数学逻辑范文

数学逻辑范文（精选12篇）

数学逻辑 第1篇

对于为何取消一二年级数学课, 校长也给出了理由, 根据他常年从事数学教学的经验, 低年级的孩子记忆力好, 逻辑性差, 而数学恰恰是门需要逻辑思维能力的课程, 而且小学数学知识点不多, 很容易让低年级的孩子陷进死记硬背的怪圈里。 因此, 与其在不适合的课程上耗费过多的精力, 来换取起跑线上的略微领先, 还不如更恰当的因材施教来得有的放矢。 更何况, 很多时候有舍才能有得, 懂得放弃更是一种智慧。 如果取消不适宜的数学课能够为小学生们留出更恰当的成长空间, 这一略显大胆的课程改革, 似乎也值得期待。

应该说, 取消一二年级数学课的教育改革初衷或许不错。 尤其是放在国内小学生课业压力偏重的背景下, 这一尝试或许也有不少启发意义。 不过, 以数学逻辑性太强, 而小学生逻辑性差为由, 取消小学低年级的数学课, 乍一听似乎相当在理, 但细细思考一下却不那么合乎逻辑。 毕竟, 教育的目的, 其实正在于弥补不足, 假如低年级学生确实逻辑性差, 那么开设一些逻辑性强的课程, 反倒大有必要。 至于说数学课让孩子陷入死记硬背的怪圈里, 恐怕也并不是数学课的错, 而更多是教学方法与考评机制的问题。 真要是逻辑性强的课, 为何会教成死记硬背, 恐怕不是取消了之, 而更需反思教法和考法是否得当。 此外, 尽管国外小学生的数学水平远不如国内同龄人, 但国外小学低年级也并未因为数学课逻辑性太强而取消数学课, 人家的数学课更没有上成死记硬背, 这里面是不是也有可借鉴之处, 在取消数学课之前, 恐怕还需有更多的论证。

高中文科数学简易逻辑 第2篇

十四、常用逻辑用语

（一）命题及其关系

1.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义。

2.了解命题的概念，会分析原命题及其逆命题、否命题与逆否命题这四种命题的相互关系。

（二）简单的逻辑联结词

了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义。

（三）全称量词与存在量词

1.理解全称量词与存在量词的意义。

2.能对含有一个量词的命题进行否定。

命题可以判断真假的语句；逻辑联结词或、且、非；简单命题不含逻辑联结词的命题；复合命题三种形式p或q、p且q、非p 真假判断p或q，同假为假，否则为真；

p且q，同真为真, 否则为假；

非p，真假相反 原命题若p则q；逆命题若q则p；否命题若p则q；逆否命题互为逆否的两个命题是等价的反证法步骤充要条件条件p成立结论q成立，则称条件p是结论q的充分条件，结论q成立条件p成立，则称条件p是结论q的必要条件，条件p成立结论q成立，则称条件p是结论q的充要条件，P={ x|x具有性质p}，Q={ x|x具有性质q}，pqPQ

小学数学教材要厘清逻辑顺序 第3篇

让我们看某现行教材中关于平行直线的定义。

这一段教材，通过移动的门窗、上升的国旗，以及铅笔的水平移动的观察，就说“像这样的两条直线互相平行”。显然，这是从物体的平移，给直线的平行作定义式的陈述。这样处理，会出现不少问题。

首先，门窗、国旗都是立体或平面的实体，抽象之后，乃是二维的平面，怎样和一维的“直线”联系起来呢？像国旗升起的画面中，平行线在哪里？不加以明确指出，让学生如何理解编写意图？

其次，若从两支铅笔抽象为几何图形，不过是一条线段，怎能说是直线呢？线段和其所在的直线，需要有所区分。这里的断语，应该是“像这样的两条线段互相平行”。至于说这也是它们所在的两条直线互相平行，那是另一种约定，在界定一个对象时要分清楚，不能混同起来。

第三，最为严重的混淆是用平移来界定平行，把二者的逻辑顺序弄颠倒了。说到底，究竟是先有“平行”，还是先有“平移”呢？

先来看什么是平移。百度词典这样定义：

“在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的移动，这样的图形运动叫作图形的平移运动，简称平移。”

这里的一个关键词是“所有点按同一个方向”，它的意义就是每组对应点连成的直线都彼此平行。这就是说，教材图上那支平移的铅笔，其上的每个点都要沿“水平方向”移动一个固定的距离。如果将铅笔头移动前后两点的连线线段（记为ab），铅笔底部点前后形成的两点连线（记为cd）那么因为是同一方向，所以必须有ab∥cd。这时，abcd四点构成一个矩形。进一步，那支铅笔也可以沿45度角向“东北”方向平移，铅笔各点扫过的图像就是一个平行四边形。

这就是说，作平移运动时，图形中无限多的点都要保持“同一方向”，也就是要形成无限多条的平行线。因此，先有平行概念和平行判断准则，才能作平移运动。用平移定义平行，在逻辑上有误，混而有错。

在这页教材上，还可能会产生另外一些误解。

1.以为可以用两条线段彼此间是否为平移来判断是否平行。但这是做不到的。事实上，判断两线段是不是平移，必须把平移的那个“统一方向”找出来。为了找这个方向，最后不得不依赖同位角相等的那些平行线判定法则。因此，想用平移概念，绕开平行线的严格定义和判别准则是做不到的。

2.教材的那两支铅笔，是向水平方向和垂直方向平移。容易产生的错觉是，平移就是水平方向的移动，或者是垂直方向的移动。这就会造成平行线都是水平的或垂直的错误印象。

3.教材呈现的平移操作，只能在方格纸上向水平或垂直两个方向移动。 那么，要在方格纸上作45度、60度方向的移动怎么办？教材没有交代，也无法说清楚。

综上所述，用线段平移来界定线段平行， 在逻辑上有误，既不能实际操作，又会带来一些误解，应予修正改进。

笔者认为，平行线教学要和“方向”概念联系起来，用直线的方向相同来定义直线的平行，即用直观的、相当于同位角判定准则的情境来进行处理，那要另文探讨了。

管理的逻辑:管理=数学+哲学 第4篇

从某种意义上讲, 恰到好处的运用管理逻辑, 同样是企业的制胜法宝。

漂亮的数学运算

格兰仕做企业, 很好地运用了做数学题的逻辑思维。其中, 格兰仕微波炉的低成本战略, 就是将数学题做得非常漂亮的一个例子。

格兰仕微波炉的生产线是别人的不是它自己的, 所以它没有固定资产折旧。问题是, 为什么它能够把别人的生产线免费拿过来呢?原因是它跟外商合作, 谈判的逻辑仅是个简单的数学比较运算。就是外商的生产线放到欧美国家, 每生产一台微波炉成本是多少, 而放在中国大陆, 即使加上生产线的固定资产折旧, 生产一台微波炉的成本又是多少。将这个数学题目一算, 外商心动了。

当格兰仕把生产线移到中国大陆以后, 利用中国的廉价劳动力和地皮, 把一部分的生产线留给外商贴牌, 一部分生产线则免费留给自己用于内销。这样它就做到了生产出来的微波炉没有固定资产折旧。

在外销加内销双重的推力下, 格兰仕微波炉的量上去了, 规模化的生产能力带来规模化的采购, 规模化的采购降低了采购的成本, 从而带来了低价格, 低价必然带来高额的市场增长。良性循环顺理成章地形成。

格兰仕的精髓

实际上, 企业的本质是对经济资源进行有效配置。不同企业经营水平之间的差距集中反映在资源配置效率的高低上, 而决定企业资源配置效率高低, 最为重要的, 是企业管理层的经营管理能力与水平。

企业管理不但关系到企业资源的管理, 还涉及到企业组织活动的管理, 如企业文化、沟通与交流。格兰仕微波炉的成功不只是在做数学题那么简单, 格兰仕成功的真正精髓是变革、创新和速度。

格兰仕知道, 单做数学题是远远不够的, 因为数学永远是刚性的。当数学题做得太多以后, 带来的负面结果是, 过于刚性的管理会导致企业员工能动性减弱, 创新动力消失。所以说企业管理需要柔性, 即讲哲学, 柔性的东西要跟数学的刚性结合。

创维集团在创业的时候, 是你死我活、金钱万能的思想, 现在取而代之的是和气生财, 以人为本。和气生财就是合作, 沟通, 交流, 讲哲学。以人为本既要讲物质文明, 又讲精神文明, 就是一个企业对人的管理, 不能完全是物质的, 还要讲精神。精神的满足跟物质的满足是双重的。

但是, “哲学”的介入, 致使企业管理的问题变得难以琢磨了。其中, 最难搞定的就是企业所面临的各个层面的复杂的“关系”。不但在企业内部有上级与下级之间、部门与部门之间、企业与员工之间的错综复杂的关系, 在企业外部还有企业与上游供应商的关系, 甚至最终消费者之间的关系等等。

搞好关系, 对于企业来说好处是潜在的。打一个简单的比方, 一位企业的老总, 某天晚上与下属在茶馆喝茶消费100元, 喝茶以后产生的效果, 却是无法用这简单的100元来衡量的。

真正的企业管理

因此, 真正的企业管理, 应该是建立在哲学基础上的数学运算, 也即:管理=数学+哲学。相应的, 一个优秀的企业家也应该是数学家与哲学家的结合, 既善于做哲学题目, 也很善于做数学题目。

那么, 如何在现代企业管理中, 实现“哲学+数学”管理的完美结合呢?

