函数的周期性与奇偶性

2024-07-25

函数的周期性与奇偶性（精选12篇）

函数的周期性与奇偶性第1篇

对于导函数, 在我们的教学中往往只关注导数的应用, 特别是导数在处理函数的单调性、极值 (最值) 、不等式的证明等问题中别具一格的应用, 更是把导数的“本色”刻划得淋漓尽致.其实, 导函数本身也许多独特的性质, 如导函数的周期性与奇偶性在最近几年的高考数学试题中考查便是一大“亮点”, 本文主要罗列其中的性质, 再作简单的应用.

1 定理再现

定理1 已知函数y=f (x) 是可导的周期函数, 则其导函数y=f′ (x) 也为周期函数且与y=f (x) 具有相同的周期.

证明因为函数y=f (x) 是可导的周期函数, 所以f (x+T) =f (x) (T为周期) , 利用复合函数导数运算法则得f (x+T) · (x+T) ′=f′ (x) , 因此f′ (x+T) =f' (x) .

定理2 已知函数y=f (x) 是可导的偶函数, 则其导函数f′ (x) 是奇函数;反之, 如果函数f (x) 是可导的奇函数, 其导函数f′ (x) 是偶函数.

证明因为函数y=f (x) 是可导的偶函数, 所以f (-x) =f (x) , 利用复合函数导数运算法则得f′ (-x) · (-x) ′=f′ (x) , 即f′ (-x) =-f′ (x) , 因此f′ (x) 是奇函数.反之同理可证.

这2个定理刻划了原函数与导函数之间的周期性与奇偶性的内在关系, 在我们解题中具有广泛的应用, 下面通过例题来加以说明.

2 定理应用

例1 (2007年福建高考数学理) 已知对任意实数x, 有f (-x) =-f (x) , g (-x) =g (x) , 且x>0时, f′ (x) >0, g′ (x) >0, 则x<0时, ( ) .

(A) f′ (x) >0, g′ (x) >0 (B) f′ (x) >0, g′ (x) <0

分析由定理2知:函数f′ (x) 是偶函数, 函数g′ (x) 是奇函数.又因为当x>0时, f′ (x) >0, g′ (x) >0, 所以x<0时, f′ (x) >0, g′ (x) <0.选B.

例2 (2006年湖南高考数学理) 若 $f (x) = a \sin (x + \frac{π}{4}) + b \sin (x - \frac{π}{4}) (a b \neq 0)$ 是偶函数, 则有序实数对 (a, b) 可以是____. (写出你认为正确的一组数即可)

解法1 由偶函数的定义知:f (-x) =f (x) 对定义域中任何一个x都成立.即 $a \sin (- x + \frac{π}{4}) + b \sin (- x - \frac{π}{4}) = a \sin (x + \frac{π}{4}) + b \sin (x - \frac{π}{4})$ 对定义域中任一个x都成立, 化简得 $\sqrt{2} \sin x \cdot (a + b) = 0$ 对定义域中任一个x都成立, 所以a+b=0, 只需填满足a+b=0的一组数即可.

解法 $2 f^{'} (x) = a \cos (x + \frac{π}{4}) + b \cos (x - \frac{π}{4})$ .由定理2知, 导函数f′ (x) 是奇函数, 所以f′ (0) =0.从而 $f^{'} (0) = a \cos \frac{π}{4} + b \cos \frac{π}{4} = 0$ , 故a+b=0, 只需填满足a+b=0的一组数即可.

评注如果直接去解答这类问题往往要利用偶函数的定义, 这就需要涉及到比较大的计算量.但转化为导函数后, 其导函数为奇函数, 就可以奇函数的特性来解答问题, 不仅开阔思路, 而且简化运算, 真是一举两得的事情.高三阶段的复习不仅需要“温故”, 更需要“知新”, 通过前后知识的整合, 剖析了知识间的内在联系, 重新构建起学生的知识网络, 避免了盲目的“题海战术”, 是提高复习效率的关键所在.

例3 (2007年江西高考数学理) 设函数f (x) 是R上以5为周期的可导偶函数, 则曲线y=f (x) 在x=5处的切线的斜率为 ( ) .

(A) -1/5 (B) 0 (C) 1/5 (D) 5

分析曲线y=f (x) 在x=5处的切线的斜率为f′ (5) , 由定理1与2知:f′ (x) 是奇函数且周期为5.所以f′ (5) =f′ (0) =0, 选B.

函数的周期性与奇偶性第2篇

ax11ax

xf(x)，所以f(x)为奇函数。（1）f(x)xa1a1

ax1(ax1)221（2）f(x)x，a1ax1ax1

因为a0，所以a11，所以0

所以f(x)的值域为(1,1).（3）任取x1,x2R，且x1x2，则 xx22，ax1

ax11ax2122f(x1)f(x2)x1x2x2x1 a1a1a1a1

2(ax11)2(ax21)2(ax1ax2) x1(ax11)(ax21)(a1)(ax21)

xx因为a1，x1x2，所以a1a2，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)

第3讲函数的奇偶性与周期性第3篇

奇偶性和周期性是函数的又一重要性质，是高考热点内容. 高考中以小题形式出现较多，也可能在解答题中作为条件给出，命题时主要考查奇偶性的概念，性质和图象关系. 要求能综合运用奇偶性，周期性，单调性解题，一般在5分左右.

命题特点

这部分内容主要在下述方面命题：（1）由奇偶性定义判断函数的奇偶性. （2）利用函数奇偶性、周期性求函数值及求参数值. （3）考查函数的单调性与奇偶性的综合应用. （4）对三种性质的综合考查；借助函数图象解决问题.下面通过例题体现命题特点.

1. 函数奇偶性的判断

例1 判断下列函数的奇偶性：

（1）[f（x）=（x-1）2+x2-x]；

（2）[f（x）=lg（4-x2）x-2+x+4]；

（3）[f（x）=x2+x，x<0，-x2+x，x>0.]

解析（1）由[2+x2-x]≥0，得[-2≤x<2]，

即函数[f（x）]的定义域是[{x|-2≤x<2}]，关于原点不对称，

故[f（x）]）为非奇非偶函数.

（2）由[（4-x2）>0，x-2+x+4≠0]得，[-2

即函数[f（x）]的定义域是[{x|-2

又[f（x）=lg（4-x2）x-2+x+4]=[lg（4-x2）2-x+x+4]

=[16lg（4-x2）]，

∴[f（-x）=16lg4--x2=16lg（4-x2）=f（x）].

所以函数[f（x）]是偶函数.

（3）当[x<0]时，[f（x）=x2+x，-x>0]，

[f（-x）=-（-x）2-x=-x2-x=-f（x）.]

当[x>0]时，[f（x）=-x2+x，-x<0]，

[f（-x）=（-x）2-x=x2-x=-f（x）].

∴[f（x）]是奇函数.

点拨直接由奇偶性的定义判断即可，但必须先考虑函数的定义域.判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：（1）定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件；（2）判断[f（-x）]是否等于[±f（x）]. 分段函数指在定义域的不同子集有不同对应关系的函数、分段函数奇偶性的判断，要分别从[x>0]或[x<0]来寻找[f（-x）=f（x）]或[f（-x）=-f（x）]成立. 只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性.

2. 利用奇偶性和周期性求值

例2 设函数[f（x）]是定义在[R]上的周期为2的偶函数，当[x∈[0，1]]时，[f（x）=x+1]，则[f（32）]= .

解析当[x∈[-1，0]]时，[-x∈[0，1]]，

又[f（x）]为偶函数，∴[f（x）=f（-x）=1-x].

∵[f（x）]在[R]上的周期为2，

∴[f（32）=f（32-2）=f（-12）=1--12=32.]

答案 [32]

点拨利用奇偶性和周期性求值主要是要通过性质将所求值转化到已知，要求对性质运用要灵活.对于奇偶性和周期性往往会和对称性一起应用，要注意总结一些基本规律.

3. 函数奇偶性的综合应用

例3 （1）设[a∈R，f（x）=a?2x+a-22x+1（x∈R）]，试确定[a]的值，使[f（x）]为奇函数；

（2）设函数[f（x）]是定义在（-1，1）上的偶函数，在（0，1）上是增函数，若[f（a-2）-f（4-a2）<0]，求实数[a]的取值范围.

