不等式组范文

不等式组范文（精选11篇）

不等式组 第1篇

1. 方程2x-1=3的解是 () .

A.-1 B.-2 C.1 D.2

2.若代数式x+4的值是2, 则x等于 () .

A.2 B.-2 C.6 D.-6

3.不等式3x+2>-1的解集是 () .

A.x>-1/3B.x<-1/3C.x>-1 D.x<-1

4. 已知不等式组其解集在数轴上表示正确的是 ( ) .

5. 一元一次不等式组的解集中, 整数解的个数是 ( ) .

A.4 B.5 C.6 D.7

6.方程组的解为 () .

7. 若方程mx+ny=6的两个解是则m, n的值为 ( ) .

A.4, 2 B.2, 4 C.-4, -2 D.-2, -4

8.某村原有林地108公顷, 旱地54公顷, 为保护环境, 需把一部分旱地改造为林地, 使旱地面积占林地面积的20%.设把x公顷旱地改为林地, 则可列方程 () .

A.54-x=20%×108 B.54-x=20% (108+x)

C.54+x=20%×162 D.108-x=20% (54+x)

9. 一副三角板按如图方式摆放, 且∠1比∠2大50°.若设∠1=x°, ∠2=y°, 则可得到的方程组为 () .

10. 桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形的杯子, 杯深均为15 cm, 各装有10 cm高的水, 右表记录了甲、乙、丙三个杯子的底面积.今小明将甲、乙两杯内一些水倒入丙杯, 过程中水没溢出, 使得甲、乙、丙三杯内水的高度比变为3誜4誜5.若不计杯子厚度, 则甲杯内水的高度变为 () .

A.5.4 cm B.5.7 cm C.7.2 cm D.7.5 cm

二、填空题

11.已知关于x的方程2x+a-5=0的解是x=2, 则a的值为________.

12.不等式3x-2>4的解集是__________.

13.方程组的解是________.

14.设实数x, y满足方程组则x+y=_______.

15.已知关于x, y的二元一次方程组的解互为相反数, 则k的值是________.

16.不等式组的解集是_______.

17. 公元前1700年的古埃及纸草书中, 记载着一个数学问题:“它的全部, 加上它的七分之一, 其和等于19.”此问题中“它”的值为_______.

18. 王大爷用280元买了甲、乙两种药材, 甲种药材每千克20元, 乙种药材每千克60元, 且甲种药材比乙种药材多买了2千克, 则甲种药材买了________千克.

19. 铁路部门规定旅客免费携带行李箱的长、宽、高之和不超过160 cm.某厂家生产符合该规定的行李箱, 已知行李箱的高为30 cm, 长与宽的比为3∶2, 则该行李箱的长的最大值为_______cm.

20. 某地准备对一段长120 m的河道进行清淤疏通. 若甲工程队先用4天单独完成其中一部分河道的疏通任务, 则余下的任务由乙工程队单独完成需要9天;若甲工程队先单独工作8天, 则余下的任务由乙工程队单独完成需要3天.设甲工程队平均每天疏通河道x m, 乙工程队平均每天疏通河道y m, 则 (x+y) 的值为________.

三、解答题

21. 解下列方程 (组) :

22. 解一元一次不等式组:并将解集在数轴上表示出来.

23. 若关于x、y的二元一次方程组的解满足x+y>-3/2, 求出满足条件的m的所有正整数值.

24. 某项球类比赛, 每场比赛必须分出胜负, 其中胜1场得2分, 负1场得1分.某队在全部16场比赛中得到25分, 求这个队胜、负场数分别是多少?

25. 今年“五一”小长假期间, 某市外来与外出旅游的总人数为226万人, 分别比去年同期增长30%和20%, 去年同期外来旅游比外出旅游的人数多20万人.求该市今年外来和外出旅游的人数.

26. 目前节能灯在城市已基本普及, 今年山东省面向县级及农村地区推广.为响应号召, 某商场计划购进甲、乙两种节能灯共1 200只, 这两种节能灯的进价、售价如右表:

(1) 如何进货, 进货款恰好为46 000元?

(2) 如何进货, 商场销售完节能灯时获利最多且不超过进货价的30%, 此时利润为多少元?

27. 用正方形硬纸板做三棱柱盒子, 每个盒子由3个矩形侧面和2个正三角形底面组成, 硬纸板以如图两种方法裁剪 (裁剪后边角料不再利用) .

A方法:剪6个侧面;

B方法:剪4个侧面和5个底面.

现有19张硬纸板, 裁剪时x张用A方法, 其余用B方法.

(1) 用x的代数式分别表示裁剪出的侧面和底面的个数;

(2) 若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完, 问能做多少个盒子?

28. 阅读材料:善于思考的小军在解方程组时, 采用了一种“整体代换”的解法:

解:将方程②变形:4x+10y+y=5即2 (2x+5y) +y=5, ③

把方程①代入③得:2×3+y=5, ∴y=-1,

把y=-1代入①得x=4, ∴方程组的解为

请你解决以下问题:

(1) 模仿小军的“整体代换”法解方程组

(2) 已知x, y满足方程组

《不等式与不等式组》复习教案 第2篇

要点

一、不等式

1.不等式：用符号“＜”(或“≤”)，“＞”（或“≥”），≠连接的式子要点诠释：

（1）不等式的解：能使不等式成立的未知数的值

（2）不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集． 解集的表示方法一般有两种：

1、用最简的不等式表示，例如xa，xa等；

2、是用数轴表示，如下图所示：

（3）解不等式：求不等式的解集的过程

2.不等式的性质：

基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．

用式子表示：

如果a＞b，那么a±c＞b±c 基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．

用式子表示：

ab如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)．

cc 基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．

用式子表示：

ab如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)．

cc要点二、一元一次不等式

1.定义：不等式的左右两边都是整式，经过化简后只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1 要点诠释：ax+b＞0或ax+b＜0(a≠0)叫做一元一次不等式的标准形式． 2.解法：

解一元一次不等式步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.教师寄语： 没有付出，那来收获 没有努力，何来成绩

心态不改变，成绩怎会变 坚持才会成功

要点诠释：不等式解集的表示：在数轴上表示不等式的解集，注意的是“三定”：

一是定边界点，二是定方向，三是定空实.3.应用：列不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似，即：

（1）审：认真审题，分清已知量、未知量；（2）设：设出适当的未知数；

（3）找：找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字，如“大于”“小于”

“不大于”“至少”“不超过”“超过”等关键词的含义；（4）列：根据题中的不等关系，列出不等式；

（5）解：解出所列的不等式的解集；（6）答：检验是否符合题意，写出答案.要点诠释：

列一元一次不等式解应用题时，经常用到“合算”、“至少”、“不足”、“不超过”、“不大于”、“不小于”等表示不等关系的关键词语，弄清它们的含义是列不等式解决问题的关键.要点三、一元一次不等式组

一元一次不等式组：关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起。要点诠释：

（1）不等式组的解集：不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做这个不等

式组的解集.（2）解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组.（3）一元一次不等式组的解法：分别解出各不等式，把解集表示在数轴上，取

所有解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.（4）一元一次不等式组的应用：

①根据题意构建不等式组，解这个不等式组； ②由不等式组的解集及实际意义确定问题的答案．

【典型例题】

1.若x是非负数，则用不等式可以表示为（）A.x＞0

B.x≥0

C.x＜0

D.x≤0 解析:x为非负数，即x是正数或零，即x＞0或x=0.答案:B 2.亮亮在“联华超市”买了一个三轮车外轮胎，看见上面标有“限载280 kg”的字样，由此可判教师寄语： 没有付出，那来收获 没有努力，何来成绩

心态不改变，成绩怎会变 坚持才会成功

断出该三轮车装载货物重量x的取值范围是（）A.x＜280 kg

B.x=280 kg

C.x≤280 kg

D.x≥280 kg 解析:“限载280 kg”是指最大载重量为280 kg，即不能超过280 kg.答案:C 3.如图9-1-1,则x____________80.图9-1-1 解析:因为左边比右边重，所以x＞80.答案:＞

4.不等式的两边加上或减去同一个数（或式子），不等号的方向_____________;不等式的两边同时乘以或除以同一个_____________，不等号的方向不变； 不等式的两边同时乘以或除以同一个_____________，不等号的方向改变.答案:不变

正数

负数

10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.下面的式子中不等式有_____________个.（）①3＞0 ②4x+3y＞0 ③x=3 ④x-1 ⑤x+2≤5

