函数变换范文

2024-09-22

函数变换范文（精选12篇）

函数变换第1篇

关键词：图像,变换,函数

函数的图像与性质是高考考查的重点内容之一, 它是研究和记忆函数性质的直观工具, 利用它的直观性解题, 可以起到化繁为简、化难为易的作用。因此, 学生要掌握绘制函数图像的一般方法, 掌握函数图像变化的一般规律, 能利用函数的图像研究函数的性质。但三角函数历来是学生学习的难点, 其中三角函数图像的变换更是让学生学得晕头转向.下面结合自己多年教学实践, 浅谈对这方面问题的研究.

我们知道, 三角函数也属于函数, 因此一般函数y=f (x) 的图像变换法则和方法对三角函数同样适用, 涉及的变换有平移变换与伸缩变换.为了使平移变换与伸缩变换这部分内容更具有一般性, 我想站在一般函数的高度来研究函数图像的平移变换与伸缩变换.

大家知道, y=sinx的图像向上 (下) 平移10个单位, 可得到y-10=sinx (y+10=sinx) , 即y=sinx+10 (y=sinx-10) 的图像;

y=sinx的图像向右 (左) 平移 , 可得到的图像;

y=sinx的图像横向伸长至原来的2倍 (横向缩短至原来的1/2) , 可得到的图像;

y=sinx的图像纵向伸长至原来的3倍 (纵向缩短至原来的1/3) , 可得到的图像;

我们可用表格把上述小题的变换内容与解析式的相应变化反映出来.表格为

从上面的表格, 我们可以感到平移变换和伸缩变换有如下特点:

左加右减, 下加上减;横向变换变x, 纵向变换变y;各种变换均在x、y头上直接变;x、y的变化总与我们的感觉相反.例如, 向左或向右平移、横向伸长或横向缩短时变化的均为x;向上平移或向下平移、纵向伸长或纵向缩短时变化的均为y;从这可以看出横向变换变x, 纵向变换变y.向右平移时, 我们感觉图像上的每个点的横坐标应增加 , 但x的变化却为把x变为 ;横向伸长至原来的2倍时, 我们感觉每个点的横坐标应变为原来的2倍, 但实际上x的变化却为把x变为 ;从这可看出x、y的变化总与我们的感觉相反.从上面的解析式的相应变化中可看到, x、y的变化均是直接把x或y变成多少, 其余一律照抄下来.例如, 的图像向右平移2个单位, 应得到的图像, 而不是的图像横向伸长至原来的3倍, 应得到的图像, 这就体现了各种变换均在x、y头上直接变.

把平移变换和伸缩变换的规律总结成口诀, 为:横向变换动x, 纵向变换动y;直接在x、y头上动;解析式的相应变化总与我们的感觉相反.这个变换不但对三角函数适用, 对任意函数也适用.例如, y=2x+x2的图像向右平移3个单位, 得到y=2x-3+ (x-3) 2的图像.

还有, 纵向变换动y, 是在y头上直接动.学生可能以前学的纵向变换是在解析式等号的右边进行变式的, 如果是这样变换方法就与刚才总结的口诀不相符了, 只有强调直接在y头上动, 才符合本文中的口诀, 这与以前的不矛盾, 只是改变了变式的左右面.

由以上可以看出, 由y=sinx的图像变换出y=Asin (ω+φ) 的图像一般有两个途径, 只有区别开这两个途径, 才能灵活进行图像变换。

利用图像的变换作图像时, 提倡先平移后伸缩, 但先伸缩后平移也经常出现.

途径一:先平移变换再周期变换 (伸缩变换)

先将y=sinx的图像向左 (φ>0) 或向右 (φ<0) 平移|φ|个单位, 再将图像上各点的横坐标变为原来的ω1倍 (ω>0) , 便得y=sin (ωx+φ) 的图像.

途径二:先周期变换 (伸缩变换) 再平移变换

先将y=sinx的图像上各点的横坐标变为原来的倍 (ω>0) , 再沿x轴向左 (φ>0) 或向 (φ<0) 右平移个单位, 便得y=sin (ωx+φ) 的图像.

只有从本质上掌握了平移变换和伸缩变换的方法, 才能应对各种复杂和连续的变换的题目, 才能学会变换的逆向使用和变形使用.

读《复变函数》与《积分变换》有感第2篇

读《复变函数》与《积分变换》有感

在学了《高等数学》之后，我们进一步学习《复变函数》和《积分变换》这两本书，这两本书是《高等数学》的微积分扩展和延伸，还有将复数将以深入学习和扩展，并引入函数的概念。因此感觉有一定的深度和难度。它们都利用数学的理论来解决实际问题。

复变函数中有很多概念，其中理论和方法是实变函数在复数领域内的推广和发展，因而它们有许多相似之处，但是复变函数与实变函数有不同之点。就拿第一章来说，复数与复变函数，本课程研究对象就是自变量为复数的函数。在中学阶段，我们已经学习过复数的概念和基本运算。本章将原来的基础上作简要的复习和补充。然后再介绍在复变平面上区域以及复变函数的极限和连续性等概念，为进一步研究解析函数理论和方法奠定必要的基础。概括一下，以前学过方程x2=-1是无解的，因而设有一个实数的平方等于-1。第一节是复习原来的内容，然后逐步引入函数的概念。再引进对复变函数的表达式和复变函数重幂与方根以及加减法研究。由于上学期，我们学习函数概念中，引入极限的概念，然而复变函数也有极限特性。所以对复变函数极限分析有着相似之处，因此可以借鉴学函数极限方法来研究复变函数，然而复变函数又有其独特特性，研究时必然会给我们带来很多困难和意想不到的问题，所以就是它的不同之处。后面将复变函数引入微积分的概念，刚开始觉得挺好学，按照以前学微积分的思想就能接纳复变函数的微积分，当我遇到了用函数微积分解决复变函数时，复变函数的转化和变形却是难题，但是经过一番努力，我逐渐领悟到复变函数在微积分在数学中的独特魅力。

