插补技术范文（精选8篇）
插补技术 第1篇
随着装备制造水平的快速发展,对高速高精度插补技术的研究与开发变得日益迫切,特别是自由曲线曲面的高速高精度加工对数控系统插补技术的要求更为苛刻。插补算法直接影响到CNC系统的加工精度和速度,是CNC系统控制软件的核心。
研究自由曲面的实时插补算法,改变传统数控系统加工复杂曲面零件的离散编程方法,提高零件的加工质量,缩短加工时间,提高CNC系统对曲面的处理加工能力,这不仅对于CNC系统,而且对于CAD/CAM系统整体性能的提高都意义重大。
1 传统离线编程方法及其不足
传统数控插补算法主要包括直线、圆弧、抛物线等算法,某些数控系统还具有螺旋线插补功能,这可以满足大多数零件的加工。但随着复杂曲线曲面造型理论的发展和应用,汽车、航空航天和造船等领域越来越多的具有复杂曲线曲面特征的零件也采用参数曲线曲面来表达。若采用传统数控系统加工此类零件,必须先通过CAM离线编程系统将用CAD生成的待加工零件的曲线、曲面信息离散化为大量的微小直线段或圆弧段,生成传统数控系统支持的零件加工程序代码,然后由数控系统控制机床走刀加工。这种离线加工方法存主要存在以下不足:
1)精度和代码量的矛盾。精加工时,由极小步长极密行距形成的零件程序经后处理程序量极大,程序加工时间长、代价高。加工精度越高,曲线曲面离散处理过程满足约束条件越严格,因此产生的代码量也急剧增大,给数据存储和传输带来诸多不便。精度每提高0.5倍,则代码量增大倍。同时,数控系统内存一般是有限的,不可能将代码一次读入数控系统内存,因此,必须借助于DNC技术,即一边传输一边加工,这会对加工过程的实时性带来不利影响。
2)加工质量不高。对曲线曲面的离散处理过程中,破坏了一阶、二阶导数连续性,在直线段之间走刀需要频繁的加减速,易于造成速度波动,进而影响零件加工后的表面质量。离线刀具路径规划和实时直线段插补双重逼近误差,降低零件的加工精度。
3)加工效率低下。根据零件程序加工时,为减小机床运行时的冲击,在直线段的起点和终点需要加减速,通常情况下,难以达到编程进给速度,导致加工时间延长,生产效率低下。
4)高速加工时,由于CNC内存有限,零件程序不能一次读入,高速加工时普通外设(纸带机、磁盘和普通DNC)无法工作,需要高速DNC为之服务,或将程序分块后再进行加工。
5)此外由于零件加工程序是在数控系统外部产生的,一经确定则不易在数控系统内修改,当加工型面、加工余量、加工参数、刀具尺寸改变时,则原有程序无法使用,只有重新离线编程。
2 自由曲面实时插补技术
是将曲面加工中的刀具运动轨迹产生(规划)功能集成到CNC中去,由CNC直接根据曲面定义和工艺参数,实时的自动的完成刀具轨迹插补,并由此来控制机床运动,应用曲面直接插补技术,可大大简化编程工作与加工信息,不仅对CNC系统、而且对CAD/CAM整体性能的提高也极为关键。支持自由曲面直接插补功能的数控系统对于提高数控系统性能具有重要意义,数控系统支持曲面直接插补功能的关键就在于提高CNC系统的刀具路径生成和曲线插补能力,其基本思想是将曲面加工中原来以CAM实现的刀具路径生成功能集成到CNC系统中,使之能够自动地完成连续的刀具路径插补任务,进而控制机床运动。这样,CNC系统能够直接接受曲面的原始几何定义数据和相应的工艺信息,大大减少了代码量,并且能够显著提高曲面加工精度,减少加工时间,从而达到质量和效率的最大化。对于CNC/CAD/CAM系统的集成意义重大。
3 传统刀触点向刀位点的偏置点算法的不足及其修正偏置算法
3.1 实时插补技术相关假设及概念
1)用密切圆法简化加工误差、切削步长、路径方向的曲率半径之间的关系。
基于曲率自适应的切削步长曲面直接插补算法基于曲线参数方程进行,每个插补周期内的进给步长d非常小,可以采用密切圆法计算弦高差。如图1所示,将Ci与Ci+1两点间的曲线用过Ci-1、Ci、Ci+1之三点圆半径R来代替曲率半径ρ。为了获得较高的加工效率,通常将步长引起的弦高差(加工误差)设定为最大容许值δmax,对于一个走刀方向上给定的加工误差δ,进给步长d之间的数学关系为:
公式(1)中ρ1是刀触点路径方向的曲率半径,和Ci表示曲线上两个连续的刀具接触点(如图1所示)。
2)切削点处单位法向量。切削点处的法向量与曲面形状、曲率及刀具插补密切相关,曲面的切削点处的法向量表示为:
3.2 传统偏置算法及其不足
切削点处的单位法向量在各坐标轴的矢量投影记为NX、NY、NZ,传统偏置方法中在使用球头铣刀时,沿法矢方向偏移刀具半径r,即可得到以刀具球心坐标函数表示的刀具运动轨迹:
式(3)中r为刀具半径、n为曲面的单位法向量。据此公式的插补过程是基于弦高差限制δmax,从当前参数线路径计算出下一个刀具接触点,然后根据刀具偏置算法计算对应的刀位点,将所得刀位点输出给伺服控制系统,完成当前周期的插补控制过程。由图2可知,经过刀具偏置后,所得到的实际刀触点路径并不是所规划的路径。因此,用于刀具接触点路径分段的弦高差的实际值δp并不等于规划值δs。
3.3 基于密切圆改进偏置算法
这一问题可通过修正刀具偏置算法公式来解决。如图3所示,可以修正偏置的刀具位置点使得δp=δs,方法是将刀具偏置半径用r+Δr替代,公式(3)改写为:
式(4)中:Δr是刀具半径修正项。根据图3所示的几何关系应用上述密切圆法,既假设将Ci与Ci+1两点间的曲线用过Ci-1、Ci、Ci+1之三点圆来代替,该圆半径R为曲率半径ρ1,则图3的零件轮廓曲线就简化为半径为ρ1的圆,由于图3中二直角三角形相似,则有,计算后可得:。
其中ρ1是走刀方向上的曲面曲率半径,将Δr代入上面的公式可得:
式(5)较好的克服了传统刀触点向刀位点偏置点的不足,在刀具插补过程中将曲面的曲率半径ρ、允许的加工误差δ及刀具半径考虑在内,加工误差可约束采样周期内的插补长度。若按进给速度计算的希望弦长超过约束弦长,则按约束弦长计算切削轨迹,否则按希望弦长计算轨迹。这样,在曲面上比较平坦的区域将以给定的进给速度进行切削,进入曲率半径比较小的区域后,可自动调节进给速度进行降速切削,从而实现加工速度的自适应控制。
4 随加工型面曲率变化的进给速度修调
4.1 保证接触点速度恒定的速度修调
切削过程发生在刀触点路径上,而不是刀位点路径上,因此曲面加工质量和加工时间与刀触点速度直接相关,而传递给CNC系统的是刀位点速度。如果将刀位点速度设置为编程值,则整条刀位点路径上速度保持为恒定值,但是在刀触点路径上曲率半径是变化的,因此导致刀触点速度也是变化的。虽然实际加工中,通常为保证加工质量会设定相对保守的速度值,但是保证刀触点路径速度为恒定值仍然有重要意义。在二维圆弧轮廓的情况下可通过补偿刀位点速度使在被加工轮廓上刀触点速度保持恒定值。
在曲面实时插补过程中,要保证接触点速度恒定则需综合考虑走刀方向的曲率,切削点法向量、采样周期、加工误差限制、切削步长等微观量的相互关系。如果每条参数曲线加工路径的插补采用以刀触点速度为控制目标,经过上述刀具偏置算法,可得相对应的刀位点速度,一般情况下如果将刀触点速度设定为恒定值,则刀位点速度一般随路径变化。
4.2 保证凹曲面加工质量的速度修调
凹曲面加工时,刀具中心轨迹的曲率半径为型面的曲率半径ρ与刀具半径r之差,当两者相差很小时,若按正常进给速度F进给,会造成较大的径向误差。此外由于刀具中心曲率半径过小,会造成速度方向变化过大和机床惯性导致型面成多角形,其加工情况如图4所示,设径向误差为δ,刀具进给的步距角为θ,则有:
