静电场课堂教学

2024-09-20

静电场课堂教学（精选12篇）

静电场课堂教学第1篇

静电场是高中物理电磁学的基础, 静电场特点是看不见、摸不到、无气味的, 它的特性是对放入其中的检验电荷有力的作用。在电场中移动电荷, 电场力会做功, 电势能改变, 静电场具有力和能的双重特性。所以静电场是客观存在的一种看不见的特殊物质, 非常抽象。描述静电场引入了许多物理概念和物理量, 如电场强度、电势、电势差, 电场力、电势能等。学生在学习静电场的过程中出现了许多困惑, 为什么要引入电场强度、电势和电势差?为什么电场强度、电势和电势差都用比值法定义?为什么用课本中的那种方式定义?这些物理量之间究竟存在什么样的关系?所以教师在教学过程中要解决学生的这些困惑, 学生才能真正理解描述静电场的概念和物理量。以下是我在教学过程中的具体做法, 就是利用控制变量法引入描述静电场的概念和定义物理量, 首先让检验电荷的电量q不变, 改变检验电荷在电场中的位置, 然后让检验电荷在电场中的位置保持不变, 改变检验电荷的电量q。

电场强度的教学过程中, 电荷之间的相互作用是通过电场实现的, 在静电场中不同的位置放入同一个检验电荷q, 通过实验探究就会发现同一个检验电荷q在静电场中不同的位置受到的电场力不同, 这就说明静电场中不同的位置电场是不同的, 这个不同导致了检验电荷受到的电场力不同, 究竟是电场中不同位置的什么不同导致了力不同呢?所以就得引入一个物理量来描述这个不同, 物理学中就把这个物理量定义为电场强度E, 物理学中规定同一个检验电荷q受到的力越大的地方电场越强, 受到的力越小的地方电场越弱, 这就说明电场是有强弱的, 所以电场强度就是用来描述电场强弱的物理量, 引入它是为了确定电场力。那怎么定义电场强度呢?如果在静电场中同一个位置放入不同的检验电荷q, 通过实验探究就会发现检验电荷不同受到的电场力F就不同, 但同一个位置处检验电荷受到的电场力F与检验电荷的电量q成正比, F∝q, 如果用数学表示有F=kq, k=F/q, k是一个常数, 不同的位置这个常数不同, 同一个位置这个常数k是一个定值, 这就说明这个常数是由静电场决定的, 与放入的检验电荷q无关, 静电场中k越大的地方检验电荷受到的力越大, k越小的地方检验电荷受到的电场力越小, k和我们想定义的电场强度完全相符, 所以物理学中把这个常数定义为电场强度E, E=F/q就是电场强度的定义式, 而F=qE就是电场力的决定式, 由此可以看出电场力F与两个因素有关, 内因电荷电量q和外因电场强度E。

电势的教学过程中, 仍然用控制变量法。如果设想把一个检验电荷q放入静电场中, 在电场力的作用下就会加速运动, 电场力对检验电荷做正功, 它的动能就会越来越多, 根据能量守恒定律, 一定是电荷的其他形式的能量在减少, 这就说明检验电荷在电场中具有其他形式的能量, 检验电荷在运动过程中不同的位置动能不同, 所以检验电荷的这个未知能量也就在不同位置会不同, 那这个未知能量究竟是什么能量呢?物理学中就把这个能量定义为电势能EP, 根据功能原理, 电荷在电场的某一个位置的电势能, 等于把它从这个位置移动到零势能位置时电场力做的功。同一个检验电荷q在电场的不同位置电势能EP不同。如果电场是匀强电场, 检验电荷仍然会加速运动, 动能仍然会越来越多, 电势能就越来越少, 所以同一个检验电荷q在电场的不同位置电势能EP不同, 肯定不是电场强度不同导致的, 说明电场的不同位置, 还有另外一个物理量不同, 物理学中就把这个物理量定义为电势φ。那怎么定义电势φ?如果在静电场的同一个位置再放入不同的检验电荷q, 电势能EP就不同, 但电势能和检验电荷的电量却成正比, EP∝q, 用数学表示有EP=kq, k是一个常数, 不同的位置这个常数不同, 同一个位置这个常数k是一个定值, 这就说明这个常数是由静电场决定的, 与放入的检验电荷q无关, 物理学中就把这个常数定义为电势, φ=EP/q这就是电势的定义式, 由此可以看出电势能EP与两个因素有关, 内因电荷电量q和外因电势φ。

电势差的教学过程中, 一个检验电荷q在静电场中受到电场力的作用而运动, 电场力对检验电荷做功, 检验电荷的动能和电势能之间相互转化, 电场力做正功, 电势能减少, 动能增加, 电场力做负功, 电势能增加, 动能减少, 根据功能原理, WAB=EpA-EPB=qφA-qφB=q (φA-φB) , 物理学中把 (φA-φB) 定义为电势差UAB, 就是两点之间电势的差值, UAB=WAB/q这就是电势差的定义式。

通过这样的教学过程, 学生们就理解了为什么要引入电场强度、电势和电势差。

摘要：利用控制变量法引入描述静电场的物理概念和定义物理量。为什么要引入相关物理概念和物理量, 为什么要这样定义物理量?下面结合教学实践进行分析探讨。

静电场复习学案第2篇

一、电荷及其守恒定律

1物体带电的实质是__________的得失。得到_______的物体带____电荷，失去_______到的物体带____电荷。

2使物体带电的方式有_____________，______________，_______________。

3摩擦起电是使相互摩擦的两个物体________带上了__________、_________电荷。物体带电种类具有_________。摩擦起电适用于_________体。4两个完全相同的小球相互接触后，总电荷量_________。

5静电感应是指：当一个带电体靠近导体时，由于电荷间的相互_______或_________，导体中的_________便会靠近或远离带电体，使导体靠近带电体的一端带_________电荷，远离带电体的一端带_________电荷，这种现象叫做静电感应。结果使得：导体两端________带上了__________、_________电荷。

6当导体与地连接时，此时近端_______，远端变为_______。与地连接的方式有1_______2_______。

7电荷既不能_______，也不能_______，只能从一个物体_______到另一个物体，或者从物体的一部分_______到物体的另一部分，在转移的过程中，电荷的_______保持不变，这个结论叫电荷守恒定律。

电荷守恒定律也常常表述为：一个与外界没有电荷交换的系统，电荷的_______总是保持不变的。

二、库仑定律

1．库仑定律

（1）_______中的两个_______的_______之间的相互作用力与它们电荷量的乘积成正比，与它们距离的二次方成反比，作用力的方向在他们的连线上。电荷之间的相互作用力称之为静电力或库伦力。计算公式为______________。

（2）当带电体的距离比他们的自身大小大得多以至于带电体的形状、大小、电荷的分布状况对它们之间的相互作用力的影响可以_______时，这样的带电体可以看做带电的点，叫_______。类似于力学中的质点，也是一种_______的模型。

2三电荷在同一直线上达到平衡的条件是：两_____夹_____，两_____夹_____。

三、电场的力的性质

1试探电荷的条件是：一_______________，二_______________。2．电场强度

（1）定义：放入电场中的某一点的检验电荷受到的_________跟它的_________的比值，叫该点的电场强度。

（2）公式：_________此公式适用于__________电场。

（3）方向：电场强度是矢量，规定某点电场强度的方向跟_______在该点所受静电力的方向相同。与_______在电场中受的静电力的方向相反。2．点电荷的电场

（1）公式：______ 此公式适用于______________电场，其中Q为_______。（2）以点电荷为中心，r为半径做一球面，则球面上的个点的电场强度______相同______不同。3．电场强度的叠加

如果场源电荷不只是一个点电荷，则电场中某点的电场强度为各个点电荷_______时在该点产生的电场强度的矢量和。4．电场线

（1）电场线是画在电场中的一条条的_______的曲线，曲线上每点的切线方向，表示该点的_______的方向，电场线不是实际存在的线，而是为了描述电场而_______的线。（2）电场线的特点

电场线从_______或从_______处出发，终止于_______或_______；电场线在电场中不_______；电场线在没有电荷的地方不_______；导体表面的电场线与导体表面_______；在同一电场里，电场线越密的地方_______；匀强电场的电场线是均匀的______________线。

（3）电场线与运动轨迹重合的条件是：一电场线_______，二初速度为_______或初速度的方向沿_______，三物体只受_______或还受其他力，但其他力的和力______________。

（4）等量同种点电荷连线上电场的特点是______________，中垂线上电场的特点是_______。

等量异种点电荷连线上电场的特点是______________，中垂线上电场的特点是_______。

四、电势能和电势 1．电场力做功的特点

电场力做功与________无关，只与_____________________有关。2电势能：电荷在电场中具有的能，叫做电势能。电荷在电场中某点电势能的大小，等于_______把它从_____点移动到_______位置时所做的功。电势能的大小具有_______性，与_______有关。3电场力做功与电势能的关系：电场力做_______功，电势能_______；电场力做_______功，电势能_______；公式WAB____________________。3．电势（1）电势是表征电场性质的重要物理量，某点电势等于电荷在电场中的电势能与它的电荷量的比值。

2）公式：__________（与试探电荷无关）计算时应注意：____________________。（3）电势与电场线的关系：沿着电场线电势__________。

（4）零电势位置的规定：电场中某一点的电势的数值与__________的选择有关，大地或无穷远处的电势默认为零。

电势能和电势都是______量，只有_______，没有________。但有__________。3．等势面

（1）定义：电场中电势__________的点构成的面。

（2）特点：一是在同一等势面上的各点__________相等，所以在同一等势面上移动电荷，电场力__________；二是电场线一定跟等势面__________，并且由电势__________等势面指向电势__________等势面。三是在电场线密集的地方，等差等势面__________，在电场线稀疏的地方，等差等势面__________。四是不同的等势面永不_______。

（3）等量________点电荷电场中关于中垂线对称点的电势相等，等量_______点电荷电场中垂线上各点的电势相等且为零（设无穷远处为零电势点）。

五、电势差与电场强度的关系

1电势差是指电场中两点间电势的差值。公式UAB__________，UBA__________，__________ 2电势差与静电力做功的关系：WAB____________________，UAB__________ 使用以上公式时应注意____________________ 3电势差与电场强度的关系为_________________，此公式只适用于__________。其中d指_______________________。

4电势降落最快的方向为__________________，但电势降落的方向不一定沿着____________。5在匀强电场中沿着任一条直线，电势的降落都是____________。

六、静电现象的应用

1静电平衡状态下导体的特征

（1）内部场强___________，指的是___________和___________的合场强为___________。（2）导体表面的电场线与导体表面___________，在导体表面移动电荷，电场力___________。（3）静电平衡状态下，导体是个___________，其表面是个___________ 2静电平衡时，导体上的电荷分布为：一导体内部____________电荷只分布在__________。二在导体表面越_________的位置，电荷的密度越__________，__________的位置几乎没有电荷。3静电屏蔽，把一个电学仪器放在封闭的金属壳里，即使壳外有电场，由于静电感应，壳内场强___________，外电场对壳内的仪器__________产生影响。金属壳的这种作用叫做静电屏蔽。4注意，当金属壳未接地时，金属壳只能屏蔽_______对_______的影响，当金属壳接地时，金属壳既能屏蔽_______对_______的影响，又能屏蔽_______对_______的影响。

5当一带电小球与一金属壳的内表面接触时，此时，带电小球被看作___________的一部分，电荷全部分布在______________，这时原来的带电小球_______。七电容器的电容

1．电容器：任何两个彼此_______又____________的导体都可以看成是一个电容器。（最简单的电容器是平行板电容器，金属板称为电容器的两个_______，绝缘物质称为_______）

2.电容器充电的方式为：______________，充电时电流_______由流向_______，充电结束后，两极板分别带上了______________，电荷分布在相对的两极板的_______侧。两极板间的电压为__________。两极板间的匀强电场：___________充电实质上是___________的过程。

3电容器放电的方式为：______________，放电时电流_______由流向_______，放电时，两极板上的电荷相互_______。放电实质上是___________的过程。

4.电容：电容器所带的电荷量Q与电容器两极板间的电势差U的比值

表达式：_____________，此公式适用于_____________，其中Q指_____________ 5.平行板电容器电容公式：_____________，此公式适用于_____________。6.若平行板电容器的电压恒定时，Q=___________，E=___________ 7.若平行板电容器的电荷量恒定时，U=___________，E=___________ 8注意：在电容器中插入金属板（金属导体）或玻璃（绝缘体）都会引起C发生变化，但改变电容的原因不一：插入玻璃（绝缘体）会使电容器中的__________变大，致使C_____；插入厚度为L的金属板，由于静电感应，金属板内电场强度__________，由U=__________，得，金属板上下表面间没有电势降，因此电容器两极板间的距离不再是d，而是d-L。所以插入金属板，相当于通过__________距离，而使电容器的电容C__________。

