函数估计范文

函数估计范文（精选8篇）

函数估计 第1篇

在贝努里实验中, 若p为每次实验成功的概率 (可靠度) , 如果进行了k+1次试验, 前k次实验成功且第k+1次不成功 (或失败) 的概率为:

称随机变量ζ服从几何分布[s], 其中p为几何分布的可靠度 (或成功概率) 。

1加权平方损失函数的定义

定义1随机变量X服从密度函数为f (θ, X) 的分布, 其中θ为参数, 如果δ是θ的判决空间中的一个估计, 则定义这样的一个函数:

为加权平方损失函数[1]。

2 p的Bayes估计

定理1在加权平方损失函数 (2) 下, 对任何的先验分布π (θ) , θ的Bayes估计为

并且如果δB (x) 的Bayes风险有限, 则δB (x) 是唯一的Bayes估计。

当p的先验分布为幂分布, 其密度函数为:π (p|a) =apa-1, 其中0<p<1, a>0 (为超参数) [2], 则p的先验分布为:

后验分布服从贝塔分布, 其分布为:

则, 在加权平方损失函数下p的Bayes估计为:

当然, 这个解是唯一的, 如果存在另外一个估计δB′ (x) 优于δB (x) , 则一定有δB′ (x) 对应的风险函数小于δB (x) 对应的风险函数, 即r (δ′) 燮r (δB) 成立, 而δB (x) 是风险最小的与假设r (δB) <∞矛盾。

3可靠度p的多层Bayes估计

若p的先验密度函数为π (p a) =apa-1, 其中0<p<1, a>0 (超参数) , 根据文献4, 取超参数a的先验分布为 (0, c) 上的均匀分布, 其密度函数为π (a) =1c-1, (其中c>1为待定常数) , 则p的多层先验密度为:

其中, 0<p<1[2]。

定理2对几何分布, 在p的多层先验分布有 (3) 给出, 则在加权平方损失函数下, p的多层Bayes估计为:

证明:p的多层先验分布有 (3) 给出, 则p的似然函数为L (p) =px (1-p) , 则p的后验密度为:

其中0<p<1, 则在对称损失函数下, p的多层Bayes估计为

其中:

引理1[3]在给定的Bayes决策问题中, 假如对给定的先验分布π (θ) , θ的Bayes估计是δB (X) 唯一的, 则它是容许估计。

定理3在加权平方损失函数下, 对任一先验分布, 几何分布的参数θ的Bayes估计δB (X) 是可容许估计。

证明:对于几何分布, 由于加权平方损失函数下 (2) 是严格凸函数, 其参数θ的Bayes估计必是唯一的, 引理1可知, 参数的θ的Bayes估计δB (X) 是可容许估计。

摘要：在加权平方损失函数下, 给出了对于任何先验分布的几何分布可靠度的Bayes估计, 同时在其先验分布为幂分布时研究了可靠度的Bayes估计及其容性, 给出了可靠度的多层Bayes估计的计算公式。

关键词：几何分布,加权平方损失函数,可靠度,Bayes估计

参考文献

[1]李兰平.一类新的加权平方损失函数下几何分布的Bayes估计[J].方法应用, 2012, 11:81-82.

[2]韩明, 催玉萍.几何分布的可靠度估计[J].运筹与管理, 2001, 10 (4) :35-38.

[3]茆诗松.贝叶斯统计[M].北京:中国统计出版社, 1999, 3.

[4]周伟萍, 张德然, 杨兴琼.熵损失函数下几何分布参数的Bayes估计[J].山西师范大学学报:自然科学版, 2007, 21 (4) :13-15.

函数估计 第2篇

多轴振动试验系统传递函数估计的数值仿真

文章应用频响矩阵建立了多轴振动系统输入输出之间的`数学模型.通过数值仿真的方法,研究了多轴振动试验中传递函数估计的方法,针对不同激励信号组合、不同估计算法和使用多次平均技术情况下进行了数值模拟,并对结果进行了分析.可以为多轴振动试验控制系统的研究提供参考.

作 者：魏军 冯咬齐 樊世超 邱汉平Wei Jun Feng Yaoqi Fan Shichao Qiu Hanping 作者单位：北京卫星环境工程研究所,北京,100094刊 名：航天器环境工程 ISTIC英文刊名：SPACECRAFT ENVIRONMENT ENGINEERING年，卷(期)：200926(1)分类号：V416.2 V416.8关键词：多轴振动试验 传递函数估计 仿真

散焦模糊图像点扩散函数参数估计 第3篇

对散焦模糊点扩散函数参数估计的研究是图像复原的一个重要研究领域, 并已提出多种估计散焦模糊PSF参数的算法, 这些方法大概可分为三类: (1) 基于空域的参数估计。 (2) 基于变换域的参数估计。 (3) 基于迭代技术的参数估计。随着人工神经网络和遗传算法等新兴技术的出现, 人们将其应用到图像处理领域, 提出了基于这些知识的参数估计算法。基于以上的理论研究, 本文提出了一种新的估计散焦模糊点扩散函数参数的方法。

