鲁棒优化论文范文（精选9篇）
鲁棒优化论文 第1篇
1 假设与符号说明
本文选取串行链结构的供应链库存为研究对象,串行链结构如图1-1所示:
我们假设串行链是一个周期符合离散分布的动态系统,并用j表示供应链中级数,其中j=1,2,3,…,m;dt表示第m个节点企业面临的市场需求,其中t=1,2,3,…,n代表规划周期的期数[1,2,3];至此,m和t分别为下一节将要建立的多级多周期库存模型的重要变量,供应链的级数由m体现,供应链的运行周期有t来体现,并且如无特例说明本文中提到的供应链级数都大于等于3,并且周期为10以上的周期数。我们定义初始的第j级供应链节点接受来自第j+1级节点的需求:xtj>0,而t时刻结束时第个节点企业的库存为ytj,而每一个节点j的初始库存为ztj,同时假设下一级对上一级节点的需求最终转化为在库存数量上各节点企业间传递;同时也假设在订单下达到订单完成存在非负的时间延迟[4,5,6]。在这里时间延迟分为3种:
(1)信息传递延迟:信息由下一级向上一级节点传递时发生的延迟,用I表示,且I为非负整数。
(2)生产延迟:订单完成直到订单完成或者某一节点企业组织好货源发生的时间延迟,用M表示,且M为非负整数。
(3)提前期:信息由市场需求开始直到传递到最上游节点发生的时间延迟,用L表示,且L为非负整数。
I m+1表示m级供应链接受来自市场需求的时间传递延迟,则库存关系一定满足下面的方程:
以上简单数学模型说明某级供应链在某周期发生的库存变化情况,这种变化就是原有库存减去市场需求的差额。当库存为负时,表示市场需求没有满足或者缺货。尽管缺货或者市场需求没有满足,但是库存在相邻节点企业间仍会连续传递,这种情况可以用“借货”策略来解释,当某供应链无法满足“市场需求”时,可以借用同标准同数量的货物来满足“市场需求”,而“借货”可以随后补充给借方。这时自然会产生借货成本,同时也得假设在最终供应商之外有足够可借货源[7,8,9,10]。我们优化的目标为供应链总成本。总成本包括:
(1)购买或者生产成本,我们定义在t周期的j级供应链的每单位购买或者生产成本为ctj,当规划周期t足够长的时候,我们必须考虑资金成本(ctj=cj(1+r)t-1))
(2)库存持有成本,在t周期的j级供应链的每单位货物的持有费用,我们定义为htj;
(3)缺货成本,在t周期的j级供应链的每单位货物的缺货损失,我们定义为ptj。
2 模型建立及优化
2.1 模型建立及线性规划
如假设和定义规定的,系统动态的数量关系可以用方程(1.1)表示,那么整个供应链的优化问题可以描述为如下的线性方程:
经观察发现,由于方程(2.1)并非线性方程,所以需要把问题转化为线性问题(Liner Programming,LP),我们替换目标函数中的max,这样方便我们引入辅助变量以简化问题,我们令TL(j)+I(j)+M(j-1)+L(j)表示在j级供应链中订单下达直至到达的延迟,同时令TM(j)=I(j+1)+M(j)表示订单从j级供应链节点到j+1级供应链节点的延迟。通过线性规划,我们可以把(2.1)改造为:
2.2 鲁棒优化
现在采用广义鲁棒优化,假设dt和zj的正常范围分别为,定义式(2.3)中的标准为l1-标准,则线性规划系如下:
这里,为“敏感参数”(先前用α表示),作为变量,为限制其变异,我们添加如下限制:
这一部分,我们用仿真方法来呈现由鲁棒优化得到的结果。为评价解决方案的优劣,我们选用“乌托邦”方案作为基准[11]。对给定的虚拟需求轨迹和初始库存,乌托邦方案是相对应的线性系(2.2)的决策方案。乌托邦最优值包含一个由最优控制得到的成本下限。本节所选用的特殊广义鲁棒优化可获得最低成本,是与α的上限(一般由疏忽、错误操作所致)相对应的。我们将用几种不同的方法来检测不同虚拟需求下的解决方案的优劣性,其中两个重要方法为:成本最小法和偏差率法。偏差率,其中,Ak是用A方案实现k的目标函数值,OPTk是实现目标的乌托邦方案值。
3 算例分析及仿真
正如前面章节所述,本优化方法的目的有二:系统稳定和总成本最小。下面我们从系统的稳定性开始,也就是检测优化方法消除牛鞭效应的能力。
我们选取一个供应链为3级,运行周期为20的例子,其他相关数据见下表:
基于以上数据,本文利用鲁棒优化,广义鲁棒优化和乌托邦优化等优化方法,并给出相应的仿真效果图,如图3-1和图3-3所示。
图中,实线dt代表库存的变化状况,yt1、yt2、yt3分别代表3个不同节点的库存表现。从图中不难发现,3种优化方法优化的库存都不存在牛鞭效应,但有趣的是利用鲁棒优化时,零售商的库存波动幅度超过了制造商库存波动的幅度[12]。利用鲁棒优化,各级库存表现都很稳定,各级供应链的最高库存水平不超过30,在第三阶供应链最低库存为-20,每级供应链库存波动幅度均未超过外界需求变动的5倍。利用乌托邦优化时,在任何给定周期内,每级供应链的订货量都刚好等于其需求量,所以库存水平为0,也不存在持有成本和缺货成本。即便使用最有优化方法,在周期开始和结束阶段仍然存在“边界特性”,应为初始阶段库存水平不为0,系统需要时间来稳定库存并最终实现0库存。
4 结束语
本文选取了一种广泛并普遍适用的供应链控制解决方案,试图在协同理论的框架下,从经济角度优化供应链库存。为达到这一目的,本文应用了广义鲁棒优化,这种方法可以较好地处理不确定性需求下的优化问题并能保证系统的稳定。本文选取了m=3,n=20的3级20周期供应链,其中大约包含了40 000个约束和25 000个变量,比较了广义鲁棒优化和鲁棒优化的方程,并选用了乌托邦优化这种并不实际的优化方法,试图找出在需求已知的情况下的最优库存。并把乌托邦优化值作为参考值,研究表明了鲁棒优化可以减弱牛鞭效应,并能得到近似于乌托邦值的优化结果。
摘要：在考虑了供应链库存综合成本构成及假设的基础上,构建了基于鲁棒优化的多级多周期库存管理优化模型,在对模型优化的同时,利用算例分析和仿真分析呈现优化效果。
基于神经网络的鲁棒制导律设计 第2篇
基于神经网络的鲁棒制导律设计
基于神经网络理论对寻的导弹鲁棒制导律进行了优化设计.建立了制导系统非线性运动学方程和鲁棒性能函数,并将鲁棒性能函数转化成了微分对策的极小极大化问题.采用伴随BP技术,将微分对策的两点边值求解问题转化为2个神经网络的学习问题,训练后的2个神经网络分别作为对策双方的`最优控制器在线使用,避免了直接求解复杂的鲁棒制导律问题,仿真结果表明了该方法有效性.
作 者：周锐 张鹏 作者单位：北京航空航天大学,自动控制系,北京,100083刊 名：航空学报 ISTIC EI PKU英文刊名：ACTA AERONAUTICA ET ASTRONAUTICA SINICA年，卷(期)：23(3)分类号：V249.3关键词：微分对策 神经网络 导弹制导 鲁棒控制
鲁棒优化论文 第3篇
突发事件发生后,为了尽快安全地将应急物资配送到事故区域,必须设计最佳的车辆路径,对事故区域人员进行救助。因此,在应急态势下如何选择最佳的配送路径,是突发事件应急计划的一个重要组成部分,即在综合考虑通行时间、道路可靠性及成本等因素条件下,确定一条从救援中心结点到事故区域所在目的结点的路径[1]。
由于突发事件具有高度的不可预测性,灾难发生后,很难迅速准确地掌握各个受灾区域对救灾物资的需求量,只能根据事后信息做出大致的估计。另外,突发灾难也会造成道路交通的高度不确定性,严重影响车辆的运输时间,使之与一般的预测值有很大的差异[2,3]。这些不确定因素都会使应急物资车辆调度问题研究更加的复杂,而鲁棒优化是一种处理不确定问题的重要方法,它不需要考虑不确定参数的分布假定,能够规避估计风险,同时也能规避低概率事件发生所带来的巨大风险。其重要特点是对于任何具体的情景,鲁棒解只是近似最优解,但是对于所有不确定情景是最优的[4,5]。
本文依据双层规划理论与鲁棒优化理论建立应急物资车辆调度的鲁棒双层优化模型,在权衡救援时间与救援成本的基础下,对应急物资车辆调度问题进行协同研究,通过对模型的转化与求解,为应急物资车辆调度问题提供切实可行的方案。
2 问题的描述与模型建立
2.1 问题的描述
作为应急救援管理者,在灾害发生初期为应急救援车辆选择合适的路径,将应急救援物资及救援人员迅速地送到受灾地区,能够很大程度地减少人员伤亡和财产损失,并且可以避免进一步次生灾害发生带来的损失[6]。但应急救援部门在进行应急救援路径选择时,不仅要考虑时间的因素,还需考虑选择路径的安全性和连通可靠性及运输的成本。应急管理者在灾害发生的初期,主要是根据现场初步的交通信息、道路破坏程度等情况,评估从救援点到达受灾点的行程时间,选取最佳的救援路径。一般情况下,应急救援车辆抵达的时间越短,人员伤亡和财产损失就越小。
此问题恰好符合双层规划的思想,上层规划通过选择监测工具获得路网信息,从而获得相应的实际距离信息,追求救援时间的最小化,其决策变量为采用何种路况监测工具;而下层规划在上层规划给定监测工具这一参数之后,根据该种监测工具所获得路网的连通信息,决策车辆的分配以及路径的安排,从而追求救援费用的最小化。
基于此,本文在对应急救援车辆路径选择进行建模时,综合考虑了时效性和运输成本,同时,基于不同监测工具获得的路况信息对救援车辆路径选择的影响,以及在救援物资需求不确定的条件下,提出了应急物资车辆调度的鲁棒双层规划模型。
模型建立基于以下基本假设:①每个物资储备仓库均含有足够多的物资。②每条运输路径上的受灾点对于物资的需求能够通过一次运输完成。③两结点之间的距离反映本路段路网的连通情况,即若连通程度未受到破坏,则其实际距离等于空间距离;若本路段路网受到破坏,则根据破坏程度,其实际距离大于空间距离。④在整个救援过程中仅选择采用一种路网距离监测工具。⑤受灾点对于物资的需求量在箱型集合内扰动。
2.2 模型的建立
(1)模型的参数与符号
①参数变量
G{i|i=1,2,…,m}:物资需求点的集合;
H{j|j=m+1,m+2,…,m+n}:物资存储仓库的集合;
S={G}∪{H}:物资需求点和物资存储仓库的集合;
V{k|k=1,2,…,K}:救援车辆的集合;
R={r|r=1,2,…,r1}:路况监测工具的集合;
cr:使用监测工具r的费用;
ck:救援车辆k的固定运营成本;
drgh:监测工具r测得点g(g∈S)到点h(h∈S)的距离(距离反映本路段路网的连通情况);
vgh:点g(g∈S)到点h(h∈S)间车流的区间行驶速度;
trkgh:使用监测工具r时,救援车辆k从点g(g∈S)到点h(h∈S)的行驶时间,trkgh=drgh/vgh;
Trkh:使用监测工具r时,救援车辆k到达点h(h∈S)的时间,且Trkh=Trkg+trkghwkgh,当h∈H时,Trkh=0(wkgh在后面的决策变量中有解释);
LTj:物资运达至需求点j(j∈H)的最晚时间;
γk:救援车辆k单位距离的运输成本;
qk:救援车辆k的容积;
disk:救援车辆k行驶距离的限制;
di:物资需求点i对于物资的需求量;
α:单位物资的单位体积。
②决策变量
βr:第r(r∈R)种监测工具是否被选择,若选择,则βr=1,否则,βr=0;
zkj:救援车辆k是否分配给物资存储仓库j(j∈H),若分配,则zkj=1,否则,zkj=0;
wkgh:救援车辆k是否从节点g(g∈S)到点h(h∈S),g≠h,若是,则wkgh=1,否则,wkgh=0。
(2)基于鲁棒双层规划的应急物资车辆调度模型
在上层规划中,主要考虑应急救援路径选择时,需保证时效性,时效性就是要保证应急救援行程时间最短为目标,如下:
从而上层规划的目标函数为
上层规划的决策变量为βr(r∈R)。
约束条件:
表示在整个救援过程中仅采用一种路网距离监测工具。
下层规划:追求车辆调度的成本最小化
决策变量:zkj(k∈V,j∈H),
wkgh(k∈V,g,h∈S)
目标函数:
约束条件:
在下层规划中,式(3)表示在保证时效性的前提下,追求车辆路径选择过程中成本的最小化,主要包含救援车辆的固定运营成本、运输成本以及购买路况监测工具的成本;式(4)表示同一路径上运至需求点的物资容积不大于救援车辆的容积;式(5)表示救援车辆行驶距离限制;式(6)表示每条车辆路径仅从所属的仓库发出;式(7)表示任意2个仓库不在同一路径上;式(8)表示每辆车驶出点一定为该车的驶入点;式(9)表示每个需求点有且仅有一辆救援车辆为其服务;式(10)保证行车路径的时间顺序性;式(11)表示各个需求点运达救援资源的最晚时间约束;式(12)、式(13)表示决策变量是0-1变量。
3 模型的转化
在上述的模型中各受灾点对物资的需求量是不确定的参数,并且在箱型集合内扰动,即假设di=di*+(ud)i,-(ud)i*≤(ud)i≤(ud)i*,i∈G,其中di*,(ud)i*(i∈G)为给定的非负常数。基于鲁棒双层规划的分散式决策方式[7],有以下定理1成立:
定理1[8]参数(c1,d1,c2,d2,A,B,h)在箱型集合μ内扰动的鲁棒线性双层规划
s.t.其中y解自于下面规划问题
等价于以下数据确定的双层规划问题:
s.t.其中y解自于下面规划问题
