曲线定义范文

2024-07-29

曲线定义范文（精选8篇）

曲线定义第1篇

1 正确理解圆锥曲线定义的条件性

平面上,不同种圆锥曲线的定义都受一定条件的限制。椭圆定义:在平面内,把与两个定点F1,F2的距离和等于一个常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆。这个定义中一定注意两点:a.描述的是动点与两定点的距离和;b.距离和为常数,常数大于两定点的距离。前一点说明椭圆上点的特点;后一个则说明了轨迹是椭圆的条件。当距离和这一常数等于两定点F1、F2间距离时,动点轨迹是以F1、F2为端点的线段;当距离和这一常数小于|F1F2|时,动点轨迹则不存在。双曲线定义:在平面内到两定点F1、F2的距离差的绝对值等于一个常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线。这个定义注意三点:a.动点到两定点的距离差:描述动点的特点;b.距离差的绝对值:绝对值便说明了点的轨迹的另一特点“双”性;c.差的绝对值这个常数一定小于|F1F2|。当常数等于两定点距离时,动点轨迹为以两定点为端点的两射线;如果常数大于|F1F2|,则动点轨迹不存在。

2 深刻理解圆锥曲线的定义

每种圆锥曲线的内涵都深刻地揭示了该曲线的本质特征,其上的每一点都具备着共同的特点,无论是其上的已知点还是未知点都具有相同的几何意义。

例2、求以F(2,0)为焦点,以L:x-2y-4=0为相应准线,且过A(3,2)点的曲线方程。

分析:提干中给焦点F和相应准线方程,显然其结果应该为圆锥曲线,但其准线不平行于坐标轴,这样用常规解法,设标准方程或平移状态下的标准型均解决不了,因此应想到用第二定义。第二定义中的常数应该用已知点A来解决。

解:设所求曲线上任一点M(x,y),其离心率为e。由第二定义得|MF|:d=e

第二定义深刻地描述出曲线上点到焦点F与到相应准线距离比为一常数这个特点,而已知点A也应具备这一特点,从而求出这一常数e,再用这一定义求出曲线方程。

3 圆锥曲线定义应用的广泛性

圆锥曲线的定义应用十分广泛,利用圆锥曲线的定义解题的比较灵活,一看解答简单漂亮,自己思考一筹莫展,对不同题型进行归类,把其中的特点加以提炼,从而更好,更深刻地理解圆锥曲线的应用。

求值

例3、双曲线(a>0,b>0),过其焦点F1的直线交双曲线一支于A、B,且AB=m,若双曲线另一焦点为F2,求△ABF2的周长。

解:如图,由双曲线的定义得:

∴△ABF2的周长:

此题若分别求出|AF2|,|BF2|的长再求和,将十分烦琐,联想到椭圆的第一定义,整体求解,不仅有效探明解题方向,而且大大简化了解题的过程。

由双曲线定义知,|PF1|-|PF2|=4,

平方得,|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|=16

由题设∠F1P,得

从而有|PF1||PF2|=2

通过对双曲线第一定义的运用,能很容易地提取|PF1||PF2|,解答过程简单明了。

例5、在椭圆上求一点P,使它到右焦点的距离等于它到左焦点的距离的4倍。

解,原方程化为,据题意:

4|PF1|=|PF2|,F1为左焦点,F2为右焦点

由焦半径公式得4(a+exo)=a-exo

解出

代入椭圆方程得

椭圆的第二定义推得焦半径的公式应用于本题,有事半功倍的效果。同时双曲线也有类似的公式。

3 求离心率

例6、已知动点P(x,y),满足二次方程10x-2xy-2y+1=0,则此二次曲线的离心率是多少?解:由10x-2xy-2y+1=0,有

即,

即则e=

巧妙利用圆锥曲线的定义求曲线的离心率,不但避免了复杂的运算,而且优化了解题过程。

求值的取值范围

例7若方程m表示的曲线是椭圆,则求m的取值范围

解:仔细分析方程的结构特点,可把原方程

变形为

这个等式的左边有两点之间的距离的因式,右边有点到直线的距离的痕迹,可以联想到椭圆的第二定义。再变形得

,由椭圆定义得,

则m的取值范围是:(5,∞)

一看题似乎无从下手,但通过认真分析,从结构和定义出发,挖掘出简洁的解题思路。

求点的轨迹

例9、已知双曲线过点A(-2,4),B(4,4),它的一个焦点是F1(1,0),求另一个焦点F2的轨迹方程。

解:∵A,B是双曲线上的两点,

那么F2在AB的垂直平分线上,则F2的轨迹方程是x=1

(2)若A F1-A F2=-(B F1-BF2)

