三角函数角的变换问题

三角函数角的变换问题（精选6篇）

三角函数角的变换问题 第1篇

一、例题解析

题型一 三角函数式的化简问题

分析:先化简所求式子, 在观察该式与已知条件的联系, 从而找到解题的思路.

所以tanα=3或tanα=-1/3.

评析:已知三角函数式的值, 求其他三角函数式的值, 一般思路为: (1) 先化简所求式子; (2) 观察已知条件与所求式子之间的关系 (从三角函数名及角入手) ; (3) 将已知条件代入所求式子, 化简求值.

题型二 三角函数式的求值问题

例2求cos20°cos40°cos60°cos80°的值.

解法1:因为sin2α=2sinαcosα, 则

解法2:设x=cos20°cos40°cos60°cos80°, y=sin20°sin40°sin60°sin80°, 则xy= (cos20°cos40°cos60°cos80°) (sin20°sin40°sin60°sin80°) .

评析:上述解法1是根据其特点采用同乘以、除以一个三角函数式, 使其构成二倍角公式sin2α=2sinαcosα的形式, 从而达到求值的目的;解法2中根据所求式子的特点, 设出原式的“对偶式”, 通过作积xy, 使用二倍角公式sin2α=2sinαcosα, 然后通过解方程求出x.

题型三 三角函数的给值求值问题

评析:解决此类问题的关键是找到角与角之间的关系, 利用角的和、差与倍、半三角函数公式变“目标角”为“已知角”, 同时, 解题时往往需要根据三角函数值缩小角的范围.

题型四 三角函数的给值求角问题

分析:要求角β, 只需求出角β对应的三角函数值即可, 条件给出, 观察发现β=α- (α-β) , 利用两角和 (差) 的正、余弦公式即可求出β, 解题时注意角的范围.

解析:因为,

由β=α- (α-β) 得:

评析:给值求角问题的一般解题步骤包括三个方面: (1) 求出角的某个三角函数值; (2) 确定角的范围; (3) 根据角的范围写出所求角的值.已知三角函数值求角, 选函数时, 可按照以下原则: (1) 若角的范围在时, 选正、余弦函数皆可; (2) 若角的范围在时, 最好选正弦函数; (3) 若角的范围在 (0, π) 时, 最好选余弦.

任意角的三角函数教案 第2篇

合肥市二十八中学

漆学龙

教学目标 <一> 知识目标

1、掌握任意角的三角函数的定义。

2、已知角α终边上一点,会求角α的各三角函数值。

3、记住三角函数的定义域和诱导公式

（一）。<二> 能力目标

1、理解并掌握任意角的三角函数的定义。

2、树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数。

3、通过对定义域，三角函数值的符号，诱导公式一的推导，提高学生分析、探究、解决问题的能力。<三> 德育目标

1、使学生认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角度（自变量）与比值（函数值）的一种联系方式。

2、学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神。教学重难点

任意角的正弦、余弦、正切的定义

（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号），以及这三种函数的第一组诱导公式。教学过程

问题1：你能回忆一下初中里学过的锐角三角函数（正弦，余弦，正切）的定义吗？ 锐角三角函数定义

问题2：在终边上移动点P的位置,这三个比值会改变吗?

在直角坐标系中,以原点O为圆心,以单位长度为半径的圆叫单位圆

即：锐角三角函数可以用单位圆上的点的坐标来表示

推广: 我们也可以利用单位圆定义任意角三角函数(正弦,余弦,正切)任意角的三角函数定义: 设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y)，则:

正弦,余弦,正切都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数.(由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系,因此三角函数可以看成是自变量为实数的函数.)

所以三角函数可以记为:

我们把角X的正弦、余弦、正切统称为三角函数 问题3:如何求α角的三角函数值? 求α角的三角函数值即求α终边与单位圆交点的纵、横坐标或坐标的比值。例1：

解：

例2：

事实上: 三角函数也可定义为: 设α是一个任意角,它的终边经过点P(x,y),则

问题4: 根据三角函数的定义能否确定正弦,余弦,正切的值在四个象限内的符号?

例3：当且仅当下列不等式组成立时，角θ为第三象限角

解略

问题5:根据三角函数的定义，终边相同角的同一三角函数值是否相等？

课堂练习练习1：填表

练习2：教材第15页练习1、2、4 本课小结

1.任意角的三角函数定义 直角三角形中的锐角三角函数

象限中的锐角三角函数

单位圆上点的坐标表示的锐角三角函数 单位圆上点的坐标表示的任意角三角函数

任意角终边上任一点（非原点）坐标定义三角函数 2.三角函数的定义域

3.正弦、余弦和正切函数在各个象限的符号 一全正，二正弦，三正切，四余弦 4.诱导公式一

课后作业 1.习题1.2

三角函数角的变换问题 第3篇

而缩小角的范围往往具有一定的隐蔽性,需充分挖掘隐含信息,综合应用各种三角知识才能成功.本文举例说明缩小角范围的六条策略,供同学们参考.

一、 注意定义域“缩角”

例1 求函数f(x)=的递增区间.

