并联冗余范文（精选5篇）
并联冗余 第1篇
冗余驱动并联机器人不但具有一般并联机器人高精度、高刚度的优越性, 并且在很大程度上能够消除机构奇异位形, 从而在机器人领域应用广泛。并联机构的动力学建模是控制器设计的基础, 美国学者Kane等[1]提出了不用求动力学参数而直接建立系统动力学方程的Kane方法。该方法以广义速度作为独立变量来描述系统的运动, 由于不需要计算动力学函数及其导数, 所得结果是一阶微分方程组, 所以计算机编程方便[2]。
滑动模态变结构控制因其具有对系统参数的变化以及外界干扰不灵敏、能够快速响应、无需在线进行参数的辨识等优点, 从而在冗余机构的控制中应用广泛[3]。同步控制考虑了并联机构支链间的协调运动, 保证了支链间特定的几何关系[4,5]。自适应控制能够在线计算系统参数, 实时进行计算与反馈, 不断与期望指标进行对比, 从而做出决策, 实现最优控制[6]。目前, 针对平面二自由度冗余驱动并联机构动力学的研究与控制器设计较多, 但采用Kane方法建模的文献较少, 另外, 基于二自由度机器人的动力学模型, 滑模变结构控制、同步控制、自适应控制、神经网络控制等控制方法有了一些研究成果[7,8,9,10], 但是, 很少见到自适应控制、滑模变结构控制与同步控制结合的方法。本文利用Kane方法计算效率高的特点, 建立了并联机构的动力学模型。基于机构动力学模型, 设计了自适应滑模同步控制器, 并证明了该控制器的稳定性。使用该控制器控制机构末端执行件跟踪工作空间内的一条期望轨迹, 并将自适应滑模同步控制法与一般的计算力矩法作了比较, 结果表明, 自适应滑模同步控制法优于计算力矩法, 能够很好地实现轨迹跟踪。
1 基于Kane方法的动力学建模
1.1 平面二自由度冗余驱动并联机构简介
平面二自由度冗余驱动并联机器人得到了广泛研究, 其模型如图1所示。该机构是3-3R机构的一种变异机构, 把3-3R机构的动平台简化成了一个广义点, 其输出机构即是这个点。6个杆件分别为la1、lb1、la2、lb2、la3、lb3, 杆件长度相等, 3个主动输入关节角分别为qa1、qa2、qa3。该机构的相关尺寸及物理参数如表1所示[4]。
1.2 冗余机构动力学方程的建立
Kane方程可以描述为:作用于刚体i上相对于广义速率的广义主动力Fk和广义惯性力Fk*之和等于零, 即
广义主动力与广义惯性力分别为
式中, 分别为作用在刚体i质心ci上的主动力与主动力矩;mi、分别为刚体i质量与质心加速度;为刚体的质心相对于第k个关节广义速率的偏速度;为刚体的质心相对于第k个关节广义速率的偏角速度;为惯性力矩;、ωi分别为第i个刚体的转动惯量与角速度。
下面基于Kane方程对平面二自由度冗余驱动机构进行动力学建模, 可把该机构视为由三条分支链的2R机构组合而成, 我们只需要研究串联的2R机构 (图2) , 然后考虑其公共约束端即可。
设广义速率为, 设两个连杆重心坐标分别为 (xca, yca) 、 (xcb, ycb) , ra、rb分别为重心到点O、B的距离, l为连杆长度, 两连杆长度相等。由式 (1) 知:
式中, Fa、Fa*分别为主动关节主动力与惯性力;Fb、Fb*分别为被动关节主动力与惯性力。
式 (5) 写成矩阵形式如下:
式中, τa、τb与ua、ub分别为主动关节与被动关节的力矩及广义速度;ma、mb与qa、qb以及Ia、Ib分别为主动关节与被动关节的杆件质量、转动角度以及转动惯量。
单支链的动力学方程已经建立, 那么由结构的对称性, 可以进一步得到平面二自由度并联机构的动力学方程, 令平面二自由度并联机构的关节向量为
广义速度为
力矩向量为
