正余弦不等式范文

2024-06-02

正余弦不等式范文（精选6篇）

正余弦不等式第1篇

关键词：正余弦图像,“坐标系”法,正余弦不等式

“坐标系”法的依据：

把它们体现在坐标系上，得到：

同理可得cosx的坐标系：

学生可以在理解的基础上记住：正弦sinx在坐标轴上的值按逆时针顺序依次为：0, 1, 0，-1;余弦cosx在坐标轴上的值按逆时针顺序依次为：1, 0，-1, 0.

应用一：求坐标轴上角的正余弦值.

例1：计算sin180°-cos270°+sin360°+cos0°-cos180°

点评：学生碰到坐标轴上角如：180°、270°的正余弦，要么容易记错，要么用诱导公式推导，或者用三角函数的定义推导，但是如果学生记住以上的坐标系，则解题既快又不会错.

应用二：已知正余弦的范围，求角的范围.

例2：已知y=sinx, x∈R，求满足的x的集合.

首先用图像法解：

第一种解法：

从图像得出符合条件的集合为：

第二种解法:

从图像得出符合条件的集合为

点评：正余弦是周期函数，研究图像时，常取一个周期考虑，然后再加上周期性.正弦的一个周期常取[0, 2π]，余弦的一个周期常取[-π，π]，得到上面第一种解法，图像分为三段，答案比较复杂.第二种解法有所改进，取的一个周期是[，]，图像分为两段，答案比较简洁.学生在解题时常会困惑到底该取哪个周期比较合适，反而容易出错.

“坐标系”法：

第一步(准备)：画正弦坐标系，坐标轴按逆时针标上0, 1, 0, -1;

第二步(画终边)：在一、二象限用实线画正弦值为的角的终边，在三、四象限用虚线画正弦值为的角的终边，此时坐标平面被分成四个区域;

第三步(定区域)：找出正弦值介于的区域，并用带有逆时针方向箭头的弧线标出;

第四步(确定角)：在同一周期取定四条终边对应的四个角，遵循原则：按逆时针方向角度从小到大.

结论：

点评：本方法最容易错的就是第四步，所以第三步中要用带有逆时针方向箭头的弧线标出区域，目的就是为了区分角的大小.第一象限那条终边对应的角如果取，而左边区域箭头指向它，所以第四象限那条终边对应的角要比小，应取，而不是.

应用二：已知角的范围，求正余弦的范围.

例3：已知，求y=cosx的取值范围.

第一步(准备)：画余弦坐标系，坐标轴按逆时针标上1, 0, -1, 0;

第二步(画终边)：用实线画对应的终边，用虚线画对应的终边，坐标平面被这两条终边分为两个区域;

第三步(定区域)：找出角介于和的区域，并用带有逆时针方向箭头的弧线标出，目的：从小角指向大角;

第四步(观察值)：顺着箭头方向可以看出，cosx的值从增到1，再从1减到

结论：

点评：用“坐标系”法解已知正余弦的范围，求角的范围和已知角的范围，求正余弦的范围方法大致是一样的，这个方法的优点就是不需要作图，解题速度快且容易做对.

正、余弦定理练习2 第2篇

1.在ABC中，若

sinAcosBa

b，则B的值为（）

A．30B．45C．60D．90

2.在ABC中，已知角B=60，C=45，BC=8，AD⊥BC于D，则AD长等于（）A．4(31)B．4(31)C．4(33)D．4(33)3.在ABC中，bc21，C=45，B30，则（）

A．b1，c2B．b

2，c1

C．b

2，c12D．b12

2，c22

4.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知A＝

a＝3，b＝1，则c等于()A．1B．2C.－3

5.在△ABC中，三内角A、B、C分别对三边a、b、c，tanC＝4

3，c＝8，则△ABC外

接圆半径R为()A．10B．8C．6D．5

6.已知△ABC的三个内角A，B，C，Bπ

3且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中线AD的长为________．

7.在ABC中，已知b3，c33，B30，则a___________．

8.若一个锐角三角形的三边分别为2、3、x，则x的取值范围是_______________

9.在ABC中，已知A30，B120，b5，求C及a、c的值；

10已知△ABC中，∠B＝45°，AC＝10，cosC＝25

正、余弦的“一次式” 第3篇

1. 同角“一次式”

例1已知, 求下列各式的值.

