数学概念的学习

数学概念的学习（精选12篇）

数学概念的学习 第1篇

数学概念是构成抽象数学知识的“细胞”，是进行数学思维的第一要素。使学生掌握正确、清晰、完整的数学概念，有利于帮助学生掌握基础知识、有效发展学生的思维，提高学生探索和解决实际问题的能力，形成一定的数学思想和观念。有效的概念教学，一方面是让学生借助自己的知识和经验，在教师的指导下观察一定数量具体事例并抽象、概括出概念的本质属性。另一方面是引导学生将新概念纳入到原有的认知结构中，在有效体验中促进学生数学概念的掌握。

1. 感知素材，形成清晰表象。

概念教学首先是引入概念，概念如何引入，将直接关系到学生对概念的理解和接受。在引入过程中，要注意使学生对所感知材料加以观察、分析或通过语言文字形象描述。建立表象的关键在于学生观察所提供的材料时，能否抓住事物的共性。例如，一位教师在教学“三角形的认识”时，准备了4厘米长的小棒3根，3厘米、2厘米、9厘米长的小棒各1根，先请学生用9厘米长的小棒去搭三角形，学生发现：随便配上哪两根小棒都不能搭成三角形，为什么呢?学生认为：这根小棒太长了，其余两根小棒太短了。“如果把它们换掉，能搭成吗?”学生积极尝试，结果搭成了各种三角形。孩子们兴趣盎然，积极主动地投入到操作活动中，在亲自操作中做出有序的观察，获取了有效的信息，初步感知了三角形的特征。教师为学生提供的学习材料，及时让学生领悟了数学的思想和观念，学会了用数学语言交流，培养了实事求是、严谨认真的科学态度，让学生在体验中感知，形成了清晰、准确的表象。

2. 分析探究，建立概念模型。

教师除了提供丰富、准确的感性材料让学生形成鲜明的表象外，还必须在此基础上，引导学生分析和探究比较它们的属性，并及时抽象出共同的本质属性;引导学生主动参与概念从具体到抽象的概括过程，建立起数学概念的语言和形式上的模型。我在教学“分数的意义”一课时，为帮助学生建立分数的概念模型，安排了如下的活动。

师：把8支铅笔平均分给2位同学，每位同学得到的铅笔数是多少?

生：4支。

师：把10支铅笔平均分给2位同学，每位同学得到的铅笔数是多少?

生：5支。

师：把所有的铅笔平均分给2位同学，每位同学得到的铅笔数是多少?

生：

师：如果把它平均分给5位同学呢?10位呢?50位呢?如果是100支铅笔呢?1000支铅笔呢?500本练习本呢?

这样做沟通了具体数量和抽象数量之间的联系，让学生深刻感知把一个整体平均分的含义，帮助学生有效地建立了分数的概念模型(把文具盒里的铅笔平均分给几位同学，每位同学得到的铅笔数就是几分之一)。这样学生就在老师有意识、有计划的指导下掌握了学习数学的方法，增强了学习能力。

3．错例比较，理解概念意义。

现代教学论主张“学生要想牢固地掌握数学，就必须用内心的创造与体验来学习数学”。因此，有效的数学学习在于让学生自己去发现，教师可以创设情境引导发现。我在学习完长方体的长、宽、高之后，设计了这样一个问题：利用小方块摆长方体，并说说是怎样想的。

生1：我是这样摆的(图1)。(绝大部分同学都是这样摆的)

生2(迟疑地)：我这个长方体(图2)好像和别人不一样。

师提问：你更倾向于哪种观点，是不是长方体?(学生纷纷举手表决回答)

生3：它是不完整的，没有6个面、12条棱和8个顶点，不是长方体。

生4：我们组在摆的时候是紧扣长、宽、高来的，我们觉得只要摆出相交于同一顶点的三条棱的长度，就能确定这个这个长方体的大小了。

生5：我反对，他们讲的不是长方体，性质已经变了。

生6：我们知道它虽然不完整，但根据长、宽、高是完全可以想象出来的啊!

生7:……

对于学生在课堂上出现的错误或是认知矛盾，我没有急于解释、下定论，而是把错误抛给学生，把错误作为一种教育资源，引导他们从正反两面去修正错误，给他们一些研究争论的时间和空间。对于片段中的问题争论的结果已显得不那么重要了，学生在争论中分析、反驳，在争论中明理，在争论中内化知识，从而形成学习智慧。这样的课堂呈现出“万紫千红春满园”的景色，学生在情境中生动地实践、体验、探究，尽可能地去重新经历知识的形成过程，在这个过程中体验和领悟、探究和发现、把握和发展。这一富有创造性的设计促使学生获得成功体验，丰富了审美情感，使学生感受到智慧的力量，增强了学生的自豪感与自信心。

4．实践体验，凸显概念价值。

数学概念的学习方法 第2篇

例如：“通分”让学生回答下面每组中两个分数的大小：

显然，(1)～(4)题学生能很快回答，第(5)题是新授例题，到底怎样回答?学生处于暂时的困惑，教师抓住学生急需求教于老师的这个时

的回答可用：画跋匕较大小、化成同分母后比较大小、化成同分子后比较大小、化成小数比较大小等，进而，教师再引导学生分析比较上面哪一种方法

数学概念的学习 第3篇

关键词：前概念；数学概念；学习活动；数的认识

数学课堂上，教师为孩子们提供了10个物体（有的是10根小棒，有的是10个圆片，有的是10本书）让学生数数，有的孩子按照数的顺序背诵出数的名称，明明只有10个物体，有的孩子却背到了12，发现周围没有同学再念了，他才停了下来，老师问：“这里有多少个圆片呀？”该生答：“12个”。老师问：“小棒、圆片、本子谁的数量多？”生答：“书多”。

从这个案例中我们不难看出，教师希望用数学的方式学习数的概念，但是学生还停留在自己生活经验层面的理解上，这在教学中就呈现出了很大的冲突，影响着概念教学。

这样的情况在小学生课堂数学概念学习中经常出现，不由得引起我们的反思：影响学生进行数学概念学习的因素是什么？如何设计有效的数学概念学习活动？在科学理论的指导下，我们用前概念的理论来解答数学概念教学中的这两个问题。

前概念是学生在接触科学的知识前，对现实生活现象所形成的经验型概念，这些概念具有生活化和片面性的特点，在正式的课堂学习中，学生往往会不自觉地用前概念来解读正式的概念，这正是教师进行概念教学的基础，在数学概念教学中，老师必须分析学生前概念的几种情况，并在此基础上进行活动设计。

一、影响小学生数学概念学习的前概念分析

要弄清楚学生概念学习的前概念影响因素，我们需要首先弄清楚方向，即概念教学究竟要让学生获得什么？在此基础上弄清楚起点，即进行前概念的情况分析。

（一）小学生数学概念学习的意义和内容

数学概念是代表一类享有共同数学特性的人、物体、事件或观念的符号，数学概念是整个数学的基石，是数学思维的基本单位，建构科学的数学概念对数学学习非常重要，科学的数学概念有助于学生将大量的数学信息组织成有意义的单位，从而大大简化了思维过程，用科学的数学概念对数学信息进行处理，从而解决数学问题，有利于学生形成科学的数学思维方式。

数学概念的学习内容包括概念的数学符号、内涵（概念的数学意义）、外延（概念所代表的生活实例）、规则（概念所蕴含的数学关系）。如在“数的认识”教学中，学生就要弄清楚数的意义（数与社会生活的联系）、数的组成（基本的计数单位）、数的读写（根据数位顺序表读写数）、数的排序（大小比较），为了进一步研究数，有时还需要将数进行分类和命名。

（二）小学生学习数学概念的前概念分析

小学生在进入正规学校学习之前有通过辨别学习、积累经验而掌握的数学概念，由于之前的学习大多呈现非数学思路的特点，这些数学前概念如果和科学数学概念是一致的，学生的概念学习活动就很容易进行，如果不一致，就会成为不良的学习影响。所以，必须分析出学生的前概念的制约性影响，这是进入数学概念教学的基础，我们以“数的认识”这一学习内容对一年级学生进行访谈，让他们说出对数的意义、数的组成、数的排序的原有认识，发现了前概念对数学科学概念学习的几种影响：

1.数学概念内涵理解模糊、狭隘

学生对数学概念究竟是什么理解不完整，或者不清晰。例如“1的认识”，很多孩子知道一个人，一个萝卜，这样的单个物体可以用1来表示，但是一家人、一筐萝卜这样同类物体的一个集合能用1来表示却很困难。