驱动关节输入向量为
可以得到
式中, M为6×6阶惯性矩阵;C为科氏力、摩擦力的6×6阶矩阵。
由式 (7) 得到该并联机构在工作空间的动力学模型为
考虑到机构各条支链在末端所受的约束, 由几何关系得到闭环约束:
式中, xai、yai分别为第i条支链末端的主动关节与被动关节的位置坐标;qai、qbi分别为第i条支链的主动关节与被动关节的角度, i=1, 2, 3。
定义末端执行件的广义坐标为qe= (xe, ye) T, 那么关节坐标空间与末端件坐标空间以及驱动关节坐标空间与末端件坐标空间的关系可以表示为
可以得到, 代入式 (8) 就可以得到用末端件坐标表示的动力学模型:
式 (9) 两边乘以JT并化简, 得到工作空间内的动力学模型为
对于式 (11) , 有以下性质[11]:
(2) 动力学惯性矩阵Me有界。设mij∈Me, i=j, 如果λmin、λmax表示惯性矩阵Me的最小特征值和最大特征值, I是单位方阵, 那么有
(3) 动力学模型线性化:
其中, Y是n×r阶回归矩阵, Θ是r×1阶参数向量。参数向量的选取形式并不唯一, 一般而言有10个独立参数:系统的总质量、6个独立的惯性张量、3个独立的质心坐标。
2 计算力矩控制
参考文献[12]可得计算力矩控制法的表达式为
其中, 对于二自由度机构, 为理想加速度, 为2×1阶矩阵;Kp、Kd为正定常数矩阵。
在机器人的工作空间内选取一四叶玫瑰线为期望轨迹, 其方程为
得到的期望轨迹如图3所示。
取Kp=diag (900, 900) , Kd=diag (150, 150) , 采用MATLAB仿真计算, 得到该控制器的跟踪轨迹与误差如图4~图6所示。
3 自适应滑模变结构同步控制器的设计
滑模变结构控制在控制过程中, 根据系统的状态变化, 驱使系统按照预定的滑动模态进行变化。这种控制方法的优点在于只要系统进入滑模面, 就会具有极高的鲁棒性。自适应控制能够实现动力学模型参数的在线估计, 同步控制能够保证并联机构的各运动支链之间特定的几何关系。基于此, 下面来设计自适应滑模同步控制器。
3.1 基于同步误差的滑模面定义
定义末端执行件的轨迹跟踪误差向量为
参考文献[5], 把轨迹轮廓误差定义为并联机构的同步误差es, 它与跟踪误差e的关系如下:
式中, H (t) 为轨迹跟踪误差与同步误差之间的关系矩阵。
设θ为期望轨迹在期望位置点的切线倾斜角, 可以得到
基于式 (17) , 定义交叉耦合误差为
式中, R为耦合正定矩阵;r1、r2为正常数。
耦合误差中包含了轨迹跟踪误差及其同步误差。由式 (19) 可以得到交叉耦合速度误差向量与加速度误差向量分别为
基于式 (19) 与式 (20) , 定义滑模面:
式中, a1、a2为正常数。
3.2 滑模同步控制器的设计
定义参考速度、参考加速度分别为
由式 (22) 与式 (23) 可以得到
其中, τe是工作空间中的控制力矩为2×1阶矩阵, 由式 (13) 可以把式 (24) 转化为
控制律设计为
其中, K=diag (k1, k2) 、ε=diag (ε1, ε2) , 都是正定矩阵, k1、k2、ε1、ε2都是正常数, Y (q, q·, qe·r, q¨er) 是2×9阶矩阵, ts是采样周期, 参考文献[13]可以计算Θ。
3.3 系统稳定性分析
为了证明系统的稳定性, 定义Lyapnov函数为
对式 (27) 求导, 得到
结合动力学方程的性质 (1) , 可知
所以由式 (25) ~式 (29) , 得到
易知, K、sTKs、sTsgns均为正定矩阵, 所以由式 (30) 可知, 为非正定矩阵。这说明该系统是稳定的, 即当t→∞时, 有
