构造几何图形范文

构造几何图形范文（精选9篇）

构造几何图形 第1篇

构造几何图形解决代数问题的特点就是直观, 它能使抽象的数量关系在图形上表达出来, 使问题变的简单, 而构造几何图形的关键是观察和联想.下面举例说明:

例1 设m, n, x, y均为实数, 且满足条件:m2+n2=1, x2+y2=1, mx+ny=0.证明:m2+x2=1, n2+y2=1, mn+xy=0.

证明 不妨设m, n, x, y均不为0.因为如果m=0, 则由已知条件得出n=±1, y=0, x=±1, 欲证的3个等式显然成立.

由m2+n2=1, x2+y2=1, 应用勾股定理可以构造出两个直角三角形△ABC和△ADC, 如图1, 使得AC=1, AB=|m|, BC=|n|, AD=|x|, CD=|y|.由mx+ny=0得$\frac{|m|}{|n|}=\frac{|y|}{|x|}$, 所以△ABC≅△ADC.从而|m|=|y|, |n|=|x|.于是m2+x2=1, n2+y2=1且|mn|=|xy|.由mx+ny=0得mn与xy异号, 故mn+xy=0.

例2 当s和t取遍所有实数时, 求 (s+5-3|cos t|) 2+ (s-2|sin t|) 2的最小值.

解 如图2, 根据原式的特征构造过点P (s+5, s) 的直线u-v-5=0, 及过点$Q(3|\cos t|,2|\sin t|)\text{的}\frac{1}{4}\text{椭}$圆

$\{\begin{array}{l}u=3|\cos t|,u\ge 0,\\ v=2|\sin t|,v\ge 0,\end{array}$

则|PQ|2的最小值即为所求.由图2椭圆的顶点A (3, 0) 到直线u-v-5=0的距离的平方即为所求, 故所求最小值为2.

例3 设x, y, z∈R+, 求证:$\sqrt{x{}^2+y{}^2}+\sqrt{y{}^2+z{}^2-yz}\ge \sqrt{z{}^2+x{}^2+\sqrt{3}xz}.$

解 取直角坐标系内两点:$A(x,y),B\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}z,\frac{1}{2}z\right)$, 则$|{\rm O}A|=\sqrt{x{}^2+y{}^2},|AB|=\sqrt{y{}^2+z{}^2-yz},|{\rm O}B|=\sqrt{z{}^2+x{}^2+\sqrt{3}xz}$.因为平面内两点间距离最短, 所以|OA|+|AB|≥|OB|.即$\sqrt{x{}^2+y{}^2}+\sqrt{y{}^2+z{}^2-yz}\ge \sqrt{z{}^2+x{}^2+\sqrt{3}xz}.$

例4 已知a>0, a≠1, 试求方程loga (x-ak) =loga2 (a2-4x2) 有唯一解时参数k的取值范围.

解 设$y=x-ak(y>0),y=\sqrt{a{}^2-4x{}^2}$, 那么方程有唯一解的充要条件是直线l:y=x-ak与半椭圆4x2+y2=a2 (y>0) 有且只有一个交点.如图3, 直线l1与椭圆C相切于T, l2, l3分别经过椭圆的两个顶点A和B, 显然, 与椭圆C有一个交点的直线l夹在l2与l3之间 (l可以是l2, 不可以是l3) , 另外切线l1与椭圆C也只有一个公共点.

由直线l的横截距$-ak\in \left[-\frac{a}{2},\frac{a}{2}\right)$得$k\in \left[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$.由l1与椭圆C相切得$k=-\frac{\sqrt{5}}{2}$, 故所求k的范围是$\left[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right){\displaystyle \cup \left\{-\frac{\sqrt{5}}{2}\right\}}.$

例5 求函数$y=x-1+\sqrt{-x{}^2-2x+3}$的值域.

解 将函数变形为$y=\sqrt{4-(x+1){}^2}+(x+1)-2$, 设x+1=t (t2≤4) , 则$t+\sqrt{4-t{}^2}=y+2$.由此构造过点${\rm P}(t,\sqrt{4-t{}^2})$的直线l:u+v=y+2, 及动点P的轨迹半圆C:u2+v2=4 (v≥0) , 则l与C有公共点P, 这样过点C上的P点作斜率为-1的直线l, 其在v轴上的截距的取值范围即为y+2的取值范围.

由图4得$y+2\in [-2,2\sqrt{2}]$, 故原函数的值域为$[-4,2\sqrt{2}-2].$

例6 设a, b, c, d都是正实数, 其中a最大, 且$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$, 证明:a+d>b+c.

证明$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$即ad=bc, 由此可以用圆幂定理构造一个辅助图形 (图5) .