目前, 一些企业老总认为上了ERP软件后, 企业信息化已经全部搞完, 其实不然。ERP企业管理所涉及的内容, 简单讲就是一个企业资源规划, ERP软件是对企业的资源管理, 例如物料、设备、资金、劳力等, 仅仅属于“数学管理”的范畴。

因此, 刚性的ERP, 无法进行柔性的关系处理, 无法体现客户关系、员工关系等企业在哲学层面的管理。这时需要哲学层面的协同与沟通, 同时也要强调个性化的管理手段。

培养数学逻辑思维方法 第5篇

巧用游戏助学

为了让学生积极主动地投入数学思维的锻炼之中，教师在课堂上要根据教学的实际情况，合理地安排数学游戏和活动，让学生在情绪高涨的情况下锻炼数学的逻辑思维能力。

例如，在学习完正比例函数、一次函数和二次函数的时候，由于知识点较多而且有一定的记忆难度，教师就要利用游戏来帮助学生形成记忆。教师先把学生分为两大组，一组为猜题组，一组为演题组。两组每次分别派出两名学生，猜题组的两人站在讲台上，演题组的两人站在讲台下，这时教师在课件上会显示函数的式子如y=2x+3，学生就要反应过来这是k>0、b>0的情况，演题组的学生要利用肢体语言摆出函数造型让猜题组猜这个函数是什么函数，是哪一种情况。猜题组要努力回忆函数的特点进行猜题。如果猜题错误两次就要换人。通过这一游戏，学生自然就会加深对每种函数的特点的记忆，还能活跃课堂气氛，训练学生的即时反应能力和思维能力。

结合基础知识教学培养逻辑思维能力

知识和能力总是相辅相成的，在向学生传授数学知识的过程中，可以培养逻辑思维能力。只要把知识的教学，作为培养能力的载体，在传授知识中，渗透或介绍逻辑思维的规律和方法，可以收到良好的效果。逻辑思维是理性认识，培养逻辑思维能为，首先使学生感受鲜明的感觉、知觉和表象，形成具体、生动、形象的感性认识，然后通过分析和综合、抽象和概括等思维活动，对感性材料进行加工整理和改造制作，形成概念、判断，最后用语言表达思维的对象，先让学生意会，使他们有朦胧感知。

再分析，“它们都是由两条射线组成的，而且两条射线有公共端点”，最后抽象概括“这种由公共端点的两条射线所组成的图形叫做角”。这种形成概念的过程，是从感性到理性的过程，在感性阶段，就是让学生对“角”有所意会，使之对角有朦胧感知，再给学生言传，使之明确领会。学生对逻辑思维的方法，从朦胧感知开始，经过一段时间的意会，在适当的时刻，可以明确地告诉学生概念、判断、推理等各种思维形式的特点、结构及其思维规律，对学生身教，使之有模可仿。教学中，教师要以身作则，作出示范，使学生学有榜样，可以模仿，教师的语言和板书，要准确严谨，富有条理，言之有据，合乎逻辑性，对学生回答问题的叙述，要求合乎逻辑性，要认真、细致，及时地纠正学生所犯的逻辑性错误。

2如何培养学生解题的逻辑思维能力

逻辑思维具有多向性，指导学生认识思维的方向。

正向思维是直接利用已有的条件，通过概括和推理得出正确结论的思维方法。逆向性思维是从问题出发，寻求与问题相关联的条件，将只从一个方面起作用的单向联想，变为从两个方面起作用的双向联想的思维方法。横向思维是以所给的知识为中心，从局部或侧面进行探索，把问题变换成另一种情况，唤起学生对已有知识的回忆，沟通知识的内在联系，从而开阔思路。

发散思维。它的思维方式与集中思维相反，是从不同的角度、方向和侧面进行思考，因而产生多种的、新颖的设想和答案。教学中应注重训练学生多方思维的好习惯，这样学生才能面对各种题型游刃有余，应该“授之以渔而不是授之以鱼!”要教学生如何思考，而不是只会某一道题。

指导学生寻求正确思维方向的方法。

培养逻辑思维能力，不仅要使学生认识思维的方向性，更要指导学生寻求正确思维方向的科学方法。为使学生善于寻求正确的思维方向，教学中应注意以下几点：(1)精心设计思维感观材料。培养学生思维能力既要求教师为学生提供丰富的感观材料，又要求教师对大量的感性材料进行精心设计和巧妙安排，从而使学生顺利实现由感知向抽象的转化。(2)依据基础知识进行思维活动。中学数学基础知识包括概念、公式、定义、法则、定理、公理、推论等。学生依据上述知识思考问题，便可以寻求到正确的思维方向。(3)联系旧知，进行联想和类比。旧知是思维的基础，思维是通向新知的桥梁。由旧知进行联想和类比，也是寻求正确思维方向的有效途径。

联想和类比，就是把两种相近或相似的知识或问题进行比较，找到彼此的联系和区别，进而对所探索的问题找到正确的答案。(4)反复训练，培养思维的多向性。学生思维能力培养，不是靠一两次的练习、训练所能奏效的，需要反复训练，多次实践才能完成。由于学生思维方向常是单一的，存在某种思维定势，所以不仅需要反复训练，而且注意引导学生从不同的方向去思考问题，培养思维的多向性。中学数学内容是通过逻辑论证来叙述的，数学中的运算、证明、作图都蕴含着逻辑推理的过程。因此，在传授数学知识过程中须严格遵守逻辑规律，正确运用逻辑思维形式，作出示范，潜移默化是培养学生逻辑思维能力的宽广途径。比，问题提法改变了，题目虽然不大，涉及内容却很广，有很多的陷井，要想选出正确的答案，必须用批判的态度去思考。

3数学如何渗透逻辑思维

利用抽象概念培养学生逻辑思维能力

抽象概念的引入，有效的培养了学生的逻辑思维能力。传统的教学方法是老师先教给学生概念，然后再对概念进行讲解，帮助学生理解概念的含义。这很大程度上限制了学生的思考能力，容易形成学习懒惰的坏习惯。而抽象概念恰恰有效的解决了这个问题，所谓的抽象概念指的是教师并不直接的教给学生新概念，而是通过设置悬念等方式进行慢慢引导。

在具体的实践教学中，教师可以通过这种教学方法，激发学生对新知识的渴望，不断的进行思维训练，使学生对概念有更深的理解。这种教学方法对教师的能力要求是非常高的，要求教师精心设计教学过程，并对学生的思维活动进行有效的引导，而且要从整体上掌握和监督课堂教学进度，这样才能充分提高学生的逻辑思维能力。

逐步培养学生的抽象思维能力

与初中数学相比，小学数学最为重要的特征就是学生在思考的过程中，可以找到具体事物辅助思考，这也是数学入门的有效学习方法，在数学学习初期能够有效加快学生的掌握，加深学生的理解。然而，在进入初中之后，几何图形与代数式的出现要求学生抛弃辅助工具，进行抽象思维，有的学生转变较慢，导致成绩下降，自信心受到打击。因此，在实际教学活动中，教师应在抽象思维的引导上多下工夫，让学生熟悉代数式的意义与实际运用，在习题的解答中培养学生的抽象思维能力。

例如在证明三角形全等时，很多学生不是根据题目要求的条件和定理解题，而是主观地“看”，先看两个三角形是否全等，再去证明，久而久之，学生的抽象思维能力渐渐降低，更无法为以后立体几何的学习打好基础。此时教师应在练习中主动引导学生回忆学过的全等三角形证明方法，如“角边角证明法”，通过对定理的套用逐步摆脱“用眼看”的习惯。

4如何训练学生的思维能力

鼓励合作交流，促进思维

思维和语言有着密切的联系。爱因斯坦说过：“一个人智力的发展和他形成的概念的方法，在很大程度上是取决于语言的。”思维是对客观事物间接地、概括地反映。虽然语言是思维的外壳，但语言本身具有概括性和间接性的功能。如果语言不具备这些功能，人的思维，特别是抽象思维就难以进行，古人云:“言有心声，言乃说。”“说”离不开大脑的思维，并可促进大脑的思维。在课堂中我们常常会发现有些孩子叙述解题思路时总是一愣一愣的，有些孩子不乐于说，还有的说得不够完整，等等，这些常常让我们感到很苦恼。因此在数学课堂教学过程中，教师要积极创建一种民主和谐的课堂氛围，让学生敢说、乐说，不断给学生提供“说”的机会，鼓励学生把自己的想法跟同学交流。

如在教学三年级上《周长是多少》的数学实践活动课时，书本在“量一量”这一环节出示了一组不规则图形，要求学生量一量并求出周长。于是我首先让学生在动手之前先独立思考准备量几条边的长度，然后把自己的想法在组内交流，再前后四人互相商量之下，使原先没有想到用平移方法的学生也能得到启发，随后让学生在全班进行汇报，就得出了以下的方法：只要量出长方形的长和宽就行了。这样就把原先求不规则图形的周长化繁为简，让学生体会到了数学思维的魅力，并掌握了一种不错的思考方法。又如在教学四下解决问题的策略时，有一个例题：“小营村原来有一个宽20米的长方形鱼池。后来因扩建公路，鱼池的宽减少了5米，这样鱼池的面积就减少了150平方米。现在鱼池的面积是多少平方米?”在学生通过画图找到常规的解法后，我追问：“除了这种解法外，你还有没有更妙的解法?”引导学生通过已经画好的图再去想一想，然后与同桌交流自己的想法。随后的教学精彩纷呈，不同的解法一一涌现：150÷5×20-150;20÷5×150-150;(20÷5-1)×150。学生从数量关系和数的特点出发，得到了许多新的解法。在这里我成功地扮演了一名倾听者，给学生留有充分思考和交流的时间，很好地发挥了学生的主观能动性，把他们的发现一个个小心呵护着。几乎每一种解答方法的诞生，每一步教学环节的深入，都隐藏着充满鼓舞和信任的话语:“你有更妙的解法吗?把你的想法跟同学们交流一下吧!”“你的想法真独特!”一道用画图解决的实际问题，在学生个体能动作用下产生了新颖的思维火花，避免了思维的机械化、单一化，学生体会到了“学知识”、“说知识”比“听知识”更快乐，更有成功感。

精心设计问题，引导学生思维

培养学生的思维能力与学习计算方法、掌握解题方法一样，也必须通过练习，而且思维与解题过程是密切联系着的。培养思维能力的最有效办法是通过解题的练习来实现。因此设计好练习题就成为能否促进学生思维能力发展的重要一环。教学时要根据具体情况做一些调整或补充。

数学逻辑 第6篇

一、有序呈现，自然显现数学的逻辑性

儿童的思维是浅层的，他们很难将一些富含内在逻辑的东西整合在一起，更难从纷繁的世界中寻找到有序的逻辑。因此作为数学教师的我们就要充分考虑学生这一特性，力图将蕴含在大量例题、习题中的规律、逻辑有序地呈现在学生面前，让这些繁杂抽象的数量关系形象化、浅显化，从而让学生在这种有序的状态下，自然地习得数学的知识，把握数学的规律，领略数学的真谛。

例如《分数的意义》一个练习。“任选一个分数——1/2、 1/3、 1/4 、1/6 、1/12，在图中涂色表示出来。”（图略）。当学生完成随意在图上涂上一个，活动即告结束。这样的题型对于我们数学教师来说并不鲜见，我想此题出现的初衷是让学生进一步理解分数的意义，完成从“数”到“形”的转变。这样教学的安排显然不能给学生带来什么逻辑的认知。如果我们把此题作一适当改编：“将这几个分数分步且有序地涂示出来”，就会出现下图

