矩阵方程范文

矩阵方程范文（精选7篇）

矩阵方程 第1篇

矩阵方程是矩阵理论和系统控制理论中研究的重要内容之一。传统求解矩阵方程的方法是通过利用矩阵方程的拉直、积和矩阵求逆的转化方法求得其精确解, 然而, 随着所求矩阵维数的增大会导致存储空间太大和计算复杂度的增加, 并且不能充分利用矩阵方程系统本身的结构。因此, 在实际的应用中, 矩阵方程的近似解就显得非常重要, 从而, 出现了不同的迭代方法求其数值解。

西尔维斯特矩阵方程AXB+CXD=F和耦合矩阵方程AX+XB=C, DX+XTE=F许多文献提出梯度迭代算法, 以及在有限步迭代算法求解广义耦合矩阵方程AY-ZB=E, CY-ZD=F的广义自反解[1,2,3,4]。Masoud Hajarian在文献[10]中提出更复杂的广义耦合矩阵方程A1X1B1+C1X2D1=E1, A2X1B2+C2X2D2=E2的广义中心对称解, 以及基于递阶辨识原理的思想给出了求解扩展的Sylvester共轭转置矩阵方程的算法[7]。本文基于梯阶辨识原理的思想, 将耦合矩阵方程分解成若干个子系统, 提出求解耦合矩阵方程AX+YB=C, DX+YE=F的梯度迭代算法。最后的数值实验说明了算法的有效性, 并且该算法还可进一步的推广, 用于求解更一般的线性矩阵方程或方程组[5,6,8,9]。

文中符号与术语如下表示:对于给定的A, B∈Rm×n, 用<A, B>=trace (BTA) 表示它们的内积。用||A||表示矩阵A的Frobenius范数。表示它们的kronecker积。vec (A) 表示矩阵A的拉直算子。O为m×n的零矩阵。

为后面的理论作准备, 现给出求解矩阵方程Ax=b的梯度迭代算法。

引理1[9]若矩阵方程Ax=b中的矩阵A是列满秩的, 则由梯度迭代算法

经有限步迭代之后得到的x (k) 收敛到真实解, 即kl i→m∞x (k) =x。其中的收敛因子μ满足0<μ<2/ (λmax (ATA) ) 或0<μ<2/||A||2。

引理2[1]若矩阵方程AXB=F中的矩阵A是列满秩的, B是行满秩的, 则其有唯一解X= (ATA) -1ATFBT (BBT) -1, 其最小二乘迭代算法格式为

1 基于一种新的梯度迭代算法求耦合矩阵方程的数值解

本文考虑的耦合矩阵方程为

其中, 矩阵A, D∈Rm×m, B, E∈Rn×n和C, F∈Rm×n是已知的, 矩阵X, Y∈Rm×n是待求解的未知矩阵。

本节将根据递阶辨识原理建立其耦合矩阵方程的梯度迭代算法。

1.1 耦合矩阵方程的精确解

根据矩阵的kronecker积, 方程组 (1) 可等价地表示为

其中

从而可得耦合矩阵方程 (1) 的精确解, 即得到定理1的结论。

定理1若耦合矩阵方程 (1) 有唯一解, 当且仅当矩阵S是列满秩矩阵, 其精确解为vec[X, Y]=S-1vec[C, F]

1.2耦合矩阵方程的梯度迭代算法

根据递阶辨识原理, 方程组 (1) 可分解为如下形式

根据引理1, 为使计算更简便, 本文取

由 (4) 式可构造耦合矩阵方程AX+YB=C, DX+YE=F的梯度迭代算法为

其中μ是迭代参数, 即收敛因子, 且满足

定理2若耦合矩阵方程 (1) 有唯一解X和Y, 则对任意的初始值X (0) 和Y (0) , 算法 (5) 给出的迭代解X (k) 和Y (k) 分别收敛到真实解X和Y, 即或误差矩阵X (k) -X和Y (k) -Y均收敛到O。

证明首先定义误差估计矩阵:

由迭代算法 (5) 式有

记

根据迹的公式||X||2=tr[XTX]和 (7) ~ (8) 式, 可得

同样地, 将 (9) 和 (10) 式相加可得

再将 (12) 和 (13) 式相加有

利用范数不等式||A+B||燮||A||+||B||

对 (11) 式的两边同时取范数可得

将 (14) 式代入 (15) 式中有

根据 (16) 式

又因为迭代参数

所以

类似的, 根据递阶辨识原理和引理2, 就有如下最小二乘迭代算法

其中μ是收敛因子, 且满足

2数值实例与结论

本文数值实验的耦合矩阵方程[2]AX+YB=C, DX+YE=F, 即

且相对误差δ (16) =6.33941×10-7。

对于任意的初始值, 利用 (5) 给出的算法来计算迭代解X (k) 和Y (k) , 表1中选取迭代参数为μ=2/μ0=0.0916时得到每一步的迭代结果, δ是相对误差定义为

