初中数学教材习题

初中数学教材习题（精选11篇）

初中数学教材习题 第1篇

一、二次开发策略的理论探究

我们说教材上的例题和习题具有二次开发的价值, 是因为我们注意到这些例题与习题往往能够使得所学得的新知识有一个综合性的运用。从知识架构的角度来看, 例题与习题的训练可以让学生将新知学习中获取的知识得到一个更深层次的理解。在传统教学中, 我们对例题和习题的运用往往都是一次性的, 因而就不能发挥这些例题与习题的全部作用, 全部作用的发挥在于对它们的二次开发。

那么, 对于例题和习题进行二次开发的角度有哪些呢?这是涉及到二次开发具体策略的问题, 必须研究。笔者经过研究, 总结出这样几个方面:一是对例题和习题进行变式;二是对例题和习题进行建模;三是对例题和习题进行提取。在笔者看来, 这三个层次有一定的递进性:变式主要强调的是变换事物的非主要特征, 强调主要特征;建模强调的是为学生提供一种数学模型;提取强调的是紧扣例题和习题素材进行拓展。下面通过笔者在研究过程中的几个例子来说明。

二、二次开发策略的实践探究

最后谈对例题和习题的提取。这里所说的提取是指提取包括例题或习题的素材、创意等。这是学生熟悉例题与习题的主要方式, 是提高学生理解知识能力与应试能力、减轻学习负担的重要途径。例如在“旋转”知识的教学中, 我们注意到练习题的素材多以实际问题为主, 如“举出一些现实生活中旋转的实例, 并指出旋转中心和旋转角”“时钟的时针在不停地旋转, 从上午6时到上午9时, 时针旋转的旋转角是多少度?从上午9时到上午10时呢?”等, 这给我们的启发是, 此类知识点重在对实际问题的分析, 因此二次开发应当以寻找实际生活中的素材为主。如笔者在二次开发的研究中曾经进行了这样的尝试:用三角板在黑板上旋转, 让学生针对旋转中心和旋转角去提出问题。学生提出的问题一般包括如下几个范畴:一是旋转中心的确定理论上任意的, 其中尤其以三个顶点为简单;二是旋转角的确定与旋转中心的确定密切相关;三是复杂的旋转是简单旋转的叠加, 因此一个复杂的旋转可以转换为几个简单的旋转。

显然, 当我们从例题中提取出“旋转”知识例题的特点之后, 对学生的训练就有了牛鼻子可抓, 也就能起到事半功倍的作用。

初中数学教材习题 第2篇

第二部分 函数性质典型习题

对应高考题位：8——12题、21题；选择、填空、大题均有涉及（本部分内容40分左右）

知识点1.函数的单调性

例1.求下列函数的单调区间

y＝丨x22x-3丨

例2.下列函数，在区间（0，+∞）上为增函数的是（）.1A.y＝x+1B.y＝-x1C.y＝xD.y＝x2 x

例3.若函数f（x）＝丨2x+a丨的单调递增区间是[3，+∞）,则a＝.例2+1（x≥0）

已知函数f（x）＝，则满足不等式f（1-x2）＞f（2x）的x的取值范围

（x＜0）

是.知识点2.函数的奇偶性

例5.非零实数x、y，已知函数y＝f（x）（x≠0），则满足f（xy）＝f（x）+f（y）的f（x）为（填奇偶性）

x例6.若函数f（x）＝为奇函数，则a＝.（2x1）（xa）

知识点3.函数的性质综合例7.若f（x）为奇函数，且在（0，+∞）内是增函数，又f（2）＝0，则

集为.知识点4.周期性

例8.已知函数f（x）对任意x，满足f（x+1）＝-f（x），且当x∈[-1,1]时，f（x）＝x2，试求：

1①f（2012）的值；②函数f（x）与函数y＝丨x丨的交点个数.2

数学教材习题“七功能”* 第3篇

数学教科书  习题功能  分析

教科书的习题是编写者根据教材的知识内容和课程标准的要求精心设计和挑选的，具有基础性、典型性与发展性，是数学教科书的重要组成部分，既是学生巩固数学基础知识、训练数学基本技能、积累数学基本活动经验与领悟数学基本思想的重要平台，也是沟通数学知识之间、数学与生活之间、数学与其他学科之间的桥梁与纽带。

一、巩固强化新知

数学教科书习题的首要功能是帮助学生消化和巩固新知。根据行为主义学习理论，新知的学习需要一定数量的练习，才能达到消化巩固的作用。我国数学教学也十分注重“熟能生巧”，教科书在讲述了数学概念、命题和一些示范性的例题之后，需要一个“熟”、“固”与“化”的习得过程，这就需要通过一定数量的练习，教科书为此配备了一定数量的习题。这类习题难度不大，主要作用有两个：一是熟悉消化新知，二是对新知的巩固，从而得以固化进入长时记忆，在此基础上才能融会贯通，举一反三，达到“生巧”的效果。从习题的“习”来看，本意是“动词，幼鸟在鸟巢振翅试飞”，慢慢演变成“动词：演练、模仿”到“形容词：熟悉的、有惯性的”，最后成为“名词，惯性、稳定的生活方式”。从中可看出习题具有“演练”、“巩固”之意。教科书的习题就是为强化学生对基本概念和基本思想的理解和掌握，强化运算、作图、推理、处理数据以及科学计算器的使用等基本技能训练而设置的。如人民教育出版社初中数学教科书有“复习巩固”部分;在澳大利亚教科书《the Heinemann Maths Zone 7-10 VELS Enhanced》中也单独“Skill”，起巩固强化作用。

二、拓展延伸新知

数学教科书中的习题还承载着拓展延伸新知的功能。教科书中的习题有时显性或者隐性地拓展延伸概念与命题的内涵，使得与正文中的内容构成一个良好的知识逻辑体系，有利于学生行之有效地形成概念域与概念系、命题域与命题系。教科书拓展延伸新知还表现在为后面学习内容作铺垫之功能，起着承前启后，承上启下的桥梁纽带作用。例如人教A版普通高中课程标准实验教科书《数学4（必修）》第22页B组第4题。

三、综合应用新知

学习知识的主要目的在于应用。《普通高中数学课程标准（实验）》提出：“数学应用的巨大发展是数学发展的显著特征之一。”因此，教科书在讲授完新知后的主要任务就是要使学生学会能运用新知去分析、解决生活、生产和科学中的问题。在中学阶段，在给予学生一定数量知识的同时，还应该培养学生运用知识解决问题的能力。而这个任务的完成是在例题的示范引领之后，通过一定数量的习题来达成的。教科书习题的应用主要体现在三个方面：一是数学知识内部的应用;二是新的生活情境的应用;三是在其他科学背景中的应用。

学生在解决实际问题的过程中，通过对事物的观察、分析、综合、抽象从而逐渐提高发现和提出数学问题的能力。虽然仿照某个问题的解法，可以去解决类似的问题，这是一件比较容易的事情，但是如果问题情境不类似，就不是那么容易了。“近年来，我国大学、中学数学建模的实践表明，开展数学应用的教学活动符合社会需要……高中数学课程应提供基本内容的实际背景，反映数学的应用价值。”因此，不管国内还是国外教科书，在习题的设置方面都有一个显著特点，就是通过习题把新学习的知识应用到新的情境之中，使学生能运用所学的新知解决新问题，譬如我国人民教育出版社初中数学教科书中习题有模块“综合运用”，在澳大利亚《Heinemann Maths Zone 7-10 VELS Enhanced》教科书中有模块“Application”（应用）。让学生通过类比、联想、迁移等方式，将刚刚学过的数学知识经验、思想方法应用于新的情境，体会数学知识内部之间、数学知识与其他学科知识、数学知识与实际生活的有机联系，进一步理解数学的本质，在这个过程中逐步使学生认识到：数学与我有关，与实际生活有关，数学是有用的，我要用数学，我能用数学。毕竟教科书习题的设置不是单纯依靠学生简单操练来代替理解与创新，需要学生能够在陌生环境有效提取知识、应用知识的能力。

四、思维能力训练

“数学是思维的体操”，由于数学学科的特点，教科书习题承载着学生思维训练的任务。思维需要联系和联想。思维训练主要是在学生利用知识分析和解决问题的过程中完成的，这个过程需要在问题解决中来完成，习题是一个有效的载体。在数学中能力指的是什么？就是解决问题的才智。我们这里所指的问题，不仅仅是常规的，还包括那些要求有某种程度的独立见解、判断力、能动性和创造精神的问题。[1]习题思维的训练主要体现在两个环节：解题思路分析和解后反思小结。对同一个习题在思路分析以及后面反思时可以有多种思考方向，通过对习题解后的探索、研究、引申、推广，对学生进行一题多解、一题多变、一题多思、一法多用和不同层次习题的内在联系的揭示等探究活动，既可使学生掌握知识之间的内在联系和规律，做到解一题，带一串，通一类，提高解题的效率和解题能力，又可培养学生的数学思维能力、探索发现能力与研究能力，有效训练学生发散思维，从而促进学生的发展。“普通教育有用，不是因为我们记住了我们学习过的任何东西，也不是因为我们能够运用这些东西，而是因为这些东西有助于我们思维、感觉和想像。”[2]毕竟教科书中的习题除了它本身提出的问题外，在它的前面还有着许多未曾写进也不可能写进教科书的问题。对这些问题，学生（当然不是所有学生）是有能力进行探讨的。通过学生自己的探讨，能加深对知识各部分之间联系的认识，培养和发展学生观察、分析、提出并解决问题的能力。通过习题的分析过程，锻炼学生思维的严密性、精致性与整体性;通过对习题思考的发散性，培养学生思维的广阔性;根据习题题目的题设及时调整思路，训练学生思维的灵活性与敏捷性;通过习题的题设条件的各个细节，培养学生思维的缜密性;通过学生对问题的奇思妙想，培养思维的创新性。只有使得学生充分经历利用知识分析、解答、小结等解题过程才能使学生的思维得以高速的运转。毕竟，一道习题的解决，不仅需要有丰富的知识作为铺垫，还需要有细致的观察、深刻的思考、丰富的联想、大胆的创造等思维活动。

