参数方程求解范文

参数方程求解范文（精选11篇）

参数方程求解 第1篇

(1)当t>0时,点P在点P0的上方;

(2)当t=0时,点P与点P0重合;

(3)当t<0时,点P在点P0的下方.

(4)当t>0时,点P在点P0的右侧;

(5)当t=0时,点P与点P0重合;

(6)当t<0时,点P在点P0的左侧.

下面就一道高考题中学生易出现的各种问题进行探究.

(2)当a2+b2≠1时,则t不具有上述的几何意义.

变式:经过点P(-1,2),倾斜角为π/4的直线l与圆x2+y2=9相交于A,B两点,求PA+PB和PA·PB的值.

点评:本题有些同学都转化为普通方程解决,但显得比较繁琐,用参数方程使问题简捷化,解决本题的关键一是正确写出直线的参数方程,二是注意两个点对应的参数的符号的异同.

所以在研究线段的长度或线段与线段之间的关系时,往往要正确写出直线的参数方程,利用t的几何意义,结合一些定理和公式来解决问题,这是直线参数的主要用途;但要注意直线参数方程一般形式与标椎形式的区别.通过直线参数方程将直线上动点坐标用同一参变量t来表示,可以将二元问题转化为一元问题来求解,体现了等价转化和数形结合的数学思想.特别求曲线上动点P(x,y)到某一直线距离的最值时,或求z=ax+by的最值时,将P点坐标设成参数形式求解比较简单.

参考文献

[1]选修4-4:2004版高中数学,人民教育出版社.

参数方程求解 第2篇

学习列方程解决实际问题时，老师要求我们先顺着题意找到数学关系，再根据数量关系列方程解答。有一道题目我列出了这样的方程：65-X=25。老师告诉我是对的，但用我们现有的知识解答有些困难，所以一般不要这样列。回家后我反复琢磨老师的话，心想：到底困难在哪里呢，能不能应用课堂上学习的等式的性质来解答呢？于是我决定进行一翻研究和探索。

解答方程要把等式一边只留下X，我将等式两边同时加上65，

解：65-X+65=25+65

X=90

可是检验却发现65-90根本不好减。怎么不对？这使我想起了课上老师讲等式的性质时用到的天秤，这道题如果用天秤来表示是什么样的呢？一个天秤在我的脑中映了出来——左边是一个65克的砝码，65-X表示从65克里去掉X克；右边是25克的`砝码。如果给左边再加上65克，就变成了两个65克，再去掉X克，这样是不可能去掉65而留下X的。如果两边同时加上X克呢，左边就是正好是65克，而右边就成了25+X，天秤两边交换一下，就可以写成之前学过的简单的方程：25+X=65，哈哈，问题就迎刃而解啦！我快速地解答起来：

65-X=25

解：65-X+X=25+X

65=25+X

25+X=65

25+X-X=65-25

X=40

答案算出来以后我还不放心，进行了检验：65-40=25，完全正确！

啊，我终于找到了其中的奥秘。当X是减数时，是可以运用等式的性质来解答的，只是不能将等式两边同时加上被减数，而是要将等式的两边同时加上减数X，变成一个新的简单的方程，再根据等式的性质进行解答。

求解！二元方程 第3篇

X和Y的结合

方程式蕴含着无数的可能性，变量之间的此消彼长可以带来不同的变化。在这种结合之后，索尼HDR-MV1显然可以满足更多的用户需求。X-Y麦克风的硬件配置，LPCM的音频编码方式的应用，从硬件到软件都为高音质做着保驾护航。索尼是一个有着多年音频积累的企业，可以说音频的全线产品可以囊括音频制作的各个环节，作为一个曾经的索尼数字录音机用户，如果对它的D50和D100有信心，当然也会对索尼HDR-MV1的收音方式有信心。虽然它们的音色总是让人感觉有点“甜”，但是这也许正是消费者需要的。如果不是专业人士，尽量不要追求“真实”和“干净”，因为你无法在后期调出“甜”的感觉来。我的个人理念是，在消费级产品的层面，我宁可新人产品功能，也不相信某个二百五使用者的用户回馈，因为不靠谱的哈莫雷特太多了。

索尼HDR-MV1摄像机搭载了Exmor R CMOS影像传感器和120度广角卡尔·蔡司镜头，延续索尼以往不变的高画质标准，索尼HDR-MV1显然在先天的基因上取得了优化组合。120度的视角和120度的收音范围可以满足日常拍摄的需要。为了获得张力十足的3D音效，HDR-MV1的麦克风直接置于机身外，120度X-Y立体声麦克风可有效覆盖从中心到四周的声音，使录制的立体声声效更广、更深、更富真实感。它还可录制48kHz/16 bit的音频，也支持48kHz/128kbps的AAC录制格式。

当你去MAO或者星光现场，站在第一排和你的女朋友看演出的时候，大广角可以保证舞台演出的全收罗，同样音频的收取方式也不会令你失望，最主要的是，你只要转动手腕就可以把女朋友囊括其中，不会为青春期留下些许遗憾。当然分手的时候也可以用的上，数字录音机加DV的方式是最好的取证方式，只是其他人不好意思这么宣传而已。

