┐p.
这两个┐p的意义不完全一样, 前者是一个条件 (或语句) 的否定, 没有真假, 如“明天会下雨”的否定是“明天不会下雨”, 而且因为“明天会下雨”和“明天不会下雨”不能判断它们的真假, 所以它们不是命题.后者中的p是命题, 必有真假区分, 所以其中的命题p与它的否定┐p (也是命题) 一真一假.
其次, 因为“x2≥0”和“2∈N”都是可以判断真假的语句, 所以它们都是命题, 它们的否定也都是命题.而“x>5”, “x=5”和“f (x) ≥0”都不能判断它们的真假, 所以它们都不是命题, 它们的否定也都不是命题.
再次, 如果把“x2≥0”看成是命题, 那么命题“x2≥0”的否定是另一个命题“x2<0”就错了, 因为命题“x2≥0”的完整表达是“∀x∈R, x2≥0”.它的否定是“∃x∈R, x2<0”.而命题“x2<0”的完整表达是“∀x∈R, x2<0” (一般命题中只有全称量词可以省略, 见第2节) .如果把“x2≥0”与“x2<0”看成是没有真假之分的语句, 那么“x2≥0”的否定是“x2<0”就完全正确.
1.2 ┓p怎么写
含有“全称量词”或“存在量词”的命题的否定在教材上已经很清楚了, 这里就不重复了.
问题2 “若x<2, 则
生2-1:若
生2-2:若
生2-3:若
生2-4:若
一般情况下, 最容易得到的是生2-1的答案, 再思考后, 便得到生2-3的答案.笔者认为:在没有指定范围的情况下, 上面4个答案应该都正确!
1) 如果一个命题中所隐含的条件 (这里就是x≠2) 是大前提条件, 那么生2-1和生2-2的答案都正确.在我们写分式, 根式, 对数式等式子时, 往往会默认它们有意义, 实际上, 也就承认了一个 (大) 前提, 例如, 命题“若a<0, 则
2) 对于我们中学数学老师来说, 最容易接受的是生2-3的答案.因为学生们要参加高考, 我们必须斤斤计较, 我们必须给学生一个确定的答案.
3) 当我们在学过复数后, 在复数集范围内考虑问题时, 恐怕生2-3的答案也不能接受了, 取而代之的是生2-4的答案.
上面问题说明, 在对非命题的语句进行否定时, 一定要考虑所处的范围, 用集合语言来说, 就是要搞清楚全集, A的否定就是∁UA (其中U为全集) .
1.3 ┓p怎么了
问题3 与“若方程x2-2x+m=0有实根, 则m<2”有关的命题有哪些?
生3-1:逆命题:若m<2, 则方程x2-2x+m=0有实根.
生3-2:否命题:若方程x2-2x+m=0没有实根, 则m≥2.
生3-3:逆否命题:若m≥2, 则方程x2-2x+m=0没有实根.
生3-4:命题的否定:若方程x2-2x+m=0有实根, 则m≥2.
生3-5:逆命题的否定:若m<2, 则方程x2-2x+m=0没有实根.
……
前3位同学的答案都很好, 后两位同学都是对形如“若p则q”的命题进行否定, 而且都为“若p则┐q”.但是生3-4正确而生3-5错误.因为逆命题“若m<2, 则方程x2-2x+m=0有实根”和它的否定“若m<2, 则方程x2-2x+m=0没有实根”都是假命题, 这与命题p与┐p一真一假矛盾.实际上逆命题“若m<2, 则方程x2-2x+m=0有实根”中隐藏有全称量词.所以它的否定为“存在m<2, 使方程x2-2x+m=0没有实根”.
对于一般命题的否定, 一些资料认为“若p则q”的否定是“若p则┐q” (只否定命题的结论) , 实际上这有时是不正确的, 如果条件p中含有 (或隐藏有) 全称量词或存在量词 (即开语句) , 那么否定时应考虑到条件p的范围.
问题4 命题“若m∈R, 则方程x2-mx+m-1=0有实根”的否命题是什么?
