定积分的课堂范文

定积分的课堂范文（精选12篇）

定积分的课堂 第1篇

一、计算型

是指给出定积分表达式,求其值,通常解法有:定义法,几何意义法,基本定理法及性质法等.

评注:本题由想到被积函数的原函数可能是自然对数的形式,只是需要把拆成与的差.运用微积分基本定理计算定积分的关键是找到被积函数的原函数.

例2求定积分x)dx的值.

解析:表示圆(x-1)2+y2=1(y≥0)的一部分与直线y=x所围成的图形(如图1所示)的面积,因此

评注:本题如果用定积分的定义或微积分基本定理求解都比较麻烦,由联想到圆(x-1)2+y2=1(y≥0)的一部分与直线y=x,再联想到定积分的几何意义,从而简化了运算.运用定积分的几何意义计算定积分,需要具备较强的观察能力、分析能力和逻辑推理能力.

二、逆向型

主要已知定积分的值,求定积分中参数.

例3设函数f(x)=ax2+c(a≠0),若,0≤x0≤1,则x0的值为______.

分析:本题是逆向思维题,可用求积分的一般方法来解决.

评注:常用方程思想加以解决.

三、应用型

主要指求围成的平面图形的面积及变力做功等问题.

例4求y2=x与直线x-2y-3=0所围图形的面积.

解法2:本题也可把抛物线与直线方程写成x=y2=g1(y),x=2y+3=g2(y),应用公式对y求积分便得:

评注:1.求平面图形的面积的解题步骤:

(1)画出图形;(2)确定图形范围,通过解方程组求出交点横(纵)坐标,定出积分上、下限;(3)确定被积函数,注意分清被积函数的上、下位置;(4)写出平面图形面积的定积分的表达式;(5)运用微积分基本公式计算定积分,求出平面图形的面积.

2.求解时要灵活选择坐标系,积分变量,由图形特点,适当选取积分变量对计算简繁有很大影响,显然上述解法二简洁.

例5一物体按规律x=bt3作曲线运动,式中x为时间t内通过的距离,媒质阻力与速度的平方成正比,试求物体由x=0运动到x=a时,阻力所做的功.

分析:由运动规律可求得物体的速度,再由已知F阻=kv2,最后由,求得阻力所做的功.

解:,

浅析反常积分与定积分的定义与性质 第2篇

摘要：积分学是微积分理论中的一个重要部分。一元函数的积分学主要包括定积分和反常积分两大类。这两类积分各自具备一些性质，而这些性质常常被拿来相互比较。本文将从定义出发，结合一些反例，深入剖析定积分和反常积分的性质差异及其原因。

关键词：反常积分与定积分;性质差异;定义

积分学是微积分理论中的一个重要组成部分。一元函数的积分学主要包括定积分和反常积分两大类，反常积分又包含了无穷积分与瑕积分，它们可以看作是定积分的推广，是定积分的某种意义下的极限形式。粗略来看，反常积分是更为一般的积分，定积分作为更为特殊的`积分，应该具备反常积分所具备的性质。但是在这部分内容的学习过程中，可以看到反常积分与定积分的一些性质有所区别，甚至从表面上看，反常积分的一些性质，定积分并不具备。本文将从定义出发，剖析这些性质的差异及其原因，以更加准确深刻的理解定积分和反常积分的异同。

一、无穷积分与定积分的定义与性质

我们知道对于无穷积分，有如下的一个重要性质。

dx存在与否的一个性质。而定理2讨论的是有限区间上的可积性，即内容A，它与内容B是完全不同的两个对象，得到的结论有所不同是自然的。

从定理的证明我们也可以进一步认识到A、B两部分内容的差异对定理结论的影响。定理1的两个证明都是围绕积分上限趋于正无穷时，变上限积分极限的存在性展开的，而定理2的证明则是依赖于有限区间上的可积性定理，即证明当划分足够细时，Daboux大和与Daboux小和收敛到同一个极限，这是完全不同的两个对象。另一方面，我们从证明里面看到，定理1确实是依赖于条件A的。在定理1的证明里，我们用到了f(x)在任一有限区间上的定积分，如果没有条件A，这些定积分是不存在的，这也说明了为什么不能运用定理1的证明方法得到定积分的类似性质。

从以上的分析我们可以看到反常积分的一些性质，特别是基于条件A的一些变限积分极限的收敛性质不能简单的从表面形式上与定积分的可积性质进行比较，更不能因此错误的认为反常积分具有定积分所不具备的性质。定理1和定理2所表述的是两个毫不相关的对象的性质，把它们进行比较没有实质的意义，反而容易产生认知上的混淆。

二、瑕积分与定积分的定义与性质

瑕积分的定义与无穷积分有类似的特点。

dx是不存在的。仔细观察可以发现这主要是因为对任意的ε>0，G(x)在任一有限区间[0，1-ε]上不可积。我们从这个例子可以看到区间[a，b-ε]上的可积性条件的重要性。

从以上的论述我们可以认识到，不论是无穷积分还是瑕积分，它们都是定积分的推广。这两类积分的收敛性首先都要以某类有限区间上的可积性为前提，其次是要求积分上(下)限在某一趋势下的变限积分的极限存在。反常积分的一些性质，形式上看起来可以与定积分的某些性质进行比较，但是实际上这种比较是非常牵强的，甚至会混淆概念、模糊认知，因此，应该从定义出发，区分这些性质的异同，理解背后本质的原因，更加准确深刻地理解反常积分和定积分。

参考文献：

[1]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京：高等教育出版社，2010.

定积分的课堂 第3篇

关键词： 定积分 曲线积分 特殊与一般关系

从历史上看，定积分是从几何与力学问题出发，在基于计算平面上封闭曲线所围平面有界闭区域面积和物体做变速直线运动的路程而产生的.而曲线积分是在计算弯曲构件的质量及研究变力沿曲线做功时产生的，它们有着不同的实际背景并且都联系着不同的物理意义或几何意义.重积分与曲面积分也类似.

随着人类认识和实践活动的逐渐深入，定积分已经成为各种数学计算及计算许多实际问题的数学工具.它是一元函数积分学中最重要的概念与方法，其他所有的积分包括重积分、曲线与曲面积分的计算都需要转化为定积分来计算，而定积分也可以作为一些积分的特殊情况.本文只针对定积分与曲线积分的关系进行相关讨论，用以说明数学概念与方法的相通性，同时反映出数学中“特殊中有一般，一般存在于特殊之中”的哲学思想.

一、定积分是最一般的积分

之所以这么说，是因为曲线积分都要转化为定积分来计算.由于有了不定积分的各种计算方法做保障，还有牛顿莱布尼茨公式做桥梁，定积分成为最基本、最重要，也是应用最广泛的积分.重积分、曲线和曲面积分就是将定积分的积分区间推广到平面（或空间）有界闭区域、曲线和曲面上的积分，因此它们的计算方法当然与定积分有着密不可分的关系.此时，定积分就是一般积分，其他积分就是特殊积分.

例1.计算？蘩

二、定积分是特殊积分

1.定积分可以看做是其他各种积分的特殊情况.

曲线积分是定积分的推广，它不同与定积分，被积函数都是定义在曲线弧上的二元（或三元）函数，并且沿着曲线弧l进行积分.而定积分的被积函数是一元函数，积分变量仅在区间[a，b]上变动.在此意义下，定积分就是曲线积分的特殊情形.具体表现在以下方面.

