椭圆方程范文

2024-06-26

椭圆方程范文（精选10篇）

椭圆方程第1篇

椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的参数方程为:

${\begin{cases} x = a c o s θ, \\ y = b s i n θ . \end{cases}$

其中θ是参数, θ∈[0, 2π) , 故椭圆上的任一点都可以写成P (acosθ, bsinθ) , θ∈[0, 2π) 的形式, 现就其在解题中的应用例释如下, 供同学们参考.

一、求解范围问题

例1 已知椭圆E: $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 和直线l:x-2y+c=0有公共点, 试求实数c的取值范围.

简析:设 $Μ (2 \cos θ, \sqrt{3} \sin θ), θ \in [0, 2 π)$ 是E和l的公共点, 则有 $C = 2 \sqrt{3} \sin θ - 2 \cos θ = 4 \sin (θ - \frac{π}{6}) \in [- 4, 4] .$

例2 椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右顶点为A (a, 0) , O是椭圆的中心, 若椭圆在第一象限存在一点P使得 $∠ Ο Ρ A = \frac{π}{2}$ , 则椭圆离心率e的取值范围是 ( )

$\begin{array}{l} (A) (0 ‚ \sqrt{2} - 1) (B) (\frac{\sqrt{2}}{2} ‚ 1) \\ (C) (0 ‚ \frac{\sqrt{2}}{2}) (D) (\sqrt{2} - 1 ‚ 1) \end{array}$

简析:设点 $Ρ (a \cos θ, b \sin θ), θ \in (0, \frac{π}{2})$ , 依题意应有 $(a \cos θ - \frac{a}{2})^{2} + (b \sin θ)^{2} = (\frac{a}{2})^{2}$ , 即a2cos2θ-a2cosθ+b2sin2θ=0, 整理得 $e^{2} = \frac{1}{1 + \cos θ}$ .因为 $θ \in (0, \frac{π}{2})$ , 所以 $e^{2} \in (\frac{1}{2}, 1)$ , 所以 $e \in (\frac{\sqrt{2}}{2}, 1)$ , 故选 (B) .

二、求解最值问题

例3 求直线y=kx+1被椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 所截得弦长的最大值.

简析: (0, 1) 为直线与椭圆的一个交点, 设另一个交点为 (2cosθ, sinθ) , 则弦长

$\begin{array}{l} L = \sqrt{4 \cos^{2} θ + (\sin θ - 1)^{2}} = \\ \sqrt{- 3 (\sin θ + \frac{1}{3})^{2} + \frac{16}{3}} \leq \frac{4}{3} \sqrt{3}, 即所求最大值为 \frac{4}{3} \sqrt{3} . \end{array}$

例4 已知椭圆C1: $\frac{x^{2}}{16} + y^{2} = 1$ 和圆C2:x2+y2=16, 点A是圆在第一象限上的点, 过A作AM垂直x轴于点M, 交椭圆于点B, 求∠AOB的最大值.

简析:如图1, 设A、B两点的坐标分别为 $(4 \cos θ, 4 \sin θ), (4 \cos θ, \sin θ), θ \in (0, \frac{π}{2})$ .令∠BOM=φ, 则 $\tan φ = \frac{1}{4} \tan θ$ .又 $\tan ∠ A Ο B = \tan (θ - φ) = \frac{\tan θ - \tan φ}{1 + \tan θ \tan φ} = \frac{3}{\tan θ + \frac{4}{\tan θ}} \leq \frac{3}{4}$ , 当且仅当 $\tan θ = \frac{4}{\tan θ}$ , 即θ=arctan2时等号成立, 故∠AOB的最大值是 $\arctan \frac{3}{4} .$

三、求解定值问题

例5 已知 $Ρ (1, \frac{3}{2})$ 是椭圆C: $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 上的点, 点M、N是C上的另外两点, 且直线PM与直线PN的倾斜角互补, 求证:直线MN的斜率为定值.

简析:P的坐标为 $(2 \cos \frac{π}{3} ‚ \sqrt{3} \sin \frac{π}{3})$ , 设 $Μ (2 \cos α, \sqrt{3} \sin α), Ν (2 \cos β, \sqrt{3} \sin β)$ , 其中α, β∈[0, 2π) , 则

$\begin{array}{l} k_{Ρ Μ} = \frac{\sqrt{3} (\sin α - \sin \frac{π}{3})}{2 (\cos α - \cos \frac{π}{3})} = \\ - \frac{\sqrt{3}}{2} \cot (\frac{α}{2} + \frac{π}{6}) \end{array}$

.同理 $k_{Ρ Ν} = - \frac{3}{2} \cot (\frac{β}{2} + \frac{π}{6})$ .因为PM与PN的倾斜角互补, 所以kPM=-kPN, 即 $\cot (\frac{α}{2} + \frac{π}{6}) = - \cot (\frac{β}{2} + \frac{π}{6})$ .又因为α, β∈[0, 2π) ,

所以 $\frac{α}{2} + \frac{π}{6} = π - (\frac{β}{2} + \frac{π}{6}) ①$

或 $\frac{α}{2} + \frac{π}{6} = 2 π - (\frac{β}{2} + \frac{π}{6}) ②$

由①得 $\frac{α + β}{2} = \frac{2 π}{3}$ , 由②得 $\frac{α + β}{2} = \frac{5 π}{3}$ .所以 $k_{Μ Ν} = \frac{\sqrt{3} (\sin α - \sin β)}{2 (\cos α - \cos β)} = - \frac{\sqrt{3}}{2} \cot \frac{α + β}{2} = \frac{1}{2}$ (定值) .

四、求解三角形的面积问题

例6 已知直线l: $\frac{x}{\sqrt{2} + 1} + \frac{y}{2} = 1$ 与椭圆C: $\frac{x^{2}}{3 + 2 \sqrt{2}} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 相交于A、B两点, 在椭圆上使得△PAB的面积等于1的点P共有 ( ) 个.