这个问题让学生来做有点超“纲”了, 但是对中学数学老师来说还不清楚就不应该了, 按照正常操作得否命题:若m∉R, 则方程x2-mx+m-1=0没有实根.怎样理解上述否命题呢?
1) 从逻辑学上来讲, 命题“若p则q”中, 当题设p恒假时, 不管结论q是真是假, 命题总是正确的.例如命题“若x≥0, 则x2≥0”与它的逆否命题“若x2<0, 则x<0”都是真命题.因此在实数集内, 问题4中的原命题及其逆命题、否命题、逆否命题都是真命题.
2) 任何事物都是相对的, 实数集上不存在, 但在复数集上就存在了, 语句m∉R意思指m不是实数, 是虚数, 而方程x2-mx+m-1=0总有实根x=1, 所以在复数集内, 问题4中的原命题与其逆否命题都是真命题.但其逆命题、否命题都是假命题.
2 都是“省略”与“添加”惹的“祸”
2.1 该写的为什么要“省”
问题5 命题“正方形是矩形”的否定是什么?
错解 正方形不是矩形.
分析 此题中的“正方形”是指所有的正方形, 而错解中的“正方形”也是指所有的正方形, 但全称量词的否定是存在量词, 所以正确的是:有的正方形不是矩形.
一般情况下, 全称量词有时可以省略, 这是语言表达简洁的需要, 但是存在量词不能省略.
问题6 命题“A⊆A∩B”的否定是什么?
错解A⊈A∩B.
分析 看上去“A⊆A∩B”的否定应该是“A⊈A∩B”, 但这里面还是有问题:取A和B相等, 得A⊈A∩B为假;取B是A的真子集, 得A⊆A∩B为假.导致p与┐p都是假命题.
事实上, “A⊆A∩B”和“A⊈A∩B”都省略了全称量词, 原命题的完整表达应该是:“∀A, B, A⊆A∩B”.而它的否定的完整表达应该是:“∃A, B, A⊈A∩B”.
这里还要注意:“A⊆B”的否定是“A⊈B”完全正确!理由是“A⊆B”和“A⊈B”根本不是命题.
问题7 命题“4条边相等的四边形是正方形”的否定是什么?
错解 4条边都相等的四边形不是正方形.
分析 因为原命题是假命题, 原命题的否定必须是真命题, 而错解中的命题也是假命题, 于是导致矛盾.正确答案应为:4条边都相等的四边形不都是正方形.
“是”的否定有时为“不是” (如命题“
2.2 不该写的为什么要“添”
问题8 “全等三角形一定是相似三角形”的否命题是什么?
错解 不全等三角形不一定是相似三角形.
分析 从4种命题的真假关系看, 原命题的逆命题是“相似三角形一定是全等三角形”, 它为假命题, 而错解中否命题“不全等三角形不一定是相似三角形”为真命题, 这与互为逆否命题的等价性矛盾, 应改为“不全等三角形一定不是相似三角形” (假命题) 就正确了.
注意问题8中的“一定”只是加强语气, 可以删去, 这样就不容易出错了, 即“全等三角形是相似三角形”的否命题是“不全等三角形不是相似三角形”.
问题9 命题“三角形中必有锐角”的否定是什么?
对于这个命题的否定有下列几种说法:
说法1:三角形中必没有锐角.
说法2:三角形中必有非锐角.
说法3:三角形中未必有锐角.
分析 哪一种说法更准确点?还得看原命题中“必”的含义:一定、都, 所以说法3更准确点.
如果把“必”删去, 再把省略的“都”, “所有”补上, 即“所有三角形中都有锐角”, 那么问题9不就简单了吗?
问题10 命题“方程x2+y2+Dx+Ey+F=0可能不表示圆”的否定是什么?
错解 方程x2+y2+Dx+Ey+F=0可能表示圆.
分析 “方程x2+y2+Dx+Ey+F=0可能不表示圆”和“方程x2+y2+Dx+Ey+F=0可能表示圆”都是真命题, 于是导致矛盾.这里的“可能”表示部分 (存在量词) , 所以原命题否定是“方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 (都) 不表示圆”.
对于命题中经常出现的语气副词 (如一定、可能、必等) , 先要弄清其含义, 才能把握否定的正确表达方式, 有时如果把它们删去, 那么问题就简单了.
