立体图形教学论文

立体图形教学论文（精选12篇）

立体图形教学论文 第1篇

学情分析 学生第一次接触立体图形, 对立体图形问题既陌生又感觉无从下手.学生对于图形的展开与折叠等数学活动过程需要引导, 对平面图形和立体图形之间的转化, 对数学活动的学习价值和意义不明白.在这种情况下, 设计了提前自学, 希望学生在制作立体模型时体会平面图形与立体图形之间的内在联系, 体会转化的思想, 积累图形经验, 发展空间观念.

设计思想 在这节课中, 让学生自己制作教学时的模型, 在制作的过程中体会立体图形是由平面图形折叠而成的;立体图形沿着某些棱展开成平面图形, 特别是正方体有多种展开图.考虑到学生的课件想象能力较差, 所以设计了提前自学, 在提前自学中通过学生动手操作, 自主探索, 提高课堂效率.

教材分析 《展开与折叠》是苏科版教材七年级上册第五章的内容, 空间图形是新课标增加的一个新领域, 把握起来比较困难.在此之前的《图形变化》介绍了翻折、平移、旋转, 似乎前后毫无联系, 前者是立体几何的初步, 而后者则是平面几何的入门 (全等的基本特征范畴) , 如何理解两者间的关联是另一个难点.

教学目标 通过提前自学初步感受立体图形是由平面图形围成, 一个立体图形按不同的方式展开可以得到多种展开图形.

能根据展开图判断简单的立体图形, 熟练掌握简单立体图形的展开图, 经历和体验图形的变化过程, 在现实情境中去理解、发展空间观念, 养成研究性学习的良好习惯.

教学重点、难点

1.准确判断简单多面体的平面展开图.

2.正方体的11种展开图.

教学过程

一、提前自学

1.材料准备:剪刀、16K纸、透明胶带纸、刻度尺.

2.自制圆柱、圆锥、三棱锥、三棱柱、正方体若干个. (友情提醒:制作正方体的方法是可以用6个同样大的正方形纸片, 用透明胶粘贴成正方体.)

3.完成自学问卷.

认真阅读教材P128～129, 并根据要求完成下面的问题:

(1) 圆柱的侧面展开图是, 圆锥的侧面展开图是.

(2) 画出书本图5-9中将无盖的正方体纸盒沿红线剪开的平面图形.

(3) 请你制作棱长为6～8厘米的正方体至少三个 (上课备用) .

(4) 将一个正方体沿着它的某些棱剪开, 展成平面图形, 请你画出展开后的平面图形. (至少画出三种不同的平面图形, 可以相互交流)

二、设置情景, 提出课题

问题 一只蚂蚁从圆柱上的点A绕圆柱一周爬到点B, 你能画出它爬行的最短路线吗?

设计意图 创设情境, 感知立体图形展开是平面图形.

三、初步感受展开图

(一) 圆柱、锥体的展开图

自学交流 如何得到圆锥的展开图?圆柱的侧面展开图和两个底面有什么关系?

设计意图 教师的有效提问, 激发了学生的有效思维, 突破了学生的思维障碍, 弄清圆柱、圆锥的制作方法, 体会立体图形与平面图形的关系, 能展开就能折叠.

学生练习

1.如图, 哪一个是四棱锥侧面展开图?

2.下列平面图形, 是三棱锥的平面展开图.

3.如图, 第一行的几何体表面展开后得到的第二行的某个平面图形, 请用线连一连.

设计意图 前两个练习都是棱锥的展开图, 第一个小题较简单, 是四棱锥的侧面展开图;第二题是三棱锥的展开图, 意在说明同一个物体可以按不同的方式展开, 可以得到不同的展开图.展开与折叠不是孤立的, 而是相互检验的过程, 为正方体的多种展开图作铺垫.有了前面的教学铺垫, 学生已建立基本的空间观念, 第三小题解答不费吹灰之力.

归纳小结 立体图形的折叠与展开是互逆的过程, 可以通过动手操作来验证.一个立体图形有多种展开图.

(二) 正方体的展开图

自学交流无盖正方体的展开.沿图中黑线将无盖的正方体纸盒剪开展开, 画出展开图.

正方体的展开图.学生动手操作, 剪出平面展开图, 学生把剪好的展开图用透明胶带纸粘在黑板上.

分组讨论

1.教师引导学生继续寻找正方体的展开图.

2.学生经过小组讨论, 多次尝试, 得到正方体的11种展开图.

3.回顾得出过程, 小结运用方法、思想依据.

设计意图正方体的展开图是本堂课的重点, 也是难点.学生在展开时花了很长的时间.教师的有效提问, 引导学生用以前学过的知识来判断是否重复, 引导学生用分类的思想来解决一堆正方体的展开图.这个过程, 发展了学生的思维.

三、融会贯通

1.怎样判定是否是某立体图形的展开图?

2.正方体的展开图需要剪几条棱?正方体的展开图有什么特点?

3.请思考, 你是如何得到如图所示的平面图形的?

课后反思

1.理解教材, 理解学生

按照教材的处理流程, 分成三个层次:随便剪;按照要求剪;合作交流正方体的展开图, 突出了一个“剪”字.教材认为“正方体的11种平面展开图”的教学要求在课堂上难以实现, 给学有余力的学生去继续讨论.在教材处理上, 要立足于教材, 创新教材, 把“剪”和“折”联系起来, 用折来验证剪, 用剪来验证折.穿插的一些小练习, 既是为解决后面的问题热身, 也是对教材内容的补充和扩展.由于这些铺垫, 教材内容逐渐丰满.

学生第一次接触立体图形, 空间想象能力基本空白.数学学习的一个重要过程就是促使学生的经验得到抽象和提升.提前自学给学生课上充分的时间去动手操作, 去实践, 去感知.正是有了这个初步经验学生对本堂课铺设的小问题一一化解, 为解决正方体的11种展开图打下基础.最后, 在小结中引导学生思考如何按照要求剪出图形, 这个问题是对整堂课内容的总结和升华, 对学生的空间想象能力又提出了新要求, 余音袅袅, 回味无穷.

2.开启智慧, 渗透思想

这节课的“剪”和“折”把学生带入数学知识的研究氛围, 用数学自身的魅力去吸引、感染学生.在本课中, 特地避免了现代技术动态生成, 而是通过“剪”“折”, 提供真实的问题情境, 发现规律, 解决问题.

有效设计紧扣数学思想.如要求学生把剪好的展开图粘在黑板上展示, 体现了列举法;寻找11种展开图的规律体现了分类思想、归纳思想;在解决问题时, 引导学生运用转化思想.数学思想是数学课的灵魂, 能有效地指导学生的数学解题.正是有了思想的渗透, 学生才找到了正方体展开图的规律, 进一步理解同一种图形有不同的展开图.有了数学思想, 课堂就有了深度和高度.

3.关注过程, 适当评价

学生通过提前自学、小组合作, 已经解决了一部分问题.对于学生疑而未决的问题课堂以研究交流的形式出现.把展开图贴在黑板上, 是对学生的研究无声的肯定, 也给学有困难的同学化解难点.在听课时, 笔者注意到, 有些胆小的同学拿着自己的展开图和周围同学对比、讨论, 看到部分同学把自己的展开图贴在黑板上时, 脸上的表情时而兴奋, 时而惋惜, 为自己小组的同学鼓掌, 课堂高潮迭起, 个个跃跃欲试.教学过程中, 正方体的11种展开图的得出, 是本节课的高潮, 也是本课内容的难点.教师不断鼓励学生, 引导学生的思维一路狂奔, 到达终点.

本节课小结的最后一个问题, 教师认为难度很大, 但是部分学生在下节课上却轻松解决, 并且总结得有理有据.这不得不让我们再次感叹:学生总能创造奇迹.

摘要：《立体图形的展开与折叠》的难点及重点难于把握, 教学中要创造性地使用教材, 设计能遵循学生的思维, 突破思维的障碍, 巧妙渗透数学思想, 激发学生思维的有效性.

