极限范文

极限范文（精选12篇）

极限 第1篇

垫场赛战况简介

首先开始的照例是垫场赛,WEC的水平向来不低,垫场赛同样也卧虎藏龙,一些选手名气并不大,但实力却是实实在在的。垫场赛战果:初登WEC的巴朗第3回合2分29秒十字固制服莱昂(Anthony Leone);接着,同样初次于WEC登场的克里斯(Chris Cariaso)3回合一致判定击败哈斐尔(Rafael Rebello);迭戈(Diego Nunes)经过3回合激战后非一致判定击败巴西同胞阿松桑;美国小将埃里克(Erik Koch)仅用了3分钟便以一记三角绞制服降重而来的法国选手卡西米尔(Bendy Casimir),年轻的埃里克前途光明;前IFL羽量级冠军法比亚诺(Wagnney Fabiano)在去年比赛失利后选择降重,到了雏量级后法比亚诺表现不错,此战面对年轻好手戈麦斯(Frank Gomez),法比亚诺牢牢掌控着比赛的节奏,3回合过后一致判定击败了对手,给戈麦斯好好地上了一课;亚美尼亚小将卡伦(Karen Darabedyan)在MMA之外颇为引人注目,在进MMA之前他有着12战全胜的业余拳击战绩,现在身兼柔道、空手道及跆拳道三条黑带,但是本场比赛他却被对手科尔(Will Kerr)抓住机会,在第1回合1分20秒被一记十字固制服,第2次倒在同一招之下,陷入连败的不利局面,卡伦如果想证明自己,那么他得拿出更有说服力的表现了。6场垫场赛打完后,主赛正式开始。

初代冠军显神威

埃迪·瓦恩兰(Eddie Wineland)是WEC首任雏量级冠军,卫冕失败后打了两场名气并不大的赛事,直到去年重返WEC。此站埃迪的对手是墨西哥裔年轻选手威尔·坎普萨诺(Will Campuzano),经验更丰富的埃迪直接被看高一线。比赛开始后埃迪积极地大范围移动,企图把威尔带进自己的节奏中,出拳时机的把握更是显示出了埃迪的老辣。威尔也不甘示弱,用低扫加以反击,强劲的低扫一度给埃迪造成了不小的麻烦。但埃迪可不是省油的灯,他看准威尔踢出一记低扫的同时一拳将对方打得重心失衡跌倒在地,好在威尔反应够快急忙站了起来,避免进一步陷入劣势中。第2回合,威尔比之前更加积极抢攻,但他的拳头都被埃迪或闪或挡化解掉,并没能造成真正的威胁,他最有效的进攻手段还是低扫。埃迪倒是不焦不躁,没有盲目硬拼。终于,埃迪的冷静收到了回报,他突进几拳将威尔打得一阵恍惚,威尔脚步虚浮地靠向笼边,埃迪抓紧机会冲上前去,拳头雨点般落向下位的威尔,威尔在非常不利的情况依然没有放弃,顶着埃迪凶狠的拳头翻转身体,成功站起身来,在笼边几拳逼退埃迪,算是暂时摆脱不利的局面。遭到重创后的威尔孤注一掷般地用大开大合的攻击企图逆转比赛,但此时的他已奈何不得埃迪,埃迪将威尔逼到铁笼边,一顿快拳狂轰威尔。此时的威尔大势已去,埃迪随后一拳重击威尔腹部,强撑至此的威尔颓然倒地,埃迪再补上一拳的同时裁判冲过来终止比赛,埃迪第2回合KO胜出。埃迪赢得干脆利落,这记身体击打后来获选为当晚最佳KO。

加拿大小将完胜

接下来是一场轻量级的对决,WEC与UFC一样,同样设有轻量级,而UFC由于选手多比赛有限,因此WEC的轻量级成为了下放该级别选手的一个好去处。WEC的轻量级水平目前无法与UFC相比,但

却是UFC轻量级选手资源的有力候补,表现出色的选手将会被提拔进入UFC,对于选手来说届时将会是拳酬与名气的全面提升。丹尼·唐斯(Danny Dowrnes)是美国立式自由搏击名将杰夫·罗夫斯(Jeff Roufus)的弟子,进入MMA以来6战全胜,其中5场TKO,攻击力强悍,此战是他进入WEC的首场比赛。而另一名选手克里斯·霍罗德茨基(Chris Horodecki)虽然年纪轻轻但比赛经验丰富,是名有潜力的选手。比赛开始阶段简短的试探过后,克里斯将丹尼挤到笼边,抱住丹尼右腿一阵角力后成功将对方扭倒在地,地战中的丹尼翻转身体摆脱克里斯企图站起身来,但克里斯抢先一步锁住丹尼头部,迅速完成一记断头台,丹尼刚坐起来就被这记断头台拉倒在地。被断头台锁住的丹尼并没有放弃,而是坚持了下来,晃动身体最终摆脱了克里斯双脚的控制马上要站起身,但是克里斯却将丹尼顶在笼边,连续膝击骚扰后再次成功将对方扭倒在笼边。在地战中克里斯牢牢压制着丹尼,顺势转换至背乘位完成一记裸绞,但丹尼顽强坚持了下来,并通过移动及转体破坏了克里斯这记绝杀。第2回合一开始,双方就在站立状态下展开交锋,虽然丹尼身材上更有优势,但是克里斯的速度及力量弥补了身材上的不足,拳头多次命中对手,同时控制住距离躲避丹尼的反击,其间还用上了极有观赏性的转身后踢。丹尼则是没有占到任何便宜,对他而言形势极为不利。第3回合双方一上来就火力全开,拳脚互拼,各有得点,而克里斯随后抓住机会抱腰扭倒丹尼,地战中的丹尼企图翻身逃出控制,但却给了克里斯占据背乘位的机会,成功占到优势位置的克里斯再次部署出一记裸绞,这回丹尼已没有足够的体能坚持下去,无奈下只能拍垫认输,克里斯于第3回合成功制服对手,终结了丹尼的不败记录。克里斯在这场比赛中的表现相当出色,相信以后的WEC中他必定能稳占一席之地。

惊艳的“断头台”

接着出场的两位选手同样看点颇多,21岁的小将乔希(Josh Grispi)进入WEC以来三战三胜,

其中更有着断头台绞杀一代名将普尔菲(Jens Pulver)的精彩表现。而对手戴维斯(LC Davis)曾参战过IFL、“磨砺”(Affliction)“战极”等赛事,经验相当丰富,进入WEC以来同样三战三胜,单从战绩上看这是一场势均力敌的较量。比赛开始后双方先是保守地试探观察,乔希控制住距离用扫腿施压,而戴维斯则用拳法反击,但双方并没有贸然前进,一接触就马上分开,打得小心翼翼。之后的戴维斯突然爆发,下潜抱住乔希将他重重摔倒在地,但也就在倒地的同时乔希早已抢先一步锁住了戴维斯的头部,双腿快速缠住戴维斯身体,形成了一记封闭断头台,戴维斯使尽浑身解数依然无法摆脱,坚持了10秒后被绞得失去知觉,裁判见戴维斯的手无力下垂后第一时间终止了比赛,小将乔希第1回合2分33秒绞晕对手获得了比赛的胜利。这记断头台部署极快,等戴维斯反应过来为时已晚,迅即被绞晕,获选为当晚最佳降伏;乔希通过此战也顺利挤入WEC一线集团,相信他在以后会有更出色的表现。