五、思想方法渗透

《普通高中数学课程标准（实验）》要求“通过典型例子的分析和学生自主探索活动，使学生理解数学概念、结论逐步形成的过程，体会蕴含在其中的思想方法”。教科书习题还有一个功能是揭示方法。教科书在讲授新知识时重点在如何推导得出新知，如何运用新知去分析解决实际问题。但由于例题不能太多，运用新知解决问题的思想方法不能一一用例题展示。因此，有些方法就需要进一步在习题中体现和完成。方法离不开知识，必须依托知识，蕴含于知识之中，习题就是除例题之外的另外一种重要的载体，教科书在设计习题时就把一些重要的数学思想方法通过习题来介绍，但这些思想方法是蕴含在习题中的，需要教师与学生进一步挖掘。教学中，教师引导学生以教科书的习题为载体，常常反思，总结提炼，从而达到深层次的理解——形成方法。当然方法是有层次的，可以是宏观的方法，也可以是微观的方法。中小学教科书习题关注更多的是通性通法，而不是特殊的解题技巧，特殊的解题方法。例如有些习题层层设问，步步引导，逐渐加以解决，有些渗透先猜想结论，然后进行验证，逐步体会数学发现的方法，这样的例子不胜枚举。毕竟，教科书的习题面向的是大多数学生，是为了学生掌握基础知识、基本技能，领悟基本思想方法服务的，重在基础。譬如立体几何的一些问题可以归结为平面几何的问题。这种把空间图形问题归结为平面图形问题，实际上乃是画法几何研究的对象，有效沟通平面与立体图形之间的关系。如人教A版普通高中课程标准实验教科书《数学2（必修）》第73页，A组第2题、第5题渗透着“面面—线面—线线”的转化思想。

六、诊断反馈补救

教学的效果如何、学习的效果如何需要进行诊断反馈，并根据情况及时进行补救。这就需要对教师的教与学生的学习进行评价。“对学习的评价就是对学习的成效做出价值判断的一项活动”[3]。其目的主要是为了检验学习的效果，这种评价一般是以习题为载体进行。诊断表现在两个方面：一是对教师教的诊断反馈;二是对学生数学学习的诊断反馈。诊断不是目的，诊断的目的是为了补救，为了改进，补救教师教的疏漏，学生学的遗漏。

习题诊断反馈主要是通过学生作业即做教科书的习题后教师评改作业进行的。通过教科书的习题练习，教师及时确定学生学的水平，教师教的效果，以利于教师及时掌握学生对新知的学习情况，进行诊断，从而查漏补缺，再通过后面的习题进行矫正和弥补，体现习题的补偿诊断功能。如果学生解题出现障碍，教师应从知识结构深处分析造成学生学习困难的深层原因，诊断学生缺乏的是陈述性知识、程序性知识还是策略性知识，然后采取适当的补救措施，达到弥补缺陷的目的。譬如学生做错了题目，教师应该指导学生分析错在哪里？是概念不清？还是错用了定理？还是计算上或是逻辑上出了毛病？要使学生能认清问题的所在并加以改正。教师也反思自己在教学中出现的问题：是概念没有分析透彻？数学活动中指导不够？对学生的关注不够？

七、育人功能

习题中蕴含着丰富的数学文化元素，如经典的数学习题、丰富的数学思想方法、广泛的数学运用、严密的数学推理等，学生通过解答习题的过程，这些数学文化元素便会逐渐渗透到学生的心灵中，影响着学生的学习行为、情感、态度与价值观。具体来说表现在以下几个方面。

第一，习题的形式及内涵影响着学生的数学学习方式。学生通过习题学到的学习方式可以迁移到相关学科相关内容的学习之中。譬如人教社初中数学习题系列的“拓广探索”，通过一道道典型的习题，培养学生数学逻辑推理能力以及数学归纳、类比能力，养成理性思维精神，养成求实、说理、批判、质疑等理性思维习惯和锲而不舍的追求真理精神，达到育人目的。这符合《普通高中数学课程标准（实验）》倡导的“数学在形成人类理性思维和促进个人智力发展的过程中发挥着独特的、不可替代的作用……数学教育作为教育的组成部分，在发展和完善人的教育活动中、在形成人们认识世界的态度和思想方法方面、在推动社会进步和发展的进程中起着重要的作用……它使学生掌握数学的基本知识、基本技能、基本思想，使学生表达清晰、思考有条理，使学生具有实事求是的态度、锲而不舍的精神，使学生学会用数学的思考方法解决问题、认识世界”[4]。数学是一门逻辑性很强的学科，没有逻辑就没有数学。需要注重对学生逻辑思维能力的训练，利用数学培养学生讲道理，有理有据的论证非常重要，不能存有侥幸心理。

第二，通过习题进行数学文化的渗透。在习题解答与应用过程中渗透文化意识，使学生养成良好的行为习惯，得到全面发展，成为一个“文化人”。数学教科书是育人信息的载体，而习题是其重要组成部分。通过习题隐含的“背景”、“数学史”来进行渗透，一方面扩充学生的视阈，另一方面对学生进行教育。

“用教材教”而不是“教教材”，教师只有吃透教科书的精神与实质，细心揣摩每一个习题，才能更加灵活地、更富有创造性地使用教科书的习题资源，不断提高教科书习题的“附加值”，从而更大可能发挥教科书习题的功能。

参考文献

[1] [美]乔治·波利亚著.数学的发现：对解题的理解、研究和讲授.刘景麟，曹之江，邹清莲，译.北京：科学出版社，2006.

[2] 陈文明.“开放性”数学习题与思维训练.数学教育学报，1996（2）.

[3] 王新民，王富英.数学高效教学构成要素分析.数学教育学报，2012（3）.

[4] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（实验）.北京：人民教育出版社，2003.

小学数学教材习题的有效利用 第4篇

一、理解意图, 丰富习题内涵

练习是沟通知识与能力的桥梁, 习题是学生进行有效学习的载体。教材中的习题由于受到教材版面、篇幅等影响, 往往针对单一训练目的而安排有针对性的练习内容, 同时教材中的练习是静态呈现的。因此, 教材习题有时看似比较简单或没有什么值得深究的内容, 实际上有着丰富的内涵, 需要教师针对内容的特点和学生的实际去挖掘、发现和拓展。

例如人教版三年级下册“除数是一位数的口算除法”中的练习 (练习三第2题) 。

这一练习的编排明显是为巩固除数是一位数的计算方法而设置的。但仔细观察这三组题, 纵向看是帮助学生理解算理的, 即用一个表内除法算式计算一组除法式题, 并且第二列商末尾0的个数与被除数末尾0的个数不一样多, 是除法口算的一个难点和易错题。横向看, 第一行都是表内除法, 第二行为整百或几百几十数除以一位数, 商末尾有一个0, 第三行为整千数或几千几百数除以一位数, 商末尾有两个0。这样的习题编排, 不仅要通过练习巩固除数是一位数的口算方法, 还要引导学生进行观察、比较、联想, 充分挖掘习题内涵, 发挥习题的最大教学作用。因此, 在教学时不能在教学例题后“一练了之”, 可作以下七个步骤的处理:

第一步, 学生独立计算, 看谁做得又对又快。

第二步, 全班校对并抽两题说计算方法。

第三步, 追问:横着做还是竖着做的, 为什么要竖着做?这样初步得出每一列都是在算出第一个算式结果的基础上进行计算, 看成表内除法先进行计算, 再在商的末尾添上相应个数的0, 再次巩固了计算方法并形成计算技巧。

第四步, 再次追问:横着看发现什么?竖着看又发现了什么?在观察的基础上引申出用16÷2=8还可计算哪些除法算式?这样就能真正理解算理, 同时掌握计算的技巧, 并形成计算技能。

第五步, 质疑:为什么第二列中的300÷5=、3000÷5= 商末尾0的个数与被除数末尾0的个数不一样多?在质疑中突出难点和重点, 在观察中明白其中有一个0是用来计算30÷5的。

第六步, 补充逆向题, 如24□÷6=400、4□÷8=5000等, 在□里要填几个0, 这样进一步提升学生对计算方法的理解, 从而能更好地形成计算技能。

第七步, 小结:计算这样的除法算式我们用的是什么方法?有什么技巧?计算时要注意什么? (小结出计算方法和计算技巧, 更有利于在理解算理的基础上形成计算技能。)

通过以上七个步骤的教学, 学生不仅理解了除数是一位数除法口算的计算方法, 掌握了计算的技巧, 形成计算技能, 同时也很好地拓展了思维。在面对教材比较单一的口算练习习题时, 我们必须精心解读习题意图, 有意识地深度开发教材习题资源, 丰富习题内涵, 精心设计练习过程, 用好、用活教材习题, 提高课堂学习效率。

