数量计算公式范文

2024-07-23

数量计算公式范文（精选4篇）

数量计算公式第1篇

1. 引例

( 2013年浙江省五校联考第8题) 已知A,B是单位圆上的两点,O为圆心,且∠AOB = 120°,MN是圆O的一条直径,点C在圆内,且满足 ,则的取值范围是( ) .

A.[-1 2,1) B.[-1,1)

C.[-3 4,0) D.[-1,0)

一般解法摘录如下:

本题求解的关键和难点是向量之间的线性转化,它着重考查了平面向量的基本定理的应用,解题的策略就是对两个无直接关联的平面向量转化为其他平面向量,进而通过数量积运算得出结论.

笔者发现对于解法中的结论: 有其应用的价值,如果对于任意两个共起点的向量的数量积具有一般性,那么上述解法中可以省去向量转化的步骤,而事实上向量的转化正是解答此题的难点和关键所在,往往很多同学都在第一步向量的转化上遇到困难,他们对于的转化未能到位. 我们知道OC可以看作起点到MN中点的距离,r可以理解为1/ 2MN,故猜想平面中共起点的任意两个向量的数量积是否具有一个一般性的公式,即如图: 当M为AB中点时,记PM = d,AB =2r,则共起点的两个向量的数量积:

2. 公式证明

平面内的点P到两个定点A,B的连线向量的数量积 ( 注: d是P到线段AB中点的距离) .

两式相减得:

证法二如图,设P( x,y) ,A( - r, 0) ,B( r,0) ,

至此,新的公式用平面向量的坐标运算很快得到证明. 这对于平面向量的数量积注入了新的几何意义,也为解决一类平面向量数量积的问题提供了捷径.

3. 应用举例

例1如图,线段AB长度为2,点A,B分别在x非负半轴和y非负半轴上滑动,以线段AB为一边,在第一象限内作矩形ABCD,BC = 1,O为坐标原点,则 的取值范围 ______.

解取CD中点F,AB中点E,

又 CD =2,

由以上公式可得:

由题意可得,当如图所示情形时,

又由如图所示可得:

OF≤OE + EF = 2,

∴ OFmax= 2.

若用向量转化或者坐标法,本题的解答过程都较为繁琐,利用以上公式解答本题时可以很好利用CD =2的特征, 使原来求向量数量积的范围的问题转化为求线段OF距离的问题.

例2 ( 2013浙江高考理数第7题) 设△ABC,P 0 是边AB上一定点,满足P 0 B =1 /4AB,且对于边AB上任一点P,恒有 ,则( ) .

A. ∠ABC = 90° B. ∠BAC = 30°

C. AB = AC D. AC = BC

解因为可知最小值在点P 0 处取得.

取BC中点E,由以上公式可得:

又BC为定值,所以当取得最小值时,PE取得最小值.

所以P 0 为线段AB上距离E最近的点,由此EP 0 ⊥AB.

取AB中点F,因为P 0 B =1/ 4AB,可得P 0 为BF中点,所以CF⊥AB,故AC = BC. 选D.

例3 ( 2014温州一模第17题) 平面向量a,b,e满足|e| =1,a·e =1,b·e = 2,| a - b | = 2,则a·b的最小值为 _______.

解记e是x轴正方向的单位向量,由题意作图可得a的终点在直线x =1上,b的终点在直线x = 2上,可知AB的中点在直线x =3 /2上,所以在当AB中点落在M(3/ 2,0) 时,O到线段AB中点的距离d取得最小值dmin=3 /2,又r =1/ 2AB = 1,根据公式得:

数量计算公式第2篇

《用字母表示数量关系和计算公式》教案

教学目标

1．使学生初步理解自己可以表示数，含有字母的式子可以表示数量及简单的数量关系、计算公式，能用含有字母的式子表示数量和简单的数量关系、计算公式；初步学会计算含有字母式子的值；了解含有字母式子的乘法简便写法。