八、带电粒子在电场中的运动

1．加速：____________________，若初速度为零，末速度V=__________。

2．偏转：当带点粒子垂直进入匀强电场时，带电粒子做类平抛运动，若平行板的长度为L，宽度为d。那么：

粒子在电场中的运动时间_________ 粒子在y方向获得的速度_________ 粒子在y方向的位移__________________ 粒子的偏转角：tanθ=________________ 若加速电压为U1，偏转电场U2，粒子在y方向的位移___________，粒子的偏转角：tanθ=____________。

3.初速度为_______的不同的带电粒子经过同一电场的加速和同一电场的的偏转后，带电粒子在电场中的____________和____________总相同。

静电场复习策略第3篇

一、牢记基本概念，理解基本规律

本章涉及的基本概念好，基本规律比较多，相互之间又有联系，我们要牢记它们。

本章的基本概念和基本规律：

2.电场线（六种情况的电场线画法）。

到此为止电场部分的知识贯穿得就差不多了，至于电荷在电场中平衡和运动问题的解题方法和重力场中的解题方法类似。

4.场的叠加：可类比力的叠加原理，都遵守平行四边形法则。

5．带电粒子在电场中的运动。

（1）直线运动;

（2）偏转：类平抛运动，利用平抛运动的规律分析解决。

二、掌握解决问题的科学方法，巧妙、快捷地解决问题

本章解题常用的方法有：理想模型法、比值法、类比法、等效法等等。笔者就近年来高考涉及本章的各类题型列举如下：

题型一：电场线、等势面类

这是指利用典型电场的电场线和等势面的分布情况，以及电场线的特点来求解的问题。解这类问题，我们必须牢记各种典型的电场线和等势面的分布情况，以便与题中情景对照分析，还要灵活运用电场线的特点及等势面的特点，如在等势面上任意两点间移动电荷电场力不做功；沿电场线方向电势越来越低；等势面与电场线一定垂直；电场线的疏密可表示场强大小等。

例1.下列选项中说法正确的是（）

A.电场强度处处为零的区域内，电势也一定处处为零

B.电场强度处处相同的区域内，电势也一定处处相同

C.电场强度的方向总是跟等势面垂直的

D.沿着电场强度的方向，电势总是不断降低的

【命题意图】

考查电场线、场强和电势关系。

【解析思路】

本题A、B两选项都用了“一定”的字样，因此只要举出一个反例，就可以否定A、B选项的说法，譬如带正电的导体，其内部场强为零，电势不为零；匀强电场的场强处处相同，但顺电场线方向电势逐渐降低，故A、B选项均不正确。C、D选项正是应记住的电场线特点，故C、D正确。

【探讨评价】

（1）对电场线类问题，首先我们要牢记各种典型电场、电场线和等势面的分布情况，记住电场线的特点，更重要的是要对题意全面分析，并灵活应用各典型电场线的特点。

（2）电场强度的计算有四种方法：

d.利用叠加式E=E1+E2+……（矢量合成）。

【说明】

电场线与电荷的运动轨迹不一定重合。电荷的运动轨迹由带电粒子受到的合外力情况和初速度情况来决定。只有满足①电场线是直线；②粒子的初速度为零或初速度方向与电场线在同一条直线上时，其运动轨迹才与电场线重合。

例题拓展：如图所示，P、Q是两个电量相等的正的点电荷，它们连线的中点是O，A、B是中垂线上的两点，OA

A.EA一定大于EB，UA一定大于UB

B.EA不一定大于EB，UA一定大于UB

C.EA一定大于EB，UA不一定大于UB

D.EA不一定大于EB，UA不一定大于UB

题型二：电功、电势能、电势差、电势类

这是指电场中电势的计算和电势高低的比较问题。解这类问题，一般要用到：

（1）沿电场线方向电势要降低；

（4）匀强电场的两点电势差：U=Ed等。

例2.图中A、B、C、D是匀强电场中一正方形的四个顶点。已知A、B、C三点的电势分别为UA=15V，UB=3V，UC=-3V。由此可得D点电势UD=_______V。

【命题意图】

考查匀强电场的特性、电势，在能力上考核分析、推理、应用物理知识解题的能力。

【解析思路】

UAC=UA-UC=18V，连接AC并把AC三等份，（如图）则中间两点的电势分别为9V和3V，这样B点必与F点在同一等势面，连接BF，过D点的等势面恰好过E点。所以D点的电势为9V。

【注】利用等分法在电场中找等势点，是解决此种问题的最基本的也是比较行之有效的方法。

例题拓展：图中A、B、C三点都在匀强电场中。已知AC⊥BC，∠ABC=60°，BC=20 cm。把一个q=10-5 C的正电荷从A移到B，电场力做功为零；从B移到C，电场力做功为-1.73×10-3 J，则该匀强电场的场强大小和方向是：

A.865 V/m，垂直AC向左

B.865 V/m，垂直AC向右

C.1000 V/m，垂直AB斜向上

D.1000 V/m，垂直AB斜向下

题型三：静电平衡类

这是指利用静电平衡状态导体具有的特点来求解的问题。静电平衡状态导体的特点：

（1）导体内部场强处处为零，表面上任一点的场强方向跟该点的表面垂直；

（2）整个导体为一个等势体，导体表面为一个等势面；

（3）导体的静电荷分布在外表面上，并且电荷的分布与表面的曲率有关，曲率大的地方电荷分布密。

因此，导体的表面尽管为等势面但导体表面的场强并不一定相同。

例3.一金属球原来不带电，现沿球的直径的延长线放置一均匀带电的细杆MN，如图所示。金属球上感应电荷产生的电场在球内直径上a、b、c三点的场强大小分别为Ea、Eb、Ec，三者相比：

A.Ea最大

B.Eb最大

C.Ec最大

D.Ea=Eb=Ec

【命题意图】

考查静电平衡状态的特点及电场强度的知识。

【解析思路】

根据导体在电场中处于静电平衡时的特点，知球内a、b、c三点的合场强都为零。而这三点的场强都是细杆MN和球体感应电荷分别产生的场强的合场强，因此细杆MN产生的场强与金属球上感应电荷产生的场强对球内同一点应大小相等、方向相反，而c点离细杆MN最近，故细杆产生的电场在c点的场强最大，那么，金属球上感应电荷产生的电场在c点的场强也就最大。因此，C正确。

静电场课堂教学第4篇

关键词：静电场,高斯定理,安培环路定理,相似点

0 引言

大学物理是理工科非物理专业的必修课程, 为其后续的专业课提供理论基础。电磁学部分在各专业中都起着尤为重要的作用, 其中静电场的高斯定理及磁场中的安培环路定理, 各版本教材都做了详细介绍, 可见两大定理在电磁学中的重要性。如何设计其教学过程, 对学生理解, 运用电磁学的相关知识起着关键作用。

1 两大定理的教学设计

1.1 静电场的高斯定理教学设计

1.1.1 引入

我们在前面学习了电场线, 在法拉第提出了电场线图示法之后, 数学家高斯将电场线量化, 提出了电通量的概念, 即:通过电场中任一面积的电场线数目叫做通过该面的电通量, 并且在电场线穿过闭合曲面时规定:电场线穿入闭合曲面时电通量为负, 反之穿出电通量为正[1]。接下来我们一起来求解以下几种情况, 通过各面的电通量。

1.1.2 定理推导

(1) 点电荷+q位于球面中心。

球面上任取一小面元, 面上方向与面元的方向相同, 且球面上各点场强大小相等, 则有:

结论:Φe与r无关。

(2) 点电荷+q在任意闭合曲面内。

在此闭合曲面内做一个以+q为球心的球面, 通过球面的电通量为由于电场线是不会中断, 有多少条电场线穿过球面, 便有多少条电场线穿过此闭合曲面, 即:

思考:若闭合面内是点电荷-q, 则通过闭合面的电通量为?

仍然以点电荷为球心, 做一个球面, 因为任取一小面元, 面的方向始终与场强方向相反, 且球面上场强处处相等, 可知:

则通过任意闭合面的电通量也为

(3) 点电荷在闭合曲面之外。

点电荷在闭合曲面外时, 由于电场线在没有电荷的地方不中断, 所以有多少条电场线穿入闭合曲面, 便有多少条电场线穿出这个闭合曲面, 则Φe=0。

(4) 闭合曲面内有n个点电荷, 外有m个点电荷。

等式右边第一项表示q1单独存在时, 通过闭合曲面的电通量, 第二项为q2单独存在时, 通过闭合曲面的电通量, 依此类推, 最后一项是qn+m单独存在时, 通过闭合曲面的电通量, 由于在闭合曲面外的电荷都不产生电通量, 则:

1.1.3 高斯定理的内容和数学表达式

(1) 内容:

在真空中的静电场内, 通过任意闭合曲面的电通量等于该面所包围电荷的代数和的ε0分之一[1]。

(2) 数学表达式:

思考:1) 高斯面上的与哪些电荷有关?

2) 哪些电荷对闭合曲面S的Φe有贡献?

强调说明:

1) 高斯面上的为内外所有电荷产生的电场强度矢量和。

2) 仅高斯面内的电荷对高斯面的电通量有贡献。

1.2 安培环路定理的教学设计

1.2.1 引入

在静电场中, 电场强度沿任意闭合环路的线积分恒等于零反映了静电场是保守力场。在稳恒磁场中, 磁感应强度B沿任意闭合环路的线积分等于多少呢?为简便起见, 下面讨论真空中无限长载流直导线所激发的磁场的情形。

1.2.2 定理推导

(1) 电流I通过环形回路中心。

如图1所示, 取一平面与载流直导线垂直, 并以这平面与导线的交点O为圆心, 在平面上作一半径为r的圆环, 在这圆环上任意一点的磁感应强度的大小为方向沿圆环的切线方向。若选取圆周的绕行方向与电流方向之间遵从右手螺旋关系, 则圆周上每一点的方向与该点附近线元的方向相同, 即之间的夹角θ=0°。所以磁感应强度沿着该闭合环路的线积分为:

上式表明, 只与穿过闭合环路的电流有关, 而与环路的半径r无关。

(2) 如图2所示, 电流I在任意闭合回路内[2]。

思考:若电流I反向, 则的环流为?

由此可见, 积分结果与电流方向有关。因此通常规定, 当环路绕行方向与电流方向之间遵从右手螺旋定则时, 该电流取正值, 反之取负值。

(3) 如图3所示, 电流I在闭合回路外[2]。

(4) 闭合回路内部有n根电流, 外部有m根电流。

1.2.3 安培环路定理内容和数学表达式

(1) 内容:

在真空中的磁场中, 磁感应强度B軑沿任何闭合路径的环流等于通过该闭合路径内的电流强度的代数和与真空磁导率μ0的乘积, 而与未穿过该回路的电流无关[1]。

(2) 数学表达式:

思考:

1) 闭合回路上的与哪些电流有关?

的环流与哪些电流有关?

强调说明:

1) 闭合回路上的为回路内外所有电流产生的磁感应强度矢量和。

2) 仅闭合回路内的电流对的环流有贡献。

2 相似性分析

定理推导过程中的模型都采用特殊到一般, 两大定理在推导过程中经过对比发现, 有着极其对称的相似性, 对比如下:

推导第一步:都采用特殊模型, 此时方向相同, 且面上各点的大小相等, 同样, 方向也相同, 且线上各点的大小也相等, 积分后结果都与半径r无关。

推导第二步:由特殊模型换为一般模型, 推导后发现, 积分后的结果与第一种情况一致, 说明积分结果与所选模型的形状无关。两个思考问题都是关于符号的问题, 若电荷变负电荷, 电流变反向, 结果发现, 积分结果也将变为负值, 大小不变。

推导第三步:电荷与电流在模型外, 积分结果都等于0。

推导第四步:模型内外包含若干电荷与若干电流, 得到结论相似:积分结果与外部电荷、电流无关, 仅与模型内部电荷、电流有关。

而两大定理中要强调的内容也及其相似, 相似一:高斯面上的为所有内外电荷产生的电场强度矢量和, 闭合回路上的为回路内外所有电流产生的磁感应强度矢量和。相似二:仅高斯面内的电荷对高斯面的电通量有贡献, 仅闭合回路内的电流对的环流有贡献。

3 结论

静电场的高斯定理和安培环路定理是电磁学中最基础最重要的两大定理, 通过对比发现, 二者的推导过程有着极其对称的相似性, 通过对比学习, 能让学生印象深刻, 对知识点的理解更加透彻, 对后续定理的应用起着极为关键的作用。

参考文献

[1]张丹海, 洪小达.简明大学物理[M].二版.北京:科学出版社, 2008:150-152, 186.

[2]王少杰, 等.大学物理学上册[M].二版.上海:同济大学出版社, 2002:235-236.