当ρ→r时,步距角θ增加,导致径向误差δ增大,因此必须将进给速度F修调为F1,即
当ρ≤r时,已出现加工干涉,此时应更换小刀具,当ρ>r时,通过修调进给速度F,刀具进给步距角减少为:
此时的逼进加工误差为:
加工凸曲面时,由于刀具轨迹的曲率半径为零件的曲率半径与刀具曲率半径之和,较为平坦,为提高适时性,不对进给速度进行修调。
5 切削行宽的确定
5.1 按残留高度计算切削行宽
切削行宽与残留高度(加工效果)及加工效率密切相关,切削行宽w较大时则加工效率高但会增加残留高度h,确定合理的切削行宽对于曲面加工有着十分重要的意义。一般情况下,加工路径的总长度(或总加工时间)与路径间隔的取值有关,为减少总加工时间,可减小路径数量,即在满足曲面加工误差要求的前提下使刀具路径间隔尽可能大,因此在曲面插补中,将残留高度h设定为最大容许值,根据公式(10),反求所需的刀触点路径间隔。
式(10)中W为行宽,ρs为路径间隔方向的曲率半径,r为刀具半径,h为残留高度。
5.2 切削行宽的简化算法
上式严格的切削行宽要涉及曲面形状,计算量很大,因此,在曲面适时插补技术中采用类似CAM的简化方法,将行间局部曲域用平面近似代替曲面,则,在精加工时,由于行间距不大,一般可获得较高的表面加工质量,为了能按轨迹全长考虑,曲面适时插补技术采取32ms为中断周期的行距监视,以获得行方向上的最小增量控制。
6 曲面实时刀具轨迹插补
刀具运动轨迹是指刀具上某一点(如球头中心)的运动轨迹。刀具运动轨迹的求取需经两步完成:
1)先根据加工表面几何信息,求取切削点单位法向量N(u,v),其表达式如公式(2)。
2)根据刀具信息和已求得的法矢信息求取与切削轨迹相对应的刀具运动轨迹。在使用球头铣刀时,沿法矢方向偏移,即可得到以刀具球心坐标函数表示的刀具运动轨迹,表达式为:
式(11)表示切削点处单位法向量在各坐标轴上的分量,将Pi+1点处u,v值代入上式,既可实时的获得点Pi+1处各坐标轴的运动分量,作为伺服驱动指令。
7 结束语
软硬件的飞速发展使得更复杂、更精确、考虑各方面因素更全面的插补算法得以在CNC系统内实现,把曲面曲率、加工误差、采样周期内的切削步长综合起来考虑的曲面实时插补技术在CNC系统内的实现极大的改进了CNC系统对于复杂曲面的加工的插补运算能力,从而将曲面加工的刀具路径规划功能也集成到CNC系统内。由于曲面实时插补运算内容类似于CAM,其插补控制复杂程度远远超过目前CNC的直线和圆弧处理,一方面要不断探索研究科学先进的插补算法,另外还需攻克插补器的实时处理速度及稳定性这两个关键技术问题,总之只有更科学的插补算法、性能更好的硬件及软件三方面综合起来才能实现曲面实时插补技术的新突破。
摘要：本文指出了传统离线编程方法的不足,提出了自由曲面直接插补控制方法,提出了对传统插补方法的修正偏置算法及针对实时插补技术的速度修调,阐述了实时插补算法轨迹的生成过程、该插补算法基于曲面曲率等几何信息控制加工误差及切削步长、切削行宽,生成的刀具路径具有一定的自适应性。
关键词：插补算法,实时插补,曲率,切削步长,单位法向量
参考文献
[1]王爱玲,张吉堂,吴雁.现代数控原理及控制系统[M].北京:国防工业出版社,2005:109-137.
[2]周凯,陆启建.自由曲面数控加工的直接插补控制方法[J].大连:组合机床与自动化加工技术,1998,(5):7-10.
[3]王爱玲,李梦群,冯裕强.数控加工理论与实用技术[M].北京:机械工业出版社,2009:299-305.
可编程序控制器的插补程序应用 第2篇
关键词：可编程序控制器；插补；运动控制；数控
中图分类号： TP273 文献标识码： A 文章编号： 1673-1069（2016）24-182-2
0 引言
可编程序控制器（简称PLC）以其通用性强、可靠性高、指令简单等一系列优点， 被广泛应用于工业自动控制中。在运动控制上，可以控制伺服和步进电机实现定位、直线运动等。可是没有插补指令，如果进行两轴联动的斜线进给或圆弧，要使用比较贵的运动控制模块或使用专用的运动控制器，但专用运动控制器单纯为多轴运动控制而设，没有了PLC逻辑、顺序控制。使用CNC数控系统其价格更加贵。
现在主流的小型PLC一般都具有3个以上的高速脉冲输出（称之为轴），而且每个轴都能独立控制，通过自己编写插补算法，可以在要求不太高的数控机床上使用。如在涂胶、火焰切割、打磨抛光、普通焊接等对插补的精度和速度要求是不太高的地方确实是较好的选择。
1 实现直线插补的方法
PLC控制运动主要是发脉冲，为了能提高精度，要选择比较小的脉冲当量（每一个脉冲行走的距离），但也不能太小，否则电机进给速度太慢。一般选择1个脉冲当量是1μm或0.5μm，会方便计算且能兼顾速度。确定好脉冲当，就可以推导直线插补的算式。由于计算插补段距离都是相对于当前所在点而言，所以在执行插补运动时PLC的定位脉冲指令只能使用相对定位。
在运行OA段斜线时，实际是在同一时间内移动Xa和Ya段，它们的合成轨迹斜率是
tanα=Ya/Xa，或者tanβ=Xa/Ya，
那么当知道其中一边的长度和X轴/Y轴的夹角角度时，可计算出另一边的长度；
如知道斜线段总长度和X轴的夹角角度可以根据
Sinα=Ya/OA，cosα=Xa/OA
计算出Xa和Ya的长度；
而驱动伺服电机走这段路程的脉冲个数就是：长度/脉冲当量，计算出的实数经过四舍五入取整，求出需要发的脉冲数量。
走这段斜线的效果就是在同一时间内X轴和Y轴同时匀速走完Xa和Ya段路程，这就要求控制轴进给速度，即脉冲频率。
根据：速度=路程/时间
可知，脉冲频率=脉冲个数/时间
速度的设定，可以是设定X轴/Y轴其中一轴，通过三角函数技术出另外一轴；也可以是设定需运动的斜线的合速度，利用三角函数计算出两轴分别的进给速度。
每次加工完毕后要用绝对指令或者回原点指令回零，以消除累积误差。
2 实现圆弧插补的方法
从CAD等绘图软件的计算机图形学画圆的原理可知道，圆可由很多段首尾相连的微小直线段组成，利用这个特点可以把每一段直线设置为1μm或一个脉冲来描绘，按实现方法可称之为逐点比较法。
设加工半径为R，在第一象限顺时针加工AB段弧，Pi是AB段上的加工动点，圆的原点设（0，0），由勾股定理可知：R2=X2+Y2
由A向B画圆弧，首先是X轴向正方向走一步或者是Y轴向负方向走一步；
假设当前动点动点Pi（Xi，Yi），那走下一点Pi+1的要求是；
当F（Xi，Yi）≤0时，取Xi+1=Xi+1，Yi+1=Yi，即向+X走一步，由圆内走到圆上或者圆外。
当F（Xi，Yi）>0时，取Xi+1=Xi，Yi+1=Yi-1，即向-Y走一步，由圆外走到圆上或者圆内。
每运行一步，需要重新计算一次当前动点是在圆的什么地方，从而判断下一步的进给方向，直至到达目标点附近（如B点），根据产品工艺的要求和误差数据大小，决定插补过程的终止数值。需要注意，上例是在第一象限、顺时针生成圆时的计算方法，在圆的生成方向
不同、不同象限时，下一动点的获取要求是不同的。
3 总结
以上插补算法都是运用中学数学中的勾股定理和三家函数，原理简明，公式简单，编程容易，大多数技术人员都能理解和应用，可让小型PLC成为中低档次的数控系统核心，同时兼具高档数控系统的双通道功能。
参 考 文 献
[1] 李恩林.插补原理[M].北京：机械工业出版社，1984.
