不定积分的一题多解

不定积分的一题多解（精选12篇）

不定积分的一题多解 第1篇

国内现行的高等数学教材里通常会给出三类典型的积分法, 包括凑微分、第二类换元和分部积分。初学不定积分的时候, 要注意把握每种积分法各自的特点, 看它们都适合处理什么样的被积函数。比如凑微分法和分部积分法都可以用来尝试处理一些乘积形式的被积函数, 也都有把被积函数的一部分拿进来凑微分的步骤, 不过使用凑微分技巧时对被积函数的要求比较高:即需要凑完微分以后剩余的被积函数是某个容易积出来的函数和微分符号“d”后面的那个函数的复合形式, 而分部积分法对被积函数的要求则没这么高。一般来讲, 分部积分技巧可以处理被积函数为“反对幂三指”五类函数中的两类相乘的情形。至于第二类换元, 其基本思想是去根号, 容易总结出一些很典型的代换:三角代换、根式代换和倒代换等。但是, 当学生把所有积分法都学完, 并且针对每种积分法都做了一定量的练习后, 就很有必要培养综合利用多种积分法求解不定积分的能力。高数课教师在不定积分这一章的末尾上习题课时, 也要有意识地选取典型例子, 引导学生尝试利用不同的积分法求解不定积分, 让他们体会“条条大路通罗马”的喜悦, 从而激发他们学习高等数学课程的兴趣。

下文介绍三个典型的例子, 这些例子均有多种解法, 其中融合了凑微分 (也称第一类换元法) 和第二类换元法 (包括三角代换、根式代换、倒代换和非典型代换) , 具有很好的启发性。

法一:利用凑微分。

法二:利用凑微分。

法三:利用第二类换元法中的倒代换。

法四:利用第二类换元法中的根式代换。

法五:利用第二类换元和凑微分法。

解:设x2-1=t, 则x2=1+t, 2xdx=dt, 此时

法六:利用第二类换元法中典型的三角代换。

法一:利用第二类换元法中的根式代换。

法二:利用第二类换元和凑微分法。

法三:利用第二类换元和凑微分法。

法四:利用第二类换元法中的三角代换。

法一:利用凑微分。

法二:利用凑微分。

法三:利用凑微分。

法四:利用第二类换元法中的倒代换。

法五:利用第二类换元法中的三角代换。

参考文献

[1]同济大学应用数学系.高等数学 (上) [M].第五版.北京:高等教育出版社, 2002.

不定积分的一题多解 第2篇

在习题课中的 “ 一题多变 ” 是指从多角度、多方位对例题进行变化，引出一系列与本例题相关的题目，形成多变导向，使知识进一步精化的教学方法． 思维的变通性是指摆脱定势的消极影响，不局限于问题的某一方面，能够随机应变，举一反三，触类旁通。在二轮复习的解题过程中主动出击，运用变式，通过 “ 一题多变 ” 演绎问题的产生过程，能够摆脱由生活习惯中原有思维方式和平时解题所带来的思维定势，使思维具有变通性。

“ 一题多问 ” 培养思维的严密性

思维的严密性，主要表现在通过细致缜密的分析，从错综复杂的联系与关系中认识事物的本质。在题目解完后再通过 “ 一题多问 ” 自己考虑问题更全面细致，让自己的思维具有严密性。

简议教材习题的一题多解 第3篇

1、不等式 对任意实数x都成立，求自然数m的值

解法一：因为分母恒大于0，所以原不等式转化为

对任意的x属于R恒成立，即 恒成立

所以必有如下不等式组 ，即 ，

因为m为自然数， 。

解法二： ，令

当

当

因为 ，所以

所以

所以

点拨：本题的解法一通过去分母将本题转化到二次函数的恒成立问题，训练、培养学生的数形结合的思想及能力。而解法二则是通过构造函数，求函数值域的方式完成，训练学生的转化能力以及换元法等求值域的基本方法，这两种方法都应该要求学生掌握。

