分部积分论文范文

分部积分论文范文（精选7篇）

分部积分论文 第1篇

1 分部积分公式的由来

利用两个函数乘积的求导法则可得分部积分法, 分部积分公式推导如下[1]。

设函数u=u (x) 与v=v (x) 都具有连续导数。两个函数乘积的求导公式为

移项得

对这个等式两边求不定积分, 得:

公式 (1) 和 (2) 称为分部积分公式。

2 分部积分法中u和dv选取原则

利用两个函数乘积的求导法则可得积分的一个重要方法———分部积分法, 将不易求出的积分转化为较易求出的积分是分部积分法的核心, 正确选择u和dv是此方法的关键。选择u和dv的一般原则是:

(1) v要容易求出;

一般地, 被积函数是以下类型的常采用分部积分法 (其中m, n都是正整数) 。

3 分部积分法应用举例

解应用分部积分法的第一步是选择u和dv。

现在设u=x, dv=cosxdx, 那么du=dx, v=sinx, 代入分部积分公式, 得

解设u=x2, dv=exdx, 则du=2xdx, v=ex于是

分析:若被积函数是幂函数与指数函数或正、余弦函数的乘积, 可设幂函数为u, 而其它部分凑微分形成v, 这样使用分部积分公式后, 幂函数的幂次降低一次。

分析:若被积函数是幂函数与对数函数或反三角函数的乘积, 此时设幂函数为u, 其它部分凑微分形成v, 使用分部积分公式后, 对数函数或反三角函数消失。

分析:若被积函数是指数函数与正、余弦函数的乘积, u, dv可任意选取。但在两次分部积分中, 必须选同一类型u, 这样经过两次分部积分后产生循环式, 最后计算出所求积分。

4 结语

与换元积分法相比, 分部积分法受到很多限制, 因此应用范围较窄。以上举例中的几种被积函数是使用分部积分法计算的基本类型。然而, 一些初等函数的原函数却无法用初等函数表示出来, 如

摘要：分部积分法是求解不定积分的一种重要方法。本文对分部积分法的由来、一般原则、一些基本类型做了主要介绍, 同时举例说明分部积分法的一些相关的经验与技巧。

关键词：不定积分,分部积分法,和选取原则

参考文献

[1]同济大学数学系.高等数学[M].北京:高等教育出版社, 2007.

[2]侯风波.应用数学[M].北京:科学出版社, 2007.

对高等数学教学中分部积分法的探讨 第2篇

关键词：不定积分分部积分幂函数指数函数

引言

在高等数学中，定积分在整个知识体系中占有非常重要的地位，他在生活中的应用也非常广泛。但是定积分的计算确离不开不定积分的計算。因此不定积分的计算对于我们来说也非常重要。在不定积分的计算中，有一种方法叫分部积分，即∫uv′dx=uv-∫u′vdx。我们知道在过程中关键是u，v的选取，如果选取得当，我们计算会非常顺利，如果选取不得当会让我们的不定积分变得越来越麻烦。例如∫xcos xdx，如果我们在这里选取函数u=x，计算会非常顺利，反之，如果选取u=cosx大家会发现我们不但没有求出这个不定积分，反而使我们的不定积分变得越来越复杂。所以在不定积分的计算中u，v的选取非常关键。

通过多年的教学发现，在遇到用分部积分求不定积分时，被积函数f（x）一般都是三角函数、反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数这五类函数的乘积.对于它们乘积u，v的选取，我们总结了如下的口诀：

“幂三幂指幂为u，对数反三自为u，三指相乘任意取，分部两次移项求”

下面我们就对口诀中的每一句话进行解释。

4.结束语

通过在教学实践中对次口诀的实际教学应用发现，这个方法在向学生讲解分部积分的计算时，更容易被学生接受，也更容易被学生掌握。

参考文献：

[1]同济大学数学系.高等数学（第六版）[M].高等教育出版社，2007，6.

[2]同济大学数学系.高等数学复习指南[M].学苑出版社，2000，10.

[3]吴传生.经济数学微积分（第二版）[M].高等教育出版社，2010，12.

（1）基金项目：黄冈师范学院科学研究项目：省教育科学规划课题，项目名称：数学实验教学在高等数学教学中的应用研究。项目编号： 2012B176。

（2）黄冈师范学院数理学院教学研究项目，项目名称：基于卓越人才培养的高等数学教学研究。

分部积分法解题方法浅析 第3篇

分部积分法就是用分部积分公式:求积分的一种方法.