（1）定积分

综上所述，定积分与曲线积分存在着密不可分的关系.曲线积分是定积分的拓展，定积分是曲线积分的计算工具，是它的特殊情形.

参考文献：

[1]同济大学数学系.《高等数学》第六版上册.高等教育出版社，2007.4.

[2]同济大学数学系.《高等数学》第六版下册.高等教育出版社，2007.4.

[3]李徐鸿.通俗线性代数讲义.中国人民大学出版社，2003.10.

[4]刘玉琏，等.《数学分析讲义》第五版上册.高等教育出版社，2009.6.

谈谈定积分概念的教学 第4篇

一、教师提出研究的问题, 并作出必要的启示或指引, 让学生思考

曲边梯形的面积、变速运动质点所走的路程、变力做功、密度不均匀的几何体的质量、几何体的体积等等问题的求解方法和步骤, 它们是不同的问题, 但解决的方法步骤是相同的, 是一类问题, 有共同的解决途径.

首先教师作出一个曲边梯形, 如何求它的面积?启发学生思考, 有的学生想到将曲边梯形分割成矩形、三角形等等, 但不尽如人意, 出不来面积.教师启发学生思考, 假如你在大海上, 看到的海面是球面还是平面?当然是平面, 为什么?因为地球的半径太大了, 我们的目光所及实在是太有限了.再如:在一次高考的摸底考试中, 班主任将同学们的成绩排名, 第20名与第21名的成绩差距很小, 或者说相邻两名同学的成绩几乎相当.又如:众多的同学按高矮排队, 相邻两个的身高很接近, 这是生活体验, 同学们是认同的.接下来指导学生将一个纸质的曲边梯形剪成许多个小的曲边梯形, 拿出其中一个来, 看看如何计算其面积, 它近似于一个什么形状.显然是矩形, 小的曲边梯形的面积约等于矩形的面积, 为底乘以高.这一步完成了分割、近似代替的思考.鼓励学生大胆探索, 突破常规思维, 积极寻找各种解决问题的途径, 找到一个近似答案, 就是曙光.

二、使学生回答思考结果, 师生共同讨论、分析、理解、归纳

那曲边梯形的面积如何求呢?将一个个小的曲边梯形的面积累加即可, 得到了曲边梯形的面积的近似值.我们要的是精确值, 怎么办?数学上又如何表示?一个小的曲边梯形的面积怎样表示?教师作出一个放大的小的曲边梯形, 在其底边上任取一点, 过这点作高, 来代替小的曲边梯形的平均高度, 底乘以高就是小曲边梯形的面积.这个“高”就是这一点的函数值, “底”就是小区间的长度.怎样由近似值过渡到精确值?分割无限时, 误差要多小就有多小.理性思考, 将分割无限下去, 利用极限工具, 当最长的区间长都趋于零时, 和的面积的极限值就是我们要的精确值.这一步完成了求和取极限的思考.这是让学生建立起初步的高等数学思维方式, 培养学生探索创新的科学精神, 树立严谨的科学态度.

三、教师作出正确的结论, 并总结建立概念过程中的经验教训

求曲边梯形的面积的四个步骤: (1) 分割; (2) 取近似; (3) 求和; (4) 取极限.曲边梯形的面积

类似的求变速直线运动质点的路程的四个步骤: (1) 分割; (2) 取近似; (3) 求和; (4) 取极限.

还有变力做功的问题、密度不均匀的几何体的质量、几何体的体积问题, 都具有这种形式.把各种具体问题抖落干净, 只要这种数学结构模型, 总结抽象出一个概念.

教师正确描述定积分的定义……

强调记法∫abf (x) dx, 各部分的名称, 等号两边对应符号的意义、联系, 积分符号的由来等等.如Δxi对应dx, f (ξi) 对应f (x) .学生难以置信曲边梯形的面积就是这样的, 告诉学生这个面积是多少不重要, 重要的是这是一种表达形式, 你现在认可就行, 定积分就是具有特定结构的乘积的和式的极限.要深刻理解概念不是一步到位的, 还需慢慢体会.定积分概念并不神秘, 只要被积函数和积分区间一旦确定, 它就是一个数值.

四、反思概念形成过程中蕴含的哲学思想

求曲边梯形的面积经历了四个阶段: (1) 分割; (2) 取近似; (3) 求和; (4) 取极限.

由有限分割, 得到的是近似值;再到无限分割, 得到的是精确值, 完成了从量变到质变的飞跃.思维也升华到了一定高度, 无限思想.定积分概念不仅仅是一个纯概念, 而且是一种解决实际问题的数学思维方法, 蕴含了哲学思想.要求学生学会这种思考方法, 领会数学的精神实质.

五、定积分的几何意义

关键一点是表示曲线围成图形的面积, 当曲线在横轴的上方时, 积分为正, 定积分就是所围图形的面积.当曲线在横轴的下方时, 积分为负, 定积分是所围图形面积的相反数.

本课通过层层设问, 引导学生突破传统思想, 不断探索, 完成了一个概念由实践到理论再到实践的过程, 培养了学生的创新意识和探索精神, 培养了学生严谨的科学态度, 培养了学生运用理论知识解决实际问题的能力.

摘要：设法细分曲边梯形, 以直代曲, 求和, 取极限, 总结抽象概括出定积分概念.

定积分的概念说课稿 第5篇

基础教学部 高黎明

一、教材分析

1、教材的地位和作用

本节课选自同济大学《高等数学》第五章第一节定积分的概念与性质，是上承导数、不定积分，下接定积分在几何学及物理学等学科中的应用。定积分的应用在高职院校理工类各专业课程中十分普遍。

2、教学目标

根据教材内容及教学大纲要求，参照学生现有的知识水平和理解能力，确定本节课的教学目标为：

（1）知识目标：理解定积分的基本思想和概念的形成过程，掌握解决积分学问题的“四步曲”。

（2）能力目标：培养学生分析和解决问题的能力，培养学生归纳总结能力，为后续的学习打下基础。

（3）情感目标：从实践中创设情境，渗透“化整为零零积整”的辩证唯物观。

3、教学重点和难点

教学重点：定积分的概念和思想。

教学难点：理解定积分的概念，领会定积分的思想。

二、教法和学法

1、教法方面

以讲授为主：案例教学法（引入概念），问题驱动法（加深理解），练习法（巩固知识），直观性教学法（变抽象为具体）。

2、学法方面

板书教学为主，多媒体课件为辅（化解难点、保证重点）。（1）发现法解决第一个案例 ；（2）模仿法解决第二个案例 ；（3）归纳法总结出概念 ；（4）练习法巩固加深理解。

三、教学程序

1、导入新课：

实例1：曲边梯形的面积如何求？

首先用多媒体演示一个曲边梯形，然后提出问题 ：（1）什么是曲边梯形？

（2）有关历史：简单介绍割圆术及微积分背景。（3）探究：提出几个问题（注意启发与探究）。a、能否直接求出面积的准确值？

b、用什么图形的面积来代替曲边梯形的面积呢？三角形、矩形、梯形？采用一个矩形的面积来近似与二个矩形的面积来近似，一般来说哪个值更接近？二个矩形与三个相比呢？„„探究阶段、概念引入阶段、创设情境、抛砖引玉。