二、逐层递进, 深化概念理解

教材习题一般以简约、直接、静态的形式出现, 许多习题只需要学生填写最终的结果, 然而这些习题却又包含着深刻的意义, 承载着数学知识产生与发展的过程。小学生的思维活动正处于形象思维向抽象思维的过渡时期, 教学时要把教材上抽象的、静态的数学习题, 通过联想、变通、动态展示, 逐层递进, 使学生亲历知识的产生、发展及其形成过程, 从而深化理解。

例如人教版四年级下册“三角形三边关系”中的练习 (练习十四第4题) :

这一练习的编排目的是巩固三角形三边的关系, 利用任意两边之和大于第三边这一概念进行判断。对于这样的题目, 大部分教师在教学中只要求学生会判断就可以了。实际上我们在教学中可充分利用这一题材, 通过联想、变通、化静为动等措施, 使学生深入理解三角形三边关系这一抽象概念。在学生做完这题后, 可再通过以下四个层次拓展, 充分利用:

第一层次, 为什么第三题三根小棒不能拼成三角形? (明确三角形任意两边之和大于第三边。)

第二层次, 换一换。如果把其中的一根小棒换一下, 使其能围成三角形, 可以怎么换? (可换2厘米长的, 也可换6厘米长的小棒。) 通过更换其中的一根小棒, 使学生进一步明确要使这三根小棒能围成一个三角形, 必须使任意两根之和大于第三根, 同时也知道只要两根较短的长度之和大于最长的这根就可以了, 从而进一步理解三角形三边关系。

第三层次, 探索可换小棒的长度范围。如果换掉一根2厘米长的小棒, 这根新小棒的长度可以有多长?这时要考虑两方面的情况, 第一种是原来长6厘米的小棒是三根中最长的, 第二种是新换的这根小棒是最长的。而学生往往只考虑2与什么数相加大于6, 一般不会考虑到当新小棒大于6时, 这根新换的小棒又变为最长的了, 要小于2加6的和。针对这种情况, 教学时可以分为两个步骤进行, 第一步, 如果新换的小棒只能取整厘米数, 当新换的这根小棒不是最长时, 可以是5厘米和6厘米, 当新换的小棒是三根中最长时, 可以是7厘米。第二步, 讨论可换小棒长度的取值范围, 通过讨论得出两种情况的条件限制, 当长度是6的这根小棒是最长时, 要符合2+□>6, 当新换的小棒是最长时, 要符合2+6>□, 从而得出取值范围大于4并小于8。

第四层次, 数形结合, 动态演示。利用课件演示延长2厘米长的这根小棒的过程, 直观体验从不能围成三角形到延长后能围成三角形, 再继续延长后又不能围成三角形的过程。学生在观察从不能围成到能围成, 又到不能围成的变化过程时, 进一步强化三角形中任意两边之和大于第三边, 判断时只要考虑两条较短边之和大于最长边即可。

通过这四个层次的层层推进、步步深化, 对教材的习题资源进行了充分的挖掘与利用, 使得习题教学不再停留在简单的就题论题层面上, 有利于学生加深对三角形任意两边之和大于第三边这一知识的理解, 使学生的思维逐步深入, 提升与发展了学生的综合能力。

三、沟通对比, 促进主动建构

教材习题的编排是逐条独立呈现的, 但它们之间是有内在联系的, 在使用时要尽量考虑其系统性, 通过沟通对比, 使其更具结构性。让学生利用已有的知识结构来同化新知识, 实现知识的迁移, 沟通知识间的联系, 促使知识系统化, 从而达到举一反三, 触类旁通的教学效果。

这是在教学例题12×3的竖式计算方法后安排的做一做, 学生已经知道了两位数乘一位数竖式计算的算理和竖式的写法。这样的编排有两个目的, 一是通过练习让学生把两位数乘一位数的竖式计算方法迁移到三位数乘一位数, 甚至四位数乘一位数的竖式计算;二是沟通多位数乘一位数的竖式计算方法, 促使学生主动建构和完善认知结构。教学时可以这样处理:

第一, 独立计算, 并说一说是怎样计算的。 (说出竖式计算的算理和计算时的步骤。)

第二, 观察、比较这三道题有什么相同和不同的地方。 (相同的地方是这三道题都是乘一位数的竖式计算。不同的是第一个是一位数乘一位数, 第二个是两位数、第三个是三位数。) 初步感知计算方法上的联系。

第三, 沟通算法间的联系, 构建多位数乘一位数笔算的方法体系。从算法上看, 这三题又有什么相同和不同的地方? (学生观察板书上的竖式和口算计算的过程。)

通过观察、讨论三道题在算法上的相同与不同, 学生进一步理解了多位数乘一位数竖式计算的算理, 明确了竖式的写法与计算步骤。同时在比较计算方法的异同后, 进一步明白多位数乘一位数的计算方法在本质上是相同的, 只不过两位数乘一位数比一位数乘一位数多一步, 三位数乘一位数比两位数乘一位数多一步。这样把新知识纳入已有的知识结构中, 实现了知识和技能的迁移。

第四, 利用迁移, 拓展练习。通过刚才的练习, 能列竖式计算1234×2吗?如果是12342×2呢? (多位数乘一位数, 不管有几位, 都是从个位算起, 一位一位地乘。) 在构建了多位数乘一位数笔算的方法体系后, 可以适当进行迁移引申, 适时地呈现四位数乘一位数的乘法算式。 (虽然这不是教材要求的范围, 但可检验学生对计算方法的掌握及迁移能力。) 进一步完善多位数乘一位数竖式计算的知识结构, 进一步理解算理, 掌握计算技巧, 形成计算技能。

通过这一组算式的练习, 在学生自主体验与感悟后, 进一步加深了对所学知识的理解, 沟通了新旧知识之间的联系, 拓展自己的认知结构, 主动建构了多位数乘一位数笔算的知识体系, 同时也经历了知识建构的过程, 感受到迁移在数学学习中的作用。

改编数学教材习题应做到“两尊重” 第5篇

【第一次教学】

出示问题：把一个长方形的涂成绿色，涂成黄色，然后再把黄色部分的画上斜线，你能有什么样的办法？画斜线部分占长方形总面积的几分之几？

题目出示之后，许多学生在位子上都是一脸的茫然，不知道如何涂色。通过小组交流讨论之后，笔者发现还有近一半的学生不知道如何解答。在全班交流时，学生也只勉强地提出了三种方法。

第一种：先量出这一长方形的长与宽，计算出面积，然后再分别算出与的面积是多少，最后再用同样的方法来计算出画斜线的面积，并涂上要求的颜色。

第二种：把这个长方形的长平均分成9份，然后取2份涂上绿色，取4份涂上黄色，接着把涂上黄色的部分再上下分成5份，取其中的3份画上斜线。

第三种：与第二种方法雷同，只是把这个长方形的宽分成9份进行涂色的。

虽然学生已经按要求画出来了，但是让学生求画斜线部分占整个正方形的几分之几时，却没有几个同学能解答出来。后来，我直接出示一道题目：在一个长方形中，涂上黄色的图形面积占长方形面积的■，而画斜线的部分占黄色图形面积的，画斜线部分占整个长方形面积的几分之几，这时学生几乎全部能够解答出来。

【第二次教学】

将教材中的题目改成：把一个长9厘米、宽5厘米的长方形中的涂成绿色，把长方形的涂成黄色，并把涂上黄色部分的画上斜线，先涂一涂，然后再算一算，画斜线部分的面积占整个长方形面积的几分之几？学生轻松地把这一问题给解决了。在交流时，有的学生说因为已经知道了长是9厘米，宽是5厘米，那么这个长方形中就有45个边长是1厘米的小正方形，这样，它的就是10个小正方形，它的就是20个小正方形，然后再取这20个小正方形中的画上斜线，那么就有12个小正方形将被画上斜线，所以画上斜线的面积占整个长方形面积的。还有的学生站起来说：“通过画图，我也发现，无论是一个什么样的长方形，如果按这样的要求来画的话，画斜线部分的面积都占长方形面积的。”在交流的最后，一位学生站起来说，其实要想求画一部分面积占长方形面积的几分之几，只要把与乘起来就可以了，因为涂黄色的占长方形面积的，而画线的占涂黄色图形面积的，也就是占长方形面积的，那最后的结果就是×=。

通过这两次的教学，也让笔者对改编教材练习题有了一个更深刻的认识。

一、尊重教材，深入理解教材的安排

作为一名数学教师，想根据学生的实际情况来改编教材中的数学题目是可以的，但是在改编时，我们要先想一想教材的编者为什么会在这儿设置这样一道练习题呢？既然安排了，就有它一定的用意，我们只有明白编者的编排意图，才能让我们改编的题目更加合理，更能有效地促进学生在数学课堂上得到更好发展。比如第一次教学就是在没有尊重教材用意的前提下改编的，所以学生在解答时就会出现问题。而第二次教学在尊重教材的基础上适度拓展，学生就可以顺利完成。

二、尊重学生，恰当把握学生的水平

任何学习任务必须尊重学生的实际学习水平，过高或者过低估计学生的学习水平，都不能有效促进学生的数学学习。比如，第一次教学就是过高估计了学生的学习水平，总认为经过一单元的学习，学生对于乘法问题应该很容易解决的。其实不然，这一道题安排在单元复习中而不是安排在期末复习中，主要原因就是学生对分数乘法问题还处于一种浅层面的理解，还没有学会融会贯通，所以才先在长方形上画上小方格，然后才让学生涂颜色。而第二次的教学就是为学生铺上一个台阶，让学生稍为“跳一跳就可以摘到桃子吃”。

总之，在改编教材习题过程中，我们要尊重教材内容，尊重学生水平。只有这样，我们改编的数学题才能真正促进学生数学能力发展。◆（作者单位：江苏省海门市实验学校附属小学）

初中数学教材习题 第6篇

1.复习、巩固作用

2.评价作用

习题位于相应小节、章节后面,在教学过程中,教师通过教材习题了解学生是否理解、掌握并应用所学的定理、概念和公式的情况.学生在学习完一小节知识后马上检验自己的学习情况,为其之后的学习计划提供参考;每一章后的复习参考可以检验学生这一章知识的掌握情况及对该章知识的综合运用情况,方便了解其遗忘与薄弱部分,达到查缺补漏的作用.教材习题可诊断学生对知识的理解、掌握及应用的水平,是对学生掌握数学知识、能力与否的重要的测评手段.学生在完成必修五习题3.2的A、B组习题及检验核对答案后就可以根据完成情况来分析自己的不足.比如,是A组1题有错的话,那么就可以相应地分析是计算问题还是没有掌握到一元二次不等式的解法,从而进一步制订合理有效的学习方法.