立体图形教学反思 第2篇

在教学《认识物体》一课时，课前，我参照教科书上所列举的物体在家里搜集生活中物体，这些物体都是学生在实际生活中经常看到的和用到的，比如药盒、茶叶筒、铅笔、吸管、粉笔盒、奶粉盒、魔方、胶棒等，这样组织教学可以使学生认识到数学来源于生活，生活中处处有数学，提高了学生的学习兴趣，从小培养学生从生活中发现数学问题的意识和习惯。

上课时，我通过让学生看一看，并把形状相同的放在一起，同学们通过分类后的各类实物，能够感知每种物体的特征，然后把自己带来的物体与相应的几何图形找到朋友。学生通过学习，认识了这些物体，并能准确的判断。紧接着我让学生摸一摸，通过摸一摸我让学生说出了每种物体的特征。通过本节课，我为学生提供了充分的观察、操作、讨论的机会，通过让学生看一看，摸一摸、想一想、说一说，等活动，使学生的多种感官协调活动起来，让学生在动手、动眼、动嘴、动耳的活动中自然而然地学习和运用数学知识，还使学生在玩中进一步巩固了各种物体的特点，效果不错。

立体图形教学论文 第3篇

一、通过观察与欣赏图片来导入新课

“立体图形与平面图形”这节内容的教学中，教学重点在于培养学生对于两种图形的感性认知，要让学生能够辨别两者之间的差异。在进行这部分内容的教学时我会让学生通过观察与欣赏图片来导入新课。

首先，让学生认识到图形在数学学习中的重要性。它既可以是艺术中的绘画和雕塑，也可以是科学上的表达或记录。数学既研究数，又研究形，数与形是数学这棵大树上的不同分支，这两者间的相互结合常常有助于问题的解决。

然后，通过PPT给学生播放各种图形及画面。让学生对于平面图形及立体图形有感性的认识，这对于后续学生能够对于各自的特点及相互间的差异进行辨析是很有帮助的。

二、对立体图形与平面图形的回顾

在以往的数学学习以及平时的生活中，学生们已经接触过大量的立体图形及平面图形，对于两种图形也有了基本的认识，在对于他们的回顾中不仅能够帮助学生理清思绪，也能够更好地让学生对于两种图形的特性进行区分。

1.对立体图形的回顾

师：大家能够归纳一下常见的立体图形吗？

学生们纷纷作答，学生的答案归纳后可总结为常见立体图形有长方体、正方体、圆柱、圆锥、球体。

师：生活中许多实物都是由几何体构成的，大家能够回忆一下你们熟悉的几何体吗？

学生生经过回忆、思考后回答。

师：你能在生活中找到长方体、正方体、圆柱、圆锥、球的物体吗？

学生经过独立思考、合作交流后作答。

师：根据学生回答的情况适时说明几何图形与生活中的类似物体的关系，关注学生语言表达的准确性。

这个环节的教学设计是为了让学生经历从具体实物抽象成立体图形的过程，逐步建构实物与立体图形之间的关系，发展学生的空间观念和对立体图形的直觉；同时也能够让学生在合作学习中能大胆发表自己的见解，同时学会倾听、欣赏，理解他人好的见解，并从中获益。

2.对平面图形的回顾

平面图形相对于立体图形而言简单，其中的知识点不太多也不太复杂。在对这部分的知识点进行梳理及回顾时我向学生展示了两幅图形，我让学生分别来观察国旗和国徽，并且找出里面所有能看到的图形。

学生们观察得都非常仔细，有长方形、三角形、圆形、平行四边形等。生活中常见的平面图形基本都能够在这两幅图中看到，这个过程是为了利用学生身边熟知的平面图形，激起学生对已经学过的平面图形的回忆和重新认识，同时，也是为了引导学生关注身边的数学问题，逐步培养学生具备用数学知识解决问题的意识和习惯。

三、练习与巩固

当学生进行了平面图形及立体图形的相关回顾后，我会加入练习及动手的部分来进一步巩固学生的知识掌握程度。

例1 将12个相同的等边三角形用透明胶粘贴成如图1、图2、图3的三种形状，你能想象出哪一个可以折成多面体？动手做做看。

学生在动手的过程中提高了学习的乐趣。这也是一个平面图形到立体图形的过渡与转换过程，能够进一步加深学生对于两种图形间的认识。

例2 请同学们沿着做好的立方体的一些棱将它剪开，可以把它展开成一个平面图形吗？同时请同学们思考，同一个立体图形按不同的方式展开得到的平面展开图是否一样？

学生把自己做好的立方体沿着一些棱剪开，展开成各种不同的展开图，同一个立体图可以有不同的平面展开图。动手的过程不仅很好地解答了上面的问题，也让学生发现了立体图形的构成规律。

例3 给每个学生发一张印有下图4个图形的白纸。先请学生想一想：这四个图形是不是多面体的展开图？如果是，那么这些多面体的名称又分别是什么？让学生把这四个图剪下来折一折，看看到底是什么立体图形？

让学生经历先猜想，然后动手操作，再进一步思考学习的过程，这样能够很好地培养学生主动探索、敢于实践、善于发现的能力。这三个例题都具有代表性，并且是综合性较强的思考题。学生们在寻找答案的过程中不仅能够培养探究精神，同时也能够让他们对于两种图形有更深刻的理解与认识。

立体图形教学论文 第4篇

苏教版《义务教育课程标准实验教科书·数学》六年级 (下册) 第105～106页。

教学目标

1.使学生进一步理解和掌握立体图形表面积的意义以及求立体图形表面积的一般方法, 能准确、灵活地解决生活中的相关实际问题。

2.沟通知识间的联系, 发展学生的符号感和空间观念, 能主动运用所学的数学规律和数学方法解决实际问题, 提高解决实际问题的能力。

3.在回顾旧知识的学习过程中体验温故知新的学习乐趣。

教学重点

沟通知识间的联系, 提高解决实际问题的能力。

教学过程

一、谈话导入

谈话:同学们, 我们复习过平面图形的特征以后, 接着复习了平面图形的有关计算。上节课我们复习了立体图形的特征, 知道下面我们该复习什么了吗? (立体图形的有关计算) 。立体图形的计算主要包括哪些方面? (表面积的计算和体积的计算。) 立体图形的体积计算我们放在下一节课复习, 这节课我们复习立体图形的表面积。

板书:立体图形的表面积

设计意图:简短的交流让学生清楚地知道自己的学习已经“走”到哪里, 将要“走”向哪里, 有利于学生掌握知识的整体结构。

二、回顾沟通

1.表面积的意义。

出示:

提问:什么是长方体的表面积?什么是圆柱的表面积?

小结:可见, 物体表面面积的总和就是它的表面积。

2.表面积的计算。

(1) 再现思路。

提问:怎样计算它们的表面积呢?请把你的想法说给同桌同学听听。

班内交流, 并相机出示展开图。

(2) 字母表示。

提问:你能用字母表示这些立体图形的表面积吗?

学生在本子上写字母表达式。

(3) 基本练习。

请同学们求出下面几个立体图形的表面积 (教材第105页第3题) 。

(1) 棱长4厘米的正方体。

(2) 长5厘米、宽4厘米、高3厘米的长方体。

(3) 底面半径1分米、高5分米的圆柱。

指名板演, 并说说是怎样想的。

设计意图:复习课要做到“温故而知新”。学生通过对立体图形表面积的意义及计算方法的回顾, 达到了“温故”的目的, 用字母表示长方体、正方体、圆柱体表面积的计算方法, 能培养学生的抽象概括能力和符号感, 这也是复习中的“知新”之处。教学中有讨论交流, 有基本练习, 有对认识的进一步提升, 复习的方法恰当有效。

三、解决问题

现在我们就用复习的知识解决生活中的一些实际问题。

1.做第106页的第6题。 (只列式, 不计算)

制作下面圆柱形状的物体, 至少各需要多少铁皮?

指名三人板演, 然后说说是怎样想的。

提问:通过做这三道题, 同学们想一想, 解决关于圆柱表面积的实际问题时, 要注意什么?

小结:解决关于圆柱表面积的实际问题, 有的要计算两个底面的面积, 有的只计算一个底面的面积, 还有的只计算圆柱的侧面积, 我们要学会具体问题具体分析, 灵活、准确地选择计算方法。

2.做第106页的第4题。

谈话:其实, 求长方体、正方体的表面积也是这样, 我们要根据实际情况灵活地选择计算方法。解决有关长方体表面积的实际问题, 通常情况下要计算六个面的面积, 但有时是求五个面的面积, 如做一个无盖的长方体木箱, 求用木板的面积, 求做火柴盒的内盒用多少硬纸板, 在游泳池的四壁和底面贴瓷砖, 求贴瓷砖的面积等;有时是计算四个面的面积, 如长方体商品盒四周贴商标, 求商标纸的面积, 求做火柴盒的外盒用多少硬纸板等;有时是计算三个面的面积, 如求放在墙角的长方体物品露在外面的面积, 要装修报告厅靠墙的立柱, 求装修面积等;有时是计算两个面的面积, 如一个长方体木箱有两个面装防蝇纱网, 求纱网的面积等;有时只计算一个面的面积, 如求长方体纸箱的占地面积等。同学们请看这道题该怎样解决 (教材第106页的第4题) 。

一个长方体金鱼缸, 长40厘米, 宽40厘米, 高35厘米。它左侧面的玻璃打碎了, 要重新配一块。重新配上的玻璃是多少平方厘米?合多少平方分米?

指名板演, 交流评价。

3.出示:一个长方体饼干盒, 长17厘米, 宽11厘米, 高22厘米。如果在它的侧面贴一圈商标纸 (如图) , 这张商标纸的面积至少有多少平方厘米? (只列式, 不计算)

如果学生没有想到第三种做法, 教师再加以引导。让学生比一比三种计算方法之间有什么联系。

小结:长方体的侧面积和圆柱的侧面积一样, 都可以用底面周长乘高来计算。

设计意图:将求长方体侧面积与求圆柱侧面积的方法联系起来, 能加深学生对所学立体图形的认识, 这是复习中的又一“知新”处。

4.出示:下图表示用棱长1厘米的正方体摆成的物体。这个物体的表面积是多少平方厘米?