2.数学概念外延的错误认识

学生对数学概念和生活的联系不了解。如；当我们在生活中寻找能用8来表示的物体时，有的孩子说，葫芦也可以用8来表示，很明显他认为葫芦的形状像8所以可以用8来表示。

3.数学概念规则未能建立

很多学生对于数学概念的认识仅仅停留在符号层面上，对于内部的关系性规则不能理解。如在一年级数的认识中对计数单位不明确，计数的位置原理缺乏模型。在认识12这个数时，他更多的认为是1和2放在一起，1放左边、2放右边这个数就是12，很难把12具象为1个10和2个1组成的数。

二、设计有效的课堂数字学习活动

在数学概念学习活动设计中，要将相关的影响因素考虑进来，尽量消除负面影响。

（一）设置概念的认知冲突情境，暴露学生的数学前概念

课堂上我们首先要暴露学生的前概念，才能充分了解学生有什么样的认知基础，认知有无偏差甚至错误。使他的非正式认知外显，发现学生共同的前概念和学习新的数学概念时的难点，从而寻找到师生共同学习的最佳起点。这样建立在学生已有知识基础上的教学活动才是有针对性的教学活动。

在数学课堂上，教师要营造宽松的学习氛围，创设学生独立面对学习对象的情境，让学生有机会展现自己本来的想法。

如，在学习一年级1～5的认识时，我们让学生画不同的数字实物表象，丰富数的意义认知。在认识“1”时，课前让学生画能用1来表示的物体，发现学生会画：1个人、1个萝卜、1个太阳、1本书等较小单个物体，而1筐萝卜、1座山、1条河等较大物体或是1个集合，学生就很少涉及，老师就清楚地知道学生认知的起点在哪里，课堂上教师在“1个萝卜”和“1筐萝卜”“1块石头”和“1座山”的对比中，学生能真正理解到“1”可以表示1个个体（1个萝卜），也可以表示这类个体的1个集合（1筐萝卜）；可以表示很大的物体（1座山），也可以表示很小的物体（1块石头）。

（二）建立科学的概念实践模型，丰富学生的数学概念感性认知

在学生暴露了前概念之后，老师需要让学生在实践操作中丰富感性认知，让学生从多角度、多层面知道概念的外延和意义。

小学生思维以直观形象为主，多是借助生活中的多种原型，积累丰富的经验从而掌握概念的，所以在学习中老师要允许学生使用他们自己非正式的问题解决策略，然后指导学生的数学思维向更有效的策略和更深入的理解发展，并在活动中大致形成一种普遍持有的模型，这可以是视觉的、语言的、情境的支持，帮助他们把自己的经验与正式的数学词语、符号和方法联系起来。以一年级“数的认识”版块教学为例，我们有这样一些方法：

1.猜：用猜的活动让学生对数的大小、位置有更明确的认识

2.拿：训练孩子对数量的估计能力

3.摆：培养学生对数的整体把握及对计数单位的深刻理解

例如，在认识11～20的时候，教师首先让学生摆不同数位的数字符号实物，建构数位位置意义。让他们拿出十几根小棒摆放在桌上，并能让别人一眼就可以看出。很多孩子自然就想到把十根和单根的分开，这时老师再指导他们用一根绳子将十根的捆上。接着再闭眼想，在脑海里浮现11根，12、13、14…20的具体图像。这个时候慢慢的他们的头脑里就建立了整捆和单根的区别，我们再来教学计数单位和数位的认识，学生就有了数位的基本模型。

（三）提供比较鉴别的概念情境，引发学生的自我反思

学生对概念有了多角度和多层面的感性认知后，教师要提供比较、鉴别的情境，让学生在比较鉴别中既理清自己的思路，不断深化自己的数学理解。

以数的认识为例，我们经常运用这样的方法提供比较情境：猜一猜我想的数，谈一谈我的想法，说一说我的进步。

如，在对数的大小认识中，我们在课堂中还有一些以同桌为单位进行猜数比赛，甲面对黑板，乙背对黑板，教师在黑板上写数字，甲猜数，乙提示“比这个数大一些（或大得多、小一些或小得多）”。比一比哪一对猜出的数最多。“猜数”这一数学游戏非常有意思。游戏中通过一个同学想数，另一个同学来猜，两个人在用数学语言不断交流，不断修正数的大小的过程中，学生不仅加深了“多得多”“多一些”“少一些”等这些数学语言的理解，更加体验到数量之间的大小关系

（四）激励数学概念的表达内化，确保学生对数学概念的思维认知

对概念的学习学生需要由知觉水平上升到思维水平上的认识和运用，这样才是完整的，教师要为学生提供运用概念的机会，让学生将概念表达内化是一个很重要的方式。

让学生的思维看得见并摸得着的一个重要方法就是数学对话，在数的认识中我们会提供表达的情境，让孩子在情境中运用数学语言来进行描述，凝练对数的认识，有利于对数的认识更完整和深刻。

在集中认识了10以内的数和100以内的数后，可采用说说“我最喜欢的数宝宝”的活动，在叙述自己选定的数的时候，可以从形状、组成、相邻数、数的分解组成和相关的式子等来叙述。让孩子将数与自己的生活联系起来，加深对数的内涵、外延和计数原理等的认识。

在10以内数的认识中，有的孩子介绍9的时候就说道：9像气球，倒过来就是6，9的相邻数是8和10，“电话上有9”“尺子上有9”“手表上有9”“门牌上有9”“公共汽车上有9”，9可以表示“9个人”，还可以表示“第9名”，还可以表示号码。9比5大，比10小……中国人很喜欢9，因为它和“天长地久”谐音。在学习了超过10的数后，有个孩子这样介绍12：我最喜欢的数字是12，因为我家住在12楼，一说到12我就想到一捆小棒和2根单根的小棒。12由1个十和2个一组成，12可以表示12个人，12扇窗户，12的相邻数是11和13。在学生叙述后可以请他们互相补充，有的学生提到还可以说说和12有关的式子。

参考文献：

张秀丽.小学数学概念教学中存在的问题及对策[J].学周刊，2012（29）.

学生学习数学概念的层次分析 第4篇

一、数学概念教学的现状分析

我们的数学概念教学通常采用的方式可以分为两种,一种是概念形式,另一种则是概念同化. 在实际的课堂教学活动当中,绝大多数数学教师采用的方式是后一种,也就是说将概念的本质属性展现在学生面前,并罗列出来定义、名称和符号,进而揭示其内涵和外延. 对于这样一种教学方式,其最为显著的特征就是简单明了,通过有效的方式使学生能够明白学习的概念,因而这也被称作是学生获得概念的最为基本的方式.

但是,关于概念同化教学方式,只是建立在一般的学习理论之上,并且较为偏重的是概念的逻辑结构教学,从而忽视了数学概念本身的重要含义. 就此而言,数据概念本身具有一定的过程,不仅是逻辑分析的对象,也是具有现实背景和丰富寓意的教学过程. 基于此,务必要做到返璞归真,将数学概念的形成过程展现在学生面前,从而使其能够对于各项要素的多样化运用有一个全面的了解,这也在很大程度上符合学生主动建构的学习原理.

二、数学概念学习的错误分析

从以往的大量实践经验当中能够看到,在关于数学概念的学习当中,学生之所以会出现大量的错误,主要原因就在于,在概念形成的过程当中,各个阶段和各个层次都有可能带来错误概念的产生,因此可以称其为“过程性错误”.

1. 概念意向形成中的错误

在数学概念的形成和理解过程当中,数学概念意象始终发挥着不容忽视的重要作用,可以说,其是构成数学概念不可或缺的一个组成部分. 学生在记忆和运用数学概念的过程当中,大多是将其与概念意象紧密联系在一起,而概念意向和概念定义之间不仅存在着联系,也是有一定区别的,前者主要特征是直观性、主动性和模糊性,因此,概念意象的贫乏或者不恰当,很容易就会带来错误概念的产生,而用意象去代替概念也会带来诸多的错误. 譬如说,很多数学概念都是在日常生活的概念当中抽象发展而来的,而正是因为日常概念存在着较为宽泛的特征,多以才会对于学生的抽象概念理解存在偏差,在学习“垂直”相关概念的时候,学生往往会受到日常生活的影响,因而会将地平面作为参照来进行“垂直”概念的 理解,以此来代 替“互相垂直”的概念.