▼▼▼▼▼▼▽▽▽▽▽▽ 1/2

▼▼▼▼▽▽▽▽▽▽▽▽ 1/3

▼▼▼▽▽▽▽▽▽▽▽▽ 1/4

▼▼▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽ 1/6

▼▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽ 1/12

当然也可以出现这样的排列：

▼▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽ 1/12

▼▼▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽ 1/6

▼▼▼▽▽▽▽▽▽▽▽▽ 1/4

▼▼▼▼▽▽▽▽▽▽▽▽ 1/3

▼▼▼▼▼▼▽▽▽▽▽▽ 1/2

然后再引导学生观察此图，让学生发表自己的看法。我想学生看到此图后，心中会自然地产生这样的感知：分的份数越多，每一份就越少；分的份数越少，每一份就越多；还可以在潜意识里形成这样的认知： 1/2 >1/3>1/4>1/6>1/12或1/12<1/6<1/4<1/3<1/2。当学生产生这样的认知后，不仅有效地完善“分数的意义”的学习，还为以后学习分数的比较、分数的判断提供逻辑基础。

二、有序思考，慢慢凸现数学的规律性

虽然数学的内容博大精深，虽然数学的关系错综复杂，虽然数学的规律千奇百怪，但只要我们带着一份“序”的眼光，终能发现其中的“蛛丝马迹”，终能让我们的学生感受到数学的规律。因此，在具体的教学时，我们教师要经常引导学生用“序”的思维来思考问题，用“序”的思维来解决问题，从而帮助学生炼就一双慧眼， 慢慢探寻数学的规律性。

例如《认数》中一个练习。“随机使用“1、2、3、4”四个数字中的写出任意的三位数。我想，这个练习只是完成“认数”的初步认知，这样的练习是肤浅的。当学生根据题目要求，任意写出一些三位数时，这样的练习活动即告结束。我在教学时，将此题的要求进行适当的改编，要求学生将“1、2、3、4”所能表示的数都写出来。然而改编后的练习，学生很难把“1、2、3、4”表示的三位数全写出来，怎么办？此时，我引导学生开头是“1”的数会有哪些？经过探究，学生得出“123、124、132、134、142、143”；开头是“2”的数会有哪些？“213、214、231、234、241”；那么开头是“3”呢？开头是“4”呢？它们分别又是哪些呢？“312、314、321、324、341、342”；“412、413、421、423、431、432”。接着我又引导学生思考这有什么规律？经过探究，学生得出每一组都是6个数；每组数的个数与提供的数字数有很大关联……当我们教给学生有序思考的方法，学生就会逐步掌握数学规律的方法。

三、有序发散，梯度彰显数学的神奇性

数学教学的意义，在很大程度上是让学生学会探求未知领域的意识、技能与思想。世界上许多有作为的数学家都是在继承前人的基础上有所创新与突破。因此，作为数学的教学，也理应让学生获得发散的思维，从而让学生将思维的触觉伸向数学更远处。

例如《多位数乘一位数》中的一道练习。题目是：

1×9+2=11

12×9+3=111

123×9+4=1111

（ ）×9+（ ）=11111

学生根据上面的算式很快就得相关答案，这样的练习显然不能给学生带来什么“数学式”的发展。于是，我让学生将算式“1*9+2=11”中的“2”变成“1”，依此类推，让学生尝试着填一填相关数据，学生很快得出下面一组算式：

1×9+1=10

12×9+2=110

123×9+3=1110

……

接着，我又让学生将“1×9+2=11”中的“2”变成“3”，变成“4”，变成“5”，然后依此类推，学生的思维一下子打开了，能迅速地根据数字的变化而填出不同的算式与答案。最后，我还告诉学生：“像这样的奥妙，数学世界里不胜枚举，只要我们做个有心人，这样的神奇随处可见。”

随机数学与模糊数学中的直觉与逻辑 第7篇

长期以来, 人类为了更有把握地驾驭自然和社会, 在从事自然科学和社会科学的实践与研究中, 已经建立并且还在不断地寻求建立各种各样的数学模型, 用以揭示事物之间的本质联系, 据以预估和控制某些自然现象、社会现象, 包括人类在内的发展与变化.

比如, 牛顿只用三个简洁的公式就将物 (天) 体运动的规律揭示得清清楚楚 (见图1) :

爱因斯坦方程: (其中gij是测度张量, Tij是物质品质, Rij是曲率张量) 把牛顿不变的时空力学又引向空的弯曲, 这一用来描述宇宙时空的数学模型, 形式上也非常简洁.它不仅展现了爱因斯坦超强的逻辑推理能力, 更凝聚了他丰富的想象力.

一个最简洁不过的质能方程E=mc2, 体现了物质质能的互化, 也为人类利用核能等提供了理论基础.如果把它改写为m=E/c2, 则另有一番意境, 可以认识与探讨物质起源、以太及统一场论等新见解[1].

马尔萨斯人口论的数学模型是把数学应用于社会科学的典型例子, 经自公元1700年至1961年的二百六十年的检验, 模型预测结果竟与实际惊人地吻合.当然, 这个模型只是在过去相当一段时间内检验准确, 按照这个模型, 到公元2670年, 世界人口总数将要达到13.6×1015.地球的表面积为1.86×1015平方英尺, 由此推算, 届时地球上每平方英尺的土地上将至少有7个人.这个结果就比较荒谬了, 因为受各种条件制约, 地球人口不可能无限制增长, 而且各种影响因素也都发生了改变, 地球上不同区域新的人口增长模型需要根据当地不同情况相应改进.

这正是数学区别于其他自然科学的差别之一.当一门科学从描述和定性的阶段进展到可以用定量和解释的方式表达关系的阶段时, 该科学就采取数学的形式.天文学一度曾是一种描述性的科学, 但是, 开普勒和牛顿的工作建立了可以用数学来表示天体运动规律的基础.正是在这种意义上, 数学有时被称为科学的语言.

以上所述, 都是确定性数学模型的例子.然而, 像思维科学和脑科学等等, 至今还是个迷.这是因为在自然界和人类社会中还有许许多多不确定性的现象.目前已经被认识和掌握的有两种不确定性, 就是随机性和模糊性.

2 随机性与模糊性的直观感觉

先说随机性.在自然界和人类社会中存在着大量随机性的现象.日常生活中, 机会出现了, 碰到了机会, 碰到好机会、好事情就说交好运;反之, 就说倒霉了.其实, 生活中碰到好事也罢, 坏事也罢, 都是交替出现的, 带有很多偶然性.偶然性即随机性.具有偶然性的事件, 叫做偶然事件或随机事件, 其反面就是所谓的必然性或必然事件.一般来说:必然事件就是在特定条件下一定会发生或一定不会发生的事件;而随机事件则是在特定条件下可能发生也可能不发生的事件.

丘吉尔说:“一个人活得越长, 他就愈认识到一切取决于机会.任何人, 哪怕只要回顾一下十年前的经历, 他就会看到某些本身毫不重要的细小事件, 实际上都左右了他的全部命运和前程.”[2]

剧本《何文秀》 (越剧) “算命”一场中有一段唱词, 生动形象而又曲折地道出了何文秀21岁前的坎坷经历.他唱道:

“时辰八时排分明, 文秀要算自己命.别人的命儿不会算, 自己的命儿算得准……, 一周两岁娘怀抱, 三周四岁离娘身, 五岁六岁无关口, 七岁八岁上学门, 九岁十岁有文昌关, 十一、十二倒安宁.十二算到十七岁, 十七岁上有灾星, 十七岁命犯天狗星, 无风起浪波涛生, 朝中奸臣来残害, 害他全家一满门.只有此命能逃生, 他是穷途落魄去飘零, 可比瞎子过竹桥, 破船过江险万分.幸得红鸾喜星照, 路逢淑女私赠银, 男无聘金为表记, 女无媒证自成亲.十七算到十八岁, 十八岁又逢大难星, 牢狱之灾飞来祸, 人命官司加在身, 命犯小人暗相害, 受屈含冤命难存, 幸亏又逢贵人星, 贵人相救得重生.十八过去十九春, 独占青龙交好运, 今年正当二十一, 金榜得中做公卿, 目下夫妻可相会, 冤案昭雪得欢庆…….”

事物发展过程的一般法则是, 必然性与偶然性交替出现和交互作用, 它处于两个分叉点之间时, 发展相对说来比较稳定, 这时必然性起主导作用, 但也不排除有次要因素和次要的分叉点存在.因为谁也不能保证不会出现突变事件, 即偶然事件或小概率事件的发生.所谓小概率事件, 一般说来是不可能出现的.正是由于人们相信和承认“小概率事件的不可能性原理”, 才能大胆地进行工作和学习.不然, 谁还敢出门, 谁还敢乘车?话又说回来, 你躲在家里, 在街上步行, 在花园里散步就绝对安全了?飞来横祸的事也屡见不鲜.小概率事件一旦出现, 它可能给人带来重大灾难, 也可能使人幸免于难.

庞加莱 (H.Poincaré) 说过“最大的机遇莫过于一个伟人的诞生”.因为天才和伟人的诞生会造福于人类.以牛顿为代表的大科学家们就是这样的伟人.当然, 伟人的诞生除了机遇之外还需要其他条件, 比如至少说还要天才与勤奋, 这里只讨论“机遇”.由于某个人诞生是一系列随机事件的复合.别的不说, 单论父母、祖父母、外祖父母的结合, 俗话说, 千里姻缘一线牵, 夫妻的结合就有不少偶然因素.

京剧《白蛇传》的开头, 在那桃红柳绿的阳春三月, 老艄公在西湖中摇着小船, 载着许仙、白娘子与小青妹三人, 边划边唱道:“最爱西湖三月天, 斜风细雨送游船;十世哟, 修来同船渡, 百世修来共枕眠”, 就道出了这一事实.

所以某个特定的人要成为伟人, 可能性是很小的, 甚至是极小的, 属于小概率事件.但尽管如此, 各个时代仍然伟人辈出.这是什么原因呢?一个人成功的概率虽然很小, 但几十亿人中总有佼佼者, 这就是所谓的必然寓于偶然之中.

接下来再说模糊性.所谓模糊性是相对于精确性而言的.比如男人和女人, 男孩和女孩这两个概念都具有清晰的内涵与外延.但是, “大胡子”、“高个子”、“美女”等等, 其划分就不那么明显了.

不妨来看一个明显的例子.行驶于大连港与上海港之间的客轮, 势必要经过黄浦江的出 (入) 海口 (图2) .当轮船即将驶出这个区域时, 旅客往远处望去, 只见海面上有一道明显的界线, 那就是混浊的黄浦江江水与碧蓝碧蓝的海水之间的分界线.但当轮船正向那道界线驶去, 真正要寻找那道界线时, 却又不知从何找起.这是因为当轮船由远及近地靠拢它时, 这道界线又逐渐地模糊起来, 因此就很难分得清楚下面的这个“载舟之水”到底是黄浦江江水还是大海里的海水.

