极限思想范文

2024-08-02

极限思想范文（精选12篇）

极限思想第1篇

极限是数学中极其重要的概念之一, 极限思想是从有限中认识无限, 从近似中认识精确, 从量变中认识质变的一种数学方法, 是人们认识数学世界、解决数学问题的重要武器.运用极限思想来解决某些中学数学题十分简单.兹举几例.

一、在不等式中的应用

例1 下列各式对任意x∈ (1, a) 成立的是 ( )

(A) loga (logax) <logax2< (logax) 2

(B) loga (logax) < (logax) 2<logax2

(D) (logax) 2<loga (logax) <logx2

解:当x→a时, logax→1, logax2→2, loga (logax) →0, (logax) 2→1.

故选 (B) .

二、在数列中的应用

例2 数列{an}中, $a_{1} = 2, a_{n} = \frac{1}{2} (a_{n - 1} + \frac{3}{a_{n - 1}})$ , 则 $\lim_{n \to \infty} a_{n} =$ __.

解:因为a1=2, 所以 $a_{n} = \frac{1}{2} (a_{n - 1} + \frac{3}{a_{n - 1}}) > 0 .$

因为 $\lim_{n \to \infty} a_{n} = \lim_{n \to \infty} a_{n - 1}$ , 设 $\lim_{n \to \infty} a_{n} = A$ , 则 $A = \frac{1}{2} (A + \frac{3}{A})$ , 解得 $A = \sqrt{3}$ , 故 $\lim_{n \to \infty} a_{n} = \sqrt{3} .$

三、在三角中的应用

例3 对任何 $θ \in (0, \frac{π}{2})$ 都有 ( )

(A) sin (sinθ) <cosθ<cos (cosθ)

(B) sin (sinθ) >cosθ>cos (cosθ)

(D) sin (cosθ) <cosθ<cos (sinθ)

解:当θ→0时, sin (sinθ) →0, cosθ→1, cos (cosθ) →cos1, 帮排除 (A) 、 (B) .

当 $θ \to \frac{π}{2}$ 时, cos (sinθ) →cos1, cosθ→0, 故排除 (C) .因此选 (D) .

四、在立体几何中的应用

例4 如图1, 在三棱锥S-ABC中, SA=SB=AB=AC=BC=1, 则B、C两点间距离的取值范围为__.

解:当半平面SAB与半平面ABC趋近重合时, 则S、C两点间距离趋近0, 当半平面SAB与半平面ABC趋近“展平”时, 则S、C两点间距离趋近 $\sqrt{3}$ .故S、C两点间距离的取值范围为 $(0 ‚ \sqrt{3}) .$

例5 以一圆台的下底面为底面, 上底面圆心为顶点的圆锥, 它的体积与圆台的体积之比的取值范围为__.

解:当上底面直径与下底面直径无限接近时, 圆锥的体积与圆台的体积之比趋近 $\frac{1}{3} .$

当上底面直径无限接近0时, 圆锥的体积与圆台的体积之比趋近1.

故圆锥的体积与圆台的体积之比的取值范围为 $(\frac{1}{3} ‚ 1) .$

例6 设三棱锥的四个面的面积分别为S1, S2, S3, S4, 它们中的最大的一个为S, 记 $λ = \frac{S_{1} + S_{2} + S_{3} + S_{4}}{S}$ , 则λ一定满足 ( )

(A) 2<λ≤4 (B) 3<λ<4

解:首先考虑一个特殊情形.当三棱锥是一个正四面体时, 四个面的面积相等, 即S1=S2=S3=S4, 这时有λ=4.

再考虑一个极限情形, 设S1, S2, S3, S4, S4最大, 即S4=S, 当高h→0时, S4=S, S1+S2+S3→S, 这时有λ→2, 故选 (A) .

五、在解析几何中的应用

例7 求与圆x2+y2-4x-2y-20=0切于点A (-1, -3) , 并且过B (2, 0) 的圆的方程.

解:视A (-1, -3) 为点圆 (x+1) 2+ (y+3) 2=0, 则所求圆的方程为x2+y2-4x-2y-20+λ[ (x+1) 2+ (y+3) 2]=0.

将B (2, 0) 代入解得 $λ = \frac{4}{3}$ , 故所求圆的方程为7x2+7y2-4x+18y-20=0.

例8 如图2, 椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的切线交x轴于A, 交y轴于B, 则|AB|的最小值 ( )

$\begin{array}{l} (A) a + b \\ (B) 2 \\ (C) \sqrt{2 a b} (D) 4 \sqrt{a b} \end{array}$

解:当a、b无限趋近1时, 椭圆无限趋近单位圆x2+y2=1, 如图2, |AB|2=|OA|2+|OB|2≥2|OA|·|OB|=2|OC|·|AB|, 所以|AB|≥2|OC|=2, 故选 (B) .

例9 已知a>0, 过M (a, 0) 任作一条直线l交抛物线y2=2px (p>0) 于P、Q两点, 若 $\frac{1}{| Μ Ρ |^{2}} + \frac{1}{| Μ Q |^{2}}$ 为定值, 则a= ()

解:当直线l的方程为x=a时, $\frac{1}{| Μ Ρ |^{2}} + \frac{1}{| Μ Q |^{2}} = \frac{1}{p a}$ ;当直线l无限趋近x轴时, $\frac{1}{| Μ Ρ |^{2}} + \frac{1}{| Μ Q |^{2}}$ 无限趋近 $\frac{1}{a^{2}}$ .故选 (D) .

六、在求曲边形面积中的应用

例10 抛物线 $y = b (\frac{x}{a})^{2}, x$ 轴及直线AB:x=a围成了如图3所示阴影部分, AB与x轴交于A, 把线段OA分成n等份, 如图4作以 $\frac{a}{n}$ 为底的内接矩形, 阴影部分的面积S等于当n→∞时这些内接矩形面积之和的极限值, 则S=__.

解:设第k (k=1, 2, 3, …, n) 个矩形的面积为ak, 内接矩形面积之和为Sk, 则

$\begin{array}{l} a_{k} = \frac{a}{n} \cdot b (\frac{\frac{(k - 1) a}{n}}{a})^{2} = \frac{a b (k - 1)^{2}}{n^{3}} . \\ S_{3} = \frac{a b}{n^{3}} \cdot [1 + 2 + \dots + (n - 1)^{2}] = \frac{a b n (n - 1) (2 n - 1)}{6 n^{3}} . \end{array}$

所以 $S = \lim_{n \to \infty} S_{n} = \frac{a b}{3} .$

极限思想第2篇

谷亮

（辽宁铁道职业技术学院辽宁锦州 121000 中国）

摘要：极限是高等数学最基本的概念之一，极限思想是近代数学的一种很重要的数学思想，是用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想，本文从极限的定义、极限思想的价值、教学中如何渗透极限思想几个方面进行了简要论述。

