数学方程范文

2024-06-07

数学方程范文（精选12篇）

数学方程第1篇

方程———表示数量之间相等关系的“天平”, 是解决实际问题的有效工具. 就如同以下这题:

我们班有48名学生, 其中女生人数比男生人数的三分之二还少2人, 问:我们班有男、女生各多少人?

这题的关键句是“比男生人数的三分之二还少2人”, 通过这句话我们可以设男生人数为x, 则有女生人, 列出方程.解决这题必须依据生活实际, 本题中男生人数、女生人数、总人数必须都是正整数, 不能是零或者分数. 这其实也是一个做题的小窍门. 通过这题, 我们可以看出列方程只需找到等量关系, 接下来就很简单.

可能大多数人把方程的解和解方程搞混了, 但它们是两个不同的概念, 一个是求得的结果, 一个是求解的过程. 你们看数学的这两个词只是字调换了顺序就能改变整个意思, 所以要学好数学, 求得高分, 决不能忽略任何一个细节.

部分人可能认为方程是弱者用的方法, 可他们却不知道他们所学的很多知识都来源于方程, 方程不用逆向思维, 是解题最简单的方法. 所以说方程是我心目中的数学功臣, 它帮我们解决了一个又一个难以解决的问题, 方程在我们生活中无处不在, 它就如同黑夜中的一盏路灯指引你找到最终的答案.

方程数学小报资料第2篇

根据题目所给的三个已知条件不难看出是语文分数最高，如何求出三科的成绩各是多少分呢?

可用“整体思路”进行思考，因为这道题是属于已知“甲乙两数之和、乙丙两数之和、丙又与甲数之和”而求甲、乙、丙三个数各是多少的“回环”问题。

解题时先将三个两两之和加起来得到三科的“两两总成绩”(每科的成绩都计算了两次)，接着除以2得到三科的(一次)总成绩，然后用这个总成绩减去语文自然总分得数学分、减去语文数学总分得自然分、减去自然数学总分得语文分。

分步列式解答如下：

1、三科总分：(197+199+196)÷2=…=296(分)

2、三科成绩分别是：语文296-196=100(分)、自然296-199=97(分)、数学296-197=99(分)。

【关于数学的手抄报内容资料二：小学智力题(ABCDE所代表的省份}】

对地理非常感兴趣的几个同学聚在一起研究地图。其中的一个同学在地图上标上了标号A、B、C、D、E，让其他的同学说出他所标的地方都是哪些城市。

甲说：B是陕西。E是甘肃;

乙说：B是湖北，D是山东;

丙说：A是山东，E是吉林;

丁说：C是湖北，D是吉林;

戊说：B是甘肃，C是陕西。

这五个人每人只答对了一个省，并且每个编号只有一个人答对。你知道ABCDE分别是哪几个省吗?

答案：

小学数学方程教学初探第3篇

关键词：小学数学；方程；教学

G623.5

无论教材的版本如何更替，我们的教学中心适中是围绕方程教学的。方程教学，表现给大家所看到的是两个方面，利用等式关系解决一切教学难点，例如数量间的等式，时间上的等式等。第二个方面，就是利用等式关系求解未知函数，也就是通俗所讲的解方程。就如何解方程这一知识，新教材对之有完全不同的理解。

一、简要分析新旧教材对于解方程的思路

新教材的编写者明确表示，在小学阶段，学生对于解方程的能力要求，只需要能够合理利用加减乘数这四则运算就可以了。对于加减乘除的合理运用是小学生进行解方程的关键之处。这同时也为学生进入初中学习打下牢固的基础。中学数学的教学偏重于基于等式求解一元二次方程和二元一次方程。因此，这次小学教材的改革是以我们学生能够完美衔接中学教学为目的。我们要理解编写教材的作者的用心良苦，顺应他们的思路进行系统的教学。

二、转换观念，树立正确的对待新思路的态度

教材的改革总会引起教师的分歧，尽管改革的理由十分充分，部分教师仍然会觉得不够完美，产生抵触情绪。对于这部分教师，我们不能过多地指责，而是在深刻了解教师对教材产生抵触缘由的基础上进行积极引导，转变教师对当前教材的观念。

（一）不能理解该教材的缘由

对传统的教学过程汇总，利用加减乘除解决问题是最为简单的，但是，新教材明确要求我们使用等式的方式来解决问题，无意有画蛇添足的嫌疑在里面。并且这样的教学方式会出现伪命题。

例如，在之前的一次教学中，一位学生提出了这样的问题：A-X=B，A/X=B这类伪命题如何解决？如果我利用传统的解决思路来回答学生是十分简单的，同时会让学生产生这样的解题思路是繁琐无用的，会产生抵触情绪。但是不利用之前的传统解题思路又不能完美的回答学生。因此，这样的出境就会让学生产生换汤不换药的感觉，这样将极度不利于我们的教学活动的展开。

（二）两者都不排斥、相兼顾

例如，笔者自身在教学过程中就是用的二者兼顾的教学手段，针对不同能力的学生，我使用不同的教学手段。对于吸收能力较强的同学，我是用新教材的教学思路，利用等式的原理来解决方程的问题。而部分吸收能力不是很强的学生，我会建议他们先死记硬背四则运算之间的关系，之后再逐步理解新教材的解题思路，从而让所有的学生都能过收益。

（三）完全赞同新的教学方法

这类教师是与时俱进，思维能力转换较为快速的，他们能够快速的发现新教材的优势之处，并能在较短时间内找到可以完美灌输这种思想给学生的教学手段。从而让学生能够体会到这种能够更加牢固掌握知识的解方程手段。对于教师和学生来讲，都是获益的，从而完美的达到了共赢的目的。

三、让我们与时俱进，转换思念，完美传授学生新的解题思路

（一）新教材的解题思路之所以被倡导是不无道理的。这种解方程的方式，使用的原理十分的简单，能够省去我们学生大量的记忆时间。旧教材关于解方程这块的讲解是十分枯燥的，除了四则运算的关系讲解，就是督促学生进行不停的背诵。但是小学生对于单纯的背诵是十分抵触了，往往在今后的运用中容易出现失误。这时候，如果我们引进新的方法之后，学生能够在解方程的过程中逐步领悟到之间的关联，从而可以不用背诵，极难出现低级错误。

（二）改善学习思维，促进学生高效学习

我们的课程往往是十分紧凑的，当学生学习完等式最基本的属性之后，我们就需要立即教导学生解方程的知识点了。如果我们利用新教材的解题思路，在有限的教学时间内，可以更大化的改善学生的思维，从而增加我们的教学密度。相对于原有的教学手段，更能够促进学生进行思维锻炼。接下来，我以我的教学实例来说明新教材思路的优势。

之前的有一节课，我们讲授了X+3=9的问题。我鼓励学生大胆说出答案，并且鼓励学生利用不同的方法来解答这个问题。这时候，学生可以快速的解答出来，答案是6，这就是快速运用了这样的数学知识：加数等于和减去另一个加数的数学原理。这时候，如果我们利用新教材的解题思路可以解决吗？当然可以，我引导学生先回忆新教材是如何解答类似问题的，机灵的学生立马想到，在两边同时加上-3，就可以完美的解决这个问题。这样的解决方式，就是锻炼了学生的划归思想。