在学习复变函数中，要勤于思考，善于比较分析其共同点，更要领越复变函数的独特魅力，如果这样才能抓住本质，融会贯通。

而《积分变换》研究的是将复杂的运算转化为较简单的运算。本书讲解了积分在数学中的应用，常用的两种积分变换Fourier变换和Laplace变换。利用Fourier变换和Laplace变换将复杂的积分转化为简单的积分变换，有利于对复杂积分的求解，所以学习《积分变换》的思路就不像学习《复变函数》一样，它的解题思路和《积分变换》截然不同，就拿Fourier变换而言，先引进Fourier定理，然后利用Fourier定理解决数学中一些难解的积分，用积分变换也可以解决工业中一些工程计算。其重在积分变换。对于积分变换理论的学习，有助于解决我们在工业设计中遇到的问题，但对与此书着重对积分变换的思想培养和应用。当我开始学习《积分变换》时，感觉无从下手，尤其是对积分的变换，一看到积分变换的过程就很头疼，不知道从哪个地方开始下手，当学到Laplace变换时，才发现积分变换有它的一定的规律，只要把Fourier变换的思路用在Laplace变换，就会简化对Laplace变换的学习，我才明白Fourier变换只是学习积分变换的一种方法，第一种内容学会了，后面的内容就迎刃而解了。

三角函数角的变换问题第3篇

关键词：角的变换角的关系诱导公式二倍角公式转换

在学习三角变换时，不少同学都感到难学，其实不然，只要我们掌握了一些变换的技巧与方法，很多问题都能迎刃而解。比如当已知条件中的角与要求的角存在差异时，需要通过“拆”、“配”等方法实现角的转化，通常是寻求它们的和、差、倍、半的关系，再通过三角变换求出结果。本文将例析几种常见的三角变换方法与技巧，以帮助同学们迅速有效地解题。

例1.

解：原式=

= =0

思路点拨：解此题的关键是对题中各角之间的内在关系是否看得准。如本题中含有角，发现它们之间的关系是，故可以把，拆成，然后就可以利用诱导公式进行求值.

例2.已知为锐角，且求的值；

解：

又

；

思路点拨：这道题关键是找所求角和所给的已知角之间的关系，恰好可以表示成所給角的差，即，再利用公式进行求解。

例3.已知

解：= ，

又

故

思路点拨：这道题不仅和例2一样要注意角的变换，还得注意角的范围，否则结果容易出错。

例4.已知；

解：

且

故上式=

思路点拨：进行三角变换的技巧常常是变角,注意角的和、差、倍、半、互补、互余关系，根据实际情况，对角进行“拆”或“添”变形。本题可从自变量x着手，若所求角与所给角中的x互为相反数，那么就看和的特征，若相差二倍，就乘2，然后利用诱导公式或二倍角公式进行求解，故有，联想到上述的求解。

参考文献：

[1]2011年新课标高考总复习光明日报出版社

三角函数中变换的灵活应用第4篇

一、角的变换

抓住题设与结论中角的差异, 利用角的和、差、倍等关系, 变异角为同角。在三角变换中, 角的变换十分重要。

二、函数名的变换

若式中三角函数较多时, 通常利用同角三角函数的基本关系、诱导公式, 采用切割化弦或弦化切等途径统一函数名称。

例2已知t anθ=2, 求sinθcosθ+3cos2θ的值。

三、常数的变换

在三角函数的求值、化简中, 经常把常数用三角函数来代换, 其中最常用的是1的代换。

四、次数的变换

若三角式中各项幂的次数不同, 或者根据解题的需要, 通过升幂或降幂促成问题的解决。

解:本题解法很多, 若整体把握升降幂公式由所求值入手沟通简单。

五、公式变换

函数变换第5篇

1.教学定位非常准，罗强老师对课标的解读、教材的分析有自己独到的见解，教学设计中教学目标、教学重难点把握到位，把握住参数φ、ω、A变化时对函数图象形状和位置的影响这一既是重点又是难点的内容，特别是变φ与变ω顺序不同是所引起的平移量的不同的处理思想，引导学生进行自主探究，通过“五点法作图”这一基础深入理解参数φ、ω、A变化时对函数图象形状和位置的影响，抓住教学的关键点，有效的突出了教学重点、突破了教学难点。

2.课堂利用的有效性，由于课堂学生的探究需要作图，罗强老师在课前便准备好了相应的纸质卡发放给学生，这不仅可以让学生更好的利用课堂时间自主探究，更节约课堂时间。

论高中数学中的三角函数变换第6篇

关键词：高中数学；三角函数；变换；解题

引言

在高中数学阶段，三角函数的学习是一项重点，由于教学和学习均具有一定难度，因此要得到相关重视。研究认为，对于学生而言，学习三角函数有利于提高综合能力；对于教师而言，三角函数教学活动的开展，能够改进思维方式、优化教学模式。研究三角函数的变换类型，有利于加深知识理解，从而有效提高学习效果。以下对此进行详细阐述。

1、高中数学三角函数概述

高中数学三角函数的学习，主要锻炼抽象思维能力。如果能够获得良好的学习效果，不仅可以提升数学学习能力，还能够为今后的学习奠定基础。考虑到三角函数具有多种变换形式，因此学习和解题具有一定难度。通过分析近年来的高考题目，得出以下结论：

第一，在考察内容上，包括三角函数的概念性质、角度变换、图像变换、恒等变形等。第二，在题目设置上，主要是解析几何、平面向量两个类型，通过解三角形考察三角函数的应用。第三，在分值设置上，一般是1个选择题+1个解答题，或者1个填空题+1个解答题，分值在16-20分之间，题目难度适中，属于得分点。第四，在解题技巧上，学生要发现角度和函数之间的关系，熟练应用各种公式，对变换的三角函数进行合理转化，保证解题质量，提高解题速度。

2、三角函数变换类型

2.1 名称变换

在三角函数中，正弦、余弦是基础，应用最为广泛；正切、余切、正割、余割是衍生，在题目中出现最多。在解题过程中，如果出现不同的三角函数，就要想方设法将其转化为同名三角函数，常用方法如切割化弦、齐次弦代切。

2.2 角度变换

复变函数与积分变换教学的体会第7篇

但是学生对这门课程的了解不够,所以对它的认识存在一些误区:学生认为这门课程的实用性不强,很难想象它在现实生活与实践中的应用价值.同时由于学习过程中复变函数需要理解记忆的概念与定义很多,所以学生普遍感觉理论性偏强;积分变换接触一些抽象枯燥的变换公式,这更加让学生认为这是一门纯理论没有实用性的课程因而失去学习它的兴趣.在复变函数中很多概念是实变函数在复数域的推广,因此很多学生只看到了复变函数与实变函数的相同之处没有看到它们之间的区别,觉得这门课程是高等数学内容的重复学习,认为学习这门课程既浪费时间又没有什么意思.另外由于课程的学时设置与后续专业课设置等原因都对这门课的教学效果产生了影响,比如学时太少教学内容很难展开,后续相关课程与这门课学习时间间隔较长,学生已经遗忘所学内容对后续课程的学习没有起到很好的帮助作用.