[2] 孙家广，胡事民.计算机图形学基础教程（第2版）[M].北京：清华大学出版社，2009.
对数控机床插补技术的几点探讨 第3篇
关键词：数控机床,插补技术,制造业
机床是制造加工的基础设备, 其性能的好坏直接影响着生产设备的质量, 而生产设备的质量与企业的经济效益有直接影响。因此, 可以说提高机床的性能, 对于保障制造企业的发展具有重要影响。数控机床的出现, 实现了制造加工的自动化, 能够解决传统制造的周期长、效率低的问题, 能够提高生产效率。
1 数控机床插补技术的内涵
插补功能是数控机床中的重要功能之一。在数控机床运行过程中, 其首先是根据工件设计图件和加工技术进行加工程序的编程, 然后输入数控机床中。通过系统的破译和处理后, 根据既定参数进行插补运算, 然后得到具体的数据。数控系统会根据所得数据控制坐标轴的移动, 从而控制刀具的形态和运动轨迹, 进而得到符合图纸要求的工件。总而言之, 插补就是根据零件外形要求, 结合精度和技术方面的要求, 按照一定的方法在理想的轨道上确定中间点, 从而使工件接近理想外形。换而言之, 插补就是给工件外形加工的过程。在数控技术发展早期, 插补是由逻辑电路控制的, 这种硬件控制的预算速度很快, 但是灵活度较低。随着现代计算机水平的不断发展, 在数控系统中, 多采用计算机软件进行控制。
插补技术是数控机床控制轨迹的方法, 插补运算是数控机床运动控制的核心内容。其通过加工程序给出的既定参数, 通过计算加工轨迹, 输出各刀具的进出时间和中心点, 从而在规定时间内完成既定加工运动。插补技术作为数控机床精密加工的核心技术, 一直是评价数控机床性能的重要指标, 同时对于数控机床的加工质量和加工效率有自己影响。高精度零件对于数控机床插补运算的要求也很高, 要求插补运算的速率快, 反应时间短。现代数控机床多采用电子处理器, 通过计算机程序进行插补功能控制, 具有操作简单、灵活多变的优势。且随着现代处理器运算速度的不断提升, 能够满足现代微型工件加工的要求。
2 数控机床插补方法
插补的方法和原理有很多, 但是根据系统输出信号的不同, 可以归纳为基准脉冲和数据采样这两种方法。文章主要针对这两种方法进行阐述。
2.1 基准脉冲插补
基准脉冲插补的特点是插补结束后各运动坐标会输出一个基准脉冲序列, 从而促使坐标进行运动。一个基准脉冲反映了刀具的最小位移。基准脉冲插补的运算方法非常简单, 能够通过逻辑电路实现, 且运行速度较快。早期数控机床都是采用这一方法实现的, 在现代数控机床中, 也可使用微处理器实现, 但是仅适用于精度适中的数控机床中。基准脉冲插补方法有很多, 例如数字积分法、最小偏差法、直接函数法等。
2.2 数据采样插补
随着计算机在数控机床中的应用, 插补运算和计算的有效性得到有效解决, 尤其是在精密工件加工中国, 为现代电子技术的发展创造了有利条件。相对应的是, 随着数控系统插补方法的不断变化, 不再使用传统的脉冲增量法, 而是结合计算机采样技术形成的数据采样插补法。该方法本质就是通过使用首尾相连的细小直线来提高加工理想度。由于线段是根据不同的要求进行选择的, 为了提高数据的准确度, 常常要在密化插补后进行精确插补。该方法主要用于闭环或半闭环数控机床中。
3 插补方法原理分析
3.1 逐点比较法
逐点比较法也被称为代数运算法, 能够实现直线、圆弧或非圆二次曲线的插补, 具有运输准确度高的优势, 最大误差不超过一个基准脉冲, 输出数据合理, 控制方便。逐点比较法的原理是坐标轴每次输出一个基准脉冲时, 都需要与加工点的理论加工轨迹进行比较, 从而判断实际加工产生的偏差, 从而计算下一步的运动轨迹。逐点比较法具有算法简单的优势, 但是在多轴联动中存在扩展困难的问题。
3.2 最小偏差法
最小偏差法是对逐点比较法的一种改进。逐点比较法的平均偏差大, 而最小偏差法与逐点比较法不同之处在于其将固定方向上补差次数多的轴作为长轴, 对应一周为短轴, 并以长轴为基准进行计算, 而短轴则发出脉冲, 通过补差周期数进行偏差的计算, 虽然算法相对比较复杂, 但是计算效率较高, 且脉冲输出的稳定性和平均偏差也较小。其具有计算速度快的优势, 但是算法相对比较复杂。
3.3 数字积分法
数字积分法主要是给予数字积分原理的基础上创造的一种插补方法, 其通过收集曲线进给量数字, 当某一坐标轴到达既定位置时就进给一次, 直到累计增量达到一定量时, 可以认为各分段计算足够精准。该方法最大的特点就是可以不存在累积误差。数字积分法具有计算简单, 可使用逻辑电路或微处理器控制, 且扩展方便的优势。
4 结束语
数控技术、数控设备是现代制造业的基础条件, 在生产高精度产品中具有重要作用。随着现代微型电子设备的发展, 对于机械加工的机床也有更高的要求, 促使数控技术有了更广阔的发展空间。
参考文献
[1]秦华生.数控机床精度评估技术研究[J].中国高新技术企业 (中旬刊) , 2014, 23 (08) :72-73.