（4）猜想:让学生大胆设想，使用什么方法，可使误差越来越小，直到为零？

（5）论证：多媒体图像演示，直观形象模拟,让学生逐步观察到求出面积的方法。

（6）教师讲解分析:“分割成块、近似代替、积累求和、无穷累加”的微积分思想方法。思解阶段、概念探索阶段、启发探究、引人入胜。

（7）总结: 总结出求该平面图形面积的极限式公式。实例2.如何求变速直线运动物体的路程？

（1）提问: 通过类似方法解决，注意启发引导。（2）归纳：用数学表达式表示。

2、讲授新课

归结阶段、提炼概念：

实例1和实例2的共同点：特殊的和式极限。

方法：化整为零细划分，不变代变得微分，积零为整微分和，无限累加得积分。

定义阶段、抓本质建立概念、深化概念 ：（1）定义: 写出定积分的概念。

（2）定义说明。

3、练习巩固

（1）例

1、求定积分10x2dx.学生练习，教师点评练习，让概念具体化。（2）练习巩固：求定积分21exdx.4、归纳总结

总结：梳理知识、巩固重点

（1）回顾四个步骤：①分割②近似③求和④取极限。（2）回顾定积分作为和式极限的概念。（3）加深概念理解的几个注意。（4）会用定积分的概念计算定积分。

例析定积分的简单应用 第6篇

几种典型的曲边梯形面积的计算方法：

如图1所示，由三条直线[x=a,x=b(a

[S=abf(x)dx].

[图1]

如图2所示，由三条直线[x=a，x=b(a

[S=|abf(x)dx|=-abf(x)dx.]

[图2]

如图3所示，由两条直线[x=a，x=b(ag(x))]围成的曲边梯形的面积

[图3]

题型1 不可分割型图形面积的求解

例1 计算由直线[y=x+3]，曲线[y=x2-6x+13]所围成图形的面积[S].

分析 作出直线与曲线的草图，所求图形的面积可以转化为两个曲边梯形面积的差，求出直线与曲线交点的横坐标，利用定积分求面积.

解 作出直线[y=x+3]，曲线[y=x2-6x+13]的草图，如图4所示.

所求面积为图中阴影部分的面积.

解方程组[y=x2-6x+13y=x+3]得交点坐标为（2，5）

和（5，8），

因此，所求图形的面积

[S=25(-x2+7x-10)dx=(-13x3+72x2-10x)|52]

[=92.]

点拨 求不可分割图形面积的一般步骤：

（1）画图形，在坐标系中画出由直线与曲线围成的图形；

（2）求坐标，求出直线与曲线交点的横坐标确定积分上下限；

（3）面积表示，用定积分表示图形的面积；

（4）求面积，求定积分进而求图形的面积.

题型2 可分割型图形面积的求解

例2 求由曲线[f(x)=x2，x∈[0，1]2-x，x∈[1，2]]和[y=0]所围图形的面积.

分析 本题由分段函数给出曲线，作出草图，通过分段函数的定义域确定积分的上、下限，然后分段利用公式求解.

解 画出草图，如图5所示

[图5]

[S=01 x2dx+12(2-x)dx]

[=13x3|10+(2x-12x2)|21]

[=13+(4-2-2+12)]

[=56].

点拨 由两条或两条以上的曲线围成的较复杂的图形，在不同的区段内位于上方和下方的函数有所变化，通过解方程组求出曲线的不同的交点坐标，可以将积分区间进行细化分段，然后根据图象对各个区段分别求面积进而求和，在每个区段上被积函数均是用上减下.

题型3 综合应用

例3 已知函数[f(x)=ex-1]，直线[l1:x=1，][l2:y=et-1]（[t]为常数，且[0≤t≤1]），直线[l1]、[l2]与函数[f(x)]的图象围成的封闭图形，以及直线[l2，y]轴与函数[f(x)]的图象围成的封闭图形. 如图6中阴影部分所示，当[t]变化时，阴影部分的面积的最小值为 .

[图6]

分析 由题目可获取以下主要信息：

（1）曲线[f(x)=ex-1]与直线[y=et-1]及[x=t]围成的区域[S1]面积易求.

（2）曲线[f(x)=ex-1]与直线[x=t，x=1]及[y=et-1]围成的区域[S2]面积易求，再根据题意列式求解.

解 [S1+S2=0t (et-1-ex+1)dx+t1 (ex-1-et+1)dx]

[=0t (et-ex)dx+t1 (ex-et)dx]

[=(xet-ex)|t0+(ex-xet)|1t=(2t-3)et+e+1.]

设[g(t)=(2t-3)et+e+1（0≤t≤1）]，

令[g′(t)=0]，解得[t=12]，当[t∈[0，12]]时，[g′(t)<0]，[g(t)]是减函数，当[t∈[12]，1]时，[g′(t)>0]，[g(t)]是增函数，因此[g(t)]的最小值为[g(12)=e+1-2e12][=(e-1)2.]

故阴影部分面积的最小值为（[e-1]）2.

点拨 涉及到不规则平面图形的面积问题，都可考虑用定积分来处理. 解决此类问题的关键在于：（1）利用定积分正确地表示各相关量间的关系；（2）定积分的正确计算.

二、定积分在物理中的应用

1. 变速直线运动的路程

做变速直线运动的物体所经过的路程[S]，等于其速度函数[v]=[v]（t）（[v]（t）≥0）在时间区间[[a,b]]上的定积分，即[S=ab v(t)dt].

2. 变力作功

如果物体在变力[F(x)]的作用下做直线运动，并且物体沿着与[F(x)]相同的方向从[x=a]移到[x=b][(a

题型4 求变速直线运动的路程、位移

例4 有一动点[P]沿[x]轴运动，在时间[t]时的速度为[v(t)=8t-2t2]（速度的正方向与[x]轴正方向一致），求：

（1）[P]从原点出发，当[t=6]时，求点[P]的路程和位移；

（2）[P]从原点出发，经过时间[t]后又返回原点时的[t]值.

分析 （1）解不等式[v(t)]>0或[v(t)]<0，确定积分区间，再求[t=6]时的路程以及位移.

（2）求定积分[0tv(t)dt]，再令[0tv(t)dt=0]，求[t]的值.

解 （1）由[v(t)=8t-2t2]≥0得[0≤t≤4]，即当[0≤t≤4]时，[P]点向[x]轴正方向运动.

当[t>4]时，[P]点向[x]轴负方向运动，故[t=6]时，点[P]离开原点的路程

[l=04 (8t-2t2)dt-46 (8t-2t2)dt]

=[(4t2-23t3)|40-(4t2-23t3)|64=1283.]

（2）当[t=6]时，点[P]的位移为

[S=06 (8t-2t2)dt=(4t2-23t3)|60=0.]

依题意[0t (8t-2t2)dt=0,]即[4t2-23t3=0]，解得[t=0或t=6.]

[∵t=0]对应于[P]点刚开始从原点出发的情况，

[∴t=6]是所求的值.

点拨 （1）用定积分解决变速直线运动的位移和路程问题时，将物理问题转化为数学问题是关键. （2）路程是位移的绝对值之和，因此在求路程时，要先判断速度在区间内是否恒正，若符号不定，应求出使速度恒正或恒负的区间，然后分别计算，否则会出现计算失误.

