向量空间范文

向量空间范文（精选12篇）

向量空间 第1篇

一、法向量的定义

所谓平面的法向量, 就是指所在的直线与平面垂直的向量。显然一个平面的法向量有无数多个, 它们是共线向量。

二、法向量的求解

求一个平面的法向量的坐标, 首先要建立空间直角坐标系, 然后用待定系数法求解, 其步骤如下:

4.解方程组, 取其中的一个解, 即得法向量的坐标。

三、法向量的应用

(一) 利用法向量求二面角

解:以D为原点, DA所在直线为X轴, DC所在直线为Y轴, DS所在直线为Z轴, 建系如图, 则D (0, 0, 0) , A (1, 0, 0) , B (1, 1, 0) , C (0, 1, 0) , S (0, 0, 1) 。

评析:1.因为所求的二面角的交线在图中较难作出, 所以用传统的方法求二面角比较困难, 向量法在这里就体现出它的特有的优势;

2. 用法向量求解二面角时, 将传统求二面角的三步曲“找———证———求”直接简化成了一步曲“计算”。这在一定程度上降低了学生的空间想象能力, 达到不用作图就可以直接计算的目的, 更加注重对学生计算能力的培养, 体现了新课改的精神;

3. 向量法在解决二面角问题时, 可能会遇到二面角的具体大小问题。所以, 在计算之前先依题意直观判断一下所求的二面角的大小, 然后根据计算取“相等角”或“补角”。

(二) 利用法向量求点到平面的距离

例2.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中, E、F分别是B1C1和D1C1的中点, 求点A1到平面BDFE的距离。

评析:求点到面的距离难点是确定垂足, 过去解决此问题主要方法一是“先找后求”, 二是“等体积法”。前者要先找到 (作出并证明) 距离, 然后构造三角形, 应用勾股定理、余弦定理求解, 这种解法需要对图形进行平移、投影等转化技能, 而且不同的问题需要不同的技巧;后者需要用到体积公式。实践证明, 没有向量法, 学生求解这类问题比较困难, 有了法向量这一工具很多较难的空间距离问题就有了统一的方法求解。

(三) 利用法向量证明线面平行

证明线面平行只需证直线与平面的法向量垂直即可。

例3.如图, 在四棱锥P-ABCD中, PA⊥平面ABCD, 四边形ABCD为正方形, PA=AB=4, G为PD中点, E点在AB上, 平面PEC平面PDC, 求证:AG||面PEC。

证明:以A为原点, AB所在直线为X轴, AD所在直线为Y轴, AP所在直线为Z轴, 建系如图, 设AE长为a, 则E (a, 0, 0) , P (0, 0, 4) , C (4, 4, 0) , G (0, 2, 2) , D (0, 4, 0) , A (0, 0, 0) ,

评析:证明线面平行通常找线线平行或线面平行, 但当线或面不易找时, 此类问题就不易证明了。就像此题E点位置不确定如何寻找线或面呢?在这里法向量为我们解决了这个难题, 不去找而去算, 这正是向量法的优点。同时通过使用向量法, 可使学生较牢固地掌握向量代数工具, 从而丰富学生的思维结构和运用数学的能力。

数学空间向量 第2篇

1.空间向量的基本概念

由于我们所讲的向量可以自由移动，是自由向量，因此对于一个向量、两个向量都是共面的，他们的基本概念与平面向量完全一样。包括：向量的定义、向量的表示方法、向量的模、零向量、单位向量、向量的平行与共线、相等向量与相反向量等等

2.空间向量的加法、减法与数乘运算

两个空间向量的加法、减法与数乘运算法则及其运算律都与平面向量的知识相同。但空间不共面的三个向量的和应该满足“平行六面体”法则。

即：平行六面体ABCD-A＇B＇C＇D

＇中，3.空间向量的数量积

空间两个向量的数量积与平面两个向量的数量积的概念及法则都是一致的。

定义

：

性质与运算律：

①

4.空间向量中的基本定理

共线向量定理：对于

作用：证明直线与直线平行。

推论：P、A、B

三点共线的充要条件：

实数。

作用：证明三点共线。

共面向量定理（平面向量的基本定理）：两个向量的充要条件是存在实数对x、y

使

作用：证明直线与平面平行。

推论：P、A、B、C四点共面的充要条件：

x、y、z为实数，且x+y+z=1。

作用：证明四点共面。

空间向量的基本定理：如果三个向量

不共面，那么对于空间任意向量，存在一，其中O为任意一点。不共线，向量共面，其中O为任意一点，t为任意空间向

量;

②;

③;

④;

⑤的夹角（起点重合），规

定。

个唯一的有序实数组x、y、z

使做空间的一组基底。

作用：空间向量坐标表示的理论依据。

二.空间向量的坐标运算

1.空间直角坐标系。、、叫做基向量，叫

我们在平面直角坐标系的基础上增加一个与平面垂直的方向，构成右手直角坐标系，即：伸出右手使拇指、食指、中指两两垂直，拇指、食指、中指分别指向x、y、z轴的正方向，空间任意一点可用一组有序实数确定，即：A（x，y，z）。

2.向量的直角坐标运算

．

二、空间向量的加减与数乘运算

（1）空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与

平面向量的运算一样：

（2）、空间向量的加、减与数乘运算律：

=（指向被减向量），加法交换律：

加法结合律：

数乘分配律：

注：空间向量加法的运算律要注意以下几点：

⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向

量，即：

⑵首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量，即：

⑶两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立．

因此，求始点相同的两个向量之和时，可以考虑用平行四边形法则．

三、共线向量与共面向量

1、共线向量定理：对空间任意两个向量

（1）推论：

如图所示，如果l为经过已知点A

且平行于已知向量 的直线，那么对任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，满足等式

量)．直线l上的点和实数t是一一对应关系.（2）空间直线的向量参数方程：

在l

上取 则（其中 是直线l的方向向,存在唯一实数 ；因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量；

特别地，当

点）

时，得线段AB中点坐标公式：（其中P是AB中

2、共面向量定理：如果两个向

量, 使

.不共线，则向

量 与向

量 共

面

推论：空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在唯一的有序实数对x、y，使；

进而对空间任一定点O，有

实数对(x,y)是唯一的，①式叫做平面MAB的向量表达式.四、空间向量基本定理、若

其中

2、将上述唯一分解定理换成以任一点O为起点：O、A、B、C不共面，则对空间任意一点P，存在唯一的三个有序实数x,y,z∈R，使

五、两个空间向量的数量积、向量

2、向量的数量积的性质：

(1)

(2)

(3)

性质(2)可证明线线垂直；

性质(3)可用来求线段长.3、向量的数量积满足如下运算律：

（1）

（2）

（3）（交换律）（分配律）。为单位向量)的数量积：

神奇的空间向量 第3篇

例题在正方体[ABCD-A1B1C1D1]中，棱长为1，[F]为[A1D]的中点，[E]为[AB]的中点.