(1) sin3x+cos3x; (2) sin4x+cos4x;

例2已知在△ABC中, sin A+cos A=1/5,

(1) 求sin A·cos A;

(2) 判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形;

(3) 求tan A.

解析 (1) ∵sin A+cos A=1/5, (1)

∴两边平方, 得1+2sin A·cos A=1/25,

∴sin A·cos A=-12/25.

(2) 由 (1) sin A·cos A=-12/25<0, 且0

可知cos A<0, ∴A为钝角.∴△ABC是钝角三角形.

说明例1、例2的条件为正、余弦的同角“一次式”, “平方”后再用.

例3已知, 求下列各式的值:

又, ∴sinα>0, cosα<0.

说明例3的条件为正、余弦的同角“一次式”, “平方”后再用;所求 (1) 也为正、余弦的同角“一次式”, “平方”后再求.

2. 不同角“一次式”

例4设A, B, C∈ (0, ) , 且sin A-sin C=sin B, cos A+cos C=cos B, 则B-A等于 () .

解析据已知可得sin A-sin B=sin C, cos A-cos B=-cos C, 将两式两边平方并相加得

2-2cos (B-A) =1圯cos (B-A) =1/2,

故.答案:A.

说明例4的条件为正、余弦的不同角“一次式”, “平方”后再用.

正余弦定理测试题第4篇

一、选择题

1.已知三角形三内角之比为1：2：3，则它们所对边之比为（）

A.1：2：3B.1:2:C.1::2D.2:3:

22.有分别满足下列条件的两个三角形：（1）B30,a14,b7（2）B60,a10,b9

那么下面判断正确的是（）

A．（1）只有一解（2）也只有一解B．（1）有两解（2）也有两解

C．（1）有两解（2）只有一解D．（1）只有一解（2）有两解

3．在△ABC

中，已知角B450,cb，则角A的值是（）A．15°B．75°C．105°D．75°或15°

4．边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和的（）

A．90° B．120° C．135° D．150°

5．在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC=3∶2∶4，那么cosC的值为（）

A．－1 4B．1 4C．－ 2 3D．2

36．△ABC中，∠A=60°，a

A．有一个解

7.6,b4，那么满足条件的△ABC（）C．无解 D．不能确定 B．有两个解(abc)(abc)3ab，则c边所对的角等于（）

A．45B．60C．30D．150

8.锐角三角形的三边长分别为x+x+1,x－1和2x+1(x＞1)，则最大角为（）

A．150°B．120°C．60°D．75°

9．在中，则三角形的形状为（）2

2A．直角三角形B．锐角三角形C．等腰三角形D．等边三角形

10.三角形三条边如下：（1）3，5，7（2）10，24，26（3）21，25，28，其中锐角三角形，直角三角形，钝角三角形的顺序依次是（）

A．（3）（2）（1）B．(1)(2)(3)C．(3)(1)(2)D．（2）（3）（1）

11.三角形ABC周长等于20，面积等于3,A60，则a为（）

A.5B.7C.6D.8

正余弦定理测试题

12．某人朝正东方向走x km后，向右转150°，然后朝新方向走3km，结果他离出发点恰好km，那么

x的值为

A．3

二、填空题（）C．2或D．3B．2

313．在△ABC中，a2,b6,A30,则C

14．在△ABC中，若∠B=30°,AB=2,AC=2,则△ABC的面积为___。

15．在△ABC中，(sinAsinC):(sinCsinA):(sinAsinB)4:5:6，则最大角的度数是___

16．在△ABC 中，A=3°，b=12，S△ABC =18，则sinAsinBsinC 的值_______。abc

三、解答题

17．已知钝角△ABC 的三边a=k,b=k+2,c=k+4, 求k的取值范围。

18．根据所给条件，判断△ABC的形状.