2 散焦模糊理论分析

2.1 散焦模糊点扩散函数

通过对成像的原理和过程的分析, 通常认为成像系统具有空间移不变行, 因此一幅降质图像的降质过程在空间域可用如下过程来表示:

式中g (x, y) 为降质图像, f (x, y) 为原始清晰图像, h (x, y) 为点扩散函数, 即成像系统对点光源的响应, n (x, y) 表示加性噪声, *表示二维卷积操作。在上述表达式中, 通常假设噪声为高斯白噪声, 尤其是在噪声不明显的情况下, 可忽略。那么在上式中, 点扩散函数就是惟一未知项。

在散焦模糊点扩散函数的几种模型中, 由于圆盘模型只需估计出散焦半径便可计算出PSF, 在计算上更容易、更简便, 因此在参数估计时通常选用圆盘模型。其表达式如下所示:

其中, r表示散焦半径, 决定了散焦模糊的程度, 即是参数估计方法所需要估计的参数。

2.2 阶跃边缘

图像中的边缘对应着相邻的两个类型区域的分界线, 表示一个区域的结束和另一个区域的开始。设s (y) 为一条沿x轴的理想阶跃边缘, 可用下式来表示:

系统对s (y) 的响应称为边缘扩散函数。

在计算出散焦阶跃边缘区域的左右边界LI和Lr后, 可根据下式计算出散焦半径r, 即散焦模糊点扩散函数的参数:

3 散焦模糊点扩散函数参数估计算法

3.1 模糊阶跃边缘图像分析

经过散焦模糊后的阶跃边缘, 其在图像中呈现为一个模糊区域, 称之为模糊阶跃边缘。基于阶跃边缘的散焦模糊图像的点扩散函数参数估计, 其关键是根据直线边缘确定模糊阶跃边缘的模糊区域的边界宽度, 进而计算出散焦模糊点扩散函数的模糊半径。在散焦模糊图像中, 阶跃边缘的模糊区域与检测到的直线边缘的关系如图1所示:

图1中, 设l为检测到的模糊阶跃边缘的任意一条直线, 长度为len;定义以len为高、区间[S l, S r]为宽的区域为阶跃边缘的支撑区域;定义以len为高、区间[-R, R]为宽的区域为模糊阶跃边缘的支撑区域;lL和rL分别为直线l到模糊阶跃边缘左侧和右侧边界的距离。

3.2 确定模糊阶跃边缘的边界

以计算图3-1中直线l的右侧边界为例, 介绍利用二阶导数确定边界的方法。设散焦模糊图像为f (x, y) , 其沿x轴方向的一阶偏导为在离散情况下可以用差分来表示。为了处理上的方便, 本文对计算出的一阶导数值执行取绝对值操作。根据阶跃边缘的散焦模糊图像的特点可知, 在范围内, 直线l右侧沿其法线方向的灰度值的变化率即导数值会在模糊阶跃边缘区域的边界两侧出现较大的变化, 因此可根据相邻导数值出现较大变化的点的位置确定其右边界。

为了找到相邻两个点的差值的最大值, 可以对计算出的一阶导数值再对x进行一次一阶偏导操作, 即对f (x, y) 执行对x的二阶偏导操作, 对计算出的导数值依然取绝对值。同理, 可以用二阶导数值确定直线l的左边界Ll。

3.3 计算散焦模糊PSF的参数

在计算出散焦阶跃边缘的左右边界Ll和Lr后, 便可根据 (2-4) 计算出散焦半径r, 即散焦模糊点扩散函数的参数。

4 结论

函数估计 第4篇

时间序列中异常值检测和估计问题一直受到广泛关注, 尤其是可加的异常值 (AO) 和新生的异常值 (IO) 这两种常见类型, 但是前人的研究多是基于线性时间序列模型, 对于非线性序列并不太适用。即使后来也发展了一些针对非线性序列的方法研究, 但灵活性就较差。相对而言, 由Chen和Tsay于1993年提出的函数系数自回归模型则比较灵活。

因为它可以通过函数系数的改变来适应各种情形。该模型的一般形式如下:

其中, xt= (xt-1, xt-2, …, xt-p) 1, 准0、准j为函数系数, {εt}是一组独立同分布的高斯随机变量, 均值为0, 方差为σ2, εt独立于xt。在实际应用中, 自回归参数可以通过一个确定的前期观测值xt-d (d>0) 进行改变, 于是得到

2 函数系数自回归模型中异常值的估计

设 (y1, y2, …, yn) 表示受到异常值干扰后的实际观测数据。设异常值只有一个并且发生在q时刻 (1

利用伪极大似然估计 (PML) 得到σ2的估计:

3 模拟实验

模拟实验的目的是为了检验本文所提方法的优劣。实验步骤归纳如下:

3.1 选定两个非线性时间序列模型:

(1) 自激励门限自回归Setar (2;1)

(2) 指数自回归Expar (2)