由于ec包括跟踪误差与同步误差, 由式 (31) 得
该控制律可以同时实现轨迹跟踪误差与同步误差的同时收敛。
由于滑模变结构控制有抖振现象, 会影响末端执行器的轨迹跟踪精度。为了消除系统抖振, 本文采用准滑动模态控制, 将系统的运动轨迹限制在理想滑动模态的某一边界层邻域内[3], 用含继电特性的连续函数h (s) 取代式中的符号函数sgns, θ (s) 定义如下:
其中, δ1、δ2为很小的正常数;|s|表示取s方向相反的量。
4 控制器仿真与比较
取A=diag (30, 30) , R=diag (10, 10) , δ=diag (0.5, 0.5) , ε=diag (10, 10) , K=diag (50, 50) , 可以得到自适应滑模同步控制的跟踪轨迹及误差如图7~图9所示。图9的误差图谱表明, 所设计的自适应滑模同步控制器能够更好地控制末端执行件跟踪设定的期望轨迹。定义均方根误差σRSME来定量比较自适应滑模同步控制与计算力矩控制的控制效果[5]:
式中, ex、ey分别为X、Y方向的跟踪误差。
基于式 (34) 可以得到两种控制方法性能比较如表2所示。从表2可以看出, 采用所设计的自适应滑模同步控制方法可以得到很好的轨迹跟踪效果。
5 结论
(1) 利用Kane方程建立平面二自由度并联机器人的动力学模型, 在运算过程中不需要求导, 简化了运算, 方便了计算机编程。
(2) 基于机构的动力学方程, 设计了自适应滑模同步控制器, 结果表明该控制器能够很好地跟踪四叶玫瑰曲线, 其跟踪误差小, 精度良好, 可见设计结果是可行的。
并联冗余 第2篇
1 多台逆变电源并联运行原理
图1所示为两台或多台逆变电源进行并联运行的工作原理,其中U1、U2为逆变桥的输出PWM波的基波分量;Uo1、Uo2为逆变电源的输出电压;ro1、ro2为表征电感内阻线路阻抗等逆变电源损耗因素的等效阻抗;r1、r2为并联的线路阻抗;L1、L2、C1、C2为逆变电源的滤波电感和电容;Z为两台逆变电源的公共负载,可为感性容性或纯阻性。
可得出逆变电源并联运行系统环流S域表达式为(忽略r和ro):
当U1与U2只存在幅值差异时,则此电压差与逆变输出电压同相位,如图2(a)所示。当U1与U2只存在相位差异时,此电压差比逆变输出电压超前90°,如图2(b)所示。
由于环流iH的存在使得各逆变电源的输出电流不仅包含有效负载电流分量,还有环流分量。在不同状况下环流分量相对于各逆变电源呈现出不同的负载特性,或为有功或为无功。环流分量改变了各逆变电源的输出电流,也相应改变了各逆变电源的输出功率,使得各逆变电源所承担的负载不均衡[2]。
从以上分析可知,只要保证各逆变器输出电压的幅值、频率、相位一致,且通过一种控制方法来保证各个模块按预先设定比例均分有功和无功电流,使输出环流等于零,就可以实现逆变电源的并联运行。
2 并联冗余运行控制方案
分布式控制并联方案(也称分散逻辑控制并联方案)利用了冗余控制方法[3]。其中任何一个模块的加入和退出都不会影响这个系统的运行。使得整个并联电源系统更加自由、方便。平均电流瞬时控制方案是分布式控制并联方案中经常采用的一种控制策略。平均电流瞬时控制方案一般通过锁相环电路保证各个模块基准电压的严格同步,通过求出各个模块输出电流的瞬时平均值进行电流调节,使得电流动态响应迅速[4],能够及时调整并联工作中的各台逆变电源的输出电流,以达到均流的效果。图3所示为平均电流瞬时值控制的原理框图。