为了使我们的表达简洁、完美、更有说服力, 命题中常常省略一些 (全称) 量词, 或者添加一些语气副词.虽然丰富我们的表达, 但给我们的教学带来一些困难, 我们只有找出问题的本质, 才能准确地表达数学内容, 更好地进行交流.
参考文献
[1]陈重穆, 宋乃庆.淡化形式, 注重实质[J].数学教育学报, 1993, (2) .
[2]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准 (实验) [S].北京:人民教育出版社, 2003.
[3]缪选民.关于“命题的否定”之我见[J].数学通报, 2008, (7) .
[4]武增明.“若命题f (x) ≥0, 则其否定为f (x) <0”的说法对吗[J].数学通讯, 2008, (15) .
命题的否定与否命题 第2篇
(一)教学目标 1.知识与技能目标
（1）通过探究数学中一些实例，使学生归纳总结出含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律．
（2）通过例题和习题的教学，使学生能够根据含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，正确地对含有一个量词的命题进行否定．
2．过程与方法目标 ：使学生体会从具体到一般的认知过程，培养学生抽象、概括的能力． 3.情感态度价值观
通过学生的举例，培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质，在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育．(二)教学重点与难点
教学重点：通过探究，了解含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，会正确地对含有一个量词的命题进行否定． 教学难点：正确地对含有一个量词的命题进行否定． 教具准备：与教材内容相关的资料。
教学设想：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．
（三）教学过程 学生探究过程：1．回顾
我们在上一节中学习过逻辑联结词“非”．对给定的命题p，如何得到命题p 的否定（或非p），它们的真假性之间有何联系？ 2．思考、分析
判断下列命题是全称命题还是特称命题，你能写出下列命题的否定吗？（1）所有的矩形都是平行四边形；（2）每一个素数都是奇数；（3）x∈R, x2－2x＋1≥0。（4）有些实数的绝对值是正数；
/ 3
（5）某些平行四边形是菱形；（6） x∈R, x2＋1＜0。3．推理、判断
你能发现这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？（让学生自己表述）
前三个命题都是全称命题，即具有形式“xM,p(x)”。
其中命题（1）的否定是“并非所有的矩形都是平行四边形”，也就是说，存在一个矩形不都是平行四边形；
命题（2）的否定是“并非每一个素数都是奇数；”，也就是说，存在一个素数不是奇数；
命题（3）的否定是“并非x∈R，x2－2x＋1≥0”，也就是说，x∈R，x2－2x＋1＜0；
后三个命题都是特称命题，即具有形式“xM,p(x)”。
其中命题（4）的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，也就是说，所有实数的绝对值都不是正数；
命题（5）的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，也就是说，每一个平行四边形都不是菱形；
命题（6）的否定是“不存在x∈R，x2＋1＜0”，也就是说，x∈R，x2＋1≥0； 4．发现、归纳
从命题的形式上看，前三个全称命题的否定都变成了特称命题。后三个特称命题的否定都变成了全称命题。
一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论： 全称命题P：xM,p(x)，它的否定￢P：xM,p(x)特称命题P：xM,p(x)，它的否定￢P：x∈M，￢P(x)全称命题和否定是特称命题。特称命题的否定是全称命题。5．巩固练习
判断下列命题是全称命题还是特称命题，并写出它们的否定： ①p：所有能被3整除的整数都是奇数；