题型5 变力做功的求解

例5 一物体在力[F(x)]（单位：N）作用下沿与力[F]相同的方向做直线运动，力——位移曲线如图7所示，求该物体从[x=0]处运动到[x=4]（单位:m）处力[F(x)]做的功.

[图7] [1 2 3 4][16

15

10

5]

分析 先根据图象确定力关于位移的函数关系式，再利用定积分求解.

解 由图知

[F(x)=10， 0≤x≤23x+4，2≤x≤4]

因此该物体从[x=0]处运动到[x=4]处，力[F(x)]做的功为

[W=02 10dx+24 (3x+4)dx=10x|20+(32x2+4x)|42]

[=46(J)]

定积分的计算方法与应用 第7篇

定积分的思想即“化整为零→近似代替→积零为整→取极限”.定积分这种“和的极限”的思想,在高等数学、物理、工程技术、其他知识领域及人们在生产实践活动中具有普遍的意义,很多问题的数学结构与定积分中求“和的极限”的数学结构是一样的,教材通过对曲边梯形的面积、变速直线运动的路程等实际问题的研究,运用极限方法,分割整体、局部线性化、以直代曲、化有限为无限、变连续为离散等过程,使定积分的概念逐步发展建立起来.可以说,定积分最重要的功能是为我们研究某些问题提供一种思想方法(或思维模式),即用无限的过程处理有限的问题, 用离散的过程逼近连续, 以直代曲,局部线性化等.定积分的概念及微积分基本公式,不仅是数学史上,而且是科学思想史上的重要创举.

一、定积分的定义

二、可积条件

若函数f在[a,b]上连续,且存在原函数F,F′(x)=f(x),x∈[a,b],则f在[a,b]上可积,且

三、定理与性质

1.若函数f在 (a,b)上连续 ,且存在原函数F,即F′(x)=f(x),x∈[a,b],则f在 [a,b]上可积 ,且

2.若f在 [a,b]上连续 ,则至少存在一点ε∈[a,b], 使得

3.若f在 [a,b]上连续 ,则在 [a,b]上处处可导.

4. 若函数f在 [a,b] 上连续 ,Φ′在 [α,β] 上可积 , 且满足Φ(α)=α,Φ(β)=b,

5.若u(x),v(x)为 [a,b]上的可微函数 ,且u′(x) 和v′ (x) 都在[a,b]上可积 ,则有定积 分分部积 分公式

11.若f,g都在 [a,b]上可积 ,则fg在 [a,b]上也可积.

四、定积分的计算方法与应用

1.分割 ,近似求和 ,取极限

例1:求黎曼函数在[0,1]上的积分.

解:任给ε>0,在[0,1]上使得1/q>ε/2的有理点p/q只有有限个 ,设它们为r1, … ,rk, 现对 [0,1] 作分割使并把T中所有小区间分为和{△i′′|i=1,2,… ,n-m}}两类 .其中 {△i′} 为含有} 中点的所有小区间,这类小区间的个数m≤2k(当所有ri恰好都是T的分割点时才有m=2k),而{△i′′}为T中所有其余不含{ri}中点的小区间,由于f在△i′上的振幅ωi′≤1/2,于是

2.牛顿—莱布尼兹公式

求y=2x2在[0,3]上与坐标轴所围成的面积.

3.换元法

4.分步积分法

求三个圆柱面所围立体的体积.

摘要：定积分是数学分析中的环节——微积分的重要分支之一,一元函数情况下,求微分实际上是一个求已知函数的导数,而求积分是求已知导数的原函数,所以微分与积分互为逆运算.本文主要介绍定积分的相关计算方法,以及定积分在实际中的一些应用.

一类特殊定积分的几何解法 第8篇

1.下面对定积分 (-r≤k

(1) 当k=-r时, 的值等于以原点为中心, r为半径的圆面积的一半, 即 (如图1阴影部分所示) .

(2) 当k=0时, 的值等于以原点为中心, r为半径的圆面积的四分之一, 即 (如图2阴影部分所示) .

在情形 (3) (4) 中计算Rt△AOk的面积时也可以先用勾股定理求出另一条直角边Ak长度后再计算.

2. 应用举例

例1 求定积分的值.

例2 求定积分的值.

解 根据该积分特点可以先换元再求解.

由上述情形 (4) , 先求得, 则

例3 填空: (2012年全国硕士研究生入学统一考试数学试题第 (10) 题)

解根据该积分特点可以先换元再求解.

令t=1-x, 则x=t+1.

综上所述, 在遇到计算形如 (-r≤k

摘要：对于教材中出现的一类特殊定积分进行归纳、推广后, 探讨该类定积分的几何解法.

关键词：定积分,几何解法,面积

参考文献

[1]朱来义.微积分[M].3版.北京:高等教育出版社, 2009:147197.

[2]朱来义.微积分[M].2版.北京:高等教育出版社, 2004:155188.

[3]同济大学数学系.高等数学:上册[M].6版.北京:高等教育出版社, 2007:223-293.

巧用定积分 第9篇

解:设f (x) =πx (1+x) , 则

通过以上实例可以看出, 如果一个和式具备积分和的特点, 或者可以把一个和式转化成为具有积分和的形式的特点。就可以用定积分把这个和式极限求出来, 在此情况下使用定积分求和式的极限, 简单, 实用。

无限个无穷小量的和, 不是无穷小量, 其和式的极限如果具有以上特点, 可以考虑用定积分帮助解决。

摘要：定积分就是某一和数的极限。如果关于n的某一和数可以化成积分和的形式, 要求该和数的极限就能用定积分来求。

关键词：定积分,极限

参考文献

[1]欧阳光中、朱学炎、秦曾复, 数学分析上海, 上海科学技术出版社, 1982.

关于定积分概念的教学实验设计 第10篇

现有的教学研究[2,3,4,5]表明, 尽管一些学生计算定积分的能力很强, 但是他们对概念本身的理解可能会很差, 因为大部分的学生甚至不能完整的书写定积分的定义。这说明有些学生在概念理解方面有困难。

本研究的目的是, 设计有关定积分概念的教学序列, 以帮助我们提高大学生对定积分概念的理解。实验的理论框架基于变化原理, 将在下节介绍。我们将寻求以下问题的答案:授课过程中出现哪些有关定积分概念的关键方面?我们怎样才能构成有关学习对象 (定积分概念) 的有效的变化模式, 以支持学生辨别这些关键问题, 并从中得到学习和提高?