A.2

B.3

C.4

D.5 解析:用符号“＞”“≠”“≥”“＜”“≤”连接的式子叫不等式，所以①②⑤是不等式.答案:B 2.无论x取何值，下列不等式总成立的是（）A.x+5＞0

B.x+5＜0 C.-(x+5)2＜0

D.(x+5)2≥0 解析:根据任意数的平方都是非负数，所以(x+5)2≥0.答案:D 3.由a＞b，得到ma＜mb，则m的取值范围是（）A.m＞0

B.m＜0

C.m≥0

D.m≤0

解析:根据“不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变”,得m＜0.答案:B 4.用不等式表示“长为a+b,宽为a的长方形面积小于边长为3a-1的正方形的面积”: _________.解析:长方形的面积=长×宽，正方形的面积=边长×边长.答案:a(a+b)＜(3a-1)2 5.3x2n-7-3＞n1是关于x的一元一次不等式,则n=_____________.2解析:根据一元一次不等式的定义可得2n-7=1,所以n=4.答案:4 6.利用不等式的性质求下列不等式的解集，并在数轴上表示出来.(1)x-3＜2;(2)11x＞;(3)5x≥3x-2.24解:解关于x的不等式，就是利用不等式的性质将不等式逐步化为x＜a或x＞a的形式.（1）不等式两边加3,得x＜5；（2）不等式两边乘以-4,得x＜-2；（3）不等式两边减3x,得5x-3x≥-2，教师寄语： 没有付出，那来收获 没有努力，何来成绩

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即2x≥-2;不等式两边除以2,得x≥-1.在数轴上表示不等式的解集要分清两点，一要分清实点和虚点（“≥”与“≤”用实点，“＞”与“＜”用虚点），二要分清方向（“≥”与“＞”向右，“≤”与“＜”向左）.如图.7.若x＜0，x+y＞0，请用“＜”将-x，x，y，-y连接起来.解:由x＜0，x+y＞0，可知y＞0，且|y|＞|x|，所以-x＞0，-y＜0.根据“两个负数，绝对值大的反而小”知-y＜x，所以-y＜x＜-x＜y.30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.(2010吉林长春模拟，3)如图9-1-2所示，在数轴上表示不等式2x-6≥0的解集，正确的是（）

图9-1-2 答案:B 2.设“”“”“”表示三种不同的物体，现用天平称了两次，情况如图9-1-3所示，那么、、这三种物体按质量从大到小的顺序排列应为（）

图9-1-3 A.、、B.、、C.、、D.、、答案:B 3.(2010浙江绍兴模拟，7)不等式2-x＞1的解集是（）A.x＞1

B.x＜1

C.x＞-1

D.x＜-1 答案:B 4.已知△ABC中，a＞b，那么其周长P应满足的不等关系是（）A.3b＜P＜3a

B.a+2b＜P＜2a+b C.2b＜P＜2(a+b)

D.2a＜P＜2(a+b)答案:D 5.如图9-1-4，有理数a、b在数轴上的位置如图9-1-4所示，则或“＜”）.图9-1-4 答案:＜

6.一个木工有两根长为40 cm和60 cm的木条,要另外找一根木条并钉成一个三角形木架，问第三根木条的长度x的取值范围是_________________厘米.答案:20＜x＜100 教师寄语： 没有付出，那来收获 没有努力，何来成绩

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ab_________0（填“＞”ab

7.用适当的符号表示下列关系:(1)a的3倍与b的1的和不大于3;5(2)x2是非负数;(3)x的相反数与1的差不小于2;(4)x与17的和比它的5倍小.解:(1)中不大于就是小于或等于,即“≤”；（2）中的非负数就是大于等于零,即“≥”;(3)不小于就是大于等于;(4)中关键词是“小”等.可得(1)3a+

1b≤3;5(2)x2≥0;(3)-x-1≥2;(4)x+17＜5x.8.请写出一个含有“≤”的不等式的题目，并列出该题的不等式，能求出解集的求其解集.解:x的2倍与3与x差的和不大于7.列出不等式为2x+（3-x）≤7；2x+3-x≤7，x+3≤7，x≤4.9.你能比较2 0052010与2 006的大小吗? 为了解决这个问题,我们可先探索形如:n(n+1)和(n+1)n的大小关系(n≥1,自然数).为了探索其规律可从n=1、2、3、4、„这些简单的情形入手,从中观察、比较、猜想、归纳并得出结论.(1)利用计算器比较下列各组中两个数的大小:(填“＜”“＞”)

①12____________21;②23____________32;③34____________43;④45____________54;⑤56____________65.(2)试归纳出nn+1与(n+1)n的大小关系是:______________.(3)运用归纳出的结论，试比较2 0052010与2 006的大小.解:（1）通过计算可得＜

＜

＞

＞

＞(2)经过观察、比较、猜想可归纳出, 当n=1,2时，nn+1＜(n+1)n； 当n＞3时，nn+1＞(n+1)n.(3)根据规律，当n＞3时，nn+1＞(n+1)n,得0052 006＞2 0062 005.10.某辆救护车向相距120千米的地震灾区运送药品需要1小时送到，前半小时已经走了50

千米，后半小时至少以多大的速度前进，才能保证及时送到? 解:设后半小时速度为x千米/时, 依题意,有1x+50≥120.21x≥70,x≥140.2故后半小时至少以140千米/时的速度前进才能保证及时送到.11.小明和小亮决定把省下的零用钱存起来，已知小明存了168元，小亮存了85元，从这个月开始小明每月存16元，小亮每月存25元，几个月后小亮的存款数能超过小明? 解:设x个月后小亮的存款数能超过小明，则第x个月后小明的存款数为(16x+168)元，小亮的存款数是(25x+85)元.所以由题意可得25x+85＞16x+168，25x-16x＞168-85，即9x＞81，得x＞9.故9个月后小亮的存款数能超过小明.教师寄语： 没有付出，那来收获 没有努力，何来成绩

心态不改变，成绩怎会变 坚持才会成功

12.两根长度均为a cm的绳子,分别围成一个正方形和一个圆.(1)如果要使正方形的面积不大于25 cm2,那么绳长a应满足怎样的关系式?(2)如果要使圆的面积大于100 cm2,那么绳长a应满足怎样的关系式?(3)当a=8时,正方形和圆的面积哪个大?a=12呢?(4)你能得到什么猜想?改变a的取值再试一试.解:这是一个等周问题,所围成的正方形面积可表示为（a2a2),圆的面积可表示为π().42a2a2(1)要使正方形的面积不大于25 cm,就是()≤25,即≤25.4162

a2a2(2)要使圆的面积大于100 cm,就是π()＞100,即＞100.242

82822(3)当a=8时,正方形的面积为=4(cm),圆的面积为≈5.1(cm2),4＜5.1,此时圆的面积大;

4161221222当a=12时,正方形的面积为=9(cm),圆的面积为≈11.5(cm2).1649＜11.5,此时还是圆的面积大.a2a2(4)周长相同的正方形和圆,圆的面积大.本题中即＞.164

教师寄语： 没有付出，那来收获 没有努力，何来成绩

不等式与不等式组”导学 第3篇

一、不苍式是表示不等关系的数学模型

设a、b是任意两个实数，则它们的大小关系有三种可能：（1）a大于b，记作a>b；（2）a等于b，记作a=b；（3）a小于b，记作a”和“<”分别表示大于和小于的关系，它们连同“≠”（仅表示不相等，未指明谁大谁小），都属于不等号.

有些问题中，数量之间存在相等关系.等式是表达相等关系的式子，方程是含有未知数的等式.利用等式（包括方程）可以解决相等关系问题.

有些问题中，数量之间存在不等关系.不等式是用不等号连接两个数量的式子，它是表示不等关系的数学模型，是解决不等关系问题的重要T_具，例如，有两根长度分别为2 cm和3cm的木条，再找一根多长的木条就能摆成一个三角形？设第i根木条长xcm，根据“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，可以列出2+3>x和3-2

能使方程中的相等关系成立的未知数的值叫作方程的解，类似地，能使不等式中的不等关系成立的未知数的值叫作不等式的解.方程的解通常是一个或几个确定的值，如方程x+1=2的解是x=1，方程X2=1的解是x=±1；而不等式的解通常是一个或几个范围内的任意数.例如，任一个比1大的数都是不等式x+1>2的解，任一个比1小的数都是不等式x+1<2的解.一个不等式的全部解所组成的集合，叫作这个不等式的解集.例如，不等式x+1>2的解集为x>1，不等式x+1<2的解集为x<1.解方程是求方程的解，而解不等式是求不等式的解集.含有一个未知数的不等式的解集，可以用数轴来直观地表示.例如，图1和图2分别表示不等式x+1>2和x+1<2的解集.

二、对比等式的性质认识不等工的性质

我们先回顾等式的性质：（1）等式两边加上（或减去）同一个数（或式子），等式仍成立；（2）等式两边乘（或除以）同一个数（除数不为0），等式仍成立，这两条性质可以用式子表示为：（1）若a=b，则a+c=b±c；（2）若a=b，则ac=bc.a/b=b/d.等式的性质是等式变形（包括解方程）的依据.

不等式与等式在性质上既有相似之处，又有不同之处.不等式的基本性质可归纳为以下三条：（1）不等式两边加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，这三条性质可以用式子表示为：（1）若a>b，则。±c>6±c；（2）若a>b，c>0，则ac>bc，a/b>b/c；（3）若a>b，c<0，则ac<

三、联系一元一次方程认识一元一次不等式

一元一次不等式及其解法与一元一次方程及其解法有许多相似之处.一元一次不等式中出现的都是整式，其中只含一个未知数，并且含未知数的项的次数都是1.把一元一次方程中的等号换成不等号，得到的就是一元一次不等式，这就是说，两者的差别仅是一个含有等号，另一个含有不等号.解一元一次不等式与解一元一次方程的步骤大体一样，但有两点需要注意：（1）不等式两边乘（或除以）同一个不为O的数时，要根据这个数的正负考虑不等号的方向；（2）解不等式的结果是得到未知数的取值范围，而不是一个确定的值.