2. 概念联系中的错误分析

对于概念之间的联系始终贯穿于数学概念的学习过程当中,要逐步形成数学概念,从而建立起来与其相关联的概念,这种概念主要包括上位、下位以及并列. 对于数学概念本身来说,其性质是知识节点,为了能够更好地形成知识网络,也需要在其中建立相应的联系加以说明. 由于联系的对象和方式之间存在着较为明显的不同,并且联系的强弱程度和数量也存在着差异,所以产生的错误的形式也是存在着差别的. 譬如说,我们经常会看到概念联系呈现出僵化的错误,主要表现就是学生学习数学概念的时候,并不能够主动地去建立概念内部以及概念之间的联系,而是单纯地凭借着记忆来进行表达,或者利用语言来进行表达,在这种情况之下,其所掌握的概念是较为孤立的,所掌握的概念内部对象也呈现出来较为僵化的特征. 事实上,学生并没有真正理解概念,只是将概念分离开来,孤立地去理解它们,僵化地会用每一个概念. 这样一来,就会使得学生对于每一个概念都很熟悉,但是问题终究解决不了. 或者说学生对于相关的概念定义都能够熟练背诵,而在运用的时候却感到不知所措. 甚至有的时候还会存在着概念联系“不恰当”的错误,主要表现就是学生概念学习和运用中的不恰当,就学生作业的情况来看,这种“不恰当”主要可以表现在三种情况,首先是将概念的非本质特征作为概念的本质特征,与其他概念之间形成联系,最终必将带来干扰,进而产生错误; 其次是将概念的定义、性质和判定混为一谈,最为常见的就是把概念当中的某些性质作为概念的整个本质特征,最终所带来的就是较为明显的“思维混乱”,甚至有些错误联系实质上对于概念是一种“歪曲”. 最后是出现思维“恋旧”的限制错误,如在学习正数与负数的时候,有的学生往往会认为- a一定就是负数,这种想法显然是由学生平时的思维惯性所导致的,最终又不知不觉地将a限制在正数的范围当中.

三、教学建议

1. 树立建构主义教学观并精心设计教与学的活动

通过以往的教学实践能够看出,关于数学概念并不能单纯地由教师简单地传授给学生,而是需要依靠每名学生依据现有的知识和经验来主动地进行建构. 在这样一种前提条件之下,教师需要充分重视学生的学习活动,使得学生能够亲身体现、建构数学概念. 基于此,在课堂教学当中,教师还可以创设相应的问题情境,使得学生能够尽可能地拥有更多的现实背景. 在关于问题设置的时候,要注意以下几点: ( 1) 问题的内容能够充分揭示相关数学概念的现实背景和形成过程,并且难易程度不易偏高或者偏低,符合学生的学习水平,从而使得学生的学习活动能够顺利展开. ( 2) 在数量方面,要做到适量原则,从而使得学生能够取得充足的活动体验. ( 3) 充分考虑到问题设计的趣味性和多样性,使学生学习数学的积极性能够得以激发.

2. 渗透教学知识形成中的数学思想和方法

大量的研究结果表明,关于数学思想和方法并不单纯是数学知识产生的灵魂所在,更是数学学习的重要目标之一. 如果能够引导学生形成良好的数学思想和方法,那么必然会帮助学生展开思维,从而懂得建构概念的真正内涵. 对于教师而言,在具体的教学活动当中,理应给予学生一定的提升,引导并且在教学当中归纳隐藏在数学知识背后的数学思想和方法. 与此同时,教师切不可孤立各个数学思想和方法之间的密切联系,因为这门学科本身就充满逻辑性,只有加强知识点之间的联系,才能够使得学生思维更加灵活.

3. 数学对象的建构需要多次反复强化才能形成

一个数学概念从“过程”到“对象”的建立是一个较为漫长的复杂的过程,并且这一过程较为抽象,在很多时候并不能够通过实物表现出来. 教师要在教育教学过程当中反复强调,循序渐进,螺旋上升,使得学生能够真正理解其中的含义. 并且“对象”的建立要注意其简练文字形式和符号的表示,积极地引导学生在大脑当中建立健全数学知识的直观结构形象. 当然,对于教师而言,更要注重对于知识的“概型”的建立,从而强化知识之间的联系和应用,帮助学生在大脑当中建立完整的数学概念的心理图式.

数学概念学习方法的研究方案 第5篇

一、课题研究的目的意义（课题核心概念及所要解决的问题分析）

一、我研究课题的核心概念：

做实验学概念

二、我要解决的问题：

解决学生在学习数学概念时一知半解的问题。新一轮基础教育课程改革，要求学生自主进行学习活动，注重培养学生发现问题和解决问题的能力，学生在自主学习的过程中，往往忽视对数学概念的学习，对概念一知半解，从而影响了学生的数学能力的发展，为了提高学生的分析问题和解决问题的能力，必须高度重视数学概念的学习，在教学过程中，要注重发现学生在学习数学概念时存在的问题，探讨解决问题的方法，从而提高学习数学概念的效能。

二、课题研究的内容及研究方法

研究性学习以学生的自主性、探索性学习为基础，学生在学习数学概念的过程中，往往对概念理解不透，忽视数学概念的内涵和外延的理解。我在教学的过程中重点对学生的数学概念学习进行研究和探讨。

在自己的教育和教学中，采用如下的研究方法：

1、数学试验法：渗透学数学就是做数学的思想，通过数学综合实践活动和试验，体会数学概念的内涵和外延。

2、心理疏导法：在学习数学概念的过程中，学生有烦躁的心理，及时做心理疏导。

3、不断积累经验和收集资料法：在教学中查找相关资料，运用新的思想方法指导实践活动，做到理论与实践相集合。

三、课题研究读书学习计划以及具体时间安排

在课题研究过程中，我研读以下两本著作：

高等教育出版社出版的《中学数学教材教法》和徐州市教育科学研究所编写的《综合实践活动的设计与实施》

具体时间安排如下：

1、2008年10月1日——2008年11月30日读完《中学数学教材教法》第一与第二章和《综合实践活动的设计与实施》第一与第二编。

2、2008年12月1日——2009年2月28日读完《中学数学教材教法》第三与第四章和《综合实践活动的设计与实施》第三编。

3、2009年3月1日——2009年5月31日读完《中学数学教材教法》第五与第六章和《综合实践活动的设计与实施》第四编。

同时每天坚持上网查资料和学习，不断吸收营养，更新知识和教学方法。四3001完成读书笔记与课例分析的具体时间安排

一、完成读书笔记的具体时间安排：

1、2008年12月中旬写《中学数学教材教法》的1——2章和《综合实践活动的设计与实施》第一、二编的读书笔记。

2、2009年2月中旬写《中学数学教材教法》的3——4章和《综合实践活动的设计与实施》第三编的读书笔记。

3、2009年6月中旬写《中学数学教材教法》的5——6章和《综合实践活动的设计与实施》第四编的读书笔记。

4、每周坚持写三篇网络学习笔记。

数学概念学习困难的原因及对策 第6篇

关键词 数学概念；学习困难；基础学科

《新课标》强调：数学教学的最终目的是培养学生的数学能力，数学教学应当使学生对数学概念本质达到理性认识。同时指出：正确理解数学概念是掌握基础知识的前提。

一、数学概念学习困难的具体体现

在高考的压力下，许多老师为了节省教学时间，不注重数学概念的形成过程，要求学生死记概念，硬套概念，注重概念的形式化，导致学生学完了整本书甚至整个高中教材，对许多概念是模糊的。比如函数的概念，筆者在高三复习函数知识时曾问过学生一个问题：我们在高中阶段对函数的学习已经快三年了，那现在谁能说清楚什么是函数？大部分学生头脑一片空白，一部分学生说 就是函数，只有极少数的学生说到了集合、对应，但也说不清楚。这说明学生在学习高中函数概念的时候，没有真正理解其形成过程，也没有掌握用集合和映射的语言来定义函数的思想方法。这就给后面学习其他函数概念和数学概念造成了障碍。当然，函数概念本身就是比较难理解的，主要难在以下几方面。

