精细积分方法范文

2024-09-22

精细积分方法范文（精选4篇）

精细积分方法第1篇

钟万勰院士等人提出的精细积分法[1],在应用于求解常系数线性常微分方程时,能够得到在数值上逼近于机器精度的结果。对于常系数非齐次常微分方程,增维精细积分法[2,3]避免了矩阵求逆,同时提高了数值计算的稳定性。任伟等[4]分解由增精细积分法构造的矩阵为定常子矩阵和非定常子矩阵,每一个时间步所需的向量通过一次矩阵—向量乘法得到,缩小了每一个时间步所需的计算时间,从而提高了时间效率。Xikui Ma等[5]在空间上用差分法、时间上用精细积分方法求解了Maxwell方程,摆脱了时域有限差分法的CFL稳定性条件,提高了时间效率。谭述君和钟万勰[6]以及富明慧和刘作秋[7]对于非齐次项为多项式、指数函数、正/余弦函数的情况,分别给出了精确的计算方法,得到了数值上逼近机器精度的结果。

从目前研究情况来看,对于非齐次项为多项式、指数函数、正/余弦函数的情况,可以在不求逆的条件下得到方程的计算机上的精确解,但是对于其它复杂情况,目前除了Runge-Kutta方法外还没有比增维精细积分法更好的办法,所以对增维精细积分方法进行研究—特别是对提高其计算精度进行研究—很有意义。向宇等[8] 利用函数的分段插值理论,在一个较小的积分步长内将非齐次项用多项式逼近,然后利用齐次扩容方法,最后用精细积分算法求解,提高了计算精度。该方法本质上仍然是增维的方法。但是当非齐次项比较复杂时该方法计算量比较大,当把增维精细积分方法应用于大型问题的计算时其时间效率较低。

本文在每一个时间步长内,将非齐次项的值取为该时间段内不同时刻的平均值,或者取为该时间段内中间时刻的值,计算量小,同时计算精度得到了很大的提高。数值算例显示了方法的有效性。

2 增维精细积分方法

2.1 精细积分方法[1]

考虑方程

这里,A是n×n常数矩阵,x是n维列向量。由常微分方程组的理论知道,方程(1)有解

现令时间步长为τ,一系列等步长τ的时刻为

于是有

以及递推的逐步积分公式

于是问题归结为(3)式中T阵的计算。在很小的时间间隔 $[t_{k - 1}, t_{k}]$ 内计算T阵

其中,m=2L,例如L=20,那么m=1 048 576。令μ=τ/m,因为τ很小,而m很大,所以μ很小。在μ区间段内,有

其中

令

注意到

(I+Tb)×(I+Tc)=I+Tb+Tc+Tb×Tc

因此,求解T即相当于执行如下语句:

for(i=0;i<L;i++) Ta=2×Ta+Ta×Ta。

当循环结束时执行

T=I+Ta。

如此便得到T阵,此即齐次常微分方程组的精细积分方法。

2.2 增维精细积分方法[2]

考虑非齐次常微分方程组

式(4)可以写为如下形式

记

则式(5)可写为

式(6)在形式上表现为线性齐次方程,它实际上是非定常甚至是非线性的。在很小的时间步长内,矩阵H的变化很小,可以看成是常数矩阵,于是可以按2.1节的精细积分方法求解原非齐次常微分方程组,此即增维精细积分方法。

3 提高计算精度的方法

对于方程(6),一般的增维精细积分方法在每个时间步长内将矩阵H中的f当作常量,并且取值为该时间段内的初始值。在本文中,在每个时间步长内仍然将f当作常量,取值为该时间段内的平均值,或者该时间段内中间时刻的值。

对于将f的值取为一个时间步长[tk-1,tk]内n个时刻的平均值的情况,计算公式可以表示为

式(7)中当n=1时就是一般的增维精细积分方法。数值算例表明,一般在一个时间步长内取2个时刻的值做平均,计算精度可以得到了很大的改善,当个数继续增加时,计算量增加,但是计算精度不会得到大幅度的提高。

对于将f的值取为一个时间步长[tk-1,tk]内的中间时刻值的情况,计算公式可以表示为

一般取ξ=0.5。

4 数值算例

考虑方程

上述方程有解析解

将方程化为

的形式,这里 $x_{1} = x, x_{2} = \dot{x}$ 。按公式(8)的方法,取时间步长为0.01,计算了2 400步,计算结果如图1所示。从图1可以看出,提高精度后的增维精细积分解与解析解吻合得很好。