关键词：高等数学，极限，极限思想、教学

一、极限的概念

1、数列极限：设{xn}为一个数列，a为一常数，若0，总存在一个正整数N，使得

limxnaxna{x}nNn当时，有，称a是数列的极限。记作n

2、函数极限：设函数f(x)在点a的某去心邻域内有定义，A为一常数，若0，总存在一个正数，使得当的极限。记作xa0xa。

时，有

f(x)A，称A是当x趋向于a时函数f(x)limf(x)Axa,xa,x,x，极限的定义类似。自变量变化过程还包括：在数学发展的过程中,出于不同需要,还引进了不同意义下的极限概念,比如在集论中引进了集列的上、下极限的概念,在无穷级数论中引进级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及在函数逼近论中引进了一致逼近、平均逼近等的极限概念.无论怎样定义，其本质都是一样的，都是从有限观念发展到无限观念的过程。

二、极限思想的价值

极限思想揭示了变量与常量、无限与有限的关系，通过极限思想，我们可以从有限来认识无限，以直线近似代替曲线，以不变认识变化，从量变认识质变。因此，极限思想具有由此及彼的创新作用，极限思想方法也广泛用于微分方程、积分方程、函数论、概率极限理论、微分几何、泛函分析、函数逼近论、计算数学、力学等领域。

生活中也有这样的例子：一张饼，第一天吃它的一半，第二天吃它的一半的一半，第三天吃它的一半的一半的一半，„„如此这样，这张饼能吃得完吗？显然是永远吃不完的，虽然饼越来越小，但还是有的。只能说，这张饼的极限为零，但绝不是零。这就是一种极限思想的具体写照。

极限思想不仅非常重要，它也是学生难以理解掌握的重要概念，它贯穿整个数学体系，是一种非常重要的数学思想，它是人类发现并解决数学问题的非常重要手段，它能很好地展现出数学的思维之美，在高等数学的教学过程中起着相当重要的作用，恰当的应用极限思想不仅可以将一些问题简化，开辟解决问题的新途径，通过分析、总结、归纳得出极限概念中各变量具有的变化特征和内在练习，分析变化过程中的各种规律，还可以培养学生的数学思维，提高学生解决问题的素质能力，因此，使学生能够灵活运用极限思想有重要的意义。

三、将极限思想渗透到课堂教学中

1、课堂上介绍一些体现极限思想的典故

比如，中国古代的哲学家庄周在《庄子天下篇》中说:“一尺之棰,日取其半,万世不竭”，将木棰长度的变化归结为一个无限的过程中去研究，我国古代数学家刘徽割圆术中“割之弥细,所失弦少,割之又割,以至于不可割,则与圆合体而无所失矣”，他用圆的内接正n边形的边长代替圆的周长,n越大,正n边形的边长就越接近圆的周长，这都蕴涵了极限思想。通过这些有趣的小故事，小典故，不仅让学生回顾历史，从中体验和感受极限思想的妙处，还能激发学生学习高数的兴趣和积极性。

2、讲授新知识时渗透极限思想

在教学中，讲授新知识的同时体现极限思想，这样可以使学生对新知识有一个更好更深入的的理解，达到很好的教学效果。在教学中能够渗透极限思想的地方有很多，比如求曲线上任一点的切线斜率、圆面积、变速运动物体的瞬时速度、曲边梯形面积、曲顶柱体的体积等都是通过这种极限思想得以引入课题并解决问题的，还有空间集合体中圆柱、圆锥之间相互转化，圆锥是圆柱的上底逐渐缩小的一种极限状态，也体现了一种动态的极限思想。

3、体现极限思想的数学概念

高等数学中的许多概念都是利用极限来描述的，体现极限思想的数学概念比比皆是，不胜枚举，下面就举几个这样的例子：（1）函数连续的概念中就用到极限式：

xx0limf(x)f(x0)

（2）导数的概念中有极限式：

f(x0)limf(x0x)f(x0)ylimx0xx0x

（3）定积分的概念也是通过分划、取近似、求和、取极限得到的：abbf()xf(x)dxlim0ii1bbni

（4）无穷区间上的广义积分的定义也是通过有限区间的定积分取极限得到的：af(x)dxlimf(x)dxba，bbf(x)dxlimaf(x)dxa，0af(x)dxlimf(x)dxlimf(x)dxa0

（5）级数的收敛性也是用极限式定义的：若级数

un1nlimsns{s}n的部分和数列的极限n存在，称级数un1n为收敛的，否则该级数称为发散的。

（6）无穷小的定义也是用极限来描述的：若有xalimf(x)0，称f(x)为此自变量的变化过程中的无穷小量。

（7）二元函数f(x,y)在有界闭区域D上的二重积分的定义也用到了极限，f(x,y)dlimf(,)Dd0iii1ni

（8）二元函数f(x,y)在曲线L上的第一型曲线积分也是用极限定义的：Lf(x,y)dslimf(i,i)sid0i1n

（9）多元函数偏导数也是用极限来定义的，以二元函数为例，f(x,y)关于x的偏导数为：

f(x0x,y0)f(x0,y0)flimx(x0,y0)x0x，关于y的偏导数类似。

4、解决问题时利用极限思想

高等数学中的许多问题都是通过极限的思想方法来解决的，下面简单的举两个例子。（1）如何求平面上曲边梯形的面积？

计算梯形的面积公式是我们所熟知的，但曲边梯形面积是不能依此求得的，可以通过极限思想方法，利用无限分割，以直代曲、用无数个小矩形面积无限逼近曲边梯形的面积通过取极限最终来解决这个问题；（2）如何求圆面积？

我们可以设定情境，就是在不知圆面积公式的情况，是怎么考虑圆面积的，当然，也是利用极限思想方法，通过圆内接正多边形，无限增加内接正多边形的边数，利用内接正多边形的面积无限逼近圆面积的方法来解决的；

除了上述两个问题，还有解决物体的瞬时速度、平面曲线的弧长、曲顶柱体的体积等问题都是利用极限思想方法来解决的。教师可以在教学中恰当选取问题，让学生逐步紧跟教师思路，利用极限思想一步一步解决问题，不仅是教学效果事半功倍，还能增加学生对数学的学习兴趣，提高学生用极限思想方法解决相关问题的能力。

四、结束语

综上所述，极限思想是高等数学教学中的重点与难点，贯穿于整个高等数学体系，在教学中教师要有意识的将极限思想渗入其中，通过恰当的方法让学生更好的理解极限的概念和极限的思想方法，让学生体会到极限思想的作用和妙处，体会“以直代曲、化零为整、化圆为方、以不变代变、以有限找无限”等的极限思想，培养学生对数学的学习兴趣，提高学生应用数学知识，利用极限思想方法解决各种问题。

参考文献：

极限的方法及哲学思想第3篇

关键词：极限概念；极限思想；对立统一

一、极限的概念与方法

极限理论是微积分学的基础理论，它贯穿整个微积分学.极限的描述性定义是当自变量无限增大（无限减小或者和某个常数无限接近）时，函数值和某个常数无限接近，以数列为例：“如果当n无限增大时，an无限地接近于常数A，那么就说an以A为极限.”这种描述性语言，人们容易接受，现代一些初等的微积分读物中还经常采用这种定义.但是，这里的无限增大、无限接近是一个模糊概念，该定义没有定量地给出两个“无限过程”之间的联系，不能作为科学论证的逻辑基础.“如果对任何ε＞0，总存在自然数Ｎ，使得当ｎ＞Ｎ时，不等式｜an－Ａ｜＜ε恒成立.”而ε－Ｎ定义，虽然术语抽象，符号陌生，但它是从数量角度给出的准确的定义.