根据以上分析,通过数模混合控制的方式实现逆变电源的均流并联工作,以便发挥数模各自的特点。采用补偿电路模拟运放实现电压环和电流环的控制,并采用成熟的PI调节环电路完成瞬时电压波形外环、高速原边电流内环补偿作用,使整个闭环控制环路快速、准确、可靠运行。通过补偿电路的调节,提高了系统的相位裕量和频率裕量,确保逆变电源并联系统在外界的扰动下能够正常工作,使得整个系统更加简洁可靠,可行性更高。
2.1 硬件控制结构
在逆变电源的控制环电路结构中,使用双环控制电路来保证均流满足设计要求,主功率电路采用带逆变变压器的工作方式,拓扑采用全桥逆变方式[5]。双环控制系统中采样滤波电感电流iL(s)做内环,采样输出电压uo(s)做外环。电源系统控制框图如图4所示。
对于电流内环,有:
其中,滤波电感L=2.3 m H,滤波电容C=50μF,折算到付边的变压器等效内阻负载RL=10Ω,未加补偿环节G2(s)电流内环开环传递函数为:
为了改善系统的动态响应和高频特性,可设计如图5所示的补偿电路,以增加系统直流增益和高频衰减倍数。
传递函数为:
补偿后电流内环开环传递函数:
电流内环的闭环传递函数为:
2.2 软件功能的实现
软件的核心芯片采用TI公司的TMS320F2407[6]DSP数字控制芯片,TMS320F2407具有12个PWM发生器和4个定时器,完全能够满足并联逆变电源的各种处理要求。并联工作的各台逆变电源之间的快速相互通信采用CAN通信接口。通过快速A/D转换能够及时计算出逆变电源的输出有功功率P、无功功率Q、频率f和幅值U,然后合成为给定电压指令,经12位D/A转换后送至逆变电源,逆变电源按照给定的电压指令输出正弦波电压,实现有功电流及无功电流的均分,减小逆变电源并联工作之间的环流。DSP发出的电压指令的频率调节分辨率为二十万分之一;电压指令的幅值调节分辨率为四千分之一,足以保证逆变器的有功功率和无功功率的均分,使得并联系统稳定地运行。
软件按照完成的功能划分,主要由主程序和中断服务程序构成。主程序在完成系统的初始化、数据处理、传输和逆变器运行控制外,最主要的就是进行均流控制。中断服务程序则主要实现同步控制和数据的采集等功能。
2.3 逆变电源并联运行时的工作波形
图6所示为两台逆变电源样机并联工作时,负载在空载和满载两种情况下互相突变时的实际输出电流和电压工作波形图,两台产品输出的电流大小基本一致。图7所示为两台样机并联工作时,负载的供电电压在旁路供电和逆变状态供电基本上没有时间间断,近似为零切换,保证了负载的供电质量。
本控制系统采用平均电流瞬时控制的锁相环电路,保证了各个逆变电源基准电压的严格同步,可求出各个逆变电源输出电流的瞬时平均值进行电流的调节。通过自主创新,设计出均流电路参与整个电路环节控制,实现了对两台或多台逆变电源并联运行时的负载均流控制。通过正弦波逆变电源隔离抗偏磁电路,解决了在带工频变压器的逆变电源中的变压器的直流偏磁问题,而且取得了良好的结果。
参考文献
[1]李俊林,熊健,康勇.逆变器数字多环控制技术研究[J].电工电能新技术,2004,23(4):56-59.
[2]刘明先,裴雪军,侯婷.全数字化组合式三相逆变器的锁相控制策略[J].电气传动,2007,37(10):34-36.
[3]段善旭,刘邦银,康勇.电力线通信在逆变器无互联线并联中的应用[J].电力电子技术,2004,38(2):12-15.
[4]熊健,周亮,张凯,等.一种高性能的单相逆变器多环控制方案[J].电工技术学报,2006,21(12):79-83.
[5]MATTAVELLI P.An improved deadbeat control for UPS using disturbance observers[J].IEEE Trans.on Industrial Electronics,2005,52(1):206-212.