图1是迭代误差随迭代次数k的变化, 取不同的收敛因子对收敛速率的影响, 从图1中可看出, 当收敛因子从μ=0.01到μ=0.1的变化, 收敛因子越大则该算法收敛的速度就越快。但是如果继续增大收敛因子, 算法就不收敛。

基于递阶辨识原理的思想, 建立求解耦合矩阵方程AX+YB=C, DX+YE=F的梯度迭代算法。数值实例说明, 在一定的条件下迭代解能够快速的收敛到真实解。

参考文献

[1]Ding Feng, Peter X.Liu, Jie Ding.Iterative solutions of the generalized Sylvester matrix equations by using the Hierarchical identification principe[J].A-pplied Mathematics and Computation, 2008, 197:41-50.

[2]DING Feng, CHEN Tongwen.Iterative least-squares solutions of coupled Sylvester matrix equations[J].Syst-ems&Control Letters, 2005, 54 (2) :95-107.

[3]ZHANG Hua-min, YIN Hong-cai.A Gradient Iterative Algorithm for Solving the Coupled Matrix equations.[J].Journal of Anqing Teachers College, 2013 (2) .

[4]Guang-Xin Huang, 等.Finite iterative algorithms for solving generalized coupled Sylvester systems-Part I:One-sided and generalized coupled Sylvester matrix equations over generalized reflexive solutions[J].A-pplied Mathematical Modeling, 2012 (36) :1589-1603.

[5]梅枝, 张凯院矩阵方程AXB=C的中心对称最小二乘解及其最佳逼近的迭代算法[期刊论文]-工程数学学报, 2008, 25 (6) .

[6]武见, 张凯院多变量矩阵方程异类约束解的修正共轭梯度法[期刊论文]-工程数学报, 2012, 29 (1) .

[7]Caiqin Song, Guoliang Chen.An efficient algorithm for solving extended Sylvester-conjugate transpose matrix equations[J].Arab Journal of Mathematical Sci-ences, 2011 (17) :115-134.

[8]Li Xie, Jie Ding, Feng Ding.Gradient based iterative solutions for general linear matrix equations[J].C-omputers and Mathematics with Applications, 2009 (58) :1441-1448.

[9]Li Xie, et al.Iterative solutions for general coupled matrix equations with real coefficients[J].American Control Conference, 2011.

矩阵方程 第2篇

利用比Lebesgue积分应用更广泛的Henstock积分及性质,讨论了齐次线性微分方程基解矩阵的一种特殊性质.

作 者：张迪 李宝麟 ZHANG Di LI Bao-lin 作者单位：张迪,ZHANG Di(甘肃农业大学,理学院,兰州,730070)

李宝麟,LI Bao-lin(西北师范大学,研究生院,兰州,730070)

矩阵方程 第3篇

关键词：矩阵方程,Thompson距离,误差估计

0 引言

我们要研究的矩阵方程如下:

X-A*X-1/2A=I. (1)

在此方程中,A表示n×n的非奇异矩阵,I表示n×n的单位矩阵. 这类方程源于很多领域,并且许多实际问题的最终解决都依赖于此类方程解的情况。所以有很多研究者热衷于此类方程的研究[1,2,3,4,5,6]。

Thompson距离是大家都熟知的概念,但是很少有人直接利用此概念解决非线性矩阵方程的问题。本文就在前人的基础上,利用Thompson距离研究方程(1),探索此类方程解的情况,证明了方程有唯一的正定解,并进一步研究了求解的数值方法,指出算法本身的误差估计。

文章中我们用P(n)表示n阶正定矩阵的集合, 分别表示n阶方阵B的最大和最小特征值。

1 Thompson距离

在这一节中,我们的研究都是在P(n)上进行的,下面就不再一一说明。

本节主要介绍Thompson距离及其基本性质,我们首先定义Thompson距离如下:

d(A,B)=max{logM(A/B),logM(B/A)}

其中 利用矩阵的恒等变换和逆矩阵可以得到Thompson距离的两条基本性质。

性质1:对于任意的非奇异矩阵N,我们有d(A,B)=d(A-1,B-1)=d(N*AN,N*BN)。

性质2:对于任意的非奇异矩阵N,我们有d(N*XrN,N*YrN)≤│r│d(X,Y),r∈[-1,1]。

2 主要结论

我们首先介绍两个引理,具体证明参考所引文献。

引理1[6]:对于n阶半正定矩阵B, 我们有

引理[4]2: 对于算子

定理1:方程(1)总是存在唯一的正定解X。其中X为序列的极限,

证明:定义算子如下:

F(X)=I+A*X-1/2A, Ω=[I,I+A*A]

接下来我们要利用压缩原理证明算子有唯一的不动点。首先说明集合Ω是一个有界的凸闭集,其次算子F(X)在集合Ω上连续,并且利用引理2可知F(Ω),最后我们来证明算子是压缩算子.

再利用引理1和性质2,可以得到

由A是非奇异矩阵,我们知道 ,从而

至此我们证明了算子F是集合Ω上的压缩算子,压缩常数为L。从而F(X)在集合Ω上有唯一的不动点X,即方程(1)有唯一的正定解X。利用压缩定理可知,对任意的X0∈Ω,都有

矩阵方程AXB=C的初等变换法 第4篇

假设已知矩阵A和B可逆, 对于矩阵方程AXB=C, 我们一般都是先求出矩阵A和B的逆矩阵A-1和B-1, 然后根据矩阵的乘法运算, 求出矩阵方程的解X=A-1CB-1。

2.主要结果

本文讨论了利用矩阵的初等变换直接求解矩阵方程AXB=C。

首先引入下列引理:

引理1[1]:对于一个矩阵施行一次行或列初等变换, 相当于把这个矩阵左乘或右乘以一个相应的初等矩阵。

引理2[3]:任意一个n阶可逆矩阵A经过若干次矩阵的初等变换可以化为En。

由文献[2]可以知道, 假设n阶矩阵A可逆, 要求矩阵的A逆矩阵A-1, 可以采用下列方法:

将矩阵A和En放在一起, 得到一个n×2n阶矩阵 (A, En) , 再对其施行矩阵的初等行变换, 如果把子块A化为En, 则子块En就化为了A-1。即

同样的也可以利用矩阵的初等列变换求A-1。这时对2n×n矩阵施以初等列变换, 如果把上半子块A化为En, 则下半子块En就化为了A-1。即

由上面求矩阵的逆的方法可以得到求解矩阵方程AX=B和YC=D (其中A和C可逆, 且AX=B的解为X=A-1B, CY=D的解为Y=DC-1) 的初等变换法。

将上面两式结合就得到本文的主要结果:

定理假设矩阵方程AXB=C中的矩阵A和B均可逆, 则此矩阵方程的解可以通过下列矩阵的初等变换得到:

证明:综合上面矩阵方程AX=B和XA=B的解法即得。

3.数值实例

通过下面的实例来说明文中结论的有效性。

例:求解矩阵方程AXB=C, 其中

解:由定理, 构造矩阵

摘要：本文通过讨论求解矩阵方程AX=B和XA=B的初等变换法, 得到了求解矩阵方程AXB=C的初等变换法。

关键词：矩阵方程AXB=C,初等变换,求解

参考文献

[1]张禾瑞等.高等代数.北京:高等教育出版社, 1999.

[2]刘艳杰, 谢延波等.线性代数.沈阳:东北大学出版社, 2004, 8.

对线性方程组和矩阵教学的几点思考 第5篇

首先, 教师应当从线性方程组的求解这一基本问题出发, 结合具体例题引入线性方程组的消元法和矩阵这两个基本内容。

1.对于线性方程组的消元法这个基本内容的引入, 教师可以从未知数个数与方程个数相等的且有唯一解的线性方程组如具体的二元一次方程组出发, 讲解如何通过消元法, 对二元一次方程组进行同解变形得到有且只有两个具有不同未知数的一元一次方程的新二元一次方程组, 从而得解的求解思路。以此为基础, 教师再以有唯一解的具体的三元一次方程组为例, 同样用消元法得到同解的新三元一次方程组 (阶梯形) 的求解过程。通过仔细观察这两个求解过程, 让同学们认识到消元法中使用的同解变形有且只有三类, 为以后介绍矩阵的初等行变换做个铺垫。然后教师可举例说明无解和有无穷多解的线性方程组的情况, 为以后介绍一般的线性方程组的解的定理和解的结构做铺垫。