3.总结作用

习题的编制注重对知识点的充分利用,教学过程中,通过做习题,来总结对应章节所学知识,总结哪些知识是重点、难点.方便教师在今后的教学中把握方向,为学生之后的学习提供指示作用.例如必修五中“2.3等差数列的前n项和”后对应的练习,虽然仅仅包含3道题,但我们不难总结出本节的主要内容是等差数列求和公式,利用等差数列求和公式解题.

4.示范作用

通过对教材习题类型的比较研究了解具体的定义、定理怎样利用,可能会出现在怎样的题型中,为具体的教学提供示范作用,有助于教师根据所悟题型改编类似题目,进一步加深学生对该知识的熟悉与利用.如必修一中“1.3.1单调性与最大(小)值”的练习题中的第4题,证明函数f(x)=-2x+1在R上是减函数.由此我们知道单调性这个知识点会考查证明题.通过完成此题总结归纳这类题的求解思路、方法,同时通过类似的题如“判断函数的单调性”等一系列题目来熟悉这类题的作答.

5.课前预习和导入的作用

数学习题的编制各式各样,充分利用某些习题作为学生的课前预习作业和教学中的导入.通过数学习题引入新知识,在学习了新课程内容后再回过头来解决习题.这样扩充了习题的作用又解决了问题,在这个过程中还会加深学生对该题的印象.例如必修五中“2.5等比数列的前n项和”的练习题3“某市近10年的国内生产总值从2000亿元开始以10%的速度增长,这个城市近10年的国内生产总值一共是多少?”利用这个实际应用型题作为引入,最终解决此题关键在于求解计算2000+2000×1.1+2000×1.1×1.1+…+2000×1.19,为了求解,结合前面所学等比数列,把这个式子看作是求以a1=2000为首项,1.1为公比q的等比数列的前10项的和.对于现在的学生来说只能用一个加一个的方式来做,这样计算太复杂,从而引出能否用简便方法,像等差数列求和一样由公式而引出课题.最后推导出公式,此题就迎刃而解了.

6.联系作用

教材中习题的编制,特别是每一章后面的复习参考题把多个知识联系在一起或者一个习题可以利用多种方式,多个不同角度求解.习题善于将零散的知识点串联起来,并将他们系统化、综合化,注重各个知识点之间的融会贯通与整合,近几年的高考常在知识的交会点命题就鲜明地体现了习题的联系作用.因此,师生要注意教材习题的联系作用.在必修一的第一章复习参考题A组中的第10题.“已知函数y=x-2.(3)它在(0,+∞)上是增函数还是减函数?(4)它在(-∞,0)上是增函数还是减函数?”当我们学必修一时解决这道题只能用单调性的定义相关知识解决,而当我们之后学习了选修1-1“第三章导数及应用”或者选修2-2“第一章导数及应用”后就可以用导数相关知识来解决了.这样前后联系,使解题有了更多可选择的方法,拓展学生思维.

7.模型作用

数学教材中的诸多习题为学生提供了模型的作用,就像波利亚在《怎样解题》中说过的“解题是一种实践性的技能、好比说就像游泳一样,在学游泳时,你模仿别人的做法,用手和脚的动作来保持头部位于水面之上,最后你通过操练游泳学会了游泳,在学习解题时,你必须观察和模仿别人在解题时的做法,最后你通过解题学会了解题”.所以,如果学生能在理解的基础上熟记相应的模型的话,将会提高思维的效率,减小解题的思维难度.例如,必修二习题3.2中B组的第4题“已知直线l1,l2方程分别是l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1不同时为0),l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2不同时为0),且A1A2+B1B2=0,求证l1⊥l2.”这是一个证明题,老师可以充分利用这道题讲解证明的过程,解题的要点.让学生理解掌握这一类型的题.在学生理解深刻掌握牢固后,教师还可以趁热打铁,引导学生理解记忆两条相互垂直的直线的方程的模型,以后学生在答题过程中,看到类似的题就会容易联想到这道题及其思路,为解题提供有用参考,起到模型作用.

摘要：教材习题是高中数学教材中的重要组成部分,也是教师教学及学生学习中至关重要、不可或缺的一部分.教材习题是教材编写者精心研究思考后编制而成的,都是经过精选、具有一定代表性的.充分合理利用教材中的习题可以使其在教学中发挥多种有益作用.教科书是根据教学大纲编写而成的,它具体反映了大纲对每个知识点的要求、范围和程度,教科书中的习题则可以说是大纲的一面镜子,它体现了大纲的要求和目标.

浅谈数学教材中例习题的再设计 第7篇

教材中的例习题为师生教与学活动提供了大量有趣、生动的问题, 它们是教师传授知识、学生习得技能的重要载体。教材中有些例习题具有一定的弹性和探索性, 若将它们进行适当的再设计, 既能起到完善知识结构, 梳理知识网络的作用;又能增强学生的学习兴致, 提高探究能力;还能启迪学生思维, 开阔知识视野。笔者结合教学实践, 以浙教版课标教材为例, 介绍教材中例习题再设计的若干类型。

一、设计陷阱类问题, 增强学生的思辨能力

我们常说“吃一堑, 长一智”, 学习也是如此, 当学生在学习中有过“上当受骗”的经历后, 他对知识的记忆会特别深刻, 掌握也更加牢固。因此, 教师若能在学生易错之处设计一些“陷阱”问题, 诱使学生出错, 再利用学生的“错误”资源进行教学, 既生动有趣, 又能较好地培养学生的思辨能力。

案例1.浙教版课标教材七 (上) “1.2有理数” (课内练习第1题)

题目: (1) 汽车在一条南北走向的高速公路上行驶, 规定向北行驶的路程为正。汽车向北行驶75Km, 记作______Km, 汽车向南行驶100Km, 记作______Km。

(2) 若从银行取出50元记为-50元, 那么30.50元表示__________。

学生在学习“相反数”的概念时, 经常将“不同意义的量”当作“相反意义的量”。为此, 笔者在讲解该习题时, 当学生顺利回答完上述问题后, 紧接着补充下列问题。

问题1.若玲玲爸爸上周炒股盈利2000元记为+2000元, 那么他本周支出800元记为_______元。

众生:-800元。 (老师笑而不答, 此时有学生举手)

生1:不对, 不能记为-800元。 (众生惊讶!)

问题2:谁来说说为什么不能?

生2:因为盈利2000元和支出800元不是具有相反意义的量。 (众生此时恍然大悟, 原来如此!)

问题3:谁能改一改, 使它们能用“+”“-”号来表示呢?

生3:把“支出800元”改为“亏损800元”或把“盈利2000元”改为“收入2000元”。

【说明】教师针对学生对“相反意义”与“不同意义”两个量的认知“盲点”, 设置“陷阱”问题1。学生由于刚刚学了用正、负数表示具有相反意义的两个量, 同时受原问题的诱惑, 很自然地答出-800元, 诱使学生误入歧途, 这样可充分暴露学生的认知缺陷。然后, 教师通过问题2、3的追问, 使学生深刻地认识到错误的关键所在, 学生因误入“陷阱”而大大增强思辨能力。

案例2.浙教版课标教材七 (上) “2.4有理数的除法” (作业题第3题)

计算该题时, 先将除法转化为乘法, 再运用分配率计算很方便。在复习课中, 笔者将题目略作改动, 设计了陷阱问题。

问题:计算, 结果好多学生纷纷“中计”, 仍旧按照分配律计算。过程如下:原式算完之后, 学生自鸣得意, 却不知自己已经误入歧途。

【说明】分配律在有理数的运算中可起到简便计算的作用, 但学生在运用分配律时, 往往跟着“感觉走”, 只看形式不辨实质。教学中设置“陷阱”问题, 学生经历了“上当受骗”的过程, 再通过比较辨析, 对分配律的认识要深刻得多, 就会更加谨慎地运用分配律。

二、设计替代类问题, 突破教学的疑难困惑

教材中有些例题的设置需要学生通过动手操作完成, 或需要运用多媒体、几何画板等辅助教学手段。但由于受到诸多条件的制约, 教学中有时会遭遇一些困惑。此时, 教师若能根据教材的设置意图, 结合学生的实际学习能力, 将教材例习题进行适当的整合改编, 设计一些替代类问题, 这种“因生制宜”的问题, 可很大程度地帮助学生掌握新知, 达到突破教学困惑的成效。