[2]于博, 于正林, 顾莉栋等.数控机床的插补技术研究[J].计量学报, 2015, 43 (02) :128-131.
插补技术 第4篇
关键词：NURBS曲线,自适应性,加减速范围
为了和工业化背景下的自动化制造相适应, 数控加工作为一种先进的生产方式应运而生。数控机床完成零件的加工主要是通过控制刀具或工件的相对运动实现的。在传统数控机床加工中, CAM系统先采用微小直线段或圆弧逼近曲线, 形成离散逼近误差, 损失轮廓精度的同时, 带来了加工表面的不光滑。若为提高精度而减小线段长度, 大量微小线段将使NC代码变得非常庞大, 给CAM与CNC之间的通讯造成巨大负担, 高速加工中容易出现数据饥饿 (也称机床窒息) 现象。[1]近年来, 国内外学者对各种参数曲线的插补算法进行了深入研究, 找到了其中最具代表性的参数曲线——NURBS曲线, 使数控系统能够直接对参数曲线进行插补, 大大提高了加工的速度和精度。
NURBS是一种在模型数据交换标准中被用来描述自由曲线的唯一方法, 它的形状是没有什么规则的, 一条参数曲线在不同的地方曲率是不同的, 在曲率很大的地方, 曲率半径很小, 如果在高速加工中, 进给速度恒定的条件下很容易产生过切, 因此曲线上的这些点在数控加工中非常危险。为了顺利通过危险点降低整个加工过程的进给速度是不实际的, 我们需要的是在危险点适当地降低进给速度以满足轮廓精度要求, 其他地方综合考虑机床的性能和工件所需达到的精度等要求设定尽可能高的进给速度以达到高速高精度加工的目的。所以, 走刀路径运用NURBS直接插补技术中的关键是研究使切削加工的速度能根据曲线形状自动调整的自适应插补。
1 NURBS曲线基本概述
NURBS (Non-Uniform Rational B-spline) 曲线是非均匀有理B样条曲线的英文缩写。为更好利用NURBS曲线, 需要熟悉NURBS曲线的性质及原理。
一条k次NURBS曲线可以表示为一分段有理多项式矢函数[2]:
式中, pi (u) 表示NURBS曲线上的点, 在三维空间坐标系内, 它有三个分量, 即:被称作权或权因子 (weights) , 各权因子与控制顶点一一对应。首尾权因子w0, w1>0, 其余wi≥0, 且顺序k个权因子不会同时为零, 以防止分母为零, 保留了凸包性质以及曲线不致于因为权因子而退化成为一点。为k次的规范B样条基函数 (其中每一个称为规范B样条, 简称B样条) , 被节点矢量唯一确定, 其递推公式如下:
2 满足高速高精度的NURBS曲线自适应插补的算法
曲线的高速高精度加工要求插补点密、插补周期短, 往往为1～2ms[3]。
NURBS曲线插补的实际上就是三维轨迹空间到一维参数空间的映射和一维参数空间到三维轨迹空间的逆映射过程。具体而言是根据速度规划法确定当前插补点的进给速度V (iu) , 然后以确定的插补周期T, 获得下一插补步长进给量∆L=V (u i) *T, 接着将三维轨迹空间的步长进给量∆L映射到一维参数空间, 求得参数增量∆u;再根据求出的参数值iu计算出与∆L相对应的下一周期插补点的参数值ui+1;最后根据ui+1, 求解NURBS曲线上的坐标值与之对应的插补点的坐标P (ui+1) ={x (ui+1) , y (ui+1) , z (ui+1}) , 使P (ui+1) -P (ui) =∆L成立。
2.1 参数的密化
确定参变量增量∆u, 从而得到每个插补周期的参变量值:ui+1=ui+∆u。参变量u为时间t的函数, 即存在u (t) , 将u (t) 展成ti, 点的二阶泰勒级数展开式:
式中, R3 (t) 为拉格朗日余项。取
因T=1～2ms, T3非常小, 故可将R3 (t) 忽略, 得到:
2.2 根据得到的参变量值ui+1求得相应的轨迹点值P (u i+1)
直接利用NURBS曲线的De_Boor递推公式求解
求NURBS曲线上某点的De_Boor递推公式可表示为:
式中:
将ui点直接代入公式, 即可得到p (u i) 。该算法能够直接、快捷的求取N U R B S曲线上点。
2.3 限制弓高误差在允许范围内的同时, 保证加速度在机床所能承受范围内
由于插补过程是相邻两插补点之间的直线段, 与理想曲线之间存在误差, 曲率半径越小的地方, 这个误差就会越大, 我们把这个误差称作弓高误差。在高精度加工中是无法避免的。用圆弧逼近法求得近似弓高误差δ (u) 、进给速度v (u) 和曲率半径ρ (u) 三者的关系如下[4]:
其中ρ (u) =1/k (u) , k (u) 是曲线的曲率, 计算公式计算如下:
δmax为允许的最大弓高误差δ (ui) 为iu处的近似弓高误差ρ (ui) 为iu处的曲率半径V0为加工程序指定的进给速度V (1u i) 为限制进给速度
虽然自适应速度规划实现了把加工精度控制在一定范围内, 却忽略曲率半径较小的曲线段, 速度的变化是否超出了机床的加减速能力, 尤其是各轴的加速度是否超过了各个电机的允许的加减速范围。加速度公式:机床允许承受的最大加速度下的进给速度:由于机床各方向动态刚度承受能力不同, 所以令最终当前段的进给速度应该为取最小量这样插补过程中进给速度就实现了在弓高误差和机床电机加速允许范围内自动地进行调整。
3 适应插补算法的仿真
接下来对另外一条三次NURBS曲线进行仿真插补, 该曲线有两个曲率较大 (曲率半径较小) 的尖点, 仿真结果表明在这些特殊位置, 进给速度随弓高误差和加速度限制自适应调整。曲线的控制顶点、节点矢量、权因子等信息如下。
(1) 控制顶点:{{0.01, 0.01}, {0.02, 0.004}, {0.020, 0.020}, {0.015, 0.008}, {0.010, 0.020}, {0.005, 0.008}, {0, 0.02}, {0.000, 0.004}, {0.01, 0.01}}m;
(2) 节点矢量:{0, 0, 0, 0, 0.17, 0.34, 0.5, 0.67, 0.84, 1, 1, 1, 1};
(3) 权因子:{1, 2, 2, 1, 1, 1, 2, 2, 1};
(4) 插补周期:T=2ms;
(5) 进给速度:V0=0.05m/s;
(6) 最大允许的弓高误差:δmax=1μm;
(7) 各轴允许的最大加速度:amax=0.6m/s2。
4 结论
如果为了达到加工精度要求, 刀具进给速度以曲率最大处的速度加工整个曲线, 那么加工效率就得不到保证。由上述方法可知在曲率半径很小的局部位置通过弓高误差和最大加速度的限制, 刀具进给速度会自适应下降以提高加工精度和减少机床震动, 其他大部分位置仍然能够实现高速加工, 很好地满足现代CNC机床对高速高精度加工的要求。
参考文献
[1]杨旭静, 钟志华, 陈泽忠.自由曲线轮廓加工的圆弧样条刀具路径研究[J].中国机械工程, 2006, 17 (12) :1277-1288.
