直接计算方法范文（精选9篇）
直接计算方法 第1篇
1 基本公式
取单位长度重力式挡土墙为研究对象(图1),假设墙背竖直光滑,墙后主动土压力为Ea;挡土墙每延米所受重力Gk;截面上部宽度为b0;截面底部宽度为b;其重心至墙趾的距离为x0,基底摩擦系数为μ。根据“规范”规定,挡土墙的设计应满足下列要求:
1.1 抗滑移稳定性验算
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1.2 抗倾覆稳定性验算
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1.3 地基承载力验算
(1)当偏心距较小(ek≤b/6)时(图1a):
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式中,符号意义详见“规范”。
(2)当偏心距较大(ek>b/6)时(图1b):
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式中,k=b/2-ek,为地基反力合力作用点至基础底面最大压力边缘距离,undefined,为基础荷载偏心距,其他符号同前。
2 直接计算公式的推导
针对挡土墙截面特点,在墙身高度h既定的情况下,可用无量纲参数β=(b-b0)/h控制墙面坡度。设挡土墙材料重度为γ,经计算得挡土墙每延米所受重力Gk=(βh+2b0)hγ/2,墙重心至墙趾的距离undefined。基础荷载偏心距undefined。墙面坡度系数β在设计中一般取β=1/20～1/5[3],当场地条件允许时可取较大值,当场地条件不允许时可取较小值。
2.1 按抗滑移稳定性验算确定挡土墙宽度
将Gk代入式(1),整理得:
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2.2 按抗倾覆稳定性验算确定挡土墙宽度
将Gk、x0代入式(2),整理得:
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2.3 按地基承载力验算确定挡土墙宽度
(1)当偏心距较小(ek≤b/6)时,将Gk、x0代入式(3),整理得:
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式中,undefined
将Gk、x0代入式(4),整理得:
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实际工程设计时,按式(8)、(9)、(10)、(11)分别计算挡土墙的上部宽度b0,取大值,该最大值即为所求的挡土墙宽度。
(2)当偏心距较大(ek>b/6)时,将Gk,k代入式(6),整理得挡土墙上部的宽度:
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undefined
将Gk、k代入式(7),可直接得出挡土墙上部的宽度:
undefined
实际工程设计时,按式(8)、(9)、(12)、(13)分别计算挡土墙上部的宽度b0,取大值。
3 设计计算方法
实际工程设计时,首先根据场地情况假定β。当场地宽松时,墙面坡度系数β可取较大值0.2;当场地狭窄时,墙面坡度系数β可取较小值0.05。
(1)当挡土墙基础不允许出现拉应力时,分别按式(8)、(9)、(10)、(11)计算b0,取较大值。
(2)当挡土墙基础允许出现拉应力时,分别按式(8)、(9)、(12)、(13)计算b0,取较大值。
4 算例
以文献[4]中的重力式挡土墙为例,墙背竖直光滑,墙高h=5 m,墙身材料重度γ= 23 kN/m3,经计算后的主动土压力Ea= 49.95 kN/m,作用点高度z=1.67 m,基底摩擦系数μ= 0.6,修正后的地基承载力特征值为fa= 200 kPa,设计该挡土墙。
设墙面坡度系数β=0.2,按式(8)计算b0=0.44 m;按式(9)计算b0=0.629 m。
(1)按基础底面反力不允许出现拉应力计算。
按式(10)计算:C1=2.63;C2=1.427;b0=0.462 m
按式(11)计算:b0=2.367-1.5=0.867 m
取大值b0=0.867 m,取整b0=0.87 m。挡土墙底面宽度b=βh+ b0=1.87 m。
验算基底反力:
x0=1.155 m,ek=0.309 m
Pkmax=167.68 kN/mm2<1.2fa=240 kN/mm2
Pkmin=0.721 kN/mm2>0
p=84.25 kN/mm2
抗滑移稳定性验算:ks=Gkμ/Ea=1.89>1.3;抗倾覆稳定性验算:kl=Gkx0/(Eaz)=2.18>1.6,均满足要求。
(2)按基础底面反力允许出现拉应力情况计算。
按式(12)计算:C3=3.769;C4=2.614;b0=0.598 m
按式(13)计算:b0=0.656 m
取大值b0=0.656 m,取整b0=0.66 m。挡土墙基础底面宽度b=βh+b0=1.66 m。
验算基底反力:
x0=1.04 m,ek=0.415 m≈b/4=0.415 m,属于偏心距较大的情况。
3k=3(b/2-ek)=1.245 m
Gk=(βh+2b0) hγ/2=133.4 kN
Pkmax=214.3 kN/mm2<1.2fa=240 kN/mm2,p=80.36 kN/mm2
抗滑移稳定性验算:ks=Gkμ/Ea=1.6>1.3;抗倾覆稳定性验算:kl=Gkx0/(Eaz)=1.66>1.6,均满足要求。
5 结语
采用本方法计算重力式挡土墙的底面尺寸,可一次求出充分利用地基承载力、经济合理的基底尺寸。既避免了最初假设的底面尺寸过大造成一定的浪费,也避免了反复试算的麻烦。与文献[2]、[3]、[4]相比,本方法计算简单,计算结果经济合理,对工程设计具较高的实用价值。
参考文献
[1]GB50007-2002.建筑地基基础设计规范(第一版)[S].
[2]项清.重力式挡土墙设计方法[J].桩基研究与地基基础,2006(4):123~124.
[3]袁健,黄太华.挡土墙截面设计直接计算方法[J].岩土工程技术,2007,21(2):83~85.