2、在 中， 满足条件 ，试确定实数 的取值范围

解法一：

解法二：

点拨：本小题的解法一利用了均值不等式的相关结论，是本题想要考察的方法，而解法二巧妙的将本题转化到了解三角形的问题上。通过一题多解能使学生对这两部分知识点进行有效的学习与复习。

一题多解的习题有很多，每道一题多解习题的出现都能使学生兴奋，都能激发学生的学习积极性，希望我们利用好这些习题，让快乐学习，高效学习陪伴我们的学生。

不定积分中的一题多解 第4篇

1、∫dx=x+c (由性质∫df (x) =f (x) +c)

12、设x=tα, 则dx=αtα-1dt

13、用定积分定义求∫dx

一题多解培养思维能力 第5篇

一道应用题的解题方法往往不是唯一的。因此，要学会从多方面多角度思考问题，以培养自己的思维能力。

例1甲、乙两人要运240吨货物，甲单独运8小时能运完，乙单独运6小时能运完，两人合作几小时能运完？

思路1：要求两人合作多少小时运完，必须先 求出甲、乙两人每天各运多少吨，然后用总吨数除以每天合运的吨数即得。

1思路2：把这堆货物看成整体“1”，乙8

111，两人合运一天可以运这堆货物的（），用686

工作总量除以工作效率就得工作时间。

3例2一服装厂计划生产2500套服装，前6天完成，照这样计5

算，剩下的还要几天能完成？

思路1：先求剩下的任务，再求还要几天。

思路2：先求完成任务需要的时间，再求剩下的还要几天。思路3：剩下的任务包含几个6天所完成的任务，就需几个6天。

33另外，有一种简便的方法是：6÷×（1-）。你能说出这样列55

机械制图中的一题多解剖析 第6篇

关键词：一题多解；视图；投影

在机械制图中，我们不允许一张图纸的结果看起来有多个答案，但在实际机械制图课程中，确实存在着视图补充不全，而导致答案有多种的现象。一般来说，只给一个视图或者两个视图产生的多解现象比较普遍，三个视图产生的多解现象很少。但是在一些练习题中，经常出现补画第三视图的题型，而这种题型又有可能产生多解现象，（如图1）

一题多解试题当中，一般是所求的视图为反映形体特征的视图。所以在想象第三投影时，一般是先将已有的视图结合起来想象、识别各形体的形状和形体间的位置关系。产生多解现象的原因有以下几种情况：

一、利用虚线、实线重合特性

在机械制图中规定，当实线与虚线重合的时候，只画实线而不画虚线。也就是当可见轮廓与不可见轮廓重合的时候，只画可见轮廓，如图2。

图4中的投影1、投影2、投影3、投影4都是这种情况。

二、利用相似面投影特性

在面的投影中，往往可以利用投影中的曲面经过投影之后，在投影面上的投影还是仍然是相似面。如图3，A面为水平面、B面为侧垂面、C面为曲面、D为两个相切的圆弧面，经过投影后，投影都为d面。其中C面为曲面，在三视图中经过投影后仍然类似为面，而没有其他的线性。如图4，已知主视图和俯视图，补画左视图，主视图和俯视图在经过投影后左视图的答案有多种，有时圆弧也可以用椭圆弧代替，因为椭圆弧经过投影之后中间也是没有任何交线的。此题的答案不只是给出的这几个，只要顺着这个思路想下去，你就会觉得答案的趣味性和思路的开阔性，让你继续在制图的海洋里遨游。还有一种情况是，当面为垂面的时候，在投影面上面积聚为直线，这种情况也是多面积聚为一个平面的例子。根据图2的延展，还可以利用两个或者两个以上的面重合而积聚为一个面。注意：当两圆弧的圆心在同一水平直线上时有交线，反之则没有交线。因此我们平时在做作业的时候要多留一个心眼，不应死扣公式，还要结合实际情况进行全方位的考虑。