案例3.浙教版课标教材九 (上) “2.4二次函数的应用 (第3课时) ” (例5)

题目:利用二次函数的图像求方程x2+x-1=0的近似解。

该例题教学要求是:利用二次函数图像求一元二次方程的近似解, 进一步体验数形结合的数学思想。在此, 通常把方程的解看作是函数y=x2+x-1图像与x轴交点的横坐标, 而要得到方程的近似解, 首先要画出二次函数y=x2+x-1的图像, 要较准确地画出该函数的图像, 采用的往往是“五点法” (其中的“两点”就是图像与x轴的交点) 。如此看来, 该问题的解决就陷入了“求方程解→画出图像→根据图像得方程解”的怪圈, 这是笔者与同事教学该例题时的困惑。为此, 在教学中, 我们设计以下问题替代该例题, 较好地达成了教学目标。

问题1:已知函数y=ax2+bx+c (a≠0) 的图像如图1所示, 则方程ax2+bx+c=0的解是_______。

问题2:已知, 如图2函数y1=kx+b (k≠0) 与函数y2=ax2+bx+c (a≠0) 的图像相交于A, B两点, 则方程组的解是____。

问题3:已知函数y1=kx+b (k≠0) 与函数y2=ax2+bx+c (a≠0) 的图像如图2所示, 则由图像可得:当x_____, y1>y2;当x_____, y1≤y2。

问题4:已知方程x2-1=x1, 请你判断该方程解的个数 ()

(A) 0个 (B) 1个 (C) 2个 (D) 3个

分析:问题4若采用解分式方程的方法求解方程, 就会使问题的解决陷入困境。此时, 可将方程的解看作抛物线y=x2-1与双曲线交点的横坐标, 通过画出函数的草图3, 问题即可轻松解决。

教参指出:该例题的教学功能主要是, 学生通过观察函数图像发现一元二次方程的近似解, 渗透数形结合这一重要的数学思想。然而, 该例题由于受到诸多条件的制约, 教学中, 有的教师就蜻蜓点水, 有的就让学生自学, 有的干脆就一跳而过……不能很好地达成教学目标。通过设置替代的系列问题1—3, 让学生学会了观察图像找到方程 (组) 的解以及不等式的解集。再通过问题4, 让学生经历画图像的过程, 就更为深刻地体会到数形结合思想在解题中的重要作用。这不仅有效达成了教学目标, 扩展了例题的教学功能, 也较好地解决了教学中的困惑。

三、设计开放类问题, 培养学生的发散思维

教材中有些例题, 由于受到课时教学目标的制约, 问题设置的针对性强, 但开放性相对不足, 学生的思维会受到一定限制。教学时, 教师若能根据教材与学生的实际, 对例题中的问题进行再设计, 将单一问题多样化, 封闭问题开放化, 这有助于调动学生的学习积极性, 培养学生的发散思维和创新思维能力。

案例4.浙教版课标教材八 (下) “5.5平行四边形的判定” (例2)

题目:已知, 如图4在平行四边形ABCD中, E、F是对角线BD上的两点, 且∠BAE=∠DCF。求证:四边形AECF是平行四边形。

题目由于受条件“∠BAE=∠DCF”的限制, 解决问题的方式比较单一, 若将问题条件“∠BAE=∠DCF”删去, 可设计如下问题。

问题:已知, 如图5在平行四边形ABCD中, 请你在对角线BD上依次取两点E、F, 连结AE、EC、CF、FA, 使得四边形AECF为平行四边形, 并说明你的理由。

此问题设计较为开放, 学生思维异常活跃, 问题答案也是精彩纷呈。学生除了回答出教材中例题的图形外, 还得出了多种结果, 列举如下, 如图6~11。

学生的解答几乎囊括了平行四边形性质与判定的各种基本方法, 系统地梳理了所学知识, 大大提高了学生灵活运用知识的能力。由此可见, 从学生实际出发将例题的内容、结构、呈现方式等进行再加工, 设计开放类问题, 引导学生多角度地去分析问题、解决问题, 不仅有利于学生掌握所学知识, 也有助于培养学生良好的思维品质。

四、设计递进类问题, 激发学生的探究热情

学生个体的发展存在着一定的差异, 认知水平也不是整齐划一的。因此, 课堂教学中应充分考虑到学生的个体差异, 问题设计应体现一定的层次与坡度, 以满足不同思维层次学生的需要, 激发学生的探究欲望, 让每一位学生都能获得成功的体验。

案例5.浙教版课标教材七 (下) “6.4因式分解的简单运用” (作业第6题, C组题)

题目:如图, 现有正方形纸片3张, 长方形纸片3张, 请你将它们拼成一个长方形, 并运用面积之间的关系, 将多项式2a2+3ab+b2因式分解。

该问题要求学生运用数形结合思想来解决, 对于七年级学生来说, 数形结合思想是个难点, 教材中又删去了“十字相乘法”分解因式的内容。因此, 好多学生对此问题的解决感到束手无策, 缺乏探究热情。教学时, 笔者将问题重新设计如下:

问题1:如图12, 将三个小长方形拼成一个大长方形, 你能验证的因式分解等式是______。

问题2:如图13, 由一个长、宽分别是a、b的长方形, 两个边长为a的正方形拼接成一个大长方形ABCD, 根据题中所提供的数据, 请你写出其中任意三个因式分解的等式。

问题3:如图14, 现有正方形纸片2张, 长方形纸片2张, 请你将它们拼成一个正方形, 并运用面积之间的关系, 将多项式a2+2ab+b2因式分解。

问题4:返回原问题。

案例5中的题目体现的是数形结合思想, 该思想对学生来说既是重点也是难点。在对比教学中, 笔者发现直接解决案例5中的问题, 班上绝大多数学生无从下手;而教师通过设置问题1—3, 既为解决问题4 (案例中的题目) 做了铺垫, 也让学生更深刻地领悟了数形结合思想, 学生的参与程度要高得多。这样的递进设计使问题由浅入深、步步深入, 激发了学生的探究热情, 满足了不同层次学生的需要。

五、设计拓展类问题, 开阔学生的知识视野

著名数学教育家波利亚曾形象地指出:“好问题同种蘑菇类似, 它们都成堆地生长, 找到一个后, 你应当在周围找一找, 很可能附近就有好几个。”因此, 我们在教学中, 有时不能仅仅就题论题, 孤立解题, 应该将问题进行适当的变化, 将一个静态的问题从不同角度、不同层次、不同侧面考虑, 使问题得以拓展, 从而开阔学生的视野。

案例6.浙教版课标教材八 (上) “2.3等腰三角形判定” (配套《同步练习》第2题)

题目:如图, 在△ABC中, AB=AC, ∠ABC, ∠ACB的平分线交于点F, 过F作DE∥BC, 交直线AB, AC于点D、E。若△ADE的周长为10cm, 则AB的长为 ()

该题将“三角形内角平分线与平行线”这一“黄金搭档”置于等腰△ABC中, 容易发现△BDF和△CEF是等腰三角形, 从而使问题得到解决。那么将“三角形内角平分线与平行线”这一组合置于一般的三角形中, 或将内角平分线改为外角平分线, 是否具有同样的结论呢?因此, 可以将该问题进行拓展, 设计出下列问题, 引导学生深入探究。

问题1:如图15, △ABC两条内角的平分线交于点F, 过F作DE∥BC, 交直线AB于点D, 交直线AC于点E。问:图中线段BD、CE、DE之间有何关系?

问题2:如图16, △ABC两条外角的平分线交于点F, 过F作DE∥BC, 交直线AB于点D, 交直线AC于点E, 上述结论DE=DB+CE是否成立?

问题3:如图17, △ABC内角的平分线与外角的平分线交于点F, 过F作DE∥BC, 交直线AB于点D, 交直线AC于点E。请问DE、DB、CE有何关系? (结论BD=DE+CE)

问题4:如图18, △ABC内角的平分线与外角平分线交于点F, 且BF⊥AC, 过F作DE∥BC, 交直线AB于点D, 交直线AC于点E。请问AD、DB、CE有何关系? (结论BD=AD+CE)

原问题的拓展设计, 从不同的角度揭示知识的本质属性, 这种既有“形变”又有“质变”的变式, 让学生在变化的问题中, 寻找其规律, 既培养学生思维的发散性、深刻性, 也培养学生分析问题和解决问题的能力, 使学生的视野更宽广, 思维更活跃。

六、设计操作类问题, 亲历知识的发现过程

《数学课程标准》中指出有效的数学学习过程不能单纯地依赖模仿和记忆, 应鼓励学生大胆实践, 把动手实验和操作作为数学学习的一种重要方式, 强调主体感知。动手操作类问题通常把学生熟悉的、感兴趣的图形提供给他们作为观察、操作、实验的背景材料, 让他们在“做数学中学数学”, 注重动手实践与自主探究能力的培养。

案例7.浙教版课标教材八 (下) “6.3正方形” (例6)

题目:已知, 如图在Rt△ABC中, ∠ACB=90°, CD是∠ACB的平分线, DE⊥BC, DF⊥AC, 垂足分别是E, F。

求证:四边形CFDE是正方形。

该例题要求判定四边形CFDE是正方形, 可根据条件先判定它是矩形, 再根据“有一组邻边相等的矩形是正方形”, 结论很快得到求证。

教参对该例题教学有如下建议:“正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形, 这条性质可以把一些正方形的问题转化为等腰直角三角形来解, 在解题中有较多的应用, 这一点可提醒学生注意”。为了更好体现这一建议, 让学生深刻理解和运用“正方形对角线”的这一重要性质, 笔者教学此例题时, 将例题进行重新设计, 先让学生画图操作, 然后进行推理, 这大大激发了学生的探究欲望。

问题1:已知, 如图, 在Rt△ABC中, ∠ACB=90°, 若D是AB边上的一点, DE⊥BC于点E, DF⊥AC于点F。请你作出符合上述要求的正方形CFDE。

分析:要作出符合要求的正方形, 首先要找到与顶点C相对的顶点D, 再过点D作BC、AC边的垂线DE、DF, 问题即可解决。而找到顶点D的关键是作出∠C的平分线 (即正方形的对角线) , 这就让学生深刻体会到“正方形对角线”的重要意义。

问题2:说说你所作的四边形为什么是正方形?