直接计算方法 第2篇
第一条 为加强×××公司非涉密计算机保密管理，确保国家秘密安全，根据《中华人民共和国保守国家秘密法》及相关规定，结合工作实际，制定本规定。
第二条 本规定所称非涉密计算机，是指专门用于采集、存储、处理、传输非国家秘密信息的计算机。
第三条 按照“谁主管谁负责，谁运行谁负责”的原则，×××公司本部及各所属单位在其职责范围内，负责本单位非涉密计算机保密管理。
第四条 建立非涉密计算机管理台帐。要对非涉密计算机进行统一编号、登记，登记内容包括：品牌、型号、使用部门、使用人、启用日期、外联设备、是否联网、是否具有无线联网功能的硬件模块及联网类型等。
第五条 加强联接国际互联网或其它公共网络的计算机保密管理，采取积极有效的保密防范措施，防止违规联接，防范外部攻击。
第六条 非涉密计算机的软件安装情况应当登记备案、定期核查。应当安装防病毒等安全防护软件，及时进行升级，及时更新操作系统补丁程序;第七条 严禁在接入国际互联网的计算机上处理、存储、传输涉密信息。第八条 严禁在非涉密计算机上安装、连接、使用涉密存储介质。第九条 加强非涉密计算机使用人员日常管理，开展经常性保密教育、培训，提高计算机使用人员的保密意识和防范能力。
第十条 具有国际互联网访问权限的计算机在访问国际互联网及其它公共网络时，严禁下载、传播、发布保密信息。
第十一条 加强非涉密计算机管理人员进行上岗前保密教育培训，明确保密的要求与责任。
第十二条 发现非涉密计算机存储、处理涉及国家秘密信息时，应及时采取补救措施，并按有关规定及报告。
第十三条 违反本规定，造成泄密隐患，情节轻微的，相关单位应对违规人员进行批评教育，限期进行整改。对造成严重泄密隐患或可能造成泄密的，应按规定及时向上级单位报告，必要时向政府有关部门报告，并及时采取措施，消除泄密隐患，并对责任人和直接领导进行通报批评。对造成泄密的，按照有关法规给予责任人行政或党纪处分，情节严重构成犯罪的，依法追究刑事责任。
第十四条 本规定适用于×××公司本部及各所属单位。
由电势直接计算电场力的方法及应用 第3篇
1.1 电场力与电标势的关系
一带电体, 电荷密度为ρ, 置于外电场中E′, 则其受到的电场力为:
积分遍及电荷分布区域。设外电场E′在该区域产生的电标势为ϕ′, 则E′=-∇ϕ′, 代入 (1) 式中得:
式中第二项积分区域为V的包面。
(1) 式给出电场力与电标势的直接联系。由此, 我们已知电荷分布及电标势, 便可求出电场力。
(2) 式中ϕ′是外电场在受力电荷处产生的标势, 如果用所有电荷产生的电标势ϕ来代替ϕ′, 结果会怎样呢?下面我们对此进行分析。
设受力电荷自身产生的电标势用ϕ自表示, 则ϕ=ϕ′+ϕ自, 代入 (2) 式中得:
因为
而∫VñE帺dV是所有受力电荷相互作用力之和, 等于零, 所以:
上式说明, 受力电荷自身的电标势不产生纯力, (2) 式中的ϕ′可以用所有电荷产生的电标势ϕ来代替。
值得注意的是, 当电荷均匀分布时, ρ为常量, 由 (5) 式得:
1.2 电场力与电矢势的关系
电荷密度为ρ, 体积为V的带电体, 置于外电场E′中, 如果用A′表示外电场E′在该区域产生的电矢势, 则:, 代入 (1) 式中得:
积分遍及电荷分布区域。由矢量恒等变换关系得:
上式中, 若电荷均匀分布, ρ为常量, 则有:
需要说明的是, 由于电矢势仅定义于产生该矢势电荷的外部区域, 故以上方程中, A′只能是外矢势。
2 应用与讨论
2.1 由电标势求电场力
我们比较 (1) 式与 (6) 式, 大家不难发现, 应用 (6) 式解题具有以下特点: (i) 积分函数为标量, 易于积分; (ii) 电标势ϕ′或ϕ往往比电场强度E′易于求出; (iii) 体积分降为面积分, 使积分简化; (iv) 积分元为矢量, 在某些对称情况下, 有可能使计算简化。下面我们分析个常见题目。
例一个均匀带电圆球体, 所带电量为Q, 球体半径为a, 由两个分立的半球组成, 求上、下两半球间的作用力。
文献[3]中曾专门讨论过此例题, 并用麦克斯韦应力张量方法予以解决, 现在用电势来求, 更为简洁。
求上半球受到下半球的作用力。电荷均匀分布, 由 (6) 式求解。ϕ′是下半球在上半球处产生的电标势, 很难计算, 因而我们用整个球体产生的电标势ϕ来求解。
我们可以方便地求出上半个球体内任一点的电标势为:
到球心的距离。
上半个球体的包面可分为两部分, 即上半部半球面与水平圆平面。故积分也分成两部分。对上半部球面有:
k) 为垂直于上半球水平圆面向上的单位矢量。对水平圆面有:
我们再来比较一下 (1) 式与 (5) 式, 似乎只有电势有时比电场强度易求的优点了。
2.2 由电矢势求电场力
电矢势的提法, 文献[1]中有所介绍。电矢势不为大家所熟知, 也没有任何应用, 因而最常见电荷分布情况下的电矢势表达式我们也要通过计算获得。所以在应用公式 (9) 或 (10) 求电场力时, 须先求出带电体所在处的外矢势A′。电矢势的计算难于电标势, 且对电场强度E′的依赖度大, 故使计算复杂。我们尝试以电矢势计算下题。
例, 平行板电容器, 平行板为圆盘状, 半径为a, 板间距离为d (很小) , 带等量异号电荷, 电荷面密度为, 求极板间的作用力。
设上盘带负电, 下盘带正电, 我们求-ó盘受力。以下盘面中心为原点, 以垂直于盘面向上为z轴建立柱坐标系, 由电荷分布对称性知, r相同处, +ó盘在-ó盘处产生的电矢势A′大小相同。在-ó盘上取半径为r的圆为积分环路, 则:
方程左侧:
方程右侧:
由 (9) 式:, -ó盘面上每一面元受力都沿径向, 合力为零, 只有侧边缘受力无法抵消。设盘厚度为t, 类似电标势情形, 是长度积分元, 方向垂直于侧边缘向外, 则
显然, 此题由 (1) 式计算极为简洁。
由电矢势求电场力为我们提供了一种新的计算电场力的途径。目前用它来解决问题较之其它方法更繁杂, 它的用途还有待于大家进一步研究。
摘要：对直接由电势计算电场力的方法进行分析与讨论。
关键词：电场力,电标势,电矢势
参考文献
[1]Oleg J.Direct calculation of electric and magnetic forces from potentials[J].Am J Phy, 58 (7) .
[2]郭硕鸿.电动力学[M].北京:高等教育出版社, 2007.
[3]黄小琴.麦克斯韦应力张量方法及其应用[J].大学物理, 1995 (10) .
[4]谢树艺.矢量分析与场论[M].北京:高等教育出版社, 2008.
托福阅读直接事实题解题方法 第4篇
直接事实题的正确选项是可以和题干共同完成一个意群表述的内容，错误选项有三种情形：一种是和原文无关的选项，这种选项可能会出现原文题干讨论对象，但是陈述内容是编造出来的，原文中没有依据;一种是和题目无关选项，这种选项在原文中可以找到依据，但是并不能回答题干问题;还有一种是看上去是文章内容，但是出现了一些臆断的比较级、最高级等信息。
2.定位信息
直接事实题的正确选项是可以和题干共同完成一个意群表述的内容，错误选项有三种情形：一种是和原文无关的选项，这种选项可能会出现原文题干讨论对象，但是陈述内容是编造出来的，原文中没有依据;一种是和题目无关选项，这种选项在原文中可以找到依据，但是并不能回答题干问题;还有一种是看上去是文章内容，但是出现了一些臆断的比较级、最高级等信息。
3.了解出题点
直接事实题往往不会针对像是例子一类太过于细节的内容出题。在出题时，和上面所述出题过程对应，一种是对原文中某个原因的表述出题，将结果放在选项中备选;或者是将结果放在题干中，将原因放在选项中待选。还有一些情况，托福阅读直接事实题会对对比事物的优劣势进行考察;还有的题目会问到某个事件的发展过程、某个人物做的某件事情、某个时间段对应的事件等等。
托福阅读备考题目解析：直接事实题
问题形式
这种题型要求考生们识别出文章明确阐述的事实信息。这些事实信息问题主要集中于事实、细节、定义或者作者阐述的其他信息。这种题型一般要求考生辨识文章某一部分提到的具体信息，不会问及整篇文章的主旨。通常情况下，相关信息可能是一句话或两句话。
这种题目的提问方式通常为：
According to the passage, which/ what/ why/how/who/where/when….
The author’s description of X mentions which of the following?
