概率最优潮流范文

概率最优潮流范文（精选7篇）

概率最优潮流 第1篇

近年来，中国风电、光伏发电发展迅速，装机容量迅速增加，消纳出现困难，在电力系统规划设计和运行控制中更全面地考虑风电场、光伏电站的特性，掌握其波动规律，对提高系统的安全性和经济性有重要意义。

目前，已有相关文献对含新能源的最优潮流进行研究。文献[1]考虑风电机组出力的不确定性，建立了机会约束的最优潮流模型。文献[2]基于Nataf逆变换研究了风速相关性对购电成本、节点电价和支路功率的影响。文献[3]运用随机技术的粒子群优化算法求解概率最优潮流模型。文献[4]考虑了负荷的随机分布，研究了随机最优潮流的计算方法，对风电接入能力的可行性和有效性进行了评估。但上述研究一般只考虑风电场，而很少研究风电场和光伏电站同时接入系统对最优潮流的影响。风电场和光伏电站出力均具有随机性且出力特性不同，增加了电力市场中的不确定因素。

目前，考虑随机性影响的最优潮流计算方法主要包括蒙特卡洛（MC）法、累积量法[5]、点估计法[6,7]等。MC法可以很好地研究随机性因素对系统最优潮流的影响，但该方法计算时间长、占用内存大。在输入随机变量相互独立或满足线性关系的前提下，累积量法用Gram-Charlier展开级数、CornishFisher展开级数等进行拟合，从而得到输出随机变量的概率密度函数，提高了计算效率。点估计法虽然具有较快的计算速度，但其输出随机变量的高阶矩误差较大。

数字网系（digital nets,DN）属于拟MC法的一种，该方法抽样值具有等分布性[8]，因而在数学领域得到广泛的应用[9,10]。文献[11]将该方法与拉丁超立方采样（LHS)[12,13]结合进行电力系统概率潮流计算。本文提出一种基于DN方法的概率最优潮流计算方法，借助DN方法良好的等分布抽样特性，只需较少的抽样次数就可以得到更精确的结果。与传统的MC法相比，可以在保证计算精度的同时减少计算时间，更准确高效地分析风电场和光伏电站出力不确定性对电力系统运行产生的影响。

1 DN简介

1.1 DN基本概念

1992年Niederreiter提出了DN的详细概念。这是一种拟MC法，该方法形成的点列具有良好的等分布性质。在相同采样规模下，比传统的MC法有更好的模拟精度。

对于整数b≥2，令Zb={0,1，…，b-1}，则每个非负整数n都可以唯一地用b进制数表示为：

式中：aj(n）∈Zb。

定义如下函数φb:

若序列x0,x1，…，xn对于所有的n≥0都满足xn=φb(n），则称x0,x1，…xn为van der Corput序列。表1给出了样本数为16的2进制van der Corput序列。第1列为16个非负整数0,1，…，15，将第1列的10进制数转换为第2列的2进制数；将第2列数据分别逆序排列，得到第3列的2进制逆序数据；将第3列2进制数根据式（2）转化为10进制数，便得到最后一列所示的van der Corput序列。

由表1可见，对于任意的br个连续点，每个点分别落在长度为1/br的区间[ab-r,(a+1)b-r）中。r为非负整数且br≤N，其中N为样本数，a=0,1，…，br-1。例如对于表1中任意8个连续的点，每个点分别落在区间[a/8,(a+1）/8）中，其中a=0,1,2,3,4,5,6,7。上述连续点的分布规律体现了van der Corput序列的均匀性。

构造van der Corput序列的方法有多种，本文运用DN得到van der Corput序列。首先介绍b进制基本方体[8,9]的概念。设s≥1及b≥2为整数，称形如式（3）的s维方体Cs的子方体为一个b进制基本方体。其中：kj和lj为整数；bkj为第j维区间长度；方体E的体积为

文献[8]给出了DN的定义：设t与m是非负整数，t≤m,Cs中存在点列x1,x2，…，xn,n=bm，如果每个体积为bt-m的b进制基本方体中恰含有该点列的bt个点，则称该点列为一个b进制（t,m,s）-网，t称为质量参数，其值越小，这n个点的等分布性质越好。t的理想值为0，但在很多情况下t的最小取值大于0。t的最小值可以由给定的m和s确定[14]。图1所示为一个含有27个点的3进制（0,3,3）-网。可以看出，每个体积为1/27的3进制方体中恰好包含一个点。在该（0,3,3）-网中，体积为1/27的3进制方体总共有4种不同的组合：。图1给出了的全部子方体，彩色所示的其他3种组合则给出了其中一个子方体的构成形式。

图2所示体积（2维体积即面积）为的方体中，含有27个点中的7个，即落在该方体中的点的概率为。由此可见，DN法形成的点具有良好的均匀分布特性。

显然，由DN得到的点服从[0,1]上的均匀分布，如果所研究的随机输入变量服从其他分布，则需要根据相应的累积分布函数的逆函数将这些点转换成其他分布（如威布尔分布或Beta分布）。

1.2 DN形成步骤

本文采用2进制的DN进行计算。形成点列中第xnj个点（j=1,2，…，s;n=1,2，…）的步骤[10]如下所示。

步骤1：把第N-1个整数用2进制数表示，即

式中：an∈Zb;R为满足br≤N的r的最大值。

步骤2：对N-1=aR-1aR-2…a2a1进行排序，得到排序后的序列如式（5）所示。

式中：CiN×N为生成矩阵[9];0≤dn≤b-1。

引入CiN×N是为了重置a1a2…an…aR-1中各个数字的位置。数字的位置经过重置后，每一维和其他维的数字大小相同，但排列顺序不同，从而保证了结果的均匀性。

步骤3：经过步骤2的计算，xnj可以表示为式（6）的2进制形式。

步骤4：将2进制表示的xnj根据式（2）转化为10进制数即可。

2 最优潮流模型

由于本文重点在于采用DN方法计算含有风电场和光伏电站的最优潮流模型，所以假设所有的输入随机变量都是独立的，暂不考虑输电线路的停运和负荷波动。具体最优潮流模型见附录A，运用内点法[15]进行求解。

3 基于DN方法的概率最优潮流计算

采用DN方法求解含风电场和光伏电站的概率最优潮流的流程如图3所示。

4 算例分析

算例1假设30 000次MC计算得到的结果为准确值，算例2假设2 000次MC计算得到的结果为准确值，输出变量的期望值和标准差分别用μbase和δbase表示。类似地，较少采样次数的MC法和DN法得到的输出随机变量的期望值和标准差用μsimulate和δsimulate表示。通过对比输出随机变量期望值和标准差与准确值的相对误差来衡量本文所提方法的准确程度[15]:

本文采用每一类输出随机变量相对误差εμ和εσ的平均值来表示每一类变量的误差收敛情况。

由于计算过程具有随机性，为准确评估两种不同采样方法进行最优潮流计算的收敛特性，算例1中，对每种方法在确定的采样规模下均进行100次仿真，将100次计算结果的平均值及最大值作为衡量算法收敛特性的依据。算例2中，对每种方法在确定的采样规模下均进行20次仿真，将20次计算结果的最大值作为衡量算法收敛特性的依据。

4.1 算例1

算例1采用改进的IEEE 30节点测试系统，详细参数见文献[16]。在节点2,4,7,8接入4个装机容量均为15MW的风电场，切入风速、额定风速和切出风速分别取4,13,25m/s，威布尔参数由历史风速通过矩估计法得出。在节点12和21接入两个装机容量为10 MW的光伏电站，光电转换效率为14%，最大光照强度为800 W/m2,Beta分布的形状参数和尺度参数均为0.95。分别用MC和DN方法在3种采样规模下进行最优潮流计算，得到支路功率、节点电压和单位发电成本的误差结果如表2、表3和表4所示。

以风电场节点8为例，运用MC和DN方法得到节点电压的期望值和标准差比较，分别如图4和图5所示。

图6给出了用采样规模为512次的MC和DN法及采样30 000次的MC法得到的支路12-14有功潮流概率分布。显然，运用采样规模为512次的DN方法可以较准确地得到支路功率概率密度分布。

4.2 计算结果分析

对IEEE 30节点系统的仿真结果分析可知，在采样规模相同的情况下，DN法在计算精度和误差收敛稳定性方面均比MC法有明显的优势。虽然节点8电压受风电场随机出力影响，且支路12-14有功功率受光伏电站随机出力影响，但较少仿真次数的DN法仍可以得到较准确的相关输出变量的概率统计信息。

4.3 算例2

采用改进的IEEE 300节点测试系统，详细参数见文献[16]。本算例直接运用采样规模为512次的DN法分析系统接入风电场和光伏电站后的最优潮流概率统计特性。

为了研究分布式能源出力的随机性对节点电价的影响，下面分为两种情况进行讨论：情况1，对于8个节点20,61,104,123,138,171,198和207，每个节点均接入一个容量为60 MW的风电场；情况2，对于8个节点，每个节点均接入一个容量为30MW的风电场和一个容量为30MW的光伏电站。

运用本文介绍的算法进行概率最优潮流计算，得到分布式能源接入节点的节点电价期望值[17]，如表5所示。

通过比较两种情况下的计算结果可以看出，风电场和光伏混合系统的节点电价相对于仅有风电场系统要低。

情况1和2下系统的网损期望值分别为232.622MW和230.495 MW，风电场和光伏混合系统的网损小于仅有风电场系统的网损，可见风电场和光伏电站混合系统更有利于系统经济运行。

表6为两种情况下支路13-20和支路181-138的期望值和标准差。可以看出，系统单独接入风电场时的支路功率均值和标准差比风电场和光伏电站混合系统要大，支路功率波动更大，出现重载和越限的概率也更大，不利于线路安全校核。

为了研究不同容量的光伏接入系统对概率最优潮流的影响，在节点20,61,104,123,138,171,198和207接入8个装机容量相等的光伏电站，8个光伏电站总装机容量从50 MW依次增加到500 MW（每次增加50MW），每种容量下分别进行概率最优潮流计算。

不同容量光伏电站接入系统时节点电价的期望值和标准差如图7所示。图7(a）结果表明，随着接入系统光伏容量的不断增加，光伏节点的节点电价呈现降低趋势。这是因为光伏出力可代替一部分传统火电机组出力，从而使节点电价降低。图7(b）结果表明，光伏容量的增加会使节点电价的波动更大，这是光伏出力的随机性及不确定性造成的。

5 结语

本文提出一种基于DN的拟MC法，并将其用于含有风电场、光伏电站的概率最优潮流计算中。IEEE 30节点系统仿真结果表明该方法计算速度快、准确性高，得到的概率统计信息能全面地反映电力市场的运行状况，能有效地处理电力市场中的不确定性问题，具有较好的工程实用价值。通过对IEEE 300节点仿真算例在两种情况下的比较可以看出，风电场和光伏电站混合系统的节点电价、网损及支路功率波动情况比单独风电场系统更小。此外，接入系统的光伏容量越大，节点电价越低。

电力系统概率潮流算法综述 第2篇

在传统电力系统分析中, 负荷的波动、电网运行方式的变化和发电机的停运等因素造成了电力系统一定程度上的不确定性。随着电力工业的发展, 以太阳能和风能等为代表的新能源接入电网, 给电网带来了明显的间歇性和随机性;微网、分布式电源和电动汽车等配电网新概念的发展, 大大增强了电源、负荷与电网之间的互动性[1], 其直接结果导致了电力系统的不确定性显著增加, 用于电力系统分析的概率潮流算法的研究日益重要。

1974年, Borkowaka提出概率潮流计算方法[2], 用以解决电力系统中诸多不确定因素。在随后四十年的时间里, 概率潮流理论与方法得到了发展。与其几乎同时出现的随机潮流[3]和概率潮流相互补充融合, 逐渐形成处理电力系统不确定因素的体系:一般认为对于电力系统短期不确定因素采用随机潮流处理, 而对于长期的具备规律性的不确定因素采用概率潮流处理, 后者更趋向于概率分布的计算。

概率潮流计算的提出与发展, 其最显著的意义是在进行电力系统分析时, 考虑了系统各种不确定因素的随机性, 从而使得计算分析更加贴合实际电网的运行状态。概率潮流的研究问题, 主要集中在3个层面:系统模型、计算模型和计算方法。

系统元件的不确定性是引入概率潮流的根本原因, 主要体现在发电机、负荷、输电线路和变压器的随机性。近些年, 随着可再生能源并网规模的日益提高和电力用户的市场行为日趋突出, 发电机和负荷的功率模型越发复杂。文献[4]提出K均值聚类负荷模型, 对研究时段内具有相近特征的系统负荷状态进行分析归类, 构成多个等值负荷水平, 实现了复杂负荷模型的快速计算。

就概率潮流计算模型而言, 以四大类模型为主。Borkowaka基于简化的直流模型[2]提出了概率潮流计算方法。为了提高潮流计算的精度, Allan分别在1976年和1981年提出了线性化交流模型[5]和分段线性化交流模型[6], Sokierajski在1978年提出保留非线性的交流模型[7]。目前概率潮流的计算方法都是基于这4种模型进行。

对概率潮流算法的研究是概率潮流分析中的热点, 具备广阔的研究空间与研究意义。一种性能良好的概率潮流计算方法应满足以下指标[8]: (1) 能够求出输出随机变量的数字特征 (包括均值和方差) 及概率分布; (2) 能够处理多个随机变量间的相关性; (3) 满足实用化要求, 结果具有足够精度的情况下尽量减少计算时间; (4) 满足通用性要求, 对输入变量的数学模型不应有太高要求。这4项指标构成概率潮流算法研究的重点和难点, 专家学者们从一方面或多方面入手展开研究, 形成了当前的多种概率潮流计算方法。就目前已有研究成果而言, 概率潮流算法可以大致分为模拟法、近似法和解析法3类。解析法结合电力系统复杂卷积计算的简化特性, 通过对卷积计算的特殊处理衍生而来, 广义上也可归入近似法。纵观现有概率潮流算法, 存在的突出问题是难以将计算准确度和时效性有机统一。

本文以模拟法、近似法和解析法为分类基准, 综述各类方法中具体算法的原理步骤、优缺点评估以及发展趋势。以算法中现有的问题及不足为依托, 结合当前电力系统的研究热点与新兴技术, 对概率潮流的发展方向进行展望。

1 概率潮流在电力系统中的应用

潮流计算是电力系统分析的基础, 其典型计算潮流方程为:

式中:W为系统节点功率注入向量;X为节点电压向量;Y为系统网络参数;Z为系统支路潮流向量。

概率潮流的计算正是在上式的基础上, 通过考虑输入变量W和Y的概率特性, 获得系统状态变量X和Z的分布情况, 从而全面地给出系统的运行状况和概率特征。

随着电力系统随机性的显著提升, 概率潮流算法在电力系统分析中获得广泛应用, 其主要应用方向可以分为以下几类。

1) 电力系统规划, 包括电源规划、电网规划和无功规划等规划问题[9]。规划问题的求解均以潮流计算作为基础, 在不确定性增加的电力系统中, 概率潮流将成为含随机因素规划问题的求解前提。