静电场知识点总结第5篇

一

物

理

选

修

3-1

《静

电

场》

总

结

一．

电荷及守恒定律

（一）1、三种起电方式：

2、感应起电的结果：

3、三种起点方式的相同和不同点：

（二）1、电荷守恒定律内容：

2、什么是元电荷：

______________，质子和电子所带电量等于一个基本电荷的电量。

3、比荷：

二.库仑定律

1、内容：

________________________________________________________________

2、公式：_________________，F叫库仑力或静电力，也叫电场力。它可以是引力，也可以是斥力，K叫静电力常量，_________________________。

3、适用条件：__________________（带电体的线度远小于电荷间的距离r时，带电体的形状和大小对相互作用力的影响可忽略不计时，可看作是点电荷）（这一点与万有引力很相似，但又有不同：对质量均匀分布的球，无论两球相距多近，r都等于球心距；而对带电导体球，距离近了以后，电荷会重新分布，不能再用球心间距代替r，同种电荷间的库仑力F，异种电荷间的库仑力F）。

4、三个自由点电荷静态平衡问题：

三．电场强度

1.电场

___________周围存在的一种物质。电场是__________的，是不以人的意志为转移的，只要电荷存在，在其周围空间就存在电场，电场具有___的性质和______的性质。

2.电场强度

物理意义：

定义：公式：__________，E与q、F____关，取决于_______，适用于____电场。

其中的q为__________________（以前称为检验电荷），是电荷量很______的点电荷（可正可负）。

单位：

方向：是____量，规定电场中某点的场强方向跟_______在该点所受电场力方向相同。

3.点电荷周围的场强

①

点电荷Q在真空中产生的电场________________，K为静电力常量。

②

均匀带点球壳外的场强：

均匀带点球壳内的场强：

4.匀强电场

在匀强电场中，场强在数值上等于沿______每单位长度上的电势差，即：_____。

5.电场叠加

几个电场叠加在同一区域形成的合电场，其场强可用矢量的合成定则（________）进行合成。

6.电场线

（1）作用：___________________________________________________________。

（2）性质：

7.等量异种电荷在连线上和中垂线上场强变化规律：

等量同种电荷在连线上和中垂线上场强变化规律：

三、电势能和电势、电势差

1．静电力做功的特点及用的思想方法：

2．电势能

（1））电场力做功与电势能的关系：在电场中移动电荷时，电场力对电荷做正功，电势能减少；电场力对电荷做负功，电势能增加。

（2电场力做的功等于电势能的变化量，即：__________________________

也就是说，电荷在电场中某点（A）的电势能，等于静电力（电场力）把它从该点移动到零势能位置（B）时电场力所做的功。若取

则

（对匀强电场）=（对所有电场）

（3）

特点：①

与参考点（零势能位置）选取有关；②是电荷与所在电场所共有的（4）

正（负）场源电荷周围的正（负）试探电荷的电势能是正还是负，为什么？

3.电势

电荷在电场中某点（A）的电势能（）与它的电荷量（q）的比值，叫做这一点的电势。用表示。即___________。电场中电势的高低：___________________。

电势零位置的选取与零电势能位置选取相似。

4．等势面：___________________________________________。它具有如下特点：

（1）电荷在同一等势面上移动，电场力不做功（而电场力做的功为零时，电荷不一定沿等势面移动）；

（2）等势面一定跟电场线_________；

（3）等差等势面密的地方场强______；

（4）任意两等势面都不会_________；

（5）电场线总是从电势较______的等势面指向电势较_________的等势面。

5.等量异种电荷在连线上和中垂线上电势变化规律：

等量同种电荷在连线上和中垂线上电势变化规律：

5．电势差

1）、定义：

用表示。

即

2）、也可这样说，电荷在电场中两点间移动时，电场力所做的功跟电荷电量的比值，叫做这两点间的电势差，也叫电压。

公式：______________________，电场中A、B两点间的电势差只取决于A、B两点在电场中的位置，与参考点的选取及被移动的电荷无关，U跟W、q无关。

3）单位：

1V的意义：

6．电场线、场强、电势、等势面的相互关系。

电场线与场强的关系；电场线越密的地方表示_________越大，电场线上每一点的______表示该点的场强方向。

电场线与电势的关系：_________________________________；

电场线与等势面的关系：电场线越密的地方等差等势面也越____________，电场线与通过该处的等势面_____________；

场强与电势无直接关系：场强大(或小)的地方电势不一定大(或小)，零电势可人为选取，而场强是否为零则由电场本身决定；

场强与等势面的关系：场强方向与通过该处的等势面______且由______电势指向___电势，等差等势面越密的地方表示场强越________。

总结

1、计算电场力做功的方法：

2、计算电势能的方法：

3、计算电势的方法：

四、电场中的导体

1.静电感应：电场中的导体内部的自由电子受到电场力作用，将向电场反方向做定向移动，结果使导体两端分别出现正负感应电荷。

2.处于静电平衡状态的导体的特征：

（1）内部场强（合场强）处处为零；

（2）整个导体是等势体，表面是个等势面；

（3）表面上任何一点的场强方向都跟该点表面垂直；

（4）净电荷只能分布在导体的外表面上。

3.静电屏蔽：金属网罩（或金属包皮）能把外电场遮住，使内部不受外电场的影响。

总结：画图说明静电屏蔽的两种方式：

四、电容器和电容

1.电容器：_______________________________________________________。

什么是电容器充电？放电？

2.电容

（1）定义：__________________________________________________。

（2）公式：___________，电容在数值上等于使电容器的两极板间的电势差增加1V所需的电量，与Q、U无关，只取决于电容器本身。

（3）单位：法拉（F）。

（4）平行板电容器的电容：随两极板间正对面积的增大而增大，随两极板间距离的减小而增大，随两极板间电介质的介电常数的增大而增大。即_____（真空中）

（5）接在电路中电容器的两种变化

电容器两端的电压恒定时：电量Q

CU∝C，而C

∝，E

∝．

充电后断开电路，电容器带电量Q恒定：C∝，U∝，E∝．

（五）带电粒子在电场中的运动

带电粒子在电场中要受电场力作用，因此要产生加速度。其速度、动能、电势能等都发生变化。设如图示平行金属板距离为d，极板长度为L，极板间的电压为U，现有一电荷量为q的带负电的粒子，以水平速度V0射入匀强电场中，V0⊥E，则：

水平方向（垂直电场方向）：匀速直线运动：

得：t=

1、侧移表达式：

竖直方向（沿电场方向）：v0=0的匀加速直线运动：

得：--------侧位移（偏转距离）

m，q

偏转角θ：粒子射出电场时垂直于电场方向的速度不变仍为v0，而沿电场方向的速度：

故电子离开电场时的偏转角为：

位移夹角：

粒子沿中线垂直射入电场中，离开电场时，好象从电场的中心0沿直线射出的。

说明穿出时刻的末速度的反向延长线与初速度延长线交点恰好在水平位移的中点。这一点和平抛运动的结论相同。

穿越电场过程的动能增量：ΔEK=Eqy

（注意，一般来说不等于qU）

总结

1、侧移和偏转角的两种表达方式：

2、求点迹在显示屏上偏转距离的三种表达方式：

二.重、难点突破：

1.两点电荷间的相互作用力大小总是相等，即遵守牛顿第______定律。点电荷是物理中的理想模型，当带电体间的距离远远大于带电体的线度时，可以使用库仑定律，否则不能使用。

例如：半径均为r的金属球如图1所示放置，使两球的边缘相距为r，今使两球带上等量的异种电荷Q，设两电荷Q间的库仑力大小为F，比较F与的大小关系。显然，如果电荷能全部集中在球心处，则二者相等。但依题设条件，两球心间距离3r不是远远大于r，故不能把两带电球当作点电荷处理。实际上，由于异种电荷的相互吸引，使电荷分布在两球较靠近的球面处，这样两部分电荷的距离小于3r，故，同理，若两球带现种电荷Q，则。

2.正确理解用比值定义的物理量，如电场强度，电势差，电容器的电容，用这些比值仅仅能测量出电场强度E、电势差U、电容C，作为一个量度式，E跟F、q，U跟W、q，C跟Q、U无关。

电场线只能描述电场的方向及定性地描述电场的强弱，并不是带电粒子在电场中的运动轨迹。带电粒子在电场中的运动轨道是由带电粒子受到的合外力情况和初速度情况来决定。

3.注意电势和电势差的区别与联系

（1）区别：电场中某点的电势与零电势点的选取有关（一般取无限远处或地球为零电势点）。而电场中两点间的电势差与零电势点的选取无关。

（2）联系：电场中某点的电势等于该点与零电势点间的电势差；而某两点的电势差等于这两点的电势的差值，即。

4.应用电场力做功的计算公式时，有两种方法：

（1）三个量都取绝对值，先计算出功的数值，然后再根据电场力的方向与电荷移动位移方向间的夹角确定是电场力做功，还是克服电场力做功。

（2）代入符号使用，将公式写成，特别是在比较A、B两点电势高低时更为方便：先计算，若，即，则；若，即，则。

[例]

如图所示，a、b、c是一条电场线上的三个点，电场线方向由a到c，a、b间的距离等于b、c间的距离。用和分别表示a、b、c三点的电势和电场强度，可以断定（）

A.B.C.D.分析：根据电场线的方向可判定电势的高低，确定场强的大小是根据电场线的密度，而题干中引用了“可以断定”的字样，对于“断定”或“一定”的说法，只要举一个反例，即可否定它；反之如果用的是“可能”的说法，只要能举出一个正例，就是“可能”的。

解答：根据沿电场线方向电势逐渐降低可判定（A）正确。

若此电场线是负点电荷产生的（点电荷在C的右边），则可判定B、C、D错误。

说明：（1）

只画出一条电场线，不能比较各点的场强大小；（2）

对于题干含有“可以断定”或“一定”或“可能”字样的选择题，采用特例法较好。

5.带电粒子在电场中的运动

（1）带电粒子在电场中的运动，综合了静电场和力学知识，分析方法和力学的分析方法基本相同：先分析受力情况，再根据初始状态分析粒子的运动性质（平衡、加速或减速，是直线还是曲线，是类平抛运动，还是圆周运动等），然后选用恰当的规律解题。

（2）在对带电粒子进行受力分析时，要注意两点：

①

要掌握电场力的特点，如电场力的大小和方向不仅跟场强的大小和方向有关，还与带电粒子的电量和电性有关；在匀强电场中，同一带电粒子所受的电场力处处是恒力；在非匀强电场中，同一带电粒子在不同位置所受的电场力不同。

②

是否考虑重力要依据具体情况而定：

a.基本粒子：如电子、质子、氘核、氚核、粒子、离子等，一般都不考虑重力（但并不忽略质量）。

b.带电微粒：如液滴、尘埃、小球等，除有说明或明确的暗示以外，一般都不能忽略重力。

（3）带电粒子的速度大小发生变化的过程是其他形式的能与动能之间的转化过程，解决这类问题，是恒力作用时，可用牛顿运动定律和运动学公式；而普通适用的是动能定理和能量守恒定律。

如选用动能定理，则要分清有哪些力做功？做的正功还是负功？是恒力做功还是变力做功？若电场力是变力，则电场力的功必须写成，找出初、末状态的动能增量。

※如选用能量守恒定律，则要分清有哪种形式的能在变化？怎样变化（是增加还减小）？能量守恒的表达形式有：

①

初态和末态的总能量相等，即；

②

某些形式的能量减少一定等于其它形式的能量增加，即；

③各种形式的能量的增量（）的代数和为零，即

（4）带电粒子在匀强电场中的偏转：

如果带电粒子以初速度垂直于场强方向射入匀强电场，不计重力，粒子做类似平抛运动，分析时，一般采用力学中分析平抛运动的方法：把运动分解为垂直于电场方向上的一个分运动——匀速直线运动：；另一个是平行于场强方向上的分运动——匀加速运动，粒子的偏转角为，根据已知条件的不同，有时采用动能定理或能量转化和守恒定律也很方便。

[例]

如图所示，在真空中倾斜放置有等量异种电荷的平行金属板，一带电、质量的带电体沿水平方向飞入电场，经A点时速度，经0.02s后回到A点，求：（1）板间的电场强度E；（2）金属板与水平方向的夹角。

分析：由于粒子能返回A点，故粒子做直线运动，且其合外力方向跟初速度方向相反，根据粒子的运动情况，可用运动学公式求出粒子的加速度，而粒子的受力情况是：重力G、电场力，利用力的合成和牛顿第二定律就可求得场强E，再根据力的图示可求出。

解答：粒子的运动轨迹应为直线，其受力分析如图所示，由于所受重力和电场力保持不变，故其合外力不变，粒子做类竖直上抛运动，由类竖直上抛运动的对称性可得，即，得。

利用牛顿第二定律得：

①

由图可得：

②

解①②得

代入数据解之得：，即金属板与水平方向的夹角为。

说明：

（1）

当两平行金属板相互错开时，其正对面积减小，但不论其怎样放置，首先一定要能认定电场线跟极板垂直。本题中，只有明确了电场线跟极板垂直，才能正确地确定带电体所受电场力的方向，这对于确定带电体的受力情况和运动情况起着关键性的作用；

（2）本题是一个典型的力、电综合题，解决这类问题的基本方法是：通过受力情况分析（做出力的图示）和运动情况分析，建立物理情境和物理模型（本题中确定带电体做类似竖直上抛运动），然后，根据所述物理模型利用已知量和所求量的关系建立方程或方程组，最后解得结果。

三、解析典型问题

问题1：会解电荷守恒定律与库仑定律的综合题。

求解这类问题关键进抓住“等大的带电金属球接触后先中和，后平分”，然后利用库仑定律求解。注意绝缘球带电是不能中和的。

例1、有三个完全一样的金属小球A、B、C，A带电量7Q，B带电量-Q，C不带电，将A、B固定，相距

r，然后让C球反复与A、B球多次接触，最后移去C球，试问A、B两球间的相互作用力变为原来的多少倍?