(A) 1 (B) 2

$\begin{array}{l} 简析 ∶ 如图 2 ‚ 设 Ρ ((\sqrt{2} + 1) \cos θ, 2 \sin θ), \\ θ \in (0, \frac{π}{2}) \end{array}$

是椭圆在第一象限的任一点, 则 $S_{△ Ρ A B} = S_{△ Ρ Ο A} + S_{△ Ρ Ο B} - S_{△ A Ο B} = (\sqrt{2} + 1) \cdot (\sin θ + \cos θ - 1) = (\sqrt{2} + 1) [\sqrt{2} \sin (θ + \frac{π}{4}) - 1] \leq (\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} - 1) = 1$ , 当 $θ = \frac{π}{4}$ 时等号成立.易知椭圆在直线AB的下方也有两点使△PAB的面积为1, 故选 (C) .

五、求解探索性问题

例7 是否存在同时满足下列条件的椭圆, 若存在, 求出椭圆的方程;若不存在, 请说明理由.①中心在原点, 焦点在y轴上, 长轴长是短轴长的3倍;②点P (0, 2) 到椭圆上点距离的最小值是 $\frac{\sqrt{2}}{2} .$

简析:假设存在满足条件的椭圆, 并设椭圆的短半轴长为b (b>0) , M (bcosθ, 3bsinθ) , θ∈[0, 2π) 是椭圆上的任一点, 则 $| Ρ Μ |^{2} = (b \cos θ - 0)^{2} + (3 b \sin θ - 2)^{2} = 8 b^{2} (\sin θ - \frac{3}{4 b})^{2} + b^{2} - \frac{1}{2} .$

若 $0 < \frac{3}{4 b} \leq 1$ , 即 $b \geq \frac{3}{4}$ , 则当 $\sin θ \frac{3}{4 b}$ 时, $| Ρ Μ |_{\min} = \sqrt{b^{2} - \frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ , 解得 $b = 1 \in [\frac{3}{4}, + \infty)$ , 此时椭圆的方程为 $x^{2} + \frac{y^{2}}{9} = 1 .$

若 $\frac{3}{4 b} > 1$ , 即 $0 < b < \frac{3}{4}$ 时, 则当sinθ=1时, $| Ρ Μ |_{\min} = | 3 b - 2 | = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .解得 $b = \frac{1}{b} (4 - \sqrt{2}) \in (0, \frac{3}{4})$ 或 $b = \frac{1}{6} (4 + \sqrt{2}) \notin (0, \frac{3}{4})$ (舍去) , 此时椭圆的方程为 $\frac{18 x^{2}}{9 - 4 \sqrt{2}} + \frac{2 y^{2}}{9 - 4 \sqrt{2}} = 1 .$

椭圆及其标准方程教案第2篇

椭圆是生活中常见的图形,通过实验演示,创设生动而直观的情境,使学生亲身体会椭圆与生活联系,有助于激发学生对椭圆知识的学习兴趣;在椭圆概念引入的过程中,改变了直接给出椭圆概念和动画画出椭圆的方式,而采用学生动手画椭圆并合作探究的学习方式,让学生亲身经历椭圆概念形成的数学化过程,有利于培养学生观察分析、抽象概括的能力。

椭圆方程的化简是学生从未经历的问题,方程的推导过程采用学生分组探究,师生共同研讨方程的化简和方程的特征,可以让学生主体参与椭圆方程建立的具体过程,使学生真正了解椭圆标准方程的来源,并在这种师生尝试探究、合作讨论的活动中,使学生体会成功的快乐,提高学生的数学探究能力,培养学生独立主动获取知识的能力。

《椭圆及其标准方程》教学设计第3篇

一、教学背景分析

本节课是继学习圆以后运用“曲线与方程”思想解决二次曲线问题的又一实例，从知识上说，本节课是对坐标法研究几何问题的又一次实际运用，同时也是进一步研究椭圆几何性质的基础；从方法上说，它为进一步研究双曲线、抛物线提供了基本模式和理论基础，因此本节课起到了承上启下的重要作用。

二、教学目标

1.知识与技能：使学生掌握椭圆的定义，标准方程的推导和标准方程。

2.过程与方法：通过求轨迹方程的方法，借助于坐标法，培养学生用代数方法研究几何问题的能力，同时培养学生的数形转化的能力。

3.情感、态度与价值观：通过椭圆定义和标准方程的学习，培养学生的观察能力和探索能力，启发学生在研究问题时，抓住问题的本质，体会运动变化、对立统一的思想。

三、教学重点与难点

1.重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程

2.难点：椭圆标准方程的推导

四、教学方法

1.用模型结合多媒体课件演示椭圆形成过程，加深对概念的理解

2.利用观察、分析、归纳、概括、自主探究、合作交流的方法推导标准方程，利用问题探究式教学启发学生思考，激发学生学习的积极性。

五、教学过程

1.新课引入

师：（1）大家学习了如何求轨迹方程，需要分成哪几个步骤？

生：思考回答

师：（2）圆这种轨迹是怎样形成的？

生：圆是在平面内到一个定点的距离等于定长的点的轨迹

师：（3）那到两个定点的距离之和为定值的点的轨迹是什么呢？

生：小组内拿出准备好的细绳，分别演示距离之和等于和大于两定点之间距离的情况。分析总结出椭圆的限制条件。若 > ，则点P的轨迹是椭圆，若 = ，则点P的轨迹是线段。