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[3]宫田光人, 岛淳.高速高精度曲线插补开技术NURBS精密工学会志, 1999, 65 (9) :1263-1266.
NURBS曲线数控插补算法研究 第5篇
关键词：NURBS曲线,数控,插补
0 引言
数控系统的NURBS曲线插补技术是基于PC开放式数控系统的发展关键技术之一。数控加工时经常遇到诸如飞机的机翼、汽车流线型覆盖件、成型模具型腔、汽轮机叶片等许多具有复杂外形型面的零件,CAD/CAM通常用列表曲线来描述它们。列表曲线的拟合方法很多,如三次样条、B样条、圆弧样条及牛顿插值方法等。由于NURBS曲线具有良好的直观性,且在“局部性”及收敛、逼近性方面占有优势,已经成为当前最为通用的列表曲线拟合方法,利用NURBS在CAD/CAM系统中可以使所有的曲线具有统一的数学表达式,国际标准化组织(ISO)在其正式颁布的工业产品几何定义STEP标准中,亦将NURBS作为产品交换的国际标准。于是,对CNC添加NURBS曲线曲面插补功能,成为现代开放式数控系统的关键技术之一。基于PC开放式数控系统可以充分利用PC的强大计算能力,实现NURBS曲线曲面高速度高精度的实时插补。
1 NURBS曲线的定义
NURBS曲线是Non-Uniform Rational B-Spline 的缩写,直译为非均匀有理化B样条曲线。即B样条曲线的一种,是由构成曲线的节点间距不等,并用有理式表达的曲线。因此在了解NURBS曲线之前,有必要首先了解B样条曲线,B样条曲线是采用控制顶点来定义曲线的,其曲线方程可写为:
其中,di,i=0,1,...,n为控制顶点,又称德布尔点。顺序连成的折线多边形称为B样条控制多边形。Ni,k(u),i=0,1,…称为k次规范B样条基函数,其中的每一个k次规范B样条基函数简称为B样条。它是由一个称为节点矢量的非递减的参数u的序列U:u0≤u1≤... ≤ ui+k+1所决定的k次分段多项式。
B样条基Ni,k(u)通常采用截尾幕函数的差商定义,德布尔一考克斯的递推定义为:
Ni,k(u)的双下标中第二下标k表示次数,第一下标i表示序号。该递归公式表明,欲确定第i个k次B样条Ni,k(u),需要用到ui, ui+1, ui+k+1共k+2个节点,包含的区间[ui, ui+k+1]被称为Ni,k(u)的支承区间。Ni,k(u)的第一下标等于其支承区间左端节点的下标,即表示该B样条在参数u轴上的位置。曲线方程(1)中相应的n+1个控制顶点di,,i=0,1,...,n,要用到n+1个k次B样条基函数Ni,k(u),i=0,1,...,n。它们的支承区间的并集,被定义为这一组B样条基的节点矢量u=[u0,u1,…ui+k+1]。
在B样条曲线定义的基础上,若节点序列为非均匀分布,且在每个控制点处加一个表示对曲线形状影响大小的加权因子Wi,则k阶B样条曲线相应的变为k阶NURBS曲线,其公式相应为:
对于非周期NURBS曲线,往往取u0=u1=…=uk=0,un+1=un+2=…=un+k+1=1,即将两端节点的重复度取为k+1,从而使曲线两端能相切通过控制多边形的首、末端节点。于是,曲线定义域u∈[uk,un+1]=[0,1],节点矢量U=[0,0,…uk+1, …un,1,1…1]。
2 NURBS曲线插补算法的实现
目前普遍应用的算法主要有两类:标准脉冲插补(reference-pulse)和数据采样插补(sampled-data)。数据采样插补是插补程序在每一个采样周期中被调用一次,算出坐标轴在一个周期中的增长段,得到坐标轴相应的指令位置,与通过位置采样所得到坐标轴现实的实际位置相比较,求得跟随误差。位置伺服软件将根据当前的跟随误差算出适当的坐标轴进给速度指令,输出给驱动装置。
数据采样插补原理如式(4)所示。设刀具所在位置为Pn点,则刀具经过本次采样周期后到达Pn+1点,则它们之间的关系为:
式中,F为编程进给速度,ΔS为采样周期的进给段,Ts为插补采样式周期,Fx为x轴方向进给速度,Fy为y轴方向进给速度,Δx为x轴方向进给量,Δy为y轴方向进给量。
3 NURBS曲线插补的插补误差分析
3.1 误差分析
数控加工插补时,所有的插补点均落在NURB S曲线上。则没有径向误差,插补的轮廓误差主要来源于已进给步长为单位的短直线逼近实际曲线所引起的弓高误差δ,如图1所示。将圆弧近似看作直线段,由几何关系可以得到弓高误差δ,曲线曲率半径R,插补进给步长ΔL之间的关系如下式:
可见其误差的大小随进给步长和被插补曲线的曲率半径增大而增大。高速高精度加工,其进给步长较大但要求插补误差小,因此仅根据进给速度和插补周期生成插补轨迹是不够的,必须引入轮廓误差控制。即
将ΔLi与ΔLi1相比得:
其基本思想是:在插补中实时监控轮廓误差的大小,当误差在允许的范围时,仍按给定进给速度计算进给步长,实现恒速运动。若误差超出了允许范围,则按允许误差求取约束插补步长,使插补步长(即实际进给速度)能随着曲率变化而自动调整。
3.2 插补性能验证分析
若有一曲线R=50mm需要加工,采用以上介绍的NURBS曲线插补方法来仿真加工,插补次数4132次,共9.062s,给定指令进给加速度F=20m/min,δmax=1μm,amax=2m/s2,T=lms,当加工处于曲线曲率小的位置时,加工速度基本不变,保持在0.3m/s,此时的进给步长为ΔLi=0.313mm。而在R=50mm初,同理可得最小步长为0.316mm,对应的最低进给速度为18.98m/min,加工的轮廓误差仅为0.25μm,远小于δmax。
可见这里的NURBS插补控制算法在引入轮廓误差和进给加速度的基础上,能较好满足加工的实际要求。
4 结论
插补技术是数控系统实现刀具轨迹控制的基础,是数控机床实现高速、高精度加工的控制核心,数控插补方法有多种,NURBS曲线实时插补是当代高性能数控系统的标志性功能之一。通过以上研究和分析,可以证明NURBS曲线实时插补不仅满足速度和精度方面的要求,而且满足加工实时性要求。
参考文献
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[2]高成秀,刘在德.NURBS曲线插补算法的研究[J].制造业自动化,2006,28(8):27-28.
[3]边玉超,张莉彦,戴莺莺,等.CNC系统中NURBS曲线实时插补算法研究[J].机械制造与自动化,2003(6):36-39.
[4]张翼,李文,孙玉敏,等.NURBS曲线插补算法的研究[J].机械研究与应用,2007,20(3):21-23.