考查一用空间向量证明立体几何中线﹑面平行的问题

设问一求证：[AF∥]平面[A1EC].

分析用向量证明线、面平行的问题通常有两种方法：（1）向量[p]与两个不共线的向量[a、b]共面的充要条件是存在惟一的有序实数对[(x，y)]，使[p=xa+yb]. 利用共面向量定理可证明线面平行问题；（2）设[n]为平面[α]的法向量，要证明[a∥α]，只需证明[a⋅n=0].

证明建立空间直角坐标系，以[A]点为原点，[AB]所在的直线为[x]轴，[AD]所在的直线为[y]轴，[AA1]所在的直线为[z]轴（以下建立的坐标系相同），则[E12,0,0]、[F0,12,12].

方法1：[AF=0,12,12] ， [EA1=-12,0,1] ，

[EC=12,1,0]，

则[AF=12EA1+12EC].

又[∵][AF⊄]平面[A1EC]，

[∴][AF∥]平面[A1EC].

方法2：设[n]为平面[A1EC]的法向量，设[n][=x,y,z,]

则[n⋅EA1=0，n⋅EC=0，] 有[n=2z,-z,z]，

[∴][AF⋅n=0,12,12⋅2z,-z,z=0].

又[∵][AF⊄]平面[A1EC]，

[∴][AF∥]平面[A1EC].

考查二用空间向量证明立体几何中线﹑面垂直的问题

设问二求证：[AF⊥]平面[A1CD].

分析（1）根据线、面垂直的判定定理，只需证明此直线的方向向量与所证平面的一组基底的数量积为零即可.

（2）设[n]为平面[α]的法向量，只需证明此直线的方向向量与[n]平行即可.

方法1：[A1D=0,1,-1]， [CD=-1,0,0].

[AF⋅A1D=][0,12,12⋅0,1,-1=0]，

[AF⋅CD=][0,12,12⋅-1,0,0=0].

[∴][AF⊥A1D]， [AF⊥CD].

又[∵][A1D⋂CD=D]，

即[A1D]与[CD]是两相交直线，

[∴][AF⊥]平面[A1CD].

方法2：设[m]为平面[A1CD]的法向量，[m][=a,b,c]，

[m⋅A1D=a,b,c⋅0,1,-1=0]，有[b=c].

[m⋅CD=a,b,c⋅-1,0,0=0]，有[a=0].

[∴][m][=0,b,b]，[∴][AF=12bm]，[∴][AF∥m]，

[∴] [AF⊥]平面[A1CD].

考查三用空间向量求异面直线所成的角

设问三求[AF]与[EC]所成的角的余弦.

分析设两异面直线[a、b]所成的角为[θ，a、b]分别是[a、b]的方向向量，注意到异面直线所成角的范围是[0°，90°]，则有[cosθ=cos=a⋅bab].

略解[∵][EC=12,1,0]， [AF=0,12,12]，

[cos=EC⋅AFEC⋅AF=105].

点拨两异面直线所成的角可以通过这两条直线的方向向量的夹角来求得，但两者不完全相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角. 异面直线的夹角与向量的夹角有所不同，应注意思考它们的区别与联系.

考查四用空间向量求线面所成的角

设问四求[AF]与平面[A1ED]所成的角的正弦.

分析点[P]在平面[α]外，[M]为[α]内一点，斜线[MP]和平面[α]所成的角为[θ]，[n]为[α]的一个法向量，注意到斜线和平面所成角的范围是[(0°，90°)]，则有[θ=π2-]，结合向量的夹角公式便可求[θ].

解设平面[A1ED]的法向量为[p]，[p][=a，b，c]，

[EA1=-12,0,1]， [ED=-12,1,0]，

[∴][p=2b,b,b]（不妨令[b>0]）.

[cos=p⋅AFp⋅AF]

[=2b,b,b⋅0,12,122b,b,b⋅0,12,12=33].

[∵][AF]与平面[A1ED]所成的角与[]的夹角互余，

[∴][AF]与平面[A1ED]所成角的正弦为[33].

点拨直线与平面的夹角可以转化成直线的方向向量与平面的法向量的夹角，由于向量方向的变化，所以要注意它们的区别与联系.

考查五用空间向量求二面角.

设问五求二面角[C-EA1-D]的余弦值.

分析如图，[OA、O′B]分别在二面角[α-l-β]的两个面内且垂直于棱，[m、n]分别是[α、β]的一个法向量，则可利用向量的夹角公式结合以下角度关系之一求二面角的大小：

（1）[]等于二面角的平面角；

（2）<[m，n]>与二面角的平面角相等或互补.

方法1由前面的解题过程可知，

平面[A1EC]的法向量[n=2z,-z,z] （不妨设[z>0]）；

平面[A1ED]的法向量[p=2b,b,b]（不妨设[b>0]）.

[∴] [cosθ=n⋅pn⋅p=23].

方法2作[CM⊥EA1]于[M]，[DN⊥EA1]于[N].

设[Mx1,y1,z1]，[Nx2,y2,z2]，

[A1M=λA1E]， [A1N=uA1E]，

可知[Mλ2,0,1-λ] ， [Nu2,0,1-u]，

[MC=1-λ2,1,λ-1]，[ND=-u2,1,u-1.]

又[∵][MC⋅A1E=0]， [ND⋅A1E=0,]

[∴][λ=65]， [u=45]，

[MC=25,1,15] ，[ND=-25,1,-15].

[∴][cos=MC⋅NDMC⋅ND=23].

点拨直接作二面角的平面角对有些题目来说有点困难，采用法向量可以起到了化繁为简的作用. 这种求二面角的方法应引起我们重视. 需要注意的是两平面法向量的夹角可能与所求的二面角相等，也可能与所求的二面角互补，要注意所求角的范围.

考查六用空间向量求距离

设问六求[F]点到平面[A1EC]的距离.

分析点面距离的求法有两种：

（1）建立坐标系，通过解方程组求解：设[FO⊥]平面[AEC]于[O]，通过[FO⋅AE=0]和[FO⋅CE=0],且[O][∈]平面[AEC]，由[EO=xEA+yEC]，可以求出[O]的坐标，利用两点间的距离求出垂足的坐标，从而求出点到面的距离.