并联冗余 第3篇
求解正解的方法主要有解析法和数值分析法。数值法通过优化搜索和不断迭代, 逐步逼近最优解[2]。但这种方法计算量大, 收敛速度慢, 过分依靠初始值的选择。若初始值选择不当, 则有可能造成不收敛的情况。解析法通过消元, 使得位置方程只含有一个未知数, 又可能求得位置方程的所有解。速度雅可比矩阵是机构输入和输出速度之间的函数关系, 是机构奇异位形、刚度等问题的理论分析基础。
1 运动学逆解
并联机构中支链的安装方式决定了机构的初始位置, 平面2自由度冗余并联机构有3条支链, 每条支链有2种连接方式, 共有8种初始位置, 每种位置对应一种逆解[3]。
2 运动学正解
对于平面2自由度冗余并联机构, 已知圆上两点坐标和半径长度, 求圆心位置, 结果不唯一, 有2组解。
3 速度雅可比矩阵
速度雅可比矩阵是机构输入和输出速度之间的函数关系, 指的是从关节空间到操作空间之间的速度比。由几何关系得:
4 轨迹规划仿真
从两个方面来考虑轨迹规划的问题:对于移动机器人指的是移动的路径轨迹规划, 如机器人在是否有地图的条件下, 移动机器人按什么样的路径轨迹来行走;对于工业机器人指的是机械臂末端行走的曲线轨迹, 或是操作臂在运动过程中的位移、速度和加速度的曲线轮廓。具体内容包括描述运动路径, 轨迹参数, 位置、速度和加速度的具体数值。
基于冗余并联机构的位置逆解、速度逆解和加速度逆解。令末端执行器分别沿一条线段和圆运动。1A点的坐标为 (0, 250) , 2A点的坐标为 (433, 0) , 3A点的坐标为 (433, 500) , 杆长1l和l2都为244mm。末端执行器从 (210, 250) 运动到 (240, 270) , 其速度曲线和加速度曲线见图1。
末端执行器以 (250, 300) 为圆心, 20mm为半径的圆, 其角速度和角加速度曲线见图2。
5 结语
利用解析算法求出平面2自由度冗余并联机构的运动学正解和逆解, 其正解和逆解都不唯一。对位置方程时间求导得出了速度雅可比矩阵。基于冗余并联机构的位置逆解、速度逆解和加速度逆解, 对其进行了线段和圆两种轨迹规划, 求出了速度、加速度、角速度和角加速度曲线。
摘要：该文详细描述了机构运动学分析中的位置正解和位置逆解之间的关系, 分析了解析法和代数法求解的优缺点。利用代数解析法原理分别求出一种平面2自由度冗余并联机构的运动学逆解和运动学正解, 通过解的对比可知, 逆解不唯一, 共有8组, 正解也不唯一, 共有2组。利用位置方程求出速度雅克比矩阵的表达形式。利用MATLAB软件, 对该机构的运动轨迹包括沿直线行走和沿圆弧行走的轨迹进行运动学仿真, 求解出速度、加速度曲线。
关键词：并联机构,雅克比矩阵,运动学分析
参考文献
[1]B.Dasgupta, T.S.Mruthyunjaya.A Newton-Euler Formulation for the Inverse Dynamics of the Stewart Platform Manipulator[J].Mechanism and Machine Theory.2014, 33 (8) :1135-1145.
[2]R.Stoughton, T.Arai.A modified Stewart platform manipulator with improved dexterity[J].IEEE Trans.Robotics Automation, 2012, 9 (2) :166-173.
并联冗余 第4篇
并联机器人具有刚度高、承载能力强以及模块化程度高[1,2,3]等特点,广泛应用于航空航天、国防军事等领域。然而,由于并联机器人的工作空间小、容易产生奇异位型等缺点,在实际生产中往往通过引入冗余驱动的概念去解决这些问题。