三、利用线面的积聚性

当空间直线或者平面垂直于某一投影面时，则线将在这个投影面上积聚为一个点，面将积聚为一直线。如图5：

ABCD平面垂直于H投影面，投影后积聚为一直线；EF为铅垂线，投影后积聚为一点。在图4中的投影5就是利用了正平面在水平投影面上具有积聚性的特点得出的答案。其中图5为延展开后的部分答案。

要从已知的两个视图中入手，结合线、面重合特点。

要认真分析已知视图中的线框、识别形体表面间的位置关系。将想象中的形体与视图反复对照，检查所给的第三视图是否符合已给定的两个视图的投影。

四、特殊组合投影

在制图中往往会出现特殊的组合投影见图7所示：而这些组合投影的形体不同，它们有时候是可以互相组合，但在组合的時候要注意，主视图中间那条竖线的存在，如果两个面相切，则主视图中间的竖线不存在，要想中间的竖线存在，则有两种情况。第一是中间的竖线为侧平面积聚的；第二种情况是中间的竖线为两不相切的曲面相交所形成的，见图8所示：

第一个由正圆锥切割一半形成的；第二为斜圆锥切割一部分形成的；第三个直圆柱切割形成的；第四个为“牙膏”状形体；第五个为椭圆柱经过两次切割所形成如图9所示：

因为椭圆柱经过斜切后，使得截交面的短半轴和长半轴相等，从而形成圆面。这五种情况可以相互颠倒后组合，也可以自生颠倒后组合，形成图7的左视图答案。其中，图8中的2和5的投影类似，但是它们的形成基本体和投影的曲线是有区别的。注意，有一种情况必须排除，就是第三个与自身的组合不符合要求，因为圆柱与圆柱颠倒组合后，圆弧与圆弧相接，中间没有交线，这种情况不符合投影要求。

数学复习课中的一题多解 第7篇

一题多解是从不同的方向, 不同的侧面, 不同的层次, 运用不同的知识和方法解决同一个问题。一题多解能激发同学们的潜能, 提高解答问题的应变能力。通过一题多思, 一题多解, 一题多讲, 可以巩固学生知识, 训练学生思维, 开拓学生视野。

例题:已知a, b∈R+, 且求a+b的最小值。

解法1:均值不等式法

当且仅当即b=4a时取等号。

当且仅当a=b时取等号。

∴a+b的最小值是8。

注意此解答案错误。因为⑴, ⑵式的等号不能同时成立, 所以⑶式等号不能取。但事实上推导过程无误, 只是扩大了a+b的范围。

此法作为例子来讲是强调使用重要不等式时等号成立条件的必不可少。

解法2:“1”的妙用

当且仅当时即a=3, y=6时取等号。

变式题:若a, b, c是不等正数且abc=1, 求证

解法3:利用柯西不等式

当且仅当时, 即a=3, y=6时取等号。

∴a+b的最小值是9。

解法4:构造a+b不等式法

变式:已知x+xy+4y=5 (x, y∈R+) , 求xy取值范围。

解法5:换元后构造均值不等式法

当且仅当即a=4时取等号。

解法6:用判别式法

得关于a的二次方程a2+ (3-z) a+z=0。

可由解得z的范围, 从而得到a+b的最小值。

变式题:若2x+y=6, 求的范围也可用判别式法。

解法7:三角换元法

变式题:若0<x<1, a>0, b>0, 则的最小值。

解法8:导数法

在区间内有一个极值点, 此极值必为最值。

∴当ab=3时, z取得最小值9, 即a=3, b=6时, a+b的最小值是9。

以上所涉及到的方法都是学生应掌握的。通过一道例题讲解即可复习多种方法。

有机化学计算中的一题多解 第8篇

【案例】一定量的乙醇在氧气不足的情况下燃烧, 得到CO、CO2和水的质量共27.6 g, 若其中水的质量为10.8 g, 则CO的质量是 ()

A.1.4gB.2.2g

C.4.4g D.在2.2g和4.4g之间

解法一:根据元素守恒, 列方程组求解。

设CO和CO2的物质的量分别为x、y, 则:

解得:

解法归纳:该方法容易被大多数学生所接受, 解题思路很容易被想到, 是较常见的解题方法。

解法二:运用分析法和平均相对分子质量求解。

根据n (H2O) =0.6 mol, 则乙醇中含氢原子的物质的量n (H) =0.6 mol×2=1.2 mol,

解法归纳:该方法充分运用了物质的量这一基本化学工具, 思路清晰, 但技巧性较强。

解法三:运用极端假设法和讨论法求解。

乙醇燃烧生成CO和CO2的总质量为27.6 g-10.8 g=16.8 g。可将乙醇的燃烧分为两部分进行讨论:一部分乙醇发生完全燃烧, 生成CO2和H2O;另一部分乙醇发生不完全燃烧, 生成CO和H2O。

设乙醇不完全燃烧时生成CO的质量为x, 生成水的质量为y, 则有:

解法归纳:该方法提供了一个解题的思路, 但技巧性不强, 没有运用物质的量, 运算量较大。

机械制图中的一题多解剖析 第9篇

关键词：一题多解,视图,投影

在机械制图中，我们不允许一张图纸的结果看起来有多个答案，但在实际机械制图课程中，确实存在着视图补充不全，而导致答案有多种的现象。一般来说，只给一个视图或者两个视图产生的多解现象比较普遍，三个视图产生的多解现象很少。但是在一些练习题中，经常出现补画第三视图的题型，而这种题型又有可能产生多解现象，（如图1)

一题多解试题当中，一般是所求的视图为反映形体特征的视图。所以在想象第三投影时，一般是先将已有的视图结合起来想象、识别各形体的形状和形体间的位置关系。产生多解现象的原因有以下几种情况：

一、利用虚线、实线重合特性

在机械制图中规定，当实线与虚线重合的时候，只画实线而不画虚线。也就是当可见轮廓与不可见轮廓重合的时候，只画可见轮廓，如图2。

图4中的投影1、投影2、投影3、投影4都是这种情况。

二、利用相似面投影特性

在面的投影中，往往可以利用投影中的曲面经过投影之后，在投影面上的投影还是仍然是相似面。如图3, A面为水平面、B面为侧垂面、C面为曲面、D为两个相切的圆弧面，经过投影后，投影都为d面。其中C面为曲面，在三视图中经过投影后仍然类似为面，而没有其他的线性。如图4，已知主视图和俯视图，补画左视图，主视图和俯视图在经过投影后左视图的答案有多种，有时圆弧也可以用椭圆弧代替，因为椭圆弧经过投影之后中间也是没有任何交线的。此题的答案不只是给出的这几个，只要顺着这个思路想下去，你就会觉得答案的趣味性和思路的开阔性，让你继续在制图的海洋里遨游。还有一种情况是，当面为垂面的时候，在投影面上面积聚为直线，这种情况也是多面积聚为一个平面的例子。根据图2的延展，还可以利用两个或者两个以上的面重合而积聚为一个面。注意：当两圆弧的圆心在同一水平直线上时有交线，反之则没有交线。因此我们平时在做作业的时候要多留一个心眼，不应死扣公式，还要结合实际情况进行全方位的考虑。

三、利用线面的积聚性

当空间直线或者平面垂直于某一投影面时，则线将在这个投影面上积聚为一个点，面将积聚为一直线。如图5:

ABCD平面垂直于H投影面，投影后积聚为一直线；EF为铅垂线，投影后积聚为一点。在图4中的投影5就是利用了正平面在水平投影面上具有积聚性的特点得出的答案。其中图5为延展开后的部分答案。

要从已知的两个视图中入手，结合线、面重合特点。

要认真分析已知视图中的线框、识别形体表面间的位置关系。将想象中的形体与视图反复对照，检查所给的第三视图是否符合已给定的两个视图的投影。

四、特殊组合投影

在制图中往往会出现特殊的组合投影见图7所示：而这些组合投影的形体不同，它们有时候是可以互相组合，但在组合的时候要注意，主视图中间那条竖线的存在，如果两个面相切，则主视图中间的竖线不存在，要想中间的竖线存在，则有两种情况。第一是中间的竖线为侧平面积聚的；第二种情况是中间的竖线为两不相切的曲面相交所形成的，见图8所示：