NURBS曲线实时插补方法的研究 第6篇
近年来,以NURBS(Non-Uniform Rational B-Spline非均匀有理B样条)为内部描述的自由曲线曲面造型技术得到了广泛的应用和发展,NURBS不仅能精确统一地表示标准解析曲线和自由曲线,而且它的控制能力也十分强大、灵活,因此国际标准化组织(ISO)将NURBS方法作为STEP中的唯一数学方法。
目前只有FANUC、Siemens、三菱等部分数控系统支持NURBS插补,而绝大多数数控系统只支持直线、圆弧或抛物线插补,所以研究NURBS曲线插补方法是当前十分重要的一个问题。现有的插补方法多采用一阶或二阶泰勒展开式近似算法[1,2,3],其计算过程复杂,虽解决了进给速度的波动问题,但未考虑加工精度等方面,因而加工质量不稳定,为此,笔者提出了一种综合插补误差和进给加速度控制的实时插补算法。
1 NURBS曲线实时插补的相关概念[4]
NURBS被提出来的重要理由是为了找到与描述自由曲线曲面的B样条方法相统一又能精确表示二次曲线曲面的数学方法。一条K次NURBS曲线可以表示为一分段有理多项式矢函数,形式如下:
undefined。 (1)
其中:u为节点矢量;n为控制点个数;di(i=0,1,…,n)为控制点;wi为每个控制点附有的一个权因子,首、末权因子分别为w0>0,wn>0,其余wi≥0;Ni,k为K次规范B样条基函数,可由下式递推计算:
undefined
。 (2)
由此可见,一条NURBS曲线完全由控制点、权因子和节点矢量3个参数定义。若将这3个参数作为NC程序指令的一部分,由CNC系统内部进行实时计算生成NURBS曲线,并按给定进给速度的要求驱动机床运动,加工出NURBS曲线形状,这就是NURBS曲线的实时插补。
2 NURBS曲线的实时插补算法研究
曲线的高速高精度加工要求插补点密、插补周期短,因此算法的快速性、实时性是NURBS曲线插补实现的关键。
2.1 插补预处理
由于NURBS样条函数的节点参数沿参数轴的分布是不等距的,使不同节点矢量形成的B样条基函数各不相同,需要单独计算,且算法中又增加了权因子,所以使曲线轨迹点的计算较为复杂、费时。为提高NURBS曲线插补的实时性,实时插补前需进行必要的预处理。其主要任务是确定NURBS曲线轨迹计算公式的有关系数,以简化实时插补的计算量。
为了便于表达,引入记号∇i=ui+1-ui。对于u∈[ui,ui+1],令t=(u-ui)/(ui+1-ui)=(u-ui)/∇i,则t∈[0,1]。若曲线采用3次NURBS形式表示,即K=3,则第i段曲线可以写成下列矩阵形式:
undefined
。 (3)
其中:Mi为只与节点矢量相关的常数矩阵。由于控制点及权因子均已知,a、b、c、d、a1、b1、c1、d1是与参数无关的系数,实时插补计算时只需要计算插补变化量Δt,从而大大加快了计算速度。
2.2 插补方法的实现
根据CNC系统采样插补的工作原理,实时插补的任务是根据给定的进给速度产生插补直线段,用以逼近实际曲线,求得各坐标轴的进给增量,即:
undefined
。 (4)
其中:ΔLi为无约束进给步长。设CNC系统的插补周期为T,当前的进给速度为fi,则当前插补周期的无约束进给步长为ΔLi=fi·T。
2.3 轮廓误差分析和控制
插补步长直接按插补周期和进给速度生成,与传统CNC离线插补相比,在相同的进给速度下,它是CNC原理上的最短直线,因此可以获得最高的加工精度。尽管如此,对于高速高精度加工,仍然有可能出现轮廓误差超差。由于上述方法得到的所有插补点均在曲线上,没有径向误差,插补的轮廓误差来源于以进给步长为单位的短直线逼近实际曲线所引起的弓高误差。插补的弓高误差δh与插补的步长ΔL及曲线的曲率ρ有关,存在如下关系[6]:
undefined。 (5)
将给定的允许轮廓误差δhmax代入式(5),若已知ρ即可计算出相应的约束进给步长ΔL′i,但曲率半径ρ的计算较繁琐。考虑到插补步长一般很小,不妨取曲线段PiPi+1的中点N,弦undefined的中点M,用MN间的距离|MN|来近似表示本段曲线的插补弓高误差,即:
undefined。
通常,δh与|MN|之间的偏差很小,而在曲线的拐点附近可能有较大误差,但拐点附近的曲线曲率往往较小,相应的插补误差也较小。因此,这种近似具有工程合理性。由允许轮廓误差δhmax所约束的进给步长为:
undefined。 (6)
2.4 进给加速度分析和控制
随着高速切削的推广应用,机床的切削进给速度越来越高,某些高速机床的进给速度可达20 m/min以上。当采用高速切削加工曲线曲面时,由于曲率的存在,必然会引起较大的进给加速度。若加速度过大,超过机床进给系统动态刚度的设计承受能力,就会给整个加工系统、加工过程和零件的加工质量造成严重的影响。因此,必须将加工进给的加速度限制在允许的范围内。
采用NURBS曲线插补时,进给的升降速只在整条曲线的起止点,由fi设定,而其余的加工为恒定进给速度,进给的切向加速度为零。但随着高速超高速加工中进给速度的不断提高,曲线加工的法向加速度会不断增大,尤其是在曲率较大的加工区域可能引起加速度过大,超出机床进给系统的承受能力。为此,高速曲线加工的插补中还必须实时监控进给加速度的变化,当它过大超出允许范围时,则按给定的进给加速度要求及时调整进给速度,即以给定允许加速度为约束条件,计算相应的进给步长ΔLi″替代原来的无约束进给步长ΔLi。
当进给速度不变时,进给的法向加速度e与进给速度fi和加工区的曲线曲率ρ之间存在如下关系[6]:undefined,即undefined。于是:
undefined。 (7)
式(7)为根据给定的允许最大进给加速度emax求得的约束进给步长ΔLi″。由于曲率半径ρ的计算不便,比较式(6)和式(7)得到:
undefined。 (8)
2.5 期望进给步长
综上所述,实时插补的期望进给步长应同时满足轮廓误差控制和进给加速度约束条件,故期望进给步长ΔL=min(ΔLi,ΔLi′,ΔLi″)。
2.6 插补点预估
插补起始点取为曲线段参数t=t0=0的点,后一插补点取为曲线段参数t=t1=1的点,根据期望进给步长判断参数t=1的插补点是否可以满足所要求的轮廓误差和进给加速度要求。如果不满足,那么就对参数t进行黄金分割,即t=t0+0.618t1,然后再进行判断,直到满足要求为止。此时t对应的插补点即为要求的下一个插补点。再将此时的t作为t0,重复上述操作,继续下一个插补点的计算。
2.7 插补性能分析
用NURBS插补方法加工曲线,已知:ρmin=50 mm,指令进给速度fi=20 m/min,δhmax=1 μm,emax=0.2 g(g为重力加速度),T=1 ms。由式(7)可知,ΔLi″=0.498ΔLi′,即进给加速度较轮廓精度要求生成的步长更小,在黄金分割法判断时,式(7)已经包含式(5)。当加工到曲线曲率小的位置时,加工速度基本保持在20 m/min,此时的进给步长为ΔL=ΔLi=0.333 mm。根据式(6)可以得出当加工ρ<55.6 mm时,ΔLi″<ΔLi,即此时加工实际步长由ΔLi″控制。将控制进给加速度下降,在ρmin=45 mm处,由式(6)可求得此时的最小步长为0.313 mm,对应的进给速度为18.8 m/min,加工轮廓误差为0.245 μm,远小于允许的加工误差。可见,上述NURBS曲线插补控制可以方便地满足曲线高速高精度加工的各项要求,这是传统离线编程方法所无法比拟的。
3 结论
本文提出的NURBS实时插补方法同时考虑了插补误差和进给加速度的控制,进给速度能够随着曲线曲率的增大逐渐自动下降,同时对曲线的轮廓误差实时监控。在算法上,有效地避免了曲线曲率、导数等复杂的计算,确保了算法良好的实时性。
参考文献
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[5]王爱玲.现代数控编程技术及应用[M].北京:国防工业出版社,2002.