学生可能有的做法: (1) 根据相对面的视图大小相同, 列式为 (6+6+3) ×2=30 (平方厘米) ; (2) 数一数一共有30个正方形的面, 列式为1×30=30 (平方厘米) ; (3) 分割成两个长方体, 用两个长方体表面积的和减去重叠部分的面积; (4) 添补成一个较大的长方体, 列式为6×4+4×2-2=30 (平方厘米) ; (5) 把凹进去的两个面拉出来, 列式为6×4+3×2=30 (平方厘米) 等。

交流学生的不同做法, 并突出第一种方法。

5.出示下图, 并说明要解决的问题:现在准备给这个零件的外表涂一层漆, 求涂漆的面积。

学生试做、讨论、交流。

学生可能出现的做法: (1) 用长方体和圆柱体表面积的和减去重叠部分的面积; (2) 转化成求长方体表面积与圆柱侧面积的和的问题。

说明:第4、5两题是两个综合性较强的实际问题, 解决这两个问题, 既用到表面积的变化规律, 又用到转化的策略, 还用到视图的知识, 能有效促进学生解决实际问题能力的提高。

四、课堂总结

通过今天的学习, 你有什么新的收获?

五、布置作业

《认识立体图形》教学反思 第5篇

通过“说说生活中在哪儿见过这些平面图形”这一问题情境，既引导学生回顾前面学习的立体图形，也自然地过渡到平面图形的认识；更密切了数学与生活的联系，调动了学生原有的生活经验，使学生觉得数学有用，数学就在自己的身边。课堂上学生始终乐此不疲，兴趣盎然。整个数学学习活动充满情趣，有的学生甚至忘了在上课，直接走到其他孩子旁边与他人做一些交流。

2、共同操作，独立思考，学会初步合作与交流

本节课是通过大量的动手操作来完成的，利用“摸”面、“找”面、“画”面、“说”面几个环节的学习活动，既注重让学生以自己内心的体验来学习数学，培养学生的观察能力、运用数学进行交流的意识，又使学生初步感知这些实物(模型)的表面，获得对平面图的感性认识，体会“面”由“体”的得和“面”与“体”之间的联系与区别。同时培养了学生观察能力、动手操作的能力、语言表达能力以及分析、比较、概括的能力，发展学生的空间观念。而在画一画这一环节上，学生通过合作操作，把任务完成得比较理想，也得到了比较令人满意的效果。并且在以上的学习过程中，学生对于合作与交流有了初步的感知，知道小组成员应该互帮互让。因为在老师让他们找出自己最喜欢的立体图形的时候，小孩子们并没有因为没拿到最心仪的物体而有微词，也是高高兴兴地拿起其他物体与同组小朋友进行交流，有个别学生与别的同学商量着互换手中的物体。

3、初步渗透分类的思想

在让学生操作得到平面图形之后，我没有把学生的作品放在实物投影上加以展示其画得如何的端正，而是直接要求学生把图形贴到黑板上各种图形所在的相应位置。在贴的时候有几个小孩把位置贴错了，给其他小孩多了一个重新分类的机会，这可真是一件好事。这样的安排既把学生的作品做了展示，又让学生把各种图形进行了分类，并且初步渗透了分类的思想，为下一部分内容的学习做了铺垫。

本节课也有很多不足之处。

1、学生在“摸一摸”的活动中对面的感知不够，我的引导也不够到位，如学生说出有的面是有点粗粗的，次次的，而有的面是滑滑的，我没有及时指出这是材料的质地问题，而是直接把话题引到“面是不是平平的”上来。这样对平面图形的“平”字的理解就有点不够。

2、在设计“面”由“体”得时我没有为学生准备这么多的材料,如剪刀、印泥等。也没有引导学生说出得到平面图形的多种方法，比如用印泥印、用剪刀剪下立体图形的一个面、用铅笔沿着立体图形的边描等，大部分学生直接用铅笔沿着物体的面的轮廓画。这样的结果体现不出解决问题的方法和策略的多样性，对培养学生的创新意识来说是打了折扣。

立体图形教学论文 第6篇

关键词： 数学实验 立体图形 重难点 实践研究

一次磨课经历引发的思考：数学实验可以替代吗？

学校举行数学教研活动，小张老师执教《长方体和正方体的表面积》一课。为了帮助学生理解长方体表面积的含义，建立长方体六个面的长和宽与长方体长、宽、高之间的联系。第一次试教时，小张老师在上课伊始安排了一个操作环节：每一位学生将自己准备的长方体包装盒展开，然后寻找展开后的平面图形的长和宽与原来立体图形的长、宽、高之间的关系。因为在整个过程中没有明确的要求，缺少对学生操作方法的指导，整整15分钟过去了，学生还在纠结哪些面是长方体的6个面，哪些是连接部分需要剪掉……25分钟过去，学生还在无绪思考。考虑到课堂教学任务，老师只能要求学生结束操作，自己说明展开图的长和宽与长方体长、宽、高之间联系。

第二次试教，为了加快教学进度，小张老师取消了学生的数学操作，改由教师结合课件进行介绍。简单介绍虽然也能让学生总结出长方体的表面积计算方法，但这样的简化能让学生真正理解意义，建立联系吗？

课后与小张老师交流，一致认为在本课教学中学生的数学操作最好不要用计算机直观演示替代。在数学学习过程中很多知识的学习需要借助数学操作之力，尤其是在学习“立体图形”相关知识时，通过数学操作可以更好、更直观地突破教学重难点。

接下去笔者以“立体图形”相关知识的教学为例，谈一谈如何利用数学实验开展好数学教学，充分发挥数学实验的作用。

一、实验意义明，学生认识真

在教学《圆锥的体积》时，笔者充分信任学生，在讨论出用圆柱和圆锥做实验后，直接提供给学生各种圆柱和圆锥让学生操作探究。当每个小组学生操作的结论出现多样性，探究过程中出现“拦路虎”时，笔者适时组织学生讨论：为什么出现这种情况？应该如何解决这个问题？学生容易想到因为每个小组用的圆柱和圆锥都是不相同的，应该统一圆柱和圆锥的关系，即拿等底等高的圆柱和圆锥做实验。学生再一次动手操作时，统一的操作结果立即呈现：圆锥的体积是和它等底等高圆柱体积的三分之一。这样的操作探究虽然一波三折，但是学生经过这样的苦思冥想、思维碰撞后获得的成功，远比教师直接给他的来得有意义。

二、实验器材精，学生体验深

对于“体积单位的认识”是许多数学教师感到无奈的事情，由于缺少对单位体积的直观认识，许多学生在填合适的单位时，经常会出现乱填一通的情况。为了尽可能多地增加学生对单位体积的直观印象，我们可以让学生准备1立方厘米、1立方分米大小的正方体，并让学生通过摸模型、比划模型、对比模型等形式帮助学生形成正确的概念。由于1立方米正方体模型制作相对困难，在介绍1立方米的时候，很多教师往往只是选择让学生观看图片了解它的大小，或者利用三把直尺在墙角制造一个1立方米出来，这样的感受往往是不深的。为了让学生能够让学生真正感知到1立方米的大小，笔者在课前制作一个1立方米的正方体，其中5个面用报纸封住，通过展示给学生制造了非常大的视觉冲击。

三、实验方案新，学习效率高

《长方体的认识》是人教版数学五年级下册的教学内容，长方体棱的特征是本节课的重点和难点之一。用小棒摆长方体或正方体是许多教师在解决这个问题过程中都会安排的数学操作。但在安排这个环节的教学时，却有很多值得我们思考的问题，如果为学生提供三种不同长度的小棒，刚好搭成一个长方体的小棒，学生经历的只是一个简单操作的过程，对学生解决问题能力的培养非常有限，另外也不能全面展示长方体棱的特点。如果为学生提供的三种小棒的数量足够多，这样利用这三种小棒就可以摆出10个不同大小、形状的长方体，这么多的长方体要在一节课中展示出来显然是一件不太现实的事情。为了不让实验操作变成走过场，也为了防止实验操作挤满整节课，必须突破原来按部就班的实验模式，创新实验方案。

四、实验流程清，学生能力提

人教版数学五年级下册第36页有一个练习，要求学生判断出平面图中哪些可以折成正方体。在解决这个教学难点的过程中，如果只是发挥学生的空间想象能力，仅通过想象要求学生做出正确判断，这样的要求对于学生而言显然高了；反之让学生通过数学实验，一一验证这四个平面图形可不可以折成正方体，如此实验对学生而言更类似于一次机械操作，对于发展学生的空间想象能力作用并不明显。

对于这样的问题，笔者通过思考—实验—归纳—想象的教学步骤突破难点，发展学生能力。面对问题，笔者要求学生先思考（不通过折，可以采用怎样的方法在头脑中将平面图形折成正方体），再实验（选取其中一个平面图形，进行验证），然后归纳（整理实验过程，归纳总结出利用想象折出正方体的过程），最后想象（应用方法，通过想象折叠的过程中完成对图形的判断）。

利用数学实验经过如此四个步骤的教学，不仅降低了问题的难度，突破了教学难点，而且很好地发展了学生的空间想象能力。

在利用数学实验解决“立体图形”教学重难点的过程中，一方面通过数学实验要使学生理解教学的重难点，培养学生的空间想象力、归纳推理等能力。另一方面教师应注重学习对数学实验参与的积极主动性，教师可以创设情境吸引学生动手实验，选择恰当的实验方法，培养学生有序思考、有序实验的习惯。教师还要正确引导，使学生有足够时间进行思考交流，提高数学实验结果的利用率，使学生获得良好的数学实验的经验。

参考文献：

[1]陆利东.绝知此事要躬行——关于操作体验有效性缺失与对策的思考.《小学数学教师，2010（9）：76-82.