外延解决方案

索尼HDR-MV1的确足够的小巧，它已经小巧地去掉了翻转屏设计，去掉了尽可能多的按键，无论从开机方式，再到操作的方式，极简的设计方式在刚开始使用时总是让人感觉到不习惯。不过当我了解到它的外延功能时，感觉这些都是未来器材设计和使用习惯转变的必由之路。

使用NFC（近场功能）和Wi-Fi功能，很多问题都可以交给移动设备去处理，只要在手机上下载PlayMemories Mobile应用，就可以轻松控制索尼HDR-MV1摄像机，使用手机就可以完成监看和录制操作。

这种外延解决方案不但使“简化”的设计更加人性化，而且更符合现代人的使用习惯。索尼HDR-MV1可以自作热点形成网络，在监看和操作的实时性上，可以用非常顺畅来形容。

参数方程求解 第4篇

一变参为主法:

即把二元一次方程组中的参数当作主要未知数来处理,建立新的关于此参数的一元一次方程或二元一次方程组来求解的方法。

例1关于与的二元一次方程组的解也是二元一次方程

2x + 3y = 6的解,则k的值是______2x + 3y = 6的解,则k的值是2x + 3y = 6的解,则k的值是_

∴ 2 × 7k + 3 × ( - 2k) = 8k = 6解得k =3 /∴ 2 × 7k + 3 × ( - 2k) = 8k = 6解得k =3 4∴ 2 × 7k + 3 × ( - 2k) = 8k = 6解得k =3 /4

例2若二元一 次方程组中的x与y互为相反 数 ,则 a =______

解: ∵ x与y互为相反数

∴ x + y = 0即y = - x从而有3x + 2y = 3x - 2x = x = 3则y = - 3

例3若二元一次方程组有相同的解,则 m =______ ,n =______

由⑴ + ⑵得把m = 2代入⑴得n = 1

故 m = 2,n = 1

例4若二元一次方程组有相同的解,求( 2a + b)2010的值。

解: ∵有相同的解

由⑴ × 3 + ⑵得20b = - 20解得b = - 1把b = - 1代入⑴得a = 1

例5甲乙两个学生解二元一次方程组

甲正确地解出

求a,b,c的值。

解: 依题意知,都是ax + by = 16的解解这个关于a,b的二元一次方程组得把x = 6,y = -1/ 2,b = 4代入cx - by = 32得6c - 4 × ( -1/ 2) = 32解得c = 5

故 a = 3,b = 4,c = 5

小结: 变参为主法是处理二元一次方程组中的参数问题的重要工具。像例1———例3结合题意,直接利用变参为主法,把有关参数问题转化为解关于此参数的一元一次方程或二元一次方程组问题,从而快速得到答案; 而例4和例5则结合等价转化思想,先通过重组新的二元一次方程组,并求出此二元一次方程组的解,然后利用变参为主法把有关参数问题转化为解关于此参数的二元一次方程组问题,从而把参数问题简单化。

二整体化参法:

即结合所要求解的目标参数式的特点,利用转化思想,对二元一次方程组中的参数作整体化处理的方法。

例6若二元一次方程组则a + b的值为

例7已知,且 -1 <x -y <0,则k的取值范围为( )

A. - 1 < k < -1 2B. -1 2< k < 0

C. 0 < k <1 2D.1 2< k < 1

由⑵﹣⑴得 x - y = ( 2k + 1) - 4k = 1 - 2k

∵ - 1 < x - y < 0

小结: 整体化参法是处理二元一次方程组中的参数问题的最快捷途径。像例6和例7结合所要求解目标代数式的特点,利用代入法和加减消元法,对二元一次方程组中的参数作整体化处理,从而使得解题过程既简便又快捷。

三待定系数法:

即把所要求解的参数目标式转化成用此参数的二元一次方程来表示,然后根据相等多项式对应项系数相等的性质寻求所需要配凑的系数的求解方法。

例 8 若是二元一次方程组的解,则5m + 6n的值为

由⑴—⑵得k2= - 1,把k2= - 1代入⑵得k1= 8

∵ m + n = 1,3m + 2n = 8

∴ 5m + 6n = 8( m + n) - ( 3m + 2n) = 8 × 1 - 8 = 0

例9若二元一次方程组,则a - b的值为( )

A. 1 B. 3 C. -1 5D.17 5

故选A

例10已知二元一次方程mx + ny = 10的两组解为和,那么3m + 7n的值为

由相等多项式对应项系数相等的性质得

小结: 待定系数法也是处理二元一次方程组中的参数问题的重要法宝。它的特点在不需要直接求出参数值而能根据相等多项式对应项系数相等的性质求出参数目标代数式的值。像例8———例10通过转化思想,利用待定系数法建立关于此参数系数的二元一次方程组,从而把参数问题巧妙处理。