又|AB|=6,则点F2的轨迹方程是以A、B为焦点的椭圆。

与焦点、准线有关的问题,若与圆锥曲线的定义联系起来,能挖掘出简洁的解题思路。

因此,圆锥曲线定义的运用十分广泛,在解题时,充分挖掘题中图形的几何性质,适时巧用定义,探求最佳方法,开发最佳思路寻求解题规律,能起到以点带面,事半功倍的效果。

摘要：深刻理解圆锥曲线的定义,运用圆锥曲线的定义简捷有效的解题,从而开阔思路,起到事半功倍的效果。

关键词：圆锥曲线的定义,深刻性,应用广泛性

参考文献

[1]冯寅.利用圆锥曲线定义解题的四大特征.中学数学,2007,2

[2]李秀媛.圆锥曲线定义的应用.沈阳教育学院学报,2000,12

[3]刘四平.例谈圆锥曲线定义的应用.中学数学

[4]李继.李志贵.例说圆锥曲线定义的应用.中学生数理化

双曲线的定义及标准方程第2篇

一平面截一圆锥面，当截面与圆锥面的母线不平行，且与圆锥面的两个圆锥都相交时，交线称为双曲线。

在平面直角坐标系中，二元二次方程F(x,y)=ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0满足以下条件时，其图像为双曲线。(a、b、c不都是零，b2-4ac>0)

双曲线的标准方程：

标准方程1：焦点在X轴上时为x2/a2-y2/b2=1(a>0，b>0)

标准方程1：焦点在Y轴上时为y2/a2-x2/b2=1(a>0，b>0)

双曲线取值范围：│x│≥a(焦点在x轴上)或者│y│≥a(焦点在y轴上)

活用圆锥曲线的定义第3篇

圆锥曲线的定义是圆锥曲线最本质属性的反映, 活用圆锥曲线的定义解题, 十分明快而简捷.

一、椭圆

例1 (2008年浙江卷) 已知F1、F2为椭圆 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ 的两个焦点, 过F1的直线交椭圆于A、B两点.若|F2A|+|F2B|=12, 则|AB|=.

分析:根据椭圆的第一定义, |F1A|+|F2A|=2a=10, |F1B|+|F2B|=2a=10, 所以|AB|=20- (|F2A|+|F2B|) =8.

例2 (2008年辽宁卷) 在直角坐标系xOy中, 点P到两点 $(0 ‚ - \sqrt{3})$ 、 $(0 ‚ \sqrt{3})$ 的距离之和等于4, 设点P的轨迹为C, 写出C的方程.

分析:根据椭圆的第一定义可知, 点P的轨迹C是以 $(0 ‚ - \sqrt{3})$ 、 $(0 ‚ \sqrt{3})$ 为焦点, 长半轴为2的椭圆, 它的短半轴 $b = \sqrt{2^{2} - (\sqrt{3})^{2}} = 1$ , 设P (x, y) , 则C的方程为: $x^{2} + \frac{y^{2}}{4} = 1 .$

例3 设椭圆 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ 上一点P到左准线的距离为d=10, F是该椭圆的左焦点, 若点M满足: $\vec{Ο Μ} = \frac{1}{2} (\vec{Ο Ρ} + \vec{Ο F})$ , 求 $| \vec{Ο Μ} |$ 的值.

分析:由椭圆方程知, a=5, b=4, 则 $c = 3, e = \frac{3}{5}$ , 根据椭圆的第二定义得:|PF|=de=6.设P (x0, y0) .

则 $| Ρ F | = a + e x_{0} = 5 + \frac{3}{5} x_{0} = 6$ , 所以 $x_{0} = \frac{5}{3}$ , 代入椭圆方程得 $y_{0} = \pm \frac{8 \sqrt{2}}{3}$ , 取点P的坐标为 $(\frac{5}{3} ‚ \frac{8 \sqrt{2}}{3}) .$

因为 $\vec{Ο Μ} = \frac{1}{2} (\vec{Ο Ρ} + \vec{Ο F}) = \frac{1}{2} [(\frac{5}{3} ‚ \frac{8 \sqrt{2}}{3}) + (- 3 ‚ 0)] = (- \frac{2}{3} ‚ \frac{4 \sqrt{2}}{3})$ .所以 $| \vec{Ο Μ} | = \sqrt{(- \frac{2}{3})^{2} + (\frac{4 \sqrt{2}}{3})^{2}} = 2 .$