由于本文建立的鲁棒双层规划模型中,仅下层规划中含有不确定参数。根据定理1,仅需将含有不确定参数的约束式(4)转化为
即可,模型结构以及模型中的目标函数与其他约束条件均不发生改变。从而,具有不确定参数的应急物资车辆调度的双层规划模型被转化为确定性双层规划模型。
4 模型的求解
转化后的模型,是一个具有确定性系数的双层规划问题,采用混合遗传算法对转化后的确定性模型进行求解,对于遗传算子的设置,采用英国谢菲尔德大学开发的遗传算法Matlab工具箱中缺省的rank函数作为适应度比例参数,sus为选择算子函数,xovsp为交叉算子函数,mut为变异算子函数[9]。整个算法的流程如图1所示。
具体步骤如下:
①初始化参数。采用工具箱中的crtbp通用函数创建初始种群,上层变量的初始种群A(t条染色体)随机产生,确定种群规模t,代沟率GGAP以及交叉率Pc和变异率Pm,同时设定最大迭代数MAXGEN(终止条件)。
②对于上层变量的初始种群中的每个染色体代入下层规划,下层继续利用遗传算法进行求解,求得上层种群的每个染色体所对应的下层规划的最优解,并判断该组解是否满足上层规划的约束,如满足,则保留,否则将其舍弃。
③适应度函数为上层目标函数,把满足上层约束条件的解代入到适应度函数,得到相应的适应度值[10]。
④选择算子操作。根据适应度函数值的大小对上层变量新种群的染色体进行选择,重复进行该过程,完成染色体选择过程。
⑤应用遗传操作算子对选入下一代的染色体进行交叉和变异算子操作-产生新的染色体进入下一代。
⑥终止条件判断(迭代次数大于最大迭代数)。如果条件满足,则进化终止;否则,转步骤②。
⑦输出模型的最优解,算法运行结束。
5 模型的应用
本实例选取了文献[11]Solomon提出的RC型题库中的RC208的部分数据,稍做了一些调整,例如调整了部分结点的坐标以及增加了两种路网监测工具的费用,使之符合本文模型的特点,即应急物资车辆调度的鲁棒双层规划模型。
实例中仅考虑一个应急物流中心的车辆路径问题,受灾点对于物资的需求量di*在表1中给出,假设各受灾点的物资需求量扰动比例为5%.不同坐标位置的15个应急需求点(如表1所示),有3辆同种类型的车辆,救援车辆的容积为700,救债车辆k的固定运营成本ck为100元,假设有两种路网监测工具,使用监测工具1的费用c1=4,使用监测工具2的费用c2=5,由于各个节点间的距离drgh为监测工具r测得点g(g∈S)到点h(h∈S)的距离(距离反映本路段路网的连通情况),则假设drgh=dghr*+dghr*·random[0,1],其中dghr*为点g(g∈S)到点h(h∈S)的空间距离。车辆的运输速度vgh为80km/h,平均单位距离行驶成本为13元/km,各个节点间的行驶时间为drgh/80,试确定这批救援物资的配送路径。
算法中涉及到的参数:种群规模A=100,迭代次数maxgen=500,交叉率Pc=0.9,变异率Pm=0.01。
采用Matlab2010b编程实现上述算法,在CPU主频3.2GHz和3G内存的电脑上测试算例进行了50次求解,平均计算时间为55.64s,计算结果如图2所示。
计算结果表明,目标函数值z1为54.86h,目标函数值z2为60894.4元,三辆车全部参与运输,并且最优的车辆路线情况如下:
车辆1:0-1-6-7-10-9-0
车辆2:0-4-11-12-5-14-15-0
车辆3:0-13-3-2-8-0
由上图可见,采用基于鲁棒优化的应急物资车辆调度的双层规划模型能够节省应急运输救援物资车辆的行程时间,降低应急物资运输车辆的平均延误,提高应急救援的效率。混合遗传算法对转化后的确定性双层规划模型的求解有较好的收敛效果,充分证明了其在解决应急物资车辆调度双层规划模型问题的有效性,能够辅助应急管理人员快速地做出最优的决策方案。
6 结论
本文考虑路网可能遭受不同程度的损害,选择不同的路网监测设备对路网连通程度进行监测。由于选择的监测设备不同,采集到的路网连通程度数据的准确性则不同。并且,使用路网监测工具的成本与返回的路网实际距离的数据准确性之间存在正比的关系,因此,监测设备返回的路网实际距离会影响车辆调度,进而影响救援的时间。基于上述的综合考虑,针对受灾点对救灾物资需求量的不确定性,本文对应急物资车辆调度问题进行协同研究,建立了相应的鲁棒双层规划模型。通过实例证明所建模型是合理可行的,对应急物资运输车辆调度问题具有很好的参考价值。
摘要：针对应急物资车辆调度问题,在受灾点对救灾物资需求量不确定的情况下,考虑了道路连通可靠性与行程时间可靠性对应急救援车辆路径选择的影响,建立了应急物资车辆调度的鲁棒双层优化模型,运用双层规划分散式决策方式下的转化定理,将上述具有不确定系数的鲁棒双层规划模型转化为确定性的双层规划,并设计了一种混合遗传算法,对转化后的具有确定性系数的双层规划进行求解,通过实例验证了模型及算法的可行性和有效性。
关键词：应急物资,车辆调度,鲁棒双层规划,混合遗传算法
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再入飞行器的鲁棒设计技术研究 第4篇
再入飞行器的鲁棒设计技术研究
本文将鲁棒最优设计技术应用于再入飞行器被动式滚转控制问题,分别建立了二次滚转共振和滚转过零问题的鲁棒设计定义和数学模型,通过对关键小不对称量(如rcg,Cl0,Cm0)的容许偏差的限制,确保二次滚转共振和滚转过零概率在设计者期望的`范围之内.本文给出了一个实际的设计例子,并用Monte Carlo随机抽样方法进行验证.结果表明,本文的思路是正确的,方法是可靠的.
作 者：张勇 张鲁民 ZHANG Yong ZHANG Lu-min 作者单位：中国空气动力研究与发展中心,四川绵阳,621000刊 名：空气动力学学报 ISTIC EI PKU英文刊名：ACTA AERODYNAMICA SINICA年，卷(期)：200018(3)分类号：V211.1关键词：再入飞行器 滚转控制 鲁棒最优设计
鲁棒优化论文 第5篇
为提高汽车被动安全性能,减少乘员伤亡,在汽车开发阶段必须研究汽车结构的耐撞性和在碰撞中对乘员的保护作用[1]。目前在进行约束系统仿真性能优化时大部分都是针对安全带、安全气囊、方向盘和座椅的特性进行优化,往往忽略不确定因素的影响,当设计变量产生波动或者碰撞条件变化时,优化目标就会超出约束界限导致设计失效,从而延长产品开发周期,增加开发成本。传统的确定性的仿真优化结果不能保证系统对设计变量和不可控噪声因素的稳健性。
近年来,以试验设计为基础的田口鲁棒设计方法逐步成为产品质量稳健设计的重要工具。美国通用公司的Baskar等[2]采用田口鲁棒设计方法对车门悬挂系统进行了优化,提高了系统的稳定性。韩国现代公司的Seybok等[3]将田口鲁棒设计方法应用于汽车偏置碰撞的乘员保护中,在提高保护效能的同时提高了设计的稳定性。目前国内在汽车研发过程中采用该方法的例子还很少,将该方法应用于汽车被动安全的研究基本未见报道。
标准配置的微型客车为降低成本往往不带安全气囊,在正面碰撞过程中,乘员易受到严重伤害。本文通过MADYMO软件建立了某微型车的驾驶员侧正面碰撞约束系统的分析模型,并进行了试验验证。在此基础上将仿真分析和田口鲁棒设计方法应用到了乘员约束系统设计中,并结合试验设计和稳健性理论,从综合性能最好的角度进行了参数的优化组合,以最大限度地发挥安全带上挂点位置、座椅刚度、下轮缘刚度及安全带刚度的约束效能,实现在未配置安全气囊的情况下提高设计目标的优化效率及目标函数的稳健性和可靠度。
1 正碰仿真模型的建立与验证
汽车正面碰撞约束系统模型主要包括车体系统、假人、座椅和安全带。本文以某车驾驶区域的相关尺寸及基本参数为基础,利用MADYMO软件建立了包括地板、加速踏板、搁脚板、仪表板、挡风玻璃及转向管柱和转向盘在内的车体系统,建立了包括座椅靠背、坐垫及座盆在内的座椅模型,建立了包括安全带上下安装点、带扣、卷收器及高度调节器在内的安全带模型。另外座椅骨架及转向系统相对于车身的平移和转动通过定义相应平移铰和转动铰的预运动来模拟。假人采用MADYMO软件中自带的混三50百分位面假人,它能准确地描述假人在碰撞中的运动学和动力学特性,提供准确的假人伤害值。当车体模型和假人模型建好后,对假人和车体有可能接触的地方定义接触。在正面碰撞过程中,主要接触有:假人头部与上轮缘及中心面板、假人胸部与下轮缘、假人与安全带、假人鞋与地板/防火墙/踏板、假人髋部与座椅、膝盖与膝垫等。
因本文中所用微型客车未配置安全气囊,故在建模中省略了气囊建模这一部分,同时也没有假人与安全气囊的接触。最后将试验中测得的左侧B柱下端的加速度信号和重力场施加在MADYMO模型上,完整的约束系统模型如图1所示。
由于约束系统模型中有一些参数无法通过简单的试验测得,如假人与安全带的各向摩擦因数、膝盖与膝垫的接触刚度等,需要通过经验及查阅相关文献得出,并参照试验中假人的响应进行修正。修正的依据是:由输入的参数(参数取值必须在允许范围内)计算得出的假人各部位响应值与试验值基本相符。图2所示是模型验证后的假人各部位响应与碰撞试验响应的对比。
由图2可以看出仿真曲线的形状、峰值、峰值时刻及脉宽等基本特征与试验曲线基本相符。具体的试验和仿真主要损伤指标对比如表1所示。从表1可以看出:仿真得出的人体损伤指标与试验结果存在一定的误差,但关键损伤指标的误差范围均控制在15%以内。表1中头部伤害指标HIC36试验值和仿真值分别为960.2和945.1,胸部压缩量试验值和仿真值分别为72.6mm和66.5mm。根据GB 11551-2003乘用车正面碰撞的乘员保护标准,对处于前排外侧座位的假人,头部伤害指标(HIC36)应小于或等于1000,胸部压缩量应小于或等于75mm。从以上分析可以看出:若不做优化改进,该车型很容易超出该标准的要求,而使设计失效。
2 田口鲁棒设计方法
2.1稳健性优化设计
鲁棒设计又称稳健设计或健壮性设计,是通过降低产品或过程中不确定因素对质量特性的影响,从而提高产品质量稳定性的设计方法。稳健优化设计主要是减少、控制目标函数响应的波动,降低在设计点上的敏感性,即使目标函数响应均方差减小,实现“均值达到目标”和“均方差最小化”的目的[4]。稳健优化设计的核心是寻求“平坦的”设计空间,降低设计变量波动引起的变化,构造包括目标均值和均方差在内的稳健性优化公式。如图3所示,如果不考虑设计变量的波动对目标函数的影响,点1应为目标函数最小点(最优结果)。若考虑设计参数x以±Δx波动,则在点1处得到的Δf1明显偏大,况且目标函数值也超出了约束界限,使设计失效。在点2处设计参数x以±Δx波动,得到的Δf2要比Δf1小很多。选择点2的不足之处是增加了目标函数f在点2处的平均值。所以在寻求稳健性解决方案时也应对目标函数的平均值进行评价。由图3可见,仍存在比点2更平坦的点(点2的右边,x增长的方向),但目标函数的平均值有可能超出可以接受的范围。因此,期望的平均值性能和降低波动性能两个指标都必须在稳健优化过程中充分考虑。
典型的稳健性优化公式如下:
式中,x为设计变量;Gj为约束函数;j为约束函数的个数;xU、xL分别为设计变量的上下限。
式(1)中既要最小化平均值性能和降低波动性能,又要满足约束的波动边界,因此,稳健性优化设计目标函数可描述如下[5]:
式中,W1i、W2i为权系数;S1i为目标平均值;S2i为最小波动对象组件的比例因子;Mi为目标响应i的目标值;l为性能响应的数量;μi、σi分别为目标响应i的均值和方差。
2.2田口鲁棒设计
田口鲁棒设计是日本学者田口玄一(Taguchi)创立的,是一种低成本高效益的稳健优化设计方法,其设计过程可分为三个阶段:系统设计、参数设计和容差设计[6]。在正交试验设计(DOE)基础上发展起来的参数设计是田口鲁棒设计的最核心内容,成为质量稳健设计的主要工具,其具体设计流程如图4所示。
由图4可以看出:影响产品质量的因素被划分为可控因素和噪声因素两类,并根据实际情况确定各因素的水平,构造正交表进行正交试验,并计算信噪比(SN比),进而进行参数设计确定稳健设计优化结果。
信噪比和正交试验设计是田口鲁棒设计方法的核心分析工具。信噪比用来模拟噪声因素对产品质量特性的影响,是输入信号强度与噪声强度之比,因此信噪比越大,产品受噪声因素的影响越小,产品质量特性越好。根据品质特性的不同,信噪比特性可定义为:望小特性、望大特性和望目特性。本文通过对设计变量的参数进行优化和组合,期望得到最小的乘员伤害值,因此采用望小特性。
望小特性是希望输出响应的结果越小越好的特性,其理想目标值为零。图5为采用田口方法望小特性对稳健性优化设计的示意图[7]。假设产品的输出目标特性y服从正态分布N(μy,σy),因为信噪比越大越好,故可以要求μ2y+σ2y越小越好,即取
其中,μ2y+σ2y为y2的期望值,所以可由E(y2)的无偏估计来代替:
取对数得
式中,yi为第i次试验的目标函数值[8]。
3 拉丁方试验设计
在对优化方案进行稳健性分析的时候,设计点的选择很重要。任意选取的设计点会对稳健性分析的结果产生很大影响,甚至导致对方案的评价产生错误。试验设计的理论可以帮助确定合理的设计点。