利用一元一次不等式解决实际问题与利用一元一次方程解决实际问题也十分相似，不同之处在于列方程要依据相等关系，而列不等式要依据不等关系，因此一定要分析出相关的两个数量谁大谁小，并正确地用不等号把表示这两个数量的式子连接起来.

不等式组 第4篇

木马病毒一:对于各类方程定义的理解不彻底

例1 已知关于x、y的方程 (k2-1) x2+ (k+1) x+ (k-7) y=2.

(1) 当k=_______时, 方程为一元一次方程;

(2) 当k=_______时, 方程为二元一次方程.

【错误解答】 (1) k=±1; (2) k=±1.

【木马自述】 (1) 令x2项系数为0时还挺明白的, 当算得k=±1时, 下意识就认为x的系数 (k+1) 肯定是0了.

(2) 想着肯定不能有二次项, 又得到了k=±1的答案, 就没有考虑一次项x的系数不为0.

【杀毒建议】对一元一次方程、二元一次方程的定义要充分掌握, 未知数个数、未知数次数、未知数系数三方的要求都要考虑周全, 因此正确解答为: (1) k=-1; (2) k=1.

例2 (2015·白银) 一元二次方程 (a+1) x2-ax+a2-1=0的一个根为0, 则a=_______.

【错误解答】a=±1.

【木马成因】做题时只关注了“根是0”, 忘了一元二次方程的定义要求二次项系数不为0.

【杀毒建议】充分理解一元二次方程的定义, 如果给出的方程二次项系数含有字母, 切记“二次项系数不能为0”这一条件, 所以本题正确答案应该是a=1.

木马病毒二:对于不等式的基本性质运用不灵活

例3 (2015·乐山) 下列说法不一定成立的是 () .

A.若a>b, 则a+c>b+c

B.若a+c>b+c, 则a>b

C.若a>b, 则a2>b2

D.若ac2>bc2, 则a>b

【错误解答】D.

【木马成因】对于D, 不等式两边同时除以c2, 只单纯判断出c2≥0, 想着要是0的话肯定不成立, 就选了D.

【杀毒建议】D选项中由非负性c2≥0, 而条件ac2>bc2中隐含了c2≠0, 因此选项正确;

C选项中因为任何数的平方都是非负数, 所以a2与b2的大小取决于a和b的大小关系, 因此本题应该选C.

木马病毒三:对解方程的步骤执行不到位

例4 (2015·盘锦) 方程 (x+2) (x-3) =x+2的解是________.

【错误解答】x=4.

【木马成因】观察方程左右两边以为可以同时除以 (x+2) 来化简方程, 化简后得到了x-3=1.

【杀毒建议】要熟知用因式分解法解一元二次方程的一般步骤:①移项;②因式分解;③令每个因式为0, 化为两个一元一次方程;④解这两个方程.所以此题①移项: (x+2) (x-3) - (x+2) =0;②因式分解: (x+2) · (x-4) =0, 正确结果为:x1=-2, x2=4.

例5 (2015·龙岩) 解方程:

【错误解答】x=2.

【木马成因】解分式方程时按照步骤解得x=2, 但忽略了分式方程有增根的问题.

【杀毒建议】解分式方程的关键是熟记解分式方程的步骤, 一定要进行检验. 此题经检验, 原方程无解.

木马病毒四:对于一元一次不等式 (组) 中字母取值的思考有疏漏

例6 (2014·南通) 若不等式组无解, 则a的取值范围是 () .

A.a≥1 B.a>1

C.a≤1 D.a<1.

【错误解答】B.

【木马成因】在解出根据“大大小小是无解”的口诀得到a>1.

【杀毒建议】“大大小小是无解”的口诀只能初步确定字母的范围a>1, 然后单独分析a=1的情况, 发现无解 (符合题意) , 综上得到a≥1.

例7 (2015·永州) 若不等式组恰有两个整数解, 则m的取值范围是 () .

A.-1≤m<0 B.-1<m≤0

C.-1≤m≤0 D.-1<m<0

【错误解答】D.

【木马成因】解得不等式组的解集为m-1<x<1, 由恰有两个整数解得到-2<m-1<-1, 选择D.

【杀毒建议】当初步确定字母的范围-2<m-1<-1 后, 必须单独分析m-1=-2 及m-1=-1两种情况:令m-1=-2, 解集为-2<x<1恰有两个整数解 (符合题意) ;令m-1=-1, 解集为-1<x<1恰有一个整数解 (不符合题意) .综上-2≤m-1<-1, 故选A.

木马病毒五:对于分式方程分母不为0的条件依旧模糊

例8 (2015·扬州) 已知关于x的方程的解是负数, 则n的取值范围是_______.

【错误解答】n<2.

【木马成因】按步骤求出分式方程的解x=n-2, 由解是负数得出n<2, 却忘了老师一再强调的解分式方程验根必不可少.

【杀毒建议】遇到分式方程的问题, 一定要记得使原方程有意义的条件:2x+1≠0 (x≠-1/2即n-2≠-1/2) , 任何时候都不能忽略分母不为0, 所以正确解答是n<2且n≠3/2.

例9 (2015·毕节) 关于x的方程x2-4x+3=0与有一个解相同, 则a=______.

【错误解答】a=±1.

【木马成因】先解得一元二次方程的解为x1=1, x2=3;再解分式方程整理得到x=a+2;所以分别代入x=1和x=3得到a=±1.

【杀毒建议】讨论分式方程的解一定要记得使原方程有意义的条件:分母不为0.而x=1时分式方程无意义, 所以只能将x=3代入, 最终a=1.

一键扫描:

1. 若关于x的一元二次方程 (k-1) x2-2x+1=0有两个不相等的实数根, 则实数k的取值范围___________.

2.关于x的不等式组的解集为x>1, 则a的取值范围是 () .

A.a>1 B.a<1

C.a≥1 D.a≤1

3.方程3 (x-5) 2=2 (x-5) 的解是______.

4.解方程:

5.若关于x的不等式的整数解共有4个, 则m的取值范围是 () .

A.6<m<7 B.6≤m<7

C.6≤m≤7 D.6<m≤7

6. 若分式方程无解, 则a的值为_______.

7. 关于x的分式方程的解是非负数, 则m的取值范围是 () .

A. m≥-1B. m>-1

C. m>-1且m≠1 D. m≥-1且m≠1

8.关于x的不等式组的整数解共有3个, 则a的取值范围是_______.

诊断结果

1.k<2且k≠1 2.D 3.x1=5, x2=17/3

4.原方程无解5.D 6.1或-1

不等式组 第5篇

1、某学校组织340名师生进行长途考察活动，带有行李170件，计划租用甲、乙两种型号的汽车10辆，经了解，甲车每辆最多能载40人和16件行李，乙车每辆最多能载30人和20件行李.（1）请你帮助学校设计所有可行的租车方案；

（2）如果甲车的租金为每辆2 000元.乙车的租金为每辆1 800元，问哪种可行方案使租车费用最省？

2、某电脑经销商计划同时购进一批 电脑机箱和液晶显示器，若购进电脑机箱10台和液晶显示器 8台，共需资金7 000元；若购进电脑机箱2台和液晶显示器 5台，共需资金4 120元.(1)每台电脑机箱和液晶显示器进价各多少元?

(2)该经销商计划购进这两种商品共50台,而可用于购买这两种商品的资金不超过22 240元.根据市场行情,电脑机箱、液晶显示器销售一台获利分别为10元、160元.该经销商希望销售完这两种商品后,所获利润不少于4 100元,试问:该经销商有几种进货方案?哪种方案获利最大?最大利润是多少?

3、响应“家电下乡”的惠农政策，某商场决定从厂家购进甲、乙、丙三种不同型号的电冰箱80台，其中甲种电冰箱的台数是乙种电冰箱台数的2倍，购买三种电冰箱的总金额不超过．．．132 000元．已知甲、乙、丙三种电冰箱的出厂价格分别为：1 200元/台、1 600元/台、2 000元/台．

（1）至少购进乙种电冰箱多少台？

（2）若要求甲种电冰箱的台数不超过丙种电冰箱的台数，则有哪些购买方案？

4、为实现区域教育均衡发展，我市计划对某县A、B两类薄弱学校全部进行改造．根据预算，共需资 金1575万元．改造一所A类学校和两所B类学校共需资金230万元；改造两所A类学校和一所B类学校共需资金205万元．（1）改造一所A类学校和一所B类学校所需的资金分别是多少万元？

（2）若该县的A类学校不超过5所，则B类学校至少有多少所？

（3）我市计划今年对该县A、B两类学校共6所进行改造，改造资金由国家财政和地方财政共同承担．若今年国 家财政拨付的改造资金不超过400万元；地方财政投入的改造资金不少于70万元，其中地方财政投入到A、B两类学校的改造资金分别为每所10万元和15万元．请你通过计算求出有几种改造方案？

5、某电脑公司经销甲种型号电脑，受经济危机影响，电脑价格不断下降．今年三月份的电脑售价比去年同期每台降价1000元，如果卖出相同数量的电脑，去年销售额为10万元，今年销售额只有8万元．

（1）今年三月份甲种电脑每台售价多少元？

（2）为了增加收入，电脑公司决定再经销乙种型号电脑，已知甲种电脑每台进价为3500元，乙种电脑每台进价为3000元，公司预计用不多于5万元且不少于4.8万元的资金购进这两种电脑共15台，有几种进货方案？

不等式（组）的考点扫描 第6篇

不等式（组）的内容在各地的中考题中都有所涉及，下面结合实例（均为2008年各地的中考数学试题）说明有关不等式（组）的考点：

1 已知不等式的解集，确定某个字母的值

不等式的解是一个集合，为了清楚地表示出不等式的解集，我们常借助于数轴的形象性，把不等式的解集在数轴上表示出来. 在用数轴表示不等式的解集时，“实虚点”是同学们学习中常出现错误的地方，所以各地的中考题命题者也把这一点作为考查的一个重点.