3.2 对第1步中的两个模型分别产生包含500个观测值的时间序列;

3.3 对每个序列都随机地选择在某一个时刻加入一个干扰值ω=3.5或ω=5.0, ω可以是AO或IO。

3.4 用本文前面所讲的方法对第3步得到的序列估计任何一个时刻的 , (包括均值和方差) 。其中关于自回归系数的确定, 则是运用了局部线性回归方法, 参数 (p, d) 的确定是依据AIC定阶法。对于Setar, 最终选择的是p=1, d=1, 而对于Expar选择p=2, d=1;

3.5 在每个序列中分别找出绝对值最大的 , 如果其t-值超过3.5, 则认为检测到异常值, 并同时记录下该时刻q;

3.6 将上述2~5步重复100次, 统计总共有多少次成功检测到异常值, 有多少次在正确的时刻记录到异常值, 有多少次还准确识别出了异常值的类型 (AO或IO) 。结果见下表 (表中还列出了计算到估计值的均值和标准差) :

总结

本文所提出的通过拟合一个函数系数自回归模型来检测和估计异常值的方法在概念上易于理解, 并且对于常见的线性模型和非线性模型 (如门限自回归和指数自回归) 都是相当适用的, 当然不排除对诸如双线性模型之类难于用FAR拟合的情形。

然而, 对于线性模型的表现不亚于基于ARMA模型拟合的方法。并且, 尽管FAR模型参数的确定依赖于一些常数的选择, 但是只要选择在合理范围内, 对结果影响并不大, 检测效果仍然十分理想。

很自然的对于该研究框架的展望是使得自回归系数随着某组而变化。这里是指从序列自身内在结构属性反映出来的可观测的各种特征。另外, 在一些特殊情况下还必须用到一些特别的估计技术。

摘要：本文介绍了函数系数自回归时间序列的异常值的一些相关背景研究及理论, 并着重介绍了函数系数自回归模型 (FAR) ;第二部分从理论上进行分析在函数系数自回归模型基础上的异常值鉴别、估计;第三部分进行了模拟实验;最后一个部分对全文作了总结, 指出了方法的缺陷以及对后续研究的展望。

关键词：函数系数自回归,异常值,非线性时间序列,模拟

参考文献

[1]何书元.应用时间序列分析[M].北京:北京大学出版社, 2003.

[2]范剑青, 姚琦伟.非线性时间序列——建模、预报及应用[M].北京:高等教育出版社, 2010.

[3]Francesco Battaglia.Outliers in functional autoregressive time se-ries.Statistics&Probability Letters72, 2005:323-332.

函数估计 第5篇

Cournot博弈模型最早于1838年由经济学家Cournot提出, 后来许多人给予适当的改进与推广。在最初的模型有这样的假设, 市场中有两个企业生产完全替代的产品, 市场中的需求函数及每个企业的生产成本对每个企业来说是确切知道的, 且是共同知识。企业之间进行产量竞争 (如果把企业之间进行数量竞争看成是企业之间建立生产能力的竞争, 企业之间进行数量竞争而不是价格竞争就是合理的) 。在文献[1]中, 作者对Cournot博弈模型的假设进行了一些改进。假设两个企业都不确切知道市场的需求函数, 他们只能对市场需求函数进行估计, 但不同的企业对市场需求函数的估计不同。文献[1]进一步假定每一个企业都认为对手对市场需求函数的估计和自己估计的完全一样。然后文献[1]指出这样博弈结果可能会出现一些有趣的性质。本文也认为在现实的经济活动中, 企业之间在进行Cournot竞争时由于主客观条件的限制, 每个企业很难确切知道市场的需求函数只能对其估计。由于不同的企业规模和经济实力及对市场需求掌握的信息不同, 他们对市场需求函数的估计也不会一样。按照行为经济学和行为博弈论的有关理论, 每个企业往往认为自己对市场需求函数的估计是非常正确的。由于每个企业往往认为对手的能力和自己有一些的差别, 所以本文和文献[1]所作假设不同的地方是, 本文并不认为每个企业会认为对手对市场需求函数的估计和自己的估计完全一样, 而是假设每个企业认为对手的估计和自己的估计有一些差别, 在这种假设下求解出Cournot博弈的结果 (各个企业的产量和利润) 。然后在每个企业认为对手对市场需求函数的估计服从均匀分布的情况下, 把这些结果与市场需求函数对各个企业来说是确切知道时的Cournot博弈结果进行比较分析, 在此基础上, 根据两个结果的差别来解释现实经济活动中一些现象。

2 对市场需求函数估计不同的Cournot博弈模型

首先简要地介绍经典的Cournot博弈模型。

假设有两个企业, 他们之间进行数量竞争。为简单起见, 假设两个企业面对一样的常数边际成本c1=c2=c。市场的需求函数是线性的:p=a- (q1+q2) , 其中p是市场价格, qi是企业i的产量, a是一个足够大的常数, i=1, 2。这个市场需求函数对两个企业来说是确切了解的, 是共同知识。两个企业为了自己利润最大化进行博弈, 在不知道对手选择什么产量的情况下选择自己的产量水平。利用求解博弈的方法, 可以分别求出每个企业的产量和利润。其中企业i的产量和利润分别为:undefined。