首先，数学知识是个复杂的体系。譬如，学生有了高中函数概念的基础，就会学习到对数函数、指数函数、三角函数、导函数和数列等多种类型的函数，方程、函数和不等式三者就得以联系和整合，所以函数就构成了一个复杂的知识体系，成了中学数学的一条主线，学生对函数概念的理解程度也将影响他们对函数有关知识的掌握程度。因此，数学知识概念的复杂性决定了学习高中数学概念是一个比较难的过程。第二，“变化”概念的复杂性和辩证性。例如，“变量”被当成不定义的原名而引入，是函数概念的本质属性。正是由于日常的变量概念对学生的干扰，使很多学生认为“ 中 的值不随 的变化而变化，所以它不是函数”。在教学实践中，教师往往对变量概念的理解困难估计不足，课堂上只是给出变量（自变量、因变量）这个词汇，至于学生头脑中的变量概念是怎样的，很少顾及。如果学生不能很好地理解变量概念，就会影响他们对函数概念的理解。所以，“变化”概念也就成为了高中数学概念学习困难的因素之一。第三，数学知识的表现形式丰富。中学阶段的函数一般都以解析法形式出现，用图像法和列表法表示函数例子屈指可数。这样学生很容易把按某种对应法则理解为一种规则或规律甚至是一个等式或代数表达式。所以，数学知识丰富的表现形式是高中概念学习困难的又一重大因素。第四，数学符号的抽象性。例如， 表示任意一个函数，但又是一个确定的函数，但这种含义学生仅从字母是难以看出的。学生不能通过符号 来想象对应法则的具体内容，即使 所表示的对应法则是确定的，学生也缺乏足够的为符号 建立起具体内容的经验基础，也不能通过 或 来想象定义域，值域到底是什么。 的抽象性和隐蔽性，大大增加了函数的学习难度。最后，学生的思维发展。在函数概念学习之前，基本上是常量数学，所学的数学概念属于形式逻辑的范畴。高中生学会了对一些事物进行浅层次的抽象，但还无法上升到辨证思维阶段。这种认知发展的阶段性特点，往往限制了他们对于抽象函数概念的理解和把握，从而导致了在学习函数时对函数对应变化的相依关系深感困难。

二、数学概念学习困难的相应对策

综合上述关于高中数学概念学习困难的具体体现，笔者给出了几个解决措施。第一，数学是一门逻辑性很强的学科，要学好数学得一步一步的打好基础，而概念的学习就需要“精学”，深刻理解每个概念的含义、形成过程、概念间的联系，正是由于很多概念是由前面的概念得出的，或者几个概念是相通的，所以不能放过每个概念的深刻理解。每当遇到一个概念时，多联系前面学过的概念、知识，帮助理解，最终将所学的概念用一个框架建构起来；第二，数学中不只是在函数中表现出“变化”，几乎每个知识点都体现了这一特征。比如在立体几何中，二面角的大小就是随平面位置的变化而变化的。要克服“变化”这一困难，首先要适应数学这一特点，其次要将每一个变化的量找出来并加以深刻理解，最后找出这些变化的量之间具有的联系，可以利用做变式题、从多个角度分析数学概念；第三，我们经常说万变不离其宗，数学概念的学习同样如此，不管用哪种形式表示这个概念，不管用哪种数学符号表示这个概念，它的本质是不会变的，它所揭示的规律是不变的，要理解概念的多种表示形式，关键是要找到它们各个形式的背景及其形成过程，可以通过看一些关于此形式的数学故事和人物，也可以通过具体例子，减轻数学概念抽象的程度；第四，教师在教学过程中可以通过探究的形式让学生自主形成数学概念，师生交流，生生合作，共同完成概念的学习，让学生亲身经历数学概念形成的过程。

数学概念学习的方法之我见 第7篇

一、举例法

举例通常分成两种情况, 即举正面例子和举反面例子。举正面例子可以变抽象为形象、变一般为具体, 使概念生动化、直观化, 达到较易理解的目的。例如, 在讲解向量空间的时候就列举了大量的实例。在解析几何里, 平面或空间中从一定点引出的一切向量对于向量的加法和实数与向量的乘法来说都作成实数域上的向量空间;复数域可以看成实数域上的向量空间;数域F上一切M×N矩阵所成的集合, 对于矩阵的加法和数与矩阵的乘法来说, 作成F上一个向量空间, 等等。举反面例子则可以体会概念反映的范围, 加深对概念本质的把握。

二、温故法

不论是皮亚杰还是奥苏伯尔, 在概念学习的理论方面都认为概念教学的起步是在已有的认知结构的基础上进行的。因此, 在教授新概念之前, 如果能先对学生认知结构中原有的概念作一些适当的结构上的变化, 再引入新概念, 则有利于促进新概念的形成。例如, 在高中阶段讲解角的概念时, 最好重温一下在初中阶段角的定义, 然后从角的范围推广到正角、负角和零;从角的表示方法推广到弧度制, 这样有利于学生思维的自然过渡, 较易接受。又如, 在讲解线性映射时, 最好先温习一下映射的概念, 在讲解欧氏空间的时候同样最好温习一下向量空间的概念。

三、索因法

每一个概念的产生都具有丰富的背景和真实的原因, 当你把这些原因找到的时候, 那些鲜活的内容, 使你不想记住这些概念都难。例如, 三角形的四个心:内心、外心、旁心和重心, 很多同学总是记混这些概念。内心是三角形三个内角平分线的交点, 因为是三角形内切圆的圆心而得名内心;外心是三角形三条边垂直平分线的交点, 因为是三角形外接圆的圆心因而得名外心;旁心是三角形一个内角平分线和两个不相邻的外角平分线的交点, 因为是三角形旁切圆的圆心而得名旁心;重心是三角形三条中线的交点, 因为是三角形的重力平衡点而得名重心。当你了解了上述内容, 你又怎么可能记混这些概念呢?又例如, 点到直线的距离是这样定义的, 过点作直线的垂线, 则垂线段的长度便是点到直线的距离。那么为什么不定义为点和直线上任意点连线的线段的长度呢?因为只有垂线段是最短的, 具有确定性和唯一性。像这样的例子还有很多, 不再一一列举。

四、联系法

数学概念之间具有联系性, 任意数学概念都是由若干个数学概念联系而成的, 只有建立数学概念之间的联系才能彻底理解数学概念。例如, 在学习数列的时候, 我们不妨作如下分析:数列是按一定次序排列的一列数, 是有规律的。那规律是什么呢?项与项数之间的规律、项与项之间的规律、数列整体趋势的规律。项与项数之间的规律就是我们说的通项公式, 项与项之间的规律就是我们所说的递推公式, 数列整体趋势的规律就是我们所说的极限问题。当项与项之间满足差数相等的关系时, 数列被称为等差数列;当项与项之间满足倍数相等的关系时, 数列就被称为等比数列。这样我们对数列这一章的概念便都了然于胸了。

五、比喻法

很多同学概念不清的原因是觉得概念单调乏味、没有兴趣, 从而不去重视它、深究它, 所以我们在讲解概念的时候, 不妨和生活相联系做些形象的比喻, 以达到吸引学生提高学习兴趣的效果。例如, 在讲解映射的时候, 不妨把映射的法则比喻成男女恋爱的法则。两个人可以同时喜欢上一个人, 但一个人不可以同时爱上两个人。这不正是映射的法则:集合A中的每一个元素在集合B中都有唯一的像与之对应吗?又如, 函数可以理解为一个黑匣子或交换器, 投入的是数产出的也是数;投入一个数只能产出一个数;当投入不同数的时候也可以产出同一个数。再如, 满足和的像等于像的和、数乘的像等于像的数乘的映射称之为线性映射。这不正像一个人怎样舞动他的影子就怎样舞动吗?所以有的时候可把线性映射理解为“人影共舞”的映射。

六、类比法

在学习向量空间的时候, 很多同学疑问重重。向量不就是那些既有大小又有方向的量吗?怎么连矩阵、连续函数、甚至线性变换也可以理解为向量呢?这一切是不是太不可思议了。但是当你做如下思考的时候, 一切便顺理成章了。让小学生算一道“5-7”的题, 他会说你这道题出错了, 但是让一个初中生去做, 他就会告诉你等于-2;当你让一个初中生对负数进行开平方运算, 他会说不能对负数进行开平方, 然而高中生却能够进行运算。这就说明了一个问题, 随着年龄的增长和认识层次的提高, 人们对于同一概念的理解和认识也在逐步地深入和扩大。正如数的概念由小学学的整数、分数和小数扩大为初中学的实数最后扩大为高中学的复数。同样对于向量的理解也就不能只限于既有大小又有方向的量, 应该把这一观念转变过来。

数学概念学习的层次性评价 第8篇

关键词：数学概念,层次性评价模型,SOLO分类原理

数学概念是数学的逻辑起点, 是学生认知的基础, 是学生进行数学思维的核心.而考查学生对数学概念学习的理解水平, 建立目标多元和方法多样评价体系, 对于全面了解学生的学习情况, 激励学生学习和改进教师的教学具有重要的科学价值与实践指导意义.