鉴于此,我们在教学过程中,如何帮助学生寻找合适的“窍门”,降低学习难度,激发学习兴趣,对学生学好“复变函数与积分变换”非常重要.我认为为了取得较好的教学效果可以从以下几个方面做:

首先应该让学生了解学习这门课的重要性,特别是对后续课程学习的影响.因此针对不同的专业要首先了解该专业的课程,具体地指出学习这门课程对后续专业中的哪些课程的哪些内容会有帮助.比如“复变函数与积分变换”的内容与“工程力学”“电工技术”等课程的联系十分密切,我们就可以在这些课程中找出相关的例子给学生,让他们知道学习这门课的必要性和重要性.如我们可以具体给学生指出Laurent级数可以应用于数字信号处理中,利用Laurent级数直接写出离散数字信号的Z变换;又如Laplace变换可以帮助我们求电流,因为串联电路上电压、电阻、电流、电感、电容就满足一个微积分方程,要求串联电路的电流问题也就变成了求解微积分方程的问题,而拉斯变换正是求微积分方程的有力工具.所以在课时允许的条件下我们应该尽可能举出一些实际的例子,让学生体会学习这门课程的重要性,也增强学生学习这门课程的兴趣.

其次,我们一定要让学生知道复变函数与高等数学之间的关系.复变函数与积分变换和高等数学的联系是很紧密的,复变函数中的许多理论、概念和方法是实变函数在复数域的推广,但也要明白它与实变函数的许多不同之处.在学习过程中一定要注意它的相同与不同,只有这样才能学好这门课程.在讲课过程中要强调不同之处,提醒学生要特别注意这些不同的地方,比如指数函数在复变函数里面具有了周期性、负数可以求对数、正弦函数与余弦函数不再有界等等,因为学生在学习完高数后再来学习复变函数很容易将原来已经学到的知识平移到复数域而犯一些不该犯的错误.当然在讲课中也应该指出相同的地方,如在复数域我们也有洛比塔法则、一些初等解析函数的泰勒展开式与实函数的结果类似、求导法则不变等,指出这些可以减轻学生的学习任务,因为在高等数学的基础上这些相同或类似结论的记忆变得十分简单,对提高学生的学习效率是有帮助的.然而最重要的是要让学生了解怎样用学过的高数的知识学习复变函数,又如何用复变函数的知识解决高数里面的问题.这样可以让学生在学习过程中做到既学习了新知识又巩固了旧知识.因此在学习过程中应该经常提醒学生注意复变函数与实变函数的关系.复变函数实际上相当于两个二元实函数,因此在复变函数学习中我们经常要用到与二元函数有关的知识与解题方法,比如当要证明复变函数不连续时,实际上就变成了证明两个二元函数不连续,因为复变函数连续当且仅当虚部与实部所对应的两个二元函数连续;又比如讨论复级数的敛散性其实就是讨论对应的两个实级数的敛散性,因为复级数收敛当且仅当虚部与实部所对应的两个实级数收敛,这样的例子在复变函数里面很多,从这些例子看出高数的知识对于解决复变函数的问题是很有用的.同时也应该看到不仅如此,复变函数里的知识也可以帮助解决高数的问题,如在高数里面一些不能求解的积分,可以将它们转化为复积分,再利用复变函数里面留数定理求出实积分,这也是复变函数里面留数这一章学习的重点即留数的应用.至于积分变换与高数的联系也是十分紧密的,在引入傅立叶变换时会讲到傅立叶积分,而傅立叶积分的推导是从傅立叶级数开始的,这是大家在高数里面学习过的重要内容.总之在学习“复变函数与积分变换”的过程中一定要和学生强调这门课程与高数的关系,应该提醒学生注意相关概念之间的异同,只有这样才能让学生很好地将这它们联系起来,达到最佳的学习效果.

以上就是我自己多年讲授“复变函数与积分变换”这门课程中的一些体会和感受,希望能和大家分享,也希望“复变函数与积分变换”这门十分重要的课程能够让学生喜欢它并学好它.

摘要：复变函数与积分变换是工科学生必修的一门非常重要的基础课程,本文主要讨论了这门课程教学中的问题,提出了提高这门课程的教学效果的一些方法.

关键词：复变函数,积分变换,高等数学

参考文献

复变函数与积分变换绪论课教学策略第8篇

“绪论”是课程的开篇,通常概括性的介绍全书。包括内容设置、学科的发展简史、与相关学科的联系和今后的发展方向及动态。但与以后教学内容相比由于几乎全是理论,与学习后续课程似乎没什么帮助,其内容和教学目标往往不被教师及学生重视,一代而过。我自己认为,“绪论”在教学中的作用没有被充分的认识及肯定。“绪论”的首轮效应在教学中具有重要意义。

2 重视绪论课的作用

绪论,即开头要讲的话。绪论课就是指各门课程正式教学开始前的前言课、简介课、概论课、导入课,其内容主要是对该学科进行综合性的概括和介绍,使学生明确学习本门课的目的和基本内容,对这门课有一个总体的、大概的认识,同时,初步了解该学科的教学特点、学习方法和教学的总体安排,为以后教学中师生的沟通与配合打下良好的基础。本文就自己所讲的复变函数及积分变换为例说明绪论课的重要性。

2.1 讲述工程数学分类及其作用

目前工程数学主要包括了线性代数、概率论、线性规划、复变函数及积分变换等课程。其中线性代数为所有工科专业学生的必修课程,而其它课程各专业设置的情况不尽一致。

2.2 工程数学的特点

工程数学被认为是一种用于指导和解决工程技术问题的工具。工程数学的教学内容是因为指导和解决工程技术问题的需要而设立的,是为后续专业课程的开设作铺垫的,它的教学重点是把抽象的数学理论知识实际应用化,能用、会用工程数学的知识来解决工程技术问题。由此可以得出工程数学的特点:

(1)有比较强的目的性和针对性;(2)知识结构局部完整,有一定的代表性,能反映出一个知识层面;(3)源自实际或近似于实际,能反映出知识点的实际意义;(4)形式多样性,包括:概念性、算法性和结论性;(5)注重解决问题的方法、途径和过程,注重思维的培养。

2.3 简要讲述复变函数的历史发展过程

在十六世纪中叶,G.Cardano(1501-1576)在研究一元二次方程x(x-10)=40时引进了复数。他发现这个方程没有根,并把这个方程的两个根形式地表为。在当时,包括他自己在内,谁也弄不清这样表示有什麽好处。事实上,复数被Cardano引入后,在很长一段时间内不被人们所理睬,并被认为是没有意义的,不能接受的“虚数”。直到十七与十八世纪,随着微积分的产生与发展,情况才有好转。特别是由于L.Euler的研究结果,复数终于起了重要的作用。例如大家所熟知的Euler公式eiθ=cosθ+isinθ揭示了复指数函数与三角函数之间的关系。然而一直到C.Wessel(挪威)和R.Argand(法国)将复数用平面向量或点来表示,以及K.F.Gauss(德国)与W.R.Hamilton(爱尔兰)定义复数为一对有序实数后,才消除人们对复数真实性的长久疑虑,“复变函数”这一数学分支到此才顺利地得到建立和发展。

2.4 本书的线索及条理性,课时安排

以复数为中心,讲复数的基本性质及其应用,穿插提及在工程中的计算及后续课程中应用,附带提及积分变换的工程应用。即讲清楚本课程的线索。

本课程所选用的教材是高等教育出版社出版,李红、谢松发主编的《复变函数与积分变换》,总共72学时,绪论占用两学时。

3 绪论课的讲授方法

3.1 备课要充分

要上好绪论课,首先要重视绪论课教学,认真充分地备课,做到胸有成竹。备课时,一是备教学大纲,明确教学目的,以此为中心搜集素材;二是备教材,应通晓全部教材内容,了解内容所处的地位,以便把握教材,运用教材;三是备学生,了解学生的知识层次、个性特点;四是确定教法,根据内容、学情等选择教学策略,确定互动式等学生积极参与的教学方法;最后,设计教学进程,写好教案,为绪论课的顺利讲授铺平道路。

3.2 激发学生学习兴趣

“好学之不如乐学之”这句话充分说明了兴趣和求知欲在学习中的动力作用。如何使学生对陌生的课程产生兴趣,绪论的首轮效应至关重要,要由一个问题引导出另外一个问题来,由于问题的解决而产生乐趣,并且发现问题使学生的求知欲得到增强。使学生通过学习得到的是乐趣。

3.3 讲授正确的学习方法

举例说明:设有如图1所示的R和L串联电路,在t=0时接到直流电势E上,求电流i(t)。

由基尔霍夫定理知i(t)满足方程:

这是电路基础课程中的一个典型例子,如果直接解这个微分方程有通解和特解是比较麻烦的。拉氏变换作为一种数学工具,使有关运算得以简化,同时它也是研究工程实际问题中线性系统特性的有力工具,如果用拉氏变换解这个方程,会得到事倍功半的效果。但是为什么要用拉氏变换呢?这是由于它把关于时域t的方程微分方程转化为复频域s的代数方程,这样简化了运算过程,减少了出错率。

3.4 提出希望及要求

学生们已经了解本课程的重要性、任务、学习方法之后,还要提出今后的希望和要求,使学生知道今后的学习目标,坚定学好本课程的决心。在讲解下一次课时要进行预习,存疑上课并与老师及时沟通。使教师通过与学生的交流进一步发现问题。并且由于工程数学基本是对普遍性例子进行讲解,特例还要经过学生自己课外发现、总结。

4 两学期教学结果

如下表:07、09级自动化专业卷面分数对比可看出,成绩提高幅度较大。

5 结论

教学实践表明,讲好绪论课,促进了学生从“要我学”到“我要学”的转变,有利于培养学生的思考问题能力,养成良好的学习习惯,提高学习兴趣。还加强了学生和教师之间的沟通与交流,起到了教学相长的效果。

参考文献

[1]李红,谢松发.复变函数与积分变换(第三版)[M].高等教育出版社.

[2]贺文欣,卓煜娅.重视组织学绪论上好入门第一课[J].中国科教创新导刊,2009NO.26.

[3]周玲.绪论课教学的几点体会职业与教育[J].2008.03.

[4]徐成君,张丰雷.试论绪论课教学实践与探索[J].201002.

再议如何进行三角函数的图象变换第9篇

图象的变换, 其实就是曲线的变换.曲线是由点来构成的, 点是用坐标来表示的, 归根到底, 图象的变换是通过点的位置变换来实现的, 如某条曲线上有一点A经过某种变换后就会在一个新的曲线新的位置A′上, 只要找出A点坐标的量和A′点坐标的量关系, 也就是找出了新曲线和原曲线间的变换关系.

下面就具体讨论由函数①y=A1sin (ω1x+φ1) 的图象变换到函数②y=A2sin (ω2x+φ2) 的图象需经过什么样的变换?

在用五点法作任何一个y=Asin (ω+φ) 的图象时, 采用整体换元思想使 (ωx+φ) 分别取 $0 ‚ \frac{π}{2} ‚ π ‚ \frac{3 π}{2} ‚ 2 π$ , 所以横坐标间的关系为: (ω1x+φ1) = (ω2x+φ2) , (ω1x+φ1) 与 (ω2x+φ2) 相等, 则它们的正弦值也相等, 所以就有 $\frac{y_{1}}{A_{1}} = \frac{y_{2}}{A_{2}}$ , 这样就分别找出了横坐标和纵坐标的关系, 也就找出图象之间的变换关系.