由a最大, 取线段AC=a作为过直径的割线, 在AC上取B点, 使AB=d, 以BC为直径作半圆O, 并作割线AD=b (不妨设b≥c) 交圆O于E点, 作OF⊥AD, F为垂足, 则由作图及圆幂定理得AE=c.

在Rt△AOF中, 有AO>AF, 而

$\begin{array}{l}A{\rm O}=AB+\frac{BC}{2}=d+\frac{a-d}{2}=\frac{a+d}{2}‚\\ AF=AE+\frac{DE}{2}=c+\frac{b-c}{2}=\frac{b+x}{2}‚\end{array}$

所以 a+d>b+c.

参考文献

构造几何图形 第2篇

教学重点中点模型的构造(倍长中线法;构造中位线法;构造斜边中线法教学目标系统有序掌握几何求证思路,掌握何时该用何种方法做辅助线

开场:1.行礼;2.晨读;3.检查作业;4.填写表格 新课导入知识点归纳

1.已知任意三角形(或者其他图形一边上的中点,可以考虑:倍长中线法(构造全等三角形;2.已知任意三角形两边的中点,可以考虑:连接两中点形成中位线;3.已知直角三角形斜边中点,可以考虑:构造斜边中线;4.已知等腰三角形底边中点,可以考虑:连接顶点和底边中点利用“三线合一”性质.新课内容做辅助线思路一:倍长中线法

经典例题1:如图所示,在△ABC中,AB=20,AC=12,求BC边上的中线AD的取值范围.【课堂训练】

1.如图,已知CB、CD分别是钝角△AEC和锐角△ABC的中线,且AC=AB,给出下列结论:

①AE=2AC;②CE=2CD;③∠ACD=∠BCE;④CB平分∠DCE,则以上结论正确的是(A.①②④ B.①③④ C.①②③ D.①②③④ 第1题图第2题图

2.如图,在正方形ABCD中,E为AB边的中点,G、F分别为AD,BC边上的点,若AG=1, BF=2,∠GEF=90°,则GF的长为(A.2 B.3 C.4 D.5 3.如图,在△ABC中,点D、E为边BC的三等分点,则下列说法正确的有(①BD=DE=EC;②AB+AE>2AD;③AD+AC>2AE;④AB+AC>AD+AE。A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

4.如图,在△ABC 中,AB >BC ,E 为BC 边的中点,AD 为∠BAC 的平分线,过E 作AD 的平行线,交AB 于F ,交CA 的延长线于G ,求证:BF =CG.5.如图所示,已知在△ABC 中,AD 是BC 边上的中线,F 是AD 上的一点,连接BE 并延长交AC 于点F ,AE =EF ,求证:AC =BF.6.如图所示,在△ABC 中,分别以AB、AC 为直角边向外做等腰直角三角形△ABD 和△ACE ,F 为BC 边上中点,FA 的延长线交DE 于点G ,求证:①DE =2AF;②FG ⊥DE.F G E D B C A F D B C A E G F B C A D E

7.如图所示,在Rt △ABC 中,∠BAC =90°,点D 为BC 的中点,点E、F 分别为AB、AC 上的点,且ED ⊥FD.以线段BE、EF、FC 为边能否构成一个三角形?若能,该三角形是锐角三角形、直角三角形,或者是钝角三角形? 8.四边形ABCD 是矩形,E 是BC 边上的中点,△ABE 沿着直线AE 翻折,点B 落在点F 处,直线AF 与直线CD 交于点G ,请探究线段AB、AG、G C 之间的关系.9.如图所示,△ABC 中,点D 是BC 的中点,且∠BAD =∠DAE ,过点C 作CF//AB ,交AE 的延长线于点F ,求证:AF +CF =AB.F D A B C E G F E D B C A F D B C A E

做辅助线思路二:构造中位线法

经典例题2:梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AD =12,BC =16,中位线EF 与对角线分别相交于H 和G ,则GH 的长是________.【课堂训练】

1.已知,如图,四边形ABCD 中,AB =CD ,E、F 分别是AD、BC 的中点,BA、FE 的延长线相交于点M ,CD、FE 的延长线相交于点N.求证:∠AME =∠DNE.2.已知,如图,四边形ABCD 中,AC、BD 相交于点O ,且AC =BD ,E、F 分别是AD、BC 的中点,EF 分别交AC、BD 于点M、N.求证:OM =ON.A B F C D N M E D A B C O E F M N P