（2）已知[AB]为平面[α]的一条斜线段，[n]为平面[α]的法向量，则[B]到平面[α]的距离为[|AB|⋅|cos|][=|AB⋅n||n|.]

略解

[d=A1F⋅nn=0,12,-12⋅2z,-z,z2z,-z,z][=66].

点拨（1）线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距离的方法进行求解.

（2）两异面直线的距离也可以转化为点面距离.

向量空间 第4篇

一、空间向量与空间距离

(1)求证:AO⊥平面BCD;

(2)求点E到平面ACD的距离.

分析本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成的角以及点到平面的距离基础知识,考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.

方法一用传统的几何法证明:

(1)连接OC,证明略.

(2)解:设点E到平面ACD的距离为h.

方法二建立空间直角坐标系,利用向量,且将向量的运算转化为实数(坐标)的运算.

设平面ACD的法向量为n=(x,y,z),则

二、空间向量与空间的角

1. 异面直线所成的角

2. 直线与平面所成的角

3. 平面与平面所成的角

平面α与平面β的法向量分别为m,n,设平面α与平面β所成的角为θ,则θ与法向量m,n的夹角相等或互补.

例2题干、(1)问、(2)问同例1.

(3)求异面直线AB与CD所成角的大小.

(4)求直线AE与平面ACD所成角的大小.

空间向量的运算反思 第5篇

本节课我讲了选修2-1第二章《空间向量的运算》这一节，这是本章第二节的内容，主要学习的是空间向量的加法、减法、数乘以及数量积的运算及应用。根据大纲，要求学生能熟练应用空间向量的运算解决简单的立体几何问题，这也是本节课的难点。突破难点的方法是让学生会用已知向量表示相关向量，就是利用三角形法则或多边形法则把未知向量表示出来，进而再求两个向量的数量积、夹角等。

本节课在教学设计上，注重与学生已有知识的联系，因为本节知识是向量由二维向三维的推广，所以预习近平面向量的运算起了一定的作用，使学生体会知识的形成过程和数学中的类比学习方法。另外，多媒体演示和传统板书教学有效结合，较好地辅助了教学。本节课的核心理念是体现学生在学习中的主体性。但是我觉得自己在这方面做的不太理想，意图是好的，可是没有完全调动起学生的兴趣和学习积极性，所在老师在课堂上又变成了主角，背离了新课程理念，这是我以后应该注意的问题。在教学过程中，学生的思维活跃，积极讨论问题，自主解决例题。

不足之处：在创设情境时，我用的是知识性引课，不够引人入胜，要是能想出更好的引课方式，在一开始就抓住学生的眼球，调动起学生学习的积极性，应该效果会更好。其次，在课堂中没有充分发挥学生的主体性，老师由引导者又渐渐变成了主导者。另外，难点突破应该在两个例题上，可是前边耽误了时间，导致重点地方没有足够的时间解决，没达到最初的意图。还有，在课堂上，如果时间充分，让学生自己发现、分析，总结问题的求解方法，更有助于他们掌握解决此类问题方法。

以上是我对《空间向量的运算》的教学反思，还有很多不足之处，恳请各位老师批评、指正。

专题立体几何与空间向量 第6篇

（2） 当三棱锥ABCD的体积最大时，设点E，M分别为棱BC，AC的中点，试在棱CD上确定一点N，使得EN⊥BM，并求EN与平面BMN所成角的大小.图1图2

（作者：卢杰江苏省丹阳高级中学）

立体几何在高考中占有重要的地位，近几年对立体几何考查的重点与难点趋于稳定（也是考生的基本得分点）：高考始终把直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行的判断与性质、垂直的判断与性质作为考查的重点。新课标教材对立体几何要求虽有所降低，但考查的重点一直没有变，常常考查线线、线面、面面的平行与垂直的位置关系和选修中的空间角与距离的计算。

在现有的必修教材中，虽淡化了利用空间关系找角、找距离这方面的讲解，但在理科选修教材中加大了向量的应用。学习空间向量后，立体几何问题大多可以用向量的知识来做，从而使解题更简捷有效。对空间向量的考查主要集中于向量概念与运算，要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应用，尤其是求夹角、求距离。

一、 考纲要求

1. 空间几何体：该部分要牢牢抓住各种空间几何体的结构特征，通过对各种空间几何体结构特征的了解，认识各种空间几何体直观图，在此基础上掌握好空间几何体的表面积和体积的计算方法；

2. 空间点、直线、平面的位置关系：该部分的基础是平面的性质、空间直线与直线的位置关系，重点是空间线面平行和垂直关系的判定和性质，面面平行和垂直关系的判定和性质.在复习中要牢牢掌握四个公理和八个定理及其应用，重点掌握好平行关系和垂直关系的证明方法；

3. 空间向量与立体几何：由于有平面向量的基础，空间向量部分重点掌握好空间向量基本定理和共面向量定理，在此基础上把复习的重心放在如何把立体几何问题转化为空间向量问题的方法，并注重运算能力的训练。

二、 难点疑点

1. 空间几何体的表面积和体积的计算方法；

2. 平行关系和垂直关系的判定和性质，掌握好平行和垂直关系的证明方法；

3. 空间向量的应用，将立体几何问题转化为空间向量问题的方法。

三、 经典练习回顾

1. 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面.已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的高为3，底面周长为3，那么这个球的体积为.

2. 一个正方体纸盒展开后如图，在原正方体纸盒中有下列结论：

①AB⊥EF；②EF与MN是异面直线；③MN∥CD.

其中正确的是.

3. 下列命题中，正确命题的序号是.

①若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；

②若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行；

③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行；

④若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点.

4. 已知O是△ABC的外心，P是平面ABC外的一点，且PA=PB=PC，α是经过PO的任意一个平面，则α与平面ABC的关系是.

5. 如图，在长方形ABCD中，AB=2，BC=1，E为DC的中点，F为线段EC（端点除外）上一动点.现将△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC.在平面ABD内过点D作DK⊥AB，K为垂足.设AK=t，则t的取值范围是.

6. 如下图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平面B1DC所成的角的正弦值为.

四、 例题精析

题型一空间几何体的表面积和体积

【例1】如图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥平面ACD，AB⊥BC，AC=AD=2，BC=CD=1.

（1） 求四面体ABCD的体积；

（2） 求二面角CABD的平面角的正切值.

【解法一】（1） 如图1，过D作DF⊥AC垂足为F，故由平面ABC⊥平面ACD，知DF⊥平面ABC，即DF是四面体ABCD的面ABC上的高，设G为边CD的中点，则由AC=AD，知AG⊥CD，从而

AG=AC2-CG2=22-122=152.