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②p：每一个四边形的四个顶点共圆； ③p：对x∈Z，x2个位数字不等于3； ④p： x∈R, x2＋2x＋2≤0； ⑤p：有的三角形是等边三角形； ⑥p：有一个素数含三个正因数。6．教学反思与作业
（1）教学反思：如何写出含有一个量词的命题的否定，原先的命题与它的否定在形式上有什么变化？
（2）作业：习题1.4A组第3题：B组（1）（2）（3）（4）
谈一谈命题的否定 第3篇
关键词：命题；命题否定；复合命题；特称命题；全称命题
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2011）12-038-01
在数学中，用语言、符号或式子表示的并且能区别真假的语句叫数学命题。命题按能否分解可分为简单命题和复合命题。数学证明中，准确无误地写出一个命题的否定式是十分重要的。由于新增内容，对于高二学生来说是较为抽象，在理解上有一定的难度。所以说写出命题的否定是一个热点，也是一个难点。为了使同学们明明白白地写出命题的否定。下面就谈谈如何来构造比较合理的命题的否定。
首先要理解好命题否定“非”的认识。对一个命题p加以否定，就得到一个新命题，记作“ p”,读作“非p”。称为命题p的否定。非p”形式的复合命题的真值与原命题p的真值为一真一假，一假一真，构成一对矛盾命题。要准确表达命题的否定，就要求我们掌握好一些词语的否定，下面写出一些常用词语和它的否定词语（前面为原词语，后面为否定词语）：
等于，不等于；大于，不大于；小于，不小于；都是，不都是；至多有一个，至小有两个；至多有n个，至少有n+1个；至少有一个，一个也没；任意的，某一个；等等。对于如此多的词语和它的否定词语，我们不需要、也不可能对其一一记忆，只要对否定词语理解透彻，就不易把它们写错。不妨把所有可能的情况作为全集，那么否定词语的情况的集合就是原词语情况的集合的补集。这样就容易验证所写的一对词语是否正确。
《常用逻辑用语》一章中涉及到命题的否定有这们几类型：简单命题的否定，复合命题“p且q”、 “p或q的否定， “若p,则q”形式命题的否定，特称命题的否定，全称命题的否定。下面一一试述：
1、简单命题的否定
在逻辑联结词中的最简单命题形式是“p是q”,它的否定是“p不是q”。
例 写出下列命题的否定。
⑴2是有理数。⑵菱形的对角线互相垂直。⑶方程 没有实数根。
解：⑴的否定：2不是有理数。⑵的否定：菱形的对角线不互相垂直。⑶的否定：方程 有实数根。
2、复合命题“p且q”；“p或q”形式的否定
用联结词“且”把命题p和q联结起来，就得到一个新命题，记作“p且q”。
用联结词“或”把命题p和q联结起来，就得到一个新命题，记作“p或q”。
“p且q”的否定为: “非p或非q”； “p或q”的否定为:非p且非q。从而知命题“p且q”，“p或q”形式的否定：既否定命题p,q；又该变联结词。
例 写出下列命题的否定。
⑴ 3是9的约数或是27的约数。
⑵ 集合中的元素是确定的且是无序的。
⑶ 2是偶数且是质数。
解：⑴的否定：3不是9的约数，也不是27的约数。
⑵的否定：集合中的元素是不确定的或是有序的。
⑶的否定：2不是偶数或不是质数。
3、复合命题“若p,则q”形式的否定
命题“若p,则q”形式的否定为“若p,则非q”。
例 写出下列命题的否定。
⑴若一条直线与一个圆相切，则圆心到直线距离等于半径。
⑵ 若 则 。
⑶ 若a,b都是偶数，则a+b是偶数。
解：⑴的否定：若一条直线与一个圆不相切，则圆心到直线的距离不等于半径。
⑵的否定：若 则 。
⑶的否定：若a,b都是偶数，则a+b不是偶数。
4、含量词命题的否定
数学命题中出现“全部”、“所有”、“一切”、“任何”、“任意”、“每一个”等与“存在着”、“有”、“有些 、“某一个”、“至少有一个”等词语。在逻辑中分别称为全称量词和存在量词；有这样的量词构成的命题成为全称命题与特称命题。那么它们的否定又怎么样？
⑴全称命题的否定：将全称量词该为存在量词，再否定它的性质，全称命题的否定是特称命题。
⑵特称命题的否定：将存在量词该为全称量词，再否定它的性质，特称命题的否定是全称命题。
例 写出下列命题的否定。
⑴ 每个二次函数的图像都向下。⑵ 某些实数的绝对值是正数。⑶ 存在 ， 。
解：⑴的否定：有些二次函数的图像开口向上。
⑵的否定：所有实数的绝对值都不是正数。
⑶的否定：任意 。
探析如何区分否命题与命题的否定 第4篇
一、原始概念
人教版高中数学 选修2-1中的相关 概念具体 如下.