解析（1）要使[f（x）]为奇函数，又[x∈R]，

∴需[f（x）+f（-x）=0].

∵[f（x）=a-22x+1]，

∴[f（-x）=a-22-x+1=a-2x+12x+1].

由[a-22x+1+a-2x+12x+1=0]得，

[2a-22x+12x+1=0]，

∴[a=1].

（2）由[f（x）]的定义域是[-1，1]知，

[-1

解得，[3

由[f（a-2）-f（4-a2）<0]得，[f（a-2）

因为函数[f（x）]是偶函数，所以[f（|a-2|）

由于[f（x）]在（0，1）上是增函数，所以[|a-2|<|4-a2|]，

解得[a<-3]或[a>-1]且[a≠2].

综上，实数[a]的取值范围是[3

点拨由奇偶性求参数值，应抓住奇偶性是函数的整体性质，利用等价性转化为恒成立问题. 利用单调性将转化为一般不等式求解.奇函数在对称区间上单调性相同，偶函数对称区间上单调性相反是我们解函数型不等式的关键，这种转化行之有效.

4. 函数奇偶性与周期性的综合应用

例4 设[f（x）]是定义在[R]上的奇函数，且对任意实数[X]，恒有[f（x+2）=-f（x）]，当[x∈[0，2]]时，[f（x）=2x-x2].

（1）求证：[f（x）]是周期函数；

（2）当[x∈[2，4]]时，求[f（x）]的解析式；

（3）计算[f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2014）]的值.

解析（1）因为[f（x+2）=-f（x）]，

nlc202309032003

所以[f（x+4）=-f（x+2）=f（x）]，

所以[f（x）]是周期为4的周期函数.

（2）因为[x∈[2，4]]，

所以[-x∈[-4，-2]，4-x∈[0，2]]，

所以[f（4-x）=2（4-x）-（4-x）2=-x2+6x-8].

又[f（4-x）=f（-x）=-f（x]），

所以[-f（x）=-x2+6x-8]，

即[f（x）=x2-6x+8，x∈[2，4]].

（3）因为[f（0）=0]，[f（1）=1，f（2）=0，f（3）=-1]，

又[f（x）]是周期为4的周期函数，

所以[f（0）+f（1）+f（2）+f（3）=f（4）+f（5）+f（6）+f（7）]

=…=0，

所以[f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2014）]

[=f（0）+f（1）+f（2）=1].

点拨本题首先要有条件求出函数的周期，再就要求利用奇偶性将对称区间解析式求出来，最后利用周期性求值.周期中常见规律：[f（x+a）=-f（x）]，则[f（x）]周期为[2a]. 函数求值注意用周期，最后只需求一个周期即可. 函数的周期性常与函数的其它性质综合命题，是高考考查的重点.

备考指南

（1）复习过程中要牢牢抓住奇偶性和周期性的定义，能快速准确判断其性质是解题的前提.

（2）会将周期性，奇偶性之间关系相互转化.

（3）充分理解奇偶性与单调性的关系，并由此解决函数不等式.

限时训练

1. 已知函数[f（x）]为奇函数，且当[x>0]时， [f（x）=x2][+1x]，则[f（-1）]= （）

A. -2 B. 0 C. 1 D. 2

2. 设函数[f（x）]和[g（x）]分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（）

A. [f（x）+|g（x）|]是偶函数

B. [f（x）-|g（x）|]是奇函数

C. [|f（x）|+g（x）]是偶函数

D. [|f（x）|-g（x）]是奇函数

3. 已知[f（x）]在R上是奇函数，且满足[f（x+4）=f（x）]，当[x∈（0，2）]时，[f（x）=2x2]，则[f（7）]等于（）

A. -2 B. 2 C. -98 D. 98

4. 若[f（x）=x（2x+1）（x-a）]为奇函数，则[a]= （）

A. [12] B. [23] C. [34] D. 1

5. 已知定义在R上的奇函数[fx]和偶函数[gx]满足[fx+gx=ax-a-x+2][a>0，且a≠1]，若[g2=a]，则[f2=] （）

A. [2] B. [154] C. [174] D. [a2]

6. 定义在R上的函数[f（x）]满足[f（x）=f（x+2）]，当[x∈[3，5]]时，[f（x）=2-|x-4|]，则下列不等式一定成立的是（）

A. [fcos2π3>fsin2π3]B. [f（sin1）

C. [fsinπ6f（sin2）]

7. 设函数[D（x）=1，x为有理数，0，x为无理数，]则下列结论错误的是（）

A. [D（x）]的值域为{0，1} B. [D（x）]是偶函数

C. [D（x）]不是周期函数 D. [D（x）]不是单调函数

8. 设[fx]是定义在[R]上的周期为2的偶函数，当[x∈0，1]时， [fx=x-2x2]，则[fx]在区间[0，2013]上的零点的个数为（）

A. 2013 B. 2014 C. 3020 D. 3019

9. 已知[f（x）]是定义在[R]上的偶函数，且以2为周期，则“[f（x）]为[0，1]上的增函数”是“[f（x）]为[3，4]上的减函数”的（）

A. 既不充分也不必要的条件

B. 充分而不必要的条件

C. 必要而不充分的条件

D. 充要条件

10. 设函数[f（x）]（[x∈R]）满足[f（-x）=f（x）]，[f（x+2）=f（x）]，则函数[y=f（x）]的图象是（）

A. B.

C. D.

11. 已知函数[f（x）]是定义在[R]上的奇函数，当[x>0]时，[f（x）=x3+x+1]，则当[x<0]时，[f（x）]= .

12. 已知[f（x）]是定义在[R]上的奇函数.当[x>0]时，[f（x）=x2-4x]，则不等式[f（x）>x]的解集用区间表示为 .

13. 对于定义在[R]上的函数[f（x）]，给出下列说法：①若[f（x）]是偶函数，则[f（-2）=f（2）]；②若[f（-2）=f（2）]，则函数[f（x）]是偶函数；③若[f（-2）≠f（2）]，则函数[f（x）]不是偶函数；④若[f（-2）=f（2）]，则函数[f（x）]不是奇函数. 其中，正确的说法是 .

14. 设函数[f（x）]是定义在[R]上的奇函数，且当[x≥0]时，[f（x）=x2]，若对任意的[x∈[t，t+2]]，不等式[f（x+t）][≥2f（x）]恒成立，则实数[t]的取值范围是 .

15. 判断下列函数的奇偶性.

（1）[fx=1-x2x+2-2]；

（2）[fx=x-11+x1-x]；

（3）[fx=3-x2+x2-3].

16. 已知[f（x）]是偶函数，且[f（x）]在[0，+∞）上是增函数，若[x∈12，1]时，不等式[f1+xlog2a≤fx-2]恒成立，求实数[a]的取值范围.

17. 已知定义在[R]上的函数[f（x）]对任意实数[x，y]恒有[f（x）+f（y）=f（x+y）]，且当[x>0]时，[f（x）<0]，又[f（1）=-23].

（1）求证：[f（x）]为奇函数；

（2）求证：[f（x）]在[R]上是减函数；

（3）求[f（x）]在[-3，6]上的最大值与最小值.

18. 已知函数[f（x）=2x+k 2-x，k∈R].

（1）若函数[f（x）]为奇函数，求实数[k]的值；

（2）若对任意的[x∈[0，+∞）]都有[f（x）>2-x]成立，求实数[k]的取值范围.