我们的教学序列实际上是一个“课例研究+实验设计”的综合模型 (简称LSED模型) 。LSED模型在两个主要方面超越通常的课例研究。首先是它的理论基础:教学设计是基于变分原理[6]。教学研究者和教师共同建立一个联合探究的框架。第二是对学习效果的评价方法。在通常的课例研究中, 对学习者理解效果的评估要经历一个漫长的发展过程, 而在LSED模型中, 我们立即可以得到一个直接的结果。

一、LSED模型

LSED模型[6,7]构成如下一个循环过程:

·教师研究小组共同确定一个学习的对象 (如定积分的概念) 设计预测试题。

·根据预测试的结果, 研究小组设计第一个讲座。变化理论作为理论框架被用来设计讲座。

·其中的一个教师负责进行第一次讲座。讲座被视频记录或被其他老师观摩 (在我们的实验中, 组内的全体老师观摩) 。学生的学习效果通过讲座后的第二次匿名测试检验, 测试题则是协同设计的结果。

·测试结果和视频记录或曾经记录观察到的结果由研究小组进行分析。如果学生的学习效果达不到我们预期目标, 教学研究小组将组织修订这次讲座, 为下一组学生准备第二次讲座。

·该组的另一个老师在另一个班实施新计划。在一个理想的状态下, 这个循环过程将继续进行, 直到学生的学习效果最优。

共有6个研究人员参与设计和分析三个讲座, 第7个对结果进行分析。

【理论框架】

变化理论是一个有关学习的理论, 是基于现象描述的传统研究[8]。现象描述就是识别和描述人们在体验自然界中某些现象的不同的定性方式, 尤其是在教育背景下。

一个重要特性是它对学习对象的强烈关注。其核心是要识别学习对象不同方面, 变化是一个先决条件。因此, 教师在教学中如何表示学习对象, 是学生学习的最有力的教学因素。为了理解什么是使学习在一个教学环境, 而不是在另一个, 研究者应该关注和识别在一节课中哪些需要变化, 哪些需要保持不变。Marton等人在文献[6,7]中已经确定了四种变化模式或方法来讨论学习的对象:对比、泛化、分离和融合。下面的摘录揭示其本质:

对比:为体验什么, 一个人须经历一些其他的并与之比较。

泛化:为充分理解什么是“月”, 还须体验具有不同表现形式的“月”。

分离:为体验某一对象的某一个方面, 而且为区分这方面和其他方面, 这“某一个方面”必须改变而其他方面则保持不变。

融合:如果学习者必须同时考虑某一对象的几个关键方面, 他们都须同时体验[6]。

这些变化模式能为学生创造机会来理解基本的形式化的抽象概念。

学习对象可从各种不同的角度来看:一个老师, 一个学生或研究人员。预期的学习对象是从老师的角度来看。它包括老师说什么, 让学生在讲座中学会什么。学生体验这些会以自己的方式, 他们认识和学到什么被称为“生动的”学习对象。很明显, 学生真正学到了什么并不总是符合老师的意图。制定实施的学习对象是从研究者的角度来看, 它确定了什么是在讲座期间可能去学习的, 学习到什么程度, 以什么方式, 一个特定的学习对象在课堂中实施的必要条件。制定的学习目标描述了学生和老师一起创建的学习空间, 即, 识别学习对象的关键方面的环境[6]。

在变化理论中, 学习的必要条件是识别、同时性和变化的体验。变化是支持学生学习的主要因素。为了解一名教师应该使用什么样的变化, 他或她须首先意识到学生可以体验学习对象的不同方面。这些信息是必要的, 识别潜在的方法助学生辨别他们以前没有注意到的方面。

每个概念、现状和现象都有自己的特定方面。如果一方面变化而其他方面保持不变, 变化的方面将会突显并被识别。深入了解学习的对象, 例如一个数学概念, 需要同时识别学习对象的所有关键方面。因此, 识别、同时性和变化可以用来作为一种分析教学的三角框架[6]。

实验方法:

2013年下半年, 教学实验在我校实施。111名大一新生 (工程和经管类) , 七位教师参与该研究。数据包含介绍课程的三个讲座的照片, 观察笔记。学生的学习效果用前后两次书面测试和面试的成绩测定。

面试专注于参与者对定积分概念的理解。面试结果详尽地记录, 用传统现象描述方法分析、研究:主要目标是描述从特定的现象得到了多少种定性不同的概念描述, 而不是确定有多少人有一个特定的观念。本案例分析显示许多描述的类别, 这代表学生理解定积分概念定性的不同方式。

测试题包括六个问题, 具体条目将在下面给出。两个测试使用同一套试题, 是对学习结果统计比较。每个问题最高分3分。要得到3分, 答案需要正确和具有良好的动机。计算的小缺点, 扣1分。正确但不满意的回答, 给1分。空或无意义回答得0分。

测试时间30分钟。不允许使用任何技术设备。结果采用一款统计软件进行分析。

人们自然要问是否在后测试观察到的改进是由于熟悉的问题, 而不是讲座设计本身实现的结果?为了减少这种影响, 我们并没有向学生揭示预测试的答案或者结果。他们做后测试并没有得到任何事先通知。此外, 参与小组具有同等的教育背景, 所有的学生来自工程或经管类大一新生, 学相同课程。

如何设计和实现每一堂课的更详细描述, 将与研究报告一起给出, 由于后续讲座的设计基于前一个讲座的分析, 第一堂课被视为一个参考。它被准备是在不知道任何预先测试结果的前提下。

二、测试问卷

问题1:要计算由曲线, 直线x=0、x=5和x轴之间图形的面积 (见下图) , 你可以通过计算, 然后求和每一列的面积, 得到面积的一个近似值吗。

(a) 应该选择下列哪种图表使误差尽可能小? (b) 解释你的答案。

目的是测试学生的直观概念或概念的形象:将面积视为一个结果, 一个极限过程 (上黎曼和) 。通过观察, 每一列的宽度减少了一半, 当我们从图1移动至图3, 学生们应该能够辨别, 表示面积的近似误差也在减少。

问题2:是什么意思?

旨在衡量学生是否熟悉定积分符号, 如是, 这符号能唤起他们定积分概念的形象。

问题3:关于x和F (x) 的近似值在下表给出:

假设F′ (x) =lnx, 给出近似值。

目的是测试是否这种问题能唤起学生有关定积分概念的意象与微积分基本定理的链接。

问题4:若, 你能计算的值吗?

该问题是测试学生能否应用定积分的附加性质。

问题5:你能找到以下推理中的任何错误吗?

该问题是检查学生应用微积分基本定理时是否关注到应用条件。

问题6:确定由f (x) =x2和g (x) =x3所围图形面积。能给出面积精确值吗?

该问题是测试学生应用微积分基本定理的过程技能。

三、每堂课的进展情况

1. 第一讲。

第一讲由第一个教师自己单独设计, 对预先测试结果不知情。两位研究者观摩讲座。第一组作为参照组, 仅包括工程类学生。讲座从讨论面积以及如何计算常见图形如矩形面积开始。然后, 讨论不规则图形面积。此时介绍∑符号 (求和) 和上、下黎曼和的概念。最后, 以演示如何计算在X轴上面和曲线y=ex下面的区域面积, 在讨论中, 应用定理的条件没有明确提到。课后, 学生进行匿名测试。

2. 第二讲。

第二讲之前, 分析观摩和测试结果, 确定以下三个关键方面。首先注意到, 回答问题2的大多数学生, 把定积分仅解释成面积而不是一个数, 可以负, 零或正。第二, 两次测试结果表明, 学生在识别应用微积分基本定理的条件时感到困难, 尤其是在不可能应用微积分基本定理的情况 (问题5) 。第三, 大多数学生在解决常规问题时失误 (问题6) 。基于这些信息, 我们修改了在下一讲有关这三个关键方面的变化模式, 以便让学生更容易辨别正确的方面。第二讲由课题组的一位教师进行, 对应由工程和经管类学生组成的混合组。第二讲从讨论面积的概念以及图形面积开始。然后, 通过讨论一个典型的例子介绍定积分概念。同时解释了问题的几何意义, 问题通过使用微积分基本定理得以解决, 强调了其应用的条件。然后, 通过研究函数f (x) =2x和g (x) =x2的图形 (如图4) , 讨论了同一问题的另一种变化。此外, 为了让学生有针对性的体验“泛化”和“分离”, 特别使用两种不同的方法来解决同样的问题。