图2和图3分别是时间步长取为0.25时用一般增维精细积分方法和公式(8)(ξ=0.5)得到的方程的相图与解析解相图的比较。对比图2和图3可以看出,用公式(8)得到的结果的精度明显高于用一般增维精细积分方法得到的结果。

表1是公式(7)中n取不同值的情况下计算误差与一般精细积分方法计算误差的比较。各种不同情况下的计算步长均为0.01,计算2 400步。从表1可以看出,对于公式(7),当n值从1变化到2时,误差从10-3的量级减小到10-6的量级,计算精度得到了很大的提高,即与原来的增维精细积分方法相比,本文的方法提高了计算精度。另外,当n达到2以后,再增加n值,计算精度提高的幅度很小。表1中n=∞表示f取值为时间步长内的平均值,即对f在区间 $[t_{k - 1}, t_{k}]$ 积分后除以时间步长。

表2是公式(8)中ξ取不同值的情况下计算误差与一般精细积分方法计算误差的比较。各种不同情况下的计算步长均为0.01,计算2 400步。从表2可以看出,当ξ取为0.5时,计算误差明显小于其它情况,且计算精度高于公式(7)中任何一种情况下的计算精度。另外,对比公式(7)和公式(8)知道,公式(8)计算量更小。

5 结论

(1) 提出了一种改善增维精细积分方法计算精度的方法,得到了两个公式,即公式(7)和公式(8),并且公式(8)的计算量小于公式(7),而当ξ取为0.5时精度最高;

(2) 当用公式(7)时,一般取2个时刻的平均值即可,增加取值个数并不能大幅度改善计算精度。

参考文献

[1]钟万勰.结构动力方程的精细时程积分法.大连理工大学学报,1994;34(2):131—136

[2]顾元宪,陈飚松,张洪武.结构动力方程的增维精细积分法.力学学报,2000;32(4):447—456

[3]Gu Yuanxian,Chen Biaosong,Zhang Hongwu,et al.Precise time-inte-gration method with dimensional expanding for structural dytlanlic equations.AIAA Journal,2001;39(12):2394—2399

[4]任伟,杜铁钧.定常结构动力方程增维精细积分法求解的注记.杭州电子科技大学学报,2005;25(1):41—43

[5]Ma Xikui,Zhao Xintai,Zhao Yanzhen.A3-D precise integration time-domain method without the restraints of the courant-friedrich-levy stability condition for the numerical solution of Maxwell’s equations.IEEE Transactions on Microwave theory and Techniques,2006;54(7):3026—3037

[6]谭述君,钟万勰.非齐次动力方程Duhamel项的精细积分.力学学报,2007;39(3):374—381

[7]富明慧,刘作秋,林敬华.一种广义精细积分法.力学学报,2007;39(5):672—677

精细积分方法第2篇

缝合复合材料为准层状结构, 其力学分析通常采用修正的层压板理论[1]。经典的层压板理论根据Kirchhoff假设, 该假设建立在忽略横向剪切变形和转动惯量的基础上, 认为层压板在厚度方向的应力为零, 但缝合层合板在厚度方向增加了纤维, 有相当高的厚度方向刚度, 所以用经典的层压板理论来分析缝合层板的应力分布显然是不合适的。范家让教授[2]基于三维弹性理论, 抛弃了任何有关位移或应力模式的人为假设, 引入状态空间建立了混合状态方程, 给出了多种边界条件下单层、叠层板壳的静力、动力以及稳定问题的精确解。Hamilton正则方程优越性在于沿板或壳的厚度方向抛弃了任何有关位移和应力的假设, 并能考虑到复合材料剪切效应的影响, 同时还保证了复合材料层板壳层间位移和应力的连续性。钟万勰教授[3,4]系统地阐述了将经典弹性力学的基本方程导向Hamilton体系的方法和理论, 而唐立民教授[5]证明了弹性单元体的Hamilton正则方程与混合状态方程是相同的。在现代傅里叶分析的基础上, 小波函数与传统的数值方法相结合, 在求解偏微分方程方面, 出现了很多数值性能优越的新算法[6], 其中小波配置法最为简单、成熟。梅树立等[7,8,9]提出将小波配置法和精细积分法相结合求解偏微分方程, 有效地提高了计算速度。张宏伟等[10]用小波配置精细积分法求得弹性层合板的解析解, 显示了该方法对于固支边界条件的优越性。