1. 数学理解的层次性分析———SOLO分类原理

Biggs认为, 认知的质的产物 (qualitative outcome) 就是理解.那么, 如何来评价学生对知识的理解程度呢?Biggs和Collis提出了SOLO (structure of the observed learning outcome) 分类原理.Biggs等 (1982) 认为, 必须评价学习的质性的方面, 学习者的掌握知识的结构组织 (strutural organization) 是可观察的学习结果的结构, 反映了学生在特定知识点的概念理解和思维的层次, 是研究学习者的学习质量的重要线索.Biggs等认为, SOLO分类原理, 强调观察学生外显行为的重要性, 是一套描述学生学习素质和水平的语言, 并且适合于任何科目的评价标准.SOLO模型关注对回答的结构进行分析, 按结构的复杂程度, 通常根据回答表现被划分为5个水平:前结构水平 (P) 、单一结构水平 (U) 、多元结构水平 (M) 、关联水平 (R) 和进一步抽象水平 (E) .不同的结构对应了数学理解和思维的层次.可见, SOLO结构的层次对应了概念理解的层次, 分类结构是一个由简单到复杂的层次类型, 前三个层次是基础知识的积累, 而后两个层次是理论思维的飞跃.而要实现思维能力的突破, 又离不开基础知识的积累.SOLO分类原理在评价学生数学理解程度上应用比较广泛.为了评价学生的数学理解, 对于每一个要考查的知识的范围还需要制定具体的表现标准.SOLO方法在评价学生数学学习的质的方面提出了一条很有价值的思路, 利用这种方法, 我们可以确定理解的层次, 评价学生理解的深度.

2. 构建数学概念学习的层次性评价模型

按照认知观点, 数学理解就是个人能针对特定的概念意境, 通过新旧知识之间的相互作用, 在心理上组织起适当的概念结构, 并使其成为个人内部知识网络或结构的一部分而对于复杂概念的知识本身, 认知结构是指人将已认识的知识组织起来的心理系统, 所以理解过程又有一个认知发展过程, 即掌握概念的结构组织 (通常分为操作、过程、对象、图式和问题解决等五个水平) ;建构新的概念必须在认知结构基础上, 通过数学活动的感知和行动来完成.数学概念的获得通常包括:从视觉空间到言语的推理, 运用操作符号, 连续地由过程到概念的概括, 最后到概念的应用.这个数学活动过程可以理解为表达数学关系的过程, 即对数学关系的表示形式, 用某种形式来表达数学概念或关系的行为, 即表征类型, 关于人类知识表现的三个不同表征类型通常为:动作表征 (物理过程) 、图像表征 (视觉) 和符号表征 (形式表示) , 而表征方式也可以分为自然语言描述、数值表示、图表表示和符号表示等四个水平.

由此, 可以将数学概念理解从结构组织、关联程度和表征方式三个维度来评价知识的理解程度 (如图) , 而每个维度又表现出不同的层次, 从而建立一个由简单到复杂的层次性评价模型, 形象的描述就是从点、线、面、立体、系统的发展过程, 构建了一个概念网络.用不同的视角来评价数学概念的理解层次, 构建一个从结构组织、关联程度和表征方式三个维度来评价数学理解的层次性模型, 而每个维度又表现出不同的层次, 从而建立一个由简单到复杂的概念网络, 它是一个动态发展的评价模型.

3. 数学概念学习的层次性评价模型的理论支撑

从“数学化”的角度来理解.弗赖登塔尔曾说:“数学的学习过程是由各种层次构成的, 用低层次的方法组织的活动就成为高层次的分析对象, 低层次的运算内容就成为高层次的题材.”所以数学概念学习同样是有层次的, 是把已发现结构中抽象出来的东西射或反射到一个新的层面上, 通过自身的“再创造”, 并对此进行重新建构, 纳入到自己的认知结构中, 成为有效而能发展的知识.所以概念的形成是一种创造性过程, 而不是机械的被动过程, 我们从概念的结构组织角度来划分层次是可行且合理的, 符合数学发现的规律性.

从认知发展层面来理解.理解性学习的有效方式是个体自我数学的建构和对自我知识的反思, 在具体知识的学习过程中, 都要经历一个从量变到质变的过程, 每发生一次跃变, 学生对于这一种知识的认知就进入更高一级的阶段.数学概念具有二重性, 既表现为过程操作, 又表现为一种对象、结构;而表征方式体现了由知觉到行动, 到目标的转化, 也是由“过程”向“对象”的转化, 也体现了数学的高度抽象性, 符合数学由直观到具体演绎的认知规律.表征的三种类型从本质上说动作表征是物理过程, 图像表征和符号表征是引出物理对象后的抽象过程, 它反映了个体从初级到高级数学思维的认知发展, 可以被假设是开始于外部世界的感知和行动, 通过两个平行的发展途径得以建立:一个是从视觉空间到言语的推理, 另一个是运用操作符号, 连续的形成由过程到概念的概括, 形成了创造性思维.

从评价学生思维能力层面的理解.数学概念的二重性又决定了数学思维、理解的二重性.关联程度的思维分类结构是一个由简单到复杂的层次类型, 思维结构越复杂, 思维能力的层次也就越高;同时它评价的触角深入到质的层面, 学生学习能力的提高是一个从量变到质变的过程, 前三个层次是基础知识的积累, 而后两个层次是理论思维的飞跃.而表征方式的评价, 更能体现学生的思维能力, 动作表征、图像表征都能够从不同层次反映学生的直观能力, 反映学生对事物本质的一种直接洞察能力, 直观是发现真理、理解数学的有效渠道, 这也体现了学生对数学概念的理解程度;符号表征是逻辑推理的需要, 是抽象的数学概念的具体表示, 是数学形式简化的最佳途径.所以从另一个角度来看, 表征方式的评价也考查了学生的直观与演绎能力, 以及迅速进行各种数学语言形式的转换能力.

从评价质量来看.数学概念学习的层次性评价强调评定过程的真实性、情境性, 关注学生的发展, 能够逼真地反映学生理解数学概念的领悟能力、解释能力和创造力, 它有利于量化评价和质化评价方法的结合, 是过程性评价和结果性评价结合的产物, 具有一定的可操作性, 但在一定程度上存在不稳定性.

关于数学概念学习评价的研究工作已经取得了多方面的成果, 但许多研究仍待进一步发展, 所以必须对数学学习过程作细致的观察、跟踪、调查、实验和分析, 揭示其中的特殊规律.数学概念学习的层次性评价模型对一些高层次数学概念的学习过程作了进一步的揭示, 科学系统地建立数学概念学习评价的一般理论, 从而有助于揭示数学概念学习与教学的规律, 为数学概念学习与教学的系统研究提供了一定的理论基础.

参考文献

[1]Biggs, J.B.&Co1lis, K.F. (1982) Evaluating theQuality of Learning:The SOLO Taxonomy.New York:Academ-ic Press Inc.pp1-16, 61-94.

[2]郑毓信.国际视角下的小学数学教育.北京:人民教育出版社, 2004.

试论小学数学概念学习的过程化 第9篇

数学这一学科和人们的生活有着密切的关系, 可以说在生活中到处都可以发现数学的痕迹。数学教师在教学中要善于抓住小学生的心理特点与认知规律, 结合生活中的一些体验来进行, 这样才能更好地提高教学效率。当小学生在课堂上看到自己熟悉的生活内容后, 自然就有学习兴趣了。

例如, 在学习“分数的初步认识”一课时, 教师就准备了两本字典和一个香蕉, 然后提出了问题:如果把这些东西平均分给两个人, 应该怎样分才算公平?通过这一问题情境, 学生的兴趣就被激发了起来。显而易见, 两本字典平均分给两个人比较容易, 每个人都可以得到一本, 用数字“1”来表示即可;而一个香蕉要分给两个学生的话, 那么只能是一人一半了, 可是怎样表示却难住了学生。此时, 学生就产生了强烈的认知冲突, 其求知的欲望也被激发了起来, 学生们很投入地参与到教学活动中。通过这一体验, 学生们也认识到数学知识大多都是以生活经验为基础的。

教师在引入新的概念时, 要善于从学生的生活入手, 创设恰当的情境, 让学生在解决问题的过程中遇到小小的阻碍, 这样更能够激发学生的求知欲望, 使其更加积极主动地投入学习中去。

二、概念逐步建立, 精于探索过程

数学概念的学习过程实际上也是学生对数学知识探索和发现的一个过程。通过这一过程, 学生能够体会到数学概念的形成实际上也是数学知识完善的一个过程。建立数学概念, 需要一步一步地进行探究与研究。