分析与解:题中所说C与A、B反复接触之间隐含一个解题条件：即A、B原先所带电量的总和最后在三个相同的小球间均分，则A、B两球后来带的电量均为=2Q。

A、B球原先是引力，大小为：

A、B球后来是斥力，大小为：

即F′，A、B间的相互作用力减为原来的4/7.例2、两个相同的带电金属小球相距r时，相互作用力大小为F，将两球接触后分开，放回原处，相互作用力大小仍等于F，则两球原来所带电量和电性（）

A.可能是等量的同种电荷；

B.可能是不等量的同种电荷；

C．可能是不量的异种电荷；

D.不可能是异种电荷。

分析与解：若带同种电荷，设带电量分别为Q1和Q2，则，将两球接触后分开，放回原处后相互作用力变为：，显然只有Q1=Q2时，才有F=F/，所以A选项正确，B选项错误；若带异种电荷，设带电量分别为Q1和-Q2，则，将两球接触后分开，放回原处后相互作用力变为：，显然只有在时，才有F=F/，所以C选项正确，D选项错误。

问题2：会分析求解电场强度。

电场强度是静电学中极其重要的概念，也是高考中考点分布的重点区域之一。求电场强度的方法一般有：定义式法、点电荷场强公式法、匀强电场公式法、矢量叠加法等。

例3、如图所示，用长为的金属丝弯成半径为r的圆弧，但在A、B之间留有宽度为d的间隙，且，将电量为Q的正电荷均匀分布于金属丝上，求圆心处的电场强度。

分析与解：中学物理只讲到有关点电荷场强的计算公式和匀强电场场强的计算方法，本问题是求一个不规则带电体所产生的场强，没有现成公式直接可用，需变换思维角度。假设将这个圆环缺口补上，并且已补缺部分的电荷密度与原有缺口的环体上的电荷密度一样，这样就形成一个电荷均匀分布的完整带电环，环上处于同一直径两端的微小部分所带电荷可视为两个相对应的点电荷，它们在圆心O处产生的电场叠加后合场强为零。根据对称性可知，带电圆环在圆心O处的总场强E=0。至于补上的带电小段，由题给条件可视做点电荷，它在圆心O处的场强E1是可求的。若题中待求场强为E2，则。设原缺口环所带电荷的线密度为，则补上的那一小段金属线的带电量在O处的场强为，由可得，负号表示与反向，背向圆心向左。

例4、如图所示，均匀带电圆环所带电荷量为Q，半径为R，圆心为O，P为垂直于圆环平面的对称轴上的一点，OP=L，试求P点的场强。

分析与解：设想将圆环等分为n个小段，当n相当大时，每一小段都可以看做点电荷。其所带电荷量为，由点电荷场强公式可求得每一点电荷在P处的场强为：

由对称性可知，各小段带电环在P处的场强E的垂直于轴向的分量相互抵消，而E的轴向分量之和即为带电环在P处的场强。

例5、如图所示，是匀强电场中的三点，并构成一等边三角形，每边长为，将一带电量的电荷从a点移到b点，电场力做功；若将同一点电荷从a点移到c点，电场力做功W2=6×10-6J,试求匀强电场的电场强度E。

分析与解：因为，所以

将cb分成三等份，每一等份的电势差为3V，如图3所示，连接ad，并从c点依次作ad的平行线，得到各等势线，作等势线的垂线ce，场强方向由c指向e，所以，因为，问题3：会根据给出的一条电场线，分析推断电势和场强的变化情况。

例6、如图所示，a、b、c是一条电场线上的三个点，电场线的方向由a到c，a、b间距离等于b、c间距离。用Ua、Ub、Uc和Ea、Eb、Ec分别表示a、b、c三点的电势和电场强度，可以判定：

Ua>Ub>Uc

Ua—Ub＝Ub—Uc

Ea>Eb>Ec

Ea=Eb=Ec

分析与解：从题中只有一根电场线，无法知道电场线的疏密，故电场强度大小无法判断。根据沿着电场线的方向是电势降低最快的方向，可以判断A选项正确。

有不少同学根据“a、b间距离等于b、c间距离”推断出“Ua—Ub＝Ub—Uc”而错选B。其实只要场强度大小无法判断，电场力做功的大小也就无法判断，因此电势差的大小也就无法判断。

例7、如图所示，在a点由静止释放一个质量为m,电荷量为q的带电粒子，粒子到达b点时速度恰好为零，设ab所在的电场线竖直向下，a、b间的高度差为h，则（）

A．

带电粒子带负电；

B．

a、b两点间的电势差Uab=mgh/q;

C．

b点场强大于a点场强；

D．

a点场强大于b点场强.分析与解：带电粒子由a到b的过程中，重力做正功，而动能没有增大，说明电场力做负功。根据动能定理有：mgh-qUab=0

解得a、b两点间电势差为Uab=mgh/q.因为a点电势高于b点电势，Uab>0,所以粒子带负电，选项AB皆正确。

带电粒子由a到b运动过程中，在重力和电场力共同作用下，先加速运动后减速运动；因为重力为恒力，所以电场力为变力，且电场力越来越来越大；由此可见b点场强大于a点场强。选项C正确，D错误。

问题4：会根据给定一簇电场线和带电粒子的运动轨迹，分析推断带电粒子的性质。

例8、图中实线是一簇未标明方向的由点电荷产生的电场线，虚线是某一带电粒子通过该电场区域时的运动轨迹，a、b是轨迹上的两点。若带电粒子在运动中只受电场力作用，根据此图可作出正确判断的是（）

A．

带电粒子所带电荷的符号；

B．

带电粒子在a、b两点的受力方向；

C．

带电粒子在a、b两点的速度何处较大；

D．

带电粒子在a、b两点的电势能何处较大。

分析与解：由于不清楚电场线的方向，所以在只知道粒子在a、b间受力情况是不可能判断其带电情况的。而根据带电粒子做曲线运动的条件可判定，在a、b两点所受到的电场力的方向都应在电场线上并大致向左。若粒子在电场中从a向b点运动，故在不间断的电场力作用下，动能不断减小，电势能不断增大。故选项B、C、D正确。

问题5：会根据给定电势的分布情况，求作电场线。

例9、如图所示，A、B、C为匀强电场中的3个点，已知这3点的电势分别为φA=10V,φB=2V,φC=-6V.试在图上画出过B点的等势线和场强的方向（可用三角板画）。

分析与解：用直线连接A、C两点，并将线段AC分作两等分，中点为D点，因为是匀强电场，故D点电势为2V，与B点电势相等。画出过B、D两点的直线,就是过B点的电势线。因为电场线与等势线垂直，所以过B作BD的垂线就是一条电场线。

问题6：会求解带电体在电场中的平衡问题。

+4Q

-Q

例10、如图所示，在真空中同一条直线上的A、B两点固定有电荷量分别为+4Q和-Q的点电荷。①将另一个点电荷放在该直线上的哪个位置，可以使它在电场力作用下保持静止？②若要求这三个点电荷都只在电场力作用下保持静止，那么引入的这个点电荷应是正电荷还是负电荷？电荷量是多大？

分析与解：①先判定第三个点电荷所在的区间：只能在B点的右侧；再由，F、k、q相同时∴rA∶rB=2∶1，即C在AB延长线上，且AB=BC。

②C处的点电荷肯定在电场力作用下平衡了；只要A、B两个点电荷中的一个处于平衡，另一个必然也平衡。由，F、k、QA相同，Q∝r2，∴QC∶QB=4∶1，而且必须是正电荷。所以C点处引入的点电荷QC=

+4Q.O

mBg

例11、如图所示，已知带电小球A、B的电荷分别为QA、QB，OA=OB，都用长L的丝线悬挂在O点。静止时A、B相距为d。为使平衡时AB间距离减为d/2，可采用以下哪些方法（）

A.将小球A、B的质量都增加到原来的2倍；

B.将小球B的质量增加到原来的8倍；

C.将小球A、B的电荷量都减小到原来的一半；

D.将小球A、B的电荷量都减小到原来的一半，同时将小球B的质量增加到原来的2倍。

分析与解：由B的共点力平衡图知，而，可知，故选项BD正确。

例12、如图甲所示，两根长为L的丝线下端悬挂一质量为m，带电量分别为+q和-q的小球A和B，处于场强为E，方向水平向左的匀强电场之中，使长度也为L的连线AB拉紧，并使小球处于静止状态，求E的大小满足什么条件才能实现上述平衡状态．

分析与解：对A作受力分析．设悬点与A之间的丝线的拉力为F1，AB之间连线的拉力为F2，受力图如图乙所示．根据平衡条件得

F1sin60°=mg，qE=k

+F1cos60°+F2，由以上二式得：E=k

+cot60°+，∵F2≥0，∴　当E≥k

+cot60°时能实现上述平衡状态．

问题7：会计算电场力的功。

-Q

-q

例13、一平行板电容器的电容为C，两板间的距离为d，上板带正电，电量为Q，下板带负电，电量也为Q，它们产生的电场在很远处的电势为零。两个带异号电荷的小球用一绝缘刚性杆相连，小球的电量都为q，杆长为L，且L

A．

B．0

C．

D．

分析与解：从功的公式角度出发考虑沿不同方向移动杆与球，无法得出电场力所做功的数值。但从电场力对两个小球做功引起两小球电势能的变化这一角度出发，可以间接求得电场力对两个小球做的总功。只要抓住运动的起点、终点两个位置两小球的电势能之和就能求出电场力的功。

初始两小球在很远处时各自具有的电势能为零，所以E0=0；终点位置两球处于图11所示的静止状态时，设带正电小球的位置为a，该点的电势为Ua，则带正电小球电势能为qUa;设带负电小球的位置为b，该点的电势为Ub，则带负电小球电势能为-qUb.所以两小球的电势能之和为：

Et=

所以电场力对两小球所做的功为：，即两个小球克服电场力所做总功的大小等于，选项A正确。

问题8：会用力学方法分析求解带电粒子的运动问题。

例14、如图所示，直角三角形的斜边倾角为30°，底边BC长为2L，处在水平位置，斜边AC是光滑绝缘的，在底边中点O处放置一正电荷Q，一个质量为m，电量为q的带负电的质点从斜面顶端A沿斜边滑下，滑到斜边上的垂足D时速度为V。

（1）在质点的运动中不发生变化的是（）

A．动能

B．电势能与重力势能之和

C．动能与重力势能之和

D．动能、电势能、重力势能三者之和。

（2）质点的运动是（）

A、匀加速运动

B、匀减速运动

C、先匀加速后匀减速的运动

D、加速度随时间变化的运动。

（3）该质点滑到非常接近斜边底端C点时速率Vc为多少？沿斜面下滑到C点的加速度ac为多少？

分析与解：（1）由于只有重力和电场力做功，所以重力势能、电势能与动能的总和保持不变。即D选项正确。

（2）质点受重力mg、库仑力F、支持力N作用，因为重力沿斜面向下的分力mgsinθ是恒定不变的，而库仑力F在不断变化，且F沿斜面方向的分力也在不断变化，故质点所受合力在不断变化，所以加速度也在不断变化，选项D正确。

（3）由几何知识知B、C、D三点在以O为圆心的同一圆周上，是O点处点电荷Q产生的电场中的等势点，所以q由D到C的过程中电场力做功为零，由能量守恒可得：

其中

得

质点在C点受三个力的作用：电场力F，方向由C指向O点；重力mg，方向竖直向下；支撑力FN，方向垂直于斜面向上.根据牛顿第二定律得：，即

解得：。

本题中的质点在电场和重力场中的叠加场中运动，物理过程较为复杂，要紧紧抓住质点的受力图景、运动图景和能量图景来分析。

问题9：会用能量守恒的观点解题。

例15、如图所示，在粗糙水平面上固定一点电荷

Q，在M点无初速释放一带有恒定电量的小物块，小物块在Q的电场中运动到

N点静止，则从

M点运动到N点的过程中:

A.小物块所受电场力逐渐减小；

B.小物块具有的电势能逐渐减小；

C.M点的电势一定高于

N点的电势；

D.小物块电势能变化量的大小一定等于克服摩擦力做的功。

分析与解：小物块应是先做加速运动后做减速运动，到N点静止，显然电场力做正功，摩擦力做负功，且正功与负功数值相等。由点电荷的场强E=,可得电场力F=qE逐渐减小，A正确。因为电场力做正功，故电势能逐渐减小，B正确。因点电荷Q的电性未知，所以M、N两点的电势高低不能确定，选项C错误。由能量关系知，选项D正确。综上所述，正确答案为ABD。