2.新课讲解

师：（4）根据大家的演示，你能否求出椭圆的方程？怎样建立坐标系比较恰当？奇数组把焦点建在x轴上，偶数组建在y轴上。

生：组内合作交流，根据求轨迹方程的步骤列出方程。

师：（5）如何将方程化简？什么方法可以把根号去掉？

生：移项平方或分子有理化（老师指导化简过程）

师：（6）令，可以将方程化简为？

生：（x轴），（y轴）

师：（7）关于椭圆的标准方程，我们应该注意哪些内容？

生：a，b，c的含义以及它们之间的关系焦点的位置决定了方程的形式，需要观察分母的大小。

师：下面我们来看一下这节课的主要题型

例1：定义的应用

（1）方程可以化简为？

（2）椭圆的方程是，为焦点，点P在椭圆上，则

的周长为？

过的直线与椭圆交于A.B两点，则的周长为？

生：小组内讨论交流3分钟

例2：根据下列条件，求椭圆的标准方程

（1），焦点在x轴上

（2），焦点在y轴上

（3）两个焦点的坐标分别为（-3，0）（3，0），椭圆上一点P与两焦点的距离的和是8

（4）两个焦点的坐标分别为（0，-4）（0，4），并且椭圆经过（）

（5）已知A（-5，0） B（5，0），的周长为26，求的顶点C的轨迹方程

生：10分钟做题时间

例3：求下列方程表示的椭圆的焦点坐标

（1）

（2）

（3）

生：上黑板演示

例4：含參数的方程问题

（1）若方程表示椭圆，求k的取值范围

（2）若方程表示焦点在x轴上的椭圆，求k的取值范围

师：你还能想出怎样的问法？

生：表示焦点在y轴上的椭圆，表示圆

师：好，同学们对椭圆理解得很好，通过这节课你的不断探索，都学会了哪些知识？

生：我们知道哪样的轨迹才是椭圆，推导了椭圆的标准方程，而且还学会了如何去求方程，以及焦点坐标。

师：很好，椭圆是一种很美的图形，课下仔细观察，想一想它都有哪些性质？

五、教学反思

椭圆标准方程的推导及应用第4篇

方法一、等差数列法

由成等差数列,令其公差为d,则

①2-②2得4cx=4ad,

把③代入①,

得④,

将④式两边平方,并设a2-c2=b2即可推得椭圆标准方程为

评注:此法不仅使推导过程简洁,而且从④式易得椭圆的左焦半径公式用同样的方法不难得到右焦半径公式

方法二、三角代换法

由2 a.可设

即cx=a2(2cos2α-1),故有2acos2α=a,代入①式得,两边平方,并设a2-c2=b2即可推得椭圆标准方程为(a>b>1).

评注:三角代换法是中学数学中重要的思想方法,学习时应注意感悟和体会.

方法三、分子有理化法

将左式分子有理化得,

①-②得,两边平方,并设a2-c2=b2即可推得椭圆标准方程为(a>b>1).

评注:用分子有理化法化简根式,可以使复杂问题简单化,从而提高运算速度和解题效率

例解方程

成等差数列,令其公差为d,则有

把③代入①,并两边平方得36x2=125,

故.

经检验均为原方程的解.

解法2:由

②2-①2得8x=25 (sin4α-cos4α)8x=25(1-2cos2α).

故有代入①式得

两边平方得经检验均为原方程的解.

将左式分子有理化得

①+②得,以下解法与2同,即可得方程的解为.解法4:原方程.可变形为.所以原题可转化为求椭圆上y=1的点所对应的横坐标的问题.

由

椭圆的标准方程为

当y=1时,,求得.此即原方程的解.

评注:前三种解法是椭圆标准方程的不同推导方法的具体应用,解法4则是从方程的形式与结构入手,挖掘其几何背景,并运用转化的思想解题.所谓一题多解,其实就是要求我们要善于对问题进行观察和分析,增强从不同角度寻求问题的切入点的意识,训练运用不同方法对问题进行有效突破的思维策略.

思考题

1.在ΔABC中,,求tanA.(答案:-2-)

(答案:

2. 解方程|x-2|+|x-5|=10.

椭圆方程第5篇

★教学目标

1、知识目标：掌握椭圆的定义、椭圆的标准方程及其推导，进一步熟悉求曲线方程的方法。

2、能力目标：通过椭圆的定义和椭圆方程的推导，培养学生实际动手、合作学习能力，抽象概括能力和逻辑思维能力。

3、情感目标：培养学生科学探索精神、审美观和理论联系实际的辩证唯物主义思想。

★教学重点难点

教学重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程。

教学难点：椭圆标准方程的推导。★教学方法：探究式与讲授式 ★教学过程：

一、新课引入

同学们，我们来共同欣赏一段动画：[神舟六号] 2005年10月12日至17日，神舟六号载人航天飞行圆满成功，实现了几代航天人飞天的梦想，中华儿女为此感到无比的骄傲和自豪。

同学们，你知道神舟六号运行的轨道是什么吗？

它有什么特性呢？在直角坐标系中方程如何求？

这些就是我们这节课要研究的内容——椭圆及其标准方程（板书课题）。［用神舟六号的精彩动画激起同学们的学习兴趣，从而导入本节课的主题］

二、讲授新课

（一）实践操作

大家知道“平面内到一个定点的距离等于常数的点的轨迹是圆”，那么，平面内到两个定点的距离的和等于常数的点的轨迹又是什么？我们先做一个实验：［实践操作］

取一条一定长的细绳，把它的两端固定在作业本上的F1和F2两点，当绳长大于 F1和F2的距离时，用铅笔尖把绳子拉紧，使笔尖在作业上慢慢移动，就可以画出一条曲线。

铅笔尖形成的曲线是什么？--------是椭圆。

我们再用多媒体演示一下画椭圆的过程，请同学们仔细观察：在动点运动的过程中，什么是不变的？ [演示动画] 演示结束后，请同学回答上面提出的问题：同学回答：第一，两个定点不变，第二，动点与两定点距离的和不变，始终等于绳长。

同学们能不能给椭圆下一个定义？[让学生思考1分钟] 同学的回答是：“与两定点F1、F2的距离之和等于常数的点的轨迹”。这位同学回答的对吗？

在刚才的实验中，有绳长大于两定点F1和F2的距离这一条件，当绳长等于两定点F1和F2的距离时，满足条件的动点轨迹是什么？［动画演示］

动点的轨迹是这两个定点F1和F2所确定的线段。

当绳长小于两定点F1和F2 距离时，动点的轨迹又是什么？很明显满足条件的点不存在。

请同学们重新给椭圆下一个定义，然后与课本对照，看哪一个更准确？

（二）椭圆的定义

平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆。其中两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。

强调：

1、平面内——这是大前提

2、动点M到两个定点F1、F2的距离的和等于常数

3、常数要大于焦距

以上是椭圆的定义及有关概念，下面来求一下椭圆的方程。

（三）椭圆的标准方程

1、椭圆标准方程的推导。如何求曲线的方程呢？

一般求曲线方程的方法与步骤如下：[幻灯片] 建系设点——写出点集——列出方程——化简方程——检验下面我们按照这五个基本步骤来推导椭圆的方程：（1）建系设点

建立坐标系是求曲线方程重要而关键的一步，一般应符合简单和谐化原则，注意充分利用图形的对称性。请学生讨论建系的方案。（稍停）

以两定点F1、F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，设，F2（c，0）。F1F22c(c0)，M（x，y）为椭圆上任意一点，则有F1（-c，0）又设M到F1、F2距离的和等于2a。