According to the paragraph, X occurred because …
等等。
解题步骤
1. 看题目，找关键词
2. 带着关键词在文章中定位相关信息
3. 看选项，找到和原文对应的改写/同义替换。
注意：
1. 主要考察考生的定位能力
2. 此种题型量大，但难度不大
3. 做题过程中要排除那些错误选项，错误的选项通常为
重复文章中的信息，但并没有回答问题
错误表达文章中的信息或观点
与文章中观点不符
直接计算方法 第5篇
1992年, 美国密歇根 (Michigan) 大学先进土木工程材料研究工作实验室 (Advanced Civil Engneering Materials Research Laboratory, 简称ACE-MRL) 研究了Engineered Cementitious Composite (简称ECC) , 此材料属于超高延性HPFRCC, 由纤维、界面和基体的协同作用达到超高延性, 主要适用于高变形要求的结构工程, 如抗震、修复等。这种复合材料在张拉过程中表现出假应变硬化现象, 并伴随有多条裂缝的出现, 这些都是与传统的FRC不同[1~2]。ECC通常以水泥或者以水泥加填料, 或在上面的基础上再掺加小粒径细骨料作为基体, 用纤维做增强材料。ECC具有超高韧性, 高抗拉应变能力, 高的抗破裂能力, 其拉应变值大于3%, 且饱和状态的多点开裂裂缝间距小于100μm[3]。ECC所具有的应变-硬化特性是实现稳态开裂的结果, 也正是其独特韧性的来源。微观结构的优化处理使ECC的纤维体积含量低于2%~3%, 低纤维掺量使得经济合理, 且使用性好。
混凝土拉伸试验方法一般有3种:劈拉试验, 轴拉试验和弯拉试验 (抗折试验) 。
劈拉试验操作简便、数据稳定, 是工程技术人员最易接受的一种方法, 但加载条件复杂, 破坏断面上材料处于复杂的应力状态 (包括拉、压、剪等作用) , 不利对其进行力学行为的分析。
弯拉试验操作简单方便, 但只适用于以抗折强度为依据的混凝土结构。
因此, 要验证ECC的应变硬化特性, 采用轴拉方法最为适宜, 在整个加载过程中, 试件断面应力应变分布相对均匀, 所测得应力、应变值对应关系明确, 能够直接、准确地测量材料的本构行为, 便于对ECC机理进行分析。但其对试验设备要求较高, 操作复杂到目前为止尚无普遍认同的试验方法和统一的标准可循[2,4]。
断裂能是基于断裂力学概念发展而来的一种反映混凝土抗裂能力和抗冲击能力的力学性能指标。断裂能的高低可直接反映材料的抗裂能力和抗冲击能力, 为了充分显示此种材料的超高韧性, 需要测定其断裂能, 测定断裂能GF的直接方法是用单轴拉伸试验。对于混凝土这类半脆性材料完成稳定拉伸试验存在相当大的困难, 仅有少数有伺服机设备的部门才能完成这一试验, 一般采用三点弯曲梁或者紧凑拉伸试验以及由此改进的楔入劈拉法测量材料的断裂能。但对于具有超高韧性的ECC, 由于纤维的掺入使得获得拉伸应力-应变曲线较混凝土要容易得多, 本文的目的就是在直接拉伸试验的基础上计算得到应变硬化材料ECC的断裂能, 以揭示此种材料的超高韧性。
2 直接拉伸试件形式及试验方法
关于直接拉伸试验加载方法, 可以直接在试验机上张拉, 更多的研究者采用多种附加加载装置来帮助张拉。为了得到稳定的拉伸应力-应变全曲线, 采用闭环控制和提高加载装置的刚度是行之有效的方法。
直接拉伸试件的形状可分为条状试件和棱柱体试件, 既可以是不变截面的, 也可以是变截面的。可以是无缺口试件, 也可以是带缺口试件。圆柱体试件很少用。
对于ECC材料, 国外学者大多参考ACE-MRL提供的方法, 采用条状矩形试件[4], 试件尺寸为304.8mm×76.2mm×12.7mm。
日本学者分析比较了四种不同尺寸、不同浇注方法的直接拉伸试验[5], 其中有330mm×30mm×13mm薄板、400mm×100mm×60mm dog-bone型棱柱体、覫70mm×200mm dog-bone型圆柱体和覫100mm×200mm圆柱体, 其中薄板得到的效果最好, 其次是dog-bone型棱柱体, dog-bone型圆柱体效果最差。Tetsushi Kanda等人也利用相同尺寸的薄板和dog-bone型棱柱体进行了直接拉伸试验[6]。
目前有三种可供参考的加载方法, 分为粘贴式、内埋式和外夹式三种基本类型[7], 由于ECC试件厚度普遍较小, 内埋式不容易实现, 故采用外夹式和粘贴式两种方法较多, 前者利用试件跟夹具之间的摩擦传力, 后者利用环氧与试件之间的粘结进行传力。
利用摩擦力夹持长条形抗拉试件操作简单, 试验进度较快, 但在尾部夹持处容易产生应力集中而引起断裂。为降低试件在夹持部位发生断裂的概率, 可对端部进行加固。日本学者Tetsushi Kanda采用变截面试件, 比如增加夹持部位截面尺寸, 或者采用带缺口试件, 但试件在变截面处或切口处仍然存在应力集中, 很难保证断裂发生在均匀应力段。
综合以上几种直接拉伸试件的形式和加载方法, 经分析比较, 并进行了大量试验发现, 在矩形长条试件的两端粘贴铝片, 并在闭环试验机上采用位移控制的方法进行超高韧性纤维增强水泥基复合材料ECC的直接拉伸试验, 得到的应变硬化效果较好, 多条裂缝较为均匀, 且数量较多, 得到的极限拉应变较大。因此, 本文采用外夹式矩形薄板进行直接拉伸试验, 试件尺寸为305mm×76mm×13mm。
3 试验过程
3.1 试验原材料及配合比
水泥:52.5R普通硅酸盐水泥。
细骨料:优质硅砂, 粒径45~75目, 容重2.6 g/cm3。
粉煤灰:Ⅰ级灰。
外加剂:Sika-Ⅱ高效减水剂;PRS-6E有机硅类消泡剂;60HD4000增稠剂。
PVA纤维:日本产K-Ⅱ可乐纶, 长12mm, 模量29.12GPa, 伸长率7%, 抗拉强度1092MPa, 密度1.3g cm3。
直接拉伸试件尺寸为305mm×76mm×13mm, 单轴抗压试验试件为覫76mm×152mm的圆柱体, 浇注6个试件, 保证3个成功。采用绝对体积法配制, 灰砂比为2。配合比见表1。
kg/m3
采用UJZ-15砂浆搅拌机, 直接拉伸试件采用有机玻璃模具, 试件水平放置浇筑, 以确保两个承载面水平且平行。承载面的平坦度和偏斜度允许最大偏差为0.05mm。浇筑面即试件上表面应在混凝土初凝前约1~2h内平抹。平抹后用塑料薄膜和湿布把试件盖住。试件浇筑1d后脱模, 放进水箱内养护28d。
3.2 试验方法及试件形式
试件两端用建筑结构胶粘有0.6mm厚的铝片。试验在1000kN微机控制液压伺服试验机上进行, 采用位移控制, 加载速度为0.15mm/min。用两个DA-10型的LVDT来测量拉伸长度, 测量标距为205mm。图1为拉伸试验装置图。
3.3 直接拉伸曲线 (应力-应变全曲线)
图2为试验得到的单轴直接拉伸应力-应变全曲线。由于本研究配制的复合材料极限拉应变达到0.7%, 没有达到3%, 因此没有称为ECC, 而称为PVA-FRCCs。
PVA纤维增强水泥基复合材料的单轴拉伸应力-应变曲线和钢材有相似之处, 都出现硬化段, 都是有的有明显的屈服点, 有的没有明显的屈服点, 表现在PVA-FRCCs中, 就是第一条裂缝出现的点。
表2为直接拉伸试验结果, 由表2知, PVA-FRCCs的极限抗拉强度为几个MPa, 而钢材的极限拉应力为几百个MPa, 钢材峰值荷载对应的拉应变为0.1%~0.25%, 而PVA-FRCCs峰值荷载对应的拉应变大于0.7%或者更高, 弹性模量也远远低于钢材, 可见, 虽然PVA-FRCCs的抗拉强度、弹性模量不及钢材, 但其拉伸应变及拉伸韧性明显好于钢材。