（三）娴熟的驾驭新教材解方程的思路

新教材针对解方程这一块有两个至关重要的点，就是熟练运用等式的基本属性和划归的思想。当我们利用大量的习题让学生能够娴熟驾驭这两个思想之后，在小学阶段，无论多么复杂的方程，学生都不会觉得难，都能完美的解决。

例如：在解方程3x-5=7这样的问题的时候，学生在驾驭了划归的思想之后，可以很快的想出解体的步骤，首先知道3x是多少，所以在两侧都加上5从而知道3x是12，接下来再两边都除以3，从而得到x为4，熟练掌握这两个思想并准确的运用，整个解题过程就会流畅无比，学生对数学中的方程解答也会更加得心应手。

四、结语

新教材所提供的解方程思想显得十分先进，作为教师，我们应当摒弃传统的教学观念，接受崭新的知识。我们应当以我们的学生和初中接轨为己任，积极备课，开拓思维，寻求最合适的教学手段将新的解方程思路灌输到学生的脑海中。本文论述了新旧教材在解方程思路上存在的差异、当前教材在方程教学中突出的显著优点以及如何运用当前教材引导学生进行方程的高效解题。希望这些论述能够给广大教师一起启发，进而推动小学数学的有效发展，此路漫长，任重而道远。

参考文献：

[1]课程教材研究所小学数学课程教材研究开发中心.义务教育课程标准实验教科书数学第九册[M].北京：人民教育出版社出版. 2005.

[2]楊刚，小学数学课程改革的研究与实践/小学数学课程改革研究[M].北京：人民教育出版社，2007.

高中数学轨迹方程解法第4篇

一、直接法

如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系,或这些几何条件简单明了且易于表达,我们只需把这种关系“翻译”成含X,Y的等式就得到曲线的轨迹方程。这种方法称为直接法。

当o<p<1时,所求轨迹是双曲线的右支;

当p=1时,所求轨迹是抛物线在y轴右侧部分;

当p1时,所求轨迹是椭圆在y轴右侧部分;

注:求轨迹的步骤:1)建立适当坐标系,设点的坐标;2)根据条件列出关系;3)转化为方程F(x,y)=0;4)整理化简得轨迹方程;5)必要时进行讨论。

二、定义法

若动点的轨迹的条件满足某一基本轨迹的定义(如圆、椭圆、双曲线、抛物线),则可以根据定义直接求轨迹方程。

三、参数法

有时求动点应满足的几何条件不易的出,也无明显的相关点,但却较易发现这个动点的运动常常受到另一个变量(角度、斜率、比值、截距或时间)的制约,即动点的坐标(x,y)中的x,y分别随另一变量的变化而变化,我们可以这个变量为参数,建立根据的参数方程。这种方法叫参数法。如果需要普通方程,只要消去参数即可。在求轨迹方程中,参数法的应用较为广泛,若参数选择得当,常可使问题获得较为简捷的解法。

注:参数法求动点轨迹方程的步骤:(1)建立坐标系,设动点P(x,y);(2)根据轨迹的条件,选取适当的参数;(3)确定动点坐标中的x,y与参数的关系式,即建立参数方程;(4)消去参数得到普通方程;(5)讨论;其中确定参数是关键。选择恰当地参数应该是便于建立动点的参数方程,且容易消去参数。另外,但动点随着动直线绕某点旋转时,选择斜率k为参数比较方便。

四、交轨法

求轨迹时,有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题。可通过解方程组得出交点含参数的坐标,再消去参数得出所求轨迹的方程,此种方法叫交轨法。

例4:已知过抛物线=4x的焦点F的直线交抛物线于AB两点过原点O作OM⊥AB垂足为M,求点M轨迹方程。

解:

a.当直线斜率不存在时,直线方程为x=1.此时M点坐标为(1,0)

b.当直线斜率存在时,设直线AB的方程y=k(x-1),则直线OM的方程可写成y=-x/k;两式相乘消去k,得=-x(x-1),即点M的轨迹方程为将M(1,0)代入知点M(1,0)在该轨迹上。

∴M的轨迹方程为:

注:用交轨法求动点的轨迹方程时,不一定非要求出交点的坐标,只要能消去参数,得出p点坐标之间的关系即可。

求轨迹方程应注意的几个问题:

1. 应多层次、全方位地分析动点所满足的全部条件,特别应注意动点受到的隐含的约束条件,防止扩大或缩小点集的范围。

2. 方程化简过程中,一定要注意同解变形,对非同解变形,要注意判别x,y的存在范围并予以说明,以确保轨迹不重不漏;

3. 对实际问题,要注意实际问题对动点轨迹的限制;

4. 要注意区别”轨迹“和”轨迹方程“是两个不同的概念。若求动点的轨迹,不仅要写出动点的轨迹方程,还要说明轨迹的名称形状特征及位置特点等。

另外,还有相关点代入法,本文不再详述。

参考文献

[1]普通高中课程标准试验教科书·数学(选修2-1).北京师范大学出版社,2008.

《认识方程》数学教案第5篇

“认识方程”是小学阶段学习方程的起始课，大部分版本的教材都将其安排在五年级，且给出了“含有未知数的等式是方程”这一定义。日常教学中比较普遍的现象是，教师集中比较多的时间和精力去围绕这句话展开，着重引导学生从是否为等式，是否含有未知数这两个限制性条件来判断一个式子是不是方程以及理解方程和等式的关系。应该说，“含有未知数的等式是方程”这句话指出了方程的形式特征，但在形式的背后还隐藏着更为重要的思想意义。学习方程的价值在于会用方程解决问题，逐步学会运用代数的方法思考问题，即培养学生代数思维的能力，这一切离不开方程思想的渗透。