2) 静态安全分析, 作为电力系统分析的基本问题, 采用概率潮流的静态安全分析方法可以更加真实地反映电力系统全面信息[10]。

3) 电力系统运行状态实时在线分析, 包括机组组合、在线调度、电力市场机制下的源-网-荷互动[11]等。应用某些概率潮流算法, 可以在不显著增加计算次数与时间的条件下, 更为精确地分析电力系统的运行状态及变化趋势, 为电力系统实时分析提供了强有力的工具。

4) 其他基于潮流运算的系统分析, 例如最优化潮流计算[12]、电力系统风险评估[13]、互动型配电网潮流计算等。

2 模拟法概率潮流

模拟法概率潮流, 是将电力系统中的不确定因素作为随机变量建立概率模型, 然后抽取概率分布的样本, 最后统计输出变量的分布特征。传统的模拟法概率潮流计算方法一般是指随机采样的蒙特卡洛模拟法[14,15,16], 后来基于随机模拟法改进衍生出重要抽样法[17,18,19]、拉丁超立方采样法[20,21,22,23,24,25]和拟蒙特卡洛方法[26,27,28]等。

2.1 随机采样的蒙特卡洛模拟法

蒙特卡洛模拟是二战时期美国物理学家Metropolis在执行曼哈顿计划的过程中提出的。蒙特卡洛模拟法以随机模拟和统计实验为手段, 是一种从随机变量的概率分布中, 通过随机选择数字的方法产生一种符合该随机变量概率分布特性的随机数值序列, 作为输入变量序列进行特定分析的求解方法。其计算关键与核心步骤如下: (1) 对潮流方程的输入变量W构造相应的概率模型; (2) 产生随机数序列, 作为系统的抽样输入进行大量的数字模拟, 每一组采样值通过潮流计算得到相应的模拟实验值; (3) 系统计算, 对模拟实验结果进行统计处理, 给出所求问题的解。

蒙特卡洛模拟的优点在于样本数量足够大时, 计算结果足够精确;并且计算量一般不受系统规模的影响, 该方法的抽样次数与抽样精度的平方成反比。缺点在于为提高计算精度, 往往需要提高系统抽样规模, 从而导致计算时长过大。考虑其精度优势, 随机采样的蒙特卡洛模拟法一般用来作为基准方法进行比较, 是衡量其他方法准确性的重要参考。

2.2 重要抽样法

重要抽样法认为期望值附近的采样值对计算结果具有更大的影响力, 因此可以重点关注期望值附近的点。基于此, 重要抽样法的基本思路是保持原有样本期望值不变, 通过改变已知变量概率分布来减小其方差, 从而达到减少运算时间的目的。

重要抽样法的经典计算[17]公式为:

式中:P (X) 和F (X) 分别为原分布中系统的概率函数和状态函数;P′ (X) 和F′ (X) 分别为新分布中系统的概率函数和状态函数。

如何选取新分布中系统的概率分布P′ (X) 使得随机变量在期望不变的情况下减小方差是重要抽样法的关键步骤。文献[18]采用迭代法搜索重要分布函数, 给出了若干重要分布函数的定义方法, 并结合分散抽样的技巧提高重要抽样法的收敛速度。文献[19]利用蒙特卡洛方法模拟出负荷样本, 然后利用核密度估计方法估计出负荷模型的密度函数, 将之作为重要抽样密度函数, 计算出支路潮流和节点电压的概率密度函数。

重要抽样法在电力系统的概率估计中有着广泛应用, 该方法可以快速准确地计算出系统运行状态的期望值, 为系统分析提供参考。但重要抽样法中仅以期望为研究对象, 对于概率变量的方差、概率分布等参数分析存在天然缺陷, 计算结果局限性较大。

2.3 拉丁超立方采样法

为了避免随机采样的蒙特卡洛模拟法的大规模抽样, Mckay等人于1979年提出了拉丁超立方采样法[20]。它是一种分层采样法, 通过改进输入随机变量的样本生成过程, 保证其采样值能够有效地反映随机变量的整体分布, 算法的出发点就是确保所有的采样区域都能够被采样点覆盖。其基本运算过程分为如下两个步骤[21]。

1) 采样。假设X1, X2, …, XK是一个待求概率问题中的K个输入随机变量, Xk为X1, X2, …, XK中任意一个随机变量, 其累计概率分布函数为:

设N表示采样规模, 拉丁超立方采样示意图如图1所示。

其具体步骤为:将图1纵轴分为N个等间距不重叠的区间, 选择每个区间的中点作为Yk的采样值, 然后用式 (4) 所示的反函数计算Xk的第n个采样值。

式 (4) 中, 可以选取任意[0, 1]区间中的随机数代替区间中点0.5, 从而实现采样的不同特性。K个输入随机变量的N次采样结果构成规模为K×N阶的初始采样矩阵Xs。

2) 排列。改变各随机变量采样值的排列顺序, 使相互独立的随机变量采样值的相关性趋于最小。在排列过程中先形成一个K×N阶的顺序矩阵Ls, 该矩阵中的每一行元素值代表初始采样矩阵Xs对应行的元素应该排列的位置, Xs的元素按照顺序矩阵Ls排列后得到最终的采样矩阵。文献[22]列举了计算顺序矩阵Ls的方法, 核心思想是利用如序列正交化等方法最大程度降低相关性。通过排列步骤中顺序矩阵的优化计算问题, 又衍生出诸多的改进拉丁超立方采样算法[23,24,25], 提高了拉丁超立方采样法的应用范围和计算精度。

拉丁超立方采样法的不足是对输入随机变量的处理较为复杂, 一方面要求已知输入随机变量的概率分布函数或累积分布函数[25], 另一方面对不同类型概率分布的随机变量相关性需要特殊变换处理[8]。但该方法作为一种非常有效的估计输出随机变量期望值的方法, 由于采样值能够确保覆盖所有输入随机变量的整个分布区域, 无须大规模抽样, 并且可以有效处理输入变量之间的相关性和随机性, 在准确性、稳健性和时效性上都有较大的优势。

2.4 拟蒙特卡洛法

拟蒙特卡洛法 (QMCS) 的出发点与拉丁超立方采样法相同, 希望通过有效的空间覆盖采样法来规避蒙特卡洛模拟法中的随机抽样。但与拉丁超立方采样法的处理方式不同, QMCS采用低差异序列实现多维随机变量的空间采样[26]。

低差异序列, 又称伪随机数列, 是一系列数值确定的[0, 1]区间中的数。在d维变量的空间中, 低差异序列中已有n-1个数, 生成第n个数的方法是:将这个数插入已有数列中最大的“空白”处, 即避免数列在局部空间聚集, 从而保证了有限数据的空间全覆盖。Van der Corput序列是典型的一维空间上的低差异序列, 以2为基数前8位数字的生成情况如表1所示[27]。

基于上述基本序列, 为了解决实际应用中高维度变量的问题, 需要进行维度的扩展。根据低差异序列的生成方法, 随着维度的上升, 在多维空间中寻找“空白”的难度就越大, 因此, 在高维度上的数据覆盖性会显著降低, 这是目前已有低差异序列的主要不足。文献[28]中讨论了常用的3种多维度低差异序列, 即Halton序列、Faure序列和Sobol序列的优缺点, 其中:Halton序列变量维度最高6~8维;Faure序列可达25维, 但其计算时间急剧增加;Sobol序列优越性较为明显, 其变量维度可达百位。

目前QMCS已经被应用于概率最优潮流计算[26]和含互动式新能源的电网静态稳定分析[28]中。由于采样过程中一次性生成所需序列, 该方法具有比拉丁超立方采样法更高的计算效率。但QMCS对多变量的高维度问题理论基础薄弱、计算效果差, 因此目前多用于小规模电力系统分析计算。

2.5 模拟法概率潮流展望

模拟法的基础是蒙特卡洛模拟, 因此该方法是目前电力系统中处理含不确定因素概率潮流问题中计算结果最为精确的一类方法, 但与其高精度计算能力相对应的是低时效性。在蒙特卡洛模拟基础上改进的各种算法都是以减少抽样计算量为目的:重要抽样法计算速度快, 期望值结果准确, 但其计算结果单一, 无法全面描述系统运行特征;拉丁超立方采样法的采样规模相对于蒙特卡洛模拟法大幅降低, 是目前精度和时效较高的概率潮流算法, 但该方法在处理变量之间的相关性时具备较高的复杂度, 且相关性结果往往与实际情况存在一定的偏差;QMCS理论上计算速度最快, 但低差异序列的维数问题是该方法应用瓶颈。

随着电子计算机技术的发展与电力系统计算平台的壮大, 模拟法必然在概率潮流计算中扮演越来越重要的角色, 本文认为其发展趋势可以包含以下几个方向。

1) 采用多种采样方式相结合的混合采样法, 例如QMCS对维度较低的问题具备优越性, 当问题维度较高时, 采用QMCS与拉丁超立方采样法的混合采样法计算, 从而发挥不同采样方法的优势。

2) 采样过程中针对不同的研究重点分段处理, 期望值附近的概率曲线在处理过程中保持良好的计算准确度, 但分布曲线的尾部计算精度往往很差, 在对精度要求很高时, 可以对分布曲线分段, 对尾部采样进行特殊处理。

3) 并行计算的应用。目前计算机的多核并行处理计算能力得到了大幅提升, 同时基于图像处理单元的并行计算得到了发展, 该硬件平台对重复性抽样计算的提速效果显著。

3 近似法概率潮流

近似法是利用输入随机变量的数字特征近似描述系统状态变量统计特性的方法。该方法避开了大规模的重复抽样, 因而求解速度较快, 又因其能够计及系统输入变量之间的互相关性, 因而受到重视。目前研究应用较多的有点估计法[29,30,31,32,33,34,35]、一次二阶矩法[36,37,38]和状态变换法[23,39,40]。

3.1 点估计法

点估计法是一种概率统计方法, 目前所做的应用研究都是基于1998年Hong在已知输入随机变量的连续分布下提出的点估计法[29]。该方法能够根据已知随机变量的概率分布, 求得待求随机变量的各阶矩。

点估计法属于逼近技术的一种, 利用输入随机变量的统计信息来逼近输出随机变量的数字特征[30,31]。其主要运算过程分为以下几步。

1) 用潮流方程中输入随机变量W的各个分布函数求出相应的前2 M-1阶中心矩。

2) 通过构造的方式, 利用前2 M-1阶中心矩独立求出每个输入随机变量的M个离散状态, 使得这M个离散状态包含了前2 M-1阶中心矩的所有信息。

3) 用所求得的每个输入随机变量的M个离散状态和它们的均值, 构造M×K个输入随机变量的离散状态, 求出对应输出随机变量的M×K个离散状态。

4) 用求得的潮流方程输出随机变量X和Z的M×K个离散状态逼近相应的期望值与方差等相关数字特征。

由以上步骤可以分析点估计法的特点如下。

1) 该方法中实际的输入量为输入随机变量前2 M-1阶中心矩, 此中心矩可以由概率分布函数直接求出, 也可以由大量样本逼近拟合方程式展开得到[32], 这样就不必受限于必须已知输入变量概率分布的条件约束。

2) 点估计法不需要知道输入与输出之间的具体函数关系表达式, 仅要求每个输入有唯一对应的输出。

3) 输出随机变量有2 M-1阶多项式逼近的精度, 为了提高估计的精度, 可以增加输入变量的高阶矩信息, 即增加取点个数。但实际应用中点个数M大于3时不仅急剧增大计算量, 而且往往造成解的结果非实数, 因此M通常取2或3[33], 即构成常用的两点估计法和三点估计法。

两点估计法计算简单、容易实现, 但其只利用输入变量的前三阶矩信息, 计算精度低;三点估计法既能得到较高精度的估计值, 又保持了简易性, 在点估计法中广为使用。点估计法的缺点在于计算结果中随机变量的高阶矩不够精确, 无法准确获得变量的概率分布函数[34];同时在处理输入变量的时间和空间相关性上具有一定的计算复杂度[35]。

3.2 一次二阶矩法

一次二阶矩法作为一种近似概率仿真方法, 已被广泛应用于机械、结构可靠性分析中。该方法通过将状态方程泰勒展开, 近似保留一次线性项, 形成包含前两阶矩 (即均值和方差) 的计算方程式[36,37]。在电力系统概率潮流分析中, 其具体步骤如下[38]。

步骤1:将输入随机变量对输出状态变量的潮流方程按泰勒级数展开为一次项形式。

步骤2:计算输入变量均值方程式。

步骤3:计算输入变量协方差方程式。

步骤4:由步骤2和3联合, 通过输入变量的均值和协方差计算输出状态变量的数字特征。

一次二阶矩法计算简单, 效率高;但其计算能力有限, 仅能处理输出与输入之间均值和方差的数值计算, 算法模型误差较大, 并且计算精度受到系统概率潮流模型约束很大, 因此研究较少。

3.3 状态变换法

状态变换按照变换方法分为线性变换、多项式变换和无迹变换等。线性变换法基于正态变量线性变换不变性定理, 假设节点注入随机变量均服从正态分布, 将潮流方程线性化后可得系统状态变量为节点注入变量的线性组合并且仍服从正态分布[39]。多项式变换多用作其他计算方法的辅助手段, 用以表征电力系统随机因素的模型转换等问题[23]。无迹变换认为:拟合一个概率分布比求解非线性变换容易得多[40], 基于此, 通过较少的样本点和相应的样本权重准确捕获状态分布参数, 通过非线性函数传递后输出状态变量的期望与方差[41]。

状态变换法的优点在于变换过程数学理论清晰, 意义明确, 计算规模不大, 但由于该方法以高斯正态分布为变换基础, 使其在新能源 (不满足高斯分布) 并网问题下的概率分析存在一些不足。

3.4 近似法概率潮流展望

近似在各个科学领域均有应用, 在电力系统概率潮流中近似计算的使用也较为普遍。与确定性潮流相比, 概率潮流的计算规模显著提升, 快速的近似计算显得更为迫切。目前已有的近似法概率潮流算法中, 计算结果以均值和方差为主要目标, 如何获得状态变量较为准确的整体概率分布是改进的重要方向。另一方面, 近似法概率潮流算法计算结果的可信度与误差分析也是研究的内容之一。

在近似法中, 随机变量状态的变换是一种基础计算手段, 而泛函分析领域的空间转换与之具有相似的计算逻辑, 把发展成熟的泛函空间变换应用于近似法概率潮流, 是值得探索的方向。

4 解析法概率潮流

解析法概率潮流主要关注如何利用随机变量间的关系进行卷积计算得到状态量的概率分布, 即核心思想在于有效处理复杂的卷积计算。在卷积计算的过程中, 往往会做一些近似处理, 因此解析法广义上可归为近似法。传统的卷积技术是一种获得概率潮流的基本方法[2,5,42], 假设变量独立, 在已知注入概率分布的情况下, 可以通过卷积技术得到待求状态变量的概率密度函数。但对于多元线性方程的卷积计算量十分庞大, 因此限制了其使用。已有解析法中卷积计算多采用快速傅里叶变换[43]、半不变量法[44,45,46,47,48,49,50,51]和序列运算理论[52,53,54]。

