中考数学开放性问题

中考数学开放性问题（精选11篇）

中考数学开放性问题 第1篇

关键词：问题解决,开放题,数学教学

培养创新精神和实践能力是当前推进素质教育的重点.国家教育部在《初中毕业、升学考试改革的指导意见》中明确指出:“初中毕业、升学考试改革应有利于贯彻国家教育方针, 推进中小学实施素质教育……”数学考试应“设计一定的开放性问题”. 正是由于各地认真贯彻执行了这一意见和要求, 因此在近几年全国各地中考试题, 特别是压轴题中, 开放性问题越来越受到命题者的青睐, 也越来越受到广大初中教师和学生的重视.开放性问题多出现于填空题和解答题中, 要有条件开放, 结论开放, 策略开放, 综合开放等类型, 它具有知识覆盖面大, 综合性强, 立意新颖, 构思精巧等特点, 并有相当的深度和难度.开放探究型试题具有答案不唯一的特征, 它主要考查学生思维的灵活性、开放性和创新性, 当然创新能力也离不开扎实的基础知识和基本技能.正因为如此, 当前对数学开放性问题的研究已成为数学教学的热点, 而在中考试题中适当设置一些开放性探索性问题无疑对转变观念, 改进教学, 加强创造性思维能力的培养都具有重大意义.现我结合近几年中考数学试题中出现的开放性问题, 对其略加分类和评析, 供同仁复习时参考.

一、什么是开放性试题

开放性数学试题是相对于给出了明确的条件和结论的封闭型问题而言的. 所谓开放性数学题通常指答案不确定或条件不完备, 或具有多种不同解法, 或有多种可能的解答等类型的数学问题.关于开放题的条件的有:不完备;可以多余;多余需选择;不足需补充, 等等.关于开放题的答案 (结论、解法) 的有:不固定;有多种;不唯一;不必唯一;不确定;不必有解, 等等.因此, 开放题的一个显著特征是:答案的多样性 (多层次性) .此外, 有些资料上把某些探索性问题也归入开放题, 虽然对探索题的研究具有公认的意义, 但在讨论与研究开放题的时候, 是有必要把这两者加以区别的, 但是开放题与探索题的密切关系也是不可否认的.

二、近几年中考数学试题中的开放题类型

由于开放题在中考中具有其他试题所不可替代的功能, 因而备受命题者青睐.从近几年的中考试卷来看, 有以下几类:

(一) 条件开放型试题

条件开放型试题主要是指问题的条件开放, 即问题的条件不完备或满足结论的条件不唯一. 解决此类问题的思路是从所给结论出发, 逆向探索, 逐步探寻其合乎要求的一些条件, 从而进行逻辑推理证明, 确定满足结论的条件.

例1:如图1, 在△ABC和△FED中, AD=FC, AB=FE, 当添加条件:_时, 就可得到△ABC≌△FED (只需填写一个你认为正确的条件) .

说明:开放题的一个显著特点是:答案的不唯一性, 我们只需给出能使结论成立的一个答案即可.探求条件的过程, 是一个由果索因的过程, 这是数学中一种重要的解题方法———分析法.

例2: 试写出一个关于x、y二元一次方程组, 使其解为, 符合要求的方程组为_.

分析:我们只要构造出既含x又含y的两个二元一次方程.构造方程实际上就是寻找x与y之间的数量关系.

说明:方程与函数有着紧密的联系, 如果我们把方程组的解看做对应于平面直角坐标系中的一个点A (2, 4) , 则可以写出过这个点的任意两个一次函数的解析式 (也是两个二元一次方程) .

本题在解法上可以用代数的方法来解, 也可用几何的方法来解 (形数结合———一种重要的数学思想方法) ;可以用待定系数法, 运用演绎推理的方法来解, 也以可用直觉思维的方法来解, 所以本题既是一个条件开放题, 又是一个策略开放题.

(二) 结论开放型试题

结论开放型试题就是给出问题的条件, 根据已知条件探究问题的结论, 并且将符合条件的结论一一罗列出来, 或者对相应的结论的“存在性”加以推断, 甚至探求条件变化中的结论, 这些问题都是结论开放性问题.解决此类题目要求利用条件大胆而合理地猜想, 发现规律, 得出结论;其基本解题思路是:首先认真剖析题意, 充分挖掘题设信息, 再由因寻果, 顺向推理或联想, 最后获得所求结论.

例3:在平面直角坐标系中, 点A在第一象限, 点P在x轴上, 若以P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形, 则满足条件的点P共有 ()

A.2个 B.3个 C.4个 D.5个

分析:本题主要考查了数形结合和分类讨论的数学思想.

例4:如图2, 以等腰三角形ABC的一腰AB为直径的⊙O交BC于D, 过D作DE⊥AC于E, 可得结论DE是⊙O的切线.

问: (1) 若点O在AB上向点B移动, 以O为圆心, OB长为半径的圆仍交BC于D, DE⊥AC的条件不变, 那么上述结论是否还成立? 请说明理由.

(2) 如果AB=AC=5cm, sin A=3/5, 那么圆心O在AB的什么位置时, ⊙O与AC相切?

分析: (1) 连接OD.∵OB=OD, ∴∠OBD=∠ODB=∠C, ∴OD∥AC, 从而可得OD⊥DE, 结论仍然成立.

(2) 若⊙O与AC相切, 设切点为F, 连接OF, 则由Rt△AOF中可求得OF=15/8, 即OB=15/8. (解题过程略)

说明:本例的两小题都属于结论不确定性的开放性问题.第1小题是直接从题设条件出发探求结论是否成立; 第2小题是从题设的结论出发来探求结论成立的条件, 这也是解决这类问题的常用方法.

(三) 综合开放型试题

所谓综合开放型试题, 是指只给出一定的情境, 其条件、解题策略与结论都要考生到情境中自行设定或寻找的问题.综合开放型试题, 较多地关注考生创新意识、创造能力与数学应用意识.

例5:某工厂现有甲种原料360千克, 乙种原料290千克, 计划利用这两种原料生产A、B两种产品共50件. 已知生产一件A种产品, 需用甲种原料9千克, 乙种原料3千克, 可获利700元;生产一件B种产品, 需用甲种原料4千克, 乙种原料10千克, 可获利1200元.

(1) 按要求安排A、B两种产品的生产件数, 有哪几种方案? 请你设计出来;

(2) 设生产A、B两种产品获总利润为y (元) , 其中一种产品生产件数为x, 试写出y与x之间的函数关系式, 并利用函数的性质说明 (1) 中哪种生产方案获总利润最大? 最大利润是多少?

分析:本题主要考查考生对一元一次不等式组的应用, 求一次函数的解析式及一次函数的应用等考点的理解.

参考文献

[1]罗养贤.初中总复习指导——数学.厦门:鹭江出版社, 2013.