目前在复合材料的结构分析中, 已经广泛地采用了有限元数值仿真进行分析。考虑到对缝合复合材料层板进行有限元数值仿真分析时, 其基本原理在本质上与一般复合材料层板是相同的, 只是离散方法、本构矩阵和弹性模量不同而已。本研究应用小波配置精细积分法, 将拟Shannon小波配置法和缝合单层板的刚度矩阵应用到Hamilton正则方程中, 构造出平面内离散、厚度方向解析的Hamilton正则方程, 并运用精细积分法[11]分析了周边固支矩形缝合复合材料层合板的静力问题。

1 拟Shannon小波配置法

拟尺度函数的定义为:

式中:σ为正则宽度参数。考虑一维函数f (x) (x∈[a, b]) , 假如取离散点个数为2j+1 (j∈Z) , 则变量x离散点定义为:

进而得到拟尺度函数φ (x) 的离散形式, 即基函数:

式中:。函数ψj (x-xn) 在xk离散点处一阶和二阶导数分别为:

利用傅里叶变换可知基函数ψj (x-xn) 满足以下性质:

对于二元函数f (x, y) , 引入记号:

记ψ (x, y) =ψ (x) ·ψ (y) , 则{ψj;k, l (x, y) :k, l∈Z}是Vj的基底;所以{Vj}形成L2 (R) 中的一个多分辨分析, 而ψ (x, y) 是相应的尺度函数。

2 缝合复合材料层合板刚度的推导

对于缝合复合材料层合板, 由于厚度方向纤维的作用, 导致每层的弹性常数发生改变, 其力学行为与传统复合材料层合板会有所不同。不过, 缝合层板由于缝纫针脚的均匀分布形成周期性的单胞结构, 故可以利用经典层合板的理论知识来分析缝合复合材料层合板的刚度。为了简便计算, 根据复合材料细观力学知识, 做以下假设:

(1) 认为面内纤维由缝线引起变形呈余弦曲线, 在针脚处变形幅度最大, 离针脚距离越远弯曲幅度越小;不考虑缝线引起的厚度方向上的变形。

(2) 假设在变形区纤维体积含量在针脚处最大, 随针脚梯度渐变分布;考虑缝线横向模量和树脂模量相近, 两者等同一起, 同时忽略纤维的初始应变。

(3) 缝线受纤维的挤压作用, 其横截面认为呈椭圆形。

在缝合层板中取1/8代表单元体几何模型 (图1) , 纤维在面内变形如图2所示, 划分许多小微元 (如图3所示) , 则纤维形态的函数描述[12]为:

与缝线相切的曲线定义为:

为了简化计算, 认为纤维体积含量沿y轴线性分布, 则y轴上任意一点的纤维体积含量可以表示为:

由于缝线没有改变缝合前后纤维的体积含量, 只改变纤维分布状况, 则有:

式中:Vf0为未变形的纤维体积含量, 由此可以得到y轴上任一点的纤维含量:

根据纤维变形前后体积相等, 得到变形区内任意一点 (不包括边界) 纤维体积含量表达式:

综上可得纤维体积含量表达式为:

纤维偏转角为:

根据材料力学混合定律[13]得到微元的弹性常数:

采用平均刚度法, 微元的折算刚度由式 (18) 确定[14], 有:

由于缝线横向模量与基体模量相近, 把两者放在一起考虑, 微元视为偏轴单向复合材料, 则其偏转刚度通过其正轴刚度[14]求得:

其中m=cosθ, n=sinθ, 在单元体的区域内对所有微元应力平均, 单层板的等效刚度为:

根据经典层合板理论, 层合板刚度为:

其中Aij、Bij、Dij为层板的整体刚度矩阵, 表达式为:

3缝合复合材料层合板的Hamilton正则方程

考虑缝合复合材料为正交异性矩形板, 其坐标轴沿弹性主方向, 则各向异性的弹性材料的本构关系见式 (23) , 其中, , u、v、w分别为x、y、z方向的位移分量。

通过对式 (23) 变换可以得到缝合复合材料的Hamilton正则方程微分方程组为:

式中:

Ki (i=1, 2, …, 9) 是与材料参数相关的常量。

采用拟Shannon小波配置法解式 (24) 微分方程组。微分方程组的解可近似表示为:

将式 (25) 和式 (26) 代入式 (23) 可得其小波离散格式:

将式 (25) 和 (26) 代入式 (24) 有

其中式 (23) -式 (29) 的其他参数如文献[10]所述。

通过验证, 不难发现方程组 (25) 本身很容易满足周边固支矩形板的边界条件, 即将x=0, a和y=0, b边界处离散点的位移设为零, 通过式 (25) 的计算可知x=0, a和y=0, b边界处离散点的应力σxx, σyy并不等于零, 这也正是周边固支板的边界条件。