用这种方法求积分的关键是:左边的积分∫udv不容易求出, 通过公式转化成右边的积分∫vdu比较容易求出, 这就需要掌握左边积分的特点, 还要正确选择u和v.u和v选择得正确, 可使问题简化, u和v选择得不正确, 则使问题复杂, 不容易求出积分, 就要重新选择.那么什么样的积分用分部积分法来求呢?可以从以下几个方面考虑:

一、被积函数是两个不同类型的函数的乘积

常见的有四类函数的乘积:代数函数与对数函数的乘积 (简称代对) ;代数函数与三角函数的乘积 (简称三代) ;代数函数与反三角函数的乘积 (简称代反) ;代数函数与指数函数的乘积 (简称代指) , 这时用换元积分法不能奏效, 考虑用分部积分法.

例1求积分

解被积函数是代数函数 (幂函数) 与对数函数的乘积, 用分部积分法, 选对数函数作u, 余下的作dv, 简称代对选对, 令, 则有

如积分, 用上述积分方法, 即可求出积分.

例2求积分

解被积函数是代数函数与反三角函数的乘积, 用分部积分法, 选反三角函数作u, 余下的作dv, 简称代反选反, 令, 则有

例3求积分

解被积函数为代数函数与余弦函数乘积, 用分部积分法, 选代数函数作u, 余下的作dv, 简称三代选代, 令u=x2, v=sinx, 则有

可以看出, 被积函数为代数函数 (幂函数) 乘正 (余) 弦函数, 设幂函数为u, 正 (余) 弦函数为v, 通过分部积分公式转换成右端形式后, 幂函数的次数降低一次, 求出积分.

一般地, (n为正整数) , 用n次分部积分公式可求出积分.

例4求积分

解被积函数是代数函数与指数函数的乘积, 用分部积分法, 选代数函数作u, 余下的作dv, 简称代指选代, 令, 则有

同理, 对于积分, 设幂函数为用n次分部积分公式可求出积分.

二、被积函数变形后, 再用分部积分法

有些被积函数不是上述四种类型的函数, 但通过变形后也可以用分部积分法来求积分.对被积函数进行变形:一是进行恒等变形, 二是利用第二类换元积分法去根号, 再用分部积分法.

例5求积分

解本题不是上述四类函数的积分, 但变形后可用分部积分法.

如积分也是先变形, 再求积分.

例6求积分

解被积函数中含有根号, 应先去根号, 再用分部积分法, 代指选指.

如积分都可用这种方法求.

三、左右两端出现相同的积分, 移项求积分

有些函数的积分, 也不是上述四类函数的积分, 可以用分部积分法求, 但在求的过程中, 不能直接求出结果, 会出现与左边相同的积分, 而符号相反, 可通过移项, 求出积分.

例7求积分

解被积函数是指数函数与正弦函数的乘积任选指数函数或正弦函数作u, 余下的作dv, 简称指弦任选.

等式右端的积分与左端的积分是同一类型的 (都是指数函数与正 (余) 弦函数的乘积) , 对右端再用一次分部积分法.

将右端积分移到左端, 两端同除以2, 再加上积分常数C, 得

注意求解过程中, 每次选u必须与前一次选的函数相同, 否则, 不能求出积分.

通过以上解题方法的分析, 只要掌握了分部积分法的特点和规律, 再多做一些练习, 就比较容易地掌握这种求积分的方法, 使学生感觉到用分部积分法求积分不再困难, 提高学生的学习兴趣和效率.

摘要：一元函数微积分是高职高专学生必学内容, 学生普遍感到求积分比较困难, 特别是求不定积分.分部积分法是求不定积分的重要方法, 通过多年对分部积分法的教学探索, 从三个方面进行了分析, 不仅可提高学生的理解能力, 而且有助于学生熟练掌握这种积分方法.

关键词：不定积分,分部积分法,解题方法

参考文献

[1]陆庆乐.高等数学[M].西安:西安交通大学出版社, 2000.

[2]周天刚.分部积分法中u的选择法则[J].广东纺织职业技术学院学报, 2000 (1) .

分部积分公式的解题技巧 第4篇

当我们运用这个公式时,首先要选出u及v'来,即把被积函数视为两个函数之积,按“反函数→对数函数→幂函数→指数函数→三角函数”,即“反对幂指三”的顺序,前者为u,后者为v',下面举例说明此技巧的应用.