二、双曲线

例4 (2008年陕西卷) 双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{1}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别是F1、F2, 过F1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M点, 若MF2垂直于x轴, 则双曲线的离心率为 ( )

$(A) \sqrt{6} (B) \sqrt{3} (C) \sqrt{2} (D) \frac{\sqrt{3}}{3}$

分析:设双曲线两焦点F1 (-c, 0) 、F2 (c, 0) , 则|F1F2|=2c, 又直线MF1的倾斜角为30°, MF2⊥x轴.

$\begin{array}{l} 在 R t △ Μ F_{2} F_{1} 中 ‚ 可求得 | Μ F_{2} | = \frac{2 \sqrt{3}}{3} c, \\ | Μ F_{1} | = \frac{4 \sqrt{3}}{3} c . 再根据双曲线第一定义 ∶ \end{array}$

|MF1|-|MF2|=2a, 有 $\frac{4 \sqrt{3}}{3} c - \frac{2 \sqrt{3}}{3} c = 2 a$ , 解出 $\frac{c}{a} = \sqrt{3}$ , 即 $e = \sqrt{3}$ , 故选 (B) .

例5 若使双曲线3x2-y2=27上一点M到定点A (7, -3) 的距离与M到右焦点F的距离之半的和有最小值, 求点M的坐标.

分析:从双曲线第二定义来考虑, 因离心率 $e = 2, \frac{1}{2} | Μ F |$ 与M到右准线的距离|MP|相等 (如图1) , 目标函数

$\begin{array}{l} u = \\ | Μ A | + \frac{1}{2} | Μ F | = | Μ A | + | Μ Ρ | \end{array}$

的最小值问题转化为折线AMP的最短问题.当且仅当A、M、P同在一条与x轴平行的直线上时, 折线AMP最短, 故M点的纵坐标为-3, 代入双曲线方程得横坐标 $2 \sqrt{3}$ .所以M点的坐标为 $(2 \sqrt{3}, - 3) .$

例6 (2008年湖北卷) 如图2, 在以点O为圆心, |AB|=4为直径的半圆ADB中, OD⊥AB, P是半圆弧上一点, ∠POB=30°.曲线C是满足||MA|-|MB||为定值的动点M的轨迹, 且曲线C过点P, 建立适当的平面直角坐标系, 求曲线C的方程.

分析:利用对称性, 以O为原点, 直线AB、OD分别为x轴、y轴建立直角坐标系, 则 $A (- 2, 0), B (2, 0), D (0, 2), Ρ (\sqrt{3}, 1)$ .由题意得: $| | Μ A | - | Μ B | | = | Ρ A | - | Ρ B | = \sqrt{(2 + \sqrt{3})^{2} + 1^{2}} - \sqrt{(2 - \sqrt{3})^{2} + 1^{2}} = 2 \sqrt{2} < | A B | = 4 .$

根据双曲线的第一定义, 曲线C是以原点为中心, A、B为焦点的双曲线.实半轴 $a = \sqrt{2}$ , 半焦距c=2, 则虚半轴 $b = \sqrt{c^{2} - a^{2}} = \sqrt{2}$ .所以, 曲线C的方程为:x2-y2=2.

三、抛物线

例7 (2008年全国Ⅰ卷) 已知F为抛物线C:y2=4x的焦点, 过F且斜率为1的直线交C于A、B两点, 设|FA|>|FB|, 则|FA|与|FB|的比值等于.

分析:为了求出A、B的坐标, 把直线AB方程

y=x-1与y2=4x联立消y得x2-6x+1=0.由于|FA|>|FB|, 解方程得 $x_{A} = 3 + 2 \sqrt{2}, x_{B} = 3 - 2 \sqrt{2}$ .根据抛物线的定义, |FA|、|FB|分别等于A、B到准线x=-1的距离.所以 $\frac{| F A |}{| F B |} = \frac{3 + 2 \sqrt{2} + 1}{3 - 2 \sqrt{2} + 1} = 3 + 2 \sqrt{2} .$

例8 (2008年江西卷) 过抛物线x2=2py (p>0) 的焦点F作倾斜角为30°的直线, 与抛物线分别交于A、B两点 (点A在y轴左侧) , 则|AF|∶|FB|=.