解析法处理卷积计算的应用前提是假设输入随机变量相互独立, 导致解析法在处理变量相关性上具有固有缺陷, 因此, 解析方法中变量相关性处理是研究的热点[48,49,51]。

4.1 快速傅里叶变换

在信号处理学科领域, 快速傅里叶变换是处理卷积问题的最佳方式[43], 其具备良好的精度和效率, 对于处理小规模数据系统具备很大的优越性。在电力系统方面, 随着系统规模的增大, 系统分析的输入变量急剧增加, 使得快速傅里叶变换不再具备精度和效率上的优势, 因此, 在20世纪80年代经历了短暂的研究后, 快速傅里叶变换逐渐退出电力系统概率潮流分析领域。

4.2 半不变量法

目前在电力系统广泛使用的处理卷积的方法是半不变量法。该方法的核心思想是将复杂的卷积运算转换为半不变量之间简单的算术运算, 从而大大降低计算过程的复杂度。具体计算步骤可以概括如下[44,45,46,47]:将潮流方程中的随机变量W进行概率分布拟合, 经过中心矩计算出输入随机变量的各阶半不变量;然后, 通过雅可比矩阵和灵敏度矩阵进行简单的数学运算获得潮流方程输出变量X和Z的各阶半不变量, 结合不同级数扩展方式得到相应输出变量的概率密度扩展方程, 从而获得输出随机变量的概率分布。文献[48]深入分析了半不变量法计算随机潮流时各环节的假设条件及可能引起的误差, 并提出如何处理节点功率相关性、故障列表和调度策略等问题, 使得半不变量法更加实用化。

半不变量法具备的最大优势在于计算方法简单、计算效率高, 虽然计算结果精确度存在一定争议, 但满足工程应用要求, 因此受到广泛研究。关于半不变量法的算法改进研究主要集中在3个问题上:一是如何处理输入随机变量之间的相关性;二是如何正确分析静态安全稳定问题;三是如何更为精确地描述系统运行状态。文献[49]提出一种基于Cholesky分解的计及输入变量相关性的半不变量法概率潮流计算方法, 并提出基于蒙特卡洛抽样的方法解决一些输入变量的半不变量难以被常规数值方法求解的问题。文献[50]以受时域和地域不均匀分布影响的系统当前运行状态为基础构造预想事故集, 将全概率理论和半不变量法概率潮流相结合, 提出一种考虑电网静态安全风险的概率潮流算法。文献[51]在当前结合半不变量和级数展开的概率潮流计算方法基础上, 采用分段线性化手段减少潮流方程线性化误差, 提高系统状态量的求解精度, 并引入C型Gram-Charlier级数改进概率密度函数准确性。

4.3 序列运算理论

为了将原本复杂的卷积计算转换为简单的算术运算, 康重庆教授创建了序列运算理论[52], 在此基础上扩展了概率性序列运算方法[53], 从而形成了全新的电力系统不确定性分析框架。文献[54]提出了基于序列运算的概率直流潮流计算方法。该理论中, 将输电元件 (包括输电线路和变压器) 定义为双向元件, 将发电机组和节点负荷定义为单向元件, 通过确定性直流潮流方程 (式 (5) ) 计算输电线路潮流分布。

式中:l=1, 2, …, NT, 其中NT为输电元件数;Pl, T为输电元件l的有功潮流;Pk为节点k的有功功率注入;Gl-k为节点k与输电元件l之间的功率转移分布因子;NB为节点数。

直流潮流中变量的概率特性序列化与自定义的序乘、卷和运算是该概率潮流算法的关键。具体计算步骤可以概括如下。

1) 通过离散化步长将节点功率Pk和分布因子Gl-k作序列化, 形成相应的概率性序列。

2) 根据式 (5) 通过序乘运算将节点k的概率功率转换为输电元件l的单节点潮流贡献。

3) 考虑到所有节点的影响, 通过卷和运算计算输电元件l上的累积潮流。其中, 若单个节点有多台发电机组或负荷, 则需要在相应变量序乘运算后进行卷和运算, 从而获得单个节点对某一输电元件的有功潮流贡献。

基于序列运算的概率直流潮流是以简化序列卷积为出发点, 其自定义的卷和、序乘等运算方法计算简单, 在效率上具有很大的优势。但由于序列的建立和运算的定义都要满足全新的规则和要求, 从而限制了该方法的大规模推广应用。

4.4 解析法概率潮流展望

解析法概率潮流的研究重点在卷积运算的高效处理上, 快速傅里叶运算难以处理大规模电力系统的多变量计算, 序列运算理论体系架构的特殊性使之难以在短时间内大规模推广, 因此半不变量法是解析法中研究的热点算法。半不变量法在处理正态分布的变量相关性上已有较多的研究, 该算法的研究重点是非正态分布的变量相关性处理, 改善各阶矩和半不变量的计算精度与计算效率, 获得更为准确的概率密度函数。

5 结语

电力系统中不确定因素的增加使得概率潮流成为研究热点之一。本文从概率潮流算法原理的角度出发, 将电力系统概率潮流算法分为模拟法、近似法和解析法3类, 对各算法的研究现状和发展进行了综述和总结, 并对各类算法的发展趋势提供了分析思路。

概率潮流与确定性潮流本质上的区别在于输入变量的不确定性, 计算目标是合理反映随机分布本身的概率特性对于系统潮流的影响, 因此, 概率潮流的研究目的可概括为随机变量的概率输入及其对潮流输出的概率贡献。模拟法分析输入随机变量的抽样方法, 近似法关注输出与输入之间的转化关系, 解析法重点讨论系统方程卷积的计算与简化, 而3类方法中随机变量概率分布的表征和相关性分析都是关键因素。

基于bpmpd算法的最优潮流研究 第3篇

内点法的基本思想是:从一个初始内点解出发, 对问题届空间进行变换使得现行解位于变换空间的多胞形的中心附近, 然后使它沿最速下降方向移动, 但为了保持解为内点解, 要限制移动步长以使解点总不能达到可行域的边界, 然后作逆变换将改进的解映射回原来解空间的一个新的内点, 重复以上过程直到以需要的精度取得最优解。它的优点是迭代次数对约束条件的变化不敏感, 具有多项式的时间复杂性。事实上, 就优化理论中地内点法本身而言, 并不是什么新东西。由于内点法本身海森矩阵的病态, 以及受限于当时计算技术的发展, 使得内点法没有得到很好的发展。只是从Karmarkar于1984年提出了基于投影尺度变换的线性规划内点法以后才又掀起了内点法的研究热潮。Karmarkar没有编任何程序就证明其算法比单纯形法快50倍, 引起了全世界最优化领域的轰动, 标志着内点理论革命的开始。Karmarkar算法在理论上具有深远的指导意义。与单纯形法沿着可行与边界寻优不同, Karmarkar算法是从初始内点法出发, 沿着最速下将方向, 在可行域直接走向最优解。因此, Karmarkar算法也被称为现代内点法。当约束条件和变量数目增加时, Karmarkar算法求解大规模线性规划问题所需要迭代次数变化比较小, 一般都稳定在一个范围里。该算法收敛性较好, 速度较快。一些新的变型算法相继出现, 并已形成三大类内点算法。

1势函数投影变换方法

该方法建立在构造的线性规划标准型上, 要求问题具有特殊的单纯形结构和最优目标值为零, 在实际计算过程中需经过复杂的变换将实际问题转换为这种标准形式, 以致实用性较差。

2仿射均衡变换方法

这是较为成熟和广泛应用的一类算法。实际计算表明效果较好, 目前应用较多的是原仿射尺度法和对偶仿射尺度法, 但这两种方法的多项式时间复杂性还不能从理论上得到证实。

3原一对偶障碍函数法

“中心轨迹”的概念最早由Huard和Sonnevend提出。跟踪中心轨迹算法是将对数障碍函数法和牛顿迭代法结合起来应用到线性规划问题, 已从理论上证明具有多项式时间复杂性。迭代次数的复杂性为O (姨n L) , 计算时间复杂性为该方法收敛迅速, 鲁棒性强, 对初值的选择不敏感, 现已被推广应用到二次规划领域, 正被进一步发展为从复杂性角度研究一般非线性规划的内点算法, 是目前最有潜力的一类内点算法, 不仅有很好的理论复杂性, 而且在实际计算中是非常有效的。

内点法最优潮流是解决最优潮流问题的最新一代算法。它本质上是拉格朗日函数, 牛顿法和对数障碍函数法三者的结合, 从初始内点出发, 沿着最速下降方向, 从可行域内部直接走向最优解。它的显著特征是其迭代次数与系统规模关系不大。内点法已被扩展应用于求解二次规划和直接非线性规划模型, 使得其计算速度和处理不等式约束的能力均超过了求解二次规划模型的经典算法和求解非线性规划模型的牛顿算法。原-对偶路径跟踪内点法是在保持解的原始可行性和对偶可行性的同时, 沿-条原一对偶路径寻到最优解, 而在此过程中能始终维持原始解和对偶解的可行性, 它可以很好地继承牛顿法OPF的优点, 在最优潮流问题处理不等式约束以及迭代收敛方面显现出较明显的优势。提出了用模糊技术处理最优潮流问题多目标和可伸缩约束的非线性原-对偶路径跟踪内点法, 这种算法解决了不同量纲、相互冲突的多目标优化问题, 而且易于处理可伸缩的约束条件, 有较强的实用性和灵活性。提出了改进的预测-校正内点法, 通过动态调节步长及公差加快了计算收敛并减少了迭代计算的工作量。提出了改进的二次内点法用于解决带有各种目标函数 (经济调度, 无功规划和网络损耗最小化) 的综合最优潮流问题, 其特征是只需要普通起始点, 而不是一般内点法所要求的经过选择的“好”点, 且收敛快速。

bpmpd算法是一个建立在原对偶内点法的基础上的, 它能够解决线性和二次规划问题。bpmpd算法采用牛顿法求出最优搜索方向后, 通过合理的、有根据的算法选择尽可能大的步长, 并同时保证了新的迭代点为内点。如何科学地确定障碍因子是bpmpd算法的关键问题, 根据对偶间隙确定障碍因子的方法合理有效, 得到最普遍的应用。因此, bpmpd算法以其较好的数据鲁棒性, 方便易用以及计算快速的特点, 将会得到越来越广泛的应用。

摘要：随着我国现代化建设的快速发展和国民经济的大幅度提高, 我国的电力事业正以惊人的速度向前发展。面对电网规模的不断扩大及结构日趋复杂, 要求我们有良好的措施来确保电网安全、经济、优质地运行。最优潮流能将经济性与安全性近乎完美地结合在一起, 正成为研究的热点。bpmpd算法是基于KKT条件的原对偶内点法具有多项时间性、二次收敛性、对初始点不敏感等一系列良好的特性及计算快速、鲁棒性好、处理病态问题强等特点。它不仅可以用于线性规划问题, 而且可以拓展到求解二次规划和非线性规划问题。内点法由于其良好的计算性能, 正逐步取代其它传统算法, 成为近年来最优潮流领域的研究重点。

关键词：电力系统,bpmpd算法,最优潮流,内点算法

参考文献

[1]于尔铿, 刘广一, 周京阳等著.能量管理系统 (EMS) .科学出版社, 1998.

[2]Monteiro R D C, Adler I.Interior pathfollowing primal-dual algorithms.PartⅠ:Lin-ear programming.Mathematical Programming, 1989, 44.

[3]Monteiro R D C, Adler I.Interior pathfollowing primal-dual algorithms.PartⅡ:Convex quadratic programming.MathematicalProgramming, 1989, 44.

[4]Y.Wu, A.S.Debs and R.E.Marsten.“A Di-rect Nonlinear Predictor-Corrector Primal-Du-al Interior Point Algorithm for Optimal PowerFlows”.IEEE Transactions on Power Systems.1994, Vol.9, No.2, 876-883.

基于随机配置点法的概率潮流算法 第4篇

作为一个复杂巨系统,电力系统具有大量的不确定性因素,如负荷波动、发电机停运和由于故障导致的运行方式变化等。近年来,随着化石能源的日益枯竭和环境压力的日益增加,以风电、光伏为代表的新能源大量并网,给电网带来了强间歇性和波动性,导致节点注入功率的不确定性增加,对电力系统的运行和控制提出了新的挑战。如何定量化分析可再生能源大量接入带来的不确定性对电力系统运行和调度造成的影响,成为电力系统研究和工作人员的重要课题。

概率潮流(probabilistic load flow,PLF)[1]是分析电力系统不确定性的重要工具之一,能有效反映系统在各种随机因素场景中的运行情况,得到与实际情况更加贴合的分析结果。PLF的实质是求解含有随机变量(如随机的负荷功率和风电场风速等) 的潮流方程,得到电网运行参数的概率特征,进而用于电力系统运行方式的分析及规划设计环节[2]。传统的PLF算法可分为模拟法、近似法和解析法。模拟法中以蒙特卡洛法(Monte Carlo method, MCM)[1]最为简单直接,其对随机变量抽取大量采样值并代入确定性潮流模型进行计算,可得到高精度的计算结果。但MCM的计算量大、速度慢,即使采用改进算法,如拟蒙特卡洛法、拉丁超立方采样法[3,4,5],计算负担仍很重。近似法包括点估计法[6,7,8]、 一次二阶矩法和状态变量法[5,6]等,其中应用最广的为点估计法。点估计法的计算速度快,但精度难以保证。解析法包含快速傅里叶变换法、半不变量法[9,10]和序列运算理论等,其核心思想是将非线性潮流方程线性化(如直流潮流、线性化的交流潮流), 再利用输入变量的卷积特性得到输出变量的信息。 解析法的计算速度较快,但在具有大波动的电力系统中,尤其是新能源并网的系统中,这种线性化的处理会带来较大计算误差[11]。

广义正交多项式混沌(generalised polynomial chaos,gPC)[12]是不确定性量化(uncertainty quantification,UQ)[13,14]的重要工具,其基本思想是在随机参数空间中用gPC构成级数展开式来逼近随机变量,并利用gPC的正交特性,将不确定性的复杂函数求解问题转化为gPC系数求解问题。目前基于gPC的UQ法主要有两类:随机Galerkin法(stochastic Galerkin method,SGM)[15,16,17]和随机配置点法(stochastic collocation method,SCM)[16,17,18]。 SGM属于侵入式算法,需构造Galerkin正交耦合系统,保证逼近误差在gPC构成的正交多项式空间各个方向上的投影最小化,并通过一次求解得到gPC系数,其精度较高,但计算繁琐、速度较慢。 SCM为非侵入式算法,将原有系统视为黑盒,通过在所选取的输入变量配置点处反复求解最终得到gPC系数,其原理简单、求解速度快,但计算精度和速度极大地依赖于配置点的选取。

目前,基于gPC的UQ法已广泛用于随机计算领域,而较少用于电力系统不确定性分析。针对SGM计算繁琐、耗时长的问题,文献[17]基于SCM提出了一种改进的侵入式算法。 文献[15]采用SGM求解随机潮流,将随机潮流方程化为一组确定性高维方程,由一次求解代替MCM大量的潮流计算,实现较高计算精度。本文采用一种基于SCM的非侵入式PLF算法,并利用稀疏网格法减少计算量。