为解释如何在一般情况下理解定积分, 我们构造一个具有负值函数定积分的例子, 强调“对比”的体验。讲座结束时, 通过生动的图像来研究实例, 以强调应用微积分基本定理的必要条件。强调“分离”和“融合”的体验。

3. 第三讲。

第二组学生测试结果 (表2) 表明, 对定积分概念的理解仍然不足, 尽管我们已经看到一些统计上的显著改善。大部分的学生再次把定积分解释为一个面积。同样, 应用微积分基本定理的条件等相关的问题 (问题5) 依然存在;同样的问题出现在解决常规问题中 (问题6) 。为获得详细信息, 考察学生对定积分概念的理解, 对10个来自第二组的学生进行面谈。访谈的分析显示三种不同类型的描述:定积分被视为 (1) 一个极限过程; (2) 一个面积或; (3) 一个程序。

第一类:定积分概念专注于极限过程, 图形面积的近似是通过分解成薄的垂直矩形完成。其中一个学生通过以下方式描述其过程:“随着列数无限接近, 误差明显降低, 纵列边将越来越像曲线。”本节选和讲座1, 2的测试结果表明, 将定积分看做极限过程, 一些学生对此有一个比较好的直观了解。

第二类:代表图形面积。“是介于y=0和y=f (x) 之间在区间[a, b]上的区域的面积”。大多数学生, 在两次测试时, 以这种或类似的方式描述定积分。

第三类:把定积分描述为一个过程或程序。对他们来说, 定积分似乎只是一个公式。“这我曾在高中学习过。你写下带括号的原函数, 我把终点的值减去起点的值, 那么这只是一个简单的减法”。另一个学生说, 当看到问题5, “它看起来就像一个普通的积分计算。这是正确的…”。这些学生在访谈中提到, 中学时, 定理并没有从理论的角度去讨论, 更像一个公式被应用。

实施第三次讲座的教师与第二个讲座的相同, 面对仅有工程类学生组成一个新组。

用多媒体做的第一个练习专注于面积作为上、下黎曼和的数值逼近和定积分作为一个极限过程。保持f (x) 和区间不变, 改变子区间数目。目的就是通过增加子区间数目, 上、下黎曼和之间的差异可以减少, 假设上、下黎曼和与定积分的值最终一致。利用多媒体技术, 我们创建了动态的“泛化”教学模式。多媒体软件给了我们一个很好的机会来动态演示“对比”, 这是其中的一个变化模式。

第二次应用多媒体, 我们只保持f (x) 不变, 而改变区间的长度和上、下极限点, 以显示图形面积与定积分的值并不总是一致。第三个练习是对微积分基本定理条件的说明, 针对问题5。目标是帮助学生辨别:什么时候可以应用微积分基本定理。利用多媒体的动态特性, 能够展示所有的变化, 即“对比”、“泛化”、“分离”和“融合”。

4. 测试结果定量分析。

利用统计软件[9]。5%显著性水平, 利用独立双边两样本t检验 (讲座1) 和不独立双边成对样本t检验 (讲座2和3) , 分别分析了前、后两次测试的分数。在第一节课前和后的测试中, 参与者的人数分别是36和32。我们只是在同组层面记录每个项目在前和后两次测试的结果, 这也解释了为什么我们对这一组使用不同的t检验。接下来的讲座, 比较各个项目的测试结果。第二组学生 (30/30) 由工程和经管类学生组成, 第三组 (45/45) 只有工程类学生。表1和2显示分析结果。

表1显示:第一堂课学习结果在统计学上没有显著差异。

表2所示, 第三堂课最成功:许多测试项目有统计意义上的改善。学生在问题 (1a) 和 (1b) 的分数表明, 学生直观了解定积分概念作为一个无限过程开始很好。几乎所有学生都未能对问题5恰当应答;大多数甚至不能找到任何错误。问题6中, 多数学生无法辨别哪些函数代表上、下函数, 或者如何确定函数之间的交点或如何给出确切答案。

四、结论

本研究表明:不同教学方法对学生的学习效果有很大影响。最大成功是使用多媒体软件设计定积分概念的教学, 用于动态演示过程、创建变化的教学模式, 可以让学生同时体验许多重要的方面。问题6没有提供显著的帮助, 是由于多媒体软件不能用于补偿学生计算技能的缺乏。结果表明, 大多数学生对应用微积分基本定理感到特别有困难, 特别是当定理的条件并不满意。为了体验一个特定的方面—当不能直接应用微积分基本定理时—为了区分这方面和其他方面, 这个方面必须改变, 而其他方面依然保持不变。在教学序列中, 我们保持区间的长度以及函数f (x) 不变, 通过沿着x轴移动点a, 我们可以改变被观测的区间的位置。相同的教学序列, 再次给学生们提供了一个机会去体验被称为“融合”的变化模式, 即如果有几个关键方面, 像“应用微积分基本定理是可能的”、“应用微积分基本定理是不可能的”、“函数在有界闭区间上是有定义和连续的”等, 他们都必须同时被体验。问题5表明, 他们应用定理的条件观念或意识经第二次讲座之后并没有改变。只有基于多媒体技术的教学序列, 我们才注意到他们的结果有一些统计意义上的显著改善。学生们甚至在采访中提到, 定理并没有从理论的角度去讨论;他们只是被当作公式来用。学生们在解决问题时不必考虑定义和定理。为了更好地理解定积分的概念, 在教学中重要的工作是, 对于数学概念的不同方面, 我们要通过有关概念的实例和反例来表现。然而, 我们同时也发现了另一个关键的方面, 学生们相对薄弱的算术技能 (问题6) 阻止他们获得有关数学现象的更深层次的概念理解。用不同的方法来解决这类问题被应用在第二和第三课中, 但效果一般。总之, 我们不是很满意学生在这项研究中的学习成果。需要进行进一步的研究来确定:哪些其他的因素 (与积分技巧以及在数学教学和学习中使用的模型比较) 更能使数学教育工作者和学生都可以从中受益。必须再次强调, “教”和“学”是非常复杂的现象, 它们之间的关系并不是“一对一”。在像我们这样的教学试验中, 分析在教室里到底发生了什么, 这里指的是在老师和学生之间以及学生之间的互动, 也将是重要的。如果考虑到学生对数学概念的误解, 一个好的教学试验设计甚至并不能保证学生的学习, 但它至少可以增加学生学习机会的可能性。最后, 这项研究给了我们一个难得的机会, 使我们在设计、准备讲座以及在教学实施过程中与同事合作。共同反思和分析学生的学习是一个有益的探索。我们都同意该教学模型和变化理论是使数学教学更好发展的有效工具, 它可以提高教师对学生学习关键环节的把握, 丰富大学生数学学习的机会。

摘要：根据变化理论, 我们设计了一个基于学习的教学研究模型 (LSED模型) 的协同教学实验。研究如何通过对不同的学习对象的处理来促进学生的概念学习。我们还讨论了LSED模型和变化理论在发展高等数学教学方法上的挑战和可能性。研究数据包括观察记录和测验的成绩。学习结果的分析揭示:讲座的变化模式可以支持和增强大学生的数学学习, 帮助学生识别和体验有关定积分概念的那些关键特征。我们也发现了几个利用多媒体技术来丰富学生的学习机会的可能性。

关键词：定积分,实验设计,学习研究,变化

参考文献

[1]高等数学[M].第六版.北京:高等教育出版社, 2007.