加拿大悍将对决

加拿大的打击系好手伊夫·雅布安(Yves Jabouin)对上了以快拳著称的马克(Mark Hominick)。伊夫有着接近80%的惊人KO率,而马克曾在加拿大MMA赛事TKO中以打击技加冕冠军,这场比赛是两位相同风格选手的强强对话。比赛开始后双方不做过多试探,拳腿互拼,伊夫的拳腿胜在力量充足,而马克则强在速度快组合性强,快节奏的攻防让人眼花缭乱,双方出色的拳脚功底让这场比赛颇有些立技赛事的味道。在对攻中马克更精准的拳法占得了上风,虽然不足以一锤定音KO对手,但累积性的伤害也是不容小视的。尹夫虽然能用重拳重腿反击马克,但是在落点不如对手的情况下,比赛节奏已经渐渐落入了马克的掌控之中。第2回合,双方继续快节奏的立技攻防,点数上落后的伊夫加大了组合攻击的力度,但是依然无法在落点上超过马克的优势,步步陷于被动。马克在之后一拳击中伊夫面门,趁着对方一阵失神连续几拳将伊夫逼退到笼边,一阵快拳狂攻伊夫头部,但伊夫咬牙坚持了下来,爬起来试图反击,但反击不成功反而被马克继续压制在笼边。马克在笼边稳稳压制着对手,却冷不防被伊夫的一记右重拳打得整个人向后跌倒在地上!伊夫快速压上地面拳狠打下位的马克,但被马克双腿形成的guard有效控制住。伊夫小看了地战中guard的作用,在双腿的控制下马克发力挺身掀翻伊夫,反占骑乘位,一阵地面拳狂轰,打得下位的伊夫防线全面崩溃,裁判见状第一时间上前拉开马克,比赛结束。这场比赛节奏极快,最后时刻一波三折,整场比赛无一冷场,赢得了全场观众的欢呼,之后当之无愧地获选为当晚最佳比赛。

颇具争议的平局

最后一场便是当晚的压轴之战了,由伊朗裔选手卡迈勒·萨洛鲁斯(Kamal Shalorus)对上前WEC轻量级冠军杰米·瓦尔纳(Jamie Varner)。杰米实力硬朗,上场比赛遭遇逆转痛失冠军,此战必定全力以赴;而对手卡迈勒虽然只能算是MMA新人,但7战6胜的表现也算得上是不俗,而更让人想不到的是他曾在欧洲ADCC资格赛中击败过北欧名将汉森(Joachim Hansen),可以说有着过硬的功底。这里有个小插曲,卡迈勒的官方资料上显示他已经37岁了,但据他本人的说法他的实际年龄只有29岁上下,他还年轻着,当然这个说法是真是假很难考证了。比赛开始后双方都冷静地观察对手,不轻易出击,双方频率并不高的快拳重腿都展现出了充足的力量。杰米在比赛中展现出了冠军级人物应有的成熟,出击的时机把握得相当好,在拳法命中质量上要高过卡迈勒,一度把卡迈勒逼得手忙脚乱。他出色的移动也限制住了卡迈勒,使卡迈勒的摔跤功夫无法发挥,卡迈勒在这种节奏下只能用重拳低扫向对手施压,强大的力量也让杰米颇为忌惮。第2回合,双方保持着第1回合的紧凑节奏,低扫依然是卡迈勒的有效手段,但卡迈勒在这回合连续两次踢裆,这种严重的意外使比赛暂停了好一会,卡迈勒也因此被扣去一分作为惩罚。杰米休息了一阵后比赛重新开始,卡迈勒加强了进攻力度,重低扫对状态受到影响的杰米造成了很大的威胁,但杰米也在卡迈勒进攻的空当抓住机会险些将对方击倒,这种顽强的作风引起了全场观众的欢呼。最后一回合,卡迈勒在开始阶段再次因低扫而意外踢裆,虽然他并非有意,但这一意外再次引起了观众的嘘声。待杰米休息完毕后比赛再次开始,状态大受影响的杰米用大范围的移动去限制卡迈勒的强攻,但卡迈勒抓住机会抱腿将杰米扭倒在地,地战中卡迈勒拳打下位的杰米,而杰米用紧箍战术限制卡迈勒的进一步动作,双方在地面展开了激烈的攻防。杰米坚守着最后一道防线并在笼边找到机会将卡迈勒掀翻,成功逃脱卡迈勒的地面控制。最终,3回合比赛过后,杰米与卡迈勒各赢得一个29比27的判定,另一个判定28比28打平,_因此双方1比1平局收场,结果一出,立时引得满场嘘声。在笔者看来,这场比赛卡迈勒展现出了出色的力量与抗打能力,但论起战术素养等则是杰米更为出色,在拳法落点上要强过对手,而且在3次踢裆的前提下卡迈勒不该有一个获胜的判定,这是个有争议的平局。

极限 第2篇

两个重要极限

分布图示

★ 夹逼准则

★ 例1 ★ 例4 ★ 例7 ★ 例10 ★ 例12 ★ 例15 ★ 例18 1★ lim1e

xnx★ 单调有界准则

sinx★ lim1

x0x

★ 例2 ★ 例5 ★ 例8 ★ 例11 ★ 例13 ★ 例16

★ 例3 ★ 例6 ★ 例9 ★ 例14 ★ 例17

★ 例19 ★ 例20

★ 例21 ★ 例24

★ 例22 ★ 例23 ★ 例25 ★ 柯西极限存在准则 ★ 连续复利（例26）★ 内容小结

★ 课堂练习★习题 1-8

内容要点

一、准则I（夹逼准则）：如果数列xn,yn及zn满足下列条件:（1）ynxnzn(n1,2,3,);

（2）limyna,limzna，nn那末数列xn的极限存在, 且limxna.n注：利用夹逼准则求极限，关键是构造出yn与zn, 并且yn与zn的极限相同且容易求.二、准则II（单调有界准则）：单调有界数列必有极限.三、两个重要极限：

sinx11.lim1；

2．lim1e.xx0xx

四、连续复利

设初始本金为p(元), 年利率为r, 按复利付息, 若一年分m次付息, 则第n年末的本利和为

rsnp1mmnx

如果利息按连续复利计算, 即计算复利的次数m趋于无穷大时, t年末的本利和可按如下公式计算

rsplim1mmmtpert 若要t年末的本利和为s, 则初始本金psert.例题选讲

夹逼准则的应用

111.例1(E01)求 lim222nn2nnn1解

nnn21n121nn2nn12

又limnnnn2limn111n1,limnnn12limn1112n1，由夹逼定理得

1111.lim2nn22n2nn1

nn1/n例2 求 lim(123).n解 1nnn由(123)2131,易见对任意自然数n,有 3321113，33nnn1nn1故31n1213133n.33n1nn1而lim31nn3,1lim33nn3,所以