3.BD、CE 分别是的△ABC 外角平分线,过A 作AF ⊥BD ,AG ⊥CE ,垂足分别是F、G ,易证FG= 2 1(AB+BC+AC。(1若BD、CE 分别是△ABC 的内角平分线,FG 与△ABC 三边有怎样的数量关系?画出图形(图1并说明理由;(2若BD、CE 分别是△ABC 的内角和外角平分线,FG 与△ABC 三边有怎样的数量关系?画出图形(图2并说明理由.4.已知,如图,在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AD +BC =AB ,M 是CD 的中点试说明:AM ⊥BM。

B C M N A D 奉爱树教育个性化辅导 5.如图所示，在三角形 ABC 中，AD 是∠BAC 的角平分线，BD⊥AD 于 D，点 E 是边 BC 的中点，如果 AB＝6，AC＝14，则求 DE 的

构造图形智解应用问题 第3篇

1关于丢番图的“生平”应用问题

例1希腊数学家丢番图（公元3—4世纪）墓碑上的记载：他生命的六分之一是幸福的童年；再活了他寿命的十二分之一，两颊长起了细细的胡须；他结了婚，又度过了一生的七分之一；再过五年，他有了儿子，感到很幸福；可是儿子只活了他父亲全部年龄的一半；儿子死后，他在极度悲痛中度过了四年，也与世长辞了.求出丢番图结婚的年龄、开始当爸爸的年龄、他儿子死时的年龄以及他去世时的年龄.

代数解法设丢番图生活的年岁为x，则x=16x+112x+17x+5+12x+4，整理此方程，得984x=9，x=84（岁）.所以，丢番图活了84岁.

构图解法画一个长方形，用构图法.图1

因为[6，12，7，2]=84，把这个长方形分成84个格，划去14格（即16），7格（即112），12格（即17）和42格（一半）后还剩下9格，占整个长方形的984，而9÷984=84.

由此可知，丢番图活到84岁，21岁结婚，38岁做父亲，80岁时死了儿子.

点评显然两种解法中，构图法别致巧妙，富有风味，耐人细细品鉴.

2关于托尔斯泰的“割草”问题

列夫·托尔斯泰（1828—1910）是俄罗斯文学家，是《战争与和平》、《安娜·卡列尼娜》、《复活》等世界文学名著的作者，据说列夫·托尔斯泰在文学工作之余对数学也很感兴趣，他喜欢这样一道算术题：

例2割草队要收割两块草地，其中一块比另一块大一倍，全队在大块草地上收割了半天之后，分为两半，一半继续留在大块草地上，另一半转移到小块草地上.留下的人到晚上就把大草地全收割完了，而小块草地上还剩一小块未割.第二天，这下剩的一小块，一个人花了一整天时间才割完.问割草队中共有几人？

托尔斯泰是怎样解这道数学题的呢？

代数解法已知大片草地是小片草地的2倍，所以小片草地占两片草地总和的13.设这组割草者共有x人，则两片草地由x人割了一天，又由一个人割了一天.若由一个人割这两片草地，则需（x+1）天，一个人割完小片草地的草需x+13天；另一方面，小片草地由x2人割了半天后还需一人割一天，相当于一个人割了（x4+1）天，因而可得方程x+13=x4+1.解得x=8（人）.所以割草队共有8人.图2

构图解法先观察图2：它表示的是整个草地的大小，从图中很容易分析出割草队总人数为：13+13+13+1316=4316=8人.所以这组割草队共有8人.

点评此题源自于托尔斯泰的秘书B·布尔卡柯夫的《列夫·托尔斯泰晚年的生活》一书，由上述构图解法不难看出：构图解法不仅数形结合，直观明了，而且通俗易懂，简洁新颖，值得重视.

3关于斯图姆的“轮船相遇”问题

例31838年瑞士数学家斯图姆（C.-F. Sturm，1803～1855）参加国际会议遇到此问题，是来自美国哈佛的朋友向他提出的：每天中午有一条轮船从哈佛开往纽约，且每天同一时刻也有一艘轮船从纽约开往哈佛.轮船在途中均要航行7天7夜.问某条从哈佛开出的轮船在到达纽约前的途中能遇上几艘从纽约开来的轮船？

算术解法设每艘轮船的速度是x海里/昼夜，一艘轮船刚与迎面驶来的轮船相遇时，同下一艘即将相遇的轮船间刚好相差一昼夜的航程，即为x海里.因此，同下一艘轮船相遇的时间应是x÷（x+x）=0.5（昼夜），也就是说一艘轮船可以在一昼夜遇到两艘迎面驶来的轮船.那么，七昼夜一共可以遇到从对面开来的轮船7×2=14（艘），加上出港时遇到的1艘，一共有15艘轮船从对面开来.