中考数学证明问题 第2篇

第一部分 真题精讲，AD3，BC8．求1．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BDCD，BDC90°

AB的长．

2.已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，DCB90，ACBD于点O，DC2,BC4，求AD的长.A

D

BC

AD∥BC，B90，AD=2，BC5，3.如图，在梯形ABCD中，tanCE为DC中点，4．求

3AE的长度 AD

E

BC

．

【总结】 以上三道真题,都是在梯形中求线段长度的问题.这些问题一般都是要靠做出精妙的辅助线来解决.辅助线的总体思路就是将梯形拆分或者填充成矩形+三角形的组合,从而达到利用已知求未知的目的.一般来说,梯形的辅助线主要有以下5类

:

1、过一底的两端做另一底的垂线，拆梯形为两直角三角形+

一矩形

2、平移一腰，分梯形为平行四边形+ 三角形

3、延长梯形两腰交于一点构造三角形

4、平移对角线，转化为平行四边形+三角形

5、连接顶点与中点延长线交于另一底延长线构筑两个全等三角形或者过中点做底边垂线

构筑两个全等的直角三角形

以上五种方法就是梯形内线段问题的一般辅助线做法。对于角度问题，其实思路也是一样的。通过做辅助线使得已知角度通过平行，全等方式转移到未知量附近。之前三道例题主要是和线段有关的计算。我们接下来看看和角度有关的计算与证明问题。

3.如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，DB平分ADC，过点A作AE∥BD，交CD的延长线于点E，且C2E，BDC30，AD3，求CD的长．

AB

ED

5.已知：PAPB4，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧.如图，当∠APB=45°时，求AB及PD的长；

第二部分 发散思考

通过以上的一模真题，我们对线段角的相关问题解题思路有了一些认识。接下来我们自己动手做一些题目。希望考生先做题，没有思路了看分析，再没思路了再看答案。

【思考1】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，ABCD．若AC⊥BD，AD+BC=10，且ABC60，求CD的长．

【思考2】如图，梯形ABCD中，AD//BC，∠B=30°，∠C=60°，E，M，F，N分别是AB，BC，CD，DA的中点，已知BC=7，MN=3，求EF

【思考3】已知ABC，延长BC到D，使CDBC．取AB的中点F，连结FD交AC于点E．

AE⑴ 求的值； AC

⑵ 若ABa，FBEC，求AC的长．

B

【思考4】如图3，△ABC中，∠A=90°，D为斜边BC的中点，E，F分别为AB，AC上的点，且DE⊥DF，若BE=3，CF=4，试求EF的长．

D

数学开放性问题与创新教育 第3篇

关键词:开放性问题;创新意识;创新思维;创新实践;创新能力

中图分类号:G632 文献标识码:A 文章编号:1000-8136(2009)27-0148-02

1数学开放性问题的几个特点

1.1“自谋结论”

对于同一个问题可以有多个“开端”。因此,可以从不同的“开端口”入手,通过多角度进行思考、联想和探索,自谋结论。如:正面与反面联想、普通与极端联想、演绎与归纳联想等。

例1, 是不是某个自然数的完全平方?证明你的结论。

可引导学生去寻找、猜想:因为4489=672,444889=6672,于是便猜测有结论:444…488…89=66…672。

1.2“旧瓶新酒”

对于同一个问题,应该根据具体情况的变化而变化,要面对新的问题,善于修改不正确的思路,排除定势思维的干扰,防止思路僵化,方法呆板。

例2,问a取哪些正整数时,方程ax2+2(2a-1)x+4a-7=0至少有一个整数根?

解这道题时,人们往往认为这是一道关于x的二次方程,自然用求根公式来解,进而讨论方程至少有一个整数根的条件,这样做是十分烦琐的。

二次方程虽是我们所熟知的,但问题有变化。“二次方程”这个“旧瓶”中,添进了“新酒”——至少有一个整数根,而且还有一个正整数a作为参数。因此,当你用二次方程有关知识解答受阻时,可以把a看作未知数,x为参数一试,便得出结论。

1.3“新瓶旧酒”

对于同一个问题,应该细心观察,不要忽视每一个细节,要努力挖掘其潜在的因素,变“陌生”为“熟悉”,以增加成功的机会。

例3,复数z1、z2、z3的辐角分别为α、β和γ,又|z1|=1,|z2|=k,|z3|=2-k,z1+z2+z3=0,问k为何值时,cos(β-γ)分别取得最大值和最小值,并求出最大值和最小值。

由条件z1+z2+z3=0可知:用|z1|、|z2|、|z3|为边构造三角形,即△ABC的三边分别为1、k、2-k,且1所对应的三角形内角为π-(γ-β),透过“z1+z2+z3=0等”进而找到了解决办法——“余弦定理”。

1.4“新瓶新酒”

对于一些 “从未见过”的新问题,求解过程也往往有新的巧妙的思路,这时应解放思想,敢于“越规”,既可有定势思维的“老传统”,也可有发散思维、求异思维的“别出心裁、新事新办”。

例4,正五边形的每一个顶点对应一个整数,使得这五个整数的和为正。若其中三个相邻顶点相应的整数依次为X、Y、Z,而中间的Y<0,则要进行如下操作:整数X、Y、Z分别换成X+Y,-Y,Z+Y。只要所得的五个整数中至少还有一个为负时,这种操作继续进行。问:是否这种操作进行有限次后必定终止?设对应五边形顶点上的整数依次为X、Y、Z、U、V,我们打破常规,巧妙构思,设计出一个显示性函数F(X,Y,Z,U,V)=(X-Z)2+(Y-U)2+(Z-V)2+(U-X)2+(V-Y)2,若Y<0,与一次操作相对应的有F(X+Y,-Y,Y+Z,U,V)=(X-Z)2+(Y+U)2+[(Z-V)+Y]2+[(U-X)-Y]2+(V+Y)2,相减得:

F(X+Y,-Y,Y+Z,U,V)-F(X,Y,Z,U,V)=2Y(X+Y+Z+U+Z)<0

这表明,每经过一次操作,F的值至少下降2,但F的值只能取非负整数值。因此,这种操作过程只能进行有限次,五个整数中再无负数出现。这一解法显得新奇、巧妙。

2数学开放性问题与创新性培养

在解答开放性问题的过程中,或可能引出新的问题,或可能引申推广出更一般的问题,这些往往是预料之外的事情,因此,开放性问题有利于发展学生的创新意识和创新能力。

2.1通过开放性问题的教学,能够挖掘学生的创新潜能

创新教育,首要的问题就是对学生进行创新意识的教育。在教学过程中,让学生展开思考探究,使学生主动发表不同的意见,暴露思维过程,成为解题过程的探索者,才能在强烈的创新意识的驱动下,转化为创新的自觉行动,以调动学生的创新意识的主动性。有了强烈的创新意识,才能开展创新实践,进一步培养创新能力。通过开放性问题的教学,能够激发学生的创新意识。

例如,当学过导数知识后,有学生提出“作为导数f ¹(a)与(导)函数f¹(x),仅仅是函数值与函数之间的关系吗?”等问题时,教师应鼓励学生积极主动地去思考它。学生讨论发现如果函数f(x)满足:①在a点连续;②在U(a,δ)内可导;③ f ¹(x)存在,则f(x)在a点可导,且f¹(a)= f ¹(x)。

这一发现使学生获得了一种巨大的成功感和自豪感。

2.2通过开放性问题的教学,培养学生的思维创新

开放性问题是非常规的数学问题,这就要求学生善于选择题目所提供的信息,及时调整思维角度、改变原来的思维过程,并善于由题目的已知条件提出新的设想和解决问题的方案。在教师的指导下,引导学生运用比较、分析、综合、抽象、概括、判断、推理的方法,抓住问题的特征、差异、隐含关系等具体分析、合理联想,充分调动大脑中存储的知识信息,多角度、多方位的去揭示知识之间的联系,运用不同的思想方法去解决问题。

例如,每个三角形有三边三角共6个元素,若两个三角形各有5个元素分别相等,问这两个三角形一定全等吗?为什么?