问题11：会解带电粒子在电场中的偏转问题。

例16、试证明荷质比不同的正离子，被同一电场加速后进入同一偏转电场，它们离开偏转电场时的速度方向一定相同。



分析与解：如图所示，设加速电压为U1，偏转电压为U2，偏转板长L，板距为d，离子离开电场时的速度为图中的V，它与水平分速Vx之间的夹角φ叫做偏向角，可以表示出V的方向，因此，只要证明φ与正离子荷质比无关即可。

对正离子的加速有

qU1=

对正离子的偏转，水平方向有Vx=V0,L=V0t；

竖直方向有

Vy=at=

偏向角φ的正切

解上述各式可得tanφ=，是一个与正离子荷质比q/m无关的量，可见，正离子离开偏转电场时速度方向相同。

问题13：会解电容器有关问题。

例17、一平行板电容器充电后与电源断开,负极板接地.在两极板间有一正电荷(电量很小)固定在P点,如图28所示.以E表示两极板间的场强,U表示电容器的电压,W表示正电荷在P点的电势能.若保持负极板不动,将正极板移到图中虚线所示的位置,则（）

A.U变小,E不变.B.E变大,W变大.C.U变小,W不变.D.U不变,W不变.分析与解：因为电容极板所带电量不变，且正对面积S也不变，据E=4πKQ/(ε.S)可知E也是不变。据U=Ed，因d减小，故U减小。因P点的电势没有发生变化，故W不变。故A、C二选项正确。

三、警示易错试题

典型错误之一：因错误判断带电体的运动情况而出错。

图

例18、质量为m的物块，带正电Q，开始时让它静止在倾角α=600的固定光滑绝缘斜面顶端，整个装置放在水平方向、大小为E=的匀强电场，如图31所示，斜面高为H，释放物体后，物块落地的速度大小为：

A、B、C、2

D、2;

错解：不少同学在做这道题时，一看到“固定光滑绝缘斜面”就想物体沿光滑斜面下滑不受摩擦力作用，由动能定理得得V=而错选A。

分析纠错：其实“固定光滑绝缘斜面”是干扰因素，只要分析物体的受力就不难发现，物体根本不会沿斜面下滑，而是沿着重力和电场力合力的方向做匀加速直线运动，弄清了这一点，就很容易求得本题正确答案应是C.典型错误之二：因忽视偏转电场做功的变化而出错。

例19、一个动能为Ｅk的带电粒子，垂直于电力线方向飞入平行板电容器，飞出电容器时动能为2Ｅk，如果使这个带电粒子的初速度变为原来的两倍，那么它飞出电容器时的动能变为：

A．8Ｅk；

B．5Ｅk；

C．4．25Ｅk；

D．4Ｅk．

分析纠错：因为偏转距离为，所以带电粒子的初速度变为原来的两倍时，偏转距离变为y/4,所以电场力做功只有W=0．25Ｅk，所以它飞出电容器时的动能变为4．25Ｅk,即C选项正确。

典型错误之三：因错误理解直线运动的条件而出错。

例20、如图所示，一粒子质量为m，带电量为+q，以初速度V与水平方向成450角射向空间匀强电场区域，粒子恰作直线运动。求这匀强电场最小场强的大小，并说明方向。

静电场能量公式的等价性证明第6篇

关键词电荷系统静电场能量做功等价

中图分类号：O441 文献标识码：A

0 引言

任何带电过程实质上都是正、负电荷的分离或者迁移过程，当我们分离正、负电荷时，外界必须克服电荷之间相互作用的静电力而做功。因此，根据能量守恒定律，带电系统通过外力做功便可获得一定的能量，外界所提供的能量必定转化为带电系统的静电能，它在数值上就应该等于外力克服静电力所做的功，所以任何带电系统都具有一定的能量。

1 不同电荷系统模型的静电场能量表达式

1.1 点电荷系的电能

3 结论

电荷系统产生电场，电场能量贮存在电场中。一方面，可以认为静电能是各电荷之间电势能的总和，也就是把电荷从无穷远处聚拢到一起时克服静电力所做的功，得到静电能的一种表达方式。另一方面，也可以认为静电能存在于电场中，总能量等于静电场能量密度在全空间的积分，得到静电能的另一种表达方式，可以证明两种表达方式是等价的。

参考文献

[1] 郭硕鸿.电动力学.北京：高等教育出版社，1979.42.

[2] 吴大猷.电磁学.北京：科学出版社，1983.45.

[3] 谢处方，饶克谨.电磁场与电磁波.高等教育出版社.

[4] 毛骏健，顾牡.大学物理学.高等教育出版社.

静电场测试题第7篇

1.一带电粒子射入一固定在O点的点电荷的电场中,粒子运动轨迹如图1所示的虚线abc所示.图中实线是同心圆弧,表示电场的等势面,不计重力,可以判断()

(A)此粒子一定受到静电斥力作用

(B)粒子在b点的电势能一定大于在a点的电势能

(C)粒子在b点的速度一定大于在a点的速度

(D)粒子在a点和c点的速度大小一定相等

2.两带电小球,电量分别为+q和-q,固定在一长度为L的绝缘细杆的两端,置于电场强度为E的匀强电场中,杆与场强方向平行,其位置如图2所示.若此杆绕过O点垂直于杆的轴线转过180°,则在此转动过程中电场力做的功为()

(A)零(B) qEL

3.如图3所示三个点电荷q1、q2、q3固定在一直线上,q2与q3的距离为q1与q2距离的2倍,每个电荷所受静电力的合力均为零,由此可以判定,三个电荷的电量之比q1:q2:q3为()

(A)-9:4:-36 (B) 9:4:36

(C)-3:2:-6 (D) 3:2:6

4.如图4所示.Q是带正电的点电荷,P1和P2为其电场中的两点.若E1、E2为P1、P2两点的电场强度的大小,φ1、φ2为P1、P2两点的电势,则()

(A) E1>E2,φ1>φ2

(B) E1>E2,φ1<φ2

(D) E1φ2

5.如图5所示,a、b为竖直向上的电场线上的两点,一带电质点在a点由静止释放,沿电场线向上运动,到b点恰好速度为零,下列说法中正确的是()

(A)带电质点在a、b两点所受的电场力都是竖直向上的

(B) a点的电势比b点的电势高

(C)带电质点在a点的电势能比在b点的电势能小

(D) a点的电场强度比b点的电场强度大

6.若带正电荷的小球只受到电场力作用,则它在任意一段时间内()

(A)一定沿电场线由高电势处向低电势处运动

(B)一定沿电场线由低电势处向高电势处运动

(C)不一定沿电场线运动,但一定由高电势处向低电势处运动

(D)不一定沿电场线运动,也不一定由高电势处向低电势处运动.

7.一个带正电的质点,电量q=2.0×10-9C,在静电场中由a点移到b点.在这过程中,除电场力外,其他力做的功为6.0×10-5J,质点的动能增加了8.0×10-5 J,则a、b两点间电势差Uab为()

(A) 3.0×104 V (B) 1.0×104 V

8.在静电场中()

(A)电场强度处处为零的区域内,电势也一定处处为零

(B)电场强度处处相同的区域内,电势也一定处处相同

(C)电场强度的方向总是跟等势面垂直的

(D)沿着电场强度的方向,电势总是不断降低的

9.如图6所示,a、b、c是一条电场线上的三个点,电场线的方向由a到c,a、b间的距离等于b、c间的距离,用φa、φb、φc和Ea、Eb、Ec分别表示a、b、c三点的电势和电场强度,可以判定()

10.如图7所示,实线是一簇未标明方向的由点电荷产生的电场线,虚线是某一带电粒子通过该电场区域时的运动轨迹,a、b是轨迹上的两点.若带电粒子在运动中只受电场力作用,根据此图可作出正确判断的是()

(A)带电粒子所带电荷的符号

(B)带电粒子在a、b两点的受力方向

(C)带电粒子在a、b两点的速度何处较大

(D)带电粒子在a、b两点的电势能何处较大

二、填空题

11.某同学为完成电场中等势线描绘的实验,准备使用如图8所示的实验器材,请回答下列问题:

(1)如图8所示器材中,A和B是______,D是______,E1和E2是______.

(2)如图8所示,C是铺在木板上的导电纸,复写纸,白纸,这三种纸自下而上的铺叠顺序是______.

12.一质量为4.0×10-15 kg,电量为2.0×10-9 C带正电的质点,以4.0×104m/s速度垂直于电场方向从a点进入匀强电场区域,并从b点离开电场区域,离开电场时速度为5.0×104m/s,由此可知,电场中a、b两点间电势差Uab=______V,带电质点离开电场时,速度在电场方向的分量为______m/s.(重力忽略)

13.如图9所示,一平行板电容器,电容为C,A板接地,中间一小孔,通过这小孔连续不断向电容器射入电子,电子射入小孔时速度为v0,单位时间内射入电子数为n.电子质量为m,电量为e,电容器原来不带电,电子射到B板后均留在B板上,则电容器两板间能达到的最大电势差应为______,从开始射入电子到电容器两极板电势差达最大所需的时间至少为______.

三、计算题

14.两个点电荷,电量分别是q1=8×10-9C和q2=-8×10-9 C,两者固定于相距20 cm的a、b两点上,要使一个点电荷放在某点恰好能静止不动,求这点的位置.

15.如图10所示,竖直实线为电场线,质量为m,电量为-q的质点P从电场边缘A射入电场,并沿直线AB从B飞出,AB直线与电场线夹角为θ,A、B两点相距为d,则A、B两点的电势差为多少?简述得出结果的理由.

16.如图11所示,有一电子经电压U0加速后,进入两块间距为d,电压为U的平行金属板间,若电子从两板正中间射入,且正好能穿出电场,求:

(1)金属板的长度;

(2)电子穿出电场时的动能.

17.如图12所示,绝缘细杆立于绝缘水平地面上,环上套一质量为m、带电量为q的小环,小环和绝缘杆之间的摩擦力f大小不变,且f

参考答案

一、1.(A)(B)(D) 2.(C) 3.(A)4.(A) 5.(A)(B)(D) 6.(D) 7.(B)8.(C)(D) 9.(A) 10.(B)(C)(D)

二、11.(1)圆形电极、灵敏电流表、探针(2)白纸复写纸导电纸

12.900,3×104 13.

三、14.如图13,

浅谈“静电场”的学习第8篇

“静电场”是高中物理电学部分的第一章, 处于承上启下作用.既是力学的延伸又是电磁学、光学知识的基础.本章的核心内容是电场的概念以及描述电场特性的物理量.课本从电荷在电场中受力人入手, 引入电场强度的概念, 明确它是表示电场强弱的物理量.然后, 通过将电场力做功与路径无关和重力做功与路径无关进行类比, 得出电荷在电场中具有由位置决定的能量——电势能, 在此基础上, 同引入电场强度的方法相同 (比值定义法) , 引入描述电场的另一个物理量——电势.这样, 通过几个相关物理概念的讨论, 完成对静电场性质的初步认识.

通过本章内容的学习, 学生感觉满脑子都是问题, 特别是电场强度的大小和方向、电场力的大小和方向、电势能的大小及变化、电势的高低等以及它们之间的联系, 纵横交错, 头绪繁多, 不易掌握.产生这些现象的原因, 除学生课后不能及时巩固消化外, 书本知识本身也比较抽象, 具有一定的难度, 再有就是教材讲解比较简略, 电荷有正负之分也使问题复杂化.在实际教学过程中, 我们应充分利用好教材, 在不增加教学内容的前提下, 搞清基本概念和它们之间的相互联系, 掌握好解决问题的思路和方法, 并配合一定数量的练习, 我想是能找到解决问题的钥匙的.因此在实际学习过程中应注意以下几点:

一、要狠抓电场线

电场线是形象描述电场性质的一簇假想的曲线, 曲线上每一点的切线方向与该点的场强方向一致.除了弄清各种特殊电场的电场线的分布情况外, 还应弄清电场中电场线的几个特点:

(1) 电场线从正电荷 (或无穷远处) 出发, 终止于无限远处 (或负电荷) ;

(2) 电场线在电场中不相交, 这是因为在电场中任意一点的电场强度方向不可能有两个方向;

(3) 在同一幅图中, 电场强度较大的地方电场线较密, 电场强度较小的地方电场线较疏, 因此可以用电场线的疏密来表示电场强度的大小;

(4) 电场线上某点的切线方向表示该点的场强方向.特别强调的是电场线不是电荷运动的轨迹, 也不是客观存在的线.在特定的条件下电荷的运动轨迹可以与电场线重合, 如带电粒子只在电场力作用下, 初速度为0或初速度方向与电场线重合且电场线为直线的情况下轨迹才能与电场线重合.

二、要明确几个概念

(1) 电场强度:电场强度是矢量, 电场中某点场强的方向就是正电荷在该点所受电场力的方向, 负电荷在该点所受电场力的方向与场强的方向相反;

(2) 电势能:电荷在电场中某点的电势能为把电荷从该点移到零势能点过程中电场力做的功;

(3) 电势:电势是标量, 沿着电场强度的方向 (即沿着电场线的方向) 电势逐渐降低;

(4) 电场力移动电荷做正功, 电荷的电势能减少;电场力移动电荷做负功 (即外力反抗电场力做功) , 电荷的电势能增加;

(5) 电容:电容器所带电量Q与电容器两极板间的电势差U的比值叫电容器的电容, 在数值上等于使电容器两极板间电势差为1 V时电容器需要带的电荷量.