在现实的经济活动中, 每个企业很难确切地知道市场的需求函数, 只能对市场需求进行调查研究然后对其进行估计。由于不同的企业在市场中的规模, 实力以及所拥有的信息不同, 因而对市场需求函数的估计就不一定相同。由行为经济学和行为博弈论的有关原理, 我们知道经济行为人在从事经济活动的过程中往往对自己的行为充满自信, 认为自己对事物的判断是“正确”的。既然自己的判断是“正确”的, 对手就有可能预见到。即使对手没有自己聪明, 但也不至于能力太差, 从而对事物的判断和自己“正确”的判断相差太远。因此本文假设:企业面对的确切的市场需求函数为p=a- (q1+q2) , 但两个企业都不了解这个需求函数, 因而只能对其进行估计。设企业i对参数a的估计值为ai, 并且认为对手对a的估计和自己对a的估计虽然不完全一样但也相差不大。所以在这里假设企业i认为对手企业j对a的估计a′i服从[ai-εi, a+εi]上的一个概率分布, 其累积分布函数为Fi (x) , 其中εi是一个足够小的正数, i=1, 2。

在上面的假设下两个企业的Cournot博弈如下:

对企业1来说, 他估计的市场需求函数为p=a1- (q1+q2) , 其中p是市场价格, qi是企业i的产量, i=1, 2, a1是企业1对市场需求函数中参数a的估计值, 企业1认为企业2估计的市场需求函数为p=a′2- (q1+q2) , a′2为服从[a1-ε1, a1+ε1]上累积分布函数为F1 (x) 的随机变量。若企业1选择产量q1, 这时若企业2选择产量q2, 则企业1会认为企业2的期望利润是π2=E[a′2- (q1+q2) -c]q2=[∫undefinedxdF1 (x) - (q1+q2) -c]q2, 由利润最大化的一阶条件求得企业1认为企业2的反应函数, undefined。企业1的利润函数为π1=[a1- (q1+q2) -c]q1, 由利润最大化一阶条件求得企业1的反应函数为undefined。由求出企业1的产量undefined。

对企业2的分析和对企业1的分析类似, 由此求得企业2的产量为undefined。

由于实际的市场需求函数为p=a- (q1+q2) , 这时市场价格为

undefined。 企业1实际获得的利润为

企业2实际获得的利润为

当Fi (x) 为[ai-εi, ai+εi]上均匀分布函数时, i=1, 2。企业1和企业2的产量分别为:undefined;利润分别为:

undefined。

3 两个博弈模型结果的比较分析

在这一部分对本文建立的Cournot博弈模型的结果与市场需求函数对两个企业是确切知道的Cournot博弈模型的结果进行比较分析。本文就市场需求函数中的参数值a及其估计值a1, a2的几种不同的情况给予分析。

下面分析中所提到的结果都是在假设Fi (x) 服从[ai-εi, ai+εi]上的均匀分布的情况下所获得的结果, i=1, 2。

3.1 a1>a>a2

从这个假设可以看出企业1对市场需求估计偏高, 企业2对市场需求估计偏低。这从某种意义上说明企业1比较乐观, 对市场前景看好, 而企业2比较悲观, 相对保守, 对市场前景不太看好。

为了对模型的结果更好的比较分析, 在这里作进一步的假定:

这样的假定是说明这样的一个问题:每个企业为了追求自身的利润最大化, 在作决策的时候都非常慎重。虽然可能由于主客观的原因, 他们所作的决策不一定使他们的利润最大化, 但也尽量避免自己的损失太大。在本文建立的模型中, 企业1比较乐观, 对市场前景看好, 因而对市场需求估计偏大, 但为了自己的利益, 在作出估计之前他会非常慎重, 认真进行调查研究, 因而对市场需求的估计也不会太大, 假设undefined正说明了这个问题。因为企业2比较悲观, 相对保守, 对市场前景不太看好, 因而对市场需求的估计偏小。但他为了自身的利益也会慎重对待, 因而对市场需求的估计也不会太低。假设undefined正说明了这个问题。不等式undefined是说明市场需求函数中的参数a足够大, 因而和边际成本c相差很大。

由上面的分析知道, 两个企业在进行Cournot博弈时, 当每个企业确切了解市场需求函数时, 博弈的结果是:企业i的产量和利润分别为:undefined。当两个企业并不确切知道市场需求函数只能对其估计 , 并且都认为对手对市场需求函数的估计与自己对市场需求函数的估计相差不大时, 企业i的产量和利润分别为:undefined, 。