分析:本题若从正面考虑,很可能得出三角形全等的错误结论。若从反面联想,构造一个反例,确有其独特的功能,设△ABC的三边为a=8,b=12,c=18,△A′B′C′的三边为a′=12,

b′=18,c′=27,则 = = = ,∴△ABC∽△A′B′C′,∴

∠A=∠A′,∠B=∠B′,∠C=∠C′,又b=a′,c=b′,这两个三角形各有5个元素分别相等,但显然这两个三角形并不全等。

2.3通过开放性问题的教学,加强学生的创新实践教育

当认识主体面对有待解决的问题或接受一个新的数学知识时,要引导学生尝试从数学的角度,运用数学的思想方法,去探求解决问题的策略,有了创新意识,才能通过创新实践,培养创新能力。通过开放性问题的教学,能够加强学生的创新实践。通过开放式的教学,还可以得到许多证明方法。在探索证明方法的进程中,学生的思维能力得到提高。使得学生更好地构建自己的知识结构,培养学生的综合思考、探索研究的能力,学到更多、更好、更深的知识。[4]

3数学开放性问题的教育价值

数学开放性问题是极富有教育价值的一种数学问题的题型,其价值不仅体现在培养学生的良好思想品质方面有着重要作用,而且还体现在:①数学开放性问题具有挑战性,有利于激发学生的好奇心、自信心,有利于增强学生的学习兴趣,调动学生学习的积极性和主动性。②数学开放性问题有利于使学生体验数学知识来源于生活,又服务于生活,用数学的眼光观察实际生活,并能有机地结合其他学科知识,培养解决实际问题的能力。③数学开放性问题具有灵活性、多向性,有利于扩大学生的思维空间,使学生把机械模仿转化为探索创造,扩展学生的思路,开发学生的潜能,使学生领悟到再生知识的方法与数学发现的途径,有利于培养学生的创新意识和创造能力。

参考文献

1 刘玉琏、傅沛仁.数学分析讲义(上)[M].北京:高等教育出版社,1992

2 梁俊奇. Lagrange定理的干扰性证明[J].商丘师院学报,2002(2)

3 谢效训.关于拉格朗日中值定理的证明[J].高等数学研究,2001(3)

4 张立卓等.分段函数在分界点求导的一个方法[J].高等数学研究,2001(3)

5 周春荔等.数学创新意识培养与智力开发[M].北京:首都师范大学出版社,2000.12

The Open Question of Mathematics and Innovation Education

Zhang Xiuling

Abstract: Through this favorable carrier of open question, train students’ innovation ability, help to encourage students' innovation Desire, develop students’ innovative latent energy, innovative quality of moulding students, to train a large number of applied talents of innovation.

初中数学开放性问题探讨 第4篇

一、初中数学开放性问题的类型

1. 条件开放型问题

问题的结论明确, 需要找出或完善使结论成立的条件.

例1、如图1:若点D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点, 连结DE、EF, 要使四边形ADEF为菱形, 则需要增加的条件是. (只填一个就可以)

例2、m取何值, 可使y=6 (m-2) xm-3+x+9成为一次函数?

例3、如图2:AB=CD, 请你添加一个适当的条件, 使△ABC≌△DBE, 则需要添加的条件是_____.

例4、已知关于x的方程x2- (5K+1) x+k2-2=0, 是否存在负整数k, 使方程的两个实数根的倒数和等于4?若存在, 求出k的值, 若不存在, 请说明理由.

2. 结论开放型问题

例5、函数y=f (x) 满足如下条件:函数图像经过笪洱源县右所镇中所初级中学万宝灿

第一像限;不经过第三象限;当x<2, y>0时, 且y=f (x) 是减函数, 求函数的解析式.

3. 策略开放型问题

这类问题中条件与结论之间的推理是未知的, 或者说解题的方法不唯一或是解题途径不明确.

试题一般用文字语言叙述了一个实际问题, 其推理过程没有现成的格式可套.

例6、设有四个村庄恰好座落在边长为2km的正方形四个顶点, 要求设计一个使得任何两个村庄间都可通车的道路网, 要求这道路网总长不超过5.5km.

4. 综合开放型问题

所谓综合开放性问题是指涉及数学知识范围广, 并且只给出一定的问题情景, 其条件、解题方法与结论都要深入到情景中去寻找.

例7、某班计划用88元购买单价为3元、2元、1元的甲、乙、丙三种纪念品, 奖励参加校运动会的同学.已知甲种纪念品不少于12件, 所花费用不超过总费用的一半, 乙种纪念品比甲种纪念品多5件.如果费用刚好用完, 且三种纪念品都有, 请问有几种购买方案.

例8、观察下列式子, 写出你发现的规律:

9-1=8, 16-4=12, 25-9=16, 36-16=20…设n表示自然数, 用关于n的等式表示为___.

二、初中数学开放性问题的解题策略

1. 条件探索型问题解题策略

解答此类问题, —般需要通过观察, 猜想, 利用分析法从结论出发, 通过逆推来找到使结论成立的条件.运用分析法的特点和思路是“执果索因”即从“未知”看“需知”, 逐步靠拢“已知”.同时, 应考虑利用分析法时条件的必要性是否成立.

例9、己知二次函数f (x) 的首项系数为负, 对任意实数x, 都有f (2-x) =f (2+x) 问:f (1-2x2) 与f (1+2x-x2) 满足什么关系时, 有-2

分析:此题由于结论是关于x的不等式, 故先猜想f (1-2x2) 与f (1+2x-x2) 应满足不等式关系.由f (x) 的二次项系数为负以及f (2-x) =f (2+x) 知, 函数f (x) 的图像抛物线的开口向下, 且抛物线关于直线x=2对称.于是f (x) 在 (-∞, 2) 上递增, 在 (2, +∞) 上递减.又由于1-2x2≤1, 1+2x-x2=2- (x-1) 2≤2故需要再讨论1-2x2与1+2x-x2的大小.

∵ (1+2x-x2) - (1-2x2) =2x+x2=x (x+2)

∴当x (x+2) <0即-21+2x-x2.

由于f (x) 在 (-∞, 2]上递增, 故f (1-2x2) >f (1+2x-x2) 时有-2

2. 结论探索型问题解题策略

解答此类问题, 一般需要通过观察、分析、联想、类比等策略, 利用综合法, 由因导果探索结论.即从“已知”看“可知”, 逐步推向“未知”.

例10、若记号“*”表示求两个实数a与b的算术平均数的运算, 即则两边均含有运算符号“*”和“+”.且对任意3个实数a、b、c都成立的一个等式可以是 () .

此结论满足要求, 即 (a*b) +c= (a*c) + (b*c) .

本题还有其他结论.

3. 归纳、猜想、证明型问题解题策略

猜想是在对研究的问题或对象进行观察、实验、分析、比较、类比、联想、归纳的基础上, 依据已有的材料和知识, 做出符合一定经验与事实的推测性想象的思维方法.

此类问题常以找规律的形式出现, 解题时要求能够从所给的材料、信息出发, 通过观察、实验、分析、归纳、比较、猜想探索出一般规律.

解题的一般步骤是:观察———发现———猜想———验证

例11、观察下列式子, 写出你发现的规律, 3×5=42-1, 5×7=62-1, …, 11×13=122-1, …, 将你猜到的规律用含字母m的式子表示为______.

4. 数学模型法解题策略

数学模型方法是借用数学模型来研究原型的功能特征及其内在规律, 并应用于实际问题的一种方法.它不仅是处理数学理论问题的一种经典方法, 而且是处理各种实际问题的一般数学方法.

解题一般步骤为:

(1) 阅读理解 (分析文字材料, 分清条件:结论, 把握数量关系) ;

(2) 建立模型 (化为数学问题, 运用数学语言, 建立数学模型) ;

(3) 求解模型 (运用思想方法, 利用知识技能, 获得最后结论) .

例12、某房产开发商在某住宅区内欲建造一个扇形的花坛, 花坛的边缘是用工程多余的水泥浇制而成的.