分析:为了求出A、B的坐标, 把直线AB的方程 $2 \sqrt{3} x - 6 y + 3 p = 0$ 与x2=2py联立消x得12y2-20py+3p2=0, 由于A在y轴左侧, 故 $y_{A} = \frac{p}{6}, y_{B} = \frac{3 p}{2}$ , 如图3, 过A、B分别作准线的垂线AM、BN.

根据抛物线的定义|AF|=|AM|, |BF|=|BN|, 所以 $\frac{| A F |}{| F B |} = \frac{| A Μ |}{| B Ν |} = \frac{y_{A} + \frac{p}{2}}{y_{B} + \frac{p}{2}} = \frac{2 p / 3}{2 p} = \frac{1}{3} .$

练习:

1.已知点P在抛物线y2=4x上, 那么点P到点Q (2, -1) 的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时, 点P的坐标为.

2.设椭圆的离心率为 $\frac{5}{13}$ , 焦点在x轴上, 且长轴长为26.若曲线C上的点到这个椭圆的两个焦点的距离的差的绝对值等于8, 则曲线C的标准方程为.

参考答案

$1 . (\frac{1}{4} ‚ - 1) 2 . \frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1 .$

江苏省靖江市刘国钧中学

通过做实验教学圆锥曲线的定义第4篇

【关键词】实验教学圆锥曲线

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】B 【文章编号】2095-3089（2012）10-0123-01

高中数学中平面解析几何是一非常重要的内容，而圆锥曲线又是平面解析几何的核心。这部分内容的的学习不但可以培养学生的探究能力，同时培养学生的动手的能力。圆锥曲线中椭圆双曲线抛物线的教学都是按照定义方程几何性质的模式按排这符合学生的认知规律，同时也培养了学生研究平面图形的能力。在学习概念的时候，教师会给出定义，然后直接画出图形或用电脑演示动点的轨迹。我认为这样教学固然好，却错过了一个培养学生探究数学问题，动手做实验的好机会。数学是一门比较抽象的学科，如果让学生自己动手来画这些图形，会有意想不到的效果。以《椭圆》为例说明：

一、准备工作

1.分组合作：每四人一组

2.课前准备实验器材：一根长约10厘米的绳，两个图钉和一块硬纸板

3.上课时引出椭圆的定义（平面内到两个定点F1和F2的距离的和的点的轨迹叫作椭圆。），然后请学生利用手中的工具自己研究画一个椭圆，验证一下定义的正确性。

二、实验阶段

开始，学生有点丈二和尚摸不着头，但很快学生开始小声议论，有些同学开始认真看书寻找思路。经过一段时间的讨论，实验，开始有个别小组的学生动手画。我在教室里做着点拨和帮助工作。最后，我们有三分之二还多的学习小组有了结果。我们通过自谏的方式，请了三个小组的代表将他们的实验结果展示给大家。

三、展示实验结果

发现一：当绳长大于两个图钉之间的距离时，将绳子的两端用图钉固定在硬纸板上，然后用笔拉紧绳，缓慢的移动笔，始终保持拉紧绳，最终画出了这个图形。将过程展示给同学们看，我们发现结果是一个椭圆。

第二组的同学马上反驳说第一组的同学有不足的地方，同学怀着好奇心，强烈要求第二组的同学给出他们的解释。

发现二：第二组的同学给了一个强有力的例子，他们指出当绳长等于两个图钉之间的距离时，演示实验，发现我们只能画出一线段，正是两图钉间的线段。同学们开始迷茫，我没有发表任何意见。

这时第三组的学生已经走上了讲台，给大家展示他们的发现。他们演示当绳长小于两个图钉之间的距离时，任何图形都不可能画出。此时，我问同学们，你们的发现，说明了什么呢？

沉思了一会，终于有一个学生站了起来，他说我认为这三种实验结果无疑都是正确的，同时我们发现，老师给出的定义是错误的。椭圆的定义应该是：平面内到两个定点F1和F2的距离的和（大于F1F2的距离）的点的轨迹叫作椭圆。

曲线光滑定义及光滑性条件用途解析第5篇

光滑曲线一直是数学教学中较难解释的概念,学生在学习过程中尤其难以理解定义中的非零条件,对不满足该条件的曲线缺乏直观感受和认识. 在出现曲线光滑条件的章节中也难以理解该条件所起到的作用,无法深入理解曲线光滑的意义. 本文通过函数图及曲线光滑与曲线可求长、曲率的计算及第二型曲线积分的概念和计算等方面的联系帮助大家对光滑曲线的概念形成全面而深刻的认识.