2.对于矩阵这个基本概念的引入, 教师可以从上述介绍过程中, 通过总结和反思利用消元法求解线性方程组的过程的特点和实质, 让学生们认识到起本质作用的是相应位置上的未知数的系数和常数项以及他们的变化过程, 类似于填写表格。为了简化上述表达起来略微有些麻烦的求解过程, 一个有效手段就是引入矩形数表即矩阵这个基本概念来替代一个具体的线性方程组的所有本质信息。再引入矩阵的三类初等行变换这个内容来替代上述三类同解变形过程, 而上述介绍的消元法求解过程就转化为矩阵的初等行变换过程, 而将一般线性方程组化为阶梯形方程组的整个过程对应的就是利用矩阵的三类初等行变换, 将一般矩阵化为所谓的 (行) 阶梯形矩阵的过程。这样一来, 矩阵这部分有关内容的介绍将易于被同学们接受。

其次, 教师应当合理安排有关教学内容, 分清主次, 突出重点。下面仍然以线性方程组和矩阵这两部分内容为例加以说明。

1.对于线性方程组这部分内容, 教师应当重点讲解如何利用矩阵的初等行变换将一般矩阵化为所谓的 (行) 阶梯形矩阵的过程的这一思路。实际上这一思路与把一个一般的行列式化为上三角形行列式的思路本质上是一样的, 这一技巧在线性代数中有广泛应用。先通过讲解线性方程组有唯一解, 无穷多解和无解的例子, 再让同学们知道线性方程组解的定理。这样一来, 该定理的证明过程也容易被同学们理解。当然在整个教学课时一般不太充裕的情况下, 也可以不必讲解该定理的详细证明过程。至于如何利用线性方程组解的定理去解决其他问题, 应为相对次要内容, 可根据具体课时情况加以灵活安排。

2.对于矩阵这部分内容, 教师在介绍利用矩阵的三类初等行变换如何将一般矩阵化为 (行) 阶梯形矩阵的过程之后, 首先应当重点介绍矩阵的初等变换的有关定理和性质以及如何利用矩阵的初等行变换去求可逆矩阵的逆矩阵。至于如何利用矩阵的初等变换去解矩阵方程类问题或其他问题, 应为相对次要内容, 可酌情安排。其次从 (行) 阶梯形矩阵的非零行的行数出发, 引入矩阵的秩这一重要内容, 应当重点介绍矩阵的秩的概念和基本性质以及求矩阵的秩等基本问题, 让同学们熟练掌握好这些基本知识点。至于有关矩阵的秩的其他非常用性质可以适当提及一些, 不宜作为重点内容。如何利用伴随矩阵求逆矩阵也是一个重点内容, 教师要举例加以详细说明并让同学们牢固掌握。可逆矩阵和逆矩阵的基本定理和性质也应作为重要内容加以讲解并让同学们理解清楚。最后应讲解分块矩阵的有关内容, 教师可以根据实际情况自行斟酌是否将此部分内容作为重点内容予以对待。当然上面提到的内容只是矩阵的相关内容中的一部分而已, 其他内容的教学也要认真对待, 重点突出。

教师在出题考查时, 应当以基本知识点和重点内容为主, 适当兼顾非重点内容和有一定难度的问题。

参考文献

[1]同济大学数学系.线性代数 (第五版) [M].北京:高等教育出版社, 2007.

[2]吴传生, 王卫华.经济数学——线性代数[M].北京:高等教育出版社, 2003.

[3]郝志峰等.线性代数 (第二版) [M].北京:高等教育出版社, 2003.

矩阵方程 第6篇

记Rm×n表示m×n阶实矩阵集合, In表示n阶单位阵。定义<A, B>=tr (BTA) , 则由它诱导的范数为Frobenius范数, 即$\parallel A\parallel =\sqrt{<A,A>}=\sqrt{\text{t}\text{r}\left(A{}^{\text{Τ}}A\right)}$。对矩阵A= (a1, a2, …, an) ∈Rm×n, 其中ai∈Rm, i=1, 2, …, n, 记vecA= (aT1, aT2, …, aTn) T, A⨂B表示矩阵A与B的Kronecker内积。

定义1 对于广义自反矩阵P, 即PΤ=P, P2=I。如果矩阵X满足PXP=X, XT=X, 称X为广义双对称矩阵, 记广义双对称矩阵的集合为GBSRn×n。

注:若无特别说明, 文中出现的矩阵P均为广义自反矩阵。

本文主要考虑下面两个问题。

问题Ⅰ 给定矩阵A、C∈Rm×n, B、D∈Rn×p, F∈Rm×p, 求X∈GBSRn×n, 使得

AXB+CXD=F (1)