求解学校管理动力方程 第5篇

精神动力

钱可以买很多东西，但精神方面的很多东西，往往是金钱买不到的。有些学校物质条件很好，钱也发了不少，自筹工资部分已超出了财拨工资，但教师积极性不高，教学质量也上不去，这与缺乏精神激励机制不无关系。学校建立精神激励机制，凝聚精神动力，应从以下方面进行：

建立以校长为首的领导班子的人格激励机制，学校是育人的场所，通过领导和教师的言传身教，建立起良好的校风，这是育人工作的良好基础。所谓校风就是领导的作风，老师的教风，学生的学风的统一体现，而领导的作风又是形成良好校风的关键。学校是知识分子聚集的地方，做知识分子的工作，光靠权力因素往往收不到实效，更多地需要非权力因素，即领导的人格与业务水平。名家说：“做人的工作，一靠真理，二靠人格。”校长和领导成员必须十分重视自身的品德修养，淡漠个人名利，发扬严于律己、廉洁勤奋、无私奉献等精神风格，以获得教师的崇敬、信任与支持。

强化思想工作，重视情感因素的作用。教师的自尊心、荣誉感强，服理不服力。在教育改革中，大量的问题不是物质需求的问题，而是认识问题。通过思想工作，道理弄通了，问题也迎刃而解。因此，学校思想工作必须坚持民主疏导和情感因素的原则，教师是通情达理的，这里关键是疏通情感，建立良好的人际关系，使管理者与被管理者之气氛和谐，使教师具有良好的工作心态。

建立劳动成果激励机制。要建立成果评价奖励制度，严肃认真的肯定教师的劳动成果。要创造条件给老师们展示劳动成果的平台。这不仅对激发教师的积极性有益，而且对改善教师素质，提高教师水平也有重大作用。

物质动力

校长在管理流程中，必须对动力功能给予高度的重视，同时注意处理好以下问题。

要端正对物质动力的认识。社会发展的目的是为了满足人民群众不断增长的物质和文化需要；也只有不断满足人们日益增长的物质文化需要，才能够调动人们的积极性。因此，校长们必须尽最大努力，改善教师的物质生活和教学工作条件，以稳定教师队伍，充分调动教师的积极性。

要解决好经费问题。目前。由于国家拿不出更多的钱解决学校困难，校长就必须千方百计增加收入，以弥补经费的不足。这一现实要求校长不但要懂教育，而且还要有经济头脑，利用国家给学校的优惠政策和学校自身人才信息，知识等方面的优势，尽可能地增强学校内部的造血功能，以满足学校教育教学改革的需要，并努力使教师的收入不断提高，以激发他们的工作积极性和学校内部动力。

要解决好分配问题。改革分配制度，是物质动力改革的关键，学校必须建立新的物质激励机制。为此，必须建立完善的绩效考核、评估机制，实行定性分析与定量分析相结合；教师自评考核与学生评教、组织考核相结合。争取公正、公平、准确地认定教师的劳动。同时，应制定一套科学的、可操作性强的评价指标体系。通过数量、数字区分教师劳动差异。学校考核评价工作如何，直接关系能否调动教师的积极性，学校校长必须花大力气把这项工作做好。

信息动力

校长对信息动力的关注程度，已成为衡量校长工作水平的重要标志之一。干部与教师的差别主要在掌握的信息和对信息的分析能力方面，校长必须在获信息和分析信息工作上下工夫。

要建立教育科研组织，承担学校信息工作，教师科研机构要广泛收集校内外、国内外教育改革、教育科研的信息资料，建立学校信息库，并利用现代手段，使信息收集、贮存工作迅速准确。

要鼓励教师个人收集占有信息资料，这是提高教师素质的重要途径。如果教师不广泛、灵敏地掌握社会信息，只凭原有的一瓶水，无论如何也无法指导学生。因此，教师必须时时更新自己的知识，使自己的知识成为一瓶不断更新、流动的水。

要发挥信息的动力作用。学校要组织有丰富教育教学经验的老教师和努力于实践开拓的中青年教师、组织信息分析力量，在教育教学科研机构的领导下，对所掌握的信息资料进行分析，以发挥信息资料的重要作用。

发挥三个动力的综合效能

精神、物质、信息动力在学校管理动力方程中，各自起着不同的作用。但还必须协调得当，综合运用，才能发挥其整体功能，在发挥三个动力整体功能时，要注意两点：

一、要防止重此轻彼。抓物质动力建设，不能忽视精神动力的作用；抓精神动力建设，也不可过分强调精神的作用而排斥物质动力的作用。应牢记物质可以变为精神，精神可以变物质，信息既可以变物质，又可以变精神这一规律，使三者相互促进，相辅相成，产生更大的综合效能。

中考分式方程求解问题探究 第6篇

一、拆项法

∴x=1, 经检验x=1是原方程的根.

二、添项法

解方程两边项数相同, 各项都同时添项加1化为

三、比例性质法

经检验x1=0, x2=-1为已知方程的解.