构图解法 斯图姆用运行图巧妙地解决了这一问题，如图3所示的每条线段分别表示每条船的运行情况，加粗的线表示从哈佛开出的轮船在海上的航行，它与其他线段的交点即为与对方开来轮船相遇的情形.由此可知该轮船能与对面开来的15艘轮船相会.这种运行图曾一度在运输问题中大显神通.图3

点评算术法显得简单，只要一个式子就解决问题了，但对题目意义的理解要求很高，只有充分理解题意，才能列出正确算式，否则很容易出错.然而应用了构图解法却“柳暗花明又一村”.不仅方法匠心独具，而且内涵深邃，由此可启迪学生发掘他们智慧的火花，借以点燃学生们头脑思维的火焰.

4关于“溶液”问题

例4（2014年贵州省安顺市中考题）一容器盛满纯酒精63升，第一次倒出若干升后，加水充满.第二次倒出同样升数的酒精溶液，再加水充满，这时容器内的纯酒精为28升，求每次倒出酒精的升数.

分析此题为浓度问题，加水充满表示容器中酒精溶液永远是63升，酒精溶液中含纯酒精的升数在每次倒出后都要改变.

代数解法设每次倒出x升，第一次倒出后剩下纯酒精（63-x）升，加水充满后酒精溶液的浓度是63-x63，第二次倒出纯酒精63-x63·x升，第二次倒出后剩下纯酒精（63-x）-63-x63·x升.依题意得：（63-x）-63-x63·x=28，即（63-x）2=28×63，

（63-x）2=22×32×72，所以63-x=±42，所以x1=21，x2=105>63不合题意，舍去.答：每次倒出酒精21升. 图4

构图解法构造边长为（x+y）的正方形，如图4所示，易知S1=S3=xy，S2=x2，S4=y2，用正方形面积（x+y）2表示容器的容积，第一次倒出酒精的体积为S1+S2=x（x+y）.接着用水加满后，S1+S2表示水，此时容器中纯酒精与水的比为y∶x，则第二次倒出的纯酒精为S3=xy，水为S2=x2，再用水加满，最终容器里剩下的纯酒精为S4=y2=28.所以S1+S2=x（x+y）=（x+y）2-y（x+y）=63-63·28

=63-7×9×7×4=63-42=21，故每次倒出纯酒精21升.

点评此题列一元二次方程求解，方法较难，理解困难，运算量也较大.

然而构图解法却新颖别致，从解法之中可给学生们带来心智的启迪，精神的愉悦.

5关于“年龄”问题

例5我现在的岁数是我弟弟当年岁数的2倍，但我当年的岁数却与弟弟现在的岁数一样，我们两人现在的年龄之和是63岁.请问，我和弟弟现在各是多少岁？图5

构图解法如图5所示，BE是两人年龄之差.当年，我的年龄是AE时，他的年龄是CG，很明显，BE=DG，而BDGE是一个平行四边形.

由题意可以知道，CG=12AB，所以AF=CG=12AB.由于BE=DG，EF=DG，所以BF=2BE.于是AB=4BE，而CD=3BE，所以AB+CD=7BE，即63=7BE所以BE=9（岁）.因此，我和弟弟的年龄分别是36岁和27岁.

点评本题如用算术法和代数法求解均不容易，然而巧用构图法求解却别有洞天，值得欣赏和重视.

6关于“优惠”问题

例6一家庭（父亲、母亲和孩子们）去某地旅游.甲旅行社说：“如父亲买全票一张，其余人可享受半票优惠.”乙旅行社说：“家庭旅游算集体票，按23的原价优惠.”这两家旅行社的原价是一样的.试就家庭里不同的孩子数，分别计算两家旅行社的收费，并讨论哪家旅行社更优惠.图6

构图解法设该家庭有x个小孩，甲、乙两旅行社的收费总金额为y甲和y乙，全票价为a，那么y甲=a+12（x+1）a（x为正整数），y乙=23（x+2）a（x为正整数），故y甲-y乙=a+12a（x+1）-23（x+2）a，所以y甲-y乙=a6（1-x），故当x>1时，y甲y乙，乙旅行社更优惠（见图6）.

点评注意自变量x的实际意义，本题中自变量x表示小孩的个数，应为自然数，所以函数图像应为离散的点而不是一条直线.这种构图法与一次函数相结合，紧扣教材，符合新课程改革的理念要求.

7关于“等分蛋糕”问题

例7（2014年浙江省温州市中考题）有一块三角形的蛋糕要平均分给6个小朋友，要求只切3刀，你有办法达到要求吗？试把你的方案画出来，并加以说明.