由12AC·DF=12CD·AG得DF=AG·CDAC=

154.

（图1）

由Rt△ABC中AB=AC2-BC2=3，S△ABC=12AB·BC=32.

故四面体ABCD的体积V=13·S△ABC·DF=58.

（2） 如图1，过F作FE⊥AB，垂足为E，连接DE.由（1）知DF⊥平面ABC，

所以DE⊥AB，故∠DEF为二面角CABD的平面角.

在Rt△AFD中，AF=AD2-DF2=22-1542=74，

在Rt△ABC中，EF∥BC，从而EF∶BC=AF∶AC，所以EF=AF·BCAC=78.

在Rt△DEF中，tan ∠DEF=DFEF=2157.

【解法二】（1） 如图2，设O是AC的中点，过O作OH⊥AC，交AB于H，过O作OM⊥AC，交AD于M，由平面ABC⊥平面ACD，知OH⊥OM.因此以O为原点，以射线OH，OC，OM分别为x轴，y轴，z轴的正半轴，可建立空间坐标系Oxyz.已知AC=2，故点A，C的坐标分别为A（0，-1，0），C（0，1，0）.设点B的坐标为B（x1，y1，0）由AB⊥BC，|BC|=1，有

x21+y21=1，

x21+（y1-1）2=1，

解得x1=32，

y1=12，

x1=-32，

y1=12（舍去）.

（图2）

即点B的坐标为B32，12，0. 又设点D的坐标为D（0，y2，z2），由|CD|=-1，|AD|=2，有

nlc202309010559

（y2-1）2+z22=1，

（y2+1）2+z22=4，

解得y2=34，

z2=154，y2=34，

z2=-154（舍去）.

即点D的坐标为D0，34，154.从而△ACD边AC上的高为h=|z2|=154.

又|AB|=322+12+12=3，|BC|=1.

故四面体ABCD的体积V=13×12·|AB|·|BC|h=58.

（2） 由（1）知AB=32，32，0，AD=0，74，154.

设非零向量n=（l，m，n）是平面ABD的法向量，则由n⊥AB有 32l+32m=0. ①

由n⊥AD，有74m+154n=0.②

取m=-1，由①，②，可得l=3，n=71515，即n=3，-1，71515.

显然向量k=（0，0，1）是平面ABC的法向量，从而

cos〈n，k〉=715153+1+4915=7109109，

故tan〈n，k〉=1-491097109=2157，

即二面角CABD的平面角的正切值为2157.

点拨理解柱、锥、台的侧面积、表面积、体积的计算方法，了解它们的侧面展开图，及其对计算侧面积的作用，会根据条件计算表面积和体积。理解球的表面积和体积的计算方法。把握平面图形与立体图形间的相互转化方法，并能综合运用立体几何中所学知识解决有关问题。

题型二点、线、面的位置关系

【例2】如图，在空间四边形ABCD中，点E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边BC、CD上的点，且CFCB=CGCD=23，则（）

（A） EF与GH互相平行

（B） EF与GH异面

（C） EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上

（D） EF与GH的交点M一定在直线AC上

解依题意，可得EH∥BD，FG∥BD，故EH∥FG，由公理2可知，E、F、G、H共面，因为EH=12BD，FGBD=23，故EH≠FG，所以，EFGH是梯形，EF与GH必相交，设交点为M，因为点M在EF上，故点M在平面ACB上，同理，点M在平面ACD上，即点M是平面ACB与平面ACD的交点，而AC是这两个平面的交线，由公理3可知，点M一定在平面ACB与平面ACD的交线AC上.选（D）.

点拨理解空间中点、线、面的位置关系，了解四个公理及其推论；空间两直线的三种位置关系及其判定；异面直线的定义及其所成角的求法。

题型二直线与平面、平面与平面平行的判定与性质

【例2】如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB=4，BC=CD=2，AA1=2，E、E1分别是棱AD、AA1的中点.

（1） 设F是棱AB的中点，证明：直线EE1∥平面FCC1；

（2） 证明：平面D1AC⊥平面BB1C1C.

证明：（1） 在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，取A1B1的中点F1，连接A1D，C1F1，CF1，因为AB=4，CD=2，且AB∥CD，所以CD

瘙 綊 A1F1，A1F1CD为平行四边形，所以CF1∥A1D，又因为E、E1分别是棱AD、AA1的中点，所以EE1∥A1D，所以CF1∥EE1，又因为EE1平面FCC1，CF1平面FCC1，

所以直线EE1∥平面FCC1.

（2） 连接AC，在直棱柱中，CC1⊥平面ABCD，AC平面ABCD，所以CC1⊥AC，因为底面ABCD为等腰梯形，AB=4，BC=2，F是棱AB的中点，所以CF=CB=BF，△BCF为正三角形，∠BCF=60°，△ACF为等腰三角形，且∠ACF=30°，所以AC⊥BC，又因为BC与CC1都在平面BB1C1C内且交于点C，所以AC⊥平面BB1C1C，而AC平面D1AC，所以平面D1AC⊥平面BB1C1C.

点拨掌握直线与平面平行、平面与平面平行的判定与性质定理，能用判定定理证明线面平行、面面平行，会用性质定理解决线面平行、面面平行的问题。通过线面平行、面面平行的证明，培养学生空间观念及观察、操作、实验、探索、合情推理的能力。

题型三直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质

【例3】如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F分别是AP、AD的中点，

求证：（1） 直线EF∥平面PCD；

（2）平面BEF⊥平面PAD.

解（1） 因为E、F分别是AP、AD的中点，

∴EF∥PD，又∵P、D∈面PCD，E、F面PCD∴直线EF∥平面PCD.

（2） ∵AB=AD，∠BAD=60°，F是AD的中点，∴BF⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，面PAD∩面ABCD=AD，∴BF⊥面PAD，所以平面BEF⊥平面PAD.

点拨掌握直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定与性质定理，能用判定定理证明线线垂直、线面垂直、面面垂直，会用性质定理解决线面垂直、面面垂直的问题。

题型四运用空间向量解决空间中的夹角与距离

【例4】如图所示，已知长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=4，E是棱CC1上的点，且BE⊥B1C.（1）求CE的长；（2）求证：A1C⊥平面BED；（3）求A1B与平面BDE所成角的正弦值.

（1） 解如图所示，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系Dxyz.

∴D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），A1（2，0，4），B1（2，2，4），C1（0，2，4），D1（0，0，4）.

nlc202309010559

设E点坐标为（0，2，t），

则BE=（-2，0，t），B1C=（-2，0，-4）.

∵BE⊥B1C，

∴BE·B1C=4+0-4t=0.