函数的周期性与奇偶性第4篇

设函数f (x) , (∞, +∞) 上满足f (2-x) =f (2+x) , f (7-x) =f (7+x) , 且在闭区间[0, 7]上只有f (1) =f (3) =0。 (1) 试判断函数y=f (x) 的奇偶性; (2) 试求方程f (x) =0在闭区间[-2005, 2005]上根的个数并证明你的结论。

分析:由f (2-x) =f (2+x) , f (7-x) =f (7+x) 可得:函数图像既关于x=2对称, 又关于x=7对称, 进而可得到函数周期, 然后再继续求解, 而本题关键是要首先明确函数的对称性, 因此, 熟悉函数对称性是解决本题的第一步。

命题1函数y=f (x) 的图像关于直线x=a对称的充要条件是f (a+x) =f (a-x) 或f (x) =f (2a-x) 。

证明:设P (x0, y0) 是y=f (x) 上任一点, 则y0=f (x0) 。由P关于直线x=a的对称点为Q (2a-x0, y0) 。 (必要性) 若y=f (x) 关于直线x=a对称, 则Q也在y=f (x) 上, 故y0=f (2a-x0) , ∴f (x0) =f (2ax0) 。 (充分性略) 。

推论函数y=f (x) 的图像关于y轴对称的充要条件是f (x) =f (-x) 。

命题2函数y=f (x) 的图像关于点A (a, b) 对称的充要条件是f (x) +f (2a-x) =2b。证明 (略) 。

推论函数y=f (x) 的图像关于原点O对称的充要条件是f (x) +f (-x) =0。

偶函数、奇函数分别是命题1、命题2的特例。

命题3 (1) 若函数y=f (x) 的图像同时关于点A (a, c) 和点B (b, c) 成中心对称 (a≠b) , 则y=f (x) 是周期函数, 且2|a-b|是其一个周期。

证明:函数y=f (x) 的图像同时关于点A (a, c) 和点B (b, c) 成中心对称, 则f (2a+x) +f (-x) =2c, f (2b-x) +f (x) =2c所以, f[2 (a-b) +x]=f ([2a+ (-2b+x) ]) =2c-f[- (-2b+x) ]=2c-f (2b-x) =2c-[2c-f (x) ]=f (x) , 所以2 a-b是它的一个周期。

(2) 若一个函数的图像有两条不同的对称轴, 分别为x=m, x=n, 那么这个函数是周期函数。

证: (Ⅰ) 因为函数的对称轴为x=m, x=n (m≠n) , 则 (1) f (m+x) =f (m-x) , (2) f (n+x) =f (n-x) 。

(Ⅱ) 分别将x=m-x, x=n-x代入 (1) (2) , 则有f (2m-x) =f (x) , f (2n-x) =f (x) , 则=f[x+2 (m-n) ]=f (2m+x-2n) =f (2n-x) =f (x) , 所以y=f (x) 是周期函数, 周期为2 (m-n) 。

(3) 若函数y=f (x) 的图像既关于点A (a, c) 成中心对称又关于直线x=b成轴对称 (a≠b) , 则y=f (x) 是周期函数, 且4 a-b是其一个周期。

证明:因为函数y=f (x) 的图像关于点A (a, c) 成中心对称, 所以f (x) +f (2a-x) =2c, 用2b-x代x得:f (2b-x) +f[2a- (2b-x) ]-2c=0 (*) , 又因为函数y=f (x) 的图像关于直线x-b成轴对称, 所以f (2b-x) =f (x) 代入 (*) 得:f (x) =2c-f[2 (a-b) +x] (**) , 用2 (a-b) 代x得f[2 (a-b) +x]=2c-f[4 (a-b) +x]代入 (**) 得:f (x) -f[4 (a-b) +x], 故y=f (x) 是周期函数, 且4 a-b是其一个周期。

例1定义在R上的非常数函数满足:f (10+x) 为偶函数, 且f (5-x) -f (5+x) , 则f (x) 一定是 ()

A.是偶函数, 也是周期函数

B.是偶函数, 但不是周期函数

C.是奇函数, 也是周期函数

D.是奇函数, 但不是周期函数

解:因为f (10+x) 为偶函数, 所以f (10+x) =f (10-x) 。所以f (x) 有两条对称轴x=5与x=10, 因此f (x) 是以10为其一个周期的周期函数, 所以x=0即y轴也是f (x) 的对称轴, 因此f (x) 还是一个偶函数。故选 (A) 。

例2设f (x) 是定义在R上的偶函数, 且f (1+x) =f (1-x) , 当-1≤x≤0时则f (8.6) ________。

解:因为f (x) 是定义在R上的偶函数, 所以x=0是y=f (x) 的对称轴;又因为f (x+1) =f (1-x) , 所以x=1也是y=f (x) 的对称轴, 故y=f (x) 是以2为周期的周期函数, 所以f (8.6) =f (8+0.6) =f (0.6) =f (-0.6) =0.3。

例3函数的图像的一条对称轴的方程是 ()

解:函数的图像的所有对称轴的方程是所以显然取k=1时的对称轴方程是故选 (A) 。

点评:对某些含有两个变量的抽象函数问题, 常考虑“特殊值”的函数值, 即从其特殊值x=y=0入手解之。

链接练习

1.f (x) 是奇函数, 当x∈R+时, f (x) ∈ (-∞, m] (m<0) , 则f (x) 的值域可能是 ()

A.[m, -m]B. (-∞, m]C.[-m, +∞) D. (-∞, m]∪[-m, +∞)

2.已知f (x) =x3+bx2+cx是R上的奇函数, 动点P (b, c) 描绘的图形是 ()

A.椭圆B.抛物线C.直线D.双曲线

3.若y=g (x) 是偶函数, 那么f1 (x) =g (x) -1和f2 (x) =g (x-1) ()

A.都不是偶函数B.都不是奇函数

C.都是偶函数D.只有一个是偶函数

参考答案

1.D。若x=0不在定义域内为[-m, +∞) ∪[-m, +∞], 若x=0在定义域内为 (-∞, m) ∪[-m, +∞) ∪{0}。

2.C。由

《函数的奇偶性》教案第5篇

一、教材分析

1．教材所处的地位和作用

“奇偶性”是人教A版第一章“集合与函数概念”的第3节“函数的基本性质”的第2小节。

奇偶性是函数的一条重要性质，教材从学生熟悉的及入手，从特殊到一般，从具体到抽象，注重信息技术的应用，比较系统地介绍了函数的奇偶性。从知识结构看，它既是函数概念的拓展和深化，又是后续研究指数函数、对数函数、幂函数、三角函数的基础。因此，本节课起着承上启下的重要作用。

2．学情分析

从学生的认知基础看，学生在初中已经学习了轴对称图形和中心对称图形，并且有了一定数量的简单函数的储备。同时，刚刚学习了函数单调性，已经积累了研究函数的基本方法与初步经验。

从学生的思维发展看，高一学生思维能力正在由形象经验型向抽象理论型转变，能够用假设、推理来思考和解决问题．

3．教学目标

基于以上对教材和学生的分析，以及新课标理念，我设计了这样的教学目标：【知识与技能】

1．能判断一些简单函数的奇偶性。

2．能运用函数奇偶性的代数特征和几何意义解决一些简单的问题。【过程与方法】

经历奇偶性概念的形成过程，提高观察抽象能力以及从特殊到一般的归纳概括能力。【情感、态度与价值观】

通过自主探索，体会数形结合的思想，感受数学的对称美。从课堂反应看，基本上达到了预期效果。

4、教学重点和难点

重点：函数奇偶性的概念和几何意义。

几年的教学实践证明，虽然“函数奇偶性”这一节知识点并不是很难理解，但知识点掌握不全面的学生容易出现下面的错误。他们往往流于表面形式，只根据奇偶性的定义检验f(x)f(x)或f(x)f(x)成立即可，而忽视了考虑函数定义域的问题。因此，在介绍奇、偶函数的定义时，一定要揭示定义的隐含条件，从正反两方面讲清定义的内涵和外延。因此，我把“函数的奇偶性概念”设计为本节课的重点。在这个问题上我除了注意概念的讲解，还特意安排了一道例题，来加强本节课重点问题的讲解。

难点：奇偶性概念的数学化提炼过程。

由于，学生看待问题还是静止的、片面的，抽象概括能力比较薄弱，这对建构奇偶性的概念造成了一定的困难。因此我把“奇偶性概念的数学化提炼过程”设计为本节课的难点。

二、教法与学法分析

1、教法

根据本节教材内容和编排特点，为了更有效地突出重点，突破难点，按照学生的认知规律，遵循教师为主导，学生为主体，训练为主线的指导思想，采用以引导发现法为主，直观演示法、类比法为辅。教学中，精心设计一个又一个带有启发性和思考性的问题，创设问题情景，诱导学生思考，使学生始终处于主动探索问题的积极状态，从而培养思维能力。从课堂反应看，基本上达到了预期效果。

2、学法

让学生在“观察一归纳一检验一应用”的学习过程中，自主参与知识的发生、发展、形成的过程，从而使学生掌握知识。

三、教学过程

具体的教学过程是师生互动交流的过程，共分六个环节：设疑导入、观图激趣；指导观察、形成概念；学生探索、领会定义；知识应用，巩固提高；总结反馈；分层作业，学以致用。下面我对这六个环节进行说明。