1基于gPC的PLF模型

PLF方程可用如下所示的随机非线性方程组进行表示[19]:

式中:ξ=[ξ1,ξ2,…,ξd]为多维随机参数;X(ξ), U(ξ)均为关于ξ 的随机函数,其中待求的状态变量X(ξ)包括PQ节点电压相角和幅值以及PV节点的电压相角,随机输入变量U(ξ)包括负荷节点的注入有功和无功功率、风电场的风速变量等,其概率分布函数已知。在求出状态变量之后,还可进一步求出依从变量(如线路潮流等)的概率分布函数。

1.1随机变量的gPC展开

求解式(1)所示随机问题的难点在于对随机变量的处理,本文采用了gPC展开的处理方式。为便于理解,以下采用d=1,ξ∈R1的情况进行说明。

由UQ理论,类似傅里叶展开,任意一定义于概率空间的随机变量Q(ξ)可采用一组gPC作为展开式的基函数进行展开,并由其前P阶来逼近:

式中:t为一元gPC{ψt(ξ)}的阶数,为实现最优逼近精度,需根据随机参数ξ的密度函数pr(ξ)和定义域Iξ来构造权重函数满足ρ(ξ)=pr(ξ)的gPC,使上述逼近表达式的均方误差(mean square error,MSE) 呈指数收敛[12]。

设〈〉表示内积运算,一元gPC的正交特性为:

烄 γn=〈ψn(ξ),ψn(ξ)〉=‖ψn‖2

因ψ0(ξ)=1,由式(2)可推导出Q的均值和方差为:

类似的,可得出Q(ξ)的其他统计值。

理论上,式(2)中变量的展开阶次P越高,截断误差就越小。但实际中,P需要根据具体问题来确定。例如,当随机变量仅为关于ξ的P′次函数时, 若P小于P′,则会引入较大的截断误差;若P大于P′,则徒增计算量(此时高阶展开项的系数为零)。

1.2基于gPC的PLF模型

当d≥2时,设向量ξ=[ξ1,ξ2,…,ξd]为一组相互独立的随机变量,需将1.1节中一元gPC{ψt(ξ)}扩展为d元gPC{ψt(ξ)},(t= [t1, t2,…,td])作为展开式的基函数。P阶的gPC展开式中共含K项ψt(ξ),均由阶数不超过P的ψt(ξ)通过张量积构成:

定义ψt的阶次为|t|=t1+t2+…+td,其正交特性为:

因t和k(1≤k≤K)存在一一对应关系,为便于表达,采用分级词典顺序法[13]将向量t改为标量k, 有:{ψt(ξ)}P|t|=0→{ψk(ξ)}Kk=1,γt→γk(见附录A表A1)。随机变量Uj(ξ)∈U(ξ)和Xi(ξ)∈X(ξ)可近似表示为:

式中:uj,k,x^i,k分别为Uj和Xi的展开式中第k项系数。

由于U(ξ)的概率分布函数已知,其展开式系数uj,k(j=1,2,…,d,k=1,2,…,K)随之可知。而状态变量X(ξ)为未知随机变量,系数x^i,k(i=1,2,…, c,k=1,2,…,K)待求,从而可得到状态变量的gPC展开式,进而求出状态变量以及依从变量的概率密度函数。

2基于SCM的求解PLF模型求解算法

2.1 SCM基本原理

由上述分析,PLF问题的关键变为求解状态变量X(ξ)的gPC展开系数。对式(10)两侧同时用gPC基函数求内积,有

根据gPC的正交特性,式(11)的右侧为:

式(11)的左侧为关于ξ∈Rd的多维连续积分:

将Xi(ξ)ψk(ξ)=Zi,k(ξ)视为多项式函数,可采用高斯型数值积分求解式(13)。 取N组配置点{ξn}Nn=1(ξn=[ξ1n,ξ2n,…,ξdn]),在配置点处求出gPC基函数的值ψk(ξn)并由确定性潮流计算求出状态变量的值Xi(ξn)。在合理选择配置点的前提下(详见后文),该多项式积分可由下式精确表示[20]:

式中:Xin为Xi(ξn),ψkn为ψk(ξn),Wn为d元变量ξ 在配置点ξn=(ξ1n,ξ2n,…,ξdn)的权重;pr(ξ)为变量ξ 的概率密度函数。

系数x^i,k可由下式计算得出:

综上,SCM的计算量主要取决于配置点个数, 由于各配置点处的确定性潮流求解相互解耦,因此还可采取并行运算策略进一步提升整体计算速度。

而SGM则是通过将式(1)投影到由K个gPC构成的正交空间上,形成如下耦合的正交潮流系统方程,其规模扩大为原潮流方程的K倍:

〈F(X(ξ),U(ξ)),ψk(ξ)〉=0 k=1,2,…,K

将式(9)和式(10)代入上式,并采用牛顿迭代法求解得到输出变量的gPC系数,雅可比矩阵扩大为原来的K倍,每一次迭代均需要更新雅可比矩阵的每一个元素。

2.2基于稀疏网格点法的配置点选取方案

对d维随机参数ξ,最直接的配置点构造策略为张量网格点法(tensor-grid)[13]。根据高斯型积分[20,21],当式(14)中的Zi,k(ξ)为不高于2P+1阶的多项式时,采用一元gPCψP+1(ξ)的P+1个根 Θ1P+1作为备选点可精确地逼近其积分值。因此,可构造N=(P+1)d组ξ的配置点Θd=[ξ1,ξ2,…,ξN],变量ξn=[ξ1n,ξ2n,…,ξdn]中每一维的点均选自上述备选点:

配置点ξn=[ξ1n,ξ2n,…,ξdn]的第e(e=1,2,…, d])维的一元变量ξen(n=1,2,…,N)的权重为wen, 由式(14)得到:

因gPC的权重函数ρ(ξ)=pr(ξ),上式左侧可看做ψk与ψ0的内积,由gPC的正交特性知,当且仅当k=0上式的积分结果为1,其余均为0。求解式(18)即可得第e维变量ξe的N个备选点的权重:

在求得一元变量ξe的N个权重{wen}Nn=1后,d元变量ξ的第n个配置点的权重可表示如下:

随着随机参数的维数上升(d≥5),基于张量积的选点策略会出现维数灾。因此,本文采用稀疏网格点法(sparse-grid)[22,23]来选取配置点,当变量的gPC展开阶次为P时,配置点在各个维度上的备选点并不要求是Θ1P+1,而是取自阶次m≤P+1的一元gPC的根Θ1m。具体步骤如下。

步骤1:对ξ∈Rd的每一维,选取低阶的一元gPC函数的根作为备选点(Θm11,Θm12,…,Θm1d)。在构造d元随机参数的配置点时,若每一维的备选点取自该维变量ξe的高概率区域且靠近并对称于其概率最高点ξe,M,可使得回归误差[18]最小。因此,当备选点 Θm1e不含ξe,M时,可将其加入以提高计算精度(详见后文算例分析)。

步骤2:由上述备选点构造N组配置点Θd= [ξ1,ξ2,…,ξN],使其满足式(20)。d越高,稀疏网格点法在削减配置点数上的优势则越明显。

式中:m=[m1,m2,…,md],|m|=m1+m2+ … + md。

步骤3:备选点ξn=[ξ1n,ξ2n,…,ξdn]每一维的权重可由式(18)求出,从而可由式(21)求出配置点ξn的权重。

2.3基于SCM的PLF算法求解步骤

本文算法(以下简称SCM-PLF)的求解步骤如下。

步骤1:初始化。输入确定电网结构参数、发电机组信息,由输入变量U(ξ)概率分布确定gPC基函数ψk(ξ)(k=1,2,…,K)。

步骤2:gPC级数展开。将随机变量X(ξ)和U(ξ)进行gPC级数展开(式(9)和式(10)),由U(ξ) 的分布函数求出其gPC展开式系数。

步骤3:采用SCM求解PLF的未知随机变量。 根据式(20)和式(21)构造N组配置点[ξ1,ξ2,…, ξN]并求出相应权重[W1,W2,…,WN],在配置点ξn(n=1,2,…,N)处求出gPC基函数的值ψk(ξn)并由此得到输入变量的值U(ξn),最终得到N种工况;在上述N种工况下进行确定性潮流计算,得到状态变量在N组配置点处的值X(ξn);根据式(15) 求出状态变量X(ξ)的展开式系数,得到其gPC展开表达式(10),并由式(5)求出X(ξ)的各概率统计值。

3算例分析

在具有新能源接入的实际电力系统中,因地域相关性等原因,随机输入变量U(ξ′)类型多样且具有较强相关性(如风电场的风速等)[24,25],导致随机参数ξ′也为具有相关性的随机变量。可直接根据 ξ′的PDF构造相应的gPC基函数,并对输入、输出变量进行gPC展开,文献[14]对此已做出详细研究,不再赘述。

为提高算法的精确度,本文采用了将变量的概率最高的一个点或几个点人为加入其配置点的办法。但由于系统随机变量类型多样,如采用直接构造gPC函数的方式,需再根据不同的gPC函数添加其相应的概率最高点,这无疑增加了程序的复杂性。 在本文算例中,采用了变量变换法[3,4,5]将多类型相关性随机参数ξ′化为同一类型的参数ξ,再构造相应的gPC基函数和配置点的方式来简化程序的编写和实现。文献[26-27]对该变量变化法的具体公式和精度作了具体说明。需要指出的是,较之SCM推荐的根据变量分布构造特定gPC基函数的方法(如表1所示),本文算例中所采用的变量变换方法无疑会引入截断误差,但算例结果表明该法在计算精度上也能满足要求。

3.1算例测试指标

为了验证SCM-PLF算法的精度和效率,本文在MATLAB仿真平台下分别对IEEE 14节点、 IEEE 118节点算例进行测试。本文设30 000次的MCM的计算结果为精确值,并将其作为检验所提算法精度的参照值,采用相对误差指标 εsγ[3](relative error,RE)来评估SCM-PLF的计算精度。 RE的定义如下:

式中:s为概率特征值(均值μ或标准差σ);γ为输出变量的类型(电压幅值和相角);sCγ和sMγ分别为所提PLF算法和作为精度基准的MCM的结果。

3.2 IEEE 14节点系统

在IEEE 14节点系统中,设节点4接有大波动随机负荷,有功和无功功率均为正态随机分布,均值分别为μP4=2(标幺值),μQ4=0.4(标幺值),方差为相应均值的10%;设节点13,14分别接风电场,两地的风速相关系数为0.5,均满足尺度参数c=9,形状参数k=2.15的Weibull分布。风机出力特性PW=g(v(ξ))[7]中额定有功出力为Pr=0.7(标幺值),切入、额定和切出风速分别为vci=2 m/s,vr= 16m/s,vco=25 m/s。综上,系统随机参数的维度为d=4,状态变量的维数为c=20。因系统的随机参数类型多样(负荷的随机参数满足正态分布,风速的随机参数满足Weibull分布),为采用统一类型的gPC基函数以便于说明,采用变量变换法将随机参数统一转换为标准正态变量(也可将随机参数统一转化为其他任意分布类型的变量),根据表1,此时应采用Hermite-gPC基函数,式(4)中γn=n!。

因备选点中2,4,6阶的一元Hermite-gPC的根不含原点(见附录B表B1),当未向其中人为加入概率最高点ξM(原点)时,将1至5阶gPC展开阶次下的基于稀疏网格点法的SCM-PLF的计算结果与MCM的计算结果对比。状态变量(电压幅值、相角)的累计概率密度分布(cumulative distribution function,CDF)曲线如图1所示,其RE指标的平均值εγsmean和最大值εγsmax如表2所示。由上述结果可知,3阶(P=3)和4阶(P=4)的SCM-PLF已经能达到较为理想的计算精度,当展开式阶次P上升为5时,精度反而降低。

对上述仿真结果分析如下。

1)采用3阶的gPC展开式能达到较理想的计算精度,随着阶数的升高,计算精度无明显的改善。

2)随机正态分布变量的概率最高点为原点。而4阶展开式的配置点的一维备选点选自1至5阶一元gPC的根(式(20)),仅2,4阶gPC的根不含0点,而5阶展开式的备选点中还包括6阶一元gPC的根,其不含0点且离0点较远,原点权重在采用5阶展开时较采用4阶展开时小。因此,虽然5阶SCM-PLF的配置点数目更多,计算精度却降低。同理,3阶展开式的精度也比4阶低。

3)2阶展开式因较低的展开阶次会产生较大截断误差,即使3阶展开式的配置点中原点权重小于2阶SCM-PLF,但其计算精度依旧高于后者。

由图1和表2可知,当对备选点改进前,3阶SCM-PLF的计算精度略低于4阶,此时张量法需要的配置点数为Nt=dP+1,当d1时稀疏网格点法的配置点数大约为Ns≈2PdP/P!。当改进后(加入原点),稀疏网格点法的配置点数(合并重复的点) 大于Ns但依旧远远小于Nt。由于计算耗时与配置点数目成正比,表3以本系统d=4为例,对比了不同展开阶次P下两种构造法在改进前(情况A) 和改进后(情况B)的配置点数目,结果反映了稀疏网格点法相对张量法的优势,也说明了改进后的稀疏网格点法并未增加太大的计算负担。表4列出了改进前后的3阶SCM-PLF的ER指标,并将其与同阶次的SGM对比,结果显示改进后的3阶SCM- PLF计算精度得到了大大提升,表5以|V4|的频率分布表为例,进一步说明了改进3阶SCM-PLF计算精度。

由于SGM中的雅可比矩阵规模较大且每次迭代均需更新其每个元素,其计算速度明显慢于SCM。因此,SCM在实现快速求解的前提下,能满足较高的计算精度和较少的配置点数目。因此对于PLF问题,后文均采用改进的基于稀疏网格点法的3阶SCM-PLF,此时配置点的数目为281。

由风机有功出力特性曲线,不难得知在不同的风速下风机出力存在着孤立离散点(零出力与最大出力),因此系统中的电压、支路潮流变量等也将在某种程度上展现离散点,附录C对所提算法在处理这种离散性风电变量的计算性能上做了详细分析。

3.3 IEEE 118节点系统

在IEEE 118节点系统中,有64个PQ节点, 53个PV节点和1个平衡节点。设节点4,6接有与IEEE 14节点算例相同的风电场,风速相关系数为0.5。节点8,10的有功负荷为相关随机正态变量, 相关系数为0.3,均值分别为0.52和0.28,方差为相应均值的10%。则系统的随机参数维数为d=4, 随机状态变量的维数为c=181。

采用改进后的3阶SCM-PLF,需构造的配置点组数与上一算例相同,SCM-PLF与30 000次的MCM的计算用时分别为0.711s和132 016s,所提算法明显具有计算速度上的优势。SCM-PLF所得输出变量的RE指标的均值和最大值如表6所示,其计算精度得到验证。因表6中RE的最大值分别出现在|V10|和θ6,图2以这两个输出变量为例,对比了MCM和所提算法下的计算精度(CDF和PDF曲线)。由仿真结果可知,在达到同等计算精度时,改进的3阶SCM-PLF的计算效率明显更优。