分析实际上就是在一个三角形中作三条线段将其分成面积相等的6份.因为三角形的中线可以将原三角形分成面积相等的两部分，故本题应从三角形中线入手寻找解法.图7

构图解法如图7所示，设△ABC为一块蛋糕，在△ABC中，AE、BF、CD分别是三边上的中线，O点为中线CD、AE、BF的交点，则此时，S△ADO=S△BDO=S△BEO=S△CEO=S△CFO=S△AFO.理由如下：因为AD=BD，所以

S△ACD=S△BCD，S△ADO=S△BDO.所以S△AOC=S△BOC，同理，△AOB和△BOC，△AOB和△AOC的面积也相等，又因为S△BEO=S△CEO，S△CFO=S△AFO，所以S△ADO=S△BDO=S△BEO=S△CEO=S△CFO=S△AFO.即只要沿三角形蛋糕的三边中线切3刀就可达到要求.

点评将实际问题抽象成几何模型，即要求“在三角形内作三条线段，将其分成6个面积相等的部分.”由于“三角形的一条中线将原三角形分成面积相等的两部分，”所以我们可以从画三角形的中线入手，充分利用“三角形等底等高必等积”进行分析和说明.

8关于“坐小火车又划船人数”问题

例8六年级学生90人去公园夏令营.53人到湖中划船，82人坐小型火车，有6人既没划船，也没坐火车.问坐小火车又划船的是多少人？图8

解析图8中构造的这两个圈分别表示划船，坐火车人数.中间重复的部分表示既划船又坐火车人数，53+82=135（人），在这135人中既包括参加坐船或做小火车一项活动人数，又包括两项都参加了的人数且重复算了这部分人数两次，而90-6=84（人）是只参加划船或坐小火车一项以及两项运动都参加了的人数的总和.所以，两项都参加的人数等于135与84的差.算式：（53+82）-（90-6）=51（人）

答：既坐小火车又划船的是51人.

点评图解方法是数和形的结合.有些应用题设置情景较为复杂，或者条件不太明显，于是，我们分析应用题时，利用直观生动的几何图形，使题中的数量关系显得具体形象，从而得出解题方法，这就是图解方法.总之，应用构图法解实际应用问题，完全符合新课程改革的理念精神，对于启迪学生思维，拓宽视野，巩固“双基”，提高综合分析问题和解决实际问题的能力大有裨益.

构造完美图形,优化几何证明 第4篇

1. 构造等边三角形

等边三角形具有三边相等, 三个角都为60°, 重心、垂心、内心、外心四心合一等美学特征, 证明过程中, 通过构造等边三角形, 可以充分应用等边三角形的基本性质, 拓展解题思路。

例1.如图1, △ABC中, AB=AC, 且∠D=∠DBE=60°。求证:AE=EB+BC。

分析与证明:注意到AB=AC, 且∠D=∠DBE=60°, 那么能否构造等边三角形呢?尝试延长BC至F, 使CF=BD, 连结AF。

2. 构造等腰三角形

等腰三角形具有两腰相等, 两底角相等, 底边上的中线、顶角的角平分线和底边上的高合一等美学特征, 证明过程中, 可以通过构造等腰三角形发掘解题思路。

例2.如图2, △ABC中, 从点A作∠ABC, ∠ACB的平分线的垂线, 垂足分别为P、Q。求证:PQ∥BC。

分析与证明:注意到已知条件与等腰三角形底边上的中线、顶角的角平分线和底边上的高合一等美学特征类似, 能否构造等腰三角形证题呢?

3. 构造直角三角形

直角三角形具有两锐角互余, 斜边上的中线等于斜边的一半, 两直角边的平方和等于斜边的平方等美学特征, 证明过程中, 构造直角三角形有时也可以“柳暗花明又一村”。

分析与证明:注意到条件∠A+∠D=90°, 尝试平移AB、CD, 即过N作AB、CD的平行线交AD于E、F, 构造△ENF。

4. 构造全等三角形

全等三角形具有对应角相等, 对应边相等等美学特征, 证明过程中, 通过构造全等三角形可以将看似毫不相干的条件集中起来, 实现问题的转化。

例4.如图4, 以△ABC的AB、BC为斜边向外作等腰直角三角形△AEB和△BFC, D为AC中点。求证:DE=DF, DE⊥DF。

分析与证明:要证DE=DF, 可以由∠DEF=∠DFE得到, 但与已知条件联系不上, 注意到D为AC中点, 能否构造全等三角形寻找解题突破口呢?尝试取AB、BC的中点G、H, 连结EG、DG, DH、HF。问题在于证△EDG≌△DFH。