（一）设疑导入、观图激趣

由于本节内容相对独立，专题性较强，所以我采用了“开门见山”导入方式，直接点明要学的内容，使学生的思维迅速定向，达到开始就明确目标突出重点的效果。

用多媒体展示一组图片，使学生感受到生活中的对称美。再让学生观察几个特殊函数图象。通过让学生观察图片导入新课，既激发了学生浓厚的学习兴趣，又为学习新知识作好铺垫。

（二）指导观察、形成概念

在这一环节中共设计了2个探究活动。

2探究1、2 数学中对称的形式也很多，这节课我们就以函数f(x)x和f(x)=︱x︱

1以及f(x)x和f(x)为例展开探究。这个探究主要是通过学生的自主探究来实现的，x由于有图片的铺垫，绝大多数学生很快就说出函数图象关于Y轴（原点）对称。接着学生填表，从数值角度研究图象的这种特征，体现在自变量与函数值之间有何规律? 引导学生先把它们具体化,再用数学符号表示。借助课件演示（令式 , 再令 ,得到

比较

得出等）让学生发现两个函数的对称性反应到函数值上具有的特性,f(x)f(x)（f(x)f(x)）然后通过解析式给出严格证明，进一步说明这个特性对定义域内任意一个都成立。最后给出偶函数(奇函数)定义(板书)。

在这个过程中，学生把对图形规律的感性认识，转化成数量的规律性，从而上升到了理性认识，切实经历了一次从特殊归纳出一般的过程体验。

（三）学生探索、领会定义

探究3 下列函数图象具有奇偶性吗？ yx3，yx[4，3]yyx2，x[3，2]4O3x3O2x

设计意图：深化对奇偶性概念的理解。强调：函数具有奇偶性的前提条件是——定义域关于原点对称。（突破了本节课的难点）

（四）知识应用，巩固提高

在这一环节我设计了4道题例1判断下列函数的奇偶性

选例1的第（1）及（3）小题板书来示范解题步骤，其他小题让学生在下面完成。例1设计意图是归纳出判断奇偶性的步骤：(1)先求定义域，看是否关于原点对称；(2)再判断f(-x)=-f(x)还是 f(-x)=f(x)。例2 判断下列函数的奇偶性： f(x)x2x

例3 判断下列函数的奇偶性：

f(x)0

例2、3设计意图是探究一个函数奇偶性的可能情况有几种类型？例4（1）判断函数f(x)x3x的奇偶性。

（2）如图给出函数图象的一部分，你能根据函数的奇偶性画出它在y轴左边的图象吗？

例4设计意图加强函数奇偶性的几何意义的应用。

在这个过程中，我重点关注了学生的推理过程的表述。通过这些问题的解决，学生对函数的奇偶性认识、理解和应用都能提升很大一个高度，达到当堂消化吸收的效果。

（五）总结反馈

在以上课堂实录中充分展示了教法、学法中的互动模式，“问题”贯穿于探究过程的始终，切实体现了启发式、问题式教学法的特色。

在本节课的最后对知识点进行了简单回顾，并引导学生总结出本节课应积累的解题经验。知识在于积累，而学习数学更在于知识的应用经验的积累。所以提高知识的应用能力、增强错误的预见能力是提高数学综合能力的很重要的策略。(1)f(x)x4(2)f(x)x5 11(3)f(x)x(4)f(x)2　xx

（六）分层作业，学以致用

必做题：课本第36页练习第1-2题。选做题：课本第39页习题1.3A组第6题。思考题：课本第39页习题1.3B组第3题。

函数奇偶性判断的常见误区第6篇

误区一忽略定义域

例1 判断函数f(x)=2x2+2xx+1的奇偶性.

错解因为f(x)=2x(x+1)x+1=2x，所以f(-x)=-2x=-f(x).

所以函数f(x)是奇函数.

剖析在刚学完函数奇偶性的概念时，对于这道题，大约会有30%的同学出现上述解答错误而不自知.事实上，根据奇（偶）函数的定义中“x的任意性”我们可以知道，“对于定义域内任意的x，都有f(-x)=-f(x)（或f(-x)=f(x)）成立”这句话首先就意味着“f(-x)有意义”，也就是说，奇（偶）函数的定义域必定关于原点对称！再换一种说法，那就是：如果一个函数的定义域不关于原点对称，那么它一定是非奇非偶函数.因此，我们在判断函数的奇偶性时强调要有定义域“优先意识”.

正解因为f(x)的定义域{x|x≠-1}不关于原点对称，故f(x)既不是奇函数也不是偶函数.

例2 证明函数f(x)=x2-2x+3,

x＞0,0,

x=0,

-x2-2x-3,x＜0是奇函数.

剖析证明本题时，很多同学往往会给出诸如“当x＞0时，有f(-x)=-f(x)，所以此时函数f(x)是奇函数；同理，当x＜0及x=0时，函数f(x)也都是奇函数，所以函数f(x)在（-∞,+∞）是奇函数”的论证过程.乍看起来，这一过程好像没有什么问题，但是函数的奇偶性是定义在整个定义域上的，在定义域内的某个区间上谈函数的奇偶性是没有道理的，将定义域随意分割来证明函数奇偶性是不正确的！因此，判断（或证明）分段函数的奇偶性时一定要在“分段函数，分段处理”的基础上，强化定义域“整体意识”.

证明当x＞0时，-x＜0,则f(x)=x2-2x+3,f(-x)

=-(-x)2-2(-x)-3=-x2+2x-3

=-(x2-2x+3)=-f(x);

当x=0时，f(x)=0=-f(-x);

当x＜0时，-x＞0,则f(x)=-x2-2x-3,f(-x)=(-x)2-2(-x)+3=x2+2x+3=-(x2+2x+3)=-f(x).

无论x＞0，x＜0还是x=0，总有f(-x)=-f(x)，所以函数f(x)在(-∞,+∞)是奇函数.

误区二转化意识不够

例3 函数f(x)=lg(x2+1-x)是函数.

A. 奇

B. 偶

C. 既奇又偶

D. 非奇非偶

剖析本题容易错选D.出错的原因主要有两个：一是不会求定义域；二是缺乏利用函数奇偶性的定义结合对数的运算法则进行合理转化的意识和能力.

事实上，本题可以这样判断：

因为x2+1＞x2=|x|≥x恒成立，所以f(x)的定义域为R；又f(x)+f(-x)=lg(x2+1-x)+lg(x2+1+x)=lg1=0，所以f(x)=-f(-x),故f(x)是奇函数.

正确答案为A.

误区三定义式理解不清

例4 已知f(x)是一个定义在R上的函数，求证：

(1) g(x)=f(x)+f(-x)是偶函数；

(2) h(x)=f(x)-f(-x)是奇函数.

剖析这道题是课本中的一道复习题，意在通过一个简单的抽象函数奇偶性的判断，来考查同学们对函数奇偶性概念的理解，尤其是对定义式的整体把握情况.尽管本题十分简单，但肯定还是会有同学对这种抽象函数的处理很不适应，即使硬套定义式证出了结果，头脑里也还模模糊糊，有种似是而非的感觉.

事实上，欲证g(x)是偶函数，依定义，只需证g(-x)=g(x)即可；而g(-x)=f(-x)+f(x)=f(x)+f(-x)=g(x)显然成立，命题得证.同理，h(x)=f(x)-f(-x)=-[f(-x)-f(x)]=-h(-x),是奇函数.

有兴趣的同学请思考：

“任何一个定义在R上的函数f(x)都可以表示为一个奇函数与一个偶函数的和”这句话正确吗？为什么？

由f(x)=[f(x)+f(-x)]+[f(x)-f(-x)]2及例4的结论,可知该命题正确.

例5 定义在R上的函数f(x)，对任意的x，y∈R均有：f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)，且f(0)≠0.求证：f(x)是偶函数.

剖析本题选自我校2006年高一第一学期期中数学试卷，和例4一样，同属抽象函数奇偶性的判断问题，但对函数奇偶性定义式的理解比例4考查得更加深入、灵活，对高一同学来说有一定的难度.有好多同学是这样证明的：

在f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)中令y=x,得f(2x)+f(0)=2f2(x)，①

再令y=-x,得f(0)+f(2x)=2f(x)f(-x)②

比较①、②两式，可得2f2(x)=2f(x)f(-x)，即f(-x)=f(x)，故f(x)是偶函数.