例1 （烟台市）关于x的不等式-2x+a≥2的解集如图所示，a的值是（ ）

分析 根据解不等式的方法，直接求出已知不等式的解集. 而根据数轴又可以直接得出不等式的解集，通过比较得到关于a的方程，再解这个方程即可得到a的值.

解 解不等式-2x+a≥2，得到其解集为x≤a-22.

根据数轴可知，不等式的解集为x≤-1.

所以a-22=-1，故a=0.

2 考查不等式（组）的解法

不等式（组）的解法是重要的内容，各地的中考题中常有考查解不等式（组）的题目，考查的题型也比较灵活，有填空题、选择题和解答题三种形式.

例2 （山西省）不等式组3-x≥04x+1

分析 根据解不等式组的方法，直接求解.

解 由3-x≥0，得x≤3，由4x+1

答案：x<2.

例3 （陕西省）把不等式组x-3<-15-x<6的解集表示在数轴上，正确的是（ ）.

分析 直接解不等式组，然后在数轴上表示出来.

解 解不等式组x-3<-15-x<6，得-1

答案：选C.

例4 （北京市）解不等式5x-12≤2（4x-3），并把它的解集在数轴上表示出来.

分析 根据解不等式的方法直接求解. 在用数轴表示不等式的解集时，要注意实心圆与空心圆的区别.

解 去括号，得5x-12≤8x-6.

移项，得5x-8x≤-6+12.

合并，得-3x≤6.

化系数为1，得x≥-2.

不等式的解集在数轴上表示如下：

3 列不等式（组）解应用题

利用不等式（组）解决实际问题属于应用性的问题.

例5 （潍坊市）为了美化校园环境，建设绿色校园，某学校准备对校园中30亩空地进行绿化. 绿化采用种植草皮与种植树木两种方式，要求种植草皮与种植树木的面积都不少于10亩，并且种植草皮面积不少于种植树木面积的32. 已知种植草皮与种植树木每亩的费用分别为8000元与12000元.

（1）种植草皮的最小面积是多少？

（2） 种植草皮的面积为多少时绿化总费用最低？最低费用为多少？

分析 正确理解题意，明确不少于即大于或等于，可利用不等式组解决问题.

解 （1）设种植草皮的面积为x亩，则种植树木面积为（30-x）亩，则：x≥1030-x≥10x≥32(30-x). 解得18≤x≤20.

答：种植草皮的最小面积是18亩.

（2）由题意得：y=8000x+12000（30-x）=360000-4000x，

当x=20时，y有最小值280000元.

利用不等式（组）的知识解决方案的确定问题也是各地中考题中常有的题目.

例6 （青岛市）2008年8月，北京奥运会帆船比赛将在青岛国际帆船中心举行. 观看帆船比赛的船票分为两种：A种船票600元/张，B种船票120元/张. 某旅行社要为一个旅行团代购部分船票，在购票费不超过5000元的情况下，购买A，B两种船票共15张，要求A种船票的数量不少于B种船票数量的一半. 若设购买A种船票x张，请你解答下列问题：

（1）共有几种符合题意的购票方案？写出解答过程；

（2）根据计算判断：哪种购票方案更省钱？

分析 （1）分析题意，得到不等式组，通过解不等式组确定出购票方案. （2）分别计算出各种方案所需的费用，通过比较进行判断.

解 （1）设A种票x张，则B种票（15-x）张，根据题意得：x≥15-x2600x+120(15-x)≤5000.

ソ獾茫5≤x≤203.

所以满足条件的x为5或6.

所以共有两种购买方案：

方案1:A种票5张，B种票10张；

方案2:A种票6张，B种票9张.

（2）方案1购票费用：600×5＋120×10=4200（元），

方案2购票费用：600×6＋120×9=4680（元），

因为4200<4680，所以方案1更省钱.

4 与方程、函数等知识综合在一起解答实际问题

例7 （河南省）某校八年级举行英语演讲比赛，派了两位老师去学校附近的超市购买笔记本作为奖品. 经过了解得知，该超市的A、B两种笔记本的价格分别是12元和8元，他们准备购买两种笔记本共30本.

（1）如果他们计划用300元购买奖品，那么能买这两种笔记本各多少本?

（2）两位老师根据演讲比赛的设奖情况，决定所购买的A种笔记本的数量要少于B种笔记本数量的23，但又不少于B种笔记本数量的13，如果设他们买A种笔记本n本，买这两种笔记本共花费w元.

①请写出w（元）关于n（本）的函数关系式，并求出自变量n的取值范围；

②请你帮助他们计算，购买这两种笔记本各多少时，花费最少，此时的花费是多少元？

分析 本题的第一问考查学生用方程的知识解决实际问题. 第二问考查不等式、函数等知识. 对于第二问可根据题意写出函数关系式，然后根据要求确定出自变量的取值范围.

解 （1）省略.

（2）①根据题意，得w=12n+8（30-n）=4n+240. 对于n应同时满足：n<23(30-n)n≥13(30-n).

ソ獾152≤n＜12.

所以w（元）关于n（本）的函数关系式为：w=4n+240,自变量n的取值范围是152≤n＜12.

②对于一次函数w=4n+240，因为w随n的增大而增大，且152≤n＜12，n为整数,故当n=8时，w的值最小. ゴ耸保30-n=22，w=4×8+240=272（元）.

因此，当买A种笔记本8本，B种笔记本22本时，所花费用最少，为272元.

一元一次不等式组 第7篇

本专题内容为一元一次不等式(组),包含一元一次不等式(组)的定义、解法以及实际应用.对于一元一次不等式(组)专题的考查,近年考试主要集中在对不等式组的解法以及实际应用等方面的考查.其中的考查热点为:

1.一元一次不等式的一般步骤:1去分母(根据不等式性质2或3);2去括号(根据去括号法则);3____________(根据不等式性质1);4合并同类项(合并同类项法则);5把ax>b或ax<b化为系数为____________的未知数x(根据不等式性质2或3)

2.一元一次不等式组中各个不等式的解集的____________部分,叫做这个一元一次不等式组的解集.当几个不等式的解集没有公共部分时,我们就叫做这个一元一次不等式组____________.

3.解一元一次不等式组的步骤

(1)分别求出这个不等式组中各个不等式的____________.

(2)利用____________求出这些不等式解集的公共部分,即求出了不等式组的解集.

4.由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集,共归结为以下四种基本情况,请将空格的横线上填写上相应的内容:

5.不等式的左右两边都是____________,经过化简后只含有____________未知数,并且未知数的最高次数是____________,这样的不等式叫做一元一次不等式 ,且最简形 式为ax>b或ax<b,其中x是未知数 ,a,b是常数 ,且____________.

6.关于同一个未知数的几个____________合在一起,就组成了一个一元一次不等式组.

参考答案

1.移项,1.

2.公共,无解.

3.解集,数轴.

4.x>ax<bb<x<a无解

5.整式,一个,1,a≠0.

6.一元一次不等式

例题热身

1.一元一次不等式组的解法

例1下列各数中,为不等式组解的是()

A.-1B.0C.2D.4

解析:一元一次不等式组解,是使得不等式组中每一个不等式都成立的的值.

验证:x=1时,不成立,淘汰A;

x=0时,2x-3>0不成立,淘汰B;

x=4时,x-4<0不成立,淘汰D,故选C.

答案:C

2.一元一次不等式组在无理数大小判断中的应用

例2a,b是两个连续整数,若,则a,b分别是()

A.2,3B.3,2C.3,4D.6,8

解析:

答案:A.

点拨:本题考查了估算无理数的大小,是解题关键.

3.一元一次不等式组在实际问题中的应用.

例3某景区内的环形路是边长为800米的正方形ABCD,如图1和图2.现有1号、2号两游览车分别从出口A和景点C同时出发,1号车顺时针、2号车逆时针沿环形路连续循环行驶,供游客随时免费乘车(上、下车的时间忽略不计),两车速度均为200米/分.

探究:设行驶吋间为t分.