所谓极限法，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学方法.极限法的一般步骤可概括为：对于被考察的未知量，先设法构思一个与它有关的变量，确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量；最后用极限计算来得到这结果.极限法不同于一般的代数方法，代数中的加、减、乘、除等运算都是由两个数来确定出另一个数，而在极限法中则是由无限个数来确定一个数.很多问题，用常量数学的方法无法解决，却可用极限法解决.

就像坐标法是解析几何的基本方法一样，极限法是微积分的基本方法，微积分中的一系列重要概念，如函数连续性、导数以及定积分等等都是借助于极限法定义的.如果要问：“微积分是一门什么学科？”那么可以概括地说：“微积分是用极限法来研究函数的一门学科.”

极限法的思想可以追溯到古代.刘徽的割圆术就是建立在直观基础上的一种原始极限观念的应用.古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想，极限法在现代数学乃至物理等学科中有广泛的应用，这是由它本身固有的思维功能所决定的.极限法揭示了变量与常量、无限与有限的对立统一关系，是唯物辩证法的对立统一规律在数学领域中的应用.借助极限法，人们可以从有限认识无限，从“不变”认识“变”，从直线形认识曲线形，从量变认识质变，从近似认识准确.

二、极限的哲学思想

1.极限思想是变与不变的对立统一.“变”与“不变”反映了客观事物运动变化与相对静止两种不同状态，不变是相对的，变是绝对的，但它们在一定条件下又可相互转化.例如，平面内一条曲线C上某一点P的切线斜率为kp.除P点外曲线上点的斜率k是变量，kp是不变量，曲线上不同的点对应不同的斜率k，斜率k不可能等于kp，k与kp是变与不变的对立关系；同时，它们之间也体现了一种相互联系相互依赖的关系.当曲线上的点无限接近P点过程中，斜率k无限接近kp，变化的量向不变的量逐渐接近.当无限接近的结果产生质的飞跃时，变量转化为不变量，即“变”而“不变”，这体现了变与不變的统一关系.

2.极限思想是过程与结果的对立统一.过程和结果在哲学上是辩证统一的关系，在极限思想中也充分体现了结果与过程的对立统一.在上例中，当曲线上的点无限接近点P的变化过程中，k是变化过程，kp是变化结果.一方面，无论曲线上点多么接近点P，都不能与点P重合，同样曲线上变化点的斜率k也不等于kp，这体现了过程与结果的对立性；另一方面，随着无限接近过程的进行，斜率k越来越接近kp，二者之间有紧密的联系，无限接近的变化结果使得斜率k化为kp，这体现了过程与结果的统一性.所以，通过研究曲线上点斜率k的变化过程得到P点的斜率kp是过程与结果的对立统一.

3.极限思想是有限与无限的对立统一.在辩证法中，有限与极限是对立统一的.无限与有限有本质的不同，但二者又有联系，无限是有限的发展，同时借助极限法，从有限认识无限.例如，在极限式xn→，n→∞中xn对应数列中的每一项，这些不同的数值xn既有相对静止性，又有绝对的运动性.数列中的每一项xn和a是确定不变的量，是有限数；随着n无限增大，有限数xn向a无限接进，正是这些有限数的xn无限变化，体现了无限运动的变化过程，这种无限运动变化结果是数值.因此在极限思想中无限是有限的发展，有限是无限的结果，他们既是对立又是统一的.

4.极限思想是近似与精确的对立统一.近似与精确是对立统一的关系，在一定条件下可相互转化，这种转化是理解数学运算的重要方法.

在极限抽象的概念中，引入实例如“圆内接正多边形面积”，其内接多边形面积是该圆面积的近似值，当多边形的边数无限增大时，内接多变形面积无限接近圆面积，取极限后就可得到圆面积的精确值，这就是借助极限法，从近似认识精确.又如在极限式xn→a，n→∞中，当n无限增大时，数列的项x1，x2，...，xn...反映变量xn无限的变化过程，而a映了变量xn无限变化的结果，每个xn都是a的近似值，并且当n越大，精确度越高；当n趋于无穷时，近似值xn转化为精确值a.虽然近似与精确是两个性质不同、完全对立的概念，但是通过极限法，建立两者之间的联系，在一定条件下可以相互转化.因此，近似与精确既是对立又是统一的.

5.极限思想是量变与质变的对立统一.在唯物辩证法中，任何事物都具有质和量两个方面，都是质和量的统一体.质是指事物成为它自身并区别于其他事物的内在规定性，量是指事物存在的规模、发展程度和速度，以及它的构成成分在空间上的排列组合等可以用数量来表示的规定性.量变和质变既有区别又有联系，两者之间有着辩证关系.量变是质变的准备，量的变化达到一定的度，就不可避免地引起质变，只有质的变化才是事物根本性质的变化，量变质变规律在数学研究工作中起重要作用.对任何一个单位圆的内接正多边形，事物的质是圆的内接多边形，量是内接多边形的边数，当边数无限增加，得到的仍是圆内接正多边形，是量变，不是质变，量变体现事物发展的连续性，在事物量变过程中，保持事物本身质的稳定性.但当边数增加的无限过程中，由于量的动态变化，多边形越来越接近圆，为质变创造条件，多边形面积就变转化为圆面积，促进量质转化，达到矛盾统一.

6.极限思想是否定与肯定的对立统一.任何事物的内部都包含着肯定因素和否定因素，都是肯定方面和否定方面的对立统一.单位圆和它的内接正多边形分别是两个事物的对立面，内接正多边形是事物对自身的肯定，其中也包含着否定，这种内在的否定因素是通过圆内接正多边形边数的改变而体现的.随着圆内接正多边形的边数逐渐增加至无穷时，内接多边形的面积转化为该单位圆的面积，促使该事物转化为自己的对立面，由肯定达到自身的否定，这体现了否定与肯定的对立；圆的内接正多边形和圆虽是两个对立的事物，但是二者之间有紧密的联系，圆内接正多边形的面积可以转化为圆的面积，而单位圆是通过逐步增加内接正多边形的边数来实现的，从而建立了这二者的联系，体现了否定与肯定的统一.

极限思想贯穿唯物辩证哲学的范畴，它揭示了变与不变、过程与结果、有限与无限、近似与精确、量变与质变的对立统一.在理解极限思想时必须把单一、封闭、静态的形式逻辑思维提高到多维、开放、动静态相结合的辩证逻辑思维.数学思维与哲学思想的融合是学好数学的高层次要求，领悟数学思维中的哲学思想和在哲学思想的指导下进行数学思维，是提高学生数学素养、理解数学知识，培养学生数学能力的重要方法和手段.

参考文献：

[1]周述岐.数学思想和数学哲学[M].北京：中国人民大学出版社，1993.

[2]沈长华.微积分概念的发展及其哲学解析[D].兰州大学硕士学位论文，2007：10-15.

[3]吴振英，陈湛本.论极限的思想方法[J].广州大学学报，2003，（10）：410-412.