1. 光滑曲线的定义

定义1: 设平面曲线C由参数方程: x = x( t) ,y = y( t) ,t∈[α,β]给出,如果x ( t) ,y ( t ) 在[α,β]上连续可微,且x'2( t) + y'2( t) ≠0,t∈[α,β],则称C为一条光滑曲线.

定义2: 若函数f( x) 在区间( a,b) 内具有一阶连续导数,则其图形为一条处处有切线的曲线,且切线随切点的移动而连续转动,这样的曲线称为光滑曲线.

问题1: 若曲线C不满足定义1中的非零条件,曲线C可能是非光滑的. 下面举例说明.

例1设摆线( 又名旋轮线) C1的参数方程为: x =x( t) = t3,y = y( t) = t2,t∈R. x( t) ,y( t) 在R上连续可微,且x'2( 0) + y'2( 0) = 0,曲线C1在( 0,0) 点处不光滑,且在该点切线不存在. 该曲线在( 0,0) 点附近图像如图1所示.

例2设曲线C2的参数方程为:,t∈R. x( t) ,y( t) 在R上连续可微,且x'2( 0) + y'2( 0) = 0,曲线C2在( 0,0) 点处不光滑. 事实上,曲线C2在( 0,0) 点附近的切线斜率可以从 - ∞到 + ∞ ,如图2中左图所示,图2中下图为t∈( 0,0. 1) 时的情形.

问题2: 若曲线C不满足定义1中的非零条件,曲线C也可能是光滑的. 下面举例说明.

例3设曲线C3的参数方程为: x = t,y = t3,t∈R或者x = t3,y = t9,t∈R,x( t) ,y( t) 在R上连续可微,虽然x'2( 0)+ y'2( 0) = 0,不满足定义中的非零条件,但曲线C3在( 0,0) 点处光滑,且存在切线. 该曲线的方程即为大家熟悉的函数y = x3,在( 0,0) 点附近图像如图3所示.

问题3: 曲线连续是曲线光滑的必要不充分条件,如例1.

问题4: 定义2中f'( x) 在[- R,R]上连续是曲线光滑的充分不必要条件. 下面举例说明不必要性.

例4曲线的参数方程可以表示为x = Rcost,y = Rsint,t∈[0,π],由参数方程可推知曲线满足光滑定义,但在点 - R及点R处不连续.

问题5: 设x = x( t) ,y = y( t) ,t∈[α,β]与y = f( x) ,x∈[- R,R]表示同一条曲线,则定义1与定义2无法互推. 即满足定义1条件,可能不满足定义2条件,如例3; 满足定义2条件,可能不满足定义1条件,如例4.

2. 光滑与可求长

在叙述曲线可求长条件或者推导弧长公式时,很多教材都会假定“曲线光滑( 或分段光滑) ”这个条件,以致学生产生只有光滑曲线才能将弧长计算化为定积分的误解. 事实上,由文献[1],曲线求长不需要光滑,且只需用x'( t) 、y'( t) 在区间[α,β]上黎曼可积( 而不是连续) ,就能够得到弧长计算公式

曲线光滑是可用上述公式计算弧长的充分非必要条件,但若不满足光滑条件,则可能是不可求长的,如例2.

3. 光滑与曲率

曲率定义如下: 设光滑曲线的参数方程为x = x( t) ,y =y( t) ,t∈[α,β],且x( t) 与y( t) 二阶可导,则有曲率公式:

高等数学中曲率公式的给出建立在曲线光滑的条件上,在不满足光滑条件的点处,曲线的曲率可能不存在,如例1中曲线在( 0,0) 点处不满足光滑定义中的非零条件,曲率不存在.

但基于上文中不满足光滑定义中非零条件的曲线也有可能是光滑的,故曲率公式在使用时也会产生局限性. 对于不满足x'2( t) + y'2( t) ≠0条件的点是否能说明该点曲率不存在呢? 答案是否定的,如以下例5.

例5光滑曲线C参数方程为x = t2,y = t2,t∈R,在点( 0,0) 处有x'2( t) + y'2( t) = 0,因而无法用上述求曲率的公式进行计算,但该曲线直角坐标方程为y = x,其在任一点处的曲率均为零. 事实上可用下文中公式( 2) 进行计算.