【学生分析】

五年级学生学习方程、领悟方程思想还是有一定难度的。一是方程思想本身具有抽象性，二是前面四年的数学学习中，学生已经习惯了用算术思维解决问题。

【教学目标】

1、在具体的情境中理解并掌握方程的意义，初步感受议程和等式的关系。

2、经历观察、语言描述、符号表达、分类、归纳的过程，发展抽象思维能力。

3、在具体情境中，感受数学与生活的密切联系，体会方程的作用即刻面现实情境中的等量关系，建立方程模型。

【教学重点】

在具体情境中理解方程的意义。

【教学难点】

用方程表示简单的等量关系，体会方程的意义和作用。

【教学过程】

一、激活经验，初步感知

师：时间过得好快，一转眼我们都上五年级了。你觉得咱们五年级的学习水平跟一年级相比――

生：水平高多了。

师：好啊，那就请大家来做小老师。最近，一年级的孩子遇到了这样一个问题：草地上有7人在踢足球，再来几人，就是10人？

师：有个叫小明的同学是这样做的。（板书7+3=10）对于这种做法，你有什么想说的？

生：我认为这种做法是错误的。7+3=10，这里的3不知道从哪里来的。应该用10－7＝3（板书10－7＝3）

师：你们的意思是，7和10是告诉我们的数，就叫做已知数，而3不是题目中告诉我们的，属于――――

生：未知数。

师：你们是用已知数求出未知数。

师：（再次出示7+3=10，在7和10下面打√，3下面打？）现在，你能看出小明是怎么想的吗？

生：他是想，原来有7人，再来几人就是10人，也就是7加几等于10呢？

师：小明先想7+=10，然后想到了3，用一个符号来表示不知道的人数。这样的想法有没有道理呢？

生：有！

师：对啊，先不去想结果是多少，而是看看数量之间有怎样的关系。关系理清楚了，再去想结果。

师：孩子们，这种解决问题的方法蕴含了一个伟大的数学思想―――方程思想。那什么是方程思想呢？能说说你的感觉吗？

生1：就是用一个符号表示未知数。

生2：就是先想关系，在解决问题。

师：大家可能一时还说不太明白，没关系，让我们带着这种感觉继续学习。

师：你还能用其它的式子来表示小明的想法吗？

《认识方程》教学设计生：7+？=10，7+x=10，7+＝10……

师：总之，你们想到的办法就是用一个符号来代表未知数，你们想的办法和数学家韦达想的办法是一样的，他是第一个想到用符号代表未知的量来进行系统计算的。不过，有另外一个数学家叫笛卡尔，他说，你用这个符号，我用那个符号，多乱啊！不如大家统一用几个固定的字母表示吧，其中x就是他选的字母之一，。我们也选用x表示吧。板书：7+3＝10改为7+x＝10

二、对比交流，构建意义

师：二年级时同学们又遇到了新问题：草地上一年级和二年级的同学们在踢球，二年级有6人，二年级同学的人数是一年级的3倍，一年级有几人？

生：6÷3＝2

师：你知道小明同学的想法吗？

生：x×3＝6或3x＝6

师：小明怎么想到的？

生：二年级的人数＝一年级的人数×3

师：****是未知数，***是已知数，看来，未知数和已知数一样，可以写到左边也可以写到右边，两者的地位是同样的。这是这道题中最简单的等量关系式。

师：一年级人数的3倍和二年级人数相等，这就是它们之间的等量关系。等量关系明确了，式子就能很轻松地写出来了。

师：转眼小明同学已经三年级了，又遇到了新问题：草地上原来有一些人在踢球，先来了3人，又走了2人后，现在草地上有8人。原来草地上有多少人？

师：你猜一猜同学们的方法，再猜一猜小明的方法，试着写在练习本上。

生1板书：8+2－3＝7

生2板书：x+3―2=8

师：看看这两种方法，说说你们的想法？

生：8+2－3＝7，是倒过来推想，x+3―2=8是顺着想。

师：说一说想的过程？

生：8+2－3＝7是现在的人数+又走的人数―先来的人数=原来的人数

生：x+3―2=8是原来的人数+先来的人数―又走的人数=现在的人数

师：倒着想和顺着想，你觉得哪种关系更简单，更容易理解，为什么？

生：按照事情发生的顺序，顺着想更容易理解。

师：同学们，现在对方程思想理解的清楚些了吗？我们们继续学下去，相信大家的感受会更深些。

师：四年级了，同学们学习的问题更复杂了。出示：某风景区儿童票价的2倍多5元刚好是成人票价145元再加10元，儿童票的价格是多少元？你可以任选一种方法写在练习本上。

