广义估计方程范文

广义估计方程范文（精选8篇）

广义估计方程 第1篇

1 临床资料

1.1 诊断标准

1.1.1 西医诊断标准

早期糖尿病肾脏病, 诊断参照《肾脏病学》[1]和美国肾脏病协会2007年提出的糖尿病肾脏疾病诊断标准进行: (1) 有确切的糖尿病史; (2) 3个月内连续尿检查三次尿白蛋白排泄率 (UAER) 介于20~200μg/min (28.8~288 mg/24小时) , 且可排除其他原因引起的UAER增加, 可诊断为早期DKD。

临床上凡糖尿病患者, 尿白蛋白排泄率异常增高, 或伴有糖尿病视网膜病变, 即应考虑到早期糖尿病肾病。同时应注意排除肾盂肾炎、原发和其他继发肾小球疾病、高血压病肾脏损害、心功能衰竭等引起的尿白蛋白排泄率增高的原因。

1.1.2 中医诊断标准

气虚血瘀证辨证标准参照《中药新药治疗气虚证的临床研究指导原则》、《中药新药治疗血瘀证的临床研究指导原则》和“国家标准GB/T16751.2-l997”。

主症 (气虚) :气短, 乏力, 神疲, 脉虚。

主症 (血瘀) :刺痛、痛有定处、拒按, 脉络瘀血 (诸如口唇、齿龈、爪甲紫暗, 肤表赤缕, 或腹部青筋外露) , 胸闷胸痛、肌肤甲错, 肢体麻木或偏瘫, 皮下瘀斑, 癥积, 离经之血, 舌质紫暗或有瘀斑、瘀点, 舌脉粗张, 脉涩、无脉或沉弦、弦迟。

次症 (气虚) :自汗, 懒言, 舌淡。

次症 (血瘀) :痴癫, 狂躁, 善忘, 局部感觉异常, 外伤史、手术史及人工流产史。

具备气虚主症2项及次症1项, 并同时具备血瘀证主症2项, 或主症1项、次症2项, 即可诊断。

舌脉单独记录, 未予评分。

1.2 纳入标准

(1) 符合中医辨证为气虚血瘀证患者; (2) 西医诊断明确是早期糖尿病肾脏病者; (3) 年龄18~75岁; (4) 血压平稳, 舒张压稳定在90 mm Hg以下者; (5) 入组前患者空腹血糖<7.5 mmol/L, 糖化血红蛋白<7.5%。

1.3 排除标准

(1) 其他原发性疾病 (慢性肾炎、高血压、痛风、红斑狼疮等) 所致的尿微量白蛋白排泄率升高者; (2) 肾血管性高血压; (3) 6个月内有恶性高血压、心肌梗塞、脑血管意外、糖尿病酮症酸中毒等危急重症病史者; (4) 合并充血性心衰Ⅰ~Ⅳ级者; (5) 癌症、妊娠及对治疗方案中相关药物过敏等不适合接受本治疗方案者; (6) 合并心、肝、脑、肾和造血系统等严重原发性疾病, 精神病患者; (7) 妊娠或准备妊娠、哺乳期妇女; (8) 有明显兼夹证或合并证候者。

1.4 一般资料

选择2012年4月至2013年2月于北京东直门医院肾病内分泌科收治的早期DKD气虚血瘀患者57例, 随机分为A、B组, 其中A组28例, B组29例。A组中男15例, 女13例;平均年龄 (62.71±7.54) 岁;平均病程 (11.19±4.67) 年;B组中男14例, 女15例, 平均年龄 (59.86±9.87) 岁;平均病程 (10.76±6.82) 年。入组时两组患者在性别、年龄、病程、24小时尿微量白蛋白排泄率测定、中医证候积分等方面均无统计学差异 (P>0.05) , 具有可比性。

2 方法

2.1 分组方法

将符合纳入标准患者的就诊顺序号, 按随机数字表重新赋值、排序, 分为A、B组。其中A组为试验组, B组为对照组。

2.2 治疗方法

A组:所有患者均采用低盐低脂优质低蛋白糖尿病饮食。所有纳入病人均给予内科基础治疗, 基础治疗包括饮食治疗、西药降糖、降压 (不使用血管紧张素转化酶抑制剂/血管紧张素Ⅱ受体拮抗剂) 、调节血脂等。另外给予中药治疗:益气通络方, 每次200 ml, 早、中、晚温服。

B组:所有患者均采用低盐低脂优质低蛋白糖尿病饮食。所有纳入病人均给予内科基础治疗, 基础治疗包括饮食治疗、西药降糖、降压 (不使用血管紧张素转化酶抑制剂/血管紧张素Ⅱ受体拮抗剂) 、调节血脂等。另外给予降尿蛋白治疗:厄贝沙坦150 mg每天一次, 口服。厄贝沙坦片由杭州赛诺菲安万特民生制药有限公司生产, 150 mg/片, 国药准字H20040494。

益气通络方组成:生红芪15 g、当归10 g、郁金6 g、三七3 g、蝉蜕3 g等。

实验用药的调配:根据科研《益气通络方》药物进行调配, 三七粉每剂药3 g另包分冲交患者。汤药按照标准汤剂要求制备, 由北京中医药大学东直门医院药剂科完成。

入组后禁止使用研究方案以外的药物, 如中药汤剂、中药注射剂、治疗DKD的中成药、针灸等。

2组患者均观察12周。

2.3 观察指标

2.3.1 安全性指标

生命体征如体温、血压、呼吸、心率等;血、尿、便常规;心电图、肝功能 (丙氨酸转氨酶、谷草转氨酶) 、肾功能 (血尿素氮、血肌酐) 。入组及观察结束时各测1次。治疗过程中两组均未出现不良反应, 血、尿、便常规, 肝功能、肾功能、心电图均无异常。

2.3.2 疗效性指标

气虚血瘀证的变化情况由经过培训的专业医师进行问诊、记录, 每2周记录1次, 共计7次。24小时尿微量白蛋白排泄率, 每4周测定一次共计4次。其他疗效指标如空腹血糖、糖化血红蛋白、血压、胆固醇、甘油三酯、高密度脂蛋白、低密度脂蛋白、血清肌酐、血清尿素氮等, 分别于入组及观察结束时各测1次。

2.4 统计方法

所有数据采用SPSS 18.0统计软件进行统计检验, 计量资料采用进行统计描述, 治疗前各组间的均衡比较采用独立样本t检验或单因素方差分析, 治疗前后差异采用配对资料的t检验, 多时点重复测量数据采用广义估计方程方法分析。

3 结果

3.1 治疗过程中中医症状积分变化比较

(1) 组间比较结果:χ2=31.856, P=0.000<0.05, 组间差异有统计学意义;估计的边际均值为:试验组19.18, 对照组25.74。

(2) 重复测量时间比较结果:χ2=144.314, P=0.000<0.05, 时间差异有统计学意义, 估计的边际均值为:治疗前27.21, 治疗后2周26.75, 治疗后4周22.56, 治疗后6周21.96, 治疗后8周20.75, 治疗后10周19.36, 治疗后12周18.61。LSD两两比较结果:治疗后2周, 后4周, 后6周, 后8周, 后10周, 后12周等6个时间点与治疗前比较均有显著差异。表明两种治疗方案治疗早期DKD均有效, 治疗时间越长, 疗效越好;两种方案在改善患者气虚血瘀证候的症状上有显著差异, A组明显好于B组。主要输出结果如表1。

注:a此参数是冗余的, 因此设置为零。

注:a此参数是冗余的, 因此设置为零。

3.2 治疗过程中24小时尿微量白蛋白排泄率变化比较

(1) 组间比较结果:χ2=0.872, P=0.350>0.05, 组间差异无统计学意义;估计的边际均值为:试验组68.7460;对照组79.1712。

(2) 重复测量时间比较结果:χ2=48.770, P=0.000<0.05, 时间差异有统计学意义, 估计的边际均值为:治疗前91.1258, 治疗后4周71.9270, 治疗后8周70.2136, 治疗后12周59.5774。LSD两两比较结果:治疗后4周, 后8周, 后12周等3个时间点与治疗前比较均有显著差异。表明两种治疗方案治疗早期DKD均有效, 治疗时间越长, 疗效越好;两种方案在减少患者24小时尿微量白蛋白排泄率上无显著差异。主要输出结果如表2。

4 讨论

糖尿病肾脏病是糖尿病最典型的微血管并发症之一, 已成为导致终末期肾衰竭最主要的原因之一。中国2010年的流行病学调查显示成人糖尿病患病率已经达到9.7%[2], 随着糖尿病发病率的增长, 可以预见糖尿病肾脏病的患病人群也会增加。因此对糖尿病肾脏病的早期防治极为重要。

赵进喜教授认为糖尿病肾脏病是由于消渴病内热伤阴耗气, 引起气阴两虚, 以致阴阳俱虚, 久病入络, 气滞、血瘀、痰湿等因素互相影响, 日久在肾之络脉形成“微型癥瘕”, 故气虚血瘀证是早期糖尿病肾脏病的常见证候[3]。

本研究采用广义估计方程分析进行评价是为了充分的考虑重复测量数据间的相关性, 以得出更为可靠的结论。广义估计方程很好地解决了纵向数据的相关性问题, 利用了纵向数据中每次测量的结果, 大大减少了信息的损失[4]。而以往重复测量数据的分析方法常用的是重复测量资料的方差分析或多变量方差分析, 这两种方法不能分析重复数据之间的相关性。拟合广义估计方程可以有效地控制重复测量因素及其它影响因素, 以比较组间疗效是否有差异[5]。经过统计分析, 本研究结果显示, 益气通络方与厄贝沙坦均可减少早期糖尿病肾脏病患者24小时尿微量白蛋白排泄率, 而益气通络方在改善患者症状方面明显优于阳性对照药物厄贝沙坦。且治疗时间越长, 疗效越好。

本研究所用的益气通络方, 乃王永炎院士的临床经验方, 针对气虚血瘀证络脉之气及络脉之血异常的特点而设。王院士在总结络脉相关研究的基础上, 首次提出了“病络”的概念, 认为糖尿病肾脏病乃微血管病变, 具有入血入络, 缠绵难治的特点, 属络病范畴, 以气虚、血瘀为主, 另外还可兼夹痰、毒阻滞脉络引起病络病机[6,7]。本方生红芪、当归共用为君药, 即东垣当归补血汤变法, 取其益气活血之意。红芪是多序岩黄芪的根, 具有补气养血, 行滞通痹, 利水消肿, 祛腐生肌的功效, 为补气要药, 与养血活血之当归同用, 补中有动, 动中有补, 既能补益后天, 滋养气血生化之源;又能化瘀行滞, 通利血脉流通之道。血气充盈, 流通无碍, 滋养全身。本方生红芪、当归共用为君药, 即东垣当归补血汤, 取其益气活血之意。配伍郁金“行气解郁, 泄血破瘀” (《本草备要》) 、三七“和营止血, 通脉行瘀” (《玉揪药解》) 、蝉蜕“轻清灵透, 为治血病圣药” (《伤寒温疫条辨》) , 共奏益气活血、化瘀通络之功。

总之, 广义估计方程分析重复测量数据可靠、可行, 且通过统计分析结果可以看出, 益气通络方不仅能通过益气活血, 化瘀通络降低早期糖尿病肾脏病患者的24小时尿微量白蛋白排泄率水平, 更能显著改善气虚血瘀型糖尿病肾脏病患者的临床症状, 且服药时间越长, 症状改善越明显, 对早期糖尿病肾脏病的病情改善和缓解有良好的作用。

参考文献

[1]王海燕.肾脏病学[M].3版.北京:人民卫生出版社, 2008:1424-1426.