四、韦达逆定理法

五、和差换元法

六、构造方程组换元法

经检验它们都是原方程的根.

七、应用两个分式相等, 若分子相同, 则分子为零, 或两个分母相等的方法

综上所述可见, 上述方程若按常规方法, 得先通分使其变为整式方程, 但这样求解, 不仅繁琐而且有时还会得出一个一元二次以上的方程, 如果这个高次方程不能化为一元二次方程, 则对初中学生来说将无法可解, 而上述方法就可解决此问题.

多重网格法求解雷诺方程 第7篇

关键词：有限差分法,多重网格法,雷诺方程

0 引言

内燃机的主轴承、连杆轴承承受着非常高的非稳定载荷,即动载荷,故内燃机轴承是典型动载滑动轴承。内燃机轴承在结构设计方面有很多特殊性,随着对轴承润滑理论及设计计算法研究的深入,尤其是计算机技术的发展和普及,使内燃机的设计计算方法更加完善、更加可靠、更加系统。1986年,Osborne Reynolds在一定假设条件下,由流体力学原理提出动压滑动轴承的润滑基本方程,总结出流体膜建立动压力的机理,为流体力学润滑理论奠定基础。内燃机轴承油膜压力计算、轴心轨迹计算、最小油膜厚度计算都是以雷诺方程为基础的。

对于Reynolds方程的求解,现在主要的数值计算方法包括有限差分法和有限元法。有限差分法主要针对常用的轴承形式;有限元法用在轴瓦表面结构复杂的情况,例如开有小孔、沟槽、台阶等时。对于普通常用的轴承,采用有限差分法在很短的计算时间内就能得到比较满意的结果。有限差分法使用的是单纯的超松弛迭代法求解雷诺方程,而多重网格法是加速后的超松弛迭代方法,它比单纯的超松弛迭代法具有更短的计算时间、更高的计算精度和更快的收敛速度。本文主要研究用多重网格法求解雷诺方程。

1 多重网格法

多重网格法的实质就是求解线性方程组的一种加速收敛的手段。多重网格法的三大基本思想是:①细网格松弛,负责消除高频振荡的误差;②粗网格校正,负责低频光滑误差;③套迭代技术,负责通过限制和延拓算子连接所有层共同求解同一个问题。多重网格法就是在不同的层上进行求解,所有层相互协调地求解同一个问题,从而使高、低频偏差分量都能很快地消除和最大限度地提高迭代效率。由于限制和拖延的次数不同,多重网格法可分为如图1所示的几种循环方法。

下面以两重网格“V”循环为例介绍多重网格法的计算方法。取粗网格和细网格步长,且粗网格步长是细网格步长的2倍。具体步骤如下:①设定初始值;②计算细网格上的亏损量;③从细网格到粗网格转移亏损量;④在粗网格上精确求解修正量;⑤由粗网格到细网格转移修正量;⑥计算细网格修正后的量。多次重复步骤①～⑥,直至结果收敛。

2 求解二维雷诺方程加速性验证

本文通过具体实例,验证多重网格法是一种高效的加速收敛的手段。实例是基于有限差分法求解滑动轴承的雷诺方程得到油膜压力,分别采用单纯的超松弛迭代法和多重网格法,最后再与使用了迭代精度要求的计算结果进行对比。

计算参数如下:径向滑动轴承的内径D=120 mm,宽径比B/D=1,偏心率ε=0.6,半径间隙c=0.145 5 mm,轴颈转速n=500 r/min,润滑油在工作状态下的动力黏度η=0.028 Pa·s,相对间隙ψ=0.001 1;网格密度取20×20;总迭代次数为20次。超松弛迭代法的计算过程稳定,所以第一种计算过程和多重网格法的各层计算都采用了超松弛迭代法,且取松弛因子为1.3。油膜压力的坐标原点放在轴承宽度中央。

(1) 以单纯的超松弛迭代法求解雷诺方程,迭代20次,得到轴承宽度中央的周向油膜压力,如图2所示。

(2) 以多重网格法求解雷诺方程,得到轴承宽度中央的周向油膜压力。计算过程是采用两重网格“V”循环法,设定第一重网格迭代8+8次,第二重网格迭代4次,即在第一重细网格上迭代8次,转移到第二重粗网格迭代4次,再转回到第一重细网格迭代8次,总共迭代20次。

第一重网格迭代8次结果如图3所示,第二重网格迭代4次,迭代次数k的值依次取1、2、3、4,且油膜压力p的初值采用第一重网格的计算结果和误差乘以相应的完全加权限制操作数。第二重网格结点(除了网格边界点)均由第一重网格的8个点包围,故设定限制操作数由第一重的每个点的1/8相加得到。应用限制操作数可把第一重的计算结果转移作为第二重计算的初值。

有了第二重网格求解结果,再转回第一重网格迭代8次,油膜压力p的初值采取由第二重网格的计算结果乘以对应的延拓操作数得到。同样限制操作数可把第二重网格的计算结果转移作为第二次在第一重网格计算的初值。最终求解结果如图4所示。