（2）写出点集

由定义不难得出椭圆集合为：

PMMF1MF22a（3）代数方程

MF1xc2y2,MF2xc2y2，2a 得方程xc2y2xc2y2［到此为止完成了由形到数的转换］

这一方程直接反映了椭圆的本质属性，但需要尽量化简方程形式，使数量关系更加清晰。

（4）化简方程

[教师指导，学生自己完成] 如何化简呢？请同学们讨论一下。

化简此式的关键是去掉根号，而去根号就要两边平方，是直接平方呢？还是移项后再平方呢？（1）原方程要移项后平方，否则化简相当复杂：

xc2y22axc2y2

xc2y2平方后整理，得a2cxa再平方化简得，(a2c2)x2a2y2a2a2c2

（2）为使方程简单、对称、和谐，引入b，由a2c20令a2c2b2，其中b＞0则

b2x2a2y2a2b2

两边同除以a2b2得，x2y21（a＞b＞0）a2b2（5）证明，因教材不要求，可从略

这一简化的方程称为椭圆的标准方程。它表示的椭圆的焦点在x轴上，焦点是F1（-c,0）、F2（c,0）.这里c2=a2-b2.注意若坐标系的选取不同，可得到椭圆的不同方程。

若椭圆的焦点在y轴上，a、b的意义同上时，椭圆方程如下：

y2x221(ab0)2ab这也是椭圆的标准方程，它所表示的椭圆的焦点在y轴上，焦点坐标是F1（0,－c）、F2(0,c)，（课下由学生自己推导）

2、两种标准方程的比较（引导学生归纳）

x2y2y2x221（ab0）221（ab0）2abab思考一：椭圆的标准方程中三个参数a、b、c的关系如何？

ab0,a2b2c2。

思考二：如何由椭圆的标准方程判定焦点的位置？

x2与y2的分母哪一个大，则焦点在哪一个轴上。

三、例题讲解

例1 判断下列各椭圆的焦点位置，并说出焦点坐标、焦距。

x2y2x2y21（2）

1（1）3442

答案：（1）y轴（0,1）（0，-1）（2）x轴（2，0）（-2, 0）

例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程已知两个焦点的坐标分别是（-4，0）、（4，0），椭圆上一点P到两焦点距离之和等于10。

x2y21 答案是：259点评：求标准方程时，先确定焦点的位置，设出标准方程（若不能确定焦点的位置，应分类讨论），再用待定系数法确定a、b的值。

四、随堂练习：

x2y21上一点P到焦点F1的距离等于6，1、如果椭圆则点P到另一个焦点10036F2的距离是。

2、写出适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）a=4,b=1,焦点在x轴上；

（2）a=4,c=15.五、尝试回忆

1）椭圆的定义：MF1MF22a2c。2）椭圆的标准方程

x2y2当焦点在X轴上时221(ab0)

aby2x2当焦点在Y轴上时221(ab0)

ab这里c2a2b2

3）求椭圆标准方程的方法：待定系数法

六、布置作业

1、推导焦点在Y轴上的椭圆的标准方程

2、写出适合下列条件的椭圆的标准方程

（1）焦点在X轴上，焦距为4，并且经过点P(3,26)

（2）a+c=10

a-c=4

七、思考题：

椭圆方程第6篇

1 椭圆教学设计

1.1 动手截圆锥，体验椭圆形成

活动1用平面去截圆锥讨论截面．

动手用平面截圆锥，得到圆、椭圆……还有抛物线、双曲线……截得的曲线称为圆锥曲线．古希腊数学家用平面去双截双圆锥，如图1.

古希腊数学家阿波罗尼斯奥撰写的名著《圆锥曲线论》对椭圆等曲线进行深入研究．内容广泛，解释详尽，几乎网罗圆锥曲线的所有性质．“千余年来，圆锥曲线毫无进展可言，后人几乎无插足之地”．

1.2 研究丹德林双球，发现椭圆特征

通过丹德林双球研究，可以发现椭圆的数量关系：

如图2，在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切．两个球分别与截面切于点E,F，在椭圆上任取一点A，过点A作圆锥的母线，分别与两个球相切于点B,C，能发现哪些等量关系？

AB=AF，因为AF,AB分别与小球相切于点F,B，又AB,AF所在平面截小球的切面是圆，AB,AF是同一圆的切线．

同理，AC=AE.

于是，AF+AE=AC+AB.

AC是两个球与圆锥相切得到的圆台的母线长，因而BC=AB+AC为定值，于是，椭圆上动点A到定点E,F距离的和不变．这就是数学家所发现的椭圆的重要特征．

1.3 拉线作图，定义椭圆

活动2数学家哈桑、蒙特的拉线作图．

(1）取一条一定长的细绳；

(2）把细绳的两端固定在作业本上的两点F1和F2;

(3）用铅笔尖把绳子拉紧，使笔尖在作业本上慢慢移动，观察画出的图形．

椭圆定义平面内到两个定点F1,F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹．这两个定点F1,F2叫做椭圆的焦点；两焦点之间的距离叫做焦距．

符号表示

思考椭圆存在的条件．

(1）方程槡表示的是_____．

(2）方程表示的是_____．

1.4 建坐标系，推导方程

建立适当的直角坐标系、设曲线上任意一点、找限制条件写出满足条件的集合、将坐标代入条件列出方程、化方程为最简形式、验证……

建系学生讨论椭圆的对称、点坐标表示简单，提出建立直角坐标系，如图4，最简洁．

设点针对坐标系，如图4，设M(x,y),F1(-c,0),F2(c,0).

找条件|MF1|+|MF2|=2a，代入化简，整理得

1.5 3个字母（b,c,a）勾股弦

观察：图5，从中找出表示a,c,a2-c2的线段，说明理由．

当曲线与y轴相交，即点P在y轴时，有|PF1|=|PF2|，且

所以有

同时，

自然

令|OP|=b，则

于是，a,b,c构成直角三角形POF2:3个常数b,c,a勾股弦，即有a2+b2=c2.