仍然以上个例子来讲, 当学生发现无法用过去学习到的数学知识来表示“半个”时, 他们就会想办法来创造一些表示“一半”的方法, 如“1-2, 1/2, 12, 1|2”等, 这些表示方法我们姑且不论其是否正确, 但就这一探索的方法就是值得鼓励的。经过这样一个探索和归纳的过程, 小学生对分数的理解就越来越清晰了。

再如, 设计如下问题: (1) 向前走 (向后走) ; (2) 前进300米 (后退300米) ; (3) 上山 (下山) ; (4) 今天气温升高了5度 (今天气温下降了5度) ……教师就可以提问:怎样用最方便的方式把这些数字信息记录下来呢?学生们立刻开动脑筋, 纷纷想起办法来。学生们的想象力非常丰富, 他们采用了各种符号来进行表示, 如“-, +, t, ^, V, ×”等。接下来教师再提问:你觉得哪一种符号比较适合来表示这种相反意思的数字信息呢?大部分学生都认为“+、-”这两个符号最恰当。这样通过一个探索的过程, 学生们对负数这一概念的认识就更加清晰了。

三、概念深入理解, 精于实践过程

在教学中, 我们要引导学生深入地理解数学概念, 就不能再仅仅停留在字面的理解上了, 而需要把相关的各种要素都联系起来, 创造恰当的数学活动, 在实践的过程中让学生理解概念的本质特征。例如, 在学习“分数的初步认识”时, 经过前面的学习, 学生已经初步理解了分数的意义, 那么接下来, 教师就要对学生加强实践训练, 让学生认识到1/2不但可以表示香蕉的一半, 还可以表示其他事物的一半, 这样就能够让学生的理解更加深入。为了让学生的理解更加透彻, 教师可以让学生采用折纸的方式来进行练习, 这样不但能够让学生更加清晰地明白1/2的意义, 还可以让学生进一步理解1/3、1/4、1/5等。通过实践, 学生就可以逐渐明白, 一个整体就是数学领域中所讲的“单位1”, 而把“单位1”平均分成几份, 那么其中之一就是“几分之一”。经历这样一个反复实践的过程, 学生对分数的认识也逐渐从表面认识发展到了对分数的本质的认识, 让小学生能够认识到分数的本质实际上就是整体与个体的关系。

总之, 小学生在认识概念时, 通常都是从浅入深、从具体到抽象的, 这是一个从表面到本质的一个过程, 数学教师要根据小学生的年龄特点和认知能力来对学生进行引导。所以, 我们在进行数学概念的教学时也应该从学生熟悉的生活经验入手, 让学生在探索的过程中来逐渐加深对概念的认识。

参考文献

[1]李幽然, 李燕.小学数学教学与学生生活相联系之思考[J].新课程研究 (上旬刊) , 2011 (09) .

[2]咸凤英.小学数学教学中如何使学生成为学习的主人[J].延边教育学院学报, 2008 (06) .

[3]楼明霞.新课程理念下如何发挥小学数学教学的育人价值[J].中小学教材教学, 2005 (11) .

[4]王新民, 吴立宝.课改十年小学数学课堂教学变化的研究[J].中国电化教育, 2012 (08) .

让儿童经历数学概念学习的全过程 第10篇

关于“认识自然数”的教学, 一般分为10以内数的认识、20以内数的认识、100以内数的认识、万以内数的认识等几个阶段。苏教版国标本一年级上册主要是20以内数的认识, 教材前5个单元分别是“数一数”“比一比”“分一分”“认位置”“认识10以内的数”。

一年级学生对自然数概念的理解和认识, 有一定的客观规律, 因此教师应了解自然数概念的形成与发展过程, 这样才能更好地实施教学。

一、了解自然数的由来

(一) 数和数量

要了解自然数就要先了解“数和数量”。从数学的逻辑性和发展进程来看, “数”是对“数量”的抽象, 因此在认识数之前, 首先要认识“数量”。

1. 数量和数量关系

“数量”可以追溯到远古时代, 在日常生活和生产实践中, 人们需要创造出一些语言来表达事物 (事件与物体) 量的多少, 比如说狩猎收获的多少。虽然在这样的表达中出现了数字, 但是这些数字都是有具体背景的, 比如一粒米、两条鱼、三只鸡、四枚蛋、五匹马等。我们把这种有实际背景的、关于量的多少的表达称为数量。因此“数量是对现实生活中事物量的抽象”。

在上述的表达中, 数字还不具有数字符号的功能, 只能把这些数字理解为与数量有关的事物的记载。为了实现更为一般的抽象, 就必须把握数量的本质, 这个本质表现在数量的关系之中, 数量关系的本质是多与少。

2. 数和数的关系

“数”是对数量的抽象, 但是无论是认识数量还是认识数, 都不是数学的本质, 数学的本质是, 在认识数量的同时认识数量之间的关系, 在认识数的同时认识数之间的关系。数量之间最基本的关系是多与少, 与此相对应, 数之间最基本的关系是大与小。

关于数和数量, 我们可以用一幅图清楚地表示它们的关系, 如图1所示。

(二) 自然数 (十进制数字符号系统)

从零开始, 依据数之间的大小关系就产生了自然数, 表示自然数的关键在于十个符号和数位, 也就是我们普遍使用的十进制计数法。

从人类的发展历程来分析, 十进制计数系统的抽象过程, 经历了两个层次的抽象:第一步抽象———计数;第二步抽象———符号。符号的表达必须摆脱具体内容, 于是在各种符号之后, 我们通用了数字, 数字是那些能够由小到大进行排列的符号, 十个符号加上数位准则, 建立了一个有效并且简捷的十进制数字符号系统, 如图2所示。

二、如何认识自然数

自然数是对数量以及数量关系的抽象, 可以有两种方法认识自然数, 如图3所示。

定义的方法过于抽象, 不适合第一学段 (1-3年级) 的数学教学, 因此低年级学生适合对应的方法。“数一数”和“认识1-5”就是用对应的方法认识自然数。主要是以下过程, 如图4所示。

因此我们采用这种对应的方法, 如图5所示。

这里的小圆圈就是沟通数量和数字之间对应关系的桥梁。这种基于实际背景的认识自然数的方法是直接的, 也是深刻的。而且通过这种方法还可以进一步, 从数量的“多与少”到数的“大与小”, 也就可以让学生知道3>2, 并且让学生理解这样的数学表达。以下通过教学片段来说明:

“数一数”教学片段。

教师首先讲一讲关于数的起源小故事 (ppt演示) :身着兽皮的原始人去草原上放羊, 出门时捡起一些小石头, 用一一对应的方法统计羊的数量, 然后带上这些羊去吃草, 等到他们回家时再检查石头的个数和羊的个数是否能对应上, 以此判断是否所有的羊都回来了。

讨论:如果多出来一颗石头表示发生了什么事情?

生:少了一只羊。

生:丢了一只羊。

……

“1-5的认识”教学片段一。

师:还记得我们的祖先用小石头计数吗?我们可以用一个圆圈代替石头表示一个。 (板书:○)

师:现在我们可以用数字“1”代替圆圈表示一个, “1”怎么写?

(师标出双箭头○←→1)

师:猜猜两个1怎么办?

生:画两个圆圈。

生:1+1=2。

生:数字2。

(师板书○○←→2)

师:2和1比较, 谁大呢?

生:2大。

师:2比1大。

……

(依次板书○○○←→3)

圆圈能表示任何元素, 既可以是小石头, 也可以表示苹果或者大象等, 双箭头符号表示对应关系。我们在自然数概念的教学中最好把数量对应于同一类图形, 比如教材就选择了画圆圈, 这样的表达具有一般性, 可以形成一个模式, 逐渐让学生形成自己的思维模式, 不仅有助于学生感悟数量和数的意义, 也可以让学生感悟数量的多少关系和数的大小关系:数量是一个一个多起来的, 数是一个一个大起来的。

自然数的抽象实质上就是去掉了数量所依赖的实际背景。反过来, 人们又可以把一般性的结果应用于某一个具体的事物, 这就体现了数学的价值。

“1-5的认识”教学片段二。

师:找一找哪些是“1”?

生:一颗棒棒糖。

生:一支笔。

生:一个人。

师:同学们一眼就看出了哪些是“1”, 老师这里还有一幅图, 你也能一眼找到“1”吗?