(3) 采用迭代精度要求为0.01的相对误差来限制迭代次数,得到轴承宽度中央的周向油膜压力。此次计算比前面两种计算在精度上要高,用时也长,更接近精确值,所以它可以作为前面两种计算方法相对比的标准。

增加收敛准则,用迭代精度要求来限制迭代结果,保证相对误差为0.01,求解结果如图5所示。

由图2、图4和图5可知,将迭代同样的次数分别用单纯的超松弛迭代法和用多重网格法求得的结果与使用迭代精度要求0.01相对误差的结果比较,可知多重网格法的迭代结果更接近精确值,说明多重网格法有更高的迭代效率。在一般求解径向滑动轴承的雷诺方程时,都要求达到一定精度,采用普通的计算方法,可能要迭代的次数非常多,同时也非常耗时;而用多重网格法能在很少次数的迭代中达到很高的迭代精度,减少了计算量、节省了计算时间。

3 结束语

在求解二维雷诺方程中,使用常规的单网格,如果要达到很高的精度,将需要迭代相当多的次数,整个计算过程也将耗费很多时间,但是采用多重网格法在各层网格上进行较少的迭代,便可以得到接近精确解的解,所以多重网格法求解雷诺方程将可以比较快地达到所要求的精度,是一种比较高效的计算方法。

参考文献

[1]谢帆,荆建平,万召,等.基于有限差分法的径向滑动轴承油膜压力分布计算[J].润滑与密封,2012,37(2):12-15.

[2]敏政,王乐,魏志国,等.基于MATLAB技术的滑动轴承油膜压力分布的模拟[J].润滑与密封,2008,33(8):51-53.

[3]王伟,张祖立.基于Matlab有限长液体动压滑动轴承压力分布的一种近似解法[J].沈阳农业大学学报,2005,36(2):247-249.

[4]张直明.滑动轴承的流体动力润滑理论[M].北京:高等教育出版社,1986.

[5]孟繁娟,杜永平.径向滑动轴承油膜压力分析[J].轴承,2008(1):23-25,32.

地震偏移方程的差分求解新方法 第8篇

在地震勘探的偏移问题中, 需对上行波的高阶逼近方程进行数值求解.在实际应用中, 对于地层倾角不是很大的地区, 利用45°上行波方程逼近式偏移处理就能满足要求, 文献[1]给出了一种二维45°上行波方程的逼近公式, 为了对该逼近式进行数值求解, 本文构造了逼近方程的一个隐式差分格式, 再通过一个简单的函数变换将其变为一种半隐式求解的差分格式, 这样就既能保证算法的稳定性, 又使得算法的实现变得比较容易.通过对资料的处理, 说明了该方法的有效性.本方法很容易推广到三维问题的处理。

1 二维45°上行波方程逼近式

在浮动坐标下, 由文献[1]中所导出的二维45上行波方程, 结合定解条件可得偏移求解的混合问题是

其中:p (t, x, τ) 为波场值;" (t, x) 为已知函数。该偏移问题是利用式 (1) 求p (t=τ, x, τ) 。由于边界无限, 实际编程应用时, 为了在有限区间内进行计算处理, 需要加入人工吸收边界条件, 文献[2][3][4]研究了人工吸收边界条件的处理方法。

2 隐式差分格式

差分方程 (11) 具体求解时首先将定解条件离散化, 然后利用式 (11) 的第二个方程显式求解得再代入式 (11) 的第一个方程解线性代数方程组求得由于此方程组系数矩阵是严格对角占优的对称矩阵, 对角元都大于零, 因而系数矩阵是正定矩阵, 因此求此方程组的解法很多, 可采用直接法中的追赶法或迭代法中的雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法, 当未知量的个数特别大时, 为了保证计算的精度和计算的速度, 可采用共轭梯度法。逐层逆推求方程组的解即可求得最终偏移问题的解, 由于该差分格式是隐格式保证了算法的无条件稳定性, 而具体求解时它却是半隐式求解, 大大减少了运算量。

3 结论

以上构造了45°上行波方程的一种隐式差分格式, 文中在算法设计中, 应用隐式差分格式以达到好的稳定性, 而在求解时利用简单变换使差分格式变为半隐式求解, 通过对实际资料的偏移处理验证了所构造的差分格式的有效性。

摘要：构造了二维45°上行波方程的一种差分格式, 该差分格式是隐格式但却是半隐式求解, 利用此差分格式求偏移问题数值解时, 既保证了算法的稳定性, 又使得运算量大大减少。

关键词：隐格式,稳定性,单程波方程

参考文献

[1]Zhang Guan-quan, High order approximation of one-way wane equations, J.Comp.Math., Vol.3, No.1 (1985) , 90-97.

[2]B.Engquist and A.Majda.Absorbing boundary conditions for the numerical simulation of waves, Math.Comput., 1977, 31 (139) :629-651.

[3]R.W.Clayton and B.Engquist.Absorbing boundary Conditions for wave-equation migration, Geophysics, 1980, 45 (5) :895-904.