设y1=A1sin (ω1x+φ1) ,

y2=A2sin (ω2x2+φ2) ,

令ω1x+φ1=ω2x+φ2, 则

${\begin{cases} ω_{1} x + φ_{1} = ω_{2} x + φ_{2} ‚ \\ \frac{y_{1}}{A_{1}} = \frac{y_{2}}{A_{2}} \end{cases} \Rightarrow {\begin{cases} x_{2} = \frac{ω_{1}}{ω_{2}} x_{1} + \frac{φ_{1} - φ_{2}}{ω_{2}} ‚ \\ y_{2} = \frac{A_{2}}{A_{1}} y_{1} . \end{cases}$

因为找的是坐标之间量的关系, 应遵循加、减、乘、除四则运算, 故变换方法如下:

横坐标:把函数①的图象横坐标扩大 $(\frac{ω_{1}}{ω_{2}} > 1)$ 或缩小 $(0 < \frac{ω_{1}}{ω_{2}} < 1)$ 为原来的 $\frac{ω_{1}}{ω_{2}}$ 倍, 再向左 $(\frac{φ_{1} - φ_{2}}{ω_{2}} < 0)$ 或向右 $(\frac{φ_{1} - φ_{2}}{ω_{2}} > 0)$ 平移 $| \frac{φ_{1} - φ_{2}}{ω_{2}} |$ 个单位.

注意:当 $x_{2} = \frac{ω_{1}}{ω_{2}} (x_{1} + \frac{φ_{1} - φ_{2}}{ω_{2}})$ , 即把x1前的系数 $\frac{ω_{1}}{ω_{2}}$ 提取因数时, 有括号先进行括号里面的运算, 应先平移变换再伸缩变换.

纵坐标:把函数①的图象纵坐标扩大 $(\frac{A_{2}}{A_{1}} > 1)$ 或缩小 $(0 < \frac{A_{2}}{A_{1}} < 1)$ 为原来的 $\frac{A_{2}}{A_{1}}$ 倍.

下面举例说明:

【例1】要得到函数 $y = \sin (2 x - \frac{π}{2})$ 的图象, 只需将y=sin2x的图象 ( ) .

A.向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位 B.向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位

C.向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位 D.向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位

分析:设y=sin2x为y1=sin2x1;

$y = \sin (2 x - \frac{π}{3})$ 为 $y_{2} = \sin (2 x_{2} - \frac{π}{3})$ , 则有:

${\begin{cases} 2 x_{1} = 2 x_{2} - \frac{π}{3} ‚ \\ y_{1} = y_{2} \end{cases} \Rightarrow {\begin{cases} x_{2} = x_{1} + \frac{π}{6} ‚ \\ y_{2} = y_{1} . \end{cases}$

所以纵坐标不变, 横坐标向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位.选A.

【例2】把函数 $y = \sin (2 x + \frac{π}{4})$ 的图象向右平移 $\frac{π}{8}$ 个单位, 再将横坐标压缩到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍, 所得到的函数的图象的解析式是____.

分析:图象仅进行横坐标的平移和伸缩变换, 影响纵坐标变换的量应不变.设 $y = \sin (2 x + \frac{π}{4})$ 为 $y_{1} = \sin (2 x_{1} + \frac{π}{4})$ ;

y=sin (ωx+φ) 为y2=sin (ωx2+φ) ,

则

${\begin{cases} 2 x_{1} + \frac{π}{4} = ω x_{2} + φ ‚ \\ y_{1} = y_{2} \end{cases} \Rightarrow {\begin{cases} x_{2} = \frac{2}{ω} (x_{1} + \frac{π}{8} - \frac{φ}{2}) ‚ \\ y_{2} = y_{1} ‚ \end{cases}$

所以所求图象的解析式为:y=sin4x.

【例3】已知函数y=f (x) , 将f (x) 的图象上的每一点的纵坐标保持不变, 横坐标扩大为原来的2倍, 然后把所得图象沿着x轴向左平移个单位, 得到的是的图象, 那么函数y=f (x) 的解析式是 () .

分析:图象仅进行横坐标的平移和伸缩变换, 影响纵坐标变换的量应不变.设

所以应选答案D.

几点说明:

1.解题中要注意是由哪一个函数的图象变化哪一个函数的图象, 要用已知函数图象点的坐标表示要求的函数图象点的坐标.

函数变换第10篇

1.作函数图像的常用方法

(1) 描点法作图:结合函数的性质, 如定义域、单调性、极值点、奇偶性、周期性、对称性、截距等.

(2) 利用图像变换作图:

平移变换: (m, n>0)

y=f (x) (向右平移m个单位) →y=f (x-m) ;

y=f (x) (向左平移m个单位) →y=f (x+m) ;

y=f (x) (向上平移n个单位) →y=f (x) +n;

y=f (x) (向下平移n个单位) →y=f (x) -n.

伸缩变换: (m, n>1)

对称变换:

y=f (x) (关于x轴对称) →y=-f (x) ;

y=f (x) (关于y轴对称) →y=f (-x) ;

y=f (x) (关于原点对称) →y=-f (-x) ;

y=f (x) (关于直线y=x对称) →y=f-1 (x) ;

y=f (x) (关于直线x=m对称) →y=f (2m-x) ;

y=f (x) (关于直线y=n对称) →y=2n-f (x) .

y=f (x) (y轴右侧图像不变, 去掉左侧图像并作出与右侧对称的图像) →y=f (|x|) ;

y=f (x) (x轴上方图像不变, 将x轴下方图像沿x轴向上翻折) →y=|f (x) |.

2.图像的对称性

常见函数的对称性有:

(1) 函数y=f (x) 的图像关于直线y=x对称圳f-1 (x) =f (x) ;

(2) 函数y=f (x) 的图像关于直线x=a对称圳对于定义域内任意的x都有f (a+x) =f (a-x) .

下面先以二次函数的性质图像举例说明:

在复习函数的单调性时, 必须让学生对二次函数y=ax2+bx+c在对称轴两侧区间上的单调性的结论用定义进行严格的论证, 使它建立在严密理论的基础上, 与此同时, 进一步充分利用函数图像的直观性, 给学生配以适当的练习, 使学生逐步自觉地利用图像学习二次函数有关的一些函数单调性.

例1画出下列函数的图像, 并通过图像研究其单调性.

这里要使学生注意这些函数与二次函数的差异和联系.掌握把含有绝对值记号的函数用分段函数去表示, 然后画出其图像.

例2设f (x) =x2-2x-1在区间[t, t+1]上的最小值是g (t) .求g (t) 并画出y=g (t) 的图像.

解f (x) =x2-2x-1= (x-1) 2-2, 在x=1时取最小值-2.

当1∈[t, t+1]即0≤t≤1时, g (t) =-2;

当t>1时, g (t) =f (t) =t2-2t-1;

当t<0时, g (t) =f (t+1) =t2-2.