[4]王娟.微积分教学中哲学思想的渗透[J].高等函授学报，2007，（12）：8-10.

[5]白淑珍.对极限思想的辨证理解[J].中国校外教育，2008，（2）：39-40.

数学教学应渗透极限思想第4篇

在数学教学中, 有些数学概念的形成、共识的推导学生很难理解, 由于学生的年龄和认识结构所限, 教材又不能对过深的要求加以叙述, 故而学生对这部分的内容难以理解。这就要求我们教师要有较高的数学素养, 在教学中适当地渗透极限思想, 运用这种思想来解释中学数学教学中的某些概念、理解共识的推导过程、解决某些实际问题。这样不仅使学生加深对数学知识的理解与掌握, 而且有助于培养学生的创新意识, 提高其分析问题和解决问题的能力。

一、对概念的理解

在中学数学中, 有许多地方都接触到了有关“无限”的概念。例如, 几何中的直线、平行线、射线、平面、圆内接正多边形等。

代数中的无限小数、无理数、反比例函数的图像等, 特别是在讲到数列一章时, 我们要研究数列趋向。求有规律数字的和等, 在进行这些概念的教学时, 教师恰到好处地渗透极限思想, 有助于对这些概念的理解。

二、对公式的理解

1. 圆面积公式的推导。

圆面积公式是学生必须掌握的重要内容之一, 公式的推导也是不可缺少的重要内容。

2. 对循环小数化分数的理解。

(1) 化混循环小数为分数:从第二个循环节前面数中减去不循环数, 将所得的差作分子, 照循环节的位数写相同个数的9, 后面找不循环节的位数写相同个数的0, 将这个数作为分母。如, 。

(2) 化混循环小数为分数:将一个循环节的数作为分子, 用和循环节位数相同的若干个9排列起来作为分母。如, 。

10专题十数列极限与函数极限第5篇

华中师大一附中孟昭奎

专题十数列极限与函数极限

一、选择题

(1x)mab，则a·b=（）1．（2008年高考·湖北卷）已知m∈N, a、b∈R，若lim n0x

A．-mB．mC．-1D．1 *

2．lim(n1

4A．1 111)的值为（）464684682n1111B．C．418D．11 24

x32xa2(x1)3．若函数f(x)15a在点x=1处连续，则实数a=（）(x1)3x

1A．4B．-14C．4或-14 D．1或-4 4

4．下列命题：①发果f(x)=1，那么limf(x)=0；②如果f(x)=x1，那么f(x)=0；③如xx

x22xx,x0果f(x)=，那么limf(x)不存在；④如果f(x)，那么limf(x)=0，其中真x2x0x2x1,x0

命题是（）

A．①②B．①②③C．③④D．①②④

ax2bx3cx3bxccxa1，则lim5．设abc≠0，lim的值等于（），limxaxbxbx3cx2a3xbx2c4

419 A．4B．C．D． 944

an1abn126．设正数a, b满足lim(x+ax-b)=4，则lim等于（）nax22b11 A．0B．C．D．1 4

27．把1+(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)n展开成关于x的多项式，其各项系数和为an，则lim等于（）

A．2an1na1n14B．12C．1D．2

二、填空题

8．已知数列的通项an=-5n+2，其前n项和为Sn，则lim

9．lim(x2Sn=________． nn241)=________． x24x

2专题十数列极限与函数极限

2012年高考复习资料—第二轮复习专题练习题

华中师大一附中孟昭奎

10．（2008年高考·安徽卷）在数列{an}中，an=4n-5, a1+a2+…+an=an2+bn, n∈N*，其中a, b2

anbn

为常数，则limn的值为__________． nabn

ex1,(x0)11．关于函数f(x)(a是常数且a>0)．下列表述正确的是_________．（将你2ax,(x0)

认为正确的答案的序号都填上）

①它的最小值是0

②它在每一点处都连续

③它在每一点处都可导

④它在R上是增函数

⑤它具有反函数

12．如图所示，如果一个凸多面体是n棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有_______条．这些直线中共有f(n)对异面直线，则f(4)=_______;f(n)=_______．（答案用数字或n的解析式表示）

三、解答题

1x(x0),13．已知f(x) xabx(x0).

（1）求f(-x)；（2）求常数a的值，使f(x)在区间(-∞, +∞)内处处连续．

14．已知{an}, {bn}都是公差不为0的等差数列，且limanaa2an2，求lim1的值． nbnnbn2n

15．已知数列{an}中a1=2, an+1=(2-1)(an+2), n=1, 2, 3, …．

（1）求{an}的通项公式；（2）若数列{bn}中b1=2, bn+1=3bn4, n=1, 2, 3, …．

极限思想第6篇

【2016年全国卷理7】函数y=2x2-e|x|在[–2，2]的图像大致为（）

【评析】本题的得分率较低，很容易选错.首先，不少同学考虑用特殊值法，将x=0代入，发现没有作用，继而把x=2代入，得y=8-e2，部分同学记得e≈2.7，求得y>0，排除了A.而剩下的B，C，D就没有什么办法去筛选了.包括常用的函数性质奇偶性和单调性也不起作用.很多同学这时候已经束手无策了！这时我们可以研究一下函数的导数，当x>0时，y′=4x-ex，由y=4x和y=ex的图像可知有两个交点，即当x>0时，y有两个极值点，第一个介于0.5～1之间，因此选B.

实际上，超越函数的图像客观题看起来没有规律，然而通过探索发现，基本可以通过以下三步去解决：

第一. 用函数的奇偶性和单调性（导数）进行筛选.

第二. 代入特殊值进行筛选.常代x=0和x=1.

第三. 用“极限”的思想去筛选.

注意：1.以上三步并无固定的顺序，可根据题目的特点灵活选择先用哪一步，后用哪一步.

2. 第一和第二步是同学都较熟悉的方法，接下来重点帮助大家掌握第三步，即如何运用“极限思想”去筛选，熟悉掌握后往往收到十分奇妙的效果.请看以下例题：

示例1. 函数f（x）=2x-tanx在（-，）上的图像大致为（）

【评析】法一：奇偶性方面考虑，易知函数为奇函数，从而排除B，C. 单调性方面：f′（x） =2-=2-==，当x∈（0，），令f′（x） >0，得x∈（0，），因此单调递增区间为x∈（0，），单调递减区间为x∈（，），从而排除选项A，得到答案为D.

法二：然而当我们用极限的思想去研究时，则解决问题更为快捷：当x 无限趋近于时，tanx 趋近于正无穷大，2x趋近于π，这时f（x）=2x-tanx 趋近于负无穷大，从而排除A，B. 同理，当x 无限趋近于-时，2x 趋近于-π，tanx 趋近于负无穷大，这时f（x） =2x-tanx 趋近于正无穷大，从而排除选项C，答案为D.

比较以上两种解法，用极限的方法的优点是用时短、运算量少、正确率高.