拉丁方试验设计,被人称为一种“填充空间的设计”,它是将每个因素的设计空间都均匀地划分开,然后将这些水平随机地组合在一起,来指定用来定义设计矩阵的n个点[9]。拉丁方试验设计布点的步骤如下:①将设计空间(不失一般性可设为单位正方形)的每条边均分为n-1份,每边得到n个点,故整个区域共有n2个点。②随机地取(1,2,…,n)中的两个置换,例如取n=4,将(1,2,3,4)置换成(3,2,4,1),然后再将它们排列成一个矩阵,得。由矩阵的每一行(1,3)、(2,2)、(3,4)、(4,1) 决定的4个设计点如图6所示[10]。对于一个2×2的设计表,分别采用拉丁方试验设计和全因子试验设计选取的4个设计点如图6和图7所示。可以看出,采用拉丁方试验设计选取的4个点其取值范围在4个水平上,而利用全因子试验设计只能取到2个水平,因此在设计点个数相同的情况下,采用拉丁方试验设计选择的设计点将更加均匀地分散在设计空间内。
4 乘员约束系统的性能优化
本文结合了试验设计、稳健性优化设计和田口鲁棒设计方法,并将其应用到某微型车驾驶员侧约束系统的性能优化中。首先根据设计变量及设计要求定义问题,然后通过试验设计对初始设计变量进行筛选,减少设计变量的数目;其次采用全因子试验设计确定优化方案,同时在试验设计结果的基础上利用田口鲁棒方法再次确定优化方案;最后对两种优化方案进行稳健性分析对比。图8为优化设计流程图。
4.1问题定义
在本次约束系统性能优化中,最主要的目标是在保证其他关键损伤指标不超过法规要求的临界值的情况下,最大限度地降低正面碰撞时驾驶员头部HIC36值和胸部压缩量,在提高约束系统对驾驶员保护效果的同时,提高约束系统对设计变量及噪声因素的稳健性,保证在设计变量产生波动或碰撞条件变化时,试验结果均能达到我们期望的目标。乘员约束系统每一个子系统所包含的设计参数很多,这里主要考虑了对驾驶员头部和胸部损伤影响较大且便于工程控制的参数作为设计变量。其变化范围如表2所示。
表3给出了乘用车进行正面碰撞试验时需要重点考察的各关键损伤指标,以及这些损伤指标的约束范围和参考标准。本次优化并未单纯考虑国家标准,而是将国家标准和C-NCAP评分标准综合考虑,构造出损伤指标的约束范围,旨在更好地优化约束系统性能,使优化方案在国家法规试验和C-NCAP试验中均能取得理想满意的结果。
4.2乘员约束系统的优化设计
在进行乘员约束系统的优化时,为了评价约束系统的整体性能,引入一个评价函数。由于乘员伤害指标涉及头部、胸部、腿部等多个部位,因此是一个多目标最优化问题, 对这种优化问题可以采用加权伤害准则WIC(weighted injury criterion)来全面评价乘员约束系统的保护性能。
定义约束系统的评价函数[11]如下:
式中,HIC36为头部伤害指标;Ccomp为胸部压缩量,mm;FLeft为左大腿骨最大轴向力,kN;FRight为右大腿骨最大轴向力,kN。
WIC值越低,说明约束系统的保护性能越好。运用WIC值对表2中选取的7个设计变量进行评价,通过试验设计确定各变量对WIC值的影响程度,对设计变量进行筛选。综合工程实际和各设计变量的重要程度,此处选择上挂点位置、座椅刚度、下轮缘刚度及安全带刚度作为设计变量。对于其他3个变量取其初始设计值。下面针对选出的4个设计变量进行约束系统的优化设计。
为对乘员约束系统的性能进行优化,将筛选后的4个设计变量(上挂点位置A、座椅刚度B、下轮缘刚度C、安全带刚度D)以及每个变量对应的3个水平进行全因子试验设计,需要进行81(34)次试验。在81次仿真试验之后,选取出驾驶员胸部压缩量最小且其他各项损伤指标均满足表3所示的约束范围的一组(A3B1C1D3)。通过对比发现优化后的胸部压缩量较初始值降低了10.4%。
对通过试验设计选取的最优方案(A3B1C1D3)的稳健性进行分析。外界影响因素除经过筛选后的4个变量外,同时考虑碰撞速度波动对试验结果产生的影响,共5个因素,波动范围参考表2。采用拉丁方试验设计方法,构造30个设计点并进行试验仿真,仿真结果见表4,其中平均值是优化方案与初始值的差别。可以看出头部伤害值和胸部压缩量均有所降低但是头部伤害值标准差偏大,对变量波动比较敏感,导致试验结果不稳定,可靠度低。
为了获得更加稳健的方案,降低损伤指标对设计变量及噪声因素的敏感度,本文采用田口鲁棒设计方法进行优化。为确定各因素水平的变化对损伤指标的影响,需要构造一个关于4个设计变量的正交试验表。由于全因子试验设计的81次仿真试验已经做完,因此只需将这些数据进行统计整理,就可以计算出4个因素各水平相对于头部伤害值和胸部压缩量的信噪比。图9和图10分别为头部伤害指标和胸部压缩量的响应图。
为了确定各设计因素对损伤指标影响的程度,在数值上研究各因素对损伤指标的影响大小及影响趋势,进行了方差分析(analysis of variance, ANOVA)。通过方差分析,可以计算出各因素对响应的贡献率,分清因素的主次。参数的最优水平组合主要考虑贡献率大的主要因素及其水平,并进行适当的调整和控制;对于那些次要因素可根据其他条件进行确定,以获得最优的设计方案。
图11和图12分别为各因素对头部伤害指标及胸部压缩量的贡献率。从图中可以看出上挂点位置对头部伤害指标和胸部压缩量的贡献率都很大,而其他3个因素仅对头部伤害指标影响较大,因此更改上挂点位置要综合考虑其对两损伤指标的影响。根据试验目的,从图9中找出每个因素的最佳点(信噪比的最大点),并将其组合,(A1B3C1D3)为能够最小化头部伤害指标并提高系统稳健性的最优组合。其中上挂点位置能否取第1个水平,还需要考虑其对胸部压缩量的影响,在A1水平下胸部压缩量的信噪比不是最大值而是最小值,这样若采用A1水平胸部压缩量可能会超标,同时稳健性较差,因此需要适当调整。综合考虑更改上挂点位置对以上两损伤指标的影响及成本,本设计上挂点位置采用第2个水平(保持不变)。表5给出了利用田口鲁棒设计方法确定的最优方案。
通过选择同等数量的设计点来评估由田口方法确定的最优方案的稳健性,并与试验设计确定的方案稳健性相比较。影响因素同样考虑包括碰撞速度在内的5个因素,取值范围见表2,利用拉丁方试验设计方法,生成30个设计点并进行仿真分析,稳健性分析的结果见表4。经过比较发现:由田口方法确定的最优方案尽管胸部压缩量有所增加,但头部伤害指标平均值和标准差均明显降低,其他损伤指标也都有不同程度的降低,对设计变量的波动和噪声因素的影响敏感度降低,同时WIC值的均值和标准差也明显降低,产品质量的一致性得到提高。采用田口方法确定的方案较试验设计的方案可靠度更高,稳健性更好。
5 结束语
稳健性是评价产品性能的重要指标。应用田口鲁棒设计方法,可以识别出对设计目标函数值影响大的控制因素,对设计变量进行最佳组合,增强系统的稳健性,降低设计目标的偏差和环境变化带来的风险,提高产品可靠度,缩短开发周期及降低开发成本。
本文将田口鲁棒设计方法应用到乘员约束系统的稳健性优化设计中,得到的优化结果不仅优于初始设计,而且与仅采用试验设计的优化结果相比,其稳健性及可靠度均得到提高,能够很好地满足产品质量控制的要求。该方法对乘员约束系统性能优化提供了新的解决途径,对工程应用具有重要的指导意义。
摘要：利用MADYMO软件建立了某微型客车驾驶员侧正碰约束系统的分析模型,并验证了其正确性;将试验设计和稳健性理论及田口鲁棒设计方法相结合,构造了乘员约束系统的稳健性优化设计方法;与仅采用试验设计得出的确定性优化结果相比较,采用该方法既实现了对设计目标的优化,同时也大幅度提高了设计变量的可靠性和目标函数的稳健性。
关键词：田口鲁棒设计,约束系统,试验设计,稳健性优化
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鲁棒优化论文 第6篇
铁路“点线”能力是铁路运能的主要瓶颈,目前铁路路网已基本形成“四纵四横”的通道走廊,大大缓解了“线”的运能压力。但是“点”的能力仍然有较大的提升空间。铁路“点”的能力主要是指铁路枢纽内的能力,包含货物运输过程的集、运环节。在枢纽内部,货运站将货源组成车流,由摘挂列车和小运转列车送至本地区货运中心站或者技术站,在货运中心站或编组站经过解体、编组作业,将车流按最终去向编组成货物列车,组成的货物列车流进入运输通道系统,结构见图1。
铁路枢纽内车流的优化组织,是实现集运能力和疏运能力的协调匹配,充分利用运输能力,满足货物运输需求的保证。快运班列是中国铁路总公司实行货运组织改革推出的重要货运产品,对于帮助铁路打开快递市场,改善铁路现有的货运产品结构有着重要意义。铁路枢纽内以行包、行邮为代表的快运班列组织与普通货物班列组织相比,对货源的时效性有较高的要求,因此研究快运班列车流组织必须考虑时效性的约束[1]。
目前铁路生产中枢纽内车流组织的实际操作方法主要是TMIS系统结合调度员主观经验下达计划,还没有采用数学优化模型精确求解来制定车流组织计划,因此存在一定的偏差性和片面性。国内外研究枢纽内快运班列车流组织问题的文献并不太多,主要集中在枢纽内普通货物班列的车流组织上,有枢纽小运转列车的网络流模型[2,3]和列车编组方案的经济数学模型[4],枢纽车流组织的0-1非线性规划模型[5]和反推运输服务的混合整数规划模型[6],这些模型大都没有考虑货物时效性的约束即运到期限约束。Ceselli等[7]建立了考虑运到期限约束的快运班列开行方案模型,王保华等[8]在考虑时间约束的条件下研究了铁路货运服务网络设计问题,Zhu等[9]建立3层时空网络对铁路货运流程进行了刻画,提出了一种解决货运问题的新思路。铁路在运能释放背景下,服务水平的差异性导致货源需求呈现出波动性,这需要班列组织及时调整应对。目前我国铁路枢纽以行包、行邮为代表的快运班列组织过程中忽视了货源需求的波动性和货物送达办理站的时间顺序,应设计合理的货物送达时序,尽量避免在编组站作业高峰时刻送达,并且设计鲁棒性更强的车流组织方案适应货源需求波动带来的影响。所谓鲁棒性,是指控制系统在一定的参数摄动下,维持其它某些性能的特性。Mulvey等[10]针对含有不确定信息的数学规划问题,提出了鲁棒优化的概念。王保华等[11]对不确定条件下的物流中心选址问题采用遗憾模型的形式构建了鲁棒优化模型。邱若臻等[12]在离散需求情景概率不确定的条件下,建立基于最大最小方法的多周期库存鲁棒优化模型。李婷婷等[13]考虑城镇化发展阶段客运需求的不确定性,对选址问题采用鲁棒优化模型和随机优化模型分别进行优化对比。
综上,铁路枢纽的车流组织研究还存在以下不足:(1)对货源需求大都假设为确定性的,但是这种假设对于需求发生的实时变化又难以做出有效应对;(2)没有考虑货物运到期限的约束;(3)货物送达办理站的时序还不尽合理。笔者在考虑枢纽内以行包、行邮为代表的快运班列组织的基本要求,设计满足货物送达时序的动态时空服务网络,以编发班列的成本最小为优化目标,考虑货物的运到期限约束,建立了铁路枢纽内快运班列车流组织随机鲁棒优化模型,并设计了算例进行验证和分析。
1 建模思路
1.1 动态时空服务网络设计
时空服务网络形式可以较好的解决货物运输的时效性约束问题[9]。铁路枢纽内快运班列的车流组织形式可以设计双层动态时空服务网络进行描述,见图2。货源层假设有n个货运站点(即A,B,… ,N),由于我国铁路枢纽内大都只有一个编组站办理业务,故编组层假设有一个编组站。决策周期为1d,可分若干个单位时段。在决策周期结束后,每个车站对应一个超级时段,即一类虚拟节点,凡决策周期内未到达终点的运输弧均指向终到站所对应的超级节点,以表示该运输弧在时空网络中的终点,为方便描述下文用超级站点代替。货运站点需送达不同方向的货物通过运输弧到达编组站,或选择延迟弧等待下一个时段和其他货物一起装车运送。为了减少枢纽内小运转列车和摘挂列车数量,需在不同时间段送达编组站的货物可能会选择延迟弧从而快速集中至同一小运转列车运输。但是快运班列的货物运输必须考虑客户时效性需求,如何选择运输弧和延迟弧应该有定量的方法,选择运输弧或延迟弧要考虑客户时间需求和运输成本。假设列车在服务弧段a上的运行时间是ta,ya表示如果选择服务弧段a,则等于1,否则等于0。为客户对货物的时效性需求。式(1)保证每个货物送达编组站时间总和不超过运到期限要求的送达时间。
以图2为例,最终的车流组织方案为:A站的待发至2个去向的货物在t=1时段由一列小运转或摘挂列车发出,在t=2时段到达B站,甩掉A站的第2去向货物并挂上B站第1去向货物继续运行至N站,挂上N站第一去向货物并在t=3时段到达编组站,等待编发往第1 方向;在B站的第2去向货物与A站的第2去向货物等待至t=3时段与B站的第3去向货物由另一列小运转或摘挂列车发出,并在t=4时段到达N站,挂上N站第2去向货物同时段到达编组站,等待编发至第2和第3去向。共需两列小运转或摘挂列车组织车流。
1.2 随机鲁棒模型