问题Ⅱ 当问题Ⅰ相容时, 记其解集合为SE, 对给定的X0∈Rn×n, 求$\stackrel{\Lambda }{{\displaystyle X}}\in S{}_E$, 使得

约束矩阵方程问题被国内外专家、学者研究了很多年, 取得了很多成果[1,2,3,4,5]。本文中笔者拟构造迭代法给出矩阵方程AXB+CXD=F的广义双对称解及其最佳逼近。

特别地, 当定义中的广义自反矩阵P为反序单位阵时, 广义双对称阵X就是常见的双对称矩阵。因此, 文中的算法可以直接用来求解矩阵方程AXB+CXD=F的双对称解。

1 迭代求解问题Ⅰ

算法:

1) 输入矩阵A、C∈Rm×n, B、D∈Rn×p、 F∈Rm×p和自反矩阵P∈Rn×n, 任取X1 ∈GBSR${}_{{\rm P}}^{n\times n}$。

2) 计算$R{}_1=F-(AX{}_{1}B+CX{}_{1}D)‚{\rm P}{}_1=\left[(A{}^{\text{Τ}}R{}_{1}B{}^{\text{Τ}}+C{}^{\text{Τ}}R{}_{1}D{}^{\text{Τ}}+{\rm P}(A{}^{\text{Τ}}R{}_{1}B{}^{\text{Τ}}+C{}^{\text{Τ}}R{}_{1}D{}^{\text{Τ}}){\rm P}\right]/2‚Q{}_1=({\rm P}{}_1+{\rm P}{}_1^{\text{Τ}})/2‚$

3) 如果R1=0, 则停止, k=1。

4) 计算$X{}_{k+1}=X{}_k+\frac{\parallel R{}_k\parallel {}^2}{\parallel Q{}_k\parallel {}^2}Q{}_k$。

$\begin{array}{l}5)\text{计}\text{算}R{}_{k+1}=F-(AX{}_{k+1}B+CX{}_{k+1}D),\\ {\rm P}{}_{k+1}=\left(A{}^{\text{Τ}}R{}_{k+1}B{}^{\text{Τ}}+C{}^{\text{Τ}}R{}_{k+1}D{}^{\text{Τ}}+{\rm P}\left(A{}^{\text{Τ}}R{}_{k+1}B{}^{\text{Τ}}+C{}^{\text{Τ}}R{}_{k+1}D{}^{\text{Τ}}\right){\rm P}\right)/2,\\ Q{}_{k+1}=\frac{1}{2}\left({\rm P}{}_{k+1}+{\rm P}{}_{k+1}^{\text{Τ}}\right)-\frac{\text{t}\text{r}\left({\rm P}{}_{k+1}^{\text{Τ}}Q{}_k\right)}{\left|Q{}_k\right|{}^2}Q{}_k。\end{array}$

6) 如果Rk+1=0, 或Rk+1≠0、Qk+1=0, 停止;否则, 使k=k+1, 回到4) 。

显然, Qi∈GBSR${}_{{\rm P}}^{n\times n}$, Xi∈GBSR${}_{{\rm P}}^{n\times n}$, i=1, 2, …。

引理1[6] 对上述迭代算法产生的Ri, Qi, Pi, i=1, 2, …, 有

tr$\left(R{}_{i+1}^{\text{Τ}}R{}_j\right)=\text{t}\text{r}$$(R{}_i^{\text{Τ}}R{}_j)-\frac{\parallel R{}_i\parallel {}^2}{\parallel Q{}_i\parallel {}^2}\text{t}\text{r}(Q{}_i^{\text{Τ}}{\rm P}{}_j)$ (3)

与参考文献[6]引理2和引理3的证明相类似, 得到下面的引理2和引理3。

引理2 迭代过程中产生的Ri, Qi (k≥2) 分别互相正交, 即

tr (RTiRj) =0, tr (QTiQj) =0; i, j=1, 2, …, k;i≠j (4)

引理3 设$\overline{X}$为问题Ⅰ的任一解, 则

tr$\left[\left(\overline{X}-X{}_k\right)Q{}_k\right]=\parallel R{}_k\parallel {}^2‚k=1‚2‚\cdots$ (5)