1.6 品鉴椭圆、思考方程

讨论如果椭圆焦点在y轴上，如图6，两焦点是F1(0,-c),F2(0,c），那么椭圆方程是什么？

类比得到，标准方程为

判定椭圆焦点所在坐标轴，写出焦点坐标，并指明a2,b2,c2的值．

根据焦点位置以及椭圆上任一点P到两焦点的距离和，确定椭圆标准方程．

(1）已知两焦点坐标是（-4,0),(4,0），椭圆上点P到两焦点距离的和等于10.

(2）变式1：上题焦点改为（0,-4),(0,4），结果如何？

(3）变式2：上题改为两焦点间距离为8，椭圆上一点P与焦点距离的和为10，结果如何？

2 评述

1）从截圆锥的活动中认识椭圆，从丹德林双球中发现椭圆的重要特征：“一动点到两定点的距离的和不变．”这为椭圆的定义做了充分的铺垫．丹德林双球探究活动中让学生体验到椭圆的悠久历史，感受椭圆的无穷魅力，也增强了椭圆的人文特性．

2）拉线作图活动体验椭圆定义．学生尝试数学家哈桑、蒙特等人的拉线作图活动，有助于体验椭圆的形成过程，掌握椭圆的定义，赞叹人类高超的智慧．从活动中感受椭圆图形，从操作中掌握椭圆的定义．学生的椭圆体验极为深刻，凸显椭圆本质规律．

3）让学生通过椭圆的对称、点坐标简洁表示建立坐标系，得到椭圆方程，认识到利用焦点所在坐标轴以及3个常数的意义就能写出椭圆方程．

4）“变是为了不变”．通过变式题再次让学生体验焦点的位置；通过焦点位置、坐标概括出“二个方程大对焦”，领悟椭圆标准方程常数的几何意义：3个常数b,c,a勾股弦．从椭圆标准方程中常数的意义，找到不变规律，感受椭圆所隐藏的秩序、和谐．

5）教学中，利用人类截圆锥得椭圆、拉线作椭圆，以及欣赏丹德林双球，揭示椭圆规律．这样，文化的参与不仅使教师认为，椭圆“可教的”，而且还让学生认为，椭圆“可学的”，师生共同领略椭圆所蕴涵的人文属性，体验椭圆的生命意义．“人们在掌握知识时，如果没有理解意义，那么，在知识被淡忘以后，它就很难留下什么；如果人们在学习知识时理解了它对生命的意义，即使知识已被遗忘，这种意义一定可以永远地融合在生命之中”[4]．自然而然，也就实现了椭圆标准方程的三维目标．

参考文献

[1]张映姜.欣赏圆锥曲线,体验历史文化[J].数学通报,2012,(11):41-43.

[2]赵凌飞.论审美教育中的审美体验[J].艺术教育,2011,(1):52,67.

[3][英]怀特海:教育的目的.[M].徐汝舟,译.北京:生活·读书·新知三联书店,2002:1.

《椭圆及其标准方程》课件制作综述第7篇

遵循艺术性原则, 画面赏心悦目, 有效地激发了学生学习兴趣。

遵循简约性原则, 在画面的布局上突出重点, 避免出现或减少课件中干扰学生注意力的信息。

遵循科学性原则, 对于每一个内容的学习, 都不是单纯地演示, 而是交互式的模拟实验设计。不仅适合于教师课堂教学, 更适合于学生自主探究学习。

●设计意图

《椭圆及其标准方程》是圆锥曲线的第一课, 它是在学生学习了直线和圆的方程的基础上, 进一步学习用坐标法研究曲线。从学生的学习心理角度看, 学生头脑中虽有一些椭圆的实物实例, 但并没有上升为“概念”。本课件旨在通过对椭圆定义的探究, 培养学生寻求规律、发现规律、认识规律和运用规律解决问题的能力。例如, 在课件“认识椭圆”部分, 引入生活中常见的椭圆例子, 由现实生活中的椭圆形物件引发学生思考, 提出问题:如何精确地设计、制作、建造出现实生活中这些椭圆形的物件。在课件“画椭圆”部分, 演示绘制轨迹, 分三类:分别是绳长小于、等于、大于两点距。师生共同归纳得到:绳长等于两点距, 得到线段;绳长大于两点距, 得到椭圆;绳长小于两点距, 不能得到图形。通过自己动手作图、观察、辨析, 加深了对概念的理解, 通过共同交流的探究方式将感性认识理性化。

●设计思路及表现手法

本课件设计了认识椭圆、画椭圆、定义椭圆、椭圆方程、知识应用、教学小结6个环节, 是按照教材内容及学生的认知规律来设计的, 在内容上各环节既是循序渐进的, 也是相对独立的, 学生可按顺序来学习, 也可在任意位置通过底部导航菜单学习其他内容。

“认识椭圆”形象地展示了生活中的椭圆例子。本课件制作了手电筒光束斜射在地板上形成椭圆面的动画元件, 水倒进杯里并将水杯倾斜形成的椭圆水面动画元件, 通过声音和模拟画面让学生充分感受到实验的逼真。

“画椭圆”环节通过绳子长度2a与两定点距离|F1F2|之间的关系分三类情况设计了3个动画元件。每一类情况配上播放按钮, 先由学生画图、思考, 再播放绘制椭圆的演示动画。通过师生互动、共同归纳得到椭圆定义。

“定义椭圆”环节与“画椭圆”相仿, 先播放绘制椭圆的演示动画, 再得出椭圆的定义。

“椭圆方程”环节采用多行文本框来显示内容。把推导椭圆方程的建系、设点、列式、化简建立方程等全部内容显示在同一画面中, 区别于传统的内容翻页显示方式, 真正模拟黑板板书的书写过程, 这一效果是通过on ClipEvent脚本语言实现的。

●内容结构与艺术布局

课件整体色调为蓝色, 显得稳重而清新。封面上重复播放椭圆绘制过程的模拟动画, 形象地突出了课题;在标准方程式的旁边, 用闪烁的问号向学生提出疑问:如何推导出椭圆的标准方程?能提高学生的学习兴趣, 引导学生积极思考。内容导航菜单位于课件底部, 当鼠标移动到热区就显示菜单, 移出热区隐藏菜单, 再根据内容板块配上相应的动态按钮图标, 使之一目了然, 操作便捷, 生动活泼。封面右下方设计有可控制背景音乐音量大小的滑动开关, 配音音色优美, 能使人获得美的享受 (如图1) 。