生1板书：（145+10－5）÷2（如果学生写不对，教师集体纠正）

生2板书：2x+5＝145+10

师：说说你们的想法？

生1：145+10再减5才正好是儿童票价的2倍，所以再除以2才是儿童票价。

生2：儿童票价×2+5＝145+10

师：哪种关系更简单？

生：第二种。

师：看来，选对方法，找准等量关系可以事半功倍啊。

师：通过解决这几个问题，观察一下两种方法，你有什么发现？同桌互相说一说。

师：谁先来说说，有什么不同的地方？

生1：左边的都是算式。

生2：右边的方法都含有未知数。（师板书）

生3：右边的式子都含有未知数，用一个字母代表未知数，顺着想，把题目的意思表达出来，就可以直接写成了一道算式。

生4：而左边的式子里未知数在等号的后面，需要倒着想才能把式子列出来得到未知数。

师：我们找到了它们的不同点，它们有一样的地方吗？

生：都有等号。

师：等号的左边和等号的右边都是怎样的？

生：相等的。

师：像这样的算式，我们叫等式。（板书：等式）

师：这些式子都是等式。

师：像左边的这些等式我们从一年级到四年级一直在用，非常熟悉。而右边的这些等式有什么特别的地方？

生：都含有未知数。

师：我们今天认识的这样的含有未知数的等式就叫做方程。（板书）

师：这就是今天我们要学习的新知识（板书：认识方程）。你现在觉得方程思想是什么？

生：方程思想就是先找出等量关系，用字母表示未知数，列出含有未知数的等式。

师：说的真好！方程就是抓住最简单的等量关系，列出含有未知数的等式。

师：还没学习方程的时候，同学们就列出了这么多的方程。其实方程在很早的时候就有了。

1、早在三千六百多年前，埃及人就会用方程解决问题了。

2、在我国古代，大约两千前成书的《九章算术》中，就记载了用一组方程解决问题的史料。

3、四百多年前法国数学家韦达在他的《分析法入门》著作中，系统使用了符号表示未知量的值进行运算。

4、一直到三百年前，法国的数学家笛卡尔第一个提倡用排在字母表后面的x，y，z代表未知数，这种用法成为当今的标准用法，形成了现在的方程。

三、借助天平，强化建构

师：（出示天平）这是什么？

生：天平。

师：和我们玩什么很像？

生：跷跷板。

师：如果天平两边这样摆法码？天平会是什么样子？做个手势告诉我。

师：两边一样高还是一边高一边低？为什么？

生：因为两边一样重。

师：如果这样摆法码呢？还会一样高吗？

生：不会，不一样重。

师：这样呢？

生做手势。

师：现在这个天平是什么样子？

生：一样了。

师：当天平两边一样的时候，它和方程等号两边相等的性质是一样的。所以，人们常常借助这样的天平来学习和理解方程。

师：你会根据这个天平写出一道方程吗？（x4511050）

生：x+45＝110+50

师：还有其它列法吗？

师：110+50＝x+45，也是可以的，只有我们习惯将含有未知数的式子放在等号的左边。

师：我这里有四个天平，根据四个天平写出了四个式子，这四个式子里面有没有方程？

师：你如果认为有一个，可以举一个手，认为有两个可以举两只手，认为有三个可以和同桌合作。

师：第几个是方程？

生：第三个是方程。

师：第4个为什么不是？那1和2都有未知数呀，怎么就不是方程？

生：必须是等号连接。

生：还需要有未知数。

师：不错，不仅有未知数，而且是等式。我们列方程是为了把未知数求出来，1和2能求出准确的数吗？

生：不能。

师：像1和2这样的式子，虽然也含有未知数，但是只能求出大概范围。所以它们属于另一类，而不属于方程。

师：你们真棒，你们已经可以根据天平写方程了，还会根据天平判断方程，那你们能根据方程画天平吗？

师示范。

生陆续画出。（投影展示）

师：同学们们都很棒，都会根据方程画出天平，其中最值得表扬的是你们画的天平都很平，表示左右两边是相等的、平衡的，高难度的是这一道：

你能根据它，列出方程吗？同桌互相说一说。

这不是最难的，最难的在这：你能不能根据这个天平，从天平上去掉一点东西列出一个新的方程，你想怎么做？

生：左边和右边把梨和草莓都去掉。

师：光去掉一边行吗？

生：不行，那就不相等了。

师：那就不是方程了。（师操作）

师继续追问，一点点的去，最后剩下：x＝200

师：你现在知道苹果有多重了吗？

生：200克。

四、师总结（画集合），生谈收获。

师：同学们刚才还想到了还想到往上面加东西，对吗？时间关系，怎样加课后和我交流。同学们今天学习了方程，你有什么收获？

生交流后。

师：小明列出了那么方程怎么来解这些方程呀？其实解方程的秘密就藏在天平里。这节课就上到这儿，下课。

在方程教学中渗透数学思想第6篇

这是列方程的重点，是一个抽象的过程。四则算术思想仅仅强调算法，而方程则比较全面地展示了建模思想——用等号将相互等价的两件事情联结，等号的左右两边等价，至于其中的关系是用自然语言表示的，还是用数学符号表达的，都不太重要。《义务教育数学课程标准（2011年）》（以下简称《课程课标》）关于课程设计思路指出：义务教育阶段数学课程的设计，充分考虑本阶段学生数学学习的特点，符合学生的认知规律和心理特征，有利于激发学生的学习兴趣，引发数学思考；充分考虑数学本身的特点，体现数学的实质；在呈现作为知识与技能的数学结果的同时，重视学生已有的经验，使学生体验从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型、寻求结果、解决问题的过程。同时还指出：模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果、并讨论结果的意义。这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识。在进行方程教学时，可以先让学生用自然语言阐述事情，然后抽象成数学表达，最后用数学符号建立方程，解决问题。

教学片段1：《方程的意义》。

师：观察天平，说出你的发现。（课件展示）

生1：天平的指针指向中点，说明天平平衡了。可见，天平两边的质量相等，即一个空杯子的质量为100克。

师：现在天平怎样了？（课件展示）

生2：杯子加水后，天平不平衡了，天平的左边质量更重了，也就是杯子的质量加上水的质量后，比100克重了。

师：现在天平又怎样了？（课件展示）

生3：天平右边的托盘中再放入一个100克的砝码后，天平仍然不平衡，天平左边的质量，即一杯水的质量还是比200克重。

师：现在天平怎样了？（课件展示）

生4：天平右边的托盘中再放入一个100克的砝码后，天平还是不平衡，这时，天平右边变重了，即杯子的质量加上水的质量比300克轻了。

师：现在的天平怎样了？说明了什么？（课件展示）

生5：现在天平又平衡了，说明两边的质量相等，即一杯水重是250克。

师：你能用一个关系式表示生3回答中三种量之间的关系吗？

生6：杯子的质量+水的质量>200。

师：还可以怎样表示呢？

生7：100+水的质量>200。

师：你能用一个关系式表示生4回答中三种量之间的关系吗？

生8：杯子的质量+水的质量<300。

师：还可以怎样表示呢？

生9：100+水的质量<300。

师：你能用一个关系式表示生5回答中三种量之间的关系吗？

生10：一个杯子的质量+水的质量=250。

师：还可以怎样表示呢？

生11：100+水的质量=250。

师：水的质量是多少？不知道。可以怎样表示呢？

生：可以用字母x表示水的质量。

师：很好，你们能用含有字母的式子表示生7、生9和生11所说的关系吗？

生：100+x>200。

生：100+x<300。

生：100+x=250。

师：类似“100+x=250”这样含有字母的等式，就叫做方程。

片段教学体现出方程建模的过程，即将现实问题情境用自然语言表达成一个数学问题，离析出“100+水的质量>200、100+水的质量<300和100+水的质量=250”的关系，并将用自然语言表达的“100+水的质量=250”这个等量关系，用含有未知数x的数学解析式表示，体现了抽象、概括的过程，学生在建模的过程中，领略到将现实对象关系结构抽象为数学符号式子的过程，感受方程建模思想。学生经历从天平“平衡—不平衡—平衡”的过程，促进其在深刻感受关系结构的变化中，清楚地把握方程思想的关键，即用数学符号把要说的话（即两件等价事情）表达出来，从而体会方程是刻画现实世界中等量关系的重要模型。与此同时，进一步感受数学与生活的密切联系。

二、学会化归方法

这是解方程的重点，是一个运算过程。化归，就是转化和归结的简称。化归方法就是数学问题解决的一般方法，其基本思想是：把待解决的问题，通过某种转化手段，归结为易解决的另一个或一些问题，从而获得原问题的解决。方程求解力求体现化归思想，即三元一次方程组可以化归为二元一次方程组，二元一次方程组可以化归为一元一次方程，最终化归为“x=a”的形式。就小学而言，解一元一次方程，只需要将含有未知数的项放到方程的一边，将不含未知数的项放到方程的另一边，就可以解出未知数的值。

例如：

100+x=250

解：100+x-100=250-100

x=150

x-6.5=3.2

解：x-6.5+6.5=3.2+6.5

x=9.7

2.5x=14

解：2.5x÷2.5=14÷2.5

x=5.6

x÷7=0.3

解：x÷7×7=0.3×7

x=2.1

在解一元一次方程的教学过程中，要让学生明白化归的方向，即把一元一次方程化归为x=a的形式，即未知数等于常数；要让学生掌握化归的依据和方法，即借助等式的性质及四则运算中加和减、乘和除之间的互逆关系，实现转化，从而获得问题的解决。

如何通过列方程巧妙解决数学问题第7篇

一、列一元一次方程解数学应用题

对于数学应用题的解答采用列方程的方法会达到事半功倍的效果, 它会帮助学生梳理数学问题中的各个数量关系, 让学生对于知识进行深入理解和探究. 常用的解一元一次方程的应用题通常有行程问题、工程问题、调配问题、分配问题、配套问题以及增长率问题等方面的问题. 教师在教学中可以把这些数学问题给学生归类,使学生能够清楚地了解他们之间的数量关系,从而轻松地设出一个未知数,找到等量关系,顺利地解答问题. 例如:某厂一车间有64人,二车间有56人. 现因工作需要,要求第一车间人数是第二车间人数的一半. 问需从第一车间调多少人到第二车间? 这就是一道典型的劳动力调配问题,为了解决这类问题,教师就可以引导学生通过列一元一次方程的方式来解决这类问题. 在解题时教师首先要带领学生搞清楚人数的变化,使学生能够理清题目中的数量关系,从而解决问题.

二、列二元一次方程解数学应用题

需要列二元一次方程来解决的应用题比一元一次方程的应用题要复杂,学生需要设置两个未知数,并且理清这两个未知数之间的关系. 学生在解题时要从整体上考虑, 列出符合要求的代数式. 二元一次方程一般涉及两个未知数x和y,根据题意以及题目中的数量关系,学生可以列出两个数量关系,构成一个方程组. 例如:一个两位数的十位数字与个位数字和是7,把这个两位数加上后,结果恰好成为数字对调后组成的两位数,则这个两位数是几? 根据题目的要求,学生设出两个未知数,根据他们的数量关系,学生可以列出x + y = 7; 10x + y = 10y + x. 通过学生对于题目的分析, 学生可以充分地理解题意,进而总结出题目中的数量关系,总结出这两组关系式. 通过学生对于题目的阅读,学生可以找到两个相等的关系,从而列出代数式,帮助学生顺利地解决问题.