[2]数学课程标准（2011年版）北京师范大学出版社，2012.1.

立体图形教学论文 第7篇

高职高专图形图像制作专业旨培养具备良好艺术设计理论和图形软件的操作技能, 具有较强的图形图像处理能力和一定的造型与创作能力的应用型人才。建筑动漫方向在这一大前提下, 侧重培养学生利用计算机图形图像技术, 根据建筑、园林、室内等规划设计图纸, 将建筑室内外空间结构、色彩、环境、氛围等建筑设计构想进行提前演绎展示的能力。这就要求学生要有很强的立体空间感知能力和立体空间造型能力。

立体构成是一门研究在三维空间中如何将立体造型要素按照一定的原则组合成赋予个性美的立体形态的学科。通过对该课程的学习, 学生应该掌握立体单元形态之间的各种构成法则, 并对空间材料形、色、质等心理效能进行探求, 对材料强度进行探求, 对加工工艺等物理效能进行探求。进而提高空间创造性思维能力和设计审美能力, 为今后专业设计打下坚实的基础。因此, 立体构成作为图形图像制作 (建筑动漫方向) 专业的专业基础课显得尤为重要。在教学过程中, 如何与相关的基础课程衔接, 如何使其在后置的专业课程中起到真正的作用, 是立体构成教学所面临的重要问题。

一、目前立体构成课程教学中存在问题分析

“立体构成”这门课程起源于1919年, 是德国包豪斯学院在创办后确立的艺术流派, 自20世纪八十年代开始引入中国, 成为中国所有艺术院校共用的基础课程。如果按照传统的教学理念和教学模式进行教学, 则缺乏专业针对性, 若学生不明确学习目的及学习目标, 则会对教学内容理解偏差, 在后置课中, 学生不能很好地运用立体构成法则组织空间, 会出现该课程与后面的专业课不能有机衔接的问题。

二、解决存在问题的措施

(一) 明确学习目的

立体构成课是图形图像制作 (建筑动漫方向) 专业的专业基础课, 对所学课程内容掌握的好坏与否将直接影响到后续建筑场景和建筑物建模的能力。教师在教学过程中往往重视教学内容本身的讲解而容易忽略强调学习目的的重要性。教师应明确告知学生, 立体构成在该专业教学体系中占据什么样的位子, 要解决什么问题, 对未来所学课程的帮助以及对于各专业的针对性。要让学生对学习内容有清醒的认识。这样学生在学习的过程中就会少走弯路。

(二) 认清立体构成课程所服务专业的针对性

只有认清了立体构成课程所服务专业的针对性, 教师在立体构成的教学中和立体构成的课题设计上做到有的放矢, 学生才能将立体构成的知识点与后置课程进行有机结合。就建筑动漫专业而言, 立体构成课程的重点应该是建筑空间的表达。在教学中应引入与专业后置课程相关的案例或者习题, 比如在做线材练习的时候, 学生可以结合室内外陈设、室内外空间布置, 做面材练习的时候可以结合室内外界面装修, 做空间分割练习的时候, 学生可以对建筑所提供的内部空间来做课题练习等。

(三) 创新教学方式, 提高学生学习兴趣

1、引入多媒体教学。

在教学中多用多媒体教学, 除了理论知识的讲解外, 应结合学习要点, 有针对性地给学生看优秀的立体构成作品, 甚至是视频, 让立体构成在光、色、声中展现其魅力, 让学生拓宽眼界, 对所学知识的应用有清醒的认识, 并可以借鉴优秀作品的表达方式丰富自己的习作。

2、重视与学生的沟通交流。

在做立体构成作业时, 学生应绘制草图, 自我认可后与老师沟通讨论定出可行方案再执行。这样一方面避免了作业过程中常见错误的发生, 也让学生养成了立案号的空间思维习惯, 同时增进了教师与学生之间的互动性, 活跃了课堂氛围。

3、重视作业讲解。

学生每一次的作业都应该集中展示和集中讲解, 指出各个作品的优点和缺点, 以此激励学生的共同进步并创建良好的学习氛围。

4、把学习带出课堂。

参观有特色的建筑、景观、室内装修等。提高解析建筑的能力。学会用点、线、面来构造和分解建筑的方法。

(四) 根据专业特点改进教学内容

1、重视与建筑知识的结合

在教学过程中, 任何的知识点的讲授及习题的布置都应以“建筑表现”为核心, 紧扣这一主题进行演绎。对复杂的建筑结构或建筑场景分解为单纯的点、线、面、体, 再将这些基本元素重构为新的立体抽象形态。

2、重视对材料的认识

相同结构, 相同空间, 由于材料的不同而造成不同的体感、质感。所以对材料的认识和创新是非常重要的。在认识制作材料的过程中引导学生去认识建筑材料, 并指导运用到自己作品中。

三、结束语

立体构成的教学改革是个不停完善的过程。立体构成的教学方式、教学目的、考核目的、教学内容也应该不断完善和改革。使其为图形图像制作 (建筑动漫方向) 专业教学奠定良好的基础。

摘要：立体构成是研究空间立体形态的学科。用一定的材料, 以视觉为基础, 力学为依据, 将点、线、面、体等造型要素按照一定的构成法则, 组合成美好的形体的构成方法。其任务是, 揭开立体造型的基本规律.阐明立体设计的基本原理。本文旨在探讨高校立体构成教学模式的方法。

关键词：立体构成,图形图像制作,建筑动漫方向,教学改革

参考文献

[1]、林华, 新立体构成[M], 武汉:湖北美术出版社, 2009.

[2]、赵殿泽, 构成艺术[M], 沈阳:辽宁美术出版社, 1994.

立体图形教学论文 第8篇

●教学内容

本节所讲是华东师大版数学教材七年级上册第四章第2节的内容, 是在学生初步认识了简单立体图形的基础上进行教学的。人们在日常生活中接触到的通常都是立体图形, 但是往往都要把它转化成平面图形来研究, 图形的三视图是由立体图形转化成平面图形的一种形式, 而下一节的“立体图形的表面展开图”是由立体图形转化成平面图形的另一种形式。因此, 本节课的内容是由立体图形到平面图形的一个纽带, 为以后形成空间观念和学习立体几何打基础, 所以学好它至关重要。

●教学对象

七年级学生对身边有趣的事物充满好奇, 对一些有规律性的问题充满探求的欲望, 他们非常乐意动手操作, 有很强的好胜心和表现欲, 有一定的归纳能力, 但是他们刚开始接触几何知识, 空间想象力太弱, 缺乏从多角度观察事物的经验。

●教学环境

《初中数学新课程标准》 (2011版) 明确:“信息技术的发展对数学教育的价值、目标、内容以及教学方式产生了很大的影响。数学课程的设计与实施应根据实际情况合理地运用现代信息技术, 要注意信息技术与课程内容的整合, 注重实效。要充分考虑信息技术对数学学习内容和方式的影响, 开发并向学生提供丰富的学习资源, 把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的有力工具, 有效地改进教与学的方式, 使学生乐意并有可能投入到现实的、探索性的数学活动中去。”所以, 根据七年级学生的特点和学校的实际情况, 笔者采用在计算机网络环境下进行本节课的教学, 因为计算机网络教室环境具有教学过程的交互性、评价的即时性、学习的自主性、资源的丰富性等一系列优势, 这样的环境下可以更好完成教学任务, 激发学生的学习兴趣。

●教学目标

知识与技能目标:通过计算机平台, 完成与“三视图”知识有关的具体任务, 发现只由一个或两个视图无法确定一个立体图形的形状。

过程与方法目标:能够构想出用三个具有怎样位置和大小关系的视图来准确反映一个立体图形的形状。能画简单立体图形 (包括直棱柱、圆柱、圆锥、正棱锥、球) 以及由立方体组合而成的简单组合体规范的三视图。