高速、轻型化是并联机器人发展的主要趋势。然而,当轻型化的机器人在重载且高速的环境下工作时,往往会由于各个分支的弹性变形影响其运动及动力学性能,从而降低机器人的精度。因此,有必要对并联机器人进行弹性动力学分析,并通过结构优化提高其动力学特性。Liu等[4]通过考虑连杆的变形,分析了3-RRS并联机构的动力学特性。胡俊峰等[5]提出了一种简单而精确的弹性动力学建模方法,并通过实例进行了验证。文献[6-9]分别针对不同的机构建立了弹性动力学模型,并且进行了相应的动力学分析。陈修龙等[10]基于机构的弹性动力学模型提出了一种优化方法。Cammarata等[11]提出了一种约束优化方法,该方法改善了3T1R并联机器人的弹性动力学性能;Alberto等[12]采用一种新的重力补偿方法,分析了四杆机构的弹性动力学特性;Zhang等[13]以3-PRS为例,通过建立其弹性动力学模型提出了一种能够分析其关节约束反力的方法。文献[14-16]分别从结构、理论方法以及控制的角度对3-PRR柔性并联机器人进行了深入的分析。综上所述,现有文献大多针对非冗余驱动并联机构进行弹性动力学分析,而对于冗余驱动并联机构的分析并不多。Zhao等[17]比较了6-PSS与8-PSS冗余驱动并联平台的弹性动力学特性。除此之外,鲜有文献对冗余驱动并联机构的弹性动力学进行研究,对于通过将主动副代替被动副从而实现驱动冗余机构的相关研究更是鲜有报道。
本文对5-UPS/PRPU冗余驱动并联机构的弹性动力学性能进行了分析。首先通过结合子结构法和有限单元法,建立了空间单元的弹性动力学模型;然后根据各个关节的运动特性,将单元动力学模型进行组装,并根据机构的运动学/动力学约束,得到系统总体的弹性动力学模型;最后以相应的5-UPS/PRPU冗余驱动并联机床为算例,通过与相应的5-UPS/PRPU非冗余驱动并联机床动平台中心的弹性位移进行比较,证明冗余驱动对机床性能的改善。
1 动力学建模
5-UPS /PRPU五自由度冗余驱动并联机床如图1 所示,它由定平台、动平台以及6 条驱动分支等组成。机床的加工运动可以通过5 条结构相同的UPS驱动分支及PRPU分支(冗余分支)的移动副共同实现。各个移动副的运动主要通过滚珠丝杠/螺母实现。此外,沿动平台中心的法线方向的转动被PRPU分支所约束,因此,PRPU分支也可以称为约束分支。R、U、S、P分别代表转动副、虎克铰、球副以及移动副。由于机床动平台能够实现运动的自由度数目是5,而驱动数目为6,故机床表示为5-UPS/PRPU五自由度冗余驱动并联机床。
机床结构简图如图2 所示。对于该冗余驱动五自由度并联机床,由于机床动平台以及定平台刚度很大,故忽略其弹性变形,在此假设其为刚形体;由于滑块刚度很大,同样将其考虑成刚体,忽略其弹性变形。因此,在本文分析过程中考虑5个UPS驱动分支的弹性变形;另外,将PRPU分支的RPU分支部分视为弹性体。
1. 1 单元动力学方程
根据机床分支实际结构,将空间柔性梁单元模型等效为圆柱形截面,如图3 所示。该空间两单元两端坐标分别表示为 δ1,δ2,δ3和 δ10,δ11,δ12,δ4,δ5,δ6和 δ13,δ14,δ15,δ7,δ8,δ9和 δ16,δ17,δ18,即该梁单元的弹性位移、弹性转角以及曲率。单元E' 处的弹性位移以及弹性转角可以表示为
式中,NT(x) 为空间梁单元的位移形函数;δ 为梁单元的广义坐标,δ = [δ1δ2… δ18]。
将空间梁单元的动能表示为
式中,L、ρ、A、IP分别为梁单元的长度、密度、截面面积以及惯性矩。
将空间梁单元的势能表示为
式中,E、G、Iy、Iz分别为梁单元的拉压弹性模量、剪切弹性模量以及对y轴和z轴的主惯性矩。
将式(2)、式(3) 分别代入以下拉格朗日方程:
可以得到空间梁单元的动力学方程:
其中,Me、Ke分别为单元质量矩阵及单元刚度矩阵;Fe表示单元所受外力,包括梁单元实际受到的载荷、与其他单元的相互作用力以及其惯性力。
1. 2分支及动平台的动力学方程[18]
首先分别将UPS分支以及PRPU分支等效为悬臂梁。对于PRPU分支,则将R0点考虑为固定端,故其弹性位移及转角均为0;对于P0点,由于该点(移动副) 链接的两个单元分属不同的构件,故应当设置不同的弹性位移;对于U0处(虎克铰)可以等效成两个汇交不共面的转动副,所以,U0处对应的两个曲率也为0。对于UPS分支,同样将Ui(i = 1,2,…,5) 点考虑为悬臂梁的固定端,那么其弹性位移及转角均为零;由于Pi点连接两个不同的构件,故也设置不同的弹性位移;对应Si处为球铰,因此,沿三个方向的曲率也为零。各个分支的系统坐标系设置如图4 所示。