设曲线的方程是y = f( x) ,且f( x) 具有二阶导数就( 这时f'( x) 连续,从而曲线是光滑的) . 则有曲率公式

对于不满足y″存在性的点,该点处仍可能有曲率,如例4,曲线在点 - R及点R处y'→∞不存在,故y″也不存在,但该曲线在点 - R及点R处是光滑的,从而一定有曲率,事实上由其参数方程x = Rcost,y = Rsint,t∈[0,π],利用公式( 2) 计算可得,这两点处的曲率均为1.

对曲线方程为x = g( y) 的情况不再讨论,与公式( 2)类似.

4. 光滑与曲线积分的概念和计算

第一型曲线积分定义中要求曲线是可度量的,即可求长,因此需要光滑性条件. 第二型曲线积分定义中要求曲线处处存在切向量,因此需要光滑性条件. 因为不满足光滑性条件的点处曲线可能不存在切线. 例如对于摆线( 例1) 在t = 0,±2π,±4π,…时,就没有切线.

摘要：分析了光滑曲线的两种定义,及定义中非零条件的作用,并利用函数图对非零条件进行了直观展示,讨论了光滑曲线两种定义的关系,从而使光滑曲线的概念更加直观.分别从曲线可求长、曲率的计算及曲线积分的概念和计算三个方面研究了曲线光滑这一条件的作用,有助于大家对光滑曲线这一概念形成更深刻的认识.

曲线定义第6篇

本节选自《普通高中课程标准实验教科书 (选修1-1) 数学》 (人教版) 高二下, 第二章圆锥曲线与方程的复习课。圆锥曲线的定义反映了圆锥曲线的本质属性, 也是有关圆锥曲线问题的精髓。如果能很好地利用定义解题, 那么很多时候能以简驭繁。因此, 我们在把新课学完后有必要再回到定义上, 熟练掌握“利用圆锥曲线定义解题”这一重要的解题方法。

二、学生学习情况分析

这届高二学生在高一时就是学习的新课程, 因此他们对新课程并不陌生。与以往的学生相比, 这届学生的特点是:参与课堂教学活动的积极性更高, 思维敏捷, 敢于在课堂上发表与众不同的见解, 计算能力比以前有所减弱, 字母推理能力更强些, 使用数学语言的表达能力也略比以前强。

三、设计思想

圆锥曲线这章的知识较为抽象, 比较难理解。如果离开感性认识, 则容易使学生陷入困境, 降低学习热情。在教学时, 我积极引导学生利用数形结合思想解题, 增强解题的直观性, 强调学生“探究”的发挥。借助多媒体, 引导学生主动发现问题解决问题, 主动参与教学, 在轻松愉快的环境中发现、获取、探究新知, 提高教学效率。

四、教学目标

(一 ) 深刻理解并熟练掌握圆锥曲线的定义 , 能灵活应用定义解决问题;熟练掌握焦点坐标、顶点坐标、焦距、离心率准线方程、渐近线、焦半径等概念和求法;能结合平面几何的基本知识求解圆锥曲线的方程。

(二 ) 通过练习题 , 加深对圆锥曲线定义的理解 , 培养学生的思维能力、解决问题能力;通过对问题的不断引申, 精心设问, 让学生掌握解题的一般思路和方法。

(三 ) 借助多媒体辅助教学 , 激发学习数学的兴趣。在民主、开放的课堂氛围中, 培养学生敢想、敢说、勇于探索、发现创新的精神。

五、教学重点与难点

(一) 教学重点:

1.加深对圆锥曲线定义的理解 ;2.运用圆锥曲线的定义求“最值 ”问题 ;3.运用 “定义法 ”求动点轨迹方程。

(二) 教学难点:巧用圆锥曲线定义解题。

六、教学过程设计

(一) 设计思路 :由于这是一堂复习课 , 加上我所任教的班级是文科班里的本科班 (学校称之为尖子班) , 学生有较好的数学基础, 学习积极性较高, 领悟能力较好, 因此在教学中, 我拟采用师生共同参与的教学方法:由教师提出问题, 激发学生积极思考, 引导他们运用已有知识经验, 以小组合作形式通过探究获取新知识。通过个别回答、集体修正的方法让我及时得到反馈信息。最后, 我根据学生回答问题的情况进行小结, 概括出问题的解决方法, 给出正确答案, 并指出学生解题方法的优缺点。

1.先提出问题

先给出以下几个问题:

例1: (1) 已知A (-4, 0) 、B (4, 0) , 动点M满足|MA|+|MB|=6, 则点M的轨迹是 ( ) 。A.线段B.椭圆C.双曲线D.不存在