三、要弄清场强、电势能及电势的正负

(1) 场强是矢量, 其正、负只说明它的方向与所设正方向相同或相反, 并不表明正值大于零、零大于负值的数量关系;

(2) 电势能是标量, 其正负表示电荷在该点的电势能较所设零电势能处的电势能大或小;

(3) 电势为标量, 其正负表示该点的电势较所设零电势处 (即零电势能处) 的电势高或低.由于电势能和电势都是标量, 当其零位置选定以后, 即有正值大于零、零大于负值的数量关系.但我们经常要计算的是电势能的改变量和两点间的电势差, 它们的值均与零位置的选择无关.

四、要理解相关公式的物理意义及其之间的区别与联系

$(1) E = \frac{F}{q}$ 为电场强度的定义式, 即电场强度E等于电荷在该点受电场力 (库仑力) 与其电荷量之比.适用于一切电场.

$(2) E = \frac{k Q}{r^{2}}$ 为真空中点电荷产生场强的决定式, 即点电荷产生的场强与电荷量以及该点距点电荷的位置有关.只适用于真空中点电荷.

$(3) E = \frac{U}{d}$ 为匀强电场中电场强度与电势差的关系.公式中的d 为沿着电场线方向的距离.只适用于匀强电场,

$(4) ϕ = \frac{E_{p}}{q}$ 电荷在电场中某点的电势等于电荷在该点的电势能与电荷量的比值 (电荷在电场中某点的电势能为把电荷从该点移到零势能点过程中电场力做的功) .EP、q有正负, 计算时正负号一并代入.

$(5) U_{A B} = \frac{W_{A B}}{q}$ 电场中A、B两点的电势差等于电荷从A到B过程中电场力做的功与其电荷量的比值.WAB、q有正负, 计算时正负号一并代入.

$(6) C = \frac{Q}{U}$ 为电容器电容的定义式, 表示电容器容纳电荷本领的物理量, 其数值等于两极板间电压为1 V时, 电容器所带的电荷量 (某一极板所带电量的绝对值) .需要的电荷量多, 表示电容器的电容大.

$(7) C = \frac{ε S}{4 π k d}$ 为平行板电容器电容的决定式, 即电容器的电容C与其所带电荷量Q及两极板间电压U均无关, 而由其本身的性质决定.

五、要掌握几种解决问题的方法

(1) 电势及电势能的大小、正负判断方法

①根据场源电荷判断:

离场源正电荷越近, 电势越高, 检验正电荷的电势能越大, 检验负电荷的电势能越小;离场源负电荷越近, 电势越低, 检验正电荷的电势能越小, 检验负电荷的电势能越大.

②根据电场线判断:

顺着电场线的方向、电势逐渐降低, 检验正电荷的电势能减少, 检验负电荷的电势能增加;逆着电场线的方向, 电势逐渐升高, 检验正电荷的电势能增加, 检验负电荷的电势能减少.

③根据电场力做功判断:

电场力对正电荷做正功时电势降低, 做负功时电势升高;电场力对负电荷做正功时电势升高, 做负功时电势降低.

④根据公式EP=qϕ判断:

设ϕA>ϕB,

当q>0时, qϕA>qϕB , 即EPA>EPB ,

当q<0时, qϕA<qϕB, 即EPA<EPB

可总结为:正电荷在电势高的地方电势能大, 在电势低的地方电势能小.

负电荷在电势高的地方电势能小, 在电势低的地方电势能大.

(2) 依据带电粒子的运动轨迹和电场线 (或等势面) 来判断有关问题的方法

此类问题应掌握以下几个要点:

①带电粒子的轨迹的切线方向为该点处的速度方向.

②带电粒子所受合力 (往往仅为电场力) 应指向轨迹曲线的凹侧, 再依电场力与场强同向或反向, 即可确定准确的力的方向.

③在一段运动过程中, 若合力与速度方向的夹角小于90°, 则合力做正功, 动能增加;若夹角大于90°, 则合力做负功, 动能减小;若夹角总等于90°, 则动能不变;只有电场力做功时, 电势能变化与动能变化相反.

(3) 由电场线和运动轨迹判断带电粒子运动的方法

分析带电粒子在电场中运动轨迹问题时, 应注意:①做曲线运动的粒子所受合外力方向指向曲线凹侧.②速度方向沿轨迹的切线方向, 具体分析方法是:

第一步:根据带电粒子弯曲方向, 判断出受力方向和初速度的方向.

第二步:把电场线方向、受力方向与电性相联系.

第三步:把电场线的疏密和受力大小、加速度大小相联系.

第四步:把电场力的功与能量、动量的变化相联系.

(4) 带电粒子在匀强电场和重力场的复合场中运动问题的处理方法

由于带电粒子在匀强电场中所受的电场力与重力都是恒力, 因此处理方法主要有两种:

①正交分解法

处理这种运动的基本思想与处理偏转运动是类似的, 可以将此复杂的运动分解为两个互相正交的比较简单的直线运动, 而这两个直线运动的规律是可以掌握的, 然后再按运动合成的观点去求出复杂运动的有关物理量.

②等效“重力”法

将重力与电场力进行合成, 如图1所示, 则F合等效为重力场中的“重力”, $a = \frac{F_{合}}{m}$ 等效为“重力加速度”, F合的方向等效为“重力”的方向, 即在重力场中的竖直向下方向.等效法是从效果等同出发来研究物理现象和物理过程的一种科学方法.等效的概念在中学物理中应用很广.例如:力的合成和分解, 运动的合成与分解, 交流电的有效值等, 它们的计算都是应用等效法求出的.应用等效“重力”法解题时, 要注意运用重力场中已熟知的一些结论来解题.

(5) 电容器两类典型问题的分析方法

①平行板电容器连接在电源两端时, 电容器的d、S、ε发生变化, 将引起电容器的C、Q、U、E变化?

由于电容器始终接在电源上, 因此两板间电势差U保持不变.

由 $C = \frac{ε S}{4 π k d}$ 可知C随ε、S、d变化而变化

由 $Q = U C = \frac{ε U S}{4 π k d}$ 可知Q也随ε、S、d变化而变化

由 $E = \frac{U}{d}$ 知E随d的变化而变化

②平行板电容器充电后, 切断与电源的连接, 电容器的d、ε、 S变化, 将引起电容器的C、Q、U、E怎么变化?

由于电容器与电源断开, 因此两极板上的电量Q保持不变.

由 $C = \frac{ε S}{4 π k d}$ 知C随ε、S、d的变化而变化

由 $U = \frac{Q}{C} = \frac{4 π k d Q}{ε S}$ 知U随ε、S、d的变化而变化

由 $E = \frac{U}{d} = \frac{Q}{C d} = \frac{4 π k Q}{ε S}$ 知E随ε、S变化而变化

另外, 还可以形象地分析:认为一定量的电荷对应着一定数目的电场线, 若电荷量不变, 则电场线数目不变, 当两板间距变化时, 场强不变;当两板正对面积变化时, 引起电场线的疏密程度发生了改变, 如图2所示, 电容器的电荷量不变, 正对面积减小时, 场强增大.

探究带电体的静电场第9篇

1 用电场强度的叠加原理解带电体的电场

均匀带电细导线，其形状是典型函数曲线或者是简单曲线的组合体，使用电场强度的叠加原理解其电场是简单可行的。而不规则的带电曲线，尤其是不能分解为多个简单曲线的组合体，这样的带电导线的电场用此法就不可行。

下面用实例加以说明：

1.1 均匀带电圆环，中轴线上一点的电场强度带电量是Q库仑，半径是R，场点P到圆心O的间距是a。

用库仑定律的微分形式，将带电环分割为无限多份，进行积分，可得带电圆环中轴线上任一点的电场强度，与电量成正比，与距离与正比，与半径、距离平方和的二分之三次方成反比。

解：将圆环分割成无限多份，每一份的带电量为dq，圆周长l=2πR，单位长度的电量λ=Q/l, dq=λdl，该点电荷到P点的距离是 (R2+a2) 1/2，在P点产生的电场强度为，由于电荷分布的对称性，除了沿轴线方向的电场强度分量外，其它方向的分量均相互抵消;在轴线方向的分量是。

则圆环在P点产生的合电场强度为

1.2 均匀带电球壳的电场分布

将球壳分解为无限多个圆环，每个圆环在中轴线上产生电场强度可用上例的结论，球壳产生的电场求法是：用库仑定律的微分形式，将带电球壳分割为无限多份，利用带电圆环的中轴线上一点的电场强度表达式进行积分，可得带电球壳中轴线上任一点的电场强度，与电量成正比，与距离平方反比;球壳内的电场强度为零。

解：

上式是球壳外面的情况，即x≥R

如果在球壳的内部，即x

2 用电场强度的叠加原理解带电体电场的局限性

2.1 不能用初等函数表示的曲线形状带电导线

如果带电导线的形状是不能用初等函数表示，则将导线分割成无限多段后，每一小段电荷元不能用同一函数式表示，用积分式求解合电场就不能实现。

2.2 形状不能用几个规则形状组合的导体

如果带电导体的形状是一个不规则的形体，也不能分割成几个规则形体的组合体，则就不能用几个规则带电体的电场进行求合电场。

这类问题虽然不能用为为库仑定律、电场强度的叠加原理求出电场强度的准确分布，但是用理论计算的方法求解还是有办法的。办法是：近似计算的方法。根据带电体的形状，可以分解为几段，把每一段看成一个点，应用库仑定律分别求解每一段产生的电场强度，再进行求所有点的矢量和。为了逼近准确值，可以进一步将分解的段数增加，进一步计算，再次求所有点的矢量和。依次进行下去，分得份数越多，求出的结果与真实值越接近，直到满足生产要求为止。

这种方法的运算量可想而知，应该是十分巨大的。降低工作量的方法是运用运算速度最快的计算机，方法是：将带电体的形状用绘图设备，制作成按一定比例大小的图形，输入到计算机中。用屏幕定位工具，将图形分解成多段，并将每段的位置转换成坐标值，作为己知数据。再用可用于计算的编程软件编制计算公式，并将结果分解成分量式，用循环函数命令将多段数据分别代入到公式中运算，再分别求分量和，最后求总和。只要在将图形分解时，份数越多，计算结果越逼近真实值，运算量越大。但是，对于计算机而言，这不是一个问题，因为计算机的优势就是具有高速的计算能力。所以，如果想得到符合工作要求的结果，利用计算机帮助求解，将是十分容易实现的事情。这种方法的难点是必须会用以上有关应用软件，用好软件就象用好计算器一样，使工作变得更加轻松。

3 用高斯定理解带电体的电场

3.1 无限长均匀带电导线产生的电场

由于无限长均匀带电导线的电荷是轴对称分布，因此电场的分布也是轴对称分布的，选择一个轴线与导线重合的圆筒闭合面，将导线包围起来，则圆筒侧面上各点的电场强度是相等的，而且方向号圆筒面处处垂直;圆筒底面上各点的电场强度的方向处处与底面垂直。用高斯定理求解导线周围任一点的电场强度的积分容易实现，从而电场强度可求。

3.2 无限长均匀带电圆柱筒

由于无限长均匀带电圆柱筒的电荷是轴对称分布，因此电场的分布也是轴对称分布的，选择一个轴线与圆柱筒轴线重合的圆筒闭合面，将导线包围起来，则圆筒侧面上各点的电场强度是相等的，而且方向号圆筒面处处垂直;圆筒底面上各点的电场强度的方向处处与底面垂直。用高斯定理求解圆柱筒内外任一点的电场强度的积分容易实现，从而电场强度可求。

3.3 均匀带电介质球体

均匀带电介质球体的电荷是球对称分布，因此电场的分布也是球对称分布的，选择一个与介质球同心的球面，则球面上各点的电场强度大小相等，电场强度的方向处处与球面垂直。因为从距球心相同距离上的各点上看，周围电荷是完全相同的，所以电场强度的大小是相等的，而方向是以球心为起点的射线，选高斯面为球壳，球心为该面的中心，应用高斯定理的积分，可变为非积分形式，可求得：此时电场分布与电荷集中在球心里一样的。

解：用求解的具体步骤如下：

因为从距球心为γ的各点上看，周围电荷是完全相同的，所以电场强度的大小是相等的，而方向是以球心为起点的射线，选高斯面s=4πr2，球心为该面的中心，当γ>R, R为球的半径，则S包围的电荷为Q球面上总电量。

由于，与同向，设Q>0，则:

又在s=4πr2上各点的E相同。上式

此时电场分布与电荷集中在球心里一样的。

3.4 无限大平面导体

无限大均匀带电平面导体，电荷是面对称分布的，因此电场的分布也是面对称分布的，选择一个与平面垂直的圆柱体，圆柱体的上下底面与平面平行;两底面上各点的电场强度大小相等，方向与底面垂直，侧面各点的电场强度方向处处与侧面垂直。用高斯定理求解平面附近任一点的电场强度的积分容易实现，从而电场强度可求。