[2]Yang W, Lu J, Weng J, et al.Prevalence of diabetes amongmen and women in China[J].The New England Journal of Medicine, 2010, 362 (12) :1090-1101.

[3]牟新, 姜淼, 宋美铃, 等.赵进喜教授治疗糖尿病肾病经验介绍[J].新中医, 2005, 37 (11) :17-18.

[4]赵振, 潘晓平, 张俊辉.广义估计方程在纵向资料中的应用[J].现代预防医学, 2006, 33 (5) :707-708.

[5]夏彦, 潘晓平, 刘元元, 等.广义估计方程在临床试验重复测量资料中的应用[J].现代预防医学, 2005, 32 (5) :444-445.

[6]王永炎, 常富业, 杨宝琴.病络与络病对比研究[J].北京中医药大学学报, 2005, 28 (3) :1-6.

椭圆型方程奇摄动问题的广义解 第2篇

椭圆型方程奇摄动问题的广义解

讨论了一类奇摄动椭圆型方程边值问题.在适当的条件下,研究了问题广义解的存在、唯一性及其渐近性态.

作 者：莫嘉琪 MO Jiaqi 作者单位：安徽师范大学数学系,芜湖,241000;上海高校计算科学E-研究院SJTU研究所,上海,40刊 名：系统科学与数学 ISTIC PKU英文刊名：JOURNAL OF SYSTEMS SCIENCE AND MATHEMATICAL SCIENCES年，卷(期)：28(3)分类号：O1关键词：椭圆型方程 奇异摄动 广义解

广义Liu估计及其优良性 第3篇

关键词：Liu估计,广义Liu估计,均方误差矩阵,可容许性

考虑线性模型:

$Y=X\beta +e,E(e)=0‚\mathrm{cov}(e)=\sigma {}^2{\rm I}{}_n(1)$

(1)式中Y是n×1观测向量,X是n×p的列满秩矩阵(即R(X)=p),β是p×1未知参数向量,e是n×1随机误差向量。通常我们用最小二乘估计$\widehat{\beta }$来估计未知参数β。但是,在实际应用中,当解释变量之间存在着近似的线性关系(即存在多重共线性)时,最小二乘估计$\widehat{\beta }$的均方误差会变得很大,此时用$\widehat{\beta }$来估计未知参数β,其精确性会变得很差。为了改进最小二乘估计的这种缺陷 ,霍尔(A·E·Hoerl)与肯纳德(R·W ·Kennard)在1970年提出了有偏估计-岭估计 (Ridge Estimate)$\widehat{\beta }(k)=(X^{\prime }X+k{\rm I}){}^{-1}{X}^{\prime }Y$,其中k≥0。它是通过增大特征根来减少估计的均方误差 ,从而降低最小二乘估计的病态性。之后统计学家又将它推广到更一般的广义岭估计$\widehat{\beta }({\rm K})=(X^{\prime }X+{\rm K}){}^{-1}{X}^{\prime }Y$,其中K为对角阵,从理论上说,广义岭估计的均方误差比岭估计的均方误差更小。由于岭估计和广义岭估计的未知参数在分母上,这给运算过程带来很大不便,1991年Liu,K.在文献[1]中提出了一种线性回归模型的一种有偏估计——Liu估计,文献[2]进一步讨论了该估计的优良性。文献[3]研究了条件岭型估计。本文提出了广义Liu估计,并研究了它的基本性质与优良性。

定义:称$\widehat{\beta }(D)=(X^{\prime }X+{\rm I}){}^{-1}(X^{\prime }X+D)\widehat{\beta }$为β的广义Liu估计,其中$\widehat{\beta }$为最小二乘估计,D=diag(d1,d2,…,dp),0<di<1(i=1,2,…,p),特别地,当D=dI时,$\widehat{\beta }(D)$即为Liu估计$\widehat{\beta }(d)$,且$\widehat{\beta }({\rm I})=\widehat{\beta }$。

1 广义Liu估计的基本性质

性质1:$\widehat{\beta }(D)=A\widehat{\beta }$,这里A=(X′X+I)-1(X′X+D)。这表明广义Liu估计是最小二乘估计的一个线性变换。

性质2:广义Liu估计$\widehat{\beta }(D)$是β的有偏估计。

$\begin{array}{l}\text{证}\text{明}:E\widehat{\beta }(D)=E(X^{\prime }X+{\rm I}){}^{-1}(X^{\prime }X+D)\widehat{\beta }=\\ (X^{\prime }X+{\rm I}){}^{-1}(X^{\prime }X+D)E\widehat{\beta }=\\ (X^{\prime }X+{\rm I}){}^{-1}(X^{\prime }X+D)\beta (2)\end{array}$

由于D=diag(d1,d2,…,dp),且0<di<1,所以(X′X+I)-1(X′X+D)β≠β,即$\widehat{\beta }(D)$是β的有偏估计。

性质3: 对任意的满足以上定义的$D‚\left|\widehat{\beta }\right|\ne 0$,总有$\left|\widehat{\beta }(D)\right|<\left|\widehat{\beta }\right|$。

注:性质3表明,广义Liu估计是将β向原点的压缩。

2 广义Liu估计的优良性

引理[4]:对于线性模型(1),若X列满秩,则$A\widehat{\beta }$是Cβ的可容许估计的充要条件是A(X′X)-1A′≤A(X′X)-1C′。

定理1:在线性估计类中,$\widehat{\beta }(D)$是β的可容许估计。

证明:因为$\widehat{\beta }(D)=A\widehat{\beta }$,由引理知,$\widehat{\beta }(D)$是β的可容许估计的充要条件为

$A(X^{\prime }X){}^{-1}{A}^{\prime }\le A(X^{\prime }X){}^{-1}(3)$

将(3)式展开得:

(X′X+I)-1(X′X+D)(X′X)-1(X′X+D)(X′X+I)-1≤(X′X+I)-1(X′X+D)(X′X)-1。

化简可得:

(X′X+D)(X′X)-1(D-I)≤0。

于是有 D-I≤0 (4)

由于D=diag(d1,d2,…,dp),且0<di<1,所以(4)式成立,即$\widehat{\beta }(D)$是β的可容许估计。

定理2:当β′(I-D)β≤2σ2时,${\rm M}SE{\rm M}(\widehat{\beta }(D))<{\rm M}SE{\rm M}(\widehat{\beta })$.其中${\rm M}SE{\rm M}(\beta )=E(\widehat{\beta }-\beta )(\widehat{\beta }-\beta {)}^{\prime }$表示β的均方误差矩阵。

证明:令$S=X^{\prime }X,{\rm M}SE{\rm M}(\widehat{\beta })=\sigma {}^2(X^{\prime }X){}^{-1}=\sigma {}^{2}S{}^{-1}(5)$

$\begin{array}{l}{\rm M}SE{\rm M}(\widehat{\beta }(D))=\\ \mathrm{cov}(\widehat{\beta }(D))+(E(\widehat{\beta }(D))-\beta )(E(\widehat{\beta }(D))-\beta {)}^{\prime }=\\ \mathrm{cov}(A\widehat{\beta })+(A\beta -\beta )(A\beta -\beta {)}^{\prime }=\\ \sigma {}^{2}AS{}^{-1}{A}^{\prime }+(A-{\rm I}{}_p)\beta {\beta }^{\prime }(A-{\rm I}{}_p{)}^{\prime }=\\ \sigma {}^2(S+{\rm I}){}^{-1}(S+D)S{}^{-1}(S+D)(S+{\rm I}){}^{-1}+[(S+{\rm I}){}^{-1}(S+D)-{\rm I}{}_p]\beta {\beta }^{\prime }[(S+{\rm I}){}^{-1}(S+D)-{\rm I}{}_p{]}^{\prime }=\\ \sigma {}^2(S+{\rm I}){}^{-1}[S+DS{}^{-1}D+2D](S+{\rm I}){}^{-1}+(S+{\rm I}){}^{-1}(D-{\rm I})\beta {\beta }^{\prime }(D-{\rm I})(S+{\rm I}){}^{-1}(6)\end{array}$

(5)式-(6)式得

$\begin{array}{l}{\rm M}SE{\rm M}(\widehat{\beta })-{\rm M}SE{\rm M}(\widehat{\beta }(D))=\\ \sigma {}^{2}S{}^{-1}-\sigma {}^2(S+{\rm I}){}^{-1}[S+DS{}^{-1}D+2D](S+{\rm I}){}^{-1}-(S+{\rm I}){}^{-1}(D-{\rm I})\beta {\beta }^{\prime }(D-{\rm I})(S+{\rm I}){}^{-1}=\\ (S+{\rm I}){}^{-1}\{[(S+{\rm I})S{}^{-1}(S+{\rm I})-S-DS{}^{-1}D-2D]\sigma {}^2-({\rm I}-D)\beta {\beta }^{\prime }({\rm I}-D)\}(S+{\rm I}){}^{-1}=\\ (S+{\rm I}){}^{-1}\{[2({\rm I}-D)+S{}^{-1}-DS{}^{-1}D]\sigma {}^2-({\rm I}-D)\\ \beta {\beta }^{\prime }({\rm I}-D)\}(S+{\rm I}){}^{-1}(7)\end{array}$

要使${\rm M}SE{\rm M}(\widehat{\beta })-{\rm M}SE{\rm M}(\widehat{\beta }(D))>0$,只需[2(I-D)+S-1-DS-1D]σ2-(I-D)ββ′(I-D)>0。

即

$2({\rm I}-D)\sigma {}^2-({\rm I}-D)\beta {\beta }^{\prime }({\rm I}-D)\ge 0(8)$

而(8)式等价于 β′(I-D)β≤2σ2。定理得证。

由MSEM与GMSE的等价性,可得如下定理3。

定理3:当β′(I-D)β≤2σ2时,

(1)对一切G≥0,有$G{\rm M}SE(\widehat{\beta }(D))<G{\rm M}SE(\widehat{\beta })$;

以上结论表明,对于一个线性回归模型,总存在符合前面定义的对角阵D,使$\widehat{\beta }(D)$优于$\widehat{\beta }$,因为条件β′(I-D)β≤2σ2与未知参数β和σ2有关,对于固定的D,$\widehat{\beta }(D)$不能在整个参数空间上一致优于最小二乘估计$\widehat{\beta }$,仅对满足条件的β′(I-D)β≤2σ2那部分β和σ2优于$\widehat{\beta }$。关于岭参数的选择,近年来,统计学界提出了许多确定岭参数 k值的原则和方法,如岭迹法、方差扩大因子法、Cp准则等,但总的来说,缺乏一种绝对好的k的选取办法。而广义岭估计中岭参数k的选择也有Hemmerle-Brantle法、Hemmerle法等,如何选取参数D也是一个值得研究的问题。

参考文献

[1]Liu K.A new class of biased estimate in linear regression,Comm in Stats,1993;22(3):393—402

[2]Arslan O,Billor N.Robust Liu estimator for regression based on an M-estimator.Journal of Applied Stats,2000;27(1):39—47