4 断裂能计算
图3是出现单缝的半脆性材料拉伸应力-应变曲线以及拉伸应力-裂缝宽度曲线的比较, 整个试件的断裂能即为应力-裂缝宽度W曲线包围的面积。
图4为出现应变硬化现象的材料的拉伸应力-应变曲线。由图4可见, 此种材料由于塑性变形做功, 再加上峰值后纤维的桥接作用, 使得应力-应变曲线包围的面积要大于半脆性材料和脆性材料。
图6实例计算了作者配制的高性能纤维增强水泥基复合材料ECC的断裂能。图6全曲线包围的面积为16.157 N·m, 荷载为零处对应的位移为4.299mm。图6 (c) 曲线包围的面积借鉴图5 (c) , 定义为体积能, 计算得到为5.101N·m, 斜线对应荷载为零处的位移即为塑性变形, 为1.315mm。则直接拉伸测得的断裂能为11190N/m, 是普通混凝土总的断裂能的50倍左右。
5 结论
(1) 超高韧性纤维增强水泥基复合材料的应变硬化效果受直接拉伸采用的试件形式、机器设备和加载夹具影响较大, 经过分析比较, 直接利用液压伺服试验机等速位移控制, 并采用外夹式矩形薄板试件得到的结果较好。
(2) 通过分析比较混凝土、钢纤维混凝土和PVA纤维增强水泥基复合材料的拉伸应力-应变曲线和应力-裂缝宽度曲线, 仿照半脆性材料的拉伸过程中能量耗散模型, 计算得到应变硬化材料-PVA纤维增强水泥基复合材料的体积能, 并进而计算得到此种材料的断裂能。通过计算得到此种应变硬化超高韧性纤维增强水泥基复合材料的断裂能为11190N/m, 是应变软化材料混凝土断裂能的50倍甚至还要高, 充分揭示了此种复合材料的超高韧性。
摘要：分析比较了各国学者针对PVA纤维增强水泥基复合材料进行单轴直接拉伸采用的试件形式和试验方法, 发现用矩形长条试件、两端粘贴铝片, 并采用闭环试验机、位移控制方法得到的拉伸效果最好, 这揭示了应变硬化效果与选择的拉伸方法关系较大。对比了混凝土、钢纤维混凝土和PVA纤维增强水泥基复合材料的拉伸应力-应变曲线, 以及由其拉伸应力-应变曲线计算得到的对应应变软化材料和应变硬化材料的应力-裂缝宽度曲线, 根据得到的应变硬化材料的应力-裂缝宽度曲线计算出了PVA纤维增强水泥基复合材料的断裂能是普通混凝土的50倍。
关键词：单轴直接拉伸,应变软化,应变硬化,应力-裂缝宽度曲线,断裂能
参考文献
[1]Victor C Li, Shuxin Wang, Cynthia Wu.Tensile strain-hardening behavior of polyvinyl alcohol engineered cementitious composite (PVA-ECC) [J].ACI Materials Journal, 2001, 98 (6) :483-492.
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等效加劲截面及直接强度法计算 第6篇
试验截面[5]在实践中应用较少,没有实际工程意义。为了能使试验截面更好地应用于实践,特对试验截面进行等效。由图1a)的试验截面按照截面惯性矩相等,截面宽度不变的原则,把它等效成如图1b)所示的等效加劲截面。设水平方向为x轴,竖直方向为y轴,为了使等效加劲截面的惯性矩区别于试验截面的惯性矩,设试验截面的惯性矩为I′x,I′y,等效截面的惯性矩为Ix,Iy。对于厚度相等的方形截面来说Ix=Iy,从图1a)不难看出试验截面Ix<I′y。
在进行截面等效时,依据为I′x=Iy。由于加劲肋中90°的截面形式比较常用,且较易制作,故取加劲弯角为90°的截面进行等效。
1.1 惯性矩的计算
等效截面惯性矩的计算用截面的轴线进行计算,截面的尺寸见图2,组成加劲肋的一个板件关于坐标轴的惯性矩计为:I1x,I1y;带加劲肋板件的一个次板关于坐标轴的惯性矩计为:I2x,I2y,一个非加劲板件关于坐标轴的惯性矩计为:I3x,I3y。组成加劲肋的斜板在y轴上的投影为x。
加劲肋斜板惯性矩的计算见文献[6],其余板件惯性矩的计算为常见板件的计算。经过精确计算,截面的惯性矩为:
Ix=4I1x+4I2x+2I3x (4)
将式(1)～式(3)代入式(4)并整理得:
Iy=4I1y+4I2y+2I3y (9)
将式(6)～式(8)代入式(9)并整理得:
1.2 等效截面加劲高度的计算
进行截面等效时,在保持截面板宽不变的情况下,依据为I′x=Iy。根据截面特性及结构知识可知等效时:Ix≥Iy。
为了满足Ix≥Iy,必须保证:
Ix-Iy≥0 (11)
将式(5),式(9)代入式(11)整理得:
因为xt>0,所以式(12)可化为:
对于试验截面的厚度t=0.6 mm,可认为t2/3为很小的量。根据实际并经分析得出x的取值范围为:
0.158b1≤x≤b1 (14)
由组成加劲肋的两板夹角为90°可知:加劲高度d=x,由式(14)可得等效加劲截面的最小x尺寸,见表1。
将三个标准试验截面的惯性矩分别代入I′x=Iy和式(10),经整理得到:
当b=25 mm时:
1.131 37x3-41.4x2+147.887x-4.622 4=0 (15)
当b=35 mm时:
1.131 37x3-58.378 18x2+294.016 6x-5.702 4=0 (16)
当b=45 mm时:
1.131 37x3-75.348 58x2+489.850 4x-6.782 4=0 (17)
用MATLAB计算程序计算方程式(15)～式(17)可得加劲肋高度d,见表2。
2 等效加劲截面构件的直接强度法计算
为了更好地比较等效截面的承载力情况,对等效加劲截面按照直接强度法进行计算,首先用CUFSM有线条程序计算等效截面的局部屈曲临界应力,计算结果见表3。
有了等效截面的局部屈曲临界应力fol,按照直接强度法的步骤进行承载力的计算,等效截面和试验截面承载力的比较见图3。虽然等效截面比试验截面面积小,但承载力除构件L=400 mm,构件差值最大为17%外,其余构件的差值都在5%以内,这说明采取等效截面是可靠的。
3 结语
依据板宽不变,截面惯性矩相等的原则,进行截面等效,并给出了等效的一般规律为:加劲高度d=0.16b。对于等效形式,通过直接强度法计算,并与试验截面构件算出的承载力进行了比较,发现等效结果比较理想。在分析比较的基础上,找出了实用而经济的等效截面形式:90°加劲的等效截面形式。
摘要：对试验截面按照惯性矩相等、截面宽度不变的原则进行了等效,以便更好的应用于实践,用直接强度法对等效加劲截面构件承载力进行了计算,通过与试验构件比较,得到等效结果比较理想的结论。
关键词：试验截面,等效加劲截面,惯性矩,直接强度法
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直接计算方法 第7篇