重新设计的问题删去了原图中三线 (两条高线和一条角平分线) , 把原来纯说理的问题改为操作说理的问题。问题1要求学生准确画出正方形, 激发了学生动手操作的欲望;而问题具有一定的挑战性, 能引起学生深入思考探究。实践表明, 改编后的问题虽然难度加大了, 但学生通过独立思考、合作交流, 亲历了运用“正方形角平分线”作出正方形的过程, 这对“正方形角平分线”性质的理解和运用也就深刻得多。

课堂教学根植于教材, 教材中蕴含着大量开发学生思维的例习题, 教学中教师应重视挖掘教材中的例习题的“潜能”, 对例习题进行再设计, 以培养和发展学生多方面的能力。当然, 数学教学中问题的设计类型还有很多, 本文仅结合自身的实践, 挂一漏万地阐述一些体会, 以期抛砖引玉。

参考文献

[1]浙教版课标数学教材.杭州:浙江教育出版社.

[2]徐伟建.巧施图形“变身”术——谈教材中例题图形的使用策略.中国数学教育, 2010 (9) .

[3]徐伟建.数学教学中应善设“陷阱”.中小学数学 (初中版) , 2008 (6) .

初中数学教材习题 第8篇

一、巧用教材习题, 优化教学设计

1.用教材习题来“导”

教材习题中有许多题来源于生活, 用于生活, 具有浓烈数学味, 用它们来导入新课, 有利于激发学生求知欲和学习兴趣。

课例回放: (苏教版六年级上册《认识百分数》) 110页的第1题。

在教学“认识百分数”一课时, 我将六年级上册第110页的第一题用来导入新课。

师:看图, 回想一下在平时的生活中, 你见过或者遇到过与图上类似的数字吗?

生1:我见过, 在我们订的牛奶的瓶子上见过。

师:图上有什么类似的?

生1:有这种数字。

师:其他同学呢?

生2:我在报纸上见过。

生3:我知道这是百分数

……

师:对, 这就是我们今天要来认识的“百分数”……

2.用教材习题来“连”

教材中许多习题是教材编著者针对内容特点设置了知识要点、能力训练点和教学的重难点, 是学生学习过程中落实基础、提升能力的前沿阵地, 是教师备课时的指南针。

课例回放:还拿“认识百分数”一课教学为例。

在教学百分数的意义中的“表示一个数是另一个数的百分之几的数, 叫做百分数”这一基本知识点, 我及时出示教材99页的“试一试”, 由学生自行回答。在学生回答的过程中, 相机阐明:由男生人数是女生的45%, 得出男生与女生的人数比是45∶100, 百分数是一个数和另一个数在比较, 所以, 百分数又叫百分比, 这个比很特殊, 后项为100;再由近视率是20%, 相机阐明:在我们生活中, 像树木的成活率、近视率、考试的及格率等都是用百分数来表示的, 所以百分数又叫百分率。

这样, 巧用教材习题, 搭建一座适切的过渡桥梁, 承上启下, 既巩固了百分数的基本意义, 又让学生明晰了“百分数”为什么又叫“百分比”“百分率”。

二、改编教材习题, 提升课堂效益

1.重对比, 让学生经历解决问题的过程

新课一结束, 教师会带着学生按部就班, 逐个完成书中的习题。如果练习设计只是简单而死气沉沉地完成一些练习, 那么是收不到理想的效果的。练习中, 教师要善于动脑, 适度改变习题, 运用对比教学, 让学生自己对发现的错误或失误进行分析和纠正。

课例回放: (苏教版六年级上册“认识百分数”) 第100页第3题

下面哪几个分数可以用百分数来表示?哪几个不能?为什么?

(1) 一堆煤（97）/ (100) 吨, 运走了它的（75）/ (100) 。

(2) （23）/ (100) 米相当于（46）/ (100) 米的（50）/ (100) 。

再拿“认识百分数”一课中, 教学百分数与分数的联系与区别为例。

在做这个练习之前, 我设计了一道判断题:

一堆煤运走总重量的1/2, 还剩1/2吨。 ()

首先放手让学生小组合作讨论, 各抒己见, 一致认为这道题是正确的。

师:为什么两个1/2, 一个不带单位, 另一个带单位呢?

生:第一个1/2表示关系, 可以不带单位;第二个1/2表示具体数量, 所以可以带单位。

师:原来如此, 分数既可以表示两个数之间的关系, 不带单位;又可以表示具体数量, 可以带单位。

师:那请看第100页第3题的第一小题, 百分数是不是也有这样的本领呢?

生: (思考、讨论) 。

生1:百分数可能不行。

师:什么叫百分数呀?

生2:百分数不能带单位, 它只表示两个数之间的倍数关系, 不能有单位。

……

得出结论 (略)

利用改编习题, 进行对比, 充分运用比较方法, 有助于突出教学重点, 突破教学难点, 这样会让学生容易接受新知识, 防止了知识的混淆, 提升了辨别能力, 进而扎实地掌握数学知识, 发展逻辑思维能力。

2.变方式, 让学生体验生活中数学的价值

以苏教版四年级下册“用字母表示数”一课为例:“丁沟中巴车汽车上原来有33人, 到新街车站下去A人, 又上来B人。现在车上有 () 人。”将此题与本地的中巴车结合起来, 改变呈现方式, 让学生学习兴趣高涨。

课例回放: (苏教版四年级下册“用字母表示数”) 107页第4题第 (3) 小题

(播放中巴车在大转盘上下客情况的录像)

师:同学们熟悉吗?看明白了吗?

生:是我们丁沟的中巴车, 有人上车, 也有人下车。

(出示:这辆公中巴车原来有35人, 从这个站台开出后, 现在车上有多少人?)

生:我认为这会儿车上有A人。

生:我觉得应该是 (35+A) 人。

师:为什么呢?

生:因为有人上车, 上了B人。

生:他说的不对, 还有人下车呢?

师:那怎么办呢?

生:应该要减去下车的人数, 所以, 我认为现在车上应该有35+A-B人, B表示下车的人数。

……

习题是一座取之不尽、用之不竭的教学资源宝库, 是教与学双边活动的一座桥梁, 它使教学内容得到有效补充, 更是教学反馈的前沿阵地。教师备课时要认真对待, 学生要认真去落实, 充分发挥其优势, 达到提高课堂教学效益和学生综合能力的效果。如此美妙之事, 何乐而不为呢?走出误区, 让教材习题同样精彩!

参考文献

初中数学教材习题 第9篇

1. 尝试教学法,以习题指引学生树立学习的目标

尝试教学法即在新知识课程教学开始之前,教师在学生预习的过程中先布置相关的基础习题,来让学生在预习的过程中以自己对于新知识的理解尝试解决课内的习题,进而使得学生能够在预习的过程中发现自己的不足点,并进行有效的记录, 在新课程开展的过程中有目的的进行课程学习. 在这种教学方法下, 习题发挥了指引学生树立学习目标的作用,让学生能明确课程学习的目的,而不是根据课程的要求进行被动式的学习. 同时, 明确目的的课程学习有利于提升学生的课堂学习效率,进而促进课程学习效果的提升.

苏教版教材在编写的过程中为学生同步配备了相关的习题,以苏教版小学数学教材为载体的小学数学课程开展过程中, 教师可以利用尝试教学法来提升教学的效果. 例如在教材四年级下册第四单元《混合运算》教学的过程中,教师可以在新课程开展之前,先布置学生在预习的过程中完成教材习题中的基础练习题, 以对新的课程知识进行尝试应用. 在习题尝试的过程中, 学生习题计算后比对教师给的实际答案,很容易发现对混合运算进行顺序计算后,其结果与参考答案不相同, 进而学生对于混合运算的规律产生了疑问,在新课程的开展过程中, 学生带着疑问进行混合运算的学习,进而在教师讲解到混合运算规律时会特别的注意,课堂学习的效果以及教师教学的效果都能够被显著的提升.

2. 课堂例题的应用与开发,将课程内容立体化

数学知识的特点在于其突出的逻辑性以及显著的应用性,而整个数学知识的学习与应用都是在数学理论与数学规律的指导下进行的. 教师在小学数学课程教学的过程中,如果只是单纯的讲解数学理论,让学生通过死记硬背进行强行记忆,数学知识的传达虽然可以达到要求,但是整个课程教学的效果往往无法得到提升. 而如果利用教材的习题, 在知识讲解的过程中, 教师通过例题训练来充实课程知识的讲解,则整个数学课程的教学内容将变得更加立体化,学生对于数学知识理解的程度也能够更加的深入.