日常生活中像这种“远看清楚, 近看模糊”的现象也是屡见不鲜的.有诗为证:

天街小雨润如酥, 草色遥看近却无.

教育系统中更是存在着这样一类模糊现象.平时说起, 这个学生是好学生, 那位老师是好老师;这个学校的教学质量高, 那个学校的教学质量较差等等也都是一些模糊概念.所有这些模糊现象, 构成了客观世界中事物之间的又一类不确定性.造成这种不确定的现象的原因, 是由于事物之间存在着一种分划上的中介过渡性, 正是这种中介过渡性使得非此即彼的排中律受到破坏, 犹如随机性造成了因果律的一种破缺一样.

那么面对这两类不确定性, 人们是否就束手无策了呢?显然不是这样的.应运而生的随机数学和模糊数学, 就是为了处理和解决这两种不确定性的两个数学模型.

3 概率论中的逻辑推理

随机数学 (概率与数理统计) 与模糊数学是人们对存在于自然界和人类社会中的两类不确定性事物的发展规律的数量化、形式化和公理化研究的结果.它们是两个不同的数学分支, 它们之中的逻辑思维, 无论是现代归纳逻辑、概率逻辑, 还是模糊逻辑等等, 最终采取的, 或者说实质上仍然是演绎逻辑在数学上的运用与反映.它们是由或然性到确定性 (偶然性到必然性) 、模糊性到精确性的一次实现与逼近.因此, 学习和应用随机数学和模糊数学, 并不会改变数学的演绎性的本质.

何为概率逻辑?首先, 所谓的或然性或不确定性, 与必然性和确定性这两个术语, 只不过是描述了人们是否能确定命题的真假的不同程度而已.这要基于人们所具有的知识多少而定, 这里假设经验也包括在知识之中.任何命题本身非真即假, 但是对于它的认识却依赖于人们的知识和认知的环境.

因此, 确定或不确定不是命题本身的特征.在此意义上说, 刻画命题的或然性程度或确定的概率可以称为是主观的.但另一方面, 在对逻辑非常重要的意义上, 概率不是主观的.一旦给定能确定我们知识的事实, 那么或然或确定的含义也就随之客观地固定下来, 并且独立于我们的意见.概率逻辑就是研究在给定条件下人们具有的合理相信度, 而不是研究人们关于特定具体的事物的实际相信度, 我们选择什么特定命题集作为我们的论证前提当然是依赖我们特定的主观因素, 但是一旦给定这些前提, 根据概率逻辑的有效论证能够推出什么是合理相信度 (或然的或确定的) , 这个过程纯粹是客观的.[3]

著名经济学家、数学家凯恩斯 (J.M.Keynes) 给概率所下的定义是:

令前提由任一命题集h组成, 结论由任意命题集a组成.若对任一h, 以程度r证明合理信念程度a是正当的, 则我们说在a和h之间存在程度r的概率关系.用符号表示就是a/h=r.

凯恩斯认为概率逻辑就是研究这种关系的逻辑.

人们对随机现象进行了长期考察与一系列深入研究之后发现, 偶然性与必然性之间既具有本质区别, 又存在着内在联系.在大量的偶然性之中隐藏着某种必然性的规律, 它可以用大量的随机试验中所呈现出来的频率稳定性来描述 (如掷骰子或硬币的试验) , 这种频率的稳定性就是概率的客观含义, 它用以把握和解释存在于随机现象之中的广义的因果律.这里依据概率的公理化定义先来看一下概率所具有的四要素.

一是样本空间Ω;二是样本点ω, 它是样本空间中的一个点, 是一次抽样观察中所得到的一组观察数据, 对于某一个观察结果而言, 是完全确定的一组数值, 但它又是随每次抽样观察而改变的, 因此应该把它看作是样本空间Ω中的一个变元;三是随机事件Α, 又是样本点的某个集合, 所谓事件Α发生与否, 如果它所包含的样本点中有一个发生, 把随机事件量化, 就可以使之转化为随机变量来研究, 可以对它进行各种数学运算;四是条件S, 它是对样本点ω的变化的一种制约, 但是这种条件的限制是不充分的, 因此样本点仍有随机变动的余地.这就是随机性产生的根本原因.随机试验的基本思想简述于下:

(1) 用确定性的手段去研究某种不确定性, 即把偶然性从上一个层次 (判断一个事件发生与否) 驱赶到下一个层次 (判断这个事件在多大的可能性程度上发生) , 这是随机试验的基本目的;

(2) 在每一次试验下, 事件的发生与否是确定的, 即把每一组数据看作是随机变量的一次独立的实现, 这是随机试验利用数据的一般前提和基本要求;

(3) 在各次统计试验中事件Α是不变的, 而属于事件Α的样本点是在变化的, 这是随机试验的基本特点.

4 模糊数学中的逻辑推理

模糊数学是在电子计算机、控制论和自动化技术的发展中产生的, 其产生的一个直接动因是要求仿真人工智能, 提高机器的活性.对模糊事物进行识别和判决, 正是人脑所具有的一种独特功能.

笔者以前在农村里经常会听到或看到这样的例子, 专门收购肉猪的技术员, 只要在某一只猪身上踢一脚, 肚子上捏一把, 就立即可以断定这只猪能杀多少斤“白肉”, 经当场试验, 实际与预测惊人地一致.这些事情如果使用经典的数学方法或传统的数理统计方法, 交给电子计算机去处理, 往往就会感到其效果远远赶不上人们凭经验处理的结果有效.由人脑的判断过程可知, 人们正是在模糊之中找到了“光明”, 一定程度的“模糊”, 反倒较易得出清晰的结论.

模糊数学产生的另一个基本动因是由于系统科学的发展, 使得复杂性与精确性形成了尖锐的矛盾.当人们涉及到一个不稳定的系统, 比如自始至终包含着人的因素的系统, 如果使用经典的数学方法和传统的数理统计方法, 就难以容纳和描写人的经验.一些人文科学“之所以难于运用数学, 不是因为它们太简单而没有资格运用数学, 恰恰相反, 是因为它们所面临的系统太复杂而找不到确当的数学工具.其中关键的问题是在这些系统中大量存在着模糊性”[4].于是, 模糊数学作为这些软科学的数学语言便应运而生了 (《国际模糊数学》杂志本部设于加利福尼亚大学伯克利分校, 见图3) .

那么, 到底什么是模糊数学呢?先来看一则小例子.比如, 两个人在地上划了一个大圆圈, 都往圆圈里掷硬币, 要比赛谁投中的多.后来一数, 两人投在圈内的一样多, 另外发现其中一人的一枚硬币恰好落在圆圈上了.这时两人争执不休, 一个说算, 一个说不算, 这就是模糊数学.

实际上, 圈内与圈外, 本来是两个截然不同的清晰概念, 它是以圆周为边界的, 但是当硬币落在边界上的时候, 由于要解决硬币的归属问题, 反倒使得圆内与圆外这两个概念模糊起来.它已经转化为一个模糊分划的问题, 不得不说已经触及到了模糊数学的一个本质问题.

统而言之, 模糊数学是研究和处理模糊性现象的数学.这里所说的模糊乃是指客观差异的中介过渡性所引起的一种划分上的不确定性.这种中介过渡使得客观事物的差异之间存在着亦此亦彼的现象.但是在亦此亦彼中依然存在着差异, 仍然可以相互比较.在上一个层次中亦此亦彼的东西, 在下一个层次中又是非此即彼的.

因此, 模糊数学是用数学方法去研究和处理模糊性现象, 是精确性向模糊性的一次进逼.上文已经提到模糊性是排中律的一次破缺, 要设法从模糊性中确定广义的排中律———从属规律 (从属度) .说得通俗一点, 也就是人们在处理分明与模糊这对矛盾时, 使得分明处于矛盾的主要方面而作的一种自觉的努力, 是把模糊性从上一个层次 (判断事物的是与非) 驱赶到下一个层次 (判断在多大程度上是或多大程度上非) [5].

所谓从属度, 就是处于中介过渡的事物对差异一方所具有的倾向性程度.用它可以从“亦此亦彼”中提取“非此即彼”的信息.比如投掷硬币问题, 如果再给硬币的归属程度选取一个适当的阈值0.5, 并且规定当圆内硬币不小于0.5时, 就把它归属为圆内一类, 否则, 即是属于圆外一类.这样一来, 又把一个“亦此亦彼”的模糊现象变为“非此即彼”的清晰概念了.

用从属度描写事物的中介过渡性质, 意味着描述者对所描述的对象占有更多的信息.使用经典数学的模型容易抛弃事物中介过渡信息, 造成信息损失.模糊数学则保留和利用了中介过渡信息, 浮动地选择阈值, 作出比较合理的划分.在此意义上说, 模糊数学的产生完全是反映了信息革命的迫切需要.总之, 从属度的概念是模糊数学赖以建立的一块基石.从属函数的建立与从属度的确定, 不仅是模糊数学的理论, 也是其应用中最为关注的问题.一方面, 从属度的确定可以借助于已有的统计方法去解决问题;另一方面, 又可以使用从属度这一有力工具对模糊概念进行精确刻画, 这就是所谓的模糊试验或模糊统计问题.

与概率所具有的四要素相模拟, 模糊试验的四要素是:论域U, 是一个试验对象的集合;论域中的一个点u0, 在试验过程中是一个固定的元素;U中一个不尽相同的普通集合A, 它表示与珦A (模糊集合) 相应的模糊概念的一个近似的外延;条件S, 是一个直接或间接地制约着A的主客观因素.

正是由于在每次统计试验中, 得到的A是论域U上的一个普通子集, 它不同于传统的统计中, 每次试验的结果是样本空间Ω的一个点 (不是Ω的子集) , 因此, 也把模糊统计试验叫做集值试验.

又由于这种统计试验方法在一定程度上具有主观性和经验性, 因此, 它利用并且包含了人脑进行模糊思维的特有功能与有效信息, 从而最有希望被应用到那些必须靠心理测量的决策中去.

模糊数学把经典数学从二值逻辑的基础上转移到模糊逻辑的基础上来.隶属度实质上就是一种逻辑真值.经典集合论对应于二值逻辑, 表现为一种布尔代数.模糊集合论对应于模糊逻辑, 表现为一些新的代数系统, 例如德·摩尔根 (De-Morgan) 代数.

参考文献

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[3]李小五.现代归纳逻辑与概率逻辑[M].北京:科学出版社, 1992, 2.

[4]汪培庄.模糊集与随机集落影[M].北京:北京师范大学出版社, 1983, 6.