对于PRPU分支,如果假设构件R0P0与坐标系R0xyz中的y轴夹角为 θ01;对于各UPS分支,构件RiPi中的y、z轴夹角为 θi2、θi3(i = 1,2,…,5),那么,PRPU分支的局部坐标系与参考坐标系AXYZ的旋转变换矩阵即可表示为
UPS分支的局部坐标系与参考坐标系AXYZ的旋转变换矩阵可以表示为
可以根据分支局部坐标系与参考坐标系的旋转变换矩阵将空间梁单元组装成支链,并且完成相应坐标系的转换。那么,机床各个分支的动力学方程可以表示为
其中,Mi、Ki、Fi分别为分支的质量矩阵、刚度矩阵以及分支所受的外载荷向量。U表示由各个分支在参考坐标系中的坐标所组成的向量。
1. 3动平台动力学方程
根据前文的假设,由于动平台的刚度很大,故考虑成刚体,则动平台与各个驱动分支连接结点不是独立的。因此,假设动平台与各个驱动分支连接结点一致,且各驱动分支对动平台的力与作用在动平台的外力相平衡,由此可以分别得到系统的运动学约束方程及其动力学方程。
根据对动平台的动力学分析作为系统的动力学约束,有
式中,MO为动平台的质量矩阵;fO为支链作用于动平台的力/ 力矩;FO为动平台所受外力;为动平台名义加速度列阵。
1. 4系统动力学方程的装配
将分支系统中的质量矩阵、刚度矩阵分解成以下形式:
通过将各个分支动力学方程(式(8)) 与动平台动力学方程(式(9)) 结合,再结合文献[19]中的运动约束方程即可得到5 -UPS /PRPU冗余驱动并联机床整体弹性动力学方程:
式中,M、C、K分别为系统的整体质量矩阵、阻尼矩阵以及刚度矩阵;F为系统所受到的外力的合力;λ1、λ2分别为系统的刚度阻尼及其质量阻尼的系数。
构造冗余驱动并联机构的方法有三种:① 将被动运动副替换为主动运动副,即关节式的冗余驱动;② 支链式的冗余驱动,即通过添加一条或多条驱动支链从而使机构的实际驱动链数目超过其运动所需的支链数目;③ 以上两种方法的综合。5 -UPS /PRPU冗余驱动并联机床属于第一种类型,即通过添加冗余电机从而构造出冗余驱动。值得注意的是,冗余电机的添加,使得整个系统具有6 个驱动输入。理论上而言,机床的任意位姿都对应着无穷多组解。因此,在确定各个分支的驱动力时,允许根据不同的优化目标通过采用不同的优化算法优化机床分支的驱动力。考虑到实际的加工问题,本文采用文献[20]中的优化方法,根据达朗伯原理求解冗余分支的驱动力,从而以使冗余分支的大滑块能够更好地跟随动平台运动为优化目标。另外,对于非冗余驱动并联机床的驱动力,则可根据拉格朗日方程直接求出。机床刚体动力学的部分不再赘述。
2动态响应分析
2. 1机床动态响应特性分析
为了分析系统的动态响应特性,令5 -UPS /PRPU五自由度冗余驱动并联机床的动平台中心的运动轨迹为
可以根据式(10)求出系统的动态响应特性。机床的基本尺寸及结构参数见表1 ~ 表3。
动平台的质量为45 kg,密度为7800 kg /m3,剪切弹性模量为79 GPa,拉压弹性模量为210GPa。
为了比较机床在冗余驱动与非冗余驱动的动态响应特性,分别计算了5-UPS /PRPU冗余驱动并联机床与其相应的5-UPS /PRPU非冗余驱动并联机床动平台中心的弹性位移以及对应的刚性位移。如图5 ~ 图10 所示,实线部分表示冗余驱动并联机床动平台中心的弹性位移,虚线部分表示非冗余驱动并联机床动平台中心的弹性位移。