4结语

本文首先构建了基于gPC展开式的PLF模型,并采用SCM来求解。通过MATLAB仿真平台对IEEE 14节点、IEEE 118节点系统进行仿真,并与MCM对比,验证了本算法的有效性、实用性和准确性。同传统PLF算法相比,该算法有以下特点。

1)计算精度高。SCM作为非侵入式算法,不需要对系统进行化简或线性化等处理,与电力系统的复杂程度无关,保留了潮流方程的非线性特性,避免了线性化处理带来的较大误差,在随机变量波动较大的情况下仍具有较高精度。

2)原理简单,通用性强,不受随机变量类型和数学模型的约束,在配置点处进行的确定性潮流计算可直接调用已有的潮流计算软件来完成。

3)计算速度快,仅需在有限组配置点处进行潮流计算,且各配置点处的计算相互解耦,可进一步采取并行运算策略以提升计算速度。

SCM-PLF算法应如何根据不同的条件(网络结构、变量的分布类型及维数等)采取最优的gPC阶数、配置点的选取策略(包括配置点的数目、位置等)等问题还有待进一步的研究和扩展。随着新能源大量并网,微网、分布式电源和电动汽车等配电网新概念的发展,本文所提算法具有较好的工程应用前景。

附录见本刊网络版(http://www.aeps-info. com/aeps/ch/index.aspx)。

摘要：可再生能源的大量接入使得电力系统的不确定性增加,对电力系统的运行和控制提出了新的挑战。从不确定性量化理论出发,提出了一种基于随机配置点法的概率潮流算法。该算法将不确定性输入变量的概率分布表述为广义多项式混沌的谱系数,通过构建一个规模可控的确定性非线性方程组,将待求变量的概率分布函数求解转换为广义多项式混沌的谱系数求解问题,可较好地解决概率潮流计算中求解精度和计算复杂度之间的矛盾。在IEEE 14节点和IEEE 118节点系统的仿真计算中,该算法的有效性、实用性和准确性得到了验证,对于含新能源并网的概率潮流等不确定性问题具有较好的工程应用前景。

概率最优潮流 第5篇

近年来,风力发电由于其自身的优势在中国乃至世界得到了长足发展。针对风电出力具有间歇性和波动性的特点,概率潮流计算被认为是一种可以有效考虑各种随机因素,全面分析系统状态的有效工具[1]。为加快计算速度,一些概率潮流计算方法往往假设各节点的注入功率相互独立[2]。而事实上,在一些风力资源非常丰富的地区,多个风电场之间地理位置比较靠近,基本处于同一风带,其风速具有较强的相关性,从而使各风电场的出力也具有较强的相关性[3]。

现有文献中对风速相关性的研究主要侧重于对含多个风电场系统的功率预测[4]和发电可靠性评估[5],而很少分析风速相关性对概率潮流计算的影响。风电场间风速的相关性表征了各风电场在同一时刻的出力特性,当相关性较强时,各风电场的出力将同时较大或较小,如果不考虑这种相关性,可能会导致对系统潮流变化的估计不足,从而造成对系统运行风险的低估[6]。

本文旨在分析风速相关性对概率潮流计算结果及相应规划决策的影响,如何能方便、有效地计及风速的相关性并获得准确度高的计算结果是本文最为关心的问题,而对于计算速度的要求则处于次要地位。因而本文选用模拟法计算含多个风电场系统的概率潮流,利用一种基于自回归滑动平均(ARMA)模型和时移技术的方法来处理各风电场之间风速的相关性[7],通过对比仿真定量分析了风速相关性对节点电压概率密度分布、最大允许风电装机容量及风电场无功补偿的影响。

1 风速相关性的建模

1.1 ARMA模型

风电场的风速具有时变性,可以将其视为一个时间序列。ARMA模型是研究时间序列的重要方法,其利用大量的历史观测数据,经过模型识别、参数估计和模型检验建立研究对象的数学模型。目前该模型已被成功应用于风速及风电功率预测方面的研究[8]。

ARMA模型由自回归(AR)模型和滑动平均(MA)模型混合构成。其中AR模型认为当前时刻的观测值可由过去几个历史时刻的观测值和一个当前时刻的随机干扰来表示;MA模型认为当前时刻的观测值可由称为随机干扰的白噪声序列的线性组合来表示。(m,n)阶ARMA模型的基本形式如下式所示:

式中:xt为时刻t时间序列的值;αi和βj分别为AR模型和MA模型的参数;εt为正态白噪声序列。

建立风速时间序列的ARMA模型需要大量的历史观测数据,鉴于此,本文直接采用文献[7]中建立的一个风速ARMA模型,该模型基于加拿大某地区1996年到2003年间的风速测量数据建立起来,如下式所示:

式中:εt∈NID(0,0.447 4232),NID表示独立正态分布。

值得注意的是,xt是均值为0的时间序列,并不能表示实际的风速时间序列。风速时间序列vt可经由下式求出:

式中:ut为风速测量值的平均值;σt为风速测量值的标准差。

1.2 时移技术

在建立了风速的ARMA模型基础上,利用时移技术可以产生多个具备指定相关系数的时间序列。图1为风速时间序列vt的自相关函数曲线,可以看出将时间序列vt进行适当的时移t,可以产生一个与原序列具有任意相关系数R的新序列:

式中:T为不超过t的最大整数,t0=t-T;当式中的下标超出时间序列的维数n时,则将其减去n后代替原来的下标。

Billinton对于相关系数R给定时如何求取最优时移t的问题进行了相关研究,提出利用二分搜索法[7]来解决这个问题。为简单起见,本文采用一种近似的方法,即利用图1所示的曲线直接进行Lagrange插值求解。

当几个风电场彼此靠近时,其风速会具有一定相关性,这种相关性体现为相似的统计特征和时序特征。此时可选取其中一个风电场为参考风电场,建立其风速的ARMA模型,利用时移技术获得其余风电场的风速序列。图2所示为高度相关、中度相关和低度相关时4个风电场处风速的仿真序列。

2 算例系统说明

为了分析风速相关性对概率潮流计算结果及相应规划决策的影响,采用改进IEEE 30节点系统进行仿真分析。现将该系统在原有189.2 MW负荷水平的基础上新增加200 MW的有功负荷,并按照比例分配到各负荷节点上。在节点25,26,29,30处通过输电线路各接入一个风电场,如图3所示,分别在4个风电场的风速高度相关、中度相关和低度相关3种情况下进行对比仿真。现假设4个风电场有2种型号的风力发电机可供选择:Ⅰ型风力发电机(FL1000)和Ⅱ型风力发电机(FL250)。其中,Ⅰ型风力发电机的单机容量为1 MW,切入、额定和切出风速分别为3 m/s,12 m/s和20 m/s;Ⅱ型风力发电机的单机容量为0.25 MW,切入、额定和切出风速分别为2.5 m/s,16 m/s和25 m/s。

图4所示为风电场风速的概率密度分布曲线与2种型号风力发电机的功率输出曲线。从图中可以看出,根据给定的风况,Ⅰ型风力发电机工作范围较广,涵盖了线性上升工作区域和额定工作区域,并且处于额定工作状态的概率较大;Ⅱ型风力发电机则主要工作于切入风速和额定风速之间的线性上升工作区域。系统的基准容量为100 MW。

3 风速相关性对节点电压概率密度分布的影响

风电场的出力具有波动性,其大量并网会引起节点电压的波动,利用概率潮流计算出节点电压的概率密度分布是直观显示节点电压波动情况的有效手段,文献[9]对此进行了相关研究,但没有考虑风电场间风速的相关性,而是假设各风电场的风速相互独立。

为了分析风电场之间风速相关性对节点电压概率密度的影响,分别在风速高度相关、中度相关和低度相关情况下对上述算例系统进行概率潮流计算,其中4个风电场的装机容量均为70 MW。图5所示为4个风电场均采用Ⅰ型风力发电机时在不同风速相关水平下节点26的电压概率密度曲线和累积概率曲线。图6所示为4个风电场均采用Ⅱ型风力发电机时在不同风速相关水平下节点26的电压概率密度曲线和累积概率曲线。表1所示为几种情况下节点26的电压的各种统计量。

仿真结果表明,当采用Ⅰ型风力发电机时,风速的相关性对概率潮流的计算结果将有较大影响,考虑风速相关性时,节点电压的波动范围明显较大,出现电压越限的概率也较大。从图5中可以清楚地发现,风速相关性对节点电压概率分布的影响主要体现在曲线的中低压段,而这段曲线对于作出准确的电力运行和规划决策具有重要意义。另外,当风速高度相关时,节点26的电压处于最低值0.858 4(标幺值)的概率较大,体现为图5(a)中曲线的波峰和图5(b)中曲线的垂直段,这是因为最低电压对应于风电场的最高出力状态,当风速的相关性较高时,采用Ⅰ型风力发电机的各个风电场同时处于满发状态的概率较大。可见,此时如果没有考虑风电场间风速的相关性,将会使概率潮流的计算结果偏于乐观,从而降低了对电力系统运行和规划的参考价值。

注:P为累积概率。

当采用Ⅱ型风力发电机时,风速的相关性因素对概率潮流的计算结果影响不明显。虽然随着风速相关水平的提高,节点电压的波动和越限概率的确有所增加,但不足以对电力运行和规划决策产生影响,这是由于Ⅱ型风力发电机主要工作于切入风速和额定风速之间的线性上升区域,即使风速相关性较高时也不会对电压概率分布曲线的低压段产生太大影响。

4 风速相关性对风电场最大允许装机容量的影响

限制风电场最大装机容量的因素有很多[10],如系统的网络结构、系统调峰能力及无功补偿状况等,其中风电场接入点的电压质量要求是限制风电场最大允许装机容量的一个重要因素。一般风电场接入点电压的合理范围是0.95～1.05,风电场装机容量的增加,会引起风电场接入点电压的降低,以至发生电压越限。欧洲标准EN 50160以概率的形式对电压质量进行了规定,即要求电压越限的概率小于规定的值[11],该标准虽然不是为应对大量可再生能源接入电网而制定,但仍有一定借鉴价值。为了分析风速相关性对风电场最大允许装机容量的影响,仍采用上述算例系统,风电场均采用Ⅰ型风力发电机,分别在不同风速相关水平下计算满足一定电压质量要求的最大允许风电装机容量。该问题可以视为一个非线性整数规划问题来求解,目标函数及约束条件如下式所示:

式中:n1,,n2,n3,n4分别为各风电场安装的风力发电机台数;Ui为节点i的电压幅值,i=25,26,29～34;W=f(X)为潮流方程约束。

应用遗传算法对式(5)进行求解,可得出在风速高度相关、中度相关、低度相关等相关水平下保证风电场及风电场接入点电压越限概率小于5%时,系统允许的最大风电装机容量分别为208 MW,225 MW,242 MW。遗传算法所采用的计算参数为:群体规模20,最大迭代次数100,交叉概率0.5,变异概率0.01。

可以看出,若4个风电场的风速高度相关,则计算出的实际最大风电装机容量为208 MW,若在规划风电场容量时没有考虑风速的这种相关性,而是假设风速相互独立,则计算出的最大允许风电装机容量为242 MW,比系统实际能接受的最大风电装机容量多了34 MW。系统若按242 MW容量的风电进行规划,势必会使系统某些节点电压的实际越限概率大于5%,如表2所示。可见,是否考虑风速相关性对于风电场的定容有较大的影响。

5 风速相关性对风电场无功补偿的影响

风电场并网运行时会从电网吸收无功,对系统的电压质量产生消极影响,充足的无功补偿可以有效克服风电场并网导致的电压波动。文献[12]基于概率潮流计算,使用灰色遗传算法研究了考虑风电场的无功优化和控制问题,通过对发电机机端电压、变压器分接头和无功补偿装置等调压手段的控制,使系统电压特性满足运行要求,但该文没有考虑风电场间风速的相关性因素。为了分析风速相关性对无功补偿量的确定的影响,采用上述算例系统,4个风电场装机容量均为65 MW,采用Ⅰ型风力发电机,分别在不同风速相关水平下计算满足一定电压质量要求的最小无功补偿量。该问题也是一个非线性规划问题,目标函数及约束条件如下式所示:

式中:C1,C2,C3,C4分别为各风电场投入的补偿电容器组数,假设每组电容器的无功补偿量为0.5 Mvar;i=25,26,29～34。

应用遗传算法对式(6)进行求解,可得出在风速高度相关、中度相关、低度相关等相关水平下为保证风电场及风电场接入点电压越限的概率小于5%时,风电场需要安装的最小无功补偿量分别为22.5 Mvar,13 Mvar,6 Mvar。遗传算法所采用的计算参数为:群体规模20,最大迭代次数100,交叉概率0.5,变异概率0.01。

可以看出,当风速高度相关时,为保证系统各节点的电压质量满足要求,需要的最小无功补偿量为22.5 Mvar,而若不考虑风速的相关性,计算出的最小无功补偿量仅为6 Mvar,比实际需求减少了16.5 Mvar。当系统仅安装6 Mvar的无功补偿量时,可能无法使各节点电压的波动平抑在规定范围内,具体如表3所示。可见,是否考虑风速相关性对于风电场的无功规划有较大的影响。

6 结论

随着中国几个千万千瓦级风电基地的相继建成,越来越多的风电场接入电网中,而由于地理位置的邻近,这些风电场处的风速会具有较强的相关性,从而使各风电场的出力具有较强的相关性。本文采用一种基于ARMA模型和时移技术的方法分析了风速相关性对概率潮流计算结果的影响,重点研究了风速相关性对节点电压概率密度分布、风电场最大允许装机容量和最小无功补偿量的确定的影响。主要结论包括:

1)考虑风速的相关性,会使风电场接入点的电压波动性增强,系统出现电压越限的概率增大,从而对概率潮流计算的结果产生影响。

2)风速相关性对概率潮流计算结果的影响大小,除了与风速的相关水平高低有关外,还取决于风速和风力发电机功率曲线的匹配情况。当风速分布主要位于风力发电机的线性上升工作区域时,风速相关性对概率潮流计算结果的影响不大,而当风速分布涵盖了风力发电机整个工作区域并以较大概率工作于额定状态时,则必须考虑风速的相关性。

3)考虑风速的相关性,会对风电场的容量和无功补偿量的确定产生影响,从而对电力系统的规划决策产生影响。

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一种恢复最优潮流可行性的实用方法 第6篇

对于大规模重负荷电力系统来说, 在最优潮流计算中, 由于严格的节点电压限制、线路的功率极限等多种原因可能会导致原问题不存在最优解。此时系统规划和调度人员只能凭借经验对计算数据做出判断, 反复调整方式和规划数据, 这种传统的人工依据经验的调整方法效率低下, 工作强度大, 效果也不明显。因此, 迫切需要解决最优潮流不收敛时的分析和调整问题, 即有效地检测出导致模型无可行解的约束条件, 并快速得到近似的最优解。