三、二元一次方程与一元一次方程的区别

二元一次方程与一元一次方程最大的区别就是他们的未知数的数量是不同的, 二元一次方程中包含了两个未知数,而一元一次方程中只有一个未知数,解答起来要更容易、简便. 学生通过对于题目的阅读可以轻松地梳理出一个数量关系的方程式就可以列出一个一元一次方程,而一个未知数无法解决问题时, 学生则应该考虑到采用列方程组的形式, 列出两个未知数.

例如教师设置问题:某加工厂用稻谷加工大米出米率为70%,现在加工大米100公斤 ,设要这种稻谷多少公斤 ? 通过学生对于问题的阅读,学生会发现这是一元一次方程中经常会出现的增长率方面的问题. 学生可以设需要这种稻谷x公斤,通过题目中给出的关系,学生可以列出方程:70%x = 100. 简单的一元一次方程就可以解决问题. 但是面对题目中出现了复杂的数量关系的应用题时,学生则要考虑二元一次方程. 通过对于题目中的数量关系的分析和判断来寻找有效的数量关系. 例如:某班学生参加义务劳动,男生全部挑土,女生全部抬土,这样安排恰需筐68个,扁担40根 ,问这个班男生、女生各有多少人? 通过对于题目的分析,学生可以设班级男生为x人,女生为y人,用方程组可以列出方程组2x +y /2 = 68;x +y /2= 40. 题目中有两个数量关系 , 学生根据题目的要求可以列出两组方程,构成一个方程组.

在选择是用一元一次方程还是二元一次方程时,学生首先需要认真阅读题目,了解题意,通过题目中的数量关系学生在确定解题几个未知数,进而确定所使用的方程.

四、二元一次方程与一元一次方程的联系

二元一次方程与一元一次方程并不是完全独立的,学生要想顺利地解答二元一次方程就必须要掌握一元一次方程的解法. 学生通过对于一元一次方程的学习, 可以掌握方程的解法,进而把这样的解决问题的方法引用到解二元一次方程中,让学生能够顺利地解决问题,提高学生的解题能力. 一元一次方程的解法是学习二元一次方程的前提. 学生要想学好二元一次方程就必须要把一元一次方程的解法学好,为二元一次方程的学习打下一个坚实的基础,促进学生综合素质的提高和进步.

总之,在教学中教师要关注教学方法的指导,让学生通过思考和探究能够掌握解题策略,学会分析问题,促进学生的可持续发展. 通过教师有效的指导, 学生会更加明确一元一次方程和二元一次方程的区别和联系,在解决应用题过程中快速地分析题目中的数量关系, 设置出有效的方程组,促进学生学习能力的提高和数学解题能力的提高.

摘要：为了提高学生解决数学应用题的能力,让学生能够轻松地解决各类应用题,教师要引导学生掌握解应用题的方法.教学中教师要让学生明确什么样的题用二元一次方程组解方便,什么时候用一元一次方程解即可,以及两者间的区别与联系,促进学生掌握应用题的解法,实现学生学习能力的提高.

浅谈小学数学方程式教学第8篇

与加减乘除以及分数不同,方程式教学给学生提供的是一种全新的解题思路, 改变传统的逆向解题过程,让学生在一开始先设出未知量x,然后,从正面列出等式进行求解,这与过去的解题方式在思路上有着本质上的不同,这就导致很多小学生在刚刚接触方程式时,会感到难于理解,感觉数学题目变得深奥了很多,甚至一度失去学习方程式的自信心。这在很大程度上给数学教育设置了障碍。针对方程式教学中出现的种种问题,笔者提出以下几种对策。

一、与过去的知识进行合理衔接,让学生在思维方式上接受方程式

现阶段的小学教材,过分突出教学重点,导致每本教材显得相对孤立,知识点间缺乏一定的联系,方程式这一知识点与前面的知识间跨度较大,没有做好必要的衔接工作,导致学生突然跨越到这一知识点后,一时间很难接受。教材在编纂时没有考虑到学生现阶段要为学习方程式准备哪些必要的知识点、积累哪方面的经验,要求学生以高年级的思维方式进行学习,就使得学生在解方程式时,失去了知识点和经验这两大重要依托,难以实现知识的跃迁。这个时候,就要求广大小学数学教师针对学生的现状,选择合适的授课方式,将知识点进行合理有效的衔接,让学生实现思维方式的跃迁。比如,在进行《简易方程》这一课时,可以进行这样的引入。在黑板上写出2+4=,15-8=,22+5= 这样的式子,让学生到黑板上将其补全。然后教师就可以这样提问“同学们,对于2+4=6这一题,如果我将4擦去,给你们2+()=6,你们能不能将它补全呢?”在这之后,教师可以进一步加深,在黑板上写下15+()=21,()-3 =20,22+()=27,再让同学到黑板上将这些式子补全,慢慢将他们的思维引导到解方程的思想上来。思维方式的转变对学生来说难度提升了不少,当他们把这些补全,教师就能最终引出x“同学们,今天老师要给大家介绍一个新的数学符号x。”

二、解方程不能一蹴而就,要有一个循序渐进的过程

教材在讲解方程式时,要求学生先对方程式进行必要的变形,然而在实际授课的过程中,教师往往会忽视这一点,直接进行后续的步骤,这就导致两种情况的出现,比如在计算5x+5=10时,一些同学要先写成5x+5-5=10-5,再写成5x=5,然后继续变形为5x/5=5/5,最后才能得出答案x=1,一道题目,用了四步,这其中很容易出现错误,这种做法就是没有弄清解方程的精髓,过分地追求精细的步骤,使得解题过程过于拖沓。或者其他一部分同学直接说出答案,没有体现出思维的过程, 比如5x+1=10,直接写出x=2,这种解题过程不利于学生形成严密的思维习惯,也不利于提高解方程的正确率。

三、适度降低方程的难度,将知识点整合加以灵活运用

新课改后,教材内容的难度有所降低,但是把应用题思想和计算方法融合到了一起,要求学生在解决应用题的同时学习计算方法,小学生在负数的概念上理解的不是很透彻,分数方程也掌握的不足, 所以a-x=b和a/x=b之类的方程式不适合在小学进行学习,在教材中只出现未知数x作为被除数、因数、被减数、加数。因此,教师在实际教学中,要将过去的知识进行有效的归纳和整合,先透过简单的例题让学生回忆起过去学过的知识,在头脑中有一个大致的知识网络,然后教师再进行点拨,将这些知识点联系起来,让学生能够综合运用起来。比如,在对学生进行未知数作为减数的方程教学时,教师要让学生在脑海中将 -x看作一个整体,同时注意到方程两边要相等的进行变换。可以先给出23-2=21这一题,然后问同学“如果我在方程右边加2,方程左边要不要变化呢?”根据同学的回答在黑板上写出23-2+2=21+2, 然后进一步化简为23=21+2,问同学“23-2=21和23=21+2之间有什么变化呀?”有的学生会说,前面一个式子中等式左边的2移到了等式右边,教师就可以继续引导“说的不完整,2前面的符号有没有变化呢?”将学生的注意力放在运算符号上,让他们知道减数移到等号的另一边需要变号,未知数作为减数时,同样用这种方法,将其移到等号的另一边,变成学生熟悉的运算。