错解 设t=sinx+cosx,则sinxcosx=,于是f(x)====sinx+-.

由2kπ-≤x+≤2kπ+,解得函数f(x)递增区间为2kπ-,2kπ+(k∈Z).

剖析 上述解法忽略了函数的定义域.

因为题目中分母不能为零,即1+sinx+cosx≠0,即sinx+≠-1,即x≠2kπ-且x≠2kπ-π,

所以函数f(x)递增区间为2kπ-,2kπ-及2kπ-,2kπ+(k∈Z).

评注 有些三角函数的定义域,因其相对隐蔽,解题时往往被忽略考虑,造成错解.

二、 利用函数值的符号“缩角”

例2 已知tanα,tanβ是方程x2+3x+4=0的两个根,且α,β∈-,,则α+β=.

错解 由韦达定理,得tanα+tanβ=-3, tanαtanβ=4.

于是tan(α+β)===.

又因为-<α<,-<β<,则-π<α+β<π.

所以α+β=-或.

剖析 已知虽然没有告诉tanα,tanβ的具体值,利用韦达定理也不必求,但我们可以根据tanα,tanβ的符号来缩小角的范围.

由tanα+tanβ=-3,tanαtanβ=4,知tanα<0,tanβ<0,从而可缩小角的范围到-<α<0,-<β<0,于是-π<α+β<0,所以α+β=-.

评注 根据给定的三角函数值的符号来确定角所在的象限,从而缩小角的范围.

三、 利用具体的函数值“缩角”

例3 已知α,β为锐角,sinα=,cos(α-β)=,求cosβ的值.

错解 因为α,β为锐角,所以-<α-β<,所以cosα==,sin(α-β)=±=±,

所以cosβ=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)=•+•±,故cosβ=或.

剖析 仔细分析已知条件,发现可由sinα=这一具体值缩小角α的范围.

因为sinα=<,且α为锐角,所以0<α<,又0<β<,从而-<α-β<.又因为cos(α-β)=<,所以-<α-β<-,所以sin(α-β)=-,于是cosβ=.

评注 根据三角函数的具体值及其在给定范围内的单调性来进一步缩小角的范围.

四、 利用三角函数的单调性“缩角”

例4 設α,β,γ∈0,,sinα+sinγ=sinβ,cosβ+cosγ=cosα,求β-α的值.

错解 由α,β∈0,,得β-α∈-,.由sinα+sinγ=sinβ,cosβ+cosγ=cosα,得sinγ=sinβ-sinα,cosγ=cosα-cosβ,两式平方相加,得cos(β-α)=,则β-α=或β-α=-.

剖析 由α,β∈0,,得β-α∈-,.又γ∈0,,则sinγ=sinβ-sinα>0,故sinβ>sinα.因为y=sinx在0,内单调递增,所以β>α,从而β-α∈0,,故β-α=.

评注 求一个复角(如α-β)时,要注意利用三角函数的单调性确定其中的单角(如α,β)之间的关系,从而缩小复角的的范围.

五、 选择恰当的函数“缩角”

例5 已知α,β是锐角,且cosα=,sinβ=

,求α+β的值.

错解 由α,β是锐角,且cosα=,求得sinα=,再由sinβ=,求得cosβ=,则

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=,结合α+β∈(0,π),可知α+β=或.

剖析 选择求α+β的正弦值,为什么会出现增解α+β=呢?原因是正弦函数在区间(0,π)上不是单调函数,角与函数值不是一一对应关系,故产生增解.而此时余弦函数是单调的,应选择余弦函数.

由条件可得cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=-,因为α+β∈(0,π),所以α+β=.

评注 求角时,要根据角的范围,尽可能选择在此范围内为单调函数的三角函数,可回避增解,达到“缩角”目的.

六、 利用三角形性质定理“缩角”

例6 在△ABC中,sinA=,cosB=,求cosC的值.

错解 因为sinA=,cosB=,所以B一定是锐角,A可能是锐角也可能是钝角(有两种情况),即cosA=±,sinB=.

所以cosC=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B)=sinAsinB-cosAcosB=•-±•,故cosC=或.

剖析 利用三角形的性质,由sinB=>=sinA,得B>A,而B角为锐角,则A角也一定是锐角,于是cosA=,sinB=,所以cosC=.

评注 解与三角形有关的三角问题时,必须注意三角形中的边角等量关系、边角的不等关系及内角和关系等对角范围的制约,以免产生增解.

1. 已知sinθ+cosθ=,0<θ<π,求tanθ的值.

2. 已知tan(α-β)=,tanα=,tanβ=-,且α,β∈(0,π),求2α-β的值.

3. 若sinα=,cosβ=,且α,β∈0,,求α-β的值.

1. tanθ=-. 提示:注意函数值的符号.

2. 2α-β=-. 提示:利用具体的函数值缩角.