生:一筐苹果。

生:一盒羽毛球。

生:一辆卡车。

数字“1”是一个抽象的数学符号, 为了加深学生对数的理解, 笔者设计了从几幅图中找“1”的练习, 让学生体会“1”在生活中的意义, 1不仅表示一个个体, 也可以表示一个整体。让学生体验了从具体的情境中去掉了数量的实际背景, 抽象出数, 再从抽象的数回到具体的情境中去的过程。从而让学生体验具体到抽象、再从抽象回到具体的概念学习过程。

综上所述, 概念的学习是有一般性规律的, 教师要掌握数学概念的内涵, 了解数学概念的形成与发展过程, 从而精心设计教学方法, 把抽象的数学概念贯穿到一个个生动有趣的故事和活动中, 让学生亲近数学、爱上数学。

摘要：一年级数学知识看起来非常简单, 但对学生而言, 却非常抽象。“数”是对“数量”的抽象, 从具体到抽象, 再从抽象回到具体, 让学生经历概念学习的全部过程, 有利于学生理解和掌握相关数学知识。基于此, 教师要精心设计课堂教学, 把这些知识贯穿到一个个生动有趣的故事和活动中, 让学生亲近数学、爱上数学。

数学概念的学习 第11篇

数学概念是数学逻辑的起点、认知的基础，在数学学习中具有重要的地位。目前数学概念教学有两种倾向:一是传统教学，是大多数教师习惯采用的概念同化方式教学，这种教学偏重概念的逻辑结构，容易造成一部分中等生及学困生对概念理解不深；二是将数学课变成了“实验课”，不断地进行“实验探究”， “什么都要算一算，量一量，回归到尼罗河时代”，在“验证”与“应用”之间不辨重点，减弱了对思维的锻炼，成为了一种“去数学化”探究，结果一节课下来，学生对概念内涵了解并不透彻。怎样打破传统，将数学活动有效地引入初中数学教学？将APOS理论引入教学，或许是个有益的尝试。

一、 APOS理论概述

APOS理论是一种建构主义个体数学学习理论，是由美国教育家杜宾斯基（Ed Dubinsky）等人提出的。APOS分别是由英文 action（活动）,process（过程）,object（对象）,scheme（图式）的第一个字母组合而成。该理论认为，在数学学习中通过引导个体经过思维的活动、过程和对象等几个阶段后，个体能在建构、反思的基础上把它们组合成图式，从而理清问题情境，顺利解决问题。

1. “活动”阶段—— 是指数学学习中，个体需要对接收到的外部刺激不断地进行反省、抽象的过程。这里的“活动”泛指所有的数学活动，如观察、猜想、回忆、计算、迁移、推理等，而不仅仅指学生的动手操作过程。

2.“过程”阶段——当“活动”不断被个体重复并反省之后，个体就会在大脑中进行一种新的内部组建，即形成一种过程模式。在这个过程中，个体操作自动化，对概念进行不断地抽象、反省，认识螺旋式上升。

3.“对象”阶段——随着过程的不断深入，个体已经认识了概念本质，能指明它所具有的各种性质，对概念进行形式化的定义和赋予符号，并可以变形。当然，由“过程”到“对象”的形成是一种渐进的建构过程 ，“期间需要反省抽象的作用，需要的是思考，是认知和建构等高级的智力活动以过程为对象，挖掘、提炼出超越它的深层意义，特别要将自动化的行为操作转化为自觉的思考，变无意识为有意识” 。

4.“图式”阶段——在皮亚杰的认知发展理论中，图式指一个有组织、可重复的行为模式或心理结构，是一种认识结构的单元，是一种动态的、可变的认知结构。皮亚杰认为，个体所以能对各种刺激作出这样那样的反应，是由于个体具有能够同化这些刺激的某种图式。这种图式在认识过程中能过滤、筛选、整理外界刺激，使之成为有条理的整体性认识，从而建立新的图式。因此，当个体经历了“活动”、“过程”、 “对象”阶段之后，已经在头脑中建构了关于这个概念的 “图式”。它可以判断某些问题是否属于这个图式，对与图式相关的概念进行有机吸收或联结；它可以对知识网格中各个结节之间的关系作出分析，对问题的解决具有导向性作用。

概念的学习需要分层次、分步骤进行，个体会在四个阶段之间来回反复思考，对概念中涉及的“名词”、“词性关系”及概念内涵等方面进行反复比较、分析。比如，学会了数轴之后再学习相反数、绝对值等二级概念，就有一个反复比较、形成多级概念的过程，这样的过程是螺旋式上升的，而不是一蹴而就的。

二、基于APOS理论的教学设计

课题：平移的概念（第一课时）。

教学目标：认识平移，了解概念，掌握性质，学习研究方法。

教学方式：数学与多媒体信息整合。

1. 活动

［活动1］观察（视觉活动）生活中有关平移的图片（如人在运动的电梯上，火车车厢在运动等）。

目的：总结出物体运动的方式之一——平移。

［活动2］尝试（动手动脑）用几何画板软件使电脑屏幕上的三角形平移（软件中的三角形可以任意拖动，能保留三个顶点的运动轨迹，显示三点的移动距离）。

目的：学生通过电脑操作，自由拖动三角形，了解平移的要素——移动方向、移动距离。

活动过程：给学生1分钟的时间操作，然后选择两个学生的操作成果展示。

师：甲、乙两名同学分别将同一三角形进行不同方向的移动，谁能来描述这两个三角形移动的特点？

生丙：甲同学是将三角形向右上方移动，乙同学是将三角形向右方移动，它们的移动方向不一样。

师：说得很好，这是描述物体移动时的一个必要因素——移动的方向。甲、乙同学的操作还有什么区别吗？

生丁：移动距离不一样。数据显示，甲同学移动三角形时，三个顶点的移动距离是3.13cm，而乙同学移动三角形时，三个顶点的移动距离是2.27cm。

师：丁同学观察得非常细致。距离是描述物体移动的第二个因素。

［分析］ 在这两项活动中，学生通过多次操作、对比、思考，抽象出描述物体移动的两个基本要素。在此过程中，教师只起着指导的作用。活动激发了学生的积极性，迫使学生（个体）大脑语言区与逻辑区共同协作，促进视觉化表征与心像系统的转换转译。正如Duval和Arcavi指出，表征系统的转换与转译是生成数学理解的核心过程。由此，学生学会了寻找问题的突破口与研究问题的基本方法：操作试验—比较—抽象—总结。

2. 过程

在学生已经了解平移的两个基本要素后，再给学生1分钟时间操作。学生发现，在平移图形的过程中，图形上所有的点都发生相同方向、相同距离的移动。此时，学生关注的对象已经从物体中的几个点扩展到整个物体。由特殊到一般，这种由浅及深的学习锻炼了个体思维的有序性。此时，引出定义已是水到渠成的事。

［分析］ 在以上活动中，学生通过观察、操作、分析、抽象、小结几个步骤，将感性化的平移运动进行理性分析，解决了认知冲突（甲、乙图形的差异），通过同化与顺应，使新概念与旧知识系统中的节点（“方向、距离”）发生联结，建构了新的大知识网络。

英国数学教育家Dienes曾提倡学习多元具体化原则。他认为，儿童是可以通过玩数学游戏学到数学知识的。游戏的对象是学习对象的多元具体化表征，游戏蕴涵了数学规律，儿童通过玩游戏，能发现数学结构。Dienes等提出的数学学习四大原则是：动态原则、感知变式、数学变式和建构原则。本文的活动基本符合以上原则：动态——电脑操作，感知变式——甲、乙两种图形的变化比对，数学变式——从点规律到图形规律，建构原则——扩大知识系统。这样的学习活动，能较好地减少学生的学习负荷。

3. 对象

通过以上的学习过程，学生不仅掌握了平移的概念，而且也对学习方法有所领悟。接下来关于平移性质的学习，则完全留给学生自学，并让学生完成以下作业。

（1） 从宏观角度请你比较平移前后的图形，说明其中发生变化的因素与不变的因素。

（2） 从微观角度请你比较平移前后的图形，说明它们的对应角、对应线段、对应点的连线的关系（包含位置关系与数量关系）。

［分析］ 引导学生的思维方向，学生可以根据定义学习，进行方法迁移，研究图形的微观特点。

4. 图式

该阶段即应用阶段。根据所学的新概念，学生头脑中已经建立平移的心理图式，对判断平移的类型、找出平移的特征，已经建构出自己的“图式网”，这个协调的网络在某种意义上能明确或隐含地决定哪些现象是“图式”范围，哪些现象不是。以下三个问题，能检验教学是否达到目的。

