泰勒公式及其应用技巧

2024-09-21

泰勒公式及其应用技巧（精选8篇）

泰勒公式及其应用技巧第1篇

泰勒公式是大学数学中的一个重要知识, 它有三种形式, 即皮亚诺型、拉格朗日型、积分型泰勒公式。每一种形式的泰勒公式都有着相应的应用, 因而泰勒公式的应用是广泛的。它在近似计算中的作用尤其突出, 它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数, 这种化繁为简的功能, 使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆。正是由于这个原因, 泰勒公式是微分方程数值解里差分格式构造的基础, 利用泰勒展开, 我们可以得到差分格式的截断误差, 从而得到差分格式满足相容性, 进而可以进一步分析收敛性。

一、泰勒公式

定理设函数 (x) 在 (ɑ, b) 中有n+1阶导数, 则对任意x0, x∈ (ɑ, b) 有

二、近似计算

当是一个n次多项式时, 它就可以表示成:

即x0附近的点x处的函数值 (x) 可以通过x0点的函数值和各阶导数值去计算, 且n次多项式的n阶泰勒多项式就是它本身。因而我们可以利用泰勒多项式进行近似计算。

例: (1) 计算e的值, 使其误差不超过10-6;

(2) 用泰勒多项式逼近正弦函数sinx, 要求误差不超过10-3, 以n=4的情形讨论x的取值范围。

解: (1) 由于ex的麦克劳林展开式为:

三、构造差分格式

用泰勒公式构造求解Poisson方程的九点差分格式:

定义差分算子△h为:

将 (1) 和 (2) 两式相加得:

因此,

舍去截断误差O (h4) , 我们可得Poisson方程的九点差分格式。

参考文献

[1] .李荣华, 刘播.微分方程数值解法[M].北京:高等教育出版社, 2009, 第4版

[2] .同济大学数学系.高等数 (上册) [M].北京:高等教育出版社, 2007, 第6版

泰勒公式在极限求解中的应用第2篇

泰勒公式在极限求解中的应用

作者：刘靖江飞

来源：《考试周刊》2013年第08期

摘要：泰勒公式是高等数学中的一个非常重要的内容，我们可以借助它解决很多问题.本文简述了泰勒公式在求解函数的极限中的应用.关键词：泰勒公式极限应用

1.泰勒公式

2.泰勒公式在求极限中的应用

用泰勒公式计算函数极限的实质是计算极限时忽略较高阶的无穷小，当在求函极限的过程中发现用其他方法较难时，可以考虑利用泰勒公式进行求解，尤其是■型极限的求解，此时只需把分子、分母展开到同阶的无穷小即可.通过上面的几个例子，可以看出利用泰勒公式求解某些函数的极限很简洁、方便，从而能准确、高效地解决一些数学问题.参考文献：

泰勒公式的简单应用第3篇

关键词：泰勒公式,极限,中值问题,不等式,近似计算,级数

泰勒公式是高等数学中的一个非常重要的内容, 在教材上对泰勒公式进行了详细的论述和证明, 但对泰勒公式的应用涉及的内容较少且比较零散, 甚至有些应用不作介绍 (如用泰勒公式判断级数的敛散性) , 本文通个六个方面简单论述泰勒公式的应用.

1 利用泰勒公式求函数的极限

所以

2 利用泰勒公式证明中值公式及不等式

例2[2]设函数f (x) 在闭区间[1, -1]上具有三阶连续导数, 且f (-1) =0, f (1) =1, f′ (0) =0, 证明在开区间 (1-, 1) 内至少存在一点ξ, 使f″′ (ξ) =3.

证明由麦克劳林公式有

其中η介于0与x之间, 从而

两式相减得f″′ (ξ1) +f″′ (ξ2) =6

证明由在点的一阶泰勒公式有

其中ξi在xi与x0之间 (i=1, 2) .由题设f″ (x) >0, 所以

且等号仅在x0=x1, x0=x2时x1=x2时才成立.

3 利用泰勒公式进行近似计算及误差估计

例5[4]应用三阶泰勒公式近似计算sin18°的值, 并估计误差.

解取f (x) =sinx, x0=0, x=18°=0.1×π.由于sinx的三阶麦克劳林公式为:

参加近似计算的有两项, 它们的舍入误差δ<2×0.5×10-6=10-6, 所以总误差Δ=|R5|+δ<2.65×10-5.

4 利用泰勒公式确定无穷小的阶

例6[4]试确定常数a和b, 使f (x) =x- (a+bcosx) sinx为当x→0时关于x的5阶无穷小.