目前的文献大都讨论潮流无解的问题, 而较少讨论最优潮流无解问题的处理。目前主要有以下3种方法处理最优潮流无解问题:①使用牛顿法求解功率平衡等式的最小二乘解, 得到恢复可行解的调整方案, 用不可行点到可行解边界的最短欧几里德距离来表示不可行的程度[1,2,3,4];②特征值和模态分析的方法, 通过计算零特征值和相应的特征向量得到薄弱节点, 为功率补偿、避免鞍结分岔和恢复可行解提供参考[5,6,7];③基于优化的方法, 文献[8,9]分别使用内点法求解考虑各种约束条件的切负荷和最小二乘模型。文献[10]中的非线性同伦内点法, 不仅能在原问题有解的情况下求出近似的最优解, 而且能快速地判别出原问题是否出现了不可行的情况, 但并没有讨论如何恢复原问题的可行性。文献[11,12]用模糊集理论将部分可伸缩的约束条件模糊化, 使得最优潮流问题收敛性得到提高, 但隶属函数无法反映出调整的成本信息。

以上方法中, 第1种和第2种方法都是基于潮流功率平衡方程无解的情况恢复可行性, 简单易行, 但无法充分考虑安全指标的约束, 如果恢复可行解之后经验证存在约束越限的情况, 则需要重新调整方案。而第3种基于优化的方法, 可以充分考虑各种安全约束, 得到符合实际的调整方案。

本文使用优化的方法来恢复最优潮流的可行性, 采用了一种新的最优潮流扩展模型 (extended optimal power flow, EOPF) , 在等式约束和不等式约束中加入松弛变量, 并在目标函数中加入相应的惩罚项。内点算法由于其快速收敛和方便处理不等式约束等优点被广泛应用于求解电力系统最优化问题, 本文采用改进的原对偶内点法来求解上述模型。

本文方法的主要特点如下:

1) 当原问题可行时, 该模型可以收敛到原问题的最优解;当原问题无解时, 可以自动到更大的可行域内寻优, 快速得到近似解, 从计算结果中可以方便地得到调整的措施。

2) 可以方便地得到导致最优潮流无解的关键约束集。

3) 充分考虑了不等式约束对最优潮流可行性的影响, 当用各种调整方案都无法恢复原问题可行性时, 可以明确地指出导致最优潮流不可行的安全指标, 并放宽相应的约束指标得到近似解。

4) 模型的处理使得不会增加每次迭代的计算量, 对原对偶内点算法的改进使算法在各种情况下都有很好的计算效率和收敛性。

1 最优潮流扩展模型和内点法求解方法

最优潮流模型可以简化为如下非线性优化模型:

$\begin{array}{l}\min f(\mathit{x})(1)\\ \text{s}.\text{t}.\mathit{h}(\mathit{x})=0(2)\\ \underset{¯}{\mathit{g}}\le \mathit{g}(\mathit{x})\le \overline{\mathit{g}}(3)\end{array}$

式 (1) 为目标函数——系统总的发电费用最小;式 (2) 为等式约束——节点功率平衡方程等式;式 (3) 为不等式约束——有功源出力上下界约束、无功源出力上下界约束、节点电压幅值上下界约束、线路流动功率上下界约束。变量为有功源和无功源的出力、节点电压的幅值和相角。

内点法求解最优潮流问题的基本思路[13]如下:

首先将不等式约束式转化为等式约束:

$\begin{array}{l}\mathit{g}(\mathit{x})+\mathit{u}=\overline{\mathit{g}}\\ \mathit{g}(\mathit{x})-\mathit{l}=\underset{¯}{\mathit{g}}\end{array}$

其中松弛变量应满足u≥0, l≥0。这样可得优化问题的拉格朗日函数为:

$\begin{array}{l}L=f(\mathit{x})-\mathit{y}{}^{\text{Τ}}\mathit{h}(\mathit{x})-\mathit{z}{}^{\text{Τ}}(\mathit{g}(\mathit{x})-\mathit{l}-\underset{¯}{\mathit{g}})-\\ \mathit{w}{}^{\text{Τ}}(\mathit{g}(\mathit{x})+\mathit{u}-\overline{\mathit{g}})-\mu {\displaystyle \sum _{j=1}^r\lg }l{}_j-\mu {\displaystyle \sum _{j=1}^r\lg }u{}_j(4)\end{array}$

式中:y, z, w均为拉格朗日乘子。

由式 (4) 得到库恩塔克条件, 并采用牛顿—拉夫逊法求解即可, 详细过程参见文献[13]。

本文通过加入松弛变量, 对约束条件进行松弛, 并在目标函数中加入惩罚项的方法得到最优潮流的扩展模型。松弛变量和惩罚项的加入可以使得最优潮流扩展模型在原问题有解时, 松弛变量为0, 从而收敛到原问题的最优解;当原问题无解时, 得到非零松弛变量, 在更大的可行域内求解, 并且松弛变量的值可以给出明确的调整信息。

具体可以有2种操作方法:

1) 对不等式约束的上下限进行松弛, 在其中加入松弛变量, 并在目标函数中加入对松弛变量的惩罚项。

2) 对等式约束进行松弛, 在其中加入松弛变量, 并在目标函数中加入对松弛变量的惩罚项。

1.1 松弛不等式约束的上下限以扩展可行域

实现的方法如下:

$\begin{array}{l}\mathit{g}(\mathit{x})+\mathit{u}=\overline{\mathit{g}}\Rightarrow \mathit{g}(\mathit{x})+\mathit{u}=\overline{\mathit{g}}+{\mathit{u}}^{\prime }{\mathit{u}}^{\prime }\ge 0\\ \mathit{g}(\mathit{x})-\mathit{l}=\underset{¯}{\mathit{g}}\Rightarrow \mathit{g}(\mathit{x})-\mathit{l}=\underset{¯}{\mathit{g}}-{\mathit{l}}^{\prime }{\mathit{l}}^{\prime }\ge 0\end{array}$

目标函数变为:

$\min f(\mathit{x})\Rightarrow \min f(\mathit{x})+{\rm M}{\displaystyle \sum _{j=1}^{r}u}{}_{j^{\prime }}+{\rm M}{\displaystyle \sum _{j=1}^{r}l}{}_{j^{\prime }}(5)$

式中:M为较大的正数, M既可以是常数, 也可以是向量, M为常数时, 对所有的松弛变量采用相同的惩罚系数, M为向量时, 可以对不同的松弛变量采用不同的惩罚系数。

使用原对偶内点法求解, 推导拉格朗日函数和库恩塔克条件, 可得修正方程组为:

$\left[\begin{array}{cc}{\mathit{{\rm H}}}^{″}& \nabla {}_{\mathit{x}}\mathit{h}(\mathit{x})\\ \nabla {}_{\mathit{x}}^{\text{Τ}}\mathit{h}(\mathit{x})& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\text{Δ}\mathit{x}\\ \text{Δ}\mathit{y}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\mathit{L}{}_{{\mathit{x}}^{″}}\\ -\mathit{L}{}_{\mathit{y}}\end{array}\right](6)$

与文献[13]中相比, H′变为H″, Lx′变为Lx″。其中 (仅列出与文献[13]中不同的部分) :

$\begin{array}{l}{\mathit{{\rm H}}}^{″}=\mathit{{\rm H}}-\nabla {}_{\mathit{x}}\mathit{g}(\mathit{x})\{[\mathit{L}-\mathit{{\rm Z}}(\mathit{{\rm Z}}-\mathit{{\rm M}}){}^{-1}{\mathit{L}}^{\prime }]{}^{-1}\mathit{{\rm Z}}-\\ [\mathit{U}-\mathit{W}(\mathit{W}+\mathit{{\rm M}}){}^{-1}{\mathit{U}}^{\prime }]{}^{-1}\mathit{W}\}\nabla {}_{\mathit{x}}\mathit{g}{}^{\text{Τ}}(\mathit{x})\\ \mathit{L}{}_{{\mathit{x}}^{″}}=\mathit{L}{}_{\mathit{x}}+\nabla {}_{\mathit{x}}\mathit{g}(\mathit{x})\{[\mathit{L}-\mathit{{\rm Z}}(\mathit{{\rm Z}}-\mathit{{\rm M}}){}^{-1}{\mathit{L}}^{\prime }]{}^{-1}[\mathit{L}{}_{\mathit{l}}^{\mu }+\\ \mathit{{\rm Z}}\mathit{L}{}_{\mathit{z}}-\mathit{{\rm Z}}(\mathit{{\rm Z}}-\mathit{{\rm M}}){}^{-1}\mathit{L}{}_{{\mathit{l}}^{\prime }}^{\mu }]+[\mathit{U}-\mathit{W}(\mathit{W}+\mathit{{\rm M}}){}^{-1}\cdot \\ {\mathit{U}}^{\prime }]{}^{-1}[\mathit{L}{}_{\mathit{u}}^{\mu }-\mathit{{\rm Z}}\mathit{L}{}_{\mathit{w}}-\mathit{W}(\mathit{W}+\mathit{{\rm M}}){}^{-1}\mathit{L}{}_{{\mathit{u}}^{\prime }}^{\mu }]\}\end{array}$

$\begin{array}{l}\mathit{L}{}_{\mathit{z}}=\mathit{g}(\mathit{x})-\mathit{l}+{\mathit{l}}^{\prime }-\underset{¯}{\mathit{g}}\\ \mathit{L}{}_{\mathit{w}}=\mathit{g}(\mathit{x})+\mathit{u}-{\mathit{u}}^{\prime }-\overline{\mathit{g}}=0\\ \mathit{L}{}_{{\mathit{l}}^{\prime }}^{\mu }=(\mathit{{\rm Z}}-\mathit{{\rm M}}){\mathit{L}}^{\prime }+\mu \mathit{e}=0\\ \mathit{L}{}_{{\mathit{u}}^{\prime }}^{\mu }=(\mathit{{\rm M}}+\mathit{W}){\mathit{U}}^{\prime }-\mu \mathit{e}=0\\ {\mathit{L}}^{\prime }=\text{d}\text{i}\text{a}\text{g}(l{}_{1^{\prime }},l{}_{2^{\prime }},\cdots ,l{}_{r^{\prime }})\end{array}$

U′=diag (u1′, u2′, …, ur′)

可见, 松弛变量和惩罚项的加入并没有增加修正方程式的维数, 因此并未增加每次迭代的计算量。当求得了Δx, Δy之后, 可以依次求得其他变量的修正量。根据对偶乘子z, w的取值范围要求0≤z≤M, -M≤w≤0, 以及u′≥0, l′≥0。由于模型的变化, 原对偶步长的计算均有不同。

αp=0.995minmin$\frac{-l{}_i}{\text{Δ}l{}_i},\text{Δ}l{}_i<0$;$\frac{-u{}_i}{\text{Δ}u{}_i},\text{Δ}u{}_i<0;$

$\frac{-l{}_{i^{\prime }}}{\text{Δ}l{}_{i^{\prime }}},\text{Δ}l{}_{i^{\prime }}<0$;$\frac{-u{}_{i^{\prime }}}{\text{Δ}u{}_{i^{\prime }}},\text{Δ}u{}_{i^{\prime }}<0),1\}$

αd=0.995minmin$\frac{-z{}_i}{\text{Δ}z{}_i},\text{Δ}z{}_i<0$;$\frac{-w{}_i}{\text{Δ}w{}_i},\text{Δ}w{}_i>0;$

$\frac{{\rm M}-z{}_i}{\text{Δ}z{}_i},\text{Δ}z{}_i>0$;$\frac{-{\rm M}-w{}_i}{\text{Δ}w{}_i},\text{Δ}w{}_i<0),1\}$

1.2 松弛等式约束以扩展可行域

具体实现如下:

$\mathit{h}(\mathit{x})=0\Rightarrow \mathit{h}(\mathit{x})+\mathit{s}=0\mathit{s}\ge 0$

目标函数变为:

$\min f(\mathit{x})\Rightarrow \min f(\mathit{x})+{\rm M}{\displaystyle \sum _{j=1}^{r}s}{}_j(7)$

使用原对偶内点法求解, 推导拉格朗日函数和库恩塔克条件, 可得修正方程组为:

$\begin{array}{l}\left[\begin{array}{cc}{\mathit{{\rm H}}}^{\prime }& \nabla {}_{\mathit{x}}\mathit{h}(\mathit{x})\\ \nabla {}_{\mathit{x}}^{\text{Τ}}\mathit{h}(\mathit{x})& (\mathit{{\rm M}}-\mathit{Y}){}^{-1}\mathit{S}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\text{Δ}\mathit{x}\\ \text{Δ}\mathit{y}\end{array}\right]=\\ \left[\begin{array}{c}\mathit{L}{}_{{\mathit{x}}^{\prime }}\\ -\mathit{L}{}_{\mathit{y}}+(\mathit{{\rm M}}-\mathit{Y}){}^{-1}\mathit{L}{}_{\mathit{s}}^{\mu }\end{array}\right](8)\end{array}$

与文献[13]比较, 系数矩阵的右下角元素0变为 (M-Y) -1S, -Ly变为-Ly+ (M-Y) -1Lμs。其中 (仅列出与文献[13]中不同的部分) :Ly=h (x) +s, Lμs= (M-Y) S-μe。

同样, 惩罚项的加入并未增加修正方程式的维数和每次迭代的计算量。当求得了Δx, Δy之后, 可以依次求得其他变量的修正量。与加入惩罚项之前不同的是, 对偶乘子y取值范围发生了变化, 并且需要考虑s的值, 根据s≥0, y≤M, 步长的取值较之前发生了变化。

$\begin{array}{l}\alpha {}_p=0.9995\min \{\min (-\frac{l{}_i}{\text{Δ}l{}_i},\text{Δ}l{}_i<0;\\ -\frac{u{}_i}{\text{Δ}u{}_i},\text{Δ}u{}_i<0;-\frac{s{}_i}{\text{Δ}s{}_i},\text{Δ}s{}_i<0),1\}\\ \alpha {}_d=0.9995\min \{\min (-\frac{z{}_i}{\text{Δ}z{}_i},\text{Δ}z{}_i<0;\\ -\frac{w{}_i}{\text{Δ}w{}_i},\text{Δ}w{}_i>0;\frac{{\rm M}-y{}_i}{\text{Δ}y{}_i},\text{Δ}y{}_i>0),1\}\end{array}$

1.3 关键约束集的确定

当多个松弛变量非零才能恢复最优潮流可行性, 即对多个约束条件松弛才能得到近似的最优解, 就无法把握导致最优潮流无解的关键约束条件, 不利于实际操作。因此需要确定关键的约束集, 尽可能对较少的约束条件进行调整就得到近似最优解, 给规划和调度人员提供更加实用的调整方案。

本文采用以下方法来得到关键约束集:

对于松弛等式约束的情况,

$\min f(\mathit{x})\Rightarrow \min f(\mathit{x})+{\rm M}{\displaystyle \sum _{j=1}^r\sqrt{s{}_j}}(9)$