1nnn23)nlim(121lim313.n33n1nn

例3 求 lim解

设xn111.22nn2(n1)(nn)111.显然，n2(n1)2(nn)2n1111111n1x2 n22222224n(2n)(2n)(2n)nnnn又limn1n10,lim0,由夹逼准则知limxn0，n4n2nn2n1110.即lim22nn2(n1)(nn)

an(a0).例4 求 limnn!aaaaanaaaacac解 ，([a]2)([a]3)nn!123([a]1)([a]2)nnaaaancaanca,因此0,而lim0.其中c0,所以limnn!nn123([a]1)n!n

n!.nnnn!123n12nnnn!222解 由n2,易见0n2.又lim20.nnnnnnnnnnnnnnn!所以 lim20.nn 例5(E02)求 lim例6(E03)求极限limcosx.x0xx2x2解 因为01cosx2sin,故由准则I,得 22222lim(1cosx)0, 即 limcosx1

x0x0

例7 求 limnn.n解

令nn1rn(rn0),则

n(1rn)n1nrn2n(n1)2n(n1)2.rnrnnrn(n1),因此 , 0rnn12!2!由于limn20,所以limrn0.故limnnlim(1rn)1limrn1.nnnnn1

例8 求证limna1(a0).解

(1)n当a1时, n11,故limnalim11.nn(2)

当a1时,设xnna,显然xn1.当na时,xnnann.由例3知limnn1,所以

nnlimna1(a1).(3)

当0a1时，总存在一个正数b(b1),使得a1/b,由(2)知limnb1,所以

nnlimnalimnn1111, blimnb1n综合上述证明可知

limna1(a0).n

例9 求极限 limx.x0x1111解

当x0时, 1，因此，当x0时, 1xx1

xxxx11x0x1,1xx由夹逼定理可得lim当时，有x1 x0x11x1,limx由夹逼定理可得lim从而1.x0x0xx

例10(E04)设有数列x113,x23x1,,xn3xn1,,求

limx.nn证

显然xn1xn,{xn}是单调递增的.下面利用数学归纳法证明{xn}有界.因为x133,假定xk3,则xk13xk333.所以{xn}是有界的.从而limxnA存在.n222由递推关系xn13xn,得xn13xn,故limxn1lim(3xn),即A3A，nn解得A113113113,A.(舍去).所以limxnn222

例11 设 a0为常数, 数列xn由下列定义:

xn1ax(n1,2,)n12xn1其中x0为大于零的常数, 求limxn.n解

先证明数列xn的极限的存在性.1a22222xnxn1xn由xn即x(xx)xaxa.a,n1nn1nn12xn1由a0,x00,知xn0,因此xna,即xn有下界.又xn11a11a1,故数列xn单调递减，由极限存在准则知limxn存在.122nxn2xn22xn

1a1aAA不妨设limxnA,对式子xn两边取极限得:x.n1n2A2xn1解之得Aa,即limxna.n

tanx.x0xtanxsinx1sinx11.解 limlimlimlimx0xx0xx0x0cosxxcosx 例12(E05)求 lim例13 求 limtan3x.x0sin5xsin3x31tan3xsin3x1133解 limlim3xlim1.5x5co3x0sin5xx0sinsx155xco3sxx0sin55x

例14(E06)求 lim1cosx.2x0x2xxxsin2sinsin221121.21lim21lim解

原式limx02x0x2x0x222x2222

例15

下列运算过程是否正确：

limtanxtanxxtanxxlim.limlim1.xxsinxxxxsinxxxxxxsinxtanxx1,1,本题x,所以不能应用上述xsinx解

这种运算是错误的.当x0时,方法进行计算.正确的作法如下：

令xt,则xt;当x时, t0,于是

tanxtan(t)tanttanttlimlimlimlim1.xsinxt0sin(t)t0sintt0tsint

例16

计算 lim解 lim cosxcos3x.2x0xcosxcos3x2sin2xsinx4sin2xsinx4.limlim22x0x0x02xxxxx2例17 计算 lim.x01xsinxcosxx2(1xsinxcosx)1xsinxcosx)lim解 lim limx0x01xsin1cosxxsinxx01xsinxcosxxcosx2xx2x2114.1132

xsin2x.x0xsin2xsin2xsin2x112xsin2xxlim2x121.解 limlimx0xsin2xx0sin2xx0sin2x123112x2x 例18(E07)计算 lim1例19(E08)

求 lim1nnn3.11nn1解 lim1nnn3lim1n1n311lim11e1e.nnnn3

1/x例20(E09)

求 lim(12x).x0解 1lim(12x)xx01lim(12x)2xx02e2.k例21(E10)求lim1.xxxxkkkkkk解 lim1lim1lim1e.xxxxxxxkkx1特别地，当k1时，有lim1e1.xx

3x例22(E11)求 lim.x2x3x解 limx2x2xxx2211lim1 lim1xxx2x2x24112lim11e.xx2x2222x2x x2.例23 求 limxx21xxx211lim解 lim12lim12xx21xxx1x1xxx21x12e01.x1/x例24 计算 lim(ex).x01(ex解 limx01x)x1lim(ex)x1x0exxxelim1xx0exe1xxex2eee.

tan2x.例25 求极限 lim(tanx)x/4解

令ttanx1,则tanxt1,当x4时,t0,又

tan2x2(t1)2tanx12(t1) 22tt21tanx1(t1)12(t1)lim(1t)tt2t012(t1)lim[(1t)t]t2t0故lim(tanx)tan2xx1[lim(1t)t]t0limt02(t1)t2e1.连续复利

例26(E12)

小孩出生之后，父母拿出P元作为初始投资，希望到孩子20岁生日时增长到100000元，如果投资按8%连续复利，计算初始投资应该是多少？

解 利用公式SPe，求P.现有方程

rt100000Pe0.0820

由此得到

e

P1000001.620189.65

于是，父母现在必须存储20189.65元，到孩子20岁生日时才能增长到100000元.计算现值可以理解成从未来值返回到现值的指数衰退.一般地，t年后金额S的现值P, 可以通过解下列关于P的方程得到

SPekt，P

PktPe.ekt课堂练习

1.求极限 limtanxsinx.x0x2sinx2.求极限lim

极限 第3篇

1月15日，由黄渤、孙红雷、黄磊、罗志祥、王迅、张艺兴等大牌明星主演的《极限挑战之皇家宝藏（2016）》在全国首映，影片一经上映，即引发收视热潮，当天票房实现3099.4万元，截至19日票房累计8610万。该电影全部采用腾冲实地名拍摄，剧中，“云南腾冲”字样多次出现，腾冲深厚的历史人文、优美的自然风光即刻吸引了大批旅游粉丝。“云南腾冲唯美的景色让我迫不及待的想飞奔那里！”刚看完电影的网友“睡神小狮子快回来”发微博时更是直言不讳对腾冲的向往。

从“明星”效应来说，很明显——明星“火”了腾冲。就腾冲而言，腾冲“火”了《极限挑战》亦然有理有据。

腾冲位于祖国西南边陲，与缅甸山水相连，素有“极边第一城”美誉。腾冲历史人文厚重，生态环境优越，自然风光绮丽，境内有中国规模最大、保存也最完整的抗战时期正面战场阵亡将士纪念陵园——国殇墓园、中国魅力名镇之首——和顺古镇、国家级5A景区——火山热海等人文自然旅游胜地。近年来，腾冲相继被评为“中国最美宜居宜业宜游名县”“2014年中国最具旅游价值城市”“2014胡润榜全球优选生态旅游目的地”。

而在腾冲拍摄的影视剧，无论是《我的团长我的团》，还是《中国远征军》，还是《武侠》等等都获得了高收视率。“在我心目当中，腾冲有那么一个称号，叫做——中国最美的外景地，”《极限挑战之皇家宝藏（2016）》导演严敏毫不隐晦对腾冲的赞美。

利用极限等价函数替换求函数极限 第4篇

定义1 若函数f (x) 和g (x) 满足以下条件:

undefined

则称f (x) 与g (x) 是当x→Δ时极限等价的, 记为f (x) ≈g (x) (x→Δ) , (其中x→Δ表示自变量的某种变化趋势) .