苏教版小学数学教材为每一个课程新知识都同步配备了课堂例题,在教学的过程中,教师要是能够对课堂例题加以有效的利用,并进行开发式的拓展,其整个课程教学的内容将会变得更加丰富. 以苏教版教材中平面几何课程 《长方形与正方形的面积》这一章节来讲,课程知识的核心在于对面积计算公式的应用. 即长方形面积= 长* 宽;正方形面积在于两边之积. 如果教师在教学的过程中利用例题让学生进行公式的运用,计算长方形正方形的面积,学生对于知识的理解将更加直观化. 而如果对于例题进行有效的开发, 在教师的引导下,让学生通过实际的测量以及公式的应用来计算班级内玻璃的面积,班级课桌的面积等,学生对于数学知识的应用能力将能够得到更好的提升.

3. 课后习题应用与拓展,强化对于课程知识的记忆与理解

小学数学教学的过程中,课后作业能起到巩固课程知识的良好效果. 在苏教版教材载体的作用下, 教师可以获得很好的配套习题,为学生布置合理的作业强化学生对于课程知识的记忆与理解. 而根据教材习题的同步性以及基础性,教师可以在苏教版教材的基础上,进行习题的开发利用,进而再一次的强化学生对于知识的理解.

例如在《圆》这一知识的讲解过后,教师可以以教材习题为载体为学生布置圆直径的测量,圆周长以及圆面积计算等基础习题,而同时再借助苏教版教材基础习题的帮助,教师也可以对学生的作业进行拓展,例如让学在完成这些基础题目以后,在放学的路上进行窨井盖面积的测量,同时探讨为什么窨井盖不采用方形而采用圆形这一问题,进而使得学生在习题拓展的指引下,知识探究能力得到提升,数学思考的思维得到发散,学生对于课程知识的记忆与理解的效果又再次得到强化.

结束语

数学教学中对教材习题拓展的思考 第10篇

关键词：教材习题处理；挖掘结论；变换图形；类比延伸

中图分类号：G642 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2014）03-377-01

教材是教师教学和学生学习的蓝本，它融入了《大纲》和《考纲》内容，也贯穿了新课程改革的精神。所以分析教材、钻研教材、用好教材，既是传授知识、培养能力的需要，也是提高教学质量，减轻学生课业负担的重要途径。

很多老师打着所谓对学有余力的学生加粮加菜的牌子，建议学有余力的学生买学习资料，实际上，这样做是得不偿失。学生做题后，如果没有归纳总结，没有类比延伸，没有建立模型，那么学生做再多的题，分析解决题目的能力也得不到提高，反而加重了学生的课业负担，与新课改的要求背道而驰。就教科书上一道习题为例，阐述下自己对教材习题的处理方法，供大家评析。

如图，△ABC，△ADE 都是等边三角形，求证：BE=CD

本题是一道经典题目，它综合了等边三角形和全等三角形的判定和性质的运用。

分析： 在证明的过程中，可用三点法找出要证的全等三角形。如BE放在△ABE中，把CD放在△ACD中来看，可以发现将△ACD绕A点逆时针方向旋转60度即可与△ABE重合，那么就根据三角形全等的判定方法去找全等所需的条件，从而证明三角形全等，根据全等三角形性质得对应边相等即可证明。

条件不变，挖掘结论

对于一道题，如果就题解题，那么就没有深入的思考，不能培养学生的发散性思维。我们应该常常提醒学生，除了这个结论以外，你还能得到哪些结论。这样，我们做一道题，就相当于做了几道题，拓宽学生的视野，丰富了知识的应用途径。

如本题在题目所证明结论的基础上，还可以有另外的结论。当BE分别与AC、CD交于G、F，CD与AE交于H，连接GH时，有∠BFC=60°；△AGH为等边三角形；GH∥BD；AF平分∠BFD等结论。

变换图形，探究结论

几何的有些题目中，如果将图形的某些部分作平移、旋转、翻折等变换，那么在图形变化的情况下，有些结论并没发生变化，甚至有些研究方法也没有发生变化。通过研究，进一步熟悉这类题目，熟悉知识的运用。达到深入研究一题，可以解决多题的效果。同时，对这类题也可以建立一个模型，以后见到类似的题目时，思路就容易找到，从而提高学习效率和解题的正确率。

如上题的图还可以作如下变换：

变换一：如图2，将图1中的△ADE绕着A点顺时针旋转一个锐角，以上结论是否还存立？旋转一个钝角又如何？

变换二：如图3，分别以△ABC的边AC和CB边为边，向外作等边△ACD和等边三角形△CBE，连接DB、AE，请判断DB与AE的大小关系。

类比延伸，触类旁通

掌握题目的实质，把题目的条件改成与之相类似的条件，但题目的研究方法没有发生改变，通过研究，达到触类旁通的效果。

前面的题目中，如果将等边三角形改成等腰直角三角形，也有类似的结论和变换。

如图，△ABC和△AED都是等腰直角三角形，且A、B、E在同一直线上，连接BD、CE，则BE与CE有何关系？

分析：判断两条线段的关系要分两种情况，一是大小关系，二是位置关系。

猜想BD、CE大小关系为相等。证△ABD与△ACE全等即可。

本题所证的两条线段没有相交，但如果我们把BD延长与CE相交，则可窥见它们之间的特殊位置关系为垂直。要证明两直线垂直，只需证明交角为90度即可，本题可通过全等三角形对应角相等，利用对顶角相等和三角形内角和为180度达到目的。

初中数学教材习题 第11篇

但反思我们的课堂, 由于没能和新课改理念相结合, 使得例习题教学还停滞在诸如“题海战术”等比较低的层次上, 学生的分析问题、解决问题的能力并没有得到真正的培养和提高.

本文试从例习题教学的解题过程深入化、解题思路多元化、基本图形本源化、解题方法归一化4个方面探讨如何对教材典型例习题进行变式、拓展、再创造, 以达到举一反三、触类旁通的效果, 力求使学生达到“做一题、通一类、会一片”的新境界.

1 解决过程深入化

美国著名的心理学家威廉·詹姆斯说, 解题是最突出的一类特殊的自由思维.所谓解决过程深入化, 意指从一道例题、习题出发, 在保持原有题目的条件、关系 (如数量关系、图形形状与位置关系) 不变的前提下, 继续演绎、深化、探究问题可能存在的结论.这种演绎问题的方式, 能深刻体现题目的已知条件和结论之间的内在联系, 使学生可以从整体上去掌握知识和解题方法, 不知不觉进入一个新的高度.

例1 (浙教版初中数学九年级上册第133页作业题第2 题) 如图1, 在Rt△ABC中, ∠ACB=Rt∠, CD⊥AB于点D, 试写出图中的相似三角形.

结论是显而易见的.

本题的结论可以表述为:直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似, 该图形是平面几何中最基本的图形之一, 称为母子相似三角形.

如果就题论题, 题完事完, 解题活动到此也就结束了, 那么这道题的价值也就随之被抹杀, 著名数学教育家波利亚曾形象地指出:“好问题同种蘑菇类似, 它们都成堆地生长, 找到一个以后, 你应当在周围再找一找, 很可能附近就有好几个.”本题就是个好问题, 在原有的条件下, 我们除了可以判断3个三角形彼此相似, 可以由勾股定理得出三角形边的关系, 由三角函数得出边角关系以及诸多角之间的相等或互余关系, 还可以引导学生得出以下结论甚至更多:

结论1 线段乘积式:

结论2面积关系式:

结论3 倒数关系式:

如此, 学生不仅能够强化对原有知识的理解、掌握, 还拓宽了解题的眼界, 推广了命题的结论, 训练了思维, 提高了能力.今后在遇到类似问题时, 可以举一反三、闻一知多, 触类旁通, 轻车熟路.

2 解题思路多元化

数学家波利亚这样说, 解决问题就是有目的地去思考和为达到预期目标而想方设法.恰当并适量采用“一题多解”的教学, 进行多角度、多元化的解题思路分析, 探讨解题规律、总结解题方法、归纳解题技巧, 能提高学生解题技能, 发展逻辑思维, 提高分析问题和解决问题的能力.

例2 (浙教版初中数学九年级上册第96页例2) 如图2, 如果要把横截面直径为30cm的圆柱形原木锯成一根横截面为正方形的木材, 并使截面尽可能地大, 应怎样锯?如果这根原木长15 m, 问:锯出的木材的体积为多少m3 (树皮等损耗略去不计) ?

该题考查圆心角定理的应用及特殊四边形的知识, 在教学过程中, 发现学生能很快解决上述问题.那么, 是不是解决了此问题, 教学活动就结束了呢?教师的着眼点是否可以更高?是否能在教学中加以引申、拓展?

其实, 紧接着可提问学生:为什么要锯成正方形呢?学生自然会考虑是锯成正方形时面积最大, 然后让学生思考为什么正方形的面积会最大呢?引导学生通过自主探索和合作探究后, 归纳出以下4种解法.

解法1 将矩形分成面积相等的Rt△ABC, Rt△ACD.而

Rt△ABC的面积=斜边AC×斜边上的高h.

而斜边AC是直径不会变, 高越大面积也就越大.所以, 当AC⊥BD时, 面积最大, 此时四边形ABCD刚好为正方形.

解法2 将矩形分割成4 个小三角形△AOB, △BOC, △AOD, △COD, 可知4 个三角形面积相等, 而

△AOB的面积=半径OB×OB上的高h.