由假设undefined, 知q1>qundefined, q2

另外由

, 知π1>πundefined, π2<πundefined。

通过上面的比较, 可以解释这样的一个经济问题。

在本文中假设企业1对市场需求估计偏高, 说明企业1是一个比较乐观, 对市场前景看好的企业。在现实经济活动中, 像这样的企业往往是那些规模较大, 实力较强的企业。因而他们非常自信, 对市场前景比较乐观, 生产的产量水平就比较高 (q1>qundefined) 。并且由于对手是一个相对保守的企业, 因而乐观的企业占领的市场份额就大, 并且获得较高的利润

(π1>πundefined) , 在竞争中处于有利的地位。

对企业2来说, 本文假设企业2对市场需求估计偏低, 说明企业2比较保守, 对市场前景比较悲观。这往往是一些规模比较小, 实力较弱的企业。因而他们比较慎重, 对市场前景持谨慎的态度, 因此生产的产量水平就偏低 (q2

从以上的分析说明那些规模较大, 实力较强的企业往往能占据较大的市场份额, 获得较高的利润, 因而就能长期在市场中站稳脚跟。而那些规模较小, 实力较弱的企业只能拥有较小的市场份额, 获得较小的利润, 在竞争中处于很不利的地位, 难以在市场中立脚。所以在现实的经济活动中经常看到许多小企业不断地在市场中进进出出。

3.2 a1>a, a2>a

在这种情况下可以看出两个企业对市场需求的估计都偏高, 表明两个企业都比较乐观, 对市场前景一致看好。

为了更好的进行比较分析, 进一步假定:undefined。之所以作这样的假设, 其理由同假设 (一) 的理由一样。

这时有, q1>qundefined, q2>qundefined。由undefined有, π1<πundefined, π2πundefined。

由上面的分析可以看出, 由于两个企业都比较乐观, 对市场前景都看好, 因而都过多的生产。这样就造成市场产量较多, 价格下降, 两个企业利润不仅没有提高反而减少。这能够说明现实经济活动中这样的现象:那些规模都比较大的企业, 他们都非常相信自己的力量, 认为自己在竞争中处于比较有利的地位, 因而生产过多的产量来扩大自己的市场范围, 结果造成市场上产量过多, 价格下降, 利润减少, 两败俱伤。

3.3 a1

在这种情况下可以看出两个企业对市场需求的估计都偏低, 表明两个企业都比较悲观, 对市场前景持谨慎的态度。

再进一步假设:undefined。作这样的假设, 其理由同假设 (一) 和 (二) 的理由一样。

这时有, q1

因为undefined;undefined, 所以企业1的利润随着a1的上升而增加, 而随着a2的增加而下降, 企业2的利润随着a2的上升而增加, 而随着a1的增加而下降。

由undefined知π1>πundefinedπ2>πundefined。虽然两个企业都比较悲观, 对市场需求估计偏低, 但由于两个企业对需求的估计不是太低, 这时每个企业即使产量有所下降但利润却有所上升。这主要是因为两个企业都对市场前景不太看好, 因而产量较少, 市场竞争不太激烈, 市场价格上升, 所以两个企业的利润不仅不降反而上升。有时谨小慎微不见得就是一件坏事。

4 总结

在经典的Cournot博弈模型中, 两个企业进行数量竞争。为了求解博弈的结果, 在模型中假设市场需求函数对每个企业是确切知道的, 两个企业同时选择产量水平, 由总产量水平决定市场价格, 企业出售产品获取利润。但在现实经济活动中, 每个企业很难确切知道市场需求函数, 企业为了取得更多利益, 在作产量决策时, 必须要对市场需求函数进行估计。但是, 由于每个企业规模不同, 所掌握的信息不同以及进行市场调查的方式不同, 所以不同的企业对市场需求函数的估计就不一定相同。在适当的假设下求解出每个企业的产量水平和利润。并把这个结果和经典的Cournot博弈模型的结果进行比较。本文发现, 如果每个企业对市场需求函数的估计不是太高也不是太低 (所谓的不是太高或不是太低就是本文中假设 (一) , (二) , (三) 所表达的意思) , 当有一个企业对市场需求函数估计偏高而另一个企业估计偏低, 那么对市场需求函数估计高的企业就生产较多, 利润更大 (和经典Cournot博弈的结果相比较) , 而对市场需求函数估计较低的企业生产的产量就少, 利润也相对较少。这样就使那些乐观的企业在竞争中处于有利的地位, 而那些悲观的企业则处于不利的地位。在长期中那些规模较大的企业就能够在市场竞争中站稳脚跟, 而那些规模较小的企业往往不得不离开市场。

假设每个企业虽然认为对手对市场需求函数的估计服从一个统计分布, 但自己对市场需求函数的估计是确定的。但是在很多情况下, 每个企业很难确切地估计出市场需求函数, 只能估计出市场需求函数服从某一个统计分布。在这种情况下企业之间的Cournot竞争会出现什么结果, 本文并没有给予分析。这个问题有待进一步研究。

摘要：通过对经典的Cournot博弈模型的某些假设进行改进的基础上构建一个新的Cournot博弈模型, 主要研究当每个企业并不知道市场需求函数只能对其进行估计的情况下, 并基于行为经济学和行为博弈论的一些原理对新的Cournot博弈模型进行求解, 并把结果和经典的Cournot博弈模型的结果进行比较。通过比较分析, 对竞争市场中的一些现象给予解释。

关键词：Cournot博弈模型,市场需求,需求估计,行为博弈

参考文献

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[8]Colin F.Camerer.Behavioral Game Theory:Experimentsin stra-tegic interaction[M].Princeton University press, 2003.