(1) 若经测算, 现有水泥只能浇制20米的花坛边缘, 为了不再增加投入, 同时又使花坛面积 (不考虑水泥边线的宽度) 最大, 则此扇形的圆心角应该没计为多少度? (保留一位小数)

(2) 若现有的水泥能浇制的扇形花坛的边长发生变化, 那么使花坛面积 (不考虑水泥边线的宽度) 最大时, 此扇形的圆心角是否会随着边长的变化而发生变化?

分析:本题是有实际背景的三角应用题, 解题的关键是根据条件建立函数模型求最大值.

由于涉及到扇形的面积, 所以没扇形面积公式中面积为S, 弧K为l, 半径为r, 同时设出题目要求的圆心角为a.

初中数学开放性问题的教学与实践 第5篇

【关键词】 开发性问题 初中数学 教学效率

【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 A 【文章编号】 1992-7711（2015）11-053-01

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前言

目前，创新意识已是教师和学生所应具有的意识了，只有教师拥有创新意识，教师才会对教学方法进行创新，从而能够有效地培养学生的创新意识，学生在学习的过程中，对问题进行独立思考，研究探索。而实践证明，在初中教师中引用开放性的问题教学可以培养学生这种创新意识。本文将对初中数学开放性问题的教学与实践进行分析和研究。

一、初中数学开放性问题教学的意义

在初中数学教学过程中，引用开放性问题教学实践，可以提升教师的自身素养和专业水平，教师要想能够有效的利用开放性问题教学，教师就要积极主动的学习，研究开放性问题教学的作用和意义，并能够与其他教师探讨出有效的教学方法，而教师在研究的过程中，就会提升自身的专业知识和综合素养，因而，开发性问题的教学实践对教师而言有着重要的作用。与此同时，教师合理的制定教学方案，也会使开发性问题教学引用到教学过程中。

开放性问题教学有助于激发每一个学生的思维能力，使每一个学生都能积极主动参与到研究问题的过程中，这种教学方法新颖独特，具有挑战性，它可以使每一个学生激发起自身的学习欲望，并能够使学生对问题积极的探讨交流，而开放性问题教学，也可以使学生提升自身的观察能力，学生通过对问题的全面观察，联想，从而多种思考角度去研究教学问题，从而得出答案，因此，开放性问题教学是发展学生思维的有效教学方法。

二、关于初中数学开放性问题的教学与实践

（一）明确教学理念与教学目标，尊重学生的主体地位

在数学教学教学过程中，教师只有及时的转变传统教学的观念，才能够明确教学理念和教学目标，并制定合理的教学方案，教师也要在教学过程中适当引导学生学习，让学生能够自主的对教学问题进行研究，从而使学生能够参与到课堂教学中，教师只有让学生成为课堂中主体，才能使学生在数学实践的过程中，不断对问题进行研究和分析，从而凭借自身的努力，找到解决方案，这样就可以让学生发现学习数学的乐趣，从而激发自身对数学的兴趣，并能在日后的学习中，与同学合作交流，组成自己的学习团队，教师也根据学生的学习特点，有效的开展数学开放性问题的教学实践。

（二）教师应为学生营造一个和谐民主的学习氛围

在采用开放性问题的教学过程中，教师要采用灵活的教学方法，从而活跃课堂氛围，只有教师调动学生的学习积极性，才能使课堂中的每一个学生都能够融入到教学过程中，这样学生就会为自身营造一个良好的学习氛围，并在学习的时候能够放松心情，开发自身的思维创造力。与此同时，教师要做到寓教于乐，使每一个学生都能够在课堂中大胆的发言，提出自己对问题的结论，因而，教师要在教学过程中，为学生建立和谐民主的学习氛围，而在此过程中，教师要与学生之间建立良好的师生关系，使学生感受到教师的亲切感，这样学生就会与教师成为朋友，并将自己的想法毫无保留的告诉教师，教师也要能够与学生之间互换角色，教师在教学时，要能够从学生的角度看待问题，教师要成为学生学习的辅助者和指导者，这样才能真正的实现良好的互动教学模式，从而使学生与教师之间心灵相通，教师也只有成为学生的良师益友，学生才会真正的融入到教师的教学过程中。

（三）采用启发性问题教学，激发学生内在的潜能

随着新课程的改革，教学方法也在不断的变化，自主合作探究的教学方法已成教学的主流，因而，教师只有充分的调动学生学习的积极性，才能有效的引发学生学习数学的兴趣，才能够激发学生的内在潜能。比如，教师可以通过设计教学环节，在教学过程中启发式、探究式的教学方法，引导学生主动参与到教学过程中。教师合理的设计使数学教学显得具有趣味性，从而激发学生的学习欲望，并积极主动参与到教学过程中，这时学生就能够在教学过程中培养自身的动手操作能力和思维能力，在研究问题时能够举一反三，学生只有参与到教学过程中，才能激发自身的内在的潜能。

（四）利用先进的教学工具，使数学教学更具有吸引力

在教学过程中，教师可以将先进的教学工具引进课堂，从而改变传统的数学教学课堂，只有这样才能改善数学教学课堂陈旧的模式，因此，教师可以利用多媒体教学，也可以进行数学实验教学，这样教师就激发学生的好奇心理，使学生通过这些教学工具产生学习的欲望，并使学生能够积极主动探索研究，这样教师也可以根据学生存在的差异性进行教学，从而改进课程进度，而这种开放性的问题教学，也使得先进的教学工具能够引用到教学过程中，只有这样，教师才能有效的提升课堂教学效率，并为国家培养出优秀的人才。

结束语

总而言之，在初中数学教学中采用开放性的教学实践是十分重要的，教师只有明确教学目标和教学理念，才能有效的将开放性问题教学引用到教学过程中，也只有这样，教师才能转变教学观念，对教学方法进行创新，从而使学生能积极主动的参与到教学过程中，并培养学生的思维能力和创造能力，从而为国家培养出全方面发展的人才。

[ 参 考 文 献 ]

[1]李丽娟.浅谈如何提高初中数学教学课堂效率[J].成功（教育），2013，（05）：67-89.

[2]张骥.从初中数学教学中谈创新思维的培养[J].才智，2015，（16）：56-98.

[3]李文兵.初中数学教学中反思法的巧用[J].才智，2013，（18）：23-45.

中考数学开放性问题 第6篇

关键词：新课程,初中数学,开放性,问题

一、“开放性问题”在初中数学教学中的运用

1. 把开放性问题答案得出的整个探究过程作为学生学习的重点。

“标准答案”是以前在设计问题时必须考虑的问题, 没有标准答案就认为没有标准尺度, 要求学生的答案和设计者的“标准答案”相同。而开放题的设计则要抛弃前面的“条条框框”, 着重于精心设计问题的探究过程, 要求问题设计应考虑到怎样运用数学思想方法, 采取怎样的解题策略和手段, 对问题作出怎样的变式和深化探究, 探究过程对解题者素质的提高有怎样的促进作用等。即开放性问题的设计着眼于解题的过程, 以过程中“能力”的培养作为出发点, 以过程中解题者素质的提高为根本目的。

2. 把开放性问题的引进作为学生研究性学习和创新意识培养的手段。

让学生懂得用现成的方法解决问题仅仅是学习的第一步, 学习的更高境界是学会学习——能发现新问题、提出新想法、提供解决问题的新方案。因此要有一种创新意识、创新思维和实践能力, 只有这样才能适应现代社会的需要。