结合随机优化和鲁棒优化的优点,Snyder等[14]提出随机p-鲁棒设施选址模型,其目标函数与典型的随机优化问题相同,即最小化期望成本,同时限制各情景的相对后悔值不大于该场景下最优目标函数值的100%p,即模型的解是鲁棒的。定义如下:ω 为相对后悔值限定系数,ω≥0且为常数,R为情景集集合,有 r∈ R ,对于给定的情景r,Pr为确定性最小化问题。设情景r下Pr的最优目标函数值为Fr*,变量x为所有情景R下问题Pr的可行解,Fr(x)为情景r对应的目标函数值,当[Fr(x)-Fr*]/Fr*≤ ω,则x为问题Pr的鲁棒解,为相对后悔值,ω为相对后悔值限定系数。
有如下随机鲁棒模型。
式中:ρr为情景r发生的概率;Ω为可行解空间。
2 模型构建
对于模型有以下假设。
1)需要编发快运班列的货物以行包、行邮为主,并具有方向属性。
2)同一货运站点须在同一时段送达编组站的同一方向的货物不可被拆分。
集合定义。G = (D,A)。A为弧段集合,有a∈ A ;编组站集合为S;P为服务路径集合p ∈P;ps为到达编组站s的路径集合;D为需求货源的集合;K为需求货源发送方向的集合。
变量定义。弧段a上的广义时间费用为ta,tstop为小运转或摘挂列车每次停站平均等待时间;为路径p开行班列的广义费用;La为弧段a的广义费用;ξs为编组站s可处理的最大方向类别数;编组站开行一列快运班列列车最大的发车货物量和最小的发车货物量分别为Q和Q′;δpa=1为弧段a在路径p上,否则=0;δpstop,a=1为小运转或摘挂列车所停站点属于弧段a且在路径p上,否则=0;k方向属性的需求d可以允许送达编组站时间为;fsk是编组站s 1d发送k方向的快运班列数;vkd为发往k方向需求d的货物数量;ζa为弧段a通过能力。
决策变量定义。ηp为服务路径p提供的服务频率;xrk,d,a∈ Z+为在情景集r下服务弧段a上分配的来自第d个货运站点的需求发往第k方向的货物流量;yrk,d,p=1为在情景集r下来自第d个货运站点的需求发往第k方向的货物通过服务路径p,否则=0。zrk,s=1表示在情景集r下编组站s开行k方向列车,否则=0;Fr(xk,d,a,ηp)为xk,d,a和ηp在情景r下的目标函数值,
铁路枢纽内快运班列车流组织鲁棒优化模型(CR)为
式(6)为需求配送的路径惟一性约束。式(7)和式(8)为保证编组站发送k方向的快运班列列车的最大和最小货物数量约束。式(9)为编组站能处理的快运班列的能力约束。式(10)为货物需求到达编组站的时间约束。式(11)为服务弧段能力约束。式(12)为服务路径p的服务频率约束。式(13)为编组站开通快运班列方向与服务路径的约束。式(14)为货物走向的物理路径与服务路径的关联约束。式(15)为保证每个方向快运班列只由一个编组站编发。
不考虑约束式(5):对给定的情景r,鲁棒模型的需求参数为确定值,其实质为确定性模型(CD),对给定的情景集R,鲁棒模型为如下基于情景的随机优化模型(CS)
由式(6)~(15)可见,确定性模型和随机优化模型为混合整数线性规划模型,可用IBM ILOG CPLEX优化软件求解。IBM ILOG CPLEX软件可以对数学优化模型进行精确求解,包含一系列可配置的算法程序:单一优化程序、界限优化程序以及混合整数优化程序。可根据待解决问题的特点选择相应的优化程序。其中混合整数优化程序能够为大部分混合整数规划问题提快捷、高效的解决方案。在CPLEX代码的集合表示中,路径和联弧之间、路径与货流之间以及路径上弧段与时间之间采用关系矩阵的方式表示。具体应用可参考雒兴刚的优化软件与应[15]。其中求解确定性模型可得到最优目标函数值Fr*。对于鲁棒优化模型,即在随机优化模型的基础上加上约束式(5),该约束中Fr*的值为常数,故约束式(5)为线性约束。
3 算例分析
以图3所示的某枢纽为例,包含1个编组站,10个货运站点。假定决策周期(1d)内需要组织数列快运班列分别发往5个不同方向。
为了方便定义时空网络,图中货运站点以数字表示,编组站以M表示,超级站点以V表示,用于存放未能送达编组站的货物。 根据经验,Qmax,Qmin和tstop值分别设为30车,1车和0.3h,费用单位统一为元,货物单位和弧段能力单位统一为车,时间单位统一为h。限于篇幅,表4列出了情景5 的货物需求,其他场景依次递增递减10%,其他数据见表1~4。
取情景集S =10,相对后悔值限定系数ω 为0.1和0.03,每个场景下的概率ρs相同。在Win-dows 7PC环境下,配置为2.20GHz的CPU和4GB RAM,C#编程调用ILOG CPLEX求解鲁棒模型的时间均小于2min。
注:FrCDFrCS,FrCR分别为模型CD,CS和CR的目标函数值;μrCR为模型CR的相对后悔值;μrCS=((FrCD–FrCS)/(FrCD))×100%,μrCR=((FrCD–FrCR)/(FrCD))×100%
可以看出,在大部分的情景下模型CD的目标函数值都优于CR和CS,当ω =0.1时,模型CR的目标函数值与模型CS的目标函数值较接近,这是因为模型CS与CD的函数值的误差都小于相对后悔值限定系数ω 。当ω=0.03时,模型CR的目标函数值比模型CS的目标函数值降低了5.10%,发送车数提高了5.66%,表明当相对后悔值限定系数小于模型CS与CD的函数值的误差时,模型CR的鲁棒性优势得以体现,其目标函数值和发送车数要更优于CS。对计算时间进行比较,当ω =0.03时模型CR计算时间最长为82s,但依然属于可接受的时间范围内。综上可知,鲁棒优化模型比随机优化模型更具有优势。
4 大规模测试
动态时空服务网络由于引入了时间因素,相比于物理网络,其节点和弧段的数量都明显增加,使网络的规模增加。为验证动态时空服务网络规模增大后,笔者所采用的求解方法是否还具有可适性,对服务网络在不同规模下进行大规模测试。测试环境同上,C#编程调用ILOG CPLEX求解确定性模型(CD)。表7所列,当铁路枢纽的货运站点数是50且服务弧段达到317时,运行时间是1 375.40s。而中国大多数的铁路枢纽,货运站点数小于30。所以,采用ILOG CPLEX求解基于时空服务网络的铁路枢纽车流组织模型在时间上是可以接受的。
5 结束语
本文主要解决铁路“点线”能力中制约“点”能力的问题,并为增强“点”能力的鲁棒性进行了研究,为铁路运输能力逐步释放背景下的枢纽内车流组织提供方法支持。结论如下:
1)构建双层时空网络,保证了货物的运到期限要求,能更好的刻画货物在枢纽内办理的过程,满足合理送达时序的要求,进一步挖掘铁路“点”的能力。
鲁棒优化论文 第7篇
关键词：鲁棒优化,调度决策,机组组合,经济调度
0 引言
电力系统运行中存在着来源各异的不确定性因素,如负荷的随机扰动与发输电元件的意外停运等。近年来,随着新能源电源的广泛并网发电,其随机性、间歇性的特质,在频度与幅度上进一步加剧了电力系统运行中的不确定程度,从而,使电力系统调度理论由确定性向不确定性转变成为发展的必然。
电力系统运行调度是一个多时间尺度相互协调的优化决策问题。由于电力系统规模庞大,优化模型中变量及约束的种类繁多、数量巨大,再附之不确定因素的影响,使电力系统调度决策成为十分具有挑战性的工作,吸引了该领域内专家、学者的广泛关注,成为当下研究的热点问题之一[1,2,3,4]。
鲁棒优化是一类基于区间扰动信息的不确定性决策方法,其目标在于实现不确定参量最劣情况下的最优决策,即通常所谓的最大最小决策问题[5,6]。由于鲁棒优化算法具有不需要不确定参量精确概率分布信息、计算快捷等优点,其在电力系统的调度决策问题中具有广阔的应用前景,尤其在解决新能源发电形式给区域电网、微电网引入的不确定性问题时具有独特优势,在近五年里,此类研究报道日渐增多,研究深度与广度显著提升[7,8,9,10,11,12,13,14]。
在上述背景下,本文对鲁棒优化在电力系统机组组合、经济调度问题中的应用现状进行综述,对其中的建模规律进行梳理,对此类研究未来的发展趋势进行展望,以期为该领域研究工作的进一步开展提供有益的参考。
1 鲁棒优化概述
鲁棒优化起源于20 世纪50 年代,在Von Neumann最大最小定律的基础上,统计学家Wald于1950年提出悲观决策准则[15],其中即包含了鲁棒优化的思想,即要求决策者根据每一种决策方案的最坏实现情况进行方案的优选。而20世纪70年代后,鲁棒优化得到快速的发展,形成了独立、完整的优化理论体系,并被广泛地引入控制论[16,17]、金融决策[18,19]、供应链管理[20]等科技和工程领域。
相比较于处理不确定规划问题广泛采用的随机规划方法,鲁棒优化具有如下特点:①决策关注于不确定参量的边界情况,决策过程不需要知道随机变量精确的概率分布形式;②一般来讲,鲁棒优化模型可通过转化成其确定等价模型求解,求解规模与随机规划方法相比相对较小;③由于鲁棒优化决策针对不确定量的最劣实现情况,其解存在一定的保守性。上述特点使鲁棒优化成为一类特殊的不确定规划方法,具有独特的应用条件与效果。
为不失一般性,首先以考虑参数不确定性的线性规划问题为例,构建鲁棒优化的示意模型,表示为[5]:
式中:X为n阶待决策向量;C为线性目标函数中的参数向量;M为约束方程的m×n阶系数矩阵;n为m阶参数向量;U为不确定集。
由式(1)可以看出,线性鲁棒优化模型与线性规划模型在形式上具有一致性,但两者参数属性有着本质区别。鲁棒优化模型考虑了目标函数和/或约束条件中参数的不确定性,即参数C,M ,n可在不确定集合U中任意取值[21]。
根据鲁棒优化定义,其解具有以下特点:①决策在不确定参数实现情况未知的前提下进行,可获得一个确定的数值解;②决策结果足以应对所有不确定参数的同时扰动;③当不确定参数在预先设定的不确定集合内取值时,模型的约束是必然满足的。因此,鲁棒优化模型的有效解是当模型参数在不确定集合中任意取值时,能够保证所有约束均可行的一组确定的数值解。
为体现鲁棒优化解的上述特点,需在鲁棒优化模型中显式表达参数不确定性给决策结果带来的最劣影响,由此,将式(1)所示的鲁棒优化标准模型转化为其鲁棒对等模型[5],如下式所示:
该模型中,内部嵌套的最大化问题表征了不确定参量对于优化的最劣影响,而外部最小化问题则表明了鲁棒优化所寻求的最优解是最劣情况下的最好解。观察式(2)不难发现,在将不确定参量作为内层优化问题的决策变量后,该式已是一个确定性的多层次嵌套的优化问题,其求解思路即是将内层子问题通过对偶变换[22]等方式处理,形成单层线性或非线性确定性优化问题,进而求解[23,24,25,26,27]。因此,此等价转化,是求解鲁棒优化模型过程中的一项很重要的工作[28,29,30]。
2 鲁棒优化在机组组合问题中的应用
2.1 机组组合问题的一般模型
电力系统机组组合是在满足发电机组物理约束、电网输电能力约束以及负荷需求约束条件下,合理安排机组开停机顺序,使总的机组启停费用和运行费用最小的一类运行决策问题[31,32]。其中,机组数量、约束数量、约束之间关系的复杂程度等因素都会直接影响到机组组合问题的求解难度。机组组合问题的一般模型可表述为[33,34]:
式中:x为表征所有决策时段内机组启停状态的{0,1}决策向量;c为与机组启停决策相关的成本系数向量;y为所有决策时段内与功率分配相关的决策向量;b为与功率分配相关的成本系数向量;F为所有仅与启停决策变量x相关的约束所对应的系数矩阵;f为该类约束限值构成的向量;H为仅与功率分配决策变量y相关约束所对应的系数矩阵;h为该类约束限值构成的向量;A和B分别为同时包含机组启停决策变量x和功率分配决策变量y的耦合约束所对应的系数矩阵;g为该类约束限值构成的向量。
综上所述,确定性的机组组合决策方法用确定值(如负荷预测期望值)替代不确定变量,通过预设一定数量的备用来应对系统运行中的不确定性。机组组合是一类复杂的混合整数规划问题,其典型求解方法包括:优先级表法、动态规划法、拉格朗日松弛法及各类智能算法等[35,36,37]。
2.2 持续功率扰动下的机组组合鲁棒优化方法
在机组组合问题中,面临许多持续性的功率扰动,主要是由于对负荷功率需求或新能源电源输出功率预测偏差造成的。容易理解,无论是负荷功率需求的不确定性还是电源功率输出的不确定性,其最终均体现为节点功率注入的不确定性,因此,两类扰动的处理方法具有互通性[38,39,40]。
1)机组组合的两阶段鲁棒优化模型
为应对负荷功率需求的不确定性,文献[41]首次将鲁棒优化引入到机组组合问题,形成了一类机组组合两阶段鲁棒优化的典型模型。
在上述模型的基础上,此类两阶段鲁棒优化模型可表示为[33,42]:
式中:d为所有调度时段内不确定节点负荷功率所构成的列向量,其构成的不确定集为D。
若假设每个决策时段的不确定集合为Dt,则所有调度时段内的不确定集可表示为即对各调度时段内的不确定集Dt取笛卡尔乘积,取其所构成的最大集合范围作为总体不确定集。
机组组合鲁棒优化的决策目标为寻找目标函数在不确定负荷最劣(使目标成本函数最大化)实现情况下最经济的机组启停与发电计划。如式(5)所示,模型的目标函数包括两部分,第一部分是cTx,表示与机组启停决策相关的成本,其中,x的决策在不确定扰动未知的情况下进行;第二部分是bTy(d),表示调度过程对应的运行成本,其含有耦合的两类决策变量,一类是y,其决策目标是最小化系统的调度成本,另一类是d,代表随机扰动的负荷,通过选取d,最大化系统的调度成本,以模拟扰动的最劣实现情况。需注意的是,y的决策受d实现的影响,d的取值同样受到x和y决策结果的影响,因此用y(d)表示了这种牵制关系。