[2]林群.微积分让数据说话[J].数学教育学报, 2013, 22 (5) :1-3.

[3]王光明.关于数学教育学科课程设置的一些思考[J].数学教育学报, 1997, 6 (4) :16-19.

[4]李红玲.现有大学文科数学教材中存在不足的思考[J].数学教育学报, 2012, 21 (1) :92-94.

[5]高雪芬, 胡觉亮.《数学与科学进步》课程的设计与实施[J].数学教育学报, 2012, 21 (1) :92-94.

[6]Marton, F., Runesson, U., &Tsui, A.The space of learning.In F.Marton and A.Tsui (Eds.) , Classroom discourse and the space of learning (pp.3-40) . (2004) .New Jersey:Lawrence Erlbaum Associates, INC Publishers.

[7]Marton, F., &Tsui, A.Classroom discourse and the space of learning.M (2004) .ahwah, NJ:Lawrence Erlbaum.

[8]Marton, F., &Booth, S.Learning and awareness.1997.Mahwah, N.J.:Law Earlbaum.

赏析高考定积分试题 第11篇

1考查定积分的几何意义

例1（2014年山东理科第6题）直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为（）.

A.22B.42C.2D.4

分析封闭图形的面积就是定积分的几何意义.

图1解先画出图形如图1，封闭图形就是阴影部分，联立y=4x，

y=x3，且在第一象限，得O（0，0），A（2，8），所以所求面积S=∫20（4x-x3）dx=（2x2-14x4）20=4，故选D.

评注封闭图形的面积S=∫ba[f（x）-g（x）]dx，这里x的范围从a到b，对应定积分的下限和上限，被积函数必须是上面的函数f（x）减去下面的函数g（x），所得定积分就是封闭图形的面积.

2函数的奇偶性在定积分中的应用

例2（2014年湖北理科第6题）若函数f（x），g（x）满足∫1-1f（x）·g（x）dx=0，则称f（x），g（x）为区间[-1，1]上的一组正交函数，给出三组函数：

①f（x）=sin12x，g（x）=cos12x；②f（x）=x+1，g（x）=x-1；③f（x）=x，g（x）=x2.

其中为区间[-1，1]上的正交函数的组数是（）.

A.0B.1C.2D.3

分析根据题意，要使f（x），g（x）为区间[-1，1]上的一组正交函数，则就使得∫1-1f（x）·g（x）dx=0，即在x∈[-1，1]上，f（x）·g（x）为奇函数即可.因为任何一个奇函数在关于原点对称的区间上的定积分为0.

解①组f（x）·g（x）=12sinx为奇函数，故①组为正交函数.②组f（x）·g（x）=x2-1为偶函数，故②组不是正交函数.③组f（x）·g（x）=x3为奇函数，故③组为正交函数，故选C.

说明任何一个奇函数在关于原点对称的区间上的定积分为0，例如奇函数y=f（x）在关于原点对称的区间[-a，a]的图像如图2所示，因为奇函数的图像关于原点对称，所以封闭图形的面积S1=S2，但是S1=∫a0f（x）dx，

S2=-∫0-af（x）dx，所以∫a-af（x）dx=∫0-af（x）dx+∫a0f（x）dx=-S2+S1=0.

3换元思想在定积分中的应用

例3（2014年江西理科第8题）若f（x）=x2+2∫10f（x）dx，则∫10f（x）dx=（）.

A.-1B.-13C.13D.1

分析任何一个函数的定积分都是一个常数，所以∫10f（x）dx也表示一个常数.

解设∫10f（x）dx=m，则由已知得f（x）=x2+2m，所以∫10（x2+2m）dx=m，（13x3+2mx）10=m，13+2m=m，m=-13，所以∫10f（x）dx=-13，故选B.

评注本题的关键是利用定积分的实质来代换定积分，否则就感到难以下手.

4定积分与三角函数交汇

评注求定积分关键是要找到原函数，利用微积分基本定理解出定积分；其次利用三角函数的图像与性质可求出其对称轴.

5定积分与几何概型整合

图3例5（2014年福建理科第14题）如图3，在边长为e（e为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则他落到阴影部分的概率为.

分析很明显是利用定积分求面积的几何概型.从近几年的高考题可以看出，定积分与几何概型结合是高频考点，是常态化的整合.

解因为y=ex与y=lnx（x>0）互为反函数，所以它们的图像关于直线y=x对称，图中的正方形也关于直线y=x对称，所以两块阴影部分的面积相同.

所以S阴影=2∫10（e-ex）dx=2（ex-ex）10=2，所以落到阴影部分的概率为p=2e2.

例6（2010年全国新课程卷理科第13题）设y=f（x）为区间[0，1]上的连续函数，且恒有0≤f（x）≤1，可以用随机模拟方法近似计算积分∫10f（x）dx，先产生两组（每组N个）区间[0，1]上的均匀随机数x1，x2，…xN和y1，y2，…yN，由此得到N个点（xi，yi）（i=1，2，…，N），再数出其中满足yi≤f（xi）（i=1，2，…，N）的点数N1，那么由随机模拟方案可得积分∫10f（x）dx的近似值为.

分析能画图的题目，就要想方设法画图，因为图形可以帮助我们构建解题的思路.又因为y=f（x）为区间[0，1]上的连续函数，且恒有0≤f（x）≤1，所以你可以画满足题意的任一函数都可以，不会影响结果.

则N1N≈∫10f（x）dx1×1得∫10f（x）dx≈N1N，故积分∫10f（x）dx的近似值为N1N.

评注学生用数形结合的思想解题，是学生会学数学的一个标志；此题考查了几何概型，定积分及其几何意义，综合性较强，很好地考查了学生对知识的理解深度和灵活应用的程度；题目新颖，匠心独运.

6用定积分求体积

例7（2013上海理科第13题）在xOy平面上，将两个半圆弧（x-1）2+y2=1（x≥1）和（x-3）2+y2=1（x≥3）、两条直线y=1和y=-1围成的封闭图形记为D，如图5中阴影部分.记D绕y轴旋转一周而成的几何体为Ω，过（0，y）（|y|≤1）作Ω的水平截面，所得截面面积为4π1-y2+8π，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出Ω的体积值为.

分析大家知道加速度的积分是速度，速度的积分是位移.所以类比得出面积的积分是体积.

解V=∫1-1（4π1-y2+8π）dy=

4π∫1-11-y2dy+16π.

画图形如图6，由几何意义知∫1-11-y2dy=π2，所以V=2π2+16π.

评注大胆合理的类比迁移，令人耳目一新的创新好题.

7用定积分思想证明一类不等式

例8（2014年陕西卷理科第21题）设函数f（x）=ln（1+x），g（x）=xf′（x），x≥0，其中f′（x）是f（x）的导函数.