4 周边固支缝合层合板的求解

假设层合板共p层, Hamilton正则方程 (24) 的解是:

其中:

其中hi对应于第i层的厚度, 珚Di为第i层的Hamilton阵, Hi (z) 的值可由精细积分法求出。

考虑层间的应力和位移的连续条件, 两层合板之间上、下表面的物理量应该相等, 即:

把整个层合板上、下表面的物理量用联系起来, 有:

其中R1 (0) 是初始值, 即整个矩形板上表面离散点处的广义位移、广义应力分量。Rph (p) 是整个矩形板下表面离散点处的广义位移、广义应力分量。

然后根据作用在层合板上、下表面的外力求出上、下表面非边界处离散点的广义位移分量。这里假设将x=0, a和y=0, b边界处的离散点所对应的行和列消去, 然后就得到一组可以求解的方程组。解此方程组, 则得到上、下表面非边界处离散点的广义位移分量, 于是初始值R1 (0) 为已知。当初始值求出后, 通过式 (30) 和 (31) 则可求得整个层合板任意厚度处离散点的广义位移和广义应力值。

5 算例分析

考虑缝合复合材料为周边固支的层合板, 每层均为正交异性材料, 共8层, 铺层方式为[0/90/0/90/0/90/0/90], 层合板长和宽为a=b=0.23m, 总厚度h=0.024m, 各层厚度为hi=0.003m, 载荷作用在层合板的上表面, 大小为均布压应力q=1Pa。材料参数[13]如表1和表2所示。

应用Mathematica语言编写小波配置精细积分法的理论计算程序, 通过Mathematica软件运行求解得到理论解。考虑到缝合复合材料每层厚度很小, 编写程序计算时把整个缝合层板分为3层 (每层厚度为0.008m) 计算。

考虑到层板在厚度上的离散可以使铺层的力学性能、铺层方向、铺层形式直接体现在刚度矩阵中, 采用商用有限元ANSYS软件对缝合复合材料层板建立三维有限元模型, 引入对模型周边4个面施加位移自由度为零的约束条件, 载荷作用在层合板的上表面, 大小为均布压应力q=1Pa, 通过ANSYS软件后处理模块的分析与求解, 将计算结果与理论解进行对比验证。计算结果和误差比较如表3-表5所示, 图4为缝合层板有限元模型的位移分析。

观察表3数据可知, 随着ANSYS网格划分在长度和宽度方向上的加密, 缝合复合材料层合板上表面中心点的挠度数值逐渐变大, 与理论解的误差将进一步缩小。且可以发现, 小波配置精细积分法在缝合层合板位移分析方面, 较低网格密度下即可获得较精确的结果。

从表4可知, 理论计算结果随着配置点的数量j的增大而增大, 在同样网格划分程度下, 最大位移计算理论解比ANSYS解偏大, 说明本研究算法所生成的矩阵柔性比较好, 从而更接近于真实解。且可以预见, 随着有限元网格划分越细, ANSYS有限元解与理论解的误差将进一步缩小。其中ANSYS解采用的是SOLID 46单元, 层间采用Glue方法粘结。

从表5数据可以看出, 第三层的上表面产生的位移最大, 然后逐渐降低。随着ANSYS网格划分的加密, 缝合层合板各层表面最大位移值逐渐变大, ANSYS解与理论解的误差将进一步缩小。同时可知, 计算理论解和ANSYS解相对误差均在允许的范围内。

注:误差由理论解与ANSYS计算解之差的绝对值除以理论解求得, 以下误差计算过程相同

6 结论

(1) 随着ANSYS网格划分在长度和宽度方向上的加密, 缝合层合板的最大位移数值逐渐变大, 与理论解的误差进一步缩小。且可以发现, 采用小波配置精细积分法在缝合复合材料层合板位移分析方面, 较低网格密度下即可获得较精确的结果。

(2) 理论计算结果随着配置点的数量j的增大而增大, 在同样网格划分程度下, 最大位移计算理论解比ANSYS解偏大, 说明本实验算法所生成的矩阵柔性比较好, 从而更接近于真实解。