否命题对于两个命题,其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定,我们把这样的两个命题叫做互否命题,一个是原命题,另一个就是它的否命题.例如,“若空间中两条直线不相交,则这两条直线平行”的否命题是“若空间中两条直线相交,则这两条直线不平行”.
命题的否定对一个命题p全盘否定,就得到一个新命题,记作￢p,这就是命题p的否定.对于命题p与命题￢p,课本上有这样的黑体字强调:“若p是真命题,则￢p必为假命题;若p为假命题,则￢p必为真命题.”例如,命题p为“若空间中两条直线不相交,则这两条直线平行(假命题)”;命题p的否定￢p为“若空间中两条直线不相交,则这两条直线不一定平行(真命题)”.
含有一个量词的命题的否定分两种情况:(1)对于含有一个量词的全称命题的否定,这样全称命题的否定就变成了特称命题;(2)对于含有一个量词的特称命题的否定,这样特称命题的否定就变成了全称命题.例如,(1)全称命题p为“所有的三角形都不是等边三角形,它的否定￢p为“有的三角形是等边三角形”;(2)特称命题为“有一个素数含三个正因数”,它的否定￢p为“每一个素数都不含三个正因数”.
二、概念的区别
否命题:是对原命题的条件否定,结论也否 定而构成的一个新命题,也就是条件和结论同时否定.
命题的否定:对于一个命题p的否定,命题p的条件不变,只否定结论而构成的一个新命题记作瓙p,也就是只否定结论.
含有一个量词的命题的否定:不论是哪 一种情况,首先改变量词,是全称量词的变成存在量词,是存在量词的变成全称量词,条件仍然不变,只否定结论而构成的一个新命题.
三、错例分析举例
写出下列命题的否定,并判定其真假.
1.命题p:若x>y,则x2>y2(假命题).
解答1￢p:若x≤y,则x2≤y2(假命题).
解答2￢p:若x>y,则x2≤y2(假命题).
这两种解答都是错误的.解答1的错误有 两点,首先是没有读懂命题p是怎样一种命题,其次又将条件和结论同时否定变成了否命题,而不是命题的否定;解答2的错误有一点,没有读懂命题p是怎样一种命题,从形式上看虽然符合命题的否定的格式,条件是没有否定,只否定了结论;但这个命题实际上是含有一个量词的全称命题,所给命题从形式上隐藏了全称量词,“若x>y,则x2>y2”的含义是:“对任意的x>y,都有x2>y2(假命题)”.所以它的否 定应是:“存在x>y,使得x2≤y2(真命题)”.“若p是真命题,则￢p必为假命题;若p为假命题,则￢p必为真命题”,p与￢p一真一假,不可能出现p与￢p都是假命题.
2.命题p:若A>B,则sinA>sinB(假命题).
￢p:存在A>B,使得sinA≤sinB(真命题).
3.命题p:若a>b,则|a|>|b|(假命题).
￢p:存在a>b,使得|a|≤|b|(真命题).
四、归纳总结
“命题的否定和量词的应用”分析 第5篇
表示数量的词称为量词.表示整体的全部的叫做全称量词, 常用的如“所有”、“一切”、“每一个”和“任意一个”等;表示整体的一部分的叫做存在量词, 常用的如“有些”、“至少有一个”和“存在”等.
根据描述主项的量词, 命题可分为:
全称命题, 一般地, 设p (x) 是某集合M的所有元素都具有的性质, 那么全称命题就是形如“对M中的所有x, p (x) ”的命题。用
存在性命题, 一般地, 设q (x) 是某集合M的有些元素具有的某种性质, 那么存在性命题就是形如“存在集合M中的元素x, q (x) ”的命题。
特别地, 主项为特定的单个个体的命题, 称为单称命题, 其形式为“S0是 (不是) P”, 其否定为“S0不是 (是) P”.
二、命题的否定
设P是一个命题, “P不成立”即为对命题P的否定 (非P) .