首先要让学生弄清楚题意, 一般地, 一个二次函数在实数集合R上或者只有最小值或者只有最大值, 但当定义域发生变化时, 取最大或最小值的情况也随之发生变化.这也是学生在学习时容易出错的地方, 我们可以辅以图像帮助理解.

二次函数, 它有着丰富的内涵和外延.作为最基本的幂函数, 可以以它为代表来研究函数的性质, 可以建立起函数、方程、不等式之间的联系, 可以编拟出层出不穷、灵活多变的数学问题, 考查学生的数学基础知识和综合数学素质, 特别是能从解答的深入程度中, 区分出学生运用数学知识和思想方法解决数学问题的能力

我们可以再以其他函数为例对图像的变换应用加以说明.

例3 f (x) =2sinx是定义在区间[-10, 10]上的奇函数, 令g (x) =af (x) +b, 则下列关于函数g (x) 的叙述正确的是 () .

A.若a<0, 则函数g (x) 的图像关于原点对称

B.若a=1, 0

C.若a=-2, b=0, 则函数g (x) 的图像关于y轴对称

D.若a≠0, b=2, 则方程g (x) =0有三个实根

解析当若a=1, 00, g (3) =f (3) +b<-2+b<0, 所以当x∈ (2, 3) 时, 必有g (x) =0, 故B正确.

例4已知函数y=ex的图像与函数y=f (x) 的图像关于直线y=x对称, 则以下选项正确的是 () .

解析函数y=ex的图像与函数y=f (x) 的图像关于直线y=x对称, 所以y=f (x) 是y=ex的反函数, 即f (x) =ln x.

函数变换第11篇

关键字独立学院；复变函数与积分变换；教学改革

中图分类号：G642.0 文献标识码：B

文章编号：1671-489X（2016）14-0105-02

独立学院作为一种新型的办学模式，在高校扩招的浪潮中应运而生，宗旨是培养社会急需的应用型人才。它的招生一般是按照当地三本或者比三本线高一点儿录取，学生有自己的特点：学习的主动性不强，学习基础相对薄弱，学习兴趣不高，等等。复变函数与积分变换作为一门应用广泛的数学基础课程，它就像高楼的地基。针对三本学生的特点，如何把这地基打牢、打稳？

1 独立学院复变函数与积分变换教学存在问题分析

学生方面独立学院的招生一般是按照当地三本分数线或者三本分数线多一点儿录取，学生的基础相对普通的一、二本院校学生要薄弱，尤其对数学这类基础课程更是望而生畏。复变函数的学习必须要以高等数学作为基础，虽然学生在大一用了一学年的时间学习高等数学，但是对高数知识的掌握并不是很牢固，所以在用高数知识解决复变函数问题时，学生感觉非常吃力。慢慢地就导致对这门课程的学习热情锐减，上课不专心，比如玩手机、睡觉甚至缺课。再者，独立学院的学生普遍的学习积极性与主动性比普通的一、二本院校要差，作业主动思考的比较少，抄袭的现象比较严重，课上集中精神配合教师上课的学生比较少，课上没有掌握的知识，利用课后复习或者积极请教教师的学生比较少。

教师方面独立学院的教师一般分为专职与兼职教师。兼职教师一般是普通一、二本院校的在职或者退休教师，他们长期教的是基础和学习积极性比较好的一、二本学生。而兼职教师一般是普通高校的刚毕业研究生，教学经验不足，而且教学方法与模式一般都按照毕业院校的方法与模式进行。所以，无论是专职还是兼职教师，对于三本学生的具体情况不是很了解，难以做到因材施教。往往，教师认为自己已经讲得很详细、分析很到位了，但学生反映太难、太快，听不懂。

课时方面虽然复变函数与积分变换是很多专业课程的基础课，有着重要的作用，但大部分高校此课程的课时都比较少，基本是32或者48课时。而复变函数包括复数，复变函数的微分、积分、基数、留数，积分变换包括Fourier变换与Laplace变换，内容非常丰富。

2 独立学院复变函数与积分变换教学改革探讨

为了增强复变函数与积分变换的教学效果，针对以上问题，从教学方法、教学手段、教学内容、教材改革以及考核方式等方面，探讨独立学院复变函数与积分变换教学改革。

教学方法首先，复变函数与积分变换这门课程主要有两部分，一部分是复变函数，一部分时积分变换。其中，复变函数以理论为主，积分变换要以复变函数作为基础，以应用为主。复变函数是高等数学中实数域向复数域的扩展，所以复变函数中大部分概念都与高等数学中的概念类似，性质也相同。同时，很多复变函数问题的求解需要借助高等数学的相关知识。所以，教师在教学方法上可以采取类比法。比如复变函数在一点极限的定义，本来极限的概念很抽象，不好理解，教师可以先让学生回顾高数中函数在一点的极限定义，然后给出复变函数在一点极限定义。教师可以引导学生先思考它们之间的相同与不同之处，充分调动学生的积极性，带着问题去听课，不仅师生之间可以有良好的互动，学生也会对自己总结的知识有很深的印象。

其次，三本院校的学生基础相对薄弱，对于授课过程中一些定理的作用与使用方法，教师可以采用归纳总结式教学方法。比如对于复变函数的积分，方法有很多，在讲完所有积分方法时，引导学生对积分的方法做个总结，这对理解和掌握所学的知识是非常必要的。

教学内容三本院校的办学宗旨是培养应用型人才，所以在授课过程中，教师应该按照这个宗旨合理安排教学内容。首先，对于一些理论性较强的定理，可以不讲它的证明，直接给出，要求学生会使用解决问题即可。其次，针对课时少、内容多，而每个专业对该课程的需求不一样，教师可以根据所带学生的专业，对授课内容做合理的调整。最后，复变函数和积分变换作为数学基础课，比较枯燥，如果能在授课过程中给出知识点在相应实际生活中的应用，教学效果会很好。

比如在讲解Cauchy积分公式时，由Cauchy积分公式推导出等式：

它的含义是一个解析函数在圆周上的平均值等于它在圆心的值。接着给学生举例，比如要测量地球球心的温度，可以先测量地表的温度，算平均值得到球心的温度。在授课过程中加入这样的实例，不但可以提高学生的上课积极性，也可以加强学生对知识的理解。