∴t=1，故CE=1.

（2） 由（1）得，E（0，2，1），BE=（-2，0，1），

又A1C=（-2，2，-4），DB=（2，2，0），

∴A1C·BE=4+0-4=0，且A1C·DB=-4+4+0=0.

∴A1C⊥DB且A1C⊥BE，

即A1C⊥DB，A1C⊥BE，

又∵DB∩BE=B，∴A1C⊥平面BDE.

即A1C⊥平面BED.

（3） 解由（2）知A1C=（-2，2，-4）是平面BDE的一个法向量.又A1B=（0，2，-4），

∴cos〈A1C，A1B〉=A1C·A1B|A1C||A1B|=306.

∴A1B与平面BDE所成角的正弦值为306.

点拨利用向量求角：（1）异面直线所成角：向量a和b的夹角〈a，b〉（或者说其补角）等于异面直线a和b的夹角.cos〈a，b〉=a·b|a|·|b|；（2） 直线和平面所成的角：与平面的斜线共线的向量a和这个平面的一个法向量n的夹角〈a，n〉（或者说其补角）是这条斜线与该平面夹角的余角；（3） 求二面角的大小。（法向量法）m、n分别是平面α和平面β的法向量，那么〈m，n〉（或者其补角）与二面角αlβ的大小相等。

牛刀小试

1.江苏金陵中学一模如图所示，ABCDA1B1C1D1是棱长为a的正方体，M，N分别是下底面的棱A1B1，B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP=a3，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ=.

2.设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：

（1） 若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；

（2） 若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；

（3） 设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；

（4） 直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条直线垂直.

上面命题中，真命题的序号是（写出所有真命题的序号）.

3.（2012年高考（湖南））如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AC⊥BD.

（1） 证明：BD⊥PC；

（2） 若AD=4，BC=2，直线PD与平面PAC所成的角为30°，求四棱锥PABCD的体积.

4.如图，四棱锥PABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上；

（1） 求证：平面AEC⊥平面PDB；

（2） 当PD=2AB且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小.

（作者：朱振华江苏省海门高级中学）

巧用向量求空间距离 第7篇

一、点面距离的向量公式

基本结论 平面α的法向量为n, 点P是平面α外一点, 点M为平面α内任意一点, 则点P到平面α的距离d就是在向量n方向正射影的绝对值, 即

例1 (2007湖北文5) 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中, E, F分别为棱AA1, BB1的中点, G棱A1B1上的一点, 且A1G=λ (0≤λ≤1) .则点G到平面D1EF的距离为 ( )

分析如图, 以D为原点, 建立空间直角坐标系D-xyz.

令n= (x, y, z) 为平面EFD1的法向量.

又, 所以点G到平面D1EF的距离为

故选D.

评析因A1B1∥EF, 所以A1B1上任意一点G到平面D1EF的距离都相等, 但是要求出这个距离, 得作辅助线、推理、证明、计算等, 只要一步受阻, 可能都求不出正确答案.但是利用向量法, 原图中较易建立坐标系, 求出平面D1EF的一个法向量代入公式计算便可.由此可看出向量法的优越性.

二、异面直线距离的向量公式

基本结论已知异面直线l1, l2, AB为l1, l2的公垂线段, M, P分别为l1, l2上的任意一点, n为线段上的向量, 则异面直线l1, l2的距离

例2 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中, 求异面直线A1C1与B1C的距离.

解如图所示, 以D为原点建立直角坐标系D-xyz, 则

设n= (x, y, z) 是A1C1与B1C的公垂线的方向向量, 则

令x=1, 得n= (1, 1, -1) .

评析 两异面直线A1C1与B1C的距离即它们的公垂线段长, 找到公垂线不容易, 但利用向量却不用这样麻烦, 在原图中很容易建立坐标系, 求出与向量都垂直的向量n代公式计算便可.

三、线面距离的向量公式

基本结论直线l∥平面α, 平面α的法向量为n, 点M∈a, P∈l, 直线l与平面α间的距离d就是在向量n方向射影的绝对值, 即

例3 (2008安徽文19) 如图, 在四棱锥O-ABCD中, 底面ABCD是边长为1的菱形, OA⊥底面ABCD, OA=2, M为OA的中点.

(1) 求异面直线AB与MD所成角的大小; (略)

(2) 求点B到平面OCD的距离.

解作AP⊥CD于点P, 如图, 在原图上分别以AB, AP, AO所在直线为x, y, z轴建立坐标系, 则B (1, 0, 0) ,

∴设平面OCD的法向量为n= (x, y, z) ,

设点B到平面OCD的距离为d,

则d为在向量上的投影的绝对值.

∴点B到平面OCD的距离为

评析 因AB∥平面OCD, 所以点A和点B到平面OCD的距离相等, 而点B到平面OCD的距离不易作出, 故而须转换为求点A到平面OCD的距离, 同时还要经过作辅助线、推理、证明、计算等, 很多学生都可能想不到, 但是运用向量法却可以避开这些繁琐的推理, 只需在原图中建立适当的坐标系, 求出平面OCD的一个法向量, 代公式计算便可.显然用向量法思路清晰、明了.

四、面面距离的向量公式

基本结论平面α∥β, 平面α的法向量为n, 点M∈α, P∈β, 平面α与平面β的距离d就是在向量n方向射影的绝对值, 即

例4在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中, 求面A1BD和平面CB1D1的距离.

解如图所示, 以D为坐标原点, 建立直角坐标系D-xyz.

由图易证面A1BD∥面CB1D1, 故两平面A1BD和平面CB1D1的距离, 实质就是其中一个平面A1BD内任一点到平面CB1D1的距离.设n= (x, y, z) 是平面CB1D1的一个法向量.

解得x+z=0且-y+z=0.

令x=1得n= (1, -1, -1) .

∴面A1BD和平面CB1D1的距离为

评析 两平行平面的距离就是夹在两平行平面间公垂线段的长, 而这个公垂线学生不易作出.但是问题放在正方体中易建系, 也易求出其中一个面的法向量, 从而容易求出其距离.

例谈用法向量求空间距离 第8篇

利用平面的法向量几乎可以解决所有的立体几何计算问题, 尤其在求线线距离和点面间距离时, 法向量有着它独有的优势——不用作图而直接计算.本文举例说明法向量在求空间距离中的一些应用, 希望能给备考中的同学们些许启发.