（1）acosA=bcosB；(2)

19．在△ABC中,已知C60,AB31,线段AC上有一点D，AD=20，BD=21，求BC长。

20.a、b、c为△ABC的三边，其面积S△ABC=123,bc=48,b－c=2,求a.21.已知a2b2c2bc,2b3c,a，求ABC的面积。

22.（2011.陕西）叙述并证明余弦定理。

正余弦编码器细分技术的抗干扰设计第5篇

正余弦编码器(sin/cos)是一种输出正交的正余弦信号的光电编码器。该类编码器采用细分技术后可获得比普通TTL光电编码器高1 000倍以上的精度，而其成本远低于串行通信传输的超高精度光电编码器。由于正余弦编码器性价比高，其在高精度运动控制领域应用越来越广泛。

为了提高正余弦编码器的测量精度，需要求解当前位置在其正余弦信号周期内的精确相位来获得更高的精度，该求解相位的方法即为细分技术。常用的软件细分方法有直接求反正切法[1]、Taylor展开计算法[2]、查表法[3]、闭环跟踪法[4,5]、相位编码细分算法[6]，另外还有硬件细分方法[7]、高频载波细分方法[8]等。关于各类细分算法的细分误差与补偿方法，文献[3,9]也做了较为详细的研究。

然而，在很多应用场合，尤其是大功率伺服驱动设备中，正余弦编码器的信号传输很容易受到干扰。被干扰的信号对细分效果有很大的影响，有时不仅无法提高精度，反而会产生异常输出，使得系统无法正常工作。

针对上述问题，本文提出了两种抗干扰设计方案：一种是基于迟滞比较器的抗干扰设计方法，该方法利用比较器的迟滞区间来抑制比较点附近的小幅干扰;另一种是基于D触发器的抗干扰设计方法，该方法采用交错触发方式以保证信号在其最稳定的区域(斜率最小点附近)传给下一级。同时，本文结合正余弦编码器的细分技术，给出了与上述抗干扰设计相对应的软件处理方法。MULTISIM仿真与实验测试结果验证了这两种方法在抑制干扰的有效性。

2 正余弦编码器的细分技术

在正余弦编码器的细分技术中，需要使用含有两路AD采样通道和一个QEP模块的微控制器(MCU)，其典型信号接口如图1所示。图1中正余弦编码器输出A/B两路正交的正弦信号(sin)与余弦信号(cos)，经过差分调理之后转为以MidVolt(一般选为ADC基准电压的中点)为中心的正余弦电压信号uA/uB,uA/uB接到MCU的AD模块上，同时经过比较器产生正交的方波信号接到MCU的QEP模块上。MCU既可以通过QEP测量脉冲变化数目Incr(正交编码输入会有4倍频效果)，也可以通过AD采样到uA/uB，由此即可进行信号的细分运算。

正余弦编码器的线数为机械每圈A/B输出正余弦信号的周期数。以HEIDEHAIN公司ERN1387编码器为例，其编码器线数为2048，即机械旋转一圈A/B输出2 048个正余弦周期，Incr可以计数到8 192个脉冲。如图2所示，(Incr/4)为编码器转过的整周期数，φ为非整周期中的电角度(设编码器一个信号整周期为360°(电角度)，根据细分算法由uA/uB求解得到。那么当前位置的机械角为ϕme ch(相对初始位置所在正弦周期的零度位置)，