（1）略；（2）略；

（3）设n∈N+，比较g（1）+g（2）+…+g（n）与n-f（n）的大小，并加以证明.

解析（3）由题设知：g（1）+g（2）+…+g（n）=12+23+…+nn+1，n-f（n）=n-ln（n+1）

比较结果为：12+23+…+nn+1>n-ln（n+1），用定积分证明如下：

图7如图7，∫n0xx+1dx是由曲线y=xx+1，x=n及x轴所围成的曲边梯形的面积，而12+23+…+nn+1是图中所示各矩形的面积和，所以12+23+…+nn+1>∫n0xx+1dx=∫n0（1-1x+1）dx=n-ln（n+1）.

例9（2012年天津理科第20题）已知函数f（x）=x-ln（x+a）的最小值为0，其中a>0.

（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若对任意x∈[0，+∞），有f（x）≤kx2成立，求实数k的最小值；

（Ⅲ）证明：∑ni=122i-1-ln（2n+1）<2（n∈N*）.

解（Ⅰ）a=1，过程略；（Ⅱ）实数的最小值为12，过程略；

要证

∑ni=122i-1-ln（2n+1）<2，即证2+∑ni=222i-1-ln（2n+1）<2，即证∑ni=222i-1

评注证明形如∑ni=n0f（i）>c（或g（n）（或

从以上各例可以看出，定积分为传统知识输入了新鲜血液，丰富了数学知识网络，促进了思维方式的多元化，随着定积分在高考中的进一步渗透，必将会增强知识的综合度，为提高数学的思维能力创造了广阔的空间，为发展数学的应用意识和创新能力提供了有效的途径.

作者简介王新宏，男，1974年生，甘肃高台人，中学高级教师，主要从事高考数学的研究.

体会定积分在物理上的应用 第12篇

其实求面积和体积问题自古以来都是数学家们感兴趣的课题.首先, 积分学的起源最早可以追溯到古希腊伟大的数学家、力学家阿基米德, 他使用了平衡法推导球体积, 但没有使用极限的方法, 而是创造了微元法分析问题.我国魏晋时候杰出的数学家刘徽提出“割圆术”, 用思想无限分割方法推导出许多平面图形的面积与一些立体图形的体积.文艺复兴时期, 天文学的发展激发了积分学的研究兴趣, 法国数学家费马首次以和式极限讨论了曲线下面积的方法. 只有牛顿和莱布尼茨把这个问题上升到一般概念, 认为这是一种不依赖于任何几何或物理背景的结构性运算, 给予命名———微积分.

定积分的分析思想和解决实际问题是非常重要的, 北师大高中选修2-2要求解决一些简单的几何问题, 主要在这个过程中熟悉定积分的求法, 感受微积分的魅力, 但对于定积分解决物理问题涉及简单的做功问题和物理运动问题, 由此有必要多了解定积分在物理上的其他重要应用, 拓宽视野.

为了更好地分析问题, 这里简单理解定积分的分析方法———微元法.

①根据问题的具体情况, 选取一个变量例如为积分变量, 并确定它的变化区间[a, b];

②设想把区间[a, b]分成个小区间, 取其中任一小区间并记为[x, x+dx], 求出相应于这小区间的部分量VU的近似值.如果VU能近似地表示为[a, b]上的一个连续函数在x处的值f (x) 与dx的乘积, 则把f (x) dx称为量的元素且记作dU, 即dU=f (x) dx;

③以所求量U的元素f (x) dx为被积表达式, 在区间[a, b]上作定积分, 得, 即为所求量U的积分表达式.这个方法通常叫做元素法.

一、变力沿直线所做的功

例1:半径为r的球沉入水中, 球的上部与水面相切, 球的比重为1, 现将这球从水中取出, 需做多少功?

解:建立如图所示的坐标系:

将高为r的球缺取出水面, 所需的力F (x) 为:F (x) =G-F浮.

其中:G= (4πr 3/ 3) ·1·g是球的重力, F浮表示将球缺取出之后, 仍浸在水中的另一部分球缺所受的浮力.

由球缺公式

从而F (x) =π·x 2 (r-x /3 ) g (x∈[0, 2r])

十分明显, F (x) 表示取出水面的球缺的重力.即:仅有重力做功, 而浮力并未做功, 且这是一个变力.从水中将球取出所做的功等于变力F (x) 从0改变至2r时所做的功.

取x为积分变量, 则x∈[0, 2r], 对于[0, 2r]上的任一小区间[x, x+dx], 变力F (x) 从0到x+dx这段距离内所做的功.

这就是功元素, 并且功为

另解:建立如图所示的坐标系:

取为积分变量, 则x∈[0, 2r],

在[0, 2r]上任取一个小区间[x, x+dx], 则此小区间对应于球体上的一块小薄片, 此薄片的体积为

由于球的比重为1, 故此薄片质量约为:

将此薄片取出水面所做的功应等于克服薄片重力所做的功, 而将此薄片取出水面需移动距离为x.

故功元素为

二、水压力

在水深为处的压强为p=γ·h, 这里γ是水的比重.

如果有一面积为A的平板水平地放置在水深h处, 那么, 平板一侧所受的水压力为:

P=p·A=γ·h·A

若平板非水平地放置在水中, 那么由于水深不同之处的压强不相等.此时, 平板一侧所受的水压力就必须使用定积分计算.

例2:边长为a和b的矩形薄板, 与水面成α角斜沉于水中, 长边平行于水面而位于水深h处.设a>b, 水的比重为γ, 试求薄板所受的水压力P.

解:由于薄板与水面成α角斜放置于水中, 则它位于水中最深的位置是h+bsinα

取x为积分变量, 则x∈[h, h+b·sinα] (注意:x表示水深)

在[h, h+b·sinα]中任取一小区间[x, x+dx], 与此小区间相对应的薄板上一个小窄条形的面积是a· (dx /sinα)

它所承受的水压力约为γ·x·a (dx/ sinα)

于是, 压力元素为dP= (a·γ·x /sinα) dx

这一结果的实际意义十分明显.

abhα正好是薄板水平放置在深度为h的水中时所受到的压力;

而 (1 /2) ab (bsinα) γ是将薄板斜放置所产生的压力 , 它相当于将薄板水平放置在深度为 (1 /2 ) bsinα处所受的水压力.

三、引力

由物理学知道:质量为m1、m2, 相距为r的两质点间的引力大小为:

k为引力系数.引力的方向沿着两质点的连线方向.

如果要计算一根细棒对一个质点的引力, 则由于细棒上各点与该质点的距离是变化的, 且各点对该质点的引力方向也是变化的, 便不能简单地用上述公式计算了.

例3:设有一半径为R, 中心角为φ的圆弧形细棒, 其线密度为常数ρ, 在圆心处有一质量为m的质点M, 试求这细棒对质点M的引力.

解决这类问题, 一般来说, 应选择一个适当的坐标系.

解:建立如图所示的坐标系, 质点M位于坐标原点, 该圆弧的参方程为:

在圆弧细棒上截取一小段, 其长度为ds, 它的质量为ρds, 到原点的距离为R, 其夹角为θ, 它对质点M的引力△F的大小约为△F≈k·mρds/ R 2

△F在水平方向 (即x轴) 上的分力△Fx的近似值为

于是得到了细棒对质点的引力在水平方向的分力Fx的元素,