当然,除上述的两阶段鲁棒优化模型外,关注新能源功率不确定的部分研究还采用场景集来描述不确定性扰动,通过选取场景集中的极端场景进行分析,同样体现了鲁棒优化以最小化最劣情况下运行成本为决策目标的核心思想[43,44]。
2)目标函数的选取
在式(5)的基础上,文献[45]向目标函数中加入备用配置成本,形成了综合考虑新能源和备用配置要求的机组组合鲁棒优化方法。
与式(5)相比,文献[46]增加了“最小化不必要弃风”这一优化目标,为此,在目标函数中引入根据等耗量微增率准则求得的罚因子,以反映各风电场的弃风代价,从而保证风电的优先上网[47],并实现最小化弃风量的优化目标。
文献[48]将最小化最大遗憾值的优化标准[49]应用于机组组合的鲁棒优化模型,尝试对优化模型目标函数的构建进行改进,并定义最大遗憾值如下:
式中:M(x,d)为决策变量y的可行域集合,在关于机组启停决策x和随机扰动d(此文献中特指风电功率)确定的条件下给出;c(x)为机组启停成本函数,与两阶段鲁棒优化模型中的cTx含义相同;f(y)为功率分配决策的成本函数,与两阶段鲁棒优化模型中的bTy(d)含义相同;Q(d)为在某一扰动d的实现下,同时优化x与y所能获得的最理想调度结果对应的成本。
式(7)中将遗憾值定义为:对于某一扰动d的实现,在给定的机组启停状态x下,调整功率分配决策变量y所能获得的最小总成本与同时对决策变量x和y进行优化所得的最小总成本之差,反映了由于未恰当进行机组启停决策所导致的额外成本。基于此定义,在最劣扰动情况下,式(7)表示某一启停策略x对应的最大遗憾值。通过恰当选取x,可使最大遗憾值R(x)得到最小化,由此可设鲁棒优化目标为。与两阶段鲁棒优化模型的优化目标函数相比,该思路在风险评判标准普适化方面做出了有益的尝试。
3)约束条件的选取
在两阶段鲁棒优化模型的基础上,机组组合鲁棒优化模型在约束条件构建方面经历了如下的发展过程:文献[50-51]增加了对联络线传输容量约束的考虑,使模型更加符合电力系统的运行实际。文献[38]对联络线容量约束、爬升速率约束、不确定集合形式对机组组合鲁棒优化决策结果的影响进行了分析。文献[52]在文献[38]研究的基础上,深入分析了备用约束与不确定集合的关系,即通过对不确定集合的限制,可使得系统对旋转备用的需求自然满足,而不必作为约束条件出现。
文献[53]是考虑新能源发电不确定性的典型研究之一,在风电不确定的基础上反映出了抽水蓄能在功率分配过程中的重要作用。其在两阶段鲁棒优化模型的基础上,在实时功率分配阶段引入表征抽水蓄能电站吸收、发出功率的决策变量,并在约束中加入相关的逻辑和物理约束(如吸纳功率上下限约束、发出功率上下限约束以及蓄水量约束等),以形成计及风电及抽水蓄能电站影响的机组组合鲁棒优化决策模型。
需要注意的是,本节所列举的机组组合鲁棒优化模型存在共同弊端,即模型的准确度和保守性依赖于对功率不确定区间的划定,一旦划定区间过大,某些出现概率非常小的极端情况也被考虑,难免导致调度结果过于保守[46]。
2.3 偶发故障情况下的机组组合鲁棒优化方法
考虑偶发性扰动的机组组合鲁棒优化方法针对的是机组故障、线路断线等故障扰动情况,其模型以最小化最严重故障情况下系统的运行成本为目标,与应对连续性扰动的鲁棒优化模型的主要区别在于约束形式的变化[54,55,56,57,58]。
1)最严重扰动的表达方式
需要注意的是,该类鲁棒优化模型在对最严重扰动情况的求取方式上有所差异,现对几种典型模型逐一分析。
文献[54]中提出了一种结构简单的模型,其目标函数中包括启停、运行成本,旋转和非旋转备用成本,不含故障状态变量。该模型中,最严重的故障扰动被设置为所有非故障机组总出力最小时的情况,用d*来描述:
式中:zg为表示机组是否出现故障的{0,1}变量,出现故障时取值为0;yg为机组g发出的有功功率;rg为机组g所承担的备用;Ng为系统发电机组数。
本文通过将式(8)和功率平衡约束同时考虑,保证决策结果具有充足容量应对最严重的机组偶发故障场景。
文献[55]与文献[54]思路的差异在于,其改用故障后的失负荷量及其价值来衡量故障的严重程度,其目标函数为:
式中:C(y,z)为故障后系统功率再分配阶段对应的成本函数;z为表征元件运行状态的不确定向量,其构成的不确定集为Z;ygt为机组g在时段t内发出的功率;fg(·)为其运行成本函数;T为整个调度时段;zgt为表示机组g在时段t内是否正常运行的{0,1}变量,出现故障时取值为0;VVOLL为故障后失负荷对应的成本。
在式(10)中,故障后机组丧失发电能力,假设其原本可在该时段内正常发出的功率ygt为失负荷量,当发生最严重故障时,失负荷量达到最大,其与失负荷价值VVOLL的乘积也达到最大值,从而体现故障对优化目标的劣化作用。
文献[56]在文献[55]的基础上将不确定变量z的含义由单纯的机组状态拓展为全部机组和线路元件的运行状态。在目标函数中,用各条母线上的实际注入功率(包括传输线净功率和机组出力)与负荷之间出现不平衡量作为失负荷量,并用广义的罚因子替代失负荷价值。
2)约束条件的变化
此类鲁棒优化建模时,常利用表征元件运行状态的向量z构建出在各种故障组合情况下具有一致性的等式与不等式约束表达[57]。以系统可用容量需求约束为例,该约束要求在正常及事故运行状态下,系统的可用容量(发电容量及备用容量)均大于系统的负荷需求,可表述为:
式中:D为系统的负荷需求。
由式(11)可见,一旦机组g发生故障,则在变量zg的作用下,该机组所承担的输出功率与备用容量将自动从系统容量需求约束中剔除,从而,反映出机组故障对系统可用容量需求约束的影响。
由上述分析可见,由于利用了式(11)所示的约束表达方式,以及上述对最严重扰动情况的直接求取方法,此类鲁棒优化方法不必像随机规划方法一样枚举出每种故障组合状况对应的运行约束即可求取最严重故障扰动下的最优决策,从而使模型大大简化,计算效率大为提升[59,60]。
2.4 不确定集的构成及保守性的控制
由鲁棒优化基本思想可知,模型中不确定性参数的波动范围将构成一个确定的有界集合,优化过程则将依据集合边界,寻找最劣扰动情况下的最优解。据此思路,对解保守性的控制即体现为对不确定集规模的控制,这是关系到模型求解效率和保守性的重要问题。
当前研究中常采用盒式或多面体不确定集、基数性不确定集、N-k不确定集等[61]形式描述不确定参量的波动范围。其中,前两类集合适用于针对持续扰动的鲁棒优化模型,第三类集合适用于针对偶发故障的鲁棒优化模型。本节将对各类不确定集合的特点及其解的保守程度进行分析。
1)盒式或多面体不确定集
区间是描述不确定参数波动范围的一种基本形式,由其构成的不确定集被称为盒式不确定集,表述为[62]:
式中:下标ω 为不确定参量标号,构成集合Ω;dω为不确定参数d的取值;Dωu和Dωl分别为dω的上、下界。
式(12)表示,盒式不确定集对不确定参数的区间边界设置限值,在优化模型中将不考虑超出区间边界的参数实现情况,因此,区间覆盖范围决定了决策结果的保守性。
原则上,对于盒式不确定集,可以通过指定不确定参量的边界值来限制集合的规模,但不恰当的取值将导致结果保守或冒进。在实际应用中,盒式集合常加入具有1-范数形式的不确定度约束对决策的保守程度实施控制[33,39,63],此时,盒式不确定集变为如下形式:
式中:πω为不确定参数dω的权重;π0为所有不确定参数加权和的上限。
式(13)所示的不确定集合在相关研究中常被简称为多面体不确定集[62],此时,所有不确定变量的加权和需小于给定的不确定度参数π0,从而可通过控制π0实现对决策结果保守度的控制。
2)基数性不确定集
基数性不确定集合的特点在于其对不确定参量偏移量的相对值进行控制,能够更准确地衡量参数的波动状况,可表述为[38,42,52]:
式中:为dω的预测值;为dω距离预测值的最大偏移量;Γω为不确定度参数。
事实上,除了式(13)、式(14)所述的两类不确定集外,其余的凸约束形式,如具有2-范数形式的椭球体约束,也可以用于构成不确定度约束,但具体工程建模中,为简便起见,多使用多面体或基数性不确定集对扰动量的不确定范围进行限定[29,33,61]。
3)N-k安全准则不确定集
反映偶发性扰动的不确定性扰动变量集合Z呈现出离散、非凸的特性,在N-k安全性原则限制下可表示为如下形式[56]:
式中:zl为表示传输线路是否出现故障的{0,1}变量,zl和zg构成表征元件运行状态的不确定性向量z;Nl为系统内输电线路数;N为系统中所含发电机组和输电线路的总数目;k为不确定集所考虑的故障阶数。
式(15)要求正常运行的机组和传输线路总数不小于给定的限值。此时,可以通过削减模型所考虑的故障阶数,即限制k的取值,对模型的保守度进行调整[54,58]。尽管如此,由于多重事故的极端事故情景通常表现为运行成本较低、容量较大的大型机组的停运,而此类机组往往具有较高的可靠性,因此,N-k准则下的调度结果通常还是比较保守的。
为解决该问题,文献[55]提出利用含有概率信息的αcut准则构成鲁棒机组组合模型的不确定集合,即只考虑故障概率大于给定截止值αcut的场景的作用。
以机组停运故障为例,此时新加入的不确定度约束可表示为:
式中:Pgt为机组g在时段t内的故障率。
由式(16)可知,αcut准则通过避免对极小概率事件的考虑,减小不确定参数集合的规模,从而达到控制优化模型保守度的目的。
总的来说,不确定集覆盖的扰动范围将直接影响到优化结果的保守程度,因此,对解的保守度的控制即体现为采用不确定度约束对不确定集的覆盖范围进行限定。不难看出,当前研究中鲁棒优化模型的保守度设置受人为主观因素的影响较大,反映了调度决策人员的风险态度。
3 鲁棒优化在经济调度问题中的应用
经济调度是电力系统运行决策中的重要组成部分,其通过对在线机组运行基点的调整,在保证系统安全、可靠运行的前提下,以最小的发电成本,满足用户的电力需求。由于扰动在发电机组间的分配机制对系统的扰动应对能力影响显著,因而,在经济调度鲁棒优化方法中,往往需计及扰动后不平衡功率的再分配过程[64]。经济调度的鲁棒优化方法目前已被应用于处理计及风电功率[65]、径流式小水电功率[63]及太阳能发电功率[66]波动的经济调度问题。
3.1 经济调度的自适应鲁棒优化方法
在经济调度问题中,自适应鲁棒优化方法强调模型对各类扰动的自适应性,对不平衡功率的平抑机制没有进行预先设定,从而,扩大了调度的寻优空间。另一方面,同样由于此类方法没有对扰动平抑机制进行设定,在实际应用中,还需对扰动发生后各发电机组的调整策略另行决策。
自适应鲁棒优化方法按照建模思路的不同可分为两类。第一类方法是按照调度时序构建的两阶段鲁棒优化方法,其包括发电机组运行基点设定和不平衡功率在发电机组间的再分配两个阶段;第二类方法是从博弈论的角度,将经济调度决策视为与外界扰动之间的博弈过程,从而构建的零和博弈方法。
1)两阶段鲁棒优化模型
经济调度的自适应二阶段鲁棒优化模型有以下结构:
式中:yp为表征机组功率的决策向量;ymax和ymin分别为yp的上、下限;cp为与yp相关的成本系数向量。
此处,d为经济调度问题中考虑的不确定性扰动;y(d)为扰动d发生后,功率的调节量向量;H为包括功率平衡约束、备用约束、机组爬升速率约束在内的调度约束所对应的系数矩阵。
在上述模型中,式(18)、式(19)表示运行基点按照在预测期望场景下需满足机组及系统的运行约束,式(20)和式(21)则表示扰动场景下,计及发电调整过程后,上述机组及系统的运行约束仍需要被满足。
上述模型可发展为多时段的动态调度模型。文献[67]根据多风场在时间和空间上的联系,构建了动态不确定集,即将前一时段的扰动实现情况与当前阶段的不确定集耦合,形成了自适应的多时段动态经济调度鲁棒优化模型,与静态经济调度相比,决策结果在运行效益和系统可靠性方面都有所提升。此外,文献[68]利用超前调度鲁棒优化模型验证了时空相关的风电预测模型在提高风能利用率、降低系统运行总成本方面的优势,并说明在考虑风电功率波动性的鲁棒优化模型中,预测精度的提高在缩小不确定集合范围、控制决策保守度方面起到了重要的作用。
2)工程博弈模型
将造成不确定扰动的自然因素和经济调度决策者视为博弈的竞争双方,可依据零和博弈理论构建具有自适应性的经济调度鲁棒优化模型[69,70]。在博弈的双方中,调度决策的目的是用尽可能少的成本有效平抑扰动,而计划外扰动则欲使系统总收益降低,博弈双方一方的收益必然导致另一方的损失,两者的收益和损失之和为零,不可能存在合作关系,故符合零和博弈模型。零和博弈模型的最优解由纳什均衡决定[71,72]。此类模型的目标函数可表示为:
式中:J(u,w)为总成本;u为经济调度的决策变量;w为自然作为博弈的一方所做的决策。
式(22)表示,最优调度结果应当使得在极端自然条件下的运行成本最小。鲁棒优化问题的博弈模型也被称为工程博弈论模型[72]。由于工程博弈模型具有典型的最大最小形式[71,72],因此在求解时可采用两阶段松弛算法[73]进行近似求解。