1、全称命题的否定
全称命题可用符号记为“”
全称命题其否定为“存在S不是 (是) P”, 即“至少有一个S不是 (是) P”, 全称量词常可省略;
例1写出下列命题的否定
(1) 对任意的实数x, y都有;
(2) 所有的矩形都是平行四边形;
(3) 各数位数字之和能被3整除的整数, 能被3整除.
(4) 每一个四边形的四个顶点共圆。
(6) 三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和;
解析:每个命题都含有全称量词, 所以都为全称命题, 首先将全称量词“任意的”、“每一个”、“”改为存在性量词“存在”、“存在一个”、“”, 然后否定性质即可。
其否定分别为:
存在实数x, y有
“存在一个矩形不是平行四边形”
有些各数位数字之和能被3整除的整数, 不能被3整除”.
存在一个四边形的四个顶点不共圆。
(6) 存在一个三角形, 它有一个外角不等于与它不相邻的两内角之和;
评注:从命题形式看, 全称命题的否定是存在性命题
2、存在性命题的否定
存在性命题可用符号记为“”, 其否定命题为“”。
例2:写出下列命题的否定:
(1) 有些负数的绝对值是负数;
(2) 某些梯形是平行四边形形;
(4) 存在一个矩形, 它的四边相等
解析:每个命题都含有存在性量词, 所以都为存在性命题, 首先将存在性量词“有些”、“某些”、“”改为全称量词“所有”、“每一个”、“”, 然后否定性质即可。其否定分别为:
(1) 所有负数的绝对值都不是负数;
(2) 每一个梯形都不是平行四边形;
(4) 任意一个矩形, 它的四条边不全相等.
评注:从命题形式看, 存在性命题的否定是全称命题。
3、单称命题的否定
单称命题的形式为“S0是 (不是) P”, 其否定为“S0不是 (是) P”.
例3、写出下列命题的否定:
(1) 碳是黑色的;
(2) 方程有解;
存在一个实数:命题⑴、⑵是单称命题, 故其否定分别为“碳不是黑色的”和“方程无解”
4. 命题“若……则……”的否定是什么
“若p则q”的否定是“p且非q”;
“对于任意的x, 若p (x) 则q (x) ” (“对于任意的x”常省略) 的否定是“存在x, p (x) 且非q (x) ”, 即只要能否定符合条件的一种情况即可, 而不是对符合条件的所有情况加以否定, 亦即“对于任意的x, 若p (x) 则q (x) ”的否定应该是“存在使p (x) 成立而q (x) 不成立的情况”.
例2写出下列命题的否定
(1) 若明天下雨, 则我不去呼和浩特;
(2) 若方程有实根, 则太阳绕着地球转;
(3) 若方程有实根, 则
(4) 若m是奇数, 则2m是偶数.
分析:命题 (1) 、 (2) 是“若p则q”形式的命题, 故其否定分别为“明天下雨且我去呼和浩特”和“方程有实根且太阳不绕着地球转”;命题 (3) 、 (4) 省略了全称量词, 补完整后分别为“对于任意的实数a, 若方程有实根, 则”和“对于任意的实数m, 若m是奇数, 则2m是偶数”, 都是“对于任意的x, 若p (x) 则q (x) ”形式的命题, 故其否定分别为“存在实数a, 使得有实根且”和“存在实数m, 使得m是奇数且2m不是偶数”.
结论:看到“若……则……”的命题要在理解语意的基础上, 判断是否是省略了全称量词的情况, 再加以否定。
总之, 要想写出命题否定的正确形式, 一定要分析清楚命题中的量词。含有一个量词的全称命题和存在性命题的否定有如下结论:存在性命题的否定是全称命题, 全称命题的否定是存在性命题。
摘要：在全日制普通高中新教材中增加了“简易逻辑”这一章节, 本章节对培养学生的逻辑思维能力会起到很大的作用.但由于在对命题进行否定时, 忽略了其中的“量词”, 产生了某些认识上的偏差.下面将针对“命题的否定”作简要的分析.