2.使学生经历用字母表示数的抽象过程，体会字母和含有字母的式子是数学表达的重要形式，感受用字母表示数及含有字母的式子表示数量、数量关系和公式具有概况、简洁和明了等优点，初步体验代数思想，培养符号意识和抽象、概括等思维能力。

3.使学生体会数学表达的简洁、清晰，初步了解字母表示数和数量关系对于研究数学问题的作用，进一步感受数学的特点；培养主动思考、回顾反思等学习习惯。

教学重点

学会用字母表示数，用含有字母的式子表示数量或简单的数量关系、公式。

教学难点

理解字母和含有字母的式子表示的实际意义和形成符号意识。

教学方法

总结法、讨论法、小组合作

课前准备

多媒体课件

课时安排

1课时

教学过程

一、谈话导入。

谈话：在以前的数学学习中，我们已经接触过用字母可以表示数，那字母到底能表示哪些数呢？可以怎样用字母表示数，为什么要用字母表示数呢？要了解这些问题，我们就需要学习用字母表示数。（板书课题）

二、启发思考，理解新知

1.学习例1.出示例1三角形图。引导：摆1个三角形用的小棒根数是几个3，是几？摆2个三角形用的小棒根数是几个3，是几？摆3个三角形用的小棒根数是几？那这样摆4个、5个三角形呢？

学生回答后完成填空。

继续这样依次摆三角形，用的小棒根数有什么规律，它跟摆的三角形个数有什么关系？

启发：从这些式子可以看出，小棒的根数可以用三角形的个数乘3表示。在这些表示小棒根数的式子中，哪个数量是变化的，哪个数是不变的？

像这样继续摆下去，这样的式子就可以继续写下去，能写出多少个？那你能想办法用一个式子表示用的小棒根数吗？小组讨论讨论，试着写出一个式子。交流：你想到了用怎样的式子表示小棒的根数？怎样想的？