第一个由正圆锥切割一半形成的；第二为斜圆锥切割一部分形成的；第三个直圆柱切割形成的；第四个为“牙膏”状形体；第五个为椭圆柱经过两次切割所形成如图9所示：

因为椭圆柱经过斜切后，使得截交面的短半轴和长半轴相等，从而形成圆面。这五种情况可以相互颠倒后组合，也可以自生颠倒后组合，形成图7的左视图答案。其中，图8中的2和5的投影类似，但是它们的形成基本体和投影的曲线是有区别的。注意，有一种情况必须排除，就是第三个与自身的组合不符合要求，因为圆柱与圆柱颠倒组合后，圆弧与圆弧相接，中间没有交线，这种情况不符合投影要求。

一道最值问题的一题多解 第10篇

探讨问题:已知x, y∈R+, 且 , 求x+y的最小值.

【解法1】“1”的巧代:

根据式子中数”1”的特殊性, 对等式两边同时乘以1, 等号不变, 但是产生可用均值不等式求得最值的效果。

求最值的问题它是一个综合能力的考查

【解法2】三角代换:

通过三角函数的知识, 我们知道:”1=cos2 a+sin2 a”的变量代换, 再利用同个角三角函数关系求得最值。

【解法3】均值定理:

其特点是利用和 (积) 定值, 灵活凑积 (和) 求最大 (小) 值

【解法4】线性规划:

从几何角度来看, 由已知得 , x>2表示双曲线的一支, 而x+y=t (即y=-x+t) 表示经过双曲线上任意一点的一组运动平行直线系。可联立 , y=-x+t消去y建立方程, 用判别式法可讨论t的取值范围, 从而求出最大值。

分析:令x+y=t, 从而有y=-x+t, 代入y= , (x>2) 并化简之, 可得

【解法5】导数:

一般情况下, 要讨论求证一个函数的最值, 常用的方法是首先应减少变量个数, 然后用配方等方法进行讨论此题从 入手, 解出x或y, 代入x+y, 则可用导数的方法求出最大 (小) 值

可知:

【解法6】柯西不等式法:

柯西不等式是一个特别常用的不等式, 无论是在中学数学解题时, 还是在高等数学中都是经常用到的。其离散的形式为:设有两组数:

则有

分析:由x, y∈R+, 构造两组数如下:

由柯西不等式, 可得

小结:

本文中例举的这道数学求最值问题, 是常见的求最值的问题。我们对此题进行研究主要是体现我们的研讨策略。其中之一是体现数学的哲学思想 (没有哲学, 我们无法看清数学的深度) , 从该例试题的几种解法中渗透了这句名言的内涵;同时, 不对此类数学问题进行研究, 我们就不可能从中看清哲学的深度。以上几种解题方法, 真可谓是殊途同归, 运用不同的解题办法, 从不同的角度入手, 最终都圆满的找到了问题的答案。其中之二, 这几种解题方法, 展现了师生的数学解题方法的多样化, 从中不断积累了思维的方法, 拓展了思维的空间;同时熟练的掌握了此类数学问题的多种解题方法。

摘要：笔者从学生的思维方式和思维角度进行了尝试, 就近几年考题的关注焦点:求最值的问题进行了探讨, 并与同行一起交流探究。其中之一是体现数学的哲学思想;其中之二, 不断积累了思维的方法, 拓展了思维的空间;同时熟练的掌握了此类数学问题的多种解题方法。

不定积分的一题多解 第11篇

评注以上解法是利用了共线向量的通性，但过程不是很简单，其实我们仔细观察条件等式，还可以通过简化形式，得到一个相对简单的方法. 评注解法2先是对题设中的等式进行了变形，即通过优化条件，然后再数形结合找到了一种解决问题简单办法，其实，解决数学问题的思想大都一样，先简化题设中的条件与结论，然后再去寻求解题的最佳途径.