命题的否定与否命题 第6篇
例如，已知函数,a≠0，若函数h(x)=f(x)-g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围.该题若直接求解，则要满足有解，即有解，则必须转换成.学生对h'(x)<0产生疑问:为什么不可以是h'(x)≤0有解?当笔者讲解完后学生还是似懂非懂.由于学生在平时的学习中对恒成立问题很熟悉，所以接着笔者换种角度，用命题的否定思想来讲解，转换成恒成立问题，再利用补集思想还原回原问题，学生就觉得很好理解.
解:设h(x)不存在单调递减区间，则有h(x)在定义域内恒增.
即在x∈(0，+∞)恒成立.
则有a≤G(x)min，又，所以x=1时，G(x)min=-1，此时a≤-1.
综上，若h(x)存在单调递减区间，则a的取值范围为a>-1.
上述例题由于含有“存在”字眼，对于学生来说相较“恒成立”问题陌生，而利用命题的否定思想转换成学生熟悉的“恒成立”问题，那么问题就会迎刃而解.
如，设函数f(x)=(1+x)2-2ln(1+x)，若存在x0∈[0,1]使不等式f(x0)-m≤0能成立，求实数m的最小值.
解:设不存在x0∈[0,1]使不等式f(x0)-m≤0成立，即对任意x∈[0,1]，不等式f(x)-m>0恒成立，则有f(x)min>m.
由已知得.因为x∈[0,1]，所以f'(x)>0，则f(x)在x∈[0,1]为单调递增函数，所以f(x)min=f(0)=1，则m<1.
综上，若存在x0∈[0,1]使不等式f(x0)-m≤0能成立的m的范围为m≥1.
即m的最小值为1.
不仅在函数中，在逻辑命题中，特称命题的求参数范围也可以采用命题的否定思想来解决难点.
如，已知命题:x∈[1,2]，使x2+2x+a≥0为真命题，求a的取值范围.
解:该命题的否定为x∈[1,2],x2+2x+a<0恒成立，
则a<-(x2+2x)恒成立，即a<[-(x+1)2+1]min，所以a<-8.
综上a的取值范围为a≥-8.
上述3个例题都利用了命题的否定求出范围后，再用补集思想求出题目要求的范围，这种解题方法对学生解决这类含“存在”性问题有很大帮助.
在学生学习过程中还会经常碰到含“至少”的含参问题，对于此类问题我们也可以采用命题的否定思想来探讨.
例:已知f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1在x∈[-1,1]上至少存在一个实数c，使f(x)>0，求p的取值范围.
解:设不存在实数c满足条件，则对恒成立.由f(x)图象可知
解得或p≤-3.
所以p的取值范围为
此外在方程中相关的根的问题求参数范围也可以用命题的否定思想来做.
例1三个方程x2+4ax-4a+3=0,x2+(a-1)x+a2=0,x2+2ax-2a=0中至少有一个方程有实根，求实数a的取值范围.
分析:该题若从正面角度出发就有如下三种情况:(1)只有一个方程有实根.(2)只有二个方程有实根.(3)三个方程都有实根.其中(1)和(2)还要分多种情况讨论，显然计算量太大，若从反面角度出发，即该命题的否定是三个方程无实根，求出无实根范围后再利用补集思想，问题即可等价转化.
解:假设三个方程都无实根，则有
故三个方程中至少有一方程有实根时a的取值范围是a≥-1或
例2已知一元二次方程x2-x+m=0且|x|≤1.求m为何实数时，此方程无实数根.
分析:本题若正面求解，可由方程有解且解在|x|>1的范围内和判别式小于零讨论出m的取值范围，显然运算量大，还需要有一定的技巧.但用命题否定思想则可避开这些麻烦.
解:将方程变形整理得.若方程有实根，则由-1
所以当m<-2或时方程x2-x+m=0在|x|≤1的范围内无实数根.
命题的否定思想除了在函数和方程中运用，在圆锥曲线中也可以运用.
如，若椭圆(a>0)与连接两点A(1,2),B(3,4)的线段没有公共点，求a的取值范围.
分析:此题若正面求解需分两种情况讨论:(1)两点都在椭圆外(2)两点都在椭圆内.若用命题的否定思想则不需要讨论，计算简洁.
解:设椭圆和线段有公共点，易得线段AB的方程为y=x+1,x∈[1,3]
所以当椭圆与线段没有公共点时