四、适当地布置课堂作业

将方程式的性质和解题思路理清后, 教师就可以开始主攻做题了。一开始可以先进行小组交流,然后再采用竞赛模式, 小学生都具有较强的好胜心,小组形式的交流竞赛,一方面能够增强班级中的凝聚力,另一方面又能巩固知识。对胜利的一方进行表扬,能够形成带动效应,其他学生也会为了得到表扬而努力学习这一章节的内容。在交流式的答题后,就开始要求学生独立作业。针对往年学生易错的地方,进行强化训练。

数学方程第9篇

《数学物理方法》是理工科学生的基础课程之一, 也是科研中常用的基本方法。数学物理方法课程的内容繁多, 公式推导繁杂, 尽管教材中的例题通常具有明确的物理意义, 但是从眼花缭乱的数学表达式中看出其中所表达的物理图像, 不仅学生会觉得困惑、枯燥, 教师也难免觉得棘手。探索数学物理方法数值化教学的新方法, 是数学物理方法课程教学中的一项重要工作, 也是数学物理方法教学改革中的重要内容。利用MATLAB数值求解数学物理方程, 将传统教学手段与计算机仿真教学相结合, 改变只用公式符号教学的模式[1], 令学生对复杂、抽象、烦琐的数学物理问题具有更深刻的理解。本论文旨在进行数学物理方程仿真求解实践训练, 着力培养大学生应用数学物理思想解决实际问题的能力。本着“重理论、强实践、突创新”的教育理念, 结合科技前沿, 以光子晶体的电磁场理论作为实践内容, 利用MATLAB对复杂的电磁场本征值问题进行计算机仿真求解, 将结果三维可视化, 以此来展现复杂电磁场问题的物理图像, 对培养大学生创新能力具有重要意义。

二、光子晶体电磁理论基础

在利用分离变量法求解数学物理方程时, 最后都归结到求解本征值问题。在用本征函数系展开法解数学物理方程时, 也要对所用的本征函数系有较好的理解[2]。所以, 各种本征函数系在数学物理方程课程的学习中有非常重要的地位。周期结构对电磁波的调控是物理学领域的基础问题。光子晶体是由介电常数周期排列形成的一种合成材料, 是非均匀介质中少数可以严格遵循电磁理论的新型人工材料。在一定的晶格常数和介电常数条件下, 布拉格散射使在光子晶体中传播的电磁波受到调制形成类似于电子的能带结构[3]。利用计算机仿真求解光子晶体中的复杂本征值问题, 可以帮助学生熟悉并更好地掌握本征函数系的性质和求解方法。

1.理想二维光子晶体的结构。假设介电常数为εa, 半径为r的介质柱平行于z轴, 背景介质的介电常数为εb, 在 (x, y) 平面内的晶格常数为a, θ为相邻基矢a1和a2之间的锐角, 当θ=90°和60°时, 分别为正方形晶格和正三角形晶格。 (x, y) 平面的傅里叶变换空间为倒易空间 (如图1所示) , 对应于由波矢k定义的频谱。

2. 理想二维光子晶体的本征值问题。

平面波的指数形式表示为

联立无源Maxwell方程组, 分别得到电场和磁场的传播方程

ε (r) 是光子晶体介质分布的周期函数, 本征值方程 (3) 和 (4) 式与电子材料中的周期性势场问题的Schr觟dinger方程类似, 称为光子晶体的支配方程[5]。本征场H (r) 和E (r) 分别对应于理想二维光子晶体中横磁 (TM) 模式和横电 (TE) 模式的空间形态, 通过求解本征值 (ω/c) 2, 可以得到频率ω与波矢k之间的色散关系, 即光子晶体的能带结构。

3. 光子晶体中的平面波展开。

根据Bloch理论, 将光子晶体本征场用平面波展开为

G为倒格矢, 将 (5) 和 (6) 式分别代入本征值方程 (3) 和 (4) 式, 利用平面波基{G, exp[i (k+G) gr], …}的正交性[6], 得到如下关于电磁场展开系数的本征值方程

矩阵k% (G) 是k (r) =1/ε (r) =k% (G) ei G·r的傅立叶展开系数

u表示一个周期单元, Au为周期单元横截面的面积。c表示一个散射单元横截面上的积分边界。 (9) 式右边包含了G≠0和G=0的项

其中J1 (GR) 为第一类贝塞尔函数, fr为填充比。

三、仿真求解电磁场本征值问题

我们通过计算机仿真求解TM模式电磁场本征值方程 (7) 式, 获得二维菱形晶格光子晶体的本征频率ωk与波矢k之间的色散关系, 绘制出能带曲线。

1. 光子晶体的数学建模。

对于θ=70°的二维菱形晶格光子晶体, 背景介质的介电常数为εb=12, 空气柱的半径r=0.4a。仿真步骤和MATLAB程序如下:

(1) 定义光子晶体的结构参数。

(2) 定义倒易空间中对称点的坐标。

(3) 产生一个20×20的矩阵, 确定平面波的波数NPW, 定义倒格矢G。

(4) 确定κ (r) =1/ε (r) 的傅里叶展开系数。

2. 仿真计算光子晶体TM模式能带曲线。

(1) 定义倒易空间波矢路径。

用Keach代表波矢路径上的取值密度, Ktype为对称点的数目, 第一布里渊区内沿波矢路径Γ→T→N→M→Γ的仿真程序为:

(2) 求解本征值方程。

(3) 绘制二维能带曲线。

修饰过后的二维菱形晶格光子晶体TM偏振模式能带曲线如图2所示。

四、本征值函数的三维可视化仿真

绘制三维等频面, 关键是建立波矢平面 (kx, ky) 内二维点阵的坐标, 再求解出每个点对应特征值, 仿真步骤和MATLAB程序为:

1. 定义波矢 (kx, ky) 平面内点阵的坐标Keach=36;

2. 求解本征值方程。

3. 绘制前四个能带的三维能带曲面。

图3为二维菱形晶格光子晶体的前四个能带的TM偏振模式三维能带曲面。

五、结论

本论文通过计算机仿真求解二维菱形晶格光子晶体的电磁场本征值问题, 绘制出能带曲线和三维能带曲面。将传统教学手段与计算机仿真教学相结合, 对复杂的数学物理方法问题进行三维可视化求解, 着力培养大学生的创新思维和解决实际问题的能力。

参考文献

[1]杨华军.数学物理方法与仿真[M].第2版.北京:电子工业出版社, 2011:359-377.

[2]彭芳麟.数学物理方程的MATLAB解法与可视化[M].北京:清华大学出版社, 2004:62-63.