定理1 假定问题Ⅰ相容, 那么对任意的初始矩阵X1∈GBSRn×n, 问题Ⅰ的解可以通过有限步迭代得到。

证明 若Ri≠0, i=1, 2, …, mp, 则由引理3, 有Qi≠0, i=1, 2, …, mp, 于是由算法可以计算出Xmp+1, Rmp+1。由引理2, 有tr$\left(R{}_{mp+1}^{\text{Τ}}R{}_i\right)=0$和tr (RTiRj) =0, i=1, 2, …, mp;i≠j。因此, R1, R2, …, Rmp是矩阵空间Rm×p的一组正交基, 从而Rmp+1=0, 即Xmp+1是问题Ⅰ的一个解。当问题Ⅰ相容时, 可以证明问题Ⅰ的解可以通过最多不超过$t{}_0\left(t{}_0=\min \left(mp‚n{}^2\right)\right)$步得到。事实上, 若n2≤mp和 Ri≠0, i=1, 2, …, n2, 则由迭代算法1, Qi≠0, i=1, 2, …, n2, 且可以计算Xn2+1, Rn2+1, Qn2+1。跟前面的证明相类似, 得到Qn2+1≠0以及Rn2+1=0, 从而Xn2+1就是问题Ⅰ的一个解。

推论1 问题Ⅰ不相容的充要条件是在算法1中存在某正整数k, 使得Rk≠0而Qk=0。

引理4 矩阵方程 (1) 相容当且仅当矩阵方程组

相容。

证明 若式 (1) 有一个解X0∈GBSRn×n, 那么, XT0=X0, PX0P=X0。显然,

AXB+CXD+APXPB+CPXPD=2F。因此, X0也是方程组 (6) 的解。相反地, 若矩阵方程组 (6) 有一个解$\overline{X}\in R{}^{n\times n}$, 令$\stackrel{\wedge }{{\displaystyle X}}=\frac{1}{4}(\overline{X}+\overline{X}{}^{\text{Τ}}+{\rm P}X{\rm P}+{\rm P}\overline{X}{}^{\text{Τ}}{\rm P})$, 则$A\stackrel{\wedge }{{\displaystyle X}}B+C\stackrel{\wedge }{{\displaystyle X}}D=\frac{1}{4}(A\overline{X}B+A\overline{X}{}^{\text{Τ}}B+A{\rm P}\overline{X}{\rm P}B+A{\rm P}\overline{X}{}^{\text{Τ}}{\rm P}B)+\frac{1}{4}(C\overline{X}D+C\overline{X}{}^{\text{Τ}}D+C{\rm P}\overline{X}{\rm P}D+C{\rm P}\overline{X}{}^{\text{Τ}}{\rm P}D)=\stackrel{\wedge }{{\displaystyle F,\text{且}X}}\in GBSR{}^{n\times n}$。也就是说, 矩阵方程 (1) 也有一个解$\stackrel{\wedge }{{\displaystyle X}}$。因此, 矩阵方程 (1) 的可解性等价于矩阵方程组 (6) 的可解性。

引理5[7] 设相容线性方程组My=b的一个解y0∈R (MT) , 则y0必为此相容线性方程组的唯一的极小范数解。

定理2 设问题Ⅰ相容, 若取初始矩阵

X1=ATHTBT+BHA+CTHTDT+DHC+P (ATHTBT+CTHTDT) P+P (BHA+DHC) P, 其中H是Rp×m中的任意矩阵, 特别地, 使X1=0∈Rn×n, 则由迭代算法1, 通过有限步可以得到问题I唯一的极小范数解。

证明 由迭代算法1和定理1知, 若使X1=ATHTBT+BHA+CTHTDT+DHC+P (ATHTBT+CTHTDT) P+P (BHAT+DHC) P, 其中H是Rp×m中任意矩阵, 则经过有限步迭代可得到问题Ⅰ的解X*, 且可表示成$X{}^{*}=A{}^{\text{Τ}}Y{}^{\text{Τ}}B{}^{\text{Τ}}+BYA+C{}^{\text{Τ}}Y{}^{\text{Τ}}D{}^{\text{Τ}}+DYC+{\rm P}\left(A{}^{{\rm T}}Y{}^{{\rm T}}B{}^{{\rm T}}+C{}^{{\rm T}}Y{}^{{\rm T}}D{}^{{\rm T}}\right){\rm P}+{\rm P}\left(BYA+DYC\right){\rm P}$。由于矩阵方程 (1) 的双对称解也是矩阵方程组 (6) 的解, 因此, 要证明X*是问题Ⅰ的极小范数解, 只须证明X*是矩阵方程组 (6) 的极小范数解即可。