求解非线性方程的数值算法 第9篇

非线性方程的数值解法在实际中有广泛的应用, 但由于非线性方程的复杂性, 在解法上直接法计算求解几乎不可能, 所以需借助二分法、迭代法求解。

在几百年的研究努力下, 已建立了二分法、牛顿法、简易牛顿法、割线法、Steffensen法。

1五种数值计算方法的简述

1.1二分法

1) 若对于a<b, 有f (a) f (b) <0, 则在 (a, b) 内, f (x) =0至少存在一个零点;

3) 若f (x1) =0, 则x1为f (x) =0的零点, 停止计算, 运行后输出结果x*=x1;

若f (a) f (x1) <0, 则在 (a, x1) 内, f (x) =0至少存在一个零点, 此时取a1=a, b1=x1;

而若f (a) f (x1) >0, 则取a1=x1, b1=b;

反之, 返回1, 重复1、2、3, 而循环步骤最多不超过M (为该循环迭代的最大步长) 。

1.2牛顿法

牛顿法是一种线性化方法, 其基本思想是将非线性方程f (x) =0逐步归结为某种线性方程来求解。

设已知方程f (x) =0有近似值xn (假定f′ (xn) ≠0) , 将函数f (x) 在点xn展开, 有:

f (x) ≈f (xn) +f′ (xn) (x-xn)

于是方程f (x) =0可近似表示为:

这是个线性方程, 记其零点为xn+1, 则xn+1的计算公式为:

1.3简易牛顿法

简易牛顿法是在牛顿法的基础上简化, 迭代的每一步公式斜率都去第一个点的斜率, 迭代公式在牛顿法基础上表示为:

1.4割线法

割线法是在牛顿法本身存在缺点 (即需求零点的函数导数) 的情况下进行相应改进的一种方法。

设xn, xn-1是f (x) =0的近似值, 利用f (xn) , f (xn-1) 构造一次插值多项式P1 (x) , 并用P1 (x) =0的零点作为新的近似值xn+1。

1.5 Steffensen迭代

迭代公式为:

2举例运算

1) 对非线性方程开普勒方程x-asinx=b (分别对a, b赋值1, 2) 运用以上五种不同的迭代法进行求解。 (具体求解过程由matlab实现, 由于本文讨论的是几种方法得出结果的比较, 所以不在此列举繁杂的代码)

2) matlab求得的结果总结表:

3) 对结果的误差分析:

a.对分法的误差有如下的界:

在该问题中, 由结果可以看出, 该求解过程共迭代了28步, 其中误差ε≤10-5。

b.牛顿法是二次收敛的, 因此其收敛速度很快。其中en+1=Cen2, C≈1。根据运算结果可以看出, 牛顿法迭代只用了3步, 就达到了10-5的精度, 得到了与二分法相同的结果, 而二分法却用了28步。

c.由结果可知, 程序共迭代了7步, 得到了与牛顿法相同的结果。其中误差ε=10-5。

e.Steffensen迭代法共迭代了5步, 得到了与牛顿法相同的结果。其中误差ε=10-5。

3总结分析

由实验结果知, 二分法经过迭代后, 可以达到较好的精度, 但是当所求问题较为复杂, 且对其根的估计范围较为宽泛时, 所需迭代的步数很大, 计算量和空间储存上会有很大的占用。

牛顿法是二次收敛的, 因此用牛顿法求解非线性方程的解, 迭代次数较小, 且计算量和占用空间较小, 可以得到相对较精确的数值解。但其缺点是需要求非线性方程的导函数值, 适用范围较小, 只能对一阶可导的方程进行迭代。牛顿法在比较复杂的问题上能以较小的运算量得出较为精确的数值解。

简易牛顿法拥有较小的计算量, 算法只用到初始值的导数值作为分母, 但缺点是需要迭代步数较多, 适合简单且容易观察出零点大致位置的非线性方程。

割线法收敛速度不如牛顿迭代法收敛速度快, 但比二分法快, 可以达到相对较高的精度, 在其迭代过程中每步只需一次新的函数赋值, 此类迭代算法中函数赋值构成了主要的计算量, 综合比较割线法的运算量要比牛顿法小。

Steffensen法的收敛速度在一定条件下可以达到二次收敛, 相对割线法和二分法收敛速度较快, 在一定程度上避免了两个值很近时造成的误差, 也不需要求函数导数值, 综合来看Steffensen迭代算法计算量较小且精度较高。

几种常见的不定方程的求解 第10篇

关键词：二元一次不定方程；辗转相除法；整数分离法；勾股数；特殊的非一次型不定方程

不定方程，即未知数个数多于方程个数且其解受一定限制（如解为整数，正整数等）的方程或方程组。不定方程又叫丢番图方程，它是数论中的一个古老分支，其内容极其丰富。我国对不定方程的研究已延续了数千年。“百钱买百鸡”、“物不知其数”等堪称中外驰名，一直流传至今。学习不定方程，不仅可以拓宽数学知识面，而且可以培养思维能力，提高数学解题的技能。中国古代数学家张丘建曾解答了下面的问题：“鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡，问鸡翁母雏各几何？”设x，y，z分别代表鸡翁、鸡母、鸡雏的数目，就得x+y+z=1005x+3y+■z=100：消去z，得7x+4y=100。我们要解决这个问题，就要求出上述方程的非负整数解，这个方程仅仅是二元一次不定方程的一个具体例子。本文主要介绍一些基本类型的不定方程有整数解的条件及其解法。