(1)当0≤t≤8时,分别写出1号车、2号车在左半环线离出口A的路程y1,y2(米)与t(分)的函数关系式,并求出当两车相距的路程是400米时t的值;

(2)t为何值时,1号车第三次恰好经过景点C?并直接写出这一段时间内它与2号车相遇过的次数.

发现:如图2,游客甲在BC上的一点K (不与点B,C重合)处候车,准备乘车到出口A,设CK=x米.

情况一:若他刚好错过2号车,便搭乘即将到来的1号车;

情况二:若他刚好错过1号车,便搭乘即将到来的2号车.

比较哪种情况用时较多?(含候车时间)

决策 :己知游客 乙在DA上从D向出口A走去 .步行的速 度是50米/分.当行进到DA上一点P (不与点D,A重合)时,刚好与2号车迎面相遇.

(1)他发现,乘1号车会比乘2号车到出口A用时少,请你简要说明理由:

(2)设PA=s(0<s<800)米.若他想尽快到达出口A,根据s的大小,在等候乘1号车还是步行这两种方式中.他该如何选择?

解析:探究:(1)由路程 = 速度×时间就可 以得出y1,y2(米)与t(分)的函数关系式,再由关系式就可以求出两车相距的路程是400米时t的值.

由题意,得

y1=200t,y2=-200t+1600

当相遇前相距400米时,

-200t+1600-200t=400,

t=3,

当相遇后相距400米时,

200t-(-200t+1600)=400,

t=5.

即当两车相距的路程是400米时t的值为3分钟或5分钟;

(2)求出1号车3次经过A的路程,进一步求出行驶的时间,由两车第一次相遇后每相遇一次需要的时间就可以求出相遇次数.

由题意,得

1号车第三次恰好经过景点C行驶的路程为:800×2+800×4×2=8000,

∴1号车第三次经过景点C需要的时间为:8000÷200=40分钟,

两车第一次相遇的时间为:1600÷400=4.

第一次相遇后两车每相遇一次需要的时间为:800×4÷400=8,

∴两车相遇的次数为:(40-4)÷8+1=5次.

∴这一段时间内它与2号车相遇的次数为:5次;

发现:分别计算出情况一的用时和情况二的用时,在进行大小比较就可以求出结论.

由题意得

情况一需要时间为:

情况二需要的时间为:

∴情况二用时较多.

决策:(1)根据题意可以得出游客乙在AD上等待乘1号车的距离小于边长,而成2号车到A出口的距离大于3个边长,进而得出结论.

∵游客乙在AD边上与2号车相遇,

∴此时1号车在CD边上,

∴乘1号车到达A的路程小于2个边长,乘2号车的路程大于3个边长,

∴乘1号车的用时比2号车少.

(2)分类讨论,若步行比乘1号车的用时少,则有:

∴s<320.

∴当0<s<320时,选择步行.

同理可得

当320<s<800时,选择乘1号车,

当s=320时,选择步行或乘1号车一样.

答案:探究(1)y1=200t,y2=-200t+1600

当两车相距的路程是400米时t的值为3分钟或5分钟;

(2)1号车第三次经过景点C需要的时间为:

8000÷200=40分钟;这一段时间内它与2号车相遇的次数为:5次;

发现:情况二用时较多.

决策:(1)乘1号车的用时比2号车少.

∵游客乙在AD边上与2号车相遇,

∴此时1号车在CD边上,

∴乘1号车到达A的路程小于2个边长,乘2号车的路程大于3个边长,

∴乘1号车的用时比2号车少.

(2当0<s<320时,选择步行.

当320<s<800时,选择乘1号车,

当s=320时,选择步行或乘1号车一样.

点拨:本题考查了一次函数的解析式的运用,一元一次方程的运用,一元一次不等式的运用,分类讨论思想的运用,方案设计的运用,解答时求出函数的解析式是解答本题的关键.

巧排进度增效益

利用一元一次不等式,我们可以给各种任务排好进度,这样可以在数学思想科学地指导下,提高效益.

1.工程安排

例1(2014年广东汕尾,第23题11分)某校为美化校园,计划对面积为1800m2的区域进行绿化,安排甲、乙两个工程队完成.已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2倍,并且在独立完成面积为400m2区域的绿化时,甲队比乙队少用4天.

(1)求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少m2?

(2)若学校每天需付给甲队的绿化费用为0.4万元,乙队为0.25万元,要使这次的绿化总费用不超过8万元,至少应安排甲队工作多少天?

解析:(1)设乙工程队每天能完成绿化的面积是xm2,根据在独立完成面积为400m2区域的绿化时,甲队比乙队少用4天,列出方程,求解即可.

根据题意得:

解得:x=50经检验x=50是原方程的解,

则甲工程队每天能完成绿化的面积是50×2=100(m2),

即甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是100m2、50m2;

(2)设至少应安排甲队工作x天,根据这次的绿化总费用不超过8万元,列出不等式,求解即可.

根据题意得:

解得:x≥10

即至少应安排甲队工作10天.

答案:(21)甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是100m2、50m2;

(2)至少应安排甲队工作10天.

点拨:此题考查了分式方程的应用,关键是分析题意,找到合适的数量关系列出方程和不等式,解分式方程时要注意检验.

2.实验室管理

例2(2014·四川自贡,第21题10分)学校新到一批理、化、生实验器材需要整理,若实验管理员李老师一人单独整理需要40分钟完成,现在李老师与工人王师傅共同整理20分钟后,李老师因事外出,王师傅再单独整理了20分钟才完成任务.

(1)王师傅单独整理这批实验器材需要多少分钟?

(2)学校要求王师傅的工作时间不能超过30分钟,要完成整理这批器材,李老师至少要工作多少分钟?

解析:(1)设王师傅单独整理这批实验器材需要x分钟,则王师傅的工作效率为,根据李老师与工人王师傅共同整理20分钟的工作量+王师傅再单独整理了20分钟的工作量=1,可得方程,解出即可.

由题意,得:

解得:x=80,

经检验得:x=80是原方程的根.

即王师傅单独整理这批实验器材需要80分钟.

(2)根据王师傅的工作时间不能超过30分钟,列出不等式求解.

设李老师要工作y分钟,

由题意,得:

解得:y≥25.

即李老师至少要工作25分钟.

答案:(1)80分钟;(2)李老师至少要工作25分钟.

聚焦不等式(组)的“整数解” 第8篇

一、不等式的整数解

1.求不等式的整数解

例1不等式-5x≥-13的解集中, 最大的整数解是 () .

A.1 B.2 C.3 D.4

【思路分析】-5x≥-13的解集为x≤13/5, 这个范围内的正整数有1, 2.因此最大的整数解为2.

【技巧点评】求不等式的整数解的策略, 先求出不等式 (组) 的解集, 再找出符合条件的整数解.

2.不等式的整数解的逆用

例2已知不等式x≤a的正整数解为1, 2, 3, 求a的取值范围.

【思路分析】由于本题的正整数解为1、2、3, 可以对本题解集边界所在的范围进行讨论, 从而求得a的取值范围.

解:因为x<3的正整数解为1, 2,

x≤3的正整数解为1, 2, 3,

x≤3.1的正整数解为1, 2, 3,

x<4的正整数解为1, 2, 3,

x≤4的正整数解为1, 2, 3, 4,

所以3≤a<4.

即a的取值范围是3≤a<4.

【技巧点评】 (1) 借助画数轴可以很容易得出正确答案, 如图1, 要保证这个范围内的正整数只有1、2、3, 则表示数a的点应在表示3和4的两点之间 (a可以等于3, 但不能等于4) .

(2) 本题容易存在的问题是考虑不全面, 比如仅认为a<4.

二、不等式组的整数解

1.不等式组的整数解

例3解不等式组并求它的正整数解.

【思路分析】先求出组成不等式组的每一个不等式的解集, 然后寻找出组成不等式组的几个不等式解集的公共部分, 这个公共部分就是这个不等式组的解集, 最后在不等式组的解集中找出满足要求的整数.

解:解不等式①得, x>-3/2;

解不等式②得, x≤4.

所以不等式组的解集为-3/2<x≤4.

所以这个不等式的正整数解为1, 2, 3, 4.

【技巧点评】求不等式组的特殊解时, 可先求出这个不等式组的解集, 然后在不等式组的解集里面找到需要的特殊解.

2.由整数解确定字母系数的取值范围

例4试确定实数a的取值范围, 使不等式组恰有两个整数解.

【思路分析】先求出不等式组的解集, 再根据x恰有两个整数解求出a的取值范围即可.

解不等式①, 得x>-2/5,

解不等式②, 得x<2a.

由题意可知该不等式组有解, 则其解集为-2/5<x<2a.

∵原不等式组有两个整数解, 而大于-2/5的最小的两个整数分别为0和1.

∴要使-2/5<x<2a的整数解为0, 1, 则右端2a的值应在1 (不包括1) 和2 (包括2) 之间, 即1<2a≤2.

∴1/2<a≤1.

【技巧点评】解决这类问题, 需先用含字母的不等式表示原不等式组的解集, 再由不等式组中整数解的个数确定可能的整数解, 然后得到字母的取值范围 (如本题中确定2a的范围) .借助数轴可以更好地理解.