上述证法基本能扣住偶函数的定义式f(-x)=f(x)，证明过程似乎也没有什么问题，但是整个过程没有用到题设条件f(0)≠0！此条件是否多余？再细细推敲，你就会发现，上述证明的最后一步犯了逻辑上不能推出的错误——当f(0)=0时，得不到f(-x)=f(x)！而根据题设又不能排除“f(x)=0”的可能性.

正确的证明过程如下：

在f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)中令x=y=0，得2f(0)=2f2(0)，又f(0)≠0，故f(0)=1.

再令x=0，则有f(y)+f(-y)=2f(0)f(y)=2f(y)，所以f(-y)=f(y)，即f(-x)=f(x)，故f(x)是偶函数.

很多同学认为，要证f(x)是偶函数，就是要证f(-x)=f(x)，他们压根儿就没有想过还可以令x=0，得出f(-y)=f(y),即为f(-x)=f(x),这样对定义式的理解是死板的、机械的，没有抓住本质.

对于前面同学的证法，可以在最后补上分类证明“当f(x)≠0时，有f(-x)=f(x)成立；当f(x)=0时，必有f(-x)=0，此时也满足f(-x)=f(x)，故f(x)是偶函数”.不过这样一来，问题就又凸现出来了：没有“f(0)≠0”这一条件照样能证明f(x)是偶函数？！那么，若“f(0)=0”，究竟会产生什么样的情况呢？有兴趣的同学不妨作一番探究.

巩固练习

1. 函数f(x)=x2+2|x|-1，x∈[0,+∞）是函数.

A. 奇

B. 偶

C. 既奇又偶

D. 不奇不偶

2. 已知函数f(x)是一个定义在R上的奇函数，且x＞0时，f(x)=1.试求函数f(x)的表达式.

3. 判断函数f(x)=lg(1-x)-lg(1+x)的奇偶性.

4. 已知定义在R上的函数f(x)满足条件：对任意的x，y∈R，总有f(x+y)=f(x)+f(y).求证：f(x)是奇函数.

函数的周期性与奇偶性第7篇

对于“研究性学习”, 从以下几个方面来说。

(一) 背景材料的选取

在教材中, 所有的重要的知识点都作为“研究性学习”的背景和材料, 这确实是一个富有的素材库, 它的意义很大, 即能够把所有的中学教师的优点发挥出来。有时, 还可以把各自所写论文材料作为“研究性学习”的背景和材料。

(二) “研究性学习”的教学目标

对于教学, 首要是目标的明确, 即在每一节课中, 把相关的重点教给学生, 而对于发现问题的方法, 需要我们逐步去引导, 反复进行结论前、后的思考。

在荷兰, 有位著名的数学教育家弗赖登尔曾经说过, 通过自己的反思, 尤其在数学活动中是很重要的, 我们把它作为数学的一个核心、动力的因素。所以, 反思构成了发现的根本之泉, 而教会学生去发现问题, 在“研究性学习”中是一个目标。

(三) “研究性学习”的课堂操作

1.通过建立课题小组而进行:一般情况, 以10个左右同学为基准, 作为一个课题的小组, 然后去确定课题小组的组长由谁担当。

2.把课内、课外的关系处理好。对于教师, 其主要精力安排在课外时间, 而在课内, 主要任务是积极促进各个课题组去展示自己的成果。

3.通过把点、面结合起来, 作为本教案的一个研究方案, 组成一个课题小组而进行。每一个小组进行一个方案的研究。主要研究的范畴有:函数的奇偶性;函数的中心对称;关于x轴上的两点成中心对称, 周期性;关于平行于y轴的两直线对称, 周期性;关于一条平行y轴的直线成轴对称, 与周期函数等。

二、通过不断观察、反思去进行研究性学习

在课前, 往往老师给大家提供了有关的背景、材料, 通过逐步的研究、学习, 在上课前, 让同学们去展示一下学习成果。采用先进的教学手段, 比如多媒体进行教学, 展示2个重点的函数图像, y=sinx奇函数对称轴x=kπ+, k∈z f (-x) =f (+x) (特例) f (2π+x) =f (x) f (-x) =-f (x) 对称中心 (kπ, 0) , k∈z f (π-x) =-f (π+x) (特例) 。

对于这两个函数, 从函数的“三性”角度来分析, 看起来比较优美, 而美, 在于把函数“三性”集中一起了, 那么, 这类函数还有别的, 即正切函数和余切函数。

三、通过试验、猜想进行研究性学习

对于偶然性, 其中有必然性, 让学生找一个函数去作进一步的试验。通过下面的做法, 让每一个课题组, 选出一位同学, 把本组所构造的函数给同学们进行展示, 即给大家一起分享成果。

组一的一位学生, 展示了:

1.已知函数y=f (x) 为偶函数, 且关于直线x=1对称, 当x∈[0, 1]时, f (x) =x2, 作出函数的图象 (作图过程略) 从图3中不难发现, 函数具有周期性, 且周期为2。

2.已知函数y=f (x) 为偶函数, 且f (x+2) =f (x) , 当x∈[0, 1]时, f (x) =x2, (作图过程略) , 由图3可知, 函数的对称轴为x=k, k∈z。

3.已知函数y=f (x) , 满足f (x+2) =f (x) , 且f (1-x) =f (1+x) , 当x∈[0, 1]时, f (x) =x2 (作图过程略) , 由图3可知, 函数为偶函数。对于上面的三个命题, 我们能不能把其写成一个命题的形式, 让学生去思考。

有的学生说:已知函数y=f (x) , 当x∈[0, 1]时, f (x) =x2, 给出三个论断:

1.f (-x) =f (x) ;

2.f (2-x) =f (x) ;

3.f (2+x) =f (x) 。

若把其中两个论断作为一个条件, 则另一个的论断, 被作为结论的命题, 即真命题。在此基础上, 我们就可以作出一个合情的猜想, 即:函数y=f (x) , 给出三个论断:

1.f (-x) =f (x) ;

2.f (2a-x) =f (x) ;

3.f (2a+x) =f (x) 。

把其中两个论断作为一个条件, 而另一个论断作为结论, 则该命题是真命题。

四、通过探索、发现进行研究性学习

我们可以从本课题组中, 选出三位同学进行, 即对猜想的证明, 其具体的分工, 往往由自己来定。有的学生认为:由f (2a-x) =f (x) , 得f (2a+x) =f (-x) , 又f (-x) =f (x) , 得f (2a+x) =f (x) 。又有学生认为:由f (2a+x) =f (x) , 得f (2a-x) =f (-x) , 又f (-x) =f (x) , 得f (2a-x) =f (x) , 还有学生认为:由f (2a-x) =f (x) , 得f (2a+x) =f (-x) , 又f (2a+x) =f (x) , 得f (-x) =f (x) 。对于三位同学的推证, 其关键抓住了变量x, 即其具有任意性, 这样, 根据目标而进行相关的变形。在探索过程中, 他们可以发现论断2、论断3的条件是:其中参数有2a是相同的, 通过反思图3, 即作图的过程, 又有新的发现, 即图象的特征是:在两条对称轴即x=0, x=1下, 产生了周期性, 而在作图过程中, 很容易发现2=2 (1-0) , 从而得到三个论断:1.y=f (x) 的图象关于直线x=a对称;2.y=f (x) 的图象关于直线x=b对称;3.y=f (x) 是周期函数, 且周期T=2|b-a|为其中一个周期, 而以其中两个论断为条件, 则另一个论断是结论的命题, 即真命题。

五、通过类比、发散而进行

在学生展示了偶函数、轴对称、周期性等相互关系时, 把图1、图2结合而作类比、发散, 在此基础上得到一些命题:

1.若函数y=f (x) 为偶函数, 其图象关于点A (a, 0) 对称, 则函数y=f (x) 为数, 且周期T=4|a|。这是把轴对称类比为中心对称。

2.若函数y=f (x) 为奇函数, 其图象关于直线x=a对称, 则函数y=f (x) 为周期函数, 且周期T=2|a|。

3.若函数y=f (x) 为奇函数, 其图象关于点A (a, 0) 对称, 则函数y=f (x) 为周期函数, 且周期T=2|a|。

综上所述, 对于“研究性的学习”, 在我们中学生中是可以做的。而研究一个问题, 往往需要我们去发现问题, 在反思的基础上, 不断去熟悉函数的性质、捕捉信息, 发现问题, 而反思属于发现的源泉, 通过反思、试验、猜想、论证, 从而发现问题再去解决问题。而在整个研究性学习过程中, 我们还可以应用逼近、联想即类比的思维, 这是发现、解决问题的两种思维模式。所以, 在学习过程中, 为了获得了一个知识, 需要在平时的点点滴滴的积累, 那么, 学问无处不在。

摘要：到了高三, 教师要不断培养学生的研究性学习, 这样才能很好地引导学生学会学习, 比如说理解函数的奇偶数的特性、周期性及图象的对称性等, 即“三性”, 在这个的基础上, 去进一步探求相互之间的关系.而在研究问题的过程中, 让学生转变自己的学习方式, 以及培养学生在探究方面的能力、创新的意识。本文结合具体的教学实践, 主要从以下几个方面对于高中数学中函数的相关问题进行探讨。

关键词：高中数学,研究性,观察,探究

参考文献

[1]彭家盛.中职数学中“指数函数与对数函数”章节的有效性教学[J].科教文汇:下旬刊, 2012 (7) .

[2]罗洁.中职数学函数奇偶性的教学模式探索[J].科技致富向导, 2012 (9) .

函数的奇偶性(第2课时) 第8篇

一、教材分析

函数的奇偶性是函数的重要性质, 是对函数概念的深化.它把自变量取相反数时函数值间的关系定量地联系在一起, 反映在图象上为:偶函数的图象关于y轴对称, 奇函数的图象关于坐标原点成中心对称.这样, 就从数、形两个角度对函数的奇偶性进行了定量和定性的分析.本节课在教材的基础上对函数图象的对称性进行了拓展, 进一步研究函数图象关于直线x=a轴对称和关于点 (a, 0) 中心对称时几何特征与代数表征之间的关系.

二、教学目标

1.初步理解函数图象关于直线x=a轴对称和关于点 (a, 0) 中心对称时的代数表征;

2.能在问题中对对称性的代数表征进行识别和简单应用;

3.在研究问题的过程中, 培养学生观察、抽象的能力, 以及从特殊到一般的概括能力;运用类比数学方法, 渗透数形结合的数学思想.

三、教学重点

1.函数图象对称性的代数表征;

2.函数图象对称性的几何特征与代数表征之间的转换.

四、教学难点

函数图象对称性的几何特征与代数表征之间的转换.

五、教学过程

(一) 复习回顾

师:函数的奇偶性是函数的一个基本性质, 它反映的是一个函数图象的对称性质, 这种对称性质不仅广泛存在于数学问题之中, 而且利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决, 对称性还充分体现了数学的对称之美.今天我们首先深入研究一个函数图象的轴对称性.

师:首先来看函数y=x2 (x∈R) , 它为偶函数, 从“形”的角度看, 即几何特征为关于y轴对称;从“数”的角度看, 即代数表征为f (x) =f (-x) .

思考1那么对于函数y= (x-1) 2 (x∈R) , 它的图象关于直线x=1对称, 对应的代数表征是什么呢?

(二) 直观感知

师:观察函数y= (x-1) 2 (x∈R) 图象上点坐标的变化, 可以发现图象上关于直线x=1对称的两点A和A'横坐标之间的关系, 若点A坐标为 (x, f (x) ) , 则点A'的坐标为 (2-x, f (2-x) ) , 由于点A和A'关于直线x=1对称, 故f (x) =f (2-x) .

结论一:若函数y=f (x) (x∈D) 图象关于直线x=1对称, 则, f (x) =f (2-x) ;

师:那么, 若函数图象关于直线x=2对称呢?请说明理由.

思考2除了f (x) =f (2-x) , 还有没有其他形式的代数表征同样反映函数y=f (x) (x∈D) 图象关于直线x=1对称?

师:假设点A和A'离对称轴的距离都为x, 则点A坐标为 (1+x, f (1+x) ) , 则点A'的坐标为 (1-x, f (1-x) ) , 由于点A和A'关于直线x=1对称, 故f (1+x) =f (1-x) .

结论二:若函数y=f (x) (x∈D) 的图象关于直线x=1对称, 则, f (1+x) =f (1-x) ;

师:那么, 若函数图象关于直线x=2对称呢?请说明理由.

思考3由特殊到一般, 当函数y=f (x) (x∈D) 的图象关于直线x=a对称时, 代数表征是什么?

结论三:若函数f (x) (x∈D) 的图象关于直线x=a对称, 则, f (x) =f (2a-x) , 或f (a+x) =f (a-x) .

(三) 辨析提高

思考4观察结论一、二的两个代数表征, 它们之间有没有相同之处?

结论四:若函数y=f (x) (x∈D) 的图象关于直线x=a对称, 则, f (x) =f (2a-x) , f (a+x) =f (a-x) , …, f (x1) =f (x2) , 其中, 即x1、x2以a为中点.

(四) 类比归纳

师:再回忆奇函数和偶函数的区别与联系, 运用类比的数学方法, 大家完成以下结论:

结论一:若函数y=f (x) (x∈D) 图象关于点 (1, 0) 对称, 则, f (x) =-f (2-x) ;或f (1+x) =-f (1-x) ;

(五) 简单应用

例1已知函数y=f (x) (x∈D) 分别满足以下条件, 请分别说明函数图象关于______对称.

f (-2+x) =f (-2-x) , f (4+x) =f (3-x) ,

f (x-1) =-f (-3-x) , f (x+1) +f (-x+1) =0.

例2已知y=f (x) 为二次函数, 满足f (x+1) =f (3-x) , 试比较f (1) 与f (4) 的大小关系.

(六) 课堂小结

1.今天我们学习了什么内容?

2.学习了什么数学思想和方法?

(七) 课后作业

1.设二次函数f (x) 满足f (x+2) =f (3-x) , 且f (x) =0的两实数根平方和为10, f (x) 图象过点 (0, 3) , 求f (x) 的解析式.

2.已知函数y=f (x) (x∈R) 满足f (-x) =-f (x+4) , 且函数f (x) 在区间 (2, +∞) 上单调递增.如果x1<2<x2, 且x1+x2<4, 则f (x1) +f (x2) 的值 ()

A.恒小于0B.恒大于0

C.可能为0D.可正可负

教学反思

本节课《1.3.2函数的奇偶性 (二) 》是数学必修1中《1.3.2奇偶性》的第二节课, 在本节课之前学生已经学习了函数奇偶性, 能应用函数奇偶性解决简单的问题, 对函数图象对称性有了初步的认识;由于我所教的班级为实验班, 而且在前节课最后有学生就提问当对称轴不在轴及对称中心不在原点时代数表征是什么, 所以本节课的内容是对函数奇偶性的拓展, 进一步研究函数图象的对称性;从函数图象对称性的几何特征和代数表征两个方面去研究, 建立二者间的关系.

本节课的设计框架是由特殊到一般, 由几何到代数, 采用类比的数学方法建立更一般的函数图象对称性的几何特征和代数表征之间的关系.第一步, 从函数图象轴对称开始, 引导学生类比于函数图象对称轴为y轴时代数表征的结论, 比较容易得到当函数图象对称轴为直线x=1时的代数表征, 然后类比得出函数图象对称轴为直线x=2时的代数表征, 层层递进从而得到函数图象对称轴为直线x=a时的代数表征f (x) =f (2a-x) ;第二步, 对刚才的结论进行辨析, 确定了结论的存在性, 分析结论是否唯一.是否唯一是本节课的难点, 我设计了用距离的概念引入另一个代数表征f (a+x) =f (a-x) , 然后将f (x) =f (2a-x) 与f (a+x) =f (a-x) 进行对比, 比较容易地分析出运用整体替换的思想, 替换后自变量和为定值, 因变量相等即为轴对称性的结论;第三步, 运用类比的数学思想, 得到函数图象关于点 (a, 0) 对称的对应结论.