1.二元一次不定方程及其求解。最简单的不定方程就是二元一次不定方程，下面我们考虑它有整数解的条件。

定理[1]二元一次不定方程ax+by=c…①有整数解的充分必要条件是d|c，d=（a，b），（其中a，b，c是整数，且a，b都不是0）。证必要性，如果方程①有整数解x=x0，y=y0则ax0+by0=c。有d|ad|b，所以d|（ax0+by0）即d|c。充分性，因为d|c所以c=dq由于存在两个整数x0，y0使ax0+by0=d。在上式两边同时乘以q，得ax0q+by0q=dq。即ax0q+by0q=c因此方程①有整数解x=x0q，y=y0q。对于二元一次不定方程，我们介绍求x0，y0的三种常用方法：

（1）观察法。例1 求不定方程3x+4y=23的非负整数解。解：通过观察x=1，y=5是一个特解。因此不定方程的通解为x=1+4ty=5-3t这里t为任意整数；解不等式组1+4t≥05-3t≥0得：-■≤t≤■ 因此t=0，1 当t=0时，x=1，y=5，当t=1时，x=5，y=2。因此不定方程的全部非负整数解为：x=1y=5 x=5y=2

（2）辗转相除法。方程ax+by=（a，b）与■x+■y=1的解完全相同，又因为求ax+by=1的解即可求出|a|x+|b|y=1的解，因此我们只需讨论求ax+by=1…③的一个整数解的方法，其中（a，b）=1，设a≥b＞1，由③式必存在整数M，N，使aM+bN=1…④。且M=（-1）n-1Qn，N=（-1）nPn，在④式两边同乘以c，得acM+bcN=c。因此不定方程（1）的一个整数解是：x0=（-1）n-1QnC，y0=（-1）nPnC。其中，P0=1，P1=q1，PK=qKPk-1+Pk-2，Q0=0，Q1=1，Qk=qKQk-1+

qk-2，k=2，…，n。

（3）降低系数法。降低系数法是普通中学教科书中二元一次不定方程解法的理论依据。例2[1]求107x+37x=25的一切整数解。解：由原方程得：y=■=-2x+■。令y'=■，则y'应该是整数，故得一新的不定方程37y'+33x=25。又x=■=-y'+■。仿前令x'=■，又得到33x'+4y'=25。又y'=■=6-8x'+■取x'=1，得y'=-2 所以x=-（-2）+■=3，y=（-2）×3+■=-8。所以原方程的一切解是：x=3-37t，y=-8+107t （t=0，±1，±2，…）。本文开头的张丘建的百钱买百鸡的问题，实际上是求不定方程的非负整数解的问题

2.勾股数。在平面几何里，我们已经学过直角三角形斜边与直角边关系的勾股定理：斜边长的平方等于两直角边长的平方之和，即x2+y2=z2…①。如果正整数x，y，z能满足不定方程x2+y2=z2，那么x，y，z叫做一组勾股数，简称勾股数。我国古代数学书《周髀算经》曾提到“勾广三，股修四，经隅五”，这是三边都是正整数的直角三角形。由此可见当时的数学家已经求出了不定方程①的一组正整数解：x=3，y=4，z=5。在公元263年时，我国数学家刘徽在评注《九章算术》时，载有下面几组等式：32+42=52 52+122=132 72+242=252 82+152=172 202+212=292。这些事实说明，我国古代数学家已经得到了许多勾股数，即方程①的许多正整数解。那么我们有没有办法可以求出方程①的一切正整数解呢？为了解决这个问题我们证明：引理[1]不定方程uv=w2，w＞0，u＞0，v＞0（u，v）=1…②的一切正整数解可以写成公式：u=a2，v=b2，w=ab，a＞0，b＞0，（a，b）=1…③。证（1）设u，v，w是②的一解。令u=a2u1，v=b2v1，a＞0，b＞0，其中u1，v1不再被任何数的平方整除，则a2|w2，b2|w2，因此a|w，b|w，又（u，v）=1，故（a2，b2）=1，因而，（a，b）=1，由此即得ab|w，设w=w1ab，代入②即得u1v1=w12，若w12≠1，则有一质数P，满足P2|w12，但由u1，v1的定义及（u1，v1）=1，可知P2不整除u1，v1。故w12=1，u1v1=1，但w1，u1,v1都是正数，故w1=u1=v1=1。因此u=a2，v=b2，w=ab，a＞0，b＞0，（a，b）=1。2）反之，③式中的u，v，w显然满足②式。