所以f (x) =x- (a+bcosx) sinx

5 利用泰勒公式判断广义积分的收敛性

6 利用泰勒公式判断级数的收敛性

7 利用泰勒公式求高阶导数

由以上实例可以看出, 泰勒公式的应用比较广泛.当然, 泰勒公式的应用远不止这些, 事实上, 应用泰勒公式还可以可计算行列式及求解相关概率问题等[8,9], 限于篇幅, 不再赘述.无论怎样, 泰勒公式在实际应用中仍要因地制宜, 灵活运用, 才能发挥其巨大的作用。

参考文献

[1]王安平, 杨波, 周云才.高等数学 (上) [M].长沙:湖南教育出版社, 2013.

[2]王丽燕, 秦禹春.高等数学全程学习指导 (第三版) [M].大连:大连理工大学出版社, 2003.

[3]华东师范大学数学系.数学分析 (第二版) (上) [M].北京:高等教育出版社, 1991.

[4]同济大学数学系.高等数学 (第五版) (上) [M].北京:高等教育出版社, 2001.

[5]沈燮昌, 邵品宗.数学分析纵横谈[M].北京:北京大学出版社, 1991.

[6]陈丽, 王海霞.泰勒公式的应用[J].廊坊师范学院学报 (自然科学版) , 2009, 9 (2) :20-23.

[7]李正元.数学复习全书[M].北京:国家行政出版社, 2012.

[8]张锐, 杨海成.泰勒公式在不等式和行列式中的应用[J].数学教学研究, 2009, 28 (10) :53-56.

泰勒公式的应用探讨第4篇

关键词：泰勒定理,泰勒公式,拉格朗日型余项

带有拉格朗日型余项的泰勒公式

(1) 式同样称为泰勒公式, 它的余项为, ξ=x0+θ (x-x0) , (0<θ<1) 称为拉格朗日型余项。所以 (1) 式又称为带有拉格朗日型余项的泰勒公式。并且当n=0时, (1) 式即为拉格朗日中值公式所以, (1) 式可以看作拉格朗日中值定理的推广。

(2) 式也称为 (带有拉格朗日余项的) 麦克劳林公式。

下面介绍带有拉格朗日型余项泰勒公式的更加广泛的应用。

1 近似计算

求的近似值

泰勒公式及其应用技巧第5篇

一、泰勒公式证明过程中存在的不足

高等学校多采用的高等数学教材中对泰勒公式的证明常采用以下方法:为了近似表达函数f (x) 在x点的值, 先在x的邻域内找一点x0, 然后构造一个含有 (x-x0) 的n次多项式的函数, 假设这两个函数从零阶直到n阶导数在x0点的值分别相等[2] (而这个假设并非必须, 详见下面的分析) , 再证明余项就是f (x) 与 (x-x0) 的n次多项式的差[2];或直接通过柯西中值定理证明[3], 这样的证明无疑是简洁的, 缺点是几何意义模糊, 掩盖了泰勒公式中值的含义, 也没有体现出解断、分析从而逼近这一重要的数学思想, 更重要的是会使人误解泰勒公式中n!为唯一、必然的选择。不少教师对泰勒公式的几何意义的讨论[4], 对学生更好地理解泰勒公式有极大的帮助, 但是从几何意义上推演泰勒公式的过程中, 常常会不假思索地利用本段提到的假设, 仍然会使人误解泰勒公式中的系数n!是唯一的选择。

二、泰勒公式的几何意义及n!的非唯一性

泰勒公式:若函数f (x) 在含有x0的某个开区间 (a, b) 内具有直到n+1阶导数, 则当x∈ (a, b) 时, f (x) 可以表示成:

式中的ξ0在图1和图2中的位置相同 (为清楚起见, 在图2中仅保留ξ0而去掉它所对应的两条虚线) , 对上式 (即对原函数 (fx) 的一阶导函数) 再次利用拉格朗日中值定理得:

这样在n=1时, 泰勒公式有如下的形式:

我们选择第一式 (二阶导数对应的分母为3) 来表达泰勒公式仅仅是为了满足假设:原函数与多项式函数的同阶导函数 (含零阶导函数) 在x0点的值分别相等, 但这并不是对所有能展成多项式函数的原函数的普遍性的要求 (读者容易联想到傅里叶级数, 在那里原函数在某些点上根本不连续、不可导, 所以用展开函数以便逼近的方法中, 我们没有理由苛求原函数非得如此不可) , 因而二阶导数对应的分母“3”不是唯一和必须的选择。无论选择“3”、“4”或其他值, 其几何意义如图2所示, 其中:

由2的推导过程, 可知上式等号右边的前三项可以写成:

利用拉格朗日中值定理, 得:

那么, 选择2、3或4作为三阶导数的分母就会有:

这样n=2时的泰勒公式就有了下面的表达式:

同二阶导数的分母一样, 我们选择3!作为三阶导数的分母仅仅是为了满足假设的需要。n=2时泰勒公式的几何意义如图4所示, 其中:

同理, 取n=3、4、5…n时, 便可以从几何意义上推出泰勒公式。在推导过程中, 如果同时选择2、3或4等其他整数 (甚至是非整数) 作为各阶导数的分母, 可以得到不同形式的泰勒公式, 例如:若函数 (fx) 在含有x0的某个开区间 (a, b) 内具有直到n+1阶导数, 则当x∈ (a, b) 时, 有:

泰勒公式 (形式1) :

同样的道理, 我们还可以写出形式4、形式5……。

三、结论

本文详细描述了泰勒公式几何意义, 结合拉格朗日中值定理得出泰勒公式中与高阶导数对应的分母取值n!并不是唯一的选择, 而是为了满足一个并非普遍性的假设的需要, 同时给出了泰勒公式的其他表达形式;并且还能清楚的看出, 泰勒公式是拉格朗日中值定理在原函数 (即零阶导函数) 、一阶导函数、二阶导函数、一直到n+1阶导函数中的应用, 这样泰勒公式又称为泰勒中值定理的缘由也就清楚了;将函数解断、分析、从而达到逼近的方法也较好的呈现出来。

摘要：阐述泰勒公式的几何意义, 结合拉格朗日中值定理说明泰勒公式中n!不是唯一和必须的选择, 而仅仅是为了满足一个并非普遍性假设的需要, 并且给出了泰勒公式的其他表达形式;同时清楚地说明了泰勒公式中值的含义:它是拉格朗日中值定理在原函数及其一阶导函数、二阶导函数一直到n+1阶导函数中应用的结果。

关键词：泰勒公式,几何意义,n!的非唯一性

参考文献

[1]邵泽玲.泰勒公式与含高阶导数的证明题[J].高等数学研究, 2013, (16) :102-103.

[2]同济大学应用数学系.高等数学[M].第五版.北京, 高等教育出版社2002, (7) .

[3]葛健芽, 张跃平, 沈利红.再探柯西中值定理[J].金华职业技术学院, 2007, (2) :81-84.

泰勒公式在数学研究中的应用研究第6篇

一、泰勒公式

( 一) 定义

泰勒公式可采用若干项连加式去表示一个函数, 这些相加项可以通过函数在某一点的导数或者在临近一个点的n + 1次导数求出来, 在数学中, 泰勒公式就是用函数在某点附近取值的应用公式, 只要函数足够光滑, 就能在已知函数某点导数值的情况下, 运用泰勒公式求出函数在这一点上的值, 该公式在数学领域中的研究具有重要的作用.

( 二) 思想理念

英国数学家布鲁克·泰勒发明了泰勒公式, 并得到了广泛的应用. 在日常生活和数学研究中, 当人们想要解决数学中的棘手问题的时候, 往往会想到复杂的函数, 这时候, 泰勒公式就显得非常重要, 因为它具有化繁为简的能力, 运用泰勒公式, 可以有效的将复杂的函数转化为简单的多项式, 经过转化的函数就变得简单, 易于获得结果. 有效地运用泰勒公式可以为快速解决问题提供简单有效的方法, 便于数学的研究和学生的学习.

二、在数学研究中泰勒公式的应用

泰勒公式在很多领域得到了广泛的应用, 不仅在求极限、不等式证明、近似计算等方面发挥着重要的作用, 而且对求高阶导数在某点的数值及判断函数极限等方面也具有重要的作用, 以下对泰勒公式的应用做简单的论述.

( 一) 求极限值

综上所述, 可以看出运用泰勒公式在求极限值的运用中具有重要的作用, 可以将运算简化, 精简复杂的步骤, 这样比较容易理解, 便于掌握.

( 二) 判断函数的极值

( 三) 求高阶导数

利用泰勒公式求高阶导数, 可以反过来去求解高阶导数值, 避免了依次求导步骤复杂的情况, 使求导更加便捷和容易掌握.