例:一个唱片商店有60张唱片, 其中30张硬唱片1元2张;另外30张软唱片1元3张。一天, 这60张唱片卖完了, 总共获得25元。第二天, 老板又拿出60张这样的唱片, 他想:这30张是1元2张, 另外30张是1元3张, 何不放在一起, 2元卖5张呢?这一天60张唱片全按2元5张卖完了。可是老板算钱的时候才发现只卖了24元钱, 而不是25元。这1元钱到哪里去了呢?请你把它找出来。

用富有激情的语言来激发学生积极探索的信心, 调动他们思维的主动性和积极性, 培养学生敢想、敢说、敢创的精神。

3. 用开放性问题培养学生的创造性

和个性, 使不同的人在学习上得到不同的发展, 让他们在自主探究合作交流中收益。

要正视学生之间的差异性, 如接受能力的差异、思维能力的差异、操作能力的差异、表达能力的差异等, 不应追求强制性的统一。即每一个学生在学习过程中都应有一定的自主性, 采用开放性较强的、自由度较大的、能发挥其积极性和创造性的题型, 使每个学生在学习过程中能充分体现自己的优势和特长, 深刻体会到学习的意义和自身的价值。

例:有一道习题, 一部分文字是这样的:已知二次函数y=x2+bx+c的图像过点A (c, o) ……求证这个二次函数的图像关于直线x=2对称。 (其中省略号部分是一段被墨水染污了无法辨认的文字) (1) 根据有关信息, 你认为题中二次函数可能具有哪些性质? (2) 请你把这道题补充完整。

这道题开放性较强, 能充分张扬个性, 同时在交流中取长补短。

二、开放性问题的设计分析

1. 从传统的封闭型问题中设计开放性问题。

开放题常从原题型中改变命题结构和设问方式, 增强问题的探索性及解决问题的多角度性, 对命题赋予新的解释进而形成和发现新的问题。

2. 从实际的生活及相关的知识中设计开放性问题。

开放性问题的构建主要是两方面, 一是问题本身的开放而获得新问题, 二是问题解法的开放而获得新思路。根据“结构、关系、顺序”, 可以构建开放性问题。

例:为加强公民的节水意识, 某城市制定了以下用水收费标准, 每户每月用水未超过7m3时, 每立方米收费1.0元, 并加0.2元的城市污水处理费, 超过7m3的部分, 每立方米收费1.5元, 并加收0.4元的城市污水处理费, 设某户每月用水量为x (立方米) , 应交水费为y元。 (1) 分别写出用水未超过7m3和多于7m3时, y与x间的函数关系式; (2) 如果某单位共有用户50户, 某月共交水费541.6元, 且每户的用水量均未超过10m3, 求这个月用水未超过7m3的用户最多可能有多少用户?

让学生将实际问题转化为数学模型, 培养其发散性思维和逻辑思维能力。

总之, 开放性的数学问题是一种数学思维的载体, 是学生开展研究性学习十分重要的方面。作为数学的一种新题型, 它主要是相对于传统的、封闭式的题型而言的, 但不是说传统的题型不重要, 而是我们知道学习数学不只是能理解、能记忆, 更重要的是一种数学思维习惯的培养, 创新意识和创新能力的培养;是一种积极参与、独立思考和动手实践的兴趣培养。其目的是促进学生全面素质的提高。它是学好数学的源泉和力量, 是一种新的教育理念的具体体现。

参考文献

[1]朱敏成.关于开放式问题数学教学的思考[J]教学与管理.2001. (15)

[2]叶政、徐青红、徐竹芬.新课程改革与数学开放型题教学[J]宁波大学学报 (教育科学版) .2003. (02)

[3]崔宝法.对培养和发展数学创造性思维的几点思考[J]数学教学研究.2000. (03)

设计开放型问题,培养数学能力 第7篇

一、设计条件欠缺, 培养思维能力

新的课程标准要求我们在教学中以学生为主体, 发展学生的数学能力。为此, 我们要根据小学生的年龄特点、教学目标、认知结构等, 挖掘教材, 运用所学的知识和现有经验, 引导同学们去分析、探索解题的途径、手段。这些途径、手段可能是多样的, 也就是不同的解决问题的策略。所以在平时教学中, 我们应根据教材结构, 设计开放问题, 培养学生的思维能力。一方面, 可以给同学们提供条件不足的问题, 让他们在分析问题的同时学会捕捉欠缺的条件, 之后自己去搜集并给予解答。另一方面, 还要培养学生仔细审题, 抓住欠缺条件的实质, 从而培养学生严密的思维能力。

例如:在探索求三角形面积的方法时, 我在学生掌握基础知识之后, 设计一道条件欠缺的开放性问题:给班级每一位同学做一条底8分米、高3分米的红领巾, 至少需多少布料?给全校每一位学生都做一条, 至少需多少布料?这一下可热闹了, 同学们在下面窃窃私语。同学们在小组里讨论时, 都发现条件不足、缺少条件。此时我适当地引导学生, 要解决这一问题时, 还需知道“全班人数”, 同样在解答问题“给全校每一位学生都做一条, 至少需多少布料?”时, 同学们可以从多个角度、多层次去分析:可以通过全校男女生人数来求解, 也可以通过每班人数、每个年级人数或其他一些数据来解答。这样既有效地培养了学生收集、处理信息的能力, 又给同学们解决实际问题提供了真实的参考。

二、设计多余条件, 培养分析能力

在数学课堂教学中, 我们要根据教学内容、教学目标、小学生认知规律, 设计开放性的背景, 为同学们提供独立思考的机会, 给他们留有充分思考的余地, 让他们提出自己对问题的看法, 使不同层次的学生都能得到发展。为此, 我们要设计多余条件的开放问题, 充分激发学生的内在动机, 培养不同层次学生的分析问题能力, 努力发展学生的潜在能力。这样有助于学生理解开放问题, 有助于把握问题的开放度, 有利于学生分析问题能力的提高, 有利于课堂教学质量的提高, 使课堂更富有课改气息, 更富有挑战性, 也激活了同学们的思维。

例如:在一次应用题复习课上, 我设计了这样的开发性问题:我校课外兴趣小组书法组有36人, 美术组比书法组少8人, 航模组的人数是书法组的4倍, 书法组和美术组一共有多少人?同学们通过分析可知“航模组的人数是书法组的4倍”条件多余。因此, 在教学中, 引导同学们从众多的已知条件中“去伪存真”, 排除表面现象的干扰, 抓住问题的本质, 有效地解决问题, 能促进同学们思维深刻性的发展, 提高他们创造性地分析和解决问题的能力。

三、设计结论不唯一, 培养发散思维

所谓问题结论不唯一就是问题的结论开放, 答案不是唯一的, 或方案是多种多样的。小学生往往只满足于现状, 他们在解答问题时, 只要把答案找出来, 便往往不再进一步思考、分析、探索另外的解题方法或途径。所以, 在教学中, 我们要根据教材内容, 精心设计结论不唯一的开放问题, 创设培养学生学好数学的机会, 引导小学生结合有关条件, 从不同的层面, 多角度地对问题作全面分析, 正确判断, 得出结论, 培养学生善于探索、勇于创新的精神, 让学生形成基本的数学技能, 从而培养学生的发散思维, 增强他们的创新意识, 养成良好的创新习惯。

例如:在探索应用题教学时, 为了培养学生的发散思维能力, 我设计了这样的开放性问题:现有一批98吨物资, 大小卡车运往灾区, 已知大卡车每次运8吨, 小卡车每次运5吨, 如何安排大小卡车才能一次运完这批物资?