5. 构造平行四边形

平行四边形具有对边平行且相等, 对角相等, 对角线互相平分等美学特征, 证题过程中, 可以运用平行四边形的性质实现等量的转化。

例5.如图5, 在△ABC中, M为AB的中点, D为AB上任一点, N、P分别为CD、CB的中点, Q为MN的中点, PQ与AB相交于E。求证:AE=ED。

分析与证明:要证AE=ED, 换种表示方式就是要证E为AD的中点。在△ADC中, N是CD的中点, 连结PN、PM、NE。如果EN∥AC, 则问题就解决了。又注意到在△ABC中, MP∥AC, 且MP=1/2AC, 则只需证四边形NEMP是平行四边形即可。

6. 构造矩形

矩形具有平行四边形的性质, 同时还有对角线相等, 四个角均为直角等美学特征, 有时可以通过构造矩形, 丰富解题途径。

例6.如图6, 在正方形ABCD中, AE=CF, BG⊥CE。求证:DG⊥FG。

分析与证明:延长BG交AD于H;连结CH、FD, 交点为O, 连结OG。

7. 构造正方形

正方形具有四边相等, 四个角都是直角, 对角线相等且垂直平分等美学特征, 是完美的四边形, 通过正方形的构造, 可以从多角度探寻思路。

例7.如图7, 在△ABC中, AB=BC, ∠ABC=90°, D为BC的中点, 在AC上取一点, 使∠EDC=∠ADB, 连结BE。求证:BE⊥AD。

分析与证明:看到已知条件, 可想到正方形中的结论, 能否构造正方形呢?过点C作BC的垂线交DE的延长线于F, 连结AF。

巧妙构造图形解决数学问题 第5篇

1构造直线

如图1显然点B到点A的距离不小于点B到直线x+y-1=0的距离。

2构造圆

3构造三角形

由三角形中任意两边之和大于第三边, 结论显然成立。

4构造正方形

证明:依题意构造一个边长为1的正方形, 如图4所示,

5构造平行四边形

例5:已知, AD是△ABC的边BC上的中线, 求证:

证明:延长中线AD, 使DE=AD, 连接BE、EC。

因为AD=DE, BD=DC;

所以四边形ABCD是平行四边形;

即BE=AC;

在△ABC中, AE<AB+BE, 即2AD<AB+AC;

6构造立体几何图形

7结语

由上述实例可以看出, 要善于构造图形简化问题, 关键是平时我们要多注意知识的掌握和积累, 并能用发散性的思维从各种不同的角度进行分析和思考, 然后大胆的展开联想与实验, 这样我们的构思才能更加精巧灵活, 进而达到快速解决问题的目的。

参考文献

[1]刘玉峰.构造圆锥曲线解决代数问题的几个特例[J].数字大世界, 2012 (3) :52.

[2]陈雪松.构造概率模型, 巧解数学问题[J].中学教学, 2007 (9) :60-61.

利用构造图形证明不等式 第6篇

一、构造图形, 用面积关系证明

例1设a, b, c, d, m, n为正实数, 且a+b=d+c=m+n=R, 求证:an+bc+dm

证明构造边长为R的正三角形ABC, 在AB, BC, CA上取点D, E, F, 使AD=a, DB=b, BE=c, EC=d, CF=m, FA=n, 显然S△ADF+S△BDE+S△CEF

∴an+bc+dm

例2若a≥c, b≥c, c>o, 求证:

证明构造矩形ABCD如图在AB上取E, 使

由S△DEC=S△ADE+S△BEC得

二、构造图形用勾股定理, 余弦定理证明

例3已知:a, b, c是正数, 且c>a, c>b, 求证:

证明构造正方形ABCD, 边长为C点H, E, F, G分别在四边上, AH=DF=a, BE=AG=b, EG交HF于O.

由OD+OB≥BD, OA+OC≥AC得

例4设a, b, c是正数, 求证:

证明构造图形如图△ABC中, ∠BAC=120°, AB=a, AC=c, AD平分∠BAC, AD=b, 由余弦定理, 得:

由BD+DC≥BC (当D在BC上时取“=”) , 得

以下两题, 可供读者解决.

1.已知:x, y, z是正数:

立体几何命题的判断与构造 第7篇

一、命题的常用判断方法

1. 直接法

若对定义、公理、定理等掌握灵活, 可直接判断, 称为“直接法”。

例1.垂直于同一平面的两直线平行。用符号表示即:m⊥α, n⊥α⇒m∥n

显然, 这个命题是正确的, 即直线与平面垂直的性质定理。

例2.垂直于同一直线的两平面平行。用符号表示即:m⊥α, m⊥β⇒α∥β

这个命题也是正确的。

例3.如一条直线平行于一个平面, 则该直线平行于该平面内的任何直线。用符号表示即:a∥α, b∈α⇒a∥b

这个命题是假命题。只要对直线和平面平行的性质定理掌握的准确就可正确判断。另外也可通过实物演示, 如图:

2. 模拟法

模拟法就是结合实物加以模拟演示。

例4.垂直于同一平面的两平面平行 (假命题)