我谈角的变换 第4篇

换一种归纳方式, 在具体题型的运用中主要为两类:一类是“给两值求一值”或是“给两值求一角”, 角的变换规律常为“所求角=已知角±已知角”, 如上述的 (1) 、 (2) 、 (3) 、 (4) 、 (5) 、 (6) 、 (7) 等;另一类是“给一值求一值”或是“给一值求一角”, 角的变换规律常为所求角与已知角互余、互补或与已知角成倍角、半角等, 如上述的 (8) 等.

1. 给两值求一值

说明已知条件为两值, 所求为一值.第一问所求角=已知角±已知角, 第二问所求角为第一问所求角的倍角.

2. 给两值求一角

例2已知且α, β∈ (0, π) , 求2α-β的值.

解析∵,

而在 (-π, 0) 内使正切值为1的角只有一个,

说明已知条件为两值, 所求为一角.所求角=已知角±已知角.

3. 给一值求一值

(1) “暗渡陈仓”型

例3已知, 求sin x的值.

说明所求角=已知角±已知角是“给两值求一值”类型, 但本题“给一值求一值”巧妙转身为“给两值求一值”, 即所求角=已知角±特殊角, 收到意想不到的效果.

(2) 互余、互补型

例4已知, 且, 则等于.

《任意角的三角函数》教学反思 第5篇

肥东县长临河中学赵治龙

任意角三角函数的第一节课，其中心任务应该是让学生建立起计算一个任意角的三角函数与其终边上点的坐标之间的关系，并在此基础上初步建立任意角三角函数概念的意义，《任意角的三角函数》教学反思。如，计算方法、定义域、值域、符号表示、有关结论（与点的位置的选取无关）后，首先提供“坐标系”作为脚手架，并引发学生的认知冲突—“在坐标系下，如何研究一个任意角的三角函数？”并以坐标系为平台，有层次的研究随角的变化，即第一象限下的锐角（认识研究方法的变化，以及符号表示的变化）——0~2π范围内的角（认识该范围内角的三角函数的表示方法，特别是值域的变化）——不同象限下终边相同的角（逐渐形成计算一个任意角的三角函数的操作过程）。

锐角三角函数概念教学时如果是先给一个锐角，再构造三角形，而不是象当前大多数教材中采用的直接放在一个直角三角形下，对学生概念的迁移会更有帮助。

“任意角和弧度制”，应该完成用弧度制表示一个角α及其终边相同的角的集合如何表示，会对本节课“任意角的三角函数”概念的教学更有意义。

如何缩小三角函数中的角的范围 第6篇

一、问题的提出

先看一个例题：

例1.已知sinα+cosα=，α∈ (0, π) ，则tanα的值为().

错解：代cosα=-sinα入sin2α+cos2α=1中, 整理得25sin2α-5sinα-12=0, 即 (5sinα+3) (5sinα-4) =0, 从而sinα=或sinα=- (由已知, 后者舍去) .⇒cosα=±, 所以tanα=±, 应选A.但这却是错的, 是普遍性的错误.

事实上, α还可缩小到.应选C.这就使得问题实质明朗了。

启示:在α∈ (0, π) 上, 当y=时α只有一解, 故tanα也应只有一解。

而本题要得出正确答案，关键在于由已知三角函数值, 进一步缩小角的范围。这是一道常见于试卷之上的好题。

二、如何缩小角的范围

例2.在三角形ABC中，若sinB=, cosA=，则cosC等于().

分析:由C=π- (A+B) , 欲求cosC的值, 只需求-cos (A+B) 的值, 实质上就是求cosB、sinA的值.若由已知分别得, 从而cosC=-cos (A+B) =sinAsinB-cosAcosB=.选C, 那就错了.

错因很难发现, 似乎无懈可击, 但是注意到角的范围, 认真分析是不可能的.否则由可推得0

正解:在三角形ABC中，∵cosA=(舍去后者，因A+B>π);从而.具体地，由分析中舍去cosB=-，从而舍去cosC=.得cosC=，应选A.

启示：y=cosx，在x∈[0, π]上单调递减，应一一对应。这可以起到提醒作用。

例3.已知tan (α-β) =, tanβ=-, 且α, β∈ (0, π) , 则2α-β= () .

错解：∵2α-β=2 (α-β) +β，又

得2α-β=kπ+, 注意到α, β∈ (0, π) , 故-π<2α-β<2π, 从而2α-β等于, 应选B.

这是错的.本题推理在情理之中，似乎又是一道无懈可击的错题，但是对角的范围的挖掘的忽视是出错的根源。从中让我们注意这类问题关键是缩小角的范围。

正解：事实上，由tanβ=-，且β∈(0，π)，知<β<π;由已知可推得tanα=3，且α∈(0, π)，知0<α<;从而0<2α<, -π<-β<-，故-π<2α-β<-，比较选项，应选C.

小结与启示:这一类问题都有一个共同的特点, 那就是给出已知三角函数值一个或几个, 去求复合角的大小.通法是由已知三角函数值, 进一步缩小角的范围, 从而推出复合角的较为准确的范围, 然后由三角公式的运用, 可求得复合角的某个三角函数值, 尽量选择在范围内有单调性的三角函数, 最后得正确答案.这一类问题的错因几乎都是不重视角的范围, 不重视隐含条件.应引起足够重视.