根据等价无穷小的定义, 若f (x) 与g (x) 是当x→Δ时等价无穷小, 则f (x) 与g (x) 是当x→Δ时极限等价的

性质1 (1) 如果当x→Δ时, f (x) 不为零,

则f (x) ≈f (x) (x→Δ) .

(2) 若f (x) ≈g (x) (x→Δ) ,

则g (x) ≈f (x) (x→Δ) ;

(3) 若f (x) ≈g (x) (x→Δ) , g (x) ≈h (x) (x→Δ) ,

则f (x) ≈h (x) (x→Δ) ;

(4) 若undefined, 且A≠0,

则f (x) ≈A (x→Δ) ;

(5) 若f (x) ≈g (x) ≈h (x) (x→Δ) ,

则Af (x) +Bg (x) ≈Ch (x) +Dg (x) (x→Δ) ,

其中A+B=C+D≠0.

证明 (1) ～ (4) 显然成立.

(5) 首先证明当x→Δ时Ch (x) +Dg (x) 不等于零.

假设当x→Δ时Ch (x) +Dg (x) 有等于零的点, 则存在数列{xn}, 使得当n→∞时, xn→Δ, 且对于∀n, Ch (xn) +Dg (xn) =0.由于C+D≠0, 则C, D中至少有一个数不为零, 不妨设C不为零.从而对于∀n有undefined, 再由于g (x) ≈h (x) (x→Δ) , 即undefined, 从而undefined, 显然与C+D≠0矛盾.从而当x→Δ时Ch (x) +Dg (x) 不等于零.

再由于undefined

从而Af (x) +Bg (x) ≈Ch (x) +Dg (x) (x→Δ) .

定理1 若f1 (x) ≈f2 (x) (x→Δ) ,

g1 (x) ≈g2 (x) (x→Δ) 且undefined,

则undefined也存在, 且undefined

undefined

由于等价无穷小必是极限等价的, 因此以上结论对等价无穷小也是成立的.

例1 求undefined

解 由于x≈sinx (x→0) , 根据性质1 (5) , 可知,

x-3sinx≈x-3x (x→0) ,

即x-3sinx≈-2x (x→0) .

又 由于tanx≈x (x→0) , 根据定理1,

可知undefined

由以上求解过程, 可知由x替换sinx是合理的.

定理2 若f (x) ≈g (x) (x→Δ) , 当x→Δ时, 复合函数h[f (x) ]和h[g (x) ]有定义, h (u) 是有界变差函数, 且存在一正常数M使得|h[g (x) ]|≥M和|g (x) |≥M, 那么h[f (x) ]≈h[g (x) ] (x→Δ)

证明 首先证明undefined

由于h (u) 是有界变差函数, 则存在一正常数H, 使得|h[f (x) -h[g (x) ]]|≤H|f (x) -g (x) |,

从而undefined

再由f (x) ≈g (x) (x→Δ) 可得

undefined

即h[f (x) ]≈h[g (x) ] (x→Δ) .

例2 求undefined

解 令f (x) =x+sinx+2, g (x) =x+2, h (u) =lnu,

则x+sinx+2≈x+2 (x→∞) ,

再由于lnu是有界变差函数, 当x→+∞时,

|ln (x+2) |≥1, |x+2|≥1.

从而由定理2得ln (x+sinx+2) ≈ln (x+2) (x→+∞) ,

上例所求极限虽然是型不定式, 但不符合罗比达法则所要求的条件, 从而无法用罗比达法则求解.

本文中所提出的极限等价函数是对等价无穷小概念的推广, 不要求两个函数极限都存在且趋于零, 而只要求两个函数有相同的变化趋势, 从而在求某些非无穷小量比值的极限时任可以考虑用替换函数的方法.

摘要：本文通过引入极限等价函数的定义, 借鉴利用等价无穷小替换求极限的方法, 给出了利用极限等价函数求极限的方法, 从而推广了利用等价无穷小求极限的方法.

关键词：极限,等价无穷小,极限等价函数

参考文献

[1]谢克藻.高等数学简明教程.北京:科学出版社, 2008.

拓展项目：时速极限 第5篇

项目意义：体验细节决定成败，学会只有在遵守规章制度的前提下才能真正追求发展和成绩。

我们的项目规则在工作中， 其实指的是我们的服务、管理和工作流程;

1、在1-5轮的比赛过程中，不同队员有机会担当项目总监的职责，对每轮不同规则的传达与策划，充分锻炼应对新问题的解决能力与团队沟通能力;

2、游戏过程中对规则、细节与执行的把握，密切影响我们的品牌和服务质量;每个小组的竞争就好像我们与其他同行品牌之间的竞争，我们需要做到不断超越，追求卓越;

3、该项目通过追求速度和有效成绩之间的矛盾体现了快速发展和规章制度之间的关系，让队员明白为了发展，为了成绩而忽略了服务质量及规章制度，那么就相当于汽车只有加速器而没有刹车器。

4、p d c a在整个质量管理循环体系中，我们用的怎么样，我们每一轮的比赛结果是否都比上一轮的成绩有所提升，是否做到及时沟通，总结分享，从失误中汲取经验，寻找方法。

通信增长无“极限” 第6篇

本文以通信消费理论分析为突破口，结合中国通信业的发展轨迹，指出了实现“无限”增长的道路，最后尝试性展望中国通信市场的增长空间。

通信消费：增长无终点

先做一个简单的消费者试验。在京城的一个饭店里，觥筹交错之间，席间多位通信业内人士开始了一个问答游戏，主旨是讨论通信消费需求的特征。

问题1：您愿意回到没有通讯工具，同时也没有任何通信消费的时代吗？

答案是：虽然有助于节约资金，但我无法想象时空阻隔，与人沟通隔绝的生存方式。

问题2：如果立即降低电信资费标准，您会显著降低您的通信消费吗？

答案是：不会，我肯定会提高通信消费量，甚至可能进一步提高通信消费支出，要看我的收入水平和支付能力。

问题3：如果您使用了宽带和3G，还会因为费用标准等因素回到窄代和2G吗？

答案是：当然不可能，我将无法忍受速度和服务种类单一的局限，与费用问题无关。

如果将上述问题延伸到社会各界，估计也会得到类似的答案。由此，我们可以总结出通信消费的三大特征：

1. 现代社会人类生活的基本必需品，人际沟通的必需工具；

2. 消费水平具有不可逆性，虽然具有一定的价格弹性，但主要与收入水平和沟通需要相关；

3. 消费需求具有层次性和渐进性，在预算不受限制的前提下对新技术和新业务的吸纳能力极强。

考察各国通信市场的发展历史，可以得出结论：通信消费的三大特征不因地域不同而改变，这就成为我们分析产业发展阶段的基本前提。

具体到中国通信市场，很多业内外人士认为，20世纪90年代中期以后的十年期间，国内电信用户的爆发式增长具有不可思议、不可复制的中国特色。即前期增长主要依靠供给能力扩张所带动的“抑制性需求”，属于补涨性质；而后期的增长主要依靠政府和企业的市场培育策略所推动的“潜在性需求”，属于预付性质。在这种特定的市场环境之下，国内通信消费除具备三大特征以外，还增加了两个特性，即“消费示范效应”和“消费分散效应”。