本节课的引入还可以设计为由二次函数y= (x-1) 2引入, 引导学生计算验证f (x) =f (2-x) , 然后去掉二次函数模型, 再引导学生辨析任意一个函数图象关于直线x=1对称时, 是否都满足f (x) =f (2-x) .

本节课使我满意的地方有以下几点:

一、学生自主探究的效果很好, 所有概念都是由学生总结得到的, 充分发挥了学生学习的主观能动性, 这得益于“先行组织者”的使用;

二、适时追问学生回答结果的理由, 充分展示学生的思维过程, 给其他同学以借鉴, 可以达到事半功倍的效果;

对函数奇偶性的认识第9篇

一、函数奇偶性的产生背景

从数学概念产生的客观背景来说, 一般有两种情形:一是直接从客观事物的空间形式和数量关系反应得来的。二是在已有数学概念的基础上, 经过多层次的抽象概括而形成的。显然, 函数奇偶性的产生属于前者。在现实世界中, 存在着大量对称性的物体或图形。我们将这些物体或图形抽象为平面内的一条曲线, 并将其放于平面直角坐标系中。然后, 以坐标为工具通过数量关系来反映曲线上点与点之间的对称关系。具体来说, 若一个函数的图象关于点成中心对称 (或关于直线成轴对称) , 我们把该图象进行平移, 使得对称中心与原点重合 (或对称轴与轴重合) , 这就是奇函数 (或偶函数) 的图象。因此, 函数奇偶性是对客观事物属性的抽象产物。

二、函数奇偶性的数学意义

研究函数的奇偶性即研究函数图象的对称性。对于具有对称性的物体或者图象, 我们可以从其对称中心或对称轴将其平分成两部分, 进而可以根据其中一部分的形状和特点推导出另一部分的形状和特点。因此, 对于中心对称或轴对称的函数图象, 我们常常可以通过对其中一侧的研究而得到另一侧的性质。

三、函数奇偶性的本质属性

奇函数和偶函数的本质属性有两个侧面:“形”的特征和“数”的表示, “数”与“形”有着密切的联系。在“形”的方面, 奇函数关于原点对称, 偶函数关于y轴对称;而在“数”的方面, 则是利用函数解析式描述函数图象的对称特征, 对于函数f (x) 的定义域内的任意一个x, 都有f (-x) =f (x) , 那么f (x) 就叫做偶函数;若都有f (-x) =-f (x) , 那么f (x) 就叫做奇函数。

因此, 对函数奇偶性的教学要突出从“形”“数”两个方面, 由“形”得“数”, 由“数”思“形”, 体现发现和探究的理念。教学时不适合一开始就给出定义, 而是应该先让学生观察图形, 从中寻找它们的共性, 目的是让学生先有个直观上的认识, 体会“形”的特征。另外, 为了引导学生由图形的直观认识上升到数量关系的精确描述, 应先提示学生图形是由点组成的, 找出其间的关系后, 建立奇 (偶) 函数的概念。

数学概念是数学知识中最基本的内容, 是数学认知结构的重要组成部分。现代的一些学者认为“数学的学习过程, 就是不断地建立各种数学概念的过程。”然而, 数学概念具有抽象性, 学生对概念的理解在一定程度上受教师的影响。因此, 教师必须深刻理解每一个数学概念。只有这样, 我们的教学才是有效的、科学的。

摘要：数学概念是数学知识中最基本的内容, 是数学认知结构的重要组成部分。学生对数学概念的理解在一定程度上受教师的影响。教师对概念的深刻理解显得尤为重要, 从三个方面阐述了对函数奇偶性的认识:函数奇偶性的产生背景、函数奇偶性的数学意义、函数奇偶性的本质属性。

关键词：概念,函数奇偶性,本质

参考文献

利用函数的奇偶性求解定积分第10篇

下面从求解被积函数具有奇偶性且积分区间关于原点对称、被积函数具有奇偶性而积分区间不关于原点对称、被积函数不具有奇偶性而积分区间关于原点对称等三个方面讨论定积分的求解.

1. 求解被积函数具有奇偶性且积分区间关于原点对称的定积分

当求解被积函数具有奇偶性, 且积分区间关于原点对称的积分问题, 可直接利用函数的奇偶性求解, 实现求解的简单化.

例1计算

分析因为y=ax3+bx在[-1, 1]上是奇函数, 所以∫1-1 (ax3+bx) dx=0.1

例2计算

分析因为本题的积分区间关于原点对称, 所以先将原题的被积函数化简为一个奇函数与偶函数的和, 然后进行求解.

2.求解被积函数具有奇偶性而积分区间不关于原点对称的定积分

当求解被积函数具有奇偶性, 而积分区间不关于原点对称时, 可以通过换元等方法进行变形, 使被积函数仍具有奇偶性且积分区间关于原点对称, 然后求解.

比较函数奇偶性的代数法和图像法第11篇

【2012年高考广东文4】下列函数为偶函数的是（）

A. y=sinx B. y=x3 C. y=ex D. y=In■

【分析】研究函数的奇偶性主要在两个方面：

1. 求出函数的定义域，通过数轴去看定义域是否关于原点对称.2. 验证函数表达式是否满足f（-x）=-f（x）或f（-x）=f（x），满足前一个等式是奇函数，后一个等式是偶函数，两个等式都不满足的是非奇非偶函数.

对于本题的四个选项的函数的定义域都是R，关于原点对称．然后通过验证函数表达式易知选项A 、B为奇函数，选项C为非奇非偶函数，对于D有f（-x）=In■=In■=f（x），为偶函数.此法称为代数法.

另解：对于函数的奇偶性也可通过观察函数的图像进行快速判断：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称.选项A，B，C都是常见函数，容易画出它们的图像，易看出A，B的函数图像关于原点对称，是奇函数，C的函数图像既不关于原点对称也不关于y轴对称，是非奇非偶函数，因此都被排除，D是正确答案.此法称为图像法.

【答案】D.

小结：对于函数奇偶性的判断问题，如果能够画出图像的，优先考虑图像法；图像法解决不了的再考虑代数法.

变式训练1：【2012年高考陕西文2】下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）

A. y=x+1 B. y=-x2 C. y=■ D. y=x｜x｜

【解析】图像法：容易画出选项A，B，C的函数图像，通过观察图像可知A为非奇非偶函数；B为偶函数；C为奇函数；但在（-∞，0），（0，+∞）上是减函数；而D则先转化为分段函数 y=x2，x≥0-x2，x＜0，再画出它的图像，通过观察可得是奇函数，而且是增函数.因此，选D.

小结：解本题也可以用代数法来判断四个选项的奇偶性，但是在判断单调性时还是用到图像法比较容易解决.因此一开始就采用图像法可以达到一举两得的效果.

变式训练2：【2012年高考重庆文12】函数f（x）=

（x+a）（x-4）为偶函数，则实数a= .

【解析】本题涉及的函数为二次函数，同学们对它的图像较为熟悉，因此可以用图像法.

图像法：f（x）=（x+a）（x-4）=x2+（a-4）x-4a，由二次函数知识可知图像为抛物线，对称轴为x=-■，要使二次函数为偶函数，则对称轴应为y轴，即x=-■=0,这时得a-4=0，得到a=4.

代数法：因为函数f（x）=（x+a）（x-4）为偶函数，所以满足f（-x）=f（x），由f（x）=（x+a）（x-4）=x2+（a-4）x-4a，f（-x）=x2-（a-4）x-4a，得x2-（a-4）x-4a=x2+（a-4）x-4a，即a-4=0，得到a=4.

小结：对比可知图像法比代数法运算量少，节省时间，减少出错机会.

在高考中，考查函数的奇偶性还会与单调性或周期等知识综合出现，还有一种情况是函数的局部奇偶性，这时应选用图像法还是代数法？请看以下高考题：

【2012年高考浙江文16】设函数f（x）是定义在R上的周期为2的偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=x＋1，则

f（■）=______.

【解析】本题是对函数的奇偶性和周期性等知识的综合考查，有一定的难度，用代数法：f（■）=f（■-2）=

f（-■）=f（■）=■+1=■.

另：本题也可用图像法，第一步：先画出当x∈[0，1]时，f（x）=x＋1的图像，即图1；第二步：由条件f（x）是偶函数可得它的图像关于y轴对称，因此由图1画出关于y轴对称的图像，即图2；第三步：由条件f（x）是定义在R上的周期为2，可由图2得到图3，这时观察图像可求得当x∈[1，2]时f（x）的函数表达式，f（x）=-x＋3 ，最后得到f（■）=-■+3=■.