[3]史建红.约束线性回归模型回归系数的条件岭型估计.山西师范大学学报,2001;15(4):10—16

广义估计方程 第4篇

压缩感知(Compressive Sensing,CS)理论展示了一种全新的信号采集处理方法,对可压缩的稀疏信号以远低于奈奎斯特速率的方式进行采样,仍能够精确地恢复出原始信号[6]。随着压缩感知技术的不断发展与成熟,近年来压缩感知技术被国内外的一些学者应用到通信与信号领域中的OFDM稀疏信道估计中。由于无线信道通常具有稀疏性,即抽头系数接近于零的元素或数值为零的元素相对比较多,因此需要估计的多径参数减小。基于压缩感知的信道估计可以通过一部分导频处的信息估计信道多径参数,再重构出信道的信息,而无需再根据插值法来得到数据子载波上的信道信息,减小了导频的开销,因而能够有效地降低信道估计误差和提高系统频谱利用率,因此,稀疏信道的估计算法一直为学术界和工业界的研究热点[7]。在文献[8]中作者提出了一种将匹配追踪(MP)算法应用于OFDM稀疏信道估计的算法,在文献[9]中作者提出了基于正交匹配追踪(OMP)算法的OFDM稀疏信道估计法。而文献[10]提出了一种广义正交匹配算法(GOMP),GOMP则是选择与残差乘积最大的少数几个原子,OMP算法是一种特殊的GOMP算法。相比于OMP算法,GOMP具有更高的运算速度。

1 OFDM系统

在OFDM系统中,当信道的相干时间远大于OFDM符号的周期时,在一个OFDM符号中的信道参数可以认为是不变的,信道的冲激响应可以表示为

式中:L是OFDM信道的长度;hi是t时刻第i个抽头的复增益,该信道的稀疏性主要表现在[h0,h1,h2,…,hL-1]中数值比较大的几个相对较少的元素或非零元素的个数,而其中临近于零的元素或数值为零的元素相对较多;τi是时刻第i个抽头的延时。

假设OFDM系统中有N个子载波,其中用来传送导频信息的子载波有P个。接收端的信号y维数为N×1,可以表示为

式中:N×N维发送信号矩阵X可以表示为X=diag(x(0),x(1),x(2),…,x(N-1));h=[h0,h1,h2,…,hL-1],h为信道的离散时域冲激响应;H为对应的频域响应;F为N×L维快速傅里叶变换矩阵;W是N×1维向量的加性高斯白噪声。

设P×N维的选择性矩阵S,N个子载波通过矩阵S选择出其中的P个导频位置,P个导频信号处在接收端收到的对应信号则可以表示为

式中:P×L维矩阵

,是对应的P个导频处的快速傅里叶变换矩阵,其中的fnl=e-j2πNnl,P×1维向量yP×1=Sy表示导频信号处在接收端收到的对应信号,P×P维矩阵XP×P=SXS-1表示导频处发送的信号,P×1维向量WP×1=SW表示信道的噪声值。其中,对于接收端来说,yP×1,XP×P,FP×P都是已知信号。

在式(3)中,yP×1为观测矢量,AP×1=Xp×pFP×L为测量矩阵。根据式(3)恢复hL×1的过程可以建模为有噪情况下稀疏信号重建问题,因此可以采用压缩感知技术重构出稀疏向量hL×1,然后再通过HP×1=FP×LhL×1求出信道的频域冲击响应采样值即可。

2 一种改进的广义正交匹配追踪算法

广义正交匹配算法(GOMP)是在每一次迭代时选择与残差乘积最大的少数几个原子。相比于OMP算法,GOMP具有运算时间更快与运算复杂度更低的优点。广义正交匹配追踪算法的算法流程如下:

输入:M×N维测量矩阵A,N×1维观测向量y,初始化每次选择原子数S,信道是K稀疏的。

输出:信道稀疏表示的系数估计,N×1维残差rt。

1)初始化r0=y,索引值为Λ0=Ø,候选集A0=Ø,阶段t=1。

2)计算u=abs[ATrt-1]也就是计算[rt-1,aj],1≤j≤N,选择出u中最大的S个值,将这些值的对应A的列序号构成集合J0。

3)令Λt=Λt-1∪J0,更新索引集At=At-1∪aj(这里包含的所有j∈J0)。

4)求出y=Ath的最小二乘解:;并且更新残差

5)t=t+1,如果t≤min(K,M/S),则返回第2)步,否则停止迭代。

从以上步骤看出广义正交匹配算法(GOMP)是在每一次迭代时选择与残差乘积最大的少数几个原子,在每次迭代过程中可能会选择出错误原子。其次GOMP算法在信道的稀疏度预先知道的情况下才能够准确重构出信号,但是在实际环境中,信道的稀疏度往往是无法预先知道的。用GOMP算法进行信道估计,经过实验和仿真得到的误码率跟均方误差在效果上不如OMP算法。因此针对此特点,在GOMP算法的基础上进行改进,提出了一种改进广义正交匹配追踪(GGOMP)算法,在未预知稀疏度的条件下能够准确估计出信道的信息而且误码率比较低。

在文献[11]中作者提出了一种自适应压缩感知重构算法,提高了稀疏度估计的准确性。在文献[12]中作者提出了一种门限自适应的压缩感知重构算法,提高了信号重构的精确度。在此基础上,改进的广义正交匹配追踪算法步骤如下:

输入:M×N维的测量矩阵A,N×1维观测向量y,初始化选择的原子个数S。

输出:信道稀疏表示的系数估计,N×1维残差r。

1)初始化残差r0=y,索引值为Λ0=Ø,候选集A0=Ø,初始化支撑集L=S,阶段值t=1;

2)若

,则不再继续迭代,输出信号稀疏表示的系数估计;否则进入步骤3);

3)计算u=abs[ATrt-1]也就是计算<rt-1,aj>,1≤j≤N,选择出u中最大的L个值,将这些值对应的A的列序号构成集合J0;

4)令Λ=Λt-1∪J0,AΛ={aj},其中所有的j∈Λ;

5)求出y=ΑΛh的最小二乘解:;并且更新残差

6)若‖rt-1‖2≤‖r‖2,转至步骤7),否则转至步骤9);

7)如果‖r‖2≤exch*‖y‖2,则改变支撑集L=L+1,继续执行步骤2);否则执行步骤8);

8)令t=t+1,L=t*S,继续执行步骤2);

9)更新索引集和残差,Λt=Λ,rt=r,t=t+1。继续执行步骤2)。

改进后的算法与GOMP算法相比具有以下几方面差异:1)设置迭代算法的自适应阈值为,其中m,n为常数,该阈值随着信噪比的改变而改变,从而提高了信号重构的精确度。2)此算法在本次的残差大于上一次残差时,说明支持集的原子个数不够,就会增加支持集的原子,否则继续迭代。3)在广义正交匹配追踪算法中,如果步长S为偶数,信道的稀疏度为奇数,不能够准确估计出信道的稀疏度,因此该改进算法中当时,其中exch是变步长阈值参数,一般取为0.1,支撑集L每次只增加1,即通过在当残差r的能量小于某一个阈值的时候,步长S等于1。

3 仿真与性能分析

为了验证提出算法的有效性,本文进行了如下的仿真,系统参数为:信道带宽24 k Hz,OFDM子载波数N=512,采样点数为512,调制方式为QPSK调制,循环前缀长度CP=N/4=128,导频数目为32,其中非零抽头数目为6,其下标为1,10,15,23,34,42。系统仿真采用误码率(BER)和归一化均方误差(MSE)作为指标,来将LS算法和基于压缩感知的OMP算法、GOMP算法以及改进的GGOMP算法在信道估计性能方面的差异进行对比。归一化均方误差公式为

式中:m是仿真次数;表示第i次仿真实验的信道冲激响应估计值;hi表示第i次仿真实验的信道冲激响应真实值。

3.1 不同算法的MSE和BER性能对比

OMP算法、GOMP算法以及改进的算法GGOMP的3种信道重构算法和LS算法均采用32个导频,为了更能突出对比,LS算法采用能够使其性能达到最佳的均匀导频,而基于压缩感知的重构算法采用随机导频。GOMP与GGOMP的初始化原子个数S均为2,仿真实验如图1和图2所示,是几个不同算法的均方误差和误码率对比曲线图。从实验结果看出,基于压缩感知的OMP算法与GOMP算法、GGOMP算法随着信噪比的增加均方误差与误码率均逐渐减小。GGOMP算法的精确重构能力以及BER性能是表现最好的,优于OMP算法、GOMP算法及LS算法。OMP算法其次,而LS算法不能精确进行信道估计。

3.2 初始化步长对MSE性能的影响

在进行仿真的过程中,需要研究GGOMP算法初始的步长大小,是否会影响信道估计的性能和运行时间。如图3所示,比较了GGOMP的初始步长对误码率性能影响。当步长S取不同值的时候,对信道估计的性能有影响。随着S的逐渐增加,归一化均方误差(MSE)逐渐减小。

3.3 各种重构算法运行时间的比较

下面对OMP算法、GOMP算法和GGOMP算法的运算时间做比较。仿真计算机的配置为Intel双核主频2.7 GHz的处理器,操作系统为微软Windows7,内存为2 Gbyte,用MATLABR2012a软件进行仿真。表1给出几种压缩感知重构算法的平均运行时间。通过比较,可以观察出GGOMP算法比OMP算法和GOMP算法的运算时间更短。由理论分析可知,GOMP是选择与残差内积最大的几个原子,而OMP每次只选择与残差内积最大的一个原子。相比于OMP算法,GOMP具有更高的运算速度。GGOMP算法在本次迭代残差大于上次迭代残差时,支撑集会逐渐增大,由于每次迭代选择的原子数增加,使得算法运行时间相比于GOMP逐渐减少。在GGOMP算法中,当初始步长增加时,每次选择的原子个数增加了,因此运行时间减小了。

4 小结

本文针对GOMP算法在OFDM信道估计中存在的缺点提出改进广义正交匹配追踪(GGOMP)算法。在导频数和信噪比相同时,采用改进广义正交匹配追踪算法的信道估计方法的误码率和均信道重构性能都很好,而且能够在不需要预知稀疏度的情况下重构出信号,运行的时间比较短,具有实用性。

摘要：在OFDM稀疏信道中,将压缩感知中的广义正交匹配追踪(GOMP)重构算法用到OFDM信道估计中。由于其信道重构的精度比较低,根据其特点做出了改进,提出了一种用于OFDM稀疏信道估计的改进广义正交匹配追踪算法。该改进算法能够在不需要预知信道稀疏度的情况下准确恢复出信号。根据实验和仿真结果可以看出,该改进算法与LS算法、OMP算法、GOMP算法相比,在同样的环境下误比特率以及均方误差相对比较低,而且运算速度比较快,具有一定的实用性。

关键词：压缩感知,正交频分复用,信道估计,广义正交匹配追踪

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广义时空相对论的引力方程 第5篇

在现有的时空理论中, 或者说, 已经被学术界主流派学者们捧为“圣经”的时空理论, 只有爱因斯坦的广义相对论。这个时空理论不仅被当代学者们当做引力理论的基本教义, 而且被捧为“宇宙学”的基础。然而在实际应用上, 爱因斯坦的广义相对论, 不仅和他的狭义相对论一样, 存在着难以克服的逻辑谬误和概念错误, 而且还因为爱因斯坦把空间当成了具有某种几何特征的东西, 从而导致了广义相对论的几何佯谬, 进而给现有的物理学理论造成了前所未有的逻辑混乱。

从普遍的意义上讲, 物质在时空中的运动, 不仅会面对均匀分布的引力场, 而且会面对非均匀的引力场。可想而知, 光线在广袤的宇宙中传播, 沿途上必定会与许多质量迥异的巨大恒星系、或者是与其它未知的天体擦肩而过, 这些天体的引力场大小不等, 对光线传播路径的影响是错综复杂的。基于上述考虑, 为了纠正爱因斯坦广义相对论的种种错误和逻辑混乱, 本文拟根据“微分几何学”的理论结果, 并运用广义时空相对论关于运动系和静止系之间相对速度和绝对速度的变换关系, 系统地分析和讨论:在均匀的和非均匀的引力场中, 物质运动规律的微分方程。