对圆弧底梯形明渠恒定渐变流水面线的计算问题到目前已经有多种方法,工程设计中通常采用文献[1]、《溢洪道设计规范》[2]中的分段求和试算法,该法计算较复杂,需借助计算机进行迭代试算求解,张建民[3]提出了新的收敛迭代法,国内外学者还提出了龙格-库塔、牛顿迭代法等多种方法求解[4,5],但以上方法均是基于差分、迭代等思路分别计算各段水深,这可能导致误差逐步积 累,导致越到 末端,水深误差 就越大;文献 [6]则通过对恒定流基本方程进行无量纲化处理,基于高精度数值拟合理论得到水面线解析解,但当水深接近临界水深时, 弗劳德数趋近于1,此时积分方程的分子趋近于0,导致在很小的水深变量下相应流程变量则很大。基于此,本文基于恒定渐变流基本微分方程,通过无量纲化数值分析,对无量纲 流程S取对数函数,使得一定 程度上减 小了该正 常水深附 近的敏感 性,并作为新的待求函数得到新的方程,采用黄朝煊在文献[5] 中的提出的R-K外推法(Runge-Kutta法结合外推法),给出了快速收敛的高精度显式解,便于工程师手算。
1 圆弧底梯形明渠恒定渐变流基本微分方程
1.1 恒定渐变流基本微分方程
文献[1]中给出了棱柱体明渠恒定渐变流基本微分方程:
其中参数:(其中R为水力半径)。
(1)当水深较浅即h<r[1-cos(β/2)]时,属于圆形断面, 其水力要素为:
(2)当水深h>r[1-cos(β/2)]时,属于复合断面,其水力要素为:
式中:h为断面水深,m;r为圆弧底半径,m;β为水面处圆弧中心角,rad;B为水面宽,m;A为过水断面面积,m2;R为过水断面水力半径,m;J为断面水力坡降;n为渠道底坡糙率;Q为渠道流量,m3/s;v为断面流速,m/s;Fr为断面弗氏数;m为渠道两侧坡比。
设参数:得无量纲方程:
其中无量纲函数:为无量纲水力要素。
(1)当水深较小时<[1-cos(β/2)]时,无量纲水力要素为:
(2)当水深较大时>[1-cos(β/2)],无量纲水力要素为:
1.2 无纲量积分函数的数值拟合分析
当坡比m取不同值时,无纲量积分函数f()、g()是相对水深=h/r之间的函数,分析函数f()、g()的变化关系,见图2。
CurveExpert软件拟合以上 无纲量函 数f()、g(),其拟合误差小于0.2%,相关系数大于0.99,对于农田水利中常用的U型渠m=0.5,本文对m=0.5时的高精 度拟合成 果分别如下:
当相对水深0.10<(h/r)<0.552即处于底部圆弧区时:
当相对水深0.552<(h/r)<2.3时:
1.3 恒定渐变流水面线变化趋势的判断
文献[1]中通过断面的起始水深与正常水深h0、临界水深hk之间的关系,对恒定渐变流水面线的变换趋势进行定性分析,根据明槽水深的大小范围分为3种情况:
(1)第1区,h>hk且h>h0,水面水面线位于 正常水深 和临界水深之上,i-J>0,1-Fr2>0,dh/ds>0,该区水面线为壅水线。
(2)第2区,hk<h<h0或h0<h<hk,水面水面线位于正常水深和临界水深之间,i-J<0,1-Fr2>0或i-J>0,1-Fr2<0,dh/ds<0,该区水面线为降水线。
(3)第3区,h<hk且h<h0,水面水面线位于正常水深和临界水深之下,i-J<0,1-Fr2<0,dh/ds>0,该区水面线为壅水线。
对于圆弧底渠道的正常水深h0(即dh/ds=0)计算,仅王正中[7]对其作了初步分析,但计算复杂,本文以相对水深作为求变量,设无量纲 量:通过CurveExpert软件拟合得,典型断面m=0.5时且=h/r>0.552时的相对正常水深的计算式:
由上式可知,渠道正常水深不仅与渠道断面尺寸、流量有关,还与渠道与纵坡、糙率有关。
对于圆弧底渠道的临界水深hk(Fr=1,即dh/ds=+∞)的计算,作者暂未见这方面的研究,本文给出圆弧底渠道的临界水深计算公式,设无量纲量:M其中r为圆弧底渠道直径,m;K=hk/r为相对临界水深,m;Q为渠道流量,m3/s,典型断面m=0.5时且h珔=h/r>0.552时的相对 临界水深 的计算式:
可见临界水深只与渠道断面尺寸有关,与纵坡、糙率无关。 根据起始水深与临界水深、起始水深之间关系可定性判断水面线的变换趋势,更有利于水面线的计算。
当水位(h/r)<[1-cos(β/2)]时,即处于圆弧底部时,其正常水深、临界水深计算统一采用圆形渠道水深计算公式,本文同样高精度拟合得:
1.4 恒定渐变流水面线解析解
当水深接近临界水深时,弗劳德数趋近于1,此时积分方程的分子趋近于0,流线弯曲很大。为了降低在正常水深附近范围内流程与水深对应关系较敏感的问题(即水深增加(或减小) 很小相应流程则变化很大),本文提出对无量纲流程S珚=S/r取对数作为新无量纲流程函数的思想,该法能解决在正常水深附近水深-流程关系函数较敏感的问题,提高计算精度。将方程无量纲化,并设无量纲流程Sh=ln(S珚),其中当h为起始水深时满足Sh=ln(S珚0)=μ,其中μ为积分参数(流程计算的相对基准点),对最后流程差值计算无影响。
代入方程:
无量纲方程(12)导数小,其数值计算收敛速度快,对步长控制可适当放宽,本文假设 在正常水 深h0上下波动2% ×h0的计算水深值,可选取计算步长稍大于2%×h0/r,考虑到计算精度及计算量,作者通过大量计算认为在接近正常水深时,可以取计算步长为(2%~5%)×h0/r。
可采用经典的四阶Runge-Kutta法求解:
其中:
其中无量纲水深计算步长 Δh选取原则为:在正常水深(h0±0.1)范围外计算无量纲水深-流程函数时,步长 Δh=0.1~ 0.2;在正常水深(h0±0.1)范围内计算无量纲水深-流程函数时,步长 Δh=0.02~0.1。
为了获得更高精度的计算值,可结合外推法,即设采用步长 Δh算得某h=hi时的相对流程为Si(1),同样采用时间步长 Δh/2算得h=hi时的断面水深为Si,则依外推 法[6]可以得出 精度更高的h=hi时的相对流程为Si*:
式中:p为截断误差阶数,本文p取4。
本文提出的恒定渐变流水面线直接显式求解公式(14),比分段试算法更直观,也能避免 水面线敏 感区水位 流程计算 误差,通过外推法精度能比规范推荐试算法精度更高。
2 计算应用实例
为了验证本文理论,取算例分析,对本文基于数值分析理论成果与文献[1]中分段求和法程序水面线成果进行比较。
算例:某输水渠道 断面为圆 弧底型渠 道,两岸坡比m= 0.5,底圆半径r=1m,底坡为i=0.017 5,糙率n=0.015,流量Q=8.809m3/s,起始段计算水深1.80m,计算其沿程水面线, 渠道长1km。
利用公式 (9)计算其正 常水深:参数M0=0.997 5,h0= 1.35m。利用公式(10)计算临界水深:参数Mk=7.919,hk= 1.95m。属于第2区,可直接采用本文公式(12)计算其降水水面线,相关参数由公式(13)计算,其中取无量纲流程S的对数函数Ln(S)起始值Ln(S)起始=5,相对水深 步长分别 取0.1、 0.2,通过计算得水面线成果图。
本文计算成果与文献成果误差小于2%,误差满足工程精度要求,并且本文提出的推求水面线法无需繁杂的试算 和迭代,也能减小了水面线敏感区水位流程计算误差,通过外推法精度能比规范[2]推荐试算法精度更高。
3 结 语
本文对圆弧底梯形明渠的恒定非均匀流沿程水面线计算进行了深入研究,基于恒定渐变流基本微分方程,通过采用数值分析理论及无量纲化分析,对无量纲流程S取对数函数,并作为新的待求函数 而得到新 的无量纲 方程,该方程在 正常水深、临界水深附近性态良 好,可采用Runge-Kutta法和外推 法结合而给出显式解求解式,通过算例分析,在正常水深上下波动10%以外的水深区间内取无量纲相对水深(h/r)步长为0.1时便能满足计算精度(误差 <2%),对于正常水深附近敏感区内即上下波动10%以内的水深区间内取无量纲相对水深(h/r) = (2%~5%)×h0/r时便能满足计算精度(误差<1.3%),且一般只需通过显式解公式求解3~5个的中间水深便能求出水面过程线。