3.5 无限大带等量异种电荷的平行导体板

这种带电体产生的电场是匀强电场，所以用高斯定理求解电场强度更容易实现，方法与无限大平面的电场方法相同。

4 高斯定理的局限性

4.1 一段带电导线

由于带电导线是一段，电荷分布不具有对称性，自然电场强度的分布也不具有空间对称性，因此电场强度的面积分就比较困难，由高斯定理求解电场强度就不能实现。

4.2 半圆环带电导体

带电半圆环导线上电荷分布不具有对称性，电场强度的分布也不具有对称性，电场强度的面积分就比较难求，由高斯定理求解电场强度就不能实现。

4.3 半球形带电导体

带电半球形导体上电荷分布不具有对称性，电场强度的分布也不具有对称性，电场强度的面积分就比较困难，由高斯定理求解电场强度就不能实现。

5 用电势的梯度解带电体的电场

5.1 一段带电导线

由于带电导线的电势是电荷空间分布的线积分，较容易求解，所以再求电场强度时，用电势梯度的负值也就是求电势函数的导数就能够求解。

5.2 均匀带电圆盘

由于带电圆盘的电势是电荷空间分布的线积分，较容易求解，所以再求电场强度时，用电势梯度的负值也就是求电势函数的导数就能够求解。

5.3 均匀带电半球体

由于带电半球体的电势是电荷空间分布的线积分，较容易求解，所以再求电场强度时，用电势梯度的负值也就是求电势函数的导数就能够求解。

6 电势梯度的局限性

6.1 非初等函数形状的带电导线

如果带电导体的电势分布不能用初等函数表示出来，那自然也无法用电势梯度的负值来求解电场强度。

6.2 不能用多个规则形状组合为一体的带电导体

如果带电导体的形状不能用几个规则体组合而成，那么导体的外形就不能用初等函数表示，因此求解导体的电势分布自然就难以作到，求解电场强度也就不能实现了。

7 用场强仪测量带电体的电场

不论是什么形状的带电导体，也不论其形状的大小，用静电测试仪均可以测量。

目前业界主要在使用的是静电电场计，DC-feedback静电电压表、AC-feedback静电电压表这三种。

为了方便理解测量仪器的工作原理和性能，我们先从取样原理(即对被测物表面静电压的感应原理)来分析，取样原理是应用了Ke lvin振动电容感应探头。假设探头与被测表面如同一平板电容，在这种结构中由于探头的正弦振动就感应产生一个电子流I，这种电流会与被测表面的电压值成一定比例，这个电流I会通过相位感应解调电路被放大和解调而处理成为一个电压信号Vp，这个电压信号直接与电流I的值成一定比例。静电电压表与静电电场计就是利用这种方式来取样到被测表面的静电压信号，但它们区别就在于如何去处理那个Vp信号。用这个VP信号在电压表中反映出来，就是物体表面附近的电场强度值。

如果物体表面的电荷量随时间变化迅速，那就需要测量瞬间电场的仪器，并且能记录瞬间值，并进行存储.因此测量频率或响应速率问题也是十分重要的。因为物体表面带的静电是随时间变化而变化的。若仪器本身的测量频率不够，就不能实时或正确反映物体表面带静电量。特别是像分离式产生静电，这种静电产生和变化的速度是很快的，若没有高频的静电电压表是无法抓取到分离时的尖峰带电量的。

8 场强仪的使用范围

如果某一空间的电场是变化的，并非是带电体附近的电场，那么使用静电场测量仪就不能测量出来。

在电平表的输入端，连接一个天线，用来接收空间的变化电场，在天线上感应出电压，就可以测量变化的电场了.这就是变化电场的测量仪器 (场强仪和频谱仪) 的工作原理。

电平表(或电压表)它量度的电压值是在仪表的输入端口，而场强仪所量度的电压(或叫电势)是天线在空中某一点感应的电压。严格来说，场强仪是由电平表和天线组成。

从原理上来说频谱仪、电平表、场强仪(主机)基本原理方框是一样的。频谱仪本身就是测量频谱范围内的信号电平，如果用“零跨导”则就是一个选频电平表。如果加上标准测试天线在频谱仪上不就是可测量场强了吗!比较好的频谱仪，它可以将天线系数存在机内，使用时直接显示场强数值μV/m。

用频谱仪加上测试天线可以测量场强，当频谱仪可以存天线系数的，那么可以直接显示μV/m单位场强。如果不可存天线系数频谱仪，则需要用理论公式，代入天线系数进行计算。如果用没有天线系数的一般接收信号用的天线，那么只能在空间测量场强的强弱，而不能得出场强μV/m量值，即只能作定性测试分析，不可作定量测试分析。

静电场课堂教学第10篇

例1如图1中在平行板电容器的上端,距上板h处有个质量为m,电量为-q的带电小球.小球由静止自由下落,从上板的中央开口处进入电场,电容器两板间距离为d.为使小球不落在电容器下极板上,求:电容器两板间的电压U至少为多大?

解法1:选小球为研究对象,小球的运动分为两个阶段.

第一阶段小球做自由落体运动,下落高度h时获得速度v0,则:

第二阶段小球进入电场做匀减速运动,由牛顿第二定律和运动学规律得:

由①、②、③、④联立解得:

解法2:选小球为研究对象,运用动能定理,确定小球在最高点为初状态,刚好落在下极板上速度为0时为末状态,则有mg(h+d)-qU=0-0,得

解法3:选择小球、地球、电场为系统,因为只有重力和电场力做功,所以系统机械能和电势能之和守恒.初态只有重力势能G(h+d)(选择下极板为重力势能零点),末态只有电势能qU(选择上极板处为零电势点).则:

本题有多种解法,应用不同的规律,相应有不同的解法,但最后都可以得到相同的结果.很显然上述三种解法以第三种最为简便.

我们研究带电粒子在电场中的运动,主要有两种方法:

第一种方法是利用牛顿运动定律和运动学公式求解.在匀强电场中,已知场强和粒子的电量,可以求出粒子所受的电场力,由粒子的质量和电场力,根据牛顿第二定律,可以求出粒子的加速度.从粒子的初速度和加速度,可以根据运动学公式来解决粒子的运动情况.这种方法,对带电粒子在匀强电场中的运动是适用的,而非匀强电场则很难解决.

第二种方法用到了能量守恒定律来求解,即寻找“守恒量”求解.而第二种方法,不仅适用于匀强电场,对粒子在非匀强电场中也是适用的,而且也比前面的方法要简洁.

若能巧妙的利用“守恒量”,不但可以大力的提升思维,也可对静电场类问题进行快速简洁的解答.如何有效的利用静电场中能量的“守恒量”,请看下面的几种情况.

一、带电粒子在电场中运动时,若只有静电力做功,只发生电势能和动能的转化,则电势能和动能之和保持不变,即电势能+动能=定值.

例1图中虚线所示为静电场中的等势面1、2、3、4,相邻的等势面之间的电势差相等,其中等势面3的电势为0.—带正电的点电荷在静电力的作用下运动,经过a、b点时的动能分别为26 eV和5 eV.当这一点电荷运动到某一位置,其电势能变为-8 eV时,它的动能就为()

(A)8 eV (B)15 eV

解析:正电荷只受静电力作用,在运动过程中只发生电势能和动能之间的相互转化,则此正电荷的电势能和动能之和保持不变.由于相邻的等势面之间的电势差相等,故经过相邻等势面动能改变7 eV.以等势面3为准,电势能p3=0,动能Ek3=12 eV,故电荷总能量E=EEp3+Ek3=12 eV,当这一点电荷运动到某一位置,其电势能变为-8 eV时,它的动能就为20eV.答案:(C).

练习:

1.如图3所示,实线是电场线,虚线是等势面,相邻两等势面之间的电势差相等,一个正电荷在等势面P处时的动能为20 J,当运动到等势面N时动能为零.现取O面为零电势参考平面,则当此电荷的电势能为4 J,它的动能为(不计重力)()

(A)4 J (B)6 J

二、若只有静电力和重力做功时,电势能、重力势能与动能之和保持不变,即电势能+重力势能+动能=定值

例2如图4所示,在场强为E的水平匀强电场中,有一长为L,质量可以忽略不计的绝缘杆可绕通过其中点并与场强方向垂直的水平轴O在竖直面内转动,杆与轴间摩擦可以忽略不计.杆的两端各固定一个带电小球A和B,A球质量为2m,带电量为+2Q;B球质量为m,带电量为-Q.开始时使杆处在图中所示的竖直位置,然后让它在电场力和重力作用下发生转动,求杆转过90°到达水平位置时A球的动能多大?

解析:系统只有重力和电场力做功,因此系统重力势能、电势能、动能的总量不变.设B处为零重力势能点,AOB所在竖直面为零电势面,如图5所示.

则转动前系统总能量为E1=mAgL.

因,设转动到水平位置后A、B的速度均为v,则转动后系统的总能量为

根据能量守恒得

练习:

2. 如图6所示,一质量为m的物块带正电Q,开始时让它静止在倾角θ=60°的固定光滑斜面顶端,整个装置放在大小为、方向水平向左的匀强电场中,斜面高为H,释放物块后,物块落地时的速度大小为()

3. 如图7所示,有两个完全相同的金属球a、b,b固定在绝缘地板上,a在离b高H的正上方,由静止释放与b发生碰撞后回跳高度为h.设碰撞中无动能损失,空气阻力不计,则()

(A)若a、b带等量同种电荷,则H>h

(B)若a、b带等量同种电荷,则H

(C)若a、b带等量异种电荷,则H

(D)若a、b带等量异种电荷,则H=h

三、若只有静电力、弹簧弹力做功,则电势能、弹性势能和动能之和保持不变,即电势能+弹性势能+动能=定值

例3如图8所示,一根用绝缘材料制成的轻弹簧,劲度系数为)K,一端固定,另一端与质量为m,带电量为+q的小球相连,静止在光滑绝缘水面上,当施加水平向右的匀强电场E后,小球开始运动,关于小球运动的正确说法是()

(A)运动过程中最大加速度为

(B)从静止向右运动距离为时速度最大.

(C)小球的机械能守恒

(D)小球的动能,弹性势能、电势能之和保持不变.

解析:合力最大时,加速度最大,故am=合力为0,即qE=kx时,速度最大.有电场力做功,机械能不守恒.只有弹力、电场力做功,故小球的动能、弹性势能、电势能之和保持不变.选项(A)、(B)、(D)正确.

四、若涉及较多的力做功,且能量转化较复杂,则一一列出所涉及的能量,必然有总能量不变,即E1+E2+E3…=定值

例4一带负电小球在从空中的a点运动到b点的过程中,受重力、空气阻力和电场力作用,小球克服重力做功5 J,小球克服空气阻力做功1J,电场力对小球做功2 J,则下列说法正确的是()

(A)小球在a点的重力势能比在b点的大5 J

(B)小球在a点的机械能比在b点的大1J

(C)小球在a点的电势能比在b点的多2 J

(D)小球在n点的动能比在b点的多4 J

解析:小球具有重力势能、电势能、动能、过程中小球克服空气阻力做功.由重力和电场力做功特点知(A)错,(C)对.设小球在a点重力势能Epa、电势能E电a、动能Eka,设小球在b点重力势能Epb、电势能E电b、动能Ekb,a点运动到b点的过程中克服空气阻力做功Wf.则有:

变形得a、b两点机械能之差为:

动能之差:Eka-Ekb=(Epb-Epa)+(E电b-E电a)+W,=4 J,故(C)、(D)正确.

练习:

4. 如图9所示,匀强电场水平向左,带正电物体沿绝缘水平板向右运动.经过A点时的动能为100 J,到达5点时,动能减少了原来的,减少的动能中有转化为电势能,则该物体第二次经过B点时的动能大小为()

(A) 4J (B) 6J

综上所述,在静电场中寻求“守恒量”是一种物理思维方式,它可以锻炼解题者的求异思维品质,使解题者能灵活变通,化陌生为熟悉,化抽象为具体,化隐蔽为显露,化繁杂为简洁,从而另辟蹊径,捷足先登.