课件各环节页面样式相同, 为了使内容展示区最大化, 标题放在最上方, 导航菜单隐藏在底部, 通过鼠标感应热区显示或隐藏。内容展示区背景为白色, 采用红色醒目标题、黑色正文、蓝色绳子、黄色热区等对比色, 使学生能清楚地观察椭圆绘制、椭圆标准方程的推导过程。重要知识点及课堂习题采用鼠标感应热区弹出内容的方式显示 (如鼠标移动到知识点位置便改变背景色) , 再配上背景声音和画面的淡入淡出效果, 让展示对象色彩柔和, 播放流畅, 无画面跳跃, 益于学生充分思考、记忆重要知识点 (如图2) 。

课件流程控制交互设计方便实用。各环节画面下方隐藏放置内容导航菜单, 画面左上角放置内容标题, 方便学习者操作。对于还要出现按钮的环节, 统一放在画面相应的位置进行本环节的控制, 并设置上一步、下一步等便捷操作按钮, 无需返回主界面。

课件中的主要动画有四处:一是课题内容中多次播放的画椭圆动画, 采用了引导动画和逐帧动画效果, 真实模拟了椭圆的绘制轨迹;二是“认识椭圆”部分手电筒斜射形成的椭圆光束和水杯倾斜形成的椭圆水面动画过程, 这里采用了按钮来控制动画的播放, 方便学生观看各方面的变化;三是内容导航菜单通过鼠标移动到热区的方式显示或隐藏动画, 操作便捷, 非常美观;四是封面控制背景音乐音量大小的滑动按钮。

●关键技术处理

课件设计的亮点和技术处理的难点是“画椭圆”这一环节, 本环节的时间轴共有6层 (如图3) 。

在时间轴的事件层第1帧上设置动作stop () ;, 当程序运行时, 就会停止在第1帧, 在播放按钮上设置动作on (release) {next Frame () ;}, 点击播放按钮, 动画开始播放。绳子层完成红色椭圆轨迹和蓝色绳子运动过程, 该过程的实现采用的是逐帧动画。手移动过程通过引导动画实现, 在引导层绘制手移动的轨迹, 在手移动层完成手移动动画。

课件设计的艺术效果处理是“导航菜单”这一环节, 区别于传统固定在页面上的菜单, 只需将鼠标移动到底部热区, 便自动弹出导航菜单, 鼠标移出热区, 便自动隐藏导航菜单。这样的菜单显示方式操作方便、美观、利于教学内容展示, 本环节的时间轴共有3层 (如图4) 。

在时间轴的事件层第1帧上设置动作stop () ;, 当程序运行时, 就会停止在第1帧, 鼠标感应热区通过按钮元件实现, 删除按钮的“弹起”帧内容, 按钮显示无内容但可以用鼠标操作产生事件。在按钮上设置动作on (roll Over) {play () ;};on (rollOver) {play () ;}。导航菜单层完成菜单由底部弹出及颜色由淡变深的效果, 弹出效果通过移动动画完成, 颜色由淡变深效果通过移动动画中的“Alpha”方式完成。

课件设计通过美工处理完成了模拟实验的仿真效果, 在“认识椭圆”这一环节, 手电筒的光束斜射在地板上形成椭圆, 本环节的时间轴共3层 (如图5) 。

手电筒层利用绘图工具箱绘制了手电筒和地板, 光束层绘制了光束, 遮罩层绘制了带渐变颜色的矩形填充图形, 通过矩形填充图形的移动动画完成手电光束的斜射过程。

●评价与反思

本课件能发挥多媒体教学的作用, 真正做到人机互动, 可以较好地完成教学任务。通过在实际教学中的应用, 发现有些方面需要进一步完善, 如“知识应用”这一环节中, 在知识点的展示上制作了非常多的动态弹出框, 以达到优美舒畅的效果, 但是否会分散学生的注意力, 值得深思。

点评

邹才能老师这节课, 先让学生用自制教具探索椭圆的形成过程, 再结合Flash课件中的“画椭圆”动画的演示, 使学生通过点的运动, 观察椭圆轨迹的特征, 从而认识椭圆, 到学生亲手画椭圆、给椭圆下定义、推导椭圆标准方程, 直至椭圆概念的简单应用。一方面使学生获得了椭圆的相关知识以及推导椭圆标准方程的技能;另一方面使学生亲历了椭圆知识的形成过程, 切身体验了自行探索知识的艰辛与喜悦。这节课主要有如下四个特点。

第一, Flash课件制作精美实用, 导航清晰, 教学过程完整。菜单栏目采用“底部隐藏菜单”, 可以把更大的屏幕空间留给课程知识展示。操作方便, 效果美观, 有别于传统死板的菜单形式, 具有创新性。

第二, 课件互动性较强。通过一些情景动画, 如创建椭圆绘制过程虚拟全景图等, 在互动的过程中培养学生的发散思维。

第三, 教学上体现了“以学生发展为本”的教学观。本课的核心内容是椭圆的标准方程, 邹老师在标准方程的推导上, 并不是直接给出教材中的“建系”方式, 而是让学生自主地“建系”, 通过所得方程的比较, 得到标准方程, 从中去体会探索的乐趣和数学中的对称美和简洁美。

第四, 教学过程中注意发展学生的思维。例如, 在“画椭圆”环节中, 通过让学生观察画椭圆的三个动画, 引导学生就椭圆存在与否的条件进行了研讨, 然后又让学生对所得的形的本质特点进行量化, 这是从数和形的角度观察事物。所有这些, 都体现了对思维的要求。

当然也有一些可以值得商榷的地方。例如, 在“认识椭圆”环节中, 可不可以加入“神七”运行轨道动画视频资料为引子引出课题, 使学生初步认识到椭圆知识巨大的应用价值。从学生熟知的实例, 可激发学生的求知欲和民族自豪感。

例谈圆及椭圆参数方程的应用第8篇

圆 (x-a) 2+ (y-b) 2=r2 (r>0) 的参数方程为 (θ为参数) .特别地, 圆x2+y2=r2 (r>0) 的参数方程为 (θ为参数) .若P为圆x2+y2=r2 (r>0) 上的任意一点, 则可设点P的坐标为 (rcosθ, rsinθ) , 其中θ的几何意义可以理解为对应圆心角的大小.