[3]E.Yablonovitch.Inhibited Spontaneous Emission in Solid-State Physics and Electronics.Physical Review Letters, 1987, 58 (20) :2059-2062.

[4]温熙森.光子/声子晶体理论与技术[M].北京:科学出版社, 2006:115-116.

[5]John D.Joannopoulos, etc.Photonic Crystals Molding the Flow of Light.Second Edition.Princeton University Press, 2008:8-10.

一元二次方程中的数学思想第10篇

换元法的基本思路是通过设辅助未知数, 使复杂的问题转化为简单的、已知的问题.如解可化为一元二次方程的分式方程.

例1用换元法解方程, 设, 则原方程可化为 ( ) .

分析:若把原方程展开再解, 项数增加、次数增高, 解答起来会很复杂, 设, 通过换元将原方程化为整式方程y2-y-1=0再解, 方便多了.故选A.

二、配方的思想方法

配方法是本章的一个难点, 配方的目的是使方程的一边变成完全平方式, 其根据是乘法公式a2±2ab+b2= (a±b) 2.其步骤是:

1.二次项系数化为1, 并把常数移到方程的右边;

2.方程的两边同时加上一次项系数一半的平方, 使方程的左边能配成一个完全平方式;

3.当方程右边的常数为非负数时, 方程有解, 这时用直接开平方法求解;当方程右边的常数为负数时, 方程无解.

例2用配方法解方程:2x2-x-1=0.

解:两边都除以2, 得 (二次项系数化为1)

移项, 得 (把常数移到方程的右边)

配方, 得 (在方程的两边都加上一次项系数一半的平方)

三、降次的思想方法

降次法是把高次方程转化为低次方程的基本方法, 解一元二次方程的方法实际上就是把一元二次方程降次为一元一次方程来解.

例3一元二次方程x2-3x=0的根是 ( )

分析:把原方程化为x (x-3) =0的形式, 就可降次为一元一次方程x=0或x-3=0, 问题迎刃而解.答案为D.

四、转化的思想方法

解方程的过程就是不断的通过变形把原方程转化为与它等价的最简单方程的过程.在本章, 转化无处不在, 一元二次方程转化为一元一次方程来解;特殊转化为一般, 一般转化为特殊, 例如通过用配方法解数字系数的一元二次方程归纳出用配方法解字母系数的一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0的方法, 进而得出一元二次方程的求根公式;将分式方程转化为整式方程;把实际问题转化为一元二次方程问题, 等等.

例4经计算整式x+1与x-4的积为x2-3x-4.则一元二次方程x2-3x-4=0的所有根是 ( )

分析:通过已知可把x2-3x-4=0转化为 (x+1) (x-4) =0, 从而有x+1=0或x-4=0, 解得x1=-1, x2=4, 故选B.

五、类比的思想方法

要注意新旧知识的联系, 把新旧知识进行类比, 如用直接开平方法解一元二次方程时, 可类比平方根的概念和意义;解可化为一元二次方程的分式方程时, 可类比解可化为一元一次方程的分式方程的方法和步骤等.

例5先阅读, 再填空解题:

(1) 方程x2-x-1 2=0的根是x1=-3, x2=4, 则x1+x2=1, x1·x2=-12;

(2) 方程2x2-7 x+3=0的根是

(3) 方程x2-3x+1=0的根是x1=______, x2=_______.

则x1+x2=_____, x1·x2=_____.

根据以上 (1) (2) (3) 你能否猜出:如果关于的一元二次方程mx2+nx+p=0 (m≠0, 且m, n, p为常数) 的两个实数根是, 那么, 与系数有什么关系?请写出你的猜想并说明理由.

分析:由求根公式可得计算就有.

由数到式, 类比猜想可得:理由如下:

∵一元二次方程mx2+nx+p=0 (m≠0, 且m, n, p为常数) 的两实数根是

浅析小学数学方程思想方法的渗透第11篇

关键词：方程思想；方程方法；渗透

从小学到中学学生学习数与代数知识领域，经历了算术到方程再到函数的过程。方程在小学的算术与中学的函数间起着承前启后的作用。学生学习方程的目的在于解决问题中能够遵循最佳的途径，将复杂问题简单化，实现建模中的优化思想，对学生良好思维品质的培养具有深远的影响。

方程是小学重要的数学思想方法，方程思想蕴含在方程知识的形成、发展与应用的过程中。根据新课程标准的理念，要求学生通过多次反复思考与长时间的积累，才能逐步感悟到方程是一种重要的思想，因此，在小学数学教学中，要根据学生学段不同的特点，把握好渗透思想方法的目标要求。

一、第一学段从朦胧意识到无意意识的感悟中渗透思想方法

在第一学段，学生大量接触的是已知量的数与运算的内容，对于年龄较小的学生而言，知识经验少，从量到数的抽象就已经有很大的困难，方程是数与计算的进一步抽象，因而，方程思想方法的渗透对第一学段学生的要求，只要有个印象就行，知道符号或图形可以表示某个数，参与某一计算中，意识到有这种方法，不需要方法的抽象和建模。例如，教学一年级上册《9+几》主题图“求一共有几盒牛奶？”的问题时，（1）我先让学生列式（一学生反馈：9+4=13）；（2）让学生用小棒表示出9+4的意思；（3）说出9+4=13是对的吗？怎么想？（学生的反馈有三种答案：①把两堆的小棒合起来数一数。②在9根基础上继续数4根。③从4根中先拿1根给9根捆成一捆，再与剩下的3根合起来是13根。）当学生说出第三种方法时，我采用了这样的教学处理方法：

教师故意设障碍：“还能从4根里先拿几根小棒给9根合起来？”

学生1：“2根、3根给9根合起来。”

学生2争辩说：“拿2根、3根与9根合起来不好。”

教师追问：“为什么不好？”

学生2：“因为9和1合起来是10，10加剩下的几是十几很便捷。”

教师装傻：“你这种方法是什么方法？”

学生2：“凑十法。”

教师：“你真棒！连这种新方法都知道。谁听懂了这位同学的‘凑十法？说说用‘凑十法是怎样计算的？”

紧接着我让多个学生说说用“凑十法”的计算过程。再接着我让学生用“凑十法”解决主题图中“拉拉队一共有几个学生？”的问题，并说说计算过程。教师教到此处，9+几剩余的内容就不用教了，而是由学生自己说出算式，自己解答。并思考解决：8+6=？7+5=？学生很快得出结论。

通过9+几算式的计算教学，教师让学生从具体情境中把方法抽象出来，建立“凑十法”模型，在解决问题时能够想到：先看n+（）10，再把“几”分成（）与剩几，10+剩几=十几。使学生感悟到方法的优越性，懂得了这种方法的好处。