式中：Incr的初始值为初始位置时φ所在区间。

可以采用直接求反正切法进行细分，即根据下式直接求得φ：

式中：up为正余弦信号的峰值电压;umid为ADC基准中点电压(MidVolt)。

3 正余弦编码器的抗干扰设计

在大功率运动控制应用场合(如电梯曳引机驱动器)，驱动器中的开关电源与功率模块都工作在高频开关状态，会产生很强的传导干扰和辐射;功率传输线和电机的交变电流也会在空间产生强烈的辐射干扰。这些干扰都将导致正余弦编码器的信号传输受到一定程度的影响，从而导致脉冲计数错误和AD采样不准，对信号的细分处理产生较大影响，甚至会破坏系统的稳定性。因此，本文提出了两种抗干扰设计方案：一种是基于迟滞比较器的抗干扰设计方法;另一种是基于D触发器的抗干扰设计方法。

3.1 基于迟滞比较器的抗干扰设计

基于迟滞比较器的抗干扰设计接口电路如图3所示[2]，信号传输线必须采用屏蔽线(屏蔽层需可靠单点接地)，差分信号接到控制系统后，先在差分线之间接入一个电阻进行阻抗匹配(提高信号传输能力)，然后经过差分调理至以MidVolt为中心、峰峰值为ADC基准电压的正余弦电压信号A1/B1，接着经过R1C1滤波接到AD采样口，同时经过迟滞比较器产生方波信号接到QEP模块。

模拟信号的差分调理电路部分可以参考HEIDEHAIN官方文档接口电路参数设计[10]，使正常编码器信号可以通过、同时在一定程度上抑制高频干扰。迟滞比较器的迟滞区间要设置得当，以保证能够消除信号抖动与干扰的同时方波相位滞后不能过大(最好不超过30°)。

传统细分技术中认为umid为AD采样范围的中点，即对12位AD采样而言认为umid等于2 048。本设计中将MidVolt接至AD采样口，用实际采样的电压来计算，以保证umid的准确度，消除了MidVolt不稳定及漂移带来的直流分量误差[10]。

文献[2]在信号输入端加入了跟随器，本设计不再使用跟随器。因为跟随器输入阻抗很大，即输入电流几乎为零，减小了编码器信号线流过的电流，降低了信号传输的信噪比。

本设计加入迟滞比较器之后，经过处理接入MCU的信号波形如图4所示，图4中实线为正转方向，虚线为反转方向。A1是差分调理后的A相信号波形，Ua是经过R1C1低通滤波后的A相信号波形，QA为经过迟滞比较器的A相方波信号波形。

从图4可以看出，即使正弦波型信号A1/B1在比较点附近有小幅干扰波动，只要波动不超出迟滞区间(迟滞区间可以根据干扰的强度配置R2/R3适当调节)，输出方波QA/QB就不受影响。因此，基于迟滞比较器的抗干扰设计具有一定的抗干扰能力，能够消除比较点附近信号小幅波动的影响。

由图4可以看出，Ua相对A1有一定的相移，相移大小与信号频率和R1C1低通滤波截止频率相关。为保证信号衰减不超过-3 dB，要求R1C1低通滤波截止频率高于编码器信号最高频率。

由于R1C1低通滤波的相移与迟滞比较器的相位滞后，造成Ua与QA相位不一致，导致在采样点时刻细分算法得到的φ与QEP计数得到的区间(Incr%4)不一致。为消除区间判断偏差对ϕmech计算造成影响，需要在软件算法上做相应的修正处理：

该修正方法兼容±180°偏差，相对文献[2]中的处理(只兼容±90°偏差)，其通用性更好。

3.2 基于D触发器的抗干扰设计

基于D触发器的抗干扰设计接口电路如图5所示，其中信号差分调理电路、模拟信号低通滤波与图3相同，其主要区别在于方波信号的产生机制。为了增强抗干扰性能，本设计采用基于D触发器的交错触发方式，即用A相信号的跳变边沿触发B相信号输出、B相信号的跳变边沿触发A相信号输出，以保证在信号最稳定时刻输出。

本设计各环节的信号波形如图6所示，A1是差分调理之后的A相正弦信号波形，A2是A1经过比较器(无迟滞)后输出的方波信号，A3是A2在跳变边沿产生的低脉冲信号，QA是在B3上升沿触发输出的A2信号;同理，B1是差分调理之后的B相余弦信号波形，B2是B1经过比较器(无迟滞)后输出的方波信号，B3是B2在跳变边沿产生的低脉冲信号，QB是在A3上升沿触发输出的B2信号。其中R4C4的设计要满足其时间常数远小于最高运行频率时的正弦信号周期要求(小于信号周期的1/20)。