对于松弛不等式约束的情况,

$\min f(\mathit{x})\Rightarrow \min f(\mathit{x})+{\rm M}{\displaystyle \sum _{j=1}^r\sqrt{u{}_{j^{\prime }}}}+{\rm M}{\displaystyle \sum _{j=1}^r\sqrt{l{}_{j^{\prime }}}}(10)$

以下将式 (9) 、式 (10) 中的处理方法称为开方惩罚项模型, 将式 (5) 、式 (7) 中的处理方法称为线性惩罚项模型。将开方惩罚项模型与最小二乘模型[1]进行比较可见, 后者等价于在等式约束中加入可正可负的松弛变量, 即

$\min f(\mathit{x})\Rightarrow \min f(\mathit{x})+{\rm M}{\displaystyle \sum _{j=1}^{r}s}{}_j^2(11)$

以图1中的简单两节点系统为例说明开方惩罚项模型可以确定关键约束集的原理。在两节点系统中, Pmax<Pa, Qmax>Qa+Qb, 线路ab的电阻为0。显然有功不足导致图1中的最优潮流问题是不可行的, 以下2种调整方案可以用来恢复可行性。

方案1:节点a注入有功功率为Δpa, 节点b注入有功功率为Δpb。Δpa+Δpb=P1+P2-Pmax。

方案2:节点a注入有功Δpab。可知Δpab=P1+P2-Pmax, Δpa+Δpb=Δpab。

对于式 (11) 中最小二乘模型, 方案1目标函数中惩罚项值Δobj1=M (Δp2a+Δp2b) , 方案2目标函数中惩罚项值Δobj2=MΔp2ab=M (Δpa+Δpb) 2, 显然Δobj1<Δobj2, 可知最优解会趋向于方案1, 即分散的调整方案, 从而导致调整位置过多的情况出现。

对于式 (9) 的开方惩罚项模型, 方案1的目标函数的惩罚项值$\Delta {}_{\text{o}\text{b}\text{j}1}={\rm M}(\sqrt{\text{Δ}p{}_a}+\sqrt{\text{Δ}p{}_b})$, 方案2惩罚项值$\Delta {}_{\text{o}\text{b}\text{j}2}={\rm M}\sqrt{\text{Δ}p{}_{ab}}={\rm M}\sqrt{\text{Δ}p{}_a+\text{Δ}p{}_b}$, 可见Δobj1>Δobj2, 可知最优解会趋向于方案2, 即集中的调整方案, 这样就可以得到关键约束集, 以尽可能少的调整位置得到近似最优解。

同理, 可知对于1.1节和1.2节中的线性惩罚项形式的模型, 得到的调整方案介于最小二乘模型与开方惩罚项模型之间。

本节中提出的开方惩罚项模型, 同样可以按照类似于1.1节和1.2节的推导, 得到相应的修正方程式, 同样没有增加修正方程式的维数和每次迭代的计算量。实际上, 采用不同的惩罚项形式, 均不会影响每次迭代的计算量, 此处不再赘述。

1.4 最优潮流扩展模型求解效率的改进

最优潮流扩展模型中, 由于加入了惩罚项, 利用一个较大的正数M对松弛变量进行惩罚, 会导致计算速度的缓慢, 因此本文采用改进的内点法求解最优潮流扩展模型:

1) 根据文献[14,15,16], 当对偶间隙lizi≪ljzj或uiwi≪ujwj时, 会导致收敛速度过慢。因此利用校正中心内点法的思想, 将lizi, uiwi按值的大小进行分类, 分别采用不同步长, 以达到较快的收敛速度。即首先找出lizi, uiwi中最大的值:k=max{lizi, uiwi};然后以0.9k为阈值, 将lizi, uiwi分为2组, 分别采用不同的步长。

2) 根据1.1节和1.2节中的互补松弛条件, 当相应松弛变量的对偶乘子达到M时, 松弛变量才会出现非零值。由于M为较大的正数, 需要较多迭代次数对偶乘子才可达到M, 从而使求解速度减慢。处理方法是将目标函数的系数统一缩小:

$\min f(\mathit{x})+{\rm M}{\displaystyle \sum _{j=1}^{r}s}{}_j\Rightarrow \min \frac{f(\mathit{x})}{{\rm M}}+{\displaystyle \sum _{j=1}^{r}s}{}_j(12)$

显然, 这种处理方法可以得到同样的最优解, 仅仅是目标函数的值被缩小为原值的1/M。这样处理的效果在下面的算例测试中会详细介绍。

2 算例测试

分别用5节点[13]、RTS 24节点系统和西北2010年规划系统对所提出的最优潮流扩展模型进行算例仿真, 其中惩罚系数M取105, 计算结果和数据均使用标幺值, 基准功率100 MW。限于篇幅, 将RTS 24节点系统的计算结果列在附录A中。

2.1 采用线性惩罚项模型恢复最优潮流可行性

以5节点系统和RTS 24节点系统为例, 针对节点电压幅值约束和线路传输功率极限约束导致原问题不可行2种情况, 分别用式 (5) 和式 (7) 中松弛等式约束的方法进行计算。结果见表1、表2和附录A表A1、表A2。表中:Q表示在特定的节点注入无功功率;V表示特定的节点电压越限;P表示在特定的节点注入有功功率;L表示特定线路超过功率极限。

由表1和附录A表A1可见, 当电压幅值约束导致原问题不可行时, 对于在等式约束中加入松弛变量的模型, 需要在某些节点注入虚拟无功;对于在不等式约束中加入松弛变量的模型, 某些节点的电压约束范围被放宽。然而, 松弛等式约束可能会无法恢复原问题的可行性。如在表1中5节点系统当电压约束范围为0.99～1.01时, 在等式约束中加入松弛变量的模型无论如何都不能达到可行。

由表2和附录A表A2可知, 当线路的传输功率极限导致原问题不可行时, 对于在等式约束中加入松弛变量的模型来说, 需要在某些节点注入虚拟有功;对于在不等式约束中加入松弛变量的模型来说, 导致原问题不可行的线路功率极限约束会被扩大以得到近似解。在表2中, 随着线路的传输功率极限约束不断减小, 调整的结果是不变的, 即线路1-2的传输功率极限被扩展为0.95。这表明本文模型可以得到当前情况下确保原问题可行的线路最小传输功率极限值。

2.2 采用开方惩罚项模型确定关键约束集

通过对最小二乘模型和开方惩罚项模型的计算结果的比较, 说明开方惩罚项模型中关键约束集是如何确定的。以RTS 24节点系统因电压幅值范围约束导致不可行的情况为例进行计算。

从附录A表A3、表A4的结果对比中可见, 为恢复最优潮流可行性, 对于最小二乘模型, 需要在约13个节点处注入虚拟功率;而开方模型中的调整位置要远远少于最小二乘模型。例如电压约束范围为0.99～1.01时, 仅需在1个节点注入无功0.327。说明开方惩罚项的模型可以得到导致最优潮流不可行的关键约束集, 更有利于实际操作。附录A表A5中列出了电压越限的节点及其电压, 可见在松弛不等式约束的情况下, 同样有类似于附录A表A3、表A4的结果。开方模型的结果同样要优于最小二乘模型。本文方法省去了复杂的特征值和特征向量的计算, 即可以确定关键约束集。这对于实际应用是很有利的。

需要指出的是, 开方模型可以得到导致原问题不可行的关键约束集, 但其调整成本要高于线性惩罚项模型的结果, 显然这是可以从目标函数的表达形式中预料的。如附录A表A1中, 当电压约束范围为0.99～1.01时, 需要注入的虚拟无功之和为0.247 4;附录A表A4中的结果是需要注入虚拟无功之和为0.327。

2.3 同时松弛等式和不等式约束恢复可行性

松弛不等式约束可在各种情况下给出近似最优解, 而松弛等式约束模型在某些情况下不能恢复可行性。这就需要将松弛等式约束和不等式约束结合起来, 设置不同的惩罚系数, 使得优化问题首先松弛等式约束, 当松弛等式约束仍然不可行时, 再对不等式约束进行松弛。采用下式:

$\begin{array}{l}\min f(\mathit{x})+{\rm M}{}_1{\displaystyle \sum h}{}_{i,s}^1+{\rm M}{}_2{\displaystyle \sum h}{}_{i,s}^2+\\ {\rm M}{}_3{\displaystyle \sum g}{}_{i,s}^1+{\rm M}{}_4{\displaystyle \sum g}{}_{i,s}^2(13)\end{array}$

式中:M1<M2<M3<M4;h1i, s为节点无功平衡等式的松弛变量;h2i, s为节点有功平衡等式的松弛变量;g1i, s为节点电压幅值约束的松弛变量;g${}_{{}_{i,s}}^2$为线路传输功率极限的松弛变量。

采用以下2个算例进行仿真计算。

1) 5节点系统, 电压约束范围0.99～1.01导致不可行, M1=105, M2=10M1, M3=10M2, M4=10M3。通过计算可得调整方案为:节点1注入无功0.927, 节点2电压越限为1.027。

2) 以西北电网2010年的规划数据为例, 基本情况如下:考虑330 kV及以上的节点209个, 发电机节点54个, 一般支路386条, 变压器支路30条, 接地支路50条。考虑电压幅值约束范围0.91～1.09。可得计算结果为表3。

由表3可见, 西北2010年的规划电网在电压幅值0.91～1.09的约束范围下是不可行的, 因此需要对等式约束和不等式约束均进行调整才能恢复可行性。从调整方案中可以明确看到无功补偿的位置和容量, 以及无法满足电压约束范围的节点。

实际使用中, 可将松弛变量进行更为详细的分类, 如电压可越限的节点和不可越限的节点、可越限的线路和不可越限的线路等, 分别设以不同的惩罚系数, 就可得到更为灵活实际的解。

2.4 改进内点法求解最优潮流扩展模型的效率

为了保证该模型的实用性, 需要在较快的时间内得到近似最优解。采用原对偶内点法求解最优潮流扩展模型时, 并未增加每次迭代的计算量, 因此可用求解的迭代次数来等价代表求解的计算时间。下面通过内点法改进前后求解的迭代次数对比说明算法改进的效率。

表4、表5和附录A表A6、表A7列出了最优潮流扩展模型的求解迭代次数, 各列含义如下:N1为内点法求解常规最优潮流的迭代次数;N2为内点法求解最优潮流扩展模型 (松弛等式约束) 的迭代次数;N3为内点法求解最优潮流扩展模型 (松弛不等式约束) 的迭代次数;N4为改进内点法求解最优潮流扩展模型 (松弛等式约束) 的迭代次数;N5为改进内点法求解最优潮流扩展模型 (松弛不等式约束) 的迭代次数。

当原问题可行时, 采用内点法求解常规的最优潮流和最优潮流扩展模型的速度是基本相同的, 即N1≈N2≈N3。常规的最优潮流模型不可行时, 随着约束条件越来越严格, N2和N3的值会变得很大, 即收敛速度变得非常缓慢, 即用内点法来直接求解最优潮流扩展模型效率很低。而改进内点法求解最优潮流扩展模型, 不论原问题是否可行, 都有很快的计算速度, 大大减少了寻找近似最优解的计算时间。说明对内点法的改进大大提高了采用内点法求解最优潮流扩展模型的求解速度, 也提高了本文模型和算法的实用性。

图2分析了1.4节改进的原理:RTS 24节点系统节点电压幅值约束范围为0.99～1.01时, 分别采用内点法直接求解和采用1.4节中的方法改进内点法求解最优潮流扩展模型 (松弛等式约束) , 前者需54次迭代收敛, 后者只要18次迭代即可收敛。分析计算过程可知, 由于在目标函数中加入了惩罚因子M, 使得模型不够平滑, 用内点法直接求解时, 首先算法会在原问题的可行域内寻优, 即在松弛变量都为0的情况下寻优;当无法在原问题的可行域内得到解时, 才到扩展的可行域寻优, 对偶间隙才会有一个波动直至收敛的过程, 导致计算速度缓慢。其改进方法, 一方面可以获得较大步长, 另一方面由于将目标函数按比例缩小, 使得模型变得平滑, 大大加快了收敛速度。

3 结语

通常情况下, 最优潮流问题无解时, 需凭借经验或反复试算找到导致原问题无解的约束条件, 不利于最优潮流给调度人员提供明确的信号。本文提出了一种最优潮流的扩展模型, 在等式约束和不等式约束中加入松弛变量, 在目标函数中加入惩罚项, 采用改进的原对偶内点法来求解。

测试算例和实际系统仿真的结果说明:

1) 原问题可行时, 扩展模型可以收敛到同样的解, 并且迭代次数没有明显增加;原问题不可行时, 非零的松弛变量可以指示原问题是不可行的, 同时给出相应的调整信息。

2) 等式约束的松弛变量等价于虚拟注入有功和无功, 不等式约束的松弛变量等价于放宽特定的安全约束指标, 可以指示哪些安全约束指标设置得严格而导致原问题不可行。松弛等式约束得到的调整量更直观和易于实际操作。

3) 本文的模型可以方便地得到导致原问题无解的关键约束集。开方形式的惩罚项模型, 可以以较少的调整措施恢复最优潮流可行性。

4) 松弛不等式约束的模型可以在各种情况下给出近似最优解, 而松弛等式约束的模型在电压约束非常严格时可能无法恢复可行性。这就有必要将松弛等式约束和不等式约束结合起来, 设置不同的权重, 使得优化问题首先松弛等式约束, 当松弛等式约束仍然无法恢复可行性时, 再对不等式约束进行松弛。

同时, 一方面可以根据其物理含义, 对松弛变量进行分类, 设置不同的惩罚系数和上下限;另一方面, 惩罚项可以根据实际需要, 选择不同的形式, 如采用反映调整代价的惩罚项的形式等, 就可以求得更加灵活和实际的近似解。

5) 最优潮流扩展模型中虽然加入了松弛变量, 但并未增加每次迭代的计算量, 通过对算法的改进, 大大提高了恢复可行解的速度, 提高了此模型的实用性。

本文方法可在以下几方面得到应用:①检测网络结构是否可行, 约束指标设置是否得当;②检验系统的无功是否充足, 并计算无功补偿的容量和位置;③给出导致运行方式不可行的瓶颈所在, 并对运行方式进行调整;④调整无解的潮流和最优潮流问题。

附录见本刊网络版 (http://www.aeps-info.com/aeps/ch/index.aspx) 。

摘要：最优潮流无解时, 以往只能凭借经验和反复调试才能恢复其可行性。文中提出了一种最优潮流的扩展模型来恢复最优潮流的可行性。在等式约束和不等式约束中加入松弛变量, 并在目标函数中加入相应的惩罚项, 采用改进的原对偶内点法来求解。算例仿真的结果表明:当原问题可行时, 该模型可以收敛到原问题的最优解;当前约束或者控制变量越界导致原问题无解时, 可以自动到更大的可行域内寻优, 快速得到近似解, 并且可以明确指出导致原问题无解的关键约束, 从计算结果中可以方便地得到调整的措施, 即调整有功、无功补偿量或者安全约束指标。改进的算法在各种情况下都有很好的收敛性。与其他模型和方法的比较说明了该模型和算法的优越性。该方法可以在多个方面得到实际应用。