小结：对比可知在本题中代数法和图像法各有特点.

变式训练3：【2012年高考重庆理7】已知f（x）是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f（x）为[0，1]为上的增函数”是“f（x）为[3，4]上的减函数”的（）

A．既不充分也不必要的条件

B．充分而不必要的条件

C．必要而不充分的条件

D．充要条件

【解析】本题属于抽象函数问题，通过图像法去推理可以起到化抽象为具体的作用，过程如下：先考虑充分性，若f（x）为[0，1]上的增函数，草图可如图4，由条件f（x）是定义在R上的偶函数可知f（x）的图像关于y轴对称，如图5,所以f（x）在[-1，0]上为减函数；再由条件

f（x）以2为周期可知，f（x）在[-1，0]，[-1+2，0+2]= [1，1]，[1+2，2+2] =[3，4]这三个区间上的图像是相同的，如图6，因此具有相同的单调性，都为减函数.因此充分性成立.必要性的原理同上，具体过程留给同学们完成.

而本题若用代数法的话则要繁琐很多，不建议使用.

【答案】D.

【2012年高考上海文9】已知y=f（x）是奇函数，若g（x）=f（x）+2且g（1）=1，则g（-1）= .

【解析】本题也属于抽象函数问题，由于没有涉及周期，因此较难用图像来表达函数的特点.而从代数法的角度考虑，g（x）为非奇非偶函数，但是f（x）是g（x）表达式的一部分，是奇函数，也就是说g（x）具有局部奇函数的性质，利用f（-x）=-f（x）便可解决问题.具体过程如下：由g（1）=f（1）+2=1，得f（1）=-1，所以g（-x）=f（-1）+2=-f（1）+2=3.

【答案】3.

变式训练4：【2012年高考上海理9】已知y=f（x）+x2是奇函数，且f（1）=1，若g（x）=f（x）+2，则g（-1）= .

【解析】本题与上题一样，难用图像法去解决.从代数法去考虑g（-1）=f（-1）+2，设h（x）=f（x）+x2，因为h（x）为奇函数，所以有h（-x） =-h（x），即f（-x）+（-x）2=-f（x）-x2，整理得f（-x）=-f（x）-2x2，因此有f（-1）=-f（1）-2=-1-2=-3，最后得g（-1）=f（-1）+2=-3+2=-1.

【答案】-1.

总结：

1．对于函数奇偶性的问题，若是常见函数的话，一般情况下用图像法会比较直观快速地解决.

2．对于函数奇偶性与周期性的综合问题，一般来讲图像法与代数法各有特点或图像法优于代数法.

3．对于局部奇偶性的问题，往往是用不了图像法的，只能用代数法.

希望同学们在平时解题要善于总结这两种方法的优劣，最后做到取长补短，又快又准地解决问题.

（作者单位：佛山市顺德区乐从中学）

浅谈函数奇偶性的教学体会第12篇

函数的奇偶性的定义如下:

(1) 一般地, 如果对于函数f (x) 在定义域内的任一个x, 都有f (-x) =f (x) , 那么函数f (x) 叫做偶函数。

(2) 一般地, 如果对于函数f (x) 在定义域内的任一个x, 都有f (-x) =-f (x) , 那么函数f (x) 叫做奇函数。

学习这个定义要紧紧抓住两个要点: (1) 函数的定义中的x是任一个值。 (2) 都有f (-x) =f (x) (或f (-x) =-f (x) )

在讲课中, 我特别注意强调x是任一个而不是某一个, 而不少同学经常要用具体的某一个值来判断函数的奇偶性, 正是对定义缺乏深刻的理解。而定义中的都有f (-x) =f (x) (或f (-x) =-f (x) ) , 表示对于任意的x都成立, 即上面的式子是一个恒等式, 而不是对于部分x成立。

应该特别注意的是, 仅仅简单地记住这个定义的两个要点是远远不够的, 因为, 函数的奇偶性的定义包含着更深刻的内涵:

(一) 定义中涉及的求f (x) , f (-x) , 这里应该强调的是:f (x) 与f (-x) 必须同时有意义。因此, 可以得出下面的结论, 函数f (x) 是奇函数 (或偶函数) 的必要条件是函数的定义域必须是关于原点对称的数集 (原点可在也可不在定义域内) 。下面, 让我们总结一下常见的关于原点对称和关于原点不对称的数集。

在讲课中, 我通过对常见的关于原点对称和关于原点不对称的数集进行总结, 使同学们很快就能根据数集的形式来判断函数的定义域是否是关于原点对称的数集, 从而进一步判断出函数的奇偶性。

(二) 函数的奇偶性是整个定义域内的性质, 仅在定义域内的一个真子集中讨论函数的奇偶性是没有意义的。这一点和研究函数的单调性的方法不同。

因此, 只有深刻地理解函数的奇偶性的定义的内涵, 才能正确地判断函数的奇偶性。

二、关于函数奇偶性的几个重要性质

根据函数的奇偶性的定义, 我们可以系统地总结出函数的奇偶性的几个重要性质:

(1) 对称性:奇 (偶) 函数的定义域关于原点对称。

(2) 整体性:函数的奇偶性是整体性质, 对定义域内的任意一个x都必须成立。

(3) 可逆性:①f (-x) =f (x) ⇔f (x) 是奇函数

②f (-x) =-f (x) ⇔f (x) 是偶函数

(4) 等价性:①f (-x) =f (x) ⇔f (-x) -f (x) =0

②f (-x) =-f (-x) ⇔f (-x) +f (x) =0

(5) 图像的对称性:奇函数的图像关于原点对称。偶函数的图像关于y轴对称。

三、如何判断一个函数的奇偶性

根据函数的奇偶性的定义判断函数的奇偶性有两个步骤。首先应判断函数的定义域是否是关于原点对称的数集, 其次是验证f (-x) =f (x) (或f (-x) =-f (x) ) 对于定义域中的任意x是否成立。两个条件中尤以第一个条件最为重要, 因为如果不能满足第一个条件, 即使第二个条件成立也不能判断函数的奇偶性。不少同学在判断函数的奇偶性时经常只依据第二个条件是否成立来进行判断, 因而产生了错误。

根据判断函数的奇偶性的两个条件, 我们可以把函数按奇偶性分为: (1) 奇函数; (2) 偶函数; (3) 非奇非偶函数; (4) 既是奇函数也是偶函数四种类型。下面, 我们根据各种题型举行举例分析。

上述几个例子都是根据判断函数的奇偶性的两个步骤来判断函数的奇偶性的, 它属于比较简单的题目, 属于基本的题型。但有的题目较复杂, 例如:

由上面的例子可知, 若函数的表达式较复杂时, 一定要对式子的特点进行分析才得出恒等式是否成立的结论, 必要时应对表达式先进行化简, 再根据定义进行判断。

另外, 判断函数的奇偶性也可以根据它的图像的对称性进行判断。如果函数的图像关于原点对称, 则该函数一定是奇函数, 如果函数的图像关于y轴对称, 则该函数一定是偶函数。反之, 若函数

的图像关于原点或y轴不对称, 则该函数一定是非奇非偶函数。

四、几个判断函数奇偶性例子的错解分析

分析:上述解题结论正确, 过程错误。因为f (x) 与f (-x) 不能同时有意义。因此, 正确的解法是, 只有判断函数的定义域关于原点不对称, 就可以直接得出结论, 而不用验证f (-x) =f (x) (或f (-x) =-f (x) ) 是否成立。

分析:上述解题过程是错误的。很明显, 解题过程中没有考虑f (x) 的定义域是否是关于原点对称的数集。实际上, f (x) 的定义域是关于原点不对称的数集, 因此, f (x) =x2是非奇非偶函数。这道题也可以从它图像的对称性进行判断。

总之, 只要深刻地理解函数的奇偶性的定义, 那么, 判断函数的奇偶性就不难了。

摘要：函数的奇偶性是函数的重要性质之一。本文主要探讨函数的奇偶性的定义、性质, 函数按奇偶性的分类, 奇偶函数的图像特征以及几个常见的判别函数的奇偶性的错例分析。

关键词：奇函数,偶函数,函数奇偶性

参考文献