［练一练］

（1） 平移改变的是图形的（）。

A．形状B．位置

C．大小D．形状、大小及位置

（2） 如图1，∠DEF是∠ABC经过平移得到的，∠ABC=33°，则∠DEF的度数为。

（3） 在图2的六幅图案中，②③④⑤⑥中的哪一个图案可以通过平移图案①得到？（）

三、 若干教学建议

1. 把握“活动”精髓，切勿仅仅“创设情境”。

新课程标准指出，数学知识的学习需要依赖学习背景。但是，在引入新课时，不能光注重外部情境，使得有“情境”无“过程”。数学的精髓在于抽象性的思考，在于个体的抽象、建模的能力。

2. 数学活动宜由浅入深，由点及面，螺旋上升地进行。

对知识的探究过程不能企图一步到位，学习中不仅需要对概念知识进行学习，而且需要对活动方法、思维方式的形成进行相应的学习。

3. 认识过程阶段在概念建立中的价值十分有意义。

杜宾斯基等人认为，学生建立概念不能跨越“过程”这一阶段。 对这个“过程”我们可以有三种理解： ①将数学概念从现实生活中抽象出来本身需要一段过程； ②将思考的结果，再以“过程”的形式呈现；③APOS 理论最大的创新在于，将数学概念视为从一个实例到另一个实例的某种过程。

试论影响数学概念学习的几个因素 第12篇

数学研究的对象是事物的数量关系和空间形式，因此，数学概念也有与此相对应的特点，是人类对现实世界的空间形式和数量关系的简明、概括的反映，并且都由反映概念本质特征的符号来表示。数学概念通常包括四个方面：概念的名称、定义、例子和属性。例如，“圆”这个概念，“圆”这个词是概念的名称;“到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆”是概念的定义;符合定义特征的图形都是例子;其属性有：是平面图形、封闭的、存在一个圆心、圆心到圆上各点的距离都是半径等。由于数学的学习是掌握前人已经发现的数学知识，把前人的数学活动经验转变为自己的经验，使其成为自己解决问题的工具的过程，因此概念同化是学生获得数学概念的基本方式。鉴于上述特点，影响学生数学概念学习的因素有以下几个。

一、学生的经验

学生获得概念的能力随年龄、经验的增长而发展，在此过程中，经验的作用很大，丰富的经验背景是理解概念本质的前提，否则学生极易死记硬背概念的字面定义而不能领会概念的内涵。这里的“经验”除了来自学校学习以外，还来自日常生活，而且日常生活的经验在学习中发挥着非常重要的作用。学生掌握的许多数学概念往往是从日常概念中发展来的。因此，教师既要注重指导学生从自己的日常生活中积累有利于概念学习的经验，又要注意利用学生的日常经验，为数学概念教学服务。

有的学生能从过去的经验中找出与新概念相关的概念，在比较它们的异同的基础上建立起新的概念;而有的学生则会受这种经验的干扰，产生错误的概念理解。例如，小学生对于平方的运算经验中，平方的运算只与正数联系在一起;另外关于方程，学生所熟悉的也是一次的，即一个方程对应一个解。在学习“平方根”和“算术平方根”这两个概念时，由于一个正数的平方根涉及正负两个数，而事实上这两个数就是方程x2=a的两个根，这与他们的经验是非常不同的，于是就出现了“平方根”学习的极大困难，与此同时，学生又要学习“算术平方根”概念，这样就出现了有时要取正负两个值，有时又只能取一个正数的情况，从而引起学生理解上的混乱。

为了防止经验对新概念学习产生的这种消极影响，教师要把基本概念放在中心地位，突出概念之间的内部联系性。先学习最一般的概念，然后逐渐分化出较具体的概念，往往是最有效的。例如，由“对应”到“映射”，再到“函数”，最后到“幂函数”、“指数函数”、“对数函数”、“三角函数”，就是按照逐渐分化安排的。对于这样的内容，教师要注意给出适当的实例，使学生有一个从各个具体例子中抽象出共同特征并概括出本质特征的机会，由浅到深、由易到难、由已知到未知地进行学习。同时教师还要及时引导学生探讨新旧概念之间的关系，找出它们的异同点。例如，学习“二次根式”时，教师既要注意由引出，又要注意将作比较，找出它们的差异，让学生充分练习，以建立起这种联系与差异的感觉。随着经验的积累，数学学习的深入，学生可以逐渐做到在抽象概念的指导下进行实际训练，使概念应用和理解概念之间相互促进，从而加快理解速度、提高学习效率。

二、学生的概括能力

概括是形成和掌握概念的直接前提。学生学习和应用知识的过程就是一个概括的过程。概括是一切思维品质的基础，如果没有概括，学生就不可能掌握概念。学生掌握概念，直接受他们的概括水平制约。要实现概括，学生必须对相应一类具体事物的各种属性进行分化，再结合分析、综合、比较而抽象出共同的、本质的属性或特征，这既是一个概念运用的过程，又是一个在更高层次上的抽象概括过程。从上所述可知，对概念的具体例证进行分化是概括的前提，而把概念类化，使新概念纳入到概念系统中去，是概念学习深化的重要步骤。因此，教师应该使学生掌握对具体例证进行分化和类化的技能技巧，从而逐渐学会自己分析材料、比较属性，并概括出关键属性，逐渐培养概括能力。另外，数学概括能力中，很重要的是发现关系的能力，即发现概念的具体事例中各种属性之间的关系，发现新概念与已有认知结构中相关概念之间关系的能力，如果发现不了这种关系，概括也就难以进行。例如，在学习复数的模这一概念时，复数z=a+bi的模是与复平面内的点z (a, b)到原点O的距离，也叫复数z=a+bi的绝对值。为了让学生经历复数模的概括全过程，引导他们将它纳入到已有的数的绝对值概念系统之中去，教师可以引导学生比较复数的绝对值与以前掌握的实数的绝对值之间的异同，把后者看成是前者的发展，也可以把前者看成是后者的特例。然后将实轴看成是复平面的一部分，实数a对应于复平面内的点(a, 0)，从而有 ，实数的绝对值就是复数的模。所以，在概念的学习中，教师只有引导学生按照数学概念的层次结构，实现不断深入的抽象概括，形成结构功能较好的概念体系，才能使学生准确地掌握概念的本质，形成比较完善的数学认知结构。

三、学生的数学语言表达能力

语言给事物以命名，对事物的属性与功能进行表述。通过命名，人头脑中关于事物的表象可以简约化。因为事物有了自己的“名字”，当它的表现形式发生改变而把本质特征掩盖起来时，人们可以借助这个“名字”避免认知上的困难。对事物的属性或功能的叙述，可以帮助学习者深化概念学习，使各概念、各要素之间的关系更加明确，使一个概念与其他概念之间的联系与区别更加清晰。语言使个体在理解概念的过程中，无需从头观察事物或回忆有关表象就能直接形成概念。所以，语言表达是概念学习过程中非常重要的一个环节。数学中各种结论的获得都要依靠逻辑推理的进行，当然也影响到数学概念的形成。另外，学生能够用自己的语言正确地叙述概念，解释概念所揭示的本质属性，这也是学生较好理解概念的一个标志。

许多数学概念的语言表述都代表了概念产生的条件，是相应事物在数或量方面发展过程的一种抽象，因此，概念的叙述过程实际上表明了概念应用时应该遵循的一种操作程序。例如，“单调函数”概念语言表述是：“设函数f (x)的定义域为I，如果对于属于定义域I内某个区间上任意两个自变量的值x1, x2，当x1f (x2)，那么就说f (x)在这个区间上是减函数。”根据这个定义的叙述，我们可以总结出判断函数单调性的操作程序。

(1)设x1, x2是给定区间上的任意两个自变量值，且x1

(2)分别计算f (x1)， (x2);

(3)判断差f (x1)-(x2)的符号;

(4)根据符号，指出函数是增函数还是减函数。

因此，要使学生深刻理解和熟练应用概念，教师就应该对概念的语言叙述过程进行分解，以使学生掌握概念应用的操作程序。

经验、概括能力和表达能力是学生学习数学概念重要的影响因素，数学教师在实际的工作中应发挥这些因素对数学学习的积极作用，以起到事半功倍的效果。

摘要：本文分析了数学概念的特点, 对影响学生学习数学概念的因素作了探讨, 并提出了一些更好地学习数学概念的办法。

关键词：数学概念学习,影响因素,经验,概括能力,表达能力

参考文献

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