记vecX=x, vecX*=x*, vecY=y1, vecYT=y2, vecF=c1, vecFT=c2, 则矩阵方程组 (6) 等价于如下线性方程组

注意到

$\begin{array}{l}x{}^{*}=\text{v}\text{e}\text{c}X{}^{*}=\left(B⨂A{}^{\text{Τ}}\right)y{}_2+\left(A{}^{\text{Τ}}⨂B\right)y{}_1+\left(D⨂C{}^{\text{Τ}}\right)y{}_2+\left(C{}^{\text{Τ}}⨂D\right)y{}_1+\left({\rm P}B⨂{\rm P}A{}^{\text{Τ}}+{\rm P}D⨂{\rm P}C{}^{\text{Τ}}\right)y{}_2+\\ \left({\rm P}A{}^{\text{Τ}}⨂{\rm P}B+{\rm P}C{}^{\text{Τ}}⨂{\rm P}D\right)y{}_1=\\ \left[\begin{array}{l}A⨂B{}^{\text{Τ}}+C⨂D{}^{\text{Τ}}+A{\rm P}⨂B{}^{\text{Τ}}{\rm P}+C{\rm P}⨂D{}^{\text{Τ}}{\rm P}\\ B{}^{\text{Τ}}⨂A+D{}^{\text{Τ}}⨂C+A{\rm P}⨂B{}^{\text{Τ}}{\rm P}+C{\rm P}⨂D{}^{\text{Τ}}{\rm P}\end{array}\right]{}^{\text{Τ}}\left[\begin{array}{l}y{}_1\\ y{}_2\end{array}\right]\in \\ R\left(\left[\begin{array}{l}A⨂B{}^{\text{Τ}}+C⨂D{}^{\text{Τ}}+A{\rm P}⨂B{}^{\text{Τ}}{\rm P}+C{\rm P}⨂D{}^{\text{Τ}}{\rm P}\\ B{}^{\text{Τ}}⨂A+D{}^{\text{Τ}}⨂C+A{\rm P}⨂B{}^{\text{Τ}}{\rm P}+C{\rm P}⨂D{}^{\text{Τ}}{\rm P}\end{array}\right]{}^{\text{Τ}}\right)‚\end{array}$

由引理5知, x*是线性方程组 (7) 的极小范数解, 而vec算子是同构的, 因此, X*是矩阵方程组 (6) 唯一的极小范数解, 从而X*也是问题Ⅰ的唯一极小范数解。

2 问题Ⅱ的解

对任意给定的X∈SE⊂GBSRn×n, 由于双对称矩阵与双反对称矩阵相互正交, 故‖X-X0‖2=‖X-2-1 (X0 + XT0 ) ‖2+‖2-1 (X0-XT0) ‖2。因此, 不失一般性, 可假设问题Ⅱ中给定的X0∈GBSRn×n。当问题Ⅰ相容时, 问题Ⅰ的解集SE非空, 对X∈SE, 显然$AXB+CXD=F\iff A(X-X{}_0)B+C\left(X-X{}_0\right)D=F-AX{}_{0}B-CX{}_{0}D$。让$\overline{X}=X-X{}_0‚\overline{F}=F-AX{}_{0}B-CX{}_{0}D$, 则问题Ⅱ等价于求解相容矩阵方程$A\overline{X}B+C\overline{X}D=\overline{F}$的极小范数广义双对称解$\widetilde{{\displaystyle X{}^{*}}}$。根据算法1和定理1, 可得到矩阵方程$A\overline{X}B+C\overline{X}D=\overline{F}$的唯一极小范数广义对称解$\overline{X{}^{*}}$, 从而也就得到了问题Ⅱ的解$\stackrel{\wedge }{{\displaystyle X}}$且$\stackrel{\wedge }{{\displaystyle X}}$可表示成$\stackrel{\wedge }{{\displaystyle X}}=\overline{X{}^{*}}+X{}_0$。

摘要：对广义自反矩阵P, 即PT=P, P2=I, 如果PXP=X, XT=X, 称X为广义双对称矩阵。在共轭梯度思想的启发下, 给出了迭代算法求解约束矩阵方程AXB+CXD=F的广义双对称解及其最佳逼近。应用迭代算法, 矩阵方程AXB+CXD=F的相容性可以在迭代过程中自动判断。当矩阵方程AXB+CXD=F有广义双对称解时, 在有限的误差范围内, 对任意初始广义双对称矩阵X1, 运用迭代算法, 经过有限步可得到矩阵方程的广义双对称解;选取合适的初始迭代矩阵, 还可以迭代出极小范数广义对称解。而且, 对任意给定的矩阵X0, 矩阵方程AXB+CXD=F的最佳逼近广义双对称解可以通过迭代求解新的矩阵方程AXB+C XD=F的极小范数广义双对称解得到。