[9]骆品亮.产业组织学[M].上海:复旦大学出版社, 2006.

谈二次函数在闭区间上的最值估计 第6篇

命题1：如果二次函数

证明：(用反证法证明)假设结论不成立，即

因为f0 (x) 的对称轴为

(1)当，即|m|>2时，f0 (x)在闭区间[-1, 1]上为单调函数，

(2)当|-2m|≤1，即|m|≤2时，f0 (x)在闭区间[-1，-2m]上为单调递减函数，在闭区间[-2m, 1]上为单调递增函数，则有

综上所述

命题2:如果二次函数f0 (x) =x2+mx+n, m、n∈R, |f0 (x) |在[-1, 1]上的最大值为M0, 且

证明:因为f0 (x) 的对称轴为

(1) 当, 即m>2时, f0 (x) 在闭区间[-1, 1]上为单调递增函数 (如图1) ,

则有, 此与m>2无公共元素, 所以无解.

(2) 当上为单调递增函数 (如图2) ,

则有, 此与0

(3)当上为单调递增函数(如图3),

(4) 当, 即m<-2时, f0 (x) 在闭区间[-1, 1]上为单调递减函数 (如图4) ,

综上所述, 成立.

推论1:二次函数f (x) =ax2+bx+c, |f (x) |在[-1, 1]上的最大值为M, 那么

证明:

从而有:|f (x) |的最大值M就是|af0 (x) |=|a|·|f0 (x) |的最大值.

由命题1知

推论2:二次函数f (x) =ax2+bx+c, |f (x) |在[-1, 1]上的最大值为M, 且

证明:另

从而有:|f (x) |的最大值M就是|af0 (x) |=|a|·|f0 (x) |的最大值.

M估计的权函数选取及其抗差性比较 第7篇

关键词：M估计,权函数,粗差,半参数模型,抗差广义补偿最小二乘法

0 引言

在数据处理时, 考虑粗差的因素及其影响, 可将粗差归为函数模型, 粗差即表现为测量误差绝对值较大且偏离群体;也可归为随机模型, 粗差即表现为先验随机模型, 和实际随机模型的差异太大将粗差归为函数模型, 可解释为平均漂移模型, 其思想是在正式进行最小二乘平差之前探测和定位粗差, 然后剔除含粗差的观测值, 得到一组比较净化的观测值, 以便符合最小二乘平差只具有偶然误差的条件 (如Baarda的数据探测法) ;而将粗差归为随机模型, 可解释为方差膨胀模型[4]。

M估计 (稳健估计) 实际上是一个广范围的估计类, 即包含不稳健的方法, 如最小二乘法;也包含稳健方法, 如最小绝对偏差方法。其分类方法以是否顾及误差分布作为分类标准。文献[1]作了较为详细的讨论。

依据估计准则的统计背景, M估计可分为三类:基于概率密度 (或误差分布) 的M估计, 如最小二乘估计等;与概率密度无关的M估计 (经验方法) , 权函数通过数值模拟获得, 而无须顾及是否知道误差的概率密度, 如丹麦法等;基于随机模型验后估计的稳健估计, 如李德仁选权迭代法。

在参数回归估计中, 不同的权函数形式产生了不同的估计方法。如果对观测误差的统计性质一无所知, 或者不考虑, M估计实际上就是非参数统计方法, 如最小二乘估计, 不考虑误差正态分布, 它就是非参数统计方法;如果估计误差遵循正态分布, 最小二乘估计就是极大似然估计, 是参数估计。

1 M估计的权函数选取

在参数回归估计中, 虽然估计方法的表达形式有所不同, 但都可以看作为线性组合的某种权函数, 不同的权函数形式产生了不同的估计方法。为了实现参数估计的稳健性, 一般遵循大误差以小权, 小误差以大权, 等价权公式可以通过数值模拟经验地确定的原则。等价权是残差的函数, 参数的迭代求解中残差的改变引起等价权的改变。几种常见的M估计权函数选取如下。

1.1 最小二乘平差法

权函数:

f (V) =1 (最小二乘估计不具有抗差性) 。

1.2 Huber估计法

权函数:

1.3Hampel估计法

权函数:

$f(V)=\{\begin{array}{cc}1& |V|＜a\cdot \delta \\ \frac{a\cdot \delta }{|V|}& a\cdot \delta \le |V|\le b\cdot \delta \\ \frac{a}{|V|}\cdot \frac{c\cdot \delta -|V|}{c-b}& b\cdot \delta \le |V|\le c\cdot \delta \\ 0& |V|\ge c\cdot \delta \end{array}$