教学手段改变传统的板书教学法，利用板书与多媒体相结合的形式授课。一方面，一些书上有的定理通过PPT演示，可以缩短板书时间，有效提高上课效率；另一方面，有的概念比较抽象，比如用复球面表示点等，可以借助PPT直观地给学生演示，方便学生理解。当然，传统的板书还是要有的，三本学生的基础稍微差些，对于例题的分析还是采取板书形式，带着他们边分析边求解比较好。这样既能让他们对分析有接受的时间，又能对他们的掌握情况有更清楚的把握，有效地提高学生对知识的掌握程度。

加强考核方式学生平时的学习是知识积累的过程，考试是测量学生对知识掌握程度的手段。而学习只有靠平时的积累和期末的总体复习，才能对整个课程有个全面深刻的理解和把握。但是，现在有些学生平时上课不注意听讲，作业基本靠复制，甚至还有的就干脆不来上课，考试基本靠突击，能理解的就理解，理解不了的就死记硬背，考试结束后全部忘记，造成后续专业课程学习的困扰。

因此，考核过程中可以增加平时表现的成绩，由考勤、作业以及平时学习态度组成。平时上课可以采取抽查方式考勤，采取量化方式，缺一次扣相应平时分数。对于作业上交的考核也可与考勤一样，采取量化方式，一次不交扣相应的平时分数。为了避免学生抄袭作业，可以在讲解作业时采用提问方式抽学生来讲解，回答不出来，但作业是对的，可以酌情扣掉平时分。当然，在平时上课提问过程中，对积极回答问题、表现好的学生，可以加平时分。善罚分明，让学生重视平时的学习，才能更好地静心理解所学知识，为后续专业课程的学习打下坚实的基础。

3 结束语

总之，独立学院的教学改革是一个不断摸索的长期过程，还有很多地方需要不断探讨研究。复变函数与积分变换课程作为一门工程基础数学课程，是后续专业课程学习的基础，只有从独立学院学生角度出发，结合独立学院办学宗旨，探讨出符合独立学院实际的教学方法，才能让独立学院的复变函数与积分变换课程的教学越来越好，越来越有特色，才能给后续专业课程的学习打下坚实的基础。

参考文献

[1]西安交通大学高等数学研究室.复变函数[M].北京：高等教育出版社，2008.

[2]盖云英，包革军.复变函数与积分变换[M].北京：科学出版社，2007.

[3]冯丽萍.《复变函数与积分变换》教学的研究[J].科技视界，2016（3）：197.

复变函数与积分变换教学改革新探第12篇

关键词：复变函数与积分变换,教学方法,教学内容

复变函数与积分变换是高等数学的后续课程, 是机电类专业必修的基础课, 它在电路理论、通信工程、信息处理、自动控制、信号与系统等多门专业课中有着广泛的应用。它对培养对象未来的业务素质、专业能力和创新精神是非常重要的。但是, 复变函数与积分变换的实际授课时数相对比较少, 有限的时间内如何使学生既掌握理论与方法, 又了解知识的应用?面对这个难题, 对课堂教学的改革, 已经是每个任课教师不得不着手解决的问题。

一、教学内容需要改革

(一) 好的教材是首选

课堂教学内容改革的成败, 教材无疑是至关重要的。现行的教材内容陈旧, 建国六十年来基本没有大的改动, 本质上仍是建国初期苏联的模式。目前该课程的教材既没有反映21世纪教材教学改革的最新研究成果, 也没有反映该领域的最新前沿知识。因此, 面对21世纪的学生, 急需一本好的教材以适应社会发展的需要。在新的教材没有出现之前, 备课就增加了一定的难度, 这就要求教师在备课时既要不拘泥于手头上原版的材料所介绍的内容, 案头还要备有其他参考书作为备课材料, 尽可能地吸收所有该课程最新研究的精华[1,2,3,4]。

(二) 理论背景和思想方法

现在的教材理论背景的介绍很少, 笔者认为可以把这些材料放在理论介绍之前, 也可以作为补充材料放在每章的后面。数学理论演变的过程是让人很感兴趣的历史, 从中可以再现数学大师思考问题的方式, 可以窥视他们是如何探索真理的, 从而启发学生怎样去思考问题。复变函数与积分变换内容的改革是一次教改任务, 在理论研究的同时, 要兼顾到应用, 研究的主要内容、特色、体系结构和所要解决的主要问题都要围绕有利于学生的发展和社会的需求来进行。在课堂教学时, 尽量避免对理论的推导证明, 但是要求学生必须了解它的思想和方法。

(三) 优化教学内容, 加强专业应用知识

深入研究适合专业的教学内容和培养目标, 重新整合教学内容。弱化复数的运算和复函数的微分学, 加强留数及积分变换的内容。找准切入点, 从引入具体实例入手, 将电路信号与系统等课程中的问题引入数学课堂, 让学生感受到不掌握这些知识就无法学好专业课。

通过这些实例使学生在数学课中看到本专业的实例, 看到后续课程乃至毕业设计中都要用到这些知识, 从而激发学习热情, 变原来那种被动学习为主动学习, 经常带着一些相关问题来讨论, 这样就促进了对专业知识的理解。同时也使得教师的教学变被动为主动。

二、教学方法需要改革

(一) 创建问题情境, 激发学习热情

创建有趣味性的实际问题来引入数学的课题, 将抽象的数学问题具体化, 运用朴素的数学思想来解决相对简单的实际问题是一种有益的尝试。例如, 学生在学习教材第一章《复数》的乘幂之后, 可以通过一个简单的复数实际应用的习题来进一步揭开复数的神秘面纱, 教学过程如下。

1. 建构问题情景。

从前有一个年轻人, 他的曾祖父在临终前告诉他一批宝藏的藏匿地点。先在某荒岛北岸找到一片草地, 草地上有一株橡树和一株松树, 还有一座绞架, 从绞架走到橡树, 并记住走了多少步;到了橡树向右拐个直角再走这么多步, 在这里打个木桩。然后回到绞架那里, 朝松树走去, 同时记住所走的步数;到了松树向左拐个直角再走这么多步, 在这里也钉个木桩。在两个木桩的正当中挖掘就可找到宝藏。于是年轻人找到小岛, 看到了橡树和松树, 可是令人失望的是, 由于长年风吹日晒绞架已腐烂消失。现在请你帮助这个年轻人在没有绞架的前提下找到宝藏[5]。