本文方法比规范[2]推荐的分段求和试算法更简单、便捷, 特别对水深较敏感段,规范[2]推荐试算法误差较大,而本文方法则一定程度上减小了该正常水深附近的敏感性。最后通过工程实例计算比较得,本文新解析法成果与规范[2]推荐法(程序)成果基本一致,完全满足工程实践要求。
参考文献
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直接计算方法 第8篇
采用CTP (compute to plate) 直接制版[1]技术可以减少“印前拼版、晒版、拷贝等比较复杂工序”, 不但提高了印刷的效率和速度, 而且实现了数字页面向印版的直接转换, 整个印前过程实现数字化, 并逐渐渗透至各种印刷行业[2]。据“报协印刷工作委员会于2011年度对中国报业印刷总印量统计中, 共有139家报业提供了有效数据, 在这139家报业印刷厂中, 配有CTP设备的已达116家, CTP总制版量约为918万张[3]”。从这些数据中已看出CTP设备在国内已遍地开花。报业印刷最大特点就是出版速度快, 讲究时效性。因此提高CTP设备的出版速度已是箭在弦上, 哪家公司开发的CTP设备速度快、质量高, 已成为了当前CTP设备销售的竞争条件。
CTP制版质量的控制一直是各厂家关注的问题, 其中成像辊筒就是控制CTP制版质量的核心机构之一。辊筒在旋转过程中任一质点均会产生离心力, 继而形成惯性力系;又因为需要基于实际制版需求, 辊筒的质量分布不均匀而致使辊筒各质点在旋转过程中产生的惯性力无法相互抵消;从而导致辊筒表面的应力分布不均匀, 表面将产生一定的变形, 表面的微小变形都会影响成像质量。再加上轴承的高速旋转也会带来微小振动, 而这些轻微振动将造成成像质量的下滑。因为辊筒表面及版材发生变形, 成像光点位置超过焦深范围, 不能准确聚焦到版材表面的感光层上, 产生模糊光点。除了成像质量问题以外, 对辊筒进行动力学[4]分析可以找出辊筒的固有频率, 计算出辊筒的N阶临界转速, 从设计角度保证成像质量, 杜绝失稳现象, 避免共振产生, 同时降低高转速产生的噪声。因此对辊筒的振动分析尤其重要。提高出版速度, 就不得不加大激光头功率和辊筒的转速。从公司利益的角度来看, 针对辊筒高转速动力学分析是非常有必要的。
1 有限元法动力学理论和临界转速的确定
利用有限元法进行辊筒动力学分析, 需先分析单元特性, 其目的是分析单元节点力、位移、速度和加速度之间的联系。然后通过局部坐标系变换为整体坐标系, 对结构进行整体分析, 建立整个结构点平衡方程组。
设单元的位移函数为de=Nδe, 其中de表示单位位移函数向量, N表示形函数矩阵, δe表示单元节点位移向量, 其中de和δe都是关于时间的函数。将式de=Nδe对时间一阶求导, 可以得出单位内任意点的速度 (de) ′=N (δe) ′。将式de=Nδe对时间二阶求导, 可以得出单位内任意点的加速度为 (de) ″=N (δe) ″。根据达朗贝原理, “对于任意物理系统, 所有惯性力或施加的外力, 经过符合约束条件的虚位移, 所作的虚功的总合等于零”[5]。因此可以得出在辊筒旋转时, 将其惯性力Fme施加在单元上, 则单元处于动平衡状态, 因此可以将其转化为静态问题。单元内任一点作用的单位体积的惯性力可以表示成
式中, ρ表示单元质量密度, 负号表示该点惯性力的方向与加速度方向相反。
作用在单元上的力除了惯性力外还包括在节点施于单元的力Fde、作用于单元上的随时间t变化外载荷Fpe和阻尼力Fce。在工程上, 阻尼的力学模型一般是一个与振动速度大小成正比, 与振动速度方向相反的力, 则可得
其中, c是阻尼系数, 单位速度下单位体积上的阻尼力, 负号表示该点的阻尼力与速度方向相反。
由于单元在受力情况下发生了虚位移△de=N△δe, 其中△de表示单元虚位移, △δe表示结点虚位移。根据虚功原理可以得出
将式 (1) 、式 (2) 代入式 (3) 得外力虚功:
内力虚功为, 因为外力虚功等于内力虚功, 可求得:
公式两端左乘 (N△δe) -1和右乘 (N△δe) -1, 同时因为在节点处的形函数矩阵为单位阵, 且N△δe是正交矩阵 (正交坐标系) , 因此可以得出:
等式两边同时去掉△ (δe) T, 且由于δe、 (δe) ′、 (δe) ″和坐标无关。因此式 (6) 可写为
根据式 (7) 可知节点上的作用力共分为两类, 一是作用于节点上的外载荷, 另一个是相关单元对该节点的作用力, 节点在这些力的作用下处于动平衡状态。可以将式写成通用动力学方程式F=Kδ+Cδ′+Mδ″, 式中:F为结构的整体载荷向量, 是关于时间的函数;K为结构的整体刚度矩阵;C为结构的整体阻尼矩阵;M为结构的整体质量矩阵;δ为结构的节点位移向量矩阵;δ′为结构的节点速度向量矩阵;δ″为节点加速度向量矩阵;
单元质量阵、刚度阵、阻尼阵建立后, 并根据坐标变换后组成总质量阵、总刚度阵和总阻尼阵。然后对边界条件进行支承条件处理。划分单元时, 最好使支承点与节点重合, 以得到较为精确解。支承若为刚性支承, 则该节点的线位移和角位移均为0, 若为弹性支承, 并已知弹性支承的刚度系数为Kc, 则应在总刚度矩阵[K]中, 相对应于此支承处的对角元素上加上Kc即可。有时还需要考虑到轴承刚度Kb、轴承支座Ks以及基础刚度 (除了以上刚度外的所有刚度, 比如机架底座等) Kg, 则此组合系统刚度Kc为
辊筒的临界转速即为辊筒的横向振动固有频率, 根据转子的通用动力方程式F=Kδ+Cδ′+Mδ″及标准模态解[6,7]的形式x=Xeiωt, 其中当F、C均为0时, 对应固有频率ω和相应的模态向量X, 可得出
固有频率即为M-1K的特征值的平方根。若考虑阻尼, 则C不为0, 但F需为0, 就可以得出考虑刚度和阻尼情况下, 辊筒真实的固有频率和临界转速。
2 辊筒动态特性分析
辊筒在旋转过程中形成固定振源, 不同的角速度将对应不同的频率和振型。当振源频率接近辊筒旋转的固有频率时, 将产生共振现场。共振时激光头无法在版材上进行有效的聚焦, 版材上将出现白线、抖动、画面失真、鬼影等现象, 对印版质量产生严重影响。因此研究辊筒的固有特性和振型将有利于在设计中避免共振问题的发生。
由于轴承座、滚动轴承及滚动轴承中的油膜都是弹性体, 刚度不可能无穷大, 支承刚度的不同将导致辊筒的变形量、临界转速和振型都会发生变化。且支承刚度越小, 临界转速就越低。同时辊筒在转动过程中, 轴承内部的摩擦阻尼和油膜阻尼也会对辊筒产生一定的影响。因此辊筒的模态分析需要考虑轴承的刚度和阻尼, 分析其结构振动, 求出结构固有频率和振型。分析辊筒结构特征首先需要建立有限元分析模型, 通过有限数目单元, 建立数学方程分别计算各个单元的受力和变形状况, 最后汇总成整个有限元模型的应力和位移分布云图, 并可通过模态提取方法—分块兰索斯法Block Lanczos求出辊筒的N阶极限转速和相对应的振型。
由于辊筒的结构比较复杂, 在Ansys中建模比在专业的三维制图软件如Pro/E、Solid Works、UG和Ideas较为困难。因此采用专业的三维软件可以弥补Ansys在建模方面的不足。本文采用在Solid Works中建模, 如图1所示。然后将模型保存成Parasolid的X_T格式, 完整地导入到Ansys中, 最后完成所需的有限元分析。组件在导入前需在Solid Works中检测是否有装配干涉, 否则在Ansys中容易造成无法对装配干涉件进行网格划分。Ansys Workbench会自动扫描, 建立接触, 然后只需设置接触对就可以了。