评注解法3将一般情形特殊化，这样有助于复杂问题简单化，如果结论是一个填空题，还可以再进一步特殊化：在物理学中我们知道三个大小一样互相成120°的三个力作用于同一点合力为0.利用这个模型求解此例会更简明，也更易让人理解与接受.

解法4由平面向量的基本定理，我们知道，平面上的任一个向量都可以用一组基向量表示出来，且表示的形式唯一，这样不妨让我们用基向量思想方法来进行求解.

谈混合物计算中的一题多解 第12篇

例1 15.5克氯酸钾和二氧化锰的混合物, 经加热至不再有氧气产生, 称得剩余固体质量为10.7克。求 (1) 产生氧气多少克? (2) 剩余固体中含有哪些物质, 各多少克? (3) 原混合物中氯酸钾有多少克?

解析:该题需要弄清楚原混合物中氯酸钾是否反应完全, 通过“加热至不再有氧气产生”可知, 反应已完全;还要弄清楚“剩余固体”中有哪些物质, 通过分析可知, 氯酸钾已反应完全, 则应有氯化钾和二氧化锰;第三、要弄清楚所给数据是否是纯量, 只有纯量才能代入化学方程式计算。通过分析可知:mKClO3+mMnO2=15.5, mKCl+mMnO2=10.7.说明两个数据都不纯, 不能代入方程式计算。这时我们要弄清楚物质质量在反应前后增加或减少的原因, 通过上述两式比较可知, 减少质量为氯酸钾中氧元素质量, 反应后生成的氧气逸出了, 所以氯酸钾中氧元素质量等于生成氧气质量。这样, 本题题意已弄清楚, 则有:

解法一、 (根据化学式计算) KClO3的分子量为122.5, 其中氧 (O) 元素的量占undefined

氯酸钾中氧元素质量为:15.5-10.7=4.8克。

undefined

mMnO2=15.5-12.25=3.25克。

答: (略) 。

解法二、 (抓住“不变量”求解) 纵观反应过程中二氧化锰为催化剂, 反应前后质量不变。

设二氧化锰质量为x g.

undefined

解得:x=3.25g.

则氯酸钾的质量为:15.5-3.25=12.25g.

氯化钾质量为:10.7-3.25=7.45g.

答: (略) 。

解法三、 (根据质量守恒定律)

根据质量守恒定律可知氧气质量为:15.5-10.7=4.8g.

设混合物中氯酸钾质量为x g.

undefined

则氯化钾的质量为:15.5-4.8=7.45g.

二氧化锰的质量为:15.5-12.25=3.25g.

答: (略) 。

例2 22g的氧化铜与氢气反应一段时间后, 经干燥、称重质量为20g.求参加反应的氧化铜的质量?

解析:通过“与氢气反应一段时间”说明, 该氧化铜未反应完全, 由此可知“22g”该数据虽然是纯量, 但由于氧化铜未反应完全, 所以也不能代入方程式计算;而“20g”中既有未反应的氧化铜质量, 又有反应后生成的铜质量。它们的关系可用以下两式表示:

mCuO反+mCuO未=22.

mCu反+mCuO未=20.

由上述两式可知, 减少的质量为参加反应的氧化铜中氧元素质量。弄清题意后, 则有:

解法一、 (根据化学式计算)

参加反应的氧化铜质量为:undefined

答: (略) 。

解法二、 (抓住“不变量”来解) 纵观题意, “不变量”为未反应的氧化铜质量。

设未参加反应的氧化铜质量为x g.

undefined

则参加反应的氧化铜质量为:22-12=10g.

答: (略) 。

解法三、 (用“差量法”来解) 此法计算简单, 但同学们掌握困难, 原因是弄不清楚质量差是怎样产生的, 与哪些量有关。通过题意可知, 它们的差是由于氧化铜中的氧与氢气反应后变为铜。

设参加反应的氧化铜质量为x g.

undefined减少质量

undefined

答: (略) 。