二、第二学段从有意意识到初步理解的感悟中渗透思想方法

通过第一学段的学习学生已积累了一些学习经验，他们的抽象思维有所发展，接触抽象的知识内容也逐渐增加，较复杂问题开始出现，但学生从单向思维转到逆向思维和多向思维还有一定的困难。教材介入简易方程，为沟通已知数和未知数的一种数学模型提供了一些素材，给小学生留下了初步印象。《义务教育数学课程标准（2011年版）》要求，对方程意义以及有关解方程的方法只要在具体的情境中初步认识，不需刻画出数学模型。因此，方程思想方法在第二阶段教学中，教师要有意识地加以渗透，学生能初步地感悟理解就行。但是由于方程是未知数参与已知数进行计算，在解决问题时需要进行解设，并且在计算过程中要运用方程的性质，觉得比较麻烦。数量关系用新的方式表达，特别是蕴含二元一次方程的内容时，有时无从下手。因此在教学时首先要让学生意识到运用方程方法的优越性。例如，在教学“一个是球，白色皮共有20块，比黑色皮的2倍少4块，黑色皮有几块？”我先让学生用算术方法列式解答，学生解答中出现了这样的错误：①20÷2-4，②20÷2+4 ③（20-4）÷2，这时我引导学生分析“白色皮比黑色皮的2倍少4块”关键句，找出“白色皮=黑色皮的2倍-少的4块”关系式，并根据小数=大数-相差数的等式关系，引申出“黑色皮的2倍=白色皮+少的4块”和“黑色皮的2倍-白色皮少的4块”的等式关系，让学生感受到用未知数当成已知数参与列等式很容易正确地找到数量关系，减少了解决问题中的思维困难；其次，要让学生学会运用方程方法的技巧。

总之，在小学渗透方程思想方法，要让小学生喜欢用方程方法解决问题，在思想意识上懂得运用数量关系建立模型，运用化归方法解方程。数学的本质上获取方程知识，为将来的学习奠定良好的基础。

参考文献：

苏霍姆林斯基.给教师的建议.教育科学出版社，1984-06.

作者简介：何浦丽，女，1980年8月出生，本科，福建省浦城县实验小学任教，研究方向：小学数学课堂教学。

Permeability of Primary School Mathematicse Quation Method

He Puli

Abstract：Equation is the starting point for algebraic knowledge，is the relationship between the number of known and unknown constants of constant，relative students existingarithmetic solution method，equation method is a new way of solving. This kind of thinking is unknown in thinkingknown number，with the method of equivalent relationshipproblem solving model，make thought to inverse Shun，resolve to solve complex mathematical problems in difficulty.

Key words：Equation ideology；equation；permeability

方程思想在数学解题中的应用第12篇

【例1】求 $\cos \frac{π}{5} - \cos \frac{2 π}{5}$ 的值.

解:设 $\cos \frac{π}{5} - \cos \frac{2 π}{5} = x$ , 显然x>0.

$∴ x^{2} = \cos^{2} \frac{π}{5} - \cos^{2} \frac{2 π}{5} - 2 \cos \frac{π}{5} \cos \frac{2 π}{5} = \frac{1}{2} (1 + \cos \frac{2 π}{5}) + \frac{1}{2} (1 + \cos \frac{4 π}{5}) - 2 \times \frac{\sin \frac{2 π}{5} \cdot \sin \frac{4 π}{5}}{2 \sin \frac{π}{5} \cdot 2 \sin \frac{2 π}{5}} = 1 + \frac{1}{2} (\cos \frac{2 π}{5} + \cos \frac{4 π}{5} - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} (\cos \frac{π}{5} - \cos \frac{2 π}{5}) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} x .$

得方程2x2+x-1=0.

解之得 $x = \frac{1}{2}$ (取其正值) .

剖析:本例先作整体代换, 通过变形后又回归出现其自身的表达式, 从而化归为解方程, 同时本例为一些非特殊角的三角函数求值问题提供了一种参考方法.

【例2】若实数a1, a2, a3, a4全不为0, 且满足 (a $_{1}^{2}$ +a $_{2}^{2}$ ) a $_{4}^{2}$ -2a2 (a1+a3) a4+a $_{2}^{2}$ +a $_{3}^{2}$ =0.

求证:a1, a2, a3成等比数列且a4是其公比.

证明:由题意知, a4是一元二次方程 (a $_{1}^{2}$ +a $_{2}^{2}$ ) x2-2a2 (a1+a3) x+a $_{2}^{2}$ +a $_{3}^{2}$ =0的实数根.

∴Δ=4a $_{2}^{2}$ (a1+a3) 2-4 (a $_{1}^{2}$ +a $_{2}^{2}$ ) (a $_{2}^{2}$ +a $_{3}^{2}$ ) =-4 (a22-a1a3) 2≥0.

故a $_{2}^{2}$ -a1a3=0.

∴a $_{2}^{2}$ =a1a3, 且a1, a2, a3都不为0.

即a1, a2, a3成等比数列.

由求根公式知: $a_{4} = \frac{2 (a_{1} + a_{3}) a_{2}}{2 (a_{1}^{2} + a_{2}^{2})} = \frac{a_{2} (a_{1} + a_{3})}{a_{1}^{2} + a_{1} a_{3}} = \frac{a_{2}}{a_{1}}$ .

故a4为该等比数列的公比.

剖析:对已知等式进行整体观察, 发现a4是已知一元二次方程的根, 从而得出颇具代表性的解法.

【例3】在△ABC中, 求证: $\cos A \cos B \cos C \leq \frac{1}{8}$ .

证明:设t=cosAcosBcosC.

∴2t=2cosAcosBcosC=[cos (A+B) +cos (A-B) ]·cosC=[-cosC+cos (A-B) ]cosC.

经整理得:cos2C-cos (A-B) cosC+2t=0, 即视为关于cosC的一元二次方程.

$\begin{array}{l} ∴ Δ = \cos^{2} (A - B) - 8 t \geq 0 . \\ ∴ 8 t \leq \cos^{2} (A - B) \leq 1 \Rightarrow t \leq \frac{1}{8} . \end{array}$

故 $\cos A \cos B \cos C \leq \frac{1}{8}$ .

剖析:该题运用方程的思想来解不等式, 运用一元二次方程有解的条件以及三角函数的有界性是转化的关键一步.

【例4】若p, q∈R, p3+q3=2, 求证:0<p+q≤2.

证明:将p3+q3=2变形为:

(p+q) 3-3pq (p+q) =2.

设p+q=k, 则 $p q = \frac{k^{3} - 2}{3 k} .$

∴p, q是方程 $x^{2} - k x + \frac{k^{3} - 2}{3 k} = 0$ 的两个实根.

$∴ Δ = k^{2} - 4 \cdot \frac{k^{3} - 2}{3 k} = \frac{8 - k^{3}}{3 k} \geq 0 .$

解之得0<k≤2.故0<p+q≤2.

剖析:本题从条件中挖掘出两数的和与两数的积是本题的关键.

【例5】已知:sinα+3cosα=2, 求 $\frac{\sin α - \cos α}{\sin α + \cos α}$ 的值.

解:令 $\frac{\sin α - \cos α}{\sin α + \cos α} = x$ .

则 (x-1) sinα+ (x+1) cosα=0. ①

又sinα+3cosα=2, ②

由①②得 $\begin{array}{l} \sin α = \frac{x + 1}{2 - x}, \cos α = \frac{x - 1}{x - 2} . \\ ∴ (\frac{x + 1}{2 - x})^{2} + (\frac{x - 1}{x - 2})^{2} = 1 \end{array}$ .