(取a=1.5, b=3.0, c=4.5) 。

即:Vi在±aδ内, 采用最小二乘法, 等价权取原观测权;Vi在±aδ与±bδ之间, 采用绝对和极小法 (即中位数法, 它也是抗差估计) ;Vi在±bδ与±cδ之间, 等价权随着残差的增大而减小, 从而限制这部分观测值对参数的影响;Vi在±cδ以外, 观测值

不予采用。

1.4 丹麦估计法 (DAM)

权函数:

(取a=1.5) 。

1.5 IGG法

权函数:

$f(V)=\{\begin{array}{cc}1& |V|＜a\cdot \delta \\ \frac{k\delta }{|V|}& a\cdot \delta \le |V|\le b\cdot \delta \\ 0& |V|\ge b\cdot \delta \end{array}$

(取a=1.5, b=3.0) 。

1.6 误差分布的概率密度估计法[3]

权函数:

此方法仍采用最小二乘原理, 保证了有效性、无偏性、一致性和稳健性。

2 半参数模型抗差广义补偿最小二乘法

半参数模型 (或偏线性回归模型) 是20世纪80年代发展起来的重要的统计模型, 它介于参数回归和非参数回归之间, 在不少的实际问题中, 它可能是一个更接近真实, 更能充分利用数据中所提供的信息的方法。由于这种模型即含有参数分量又含有非参数分量, 可以概括和描述众多的实际测量问题。在理论上, 处理这种模型的方法融合了参数回归中常用的方法与较近发展起来的非参数方法, 但也并非这两种方法的简单叠加。总的来看, 可以认为其复杂性和难度, 都超过单一性质的回归模型。利用半参数模型抗差广义补偿最小二乘法进行抗差估计可以达到预期效果。

半参数模型的误差方程为:

依照广义补偿最小二乘准则定义, 抗差广义补偿最小二乘准则为:

由拉格朗日乘数法构造函数得:

$\Phi ={\displaystyle \sum _{i=1}^{n}p}{}_{i}f(V{}_i)+\alpha \stackrel{\wedge }{{\displaystyle s}}{}^{{\rm T}}R\stackrel{\wedge }{{\displaystyle s}}+kX{}^{{\rm T}}QX+2{\rm K}{}^{{\rm T}}(B\stackrel{\wedge }{{\displaystyle X}}+\stackrel{\wedge }{{\displaystyle s}}-L-V)(3)$

令$\frac{\partial \Phi }{\partial V}=0‚\frac{\partial \Phi }{\partial \stackrel{\wedge }{{\displaystyle s}}}=0‚\frac{\partial \Phi }{\partial \stackrel{\wedge }{{\displaystyle X}}}=0$, 可得:

其中, R是一个适当给定的正定矩阵, 称为正则矩阵, 正则矩阵的确定可采用自然样条法, 也可以根据实际情况选择其他方法;二次型sTRs反映对向量s的某种度量;α是一个给定的纯量因子, 在极小化过程中对V和s起平衡作用, 称为平滑因子, 平滑因子的选择广泛采用广义交叉核实法, L曲线法等。$\overline{{\rm P}}=\text{d}\text{i}\text{a}\text{g}$ (p1, p2, …, pi) , pi取IGG法中f (V) 。

由式 (1) , 式 (3) 得方程的解为:

其中, $\overline{S}=(\overline{{\rm P}}+\alpha R){}^{-1}\overline{{\rm P}}‚k=(B{}^{{\rm T}}\alpha R\stackrel{\wedge }{{\displaystyle s}})(Q\stackrel{\wedge }{{\displaystyle X}}){}^{-1}‚Q={\rm I}$。

依据式 (1) , 式 (5) 求解残差V。

3 模拟算例

用钢尺对同一距离进行了10次同精度观测。真值$(\stackrel{\wedge }{{\displaystyle L}})=10.473\text{m}$, 观测值L=[L1, L2, L3, …, L9, L10]T=[10.423, 10.475, 10.478, 10.469, 10.469, 10.475, 10.472, 10.473, 10.470, 10.476]。

假设在此观测序列中包含一个粗差, 取10.473 m变为10.473-0.050=10.423 m。

2) 各估计法的改正数解算结果见表1。

4 结语

总结了M稳健估计的基本理论与方法, 并将参数稳健估计的思想应用到半参数模型估计中, 提出了抗差广义补偿最小二乘估计的基本公式。最后通过模拟算例验证了相关估计方法的有效性。所得结论为线性半参数模型估计理论在工程实践中的应用打下了一定的理论基础。

参考文献

[1]彭军还.非线性M估计研究及其应用[D].武汉:武汉大学博士学位论文, 2003.

[2]丁士俊.测量数据的建模与半参数估计[D].武汉:武汉大学博士学位论文, 2005.

[3]姚宜斌.基于等价方差—协方差的稳健估计理论研究[D].武汉:武汉测绘科技大学, 2000.