可用墙角来模拟说明。

3. 否定检验法

有一些命题, 看起来是真命题, 并且通过实验演示也容易演示错误。

例5.如果两条直线和一个平面所成的角相等, 则两直线平行。

由于有“两条平行直线与同一个平面所成的角相等”这个正确命题作为经验, 用实物演示时往往容易演示成下图, 从而认为该命题为真, 而事实上该命题为假命题。

判断这样的命题可用以下思路:否定所给命题, 再利用已知条件演示或作图, 若能做出图形, 则所给命题为假命题。

如例5可先假定两直线不平行, 再利用已知条件, 及构造两条不平行的直线与一个平面所成的角相等, 而两直线不平行可以却相交, 可以用实物演示:

这种方法为“否定检验法”, 对很多似是而非的命题判断很有效。

二、常用的构造命题法

通过比较我们发现很多命题都有相似处, 所以可利用一些方法自己“构造”并判断命题。通常构造命题的方法有:利用四种命题的关系构造命题;利用变换“关键词”构造命题, 比如在原有命题中, 将关键词“点”“直线”“平面”互相转化, 将“平行”“垂直”进行转化等, 并且注意文字表述和符号表述。

例6.利用变换关键词的方法构造命题

已知命题:若两条直线都和第三条直线平行, 则这两条直线平行。

符号表示即:a∥b, c∥b⇒a∥c (真)

⑴若两条直线都和第三条直线垂直, 则这两条直线平行。

符号表示即:a⊥b, c⊥b⇒a∥c (假)

⑵若两个平面都和一条直线平行, 则这两个平面平行。 (已知命题中的直线变平面)

符号表示即:α∥a, β∥a⇒α∥β (假)

⑶若两个平面都和第三个平面平行, 则这两个平面平行。 (已知命题中的直线变平面)

符号表示即:α∥γ, β∥γ⇒α∥β (真)

⑷若两条直线都和一个平面平行, 则这两条直线平行。 (已知命题中的直线变平面)

符号表示即:a∥α, b∥α⇒a∥b (假)

⑸若两条直线都和一个平面垂直, 则这两条直线平行。 (已知命题中的平行变垂直)

符号表示即:a⊥α, b⊥α⇒a∥b (真)

⑹若两个平面都和一个平面垂直, 则这两个平面平行。符号表示即α⊥γ, β⊥γ⇒α∥β (假)

⑺若两个平面都和一条直线垂直, 则这两个平面平行。 (已知命题中的平面变直线)

符号表示即:m⊥α, m⊥β⇒α∥β (真)

例7.利用四种命题的关系构造命题

原命题:如果两条直线平行, 则它们和第三条直线所成的角相等 (真)

逆命题:如果两条直线和第三条直线所成的角相等, 则两直线平行 (假)

否命题:如果两条直线不平行, 则它们和第三条直线所成的角不相等 (假)

逆否命题:如果两条直线和第三条直线所成的角不相等, 则两直线不平行 (真)

构造解析几何模型巧解最值 第8篇

【例1】求f (α, β) = (cosα-5cosβ) 2+ (sinα+5-2sinβ) 2的最大值和最小值.

解:将设w= (cosα-5cosβ) 2+ (sinα+5-2sinβ) 2, 则将w构造为动点P (cosα, sinα+5) 与动点Q (5cosβ, 2sinβ) 的距离, 又点P的轨迹为⊙A:x2+ (y-5) 2=1, 点Q的轨迹为椭圆E:25x2+4y2=1, 从而w可构造为圆⊙A上的点与椭圆E上的点之间的距离.

设椭圆上任意一点M (x, y) , 则

25 (1-4y2) , 其中y∈[-2, 2],

时, MA min=3.

【例2】已知⊙O:x2+y2=1和定点A (2, 1) , 由⊙O外一点P (a, b) 向⊙O引切线PQ, 切点为Q, 且满足PQ=PA. (1) 求实数a, b间的等量关系; (2) 若以P为圆心所作的⊙P与⊙O有公共点, 试求半径取最小值时⊙P的方程.

解: (1) 连接OP, 因Q为切点, PQ⊥OQ, 由勾股定理有PQ 2=OP 2-OQ 2.

又PQ=PA, 故PQ 2=PA 2,

化简得实数a, b间的等量关系为:2a+b-3=0.

(2) 由 (1) 知将动点P构造为直线L:2x+y-3=0上的动点, 显然直线L与⊙O是相离关系.

这样要使以P为圆心所作的⊙P与⊙O有公共点且半径取最小, 只需OP⊥L于P且⊙P与⊙O外切时满足条件.