情感态度与价值观目标:通过具体的数学活动, 培养空间观念, 学会与人沟通、合作与分享。

●教学重、难点

重点:学会画简单立体图形 (包括直棱柱、圆柱、圆锥、正棱锥、球) 以及由立方体组合而成的简单组合体的三视图。经历探索三视图画法的过程, 动手画规范的三视图。

难点:能够构想出用三个具有怎样位置和大小关系的视图来准确反映一个立体图形的形状。

●教学思路

本节课是在计算机网络教室进行的, 所以在介绍具体的教学过程之前, 有必要对计算机网络教室的优势进行充分分析, 找到理想教学设计中必须引入信息技术手段支撑的整合点, 加以分析并提出最终的解决方法, 这个过程也是创新教学思路的核心环节。

1.体现资源的丰富性

互联网作为当代信息存储与传播的主要媒介之一, 是一个巨大的信息资源库, 其内容包罗万象, 覆盖了不同学科、不同领域、不同地域、不同语言的信息资源。在表现形式上, 包括了文本、图像、图形、动画、音频、视频等, 堪称是多媒体、多语种、多类型信息的集合体。在计算机网络教室中, 学生可以随时上网查阅资料以解决学习过程中遇到的困难。

2.突出教学的交互性

计算机网络环境下的课堂不是简单的讲授, 而是师生共同参与、动态的教与学的过程。它可以提供多种教学互动方式, 包括学生与教师交互、与课程内容交互、与媒体交互、与学习伙伴交互, 还可以随时随地提问、留言。充分调动学生的积极性, 使整个课堂活泼起来。

3.促进学习的自主性

传统课堂突出对知识的理解与记忆, 教学策略上往往使学生被动接受知识、被动接受训练, 导致学生的依赖心理, 缺乏积极进取和主动学习的精神, 最后导致学生出现厌学的情况。在计算机网络课堂环境下, 学生面对大量的交互性强的资源, 会产生主动探究的欲望, 激发学生的学习兴趣, 从而可以促进学生主动学习态度的形成和自我学习能力的提高。

4.问题评价的及时性

由于每位教师都要在规定的课时内完成教学任务, 这就导致了在教学过程中, 教师不能照顾到所有学生是不是都掌握了知识内容, 在传统的教学环境下, 很难实现因材施教。但是在计算机网络环境下, 由于网络的超大容量, 不同类型、不同难度的习题设置可以满足不同学生的需求。认知水平稍差的学生可以通过计算机来复习旧知识, 而认知水平偏好的学生可以直接学习新知识, 每个人都可以根据自己的实际情况来选择学习内容和学习进度。学生在学习过程中遇到了难题, 可以随时在线咨询教师。在这样的环境下, 一方面教师可以系统地掌握学生的认知情况, 另一方面, 学生也及时地解决了学习中的困难点。

●教学过程

1.导入环节

师: (出示猜想游戏) 这里有两个立体图形, 如果分别只提供一个视图, 你能猜出它的形状吗?如果分别提供两个视图, 你能猜出它的形状吗? (教师引导学生总结, 至少要三个视图才可以确定一个立体图形, 从而引出本节课学习内容。)

学生小组交流讨论。

设计意图:在导入环节, 通过游戏的形式激发学生的学习兴趣, 游戏的内容从生活实际出发, 以便学生能以更轻松的方式投入本节课的学习。

2.学习新知

(1) 认知环节

师:我们把从正面看到的图形叫做正视图, 从左面看到的图形叫做左视图, 从上面看到的图形叫做俯视图, 把正视图、左视图和俯视图统称为三视图 (计算机屏幕显示三视图的概念) 。同学们对三视图的概念还有什么疑问吗?

生:在概念方面没什么问题, 但是为什么只从这几个方向去看, 而不从后面或者别的方向去看呢?

师:这个问题提得很有意义, 一个物体从多方向去观察都能得到相应的平面图形。以杯子为例, 稍微复杂的物体或图形, 我们就必须从多角度去观察才能完整了解它们的具体形状。但对于一些较简单对称的立体图形, 我们仅从正面、左面、上面这三个方向去研究就足够了。

设计意图:通过对学生提出的问题的讲解使学生体会到数学来源于实际生活。

(2) 探究环节

教师布置任务, 组织学生分工合作进行探究。组长负责策划和分工, 小组成员进行观察和讨论, 汇报员负责汇报和展示。以小组为单位, 借助软件中的三维空间观察立体图形, 得到立体图形的三视图, 并根据观察的结果完成任务书, 以小组汇报的形式展示学习成果。 (计算机屏幕上分别出示分工表、任务卡及观察立体图形的3D软件)

设计意图:本环节充分利用计算机, 学生自主分工, 展开小组探究活动, 教师随机参与和指导各组的探究中, 汇报的环节也可以使学生更直观、快速地分享探究成果。

(3) 交流环节

师:下面开始分享各组的研究成果。六个图形, 每个小组汇报一个图形的探究结果。在每个小组汇报之后其他小组进行点评, 至少要说出一条优点和一条建议。

学生汇报本组的观察成果, 并展示自己绘制的三视图。其他学生各抒己见, 点评优点和不足。

设计意图:本环节注重学生表达能力的培养, 分享获得新知的研讨过程, 全员交流, 在点评和提问中突破难点, 师评形式改为生评, 只鼓励建议, 不表扬和批评, 以此增加学生的自信心。

教师活动:通过任务一的探究我们已经掌握了一些简单立体图形的三视图, 那么对于一些组合体的三视图又该如何确定呢? (教师简要指导学生软件的应用) 请大家观察老师给出的组合体, 在方格中确定它们的三视图, 每道题计算机会提示你们是否正确, 正确就在相应的题号下画√, 否则画×, 最后统计得分, 每题1分, 如果按时完成, 就在加分栏里再加1分, 满分10分。

设计意图:以游戏的形式, 激发探究兴趣, 在娱乐的过程中完成学习。本环节中计算机的使用也节省了大量画图时间。

(4) 应用环节

师:通过前面的探究我们已经画出了一些常见立体图形和组合体的三视图, 但是我们画的只是示意图, 真正的三视图要更准确规范一些。下面我们就来研究如何更规范地画三视图, 我们还是以长方体为例, 通常先画正视图, 把左视图画在正视图的右边, 把俯视图画在正视图的下边, 具体三视图中每个长方形的边长要如何确定呢?下面以小组为单位进行讨论, 然后请同学到前面汇报。

学生经过讨论后, 由一名代表到前面结合屏幕上的图形讲解。明确:正视图与左视图的高是一致的, 正视图与俯视图的长是一致的, 左视图与俯视图的宽是一致的。

设计意图:由剖析长方形的边长得出画规范三视图的要求, 从而加深学生的理解和记忆。

师:下面我们就来动手画一画吧!请一位同学读下一任务, 画好后请各小组展示组内评选出来的最佳作品, 其他小组再分别进行诤友式的评价, 最后总结一下画三视图都需要注意哪些问题。

学生宣读任务, 小组同学画出图形的三视图。组内进行评选。

设计意图:学以致用, 学生通过对三视图的学习, 能独立画出立体图形的三视图, 最后优秀的作品会在计算机屏幕上展示给大家看, 使大家一目了然。

3.小结

师: (播放配乐诗朗诵《题西林壁》, 让学生在欣赏中进一步体会要多角度地看待事物) 通过今天的合作学习和交流分享, 相信大家都会有一些收获或者还会有一些问题, 请用一句话谈谈你的感受。最后请同学们思考一下, 画不规则物体的三视图, 有什么更好的办法吗?

学生在欣赏诗朗诵后总结今天的感受。

设计意图:由总结反思学习方法改变后所带来的收获, 加深学生对知识的掌握, 最后教师应对所学知识做出升华, 从而体现情感态度价值观。思考题的布置是为了给学生课后自我继续探究尚未解决问题的空间, 培养学生的学习兴趣。

参考文献

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准 (2011年版) [M].北京:北京师范大学出版社.2011.

[2]张海凤.使用自建教学网站引领学生自主学习[J].教育信息技术, 2011 (4) .

[3]吴智玉.浅谈网络电子教室在计算机教学中的优点[J].网友世界, 2013 (10) .