[4]靳苏平.一种有效的抗差估计[J].矿山测量, 2000 (3) :45-46.

函数估计 第8篇

Zhao提出的矩法, 通过点估计方法得到结构功能函数的前四阶矩, 进而求解失效概率。功能函数为光滑曲线时, 文献[2]表明, 进行5点或7点估计, 就有较高的精度, 且精度随着估计点数的增加单调增加。弹塑性分析时, 功能函数会有折点, 此时点估计方法的适用性尚需研究。

1 点估计方法

Zhao[2]提出一种基于高斯—埃米尔特积分的点估计方法, 计算功能函数的矩。对于只有一个基本随机变量的功能函数Z=G (X) 的中心矩可由μG=∑Pi×G[T-1 (ui) ], σG=∑Pi× (G[T-1 (ui) ]-μG) 2, σGkαk G=∑Pi× (G[T-1 (ui) ]-μG) 2计算, 其中, T-1 (ui) 为Rosenblatt反变换;ui, Pi分别为估计点和相应的权重, 按xi, Pi=ωi/π计算, xi, ωi分别为权函数exp (-x2) 的高斯—埃米尔特积分的高斯点和高斯系数, 可由相关数学手册查得。

2 功能函数有折点情况

在弹塑性分析时, 通常在结构易屈服处设置塑性铰。塑性铰骨架曲线通常简化为多折线形式。例如, 对于一个单跨刚架进行静力弹塑性分析, 有两个柱为构件1和构件3, 一个梁为构件2, 其中构件1截面EI1=1.675×107N·m2, 构件2和3截面EI2=3.35×107N·m2。分别在构件1, 3与地面固结处设置塑性铰, 塑性铰骨架曲线M—θ采用双折线形式。构件1屈服弯矩My=8 000 k N·m, 屈服转角θy=0.001 rad, 极限转角θu=0.03 rad。构件2屈服弯矩My=10 000 k N·m, 屈服转角θy=0.002 rad, 极限转角θu=0.06 rad。

假定在梁构件2与柱构件1节点处施加一水平荷载P~N (3.5, 0.1) , 构件1底部截面转角达到0.001 5 rad时, 刚架失效。刚架功能函数可表示为:Z=G (P) =θR-θS, θR为构件1底部截面的能力, θR=0.001 5 rad, θS为构件1底部截面的转角反应。

计算得到Z=G (P) 函数有两个折点。构件1底部截面首先进入塑性, 功能函数出现第一个折点, 坐标为 (3.351 7, 0.000 5) ;构件2底部截面随荷载的增大进入塑性, 功能函数出现第二个折点, 坐标为 (3.561 7, 0.000 3) 。

3 算例与分析

计算2个有折点的功能函数算例, 并与蒙特卡洛模拟结果比较。

3.1 算例1

构造有一个折点的功能函数:x<-1时Z=G (x) =-0.5x+0.5, x≥-1时Z=-x;假定x~N (0, 1) 。

蒙特卡洛模拟样本足够多时, 认为是准确值, 点估计方法与蒙特卡洛模拟结果的相对误差如图1所示。可得点估计方法的计算误差在准确值附近震荡, 当估计点达到一定数目后, 误差稳定。要保证计算误差小于5%, 算例1中点估计方法需要15点估计。

蒙特卡洛模拟计算失效概率一般需要样本数N=100/Pf。算例1失效概率为0.500 3, 蒙特卡洛模拟至少需要计算200次。点估计方法要计算的次数是前15次相加为63次, 是蒙特卡洛模拟计算次数的1/3。

3.2 算例2

构造有两个折点的功能函数:x<0时, Z=G (x) =-0.75x+3.25, 0≤x<1时Z=-x+3, x≥1时Z=-1.33x+3.33;假定x~N (0.1) 。

点估计方法与蒙特卡洛模拟结果的相对误差如图2所示。得到与算例1相同的结论, 要保证计算误差小于5%, 则算例2中点估计方法需要9点估计。

对于此算例, 失效概率为0.006 21, 蒙特卡洛模拟至少需要计算1.6×104次。点估计方法需要计算的次数为24次, 仅为蒙特卡洛模拟计算次数的1/667。

4 结语

1) 功能函数有折点时, 点估计方法的精度并非随估计点数增加而单调增加, 当估计点个数足够多时, 其计算结果基本稳定, 且有较好的精度。2) 精度达到一般工程精度要求的5%时, 功能函数有折点时的点估计方法计算量比功能函数光滑时的计算量多, 对于本文的两个算例, 前者是后者的5倍~12倍。3) 精度达到一般要求的5%时, 对于本文的两个算例, 蒙特卡洛模拟计算量是点估计方法计算量的3倍~700倍, 且失效概率越小, 蒙特卡洛模拟法的计算量越大, 点估计方法相对于蒙特卡洛模拟的计算效率越高。

参考文献

[1]张明.结构可靠度分析——方法与程序[M].北京:科学出版社, 2009.