椭圆 (a>b>0) 的参数方程为 (φ为参数) .

一、求值 (最值)

例1 在平面直角坐标系中, 已知点A (cos80°, sin80°) , B (cos20°, sin20°) , 则|AB|的值是 ( )

$(A) \frac{1}{2} (B) \frac{\sqrt{2}}{2} (C) \frac{\sqrt{3}}{2} (D) 1$

解:由题意知, A、B为单位圆 x2+y2=1上的两点 (如图1) , 则

∠AOB=∠AOX-∠BOX=60°.

又|OA|=|OB|,

所以△AOB为等边三角形, |AB|=1.故选 (D) .

例2 已知实数 x、y 满足 x2+y2+2x-4y+1=0, 分别求 $\frac{y}{x - 4}$ 及 $\sqrt{x^{2} + y^{2} - 2 x + 1}$ 的最大值和最小值.

解:因为 (x+1) 2+ (y-2) 2=4, 所以可设

(1) 令 $t = \frac{y}{x - 4}$ , 则

tx-y-4t=0,

所以 t (-1+2cosθ) - (2+2sinθ) -4t=0.

整理得 2tcosθ-2sinθ=5t+2.

化为 $2 \sqrt{1 + t^{2}} \sin (θ + α) = 5 t + 2$ (其中 tanα=-t) .

由|sin (θ+α) |≤1,

则 $| 5 t + 2 | \leq 2 \sqrt{1 + t^{2}} .$

平方解得 $- \frac{20}{21} \leq t \leq 0 .$

故 $\frac{y}{x - 4}$ 的最大值为0, 最小值为

$\begin{array}{l} - \frac{20}{21} . \\ (2) \sqrt{x^{2} + y^{2} - 2 x + 1} \\ = \sqrt{(x - 1)^{2} + y^{2}} \\ = \sqrt{(2 \cos θ - 2)^{2} + (2 + 2 \sin θ)^{2}} \\ = \sqrt{8 (\sin θ - \cos θ) + 12} \\ = \sqrt{8 \sqrt{2} \sin (θ - \frac{π}{4}) + 12} . \end{array}$

又 $\sin (θ - \frac{π}{4}) \in [- 1 ‚ 1]$ ,

故 $\sqrt{x^{2} + y^{2} - 2 x + 1}$ 的最大值为 $\sqrt{8 \sqrt{2} + 12} = 2 \sqrt{2} + 2$ , 最小值为 $\sqrt{12 - 8 \sqrt{2}} = 2 \sqrt{2} - 2 .$

例3 求椭圆 $\frac{x^{2}}{3} + y^{2} = 1$ 上的点到直线 x-y+6=0的距离的最小值和最大值.

解:椭圆的参数方程为设椭圆上的点的坐标为则由点到直线的距离公式有

$\begin{array}{l} d = \frac{| \sqrt{3} \cos θ - \sin θ + 6 |}{\sqrt{2}} \\ = \frac{| 2 \sin (\frac{π}{3} - θ) + 6 |}{\sqrt{2}} . \end{array}$

故当 $\sin (\frac{π}{3} - θ) = - 1$ 时, $d_{\min} = 2 \sqrt{2}$ ;

当 $\sin (\frac{π}{3} - θ) = 1$ 时, $d_{\max} = 4 \sqrt{2} .$

所以椭圆 $\frac{x^{2}}{3} + y^{2} = 1$ 上的点到直线 x-y+6=0的距离的最小值为 $2 \sqrt{2}$ , 最大值为 $4 \sqrt{2} .$

二、求轨迹问题

例4 设Q (x1, y1) 是圆 x2+y2=1上的一个动点, 求动点P (x $_{1}^{2}$ -y $_{1}^{2}$ , x1y1) 的轨迹方程.

解:圆 x2+y2=1的参数方程是

${\begin{cases} x = \cos θ ‚ \\ y = \sin θ . \end{cases}$

则可设

${\begin{cases} x_{1} = \cos θ ‚ \\ y_{1} = \sin θ ‚ \end{cases}$

又设P (x, y) , 则有

$\begin{array}{l} {\begin{cases} x = x_{1}^{2} - y_{1}^{2} ‚ \\ y = x_{1} y_{1} . \end{cases} \\ {\begin{cases} x = \cos^{2} θ - \sin^{2} θ = \cos 2 θ ‚ \\ y = \cos θ \sin θ = \frac{1}{2} \sin 2 θ ‚ \end{cases} \end{array}$

即

${\begin{cases} x = \cos 2 θ ‚ \\ 2 y = \sin 2 θ . \end{cases}$

两式平方相加得 x2+4y2=1.

故所求轨迹方程为 x2+4y2=1.

三、在不等式中的应用

例5 (2008年全国Ⅰ卷10题) 若直线 $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ 通过点M (cosα, sinα) , 则 ( )

$\begin{array}{l} (A) a^{2} + b^{2} \leq 1 \\ (B) a^{2} + b^{2} \geq 1 \\ (C) \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} \leq 1 \\ (D) \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} \geq 1 \end{array}$

解:由点M的坐标易知点M在圆 x2+y2=1上.据题意知直线 $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ 与圆 x2+y2=1有公共点, 即原点O到直线 bx+ay-ab=0的距离应小于等于1, 则

$\frac{| - a b |}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} \leq 1$ ,

所以 $\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} \geq 1 .$

故选 (D) .

四、在三角函数中的应用

例6 已知 acosα+bsinα=c, acosβ+bsinβ=c (ab≠0, α-β≠kπ, k∈Z) , 求证: $\cos^{2} \frac{α - β}{2} = \frac{c^{2}}{a^{2} + b^{2}} .$

证明:在平面直角坐标系中, 设点A (cosα, sinα) , B (cosβ, sinβ) , 则A、B是直线 l:ax+by=c 与单位圆 x2+y2=1的两个交点.如图2所示.

从而|AB|2= (cosβ-cosα) 2+ (sinβ-sinα) 2=2-2cos (α-β) .