所谓“示范效应”，指某类通信业务消费的先行者的亲身体验对于其周边人群的带动作用，使业务的扩张速度超过消费者的现实需求和部分支付能力。移动通信业务和宽带互联网业务是两个典型例子：在中国各类大中小城市，人群聚居地区通信业务消费水平和结构基本趋同，属于典型的示范效应。

所谓“消费分散效应”，指某个通信用户将其业务消费分散于若干企业之间，以取得最佳的性价比组合。这个特点与中国通信市场的分业竞争格局有关，由于受到经营范围限制，没有任何一家通信运营商能够提供完全的通信解决方案。而通信消费具有层次性和渐进性的特征，因此合理的选择是将全部通信消费分散于各个企业的不同网络之间，享受不同费用标准、服务质量的组合。一个极端的例子是，在今日中国的一个中小城市，某一家庭月通信消费只有300元左右，但可能会支付给5-6家电信企业：150元支付给2家移动电话公司，50元支付给固定电话公司，60元支付给宽带/窄代网络服务提供商，40元支付给经营无线市话业务的电话公司。

哪些因素会引起通信消费需求的变化呢？表1对引致变化的因素进行了归类分析。

表1近似描述了个人通信消费需求的变化特点，可见内因仍然是决定性的因素。随着工业化和城市化的加速，社会结构快速变化，人们的社会属性大大增加，工作生活节奏空前加快，跨越时空阻隔与人沟通的愿望日趋强烈，因此个人通信消费需求的主观动因一直在加强；与此同时，经济发展水平的进步带来了个人可支配收入的提高，个人消费水平的绝对能力不断改善，这些内部因素在推动通信消费的持续增长。就外因而言，人员流动加速、技术创新加快以及企业竞争的激化使得居民面对的外部刺激因素不断增加，所以通信消费能力和范围也在继续扩大。

当然，通信消费不仅限于个人、家庭之间，政府、企业、社会团体等机构之间更加需要信息传递和沟通。这种集团消费的主要特点是：价格弹性极低；优先要求通信服务质量；消费规模与经营业务范围和地域相关；消费结构趋于高级化，非话音业务比重较大；具有较高的连续性风险，包括企业法人破产以及改变服务供应商等。总体而言，社会经济的良性发展是集团通信消费的有力保障，和平时代其消费特征具有明显的不可逆性。

通信供给：创新有止境

资金技术密集是通信业的典型特征，巨额资本投入和持续的技术革命引领通信业不断迈入新的时代。当前时代通信技术革命的主流是光通信和IP技术，3G时代就在眼前，NGN若隐若现。

理论上分析，通信业的实际增长必须通过供给能力提高和服务产出扩大来实现。哪些因素会影响通信业的长期供给能力呢？首先是投入性要素，比如资金、场所、物质材料以及人才等，这些因素与其他制造行业并无不同；其次是资源性要素，比如码号、频率、域名地址、卫星轨道等，属于数量有限、稀缺的因素；最后是决定上述要素组合方式和效率的技术和制度因素。这些因素之中，只有第三类因素是人类可以控制的，第一二类因素均涉及到竞争或者短缺的制约。

从实践来看，通信业的历次大规模发展均首先归因于技术革命的推动。在投入要素和资源要素能够相对保障的前提下，技术进步将显著扩大通信业的业务供给和服务保障能力。以长途骨干传输容量为例，短短5年间，光纤通信和DWDM技术广泛运用已经使得系统容量提升上百倍。再看互联网接入能力，xDSL、FTTX+LAN以及WLAN等宽带接入技术的推广，将用户家庭接入骨干网的能力提高了上千倍。在某种程度上，通信业新技术研发的主要方向就是如何提高带宽、速率并且节约资源，因此通信技术革命就是一种资源节约型的革命。

当然，无论技术革命如何超前，要提供现实的通信服务，必须存在安全可靠的物理网络。这表明，通信技术对物质资源的替代作用具有一定的限制。此外，通信技术本身也需要投入资金、人才等物质要素，而这些要素是短缺的、竞争性的资源，需要与其他产业共同分享。因此，技术创新和技术革命虽然没有止境，但创新本身也会受到物质资源制约。

微观而论，建设、运营一个通信网络必需一个企业来运作，在企业掌握有限资源的前提下，技术创新对物质资源的替代作用更加有限，因此供给能力的提升也会受到时间和资源的限制。

增长道路：突破供给约束的“极限”

在世界电信业陷入增长停滞阶段，我们来分析通信增长可能存在的“极限”问题，却得出一个有趣的结论：通信业供给能力超过需求的增长停滞只是现阶段的短暂现象；长远而言，是供给能力的短缺为通信业的持续增长设置了障碍。

还需要对上述结论进行条分缕析，以便澄清可能产生的误解：

1.就个体消费者和集团消费者的需求而言，通信消费遵循不可逆的递增规律，但消费水平和结构受到内外因多种因素的影响；

2.通信业务供求对比状况短期和长期差异巨大：供大于求是短期的市场特征；而供不应求是长期的一般规律；

3.现阶段出现供大于求的市场状况的原因来自于消费能力增长缓慢、投资规模过度扩张以及技术创新飞速提高等多重因素，预计这种状况将会随着新的消费热点形成而逐步缓解，由此带动各国电信市场步出低谷；

4.在通信产业发展的不同阶段，可能出现需求明显不足的“拐点”。其原因在于技术革命是划分产业阶段的主要依据，而通信消费的层次性、渐进性和示范效应决定了消费者吸纳能力的高低差异，所以出现增长停滞的现象。

明白了上述原理，就可以推断通信业未来的正确发展道路：增长是可以持续的，消费需求滞后能够通过牵引来克服；突破供给能力约束有利于长期增长，但不可依赖规模扩张的外延式发展道路，必须借助技术创新的内涵式增长，否则无法产生培育引导需求的可持续发展效果。

案例分析： 中国通信市场的增长潜力

让我们运用本文观点来展望一下中国通信业的增长前景。截止2003年11月，中国通信市场的总规模已经达到固定电话用户2.59亿户、移动电话用户2.63亿户，全国固定电话普及率已经达到20.32部/百人，移动电话普及率已经达到19.49部/百人（数据来源：信息产业部2003年11月《行业统计公报》）。

从用户发展的空间来看，中国通信市场是否存在增长的“极限”呢？部分专家认为，根据国外经验，65-70%是一个不可超越的电话普及率界限，而中国目前的电话普及率已经达到接近40%，因此未来只有25-30%的普及率提高空间。以目前人口规模计算，最大的增幅可能是4亿左右。由于目前国内通信市场每年净增用户大约1亿户左右，所以再过4-5年，即2008年前后中国通信市场将出现饱和情况，通信用户将停止增长。