一、求异面直线间的距离

定理1 设 a、b 是异面直线, 向量 n 满足 n⊥a, n⊥b, 点C、D分别是直线 a、b 上任意一点, 则异面直线 a、b 的距离$d=\frac{|\mathit{n}\cdot \overrightarrow{{\displaystyle CD}}|}{|\mathit{n}|}.$

证明:如图1, 设异面直线 a、b 的公垂线段为AB.过点B作直线 a 的平行线与过点C且与直线AB平行的直线交于点E, 则$\mathit{n}//\overrightarrow{{\displaystyle AB}}//\overrightarrow{{\displaystyle CE}}.$连结ED, 则

$\begin{array}{l}d=|\overrightarrow{{\displaystyle AB}}|=|\overrightarrow{{\displaystyle CE}}|=|\overrightarrow{{\displaystyle CD}}|\cos \angle ECD\\ =|\overrightarrow{{\displaystyle CD}}||\cos \langle \overrightarrow{{\displaystyle CE}}‚\overrightarrow{{\displaystyle CD}}\rangle |\\ =|\overrightarrow{{\displaystyle CD}}||\cos \langle \mathit{n}‚\overrightarrow{{\displaystyle CD}}\rangle |=\frac{|\mathit{n}\cdot \overrightarrow{{\displaystyle CD}}|}{|\mathit{n}|}.\end{array}$

例1 在长、宽、高分别为2, 2, 3的长方体ABCD—A1B1C1D1中, O是底面中心, 求A1O与B1C的距离.

解:如图2, 建立坐标系D—xyz, 则O (1, 1, 0) , A1 (2, 0, 3) , C (0, 2, 0) , B1 (2, 2, 3) .

所以$\overrightarrow{{\displaystyle A{}_1{\rm O}}}=(-1‚1‚-3)‚\overrightarrow{{\displaystyle B{}_{1}C}}=(-2‚0‚-3)‚\overrightarrow{{\displaystyle A{}_{1}B{}_1}}=(0‚2‚0).$

设A1O与B1C的公共法向量为 n= (x, y, 1) , 则

$\begin{array}{l}\{\begin{array}{l}\mathit{n}\perp \overrightarrow{{\displaystyle A{}_1{\rm O}}}‚\\ \mathit{n}\perp \overrightarrow{{\displaystyle B{}_{1}C}}\end{array}\\ \Rightarrow \{\begin{array}{l}(x‚y‚1)\cdot (-1‚1‚-3)=0‚\\ (x‚y‚1)\cdot (-2‚0‚-3)=0\end{array}\\ \Rightarrow \{\begin{array}{l}-x+y-3=0‚\\ -2x-3=0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=-\frac{3}{2}‚\\ y=\frac{3}{2}.\end{array}\end{array}$

所以$\mathit{n}=(-\frac{3}{2}‚\frac{3}{2}‚1).$

所以A1O与B1C的距离为

$\begin{array}{l}d=\frac{|\overrightarrow{{\displaystyle A{}_{1}B{}_1}}\cdot \mathit{n}|}{|\mathit{n}|}\\ =\frac{|(0‚2‚0)\cdot (-\frac{3}{2}‚\frac{3}{2}‚1)|}{\sqrt{(-\frac{3}{2}){}^2+(\frac{3}{2}){}^2+1}}\\ =\frac{3}{\sqrt{\frac{11}{2}}}=\frac{3\sqrt{22}}{11}.\end{array}$

二、求点面间的距离

定理2 设 n 为平面α的法向量, A, B分别为平面α内, 外的点, 则点B到平面α的距离$d=\frac{|\overrightarrow{{\displaystyle AB}}\cdot \mathit{n}|}{|\mathit{n}|}.$

$\begin{array}{l}\text{略}\text{证}:d=|\overrightarrow{{\displaystyle AB}}||\cos \langle \overrightarrow{{\displaystyle AB}}‚\mathit{n}\rangle |\\ =|\overrightarrow{{\displaystyle AB}}||\frac{\overrightarrow{{\displaystyle AB}}\cdot \mathit{n}}{|\overrightarrow{{\displaystyle AB}}||\mathit{n}|}|\\ =\frac{|\overrightarrow{{\displaystyle AB}}\cdot \mathit{n}|}{|\mathit{n}|}.\end{array}$

例2 如图3, 已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1, AB=1, AA1=2, 点E为CC1中点, 求点D1到平面BDE的距离.

解:以D为原点, 建立如图3所示的直角坐标系, 则D (0, 0, 0) , B (1, 1, 0) , E (0, 1, 1) , D1 (0, 0, 2) ,

所以$\overrightarrow{{\displaystyle BD}}=(-1‚-1‚0)‚\overrightarrow{{\displaystyle BE}}=(-1‚0‚1)‚\overrightarrow{{\displaystyle BD{}_1}}=(-1‚-1‚2).$

设平面BDE的法向量为 n= (x, y, z) , 则$\mathit{n}\perp \overrightarrow{{\displaystyle BD}}‚\mathit{n}\perp \overrightarrow{{\displaystyle BE}}‚$有

$\{\begin{array}{l}\mathit{n}\cdot \overrightarrow{{\displaystyle BD}}=0‚\\ \mathit{n}\cdot \overrightarrow{{\displaystyle BE}}=0‚\end{array}$

所以

不妨设 n= (1, -1, 1) , 则点D1到平面BDE的距离为

$d=\frac{|\overrightarrow{{\displaystyle BD{}_1}}\cdot \mathit{n}|}{|\mathit{n}|}=\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2}{3}\sqrt{3}.$

评注:法向量在距离方面除应用于点到平面的距离、多面体的体积外, 还能处理异面直线间的距离, 线面间的距离, 以及平行平面间的距离等.

三、小试牛刀

例3 在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中, E、F分别是B1C1、C1D1的中点, 求A1到面BDFE的距离.

解:如图4, 建立坐标系D—xyz, 则$B(1‚1‚0)‚A{}_1(1‚0‚1)‚E(\frac{1}{2}‚1‚1).$

所以$\overrightarrow{{\displaystyle BD}}=(-1‚-1‚0)‚\overrightarrow{{\displaystyle BE}}=(-\frac{1}{2}‚0‚1)‚\overrightarrow{{\displaystyle A{}_{1}B}}=(0‚1‚-1).$

设面BDFE的法向量为 n= (x, y, 1) , 则

$\begin{array}{l}\{\begin{array}{l}\mathit{n}\perp \overrightarrow{{\displaystyle BD}}‚\\ \mathit{n}\perp \overrightarrow{{\displaystyle BE}}\end{array}\\ \Rightarrow \{\begin{array}{l}(x‚y‚1)\cdot (-1‚-1‚0)=0‚\\ (x‚y‚1)\cdot (-\frac{1}{2}‚0‚1)=0\end{array}\\ \Rightarrow \{\begin{array}{l}-x-y=0‚\\ -\frac{1}{2}x+1=0\end{array}\\ \Rightarrow \{\begin{array}{l}x=2‚\\ y=-2.\end{array}\end{array}$

所以 n= (2, -2, 1) .