比较分析图5 ~ 图10 可知冗余驱动对机床整体动态响应的影响情况。对于冗余驱动并联机床,由分支变形引起平台中心在x、y、z方向的线/角位移的最大误差值分别为- 0. 0189 mm、0. 0219 mm、0. 1008 mm; - 0. 1507°、0. 1361°、0. 0064°。而对于非冗余驱动并联机床,各个方向的最大误差值分别为- 0. 021 mm、0. 0236 mm、0. 1114 mm; - 0. 1581°、0. 1403°、0. 0068°。由此可见,无论是对于冗余驱动还是非冗余驱动并联机床,最大移动误差均沿z方向,转动方向的最大误差值均沿x方向。除此之外,可以看出该冗余驱动并联机床在x、y、z三个方向的移动误差及x、y方向的转动误差均小于其非冗余驱动并联机床,且最大移动误差减小了0. 0106 mm,最大转动误差减小了0. 042°。因而可以得出冗余驱动可以改善机床的动态响应特性的结论。
需要说明的是,由于各个方向的实际位移均以某一数值为中心往复波动,说明其动平台中心点由于各个驱动分支变形所引起的弹性位移是以某一点为中心的弹性振动。
2. 2 仿真验证
该冗余驱动并联机床的固有频率由下式得到:
通过观察式(13)不难发现,该机床的整体质量矩阵和刚度矩阵均与机床的位姿相关,因此,计算了机床在不同位姿下的固有频率,并通过有限元软件中的模态分析进行验证。图11 所示为机床在初始位姿时各阶固有频率在有限元仿真软件中的计算结果,比较分析可知,本文理论模型所得结果与有限元仿真结果的变化趋势一致,可以在一定程度上证明本文模型的有效性。
3 结论
(1)本文结合有限单元法与子结构法推导了5-UPS / PRPU冗余驱动并联机床的弹性动力学模型。
(2)比较了5-UPS /PRPU冗余驱动并联机床与其非冗余驱动并联机床的动态响应特性。
(3)冗余驱动可以在一定程度上改善冗余驱动并联机床的动态响应特性。此外,可以采用本文的方法对系统结构进行优化;通过理论分析找到机床误差最小的位置,从而进行轨迹规划,提高机床加工精度。
摘要：结合有限元法和子结构法建立了5-UPS/PRPU冗余驱动并联机床的弹性动力学模型。首先,将系统划分为不同的子结构,根据空间柔性梁理论求出单元动力学方程,根据关节特点将各个梁单元组装成各个驱动分支;根据分支与动平台的运动学/动力学约束,将各个分支进行装配,从而得到系统动力学方程。以5-UPS/PRPU冗余驱动并联机床作为算例,求出其动平台中心的动态响应特性。通过比较5-UPS/PRPU冗余驱动并联机床及5-UPS/PRPU非冗余驱动并联机床动平台的动态响应,可以得到结论:冗余驱动可以明显改善该机床弹性动力学特性,从而减小因弹性变形引起的误差。研究结果为结构设计人员进行结构设计及优化提供可靠的依据。
并联冗余 第5篇
1 非冗余并联机构的工作空间
通常情况下, 这两种并联机构是对称的, 对其结构尺寸做无量纲化:
2 冗余并联机构的工作空间
3 结语
摘要：该文对组成并联机构的各组成部分的尺寸参数进行无量纲处理, 推导了平面2自由度冗余并联机构和非冗余并联机构的结构参数与工作空间的形状之间的关系。计算出两者基于无量纲参数的工作空间的二维谱图。针对是否有工作空间, 对非冗余并联机构而言, 机构有工作空间的条件是要满足安装条件I1+I2＞0.5d。在二维图谱中, 必须满足μ+λ＞0.5, 每个有效点都会对应固定的工作空间。对冗余并联机构而言, 有效点需满足的条件是μ+λ＞33, 但每个有效点不一定都有对应的工作空间。
关键词：冗余机构,无量纲,工作空间
参考文献
[1]Stewart D.A Platform with Six Degrees of Freedom.Proceedings of.International Mechanical.Engineering, London, 2013, 180 (15) :370-386
[2]M.H.Perng, T.C.Lee, Y.S.Tsai, A systematic design procedure for parallel machine tools regarding mechanical efficiency, stiffness and workspace, The International Workshop on Parallel Kinematics Machines, UCIMU, Milano, 2012.