(2) 已知动点M (x, y) 满足|, 则点M的轨迹是 ( ) 。

A.两条相交直线B.双曲线C.抛物线D.椭圆

设计意图:定义是揭示概念内涵的逻辑方法, 熟悉不同概念的不同定义方式, 是学习和研究数学的一个必备条件, 通过一个阶段的学习之后, 学生对圆锥曲线的定义已有了一定的认识, 他们能否真正掌握它们的本质, 是本节课首先要解决的问题。为了加深学生对圆锥曲线定义的理解, 我以圆锥曲线的定义的运用为主线, 精心准备了两道练习题。

学情预设:估计学生能很快回答出题 (1) , 但是学生对圆锥曲线的定义可能并未真正理解, 因此我再补充:若想答案是其他选项的话, 条件要怎么改? 学生差不多都能解决。问题 (2) 就可能让学生费一番周折了。此外我还对问题进行引申, 以此深化对概念的理解。

2.理解定义、解决问题

例2: (1) 已知动圆A过定圆B:x2+y2+6x-7=0的圆心 , 且与定圆C:x2+y2-6x-91=0相内切 , 求△ABC面积的最大值。

(2) 在 (1) 的条件下 , 给定点P (-2, 2) , 求|PA|+ (5/3) |AB|的最小值。

(3) 在 (2) 的条件下求|PA|+|AB|的最小值。

设计意图:运用圆锥曲线定义中的数量关系进行转化, 使问题化归为几何中求最大 (小) 值的模式, 这是解析几何问题中的一种常见题型, 也是学生比较容易混淆的一类问题。例2的设置就是为了方便学生辨析。

学情预设:本题的关键在于能准确写出点A的轨迹, 有了例1的铺垫, 对例2 (1) 、 (2) , 多数学生应该能准确给出解答, 但例2 (3) 是少见的问题, 学生估计解不出来。这时借助于实物投影仪, 会有学生发现当P、A、B三点共线时, 取得最小值。那么, 我再鼓励学生进行大胆猜想, 让学生寻找到点B所在的正确位置后, 叫学生演练出正确的解题过程, 并借助实物投影加以演示。最后由学生进行归纳小结:在椭圆中, 当定点A不在椭圆内部时, 则A, F的连线与椭圆的交点M就是使|BA|+|BF|最小的点;当定点A在椭圆内部时, 则A与另一焦点F的连线的延长线与椭圆的交点B即为所求。

3.再进行自主探究、深化认识

练习:设点Q是圆C: (x+3) 2+y2=36上动点 , 点A (2, 0) 是圆内一点, AQ的垂直平分线与CQ交于点M, 求点M的轨迹方程。 (若将点A移到圆外 , 点M的轨迹会是什么?)

(二) 知识链接 :圆锥曲线定义的应用举例练习 (第一定义和统一定义) 。

1. 双曲线的两焦点为F1、F2, P为曲线上一点 , 若P到左焦点F1的距离为12, 求P到右准线的距离。

2.在抛物线y2=2px上有一点A (4, m) , A点到抛物线的焦点F的距离为5, 求抛物线的方程和点A的坐标。

3.已知A (4, 0) , B (2, 2) 是椭圆内的点 , M是椭圆上的动点, 求|MA|+|MB|的最小值与最大值。

七、教学反思

本课将借助于Power Point课件, 利用两个例题及其引申, 通过一题多变、层层深入的探索, 培养学生思维的深刻性、创造性、科学性和批判性, 使学生从学会一个问题的求解到掌握一类问题的解决方法, 领略数学的统一美。另外, 多媒体的使用让抽象的数学问题变得形象、生动且通俗易懂, 同时节省了时间给学生思考问题和发现问题。这正吻合了以学生为主体的探究—合作式教学新理念。

(一 ) “满堂灌”、“满堂问”的教学方式已为越来越多的教师所摒弃, 我期望在教学中能多尝试使用“探究—合作”式教学模式进行教学, 使学生的“知识的获得过程”不再是简单的“师传生受”, 而是让学生依据自己已有的知识和经验主动加以建构。并在这个建构过程中, 教师是引导者, 学生才是主体是知识的主动建构者。因此所设计的问题应该定位在学生认知的最近发展区。