示例2. 函数y=的图像大致为（）

【评析】用极限方法，先考虑当x无限趋近于正无穷大时，3x 趋近于正无穷大，-1≤sin（+4x）≤1，9x也趋近于正无穷大且比3x 增长得快，因此趋近于零，从而排除选项C. 然后考虑当x从右边无限趋近于零时，3x趋近于1，sin（+4x）趋近于—1，9x趋近于1，因此3xsin（+4x）趋近于—1，9x-1趋近于零，因此趋近于负无穷大，从而排除选项A，D. 答案为B.

本题也可以通过考虑奇偶性和单调性等性质解题，但过程较为复杂，运算量较大，用时较长，不如用极限方法快捷简单.请同学们动手体会一下.

示例3. 函数f（x）=2x+sinx的部分图像可能是（）

【评析】用极限方法，先考虑当x无限趋近于正无穷大时，2x趋近于正无穷大，-1≤sinx≤1，因此2x+sinx趋近于正无穷大，从而排除选项B，C. 然后考虑当x从右边无限趋近于零时，2x趋近于零且大于零，sinx也趋近于零且大于零，因此f（x）=2x+sinx趋近于零且大于零，从而排除选项D，答案为A. 以上方法运算量接近于零，用时少，优势十分突出.

示例4. 函数y=的图像大致为（）

【评析】用极限方法，先把函数进行变形：y==，然后考虑当x无限趋近于正无穷大时，e2x趋近于正无穷大，y=趋近于1，因此排除选项B，D. 再考虑当x无限趋近于零，e2x趋近于1，e2x+1趋近于2，e2x-1趋近于零，因此y=趋近于无穷大. 排除选项C，答案为A.

【总结】1. 极限方法比传统方法有明显优势，同学们应熟练掌握操作步骤，优先考虑，可以起到节省时间和提高正确率的作用.

2. 极限方法和传统方法并不冲突，而是相辅相成的关系，在解题中可以灵活选用，达到取长补短的目的.

极限思想下的是非观第7篇

如用多边形面积计算公式求圆的面积。圆的内接正六边形的面积是圆面积的一个近似, 而圆的内接正十二边形的面积更接近圆的面积。圆的内接正二十四边形, 四十八边形……, 随着边数的增加, 内接正多边形的面积就可以充分地接近圆的面积。穷竭法的基本思路可以概括为:先从有限边数的多边形面积计算中发现内接正多边形面积与圆的面积之间的关系, 再把这种关系推广到边数无限大时的情况, 用一个边数无限大的内接正多边形的面积去近似圆的面积。

古希腊天文学家、数学家欧多克斯 (约前400年—前347年) 首创穷竭法, 并成功证明出两圆面积比等于半径平方之比, 两球体积比等于半径立方之比, 棱锥或圆锥的体积等于同底同高的棱柱或圆柱体积的1/3。阿基米德 (前287年—前212年) 进一步发展了穷竭法, 使其更成熟、更广为人知。在《圆的测定》一文中, 阿基米德借助圆内接和外切正96边形得到圆周率的一个近似值在西方称这个数为阿基米德数。700年后, 中国数学家祖冲之 (429年—500年) 计算出一个更精确的值, 3.1415926<<3.1415927, 所采用的方法也是穷竭法。而真正把穷竭法发挥到极致的是十七世纪的数学家。经过大小几十位数学家大量的基础工作后, 最终由柯西 (1789年—1857年) 和魏尔斯特拉斯 (1815年—1879年) 使极限思想成为系统严谨的科学[2]。借助这一深刻的数学理论, 微积分这座宏伟的高楼大厦才得以拔地而起!

穷竭法包含的近似 () 、无限接近 (→) 在极限的定义中都有相应的体现。而极限思想的建立, 实际从根本上修改了穷竭法。虽然两者的基本过程都是先从已知的有限情况中确定规律 (=) , 然后把这个规律应用到无限, 但侧重点是不同的。穷竭法强调如何从有限的情况中找规律, 而在把规律应用到无限时显得有些粗略, 甚至有些冒然行事。虽然这在大多数情况下是可行的, 但是如果注意到量变的积累可能会引发质变的事实, 则这种应用就具有明显的危险性。穷竭法不能回答什么时候“至于不可割”, 也无法准确把握如何才是“无所失”。与穷竭法不同, 极限的定义更多关注无限时的状态, 并且以精确的量 (, ) 来控制这一过程。

导数是微积分中最基本最核心的概念。微分和积分的概念都是建立在导数的基础上, 而导数是用极限来精确定义的。可以说, 如果抽掉极限的概念, 整座微积分的大厦就会轰然倒下, 不复存在!

贝克莱 (1685年—1753年) , 爱尔兰科克郡的主教, 1734年在《分析学家;或一篇致一位不信神数学家》一书中公开质问:计算极限时, 在中让△做分母, 这说明△不等于零;而在最后的结论中又因为△等于零把它舍去。那么, 这个△究竟等于零, 还是不等于零?

贝克莱攻击的是微积分的基础。如果导数的定义是不严密的, 甚至是错误的, 那么一切都无从谈起。虽然数学家们纷纷撰文反击贝克莱, 但是由于极限思想还没有最终建立起来, 在当时没有人能给出令人信服的回答, 由此引发了震惊数学界的第二次数学危机[3]。

通常意义的“相等”被理解为理论上的分毫不差, 正如36=36一样。这是初等数学的思路。高等数学是研究“无限”的学科, 而“无限”才是现实世界的真实面貌[4]。自然界的任何事物, 简单到一支铅笔的形状, 都有无限精细的内部结构, 绝非圆柱或棱柱那么规则。作为人类认识自然、改造自然的工具, 越是高等的数学, 越应该能够反映出这种复杂的客观存在。

勿庸置疑, 极限是个绝对精确的概念。但是, 这个绝对精确的概念却没有也没法用严格的“=”来刻画。在极限定义的表述中, 能看到的只是不等号“<”和“>”。极限创造性地把不等号和差别 () 的任意性结合使用, 把绝对的相等解释为差别的任意小。

绝对的相等只有理论上研究的意义, 并不存在于我们的日常生活。在日常生活中判断两个事物是否相等, 人们从来都不苛求分毫不差, 也无法要求绝对相等。极限的定义方法在相等和不等这两个截然不同的概念之间建立了一条通道, 打开了事物判断的另外一扇窗户:既然绝对的相等可以理解为差别是任意小, 那么日常生活中的相等就可以理解为差别是足够小, 小到无法分别的程度。极限思想提供的这种更理智的判断方法, 也潜移默化地影响了大学生的是非判断观念。什么是好?什么是坏?什么是正确?什么是错误?深刻领会极限的思想后, 会对这类问题做出更理智的回答。按照极限的思维方式, 所谓的正确, 就是其中错误的成分小到可以忽略不计或无关大局。而所谓的错误, 也并非一点儿正确的成分也没有。如此辩正地、全面地看待事物, 有助于培养大学生更博大的胸怀和更成熟的世界观。一个大学生如果不能以极限思想来判断是非, 凡事苛求绝对, 锱珠必较, 那就又后退到了贝克莱时代。我们认为, 这种极限思想下的是非观才识真正成熟的是非观。

摘要：介绍了极限思想的产生、发展和变革的演化过程, 分析了穷竭法与极限思想的异同。揭示了从有限认识无限、用近似把握精确的辩正思想。论述了函数极限的定义方式对大学生是非观的潜在影响, 这种影响将有助于大学生建立更加理智的是非判断标准。

关键词：极限,微积分,穷竭法

参考文献

[1]莫里斯·克莱因.古今数学思想 (第二册) [M].上海:上海科学技术出版社, 2002.