3.实际问题中的整数解

例5将一箱苹果分给若干个小朋友, 若每位小朋友分5个苹果, 则还剩12个苹果;若每位小朋友分8个苹果, 则有一个小朋友分不到8个苹果.求这一箱苹果的个数与小朋友的人数.

【思路分析】设有x人, 则苹果有 (5x+12) 个, 由题意, 得解得, 4<x<20/3.∵x为正整数, ∴x=5或6.当x=5时, 5x+12=37个;当x=6时, 5x+12=42个.

中考复习指导之三:不等式(组) 第9篇

一、知识点及重点、难点

1.只含有一个未知数, 并且未知数的最高次数为1, 系数不等于0的不等式, 叫做一元一次不等式.如:2x-3>0, , 3y+1<7.

提醒:含未知数的式子必须为整式, 如>2不是一元一次不等式.

2.解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程的步骤类似, 一般为: (1) 去分母, (2) 去括号, (3) 移项, (4) 合并同类项, (5) 未知数的系数化为1.

提醒:在上面的步骤 (1) 和 (5) 中, 如果乘数或除数是负数, 要把不等号的方向改变;去分母时, 应注意分数线具有小括号作用.另外, 上面的五步可以交叉进行, 不一定按顺序.

3.解一元一次不等式组

解一元一次不等式组就是先解出不等式组中每一个不等式的解集, 再找出它们的公共部分.不等式组解集的确定方法:

4.不等式 (组) 的特殊解

不等式 (组) 的解一般有无数多个, 但其特殊解如整数解、非负整数解、非正整数解、非负数解、非正数解、最小值、最大值等往往是有限个.求这些特殊解, 首先应确定不等式 (组) 的解集, 然后再找出相应的答案.

5.从函数图象求不等式的解集

由于函数与不等式之间有着密切的联系, 所以, 不等式的问题可以用函数的方法解决;反之, 许多有关函数的问题也可以用解不等式的方法解决.用函数的观点看方程与不等式, 是同学们应该学会的一种思想方法.从函数图象求不等式的解集, 要正确地掌握函数图象的相关信息, 两图象的交叉点是函数值相等的点的位置, 交点的两侧便是函数确定的不等式的解集.

6.列不等式 (组) 解应用题

注意分析题目中的不等关系, 考查的热点主要是“不等式与函数”和“不等式与方程”型应用题.

二、例题讲解

例1 (2009广西柳州) 若a

分析:本题主要考查不等式的基本性质.不等式的两边都加上 (或减去) 同一个数或整式, 不等号的方向不变, A对;不等式两边同乘以 (或除以) 一个正数, 不等号的方向不变, B错;不等式两边同乘以 (或除以) 一个负数, 不等号改变方向, C错;若c<0, ac>bc, 若c>0, 则ac

例2 (2009湖南益阳) 已知⊙O1和⊙O2的半径分别为1和4, 如果两圆的位置关系为相交, 那么圆心距O1O2的取值范围在数轴上表示正确的是 () .

分析:两圆相交, 两圆之间的距离O1O2应满足:4-1

因此, 将不等式组表示在数轴上, 应不包括端点两数, 故选A.

例3 (2008湖北宜昌) 解不等式:

分析:解一元一次不等式与解一元一次方程步骤基本相同, 特别要注意:当系数化为1时, 不等式两边同乘以 (或除以) 同一个负数, 不等号的方向改变.

解:去括号, 得2x+1-1≤-x+9.

移项, 合并同类项, 得3x≤9.

系数化为1, 得x≤3.

例4 (2008四川成都) 解不等式组, 并写出该不等式组的最大整数解.

分析:先求出不等式组的解集, 再在此范围内找出适合的最大的整数.

解:解不等式x+1>0, 得x>-1.

解不等式, 得x≤2.

∴原不等式组的解集为-1

故不等式组的最大整数解为x=2.

例5 (2009湖北恩施) 如果一元一次不等式组≤的解集为x>3, 则a的取值范围是 () .

分析:确定不等式组解集的方法:“同大取大, 同小取小, 小大大小中间找, 大大小小找不到.”由于不等式组≤的解集为x>3, 所以3不小于a, 即3≥a, 即a≤3, 选C.

例6 (2009内蒙古呼和浩特) 试确定a的取值范围, 使以下不等式组只有一个整数解.

分析:将a当作常数, 求出不等式组的解集, 根据在此解集内只有一个整数解, 来确定a的范围.

要使x有且只有一个整数解, 只有1

例7 (2009浙江杭州) 已知关于x的方程的解是正数, 则m的取值范围为____.2x+m x-2=3

分析:将m当作常量, 求出关于x的方程的解, 由解为正数, 构造出不等式, 另外, 还应注意到x≠2.

由题意, x=m+6>0且x=m+6≠2, 得m>-6且m≠-4.

例8 (2008内蒙古乌兰察布) 如图, 已知函数y=2x+b和y=ax-3的图象交于点P (-2, -5) , 则根据图象可得不等式2x+b>ax-3的解集是_____.

分析:本题考查的是数形结合.不等式2x+b>ax-3的解集是指函数图象y=2x+b在图象y=ax-3上方时自变量x的取值范围, 又交点为P (-2, -5) , 所以不等式2x+b>ax-3的解集是x>-2.解决此类问题另一种方法是:手拿一把尺子使其垂直于x轴, 从图形的最左边向右移动, y=2x+b的图象在y=ax-3的上方时, 尺子与x轴相交所对应的数值即为不等式2x+b>ax-3的解集.因此, x>-2.

例9 (2009福建漳州) 阅读材料, 解答问题.

例用图象法解一元二次不等式:x2-2x-3>0.

解:设y=x2-2x-3, 则y是x的二次函数.

∵a=1>0, ∴抛物线开口向上.

又∵当y=0时, x2-2x-3=0, 解得x1=-1, x2=3.

∴抛物线y=x2-2x-3的大致图象如图所示.

观察函数图象可知:当x<-1或x>3时, y>0.

∴x2-2x-3>0的解集是x<-1或x>3.

(1) 观察图象, 直接写出一元二次不等式:x2-2x-3<0的解集是______.

(2) 仿照上例, 用图象法解一元二次不等式:x2-1>0. (大致图象画在答题卡上)

解: (1) -1

(2) 设y=x2-1, 则y是x的二次函数.

∵a=1>0, ∴抛物线开口向上.

又∵当y=0时, x2-1=0, 解得x1=-1, x2=1.

∴抛物线y=x2-1的大致图象如图所示.

观察函数图象可知:当x<-1或x>1时, y>0.

∴x2-1>0的解集是x<-1或x>1.

例10 (2009黑龙江牡丹江) 某冰箱厂为响应国家“家电下乡”号召, 计划生产A、B两种型号的冰箱100台.经预算, 两种冰箱全部售出后, 可获得利润不低于4.75万元, 不高于4.8万元, 两种型号的冰箱生产成本和售价如下表:

(1) 冰箱厂有哪几种生产方案?

(2) 该冰箱厂按哪种方案生产, 才能使投入成本最少?“家电下乡”后农民买家电 (冰箱、彩电、洗衣机) 可享受13%的政府补贴, 那么在这种方案下政府需补贴给农民多少元?

(3) 若按 (2) 中的方案生产, 冰箱厂计划将获得的全部利润购买三种物品:体育器材、实验设备、办公用品支援某希望小学.其中体育器材至多买4套.体育器材每套6000元, 实验设备每套3000元, 办公用品每套1800元, 把钱全部用尽且三种物品都购买的情况下, 请你直接写出实验设备的买法共有多少种.

分析:不等式 (组) 应用题是近几年中考的热点内容, 在各地试题中经常出现.命题者常将不等式知识与其他有关知识相结合, 编拟出有特色、有新意的试题, 以考查同学们分析、解决实际问题的能力.“农民买家电可享受13%的政府补贴”就紧密联系了“家电下乡”这一项既具有政治意义又具有经济意义的重大支农惠农政策.

解: (1) 设生产A型冰箱x台, 则B型冰箱为 (100-x) 台, 由题意得:

解得37.5≤x≤40.∵x是正整数∴x取38, 39或40.

有以下三种生产方案:

(2) 设投入成本为y元, 此时, 生产A型冰箱x台, 则B型冰箱为 (100-x) 台, 由题意有:y=2200x+2600 (100-x) =-400x+260000.

∵-400<0, ∴y随x的增大而减小, 要使y最小, 只需要x最大.

∴当x=40时, y有最小值.

即生产A型冰箱40台, B型冰箱100-40=60 (台) , 该厂投入成本最少.

此时, 政府需补贴给农民 (2800×40+3000×60) ×13%=37960 (元) .

(3) 按 (2) 中的方案生产, 冰箱厂获得的利润为:40× (2800-2200) +60× (3000-2600) =48000元.