3.2 计及AGC仿射矫正过程的实时调度鲁棒优化方法
实时调度与自动发电控制(AGC)是紧密关联的两个过程。实时调度根据预测得到的系统功率需求,将机组运行基点调整到合理位置,进而,AGC对功率需求预测偏差造成的系统不平衡功率在各AGC机组间进行再次分配,以维持系统供需的平衡。由于电力系统实际运行过程中,不平衡功率一般依据参与因子在AGC机组间进行分配,因而,AGC可以看成是实时调度的一种具有仿射函数关系的矫正控制手段[64,74,75,76]。
AGC机组补偿量与系统扰动量之间的仿射关系可表达如下:
式中:Δpg为AGC机组g的输出功率补偿量;αg为AGC机组g的参与因子;Δdi为节点i处的扰动量,设系统共有Nd个节点。
相比较于自适应模型,计及AGC仿射矫正控制过程即是将自适应模型中的功率调整函数采用式(23)进行具体化。这种方法的优势在于:采用仿射校正机制后,可同时决策AGC机组的运行基点与参与因子,从而将开环调度与闭环AGC紧密结合,实现了调度与控制的协调[64]。与此同时,仿射关系引入的表达形式都是线性的,易于求解,提高了模型的计算效率。
针对此类模型的求解,一般采用Soyster所提出的方法[74],消去约束中的不确定变量,转化成等价的线性、非线性模型进行求解[77]。
3.3 最大化扰动接纳范围的鲁棒优化方法
现有的鲁棒调度方法中,大多要求预先确定不确定集合的范围,进而得出能够有效应对集合中任意极端情景的最优决策[33,39]。然而,电力系统在实际运行中可能并不具备完全平抑节点功率扰动的能力[78],从而,需要从电力系统自身调控能力出发,量化系统对扰动的最大接纳范围,进而,给出恰当的备用配置策略,合理构建系统的扰动抵御能力。
文献[79]将可再生能源电源出力范围的边界作为可决策变量,并将该边界称为不可超越的限值。文中将注入功率不确定的电源统一称为变动电源(VER),并以最大化可接纳电源波动范围为目标,构建目标函数如下:
式中:σk为权重系数,体现接纳第k个VER功率波动的相对重要程度;wku和wkl分别为第k个VER功率波动范围的上、下边界;pCCU为功率偏差矫正单元(包括AGC机组和交流联络线)提供的矫正功率。
式(24)中,通过最大化系统内所有VER功率波动范围的加权和,可获得系统对节点功率波动的最大接纳范围。pCCU的数值需要在VER扰动实现后才能确定下来,在约束中作为待决策变量出现,而不显含在优化目标函数中。
需要注意的是,系统接纳节点功率扰动的能力与调度结果的经济性之间存在挤兑关系,为同时体现两者对调度决策的意义,文献[75]将最大化风电允许出力上界和最小化发电成本作为优化目标,建立了鲁棒区间调度模型。文献[78]通过求取满足“弃风量最小”这一经济性要求的风电最大安全出力区间解,实现了经济性与安全性的协调。同时,文章还推导了风电出力不确定度与置信水平的关系,作为缩减风电出力区间的依据,对解的保守性进行控制。为进一步明确模型安全性目标和经济性目标的主从顺序,文献[64]构建了具有两层目标的实时调度模型,形成两层优化问题。其第一层优化量化了系统的最大扰动接纳能力,在此基础上,第二层优化给出了维持给定扰动接纳能力条件下的最经济的调度决策,其决策结果包括AGC机组的运行基点及参与因子。
由以上分析可知,此类模型的优势在于,可量化评估系统抵御扰动的能力,同时,能够实现对有限的可控机组资源的有效分配,从而使系统能够最大限度地应对不确定性的功率注入。
4 发展方向及展望
对于不确定运行条件下的电力系统调度决策问题,鲁棒优化提供了一种“劣中选优”的决策思路,其关注最劣情况下的最优解,仅需扰动边界信息进行决策,计算效率较高,因而具有很高的应用价值。然而,与从电力系统经济性最优化角度出发同时兼顾一定扰动应对能力的“优中选宜”(宜在此处有适应性较好之意)的决策思路相比,鲁棒调度的决策过程缺少了对电力系统抗扰动能力提升与经济代价折中协调的过程,并未体现不确定参量背后的统计学规律,且决策过程仅考虑了极端边界信息,具有不可避免的保守性。
因此,改善鲁棒调度方法的保守性,平衡优化方法的鲁棒性和经济性是当前研究的关键问题,其解决思路主要有以下两类。
第一类思路是通过合理构建不确定集控制优化方法的保守性。如2.4节所介绍的不确定集覆盖范围的控制方法。此类方法中,如何根据不确定量的概率分布构造恰当的不确定集,使之能够覆盖适当的扰动场景,且使调度结果具有统计意义下的优化效果,是此类解决思路的关键。
第二类思路是鲁棒优化与随机规划方法的融合与配合使用。当前已有部分研究尝试对两种优化算法进行组合,例如,文献[80]把目标函数中的成本函数分为两部分,一部分对应随机规划作用下的期望成本,另一部分对应鲁棒优化方式引入的最劣情况成本,并分别赋予权重系数(两部分权重系数之和为1),将两种优化方式统一到一个模型中,由调度人员通过选取不同的权重系数值来调节机组组合模型的保守性。
文献[81]从调度时序上综合两种优化方式,即在调度过程推进的时间轴上引入一个描述随机规划向鲁棒优化转变的“跃变时间点”,其决定了某一种优化方法所占的时间比例。此时,调度人员通过恰当选取跃变时间点,可达到控制模型保守度的目的。
鲁棒优化论文 第8篇
微电网具有灵活、可靠和经济的特点,是智能电网中的重要组成部分,发展潜力巨大[1]。工业微电网是微电网的一种类型。工业微电网内部拥有自备火电机组满足生产所需负荷,机组发电容量与负荷需求大致平衡。
工业微电网又不同于常规定义的微电网。首先其负荷总量巨大,总发用电成本高昂;其次在能源来源上工业微电网以火电为主,污染严重,治污成本高;最后也是最重要的,工业微电网负荷与生产紧密相连,取决于生产工艺(包括生产技术、生产设备、开机时序等),导致负荷难以预测,涌动性强。一般而言,当微电网自发电不足时,微电网从区域电网购买电力并支付费用;反之自发电过多时,微电网向区域电网输送电力并获取收益。但工业微电网巨大的用电总量和相当强的涌动性使得微电网与区域电网的电力交换呈现巨大的波动性与冲击性,这将对区域电网电能质量造成严重的冲击,电网难以接受这种情况。现行的解决方案为自备电厂出力由区域电网控制,这种情况下自备电厂出力会长时间维持于低水平而不能满足负荷需求,微电网需大量购电,不利于企业微电网降低成本。所以本文采用微电网关口平衡模式[2,3],即在微电网与区域电网达成协议控制自备电厂出力并保证内部发用电平衡,若出现不平衡情况则需向电网缴纳费用或惩罚,称为关口成本。
另一方面,工业微电网内部配备的中小型火电机组发电效率低,污染大,能源成本较高。而风电作为一种节能环保的新型清洁能源,其作用一直广受瞩目,随着技术的不断进步,其使用成本也不断降低[4],分布式风力发电技术成熟且已被广泛使用[5], 这为风电引入工业微电网提供了经济和技术上的可能性。以往的分布式风电研究主要集中在对风电并网的研 究上[6,7],对于含风 电工业微 电网研究 较少[8]。
风力的自然属性决定了风电随机性较大,而且工业企业内生产过程中生产负荷也存在较大的不确定性,这两种随机性的结合对微电网内部电力供需平衡提出巨大的挑战。在这种情况下,必须采用不确定方法建模,常用的方法主要包括:随机规划、模糊规划以及鲁棒优化,如文献[9]给出的利用情景树技术进行微电网风火电联合调度的模型,文献[10] 用随机算法研究了在热电联产的微电网中利用可再生能源的方法。
但是随机规划与模糊规划都需要模型随机变量的概率分布信息,而鲁棒优化只需随机变量分布区间,是有较好泛化性的不确定优化方法,近年来在各个含随机量的领域中受到广泛关注[11,12,13]。另外,根据处理方式不同,鲁棒优化可以分为盒式空间鲁棒优化模型、椭球空间鲁棒优化模型、解的鲁棒性可控制模型 及基于风 险偏好的 鲁棒线性 优化模型 等[14,15]。
本文以含风电工业微电网为背景,利用解的鲁棒性可控的鲁棒优化方法,以微电网内发用电成本最低为目标,以生产调度计划、火电机组出力与弃风量为决策量,建立并求解了含风电工业微电网经济调度模型。
1含风电工业微电网鲁棒优化模型
1.1模型背景
考虑在带有自备电厂的工业微电网中引入风电的情况,如图1所示,那么工业微电网中电力来源主要分成三个部分,即自备电厂火电机组出力、风电出力和区域电网。当生产所需负荷超过自备电厂和风电场出力之和时,则微电网需从区域电网购买电力, 产生购电费用;反之,当出力之和大于生产负荷时, 多余电力由区域电网消纳,产生消纳惩罚,两者合称为微电网的关口成本。
在微电网内部能源侧,风电出力可以实现一定精度上的日前预测[16],火电机组简化为单台的虚拟机组;在需求侧,生产过程的负荷可以分为不可调整的生产基负荷与可调整的各生产批次所需负荷,且两种负荷都是分布在一定区间内的随机量。同时, 工业微电网内部包含不止一台用电设备。不同设备生产不同类型的产品,不同类型产品的生产有着不同的用电特点、生产时长和先后顺序。如此,生产计划的安排一方面具有多样性、可调性,另一方面也由于随机性的叠加使平抑波动变得困难从而增加了调度的难度。在不影响全局的情况下对结构进行简化,如同类型产品只能在固定设备上进行生产,同类型产品时长相等、负荷接近,各批次的最早与最晚开机时间为确定值等。
合理地安排火电机组出力显然可以降低发用电成本,除此之外还可以通过合理安排生产计划即各批次开始时间降低成本。如图2所示,原批次开始生产时间为第3时段,这使得第3时段负荷较高而且与第2时段差距过大,导致负荷波动剧烈;如果将批次提前至第2时段开机,虽然全时段内总负荷不变,但第2,3时段负荷基本持平,从而抑制了负荷的波动性,降低关口成本和发用电成本。本文的主要研究思路也在于此,即通过调整各批次的开机时间, 在不改变全天 总负荷大 小的情况 下 (生产任务 需求),改变总负荷曲线,使之与风电出力“匹配”(走势相近),从而降低总发用电成本。综上,合理的生产计划和火电出力可以降低微电网发用电成本,针对确定性微电网,这一点很容易实现,但由于风电以及负荷的随机波动可能使在确定性模型下预先给出的调度方案不再最优甚至变得很差,所以在做决策时必须要考虑风电与生产负荷的不确定性,具体地说就是使决策在可能出现的比较不理想的情况下仍然有较好的表现。
1.2模型的数学表达
鲁棒优化常用于求解不确定模型在最差情况下可得的最优解,其处理方式通常为将模型分为两层或多层,外层根据内层随机变量所决定的最劣解寻找模型最优解。根据1.1节中的分析,结合鲁棒优化思想,可以发现本文模型可自然地用min-max结构分为内外两层。内层通过改变基负荷、生产负荷与风电出力三组随机变量的取值确定可以使关口成本最大化的情况;外层则针对最差情况给出相应的使发用电成本最小的生产计划与火电机组出力。
常用的鲁棒线性规划为盒式空间模型,但该决策空间过于保守,所以本文选择解的鲁棒性可控制的模型,用多面体空间代替盒式的决策空间。
假设随机规划模型中存在N个随机变量,记作那么随机变量可取值空间可表示为:
式中:Γ 为不确定代价,表述模型的不确定程度,其值越大,模型的不确定性越大,相应最优解的保守性越强。当Γ=N时,不确定空间为盒式,最为保守; 当0<Γ<N时,不确定空间为多面体;当Γ=0时, 模型退化为确定性模型,各随机变量取值为预测区间中点值。
假设总时段T时长中工业微电网需要完成若干生产任务,微电网中有Q台设备,每台设备需处理Mq种类型产品,且每种类型包含Iq,m个批次,令q为设备编号,m为类型编号,i为批次编号。
1.2.1外层问题———生产计划与火电出力调度
生产计划与火电出力是人为可以决定的变量, 其目的为使目标函数最小。在决策过程中,因其处于外层,以下称为外层问题(outer problem,OP)。
目标函数为:
式中:f(Pt)为t时段火电机组出力成本函数;a2,a1,a0、一次和常数项成本系数;a1,a0为关口成本上限函数;Sq,m,i,t为第q台设备第m种类型第i个批次的开机操作,0为不开机,1为执行开机;Pt为t时段火电机组出力;PtWC为t时段风电弃风量。
约束条件如下。
1)开机时间约束
式中为第q台设备第m种类型第i个批次的开机时间分别为第q台设备第m种类型第i个生产允许的最早、最晚开机时间;为第q台设备第m种类型所需处理时间。
式(4)保证各批次在规定时间内开机,式(5)为开机操作与开机时间的关系,式(6)保证各批次在总时段内完成。
2)最小关机时间约束
式中:τ=1,2,…,Tq,m为时间段编号;μq,m,i,t为第q台设备第m种类型第i个批次t时段的开机状态,0表示处于关机状态,1表示处于开机状态;tqoff为第q台设备处理批次之间所需的最短关机时间。
式(7)为开机操作与开机状态间关系,式(8)保证了同一时间内同一设备只能生产一个批次的产 品,式(9)为设备最短关机时间约束。
3)火电机组相关约束
式中:PMax,PMin分别为火电机组出力上、下限;ηd,ηu分别为火电机组出力单时段下降和爬升上限。
式(10)为火电机组出力范围约束,式(11)为火电机组出力的爬升与下降约束。
4)风电弃风量约束