说明：根据大家的想法，我们可以用一个字母表示三角形的个数，比如用a表示三角形的个数，那小棒的根数就是——。

引导：刚才我们是怎样想到a×3这个式子的呢？请大家阅读课本上例1，一边在（）里填写合适的数或字母，一边回顾这个思考过程。

交流填写结果。

追问：这里的a可以表示哪些数？这时a×3表示什么数量？

说明：a表示三角形的个数，它就可以表示1、2、3、4„„这些自然数，可见字母可以表示变化的数。这时a×3就表示小棒的根数。

追问：那三角形的个数是几个就是几个，为什么又要用字母a表示呢？和上面这些用数表示的式子比一比，你觉得有什么好处？

说明：用字母表示数，可以概括所有摆法，既简洁又清楚。（板书：概括简洁清楚）

2.学习例2.（1）出示例2，让学生说说公路长度，用式子表示什么数量。

提问：已经行驶了50千米，剩下的千米数用什么式子表示？

根据其余两个条件，能用式子表示剩下的千米数吗？请你在课本上填一填。

交流：你是怎样分别写出剩下千米数的两个式子的？

提问：这些式子都表示什么数？数量关系是怎样的？这里哪个数量是不变的，哪个数量是变化的？

那这里式中的字母b可以表示哪些数？整数可以吗？小数或分数呢？B表示的千米数能大一些或者小一些吗？这个式子又表示怎样的数量关系呢？

（2）追问：按照这样的认识，你能说说b可以表示多少千米吗？

指出：字母式子280-b就代表剩下的千米数。当b的值确定，式子也就有唯一确定的值。

3.学习例3.（1）引导：用含有字母的式子不仅可以表示数量关系，还能表示计算公式。请大家看例3.出示例题，让学生读一读要求。

要求独立写出正方形的周长和面积公式。交流：你是怎样写出公式的？这里的字母式子表示的什么内容？

（2）像这里公式中的a×4和a×a，还有简便写法，请大家到课本看一看，了解含有字母的乘法式子的简便写法。

学生自学阅读，教师巡视。

提问：你明白怎样写了吗？

三、练习巩固，加深认识。

1.完成练一练

（1）做第1题。

让学生在课本上用简便方法改写。

交流改写结果，有错的说明错误并订正。

（2）做第2题。

让学生读题，独立完成。

交流：你怎样填写的？A表示谁的岁数，A+28呢？A可以表示哪些数？

当玲玲5岁时妈妈多少岁？玲玲10岁时妈妈多少岁？玲玲20岁时呢？

用字母A表示数有什么好处？

（3）做第3题。

让学生写出长方形面积公式，并交流板书。

提问公式里的字母各表示什么意思。

2.做练习十八第1题。

让学生用字母式子填写总价。

交流：你是怎样填写笔记本的总价的？Ab表示的什么意思？A和b可以是哪些数？

3.做练习十八第2题让学生看图填写路程的米数。交流填写的米数。

提问：这里x表示什么，y表示什么？ 4.做练习十八第3题。学生填空。

交流：你是怎样填的？为什么要这样填？

四．全课总结，拓展视野。

1.课堂总结：你现在对用字母表示数有哪些认识？还有哪些收获或体会？

清官价值的计算公式第3篇

清官值多少钱？本文试图找出一种计算公式。

嘉靖三十七年（1558年），海瑞在浙江省淳安县当县长。他本着儒家教条主义的精神，一丝不苟地照章办事，把招待上级领导和同僚过客的费用压回到合乎文件规定的水平上。

海瑞上任前，淳安每年向老百姓征收12950两银子，这笔钱主要用于本县的招待费，还要分摊上级政府的招待费。海瑞上任后，经过大力整顿，削减不符合政策规定的开支，拒付上级政府摊派的费用，淳安每年向百姓征收的银子下降到925两，相当于原额的7%。

仅此一项，海瑞每年为当地群众减轻不合理负担12025两银子。以粮价折算，约等于325万元人民币。

海瑞认为这还不够理想，在理想状态下，只收92.5两就够了。那么，超过这个数字的部分，即12950-92.5=12857.5两银子/年，均属不合理负担。

由此可见，海瑞这位大清官的价值至少是325万元/年。“至少”的意思是：第一，海瑞可能继续前进，把剩下的925两再减至92.5两，每年再为淳安人民减轻832.5两银子的不合理负担。于是，他本人对淳安人民的价值，也将从325万元提高到347.5万元。第二，这里没有计入的其他价值，譬如榜样力量的价值，譬如节省陪客时间和催征时间，集中精力为人民服务的价值，等等。

如果更准确地表达上述意思，应该说：明朝嘉靖年间，在淳安这块地方，海瑞这种级别的清官，对当地百姓的直接经济价值为+325万元/年。

加“+”号是非常必要的，因为，对官僚集团来说，海瑞的价值恰好是上述数值的负数。百姓的收入正是他们的亏损。

如何从上述数字中抽出一般性的公式呢？

清官的直接经济价值，取决于偏离正式规定所搜刮的财富的价值，例如淳安过去实收的12950两减去理想状态的92.5两，等于12857.5两银子/年。当然还要打个折扣。清官的强度是有差别的，海瑞如此强悍，也未能把多收的每年12857.5两银子（347.5万元）全部减掉，他减去了12025两（325万元），纠偏强度达到93.5%。

總之，违规搜刮越重，清官的价值越大；纠偏强度越高，清官价值越高。清官的价值=偏离正式规定搜刮的价值×清官的纠偏强度。这就是清官价值的计算公式。

二

算出了清官的价值，就可以预测平民百姓热爱清官的程度，也可以预测贪官污吏厌恶清官的程度。

仍以海瑞为例。当他在省部级领导的岗位上重犯教条主义老毛病的时候，不过一年，就让“百司惴恐，多患苦之”，引发了官僚集团的大规模攻击和嘲笑，使他感觉到“窝蜂难犯”。

次年，海瑞死在任上，百姓的反应是“小民罢市”。灵柩经水道还乡，人们穿着白色衣冠夹岸送行，酹酒痛哭，“百里不绝”。

抄录《明史•海瑞列传》这几句话的时候，我也受到先民感染，为古人一哭，为小民深知清官的价值却无从购买而哭。