立体图形教学论文 第9篇

1教学内容所属模块:初中数学

2年级:七年级

3所用教材出版单位:人民教育出版社

4所属的章节:第四章第一节

5学时数:45分钟

二、教学设计

1、教学目标:

【知识与技能】 (1) 进一步认识立体图形与平面图形的关系, 了解一些立体图形可由平面图形围成, 一些立体图形可按不同方式展开成平面图形。 (2) 了解正方体、长方体的表面展开图, 能根据展开图判断和制作简单的立体模型。

【过程与方法】通过观察和操作, 经历和体验图形的变化过程, 了解研究立体图形的方法, 积累数学活动经验, 发展空间概念。

【情感态度与价值观】主动实践, 敢于探索, 勇于发现, 张扬个性, 合作交流。

2、内容分析:

“立体图形的展开图”是初中人教版《数学》 (七年级上) 3.1.1立体图形与平面图形中的一个学习内容, 在本章教材的编排中起着承上启下的作用。立体图形的展开图是实际生活中经常遇到的, 通过本课学习, 学生不仅要进一步认识立体图形与平面图形的关系, 了解一些立体图形可由平面图形围成, 一些立体图形可按不同方式展开成平面图形, 更重要的是要通过观察、思考和自己动手操作, 经历和体验图形的变化过程, 使学生了解研究立体图形的方法, 为后续学习做准备。

3、学情分析:

七年级学生在第二学段已经学过了长方体和圆柱的展开图, 具有一定的感性认识基础, 但要从更高层次和深度认识立体图形与其平面展开图的关系, 他们的空间想象能力及水平存在明显的差距, 因此, 采用实践操作与合作交流等自主探究的学习方式。

4、设计思路:

关注学生的学习兴趣和生活经验, 实施开放式教学, 以学生主动参与学习活动为载体, 给予充足的时空为学生建立充分活动与思维的平台, 引导学生在课堂活动 (操作、实践, 合作) 中感悟和理解知识的生成、发展与变化, 让学生成为课堂的真正主人, 老师应定位为组织者、引导者、合作者的身份。

三、教学重点:

了解立体图形与其展开图之间的关系, 同一个立体图形按不同方式展开得到的表面展开图是不一样的, 着重了解正方体的多种展开图。

四、教学难点:

正确判断哪些平面展开图形是某个立体图形的展开图, 空间想象正方体展开图折回成正方体后哪些面是相对的面。

五、教学过程

六、教学反思

(一) 收获精彩

如何培养学生的空间概念, 使学生从更高层次深刻认识立体图形与其平面展开图的关系, 一直是初中数学教学的难点。“立体图形的展开图”这一教学设计给予学生足够的时空, 让学生积极参与想一想, 说一说, 猜一猜, 折一折, 剪一剪, 拼一拼, 做一做, 练一练等一系列数学活动中, 通过观察和动手操作, 经历和体验图形的变化过程, 有效地发展了学生的空间想象能力。整个教学设计注重以生为本, 培养学生的数学审美情趣, 促进学生数学思维的拓展。同时注意了借助信息技术让学生体验图形变化的动态过程, 效果良好。

(二) 探讨问题

1、正方体的平面展开图展开的过程和展开的规律 (如11种不同的展开图) 放在课堂中来研究, 对于所有学生来说不是非理解和掌握不可的, 应该因班级学生情况加以选择, 如何更通俗地教和更轻松地学, 值得进一步探讨。

高考立体几何解答题图形特点展析 第10篇

立体几何是高中数学的主干内容之一, 是高考重点考查的内容.笔者通过对近三年高考中的立体几何解答题的观察与分析, 发现其几何体图形呈现出某些特点, 叙述如下, 以供研讨.

一、“倾倒型几何体”

所谓“倾倒型几何体”, 指的是把棱柱、棱锥以及棱台等常见的多面体或旋转体“推倒”或“倒置”后而形成的几何体.这种几何体能够切实地考查考生的空间想象能力、掌握知识的水平以及模式识别的能力.

例1 (2008年四川) 如图1, 平面ABEF⊥平面ABCD, 四边形ABEF与ABCD都是直角梯形, $\angle BAD=\angle FAB=90°‚BC■\frac{1}{2}AD‚BE■\frac{1}{2}AF.$

(Ⅰ) 证明:C、D、F、E四点共面;

(Ⅱ) 设AB=BC=BE, 求二面角A—ED—B的大小.

解: (Ⅰ) 如图2, 延长DC交AB的延长线于点G.

由$BC■\frac{1}{2}AD$, 得

$\frac{GB}{GA}=\frac{GC}{GD}=\frac{BC}{AD}=\frac{1}{2}.$

延长FE交AB的延长线于G′, 同理可得

$\frac{G^{\prime }E}{G^{\prime }F}=\frac{G^{\prime }B}{G^{\prime }A}=\frac{BE}{AF}=\frac{1}{2}.$

故$\frac{G^{\prime }B}{G^{\prime }A}=\frac{GB}{GA}$, 即G与G′重合.故命题得证.

(Ⅱ) 设AB=1, 则BC=BE=1, AD=2.取AE中点M, 则BM⊥AE.又由已知得AD⊥平面ABEF, 故AD⊥BM, 所以BM⊥平面ADE.作MN⊥DE, 垂足为N, 连结BN.由三垂线定理知BN⊥ED, 则∠BNM为二面角A—ED—B的平面角.

$\begin{array}{l}\text{而}B{\rm M}=\frac{\sqrt{2}}{2}‚\\ {\rm M}{\rm N}=\frac{1}{2}\cdot \frac{AD\times AE}{DE}=\frac{\sqrt{3}}{3}‚\end{array}$

故$\tan \angle B{\rm N}{\rm M}=\frac{B{\rm M}}{{\rm M}{\rm N}}=\frac{\sqrt{6}}{2}.$

所以二面角A—ED—B的大小为

$\arctan \frac{\sqrt{6}}{2}.$

评注:实际上多面体BCE—ADF是一个“倾倒的三棱台”.如果能够认识这点实质, 解决此题便水到渠成了.这就要求考生能够通过对几何体特征的识别, 从而还原其本来面目.2006年湖南理科卷、2007年福建文科卷、2007年四川文科卷等高考卷中的立体几何解答题便属于这种题型.

二、“墙角型几何体”

在多面体中, 如果有一条棱与底面垂直, 那么它的形状就像墙角的一部分, 我们就形象地称此几何体为“墙角型几何体”.本类试题主要抓住这条垂直于底面的侧棱 (或侧面) 展开, 解答时既可利用传统的几何方法求解, 更利于用空间向量的方法求解.

例2 (2008年安徽) 如图3, 在四棱锥O—ABCD中, 底面ABCD为四边长为1的菱形, $\angle ABC=\frac{\text{π}}{4}‚{\rm O}A\perp$底面ABCD, OA=2, M为OA的中点, N为BC的中点.

(Ⅰ) 证明:直线

MN//平面OCD;

(Ⅱ) 求异面直线AB与MD所成角的大小;

(Ⅲ) 求点B到平面OCD的距离.

分析:作AP⊥CD于点P, 如图4, 分别以AB, AP, AO所在直线为 x, y, z 轴建立坐标系, 则

$\begin{array}{l}A(0‚0‚0)‚B(1‚0‚0)‚{\rm P}(0‚\frac{\sqrt{2}}{2}‚0)‚\\ D(-\frac{\sqrt{2}}{2}‚\frac{\sqrt{2}}{2}‚0)‚{\rm O}(0‚0‚2)‚{\rm M}(0‚0‚1)‚{\rm N}(1-\frac{\sqrt{2}}{4}‚\frac{\sqrt{2}}{4}‚0).\\ (\mathrm{Ⅰ})\overrightarrow{{\displaystyle {\rm M}{\rm N}}}=(1-\frac{\sqrt{2}}{4}‚\frac{\sqrt{2}}{4}-1)‚\overrightarrow{{\displaystyle {\rm O}{\rm P}}}=(0‚\frac{\sqrt{2}}{2}‚-2)‚\overrightarrow{{\displaystyle {\rm O}D}}=(-\frac{\sqrt{2}}{2}‚\frac{\sqrt{2}}{2}‚-2).\end{array}$

设平面OCD的法向量为 n= (x, y, z) , 则$\mathit{n}\cdot \overrightarrow{{\displaystyle {\rm O}{\rm P}}}=0‚\mathit{n}\cdot \overrightarrow{{\displaystyle {\rm O}D}}=0.$

即

$\{\begin{array}{l}\frac{\sqrt{2}}{2}y-2z=0‚\\ -\frac{\sqrt{2}}{2}x+\frac{\sqrt{2}}{2}y-2z=0.\end{array}$

取$z=\sqrt{2}$, 解得$\mathit{n}=(0‚4‚\sqrt{2}).$

因为$\overrightarrow{{\displaystyle {\rm M}{\rm N}}}\cdot \mathit{n}=(1-\frac{\sqrt{2}}{4}‚\frac{\sqrt{2}}{4}‚-1)\cdot (0‚4‚\sqrt{2})=0$,

所以MN//平面OCD.

(Ⅱ) 设AB与MD所成的角为θ.

由$\overrightarrow{{\displaystyle AB}}=(1‚0‚0)‚\overrightarrow{{\displaystyle {\rm M}D}}=(-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2},-1),$

得$\cos \theta =\frac{|\overrightarrow{{\displaystyle AB}}\cdot \overrightarrow{{\displaystyle {\rm M}D}}|}{|\overrightarrow{{\displaystyle AB}}||\overrightarrow{{\displaystyle {\rm M}D}}|}=\frac{1}{2},$

所以$\theta =\frac{\text{π}}{3}.$

即AB与MD所成角的大小为$\frac{\text{π}}{3}.$

(Ⅲ) 设点B到平面OCD的距离为 d, 则由$\overrightarrow{{\displaystyle {\rm O}B}}=(1‚0‚-2)$, 得$d=\frac{|\overrightarrow{{\displaystyle {\rm O}B}}\cdot \mathit{n}|}{|\mathit{n}|}=\frac{2}{3}$.即点B到平面OCD的距离为$\frac{2}{3}.$

评注:这样的问题仅在2008年的高考中就屡有出现, 如全国卷 (Ⅱ) 、北京卷、湖北卷、江苏卷、辽宁卷与陕西卷等高考试卷中的立体几何解答题均属于这种类型.