古人云:“万物之始, 大道至简”。 (春秋·老聃《道德经》) 所以说, 笔者根本就不相信宇宙会像爱因斯坦的广义相对论所描述的那样:是来自于130多亿年前的一次“巨大爆炸”, 而爆炸后的产物———我们今天所面对的全部宇宙———就好像一个不断膨胀的“气球”。而这个所谓的“宇宙”中的各种生物, 都生存在这一不断膨胀着的气球表面, 或者说, 生存在一个多维的“膜空间”之上。这个膜空间可能是11维, 甚至更高维。诚然, 质量极其巨大的“超新星”可能会因为“引力坍塌”而发生巨大的爆炸, 但这个爆炸后的产物, 最多只能形成一个具体的恒星系而已。但是, 任何具体的恒星系, 都不是普遍意义上的“宇宙”。正如《辞海》中解释的那样:“宇”包括各个方向的一切地点, “宙”包括一切不同的具体时间。《庄子·齐物论》战国末期的尸佼又说:“四方上下曰宇, 往古来今曰宙”。简而言之, “无限的空间叫做宇, 无限的时间叫做宙”, 正所谓:“其大无外, 其小无内”。换句话说:“宇宙是空间和时间的统称”。这才是辩证唯物主义的宇宙观。

一、微分几何学基础知识

(一) 二阶微分邻域的不变矢量。

把上式对于弧长“s”再微分一次, 我们便得到:

(二) 相伴直角三面形与运动坐标系。

(三) 广义时空相对论关于任意参数的基本矢量。

从物理学的发展过程上看, 它的基本公式都是建立在数学抽象的基础上, 而数学抽象则是建立在“绝对同时性时空观念”之上。换言之, 所有的数学抽象, 都不用考虑现实存在的各种“具体的数”和“具体的形”本身物理的、或几何的特征。因为数学抽象本身已经抽掉了具体的时间过程和空间的存在形式。经过数学抽象之后, 任何一个数学家 (包括几何学家) , 都可以同时考虑各种不同位置之上的数和形的相互关系, 并建立方程。不巧的是, 相对论问题的核心内容恰恰是:“同时性是相对的”!这里的意思是说:除了跟随事件一起运动的观测者, 任何其它位置上的观测者都决不可能“同时处在不同的空间位置之上”来确定同一个运动事件的时空坐标。由此而来, 相对论问题就与数学抽象之间, 在立论基础上出现了一定的对立。所以恩格斯早就从哲学意义上强调地指出:“数学的抽象只有在纯粹的数学中才是无条件的, 有效的”。

鉴于上述考虑, 我们必须把观测者对于时空坐标的观测结果分成两种:一是站在运动事件之上的观测者, 用自己携带的时钟, 绝对同时地给出这个运动事件的绝对时空坐标 (t*) ;二是运动事件之外任何位置上的观测者, 也用自己手中的时钟, 针对同一个运动事件给出的, 不完全客观的———具有相对意义的———相对时空坐标 (t) 。出现这种情况的原因是:信息传递速度的有限性———等于真空中的光速。当然, 如果将来发现比光速更快的传递速度, 并不影响我们的讨论原则。相反地, 假如客观上真有传递速度等于无穷大的物质存在的话, 这是绝对不可能的!那么, 牛顿力学就是完全正确的, 而“相对论物理学”就毫无理论价值。这是笔者在广义时空相对论中反复强调的核心思想。

因此, 这里的讨论将根据“广义时空相对论”的理论结果, 先用绝对同步的时间坐标 (t*) , ———以下称作“绝对时间坐标”, ———来研究各种物理变量的函数关系;然后再根据相对时间坐标 (t) 与绝对时间坐标” (t*) 、相对速度 (V) 与绝对速度 (υ) 等物理量之间的变换关系, 研究物理方程的变换关系。这样做, 就能从根本上避免主观描述对客观实际造成的“相对性”, 即“不准确性”。

因为,

用a=d2s/dt*2代表绝对加速度纯量, 并代入上式, 则有:

(四) 广义时空相对论的理论结果与经典物理学理论结果的相互比较。

为了这一目的, 我们需要利用静止时钟的读数 (t) , 来替换方程式 (6) 。为此, 需要先把曲线的特别参数“s”写成如下形式

这里约定:一阶导数s'=s' (t) 是静止的观测者, 用静止时钟所得出的关于动点M对静止观测者的相对速度, 用V来代表。相对速度可以是常数, 对应没有外力作用的保守体系;也可以是相对时间 (t) 的函数, 对应着外力作用下相对速度对于相对时间坐标 (t) 的变化率, 即相对加速度。在没有外力作用的保守体系中, 相对加速度的变化率等于零, 即s″ (t) =0。基于上述考虑则有

第一次微分得出

第二次微分得出

令相对速度纯量ds/dt=s' (t) =V、以及相对加速度纯量η=s″ (t) =d2s/dt2, 则上述二式可以写成

将 (13) 式对应地代入 (6) 式中, 得出

d2珝M/dt2=η·τ珒+k V2·珝μ (14)

显然, (14) 和 (9) 式的数学形式“完全相同”。不过, 这所谓的“完全相同”只是在牛顿力学适用的范围内, 即在c→∞, t→t*时, 才是近似的正确。

然而, 现实生活中, 在大多数情况下, 人们都不可能站在运动物体之上确定运动物体的时空坐标, 而只能借助于逻辑思维 (传递速度为无穷大) 来理性地判定它的时空坐标。比方说, 对于一个在空间中传播的光量子, 无论科技如何发达, 恐怕地球人也不可能直接坐到光子火箭之上, 来记录光量子从光源出发向外传播时所经历的空间距离和时间过程。这样一来, 我们地球人在观测光线在太空中传播的时候, 光子运动的“相对论效应”就一定会展现在我们的面前。由此而论, 用相对时间坐标来讨论这个问题, 也具有某种现实意义。

事实上, 广义时空相对论的理论结果证明, 相对速度是绝对速度的函数, 并且二者之间的函数关系满足以下的数学形式, 即

以运动系的时间 (t*) 为自变量, 把d珝M/dt*对t*求导数, 并注意到a=dυ/dt*, 则有

将上述推导结果加以整理, 得出

或者反过来, 以静止系的时间 (t) 为自变量, 以运动系的时间 (t*) 为函数。来求d2珝M/dt2, 即

d2珝M/dt2=[ (d珝M/ds) (ds/dt*) (dt*/dt) ]'=kξ2υ2·珝μ+ξ2a·τ珒-c2+ξ2υ2aυ2·τ珒 (17')

二、均匀引力场中物质运动的引力方程

诚如上述, 按着广义时空相对论, 传统的“相对速度”和“相对加速度”都不是“真正意义的纯量”, 而是绝对时间坐标 (t*) 的函数。这是因为, 在相对时间坐标 (t) 之中, 包含着“传递运动信息滞后的时间过程”。这里分为三种情况讨论:第一种是没有外力作用的“封闭系统”;第二种是在均匀外力作用下的“封闭系统”;第三种是在恒定外力作用下的“开放系统”。

(一) 对于没有外力作用的封闭系统。切向加速度a=0、η=0, 故 (9) 和 (14) 式分别改写成:

(二) 对于存在外力作用的封闭系统。这种情况, 应分别由 (17) 式和 (17') 表示, 即

显然, 上式与 (9) 和 (14) 式各不相同。它们分别多出来一个额外的“切向分量”。假如这里讨论的是水星绕日的公转运动, 那么, 前者似乎是代表了“水星的进动”, 后者则代表了“地球的退动” (参见【注一】) 。

(三) 在恒定外力作用下的开放系统。

在这种情况下, 相对加速度自然是绝对时间坐标 (t*) 的函数。这里再一次地重申:按着广义时空相对论的基本观点, 在利用光速传递运动信息的前提下, 运动时钟与静止时钟之间, 对于同一个运动事件时间坐标的描述, 所得出的时间坐标 (t*和t) , 根本不可能绝对地同步, 因为在静止时钟记录的时间坐标 (t) 之中, 包含着传递运动信息“滞后”的时间过程 (当然在牛顿力学适用的范围内, 这个滞后的时间过程可以忽略不计。但在天文尺度上, 这个滞后的时间过程不仅不可以忽略不计, 而且有可能是更为重要的组成部分) 。由此而来, (9) 式中 (a) 、 (k) 、 (υ) 与 (14) 式中 (η) 、 (V) 和 (t) , 都不再是纯量, 而是绝对时间坐标 (t*) 的函数。为了方便讨论, 这里把k先当做纯量对待。将 (9) 式对绝对时间坐标 (t*) 求导, 根据导数运算法则, 写出

已知, 上式中的a=dυ/dt*=d2s/dt*2, 对上式进行整理, 可以得出

直接引入微分几何三阶微分邻域上的不变式:

因为ds/dt*=υ, 所以ds=υ·dt*。于是, 我们利用 (22) 式导出如下的关系式:

利用这些关系式来把 (21) 式进一步整理, 得出

显然, 上式中的 (a') 代表切向绝对加速度随着绝对时间坐标 (t*) 的变化率。假设运动物体周围的引力场均匀地分布, 比如在地球引力场中, 则切向绝对加速度 (a) 就是个不随绝对时间坐标 (t*) 变化的常数, 故有a'=0。于是, 上式可进一步地简化成

这个方程式, 就是广义时空相对论关于物质运动的第二个微分方程。

上式的物理意义极为重要:第一项是物质在法向上的受力和运动状态, 代表着物质绕切线“公转”的“匀速圆周运动”;第二项代表着物质在切线方向的受力与运动状态, 代表着切向的绝对线速度;第三项则是副法线方向的受力和运动状态, 代表着以副法线为轴的“自旋运动”。假如均匀外力是来自于地球的引力场, 那么这个微分方程就是物体在地球引力场中运动的引力方程。在上式中, 切向 (τ珒) 的符号为负数, 这就说明:微观粒子在引力场运动, 其切向线速度会翻转运动方向。

实际上, 在日常生活中, 我们并没有看到宏观物体在自由下落时, 伴随着“自转”和围绕切线方向的“公转”, 这是因为宏观物体难以表现出这种运动状态的缘故。相反地, 假如这个运动物体是地球引力场中传播的一个光量子, 那么, 它一定会表现出:在沿着切线方向“公转”的同时, 还伴随着以副法线为轴的“自转”。三种运动状态的合成结果, 使光子的运动轨迹成为一条不停挠动前进的“圆柱形螺旋线”。由此而论, 光量子“波粒二象性”的运动特征, 一定是与引力场存在直接相关。坦率地说:这一理论结果不仅深刻地揭示出微观粒子“波粒二象性”运动特征的物理本质, 而且间接证明“广义时空相对论”这一新时空理论的正确性。

汇总以上的讨论结果, 即

这就是广义时空相对论关于物质运动的第一组微分方程式。

上式中的第一个方程是以广义时空相对论为基础直接得出的理论结果。这里的时间坐标是绝对客观的, 它不包含因为光速传播有限性所造成的观测结果的滞后因素在内, 因而真实地反映出物质的运动状态。正因为这样, 它就和用“具有绝对同时性的数学抽象”, 或者是用“牛顿力学的绝对时空”所给出的时间坐标, 在本质上完全相同;第二个方程式, 则是在均匀引力场中物质运动的微分方程, 它全面地反映了物质在均匀引力场中的运动状态。这是经典理论中未曾获得过的理论结果。