从图6中可以看出，D触发器在触发输出时输入信号都是在最稳定区域(正余弦波形A1/B1的波峰或者波谷、方波A2/B2中心)。因此，基于D触发器的抗干扰设计具有极强的抗干扰能力，能够消除信号抖动与尖峰干扰的影响。

本设计中，由于交错触发方式造成QA/QB方波输出相对正余弦波形A1/B1滞后90°，因而脉冲计数Incr需要补偿一个脉冲。补偿之后的区间判断偏差修正方法与基于迟滞比较器的抗干扰设计相同。

4 仿真与实验

MULTISIM仿真中，采用受干扰(幅值为0.8 V的脉冲干扰)的频率50 kHz、峰峰值1 V的正余弦信号作为编码器信号，分别接入典型细分接口电路、基于迟滞比较器设计的细分接口电路和基于D触发器设计的细分接口电路，其信号波形如图7～图11所示。

图7、图8分别为相同干扰输入时典型细分接口电路的信号波形图和基于迟滞比较器的抗干扰细分接口电路的信号波形图，其中1为编码器输出的受到干扰的信号，2为A1,3为QA,4为Ua。由图7可以看出，干扰造成输出QA方波信号输出错误(边沿处出现高频脉冲)，这将导致QEP计数错误、细分结果异常。由图8可以看出，QA为方波信号不受干扰影响，说明迟滞比较器有一定的抗干扰作用。

图9～图11为在相同干扰输入时基于D触发器设计的抗干扰细分接口电路的信号波形图。图9中1,2,3,4分别为A1,A2,A3,QA的波形;图10中1,2,3,4分别为B1,B2,B3,QB的波形;图11中1,2,3,4分别为QA,Ua,QB,Ub的波形。由图11可以看出，QA/QB方波信号不受干扰影响(相对A1/B1滞后90°)，充分说明基于D触发器的抗干扰设计具有抑制尖峰干扰的作用。

实验测试平台由电梯专用变频器和11.7 kW,1 000 kg永磁同步电梯曳引机(配有HEIDEHAIN的ERN1387正余弦编码器)组成。变频器的PG卡(编码器信号接口电路)有3种：第1种是典型细分接口电路;第2种是基于迟滞比较器设计的细分接口电路;第3种是基于D触发器交错触发设计的细分接口电路。电梯在空载状态下测试(电梯空载相当于曳引机满载，电流很大，系统所受干扰最为严重)：第1种PG卡几乎不能运行;第2种PG卡基本能正常运行，但偶尔会报编码器故障;第3种PG卡可以长期可靠运转。实验证明，基于迟滞比较器的抗干扰设计具有一定的抗干扰作用，基于D触发器交错触发的抗干扰设计具有极强的抗干扰性能。

5 结论

本文提出了基于迟滞比较器和基于D触发器的抗干扰设计。仿真与实验结果证明基于迟滞比较器的抗干扰设计对比较点附近小幅干扰有显著的抑制作用;同时，基于D触发器的抗干扰设计对大幅抖动和尖峰干扰的抑制作用较好。

参考文献

[1]Martin Staebler.TMS320F240 DSP Solution for High Resolution Position with sin/cos Encoders[M].Texas Instrument Digital Signal Processing Solutions,1998.

[2]Burke J,Moynihan J F,Unterkofler K.Extraction of High Resolution Position Information from Sinusoidal Encoders[C]//in Conf.Rec.Intelligent Motion/PCIM,2000:217-222.

[3]李予全,刘新正,邱德锋,等.正余弦编码器细分算法误差分析及补偿[J].微电机,2010,43(11):42-47.