PLC圆弧插补功能开发与研究 第7篇
小型PLC(可编程序控制器)的功能越来越强,除了典型的顺序控制外,在点位控制、直线控制等领域的应用越来越多,但由于没有圆弧插补指令,除非用高级位置模块,否则无法应用在轮廓控制的领域。一些专用数控机床,如数控火焰切割机,对数控装置插补精度和进给速度要求不很高的,采用可靠性高、性能优良的小型PLC开发这类控装置,即解决了插补问题,又能进行一般的I/O控制,是较好的选择。
许多小型PLC都内置两轴或两轴以上的脉冲输出,并能进行浮点运算,因此具备了开发圆弧插补功能的软硬件条件,下面就采用简洁的算法开发小型PLC的圆弧插补功能。
1 插补原理
常用的插补算法主要分脉冲增量插补和数据采样插补两种类型。脉冲增量法是控制单个脉冲输出规律的方法,每次插补结束以脉冲的方式输出一个行程增量。以其为基础文献[1,2]分别在PC和PLC侧开发了插补功能,但脉冲频率过低,没有充分发挥PLC的性能。数据采样法是计算出在插补周期内各坐标的增量值,而不是单个脉冲。其实质是用一系列首尾相连的微小直线段逼近给定圆弧,微小的直线段一般是圆弧的内接弦或割线,常用算法为弦线法、扩展DDA法及其改进算法[3~5],但这些算法比较复杂。本文的插补是以弦线为微小直线段,通过对圆参数方程的递归计算实现插补,该方法编程简单、计算量小,适合小型PLC。
1.1 插补算法
图1中Po、Ps、Pi-1、Pi、Pe分别为圆弧曲线的圆心、起点、前一个插补点、插补点和终点,R为圆弧半径,αi-1、∆α为PoPi-1与X轴夹角和角增量,插补方向为逆时针。
设圆弧Pi-1Pi弦高er为轨迹误差(符号为负),则进给步长∆L为[6]:
由于相对误差比绝对误差评价圆弧加工精度更合理,按加工要求选定轨迹相对误差ε后,每次插补角增量∆α就为常数。
对于插补点Pi-1
以αi=αi-1+∆α代入上式,求新的插补点pi坐标的递归插补公式为
其中k1、k2、c1、c2为常数,在预处理时计算一次即可。只需要前一个插补点即可求出本次插补点,这是插补递归公式的优点,对PLC编程、运算均非常有利。
根据插补点增量,求得x、y两轴插补速度分别为:
∆x、∆y、f分别为两轴脉冲增量和合成插补速度。
1.2 插补点修正
由于一般PLC的实数为32位字长的单精度7位有效数字的浮点数[7],运算精度有限,上述递归运算会有累计误差,随着计算次数增加,插补点会逐渐偏离理想的圆弧,所以有时有必要对插补点进行修正。
为了避免运算出错,修正是需考虑长短轴,如果Y轴值大于X轴值,则修正Y轴。下面方程是假设修正Y轴:
1.3 终点判断
终点的判断方法有许多种[8],考虑到PLC的数据处理能力、程序容量有限,下面采样距离判断法。设插补点到终点的距离为Le,则
如满足条件Le≤∆L,终点Pe即是新的插补点Pi,也是最后一个插补点。
该判断法在圆弧是整圆或接近整圆时,会出现判断失效。为了避免这种现象发生,可将整圆或接近整圆分为两个圆弧输入。
2 插补试验
2.1 插补程序
插补程序分未修正和修正两种,两种程序相似。图2是未修正的插补程序流程图,其过程是先根据已知数据计算递归公式所需的初始数据,之后依据插补方向改变k2正负。接下来就是重复性工作,先判断是否是最后一个插补点,根据判断结果求出插补点、计算两轴频率。接着判断插补是否正在进行,如果是,等待,否则检测最后一个插补点标志R,如果R复位,启动插补输出,同时进行下一个插补点计算,如果R是置位,全部插补结束。
2.2 插补误差
插补误差由轨迹误差和计算累计误差(简称计算误差)构成,轨迹误差前述已说明,下面通过实际插补圆弧分析后者大小。
插补圆弧如图3实线所示,起点为圆弧与X轴的切点,逆时针插补180°,轨迹相对误差为3.81×10-5,即角增量为1°。
计算误差定义为插补点到圆心的距离与圆弧半径之差,单位是脉冲。
表1中序号1、2分别是不同半径未修正时的计算误差,1'、2'是修正后的计算误差。从表中可以看出未修正时,计算误差随圆弧半径、插补次数的增加而近似的线性增加。以序号1为例,计算误差-48.1个脉冲,已比轨迹误差-38.1个脉冲略大,插补总误差近似两者之和。但修正后,计算误差与插补次数无关,虽然误差半径的增大而增大,但其数值非常小,几乎可以忽略不计。
修正减少了计算误差,但增加了PLC程序270步,增加扫描时间7%。所以实际应用是否修正要在插补精度与PLC程序容量、计算速度之间取舍。
3 插补周期
一般的数控系统,插补周期是不变的,通常是在给定进给速度之后,计算出进给步长,再进行其他插补计算。而PLC的插补不同,为了计算方便,根据加工要求先确定轨迹相对误差,该误差确定后,圆弧的进给步长也确定,插补周期T是随着给定的插补速度变化而成反比变化。
对于PLC的插补周期,一个重要的限制条件是插补周期要大于PLC的扫描周期,这是因为一个插补点完成之后,PLC脉冲输出停止,PLC扫描未结束意味着插补点计算未完成,无法开始新的插补,脉冲输出出现停顿,影响加工精度。
4 结束语
试验表明,所推导出递归式圆弧插补公式编程简单,计算量小,插补误差不大,在修正之后,只有轨迹误差,所开发的PLC圆弧插补功能是成功的,小型PLC可以成为中低档数控系统的控制核心。
自行开发PLC圆弧插补功能还有一个优点,就是在此基础上可以非常方便地增加过象限补偿(反向间隙补偿)功能,这一功能是许多PLC高级位置模块都不具备,且很难二次开发。过象限补偿是开环数控系统提高加工精度简单有效的常用方法,而以PLC为核心的数控系统恰恰是以开环的居多。
摘要：没有圆弧插补指令,限制了PLC在轮廓控制方面的应用。目前许多小型PLC内置两轴脉冲输出,具备浮点运算能力,因此开发PLC的圆弧插补功能即必要,也可行。根据数据采样插补原理,推导出了计算简单的圆弧插补递归公式,同时给出了消除PLC计算精度影响的修正公式。在此基础上编制了PLC圆弧插补程序,通过试验发现修正前计算误差与轨迹误差大体相当,修正后的计算误差几乎为零。PLC圆弧插补周期依插补速度的变化而变化,为了避免插补停顿,插补周期要大于PLC扫描周期。
关键词：圆弧插补,可编程序控制器,数据采样,插补误差,数控
参考文献
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[2]黄菊生,刘玉松,蒋嵘.基于PC与PLC的开放式控制实验系统[J].湖南工程学院学报,2008(1):24-27.