所以A1到面BDFE的距离为

$\begin{array}{l}d=\frac{|\overrightarrow{{\displaystyle A{}_{1}B}}\cdot \mathit{n}|}{|\mathit{n}|}\\ =\frac{|(0‚1‚-1)\cdot (2‚-2‚1)|}{\sqrt{2{}^2+(-2){}^2+1}}\\ =\frac{|-3|}{3}=1.\end{array}$

用向量巧解空间距离 第9篇

1. 点到直线的距离

为直线AB的方向向量, i为直线l的单位方向向量, 则点B到直线L的距离。 (见图1)

例1:已知矩形ABCD的边长AB=6, AD=4, 在CD上截取CE=4, 以BE为棱, 将△BCE折起成△BC1E, 使△BC1E的高C1F⊥平面ABCD, 求C1到直线AB的距离。

解:以A为原点, 如图2建立坐标系。

则, 直线AB上的单位方向向量是i= (-1, 0, 0)

因此C1到直线AB的距离

2. 点到平面的距离

例2:正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a, 过AC作一梯形截面AMNC, 已知, 求顶点B到截面AMNC的距离。

解:以D为原点如图4建立坐标系。

则A (a, 0, 0) , B (a, a, 0) , C (0, a, 0) 此外, 设, 则M (a, λa, a)

设平面AMNC的法向量,

例3:在边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中, M, N, F, E分别是棱A1B1, A1D1, B1C1, C1D1的中点, 求平面AMN与平面EFBD的距离。 (见图5)

分析:两个平行平面的距离可以转化为一个平面内的任意点到另一个平面的距离, 此题平面AMN与平面EFBD的距离可以转化点B到平面AMN的距离.

解得λ=2, u=-2, 所以

3. 异面直线间的距离

l1与l2是异面的直线, A, B分别是l1与l2上任意的点, 则l1与l2的距离是同时垂直于l1与l2的向量) 。 (见图6)

例4:已知矩形ABCD的边长AB=6, AD=4, 在CD上截取CE=4, 以BE为棱, 将△BCE折起成△BC1E, 使△BC1E的高C1F⊥平面ABCD, 求直线BC1与直线AD的距离。

解:如图7以A为原点, 建立如图直角坐标系:

设是同时垂直于直线BC1与直线AD的向量。

综上所述, 在立体几何中, 用向量法来求空间距离的问题, 按照建立坐标系, 确定点的定标, 计算法向量与方向向量, 代入公式计算四个步骤即可。

参考文献

[1].聂文喜, 周家山.点到平面距离的求解策略.数学通讯.2004.6

利用空间向量解立体几何 第10篇

关键词：空间向量,立体几何

立体几何的证明与计算通常分为以下几类: ( 1) 线与线、线与面、面与面的垂直及夹角( 2) 点到线、点到面的距离. 以下是本文的举例说明,可供读者参考.

例1如图,在Rt△AOB中,∠OAB = π/6,斜边AB = 4. Rt △AOC可以通过Rt △AOB以直线AO为轴旋转得到,且二面角B - AO - C的直二面 角. D是AB的中点.

( 1) 求证: 平面COD⊥平面AOB;

( 2) 求异面直线AO与CD所成角的大小.

例2如图,正三棱柱ABC - A1B1C1的所有棱长都为2,D为CC1中点.

( 1) 求证: AB1⊥平面A1BD;

( 2) 求二面角A - A1D - B的大小;

( 3) 求点C到平面A1BD的距离.

解 ( 1 ) 取BC中点O,连接AO.

∵ △ABC为正三角 形,∴ AO ⊥BC.

( 2) 设平面A1AD的法向量为n = ( x,y,z) .

对空间向量教学方法的理解 第11篇

关键词：空间向量；教学方法；理解

空间向量引入立体几何，对传统的教育模式以及课程结构产

生了很大的冲击和影响，对空间向量与立体几何结合的重要价值

和作用得到了数学教育界的普遍关注。[1]

笔者在教学和辅导学生的过程中，发现学生在学习空间向量的时候往往会存在以下问题：对于一道几何题目不知道如何使用空间向量方法，即不知道如何把题目中的几何元素转化为空间向量表示；计算马虎粗心，导致方法使用不当而不能完全解决问题；空间向量的每种方法的形成缘由不清晰，导致不能有效解决问题，例如，在求解线面角的问题时，很多学生能求出法向量与直线的方向向量所成角，但求完后忘记根据法向量与直线的方向向量所成角与线面角的关系来确定最后的答案；还有就是如何選取恰当坐标系上存在困难等。

针对以上种种情况，为了有效地强化学生对空间向量方法的

掌握，结合笔者在教学实践和辅导学生中的反思，教师在空间向量教学过程中，应注意以下几点：

一、空间向量方法的教学应当强调如何把立体几何元素向量化

空间向量方法的本质是，把立体几何元素利用空间直角坐标系进行有效转化，然后利用空间向量的求模、求夹角、平行共线、垂直等代数方法转化解决立体几何问题。

因此，掌握空间向量方法的核心在于，如何把立体几何中点、线、面、角转化为空间中的对应元素。其实立体几何中的点就对应空间中的坐标，线就对应空间中的方向向量，面就联系到空间中的法向量，角可以联系到向量的夹角（但有时需要进行一定的互补互余转化）。

这样可以让学生体会，利用空间向量方法解决立体几何问题，关键在于，准确建立空间直角坐标系，确定相应坐标，线就转化为方向向量，面就转化为法向量。

二、空间向量方法的教学应当遵循透过简单几何模型深化方

法理解，透过复杂几何模型深化建系方法的思维过程

空间向量方法有求证线线、线面、面面平行垂直，求线线角、线面角、二面角，求点到面的距离或几何体的高等三大板块问题。

学生在弄清这些问题的来龙去脉本身就存在理解障碍或困难。因此我们教学应当用最基本的长方体或正方体模型，进行方法教学与练习，暂时撇开建系难度。待学生掌握好求解方法后，再进行其他建系训练，再慢慢给学生接触仅有两边垂直，需要找第三边垂直便能顺利建系的模型，或是三边均不相互垂直，寻找建系基础的锻炼。

因此，在教学中教师应遵循循序渐进的教学思路：

（1）着眼简单的正方体和长方体模型，让学生通过操练理解空间向量方法在立体几何问题解决中的种种应用。

（2）摊分难点，逐步提高，慢慢再让学生接触存在建系困难的模型。很多四棱锥或者四面体等问题都没有三个面或者三条边两两垂直，这时候就需要通过寻找辅助线的方法来确定空间直角坐