又圆心到直线 l 的距离

$d = \frac{| c |}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} .$

由平面几何知

$| Ο A |^{2} - (\frac{1}{2} | A B |)^{2} = d^{2}$ ,

即 $1 - \frac{2 - 2 \cos (α - β)}{4} = d^{2} = \frac{c^{2}}{a^{2} + b^{2}} .$

所以 $\cos^{2} \frac{α - β}{2} = \frac{c^{2}}{a^{2} + b^{2}} .$

椭圆渗流非线性方程解析解研究第9篇

地下流体通过岩石等多孔介质的流动称为渗流。在一般情况下，渗流规律遵循线性达西定律。但是当岩石渗透率很低时，我们需考虑启动压力梯度对渗流过程的影响，即当地层中的压力梯度小于启动压力梯度时，不发生流体流动，只有当地层中的压力梯度大于启动压力梯度时，流体才发生流动。同时，我们必须考虑岩石渗透率是随压力变化的，此时，渗流规律不再遵循线性达西定律，称为非达西渗流，描述非达西渗流规律的方程也就变成了非线性方程[1,1]。

在钻探工程上，我们通常以一口钻穿地层的井开采地下流体。此时，地下流体通过渗流汇集于井中，以一定的流量开采出来，同时引起地层中压力分布状况的改变。等压线是以井轴为对称中心，与圆形井壁同心的一族圆。在特殊情况下，地下流体不是汇集于一个井点，而是汇集于一条有限长度的裂缝，此时地层中压力分布对称于裂缝的轴线，等压线可看作一族以裂缝的两个端点为焦点的椭圆线。(如图1所示)

等压线方程可写为

其中a、b分别为基圆的长短半轴，即分别为裂缝的半长与半宽。r=0时，即为裂缝;r>0时，即为地层中椭圆渗流区域的等压线。

地层中的渗流为平面径向稳定渗流问题，若题中给定供给边界压力、流量，我们可求出地层中压力分布。

2. 数学模型

设椭圆渗流区外边界为定压边界，流量为Q，岩石渗透率为K,地下流体粘度为μ，启动压力梯度为G，地层厚度为h。在平面柱坐标系中，根据达西定律，椭圆渗流区地层中任一半径处的渗流速度可写为：

岩石渗透率随地层压力变化关系可用如下函数表示[1]：

其中，pe为原始地层压力，K0为原始地层压力下岩石渗透率初值，α为岩石渗透率变异系数。因而渗流微分方程可写为：

设地层供给半径为re，边界条件可写为：

3. 非线性微分方程的求解

微分方程变形，(4)式可写为如下形式：

整理可得：

非线性微分方程转换为线性常微分方程形式，解此一阶线性常微分方程，可得到如下通解形式(3):

将上式展开，可写为：

式中，指数函数可展成级数形式如下：

将指数函数的级数形式代入方程，积分可得：

根据边界条件确定积分常数，当r=re时，p=pe，代入式得到

将积分常数代入压力表达式

若已知内边界压力，还可得到流量表达式，当r=rw时，p=p w，由压力分布公式，整理可得：

4. 实例计算与误差分析

理论上，当n取值趋于无限大时，上述求解结果趋于精确值，对于实际科学技术问题的计算而言，只要n取适当值，使得函数值相对误差足够小时，计算结果即可认为满足精度要求。

为了进行误差分析，本文取如下参数进行计算分析：地层边界re=300m，裂缝半长a=50m，裂缝半宽b=0.01m，原始地层压力pe=20MPa，内边界压力pw=10MPa，地层厚度h=10m，岩石初始渗透率K0=5μm2，地下流体粘度μ=2.5mPa.s，岩石渗透率变异系数α=0.01Mpa-1，地层启动压力梯度G=0.001Mpa/m。

将以上基础数据代入本文求解结果，根据指数函数的级数表达式性质，可知n越大，函数值越精确。当n=24时计算所得到的函数值Q=17.2509808709529作为精确值，对比不同的n值时所得到的函数值相对误差如表1所示：

根据表中数据可知，当n取1时，即级数保留前两项时，函数相对误差约为百分之一;当n取2时，即级数保留前三项时，函数相对误差小于千分之一。一般性工程技术问题要求误差控制在百分之五以内，因此对于本文所计算的工程技术问题而言，级数保留前三项时已经足够精确，级数保留前两项即可以能够满足工程要求。

5. 结语

(1)本文从椭圆地层渗流物理过程出发，考虑岩石渗透率随压力变化，建立了非线性渗流微分方程，推导出该方程的解析解。

(2)实例计算及误差分析表明，本文所计算的工程技术问题，若方程解析解中的级数项保留前两项即可以能够满足工程要求。

参考文献

[1]孔祥言.高等渗流力学[M].合肥:中国科学技术大学出版社,1999.

[1]尹洪军,何应付.变形介质油藏渗流规律和压力特征分析[J].水动力学研究与进展A辑,2002,17(05):21-29.

非线性椭圆方程的弱解存在性第10篇

本文讨论如下非线性椭圆型方程Dirichlet问题:

相关引理定理证明:那么u是初边值问题 (7) 的弱解

摘要：我们利用Riesz-Schauder理论来研究非线性椭圆方程的弱解存在性以及解空间的维数有限性。

关键词：椭圆方程,弱解存在性以及解空间的维数有限性

参考文献

[1]de Jager E M.Jiang Furu The Theory of Singular Perturbation1996

[2]Mo Jiaqi Singular perturbation for a class of nonlinear reaction diffusion systems1989 (11)

[3]Mo Jiaqi.Han Xianglin A class of singularly perturbed generalized solution for the reaction diffusion problems[J]-Journal of Systems Science and mathematical Science2002 (04)

[4]Mo Jiaqi.FengMaochun The nonlinear singularly perturbed problems for reaction diffusion equations with time delay[J]-Acta Mathematica Scientia2001 (02)

[5]Mo Jiaqi The singularly perturbed pcombustion reaction diffusion[J]-Acta Mathematicae Applicatae Sinica2001 (02)

[6]莫嘉琪.在局部区域上的奇摄动反应扩散方程初始边值问题[J].系统科学与数学.2005 (01)

[7]Mo Jiaqi.Shao S The singularly perturbed boundary value problems for higher-order semilinear elliptic equations[J]-Advances in Mathematics2001 (02)

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【椭圆方程】相关文章：

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标准椭圆06-29