数学逻辑 第8篇

学数学, 部分中专学生容易陷入“现买现卖”的功利误区, 即希望学到或记住几条数学公式, 以便日后用来“代入”计算。这种学数学观念的结果往往是对数学知识囫囵吞枣, 浮光掠影, 不求甚解, 记不住, 不会用, 考试时勉强通过, 考试后前功尽弃。这是任何一位数学教师都不愿见到的结果。

我们不要求学生都能成为某行业专家, 但我们却有责任让每个中专生通过短短的几年学习逐步成为创新的好手。创新, 绝非标新立异, 异想天开, 更不能违反规律, 主观蛮行;创新, 应是在严密的逻辑思维基础上的开拓, 在严密的科学精神指导下的变革。我们要培养创新型人才, 首先就得培养学生的科学精神, 培养他们的逻辑思维能力, 培养他们学会分析事物, 找到事物发展的客观规律, 再按规律进行开拓创新。创新是现代人一种不可或缺的素质。因此, 学数学, 绝不仅是学几条数学公式、定理, 以方便计算, 更重要的是要通过对数学知识循序渐进的学习, 逐步学会数学逻辑思维方法, 形成逻辑思维习惯, 并把这种思维方法用于日后的数学学习中, 进而推广到其他领域, 作为创新的基础。这种意义是远远超越于数学学习本身的。

数学知识是培养数学逻辑思维的载体

笔者认为, 学习文化科学知识的目的不外是:扩大视野, 开拓智力。无视野之扩大无以开拓智力, 不开拓智力无以进一步扩大视野, 前为载体, 后为目的, 相辅相成, 不可分割, 互为辩证统一体。因此, 数学知识是培养数学逻辑思维的载体。也就是说, 数学逻辑思维的培养必须通过学习数学知识, 而学习数学知识的根本目的在于培养数学逻辑思维能力与习惯并反过来促进进一步学习数学知识。

知识与思维能力不能通过DNA得以遗传。数学逻辑思维方法需要在循序渐进地学习数学的过程中不断总结, 才能逐步领悟、掌握和形成习惯。而数学逻辑思维模式形成后则不仅能促进对数学知识学习的深入, 更可以开拓和发展新的数学知识。数学史上这种先例是不可胜数的。其中一个突出的例子是笛卡儿创立直角坐标系, 把变量与变量的关系几何化。后来的数学家们沿着笛卡儿这种逻辑思维的路子, 把变量的关系研究得越来越深入细致, 并开拓出了函数、解析几何、微积分等数学分支, 继而又把这种逻辑思维方法推广到诸如化学、物理、天文、地理、生物乃至经济、社会各个领域, 引来了人类文明的一次巨大飞跃。

学生必须在数学知识的学习中学会数学逻辑思维方法, 逐步形成数学逻辑思维习惯, 这样才有可能成为创新型人才, 这已是毋庸置疑的结论。为此, 数学教师在教学中, 除了要把数学知识传授给学生外, 还要对学生揭示在这些数学知识中隐含着的数学家们的逻辑思维方法, 让学生领悟、掌握、形成习惯、会运用。在讲授数学概念、定理、公式时要这样做, 在解例题、习题时, 更要引导学生通过分析, 运用逻辑思维方法, 找到问题解决的切入口, 最后得到合乎逻辑的解法, 并鼓励学生在逻辑思维的基础上, 另辟蹊径, 创新解法。

如高中三角中角度单位弧度制的引进, 一般只重视单位的定义、弧度制与度分秒单位制的换算等。教师不妨提出这样的问题:为什么角度单位要用弧度制?其实, 弧度制把角度变成了实数, 那么, 三角函数与角度之间的关系就变成了两个实数集合的映射关系了。这才是采用弧度制的根本理由。

又如一道简单的不等式题:

实数a, b, c满足a>b>c, 且a+b+c=0, 求a/c的取值范围。

灵活的学生也许会很快得a>0, c<0, 于是即有结果, 但这答案是错误的, 原因是忽略了b, (条件变为a>c, a+c=0也得这结果)

要引导学生注意a>b, 用扩法, 即有:

注意b>c, 用缩法, 即有:

便可得正确结果:

可见, 小问题也可以寓于数学逻辑思维方法的应用中, 这是我们在教学上不可忽视的。

构建数学知识网络是培养学生数学逻辑思维能力的重要手段

现今数学课本中的内容, 集中外古今数学家研究之大成。数学知识纵连成线, 横联成面, 形成一个严密的网络体系, 各知识点如同一个个网结点, 彼此按一定的逻辑关系联系着并不断向外延伸。然而饭只能一口一口吃, 课也只有一节一节上, 分章分节使知识明晰化, 条理化, 但也容易割裂各知识点的逻辑联系。每个孤立的知识点犹如一捧明珠, 学生手掬时往往也有部分散落在地。教师有责任“在授珠的同时也给学生一根可以把珠子穿起来的红线”。所以, 数学教师不仅要把数学知识教给学生, 还应引导学生构建数学知识网络, 以便让学生牵一点而动全体, 在数学领域纵横捭阖, 融会贯通。为了引导学生构建知识网络, 可以采用如下几个办法:

(一) 在教学中注意数学知识点的纵向联系

在单元讲授的开始, 先介绍本单元的知识线索, 让学生明确学什么, 顺序如何, 要求怎样, 重点在哪。例如, 函数是高中数学的重头戏, 不妨一开始就给出函数大单元的知识线索:函数的定义和表示 (解析法、列表法、图像法) →函数的性质 (函数值、定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性、分段性等) →各初等函数 (正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数) 。重点在运用函数性质研究二次函数、指数函数、对数函数、三角函数及其图像。

在讲授某一数学定理、公式时, 不能只要求学生“背熟、默出”, 而要让学生习惯于运用数学的逻辑思维, 环环紧扣, 步步说理, 弄清公式定理的来龙去脉, 即怎样来, 意义怎样, 如何应用, 最后在理解的基础上记忆、运用。

等比数列前n项和公式的推证用到了数列求和的一个重要方法———错项差法, 可引导学生推证。

Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1

乘q并错项写:q Sn=a1q+a1q2+…+a1qn-1+a1qn

相减: (1-q) Sn=a1-a1qn

经过推证, 学生既清楚了公式的来源、意义, 易于记忆结果, 也从中学到了求数列前n项和的一种方法。

(二) 在教学中, 重视数学知识的横向联系

知识点的横向联系, 是指数学不同单元知识间的联系, 即所谓综合性。加强知识点的横向联系, 是构建知识网络的重要环节。

例如, 在初等函数教学中, 我们应让学生做到把变量、函数、图像、方程、不等式交织在一起, 形成一个鲜明的网络体系, 这样, 将会收到使学生对数学融会贯通、运用自如的效果。

例如一道简单的不等式题:x2-2x-3>0, 求解。

设变量x, y, 建立函数y=x2-2x-3

求二次方程x2-2x-3=0的判别式Δ= (-2) 2-4·1· (-3) =16>0

求二次方程x2-2x-3=0的根x1=-1, x2=3

画出y=x2-2x-3的函数图像 (图略)

原不等式x2-2x-3>0, 即y>0, 图像在x轴上方部分对应的x的范围, 即为不等式x2-2x-3>0的解集。

由此, 直接写出原不等式的解集为{x|x<-1或x>3}。

(三) 注重知识的归纳与对比

人类智慧的提升, 文明的发展, 不在于单纯的劳动, 而在于劳动实践后的反思和总结, 以及在反思和总结基础上的开拓。学习一个单元, 一个知识点, 乃至做一道数学题后, 教师都要引导学生进行归纳与总结, 让学生形成习惯。归纳, 就是要整理知识, 整理思路, 整理方法, 强化思维的逻辑性。除用提纲式归纳外, 可以在必要时应用表格。例如把圆锥曲线 (包括椭圆、双曲线、抛物线) 的标准方程、几何参数、图像等编列成表格是常用的归纳方法。其他数学知识, 也可以做一些尝试。

另一个行之有效的方法就是对比。对比, 也就是把两种相关联的数学知识的异同点进行比较, 借以明晰概念, 区分思路, 巩固记忆。笔者曾尝试把“指数函数性质”与“对数函数性质”对比授课, 也曾尝试把“图形法”与“坐标法”对比进行向量单元的教学, 均收到效率高、学生掌握好的效果。

(四) 有意识地引导学生逐步学会数学知识总结

知识总结, 开始不妨由教师做, 逐步引导学生自行总结, 再放手让学生自己做。学生一旦形成了总结习惯, 是终身受用的。

努力激发学生数学研究精神是培养学生数学逻辑思维习惯的关键

诸如前述, 逻辑思维能力是一种素质, 是成为创新型人才的基础。数学研究精神, 也就是要多思, 从多种角度去思考, 分析和解决数学问题, 并在这基础上生发、开拓、创新, 形成数学逻辑思维习惯。不可讳言, 中专学生比较缺乏数学研究精神。功利性地学数学固然不能培养数学逻辑思维能力;题海战术使学生忙于应付, 结果是懂的重复做, 不懂的仍不懂, 也难以引发学生的数学研究精神。有时, 精选的少量简单数学题, 引导学生多角度分析, 一题多解, 多变, 解题后反思和总结, 却是引发学生研究精神、形成数学逻辑思维习惯的有效手段。

比如简单的参数不等式ax+b>0 (a, b∈R) , 求关于x的解集。

学生不加分析的错误解法是:

这是没有研究参数a, b的正、负、0所致。

正确解法是:ax+b>0, 由同解性质知ax>-b成立

接着要引导学生讨论a和b

当a>0时, 由同解性质知

当a<0时, 由同解性质知

当a=0时, 即0x>-b, 左边必恒为0

当b>0时, 0>负数, x∈R

w当b≤0时, 0>正数, 或0>0, x∈Ø

可设置思考题:可否用图像法解?如何解?