(1) 设购买体育器材1套, 实验设备a套, 办公用品b套, 则6000+3000a+1800b=48000,

(2) 设购买体育器材2套, 实验设备a套, 办公用品b套, 则12000+3000a+1800b=48000,

(3) 设购买体育器材3套, 实验设备a套, 办公用品b套, 则18000+3000a+1800b=48000,

(4) 设购买体育器材4套, 实验设备a套, 办公用品b套, 24000+3000a+1800b=48000,

∴5a+3b=40.实验设备的买法共有10种.

2010年中考, 不等式 (组) 应用题仍是热点考查内容, 考查对象可能与日常生活相联系, 也可能与方程 (组) 、函数及几何相结合考查.复习不等式 (组) 应用题, 要通过建模训练, 学会找出实际问题中的不等关系, 并能在不等式的解集中找出符合题意的答案, 还要注意与其他类型的应用题结合起来训练.

三、一题多变

例11 (2009广西玉林) 解不等式组并把它的解集在数轴上表示出来.

分析:求不等式组解集的方法:分别求出不等式组中每一个不等式的解集, 然后求其公共部分.

解:解不等式 (1) , 得x≥2;

解不等式 (2) , 得x<4.

∴不等式组的解集为2≤x<4.

变式一: (2009湖北孝感) 关于x的不等式组的解集是x>-1, 则m=____.

分析:由于m+2>m-1, 根据确定不等式组解集的方法———“同大取大”, 所以, 不等式组的解集是x>m+2.又不等式组的解集是x>-1,

∴m+2=-1, 即m=-3.

变式二: (2009湖北荆门) 若不等式组有解, 则a的取值范围是 () .

(A) a>-1 (B) a≥-1 (C) a≤1 (D) a<1

分析:不等式x+a≥0的解集是x≥-a;不等式1-2x>x-2的解集是x<1.由于不等式组有解, 所以解集应为-a≤x<1, 从而-a<1, 即a>-1, 故选A.

变式三: (2008山东聊城) 已知关于x的不等式组的整数解共有3个, 则a的取值范围是.

分析:先求出不等式组解集的表达式, 再由整数解共有3个, 确定字母a的取值范围.

解:解不等式x-a>0, 得x>a;解不等式1-x>0, 得x<1.

∵不等式组整数解共有3个, ∴原不等式组有解, 即a

3个整数解只能为0、-1、-2, 从而-3≤a<-2.

变式四:已知关于x、y的方程组的解x、y均为正数,

求m的取值范围.

分析先求出这个二元一次方程组的解, 再根据题意构造出一元一次不等式组, 解此不等式组, 可求出m的取值范围.

解:解二元一次方程组可得其解为

点评要理解关于x、y的方程组的含意, 即x、y为未知数.如何将求出的x、y正确地转化为不等式组是解题的关键.有些问题表面上看与一元一次不等式 (组) 无关, 但仔细思考会发现不等式 (组) 在解题中的作用之大.

四、中考不等式 (组) 试题集锦

一、填空题

1. (2009北京) 不等式3x+2≥5的解集是_____.

2. (2009四川泸州) 关于x的方程kx-1=2x的解为正实数, 则k的取值范围是_____.

3. (2009四川遂宁) 把不等式组的解集表示在数轴上, 如图所示, 那么这个不等式组的解集是.

4. (2009内蒙古包头) 不等式组的解集是__.

5. (2009山东烟台) 如果不等式组的解集是0≤x<1, 那么a+b的值为___.

6. (2009福建厦门) 已知ab=2. (1) 若-3≤b≤-1, 则a的取值范围是____. (2) 若b<0, 且a2+b2=5, 则a+b=_____.

7. (2009湖北武汉) 如图, 直线y=kx+b经过A (2, 1) , B (-1, -2) 两点, 则不等式>kx+b>-2的解集为_____.

8. (2009四川凉山) 若不等式组的解集是-1

9. (2009湖南长沙) 已知关于x的不等式组只有四个整数解, 则数a的取值范围是_______.

二、选择题

10. (2009山东烟台) 如图, 直线y=kx+b过点A (-1, -2) 和点B (-2, 0) , 直线y=2x过点A, 则不等式2x

A.x<-2 B.-2

C.-2

11. (2009湖北荆门) 若不等式组有解, 则a的取值范围是 () .

A.a>-1 B.a≥-1 C.a≤1 D.a<1

12. (2009广东深圳) 不等式组的整数解是 () .

A.1, 2 B.1, 2, 3 C. D.0, 1, 2

13. (2009湖北宜昌) 如果ab<0, 那么下列判断正确的是 () .

14. (2009山东临沂) 若x>y, 则下列式子错误的是 () .

A.3个B.4个C.5个D.6个

16. (2009湖北孝感) 关于x的方程的解是正数, 则a的取值范围是 () .

A.a>1B.a>1且a≠0C.a<-1D.a<-1且a≠-2

17. (2005浙江) 根据下列表格的对应值

判断:方程ax2+bx+c=0 (a≠0, a, b, c为常数) 有一个解x的范围是 () .

三、解答题

18. (2009山东临沂) 解不等式组把解集在数轴上表示出来.

19. (2009湖北襄樊) 为实现区域教育均衡发展, 我市计划对某县A、B两类薄弱学校全部进行改造.根据预算, 共需资金1575万元.改造一所A类学校和两所B类学校共需资金230万元;改造两所A类学校和一所B类学校共需资金205万元.

(1) 改造一所A类学校和一所B类学校所需的资金分别是多少万元?

(2) 若该县的A类学校不超过5所, 则B类学校至少有多少所?

(3) 我市计划今年对该县A、B两类学校共6所进行改造, 改造资金由国家财政和地方财政共同承担.若今年国家财政拨付的改造资金不超过400万元, 地方财政投入的改造资金不少于70万元, 其中地方财政投入到A、B两类学校的改造资金分别为每所10万元和15万元, 请你通过计算求出有几种改造方案.

参考答案

1.x≥1;2.k>2;3.x>1;4.x≤1;5.1;6.-2≤a≤, -3;7.-1

10.B;11.A;12.A;13.D;14.B;15.C;16.D;17.C.

18.略.19.解: (1) 设改造一所A类学校和一所B类学校所需的资金分别为a万元和b万元.依题意得

答:改造一所A类学校和一所B类学校所需资金分别为60万元和85万元.

(2) 设该县A、B两类学校分别为m所和n所.则60m+85n=1575.

答:B类学校至少有15所.

(3) 设今年改造A类学校x所, 则改造B类学校为 (6-x) 所, 依题意得:

解之得1≤x≤4.

∵x取整数, ∴x=1, 2, 3, 4.

数学不等式(组)应用题之探究 第10篇

一、“不足也不满”型

[典型例题1]用若干辆载重为8吨的汽车运一批货物,若每辆汽车只装5吨,则剩下10吨货物,若每辆车装满8吨,则最后一辆汽车不空也不满,请问有多少辆汽车?

解:设有x辆汽车,则有货物(5x+10)吨,可列得不等式组

解之得,又∵x取正整数,

∴x=4或5.

答:有4辆或5辆汽车.

[总结]解决本题的关键在于正确理解“不空也不满”的意思。最后一辆汽车不空也不满的意思是这一辆汽车装的货物大于0吨而小于8吨.此类问题的关键就是抓住题目中的关键词“不空也不满”、“不足”、“不够”等,列出不等式(组)并求出整数解.

二、选择优惠方案型

[典型例题2]某办公用品销售商店推出两种优惠方法:①购1个书包,赠送1支水性笔;②购书包和水性笔一律按9折优惠.书包每个定价20元,水性笔每支定价5元.小丽和同学需买4个书包,水性笔若干支(不少于4支).

(1)分别写出两种优惠方法购买费用y(元)与所买水性笔支数x(支)之间的函数关系式;

(2)对x的取值情况进行分析,说明按哪种优惠方法购买比较便宜;

(3)小丽和同学需买这种书包4个和水性笔12支,请你设计怎样购买最经济.

解:(1)设按方法①购买需用y1元,按方法②购买需用y2元,y1=-4×5+20×4=5x+60,

y2=(5x+20×4)×0.9=4.5x+72.

(2)由y1=y2，得x=24,选择方法①、②均可;由y1y2,得x>24.

∴当x>24的整数时,选择方法②优惠.

(3)因为需要购买12支水性笔,而12<24,所以不会单独选择优惠方法②.

方案一:单独用优惠方法①购买,需5x+60=5×12+60=120元;

方案二:采用两种购买方式,用优惠方法①购买4个书包,需要4×20=80元,同时获赠4支水性笔;用优惠方法②购买8支水性笔,需要8×5×90%=36元.共需80+36=116元.显然116<120.

答:最佳购买方案是:用优惠方法①购买4个书包,获赠4支水性笔;再用优惠方法②购买8支水性笔.

[总结]解决此类问题的关键:首先列出不同方案的函数关系式,再对不同方案进行比较转化为方程和不等式,求出解集从而确定哪种方案更优惠.

三、“隐藏”不等关系型

[典型例题3]某饮料厂开发了A、B两种新型饮料,主要原料均为甲和乙,每瓶饮料中甲、乙的含量如下表所示.现用甲原料和乙原料各2800克进行试生产,计划生产A、B两种饮料共100瓶.设生产A种饮料x瓶,解答下列问题:

(1)有几种符合题意的生产方案?写出解答过程;

(2)如果A种饮料每瓶的成本为2.60元,B种饮料每瓶的成本为2.80元,这两种饮料成本总额为y元,请写出y与x之间的关系式,并说明x取何值时会使成本总额最低.