三、物质在非均匀引力场中运动的微分方程

(一) 三阶微分邻域的不变矢量。

(二) 三阶微分邻域的不变式与相伴三面形的运动。

(三) 在任意引力场中相伴三面形的运动方程。

下面, 先把上述讨论所得相关参数代入上式的第三个方程式, 则有

假如a'=d3s/dt*3=0, 即:这个圆周运动是匀加速的, 其向心加速度 (a) 是个常数。这样一来, 上式就可以简化成:

这个方程式, 就是广义时空相对论关于物质运动的第三个微分方程。

归纳上述所有讨论内容, 我们把 (5) 、 (26) 和 (31) 汇集到一起, 可以写出:

上面这一组方程式, 就是广义时空相对论给出的, 在任意形式下, 物质运动的微分方程。也可以称作第二组微分方程。在这一组方程式中的第三个方程式, 就是在均匀引力场 (包括地球引力场) 中, 物质运动的引力方程;而第四个方程式就是物质在广袤宇宙中运动的引力方程。

除此之外, 我们这里还专门讨论过相对时间坐标是绝对时间坐标的函数时的微分方程, 并给出了一组在视觉效果上存在区别的运动方程 (14) 式和 (17') 式, 汇总到一起, 即

这一组微分方程仅仅具有相对的物理意义, 因为, 这其中包含着观测者同运动事件相对位置这种主观性因素———相对时间的滞后———对观测结果带来的相对性。

四、微波背景辐射与恒星系光谱的红向移动

(一) 关于微波背景辐射的天文观测。

如所周知, “微波背景辐射”是来自宇宙背景上“各向同性”的微波辐射。这里的“各向同性”一词, 具有极为重要的两个含义:一是小尺度上的各向同性, 在小到几十弧分的范围内, 辐射强度的起伏小于0.2%~0.3%;二是大尺度上的各向同性, 沿天球各不同方向, 辐射强度的涨落都小于0.3%。微波背景辐射具有各向同性“黑体辐射谱”的基本事实清晰地表明:在广袤宇宙中, 无数天体的分布, 总体上来说, 是相对均匀的。这样一来, 如果按着“大爆炸模型的宇宙生成论”, 只能表明:地球是这一次宇宙大爆炸的核心位置。然而, 这是绝对说不过去的!如此广袤的宇宙, 最初的大爆炸, 怎么可能是以小小的“地球”为核心?

为了自圆其说, “理论宇宙学”提出了一个充满自相矛盾的“公设”, 即:在空间中任意一点, 以及从任意一点位置上的任何方向来进行观测的话, 宇宙的大尺度图景是没有区别的, 而且对宇宙中各处的观测者来说, 它们所观测到的物理量和物理规律完全相同, 没有任何一个观测者会处于与众不同的特殊地位。显而易见, 提出这一公设是为了解释红移现象、宇宙膨胀论以及哈勃定律。然而, 这个公设实在太牵强附会了, 根本不能自圆其说。因为:同时满足这些要求的“任意一点”根本就不存在!承认宇宙在不断地膨胀就一定有膨胀的边缘, 既然有膨胀的边缘就一定不是大尺度的宇宙, 既然不是大尺度的宇宙, 它的特征就与大尺度的宇宙图景毫不相关。

(二) 光量子的老化模型与微波背景黑体辐射谱。

下面就微波背景辐射问题, 作探索性的讨论与分析。诚如所知, (31) 式中的dk/ds是曲率对距离的变化率。以光量子的传播为例, 可以写出

我们已经排除太空引力场对曲率 (k) 的影响, 所以设想dρ/dt*是一个常数, 并记作

因为这个常数是一个负数, 代表着微观粒子圆周运动频率的“衰减”, 而且在上述讨论中, 曲线的曲率半径 (ρ) 、或者说曲线的曲率 (k) 是事先确立的几个不变的基本参数之一, 所以这里只有频率 (ω) 在不断地衰减, 即“老化”。基于这一考虑, 我们把这个常数 (χ) 定义为衰减常数, 它的量纲应为 (cm·s-4) , 这是一个“导出量纲”。由此, 我们可以把 (35) 式可改写成

将上式代回到 (31) 式, 得出:

这里不妨假设:当

取光速c=2.997924×1010 (cm·s-1) , 从而得出:

(三) 微波背景辐射黑体谱的数学估算。

天文观测已经证实:微波背景辐射频率在1011 (s-1) 左右有较大值。针对这一天文观测结果, 这个微波背景辐射频率很可能是以1014 (s-1) 为高端频率构成的可见光光谱, 经过长达130多亿年的衰减过程后, 残留下来的微波频率所构成的“黑体辐射谱”。为了验证上述猜测的可信度, 这里需要根据已知的参数来进行必要的数学估算。为此, 不妨以1014 (s-1) (赫兹) 的紫色光作为可见光光谱中的最高端频率来进行数值估算。

上面已指出, 衰减常数 (χ) 代表着光量子的频率 (ω) 随着传播时间的推移而逐渐衰减。因此, 求出紫色光量子能量的衰减比 (用δ表示) , 并利用能量的衰减比和残留特征量 (Θ) , 就可以反推出紫色光量子实际衰减的特征量 (用Φ表示) , 即Φ=Θ/δ。然后, 再利用衰减常数 (χ) 去除以实际衰减的特征量 (Φ) , 就可以计算出紫色光量子实际衰减的时间过程 (用T表示) 。

下面来推导紫色光量子能量的“衰减比” (δ) 。已知, 紫色光量子的最高端频率为ω紫=7.686958×1014 (s-1) 左右, 此时的波长λ=3.9×10-5 (cm) 左右;微波背景辐射黑体谱在波长0.19 (cm) 处有最大强度, 即在ω黑=1.577855×1011 (s-1) 处有最大强度 (见图1) 。用ε黑代表衰减后的能量、ε紫代表紫色光量子的初始能量, 那么紫色可见光量子的“残留能量”与“初始能量”的“衰减比”为

再用微观粒子的衰减常数 (χ) 去除以实际衰减的特征量 (Φ) , 就得出实际衰减的时间 (T) , 即

诚如所知, 2003年由美国发射的威尔金森“各向异性探测器” (WMAP) 取得的观测资料给出:哈勃常数H0=73 (km/s·Mpc) 。这个数字被公认为目前有关哈勃常数的最精确观测结果, 并由这个观测结果推算出:可观测宇宙的尺度为137亿光年。我们能够绝对精确地算出137亿年的“总秒数”为4.323298862×1017 (s) , 其中每年共计3.1556926×1017 (s) 。于是, 可计算出理论估算的“衰减时间”与137亿年“精确时间”的“相对误差” (用ΔX137来表示) 为:

相对误差为正数表明:不是137亿年的观测值偏小, 就是曲率半径的取值偏大。

我们不妨肯定137亿光年的观测值完全正确, 适当减小曲率半径的取值, 然后重新验算一次。为此, 把紫色光量子的曲率半径修正为ρ=6.772886×10-10 (cm) , 这个数值约为玻尔半径的12.7992%。这一次, 直接用T=γ·Ω (s) 的关系式来验算, 即

进而得出修正后的理论估算值同137亿年精确值的相对误差为

显然, 这一理论估算值令人满意。

到此为止, 我们是否就可以断言:微波背景辐射谱就是可见光衰老的产物呢?现在还不是时候。尽管理论估算值令人十分满意, 但光子公转曲率半径确切尺度还没经过实践检验。为此, 这里提出两个实验方案:制作两片“缝隙”与“格栅”宽度均为1纳米的精密玻璃光栅, 叠放在一起, 相对平移两片光栅可使缝隙宽度从0变到1个纳米。实验时, 光栅一侧放置单色光源, 另一侧放置接收装置。缓慢改变光栅缝隙宽度, 在刚好透过 (或遮住) 单色光的瞬间, 确定缝隙宽度, 这个宽度就等于单色光量子的公转直径。另一个方案, 已知紫色光量子的频率 (ω) , 根据υ=ω·ρ, 测出线速度 (υ) , 就得出 (ρ) 的数值。

如果实验证明紫色光量子曲率半径修正值在合理的实验误差范围内, 就足以证明以下五点:第一, 上述推导所运用的理论是完全正确的;第二, 137亿光年的确是地球人目前的最大视距;第三, 微波背景黑体辐射谱最大强度的频率就是紫色光量子残留谱线的频率;第四, 关于恒星系之间存在退行运动的哈勃定律是完全错误的;第五, 大爆炸模型的宇宙生成论是完全错误的。非常有趣的是, 这里竟然用极小微观领域的物理实验, 来验证极大宏观领域的自然现象。

这里, 我们还必须清醒地认识到:不管是137亿光年的可视距离、还是更远的可视距离, 都不代表着宇宙的真实尺度, 而只能代表“地球人”目前的“可视尺度”。的确, 用各向异性探测器 (WMAP) 取得的观测资料一定会比站在地球上, 用太空望远镜取得的观测资料更为精确, 不过这种精确度只代表探测器的视界比太空望远镜的视界更远一些, 决不代表这个视界就是宇宙的最前沿!通常意义的“宇宙”肯定是无限的。正如《佛经》所云:“其大无外, 其小无内”。这正是辩证唯物主义的宇宙观。

五、广义时空相对论与爱因斯坦广义相对论的区别

从普遍的意义上来说, 所有数学理论都是利用抽象的“数”和“形”的概念, 来抽象地描述现实事物的各种相互关系, “数”可以是1, 2, 3, 4, 5……, 也可以是x, y, z, t......;而“形”可以是直线, 三角形、四边形、圆和球……。但是, 当人们对客观事物进行这种“数”和“形”抽象, 及其研究它们之间的相互关系时, 却从来不考虑:一条直线的两个端点, 在时间顺序上是否存在着“先”与“后”?也从来不考虑:一个三角形的三个顶点, 在时间顺序上的是否存在着“早”与“晚”?几千年来, 所有数学理论都是这样做的。几何学家从来都是同时地面对一条直线的两个端点, 也从来都是同时地面对一个三角形的三个顶点, ……。这是理所当然的, 是无可非议的。但是, 我们必须清楚地认识到:这种不考虑时间顺序的做法, 这种同时面对所有几何元素的做法, 只能说明:数学抽象是建立在相互作用的传递速度为无穷大、同时性是绝对的时空观念之上。换言之, 自古以来, 人们的“理性思维”一直是建立在绝对同时性的时间观念之上。而物理学的理论基础刚好是数学理论, 所以在物理学中, 不仅物理变量是数学的抽象, 而且物理方程的协变性也是来自于抽象的数学理论。

正因为这样, 爱因斯坦在他的狭义相对论中, 明知同时性是相对的, 还继续用惯性坐标系和狭义相对性原理, 来进行物理变量间的坐标变换;而在他的广义相对论中, 则进一步地用“物理方程的协变原理”, 来寻求两个物体系统之间物理方程的协调关系。为了能够自圆其说, 爱因斯坦更是提出:“所有坐标系统都是平权的, 没有那一个坐标系统比另一个更优越”这种貌似符合逻辑的物理原理。在这一思想指导下, 爱因斯坦开始集中全部精力, 用微分几何和张量代数来描述“两个绝对平权参考系统之间”, 时空坐标和物理方程的协变关系。殊不知, 他所使用的数学理论, 都是建立在绝对同时性的数学抽象之上。由此而论, 不加思考地套用数学理论来研究相对论问题, 只要他不是“神仙”, 就肯定是没有摆脱绝对同时性的时间观念!