我引导同学们进行分析, 同学们很快意识到, 问题的结论是开放的, 答案也不是唯一的, 方案是多种多样的, 之后, 要求同学们分组讨论解决。我认为这种接近于生活实际的数学问题, 对培养学生发散思维是大有裨益的。

四、设计综合开放, 培养综合能力

新的课程教学理念认为, 学生是教学的主体, 我们要充分发挥学生的主观能动性, 培养他们的综合思维能力。我们在平时课堂教学中, 应从学生的学习生活和熟悉的事物中去挖掘素材, 引导学生去收集材料, 设计成多元的综合数学开放性问题, 从而开放学生的思路, 开放他们的思维;充分让学生动手、动脑、动口, 有力地发展学生的创新思维;不断培养其思维的积极性、敏捷性、开放性、创造性, 培养创新技能, 提高创新能力。

例如:在引导学生探索完平面图形知识以后, 为了加强综合思维训练, 我设计了这样的综合性开放问题:我校现有一块长80米, 宽60米的长方形空地, 现请你设计成一个花园, 其中要有菱形、方形、圆形等面积不等的花地、草坪。要求:1.图案要美观;2.所设计的花地、草坪、道路所占面积比例适中。此题一出, 同学们个个有话可说, 打破了人为训练的局限, 他们在小组里讨论的兴趣非常浓厚。这就培养了学生潜在的学习能力, 有力地发展了学生的综合思维能力、创新技能, 提高了学生的创新能力。

浅析高中数学开放式课堂建设问题 第8篇

一、开放式课堂的概念与原则

在国内外文献和相关实践资料的基础上, 结合高中阶段学生的发展特点, 本文提出“开放式课堂”的基本概念:以学生为主体、重点培养学生学习能力和学习情感为目的;以老师为主导, 重点发挥老师在课堂教学中的辅助性作用的教学模式。这种开放式教学模式实现了老师“讲授知识”为学生“主动探究问题”的角色变革, 有利于提升学生在学习活动中的主体作用, 有利于激发他们的学习兴趣和思维创新。

其需要遵循的原则有: (1) 要求以学生为主体。需要充分发挥学生在课堂上的能动性、独立性和创造性, 不断引导他们开展自主探究性的学习; (2) 要求教学内容贴近学生生活。需要学生注重日常生活的学习, 探索学习规律; (3) 要求教学过程老师和学生的互动合作。需要老师加强对学生发散思维的重点培养, 不断增强老师与学生之间的交流和互动, 以求增进师生感情; (4) 要求教学指导有所重点。需要因材施教, 注重学生的差异, 根据其差异在教学目标、内容和具体方法上进行有重点地指导。

二、构建高中数学开放式课堂的一些设想和建议

通过调研发现, 目前我国高中数学新课程实施中存在一些误区: (1) 在教学关系上处理欠妥。一些老师曲解了新课程强调师生互动学习的理念, 把尊重学生演变成无原则地吹捧学生, 甚至将公开课变成了“作秀”; (2) 在教学方法上同样存在问题。一些老师将学生的“自主学习”理解成学生想学什么就学什么, 想怎样学就怎样学的错误想法。可见, 如何适应新课改的需要, 构建高中数学开放式课堂无论对教师和学生而言都是一种挑战。

(一) 需要多种方式创设良好的教学情境

新课标中明确指出:“数学教育应从学生实际出发, 创设有助于学生自主学习的问题情境”。这就要求老师注重课堂导入, 将相对抽象的数学知识形象化和具体化。具体做法是通过多样化的形式, 设置具有探究价值的问题情境, 不断激发学生探究数学知识和奥秘的乐趣。从而为进一步的自主学习提供良好的开端。比如, 在进行“离散型随机变量”教学时, 可以通过实物演示 (掷硬币的随机试验) 进行教学, 实现寓教学于情境之中。

(二) 需要更灵活地应用开放式题的教学方式

需要加强以开放题为载体的数学开放式教学, 注重学生思维广阔性、灵活性、批判性、深刻性和创造性的培养。 (1) 促进学生成为数学问题的发现者。在课堂上, 老师要给学生足够独立的思考空间, 去善于发现问题提出质疑, 从而去探索研究。这样有利于提升他们的想象力, 养成良好的数学思维习惯。 (2) 要求学生成为数学问题的研究者。开放题教学本身就要求为学生创造相对自由的环境和空间展示自我。因为学生可以根据自己的想法去研究解题策略, 或者在与其他的同学合作争辩中寻求答案。 (3) 不断加强学法指导和合作精神的培养。新课标指出:“学生的学习活动是一个自主探索的合作交流的过程。”这就要求老师通过多种形式和活动不断打破以“问题提出”为起点, 以“问题解决”为终点的封闭式课堂模式, 不断构建和完善以“发现问题———探究问题———解决问题———应用问题———再发现问题”这样的开放式教学模式。

(三) 需要注重数学学科小组的讨论作用

需要打破传统教学模式, 将数学学科小组活动从课外走进课堂。 (1) 根据学生在学习能力、学习习惯、学习兴趣等方面的个体差异, 将他们合理分组, 以求每个学生都能在活动中各尽所能, 取长补短; (2) 要求老师勇于“放手”, 增强学生在课堂提问和答疑解惑等方面的活跃性, 形成“兵教兵”的良性互动; (3) 增加学科小组展示的机会。比如老师要鼓励学生将课前准备的数学发展历史和人文趣事等内容带到课堂进行汇报和讨论, 一方面增强他们的学习兴趣, 另一方面增强他们的团队合作精神。

三、结束语

综上所述, 高中数学实施开放式课堂建设, 不仅是我国实施素质教育的有效途径之一, 也丰富了高中数学知识的传递途径。这种强调以学生为主的教学模式, 有助于建立新型的师生关系, 是对高中数学“教与学”的实效性的实践探索。本文对高中数学新课程改革实施过程的误区进行调研, 提出了构建高中数学开放式课堂的一些设想和建议, 但是还有待于进一步地深入, 比如关于开放题的研究还不够透彻, 有待于进一步加强对开放式数学教学的实践。

摘要：本文在新课改的背景下, 结合高中阶段学生的发展特点, 提出了构建高中数学开放式课堂的一些设想和建议:需要多种方式创设良好的教学情境;需要更灵活地应用开放式题的教学方式;需要注重数学学科小组的讨论作用。

关键词：开放式课堂,高中数学,创新

参考文献

[1]刘伟.关于高中数学开放式教学模式的有益探索[J].中国校外教育.2012 (12) .

[2]曹晓晖.高中数学开放式教学的灵活性[J].教书育人.2012 (12) .

中考数学开放性问题 第9篇

1. 设计转化型数学问题,将概念具体化。

转化型数学问题能克服机械、模仿的学习弊端,诱发学生的学习兴趣,培养学生思维的灵活性。我教“最小公倍数”时,不是采取以前的知识呈现方法,而是将最小公倍数的基本概念,基本原理具体化,转化好学生可以操作的活动:人手一张日期表“1号爸爸上班,爸爸每隔一天休息一日,请在爸爸的休息日上涂上红色。”“1号2号妈妈上班,妈妈每隔两天休息一日,请在妈妈的休息日上涂上蓝色。”请问一个月哪几天是妈妈和爸爸同时在家休息的?(涂上红色和蓝色的日子就是两人同时在家的日子)“小明只有星期六是休息日,假设一号是星期一,请在小明的休息日上涂上紫色”,“请问哪几天是爸爸、妈妈和小明三个人都在家休息的?”通过这个饶有兴趣的操作,让学生像“小小数学家”那样发现规律,得出结论,这无疑比讲解定律、法则、例题示范、模仿练习的模式更有利于提高解决问题的能力和创新精神的培养。在现实的情境中理解数学,这正是《新课标》所需求的。