弃风是对风电出力进行一定程度的舍弃,即减少风电引入。当电力过剩时适当弃风可以减少电力消纳,降低关口成本和总发用电成本。式(12)为风电弃风量的取值范围。
式中:PtW为t时段风电机组出力。
1.2.2内层问题———最差情况确定
风电与生产负荷是人为不可控制的自然变量, 其随机性会引起调度计划制定困难,甚至导致生产事故,所以在计划制定时需要考虑可能出现的最差情况。在决策过程中,其处于内层,以下称为内层问题(inner problem,IP)。
目标函数为:
式中:Ct为t时段关口成本函数;LtB为t时段生产基负荷;LSq,m,i,τ为第q台设备第m种类型第i个批次开机后第τ 时段的负荷;λtin,λtout分别为t时段购电成本系数和消纳惩罚系数,两者都为正数;PtG为t时段关口流量,正数表示购买电量,负数表示消纳电量。
约束条件如下。
1)设备负荷约束
式中:Lt为t时段总负荷;分别为t时段基负荷预测分布区间中点与半径;分别为第q台设备第m种类型第i个批次开机后第τ 时段生产负荷预测分布区间中点与半径。
式(15)表示时段内的总负荷等于该时段内基负荷与时段内所有处于开机状态批次的生产负荷之和,式(16)给出基负荷的分布区间,式(17)给出各生产批次开机后第τ时段生产负荷的分布区间。
2)风电出力约束
式中分别为t时段风电出力预测分布区间中点和半径。式(18)给出风电出力的最大分布区间。
3)关口流量约束
式中:PtG+,PtG-分别为t时段关口入、出流量上限。
式(19)为关口流量与生产负荷、风火电出力以及弃风量之间的关系,式(20)为关口流量的取值范围,式(21)表示关口流量上限非负。
4)决策空间约束
式(22)为鲁棒性控制约束,式(23)为不确定代价的取值范围。式(22)不等号左端为模型中随机变量个数,包含风电出力、基负荷以及可调整生产负荷;不等于右端不确定代价在模型求解前已确定,所以该约束在模型求解时不起作用。
2鲁棒优化模型求解
本文使用Benders分解算法的思想求解上述模型。Benders分解是常用的求解大规模线性规划问题的算 法,也是常用 的求解双 层规划的 算法。 Benders分解算法的主要思想为将单层的大规模规划问题分解为双层的较小规模规划问题,然后在确定内层解/外层解的情况下求解相应的外层解/内层解,并循环迭代,其中在由固定内层解求解外层解的过程中根据内层解的性质加入极点约束或极线约束,由此得到收敛的最优解。
利用Benders分解算法求解的具体步骤如下。
步骤1:给出一个OP的初始可 行解S(0) q,m,i,t, P(0) t和PWC(0) t。
步骤2:将代入IP,求得IP最优解
步骤3:添加以下约束并求解OP问题,即
其中l=1,2,…,k,得到OP最优解和最优值其中
3案例分析
本节以某工业微电网某日24时段数据为例来说明鲁棒优化调度模型对工业微电网发用电成本的优化,相较于确定性模型的优点,风电引入对微电网节能的意义以及弃风对调度决策的影响。
图3(a)是风电出 力的分布 区间与区 间中值, 图3(b)是生产基负荷的分布区间与区间中值,图中描点折线为区间中值,阴影部分为可取值区间。
自备电厂 的火电机 组出力范 围为100~ 800 MW,最大爬升与下降均为50 MW,机组二次、 一次与常 数成本系 数分别为0.039 1元/(MW·h)2,273元/(MW · h)与700元。表1为24时段内分时的购电成本系数与消纳惩罚系数。
从图3可以看出:风电变化趋势呈现中间高、两端低的形式,并于16时段达到最大值;而基负荷呈现前高后低的总体趋势,可以预见如果不采取优化措施,净负荷(总负荷与风电出力之差)波动将会十分巨大,对关口成本不利。
3.1鲁棒优化模型结果
模型中存在77个随机变量,所以有0≤Γ≤77。 算例中取不确定代价值为Γ=48。表2为优化前后模型在最差情况时各成本。其中,优化前是指以生产任务优先的工业微电网实际生产计划,优化百分比为各项成本优化后较优化前降低的比例。
从表2可以看出:优化后关口成本减小60%左右,幅度较大,火电机组成本也略有降低,总成本减小844 634元,比原计划在最差情况下总成本优化达15.71%。关口成本降低是因为合理的生产计划调度与弃风使得总的负荷变化更平滑,火电机组更易于跟踪;而由于购电成本系数要大于火电机组出力成本系数,所以火电机组出力需要尽可能满足最差情况的生产负荷以避免产生购电成本。
图4是鲁棒优化模型对原生产计划进行的调整,其中蓝色与红色图线分别为优化前后开机时序 (1表示开机,0表示关机),CmBi表示设备正处理第m类型的第i批次,有向箭头显示了对应类型与批次的调整方法。从图中可以看出,调整的幅度较大且有一定规律性:对于时段16之前的生产负荷进行时段后移,对于时段16之后的生产负荷进行时段前移,这是风电出力变化趋势导致的,因为在图3(a) 中可以发现,风电出力以16时段出力最多,前后分别呈现爬升与回落趋势,适当地优化生产负荷开始时段使得总负荷与风电出力趋势吻合。
图5为优化前后微电网生产总负荷对比图,可以看出,时段内生产总负荷的波动变小,整体变化趋势越平缓,总负荷的大幅度变化被有效地缓解,同时总负荷在可调整范围内已尽量与风电出力的变化趋势相匹配。
图6为优化前后净负荷对比。可以看出,对生产计划进行调整之后,生产净负荷的变化幅度也同样变小。在生产计划合理调整和适当弃风下,总时段内的净负荷变化范围由[361.54,820.33]MW缩小到[428.91,771.74]MW,而且对于如时段5至时段15这样的净负荷波动巨大的情况进行了相当明显的平抑。这说明了通过对生产计划的调整使得总生产负荷的变化趋势与预测风电出力趋势相匹配, 使净负荷变化趋于平滑,从而使得火电机组出力可以有效地跟踪净负荷。
由此,关口成本的优化效果也相当明显,图7为优化前后的关口流量曲线。可以看到,优化前关口流量总体 波动巨大,且其绝对 值都在100 MW以上,甚至在中段需消纳的电量超过200 MW,而这导致总的关口成本相当大;相应地,在优化后除第6, 20时段外的各时段关口流量均接近于0 MW,这使得总的关口成本大幅度降低,微电网的发用电成本降低。这一结果在模型的最终结果(表2)中有着重要的体现。
综上说明,利用鲁棒模型,结合实时电价等需求响应激励手段,对工业微电网中生产计划、火电出力等进行合理调整可以有效地降低企业发用电成本。
3.2鲁棒优化模型与确定性模型对比
确定性模型在求解含随机变量的系统时得出的最优决策在随机环境中的效果往往较差甚至可能出现决策不可行的状况。针对这些状况,鲁棒优化通过对最差情况的优化提高了系统应对风险的能力, 使决策在最差情况下也可行且不会得到更差的结果。相较于确定性优化,鲁棒优化具有规避风险性和保守性。
图8为确定性模型解和鲁棒优化模型解随不确定代价增加时得到的最差结果对比。
从图8可以得到,在相同的不确定代价下,确定性模型最优解在最差情况下要比同等不确定代价下鲁棒模型最优解的表现要差。当Γ=0时,鲁棒优化模型退化为确定性模型,此时两者上界一致;但随着不确定代价的增大,确定性模型的成本上界上升幅度超过鲁棒优化模型上界;当Γ=77时,不确定空间为盒式,确定性模型的总成本上界比鲁棒优化模型大93 136元,后者可使 总成本上 界优化约2.0%。
图8证明了鲁棒优化模型可以优化模型在最差情况下的最优解,即总成本上界。当然,这并不能说明不确定代价越大结果越好,可以发现的是随着不确定代价鲁棒效果越明显,最优性明显变差,保守性增加。所以,决策者需要根据不同的实际情况选择适当的不确定代价以实现最优性与保守性的折中。 具体而言,最优性是对上界的优化程度,保守性是实际情况下结果高于理论上界的概率。保守决策即选择较大的不确定代价进行优化,其理论上界将偏高, 但在实际情况下的结果不会高于该上界;反之理论上界较优,但在实际中很有可能结果高于理论上界。
当不确定区间改变时,两种模型的结果与对比也会改变。当区间中值变化时,调度计划与火电出力都会发生变化,总成本上界也会发生改变;当区间宽度变化时,预测误差变大,确定性模型调度计划与火电出力不变,总成本上界将提高,鲁棒模型调度计划与火电出力可能变化,总成本上界提高但提高幅度不大于确定性模型提高幅度。
3.3引入风电有效性
3.1节中的结果表明,引入风电所引起的随机性波动可以利用鲁棒优化模型解决,说明了引入风电的可行性,下面说明引入风电的有效性。
表3为Γ=48的鲁棒模型在最差情况时含风电的工业微电网经济调度结果与不含风电工业微电网的调度结果。由于不含风电时总的随机变量个数减少,所以相应 的不确定 代价需减 少,这里取值 为 Γ=33。
由表3可以看出,在引入风电后关口成本比未引入风电情况要略小,火电机组成本降低约16%。 其原因是风电引入后,净负荷降低,火电机组出力减小,成本降低;另一方面,虽然风电波动性会使净负荷的波动变大,但由于微电网火电机组出力供不应求,所以风电引入使购电成本降低,两种因素结合使得关口成本下降。由于火电成本占比较大,所以最终的结果中含风电工业微电网比不含风电的总成本节省为16.66%,可见将风电引入工业微电网能够有效地降低企业发用电成本。
3.4弃风对调度的影响
从上一段的分析看来,一般而言风电的越多引入对微电网成本降低越有利。但实际上风电引入只对降低火电机组出力成本有利,对关口稳定无益,而适当地弃风可以改善关口情况。表4为有无弃风时各成本的对比。
表4说明,存在弃风时,关口成本有所下降,相应的火 电机组出 力会略微 增加,总成本下 降约0.64%。出现下降的原因在于当负荷发生突降,风电出力陡增,而火电机组由于爬坡约束而未能及时跟踪陡降的净负荷时,过剩的电量陡升导致消纳惩罚成本升高。当负荷突降得越多,这种情况越明显。 由于上述情况在日前调度的条件下有时是不可避免的,也是不可预测的,因而弃风是使得调度更加灵活优化的选项。
4结语
含风电的工业微电网根据自身需求以及与区域电网协议的分时购买和消纳电价,合理安排生产计划和火电出力,可以较好地节省自身发用电成本。 本文以含风电的工业微电网为研究背景,建立并求解了相应的鲁棒优化模型,得到如下结论。
首先,将风电引入工业微电网中可以大大降低微电网发用电成本近17%,无论是关口成本还是火电机组成本都能得到降低,同时选择性弃风使得生产调度更加灵活,对降低发用电成本起着一定的作用。其次,针对风电与负荷的随机性,通过对生产计划进行调整,改变总负荷变化趋势,使其尽量与风电出力的变化趋势相匹配达到使净负荷曲线平滑、关口成本下降、总发用电成本下降的目的。最后,相较于确定性模型,本文提出的鲁棒优化模型是对于最差情况的优化,可使总发用电成本上界最多下降约2%,这使得生产调度面临的风险更小;同时,相较于盒式空间模型,本文使用的解的鲁棒性可控模型更加灵活多变,决策者可根据所需权衡最优性与保守性选择不确定代价。
除了用实际案例证明了风电引入工业微电网能够得到的成本节约等优势外,本文还涉及“随机匹配”问题。“随机匹配”问题作为一种新问题很少被提及,且鲜有文献研究,其严谨数学描述也未曾定义,本文为其提出了一个实际案例,并在具体情况下提供了一种解决方案,希望能够对推动其成熟有一定帮助。
本文以风电为例介绍关于可再生能源的引入对工业微电网降低能源成本的优势。其他类型的如太阳能、水电等可再生能源也可以根据其自身特点尝试引入工业微电网中,这将是今后的研究方向之一。
摘要：风电是广泛使用的清洁可再生新能源,将风电引入工业微电网中,对其节能减排有着重要意义。以含风电的工业微电网为研究对象,基于鲁棒优化方法,以发用电成本最低为目标,以生产计划与火电机组出力计划为决策量,建立了含风电工业微电网自发电经济调度双层模型,并利用Benders分解算法对其进行求解。文中还应用某工业微电网数值算例进行测试,结果表明模型能有效平抑负荷波动,降低微电网发用电成本;验证了该鲁棒优化模型在最差情况下优于确定性模型,并且可根据需求改变不确定代价权衡保守性与最优性。
鲁棒优化论文 第9篇
近年来,随着越来越多的非线性负载接入电网,电力系统谐波污染日趋严重,谐波泛滥影响着电网的安全经济运行。为有效抑制电网中的谐波污染,提高电能质量,各种无源电力滤波器(PPF)和有源电力滤波器(APF)得到了高度关注。APF通过向电网注入补偿电流来抵消负载所产生的动态谐波电流和无功电流,广泛应用于各种工业及民用场合[1,2,3,4,5,6]。
在提高APF补偿精度方面,必须要解决以下两个问题。
1)在APF实际工作中,控制器通过高速模拟数字(AD)通道,采样输出电流作为电流内环的闭环反馈,使得输出电流能及时跟踪指令电流。而在反馈回路的滤波电路设计中,电阻、电容参数大小的选取直接决定着采样通道截止频率的高低。当截止频率选取不当时,会引入谐振峰值,在APF输出补偿次谐波的同时产生谐振频率附近的高次谐波,影响了APF的补偿性能,当高次谐波含量过高时,会致使整个控制系统不稳定[7]。