而OB上的高h≤ 半径OA.所以, 当OB⊥OA时, 面积最大, 此时四边形ABCD刚好为正方形.

解法3 设两直角边分别为x, y, 直径为定值d, 则满足:

面积表示为xy, 借助于非负数

(x-y) 2≥0,

转化后得基本不等式

2xy≤x2+y2=d2,

故当x=y即AB=BC时面积最大, 此时四边形为正方形.

解法4 将矩形分割成4 个小三角形△AOB, △BOC, △AOD, △COD, 由公式得

而OA, OB是半径, 不会改变, 当两条半径的夹角α 最大为90 度时, 面积最大, 四边形ABCD正好为正方形.

一题多解的训练, 培养了学生的发散思维能力和知识迁移能力, 拓宽了解题思路, 让学生更为透彻地了解到题目中各个条件之间内在的联系, 并能深刻领悟解题的方法及各种方法之间的联系.要达到这层境界, 需要我们有一双慧眼, 及时发现学生充满智慧的思路和想法, 不要打压学生表现才能的积极性, 给予学生完全的信任和思考的空间, 并适时加以点拨、挖掘、提炼、归纳.

3 基本图形本源化

任何一个例题、习题中复杂的几何图形, 都是由若干个基本图形组合而成的, 解决问题即是要求学生能从较复杂的几何图形中, 分解提炼出基本图形, 并掌握图形的基本特征, 从而进一步分析其中的基本元素及其关系.这种将一个复杂图形中的基本图形 “离析”出来的手段, 是解决问题所必备的重要方法之一, 而这种“离析”只有在真正理解基本图形的基础上才能进行.其实, 许多几何问题都可以化归为一个已经熟悉的“源问题”来解决.但是, 由于教师与学生在知识占有量上的差异, 教师眼中的“源”未必就是学生心中所认同的“根”.所以, 例题、习题的本源化就能使“源问题”逐步显山露水, 从而让学生对知识的来龙去脉有恍然大悟之感.

例如对于“垂径定理及其逆定理”而言, 无论是先前的初学还是后来的提升, 最后都指向这样一个特征明显、有着丰富内涵的基本图形 (图3-1) , 所以, 此基本图形就当仁不让地成为解决垂径定理及其逆定理问题的“源问题”.

例3 (浙教版初中数学九年级上册77页例2) 一条排水管的截面如图3-1所示, 已知排水管半径OB=10, 水面宽AB=16, 求截面圆圆心O到水面的距离OC.

解决本题只要构造一个由弦心距、半弦、半径所组成的直角三角形如图3-1, 再利用垂径定理、勾股定理解决.以下几个问题的“源问题”均相同.

问题1 (浙教版初中数学九年级上册77页课内练习2) 已知⊙O的半径为13, 一条弦的弦心距为5, 求这条弦的长.

问题2 (浙教版初中数学九年级上册作业本3.3 (2) 第6题) ⊙O中弦AB的长为8, 小弓形的高为2, 求⊙O的半径.

问题3 (浙教版初中数学九年级上册81页作业题6) 已知⊙O的半径为5, 弦AB∥CD, AB=6, CD=8, 求AB与CD之间的距离.

问题4 (浙教版初中数学九年级上册作业本3.3 (2) 第7题) 如图3-4, 在直角坐标系中, 直径为10的⊙O交x轴于点A (-2, 0) , B (4, 0) , 交y轴于点C, D, 试求圆心O和点C, D的坐标.

以上4题解题思路基本相同, 问题1和2比较简单, 直接构造基本图形3-1, 问题3涉及两条平行弦, 运用分类思想, 分两种情况构造2个基本图形3-2和3-3, 问题4 呈现两条垂直的弦, 看似求点坐标, 实则求线段长, 还是通过垂径定理、勾股定理构建直角三角形这个基本图形.4个问题异曲同工, 殊途同归, 解题模式相同, 解题方法一样, 都是将基本图形本源化, 追溯到“源问题”解决, 即使圆内两条弦相交, 如图3-5, 围绕此图的有关问题其解决策略还是一样.

在上述案例中, 首先是通过课本中的例2学习, 总结得出解决此类问题, 只要抓住一个基本图形 (圆中由弦心距、半弦、半径所组成的直角三角形) , 运用垂径定理及勾股定理解决.然后通过一系列变式题组的有效训练, 让学生体会“源问题”就是解决其它同类问题的有效利器, 从而感受题量之“多”与“少”的辩证关系, 感受知识的内在联系, 深入问题本质, 固本拓新.

事实上, 许多复杂的数学问题, 常常伴随着“基本图形”的出现, 例如相似三角形问题中的“A字型”“8字型”“K型图”“母子相似图”“一线三等角”等等都是有用的 “基本图形”, 属于同类问题的“源问题”, 如果我们能突发灵感, 慧眼识图, 洞察图形的结构, 抓住这些“基本图形”或根据图形的隐含特征构造出这些“基本图形”, 便可以排除无关信息的负面干扰, 利用“集成块”的思维模式代替“点到点”的单一思维模式, 将复杂的问题简单化, 在较短的时间内抓住问题的本质, 迅速找到“源问题”这个突破口, 从而优化分析问题的思路, 提升解题的思维能力, 实现高效解题.

4 解题策略归一化

特级教师吴正宪老师曾经打过比喻, 知识犹如珍珠, 如果不会整理, 只是一盘散沙, 没有太大的价值, 只有串成美丽的项链, 才会价值连城.

多题归一、多解归一, 是指看似不同的问题在解决过程中却用到了同样类似的方法.通过“多题归一、多解归一”可以发展学生的抽象概括能力, 培养学生的收敛思维能力, 使学生看清数学的本质, 也可以引导学生理解具体的解题策略和解题方法, 诠释数学知识内涵以及规律性, 感受解题策略的思想内涵和艺术魅力.

例4 (浙教版初中数学九年级上册第149页作业题5) 如图4-1, 有一块三角形余料ABC, 它的边BC=120 mm, 高AD =80mm, 要把它加工成正方形零件, 使正方形的一边在BC上, 其余两个顶点分别在AB, AC上, 求加工成的正方形零件的边长.

分析这是一个“三角形的内接四边形”问题, 通过PN ∥ BC, 易证 △APN ∽△ABC, 利用 “相似三角形对应高的比等于相似比”可得, 设正方形边长PN=x, 然后代入得比例式, 解方程求得x=48.

解决本题的关键是利用“相似三角形对应高的比等于相似比”得比例式列方程, 这是一种非常重要的解题思路, 对于常见的“三角形内接四边形”问题, 都可以利用这一思路解决.如以下5题:

问题1 如图4-2, 在 △ABC中, BC=16cm, 高AD=8cm, 矩形EFGH的边EF在BC上, G, H分别在AC, AB上, EF=6, 求HE的长.

问题2 如图4-2, 在 △ABC中, BC=16cm, 高AD=8cm, 矩形EFGH的边EF在BC上, G, H分别在AC, AB上, EH ∶EF=1∶3, 求矩形EFGH的周长.

问题3 如图4-2, 在 △ABC中, BC=16, 高AD=8, 矩形EFGH的边EF在BC上, G, H分别在AC, AB上, 设HE=x, EF=y, 求y与x之间的函数关系式.

问题4 如图4-2, 在 △ABC中, 矩形EFGH的一边EF在BC上, 点H, G分别在AB, AC上, AD是BC上的高, AD与HG交于M, 已知HE=x, BC=12, AD=10, 矩形的周长为y.

(1) 求y与x之间的函数关系式;

(2) 当x为何值时, 矩形EFGH成为正方形?

问题5 如图4-2, 有一块三角形土地, 它的底边BC=100m, 高AD=80m, 某单位要沿着底边BC修一座底面是矩形EFGH的大楼, 当这座大楼的地基面积最大时, 这个矩形的长和宽各是多少?并求出这个最大面积.

类似的问题还有很多, 他们都是有关“三角形的内接四边形”问题, 解决这类问题的关键是灵活运用“相似三角形对应高的比等于相似比”性质列出比例式, 其中也渗透了方程思想, 继而解决相关问题, 这其实就是“多题归一、多解归一”, 解题方法归一化, 有利于培养学生思维的广阔性和变通性.数学知识的传授离不开解题, 但题不在多, 而是如何将题用到极致, 通过对题目的一题多变、一题多解、多题归一的研究, 不仅有利于学生完善知识建构, 对数学思想方法的融会贯通及对学生综合能力的提高都将有着重要的作用.

总之, 教材是教学之本, 深挖教材的潜力, 充分发挥教材的自身作用, 处理好教材习题的教学十分重要.例习题教学的“四化”处理策略就是教师在新课改背景下, 立足教材, 对课本典型习题进行演变、探究、引申、拓展、应用, 由点到面, 由题及类, 解剖一例, 带活一串, 自觉追求与教材精神相遇, 与学生见解相生的对话过程.这样的教学不仅深化了基础知识, 提高了学习效率, 数学教学中常遇到的题海无边与知识有限、题海无序与学生头脑中认知结构的有序这两对矛盾便可获得不同程度的缓解, 而且有助于发展学生思维的发散性、培养学生思维的深刻性、提高学生思维的独创性, 促使学生形成良好的思维品质.

参考文献

[1]王德昌.挖掘教材例习题潜在价值的六个着力点[J].中学数学, 2013, (8) .

[2]王晓芬.浅谈初中数学例习题的教学[J].初中数学教与学, 2013, (2) .