虽然在上述讨论中我们也是引用微分几何学的理论结果, 但是, 这里的讨论与爱因斯坦的讨论相比较, 在做法上截然不同。具体地说, 广义时空相对论, 既不是两个完全独立惯性坐标系之间的坐标变换, 也不是两个绝对平权物体系统上物理方程的协变关系, 而是两个不同位置的观测者, 针对同一个相伴三面形T (M, τ珒, 珝μ, 珗β) 顶点运动所形成的唯一“流动径矢”, 分别用各自携带的时钟和计程仪, 所得不同时空坐标的“相对比较”。简而言之, 流动径矢是唯一的, 描述结果却是各不相同的。相对论这一学术课题, 恰恰是从这种不协调与不相同的主观描述中, 寻求协调和相等的数学关系。从普遍的意义上来说, 物理学中的任何坐标变换, 都是在不相等与不协调之中, 寻求相等与协调的对立统一。

六、结语

以上讨论, 得出了物质在均匀和非均匀引力场中运动的微分方程。把广义时空相对论给出的“引力方程”应用于地球的引力场中, 给出了微观粒子“波粒二象性”的物理本质;应用于光线在宇宙中的传播问题:从宏观上看, 光的传播路径是一条在三维空间中波浪式前进的“直线”;从微观上看, 在引力场中传播的光量子, 总是以自己的前进方向为“轴线”不停地“公转”加上“自转”, 从而导致微观粒子运动形式的波粒二象性特征。运用这个引力方程还证明:由遥远恒星系出发的光量子, 在广袤宇宙中传播的同时, 频率会逐渐衰减, 波长的相应增加, 从而导致恒星系光谱的红向现象;而且, 正是经过长期衰减的可见光光谱的残留谱线, 构成了微波背景辐射的黑体谱。这一理论结果的重大意义在于:不仅为恒星系光谱红移现象的成因提供了符合逻辑的科学解释;更在于从理论上否定了“大爆炸模型的宇宙生成论”。总之, 广义时空相对论的引力理论, 将为引力理论和理论宇宙学的完善与发展作出重大贡献。

【注一】:广义时空相对论认为:考虑到光速传播有限性之后, 绝对时间 (t') 和相对时间 (t) 存在着一定的函数关系。即t=t'+Δt。其中的 (Δt) 则是传递运动信息滞后的时间过程。于是, 我们从相对时间 (t) 和绝对时间 (t') 之间, 互为“反函数”的角度上来考虑问题, 得出了关系式 (19) 。显然, 这个关系式与 (9) 和 (14) 式有所不同。它们各自多出来一个额外的“切向加速度分量”。以水星的进动为例, 前者似乎代表了“水星的进动”, 后者代表了“地球的退动”。不过计算表明, 这种效应只有天文观测值的百分之一。这一结果似乎表明:相对论效应并不是水星进动的根本原因。例如, 我们已知, 太阳五个主要行星的公转速度、曲率半径、以及相关参数等, 可以列表表示如表1。

参考文献

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[2]夏烆光.对爱因斯坦广义相对论的深度剖析[J].产业与科技论坛, 2014

[3] (苏) C.Π.芬尼克夫著;施祥林、徐家福译.微分几何教程[M].北京:人民教育出版社, 1954, 7, 第1版

[4]夏烆光.惯性参考系与牛顿力学的适用范围浅探——剖析狭义相对论的逻辑谬误与概念错误[J].产业与科技论坛, 2014

[5]赵常德著.物理学基础研究文集[M].成都:电子科技大学出版社, 2012

[6]微波背景辐射[EB/OL].http://tieba.baidu.com/p/2475785369

[7]赵君亮.哈勃定律与哈勃常数[EB/OL].科学, 51.http://www.doc88.com/p-199267865714.html

[8] (苏) B.A.福克著;周培源, 朱家珍, 蔡树堂等译.空间、时间和引力的理论[M].北京:科学出版社, 1965, 第1版

广义估计方程 第6篇

本文主要考虑(2+1)维的广义Burgers方程,首先从贝克隆变换开始,通过运用一种简化的多线性分离变量法[11,12,13],将其约化为一个含有关于{y,t}的任意函数的线性演化方程。并在此基础上进一步拓展此方法,去寻求形如f=p(x,y,t)+q(y,t)形式的解,于是一些包含分离变量形式的新解便得到了。

1 (2+1)维广义Burgers方程的新解

首先,给出(2+1)维广义的Burgers方程[14]的形式:

ut+uxy+uuy+ux∂x-1uy=0 (1)

对方程(1)进行如下的贝克隆变换:

w=lnf+w0(y,t),u=(lnf)x (2)

这里w0(y,t)是{y,t}的一个任意函数。从(2)式很容易得到

u=wx (3)

这样就得到了u,w之间的一个转换关系式。将(3)式代入(1)式,得

∂x(wt+wxy+wxwy)=0 (4)

设w=lnf+w0(y,t),代入(4)式中得到

undefined (5)

从(5)式可知,要得到方程(1)的解,也就是要寻找方程(5)的解。为了得到(5)式的解,在这里,令w0=wo(y),因此,方程(5)化简为

ft+fxy+w0yfx=h(y,t)f (6)

(6)式中, h是关于{y,t}的任意函数。在(6)式中,令h(y,t)=w0y-μ1-μ2,其中μ1,μ2为任意常数。寻找如下形式的解

f=p(x,y,t)+q(y,t) (7)

将(7)式带入(6)式得到

pt+qt+pxy+w0ypx=(w0y-μ1-μ2)(p+q) (8)

由(8)式可以得到

qt-(w0y-μ1-μ2)q=0 (9)

pt+pxy+w0ypx-(w0y-μ1-μ2)p=0 (10)

由(9)式我们可以得到

q(y,t)=C(y)e(w0y-μ1-μ2)t (11)

(11)式中,C(y)是一个任意函数。要得到p(x,y,t)的形式,设

p(x,y,t)=p1(x)p2(y)p3(t) (12)

将(12)式带入(10)式,有

undefined (13)

由于(13)式等号左边是关于{x,y}的函数,而右边是关于{t}的函数,于是有

undefined (14)

(14)式中,μ1是一个任意常数。

由方程(14)得

p3(t)+μ1p3=0 (15)

p1xp2y+w0yp2p1x-(w0y-μ2)p1p2=0 (16)

由(15)式可得

p3(t)=c3e-μ1t (17)

(17)式中c3为任意常数。由(16)式可得

undefined (18)

由(18)式可得

p2y+μ2p2=0 (19)

p1x-p1=0 (20)

由(19)式—(20)式得

p2(y)=c2e-μ2y (21)

p1(x)=c1ex (22)

这里c1,c2为任意常数。于是,由(11)式,(17)式,(21)式,(22)式可得

q(y,t)=C(y)e(w0y-μ1-μ2)t (23)

p(x,y,t)=cex-μ1t-μ2y (24)

这里c=c1c2c3为任意常数。则

f=cex-μ1t-μ2y+C(y)e(w0y-μ1-μ2)t (25)

这样,我们要寻求的方程(5)的解就得到了。总结以上计算,有如下结论:

定理1 已知w0(y,t)=w0(y)和C(y)是任意函数,μ1, μ2,c是任意常数,若函数f=f(x,y,t)的形式是以下的形式

f=cex-μ1t-μ2y+C(y)e(w0y-μ1-μ2)t。

则

w=ln f+w0, u=wx

是(2+1)维的广义的Burgers方程(1)式的解。

证 证明过程由以上计算过程可直接得到。

注:从数学角度来看,文中出现的函数须对其光滑性作一定的要求,但为了表述上的方便,全文中出现的函数均假定具有所处理问题要求的光滑性,而不再加以说明。

2 总结和讨论

本文运用一种简化的多线性分离变量法于(2+1)维广义的Burgers方程上,并将此法进一步拓展,去寻找形如f=p(x,y,t)+q(y,t)形式的解,从而得到了原方程的新的精确解,其中包括分离变量形式的新解,由定理1给出。由文中可以看到,最终可以得到f=p1(x)p2(y)p3(t)+q(y,t)形式的新解。这些解不同于用多线性分离变量法所得到的解,据我们所知,这些解的形式在本文第一次给出。同时,本文的方法也适用于其他一些(2+1)维的非线性演化方程,更多新解将会得到。

摘要：运用一种简化的多线性分离变量法,将(2+1)维广义的Burgers方程约化为含有关于{y,t}的任意函数的一个线性演化方程。通过进一步改进这种方法,寻找形如f=p(x,y,t)+q(y,t)形式的解,从而得到了原方程的一些包含分离变量形式的新解。

广义估计方程 第7篇

风险规避在经济学中用来解释不确定情况下代理人的行为。在拍卖活动中被拍物品对竞价人来说具有很高的价值,使他们不愿面对更多的不确定性从而成为风险规避者。风险规避情形下的拍卖模型和最优机制设计的研究始于Maskin和Riley[1]以及Matthews[2],如今越来越多的文献研究表明竞价人是趋于风险规避的。Cox等[3]研究了在独立私有价值模型下,风险规避的竞价人相对于风险中性的竞价人往往倾向于更少地掩盖其私有信息从而导致过投标。Goere等[4]估计了均衡竞价行为的噪声模型,并分析了分位数响应均衡中的潜在竞价人是风险规避的。在实证研究中,Athey和Levin[5]使用美国林业局的拍卖数据证明了木材种类的多样性与竞价人的风险规避程度是一致的。Bajari和Hortacsu[6]使用结构估计方法利用实验数据估计了第一价格密封拍卖下四种模型(风险中性模型、风险规避模型、学习模型和竞价的量子响应模型)的结构参数,对每种模型得出的估计值与实际值进行了对比分析,发现风险规避模型能得到更合理的估计。

自从Paarsch[7]将结构计量方法用于拍卖模型的实证研究以来,近年来相关的技术方法引起了广泛关注并且逐渐趋于成熟。Donald和Paarsch[8]改进了传统的最大似然方法,使其可以在更一般条件下估计特征分布的参数。Donald和Paarsch[9]进一步研究了参数估计的可识别性问题及其估计量的性质。Lundberg[10]利用该方法对瑞典政府采购体现在价格和竞争水平方面的不同地区的差异性进行了实证研究,得到了不错的效果。尽管如此,该方法只适用于风险中性的情形,它并不能很好地解释代理人的投标行为。本文把分段伪最大似然估计方法推广到存在两类投标人数时风险规避的情形,并总结了一个简单的估计过程。为验证风险规避情形下估计过程的可行性,本文分别用1000次蒙特卡罗模拟实验对随机抽取的四个风险规避参数(其中包括风险中性的情形)进行拟合效果分析。实验结果表明本文针对风险规避情形提出的估计过程能够很好地估计第一价格密封拍卖模型中的结构参数。

本文首先假定私有估计成本来自于帕累托分布,简要描述了独立私有价值模型下第一价格密封拍卖的风险规避模型;然后简单介绍经典的分段伪最大似然估计方法,并将其推广到存在两类投标人数时风险规避的情形,并给出一个简单的估计过程;最后利用蒙特卡罗模拟实验验证估计过程的可行性,并简要总结本文的研究成果。

2 风险规避模型

本文考虑对称独立私有价值模型中风险规避情形下的第一价格密封拍卖,为便于讨论,假设不存在最低保留价。设有n个投标方竞拍某个项目,规定赢者是出价最低的投标方且支付价为其投标价。如果不止一个投标方出价相同且最低,则项目以随机的方式进行分配。假设投标方对项目的私有估计成本ci(i=1,2,…,n)是连续型随机变量,它独立同分布于共同函数F(·),且概率密度f(·)定义在区间[c,c珋]上。与Lu等[11]、Campo[12]、Bajari和Hortacsu[6]的讨论类似,本文考虑投标方的效用U(·)为满足U′(·)>0,U″(·)≤0和U(0)=0的不变相对风险规避(CRRA)效用函数U(x)=xγ,γ∈[0,1]。其中,当γ=1时对应为风险中性的情形。