又如若集合A={x|log2 (x2-5x+8) =1}

C={x|x2-ax+a2-19=0}

且A∩C≠Ø, B∩C=Ø, 求实数a的值

本题的逻辑思维路线应是:

1. 解出A, B:

A:log2 (x2-5x+8) =1圯x2-5x+8=2⇒A={2, 3}

2. 利用交集条件求C的部分元素

3. 把x=3代入C求a

32-a·3+a2-19=0⇒a=5或a=-2

至此好像解完了, 但漏去了检查结果是否符合条件, 故有:

4. 把a代回C检验

a=5时, C={x|x2-5x+6=0}={2, 3}

不符合条件B∩C=Ø, 故舍去

a=-2时, C={x|x2-2x-15=0}={-5, 3}

符合题设条件, 综上得a=-2。

培养学生的数学逻辑思维习惯的教学心理和激励机制

培养学生的数学逻辑思维习惯是一项系统工程, 除上述方面外, 还需从学生的数学学习心理着手, 适当设置使学生自觉养成数学逻辑思维习惯的激励机制。为此, 在教学上应做到:

(一) 循序渐进, 复旧引新, 化繁为简, 化难为易, 化抽象为具体, 使学生易切入, 明其理, 可操作

学习, 首先要有兴趣, 有了兴趣, 才能有注意, 才能产生求知欲与学习的热情。中专学生学数学的最大障碍在于对数学的“畏难”心理。上述做法正是针对这种心理的重要方法。破除了“畏难”心理障碍, 学生对数学发生了兴趣, 进而才会“乐学”数学。

课本的内容, 经过专家的审定, 已是十分严密。然而教师的教学是一种再创造, 教师应从具体学习者的实际出发, 在大纲及教材统制下, 合理调整教学方法, 以使所教内容为学生易懂、会用。

例如, 现行中等职业教育《数学》 (基础模块) 中, 对函数是这样定义的:“在某一变化过程中有两个变量x和y, 设变量的取值范围为数集D, 如对于D内的每一个x值, 按照某个对应法则f, y都有唯一确定的值与它对应, 那么, 把x叫做自变量, 把y叫做x的函数, 数集D叫做函数的定义域”。

这定义对于没有介绍“映射”概念的教材系统来说, 应该说是完整与严密的。但从学生角度去想, 这样的定义不易学, 不易懂, 不易记, 更不好操作。教师很有必要把它分解开来, 再让学生在理解的基础上记忆。笔者认为可作如下分解: (1) 函数是两个变量间的关系, 即变量x通过某种变换f变换为变量y, 记作; (2) 当变量x取某一可能数值时, 变量y有且仅有一个数值与之对应 (即在直角坐标上有且仅有一个对应点) ; (3) x称为自变量, y称为x的函数, 记作y=f (x) ; (4) y=f (x) 的具体解析式称为函数解析式或函数方程式; (5) 当x取某一可能数值x=a时, 对应的y值 (可从代入具体函数式中求出) 称为x=a时的函数值, 记作:y=f (a) ; (6) 使函数式有意义的自变量x的取值范围称为函数的定义域; (7) 在函数的定义域范围内, 函数y的取值范围称为函数的值域; (8) 函数的定义域与值域可用区间符号表示。

在以上各点中穿插适当的例子, 再回头读课本的定义, 学生就明白易懂了。

(二) 精选例题、习题

一题多变, 逐步引导, 由浅至深, 由单一到综合要精选例题、习题, 掌握好“习题有一定思考性又是大多数学生可解的”这个分寸, 让学生有学习的成就感。不要追求高深难题, 也不要用题海压迫学生学习。

(三) 做好经常性的总结

一单元、一节课授毕要总结, 一题解完也要梳理思路, 对比正误, 明晰方法, 让学生有法可依, 有路可循, 有念可悬, 有境可拓。

摘要：首先阐述了在职业中专培养学生数学逻辑思维能力的必要性, 分析了数学知识讲授与培养学生数学逻辑思维的关系。然后着重剖析了构建数学知识网络对培养学生数学逻辑思维能力的作用以及激发学生的数学研究精神对培养学生数学逻辑思维习惯的意义。最后还讨论了培养学生数学逻辑思维能力的教学心理和激励机制。

关键词：数学,逻辑思维,能力,习惯,开拓创新

参考文献

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[4]李文林, 任辛喜.数学的力量——漫画数学的价值[M].北京:科学出版社, 2007.

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[6]聂新桥.读刊有感——引领学生跨越思维的障碍[J].数学教学, 2010, (10) .

让数学教学充满逻辑的力量 第9篇

一、让例题之间充满逻辑力量

“用比例解决问题”是学生在对比例的基本性质有了一定的建构基础以及掌握了正、反比例的意义的背景下进行探索学习的。教材中的例1是有关缴水费的实际问题 (如图1) , 例2是有关图书打包的实际问题 (如图2) 。例1侧重于用正比例方法解决, 例2侧重于用反比例方法解决。课后的“做一做”安排了两道有关购买圆珠笔的实际问题 (如图3) 。

教材的本意是通过对一些生活实际问题的解决, 让学生领悟到用比例解决问题的必要性及一般方法, 但笔者始终认为上述两个例题存在一定的缺陷。第一个缺陷是例题中的素材与学生生活实际存在严重脱节。例1中的“求水费”, 即使对城市学生来说, 也是比较陌生的。因为现如今的水费都是自来水公司给你算好了, 用户只要到银行缴费就行了。对农村学生来说, 更是没有一点印象。因为农村的用水基本上是地下水, 无须缴水费。例2中的“图书打包”, 对城市及农村的学生来说都是陌生的, 因为图书打包是成人的工作, 对小学生特别是农村的小学生来说根本就没有看到过。第二个缺陷是两个例题之间的素材缺乏内在的逻辑联系。“求水费”和“图书打包”之间没有关联性, 不利于学生对两个例题进行比较、分析与思考。而“做一做”中的两个习题却完全消除了上述的两个缺陷, “买圆珠笔”素材学生非常熟悉, 而且两个习题用同一素材, 使两个例题之间具有可比性。更为可喜的是题1是单价一定, 而题2是总价一定, 两个数量关系之间有着紧密的内在的逻辑联系, 容易组织学生对这两个例题进行比较、分析与思考。

基于上述解读, 笔者对教材进行了适当处理:把“做一做”中的两个习题当做例题进行教学, 而把例1、例2当作学生自学的材料, 在学生自学的基础上进行解疑问难。为了让学生感悟例题之间的内在逻辑联系, 笔者经历了如下的教学片断:

师:例1是用正比例方法解决的, 例2是用反比例方法解决的, 你们认为这两个例题之间有什么联系?

生1:例1和例2都是讲买圆珠笔的事情。

生2:例1是单价一定, 所以用正比例方法解决。例2是总价一定, 所以用反比例方法解决。

生3:单价一定, 就是总价和数量的比值一定, 所以用正比例方法解决。总价一定, 就是单价和数量的积一定, 所以用反比例方法解决。

生4:两道例题中三个相关联的量是相同的。

生5:两道例题都是先找相关联的量, 接着确定哪个量一定, 然后决定两个量成什么比例, 最后决定用什么比例方法解决。

生6:两个例题的解题步骤也差不多。

……

通过学生“你一言, 我一语”的发言, 学生对两个例题之间的内在联系———逻辑联系有了本质的认识。在此基础上, 再去自学原先教材中的两个例题, 大部分学生都能学懂。可见, 让例题之间充满逻辑的力量, 可以产生意想不到的效果。

二、让知识之间充满逻辑力量

“24时记时法”是在学生认识了钟面, 学习了时、分、秒等有关知识后学习的一种记时法。它在现实生活中的用途比较广泛, 与学生的生活联系非常密切, 通过学习可以帮助学生建立正确的时间观念, 养成合理安排时间、珍惜宝贵时间的好习惯。此课教学的难点是让学生厘清“24时记时法”和“普通记时法”之间的内在联系与区别。教材用如下这段话 (如图4) 来说明两者之间的关系。

教材的本意是让学生知道上午的时刻改成24时记时法, 时刻数保持不变, 下午和晚上的时刻改成24时记时法, 要把时刻数加12, 才等于新的时刻数。同时也告诉学生普通计时法的时刻前面有时间定语, 而24时记时法的时刻前面不能加时间定语。因此, 在把普通计时法改成24时记时法后, 时刻前面的时间定语全部取消。教材中的三个例子虽然很有代表性, 但对三年级学生来说, 例子的数量实在太少了, 学生很难自己领会到。而且教材中也没有涉及普通记时法, 两种记时法之间的逻辑联系无法有效沟通, 学生也无法对普通记时法和24时记时法进行全面比较。

基于对教材的深入分析, 笔者认为教学时必须将普通记时法和24时记时法进行全面比较, 促使学生在解读两者的区别与联系中领会两者之间固有的、内在的逻辑联系, 从而深刻把握24时记时法的本质。为此, 笔者经历了如下的教学片断:

师生一起完成下图 (图5) :

师:观察这幅图, 你有什么话要说?

生1:普通记时法都有时间词语, 而24时记时法没有。

生2:1~4时是指凌晨;5~7时是指早上;8~11时是指上午;12时指中午;13时~18时是指下午;19时~24时是指晚上。

生3:晚上12时就是24时或0时。

生4:凌晨到中午的普通记时法的时刻数和24时记时法中的时刻数是相同的。

生5:下午和晚上的24时记时法的时刻数都比普通记时法的时刻数大12时。

生6:1时~12时是钟面的第一圈刻度;13时~24时是钟面的第二圈刻度。

生7:24时记时法不能有时间词语。如果有时间词语, 就表示是普通记时法。

生8:24时记时法改成普通记时法, 要加上时间词语。

生9:24时记时法改成普通记时法, 下午和晚上的时刻数要减去12时。

……

多好的回答!在学生点点滴滴的感悟中, 24时记时法和普通计时法的内在联系已经厘清。可见, 在处理教材时适当拓展教材意图, 努力让知识间充满逻辑联系并让学生感悟, 就可能让学生学到比较系统的数学知识, 从而建构起逻辑性更强的知识结构, 为后续教学提供方便。

论高中数学逻辑与教学方法 第10篇

关键词：高中数学,数学逻辑,教学方法

“逻辑”一词由英语“logic”一词音译而来, 最初的涵义即“规律”.数学作为一门基础学科, 反映了现实世界的数量关系和空间形式, 具有高度的抽象性.绝大多数的数学公式、定理不具备现实物质性, 无法用现实经验加以证明, 只能依赖于逻辑推理.因此, 逻辑在数学领域扮演着重要的角色.

一、高中数学逻辑

1.现阶段高中数学逻辑的基本内容

早在1956年的数学教学大纲中, 就首次提出了要发展学生的逻辑思维能力, 涉及了“定义、公理、定理”等逻辑基本知识.之后, 逻辑知识的学习就成为数学大纲的一个重要组成部分, 内容不断丰富, 针对性不断增强.到2003年, 教育部颁布了新的《普通高中数学课程标准 (实验稿) 》, 其中常用逻辑用语作为单独的一章被列入高中数学选修1-1和选修2-1中, 推理与证明内容作为单独的一章被列入选修1-2和选修2-2中.其具体要求为学生能了解、体会逻辑用语在表述和论证中的作用, 并且能够利用逻辑用语准确地表达数学内容.经过一定的训练之后, 可以形成自觉地利用逻辑知识对一些命题间的逻辑关系进行分析和推理的意识, 发展学生利用数学语言准确描述问题、规范阐述论证过程的能力.