应当感谢具有忧患意识的专业人士缜密的逻辑思维和演算过程，判断的基本思路合理，但由于关键假设和参考坐标的问题，上述结论可能会误导大众。首先，需要纠正普及率的计算方式，根据本文的研究思路，在考虑通信增长的极限时，应当主要基于自然人来测算电话普及率。目前，我国通信行业统计公报所公布的普及率数据是业务普及率的概念，没有剔除重叠计算的部分以及非自然人部分，重新调整后的口径是基于自然人的电话普及率（包含不重叠的固定电话和移动电话个人用户）是30%左右；其次，65-70%只是一个参考的数值，在不同国家具有较大的差异，比如固定移动电话业务替代性较大的国家，上述数值偏高；第三，未来几年的人口规模也会发生变化；第四，目前的电话用户增长速度今后几年将继续放缓。

根据上述修正因素，我们可以得出如下初步结论：中国通信市场的外延式扩张（电话用户数提高）还会持续8-10年，但未来几年的增长速度将下降到年均5000－6000万户左右。其后，用户价值提高将会成为内涵式增长道路的主要特征。

极限数值演示 第7篇

下面是该程序的编写和改进过程。

打开VB,建立一个标准的EXE工程,在Form1上放置两个标签Label1和Label2,分别显示n和的值,再放置一个Command1用来编写计算代码。

先定义了一个双精度的全程变量n,并赋初始值n=1,n选择双精度而非长整型,是为了n的取值能够足够大(最大到1.79769313486232E308,更大溢出)。代码如下。

1 直接计算

让n的值成倍增大(成倍增大,而非按自然数增大,是为了加快演示速度),计算并显示该值,写入下列代码。

该过程结构极其简单,每次n增加一倍,起初运算速度和演示效果均可以,但当n大于2的53次方时,浮点运算1+1/n=1,即在浮点运算中,大数1“吃”掉了小数1/n,从而导致计算结果失败。为此,做下面的改进。

2 展开计算

为了避免在计算中出现大数“吃”小数的情况,将展开成:

上式右边有n+1项,第i项等于第i-1项乘(n-i+1)/i乘1/n,其中i=2,3,…,n,为此引入两个中间变量a、b,将算法修改为:

该过程不会因为运算误差造成结果错误,但当n较大时,循环造成海量运算,导致计算结果难产。几乎无法演示,为此,做以下改进。

3 优化计算

分析一下的展开式:

它由n+1项相加,从第3项开始,后一项小于前一项,当n很大时,靠后的项趋于0,当该项小到计算机所能表示的最小值(VB中最小正数为4.94065645841247 E-324,再小则为0)时,计算机将其计为0,随后的项将全部被计为0,此时可以跳出循环,减少运算量,为此,在循环中加一判断,优化为:

'第i项为0,后面项不再相加,跳出循环。

现在运行很流畅了,不断点击command1,可以很直观地看到,随着n的不断增大,的结果单调递增靠近常数2.71828182845905……,这个数就是e的常数。

4结语

这个程序的编制,经历了建立模型、修改模型、编制算法、优化算法的过程,对学习编程有一定的参考意义。

摘要：介绍了VB编写程序演示limn→∞(1+1/n)n的数值变化过程,分析了理论计算与实际计算的差异,并提出了解决方法;比较完整地反映了数学建模、修改模型、编制算法、优化算法的过程。

关键词：直接计算,展开计算,优化计算

参考文献

[1]盛祥耀.高等数学.北京:高等教育出版社,2003.

速度的极限 第8篇

在实际中, 这种情况不会出现。一是因为经典力学只适合慢速运动的物体, 对于接近光速的运动不能准确描述, 光速是普通物体的一个极限, 要以光速运动, 物体的形态会改变。而在真实世界里, 物体运动的速度极限往往取决于阻力。

在我们骑车的时候, 即使在顺风的情况下, 骑车的速度都很难突破40公里每小时。速度越快, 空气阻力就会变得越来越大, 最后和你蹬车的力量平衡, 因此速度就会在某一个极限——比如40以下徘徊。正是因为我们本身的速度太快, 产生了更大的阻力, 从而妨碍了速度的进一步提高。

“木秀于林, 风必摧之”, 讲得就是这个道理。树的高度是有限制的, 越高的树, 越容易被风吹倒。因此我们所能够看到的树是有一定高度限制的。

彼得原理——“在一个等级制度中, 每个职工趋向于上升到他所不能胜任的地位”, 讲的也是这个意思。而限制你进一步上升的原因, 就是你自身所到达的高度。

巴别塔肯定是造不出来的, 并非由于上帝的阻挠, 而是因为:塔建得越高, 自身的重量越重, 最后压垮基础和支撑结构, 使得塔倒塌。即使在没有重—全球品牌网—力的环境里, 也不能无限制延长结构的高度, 因为高度越高, 由于高度本身的原因, 使得这个结构本身不稳定, 最后在外界微小的扰动下, 系统崩溃。

企业也是如此。当企业越来越大, 创新能力就会下降;过多层级和所形成的官僚机制, 使得整个机构效率降低;所以通用电器这样的“巨无霸”企业也不能什么都做, 只能恪守“数一数二”的原则, 保留优势产业, 才能在竞争中生存。

历史上的帝国也是一样的。罗马由于快速扩张和物质生活的过于领先 (奢华) , 使得管理和控制能力减弱, 军队战斗力下降, 在北部野蛮人的入侵下瓦解。成吉思汗差不多犯了类似的毛病:快速地扩张, 又快速地回到原点——发家的蒙古草原上。

中国历史的“周期率”也大抵如此, 都是因为一个朝代的发展, 奢极而衰。富的人越富, 做官的人益加贪腐;而老百姓穷的越穷, 苦的越苦。导致整个社会失衡, 通过暴力的方式重新组合, 重新进行利益分配。这也是一个朝代, 由于自身的发展而到达自己寿命的极限。

家族传承也是如此, 所谓“富不过三代”讲得是同样的道理。家族的竞争力丧失或者减弱, 恰恰是因为“富裕”造成的, 使得后代丧失了斗志, 没有了勤奋和努力的动因。那些出身贫寒、从最底层冒上来的人们, 有的是野心和动力。

我们个人又何尝不是如此。我们的事业、我们的官阶、我们的财富, 都是遵守类似于“彼得原理”的规律。而往往阻碍我们进一步向上的, 恰恰就是我们引以自豪的“速度”——广义的速度:事业的发达程度、官阶的高低、财富的多少。

以我们的事业为例, 当我们的事业越来越成功的时候, 就会招致越来越多新的对手——中国这样的例子太多了:携程、阿里巴巴、腾讯等等;过去的对手也会更加卖力和你竞争, 对于威胁到他们的核心利益之处, 会更加努力地保护。即使你打败了以上所有的新老对手, 还是会碰上政府的反垄断, 最后终会将你限制在一定范围内。即使对于亲生儿子的电信企业, 政府还将他们一分为三呢。

而原因就是因为你太大了, 大了就会招“妒”, 大了就会遭遇更大的阻力, 从而限制了你的事业进一步做大。自然界的规律, 无一不在我们人类社会中得到体现和验证 (道法自然) 。所以我们当有敬畏之心, 即使不去敬畏那些人格化的上帝, 也要敬畏那个物化的上帝——自然规律。

超越自己挑战极限 第9篇

开幕式结束不久, 比赛开始了。瞧!径赛场上, 随着裁判的一声令下, 百米赛跑的选手们一个个如脱兔般飞离起点, 利箭似的直刺终点, 引得在场的观众热血沸腾, 为运动健儿鼓掌、呐喊。竞赛中的健儿们也不断地鞭策着自己, 你追着我, 我赶着你, 眼睛紧紧地盯住终点线, 拉锯似的向前冲去。他们似乎怀着同一个理念:超越自己, 挑战极限!