三、“非常规型多面体”

所谓“非常规型几何体”, 指的是除棱柱、棱锥以及棱台等常见的多面体之外, 其他类型的多面体.这类试题往往具有较强新颖性, 考生也经常觉得问题的“面目”比较生疏, 对其整体特征或性质把握不准, 容易走入歧途.

例3 (2008年浙江) 如图5, 矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直, $BE//CF‚\angle BCF=\angle CEF=90°‚AD=\sqrt{3}‚EF=2.$

(Ⅰ) 求证:AE//平面DCF;

(Ⅱ) 当AB的长为何值时, 二面角A—EF—C的大小为60°?

分析:如图6, 以点C为坐标原点, 以CB, CF和CD分别作为 x 轴, y 轴和 z 轴, 建立空间直角坐标系C—xyz.设AB=a, BE=b, CF=c, 则$C(0‚0‚0)‚A(\sqrt{3}‚0‚a)‚B(\sqrt{3}‚0‚0)‚E(\sqrt{3}‚b‚0)‚F(0‚c‚0).$

(Ⅰ) 可知$\overrightarrow{{\displaystyle AE}}=(0‚b‚-a)‚\overrightarrow{{\displaystyle CB}}=(\sqrt{3}‚0‚0)‚\overrightarrow{{\displaystyle BE}}=(0‚b‚0).$

易得$\overrightarrow{{\displaystyle CB}}\cdot \overrightarrow{{\displaystyle AE}}=0‚\overrightarrow{{\displaystyle CB}}\cdot \overrightarrow{{\displaystyle BE}}=0$,

从而CB⊥AE, CB⊥BE,

所以CB⊥平面ABE.

又因为CB⊥平面DCF, 所以平面ABE//平面DCF.故AE//平面DCF.

(Ⅱ) 可知$\overrightarrow{{\displaystyle EF}}=(-\sqrt{3},c-b,0),\overrightarrow{{\displaystyle CE}}=(\sqrt{3}‚b‚0).$

而$\overrightarrow{{\displaystyle EF}}\cdot \overrightarrow{{\displaystyle CE}}=0‚|\overrightarrow{{\displaystyle EF}}|=2$,

故

$\{\begin{array}{l}-3+b(c-b)=0‚\\ \sqrt{3+(c-b){}^2}=2.\end{array}$

解得 b=3, c=4.

所以$\overrightarrow{{\displaystyle AE}}=(0‚3‚-a)‚\overrightarrow{{\displaystyle EF}}=(-\sqrt{3}‚1‚0).$

设 n= (1, y, z) 与平面AEF垂直, 则

$\mathit{n}\cdot \overrightarrow{{\displaystyle AE}}=0‚\mathit{n}\cdot \overrightarrow{{\displaystyle EF}}=0.$

可解得$\mathit{n}=(1‚\sqrt{3}‚\frac{3\sqrt{3}}{a}).$

又因为BA⊥平面$BEFC‚\overrightarrow{{\displaystyle BA}}=(0‚0‚a)$,

由$|\cos \langle \mathit{n}‚\overrightarrow{{\displaystyle BA}}\rangle |=\frac{|\overrightarrow{{\displaystyle BA}}\cdot \mathit{n}|}{|\overrightarrow{{\displaystyle BA}}||\mathit{n}|}=\frac{1}{2}$, 得到$a=\frac{9}{2}.$

所以当AB的长为$\frac{9}{2}$时, 二面角A—EF—C的大小为60°.

评注:解决此类问题时, 考生一般应具备较强的立体几何基础, 才能较熟练地运用相关知识去解决类似问题.不过其关键还是在于应抓住问题中的点线面的关系, 以不变应万变, 这样才能立于不败之地.2006年天津卷、2007年江西文科卷等高考试卷中的立体几何解答题均属于这种类型.

四、“综合型几何体”

所谓“综合型几何体”, 主要指的是对于试题考查的范围和难度而言的.这类相关几何体的问题中往往涉及到函数、方程或数列等知识, 即使是仅限于立体几何本身的话, 也经常把诸多知识点放在一块进行考查.这类试题有时还带有探究的意味.

例4 (2008年辽宁) 如图7, 在棱长为1的正方体ABCD—A′B′C′D′中, AP=BQ=b (0<b<1) , 截面PQEF//A′D, 截面

PQGH//AD′.

(Ⅰ) 证明:平面PQEF和平面PQGH互相垂直;

(Ⅱ) 证明:截面PQEF和截面PQGH面积之和是定值, 并求出这个值;

(Ⅲ) 若D′E与平面PQEF所成的角为45°, 求D′E与平面PQGH所成角的正弦值.

分析:如图8, 以D为原点, 射线DA, DC, DD′分别为 x, y, z 轴的正半轴建立空间直角坐标系D—xyz.由已知得DF=1-b, 故A (1, 0, 0) , A′ (1, 0, 1) , D (0, 0, 0) , D′ (0, 0, 1) , P (1, 0, b) , Q (1, 1, b) , E (1-b, 1, 0) , F (1-b, 0, 0) , G (b, 1, 1) , H (b, 0, 1) .

(Ⅰ) 由上可得$\overrightarrow{{\displaystyle {\rm P}Q}}=(0‚1‚0)‚\overrightarrow{{\displaystyle {\rm P}F}}=(-b‚0‚-b)‚\overrightarrow{{\displaystyle {\rm P}{\rm H}}}=(b-1‚0‚1-b)‚\overrightarrow{{\displaystyle A{D}^{\prime }}}=(-1‚0‚1)‚\overrightarrow{{\displaystyle A^{\prime }D}}=(-1‚0‚-1).$

因为$\overrightarrow{{\displaystyle A{D}^{\prime }}}\cdot \overrightarrow{{\displaystyle {\rm P}Q}}=0‚\overrightarrow{{\displaystyle A{D}^{\prime }}}\cdot \overrightarrow{{\displaystyle {\rm P}F}}=0$,

所以$\overrightarrow{{\displaystyle A{D}^{\prime }}}$是平面PQEF的法向量.

同理$\overrightarrow{{\displaystyle A^{\prime }D}}$是平面PQGH的法向量.

又因为$\overrightarrow{{\displaystyle A{D}^{\prime }}}\cdot \overrightarrow{{\displaystyle A{D}^{\prime }}}=0$, 所以$\overrightarrow{{\displaystyle A^{\prime }D}}\perp \overrightarrow{{\displaystyle A{D}^{\prime }}}‚$

所以平面PQEF和平面PQGH互相垂直.

(Ⅱ) 因为$\overrightarrow{{\displaystyle EF}}=(0‚-1‚0)$, 所以$\overrightarrow{{\displaystyle EF}}//\overrightarrow{{\displaystyle {\rm P}Q}}‚|\overrightarrow{{\displaystyle EF}}|=|\overrightarrow{{\displaystyle {\rm P}Q}}|.$

又$\overrightarrow{{\displaystyle {\rm P}F}}\perp \overrightarrow{{\displaystyle {\rm P}Q}}‚$所以PQEF为矩形.

同理PQGH为矩形.在所建立的坐标系中可求得

$|\overrightarrow{{\displaystyle {\rm P}{\rm H}}}|=\sqrt{2}(1-b)‚|\overrightarrow{{\displaystyle {\rm P}F}}|=\sqrt{2}b$,

所以$|\overrightarrow{{\displaystyle {\rm P}{\rm H}}}|+|\overrightarrow{{\displaystyle {\rm P}F}}|=\sqrt{2}.$

又$|\overrightarrow{{\displaystyle {\rm P}Q}}|=1$, 所以截面PQEF和截面PQGH面积之和为$\sqrt{2}$, 是定值.

(Ⅲ) 由已知得$\overrightarrow{{\displaystyle D^{\prime }E}}$与$\overrightarrow{{\displaystyle D^{\prime }A}}$成45°角.

又$\overrightarrow{{\displaystyle D^{\prime }E}}=(1-b‚1‚-1)‚\overrightarrow{{\displaystyle D^{\prime }A}}=(1‚0‚-1)$, 可得

$\begin{array}{l}|\frac{|\overrightarrow{{\displaystyle D^{\prime }E}}\cdot \overrightarrow{{\displaystyle D^{\prime }A}}}{|\overrightarrow{{\displaystyle D^{\prime }E}}||\overrightarrow{{\displaystyle D^{\prime }A}}|}|\\ =|\frac{2-b}{\sqrt{2}\sqrt{(1-b){}^2+2}}|=\frac{\sqrt{2}}{2}‚\end{array}$

解得$b=\frac{1}{2}$.故$\overrightarrow{{\displaystyle D^{\prime }E}}=(\frac{1}{2}‚1‚-1).$

又$\overrightarrow{{\displaystyle A^{\prime }D}}=(-1‚0‚-1)$, 所以D′E与平面PQGH所成角的正弦值为$|\cos \langle \overrightarrow{{\displaystyle D^{\prime }E}}‚\overrightarrow{{\displaystyle A^{\prime }D}}\rangle |=\frac{\sqrt{2}}{6}.$

评注:上例主要考查空间中的线面平行及垂直、面面垂直、线面角、解三角形以及方程等基础知识, 考查空间想象能力与逻辑思维能力.这就要求考生具有一定的综合运用知识的能力, 才能对问题进行圆满地分析、解决.2006年重庆理科卷、2006年广东卷等高考试卷中的立体几何解答题均属于这种类型.