[2]陈诗谷, 葛孟曾.数学大师启示录[M].北京:中国青年出版社, 1991.

极限思想第8篇

物理学中的极值问题就是融物理知识与数学知识为一体的一类典型问题.在物理状态发生变化的过程中,某一个物理量的变化函数可能不是单调的,它可能有最大值或最小值,此类题综合性较强,技巧性较高,难度较大的一类专题.

分析极值问题的思路有两种:一种是物理学中,描述某一过程或者某一状态的物理量,在其发展变化中,根据受到的物理规律和条件的约束、限制,其取值往往只能在一定的范围内才符合物理问题的实际,求这些量的值的问题便可能涉及到要求物理量的极值,它采用的方法是物理分析法;另一种把物理问题转化为数学问题,纯粹从数学角度去讨论或求解某一个物理函数的极值,它采用的方法也是点到直线的距离最短、两数的几何平均值小于或等于它们的算术平均值、二次函数求极值的方法、求导数、三角函数、几何作图法、有关圆的知识等数学方法.

一、物理极限分析法

物理极限分析法是把某个物理量推向极端,即极大和极小或极左和极右,并依此做出科学的推理分析,从而给出判断或导出一般结论.极限法在进行某些物理过程的分析时,具有独特作用,恰当应用极限法能提高解题效率,使问题化难为易,化繁为简,思路灵活,判断准确.因此要求解题者,不仅具有严谨的逻辑推理能力,而且具有丰富的想象能力,从而得到事半功倍的效果.例1如图1所示,一质量为m的人,从长为l、质量为M的铁板的一端匀加速跑向另一端,并在另一端骤然停止.铁板和水平面间摩擦因数为μ,人和铁板间摩擦因数为μ',且u'>>μ.这样,人能使铁板朝其跑动方向移动的最大距离L是多少?

解析:人骤然停止奔跑后,其原有动量转化为与铁板一起向前冲的动量,此后,地面对载人铁板的阻力是地面对铁板的摩擦力f,其加速度

由于铁板移动的距离,故v'越大,L越大.v'是人与铁板一起开始地运动的速度,因此人应以不会引起铁板运动的最大加速度奔跑.

人在铁板上奔跑但铁板没有移动时,人若达到最大加速度,则地面与铁板之间的摩擦力达到最大静摩擦μ(M+m)g,根据系统的牛顿第二定律得:

设v、v'分别是人奔跑结束及人和铁板一起运动时的速度

并将a1、a2代入②式解得铁板移动的最大距离

例2一系列相同的电阻R,如图2所示连接,求AB间的等效电阻RAB.

解析:无穷网络,增加或减小网络的格数,其等效电阻不变,所以RAB跟从CD往右看的电阻是相等的.因此,有解得.

例3如图3所示,一个U形导体框架,宽度L=1 m,其所在平面与水平面的夹角α=30°,其电阻可以忽略不计,设匀强磁场为U形框架的平面垂直,磁感应强度B=1 T,质量0.2 kg的导体棒电阻R=0.1Ω,跨放在U形框上,并且能无摩擦地滑动.求:

(1)导体棒ab下滑的最大速度vm;

(2)在最大速度vm时,ab上释放出来的电功率.

解析:导体棒做变加速下滑,当合力为零时速度最大,以后保持匀速运动

(1)棒ab匀速下滑时,有

(2)速度最大时,ab释放的电功率

二、数学求极值法

在求解物理极值过程中要想实际物理过程与数学知识进行灵活的结合,充分发挥数学的作用,往往要进行数学建模.数学建模就是用数学语言描述实际现象的过程,对物理规律或物理概念的描述提供了最简洁、最准确的表达方式,而且在内容上能表述得深刻、精确、简捷.

利用数学解决实际物理问题的方框图如图4.

我们通过实例剖析,就解物理竞赛题中的极值问题及极限思想的数学技巧作一简要探讨.

1. 利用二次函数极值公式求极值

对于典型的一元二次函数y=ax2+bx+c,(a≠0)

若a>0,则当时,y有极小值,为;

若a<0,则当时,y有极大值,为;

例4如图5所示,在一水平面上有A、B、C三点,AB=L,∠CBA=θ,今有甲质点由A向B以速度v1做匀速运动,同时另一质点乙由B向C以速度v2做匀速运动,试求运动过程中两质点间的最小距离?

解s:建立一平面直角坐标系,令其坐标原点与A点重合,x轴沿AB方向,取两质点分别位于A、B两位置时时刻t=0,则任一时刻t,甲质点的位置坐标为:乙质点的位置坐标为:

以r表示时刻t时甲、乙两质点间的距离,则有:

当甲、乙两者间的距离最小时,r2之值也为最小,由二次函数的极值公式可知:

此过程中甲、乙两质点间的最小距离为:

2. 利用三角函数求极值

如果所求物理量表达式中含有三角函数,可利用三角函数的有界性求极值.若所求物理量表达式可化为“y=Asinαcosα”的形式,可变

为

当α=45°时,y有极值.

对于复杂的三角函数,例如y=asinθ+bcosθ,要求极值时,先需要把不同名的三角函数sinθ和cosθ,变成同名的三角函数,这个工作叫做“化一”.

因为

其中,故y的极大值为.

解析:水流做斜上抛运动,以喷口O为原点建立如图所示的直角坐标,本题的任务就是水流能通过点A(d、h)的最小初速度和发射仰角.

根据平抛运动的规律,水流的运动方程为

把A点坐标(d、h)代入以上两式,消去t,得:

3. 利用几何法求极值

几何法一般用于求极小值问题,其特点是简单、直观,把物体运动的较为复杂的极值问题,转化为简单的几何问题去解,便于学生掌握.我们熟悉的运动合成分解中“小船过河”模型,当小船在静水的速度大于水流速度求小船过河的最短位移时,我们巧用圆的切线求最小值,既简便又使学生直观易懂,就是一个典型的几何求极值的例子.

例6如图7(1)所示,船A从港口P出发去拦截正以速度v0沿直线航行的船B.P与B所在航线的垂直距离为a,A起航时与B船相距为6,b>a.如果略去A船起动时的加速过程,认为它一起航就匀速运动.则A船能拦截到B船的最小速率为多少?

分析与解:分析本题是两个运动物体求它们之间的相对位置的问题.若以地球为参照系,两个物体都运动,且运动方向不一致,它们之间的相对位置随时间变化的关系比较复杂,一时不容易做出正确的判断与解答.但如果把参照系建立在某一运动的物体上,(如B上)由于以谁为参照系,就认为谁不动,此题就简化为一个物体,(如A)在此运动参照系的运动问题了.当然解一个物体的运动问题比解两个物体都运动的问题自然容易多了.