1500米和3000米赛跑是最考验选手体力和毅力的项目, 它虽不如短跑那样令人兴奋, 但它更需要顽强的毅力。在比赛中, 选手不仅要面临体力上的考验, 更要克服心理的恐惧。一位高一女同学, 在赛跑中, 因体力不支而步伐紊乱, 结果狠狠地摔倒在跑道上, 手被划破了好几道口子, 膝盖上鲜血直流。当服务人员和班里的同学劝她离场治疗时, 她却只让同学们给她作了简单的包扎处理, 咬着牙继续向前跑去。她和参加这个项目的其他同学一样, 参加体育运动, 锻炼意志, 发扬体育竞技精神。

田赛场上, 运动员们摩拳擦掌, 跃跃欲试。参加跳远和跳高项目的运动员为了得到更好的成绩, 全力拼搏, 尝试着跨越一个个新的高度。这种自我挑战的竞技精神既是同学们的精神财富, 也是他们将来能走得更高更远的奠基石。参加铅球和标枪项目的运动员也毫不示弱, 每一次投掷, 都是他们激情的展现。值得庆贺的是, 2015级计算机1班的吴欣悦同学在标枪竞赛中, 奋力一掷, 成绩破了校记录。

数列极限解法探讨 第10篇

1. 用泰勒公式或麦克劳林公式求数列极限

在计算数列极限时, 用归结原则把数列的极限转化为函数的极限再利用泰勒公式或麦克劳林展开式代替某些函数, 可以在求极限以前化简表达式, 从而给极限的计算带来便利. 需要强调的是, 展开式的项数的确定要考虑到分子与分母的无穷小的阶数, 化简表达式时要注意无穷小的计算.

2. 利用柯西收敛准则求数列极限

柯西收敛准则是判别数列收敛的一个重要条件, 当递推数列的单调性不易判断或者无法确定时, 可以考虑使用柯西收敛准则. 柯西收敛准则的好处在于不必依赖于极限定义中的那个极限值, 只要根据数列本身的特征就可以鉴别其 ( 收) 敛 ( 发) 散性.

由柯西收敛准则知数列 { an} 收敛. 令对两边取极限得, 由于xn≥1, 故. 即求得

3. 利用级数法求数列极限

对于一个给定的数列{ xn} , 由于, 故总能构造出一个以xn为部分和的级数故数列{ xn} 与级数有相同的敛散性. 因此我们可以将数列极限存在性问题化为相应级数的收敛性问题来处理.

例3设ε∈ ( 0, 1) , x0= a, xn +1= a + εsinxn ( n = 0, 1, 2, …) . 证明存在, 且ξ为方程x - εsinx = a的唯一根. ( 2010年第二届全国大学生数学竞赛 ( 数学类) 预赛试题的第一大题) .

唯一性. 设η也是x - εsinx = a的根, 则ξ - η =εsinξ - sinη≤εξ - η , 所以由ε∈ ( 0, 1) , 可得ξ = η, 即ξ为方程x - εsinx = a的唯一根.

归纳小结: 对于文章中这道竞赛试题而言还有一个问题需要注意: 那就是题目条件所给的ε, 这里的ε是一个介于0, 1之间的一个常数, 很多同学却把它误认为是数列极限“ε - N”语言中的那个任意小的正数“ε”, 犯了形而上学的错误, 从而掉进出题者设下的陷阱里.

4. 利用压缩映像原理 ( 不动点原理) 求数列极限

可见, 一般地, 求递推数列的极限, 通常是用单调有界定理来解决. 但很多递推数列有界但并不是单调的, 因此在这种情况之下可考虑用不动点原理、压缩数列来解决递推数列的极限问题.

5. 利用矩阵求解一类数列的极限

有多种方法可求由常系数线性递推公式所确定的数列的极限, 矩阵解法即是其一. 下面结合具体实例展示这种解法. 若递推公式分别形如:

对于 ( 2) , 若x0已知, 我们有两种办法处理:

整理得yn= ( a + d) yn -1+ ( bc - ad) yn -2, 再由 ( 1) 可以求解.

方法2. 设与关系式对应的矩阵为) 由关系式逐次递推, 有, 其对应的矩阵为) , 利用数学归纳法易证得B = An, 通过计算An可求出xn的表达式, 并进一步求出

例5令α为 (0, 1) 内一个数. 证明: 满足递推公式xn +1= αxn+ (1 - α) xn -1的任何实数序列{ xn} 有一个极限, 并求出以α, x0及x1表示的极限.

矩阵A的特征值λ1= 1, λ2= α - 1, 对应的特征向量分别为ξ1= (1, 1) T, ξ2= (α - 1, 1) T.

参考文献

[1]顾庆荷.证明数列极限存在的六种方法[J].邢台师范高专学报, 1998 (2) :73-75.

[2]郑允利.求数列极限的方法探讨[J].高等函授学报 (自然科学版) , 2010 (6) :68-69.

[3]P.德苏泽, J.席尔瓦著.包雪松, 林应举译.伯克利数学问题集[M].北京:科学出版社, 2003.

预言的极限 第11篇

1968年4月，一些外交家、企业家、学者和民间人士来到罗马的一栋私人别墅内悄悄地开了几天会议，会上他们讨论了粮食、人口、石油、资源、环境等等与地球有关的问题。最后，在意大利汽车企业家奥雷里奥·佩切伊的提议下，一个关注全球性问题的组织——罗马俱乐部成立了。成立伊始，罗马俱乐部就将自己定义为一个关注全球性问题的智囊式研究机构。

长期以来，对世界弊病的敏感和对人类发展的隐忧已经被各种悲观主义未来学派的学者们阐述得淋漓尽致。从19世纪英国人马尔萨斯的《人口论》开始，到1967年美国人保罗·埃利希的盛世危言“本世纪70和80年代将有成千上万的人因饥饿致死”，罗马俱乐部的成员们希望找到一些更详细确实的材料和更科学的分析方式来支撑他们的预言。

在1970年罗马俱乐部年会上，麻省理工学院教授福雷斯特说，他可以在短时间里设计出一个符合俱乐部要求的世界模型来探索成员们对未来的隐忧。经过17位青年科学家21个月的努力，由福雷斯特的学生领导的项目小组向罗马俱乐部提交了一个题为《增长的极限》的报告，并于1972年发表，以大量的数据和图表翔实地证明了传统的经济发展模式不但使人类与自然处于尖锐的矛盾之中，并将使人类持续不断地受到自然的报复。