2. 设计联想型数学问题,思维多向化。

联想是由一事物想到另一事物,或由眼前的事物想到有关的其他事物的思考过程。在数学教学中,利用联想的方法有助于理解题中的数量关系,有利于沟通知识之间的相互关系,有利于提高综合的解题能力,如应用题中出现的“某班女生是男生人数的2/3”,我问:看到这句话,你想到了什么?学生结合自己已有的知识,进行了丰富的联想:生1:男生人数是单位“1”,女生人数对应分率是2/3,全班人数的对应分率是(1+2/3);生2:男生人数是3份,女生人数是2份,全班人数是5份;生3:女生人数比男生人数少1/3;生4:男生是女生的3/2;生5:男生比女生多1/2……

这道联想题的训练,已知和未知相结合,包含的知识容量和思维容量都很大,具有很高的训练价值,特别值得一提的是,它能积极促进学生创造性思维的发展,使思维更活跃多向,增强学生创新意识和能力的培养。

二、开放问题内容,变一为多

1. 设计“一题多解”型数学问题。

达尔文说过“最有价值的知识是关于方法的知识”,由此可见,方法是何等的重要?在具体数学教学中,一题多解是让学生掌握各种方法,提高解题能力、发展思维的好方法。我在教分数应用题给出以下问题“小明读一本150页的故事书,前2天读了全书的1/5,照这样计算,读完这本故事书需要几天?”请同学们根据自己已有的知识经验列出自己解法,学生经过交流讨论,发现了各种解题思路:分数法:2÷1/5;归一法:150÷(150×1/5÷2);倍比法2×[150÷(150×1/5)];方程法:解:设需X天,150÷X=150×1/5÷2……等上述多种解法,让学生体会到一个问题的解决不拘泥于一种方法。

2. 设计“一题多练”型数学问题。

一题多练,利于沟通知识联系,完善学生的认知结构,培养学生思维的流畅性和变通性。如学生学完“相差多少的应用题”后,我让学生自编开发区小学二(1)班有男生20人,女生12人,编一道男生和女生相差多少人的应用题。大胆放手,让学生编出条件相同而问题不同的5道相差多少的应用题。通过编题和问题不同的叙述方法,既加深他们认识这类应用题的结构特征,使学生的思维从求异中变通,从变通中开拓,为以后学习作好铺垫,起到承上启下的作用。

三、开放问题形式,变被动为主动

1. 设计层次问题,让学生自主选择。

在教完“稍复杂的分数应用题”后,我设计“冬冬看一本180页的故事书,已经看了5/9,______?问题(1)已经看了多少页?(2)还剩几分之几没有看?(3)还剩多少页没有看?(4)剩下的比已看的少几分之几?(5)剩下的比已看的少多少页?(6)已看的比剩下的多几分之几?(7)已看的比剩下的多多少页?要求学生根据自己学习的实际情况,选择自己会的问题列式计算,这样设计充分考虑到学生学习的差异性,满足不同层次学生的需要,使各类学生通过对所选问题的解答都能在原有基础上得到巩固、发展,这也是《新课标》的总目标———人人学有价值的数学;人人都能获得必需的数学;不同的人在数学上得到不同的发展。

2. 积极创设机会,让学生参与问题设计。

认知心理学表明,决定学生学习达成度的主要因素之一是学生参与学习活动机会的多少,积极创设机会,让学生参与数学问题设计,能诱发学生学习内驱力激发他们学习的热情和创造力,提高学习质量。我在教完“平面几何图形三角形、平形四边形、梯形的认识”后,为了让学生更加了解各图形的特征,鼓励学生自己设计一些问题并完成,结果学生思维大开:有的学生要设计一张表格,把相同点和不同点来分一分;有的学生要出几道填空题,再把图形特征来记一记;有的同学要出一些判断题,把图形的特征来议议;有的学生想画一张组合平面图,把所学平面图形来找一找……

真是千变万化,使学生的潜能得到了前所未有的开发,个性得到充分的发展,自主权得到充分的尊重,这既是《新课标》所倡导的,也是我们的教学所期盼的。由此,我想说,从理论到行为,从心动到行动,从封闭到开放其实也不远。开放的价值有多大,课堂教学的效果就有多大,《数学新课标》价值也就有多大!

摘要：数学开放性问题顺应数学课堂教学改革的需要应运而生,它被认为是最富有教育价值的一种数学问题的题型,是积极推进素质教育,培养学生创造能力的极佳切入口。本文探讨了如何设计“开放”型问题,开放问题题型、开放问题内容、开放问题形式,以期提升教学实效。

中考数学开放性问题 第10篇

关键词： 新课标 初中开放性问题 教学策略

近些年来，随着新课标理念的不断实施和普及，传统“单向灌输”的教学方式逐渐转为“理解、沟通和创新”。初中新教学大纲指出：“初中数学要从数学角度出发，培养学生对自然界数学现象的好奇心，教会学生独立思考能力，使学生具备不断追求新知识的能力。”中考试卷相应增加了许多开放性问题的命题。例如：若一个一元二次方程的两个根分别是Rt△ABC的两条直角边长，且S△ABC=3，请写出一个符合题意的一元二次方程。想答好此类问题，必须在平时教学过程中多方面渗透。

开放性问题教学引导学生发挥主观能动性，在教师与学生之间通过互动，使教学各方面实现最大化开放，激发学生潜在学习能力，引导学生充分发挥其创造性，从而提高课堂效率，使学生具备学习兴趣，思维更加开阔，得以更好地解决此类问题。

一、初中数学开放性问题的主要类型

传统数学问题具有明确的条件、唯一的结论，而开放性问题不但具有传统数学问题这些特征，还具有深刻的立意、新颖的背景，能够多角度、多层次引导学生解决问题。主要具有以下几个类型：

1.条件开放题。

条件开放题能够区分不同层次学生的能力，主要指解题的条件较为模糊。不具有唯一性，使解题呈现出多样性特征，给解题留有丰富的想象空间。通常来说，条件开放问题主要包括三种，例如：在什么情况下，m取值能够确保y=6（m-2）x+x+9这三种类型有：条件不足型、未知型、多余型。

2.策略开放题。

策略开放题能够考查学生的发散思维，在解答开放性题的时候，使学生对所学基础知识具有运用的能力，是由条件推出结论的途径，使其养成全方位思考问题的良好习惯。例如：在边长为2km的正方形四个顶点上，分别坐落着四个村庄。目前，这四个村庄要对设道路网，并且要求道路网的总长度不得大于5.5km，确保任意两村庄都能通车。

3.结论开放题。

主要包括结论不是唯一的，也并不是能知道的；另一种是对结论是不是存在进行探索，并且要证明结论存在与否。其次缺乏确定的结论，没有确定的结论是其显著特点，并且给出的条件不是结论的充分性条件。例如：用一条经过其顶点的直线，将已知某等腰三角形，分为两个等腰三角形，那么请问这两个等腰三角形各个角的度数是多少呢？

4.综合开放题。

不同层次和水平的学生具有不同的思维能力，因此，为了最大限度地激发学生参与解题，综合开放题使学生都有机会在能力范围中解决问题。例如：在直线y=x+3上，已知点（-1，a）和（，b）是比较a，b的大小，这道题有的学生用本函数的递增性就得到了a、b的大小，不必求出两者的值；有的学生需要求出a、b的值，来比较其大小。