解:(1)设生产A种饮料x瓶,根据题意得:

解之得20≤x≤40.其中正整数解共有21个,

∴符合题意的生产方案有21种.

(2)由题意,得y=2.6x+2.8(100-x)=-0.2x+280

∵k=-0.2<0,∴随x的增大而减小.当x=40时,成本总额最低.

[总结]本题没有明显的不等关系的条件,因此很容易误认为是利用二元一次方程组来解.本题中隐藏如下两个不等量关系:(1)制作A、B两种饮料需甲种原料≤2800克;(2)制作A、B两种饮料所需乙种原料≤2800克.此题将制作饮料的用料情况用表格形式呈现,有新意.解题时,需从题设和表中获取信息,挖掘出隐含在“原料各需2800克”中的不等关系,进而列出不等式组解答问题.此类问题还有运输货物、搭配花台、制作工艺等都隐藏着不等关系.

四、分配方案设计型

[典型例题4]荣昌公司要将本公司100吨货物运往某地销售,经与春晨运输公司协商,计划租用甲、乙两种型号的汽车共6辆,用这6辆汽车一次将货物全部运走,其中每辆甲型汽车最多能装该种货物16吨,每辆乙型汽车最多能装该种货物18吨.已知租用1辆甲型汽车和2辆乙型汽车共需费用2500元;租用2辆甲型汽车和1辆乙型汽车共需费用2450元,且同一种型号汽车每辆租车费用相同.

(1)求租用一辆甲型汽车、一辆乙型汽车的费用分别是多少元?

(2)若荣昌公司计划此次租车费用不超过5000元.通过计算求出该公司有几种租车方案?请你设计出来,并求出最低的租车费用.

解:(1)设租用一辆甲型汽车、一辆乙型汽车的费用分别为x元和y元,则

解之得

答:租用一辆甲型汽车和乙型汽车的费用分别是800元和850元.

(2)设租用甲型汽车z辆,则租用乙型汽车(6-z)辆,由题意得

解之得2≤z≤4,又∵z为正整数,∴z=2或3或4

∴共有三种方案:(略)

∵5000>4950>4900

∴最低的租车费用为4900元.

答:共有三种方案,最佳方案为租甲型车4辆,乙型车2辆,最低的租车费用为4900元.

[总结]此题为调运方案的分配决策应用题,其数量多、关系复杂,但只要认真审题,将数量关系归类分析,就不难找到相等与不等关系.不等式组与方程组巧妙结合,能解决那些条件中既有等量关系又有不等关系的实际问题.

五、最佳方案决策型

[典型例题5]A市有某种型号的农用车50辆,B市有40辆,现要将这些农用车全部调往C、D两县,C县需要该种农用车42辆,D县需要48辆,从A市运往C、D两县农用车的费用分别为每辆300元和150元,从B市运往C、D两县农用车的费用分别为每辆200元和250元.

(1)设从A市运往C县的农用车为x辆,此次调运总费为y元,求y与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;

(2)若此次调运的总费用不超过16000元,有哪几种调运方案?哪种方案的费用最小?并求出最小费用?

解:(1)从A市运往C县的农用车为x辆,此次调运总费为y元,根据题意得:

y=200x+15400,

又,解得:2≤x≤42,且x为整数,

∴自变量x的取值范围为:2≤x≤42,且x为整数.

(2∵此次调运的总费用不超过16000元,∴200x+15400≤16000

解得:x≤3，∴x可以取2或3,方案(略)

∵y=200x+1 54000是一次函数,且k=200>0,y随x的增大而增大，∴当x=2时,y最小,即方案一费用最小,此时,y=2002+15400=15800,所以最小费用为:15800元.

一元一次不等式(组)创新题选析 第11篇

例1 ( 2014年四川巴中中考) 定义新运算: 对于任意实数a,b都有a△b = ab - a - b + 1,等式右边是通常的加法、减法及乘法运算,例如:2△4 = 2 × 4 - 2 - 4 + 1 = 8 - 6 + 1 = 3,请根据上述知识解决问题: 若3△x的值大于5而小于9,求x的取值范围.

分析: 首先根据运算的定义化简3△x,则可以得到关于x的不等式组,即可求解.

解: 3△x=3x-3-x+1=2x-2,根据题意得:

点评: 本题考查了一元一次不等式组的解法,正确理解运算的定义是关键.

例2 ( 2014年白银中考) 阅读理解:

我们把称作二阶行列式,规定他的运算法则为

如果有求x的解集.

分析: 首先看懂题目所给的运算法则,再根据法则得到2x - ( 3 x) > 0,然后去括号、移项、合并同类项,再把x的系数化为1即可.

解: 由题意得2x - ( 3 - x) > 0,

去括号得: 2x - 3 + x > 0,

移项合并同类项得: 3x > 3,

把x的系数化为1得: x > 1.

点评: 此题主要考查了一元一次不等式的解法,关键是看懂题目所给的运算法则,根据题意列出不等式.

例3 ( 2014年天津市中考) 解不等式组

请结合题意填空,完成本题的解答:

( Ⅰ) 解不等式1,得 ;

( Ⅱ) 解不等式2,得 ;

( Ⅲ) 把不等式1和2的解集在数轴上表示出来;

( Ⅳ) 原不等式组的解集为____.

分析: 分别求出各不等式的解集,再求出其公共解集,并在数轴上表示出来即可.

解: ( I) 解不等式1,得x≥ - 1;

( II) 解不等式2得,x≤1,

( III) 在数轴上表示为:

( IN) 故此不等式的解集为: - 1≤x≤1.

故答案分别为: x≥ - 1,x≤1,- 1≤x≤1.

点评: 本题考查的是解一元一次不等式组,熟知“同大取大; 同小取小; 大小小大中间找; 大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.

例4 ( 2014年珠海中考) 阅读下列材料:

解答“已知x - y = 2,且x > 1,y < 0,试确定x + y的取值范围”有如下解法:

解∵ x - y = 2,∴ x = y + 2

又∵ x > 1,∵ y + 2 > 1. ∴ y > - 1.

又∵ y < 0,∴ - 1 < y < 0. …1

同理得: 1 < x < 2. …2

由1 + 2得 - 1 + 1 < y + x < 0 + 2

∴ x + y的取值范围是0 < x + y < 2

请按照上述方法,完成下列问题:

( 1) 已知x - y = 3,且x > 2,y < 1,则x + y的取值范围是____.

( 2) 已知y > 1,x < - 1,若x - y = a成立,求x + y的取值范围( 结果用含a的式子表示) .

分析: ( 1) 根据阅读材料所给的解题过程,直接套用解答即可;

( 2) 理解解题过程,按照解题思路求解.

解: ( 1) ∵ x - y = 3,∴ x = y + 3,

又∵ x > 2,∴ y + 3 > 2,∴ y > - 1.

又∵ y < 1,∴ - 1 < y < 1,…1

同理得: 2 < x < 4,…2

由1 + 2得 - 1 + 2 < y + x < 1 + 4

∴ x + y的取值范围是1 < x + y < 5;

( 2) ∵ x - y = a,∴ x = y + a,

又∵ x < - 1,∴ y + a < - 1,∴ y < - a - 1,

又∵ y > 1,

∴ 1 < y < - a - 1,…1

同理得: a + 1 < x < - 1,…2

由1 + 2得 1 + a + 1 < y + x < - a - 1 + ( - 1) ,

∴ x + y的取值范围是a + 2 < x + y < - a - 2.

点评: 本题考查了一元一次不等式组的应用,解答本题的关键是仔细阅读材料,理解解题过程,难度一般.

例5 ( 2014年常州中考) 我们用[a]表示不大于a的最大整数, 例如: [2. 5]= 2,[3]= 3,[- 2. 5]= - 3; 用 < a > 表示大于a的最小整数,例如: < 2. 5 > = 3,< 4 > = 5,< - 1. 5 > = - 1. 解决下列问题:

( 1) [- 4. 5]=___,< 3. 5 > =___.

( 2) 若[x]= 2,则x的取值范围是____;

若 < y > = - 1,则y的取值范围是____.

( 3) 已知x,y满足方程组求x,y的取值范围.

分析: ( 1) 根据题目所给信息求解;

( 2) 根据[2. 5]= 2,[3]= 3,[- 2. 5]= - 3,

可得[x]= 2中的1 < x≤2,

根据 < a > 表示大于a的最小整数,

可得 < y > = - 1中,- 2≤y < - 1;

( 3) 先求出[x]和 < y > 的值,然后求出x和y的取值范围.

解: ( 1) 由题意得,[- 4. 5]= - 5,< 3. 5 > = 4;

( 2) ∵ [x]= 2,则x的取值范围是1 < x≤2;

∵ < y > = - 1,∴ y的取值范围是 - 2≤y < - 1;

( 3) 解方程组得:

∴ x,y的取值范围分别为 - 1≤x < 0,2≤y < 3.