答案

高压静电场诱导植物生长的机理研究第11篇

摘要：系统地阐述了高压静电场诱导植物生长的机理，从植物细胞膜、生理特性、遗传变异以及供应能量4个方面进行了论述和探讨。利用物理学和生物学的交叉原理，阐明静电对植物生长的影响。

关键词：高压静电场；植物生长；微观机理

中图分类号： Q947.8 文献标识码：A DOI编码：10.3969/j.issn.1006-6500.2014.03.024

目前，静电生物效应的研究和应用已日益向纵深发展，对植物的生物效应研究也取得了可喜的成就[1-3]。本研究利用从试验中获得的结果，以现有的认识水平和程度，从理论的角度对高压静电场（以下均简称静电场）对植物的诱导机理进行研究。

众所周知，地球上的植物生长，除了需要阳光、水、矿物质等环境因素以外，还需要静电场、磁场、射线、声波等物理因素。从物理学的角度讲，地球本身是一个带负电的球体。电离层与地面之间的电势差平均值约为3.0×105 V。晴天时，地球表面的大气电场的场强值约为100～200 V·m-1[5]，而且，大气电场内还存在带电离子的上、下运动，这构成了植物生长必需的静电场和因带电离子运动产生的大气电流。近年来，国内外学者用人工方法将静电场作用到植物上，对植物的生长进行调控，达到了预期的目的。然而，对于静电场诱导植物生长机理的研究，还没有得到一个十分完整而满意的解释，本研究从5个方面对静电场对植物的诱导进行研究，以弥补理论上的缺陷。

1 静电诱导植物生长

国内关于静电诱导植物生长的报道很多，所采用的静电场的类型大致有3种：一是正负离子电场；二是正负脉动电场；三是正负静电场。最常用的是第一种和第二种。

王淑惠等[6]采用适宜强度的静电场对小麦幼苗进行处理，对小麦幼苗的生长效应、成熟期植株性状和产品结构进行了测量记录，见表1和表2。其中，对照组是指未经静电场处理。

从表1[6]可以看出，除功能叶片无显著差别（P>0.05）外，苗高、叶片数都有显著差别（0.05>P>0.01）。总根数、功能叶宽、叶龄、分蘖数和冻害程度差别明显（P<0.01）。茎粗在内的各项指标均优于对照。表2[6]是小麦成熟期的植株性状和产量结构。从表2可以看出，静电处理组优于对照，最后增产12.6%。

从国内多篇报道看，促进植物生长所采用的静电场类型大多是正离子电场[3]。在静电场作用下，植物能加快吸收CO2，对病虫害有抑制作用，提高产量[4]。当然，为了延长花卉的开花时间，有时候也采用负离子电场[2]。

2 静电处理使细胞膜兴奋机理

植物的生长发育大部分依赖于植物细胞吸收营养成分，而细胞膜作为细胞与周围生理环境进行物质交换的重要通道，具有极其关键的作用。细胞膜的兴奋水平可直接影响植物生长的程度。因此，当某种静电场作用到植物上时，可使细胞膜兴奋，提高细胞膜内外的物质交换的速率，这对于促进植物生长发育具有重要的实际意义。笔者认为，静电场促进植物中细胞膜的兴奋，主要有以下2点机理。

2.1 静电影响细胞膜电位促使细胞膜兴奋机理

细胞膜是细胞质与外界相隔的一层薄膜，又称质膜，是位于原生质体外围，紧贴细胞壁的膜结构，而细胞膜可以看作是具有一定厚度、一定电阻和一定电路的特殊“电路”。细胞膜的磷脂双分子层将细胞内液与细胞外液分隔，由于细胞内外带电离子不均等分布在膜的两侧，因此，存在一定的电位差，形成细胞膜电位，图1显示了细胞膜的等效电路[7]。

细胞膜电位主要分为两种：静息电位和动作电位。静息电位是指细胞未受外界刺激时存在于细胞内外两侧的电位差。细胞在未受外界刺激时，细胞内的生理环境较为稳定，在其中发生着许多重要的生物化学反应。K+顺着细胞膜内外的浓度差扩散至细胞膜外，正电荷增多，膜外电位上升，膜内呈现极低的负电位。而Na+内流至细胞膜内，进而提高膜内电位，最终K+、Na+所维持的细胞膜内外的电位差构成了细胞膜的静息电位，此时，细胞膜的离子净流动速率呈现动态平衡。

动作电位是指细胞受到刺激，在静息电位的基础上发生一次短暂的、扩散性的电位变化。当外界给予细胞一定的刺激后，细胞膜的静息电位呈现活化状态。首先出现缓慢的去极化状态，Na+通道开放，Na+大量内流，膜电位逐渐变小，当达到-50 ～ 55 mV的临界水平 [8]，即阈电位时，随即产生一个爆发性的除极化，动作电位短时间达到0 mV，细胞内外电位相等，膜电位极性反转，之后细胞膜电位进行反极化，大量K+顺浓度差电位差流向细胞膜外，膜电位恢复到静息状态。

通过静电处理细胞膜，可使细胞膜上的通道蛋白形态发生改变，膜电容增大，促使K+、Na+流向发生改变。细胞膜电位由静息电位转变为动作电位，Na+通道蛋白开放，内负电位降到阈电位水平。细胞进行去极化过程，此时细胞膜处于兴奋状态。离子的净流动速率大大加快。并且电流的流向均是朝向内，植物表现内压“电恒”状态。因此，通过静电处理使细胞膜兴奋，提高离子的通透性，进而促进细胞吸收离子的过程，加快细胞与周边生理环境进行物质交换。

2.2 静电通过影响细胞膜分子结构促使细胞膜兴奋机理

细胞膜的基本结构是一个有蛋白质镶嵌的磷脂双分子层，而膜电位的产生与膜上带电脂质分子与蛋白质分子的解离状态与膜内外的离子浓度场有关。由文献[9]可知，细胞膜外表面处的电势为：

5.1 静电处理使细胞中DNA分子合成速率加快机理

众所周知，基因（遗传因子）是遗传的物质基础，在生物学上的定义为DNA或RNA分子上具有遗传信息的特定核苷酸序列。它储存着生命孕育、生长、凋亡过程的全部信息，通过复制、表达、修复，完成生命繁衍、细胞分裂和蛋白质合成等重要生理过程。在细胞中，存在CDK启动因子，它是一类重要的丝氨酸/苏氨酸蛋白激酶，其主要的生物学作用是启动DNA的复制和诱发细胞的有丝分裂，以复合物形式出现[19]。该复合物分为催化亚基和调节亚基两部分，催化亚基为CDK，调节亚基为细胞周期蛋白。CDK与细胞周期蛋白是调控细胞分裂的核心因子。通过静电处理植物细胞，加速ATP的合成，进而促进CDK与细胞周期蛋白的合成，从而促进细胞的有丝分裂。endprint

5.2 静电处理细胞促使染色体变异机理

试验表明[20]，静电处理植物细胞能够增长有丝分裂中期的细胞数目，缩短细胞有丝分裂周期，提高细胞的分裂速度。静电处理植物细胞不仅可以使DNA复制加快，还能使核酸蛋白质分子中的氢键断合，引起染色体变异。通过静电处理，引起细胞染色体变异大致有以下几种 [21-23]：染色体断片、染色体落后、染色体桥不等分裂、单极纺锤体和多极纺锤体。而其主要形成原因是经常使核酸蛋白质中带电离子数目改变，加速氢键的形成速度，促使染色体变异。

静电场对植物生长诱导的机理十分复杂。它是一门静电学与生物学的交叉学科，其研究难度大。本研究结果可为从事用静电对植物进行调控的应用工作者提供有益的帮助。但是要更详细地解释其机理，尚需做不少工作。例如，静电正离子电场与负离子电场作用到同种植物上，或同一种静电场作用到不同植物上，其诱导结果是不一样的。不同的场强、不同的作用时间、不同的方向和消退效应，其结果也是不一样的。如何从微观的角度分析其差异，是下一步要研究的课题。

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5.2 静电处理细胞促使染色体变异机理

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[22]薛桥，张著，刘翠君.高压静电场诱发小麦根尖染色体畸变的分析[J].湖北大学学报，1999，21（3）：283-286.

5.2 静电处理细胞促使染色体变异机理

参考文献：

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[2]蒋耀庭，潘丽娜.高压静电场对茉莉等四种花卉的调控作用[J].自然杂志，2003（4）：237-239.

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[5]张三慧.大学物理：第三册[M].北京：清华大学出版社，1999：115-116.

[6]王淑惠，黎先栋，宋长铣.高压静电场处理小麦种子对幼苗生长和有关化学成分的影响[J].生物化学与生物物理进展，1991，18（5）：392-399.

[7]贾莉君.离子选择微点极测定植物细胞跨膜电位的液泡中硝酸根离子活度的方法研究[D].南京：南京农业大学， 2006：124.

[8]孟凯，李延海.生后早期大鼠视皮层锥体神经元的电学特性[M].北京：高等教育出版社，2007：87.

[9]那日，冯璐.我国静电生物学效应机理研究新发展[J].物理，2003，32（2）：87-93.

[10]孙一源，佘登苑.农业生物力学及农业生物电磁学[M].北京：中国农业出版社，1996：50-473.

[11]李新颖，蒋耀庭，孙明.高压静电场对花卉的调控作用的微观机理初探[J].内蒙古农业科技，2006（2）：46-48.

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[13]高伟娜，顾小清.高压静电场对植物生物学效应的研究发展[J].现代生物医学发展，2006，6（7）： 60-62.

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[15] 李晓静，任安祥.茄子种子电磁生物效应的研究[J].华北农学报，2007， 22（2）：180-183.

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[19]戴爱玲.细胞周期调控因子的研究进展[J].龙岩师专学报，2002，6（3）：53-54.

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静电场课堂教学第12篇

格林函数法:

引入格林函数G (r, r0) , 表示位于r0点的单位强度的正点源在r点产生的场, 即G (r, r0) 应满足方程:

现在我们利用格林公式导出泊松方程的积分表达式。以G (r, r0) 乘 (1) , u (r) 乘 (2) , 相减, 然后在区域T中求积分, 得

应用格林公式将上式左边的体积分化为面积分。但是, 注意到在r=r0点, ∆G具有函数的奇异性, 格林公式不适用。解决的办法是先从区域T中挖去包含r0, 半径为ε的小球Kε, 对剩下的体积, 格林公式成立,

将 (4) 代入挖去Kε的 (3) , 并注意r≠r0, 故δ (r-r0) =0, 于是

即得泊松方程的基本积分公式:

1) 对于第一边值问题, u在边界∑上的值为已知的函数φ (M) , 令G满足齐次的第一类边值条件G|∑=0, 得

2) 对于第二边值问题, 不符合现实物理意义, 需要使用推广格林函数, 这里暂不介绍了。

3) 对于第三边值问题。令v满足齐次的第三边值条件

最后利用格林函数具有对称性G (r, r0) =G (r0, r) 得:第一边值问题解的积分表达式:

第三边值问题解的积分表达式:

2 格林函数法求解静电场实际应用

首先对使用格林函数法解决静电场问题进行一个总结

由题设边界条件判断是哪一类边值问题, 然后根据边界面的形状决定取哪—个格林函数。选定格林函数后, 求出它的具体函数形式以及它在边界面上的函数值或法向微商代入积分计算。格林函数的选法有时不止一种, 但关键是要把格林公式中含有未知量部分的积分变为零。

有了以上理论基础, 我们来尝试解决几个实际问题。

2.1 常见区域的格林函数

1) 无界空间的格林函数

在r 0点上一个单位点电荷在无界空间激发的电势为

因此, 无界空间的格林函数为

2) 上半空间的格林函数

由镜像法已知上半空间格林函数为

3) 球外空间的格林函数

以球心O为坐标原点, 球空间的半径为R0设电荷所在点P’的直角坐标为 (x’, y’, z’) , 球坐标为 (R’, θ’, Φ’) , 场点P的直角坐标为 (x, y, z) , 球坐标为 (R, θ, Φ) . (为避免混淆, 这里符号与上文有少许不一致) 。同样有镜像法得:

其中:α为R与R’的夹角cosα=cosθcosθ'+sinθsinθ'cos (φ-φ')

2.2 无穷大导体板上有一半球形凸起 (半径为R0) , Z轴过球心并与板面垂直, Z轴上z=2R0处有点电荷q

解: (1) 采用球坐标 (r, θ, Φ) , 见图5。X处q1=1的点电荷和像电荷2, 3, 4共同产生。像电荷q2=-R0/R, b2=R02/R;像电荷q3=-q1=-1, b3=R;像电荷q4=R0/R, b0=R02/R;

其中α是矢径x与x’的夹角, α’是矢径x0与x’的夹角, 所以本题的格林函数为

由于r1和r3, r2和r4满足对称性, 所以G也满足x, x’的对称性。

(2) 由于区域内只有一个点电荷, 本题是泊松方程第一边值问题, 且Φ|S=0

所以:

摘要：格林函数又称点源影响函数, 是数学物理中的一个重要的概念。格林函数代表一个点源在一定的边界条件和初始条件下产生的场。知道了点源的场, 就可以用叠加的方法计算出任意源所产生的场。由于积分与坐标系无关, 人们可以采用不同坐标系, 应用多种数理方法建立格林函数, 因而使格林函数的计算获得了广泛的应用。应用格林函数处理电磁场工程问题, 在某些场合可以使解的表达式更加简洁, 处理方法更加巧妙。

关键词：格林函数,静电场,问题探讨

参考文献

[1]J.D.Jackson.Classical Electrodynamics[M].高等教育出版社, 2004, 4.

[2]郭硕鸿.电动力学.3版[M].高等教育出版社, 2008, 6.

[3]符果行.电磁场中的格林函数法[M].高等教育出版社, 1993, 7.

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