3.特殊的非一次型不定方程

（1）因式分解法。对某些非一次型不定方程，往往可以对不定方程中的代数式进行因式分解，同时再通过对方程中的常数项分解质因数，得出常数项的约数，根据约数与因式分解情况，并结合考虑求方程整数解的具体要求，列出某些方程组，从而求出原不定方程的整数解。例3[3]求不定方程3x2-xy+9=0的正整数解。解由原方程得x（y-3x）=9，当x，y是整数时，y-3x是整数，且x，y-3x都是9的约数。所以x=1y-3x=9 x=3y-3x=3 x=9y-3x=1

解之得：x=1y=12 x=3y=12 x=9y=28。

（2）整数分离法。这种方法是通过对不定方程的变形，使一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示，如果这个代数式是分式，那么用整数分离法，将分式变形成“整数+■”的形式，这时m为常数，P是关于另一个未知数的多项式，然后对■运用约数分析法，求出原不定方程的解。

例4 求满足方程■-■=■，且使y最大的正整数解（x，y）。

解：分离变量，得y=■=-12+■，则（12-x）|144，且为使y最大，又必须12-x为最小的正整数，则x=11，因此y=132，所以满足要求的正整数解为（11，132）。

（3）估计法。例5[3]求不定方程x+y=x2-xy+y2的整数解。解：原方程变形为关于x的一元二次方程x2-（y+1）x+（y2-y）=0，若有整数x，y使上式成立。则Δ=（y+1）2-4（y2-y）≥0，也就是3y2-6y-1≤0，解得1-■≤y≤1+■。从而y=0，1，2 可相应求出x的值。

综上可知原方程有整数解：（0，0），（1，0），（0，1），（2，1），（2，2）。

（4）奇偶分析法。例6[3]求方程x（x+y）=z+120的质数解。解①若z为偶数，则z=2，于是z+120=122=2×61为偶数，所以x（x+y）也为偶数，又因为x，y为质数，x+y＞x。所以x=2x+y=61，即x=2y=59，故原方程的一个质数解为（2，59，2）。

②若z为奇数，则z+120为奇数，所以x（x+y）为奇数，即x，x+y都为奇数，则y为偶质数，故y=2，那么原方程变为x（x+2）=z+120，即x2+2x-120=z，则（x+12）（x-10）=z因为z为质数，x-10＜x+12，所以x-10=1x+12=z，即x=11z=23故原方程的又一个质数解为（11，2，23）。像这些特殊的非一次型不定方程的例题很多，解决的方法也很灵活多样，归纳起来常见的有下列几种：（1）代数式的恒等变形，特别是代数式的因式分解；（2）估计法，特别是利用不等式的性质；（3）奇偶分析法；（4）换元法；（5）无穷递降法；（6）整除性质；（7）其他某些不定方程的求解，可能仅利用其中一种方法，但很多题目往往需要几种方法混合使用，要视具体情况具体分析，灵活的解决问题。

综上所述，不定方程有着各种类型，也有着各种不同的解法，不定方程问题富有趣味，耐人寻味，具有优美的技巧。不定方程应用广泛，一些排列组合数问题和某些物理问题都可用不定方程解决，许多中小学竞赛题也因不定方程解法巧妙而引入不定方程问题。因此不论是现实生活还是理论上，不定方程都有着不可替代的作用。

参考文献：

[1]闵嗣鹤，严士健.初等数论[M].高等教育出版社，1982.

[2]陈肇曾.数论初步[M].高等教育出版社，1996.

[3]王元.初等数论[M].人民教育出版社，2003.

[4]曹珍富.数论中的问题及结果[M].1996.

[5]阎满富，王朝霞.初等数论及其应用[M].中国铁道出版社，1999.

[6]冯克勤.初等数论及应用[M].北京师范大学出版社，2003.

[7]张君达.数论基础[M].北京科学技术出版社，2002.

[8]郑克明.数论基础[M].西南师范大学出版社，1993.

[9]潘承洞，潘承彪.初等数论[M].北京大学出版社，2003

[10]R.K.盖伊.数论中未解决的问题[M].科学出版社，2004.

[11]晏能中.初等数论[M].电子科技大学出版社，1992.

浅谈线性方程组的求解方法 第11篇

1.克莱姆法则

如果齐次线性方程组

的系数矩阵的行列式, 那么它只有零解。[2]

2.通过初等变换求解

我们可以得出以下结果:

(1) 系数矩阵A与增广矩阵有相同的秩, 是线性方程组 (2) 有解的充分必要条件。

(2) 如果A有一个r阶子式D不等于零。

并且在A与增广矩阵有相同的秩r (29) 0的情形下, 可将前r个方程改写为:

方程组 (3) 的一般解公式为:

式子中是把D的第j列换成方程组 (3) 的右端的列所得到的一个r阶行列式, 即:

参考文献

[1]苏德矿, 裘哲勇.线性代数[M].北京:高等教育出版社, 2005, 7.

[2]同济大学应用数学系.数学——线性代数[M].北京:高等教育出版社, 2003.