以B为参照系,B不动,在此参照系中A将具有向左的分速度v0,如图7(2)所示.在此参照系中A只要沿着PB方向就能拦截到B.应用“点到直线的距离以垂线为最短”的结论.过O点作PB的垂线,交PB于E点,OE即为A船对地的速度的最小值vAA,在△AOE中

因为vA=v0sinθ而

所以由于灵活运用了几何知识,使较为复杂的问题,变为简单的几何问题了.

以上求极值的方法是解高中物理题的常用数学方法.在使用中,还要注意题目中的条件及“界”的范围.求最大和最小值问题,这类问题往往是物理学公式结合必要的教学知识才得出结论,这就要求学生不仅理解掌握物理概念、规律,还要具备较好的运用数学解决问题的能力.解决极值问题的关键是扎实掌握高中物理的基本概念,基本规律,在分析清楚物理过程后,再灵活运用所学的数学知识.实际上高中物理极值是高考的热点内容之一,涉及的知识广,物理过程多,综合性强,难度大,具有灵活的考查能力,能体现一个学生综合运用知识进行思维分析、解决物理问题的能力.由于学生基础知识不过硬,数学知识不扎实,从而不能灵活地进行知识迁移,加之求解方法上未能找出其一般规律,所以这类问题往往不能得心应手.

极限思想在高中数学中的应用第9篇

关键词：极限思想,高中数学,应用

“极限”一词的汉语意思是“最大限度”, 在数学中的含义是:如果变量x按照某一规律变化, 无限地接近于一个常数c, 则称c为x的极限, 记作limx=c或x→c.极限思想是微积分学的基本思想, 它将有限与无限、常量和变量、近似与精确统一起来.对于高中生来讲, 极限的严格定义并不易理解.本文将列举极限思想在高中数学的一些应用.

一、用极限思想解释为什么指数函数的定义域包括无理数

随着的不足近似值和过剩近似值分别从两边无限地逼近的值也无限地逼近一个确定的实数.用实数理论来解释无理指数幂太过深奥, 不利于学生理解, 而用极限思想中无限逼近的方法说明无理指数幂存在的合理性, 按照高中生的认知水平足以理解.这样就将指数函数的定义域从有理数扩充到实数, 进而可以解释用描点法作指数函数图像时要用光滑的曲线连接了.

二、用祖暅原理求球的体积

三、用极限证明双曲线的渐近线

极限思想还贯穿了导数和积分的内容, 新课程标准删去了极限的概念, 但是课本上仍然出现了极限符号和极限的简单运算.因此, 在实际教学中, 教师应适当地增加极限的教学.在解题教学中, 引导学生使用极限思想, 开阔解题思路, 为学习高等数学打下良好的基础.

参考文献

[1]袁小明.数学思想史导论[M].广西教育出版社, 1991.

中学数学解题中极限思想的渗透第10篇

关键词：数学,解题,极限

数学教育家G·波利亚指出“对于任何一门学科, 我们要掌握两方面的东西———知识和技巧”, 对于数学学科而言, 知识是书本上的概念、定义、公理、定理、命题、性质和法则等, 技巧是书本的内容所反映的数学思想与方法。数学解题既是数学知识和数学思想方法的运用, 也是解题者思维能力的综合体现。数学解题方法多种多样, 各有巧妙不同, 很多数学题似乎也与极限不搭界, 正是在这貌似无关的表面背后隐藏着无限玄机, 恰当引入极限的思想对有些数学解题带来了奇妙的效果。

【极限准备】:

4.初等函数f (x) 的定义域为D, 则

非极限类中学数学解题中极限思想的运用源于偶然。

在实数大小比较中有如下问题:从甲地到乙地水路的距离为S, 在平静的水面上, 以固定速度V来去一趟花时T1, 若去时顺水, 回时逆水, 水流速度为V0 (V0<V) , 来去一趟花时T2。试比较T1, T2的大小。

多数学生的解法如下:

∴T1<T2。可见有水流时花时较多。

我在点评时有一位学生插话说:“这种解法太烦了”, 我请该学生讲讲他的解法, 他说:“我知道有水流时花时较多, 但不知该如何写”“那如何肯定后者花时多呢?”我将了他一军, 被我一逼说了如下解法:当水速接近船的固定速度时, 回来的时间就非常非常大, 可以肯定有水流时花时较多。

我当时给了该学生肯定和鼓励, 我惊奇于学生的创造性, 虽未学过极限, 已在运用极限的思想了, 解法真是独具匠心, 简洁明了。

我们用极限符号书写上面问题的解法应是:当可见T1<T2, 即有水流时花时较多。以后陆续发现很多数学问题渗透极限思想后简化了解题过程。

问题1 (函数类) :函数的值域是 ()

通常的解法是用反函数的办法来求, 解法如下:

而我们用极限的思想考虑有:x2→1-时, y→-∞;当x2→1+时, y→+∞。可见, 答案为D。

问题2 (三角类) :当时, 正确的是 ()

常用方法是单调性和特殊值法。而本题用特殊值法容易出现两个答案, 而用极限的思想则可轻松解决。

问题3 (解几类) :设抛物线x2=2py (p>0) , 证明在y轴的正向存在一点M, 使得抛物线的过M点的弦PQ, 有取定值。

极限思想在小学数学教学中的渗透第11篇

一、数学教学中融合极限思想

小学数学作为小学生的启蒙学科，正确教学方法的运用有利于学生在以后高等数学中顺利学习。这就要求教师在教学中融合极限思想，使学生养成良好的思维惯式。

如在四年级下册中有关循环小数的学习中，我首先在黑板中写出１与３两个数相除，运算得出结果为０．３３３……，以此为基准，得出循环小数概念，即在小数点后某一位开始依次不断重复出现的前一个或一节数字的十进制无限小数，叫做循环小数。随后，我再提出“０．９９９……是否等于１”的问题，学生普遍认为：无论小数点后的９的数量如何增加，它也只能无限接近于１，但始终不等于１。于是，我以代数法进行证明：

假设x＝０．９９９……

１０x＝９．９９９……

１０x－x＝９．９９９……－０．９９９……

即９x＝９，所以x＝１。

这种在教授新的知识点中融合极限思想的教学方法，能够使学生在脑海中对无限等概念形成较为直观的印象，并由此加深记忆。

二、数学概念推导中渗透极限思想

数学公式、定理和概念是学生解答题目的前提和关键，但是数学概念和公式定理通常短小精悍，这是小学数学教学中的难题。而在数学概念中渗透极限思想不仅能够加深学生对数学概念的理解，还能够激发学生学习数学的兴趣。

如小学六年级“平面图形的周长和面积”一章中，一般学生需要记住周长和面积的公式，但是公式过于抽象化，容易造成学生不求甚解，生搬硬套。例如在对圆的面积公式进行推导时，以小组为单位，我让学生把一个圆形纸片进行数次对折，并讨论：圆形纸片在对折过程中有什么变化规律。学生在对折过程中发现圆在进行对折后越来越接近于三角形。当把圆形展开后，学生更加惊讶地发现：折痕把一个完整的圆分成了无数个等腰三角形，而且三角形的腰长与圆形的半径是相等的。通过计算三角形的周长和面积，学生最终自己得出了圆形的周长和面积，并且利用这一极限规律，推导出了整个圆形的面积公式。随后，我引导学生对圆形进行剪裁组合。学生发现，把圆形沿折痕进行剪裁后，就可以把圆转化为长方形、梯形等。这样，学生独自推导出的公式自然会深深印在脑海中。