2)控制器的延时在很大程度上也会影响APF装置的补偿性能。在减小控制器的延时方面,国内外已有诸多研究,文献[8]在模拟域和数字域中详细分析了延时大小对逆变器系统稳定性的影响。电流内环的设计是改善延时的关键所在,APF电流内环控制方法集中为以下几种,重复控制[9,10,11]将上一个控制周期的偏差和这一个周期的偏差均加入到被控对象进行控制,提高了电流跟踪精度及系统的稳定性,但仍然存在控制周期滞后的延时问题。比例—谐振(PR)控制[12,13]可理解为正弦信号的广义积分,在特定频率处拥有无穷大增益,从而使系统对该频率的稳态跟踪误差在理论上为零,该方法可实现选择谐波补偿,但对应不同频率的谐波,需采用不同的谐振控制器,其运算量依然较大。文献[14]提出了适用于逆变器的鲁棒预测控制,运用龙贝格观测器在第k时刻预测第k+1时刻的输出电流,并通过其在z域下的根轨迹图,详细分析了延时对系统稳定性的影响。文献[15]对输出电流进行预测的同时,通过线性插值法对指令电流进行预测,但在实际的工程应用中,略显复杂。文献[16]在采用预测控制的同时,分析了滤波电感的电感值变化对系统稳定性的影响,但未提出改善这一状况的具体方法。
本文分别解决了以上两个问题,针对问题1,本文通过控制系统的开环及闭环波特图详细分析了电阻R和电容C参数选取对APF电流内环的影响,从而提出了一种RC滤波电路的参数设计方法,并通过系统稳定性分析选取了合适的截止频率。针对问题2,文章首先分析了带延时环节的z域无差拍离散控制模型,讨论了电感量变化对系统延时范围及鲁棒性的影响。然后,提出了一种简单的预测电流控制方法,减小了延时对系统影响,增强了系统的鲁棒性。根据z域内的电流内环传递函数对系统进行了稳定性分析,给出了控制参数的选取方法。最后,搭建了试验样机,实验结果验证了控制策略的有效性和可行性。
1 APF电流环连续域模型
并联型APF对电网谐波治理效果与电流内环的设计密不可分,该控制系统的电流单环在连续域下的等效模型如图1所示。
从图1可以看到,考虑APF输出电流的反馈环节,即反馈函数H(s)不等于1时,电流单环的开环传递函数为:
系统电流内环采用传统的无差拍控制,则有
式中:L为逆变器输出电感值;Ts为开关采样周期。
此外,逆变器可视为一个惯性环节,其传递函数可等效为:
式中:kpwm为逆变器增益,通常取值为直流侧电压的一半。则G(s)可改写为:
2 滤波电路的参数设计
2.1 RC滤波电路的数学模型
当采样的输出电流经由反馈回路作闭环控制时,一些开关次频率的高频信号会夹杂在输出电流中,造成采样误差,影响电流控制效果。因此,需通过RC滤波电路滤除这些高频信号。滤波电路通常采用两阶RC滤波,但其对高频抑制效果不明显,会影响电流控制效果。而三阶RC滤波电路高频抑制效果较好,虽然会在控制中引入额外的延时,但可以通过优化控制方法来减小引入延时的影响。因此,本文设计了一种三阶RC滤波电路。
图2为三阶滤波电路原理图,该滤波电路分为调理电路和采样电路,前级调理电路通过电阻R0将传感器送入的电流信号转换为±10V之间的电压信号,通过R1,C1滤除部分高频毛刺,接着在采样电路中通过R2,C2进行两次滤波。该滤波电路的开环传递函数为:
将式(5)代入式(4)可得:
式中:KL/Ts=L/Ts,本文中取值为3。
2.2 调理电路参数设计
式(6)中L=0.3mH,R很小可以忽略,保持采样电路参数不变,取R2=2kΩ,C2=0.01μF,调理电路R1,C1参数如下:①R1=20kΩ,C1=0.01μF;②R1=20kΩ,C1=2 200pF;③R1=2kΩ,C1=0.01μF;④R1=2kΩ,C1=2 200pF。可得到对应APF电流内环的开环波特图。如图3(a)所示,比较开环波特图,曲线1,2,3,4分别对应4组R1,C1参数。所对应的截止频率分别为827 Hz,1 390 Hz,1 640Hz和1 910Hz,对应的相角裕度分别为:-2.38°,16.5°,24.1°和30.1°。可以看到,取第一组截止频率时,APF闭环系统出现不稳定的状况,随着截止频率的增加,相角裕度逐渐增大,APF系统达到稳定状态,同时,随着相角裕度的增大,系统稳定性变好。如果选取的截止频率过低,则会导致整个系统不稳定。而截止频率的选取也应在一定范围之内,从相角图中可看到,曲线4对10kHz频率附近的高频毛刺的抑制能力明显减弱,会影响开关次高频毛刺的滤除效果,综合考虑,选择曲线2和3。曲线2和3的闭环波特图如图3(b)所示,在1 000Hz以内,曲线2的相角延时明显小于曲线3,由于高次谐波比低次谐波周期小,同样的延时时间,相对于高次谐波其等效的相位误差较大,造成APF对11次以上谐波补偿效果变差。综上所述,调理电路的参数选择为:R1=20kΩ,C1=2 200pF。
2.3 采样电路参数设计
为使RC低通滤波器的滤波特性接近理想特性,同时增加滤波器整体对高频的抑制能力,所以,采样电路采用两级RC滤波,为了方便滤波电路整体参数设计以及试验中器件选型,两级RC电路选取相同参数。保持调理电路参数不变,R1=20kΩ,C1=2 200pF,R2,C2参数如下:①R2=2kΩ,C2=0.1μF;②R2=470Ω,C2=0.1μF;③R2=2kΩ,C2=0.01μF;④R2=470Ω,C2=0.01μF。可得电流内环的波特图如图4所示。
图4(a)中曲线1,2,3,4的参数分别对应4组R2,C2参数,其截止频率分别为:598 Hz,972 Hz,1 100Hz,1 140 Hz。此时,曲线1的相角裕度为-17.5°,其闭环控制系统不稳定,曲线2,3,4对应的相角裕度分别为:1.27°,16.5°,31.7°,闭环控制系统均处于稳定状态。由前文的分析可知,考虑到系统稳定性及滤波电路对开关次频率的抑制效果,选择曲线2和3进行详细分析。曲线2和3所对应的闭环波特图如图4(b)所示,可以看到,曲线2的谐振峰值为49.2dB,明显高于曲线3,曲线2将会放大1 000Hz附近的高次谐波。同时,在100 Hz以后,曲线2出现了相角超前的情况,有可能使APF工作时出现不稳定的情况。所以,本文选取参数R2=2kΩ,C2=0.01μF。
通过对系统的稳定性分析,可以得出以下结论。
1)对RC滤波电路的参数设计即是对电流反馈通路截止频率的设计,当截止频率过低时,会致使APF系统不稳定,系统的相角裕度随着截止频率的增大而增加。当截止频率过高时,会影响滤波电路对开关次频率的抑制效果。
2)随着系统整体截止频率的增大,闭环系统的谐振峰值逐渐减小,谐振峰值所处的频率逐渐增大。当频率低于1 000Hz时,相角延时也会随着截止频率的增大而增加,而延时增大会影响APF电流内环对高次谐波的跟踪效果,影响装置补偿性能。
3 考虑延时影响的无差拍控制
传统无差拍控制是在每个采样周期结束时,使逆变器输出电流跟踪指令电流,实际上为滞后一拍控制,其原理如式(8)所示。
式中:uinv(k)为第k时刻逆变器输出电压;ug(k)和iinv(k)分别为第k时刻的电网采样电压和逆变器输出电流;iref(k+1)为k+1时刻的指令电流。
在工程应用中,由于AD采样延时以及脉宽调制(PWM)匹配动作滞后、采样通道滤波电路的相角延时等因素,不可避免地在电流控制中引入了延时,影响了电流内环的跟踪精度与稳定性。假定控制之外的延时为mTs,m为延时比例系数,则系统总延时为:
图5给出了传统无差拍控制z域等效模型[14],图中,H(z)为采样通道RC滤波电路的传递函数。由前文可知,当参数取文中分析所得的值时,RC滤波电路不会影响系统的稳定性,因此,可看作H(z)≈1。
在APF实际运行中,随着输出电流和电感温度的变化,实际电感值与理想值会出现偏差,为了方便分析电感值变化对系统的影响,本文设置参数kl,实际电感值Ls=klL,则零阶保持器和电感的z域传递函数可合并表示为:
则考虑延时的系统闭环传递函数为:
其闭环特征方程为:
根据Jury稳定判据,kl至少需满足下式条件:
图6为当kl取值为3,2,1,0.9时不同的根轨迹图,图中可以看到,随着电感值的减少,延时m的取值范围也在逐渐减小,当kl=0.9时,m趋近于0,此时在控制上仅允许存在一拍滞后,当还存在其他延时时,系统将出现不稳定的状况。
4 APF电流的预测控制
考虑到控制及硬件电路的延时和电感值变化对系统稳定性的影响,本文提出了一种易于实现的预测电流控制方法,在第k个周期对APF采样的电网电压以及输出电流第k+1个周期的值进行预测,增强系统的鲁棒性。式(8)可以改写为:
式中:为第k+1个采样周期的电网电压平均值;iref(k+1)和分别为第k+1个周期的指令值和输出电流预测值。
电网电压可以视为系统的扰动信号,为了消除其对输出电流的影响,在k时刻对其k+1时刻的值进行预测。由于电网电压频率远远小于采样频率,则有
则第k+1个周期内的电网电压预测值为:
逆变器输出电流iinv在第k个周期通过电流传感器采样,经过RC滤波电路反馈到控制器,同时,在电感电流趋于饱和以及电感温度升高时,电感值易发生变化,在第k个周期所得到的采样值与实际值将出现一定的偏差,影响了电流内环的跟踪效果。本文提出输出电流一拍超前的预测方法,引入误差修正系数km来折中控制环节的累积误差,如式(17)所示。
式中:Δiinv(k)为第k个周期输出电流与输出电流预测值的偏差值。图7给出了基于预测控制的电流内环z域控制框图及其简化图。
电流内环的开环传递函数为:
其闭环特征方程为:
根据Jury稳定判据,需满足下式条件:
假定km=1,图8(a)给出了当kl取不同值时的系统根轨迹图,从图中可以看到,采用本文方法对输出电流提前一拍预测,当kl=0.9时,m=1.42,系统允许的延时明显增大,与传统无差拍控制相比,系统鲁棒性增强。
假定kl=1,图8(b)给出了当km取不同值时的系统根轨迹图,显然,随着km取值的增大,系统允许的延时逐渐减小,系统鲁棒性变差,当km增大到一定值时,系统将不稳定。
考虑到延时对电流内环跟踪速度及精度的影响,td的实际取值可限定在最大值1.5Ts,即延时满足Ts<td<1.5Ts,由此可得0<m<0.5,代入式(21)可得到km的取值范围。
图9给出了整个APF系统的控制框图,其中eabc为三相电网相电压,Ls为电网等效电感,vg,abc为APF采样的三相电网电压,iS,abc为电网侧的三相电流,iL,abc为负载侧的三相电流,Ll和Rl为非线性设备的等效负载,L为APF输出滤波电感,ih,abc为负载电流FFT检测出的谐波电流指令。系统直流侧采用传统的PI控制,内环电流采用本文提出的预测电流控制方法。
5 实验验证
为验证本文理论分析及控制策略的效果,搭建了模块化并联型APF试验平台进行研究,装置图见附录A图A1。
模块化APF试验平台采用的是DSP+FPGA双核架构,功率器件采用Infineon公司的FF300R12ME4模块,采样频率和控制频率均为10kHz,其他参数如附录A表A1所示。
5.1 RC电路参数实验验证
附录A图A2(a)和图A2(b)分别为同样负荷下APF单独补偿5次谐波时,选择不同电流内环截止频率的输出电流频谱,其试验参数如附录A表A2所示。
试验中,调理电路参数保持不变,选择了两组采样电路的R2,C2参数进行测试,可以看出,随着电流内环截止频率的增加,系统的谐振峰值明显减小,系统的稳定性增强。当截止频率选择不当而导致系统相角裕度过低时,会放大谐振峰值频率附近的谐波。
5.2 电流控制方法试验验证
附录A图A3、图A4分别为传统平推无差拍控制[17,18]和本文提出的预测电流控制下的逆变器输出电流波形、负载电流波形、电网电流波形以及对应的频谱。在同等工况下,相比于传统的平推无差拍控制,本文提出的方法电流跟踪性能更好,对5,7,11,13,17,19次谐波都有较好的治理效果。从电网电流的频谱可以看到,治理谐波后,电网电流畸变率从28.4%下降到3.5%。
假定kl=1,即电感处于理想工况。取不同的km值进行试验,其试验结果的曲线图见附录A图A5。可以看出,随着km取值的增大,补偿效果变差,电网电流畸变率随之变高。因为km增大会放大输出电流实际值与输出电流预测值的误差,影响系统鲁棒性。
在试验中,由于电感量的具体变化无法进行实测,本文通过改变L/Ts的取值来模拟电感量变化。附录A图A6给出kl=1.5和kl=0.5时的试验波形,其L/Ts对应的取值为2和6。由图可知,当kl>1时,电感值与L/Ts不匹配,而导致电流跟踪能力下降,影响补偿效果;当kl<1时,电感值减小,导致其对高频的抑制效果减弱,影响了电流控制效果。
采用本文控制方法的电流动态试验结果见附录A图A7,负载在图中所示时刻发生突变,负载突变后第一个电网周期控制效果不明显,电网电流畸变率高。但在第二个电网周期后,电网电流畸变率降低,系统达到稳定状态,系统的动态响应速度较为理想。同时,不同的km值不会影响装置的动态性能。RC滤波电路试验平台如附录A图A8所示。
6 结语
1)在考虑输出电流反馈回路的基础上,本文通过电流内环的开环及闭环波特图,详细分析了截止频率选取对电流内环的影响,从而提出了一种RC滤波电路参数的设计方法,并通过系统稳定性以及高次谐波相角滞后的分析选择了合适的滤波电路参数。
2)本文提出了一种预测电流控制方法,分别对电网电压,逆变器输出电流作了超前一个控制周期的预测,引入了误差修正参数km;根据z域内的电流环传递函数对系统进行了稳定性分析,给出了km值的选取范围。