(二 ) 在有限的时间内突出重点 , 突破难点 , 给学生留有自主学习的空间和时间。我把“定义法求轨迹问题”分置于例2 (1) 与练习中 , 循序渐进地让学生把握这类问题的解法 ;将学生容易混淆的两类求“最值问题”并为一道题, 方便学生进行比较、分析。

(三 ) 现代教育技术的发展为我们提供了良好的教学条件 , 然而, 教师所编导的教学活动应该随着整体环境的变化、学生群体的变化而变化。

参考文献

曲线定义第7篇

关键词：高中数学,解题,圆锥曲线定义

引言圆锥曲线定义中主要以椭圆定义、双曲线定义为主,圆锥曲线上的点与两个焦点之间的关系是解题分析的关键,二者的关系决定了某点的运动轨迹是抛物线、椭圆或者双曲线,所以在解题过程中,必须对三者定义有深入了解. 假使圆锥曲线上的点与两个焦点构成的是三角形,通常会使用第一定义结合正余弦定理来进行解题,涉及焦点或者准线时,解题可参考常用的统一定义. 应用过程中的重难点在于让学生养成巧妙运用定义深入剖析题目并解题的意识,所以,需要让学生在学习和运用的过程中树立等价转换的思想,尤其注意数形结合,在解题中将圆锥曲线的各自定义和解题难点、切入点进行有效区别和联系.

1. 利用定义求轨迹

圆锥曲线定义的应用是解题中常用方法,也是求轨迹的典型方法. 比如已知两个定圆O1和O2,它们的半径分别为a和b,且|O1O2| = c,动圆M与圆O1内切,又与圆O2外切,建立适当的坐标系,求动圆心M的轨迹方程,并说明轨迹是何种曲线.

这个题目的解决很明显可以利用圆锥曲线的定义来解决,解题过程也并不复杂,以O1O2的中点O为原点,O1O2所在直线为轴建立平面直角坐标系,从而得到O1与O2坐标. 然后我们假设动圆的半径为r,由动圆M与圆O1内切、与圆O2内切得到| MO1|和| MO2|的值,最后利用其互相之间的关系来得到M点的轨迹,确定其以O1,O2为焦点,是双曲线的左支( x <0) ,根据半径之间关系得到轨迹方程.

例1典型例题应用: F1 ,F 2 是椭圆x2 /a2 + y2 / b2 = 1 ( a >b > 0) 的两焦点( 如图) ,P是椭圆上任一点,从任一焦点引∠F1PF2的外角平分线的垂线,求垂足为Q的轨迹.

解延长垂线F1Q交F2P的延长线于点A,等腰三角形APF1中,| PF1| = | AP | ,从而| AF2| = | AP | + | PF2| = | PF1| + | PF2| = 2a.

∴ | OQ | =1 /2| AF 2| = a.

确定垂足为Q的轨迹为圆. 这是圆锥曲线定义较为常见的考点应用题目.

2. 利用定义和正余弦定理求焦点三角形

例2 已知双曲线x2 /a2 - y2 / b2 = 1 ( a > 0,b > 0) ,P为双曲线上任一点,∠F1PF2= θ,求△F1PF2的面积.

这个题目的解答需要在结合定义分析的基础上熟知并巧用正余弦定理. 利用面积公式和正余弦定理得到①和②:

结合圆锥曲线中双曲线定义得到| PF1| - | PF2| = 2a即|PF1|2+ | PF2|2- 2 | PF1|·| PF2| = 4a2. ③

通过②与③得到

代入①得出三角形面积从而完成题目的解答.

3. 利用定义解求证题

高考常见题目中,解求证类题目中经常会遇到需要应用第二定义证明的求证抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切或以椭圆焦点弦为直径的圆与相对应的准线相离、以双曲线焦点弦为直径的圆与相应的准线相交等题目. 比如过抛物线y2= 2px的焦点F任作一条直线m,交这抛物线于P1,P2两点,求证以P1P2为直径的圆和这抛物线的准线相切. 这道题目就是运用抛物线的定义和平面几何知识来证的典型题目. 我们假设P1P2中点为P0,过P1,P2,P0分别向准线引垂线P1Q1,P2Q2,P0Q0,得到垂足Q1,Q2,Q0,则| P1F | = | P1Q1| ,| P2F | = | P2Q2| ,∴| P1P2| = | P1F | + | P2F | = | P1Q1| + | P2Q2| = 2 | P0Q0| ,从而确定P0Q0是以P1P2为直径的圆P0的半径,且P0Q0⊥l,证实圆与准线相切.

4. 总结