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盘形凸轮轮廓曲线插补算法研究 第8篇
凸轮机构是实现机械自动化或半自动化的一种典型常用机构, 由凸轮、从动件或从动件系统、机架等组成, 凸轮通过直线接触将预定的运动传给从动件。以凸轮机构为核心, 已发展出成千上万种高效、小型、简易、精密、价廉的自动机械, 遍布各行各业。凸轮机构之所以能够在上述自动机械中获得如此广泛的应用, 是因为利用凸轮机构以及利用凸轮机构和其他形式的机构组合, 几乎能够精确地实现所有的运动规律。针对凸轮轮廓曲线的特点, 本文主要研究在极坐标下的曲线插补算法, 为凸轮专用数控机床的研制奠定理论基础。
1数据采样插补概述
插补是数字控制的核心, 其实现方法可以分为脉冲增量插补和数据采样插补。为满足现代机械加工高速高精度的性能要求, 数控系统普遍采用数据采样插补方法。数据采样插补实质上就是使用一系列首尾相连的微小直线段来逼近给定曲线, 由于这些线段是按加工时间来进行分割的, 所以, 又称之为“时间分割法”。为了保证轨迹的控制精度, 由时间分割插补出的弦长增量在位置控制单元中还要进一步细化, 以保证执行的线性度, 因此, 上述插补弦长的计算称之为粗插补, 而位置控制的细化过程则称为精插补。粗插补运算通常采用软件方式, 精插补可用软件也可用硬件实现, 为计算机处理方便, 两者的周期关系通常取2的整倍数。
2盘形凸轮轮廓曲线插补研究
由凸轮轮廓几何形状可知, 通过半径r和转角θ两个参变量, 即可描述出各种轮廓曲线, 也即是轮廓曲线上任一点均可由 (θ, r) 来确定。根据这一特点, 以凸轮基圆圆心为原点, 以基圆圆心到轮廓各点的线段为半径, 在极坐标下描述出凸轮的轮廓曲线, 通过控制凸轮转角和半径的变化, 加工出所设计的凸轮。下面介绍在极坐标下凸轮轮廓曲线的插补算法。
图1为曲线插补算法示意图。图1中, 已知点A (θi, ri) , 在一个插补周期T中, 旋转轴转动Δθ, 由r=r (θ) 的函数关系, 求取下一插补点B (θi+1, ri+1) , 求出ri+1后, 以OA为半径、O为圆心、Δθ为圆心角作圆弧, 交OB于C点, 进而算出:
然后, 连接AB, 即为进给插补步长。连接AC, 过O点作弦AC的垂线, 交AC于D点, D点即是弦AC的中点。在直角ΔOAD中, 由几何关系得:
undefined。 (2)
由于Δθ很小, 弦AC近似与OB垂直, 即ΔABC近似为一直角三角形, 则有:
(ΔL) 2= (Δri) 2+ (Δp) 2 。 (3)
求出步长后, 进而可以求出进给速率v:
v=ΔL/T 。 (4)
其中:T为插补周期。
3插补误差控制
数据采样插补, 即是用一段段小直线去逼近被插补曲线, 这就必然存在插补误差, 直接影响产品的表面质量和精确度, 因此, 必须对误差有所限制, 使其满足精度要求, 加工出合格的产品。
3.1 轮廓误差的控制
由于每一插补点均在曲线上, 这样就避免了径向的累积误差, 但用直线去逼近曲线, 存在弓高误差, 它是此插补算法的主要误差。直线逼近误差分析见图2, 因插补步长很短, 故其所逼近的曲线近似为圆弧, ρ为圆弧的曲率半径, ε为弓高。
由图2的几何关系得:
(ΔL) 2=8ρε-ε2 。 (5)
因ε很小, 故平方项可以约去, 得:
undefined。 (6)
由式 (6) 可知, ΔL由曲率半径ρ和弓高ε来决定, 当曲线的曲率半径ρ确定时, 为了使径向误差不超过允许值, 故对进给步长有一个限制, 即:
undefined。 (7)
其中:εmax为插补允许的最大误差。
3.2 进给加速度控制
由于凸轮的轮廓曲线各点的曲率不尽相同, 故在加工过程中, 必然存在进给加速度。如果进给加速度过大, 超过了机床进给系统的承受能力, 就会在加工过程中对加工系统产生严重的影响, 进而影响产品的质量, 因此, 对于曲线加工, 必须考虑加速度的因素。由法向加速度a=v2/r可知, 加速度a和进给速度v以及曲线的曲率半径ρ之间的关系为:
a=v2/ρ 。
又 v=ΔL/T 。
故得undefined。 (8)
假设机床允许的最大加速度为amax, 代入式 (8) 就可求出限制最大步长ΔLmax。
3.3 曲线曲率半径的求取
对于插补误差的计算和控制, 曲率半径的求取是关键, 具体方法如图3所示。
图3中, 曲线段AB近似看作是一小段圆弧, 其圆心为O′, 其半径即为要求的曲率半径ρ, 过A点作曲线的切线AM, 过O′作弦AB的垂线O′N交弦AB于N, 另外, 极坐标系中任一点 (θ, r) 在直角坐标系中总有一点 (x, y) 与之对应, 其对应关系为:
undefined
。 (9)
在直角坐标系中, 过点 (x, y) 的切线的斜率为:
undefined。 (10)
由于undefined, 代入式 (10) 得:
undefined。 (11)
由此, 可以求出过点 (xi, yi) 的切线斜率为:
undefined。 (12)
又由斜率公式, 可以求出弦AB的斜率ki′为:
undefined。 (13)
由三角函数公式得:
undefined。 (14)
而∠O′AB=90o-∠MAB, 在直角ΔO′AN中, undefined, 故得:
undefined。 (15)
即曲率半径ρ为:
undefined。 (16)
轮廓曲线的曲率半径求出后, 就能校验插补误差, 进而控制加工精度。
4插补实现
曲线插补流程图见图4。为实现上述插补算法, 基本思路如下:首先, 确定加工起点 (θi, ri) 和插补周期T;然后预估转动角度Δθ, 由轮廓曲线关系r=r (θ) 求取下一插补点 (θi+1, ri+1) ;接着, 由几何关系求取Δri以及进给步长ΔL;之后, 与由径向误差和加速度限制的步长比较, 若不满足精度, 则调整Δθ, 重新计算, 若满足精度, 则给出各运动轴的进给增量, 由伺服电机驱动完成一次插补;最后进行终点判断。如此循环, 直至插补结束。
5结论
(1) 采用数据采样插补法, 使各插补点均在凸轮轮廓曲线上, 满足凸轮轮廓设计要求。
(2) 针对轮廓曲线与转角的函数关系, 直接在极坐标下插补, 避免与直角坐标的转化。
摘要：通过分析凸轮轮廓曲线的特征, 提出一种在极坐标下曲线的插补算法, 给出了插补原理及插补误差控制方法。
关键词：凸轮,插补算法,极坐标
参考文献
[1]孙桓, 陈作模.机械原理[M].北京:高等教育出版社, 2001.
[2]周济, 周艳红.数控加工技术[M].北京:国防工业出版社, 2002.
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