2.1 均衡投标函数

令bi=σ(ci)为投标方i的均衡投标函数,其分布函数和密度函数分别记为G(bi)和g(bi)。在对称独立私有价值模型下,如果贝叶斯纳什均衡策略bi=σ(ci)存在,则它在[c,c珋]上是严格递增、连续和可微的[1]。因此,均衡策略的逆函数ci=σ-1(bi)存在且与均衡投标函数有相同的性质。考虑第i个投标方的期望效用:

EUi= [1-F(σ-1(bi))]n-1(bi-ci)γ

最大化上述期望效用并注意到bi=σ(ci),得到一阶条件:

使用边界条件σ(∞)=∞,解上述微分方程可得均衡投标函数:

由式(2)可知,σ(c)是关于随机变量c的单调递增函数,因此投标价b=σ(c)也是一个随机变量,且G(b)=prob(x≤b)=prob(x≤σ(v))=prob(σ-1(x)≤v)=prob(σ-1(x)≤σ-1(b))=F(σ-1(b)),g(b)=f(σ-1(b))/σ′(σ-1(b)))。另外,Guerre等[16]证明了分布函数F是唯一确定的。

为了便于说明问题,本文把私有成本c的分布函数限定为帕累托分布。此分布表达能力非常强,经常见诸于相关的文献,如Donald和Paarsch[8,9]。其他的分布函数,如指数分布和韦伯分布等,估计过程可类似地得到。帕累托分布函数和密度函数分别为

把它们代入式(2)得:

其中,m=n-1是投标方的竞争对手个数。当c取值为θ1时,投标价b可以达到下界b(m)=[θ1m(θ2/γ)]/[m(θ2/γ)-1]。投标价的下界依赖于特征分布参数θ1和θ2,因此传统的最大似然估计方法不再适用。

式(2)和式(3)都把均衡投标价b看作是私有成本c的函数,而现实的拍卖数据往往知道投标价而不知私有成本,因此本文考虑用投标价b表示私有成本c.注意到ci=σ-1(bi),于是一阶条件(1)又可表示成:

把F(σ-1(bi))=G(bi)和f(σ-1(bi))/σ′(σ-1(bi))=g(bi)代入上述方程可得:

其中,。另外,式(3)也可表示成b的函数:

2.2 投标价的分布

由前面的分析知g(b)=f(σ-1(b))/σ′(σ-1(b))=f(c)/σ′(c),把帕累托分布的密度函数f(c)代入其中,并结合式(3)的导数σ′(ci)=[m(θ2/γ)]/[m(θ2/γ)-1]得:

类似地,由式(3)可得:

根据前面的分析知:G(b)=F(σ-1(b))=F(c),把上式c代入其中并结合分布函数F(c)=1-θ1θ2/cθ2 ,可得:

记c(i:n)是来自样本容量为n的私有成本c的分布的第i个最小次序统计量,则赢者的私有成本为最小成本c(1:n).因此,赢者投标价w=σ(c(1:n))的密度函数与f(c)有关,即为

其中,为最小次序统计量c(1:n)的密度函数。

3 广义分段伪最大似然估计

当均衡投标策略的取值范围依赖于特征分布的参数时,普通的最大似然估计方法不再适用,而分段伪最大似然估计方法却不受此限制。本节将传统的分段伪最大似然估计方法推广到风险规避的情形,并针对存在两类不同的投标人数时给出一个简单的结构估计过程。

分段伪最大似然估计方法基于这样一个事实:设共有T次类似的招投标活动,在第t(t=1,…,T)次招投标中投标方的竞争对手个数为mt,则均衡投标价下界的一致估计量等于所有可观测投标价中的最小投标价,即

令可观测的最小投标价与均衡投标价的下界相等,则

整理上式可把参数θ1表示成θ2的函数(当然也可以把参数θ2表示成θ1的函数):

参数θ1和θ2的估计顺序并不重要,不妨首先估计参数θ2.把θ1的表达式(9)代入式(8)并取似然对数,得:

其中,t=1,…,T.利用最大似然法估计参数θ2,并类似于Donald和Paarsch[8]定义θ2的估计量,

接下来估计风险规避参数γ.把θ1的表达式(9)和θ2的估计量(10)分别依次代入式(6)和式(7),得到g(b;m)和G珟(b;m)的估计量:

利用Campo等[12]分位数的思想,令cα表示第α 个私有成本分布的百分位数,bα(m)表示的第α个百分位数。如果令与其估计量G珟∧(bα;m)相等,即

则

把式(12)代入式(11),得:

假设在所有的T次招投标活动中可观测的投标人数分为两类,记每类投标方的竞争对手个数分别为m1和m2.对不同的m1和m2,把式(4)中g(b)和G珟(b)分别用其第α个百分位数的估计量代替,可得:

上述两个方程做减法运算可以得到如下的表达式[6]:

把式(12)和式(13)代入式(14),其中,则风险规避参数γ可以很容易被估计:

从式(15)可以看出分位数α在估计量的表达式中消失,这意味着风险规避参数的估计量与分位数无关。注意,这个结果不同于An等[13]在使用非参数方法时对分位数的讨论。

最后是对参数θ1进行估计。重新整理式(15),得:

把式(16)代入式(9),对不同的m1和m2分别可得θ1的估计量。但是经过整理发现:尽管m1≠m2,两者所对应θ1的估计量相同且均独立于θ2和γ,即

式(17)说明当所有的观测数据中仅有两类不同的投标人数时,参数θ1的估计量相同,这不同于Donald和Paarsch[8]的讨论,后者对不同的投标人数所得到的θ1的估计量是不相同的,即使只存在两类不同投标人数时。

通过以上讨论,风险规避情形下存在两类不同投标人数时的分段伪最大似然估计过程总结如下:

步骤1:分别根据表达式(17)和(10)估计特征参数θ1和θ2;

步骤2:通过表达式(15)估计风险规避参数γ,其中θ2由其估计量替代;

步骤3:把θ2和γ的估计量代入式(5)计算伪私有成本.

上述估计过程虽然简便,但在使用过程中仍需要注意以下几点:

①特征参数θ1和θ2的估计顺序不重要,这不同于Donald和Paarsch[8]的工作,但是θ2的估计必须先于风险规避参数γ的估计;

②如果只对私有成本的估计感兴趣,则在整个估计过程中只需根据表达式(16)对θ2/γ 进行估计,进而把估计量代入式(5)计算私有成本,这样可以大大缩减计算时间;

③上述估计过程只适用于M=2 的情形,其中M是所有可观测的投标人数的种类。如果M>2,仍然可以得到θ2的唯一估计量,但是θ1和γ 的估计量有CM2>2个,如何确定θ1和γ的最优估计量需要进一步的讨论。

4 实验和讨论

4.1 实验设计

为了研究本文所提出的广义分段伪最大似然估计过程的可行性,本文采用蒙特卡罗模拟实验进行验证。在所有的实验中,根据本文1.1节的介绍,假设私有成本c服从特征参数为θ1和θ2的帕累托分布,因此私有成本c是依据帕累托分布随机抽取的,其中特征参数θ1和θ2的取值分别为1 和2(参照Guerre等,2000)。私有成本数据产生后,由于投标价b和私有成本c存在式(5)所示的关系,因此投标价数据依据式(5)产生。投标方效用函数U(x)=xγ(γ∈[0,1])中的风险规避参数γ 取10个不同的值,分别为0.1i(i=1,2,…,10),其中γ10对应于风险中性的情形。限于篇幅,本文只给出γ1、γ5、γ8和γ10的估计结果,详见表1。考虑T=400次招投标,其中的T1=200次招投标中有n1=3个投标方;T2=200次招投标中有n2=7个投标方,这些投标方的人数在实际招投标活动中经常遇到。对应地,投标方的竞争人数分别为m1=2和m2=6。重复1000 次蒙特卡罗模拟实验,每一次实验都会随机的生成T1n1+ T2n2=600+1400=2000个来自帕累托分布的私有成本。本文数据集的生成过程类似于Guerre等[14],区别在于Guerre等只考虑了风险中性时的情形。

实验中投标方的私有成本、特征参数和风险规避参数都是已知的,因此可以把这些已知数据与结构估计量直接进行比较。

4.2 结果和讨论

估计值和实际值之间的距离通常被用来评价一个模型的好坏,使用2-范数定义这样的一个距离,即

其中,n为参与投标的人数,T为招投标的次数,cit表示第i(i=1,2,…,n)个投标方在第t(t=1,2,…,T)次招标中的私有成本。使用本文提出的估计过程对四个不同风险规避程度下的第一价格密封拍卖模型进行结构估计分析,结果详见表1,其中d1和d2分别表示n=3和n=7时估计值和实际值之间的距离,max表示最大距离。

由表1不难看出参数θ1,θ2和γ 的拟合效果非常好,私有成本的估计精度也很高,证实了本文提出的结构估计过程是可行的。分析表1中所有γ的估计量可知,n=7时所有的评价指标均优于n=3时的评价指标,这说明当投标人数较多时,本文所提出的估计方法具有更好的优势。

为进一步评价私有成本的估计效果,图1绘出了实际私有成本和估计私有成本在区间[1.0,1.85]内的概率密度函数。图1包含了四个小图,它们依次对应于风险规避参数γ=0.1,0.5,0.8和1.0时的情形。图中实际私有成本的分布曲线用实线表示,而三条虚线分别表示1000次模拟实验中估计成本分布^f(c)的均值、5% 百分位数和95% 百分位数,这样将私有成本f(c)界定于的90% 的置信区间内。由图1容易看出:四个实际私有成本曲线均落在了相应的置信带内,所有估计成本的均值都非常完美的接近实际值(两条曲线几乎完全重合)。这再次证实了本文所提出的估计过程具有很好的估计效果,无论是对风险规避情形还是风险中性的情形。

5 结语

本文把针对第一价格密封拍卖模型的分段伪最大似然方法推广到了存在两类投标人数时风险规避的情形,并给出了相应的结构估计过程。在估计过程中私有成本特征参数的估计顺序并不重要,这点不同于Donald和Paarsch[8]的工作。如果感兴趣的只是私有成本的估计量,则在整个估计过程只需估计一个整体参数即可,这样估计效率可以得到很大的提高。值得注意的是,本文提出的简单估计过程虽然只是针对存在两类投标人数的情形,但很容易推广到多类投标人数的情形,不过此时的估计量不再是唯一的,如何确定最优的估计量是后续研究的内容。

为验证所提出的估计过程的可行性,本文随机选取了四个风险规避参数(其中包括风险中性的情形),并对这四种情形分别做了1000次蒙特卡罗模拟实验。实验结果表明特征参数、风险规避参数以及私有成本的拟合效果都非常好,这说明无论是对风险规避还是风险中性的情形,本文所提出的估计过程都能对第一价格密封拍卖模型中的结构参数做出很好的估计。

摘要：越来越多的研究表明投标人是趋于风险规避的,而作为一种经典第一价格密封拍卖的结构估计方法,Donald和Paarsch的分段伪最大似然估计(PPMLE)只适用于风险中性的情形,为此本文把PPMLE方法推广到投标者为风险规避的情形。为便于估计风险规避参数和分布函数的特征参数,本文总结了一个简单的估计过程;为验证估计过程的可行性,本文考虑了四个不同的风险规避参数(包括风险中性情形),分别用蒙特卡罗模拟实验进行拟合效果分析。实验结果表明,无论是对风险中性还是风险规避的情形,本文所提出的估计过程对第一价格密封拍卖模型的结构参数均能做出很好的估计。