标系的坐标轴来建系，还需要确定其中对解决问题有用的顶点的

坐标。

（3）进行动点问题，坐标确定上比较困难的模型锻炼。在立体几何中，对于定点问题学生已经比较难以想象，对于动点问题，大多数学生想象不出空间图形的模型，因此这一类问题采用空间向

量方法比较合适。

三、强调空间向量方法与综合法的链接，相互渗透，相互促进，共同使用

不同学生的思维风格和解决问题的习惯是不同的，比如分析型思维风格的学生倾向于从局部到整体的解决问题的方式，综合型思维风格的学生则恰好相反。学生应当根据个人的学习习惯、思维风格等选择自己的方法。[2]很多学生可能会觉得空间向量方法比较直接，但综合法反而更加有意思。

因此，在教学过程中，应该面向大众，满足不同层次学生的需要，教师不应该对空间向量方法进行一刀切，而应鼓励学生灵活运用空间向量方法和综合法，这样可以帮助学生全面发展。面对不同的问题，可以从不同的角度、不同的思维思考立体几何问题。很多时候空间向量方法与综合法是不分家的，由于课堂时间有限，那么我们对于某一特定题目的时候，可以采用最为简洁明了的方法，至于另外一种的方法，可以稍微进行点拨，提供给学有余力的学生课下思考，强调空间向量方法与综合法的链接，相互渗透，相互促进，共同使用。

四、综合法与空间向量方法的灵活选取

对于这两种方法的总结：（1）一般来说平行垂直证明综合法

比较好，二面角、线面角问题不能说空间向量方法好，只能说它对于学生更加能接受，并且思考门槛比较低，适合大众学生口味。（2）建系土壤成型的，如有现成的三边垂直的，一般先考虑综合法思路是否能顺利得到，如果不行坚决使用空间向量方法。（3）空间动点问题一般首选空间向量方法。（4）建系土壤比较难找，坐标确定比较繁杂的时候，一般选用综合法。（5）解决题目过程中，两种方法可灵活选用，相互支持。

总的说来，空间向量方法的引入，降低了对学生空间想象能力训练的要求，因而降低了学生学习的难度。[3]在教学过程中，应当具体问题具体分析。传统的综合法可以锻炼学生感知、发现问题的能力，对学生演绎推理证明和空间想象能力有更高的要求，这可能对培养学生创新能力有比较大的帮助，特别适合以后有意愿攻读理工类的学生。空间向量方法可以少关注传统的公理化体系，只要求计算来解决问题，这种程序化的特点使空间向量方法简单易懂，降低了学习难度。空间向量方法同时也有助于学生更好地建立代数与几何的联系，尽早了解向量等现代数学思想和方法，从而为初等数学向高等数学过渡奠定了一个直观的基础。[4]

参考文献：

[1]王志贤.对高中数学课程中空间向量教学的研究[D].华中师范大学，2008.

[2]李鹏，单墫.对立体几何教学应用向量法的思考[J].数学通报，2008，47（7）.

[3]赵宇.空间向量对立体几何教育学影响的研究[D].东北师范大学，2008.

[4]徐敏蓉.高中数学课程中的向量教学研究[D].苏州大学，2010.

作者简介：

黄华胜（1988-），男，广东茂名人，华东师范大学数学系2011级课程与教学论硕士；招毅峰（1988-），男，广东广州人，南海第一中学数学教师。

用空间向量求解高考立几题 第12篇

一、典例分析

(1) 求证:AM∥平面BDE;

(2) 求二面角A-DF-B的大小;

(3) 求证:在线段AC上存在一点P, 使PF与BC所成角是60°.

延伸拓展:

(4) 求证:直线AM⊥平面BDF;

(5) 求直线DE与平面BEF所成角的大小;

(6) 求点D到平面BEF的距离;

(7) 求异面直线DF与BE所成角的大小;

(8) 求异面直线DF与AM间的距离.

(9) 在线段AF上是否存在点G, 使得点G在平面DBM上的射影恰为△DBM的重心?

用空间向量求解立几题, 其最大的优势在于:无须进行烦琐的证明, 便可计算出结果来.从方法上讲, 关键是先要熟悉空间向量夹角的计算公式, 进而掌握判定平行与垂直、计算空间角和空间距离的向量方法, 与此同时, 再记住一系列基本结论, 确保解题万无一失.

二、高考实战

例2 (2013年湖南理科) 如图3, 在直棱柱ABCD-A1B1C1D1中, AD∥BC, ∠BAD=90°, AC⊥BD, BC=1, AD=AA1=3. (Ⅰ) 证明:AC⊥B1D; (Ⅱ) 求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值.

例4 (2013年北京理科) 如图7, 在三棱柱ABC-A1B1C1中, 四边形AA1C1C是边长为4的正方形, 平面ABC⊥平面AA1C1C, AB=3, BC=5.

(Ⅰ) 求证:AA1⊥平面ABC;

(Ⅱ) 求二面角A1-BC1-B1的余弦值;

解: (Ⅱ) 由 (Ⅰ) 知AA1⊥AC, AA1⊥AB, 又AB=3, BC=5, AC=4, 所以AB⊥AC.如图8, 以A为原点建立空间直角坐标系A-xyz, 则B (0, 3, 0) , A1 (0, 0, 4) , B1 (0, 3, 4) , C1 (4, 0, 4) , 设平面A1BC1的法向量为n= (x, y, z) ,

三、梳理总结

1. 平行

(1) 线线平行:两条不共线的直线l1、l2平行的必要条件是这两条直线的方向向量平行.

(3) 面面平行:设平面α、β的法向量分别为n和m, 则平面α∥平面β的充要条件是n∥m.

2. 垂直

(1) 线线垂直:两条直线l1、l2垂直的充要条件是这两条直线的方向向量的点积为0.

(3) 面面垂直:设两平面α、β的法向量分别为n和m, 则α⊥β的充要条件是n·m=0.

3. 空间距离

(1) 点面距

(2) 线线距

解法1:找平面β使bβ, 且α∥β, 则异面直线a、b的距离就转化为直线a到平面β的距离, 又转化为点A到平面β的距离.

(3) 线面距:线面距的求法与线线距的求法相同.

(4) 面面距:面面距的求法与线线距的求法也相同.

注意:在求距离时, 要注意各种距离的相互转化, 通常可以把平行的线面距离、面面距离转化为点面距离、线线距离.

4. 空间角