二、新课标视角下初中开放性问题教学策略的实施

1.运用主体策略，使学生处于自主学习状态中。

在教学过程中，主体策略能够针对问题进行分析、求解和论证，教师成了学生解决问题的引导者，而学生不再处于被动接受状态中，而是处于自主状态中，运用主体策略恰恰体现了开放性问题教学的特点。开放性问题教学是培养学生分析、解决问题的一种训练模式，并不是训练学生的固定解题模式，并且开放性问题教学能够培养学生的创新思维与能力。那么在教学过程中可以采用哪些措施呢？首先，为了使学生主动参与教学，教师要引发学生自主解答的兴趣，从已有经验出发，将问题引入课堂教学中。同时，为了很好地呈现出题目，教师要采用各种形式为学生创建轻松的学习氛围，例如：动感图形、多媒体画面等；其次，为了打破教师控制传统课堂教学过程的局面，教师要围学生自由讨论留足时间，让学生有充足的时间进行独立思索；另外，在开放性问题教学过程中，教师要采用班级式交流同教讲结合的方式，选取有效的教学组织形式，采用个别式、小组式学习，鼓励学生勇于解决问题，让学生处于积极探索中。

2.运用渗透策略，确保学生能掌握和运用所学知识。

渗透策略指选择开放性问题时，为了确保学生熟练掌握所学知识，将同教材的知识点进行有机结合，在例题讲解、作业布置过程中，将开放性问题引入教学中，确保学生灵活运用所学知识。这是由于开放型问题的题材具有广泛的背景范围，不够充分的条件，并且方法具有多元性、难度较高，思维发散空间比较大等因素造成的。在解题过程中，学生经常不知道从哪里开始。因此，为了确保问题涉及的方法同学生实际水平相接近，在教学过程中，选择的开放性问题需要具备针对性。正是因为如此而产生渗透策略。并且设计问题的时候，教师要改造教材中的一些封闭例题、习题，例如：“求解等腰三角形两底角的平分线相等”时，教师可以将其改造为开放性问题，隐去题目结论：等腰△ABC中，两底角平分线AB=AC，BD、CE，并相交于P，那么有关图形的大小、形状和关系如何呢？请尽可能给出更多的结果。

3.运用变式教学策略，唤起学生的求知欲望。

变式教学策略能实现一题多用、多题重组的目标，可以唤起学生的求知欲望，使学生维持主动学习热情，增强学生持续新鲜感。在培养学生抽象性思维的时候，使他们了解本质属性，教师可以经过无关特征的变式，向他们展示一些感性材料，并且还可以结合生活、生产实际。例如：学习“平行四边形”概念的时候，教师可以利用学生较熟悉的物件，举出一般平行四边形的例子（衣服图案、形状等），同时教师也要对各个例子的属性进行分化，还可以举出菱形、矩形、正方形等例子，并对其本质属性进行抽象和归纳，从而得出：平行四边形的对边同夹角、边长变化没有关系，“两组对边分别平行”。如此一来，学生不但可以精准认识菱形、矩形和正方形，还可以精准把握平行四边形的概念范围，了解图形最基本的特征，从而为以后学习打下基础。

新课标背景下的课堂教学中，教师根据学生的思维特点，通过开放性问题的设计，充分调动学生自主参与学习活动的积极性，激发学生思维。并且通过教师不断地引导，充分激发学生学习兴趣，对培养学生全面发展具有现实意义。

参考文献

点击中考数学“最优化”问题 第11篇

一、利用不等式或不等式组的解

例1 (2010年成都市) 随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展, 汽车已越来越多地进入普通家庭, 成为居民消费新的增长点.据某市交通部门统计, 2007年底全市汽车拥有量为150万辆, 而截止到2009年底, 全市的汽车拥有量已达216万辆.

(1) 求2007年底至2009年底该市汽车拥有量的年平均增长率;

(2) 为保护城市环境, 缓解汽车拥堵状况, 该市交通部门拟控制汽车总量, 要求到2011年底全市汽车拥有量不超过231.96万辆;另据估计, 从2010年初起, 该市此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%.假定每年新增汽车数量相同, 请你计算出该市每年新增汽车数量最多不能超过多少万辆.

解 (1) 设该市汽车拥有量的年平均增长率为x.

根据题意, 得150 (1+x) 2=216,

解得x1=0.2=20%, x2=-2.2 (不合题意, 舍去) .

答:该市汽车拥有量的年平均增长率为20%.

(2) 设全市每年新增汽车数量为y万辆, 则2010年底全市的汽车拥有量为216×90%+y (万辆) , 2011年底全市的汽车拥有量为 (216×90%+y) ×90%+y (万辆) .根据题意得

(216×90%+y) ×90%+y≤231.96,

解得y≤30.

答:该市每年新增汽车数量最多不能超过30万辆.

二、利用一次函数的增减性

例2 (2010年南宁市) 2010年1月1日, 全球第三大自贸区——中国——东盟自由贸易区正式成立, 标志着该贸易区开始步入“零关税”时代.广西某民营边贸公司要把240吨白砂糖运往东盟某国的A、B两地, 现用大、小两种货车共20辆, 恰好能一次性装完这批白砂糖.已知这两种货车的载重量分别为15吨/辆和10吨/辆, 运往A地的运费为:大车630元/辆, 小车420元/辆;运往B地的运费为:大车750元/辆, 小车550元/辆.

(1) 求这两种货车各用多少辆?

(2) 如果安排10辆货车前往A地, 某余货车前往B地, 且运往A地的白砂糖不少于115吨.请你设计出使总运费最少的货车调配方案, 并求出最少总运费.

解 (1) 设大车用x辆, 小车用y辆.依据题意, 得

∴大车用8辆, 小车用12辆.

(2) 设总运费为W元, 调往A地的大车a辆, 小车 (10-a) 辆;调往B地的大车 (8-a) 辆, 小车 (a+2) 辆.则W=630a+420 (10-a) +750 (8-a) +550 (a+2) ,

即W=10a+113000 (0≤a≤8, a为整数) .

∵15a+10 (10-a) ≥115, ∴a≥3.

又∵W随a的增大而增大,

∴当a=3时, W最小.

当a=3时, W=10×3+11300=11330.

因此, 应安排3辆大车和7辆小车前往A地;安排5辆大车和5辆小车前往B地.最少总运费为11330元.

三、利用二次函数的最值

例3 (2009年济宁市) 某体育用品商店购进一批滑板, 每件进价为100元, 售价为130元, 每星期可卖出80件.商家决定降价促销, 根据市场调查, 每降价5元, 每星期可多卖出20件.

(1) 求商家降价前每星期的销售利润为多少元?

(2) 降价后, 商家要使每星期的销售利润最大, 应将售价定为多少元?最大销售利润是多少?

解 (1) (130-100) ×80=2400 (元) .

(2) 设应将售价定为x元, 则销售利润

当x=125时, y有最大值2500.

∴应将售价定为125元, 最大销售利润是2500元.

四、利用垂线段最短定理

例4 (2010年西宁市) 今年年初西南五省的持续干旱, 让许多网友感同身受、焦灼不安, 更有不少网友自发组成水源行动小组到旱区找水.工夫不负有心人, 终于有人在山洞C里发现了暗河 (如图) .经勘察, 在山洞的西面有一条南北走向的公路连接着A, B两村庄, 山洞C位于A村庄南偏东30°方向, 且位于B村庄南偏东60°方向.为方便A, B两村庄的村民取水, 社会爱心人士准备尽快从山洞C处向公路AB紧急修建一条最近的简易公路CD.现已知A, B两村庄相距6千米.

(1) 求这条最近的简易公路CD的长 (保留3个有效数字) ;

(2) 每修建1千米的简易公路需费用16000元, 请求出修建该简易公路的最低费用 (精确到个位) . (本题参考数据:

解如图, 过C作CD⊥AB于D, CD为最近的简易公路.