广义估计方程 第8篇

PID控制技术是目前应用最广泛的控制技术,PID控制是一种应用历史悠久、工业界比较熟悉的简单控制算法。自1992年Hagglund提出预测PI控制器(Hagglund,1992)的思想以来,预测PID算法得到了逐步的发展和完善,并成功地应用在一些复杂对象的控制上。控制理论由于它产生的巨大经济效益吸引了越来越多的关注,大量的先进控制算法应用在纷繁复杂的工业过程中,也缩小了理论和实践之间的差距。

预测算法和PID 结合在一起的控制器。PID控制器和过程的滞后时间无关,而预测控制主要依赖过程的滞后时间,根据以前的控制作用,来给出现在的控制作用。而这种PID控制算法将PID的简单性、实用性、鲁棒性和模型预测控制算法的预测功能有机的结合起来了。

本文运用Toeplitz方程求解丟潘图方程,减少了预测控制计算负担,缩短了预测控制器在线优化时间,同时解决了系统时滞引起的控制问题,整定了PID控制参数,达到了预期的效果。

1 问题的提出

近几十年来,控制理论由于它产生的巨大经济效益吸引了越来越多的关注,大量的先进控制算法应用在纷繁复杂的工业过程中,也缩小了理论和实践之间的差距。另一方面,传统的PID控制器,由于其简单稳定易操作的特性,仍然在控制市场占有相当大的使用份额。所以在现今全球竞争日益激烈的市场环境下,通过先进控制改进传统的控制器,优化传统的控制方法来获取经济效益提高企业竞争力,已成为一种趋势。

但是复杂工业过程存在着难于建模、关联复杂、对象结构与参数时变、干扰与环境不确定、要求与约束多样性等特点,传统的最优控制基于对象的精确数学模型,它在工业环境中并不适用,这已为工业过程的实践所证实,基于优化的控制显然优于单纯调节。所以就带来了问题:如何以合适的方式将优化结合到动态控制中,形成适应于复杂工业过程的优化控制模式,预测控制就满足了这点要求。

本研究课题将广义预测控制和经典PID控制方法相结合,用预测优化原理解决大时滞系统的控制难题。通过对Diophantine方程快速求解,避免了传统GPC算法中递推求解Diophantine方程的繁杂过程。

2 基于Toeplitz方法改进的GPC

2.1 GPC的基本表达

首先,性能指标J函数表达如下:

$J={\displaystyle \sum _{t=1}^{{\rm N}}\parallel }e(i)\parallel {}_2^2+\lambda {\displaystyle \sum _{t=0}^{{\rm M}-1}\parallel }△u(i)\parallel {}_2^2(1)$

其中,e(i)是对象输出和参考平滑曲线之间的误差,即e(i)=y(k)-ω(k+i)。N是预测时域,M是控制时域。λ是控制加权常数。

可以把以上方程写成向量形式:

$J=\stackrel{—}{{\displaystyle \mathit{E}}}{}^{{\rm T}}\stackrel{—}{{\displaystyle \mathit{E}}}+\lambda △\mathit{U}{}^{{\rm T}}\mathit{U}(2)$

其中,E=Y-Q是预测输出误差向量,Y是未来输出向量,ΔU是未来控制增益向量。

2.2 介绍Toeplitz方程

给定一个单输入单输出被控对象传递函数模型:

A(z-1)y(k)=z-1B(z-1)u(k) (3)

其中,A(z-1)和B(z-1)是差分后移算子z-1的多项式:

A(z-1)=1+A1z-1+…+Anaz-na (4)

B(z-1)=B0+B1z-1+…+Bnbz-nb (5)

引入增益模型:

D(z)y(k)=z-1B(z)△u(k) (6)

其中,△=1-z-1,D(z)=A(z)Δ

引入卷积矩阵CI和汉克尔矩阵HI,

$\mathit{C}{}_{{\rm I}}=\left[\begin{array}{ccccc}{\rm I}{}_0& 0& \cdots & \cdots & 0\\ {\rm I}{}_1& {\rm I}{}_0& 0& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& \cdots \\ {\rm I}{}_{ni}& ⋮& ⋮& ⋮& 0\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & {\rm I}{}_0\end{array}\right],\mathit{{\rm H}}{}_{{\rm I}}=\left[\begin{array}{cccc}{\rm I}{}_1& {\rm I}{}_2& \cdots & {\rm I}{}_{ni}\\ {\rm I}{}_2& \cdots & {\rm I}{}_{ni}& 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ {\rm I}{}_{ni}& 0& \cdots & 0\\ 0& 0& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\end{array}\right]$

其中,I=I0+I1z-1+…+Iniz-ni。

所以根据CI和HI的定义式可以将式改写成:

$\begin{array}{l}\mathit{D}(z)y(k)=\\ \left[\begin{array}{ccccccc}D{}_{nd}& \cdots & D{}_0& 0& 0& 0& 0\\ 0& D{}_{nd}& \cdots & D{}_0& 0& ⋮& ⋮\\ ⋮& ⋮& 0& D{}_{nd}& \cdots & D{}_0& 0\\ 0& 0& 0& D{}_{nd}& \cdots & D{}_0& \end{array}\right]{}_{{\rm N}\times ({\rm N}+nd)}\\ \left[\begin{array}{c}y(k-nd+1)\\ ⋮\\ y(k)\\ y(k+1)\\ ⋮\\ y(k+{\rm N})\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccccc}D{}_0& 0& & \cdots & & 0\\ ⋮& D{}_0& 0& \ddots & & \\ D{}_{nd}& ⋮& \ddots & \ddots & \ddots & ⋮\\ 0& D{}_{nd}& \ddots & \ddots & \ddots & \\ ⋮& 0& \ddots & \ddots & D{}_0& 0\\ 0& \cdots & 0& D{}_{nd}& \cdots & D{}_0\end{array}\right]{}_{{\rm N}\times {\rm N}}\\ \left[\begin{array}{c}y(k+1)\\ ⋮\\ y(k+{\rm N})\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ccc}D{}_1& \cdots & D{}_{nd}\\ ⋮& \ddots & 0\\ D{}_{nd}& 0& ⋮\\ 0& ⋮& ⋮\\ ⋮& ⋮& ⋮\\ 0& 0& 0\end{array}\right]{}_{{\rm N}\times nd}\left[\begin{array}{c}y(k)\\ ⋮\\ y(k-nd+1)\end{array}\right]=\mathit{C}{}_D\mathit{Y}+\mathit{{\rm H}}{}_D\mathit{Y}(7)\end{array}$

同理,式子右边也可以进行变换,最后得到:

CDY+HDY=CB△U+HB△Upast (8)

其中,Y=[y(k+1)…y(k+N)]T,

Ypast=[y(k)…y(k-nd)]T,

U=[△u(k)…△U(k+N-1)]T,

ΔUpast=[△u(k-1)…△u(k-nb+1)]T

因此得到一种等价的新型矩阵形式:

CDY=CB△U+P (9)

P=HB△Upast-HDYpast (10)

又因为Y=E+Ω,CD又是可逆的,就得到基于Toeplitz的预测方程

E=C${}_D^{-1}$(Q-CB△U) (11)

3 PID参数设计

3.1 广义预测模型描述

广义预测控制采用如下离散差分方程描述,也即CARIMA模型:

A(z-1)y(k)=B(z-1)u(k-1)+C(z-1)ξ(k)/△ (12)

使用如下的Diophantine方程:

1=Ej(z-1)A(z-1)△+z-1F(z-1) (13)

经过推导,可以得到以k时刻为起点的未来j步的输出预测值为:

$y(\widehat{k}+j)=E{}_{j}B△u(k+j-1)+F{}_{j}y(k)=G{}_j△u(k+j-1)+F{}_{j}y(k)(14)$

矩阵方程表达为:

$\widehat{y}=G△u+f(15)$

被控对象用离散差分方程描述,例如:

A(z-1)=1+a1z-1+a2z-2

那么Fj(z-1)表示为:

Fj(z-1)=f${}_0^j$+f${}_1^j$z-1+2fjz-2 (16)

3.2 PID和GPC的结合

PID控制的具体算法为:它根据给定值r(t)与实际输出值y(t)构成控制偏差,然后将偏差的比例(P)、积分(I)、微分(D)通过线性组合构成控制量,对被控对象进行控制,如下式所示:

$u(t)={\rm K}{}_{{\rm P}}[e(t)+\frac{1}{{\rm T}{}_i}{\displaystyle {\int }_0^{t}e}(t)\text{d}t+{\rm T}{}_d\frac{\text{d}e(t)}{\text{d}t}](17)$

因此,得到当前的控制律为:

$\begin{array}{l}△u(k)={\displaystyle \sum _{j=1}^{{\rm P}}h}{}_{j}y{}_r(y)-{\displaystyle \sum _{j=1}^{{\rm P}}h}{}_{j}f{}_0^{j}y(k)-\\ {\displaystyle \sum _{j=1}^{{\rm P}}h}{}_{j}f{}_1^{j}y(k-1)-{\displaystyle \sum _{j=1}^{{\rm P}}h}{}_{j}f{}_2^{j}y(k-2)(18)\end{array}$

增量式PID的结构为:

u(k)=Kp△e(k)+Kie(k)+Kd[△e(k)-

e(k-1)] (19)

u(k)=KIyr(k)-[(KP+KI+KD)-(KP+

2KD)z-1+KDz-2]y(k) (20)

使对应项系数相等,得基于广义预测控制的PID控制器的三个参数表示为:

$\begin{array}{l}{\rm K}{}_{{\rm P}}=-{\displaystyle \sum _{j=1}^{{\rm P}}h}{}_j(f{}_1^j+2f{}_2^j)(21)\\ {\rm K}{}_{{\rm I}}=-{\displaystyle \sum _{j=1}^{{\rm P}}h}{}_j(22)\\ {\rm K}{}_D={\displaystyle \sum _{j=1}^{{\rm P}}h}{}_{j}f{}_2^j(23)\end{array}$

4 实验仿真及结果分析

选择一个仿真模型,如下:

(1-0.70z-1+0.12z-2)y(k)=(0.60-0.90z-1)u(k-1)

运用同样的参数,传统PID算法和改进的GPC-PID算法仿真结果如图1所示。其中,峰值较高的曲线代表传统PID算法,峰值较低的曲线代表改进的GPC-PID算法。

从图1中可以看出本文使用的GPC-PID预测算法比传统的PID控制器更加平滑, 新的预测算法所需用的时间比传统算法更快达到稳定,基于Toeplitz的矩阵很好的展现了这一特性,节省了在线计算的时间,而传统算法则不具备这一优点。

从表1中可以看出改进的GPC-PID算法所用时间更短,并且输出的波动明显降低。改进算法在线计算时间更短,较好地减少了在线求解丟潘图方程的复杂程度,减轻了系统的负担。最后的曲线也更加平滑,达到了预期效果。

5 结束语

PID控制技术是目前应用最广泛的控制技术,本课题在保证经典PID控制性能发挥其简单实用长处的基础上,根据滚动优化原理整定PID控制参数。所提出方法,避免了已有预测PID控制方法需要递推求解Diophantine方程的弱点,提高了预测PID算法的运行速度,从而也拓宽了算法的工程应用范围。

摘要：针对具有较大时滞的复杂被控对象,研究了改进的广义预测(GPC)PID控制算法。在保证经典PID控制性能的前提下,用滚动预测优化原理,自整定PID控制参数,同时解决系统时滞引起控制问题。通过最后对仿真结果的分析来看,运用Toeplitz方程的改进算法能有效提高系统的稳定性和求解计算的快速性。

关键词：GPC,PID,系统时滞,Toeplitz方程

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