概率最优潮流 第7篇

近年来,以风电为代表的大规模间歇性能源的渗透率迅猛增长,其出力不确定性将大幅增加电力系统供需的波动性,系统频率稳定及电网安全将面临新的挑战[1,2,3,4,5]。

随着智能电网发展的进一步推进,源荷双侧协同调度将成为平衡新能源波动的有效手段之一。文献[6]提出了源荷双侧灵活互动的技术内涵和研究框架;文献[7-8]建立了源荷双侧一体化调度的模型,以用电激励负荷、可中断负荷、分时电价负荷等可调度负荷资源作为常规发电的补充,有效提高了风能利用效率;文献[9-10]探索了负荷参与调度的可执行模式,包括虚拟发电机建模方式和多代理需求响应调度模型等。以上研究均验证了负荷侧资源协同发电侧资源参与系统功率平衡有利于电网安全经济运行,是未来智能电网调度的发展趋势。

为了充分考虑间歇性能源等随机因素的影响,更全面、深刻地揭示电力系统的实际运行情况,概率潮流受到越来越多的关注。概率潮流是利用概率统计方法处理电力系统运行中各种随机因素的一种有效方法[11,12],具有代表性的分析方法有:半不变量法[13,14]、点估计法[15,16]、拉丁超立方法[17]和蒙特卡洛抽样法[18,19]。上述算法各有优劣,而基于半不变量法的概率潮流由于其计算速度快、物理概念清晰而具有较好的工程应用前景。然而,半不变量法的前提为假设输入变量相互独立,因此研究中往往隐含着系统不平衡功率由指定的一台平横机承担,忽略了常规可调机组和柔性负荷响应参与功率调节,这与实际电网运行有较大的出入[20]。当系统随机因素较多且随机波动较大时,随机潮流计算结果将产生较大的误差,导致调度人员发生误判等问题。

实际电网中,为了应对风功率的随机性,常通过常规可调度火电、水电以及柔性负荷来响应风电的随机性以实现供需的瞬时平衡。因此,系统不平衡功率与可调度资源的响应量之间有明确的关联关系。为有效地计及源荷双侧响应对潮流分布的影响,本文首先建立了系统随机注入量和响应量的概率模型,并在常规半不变量概率潮流模型的基础上,从不平衡功率基准值的分配和响应随机变量的计算2个方面对算法进行改进。最后,以实际电网为算例,验证了本文所提的计及源荷双侧响应的概率潮流算法的有效性和准确性。

1 系统随机注入量的概率模型

文献[21]用动态随机变量DRV(Dynamic Random Variable)来描述既有一定规律性又带有随机性的现象,即在各种确定性规律基础上叠加相应的随机波动性来建立随机注入量的概率模型,可表示为:

其中,W(t)为随时间t变化的动态随机变量;W0(t)为W(t)中按规律变化的确定性部分;Δ(t)为随机变量,用来反映W(t)中的随机波动部分。

以风电、光伏发电为代表的间歇性电源具有一定的随机性。以风电为例,风电预测精度与预测时间尺度相关,日前风电场风电的预测误差一般为25%~40%,有时可能更大;日内预测误差相对较小,但大多也在10%以上。如式(2)所示,可将风电功率分解为表征确定性的基础部分和表征随机性的不确定部分。

其中,i为节点编号;PW0i为节点i所连风电场风功率的预测值;ΔPWi为预测偏差量。

风电功率预测误差的概率分布[22]可用正态分布、拉普拉斯分布、威布尔分布、分段指数分布等多种模型来表示。本文采用正态分布作为风电功率预测误差的分布模型,如式(3)所示。假设某节点i所连风电场的预测误差xWi服从正态分布N(0,σWi),其中方差σWi取决于预测时间尺度。

由于人类活动既具有规律性,也存在很强的随机性,电力负荷同样可用式(1)的形式表示,见式(4)。以节点i上所连负荷的预测误差xLi为例,可用正态分布具体表示,如式(5)所示。

其中,PL 0 i为节点i负荷的预测值;ΔPL i为该负荷的预测偏差量。目前电力负荷的短期预测精度较高,当采用正态分布模拟预测偏差时,其方差σLi一般较小。

2 源荷双侧响应量的概率模型

当大规模间歇性能源并网后,其间歇性和波动性将增大系统运行中的不平衡功率,由于间歇式发电和负荷预测的随机性,系统不平衡功率表示为:

其中,PUnb为系统不平衡功率;PUnb 0为不平衡功率中的确定性部分;ΔPUnb为随机性部分。

为应对系统中的不平衡功率,传统电网中往往配备一定容量的可调机组即自动发电控制(AGC)机组参与调节,且按照一定的分配系数来承担系统总功率缺额,分配系数大小一般由可调机组的爬坡速率或剩余裕度决定。然而,负荷侧可调度资源具有响应速度快和经济性高等优势[22],在未来智能电网下,源荷双侧共同参与调节是发展的必然趋势。本文将负荷侧可调度资源近似成负的可调发电机,共同承担系统总功率缺额,分配系数由其响应速率或响应潜力决定。系统在一定运行工况下,源荷双侧响应资源是已知的,因此其分配系数也是已知的,表征着各响应资源承担不平衡功率的比例。源荷双侧响应资源的调度量可看作由于间歇性发电和负荷波动引起的不平衡功率的响应量,表示为:

其中,KG和KFld分别为常规可调机组和柔性负荷的功率分配系数;dPGr为常规可调节机组响应不平衡功率的调节量,包含确定性部分KGPUnb 0和随机性部分KGΔPUnb;dPFldr为柔性负荷响应不平衡功率的调节量。可见,由于间歇性电源和负荷预测的随机性,使得系统不平衡功率存在一定的随机性,因此常规机组和柔性负荷的响应调节量也存在一定的随机性。

3 概率潮流模型

3.1 常规半不变量概率潮流模型

节点功率方程可表示为:

支路潮流功率方程可表示为:

其中,ji表示所有和节点i相连的节点j,包括j=i;Pis、Qis分别为节点i的有功和无功注入功率,Pis=PGi+PWi-PLi,Qis=QGi+QWi-QL i;Ui、Uj分别为节点i与j的电压幅值;θij为节点i与j间的相角差;Gij、Bij分别为导纳矩阵元素Yij的实部和虚部;Pij、Qij分别为支路i-j上的有功与无功潮流;bij0为支路i-j容纳的1/2;tij为支路变比标幺值。事实上,由于风电的反调峰作用,其间歇性和波动性往往使得系统产生较大的不平衡功率,基于式(8)的概率潮流模型由平衡节点承担系统所有不平衡功率,往往导致平衡机出力偏离正常值较多并可能产生越限,从而影响计算的精度。

对式(8)和式(9)进行泰勒展开,忽略2次及以上高次项,整理可得:

其中,X、Z分别为节点电压和支路功率,下标0表示基准运行状态;ΔW为注入功率的随机变化量;S0、T0分别为节点电压和支路功率对注入功率变化的灵敏度,S0=J0-1,T0=G0J0-1,G0=(Z/X)襔X=X0,J0为雅可比矩阵。假设所有节点注入功率的随机变化量相互独立,根据半不变量性质,节点i注入功率的k阶半不变量ΔWi(k)为:

其中,ΔWWi(k)和ΔWLi(k)分别为节点i上风电场注入功率和负荷注入功率的k阶半不变量。输出变量的各阶半不变量可由式(12)得到:

其中,S0(k)和T0(k)分别为矩阵S0和T0中元素的k次幂所构成的矩阵。

目前,基于半不变量计算输出变量概率分布级数的方法主要有Gram-Charlier级数、Von-Mises级数等,本文采用Gram-Charlier级数展开,这里不再赘述。

3.2 计及源荷双侧响应的概率潮流

3.2.1 不平衡功率基准值的分配

由3.1节的分析可知,间歇性电源和负荷预测的随机性使得系统不平衡功率以及常规可调机组和柔性负荷的响应调节量存在一定的随机性,假设N为系统中节点个数,PG0i为节点i上常规电源的出力基准值,Ploss为系统网损。若忽略网损的不确定性,可得到:

基于动态潮流[23]的思想,假设节点i上存在可调度的常规机组或柔性负荷,则其不平衡功率分配系数为:

其中,kGi为节点i所连机组的功率分配因子,kGi=0时表示该节点无可调度机组;kFld i为节点i柔性负荷的功率分配因子,kF ld i=0时表示该节点无柔性负荷;。

由此可知,节点i的注入功率可表示为Pi=PG0i+PW0i-PLi-kiPUnb0,将其代入式(8)的有功潮流方程,可表示为:

网损可表示为:

考虑网损的引入,潮流方程雅可比矩阵的修正量为:

可见,有功方程中网损Ploss的引入,将破坏原常规潮流雅可比矩阵的稀疏性。为了利用原常规潮流雅可比矩阵的稀疏性,采用直接修正有功失配量方法求解网损,即在求解动态潮流某一工作点时,在潮流迭代第g步的过程中,首先计算第g-1步的网损变化量:

以该网损变化量修正第g步系统的网损变化量,即在迭代过程中,忽略Ploss的引入对雅可比矩阵的修正量,直接使用原雅可比矩阵进行迭代求解。

3.2.2 计及源荷双侧响应的随机变量计算

由式(7)可得:

记为:

其中,ΔdPR为所有参与不平衡功率分配的机组和负荷的响应随机变量矩阵;K为分配系数矩阵;ΔWn为表征风电场和负荷随机性的变量矩阵。以式(10)第1项节点电压方程为例进行随机变量的计算,随机变量包括风电场随机性、负荷随机性以及响应不平衡功率的响应量的随机性,可表示为:

其中,E为单位矩阵。

3.2.3 求解流程

基于上述分析,计及源荷双侧响应的概率潮流仿真计算流程如图1所示。

4 算例分析

4.1 仿真算例参数

针对某省级电网(151个节点,252条支路)2014年2月23日18:00时的实时断面进行计算。该省风电资源较为丰富,110 k V及以上电网存在11个风电场接入点,风电场总出力为1354.3 MW,风电渗透率为11.2%。测试条件如下:假设风电节点和常规负荷节点均服从正态分布,波动标准差σ按期望值的不同百分比取定;不考虑各节点风电和常规负荷随机变量的相关性;电网中可调度的常规可调机组10台、柔性负荷4个,其接入节点、功率分配因子和基础出力如表1所示。

4.2 多场景下平衡节点累积概率分布情况

设计了以下4种不同场景:(1)风电波动为5%,负荷波动为2%;(2)风电波动为10%,负荷波动为2%;(3)风电波动为20%,负荷波动为5%;(4)风电波动为30%,负荷波动为5%。在不同场景下,分别采用基于半不变量的常规随机潮流法(简称为“常规随机潮流”,下同)与本文方法进行潮流计算,图2为不同场景下平衡节点(表1中机组G10)的有功功率累积概率分布情况。从图中可看出,随着风电和负荷随机性的不断增大,系统平衡机出力的随机性也不断增加。此外,比较图2(a)、(b),使用常规随机潮流计算时平衡机的最大波动范围为[-400,1400]MW,机组G10将承担系统所有不平衡功率波动;采用本文方法,由于系统不平衡功率由表1中所有可调资源共同承担,机组G10的最大波动范围为[510,610]MW,相对常规随机潮流小很多。图3为网内部分可调度机组和负荷的概率密度曲线,其中虚线为对应的初始功率期望值。随着风电和负荷随机性的不断增大,可调资源的响应随机性也逐渐增大。

表2列出了各场景下对应的平衡节点出力越上限概率pup和越下限概率pdown。从表中可以看出,随着风电和负荷随机性的不断增加,使用常规随机潮流法时平衡节点出力越限概率逐渐上升,与实际电网运行情况不符。而使用本文方法计算时,原平衡节点的出力越限概率较小,与实际情况更加吻合。

4.3 风电向上波动30%时可调度机组和柔性负荷的响应分析

通过可调度机组和柔性负荷响应能够平衡风功率和负荷波动的随机性,提升电网对风电的消纳能力。假设在场景3的基础上风电出力将向上波动30%,分别利用本文所提方法和蒙特卡洛法(抽样10 000次)对可调度机组和柔性负荷的响应量情况进行分析,计算结果如表3所示。

从表中可知,本文方法与蒙特卡洛抽样法所得的可调资源的响应量期望和标准差非常接近。图4分别比较了系统各支路有功期望值和标准差的绝对误差,可以看出,2种方法结果非常接近,各支路有功期望值绝对误差最大不超过0.6 MW,标准差绝对误差最大不超过0.7 MW,其相对误差约为2%,验证了本文所提方法的正确性。

MW

4.4 方法性能分析

为进一步对本文方法的误差进行定量分析,采用方差和根均值ARMS(Average Root Mean Square)来度量本文所提方法的有效性,ARMS定义如下。

其中,为蒙特卡洛所求累积概率分布曲线第m个点的值;表示采用常规半不变量方法和采用本文所提方法时对应累积概率分布曲线第m个点的值;M为所取统计点总数,各点间距尽量小。本文设定蒙特卡洛抽样次数为10000次且计及功率在可调度机组和柔性负荷间的分配,节点电压、支路功率误差统计点总数M=1000。

表4列出了系统中部分节点的电压、支路功率的ARMS,并给出了系统电压、有功功率、无功功率的ARMS最大值AUM、APM、AQM和平均值AUA、APA、AQA。分析表4可得如下结论。

a.本文所得概率潮流结果误差均比常规半不变量概率潮流方法小一个数量级。由此表明,本文方法精度大幅提高,所得结果与蒙特卡洛方法基本一致。误差定量分析进一步验证了方法正确性。

b.耗时方面,本文方法速度稍慢于常规方法,主要原因在于计算过程中需要对不平衡功率进行分配并计及响应相关性。

c.经测试,蒙特卡洛方法耗时为274.6 s,而本文方法耗时仅0.265 s,因而相比蒙特卡洛法,本文方法在求解速度方面具有明显优势。

5 结论

随着智能电网的快速发展,为应对大规模间歇性能源带来的系统强随机性,源荷双侧可调度资源是实现系统供需瞬时平衡的有效有段。为了有效反映其对潮流分布的影响,本文提出了一种计及源荷双侧响应的概率潮流算法。首先,分析了系统不平衡功率与可调度资源响应量之间的概率表征方法;其次,所提概率模型合理分配了系统不平衡功率,使得计算结果不依赖于平衡节点的选择,结果更为准确。仿真算例结果表明,所提方法具有较好的实际应用价值,可为大规模间歇性能源并网后的系统分析、安全评估等提供参考依据。

摘要：为有效计及源荷双侧响应对潮流分布的影响,基于系统随机注入量与响应量的概率模型,从可调度常规机组和柔性负荷的不平衡功率基准值的分配、响应随机变量的计算2个方面对基于半不变量法的概率潮流模型进行了改进,并提出了其求解流程。该算法避免了传统概率潮流模型由单平衡机承担系统不平衡功率而导致的潮流结果误差较大的弊端,计算结果更加符合实际潮流分布的情况。对某实际电网的算例仿真分析验证了算法的有效性和实用性。