2. 探究问题。

宝藏地点是如何与复数联系的?坐标系应该怎样建立?复数乘幂的几何意义是什么?学生通过思考、讨论给出的解决方法是, 将荒岛看成是一个复平面, 连接橡树与松树作为实轴, 并且在两树正中间取为坐标原点, 过原点垂直实轴建立虚轴, 原点到松树距离做单位长度, 任意设绞架所在位置为一个复数的点。于是经过运算就可以发现宝藏所在的位置其实与绞架位置毫无关系, 应该在虚轴正半轴+i点的位置上。

教师创设这样的趣味情境, 引导学生建立恰当的坐标系, 启发学生利用复数运算法则解决问题。整个教学过程由于问题新颖生动, 充分地调动了学生思维, 学生反应积极, 课堂活跃, 达到良好的教学效果, 做到课程从开始就吸引学生, 让学生对复数域产生浓厚的兴趣。这种实际问题的提出优于书本上枯燥的形式化的例题和习题, 它的实质恰恰是把书本上抽象的数学问题趣味化, 同时揭示了其丰富的内涵。一旦学生利用所学知识解答出这个问题, 就会长久地记忆, 有利于知识的迁移, 创设有意义的情境, 充分调动学生的思维, 使之通过对知识进行处理加工加深知识信息在头脑中的印象。这正是建构主义教学方法所提倡的。

(二) 采用类比建构, 培养数学思维

复变函数是实变函数理论的延续和拓展, 两者的区别与联系贯穿复变函数教学的始终。两者差异的根本在于极限定义的不同, 一元实变函数定义域是一维的, 求极限是沿数轴方向的逼近问题;复变函数定义域是二维的, 其极限定义要比一元实函数严格得多, 是沿平面各个方向 (包括各种曲线) 的逼近。教师只要把两者根源分析清楚, 其他由极限所引申发展出来的连续、可导、可微分、可积分的概念就可以引导学生自己总结得出。教学中常常将两类函数多作对比, 便于学生加深对实函数的理解, 进而更清楚地认识了复变函数, 解决学生将两者混淆、甚至认为课程晦涩难懂的问题。另外, 在积分变换教学中也可以采用类比建构的方法对比傅立叶变换和拉普拉斯变换两者的区别与相似之处:傅立叶变换是在函数绝对可积的条件下定义的, 拉普拉斯变换是在更宽泛的前提下给出的, 拉氏变换是傅氏变换的拓展, 傅氏变换是拉氏变换的一种特例, 但两种变换的实质都是映射, 是把时间域映射到频率域, 逆变换则相反。这样复杂的数学定义及公式就被简单地提炼出实质, 引导了学生透过现象看到事物的本质, 帮助学生建立看问题的数学角度, 培养学生数学的思维, 实现知识从“厚”到“薄”的转换。

(三) 给学生自学的机会, 培养自学能力

与中学教学相比, 大学阶段的学习在学习方法上有一个质的飞跃。为培养学生自学能力, 我们主要抓了以下几个环节。一是以教材为中心, 指定参考书, 让学生在学习中开阔视野, 从多角度加深对概念的理解;二是根据教学进度, 有意识地给学生出一些思考题目, 让学生带着问题去读书、思考和研究;三是安排一定的教学内容让学生自学。例如, “复数”的内容大部分在中学阶段都学过, “复平面上的点集”的内容与数学分析中平面点集的内容几乎是一样的, 这些内容再讲, 既浪费了时间, 学生听起来也不会感兴趣。如果让学生自学, 然后教师提出一些问题让学生去讨论、去思考, 他们会更集中精力去钻研, 会收到更好的学习效果, 同时也便于不断地提高自学能力。总之, 合理地安排教学内容, 给学生自学的机会, 通过辅导自学, 培养学生独立地获取知识并使之形成系统化的能力, 要把“教学生学会”变为“教学生会学”。

(四) 引导学生独立思考、总结与探索, 培养科研能力

在教学中, 我们注意运用启发式教学, 合理设疑, 对有些问题引导学生根据已知知识与经验去猜测其结果, 培养学生的探索精神。利用章节的小节、习题课等形式训练学生对同一问题从不同的路径和方向去思考, 多角度、多方向去观察, 尽量探索出多种解法。总之, 要结合教学内容进行一题多解的训练或给学生一批思考题或学年论文题目, 让学生对已学知识进行总结和综合, 使学生早日熟悉科研方法, 提高创新意识和科研能力。

三、考查方式需要改革

在充分重视素质教育的今天, 高校中仍普遍存在“重知识、轻能力, 重记忆、轻创新, 重理论、轻操作”的课程考试方式和考试内容, 这已不适应全面提高学生素质的教育目标, 也不利于学生创新能力的培养。评价人才培养质量应该有新的标准, 考试作为评价人才的重要手段和方法, 不可能套用传统的模式, 而应该进行改革, 应该通过改革使考试适应新的人才评价标准。考试不仅具有众所周知的“评价”功能, 还具有“塑造”能力, 考试是学习的“指挥棒”, 这是教育者与受教育者的共识。通过考试改革, 使学生在重视基础知识学习的同时, 更注重实践能力的培养和创新精神的形成。考试改革不是孤立的, 它是教学改革的重要内容, 考试改革与教学内容、教学方法的改革相辅相成, 互相促进, 前者对后者具有强烈的导向作用, 后者为前者打下了基础。因此, 在新的形势下, 为了培养适应21世纪所需的国际化人才, 高等学校在重视教学内容、方法改革的同时, 还应充分重视考试改革。

考试是教学评价的一种重要手段而非目的, 考试的基本任务是测验学生对基本理论、基础知识掌握的程度, 发现教学中存在的问题, 检测学生的学习效果, 督促学生学习, 其目的在于检查教学效果, 检验教学目标实现的程度, 从而有效改进教学工作, 提高教学质量。教师应善于使用考试手段来监测和监控教学质量、规范和引导教学行为、鞭策学生积极努力地学习, 要通过考试引导学生重视知识积累、能力的培养和创新精神的塑造。

参考文献

[1]全国高校工科数学课程教学指导委员会.《复变函数》教学基本要求[J].大学数学, 1986, (2) .

[2]余家荣.复变函数[M].北京:高等教育出版社, 1979:126.

[3]郑建华.复分析[M].北京:清华大学出版社, 2002:1-3.

[4]西安交通大学高等数学教研室.复变函数[M].北京:高等教育出版社, 1996:1-5.

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