从总体而言, 立体几何解答题往往是中档题, 因而对立体几何知识的复习, 应当紧扣教材,

熟悉教材中每一个概念, 掌握教材中各个定理的种种用途, 破解画图、读图、识图、用图的层层关口, 巩固高中数学的综合性知识, 提升解题思维中的空间想象力、逻辑推理论证以及问题转化的能力, 这样才能在解题时游刃有余.

立体图形与平面图形问题中的易错点 第11篇

一、立体图形的特征识别既是重点、难点，又是易错点

例1图1①~图1④中哪些是柱体？

错解：图1①~图1④都是柱体.

错解分析：出现错解的原因主要是对柱体的概念不清楚，柱体的特点是它们的上、下底面平行且相等（形状相同、大小相等）.

正解：图1①和图1②是柱体.

二、对视图掌握不熟练，容易在画视图时出现立体图形

例2画出图2所示物体的主视图.

错解：如图3.

错解分析：出现这种错误，显然是将视图与图2中的立体形象混淆了.这说明：第一，对视图概念不清楚；第二，空间想象能力还需提高.

正解：如图4.

三、画圆柱、圆锥的表面展开图，易忽略它们的底面圆

例3画出图5中圆柱和圆锥的表面展开图.

错解：如图6.

错解分析：受圆柱、圆锥侧面展开图的影响，在画它们的表面展开图时，易忽略底面圆而画成侧面展开图.要注意圆柱是由三个面组成的，即两个平面（圆底面）和一个曲面（侧面）；圆锥是由两个面组成的，即一个平面（圆底面）和一个曲面（侧面）.

正解：如图7.

四、画视图时应将立体图形的边缘、棱、顶点都体现出来

例4画出图8中正四棱锥的俯视图.

错解：如图9.

错解分析：从上面看到该正四棱锥的四条棱和四条底边，因此，画俯视图时应将棱和底边都体现出来.

正解：如图10.

图形语言障碍对立体几何学习的影响 第12篇

几何学是研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系的数学学科.人们通常采用直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等方法认识和探索几何图形及其性质.三维空间是人类生存的现实空间, 认识空间图形, 培养和发展学生的空间想像能力、逻辑推理能力, 是高中阶段数学必修系列课程的基本要求.

图形语言首先是立体几何学习过程中进行交流的数学工具, 是将考察对象进行第一次抽象之后的产物, 是现实对象的空间关系的载体, 学生只有完成了从对象到图形的飞跃, 才有可能顺利进行后续的学习.

目前高中立体几何课程内容主要是由一些经过精心组织的概念、公理、定理和逻辑的思考方法构成的, 教师通过对这些概念、公理、定理的教学, 能够循序渐进地培养学生的逻辑推理能力, 也就是说, 课本内容的以逻辑演绎为主线的编排方式, 为教师培养学生的逻辑推理能力提供了具体的可操作的“脚本”, 但是, 对于发展学生的空间想象能力, 在教学过程中, 教师却感到缺少可供操作的具体内容.图形语言能帮助学生直观地感受空间线面的位置关系, 让学生的思维不断地在二维和三维空间之间转换, 利用直观对空间问题进行思考, 因此, 有意识地, 循序渐进地帮助学生掌握图形语言是在立体几何学习中发展学生空间想象能力的主要手段.所以在立体几何的学习中, 我们要树立图形观, 通过作图、读图、用图、造图、拼图、变图培养我们的思维能力.

二、立体几何学习中的三种图形语言障碍

1.作 图

作图是立体几何学习中的基本功, 对培养空间观念有积极的意义, 而且在作图时还要用到许多空间线面的关系.所以作图是解决立体几何问题的第一步, 作好图有利于问题的解决.在学生的学习过程中, 我们往往发现, 学生会出现以下图形语言障碍:

(1) 二维空间到三维空间思维转换障碍

在高中阶段已经进入到立体几何阶段的学习, 可是很多学生的思维还停留在平面几何的阶段, 使用图形语言来表示空间图形时, 仍局限于二维空间的阶段.

如课本P8习题9.1第4题 (3)

学生出现两种的图形表达为:

用图1作答的学生, 他还是将立体几何中的基本元素点、线放在了二维空间的平台上来理解的, 因此, 立体几何中的另一个基本元素——面, 并没有在他的图形语言中出现.而图2作答的同学, 他能够将立体几何中的三个基本元素点、线、面的相对位置关系在一个图中全面地表达出来, 已完成了从二维空间到三维空间的思维转换.

(2) 选择图形表达方式障碍

在初学立体几何, 学生会出现选择图形表达方式困难.在运用图形形象地描述立体模型, 重现感知过的空间元素的相对位置关系时不能选择恰当的方式或者角度.

如:题目要求画一个正四棱锥, 求侧棱与底面所成的角.学生出现以下的图形 (如图3、如图4) 表达:

从学生的生活经验中可以体会到, 站在不同的位置看同一物体, 看到的图可能并不完全相同, 但是, 我们可针对需要解决的问题选择一种恰当的图形表达方式.以上的问题中, 学生选择了不利于呈现侧棱与底面位置关系的四棱锥俯视图, 图形也就不能帮助学生直观地进行思考.

2.识 图

在立体几何的学习中, 需要在二维的平面图形来描述三维空间中几何体的各个基本元素之间的相对位置关系.在实物与相应的平面图形的相互转换过程中, 学生往往会受到已有平面作图经验的干扰, 不能准确识别平面图形所描述的几何体中基本元素的相对位置关系.

如:正方体ABCD-A1B1C1D1.

以上两个是立体几何学习过程中经常碰到的正方体和正三棱锥的图形.但学生在刚刚接触这两个几何体的图形时, 往往较难识别四边形ABCD是正方形和△ABC是等边三角形, 学生的理由是:“∠DAB (图5中) 不像直角, ∠CAB (图6中) 也不像60°.”在学习了立体图形的斜二测画法之后, 还是有部分学生将正六棱锥的直观图作成如图7所示, 这虽然表现为作图的错误, 但实际上是学生对正六边形的水平放置直观图存在识别障碍的表现.出现以上图形识别障碍是因为学生的图形识别系统停留在二维空间识别平面图形的阶段, 对在二维空间中描绘三维立体图形的作图规范不能合理同化而导致图形识别中出现不正确的认知.

3.用 图

“用图”建立在正确“作图”和“识图”的基础上, 学生能够灵活“用图”是其能够娴熟地驾驭立体几何图形语言的表现.但如果学生不能将感知的几何体使用图形语言进行描绘, 或者不能将感知的几何体的直观图在头脑中进行相应空间关系的重现与加工, 则不能实现灵活“用图”, 进而解决问题.

如2006年数学高考 (全国卷Ⅰ) 理科的19题:

如图8, l1, l2是互相垂直的异面直线, MN是它们的公垂线段.点A, B在l1上, C在l2上, AM=MB=MN.

(1) 证明:

AC⊥NB.

(2) 若∠ACB=60°, 求NB与平面ABC所成角的余弦值.

在解决 (2) 时, 学生需要作出平面ABC的垂线段, 然后根据线面所成角的定义, 通过解三角形, 求出NB与平面ABC所成角的余弦值.在作平面ABC的垂线段时, 需要先找平面ABC的垂面, 然后通过作NH垂直于两平面的交线得到平面ABC的垂线段.在解题后对学生的访谈中, 学生提到的主要解题障碍是:①不能识别AM, MB, MN三者的等量关系, “怎么看都觉得AM比MB短, 这两个又比MN短”.②证明了平面ABC与平面CMN的垂直关系之后, 无法作出平面ABC的垂线段NH..“很难想象平面ABC的垂线, 一点都不像与平面垂直……”③不会求线面所成角, “看不出NH与平面ABC垂直, 要‘记住’它们的垂直关系, 所以不会画线面所成角.”这三个障碍主要因为学生不能将感知到的直观图中的空间关系在头脑中重现和加工, 不能构建客观的几何关系.

三、培养图形语言的教学策略

第一、学生经验是发展图形语言的基础

学生的几何图形语言知识来自丰富的现实原型, 与现实生活联系紧密, 在现实生活中积累的大量经验是他们学习和理解图形语言的宝贵资源.培养学生的图形语言应将视野拓宽到生活的空间, 通过让学生自主探索, 切身体会现实原型与几何图形之间的联系;二维与三维空间的相互转换关系, 通过从不同角度观察物体、辨别方位、动手操作、想象、描述和表示、分析和推理等活动, 发展学生的空间观念.

第二、通过多种途径学习图形语言