解因x是幂函数,cosx是三角函数,故我们选u=x,v'=cosx,应用分部积分公式可得

解因x是幂函数,ex是指数函数,故我们选u=x,v'=ex,应用分部积分公式可得

例3∫xlnxdx幂·对数

解因x是幂函数,lnx是指数函数,故我们选u=lnx,v'=x,应用分部积分公式可得

例4∫xarctanxdx幂·反三角

解因x是幂函数,arctanx是反三角函数,故我们选u=arctanx,v'=x,应用分部积分公式可得

例5∫exsinxdx指数·三角

解因ex是指数函数,sinx是三角函数,故我们选u=ex,v'=sinx,应用分部积分公式可得

对于∫excosxdx我们选u=ex,v'=cosx,再次使用分部积分公式可得

注:也可设u为三角函数,v'=ex,但两次分部积分所设类型必须一致.

对于∫excosxdx我们选u=cosx,v'=ex,再次使用分部积分公式可得

解我们选u=arctanex,v'=e-x,应用分部积分公式可得

我们选u=ln(1+ex),v'=1ex,应用分部积分公式可得

摘要：在求函数的不定积分时常常要用到分部积分公式,本文就使用分布积分公式的常见函数和分布积分公式的使用技巧进行详细的阐述,并用具体的例子说明其用法.

关键词：分部积分

参考文献

[1]刘玉琏,傅沛仁.数学分析讲义[M].第3版.北京:高等教育出版社,1997.

[2]范玉军.高等数学(上册)(工科类专业)[M].北京:人民邮电出版社,2011.

分部积分法在求不定积分中的妙用 第5篇

设u(x),v(x)在区间上具有连续导数,且u′(x)v(x)在I上有原函数.

因为(uv)=u′v+uv′,

即uv′=(uv)′-u′v,两边积分得

蘩uv′dx=uv-蘩u′vdx

即

(1)式就是分部积分法的基本公式 ,下面简述它的一些妙用.

2.应用举例

2.1用分部积分法求反三角函数的不定积分.

例1:求

2.2利用分部积分法 ,并使用解方程的方法求不定积分.

例3:求

例4:求

通过以上例子,我们知道,对于某一个函数,要求不定积分没有其他方法.不妨考虑使用分部积分法,也许就可以求出函数的原函数.

摘要：分部积分法是求函数不定积分的基本方法,对于一些特殊的函数,利用分部积分法求不定积分往往能够化难为简,并求出不定积分.

分部积分列表法的优化和完善 第6篇

关键词：高等数学,积分方法,分部积分列表法

分部积分法是高等数学中的一个重点和难点, 它运用了分部积分公式:设, 都是的可微函数, , 可称之为分部积分公式法。运用这个公式的关键是和的选取。对此, 很多学者研究总结了各种规律, 如分情形讨论[7], 或者按“反对幂 (多项式) 三指”的顺序选取[1]、[2]、[3], 其中, “反”是反三角函数, “对”是对数函数, “幂”是幂函数 (和多项式) , “三”是三角函数, “指”是指数函数。可是当遇到需要连续多次运用分部积分公式时, 或者需要跟换元法等其它多种方法混合使用时, 这个分部积分公式法运用起来就比较繁琐容易混淆, 不够简便。

于是, 又有一些学者致力于把分部积分公式法转换成另一种形式, 一般称其为“分部积分列表法”或者称其为“分部积分竖式法”[4]、[5]、[6]、[8]。这个分部积分列表法步骤化, 程序化, 较公式法简便, 容易掌握, 特别受基础较薄弱的学生欢迎, 在很多专科, 自考函授等课堂学习时较多使用。而且分部积分列表法对需要连续多次运用分部积分公式的积分最为奏效, 跟分部积分公式法对比, 可以省去许多重复意义下的中间过程, 从而使多次积分的过程精炼简洁。可是分部积分列表法的本质只是分部积分公式的一个简单的变形, 它对列表时, 左、右列如何选取问题没有解决, 并且对稍微复杂点的积分没有进一步的研究和归类。

根据以上分部积分公式法和分部积分列表法的优缺点, 本人在下面将对分部积分列表法进行优化和完善, 针对原来列表时, 左、右列没有固定选取方法只凭经验来选取的问题, 我把“反对幂三指”这个顺序引进到列表法的左、右列选取中, 顺序在前的选为左列, 顺序在后的选为右列, 并称之为“反对幂三指的列表法”。另外, 在此基础上, 把常遇到的、具有较大难度的积分进行系统的整理、归类成三大情形。

首先, 介绍“反对幂三指的列表法”。“反对幂三指的列表法”的口诀是:1.反对幂 (多项式) 三指;2.左列依次求导;3.右列依次求不定积分;4.符号依次取加减;5.斜向相乘不积分;6.横向相乘易积分。如求积分, 先把被积函数看成两函数相乘, 即, 如果和v (x) 是五大类基本初等函数中的任意两类, 则适合用此“反对幂三指的列表法”, 否则就不适合, 需要另找其它积分方法。再根据反对幂三指的顺序把和v (x) 分成左右两列, 顺序在前的放在左列, 顺序在后的放在右列;对左列依次求导数;对右列依次求不定积分;符号从加号开始, 随后依次取加减号相间;斜向箭头的两端函数相乘不用积分;横向箭头的两边函数相乘要积分且容易积分。可见下图:

另外, 列表时左列求导停止不需要继续向下进行的信号是:左边求导后的函数是常数函数或者水平两项乘积的积分易于求出。下面举例子说明。

例1.求不定积分

(分析:被积函数是两类基本函数相乘, 故适用反对幂三指的列表法。因为是幂函数, 是指数函数, 根据口诀1反对幂三指的顺序, 幂比指顺序优先, 故优先顺序的放左列, 放右列。

解:

(因为左列求导后的第二行是常数函数1, 故不需要继续向下列第三行。)

(分析:被积函数是两类基本函数相乘, 故适用反对幂三指的列表法。因为是幂函数, 是对数函数, 根据口诀1反对幂三指的顺序, 对比幂顺序优先, 故优先顺序的放左列, 放右列。

解:

(因为左列求导后的第二行是与横向的相乘等于, 而积分容易求得, 故不需要继续列第三行。)

例3.求不定积分

(分析:被积函数是两类基本函数相乘, 故适用反对幂三指的列表法。因为是幂函数, 是三角函数, 根据口诀1反对幂三指的顺序, 幂比三顺序优先, 故优先顺序的放左列, 放右列。

解:

我们知道, 不定积分的积分形式可以是多种多样的, 而且几种积分方法经常混合使用, 所以积分题型可以层出不穷。下面, 笔者根据多年的经验, 在“反对幂三指的列表法”的基础上, 把常遇到的、具有较大难度的分部积分积分题型进行系统的整理、归类成三大情形。

题型一:

(分析:被积函数是两类基本函数相乘, 故适用反对幂三指的列表法。因为可看成幂函数, 是对数函数, 根据口诀1反对幂三指的顺序, 对比幂顺序优先, 故优先顺序的放左列, 放右列。

解:

(因为左列求导后的第二行是与横向的相乘等于, 而的原函数容易求得, 故不需要继续向下列第三行。)

题型二:

例5.求不定积分

(分析:被积函数是两类基本函数相乘, 故适用反对幂三指的列表法。因为是多项式, 是指数函数, 根据口诀1反对幂 (多项式) 三指的顺序, 幂比指顺序优先, 故优先顺序的放左列, sin 5x放右列。

(因为左列求导后的第二行是与横向的相乘等于, 而的原函数可用第一换元法求得, 故不需要继续向下列第三行。)

参考文献

[1]方政蕊.分部积分法的使用技巧.中国西部科技, 2008年5月第7卷15期

[2]袁秀萍.分部积分法的应用技巧.高等函授学报 (自然科学版) , 2010年10月第23卷第5期

[3]连坡.分部积分法使用的几个技巧.高等数学研究, 2006年第9卷第6期

[4]朱波.分部积分法的推广——导积分部积分法.河北职业技术学院学报, 2004年9月

[5]许万银.关于分部积分的竖式计算法则.甘肃高师学报, 2002年第7卷第2期

[6]童宏胜.分部积分公式的一个推论与应用.高等函授学报 (自然科学版) , 2007年4月第20卷第2期

[7]甄海燕.分部积分方法总结.科技信息

关于高职数学分部积分法的教学探究 第7篇

高职院校的培养对象与普通高等学校的培养对象相比, 在智能结构与智能类型方面存在着较大的区别, 人的智能类型大致分为抽象思维和形象思维。教育实践和科学研究已经证明, 高职院校学生的形象思维强于抽象思维, 普通高等学校学生的抽象思维强于形象思维。但这种差异没有智力的高低之分, 只有智能的结构与类型的不同, 他们是同一层次不同类型的人才。因此, 对高职院校学生的智能类型的准确定位与把握, 将有利于高职院校高等数学课程的教学, 有利于增强高职院校学生学习高等数学课程的信心。

分部积分法是高职数学不定积分教学中的重点, 也是难点。这就要求高职院校数学课教师在进行不定积分分部积分法教学时, 应根据高职院校学生形象思维强于抽象思维的智能结构特点, 充分考虑高职学生的实际数学能力与水平, 分步骤、分阶段展开教学。

2 分部积分公式与分部积分法

2.1 分部积分公式。通过导数与不定积分推导出不定积分公式:

2.2 分部积分法。应用分部积分公式求不定积分的方法称为不定积分的分部积分法, 简称分部积分法。

注意:如果求不定积分∫udv难度较大, 而求不定积分∫vdu难度较小时, 应用分部积分公式能起到化难为易的作用。

2.3 应用分部积分法计算的不定积分基本类型。

分部积分法主要用于计算被积函数中含有乘积函数、或只含有对数函数、或只含有反三角函数的不定积分的情形。即

3 分部积分法的应用

3.1 应用一次分部积分法的一般运算过程如下:

3.2 应用分部积分法时常用凑微分公式, 应用分部积分法求相应类型的不定积分时, 常用下列4个凑微分公式:

凑微分公式已在导数与微分一章中学习过, 为强化学生对上述4个凑微分公式的掌握, 以凑微分公式

为例, 通过下列4个步骤即可推出:

(1) 导数公式 (x2) '=2x,

(2) 微分公式d (x2) =2xdx,

(3) 左右互换2xdx=d (x2) ,

(4) 恒等变形

4 分部积分法应用举例

例1:求∫xcosxdx

比较不定积分∫xcosxdx与∫x2sinxdx可知, ∫x2sinxdx的计算难度较∫xcosxdx没有降低, 反而提高了。由此可见, 对被积函数的正确分解是有效应用分部积分法非常关键的一环。

同理推导:

例2:求∫xexdx

比较不定积分∫xexdx与∫x2exdx可知, ∫x2exdx的计算难度较∫xexdx没有降低, 反而提高了。再次说明, 对被积函数的正确分解是有效应用分部积分法非常关键的一环。

例3:求∫xlnxdx

同理推导:

例4:求∫xarctanxdx

例5:求∫arctanxdx

解:被积函数中只含有反正切函数。设

于是∫arctanxdx=xarctanx-∫xd (arctanx)

同理推导:

总结以上5个例子可知, 只要应用一次分部积分法就可以计算出它们的结果。但对于有些适合于应用分部积分法计算的不定积分, 有时需要应用两次或两次以上分部积分法才能计算出它们的结果, 如下面的例6、例7。

例6:求∫x2exdx

在例6的解答过程中, 需要两次应用分部积分法, 并且两次凑微分时必须选择相同类型的指数函数ex与dx凑微分。即

注意:两次连续使用分部积分法时, 两次选取的v'应为同一类型函数。

例7的解答也需要两次应用分部积分法, 两次凑微分有下列两种情形选择:

(1) 两次凑微分均为

(2) 两次凑微分分别为

在例7的解答过程中, 选择了第一种情形。

例7:求∫exsinxdx

解:因为∫exsinxdx=∫sinx (exdx)

所以2∫exsinxdx=ex (sinx-cosx) +C1,

在计算不定积分的过程中, 有时需要使用各种积分法, 如下面的例8, 需要换元积分法与分部积分法兼用。

通过以上8个例题的详细解答可知, 在一次应用分部积分法计算相应类型不定积分的过程中, 其一般运算步骤为:分解、凑微分、分部积分公式、求微分、整理、再积分, 并务必做到每一步运算都要有合理的运算根据, 以保证高职院校学生正确理解、掌握及应用分部积分法。

参考文献

[1]同济大学数学系.高等数学 (第六版) [M].北京:高等教育出版社, 2007.[1]同济大学数学系.高等数学 (第六版) [M].北京:高等教育出版社, 2007.

[2]盛祥耀.高等数学 (第二版) [M].北京:高等教育出版社, 2003.[2]盛祥耀.高等数学 (第二版) [M].北京:高等教育出版社, 2003.

[3]侯风波.应用数学[M].北京:科学出版社, 2007.[3]侯风波.应用数学[M].北京:科学出版社, 2007.

[4]吴赣昌.高等数学 (第二版) [M].北京:中国人民大学出版社, 2009.[4]吴赣昌.高等数学 (第二版) [M].北京:中国人民大学出版社, 2009.

[5]王金金, 李广民.高等数学[M].北京:清华大学出版社, 2007.[5]王金金, 李广民.高等数学[M].北京:清华大学出版社, 2007.

[6]张奠宙, 宋乃庆.数学教育概论[M].北京:高等教育出版社, 2004.[6]张奠宙, 宋乃庆.数学教育概论[M].北京:高等教育出版社, 2004.

[7]徐利治, 王光明.数学方法论选读[M].北京:北京师范大学出版社, 2010.[7]徐利治, 王光明.数学方法论选读[M].北京:北京师范大学出版社, 2010.

[8]施良方.课程理论——课程的基础、原理与问题[M].北京:高等教育出版社, 2007.[8]施良方.课程理论——课程的基础、原理与问题[M].北京:高等教育出版社, 2007.