结语

关于泰勒公式在近似计算中的应用第7篇

定理1:设函数f (x) 在点x0的某个邻域内具有直到n+1阶的导数, 则对该邻域内异于x0的任意点x有其中 (ξ介于x与x0之间) 时, 称为带拉格朗日型余项的n阶泰勒公式, 其中 (Rn (x) =o (x-x0) n ) 时 , 称为带皮亚诺 (Peano) 余项的n阶泰勒公式.

2.二元函数泰勒公式

定理2:若函数f (x, y) 在点P (x0, y0) 的邻域G存在n+1阶连续的偏导数, 则

3.泰勒公式在近似计算中的应用

用泰勒公式进行近似计算的实质是按照精度要求忽略掉小于精度的误差.

例1:计算ln1.2的值, 使误差不超过0.0001.

解:令f (x) =ln (1+x) , 易得f (x) =ln (1+x) 在原点的泰勒展开式为:

例2:计算1.08 3.96的值, 使误差不超过0.009.

通过上面的例子可以看出, 我们可利用泰勒公式按照精度要求有效地进行近似计算.

摘要：泰勒公式在数学中有众多应用.本文简述了泰勒公式在近似计算中的应用.

关键词：泰勒公式,二元函数泰勒公式,近似计算

参考文献

[1]同济大学数学系.高等数学 (第五版) [M].北京:高等教育出版社, 2001:139-145.

[2]华东师范大学数学系.数学分析 (上册) [M].北京:高等教育出版社, 2002.

泰勒级数与泰勒公式刍议第8篇

在《数学分析》教学实践中, 讲到泰勒级数时, 有的学生提出了这样的问题:“老师, 我怎么感觉泰勒级数好像和我们以前学过的泰勒公式没有什么区别呢?”“老师, 初等函数的幂级数展开式和泰勒公式在表示形式上不也差不多吗?”等等。其实, 这也是教师常常思考的一个问题。泰勒公式与泰勒级数既有联系又有区别, 但是针对大专生教育, 学生的基础知识薄弱, 自学能力差, 如何组织教学使他们学得更明白, 这是教学中的一大难题。课余和学生谈心, 深入实际调查发现, 类似这种前后有紧密联系的知识必须讲清楚它们之间的关系, 而且要讲的浅显一些, 通俗一些, 这样学生才能学得更加明白、透彻。

在教授泰勒级数这一节时, 如果按照如下的过程来进行讲解, 效果会更好一些。首先要复习所学过的泰勒公式的内容, 然后传授新知———泰勒级数, 分析二者的联系和区别, 最后讲授泰勒级数的应用和函数展开式。

1 复习———泰勒 (Taylor) 公式

在实际工作中, 测量或计算数据时, 常常要求用比较简单的计算方法得到一定精度的计算结果, 这就提出了近似计算问题, 而不论在近似计算或理论分析中, 我们希望能用一个简单的函数来近似表示一个比较复杂的函数, 这将会带来很大的方便。一般说来, 最简单的是多项式, 因为多项式只是关于变量进行加、减、乘的运算。因此我们有如下的定理:

定理1 (泰勒定理) :若f (x) 在x=0点有直到n+1阶连续导数, 那么

这就是函数f (x) 在x=0点附近关于x的幂函数展开式, 也叫泰勒公式, 式中Rn (x) 叫做拉格朗日余项。

然后, 直接引出将要讲授的泰勒级数。

2 新授———泰勒 (Taylor) 级数

通过幂级数的学习我们知道, 幂级数不仅形式简单, 而且有很多特殊的性质, 这就使我们想到, 能否把一个函数表示为幂级数来进行研究。

如果在 (1) 式中删除掉余项Rn (x) , 则在0点附近f (x) 可以用 (1) 式右边的多项式来近似代替, 如果函数f (x) 在x=0点处存在任意阶的导数, 这时称形式为

的级数为函数f (x) 在x=0点的泰勒级数。现在要问:如果f (x) 在x=0点的某个邻域内有任意阶导数, 是否成立

回答是否定的。例如函数

可以验证它在原点的任何一个邻域内有任意阶导数, 并且对任何n, f (n) (0) =0。将它代入 (4) 式右端

中去得到系数全为0的幂级数, 因而整个右端为零, 但当x≠0时, 它显然不等于f (x) 。

这个例子说明:具有任意阶导数的函数, 其泰勒级数并不是都能收敛于函数本身。下边的定理指出, 如果再增加一个条件就可以使f (x) 的泰勒级数收敛于f (x) 本身。

定理2:设f (x) 在x=0点处存在任意阶导数, 则f (x) 在x=0点的某个邻域 (-r, r) 内等于它的泰勒级数的和函数的充分条件是:对一切满足x