(3) 周边固支边界条件下的缝合层板中各层表面最大位移值与理论解的误差随着有限元网格划分越细而逐渐缩小。两种方法结果比较证实了本实验方法的有效性。

摘要：建立了缝合复合材料面内纤维弯曲几何描述模型, 将拟Shannon小波配置法和缝合单层板的刚度矩阵应用到缝合层合板的Hamilton正则方程中, 构造了缝合板平面方向离散、而厚度方向解析的Hamilton正则方程, 然后用精细积分法求解。用拟Shannon尺度函数表示的近似解很适于求解固支边界问题。数值算例结果表明, 小波配置精细积分法在缝合复合材料层板位移、应力分析方面, 较低网格密度下即可获得较精确的结果。从而为缝合层合板静力学问题分析提供了一种方法。

关键词：拟Shannon小波配置法,精细积分法,缝合层合板,Hamilton正则方程

参考文献

三重积分的计算方法第3篇

定理1设区域Ω是上下底分别为曲面的曲顶曲底的柱体, 它xoy在面上的投影为, 若函数f (x, y, z) 在Ω上可积, 且对任意的在上可积, 则。

方法二:先二后一法。

定理2设空间区域Ω夹在二平面z=c, z=d之间过区域[c, d]上任意一点z作垂直于轴的平面, 截Ω得平面区域Dz, 若函数f (x, y, z) 在Ω上可积, 且对任意的在Dz上可积, 则。

方法三:利用柱面坐标计算三重积分。

当Ω是柱体或柱体的一部分, 被积函数含x2+y2时用柱面坐标计算三重积分时, 被积函数不能再出现x与y;x2+y2=r2, x2+y2+z2=r2+z2, 柱面坐标:先对z积分, 再对r积分, 最后对θ积分。直角坐标与柱面坐标的相互转化为

方法四:利用球面坐标计算三重积分。

当Ω是球体或球体的一部分, 被积函数含x2+y2+z2, 用球面坐标计算三重积分时, 被积函数不能再出现x, y与z;, 球面坐标:先对r积分, 再对φ积分, 最后对θ积分。直角坐标与球面坐标的相互转化为。

方法五:利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性。

其余y=0与z=0类似可得。

例1计算, 其中Ω为平面曲线绕z轴旋转一周形成的曲面与平面z=8所围成的区域。

解:方法一“先一后二法”。

方法二:“先二后一”法。

方法三:柱面坐标法。

例2计算三重积分其中是由曲面所围成的区域。

例3计算, 其中由所确定。

方法一:球面坐标法。

因为几何体在xoy平面的上半部分, 所以

下分别计算与先计算。

方法一:直角坐标下先二后一。

方法二:由形心计算公式得。

方法三:利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性计算三重积分。

同理可用上面三种方法可得。

解:因为Ω关于z=0对称, 被积函数关于z是奇函数。

参考文献

[1]武忠祥.高等数学[M].西安交通大学出版社, 2011 (4) .

分部积分法解题方法浅析第4篇

分部积分法就是用分部积分公式:求积分的一种方法.

用这种方法求积分的关键是:左边的积分∫udv不容易求出, 通过公式转化成右边的积分∫vdu比较容易求出, 这就需要掌握左边积分的特点, 还要正确选择u和v.u和v选择得正确, 可使问题简化, u和v选择得不正确, 则使问题复杂, 不容易求出积分, 就要重新选择.那么什么样的积分用分部积分法来求呢?可以从以下几个方面考虑:

一、被积函数是两个不同类型的函数的乘积

常见的有四类函数的乘积:代数函数与对数函数的乘积 (简称代对) ;代数函数与三角函数的乘积 (简称三代) ;代数函数与反三角函数的乘积 (简称代反) ;代数函数与指数函数的乘积 (简称代指) , 这时用换元积分法不能奏效, 考虑用分部积分法.

例1求积分

解被积函数是代数函数 (幂函数) 与对数函数的乘积, 用分部积分法, 选对数函数作u, 余下的作dv, 简称代对选对, 令, 则有

如积分, 用上述积分方法, 即可求出积分.

例2求积分

解被积函数是代数函数与反三角函数的乘积, 用分部积分法, 选反三角函数作u, 余下的作dv, 简称代反选反, 令, 则有

例3求积分

解被积函数为代数函数与余弦函数乘积, 用分部积分法, 选代数函数作u, 余下的作dv, 简称三代选代, 令u=x2, v=sinx, 则有

可以看出, 被积函数为代数函数 (幂函数) 乘正 (余) 弦函数, 设幂函数为u, 正 (余) 弦函数为v, 通过分部积分公式转换成右端形式后, 幂函数的次数降低一次, 求出积分.

一般地, (n为正整数) , 用n次分部积分公式可求出积分.

例4求积分