巧合的是，在《增长的极限》发表的第二年，由于阿拉伯国家对石油的刻意封锁，几乎所有的工业化国家都遭遇了 “石油危机”，由此产生的工业生产负增长，让普通人第一次切身体会到不是因为战争，而仅仅是因为经济增长引起资源稀缺对社会生活产生的消极影响，这使得西方社会弥漫着对未来悲观失望的气氛。《增长的极限》仿若一語成谶的圣贤“福音书”从小范围的学术界关注中传播出去，被翻译成30多种語言，在全球传播3000多万本。

但并非人人都对此深信不疑。

1981年，美国经济学家朱利安·林肯·西蒙发表《没有极限的增长》抨击了罗马俱乐部研究问题的方法。他认为，用技术分析的方法预测未来，往往与历史的实际进展相差甚远，事实上“资源的前景是乐观的，地球资源是无限的”。更有甚者，有人认为罗马俱乐部是一群正在试图打破美国经济神话、谋划推翻美国政府的“心怀不轨的人”。

但实际上，在《增长的极限》里，罗马俱乐部就清楚地表明态度：“不要盲目地反对进步，但是反对盲目的进步。”而在另一个声誉斐然的报告《私有制的极限》的序言里，罗马俱乐部更是大声疾呼：“谨防极端。”

《增长的极限》作者丹尼斯·米都斯说：“千万不要把社会发展的终结与所谓的‘世界末日’联系在一起。人类已经存活了20000代……我们这代人同样可以存活下去，但是恐怕社会发展将遭遇严峻的考验。”自成立以来，罗马俱乐部发布的33个报告仅仅是为了让人类对未来发展保持清醒的头脑，“通过风险评估对可能到来的灾难与考验找出切实可行的方案”。

在罗马俱乐部的官方网站上，他们照例对未来发出预言：“2052年的世界将比今天更加安全和自由。人类拥有机会、工具、科技和敏锐的洞察力来克服危机，进入一个更美好的社会。”当然，“我们是否能变成这样，将取决于我们每一个人”。

素数极限问题探讨 第12篇

1. 素数的算法

算法1: 根据素数的定义,判定某个自然数n是否为素数,只需用2到n - 1去除n,如果都除不尽则n是素数,否则只要其中有一个数能整除则n不是素数. 这种根据定义计算素数需要执行n - 2次除法,计算量大,当分析计算较大自然数的素数时耗时长.

优化算法2: 很显然,当因数大于自然数n的一半,即n /2时,只剩1个因数n可以整除n,故在判定自然数n是否为素数只需计算2 ~ n/2范围内有无因数即可,计算工作量较算法1减少一半.

优化算法3: 若n能分解成因数i×j( i,j是大于2,小于n的整数) ,则i、j取值范围为: 大于等于2而小于等于n /2,因数i、j所组成的数列中按大小顺序排列二者具有关系i×j= n,如图1所示. 数列的中心位置为,故从2计算到是否有因数存在即可判断出n是否为素数,而从到 n /2 实际上是重复计算. 这种算法较算法2计算量减少2,当 n较大,例如为1亿时,计算量仅为算法2的1 /5000,计算量大幅减少.

优化算法4: 在计算机编程计算时可进一步优化计算工作量. 首先,自然数n的末位数为偶数或5时则该数可以被2或5整除,故该自然数一定不是素数. 在编程时可以只对末位数为除5以外的奇数进行素数判断,进一步减少需要进行素数判断的自然数. 其次,在算法3中因数i取值范围,末位数为偶数或5的因数进行i×j = n的运算结果必然是末位数为偶数或5的自然数n,故对于需要进行判断的末位数为除5以外的奇数自然数n而言末位数为偶数或5的因数i一定不是自然数n的因数. 在自然数n与因数i的整除运算判断素数是因数i的实际运算范围可以确定为中末位数为除5以外的奇数,这样可以进一步减少计算机运算工作量.

通过上述分析对比可见经过3步优化后计算量大幅度减少,且当计算的自然数n越大时,其算法的优越性更加明显. 例如在计算出1亿 ~ 2亿之间的自然数n的所有素数时,算法1的整除运算量为1016次,而算法4的整除运算量为1. 6×1011次,提高效率6. 2×104倍.

2. 计算结果分析

由于个人PC机性能及时间因素限制,只分析计算到自然数21亿以内的素数. 经过约半年时间运算得到的21亿以内最大的素数是2099999999,并对21亿以内的素数数量变化趋势进行分析.

首先,看一下自然数1亿到21亿之间素数数量变化规律. 图2显示了自然数每增加1亿,这一亿自然数之间对应的素数个数. 显然素数个数随着自然数的增加、因数相应增加,素数在每一亿自然数区间内个数减少,即自然数每增加1亿,在这新增加的1亿自然数中所包含的素数个数是在递减的( 图2) ,因此有了文章一开始的疑问: 随着自然数增大素数个数会减少,是否在自然数大于某个数后,素数个数增加值为零呢? 也就是说素数似乎应该有个尾?

其次,再来看一下随着自然数的增加对应的素数总数增量关系. 在图2的线性坐标系中显示的素数个数在每一亿自然数区间非线性减少,具有渐近X轴趋势,似乎是一种无限接近而又不能到达X轴,因此在双对数坐标系中查看二者关系有什么变化趋势. 图3显示了素数总数 - 自然数在双对数坐标系中非线性变化关系: 自然数每增加一个数量级( 10倍) ,小于这个自然数的所有素数总个数也增加若干倍,但素数增加倍数小于10( 表1) ,且二者呈非线性关系增加( 图3) ,由于二者关系曲线在Y = X曲线下方,显然素数增加的速度小于自然数,而且曲线呈下凸特征,没有渐近水平趋势,即素数总个数没有趋于某一上限趋势,也就是说素数总数将会随着自然数增加而无限增加下去. 表1中自然数按10倍比例关系继续增加下去可以构成一组比例为10的等比正项级数数列. 随着自然数的10倍关系增加素数总个数呈大于6倍的比例关系增加,而且随着自然数的增加,素数增加的倍数也在增大,且有渐近10的趋势( 表1) ,当然其增加的比例关系上限不可能超过自然数增加的倍数10,即图3中素数曲线有接近Y = X曲线趋势但不会超越.

差值素数倍数大10倍而增加的倍数素数总数随自然数扩最大素数值素数总个数最大自然数

3. 结 论

通过上述分析可知,由自然数和素数的总个数可组成自然数、素数两个数列,即表1中的自然数、素数个数项所组成的数列,自然数数列以10倍的关系无限增加下去,相应的素数总个数所组成的数列呈大于6倍的关系相应的增加下去,根据达朗贝尔正项级数比值审敛判别法可知: 由自然数、素数的个数所构成的2个正项级数都是发散的. 故素数将随着自然数的增加而不断的增多,即素数没有尽头.

此次利用计算机算出的约1亿个素数中最大一个素数是2099999999.

摘要：随着自然数的不断增大,素数的个数也在不断增多,而素数的不断增加导致因数数目的不断扩大,这是否意味着自然数、因数增加到一定程度后所有的自然数都能够被1和自身以外的因数分解而没有新的素数了呢?借助计算机对自然数中所蕴涵的素数进行计算、统计分析,其规律显示素数个数将随着自然数的增大而增加下去,素数是没有尾的.此次借助计算机算出的最大一个素数是2099999999.