随后，在进行第二单元“圆柱和圆锥”的学习时，不同于平面图形的学习，这里要求学生具有空间想象能力。因此在进行圆柱体积公式推导时，我引导学生在观察有限分割的基础上，建立起无限分割的想象，并通过图形分割拼合的变化趋势，最终想象出图形的最终形态。在教学中，我把学生分成几个小组，要求学生对圆柱体模型进行自主切割拼合，并进行小组成果汇报。有的学生发现，圆柱的底面是一个圆形，那把它平均分成无数份，最终可以拼合成一个长方形，而圆柱体就变成了一个长方体，由此可以得出：圆柱的体积＝底面积×高。另外也有学生从圆柱体的高出发，把圆柱体切割成了无数个细长的长方体，长方体的体积公式是底面积乘以高，无数个长方体的体积和正好是圆柱体的体积，根据乘法分配率，最终也可以得出圆柱体的体积公式。

三、数学练习中运用极限思想

在数学练习中，学生如能体会极限思想并能够在习题练习中灵活运用，不仅能够加强学生的计算熟练度，还能够提高学生学习数学的兴趣和钻研能力。

如在五年级下册“认识分数”这一章节中，在进行分数的基本性质教授后，学生已经初步掌握了分数的概念，因此在进行习题练习时，我在黑板上写下一组分数：４／５，８／１０，１２／１５……要求学生以此为例，在一定的时间内写出几组等值的分数。接着提问：“如果时间延长，是不是还能够再写一些？如果不限定时间的话，是不是能够一直写下去？”最后学生得出的答案是肯定的，当没有时间限定时，与４／５等值的分数有无数个。

又如，行程问题的教学练习中，小明与小王相距１００米，两人同向而行，小明每分钟１０米，小王每分钟５米，问：小明什么时候能与小王相遇？答案是小明永远追不上小王。当小明走１０米时，小王走了５米；当小明走１米时，小王同时向前走了０．５米……周而复始，小明永远也追不上小王。

从解题的角度来看，这个答案是简单的，学生并不需要过多地耗费脑力，而且一直写下去也起不到锻炼的效用。但是学生可以由此得到启发，为什么与原分数等值的分数有无数个，为什么小明永远追不上小王，这其中包含着一个怎样的规律？由此，学生能够在初等数学的学习中初步体会到极限的魅力，这为他们以后的数学学习打下了基础，并很好地锻炼了学生的抽象思维能力。

人类的生存与发展离不开数学，正如华罗庚所说：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁等各个方面无处不存在数学的贡献。因此，在教学过程中渗透极限思想对小学数学教学有着潜移默化的作用，不但能够巩固学生的记忆能力，还能增加学生的思维发散能力，从而提高小学教学的有效性。

（责编金铃）

论“极限思想”在教学中的重要性第12篇

所谓极限的思想, 是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想.用极限思想解决问题的一般步骤可概括为:对于被考察的未知量, 先设法构思一个与它有关的变量, 确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量;最后用极限计算来得到结果.

极限思想的由来可以追溯到古代, 我国古代数学家刘徽于魏景元年 (公元263年) 注《九章算术》时, 订下了圆周率 (圆的周长与其直径之比) 是“周三径一”之误.他在计算圆周率的过程中, 创立并使用了极限方法.他创立的“割圆术”就是建立在直观基础上的一种原始的极限思想的应用.

二、极限思想在数学分析中的地位

极限思想是近代数学的一种重要思想, 数学分析就是以极限概念为基础、极限理论为主要工具来研究函数的一门学科.它是数学分析乃至全部高等数学必不可少的一种重要方法, 也是数学分析与初等数学的本质区别之处, 许多初等数学无法解决的问题 (例如求瞬时速度、曲线弧长、曲边形面积、曲面体体积等问题) , 正是由于采用了极限的思想方法得以解决.极限的思想方法贯穿于数学分析课程的始终, 在几乎所有的数学分析著作中, 都是先介绍函数理论和极限的思想方法, 然后利用极限的思想方法给出连续、导数、定积分、级数的敛散性、多元函数的偏导数、广义积分的敛散性、重积分和曲线积分与曲面积分的概念, 产生了数学分析中连续思想及应用、导数思想及应用、微分思想及应用、积分思想及应用、级数思想及应用等, 从而形成一套完整的数学分析理论.这也标志了极限思想在数学分析中的重要地位.

三、极限思想在大学物理中的应用

在大学物理的教学过程中, 力学部分是首先要学习的.与中学不同, 随着知识难度增加, 恒力问题变成变力问题, 直线问题变成曲线问题.对于这些问题, 不能让学生只记住所给公式, 机械地解决常规的典型题, 而应要求从实质上对物理规律进行深入探讨.极限思想正是解决此类问题的思想方法, 它能使我们对整个物理过程了解得更加清楚, 从而提高物理思维能力, 加深对物理模型的认识.下面给出一些在力学中的具体应用, 通过分析使学生掌握用数学分析来解决力学问题的方法, 简要说明其在物理学中的重要性.

1.直线运动中的瞬时速度和加速度

如果物体非匀速运动, 其运动规律是s=f (t) , 未知的瞬时速度并不是一个孤立的概念, 其必然与某些已知的概念联系着, 那就是已知的平均速度.利用“极限的思想”, 当时间t0的改变量Δt→0时, 这一时间段可视为“匀速”, 其平均速度的极限值即为t0的瞬时速度, 即undefined;同理, 瞬时加速度undefined

2.刚体转动中的角速度和角加速度

角速度是描述刚体转动快慢程度的物理量, 假设在任意一段时间t→t+Δt内, 刚体的角位移是Δϑ, 则角位移与时间间隔Δt的比定义为刚体在这段时间内的平均角速度, 当Δt→0时的极限值即为瞬时角速度, 即

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要用角加速度来描述角速度随时间的变化情况, 先给出角速度在Δt时间间隔内的增量Δω, 其比值为这一时间段内的平均角加速度undefined, 当Δt→0时的极限即为刚体在t时刻的瞬时角加速度, 即

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3.液体压力的计算

在中学教材中, 液面下深度为h处的压强undefined, 式中S为液体的截面, ρ为液体的密度.此式仅适用于均匀受压的情况, 而对于处在液体中不同深度的物体表面 (如水坝的闸门) 来说, 各处所承受的压强随着深度h的变化而不同, 因此要计算物体表面所承受的总压力时, 一般要用积分思想来分析和计算.例如, 闸门宽为a米, 高为b米, 当水面齐闸门顶时, 求闸门所受的压力F.闸门高度x的变化范围为[0, b].可以按水深把闸门分成无限多的小横条, 在微分区间[x、x+dx]内横条的压强可看作处处相同, 应用公式可得此部分闸门所受水的压力, 即压力微分:dF=pdS=ρgx·adx=ρgaxdx.则整个闸门所受的总压力为:

F=undefined

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