此时直线OP的方程为:y=21x, 即x-2y=0.

即满足条件的圆P的圆心为 (56, 53) .

∴满足条件的圆P的方程为: (x-56) 2+ (y-53) 2

【例3】设圆满足: (1) 截y轴所得弦长为2; (2) 被x轴分成两段圆弧, 其弧长的比为3∶1, 在满足条件 (1) 、 (2) 的所有圆中, 求圆心到直线L:x-2y=0的距离最小的圆的方程.

解:设圆的圆心为P (x, y) , 半径为r, 则点P到x轴、y轴的距离分别为y、x.

∵题设圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为90°,

∴圆P截x轴的弦长为2r, 故r2=2y2.

又∵圆P截y轴所得的弦长为2, 所以有r2=x2+1, 从而得2y2-x2=1.

∴将动圆圆心P构造为双曲线E:2y2-x2=1上的动点, 这样只需要求出双曲线E到直线L的距离的最小值.

设与直线L平行的且与双曲线E相切的直线L1的方程为:x-2y+c=0,

∴所求圆的方程是: (x-1) 2+ (y-1) 2=2或

【例4】若函数f (x) =k+2+x存在区间[a, b], 使f (x) 在[a, b]上值域是[a, b], 求k的最大值.

解:显然函数f (x) 在定义域内单调递增,

∴由题意可得

故a、b是方程x=k+2+x, 即方程x+k+2=x的两个不等实数根.

于是构造直线L:y=x-k-2与抛物线E:y2=x (x≥0) 有两个不同的交点.要求k的最大值, 只需求符合条件的直线在y轴上截距的最小值.所以当直线L过点

【例5】求函数f (x) =sinxcosx-2 (x∈ (0, π) ) 的最大值.

解:设A (sinx, cosx) , B (0, 2) , x∈ (0, π) , 显然A在单位圆x2+y2=1 (x>0) 的右半圆上运动,

将f (x) 的值构造为直线AB的斜率, 因此当直线AB与⊙O右半圆相切时, f (x) 有最大值.

构造几何图形 第9篇

要用BSP算法实现构造性实体几何, 则所创建的BSP算法需要满足两个条件:1、构造一个功能出色的多边形分割函数;2、良好的内部程序管理。为此, 我们可以构建一个叶子结构, 包含BSP算法所需要的多边形。如图1所示。

接下来, 我们构造实体A的二叉树:

1、随机选取一个平面, 作为二叉树的根节点 (即初始分割平面) 。这里假定选择的是平面P2.

2、给其所在平面被选为初始分割平面的面做一个标记。

3、用这个分割平面分割实体。

4、所有位于该分割平面前面的面 (包括分割产生的新面) 都添加到前列表中。如果某个面与分割平面共面, 那么根据分割平面的方向, 可以对这个面进行如下划分:如果这个面的法线方向与分割平面相同, 那就把这个面添加到前列表中;否则添加到后列表中。

5、所有位于分割面后面的面 (包括分割产生的新面) 都被添加到后列表中。

6、将前列表和后列表分别看成是根节点 (初始分割平面) 的前节点和后节点。

7、对前列表和后列表从第一步开始重复上述过程。

用这种算法建立的BSP内部节点只包含分割平面以及前方与后方节点的指针。图2为最终的BSF树。

构造好了CSG算法所需要的元素后, 通过使用BSP树, 我们就不再需要用实体多边形来分割其他的实体多边形, 而是用其他的实体BSP树来分割多边形。用BSP树裁剪实体的过程就是:用所有的区分节点 (BSP树的分割平面) 划分所有的实体多边形。这个分割过程从根节点开始, 持续到叶子节点为止。

在根节点处, 所有的多边形被相应划分到front列表和back列表中。如果用具体例子来说的话, 就是从BSP树的根节点开始 (如图2, 来分割多边形DE、EF和FD) 。对于组成实体C的多边形都被根节点裁剪过。最后, 有些多边形被分割了, 有些则没有被分割。所有位于分割平面前面的多边形都被添加到front列表中, 而所有位于分割平面后面的多边形则被添加到back列表中。接下来, P3和P1分别会裁剪到前列表和后列表中, 此过程一直重复, 直到剩下的多边形到达叶子节点为止。当某个列表到达叶子节点时, 就可以决定哪些多边形需要被裁剪, 哪些要保留下来组成最后的CSG实体。

这样, 利用BSP算法, 就可以将复杂图形进行分解, 从而利用已知的CSG算法对问题进行求解。

参考文献

[1]杨钦:《限定Delaunay三角网格剖分技术》, 电子工业出版社, 2005年。

[2]李丽、战守义:《一种凸多面体的阴影生成方法》, 《计算机仿真》, 2004年05期。