模型在从Solid Works转换到Ansys Workbench中为了保证尺寸一致, 需要设定单位。定义mm为长度单位, kg为质量单位, N为力单位, s为时间单位。辊筒长度为1 708 mm、直径为459.2 mm, 轴承采用的是NSK生产的深沟球轴承, 型号为6208, 其宽度为18 mm、内径为40 mm、外径为80 mm。辊筒缸体和左右端盖均采用铝合金6061-T6材料, 其弹性模量为软件默认的7.1×104MPa, 密度也是默认的2.77×103kg/m3, 泊松比为0.33。轴承材料为高碳铬轴承钢, 弹性模量采用2.0×105MPa, 密度采用7.85×103kg/m3, 泊松比采用0.3。然后通过Ansys Workbench对左右端盖、辊筒缸体及轴承进行材料分配。材料分配完毕后, 需要对端盖和缸体设置连接方式。由于端盖和缸体之间没有滑动, 因此采用bond的模式。为了简化阻尼模型, 因此将摩擦阻尼和油膜阻尼认为是只具备摩擦系数的阻尼模型。外圈和滚珠之间、滚珠和内圈之间及保持架和滚珠之间均采用摩擦连接模式, 摩擦系数为0.002, 如图2所示。随后需对辊筒进行网格划分。由于缸体特征较多且较复杂, 采用混合网格进行划分可在几何模型上, 根据各部位的特点, 分别采用自由、映射、扫略等多种网格划分方式, 形成综合效果尽量好的有限元模型。网格节点数量达180 005个, 单元数量达98 596个, 如图3所示。最后设置边界条件, 由于辊筒旋转是轴承外圈转动, 内圈固定不动。因此将内圈的位移设为零, 保持架和外圈设为径向 (Y方向和Z方向) 自由, 轴向 (X方向) 位移为零, 旋转自由度Y方向和Z方向均为零, X方向自由, 如图4所示。完成所有设置后, 进行模态分析。
3 模态分析及运行结果
Ansys Workbench根据有限元法动力学理论建立数学模型, 经计算得到辊筒组件的固有频率及位移变化, 通过缩放比例查看变形的位置。图5和表1显示的是辊筒前6阶模态振型和固有频率。由于没有限制绕X轴的转动, 因此第一阶振型是刚体运动的振型, 其特点是辊筒表面的变形量一致, 第二阶的振型转化为挠性体运动的振型。
4辊筒静态分析
从辊筒的固有频率可以看出第二阶模态固有频率为245.84Hz, 则其转速为245.84×60=14 750.4 r/min, 已经超出了轴承6208的极限转速8500r/min。同时考虑到激光在版材上连续曝光的速度, 及辊筒在旋转时的振动值不能超过20μm, 需对辊筒进行静态分析。分析结果中辊筒位移分布云图如图6所示, 应力分布云图如图7所示。从分析的结果可知辊筒振动在不超过20μm时的最大转速为891.02 r/min。其对应的最大应力值为2.367 9 MPa远小于辊筒材料铝合金6061-T6的屈服强度55.2 MPa。目前此辊筒已用在柯达CTP设备中, 考虑到零部件的加工制造误差, 将实际的工作转速设定为500 r/min。
5 结论
通过对成像辊筒模态分析, 利用Solid Works建立有限元模型, 并导入至Ansys Workbench中进行模态分析, 得到辊筒前六阶临界转速和振型。其中第一阶振型为刚性模态, 第二阶振型转化为挠性模态, 虽然轴承所能承受的最大转速低于二阶临界转速, 但远高于在满足成像质量前提下的891.02 r/min转速, 辊筒不会产生共振现象。在对成像辊筒进行静态分析, 可得到辊筒承受的最大应力低于材料的屈服强度, 满足制版设备的功能要求。
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直接计算方法 第9篇
1.1 三次样条函数模型及其推导
现金流贴现函数的应用主要是对金融产品进行定价, 也就是将金融产品未来现金流进行贴现, 求出金融产品的当前价格。令B (t, S) 代表贴现函数, 其中t代表当前时间, S代表未来现金流距离当前的时间长度。金融产品定价依据下式:
Pt=∑FSB (t, S) 其中FS是距现在S时刻的现金流大小。
三次样条函数在涉及区间的划分问题, 一般原则是在尽可能考虑短、中、长三个期限的基础上, 兼顾现有的国债的品种和到期期限等因素。本次实证过程中选择上交所和深交所共17支国债, 剩余期限大部分较短, 在区间划分上, 为使三个区间国债数差别不至于太大, 笔者适当缩小了区间段。最终确定的三次样条函数形式为:
B0 (S) =d0+c*0S+b*0S2+c*0S3, S∈[0, 3];
B3 (S) =d1+c*1S+b*1S2+a*1S3, S∈[3]; (Ⅰ)
其中S表示时间值。
B6 (S) =d2+c*2S+b*2S2+a*2S3, S∈[6, 10]。 (Ⅱ)
上式 (Ⅰ) 中共有12个参数, 贴现函数分成了三个区段, 为了保证贴现函数相对于时间轴的平滑性和连续性, 必须满足一下三个条件:B0 (3) =B3 (3) ;B3 (6) =B6 (6) ; B0 (0) =1。
即初始时刻, 现金流贴现值等于其本身, 区间分界点处, 两段贴现函数求出的数值相等。
根据式 (Ⅱ) 中的约束条件, 式 (Ⅰ) 可进行化简, 减少未知参数, 化简结果如下所示:
B0 (S) =1+c*0S+b*0S2+a*0S3, S∈[0, 3];
B3 (S) =1+ c*0S+b*0S2+a*0[S3- (S-3) 3]+a*1 (S-3) 3, S∈[3];
B6 (S) =1+c*0S+b*0S2+a*0[S3- (S-3) 3]+a*1[ (S-3) 3- (S-6) 3]+a*2 (S-6) 3, S∈[6, 10]。
通过化简, 原有的12个未知参数下降到了5个, 即a0, a1, a2, b0, c0, 大大减小了运算量。
1.2 实证分析
此次实证分析共选取上交所和深交所的17支国债, 国债全价是根据交易所显示的当前价格 (净价) 加上各个国债自上一次付息日以来的应计利息来计算的。也就是P全=P净+d/ (365/n) *c, 其中d是当前时刻距离上一个付息日的实际天数, n代表每年的复习次数, c是每次付息的数额。
对于债券理论价格的计算采用现金流贴现的方法:Pt=∑FSB (t, S) Pt=Pt+ε。
其中ε满足以下条件:E (εj) =0; Var (εj) =σ2ωundefined;Cov (εj, εj) =0 (j≠j′) 。
也就是说ε的方差-协方差矩阵是满足以下条件的对角矩阵:
′Ω=[ωundefined, 0……0; 0, ωundefined, 0……0;0, 0, ωundefined, 0, ……, 0;……]
对于上表中到期收益率的计算是根据已知的市场交易价格进行推导的:
P=∑ (c/n) / (1+Yt/n) i+Δ+A/ (1+Yt/n) N+Δ。
其中, P是当前价格, n是每年的付息次数, c是票息率与面值的乘积, Yt是到期收益率, Δ是非整数计息期的时间长度 (Δ=d/365) , d是距离上一付息日的非整数计息期的实际天数, N是整数计息期总数。A是债券到期需要偿还的本金额。