[4]吴立,罗欣,沈安文,等.基于闭环跟踪法的正余弦编码器细分技术[J].计算技术与自动化,2011,30(4):5-8.

[5]马泽龙,唐小琦,宋宝,等.编码器正余弦信号跟踪环路细分技术研究[J].电气传动,2012,42(5):50-52.

[6]陈晓荣,陈淑芬,杨甫勤.增量式编码器的相位编码细分研究[J].仪器仪表学报,2007,28(1):132-135.

[7]周雪连,胥布工,郭国坤.正余弦编码器细分技术研究[J].现代电子技术,2012,35(3):164-166.

[8]洪小圆,王鹿军,吕征宇.一种新颖的正弦正交编码器细分方法[J].电源学报,2011(1):7-11.

[9]王显军.光电轴角编码器细分信号误差及精度分析[J].光学精密工程,2012,20(2):379-386.

正余弦不等式第6篇

期中考试中有这样一道试题:某观测站C在城A的南偏西20°的方向上, 由A城出发有一条公路, 其走向是南偏东40°, 在距C处为31千米的公路上B处, 有一人正沿公路向A城走去, 走了20千米后, 到达D处, 此时C、D间距离为21千米, 问:这人还需走多少千米到达A城?

学生有这样两种解法:

解法一设AD=x.由题意得BC=31, DB=20, CD=21, ∠CAD=60°.

在△BCD中, 由余弦定理, 得

$\begin{array}{l} \cos B = \frac{31^{2} + 20^{2} - 21^{2}}{2 \times 31 \times 20} = \frac{23}{31} ‚ \\ \sin B = \sqrt{1 - (\frac{23}{31})^{2}} = \frac{12 \sqrt{3}}{31} . \end{array}$

在△ABC中, 由正弦定理, 得

$\frac{A C}{s i n B} = \frac{B C}{s i n A}, ∴ A C = \frac{31 \times \frac{12 \sqrt{3}}{31}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 24 .$

在△ACD中, 由余弦定理, 得 $\cos 60 ° = \frac{x^{2} + 24^{2} - 21^{2}}{2 \times 24 \times x}$ ,

整理得x2-24x+135=0, 解得x=15或9.

解法二在△BCD中, 由余弦定理, 得

$\cos B = \frac{31^{2} + 20^{2} - 21^{2}}{2 \times 31 \times 20} = \frac{23}{31}, \sin B = \sqrt{1 - (\frac{23}{31})^{2}} = \frac{12 \sqrt{3}}{31} .$

在△ABC中, $\sin B = \sin (60 ° + B) = \frac{35 \sqrt{3}}{62} .$

$\begin{array}{l} 由正弦定理 ‚ 得 \frac{A B}{\sin ∠ A C B} = \frac{B C}{s i n A}, \\ ∴ A B = 35, ∴ A D = 35 - 20 = 15 . \end{array}$

两种方法得出的结果不同, 比较解题过程:第一种方法最后用余弦定理得出解为9和15;第二种方法最后用正弦定理得出解为15.这就产生了疑问:一个具体的题目用正弦定理解题和用余弦定理解题得出的结果不统一吗?事实上, 两种解法最后都是已知三角形两边及一边的对角来解三角形.从平时做题中我们可以总结出:已知三角形两边及一边的对角解三角形, 用正弦定理和用余弦定理得出的结果是统一的.下面就来论证在“解三角形”这一章内容中, 已知两边及一边的对角解三角形, 用正弦定理解题和用余弦定理解题得出的结果是统一的.

在△ABC中, 已知a, b, A, 三角形解的情况如下:

1.若A是锐角

2.若A是钝角

这是对a, b, A之间满足一定关系△ABC解的情况, 下面从方程的解的角度来论证用余弦定理解三角形, 解的情况是和上面相吻合的.

由余弦定理, 得a2=b2+c2-2bccosA, 整理得, 关于c的一元二次方程c2-2bccosA+b2-a2=0的判别式为Δ=4b2cos2A-4b2+4a2=4a2-4b2sin2A.