关键词：约束矩阵方程,迭代算法,广义双对称解,极小范数解,最佳逼近

参考文献

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[6]周海林.迭代求解约束矩阵方程AXB+CXD=F相关问题.兰州:兰州大学, 2007

矩阵方程 第7篇

本文研究非线性矩阵方程

的Hermite正定解,其中Q∈Cnxn是一个n×n阶的Hermitian矩阵,A是一个mn×n阶复矩阵，X=diag(X,X,...,X)是一个分块对角阵。这个方程源于一类差值问题(见[1])。

已有很多人对』=X的特殊情况进行了研究(见[1,2,3,4,5,6])，但对于Eq.(1)的一般情况结论还非常少。所以本文研究了Eq.(1)的一般形式,其中q是满足0

文中Cn×n表示n×nn阶复矩阵,Hnxn表示n×n阶Hermitian矩阵的全体,A*表示矩阵的共轭转置。A令λ=λmax(A*A)k=λmax(Q)，λ=λmin(A*A),k=λmin(Q)。对X,Y∈Hn×n,X>Y(X>Y)表示X-Y是正定的(半正定的)。||M||表示矩阵的谱范数。

二、正定解的存在唯一性

定理1：对任意的A∈Cnxm,当0

证明：矩阵X是Eq,(1)的解当且仅当X是映射F(X)=Q+AX-qA的不动点。令Ω=[Q,F(Q)],显然Ω是一个非空有界凸闭集。并且由F是逆序映射知F)(ΩΩ所以F在[Q,F(Q)]上存在一个不动点X,也就是说X是Eq.(1)的一个解。

定理2：当0

]证明：由X>0,得到X-q>0和A*X-qA>0,所以X=Q+A*X-qA≥Q。又由X≥Q,知道X-q≤Q-q，从而X=Q+A*X-qA≤F(Q)。

引理1:令η(t)=0。对任意

X∈[Q,F(Q)]和0

Proof由定理1知道,对任意的X∈[Q,F(Q)],FX∈[Q,F(Q)]。从而对任意的X∈[Q,F(Q)],F2X∈[Q,F(Q)]。

对任意的X∈[Q,F(Q)]和0

定理3：当0

收敛到X,即Xn=X。

考虑矩阵序列(2),令F(X)=Q+A*X-qA。首先假定

用数学归纳法可以证明

因此，序列{F2n(Q),n≥0是单调递增序列,有上界F(Q)。故序列{F2n(Q),n≥0}有有限的正极限。并且序列{F2n+1(Q),n>0}是单调递减序列,有下界Q。故序列{F2n(Q),n≥0有有限的正极限。令

则Q≤X(i)≤F(Q),i=1,2。显然F2(X)有正不动点X(1)和X(2)。设Ω=[Q,F(Q)],由定理1知F(Ω)Ω，从而F2(Ω)Ω。下面证明F2在中只有一个不动点。假设Y1,Y2是在F2中的两个不动点。则

令t0=sup{t|Y1≥tY2}，则0

可得(1+η(t0))t0>t0,与t0的定义矛盾。因此t0≥1,所以Y1≥Y2。类似的,可以得到Y1≤Y2。因此Y1=Y2。换句话说,方程X=F2(X)有唯一的正定解。从而X(1)=X(2)。则Fn(Q)是F2的一个不动点。由于F(X)=X的正定解也是X=F2(X)的正定解，因此lim Fn(Q)是F的不动点。令Fn(Q)=X

对任意的X0>0,有

由归纳假设,对任意的n=1,2,...,,有

在以上不等式两边令K→∞,得

命题得证。

三、数值例子

下面用一个数值例子来说明以上结论。以下所有计算结果用MA TLAB7.01得到。

例1：对Eq.(1)取q=1/2和

利用迭代(2)得到Eq.(1)唯一的正定解为

由

可以得到FQ=Q+A*Q-qA=

通过计算,可以得到矩阵X-Q的特征值分别为1.8921和0.1249,所以X-Q是正定矩阵。同样,我们可以得到F(Q)-X的特征值为0.9974和0.0642。所以F(Q)-X也是正定矩阵。也就是说X属于区间[Q,F(Q)]，这和定理2的结论是吻合的。

摘要：文章讨论了矩阵方程X=Q+A*X -qA的Hermite正定解。证明了当0＜q＜1时方程解的存在唯一性。并给出了解的迭代方法。最后用数值例子验证了理论结果。

关键词：矩阵方程,正定解,迭代方法

参考文献

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