在运用普通最小二乘法进行参数估计的过程中实际上是给每种国债赋予了相同的权重, 但在现实中, 债券的价格主要受到利率变动的影响, 债券价格与利率反向变动。一般来说, 由于期限长的债券久期往往较大, 因此, 中长期的债券价格对利率变动更为敏感, 而短期债券对利率敏感性相对较小。因此, 期限越长, 运用最小二乘法定价误差将会越大。为了使得定价过程更加准确, Vasicek和Fong在1982年提出根据如下公式确定ω2j:
ωundefined= (dPundefined/dyj (t) ) 2=Dundefined (t) Pjt/ (1+yj (t) ) 2。
其中, yj (t) 和Dj (t) 分别代表第j种债券在T时刻的内含收益率和债券久期。除此之外, 还有各种其他估计ωundefined的方法, 例如: ωundefined=Tundefined和ωundefined= Dundefined (t) Pjt/ (1+yj (t) ) 。
1.3 实证结果
根据上表国债数据, 运用三次样条函数和加权最小二乘法估计参数, 估计结果如下所示:
B0 (S) =1-0.0326*S+0.0216*S2-0.0071S3;
B3 (S) =2.7712-1.2881*S+0.2852*S2-0.021S3
B6 (S) =1.8964-0.3604*S+0.0383*S2-0.0015S3。
运用转换公式r (S) =-lnB (S) /S可以得到中国国债市场的利率期限结构。
2 直接方法下的实证分析
2.1 一年以内短期利率期限结构的获取
中国市场债券品种的缺乏, 获取零息票收益率曲线很困难, 虽然很难找到期限在1年以内的零息票债券, 但是对要在一年内到期, 且在到期之前不再付息的债券, 可近似为零息票债券。上表中6支到期期限在1年以内的债券, 在剩余到期期限内无利息支付, 其到期收益率可近似为零息票债券收益率。可以通过插值方法获得1年以内零息票利率。方法主要有线性插值和三次多项式插值两种。
(1) 线性插值。线性插值用公式表示如下:
R (0, y) = ( (z-y) R (0, x) + (y-x) R (0, z) ) / (z-x) 其中, x, y, z是对应期限, R (0, x) 、R (0, y) 、R (0, z) 是对应于到期期限x, y, z的零息票到期收益率. 线性插值的有点是简单易行, 只要知道两个时间点上的利率就可以推导出整个区间段的利率期限结构, 但缺点是曲线不平滑。
(2) 多项式插值。
与线性插值不同, 为了使得所得到的零息票收益率曲线更加平滑, 有学者提出了多项式插值方法, 也就是将零息票收益率值表达为到期期限的三次函数。
R (0, S) =a*S3+b*S2+c*S+d
共有4个未知参数, 需要知道期限内的4个即期利率点, 建立四个方程进行求解。
R (0, v) =a*v3+b*v2+c*v+d; R (0, x) =a*x3+b*x2+c*x+d;
R (0, y) =a*y3+b*y2+c*y+d; R (0, z) =a*z3+b*z2+c*z+d。
多项式插值避免了线性插值中出现的曲线不平滑问题, 但是多项式插值的一个缺陷是曲线凹凸性会发生变化, 不稳定。
2.2 非整付息期利率期限结构的推导
在利用线性插值或者多项式插值取得1年以内收益率期限结构后, 对于到期期限大于一年的零息票收益率曲线可以通过逐步推导取得, 推导方式如下: (以期限T在1到2年之间为例) P=c/ (1+rΔ) Δ+ (c+100) / (1+rT) T。
其中Δ为下一个付息日距现在的时间;rΔ是到期期限为Δ的零息票收益率, 根据上文对1年内到期的利率期限结构的推导, rΔ是已知值;c为每次付息额;rT为期限为T的零息票到期收益率。因此, 对于更长期限的零息票收益率可通过随时间推移逐步推导的方法获得:
P=c/ (1+rΔ) Δ+c/ (1+r1+Δ) (1+Δ) +c/ (1+r2+Δ) (2+Δ) +……+c/ (1+rn+Δ) (n+Δ) +……
2.3 实证结果
对前5种债券, 其到期收益率可以直接近似为零息票债券的到期收益率。利用这5个收益率, 可推导出1年以内的利率期限结构, 运用多项式样条插值, 插值效果如图1:
从图1可以看出, 图形相当的没有规律, 同时有很多个时点的到期收益率为负值, 这是不正常的。出现这样结果的原因在于国债样本的选择存在问题, 因此, 在进行插值过程中应该将异常值剔除。剔除异常值后, 我们重新进行多项式插值, 插值效果如图2所示。
剔除异常值后, 到期收益率曲线变得有规律。但多项式插值存在不稳定性, 当时间接近区间的端点的时候, 收益率的值往往剧烈变动, 与现实是不符合。因此‘后续的插值过程中, 我只是截取0到0.6区间段的收益率值。对于0.6到1区间段的收益率, 我采用线性插值的方法, 减小偏差。在后续逐步插值推导的过程中, 我也是线性插值与多项式插值交替进行, 也就是先用多项式插值, 对于异常变动不稳定情况, 改用线性插值的方法进行。
表格中共有45个数据, 对于以上推导结果, 我们试图用一定的函数形式将收益率曲线进行拟合。首先用线性方式拟合, 拟合结果如下所示:
R=0.019513+0.003551*T
t= (18.76) (12.27)
p= (0.0000) (0.0000)
F-statistic=150.5621
D-W=0.437 R2=0.7778
线性拟合通过了t检验和F检验, 但是却没有通过D-W检验, 通过查D-W统计量表, 线性拟合存在正的自相关。然后, 我们尝试运用三次多项式函数来拟合, 拟合结果如下:
R=0.016248+0.007827*T-0.000587*T2+0.00000973*T3
t= (12.09) (3.93) (-0.95) (0.20)
p= (0.0000) (0.0003) (0.3464) (0.8403)
F-statistic=78.0273 D-W=0.5620
拟合结果发现, 函数通过了F检验, 但是后两项没有通过t检验, 而且D-W检验也没有通过。以上两种回归结果表明, 对于整个期限收益率进行拟合回归是很困难的。在直接法推导收益率曲线时, 要获得下一时刻的收益率, 只能通过已有的更短期限的收益率推导获得。
3 实证结果比较分析
通过直接方法和间接方法对国债市场利率期限结构进行估计, 可以发现两种方法各有优缺点。直接的估计方法简便易行, 但直接方法中的线性插值无法使得插值出的利率期限结构曲线平滑, 虽然多项式样条插值克服了线性插值的非平滑性缺点, 但多项式插值存在收益曲线异常情况, 曲线凹凸型会发生改变, 不稳定。因此, 在直接方法的运用过程中, 为更好的估计利率期限结构, 需要两种方法的综合运用。运用间接方法中的三次样条函数方法虽然不用考虑上述直接方法中的缺陷, 但是, 间接方法一般比较复杂, 而且实证的结果不容易检验。
运用直接方法可以首先得到零息票债券的收益率曲线, 然后通过计算每一个时点的收益率值可以得出在这个时点的贴现函数值。而运用间接方法, 首先得到的是贴现函数的形式, 然后以贴现函数为依据, 通过转换公式R (S) =-lnB (S) /S转换为连续复利的即期利率。
摘要：选取上海证券交易所和深圳证券交易所部分国债进行实证分析, 首先运用线性插值和三次多项式插值的方法推导国债市场的零息票收益率曲线, 然后通过三次样条函数分三个时间区段对现金流贴现函数进行拟合, 并对实证结果进行了评述。
关键词：利率期限结构,三次样条函数,零息票收益率,线性插值,多项式插值
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