具体而言, 高中数学的逻辑教学内容主要涉及常用的逻辑用语和逻辑推理方法.常用的逻辑用语包括: (1) 各种命题. (2) 简单的逻辑用语. (3) 量词及命题的否定. (4) 四种命题及相互关系. (5) 充分条件和必要条件.逻辑推理包括: (1) 三段论推理. (2) 合情推理. (3) 思维要符合逻辑.以上的八个方面基本涵盖了目前高中数学的逻辑知识类型.

2.高中数学逻辑知识的价值

在高中数学课程标准中, 尽管专门的逻辑教学内容不足十课时, 但是所涉及的常用逻辑用语和逻辑推理规则及方法却贯穿于全部的数学知识之中.除此之外, 高中数学所学逻辑的价值绝不仅仅限于数学领域, 在日常生活的诸多领域都起着非常重要的作用.

(1) 应用价值.数学逻辑知识首先是为数学学习服务, 上文提过数学是一门抽象的学科, 一个命题的成立与否、几个命题之间的关系的证明都需要逻辑的参与.学好这些简单的逻辑用语、推理方法及规则是学好数学的前提.在数学领域之外, 其同样也起着重要的作用.例如机器证明、自动程序设计、计算机辅助设计、逻辑电路等计算机应用和理论等都是以这些简单的逻辑用语和推及规则为最根本的基础, 甚至在经济、政治、哲学、文学等各个学科中, 这些在高中学到的基本的逻辑知识也是必不可少的.

(2) 思维价值.数学学科的一个重要目标就是培养学生抽象的逻辑思维能力.瑞士心理学家皮亚杰的心理发展阶段论认为, 学生在高中阶段是以经验型为主的思维方式向理论型抽象思维过渡的阶段, 这个时期逻辑思维占主导地位.而此时若进行简单逻辑知识的学习有利于最大限度地促进学生的思维训练, 促进逻辑能力的培养.

二、高中数学逻辑教学中的问题和相关教学方法

目前在高中数学逻辑的教学中存在着不少问题, 有的是因为教师知识储备和教学方法等方面的原因, 有的是因为学生的认知能力有限方面的原因.下面是几个有代表性的问题和相关教学方法的建议.

1.对命题的理解.课本中的“命题”定义为“能够判断真假的语句叫做命题”.但在学习过程中, 有的学生认为命题一定要有条件和结论, 即命题都可以改写为“如果……, 那么……”的形式.而对于“3>2”, 因其不能改写成“如果……, 那么……”的形式, 就认为这不是一个命题.为了避免学生产生这种思维定势, 教师在教学中应该不能过多地使用“如果……, 那么……”来解释命题, 同时要明确指出“如果……, 那么……”只是命题的一种典型的格式而已.

2.逻辑联结词的掌握.逻辑联结词, 主要是“或”“且”“非”三个, 是高中数学逻辑知识的重要内容.准确地掌握逻辑联结词及其相互间的关系, 就可以将复杂的复合命题分解为若干个简单命题, 使命题简单化.有的学生将数学逻辑语言中的“或”“且”“非”与自然语言中的“或”“且”“非”混淆, 辨别不清, 产生错误.例如“4的平方根是2或-2”, 如果“或”理解为逻辑联结词, 意思是对的;然而理解为自然语言中的“或”就是不恰当的说法, 这会让学生产生疑惑.因此在教学中, 教师应该严格地区分自然语言和数学逻辑语言的区别, 并明确指出两者之间的差别.因此, 上文命题严格说法应是“4平方根有两个, 是2和-2”, 或直接说成“4的平方根是2和-2”, 这样就不易造成混淆.

三、全称量词和存在量词的理解

2003年颁布的课程标准中逻辑知识的最大特点就是加入了关于量词的内容, 要求通过生活和数学中的丰富实例, 理解全称量词与存在量词的意义.但学生在学习中碰到了不少问题, 例如有的学生没有理解全称命题否定的形式的真正意义, 竟认为“所有的正方形都是矩形”这个命题的否定是“所有的正方形都不是矩形”;有的学生虽然掌握了四种命题之间的关系, 但是不会灵活运用.这些问题的产生很大一部分是教师的原因:因为量词是一个新的知识点, 有的老师并没有掌握量词的全面知识, 所以, 在讲课时仅仅是结合教师参考书, 没有进行全面的研究.教师的水平直接影响到了学生的学习水平.因此, 教师应该加强学习、交流, 丰富自己的知识, 提高教学能力, 只有这样才能让学生学好全称量词和存在量词.

高中数学和逻辑联系紧密, 高中数学教学实践中肯定会遇到形形色色的逻辑问题, 有的用简易逻辑能解决得了, 但大部分可能解决不了, 也可能目前数理逻辑的几种语言和推理系统都不能完美地解决.

总之, 高中数学中简易逻辑教学的重点是界定联结词的意义, 让学生体会到用逻辑语言表达数学内容的准确性和简洁性, 因此教师教学宜选用典型正例, 不宜涉及超范围、当时解释不清的例子, 也不宜在此过多地纠缠, 这样做并不会妨碍对数理逻辑知识的学习和思想方法的领悟.

参考文献

[1]石素霞.计算的心灵:逻辑——数学智能与教学.学苑音像出版社, 2004.

让数学教学充满逻辑的力量 第11篇

一、 让例题之间充满逻辑力量

“用比例解决问题”是学生在对比例的基本性质有了一定的建构基础以及掌握了正、反比例的意义的背景下进行探索学习的。教材中的例1是有关缴水费的实际问题（如图1），例2是有关图书打包的实际问题（如图2）。例1侧重于用正比例方法解决，例2侧重于用反比例方法解决。课后的“做一做”安排了两道有关购买圆珠笔的实际问题（如图3）。

教材的本意是通过对一些生活实际问题的解决，让学生领悟到用比例解决问题的必要性及一般方法，但笔者始终认为上述两个例题存在一定的缺陷。第一个缺陷是例题中的素材与学生生活实际存在严重脱节。例1中的“求水费”，即使对城市学生来说，也是比较陌生的。因为现如今的水费都是自来水公司给你算好了，用户只要到银行缴费就行了。对农村学生来说，更是没有一点印象。因为农村的用水基本上是地下水，无须缴水费。例2中的“图书打包”，对城市及农村的学生来说都是陌生的，因为图书打包是成人的工作，对小学生特别是农村的小学生来说根本就没有看到过。第二个缺陷是两个例题之间的素材缺乏内在的逻辑联系。“求水费”和“图书打包”之间没有关联性，不利于学生对两个例题进行比较、分析与思考。而“做一做”中的两个习题却完全消除了上述的两个缺陷，“买圆珠笔”素材学生非常熟悉，而且两个习题用同一素材，使两个例题之间具有可比性。更为可喜的是题1是单价一定，而题2是总价一定，两个数量关系之间有着紧密的内在的逻辑联系，容易组织学生对这两个例题进行比较、分析与思考。

基于上述解读，笔者对教材进行了适当处理：把“做一做”中的两个习题当做例题进行教学，而把例1、例2当作学生自学的材料，在学生自学的基础上进行解疑问难。为了让学生感悟例题之间的内在逻辑联系，笔者经历了如下的教学片断：

师：例1是用正比例方法解决的，例2是用反比例方法解决的，你们认为这两个例题之间有什么联系？

生1：例1和例2都是讲买圆珠笔的事情。

生2：例1是单价一定，所以用正比例方法解决。例2是总价一定，所以用反比例方法解决。

生3：单价一定，就是总价和数量的比值一定，所以用正比例方法解决。总价一定，就是单价和数量的积一定，所以用反比例方法解决。

生4：两道例题中三个相关联的量是相同的。

生5：两道例题都是先找相关联的量，接着确定哪个量一定，然后决定两个量成什么比例，最后决定用什么比例方法解决。

生6：两个例题的解题步骤也差不多。

……

通过学生“你一言，我一语”的发言，学生对两个例题之间的内在联系——逻辑联系有了本质的认识。在此基础上，再去自学原先教材中的两个例题，大部分学生都能学懂。可见，让例题之间充满逻辑的力量，可以产生意想不到的效果。

二、 让知识之间充满逻辑力量

“24时记时法”是在学生认识了钟面，学习了时、分、秒等有关知识后学习的一种记时法。它在现实生活中的用途比较广泛，与学生的生活联系非常密切，通过学习可以帮助学生建立正确的时间观念，养成合理安排时间、珍惜宝贵时间的好习惯。此课教学的难点是让学生厘清“24时记时法”和“普通记时法”之间的内在联系与区别。教材用如下这段话（如图4）来说明两者之间的关系。

教材的本意是让学生知道上午的时刻改成24时记时法，时刻数保持不变，下午和晚上的时刻改成24时记时法，要把时刻数加12，才等于新的时刻数。同时也告诉学生普通计时法的时刻前面有时间定语，而24时记时法的时刻前面不能加时间定语。因此，在把普通计时法改成24时记时法后，时刻前面的时间定语全部取消。教材中的三个例子虽然很有代表性，但对三年级学生来说，例子的数量实在太少了，学生很难自己领会到。而且教材中也没有涉及普通记时法，两种记时法之间的逻辑联系无法有效沟通，学生也无法对普通记时法和24时记时法进行全面比较。

基于对教材的深入分析，笔者认为教学时必须将普通记时法和24时记时法进行全面比较，促使学生在解读两者的区别与联系中领会两者之间固有的、内在的逻辑联系，从而深刻把握24时记时法的本质。为此，笔者经历了如下的教学片断：

师生一起完成下图（图5）：

师：观察这幅图，你有什么话要说？

生1：普通记时法都有时间词语，而24时记时法没有。

生2：1～4时是指凌晨；5～7时是指早上；8～11时是指上午；12时指中午；13时～18时是指下午；19时～24时是指晚上。

生3：晚上12时就是24时或0时。

生4：凌晨到中午的普通记时法的时刻数和24时记时法中的时刻数是相同的。

生5：下午和晚上的24时记时法的时刻数都比普通记时法的时刻数大12时。

生6：1时～12时是钟面的第一圈刻度；13时～24时是钟面的第二圈刻度。

生7：24时记时法不能有时间词语。如果有时间词语，就表示是普通记时法。

生8：24时记时法改成普通记时法，要加上时间词语。

生9：24时记时法改成普通记时法，下午和晚上的时刻数要减去12时。

……

多好的回答！在学生点点滴滴的感悟中，24时记时法和普通计时法的内在联系已经厘清。可见，在处理教材时适当拓展教材意图，努力让知识间充满逻辑联系并让学生感悟，就可能让学生学到比较系统的数学知识，从而建构起逻辑性更强的知识结构，为后续教学提供方便。

数学逻辑思维翻译能力的培养 第12篇

1 理解逻辑思维对翻译的影响

所谓逻辑, 即指人的思维方式在语言中的反映。世界上各个民族都有其独特的思维方式, 每种语言都有其内在的逻辑。翻译活动中要将源语言转换为目的语言, 整个过程是理解、解构、重构和检验的过程。这个过程离不开逻辑思维的参与, 因为指导人们正确进行思维的科学理论就是逻辑, 离开了逻辑, 思维便容易混乱, 翻译更是容易出现偏差。逻辑在翻译中的地位是很重要的。

早期的理论多是形象思维的产物, 随着时代的进步, 人们越来越看到这样的模式难以解决实际问题。现代翻译理论工作者力图突破传统的命题和方法论, 在翻译的实质、原则、原理、程序等方面进行了探索, 这实际上是逻辑思维的发展和演变 (图1。引自《当代翻译理论》1999, 笔者有改动)

上图表明以逻辑思维为指导的各种新兴理论丰富了逻辑思维的思想, 学者翻译思维逐渐从早期的形象思维发展为逻辑思维, 数学作为逻辑性较强的学科, 其数学逻辑思维翻译法巧妙结合经济学价值曲线图和数学中抛物线曲线图以形象示意翻译的理想标准———兴、达、雅。同样, 语言表达也是逻辑性较强的一门学科, 在语言翻译表达过程中汉英语篇存在结构上的差异, 线性结构是典型的英语语篇结构, 螺旋结构是典型的汉语语篇结构, 其结构上的差异决定了翻译的思维不同, 在语言组织上, 汉语句型结构灵活、松散, 习惯用意义来组织内容, 逻辑关系暗含在句意中;英语组织结构严谨, 句内有各种连词、介词、关系词等连接, 主从衔接, 主谓一致, 层次分明, 成叠床架屋的结构。

2 数学逻辑思维翻译法的学习

从上文中可以了解到逻辑思维在翻译过程中的重要性, 将数学逻辑思维翻译法应用到翻译实践中的第一步就是了解和掌握数学逻辑思维翻译法的内容。在数学逻辑思维翻译法中, 译者应该了解数学逻辑思维中的概念、判断、排序、组织语言等问题。其主要内容如下:

(一) 英汉表达的逻辑思维异同:

异:英语是主干先行, 修饰语后置。

同:英语汉语句子中主干大致相同

(二) 数学逻辑思维翻译法的内容

(1) 句子表达方式Y=ax1+bx2+cx3;

(2) 分清句子的主干 (主、谓、宾) 。确定句子是简单句还是复杂句 (单句/双句) , 如果是单句就用标准方法翻译, 如果是双句就分开译;

(3) 确定句子主干 (主、谓、宾) , 在Y=ax1+bx2+cx3中, Y代表翻译后的句子x1, x2, x3分别代表主语、谓语、宾语。

A.主语是句子中第一个独立名词性结构;

B.谓语的确定。

先找出所有的动词, 然后排除“从句中的动词, 前面没有加助词have/be的分词, 句首状语中的动词, to do一般不做谓语 (I want to be除外) , 活用”, 剩下的即为谓语动词。

C.宾语确定, 每个谓语后的第一个名词。

(4) 确定句子修饰语 (定语、状语) ———在句子表达式中a b c相当于状语、定语、小状语。

A.一般情况英语行文模式是: (状) +主语+ (定) +谓语+ (小状语) +宾语, 如果没有宾语, 也没有小状语;

B.定语、状语的定位。

1) 状语定位

倒序:a.客观位置;句首尾, 谓语前;

b.基本算法, 完全倒序翻译。

不变序:a.并列不变序---句中有and, but, or;

b.动词+从句。

2) 定语定位

a.客观位置;英语---名+1, 2, 3

汉语---3, 2, 1+名 (倒序前置)

b.并列不变序---同上

c.动词+从句不变序

d.分开翻译 (一)

句子模式:-----, +从句

举例:I love (1) my father (2) , who (代) is good (4) to me (5)

我爱我爸爸, 他对我很好。.

(1) (2) , (4) (5) 的翻译, ( (1) (2) ) + ( (4) (5) ) 。who在句子中是连接词.此类型分开翻译。

举例I love my father, who is good to me

e.分开翻译 (二) :介词+从句

举例I had a meeting, in which I give a plan

f.翻译要求, 信达雅

举例Love me little, love my long.

举例I will love you, keep you, respect you, comfort you,

(相知以爱, 相溽以沫, 相敬如宾, 携手同行)

g.如有1、2、3、4 (或大于4) 项时, 分开翻译, 采用“黄金分割”法翻译, 即翻译时句子分割比例为前4后6。

h.关于并列 (and) -----主要分“形式并列, 含义并列, 语法功能相同”

(1) and+句子 (主+谓+宾)

举例I love you and I hate you分成两句翻译

(2) and+非句子, 即单一句翻译

3 在实践中应用数学逻辑思维翻译法

要做好翻译, 不仅需要扎实的双语基础, 更离不开数学逻辑思维能力。

(1) 数学逻辑思维句子表达式Y=ax1+bx2+cx3的实践应用。

在Y=x1+bx2+cx3中, Y代表翻译后的句子x1, x2, x3分别代表主语、谓语、宾语。a、b、c则表示主语、谓语、宾语的修饰词或者定语等等。a一般是句子中第一个独立名词性结构。b是谓语的确定:先找出所有的动词, 然后排除“从句中的动词, 前面没有加助词have/be的分词, 句首状语中的动词, to do一般不做谓语 (I want to be除外) , 活用”, 剩下的即为谓语动词。c是宾语确定, 一般是每个谓语后的第一个名词。例如:

The florid-faced man announced that he just was a mountaineer judge.

译文:那个看上去气色很好的人说他只是一个登上运动爱好者法官。

Y表示翻译以后的汉语译文, 在本例句中, x1表示the man, x2表示announced, x3表示that从句;a表示floridfaced, b在本例句中无指代, c表示从句he just was a mountaineer judge

(2) 确定句子的主干 (主、谓、宾) 。确定句子是简单句还是复杂句 (单句/双句) , 如果是单句就用标准方法翻译, 如果是双句就分开译。例如:

In 1900 they (the boxers) swept into Beijing, murdered the German and Japanese ministers, and besieged the foreign legations.

译文:1900年, 他们 (义和团) 攻入北京, 杀死了德国和日本的传教士, 包围了外国公使馆。

显然, 这是一个复杂句, 采用分开翻译的方法可以更好的表达语义。

(3) 确定句子修饰语 (定语、状语) 在句子中的定位。

一般情况英语行文模式是: (状) +主语+ (定) +谓语+ (小状语) +宾语, .如果没有宾语, 也没有小状语。首先定位句子的定语和状语:状语定位, 如果状语在句首尾、谓语前就用倒序方法翻译;如果句子中含有and, but, on等并列连词则不改变翻译顺序。定语定位, 如果句子中有and, but, on等并列连词则不改变翻译顺序;如果是动词加从句也不改变翻译顺序。分开翻译分为两种情况:第一, 当句子模式为“句子成分+从句”时分开译, 举例:I love (1) my father (2) , who (代) is good (4) to me (5) (我爱我爸爸, 他对我很好。) 分析:本句可按照 (1) (2) , (4) (5) 的顺序翻译, who在句子中是连接词., 此类型分开翻译。第二, 当句子模式为“介词+从句”时应该采用分开译方法, 举例:I had a meeting, in which I give a plan.众所周知, 许多翻译家都推崇“信、达、雅”的翻译效果, 在做翻译时, 译者需仔细斟酌句子的语境和用词表达效果, 举例:I will love you, keep you, respect you, comfort you (相知以爱, 相溽以沫, 相敬如宾, 携手同行) .

数学逻辑翻译法运用过程中, 句子主语、谓语、宾语、定语、状语、补语的定位都涉及到排序问题, 如 (下转第33页) (上接第24页) 果陈列出来的项数大于或等于4项则采用“黄金分割”分开译, 即翻译时句子分割比例为前4后6。关于并列 (and) -----主要分“形式并列, 含义并列, 语法功能相同”, 如果句子结构为and+句子 (主+谓+宾) , 举例:I love you and I hate you则分成两句翻译, 如果句子结构为and+非句子则单一句翻译。例如:

Thus, in the American economic system it is the demand of individual consumers, coupled with (1) the desire (2) of businessmen (3) to maximize profits (4) and the desire of individuals (5) to maximize their incomes (6) , that together determine what shall be produced and how resources are used to produce it.

根据数学逻辑思维翻译法的排序要求, 本例句的翻译排序为 (4) (3) (2) , (6) (5) , (1) .

译文:因此, 在美国, 它的经济体系要求扩大消费内需, 将希望利润最大化的商人的欲望和尽可能增加收入的个人欲望结合起来, 它决定着什么该被生产以及怎样利用资源生产它。

总之, 由于语言的内在构造都含有一定的逻辑, 因此, 英汉翻译也是离不开逻辑思维。翻译后的文章句意表达应该有准确性、鲜明性和生动性, 说理的文章还要有论证性、准确性, 论证性属于概念、判断、推理的问题, 这些都是逻辑问题, 鲜明性和生动性主要是辞章问题和逻辑问题。将数学逻辑思维翻译法这样严谨的、逻辑性较强的思维方法运用到翻译实践活动中, 不但可以训练学生的逻辑思维, 而且可以培养学生的数学逻辑思维翻译能力, 帮助学生在翻译道路上不断前进。

参考文献

[1]吴国初, 李玉英.翻译教学与学生逻辑思维能力的培养[J].教育学术月刊, 2008, 6.

[2]齐惠荣, 赵月娥.在英汉翻译实践中培养逻辑思维能力[J].西安外国语学院学报, 2001, 3.

[3]莫小满.翻译实践中逻辑应用新探[J].广东省中山火炬职业技术学院, 2010, 8.

[4]吴荣华, 崔秀云.翻译中思维方式的转换[J].湖北广播电视大学学报, 2007, 8.

[5]余平, 邓忠.论翻译思维的二维互补[J].重庆大学学报:社会科学版, 2003, 4.

[6]李琦.浅析逻辑思维在翻译中的应用[J].读与写, 2008, 6.

[7]朱琳, 王金芳.小论逻辑思维在英汉翻译中对语义填补及词义引申的作用[J].科技英语学习, 2007, 8.

[8]陈宏薇.新编汉英翻译教程[M].2版.上海:上海外语教育出版社, 2010.